Zadaci iz nizova - PMF

Odavde slijedi (∀n ∈ N) a n+1 < a n , tj. niz je monotono opadajući.
Pokažimo sada jednu pomoćnu nejednakost:
n ∈ N ; √ n + 1 − √ n =
1
√ √ < 1
n + 1 + n 2 √ n
Odavde važi:
2( √ n + 1 − √ n) < 1 √ n
.
Koristeći ovu nejednakost za n = 1, 2, 3, . . ., imamo
Sabiranjem gornjih nejednakosti imamo:
a odavde je
1 > 2( √ 2 − √ 1)
√1
2
> 2( √ 3 − √ 2)
√1
3
> 2( √ 4 − √ 3)
.
.
.
√ 1
n−1
> 2( √ n − √ n − 1)
√1
n
> 2( √ n + 1 − √ n)
1 + 1 √
2
+ 1 √
3
+ · · · + 1 √ n
> 2( √ n + 1 − 1)
a n > 2( √ n + 1 − √ n) − 2 > −2 , ∀n ∈ N
tj. niz je ograničen odozdo. Prema poznatoj teoremi monotono opadajući niz ograničen
odozdo je konvergentan.
♣
2