Zadaci iz nizova - PMF

Zadaci iz nizova
Zadatak 1 Pokazati da niz dat opštim članom
konvergira.
♣ Pokažimo prvo monotonost niza:
Za proizvoljno n ∈ N imamo
a n = 1 + 1 2 + 1 3 + · + 1 n − ln n
a n+1 = a n + 1
n + 1 + ln n − ln(n + 1) < a n + 1
n + 1 − ln n + 1
n
< a n
(zbog 1 < ln(1 + 1 )), a ovo znači da je niz monotono opadajući. Koristeći poznatu
n+1 n
nejednakost 1 > ln(1 + 1 ), sada imamo
n n
1 > ln(1 + 1)
1
>
2
.
ln(1 + 1)
2
.
.
1
n
> ln(1 + 1 ) n
Sabirajući gornje nejednakosti i oduzimajući i lijevo i desno ln n dobijamo
a n > ln(1 + 1) + ln(1 + 1) + ln(1 + 1) + · · · + ln(1 + 1 ) − ln n
1 2 3 n
= ln ( 2 · 3 · 4 · · · n · n+1 − ln n)
2 3 n−1 n
= ln n+1 > 0 , ∀n ∈ N
n
Zaključujemo da je dati niz ograničen s donje strane. Dakle, na osnovu poznate teoreme
dati niz je konvergentan. Pri tome je
(1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 )
n − ln n = c , c − Eulerova konstanta.
♣
lim
n→∞
Zadatak 2 Pokazati da je niz sa opštim članom
konvergentan.
♣ Pokažimo monotonost niza:
a n = 1 + 1 √
2
+ 1 √
3
+ · · · + 1 √ n
− 2 √ n
1
a n+1 − a n = √ n+1
+ 2 √ n − 2 √ n + 1
1
= √ n+1
− 2( √ n + 1 − √ n)
1
= √ 1
n+1
− 2 √ √ n+1+ n
1
< √ n+1
− 2
2 √ = 0 n+1
1

Odavde slijedi (∀n ∈ N) a n+1 < a n , tj. niz je monotono opadajući.
Pokažimo sada jednu pomoćnu nejednakost:
n ∈ N ; √ n + 1 − √ n =
1
√ √ < 1
n + 1 + n 2 √ n
Odavde važi:
2( √ n + 1 − √ n) < 1 √ n
.
Koristeći ovu nejednakost za n = 1, 2, 3, . . ., imamo
Sabiranjem gornjih nejednakosti imamo:
a odavde je
1 > 2( √ 2 − √ 1)
√1
2
> 2( √ 3 − √ 2)
√1
3
> 2( √ 4 − √ 3)
.
.
.
√ 1
n−1
> 2( √ n − √ n − 1)
√1
n
> 2( √ n + 1 − √ n)
1 + 1 √
2
+ 1 √
3
+ · · · + 1 √ n
> 2( √ n + 1 − 1)
a n > 2( √ n + 1 − √ n) − 2 > −2 , ∀n ∈ N
tj. niz je ograničen odozdo. Prema poznatoj teoremi monotono opadajući niz ograničen
odozdo je konvergentan.
♣
2