2 - VÅ EM

V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U
2008
EDICE
STUDIJNÍ
TEXTY
VŠEM
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

2
3
2
4
2
1
1
3
3
3
2
1
1
1
3
0
2
7
0
7
0
(3)
(2)
(1)
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
K = [1; -1; 0
: 5
10
15
10
0
7
10
7
0
3
3
2
1
4
3
1
1
a
a
(3)
(2)
(1)
0
1
0
0
7
10
7
0
3
3
2
1
2
7
2
3
2
0
7
10
7
0
3
3
2
1
2
a

(3)
(2)
(1)
1
1
0
0
8
8
7
0
0
2
1
2
4
:
4
4
0
0
8
8
7
0
0
2
1
2
2
3
1
5
4
1
2
3
0
2
1
2
2
2
1
3
7
4
4
3
0
8
8
7
0
0
6
3
6
5
2
3
2
a
a
a
1
0
0
2
0
2
8
8
7
1
(3)
(2)
(1)
1
2
1
2
3
x
x
x
x
x
K = [1; 0; 1

7
2
3
1
6
0
4
2
1
2
1
1
2
2
3
2
K = [–5 – 4t; 4 + 2t; t, t R
(2)
(1)
0
0
0
0
0
0
0
0
4
2
1
0
1
2
1
1
2
8
4
2
0
4
2
1
0
4
2
1
0
1
2
1
1
2
2
a
a
1
1
1
2
7
2
3
1
3
0
2
1
2
2
3
2
1
2
1
1
2
:
a
a
a
x t
3
t
x
t
t
x
t
x
t
x
4
5
1
2
)
2
(4
(1)
2
4
4
2
(2)
1
1
2
2

4
1
1
1
3
1
2
0
3
2
5
3
1
2
1
K =
10
0
0
0
0
11
8
2
7
0
5
3
1
2
1
0 = 10 .... nelze
2
1
1
19
8
2
7
0
9
8
2
7
0
5
3
1
2
1
3
2
a
a
a

Urete, zda jsou vektory lineárn závislé. Pokud ano, zapište
njakou jejich netriviální kombinaci rovnou nulovému vektoru.
1)
a ( 1;2;1;3), b ( 1;1;2;0),
c (1;0; 1;1)
x a x b
x c
1 2 3
o
1
2
1
3
1
1
2
0
1
0
1
1
...
1
0
0
0
1
3
0
0
1
2
0
0
5t
2t
x1 , x2
, x
3 3
3
LZ
t
2)
3)
Pi volb nap. t = 3 je x 1 = 5, x 2 = 2, x 3 = 3, požadovaná
lineární kombinace je pak 5a + 2b + 3c .
a
a
a b
c
( 1; 1;1),
b
( 2;3;5),
c (2;1;2)
( 1;2; 3),
b (3; 1;0),
c (2; 3;3)

2)
a
( 1; 1;1),
b ( 2;3;5),
c (2;1;2)
1
1
1
3)
a
2 2
1
2 2
3 1
a 0
1 3
x1
x
5 2
1
0 7 0
a
( 1;2; 3),
b (3; 1;0),
c (2; 3;3)
1 2
x3
0
LN
1
2
3
3
2
3
3
1
... 0
0
3
1
2
1
0
x3 t,
x2
t,
3
0
1
0
LZ
x
t
Pi volb t = 1 je x 1 = 1, x 2 = -1, x 3 = 1, požadovaná lineární
kombinace je pak a – b + c .
a
b
c

Vyjádete vektor x jako lineární kombinaci vektor a, b, c:
x
1) x ( 7;1; 4),
a (1;2; 2),
b (2; 1;1),
c ( 3;2;1
)
a,
b,
c
2) x ( 3;9;1), a (1;3;1), b (4; 2;1),
c (2; 8;
1)
3) x ( 0;7), a (1;2), b (3; 1),
c (5;3)

2
1
1
10
5
5
0
13
8
5
0
7
3
2
1
2
2
4
1
1
2
1
2
1
2
7
3
2
1
a
a
a
1) )
3;2;1
(
1;1),
(2;
2),
(1;2;
4),
7;1;
(
c
b
a
x
2
1
1
13
8
5
7
3
2
3
3
0
0
13
8
5
0
7
3
2
1
1
2
3
2
1
x
x
x
x
x
c
b
a
x
2

2) x ( 3;9;1), a (1;3;1), b (4; 2;1),
c (2; 8;
1)
1
3
1
4 2 3
1
4 2 3
2 8 9
3a1
0
14
14
0 :
( 14)
1 1
1
a1
0
3 3 2
1
0
0
4
1
3
2
1
3
3 1
4 2 3
0 0
1 1 0
2
3a2
0
0 0 2
0 3
K
x
a , b,
c .
a , b,
c
x
Vektor x nelze vyjádit pomocí vektor
Vysvtlení: vektory a, b, c jsou LZ (viz matice levé strany!),
leží tedy v jedné rovin a vektor x pravdpodobn
leží mimo tuto rovinu.

3)
x
( 0;7), a (1;2), b (3; 1),
c
(5;3)
1
2
3 5 0
1
3 5 0
1 3 7
2a 1 0
7 7 7:
( 7)
1
3 5 0
K 3
2t;
1
t;
t,
0
1 1 1
Pi volb t = 0 je x 1 = 3, x 2 = –1, x 3 = 0, takže:
x
x
a , b,
c
3a
b(
0c)
Vysvtlení: vektory a, b, c jsou LZ (jsou 3 a mají 2 souadnice),
vektor x leží v téže rovin ešení musí být více.
t
R

Urete, pro jaké hodnoty parametru p má soustava ešení:
1
1
2 2
1
1
2 2
3
1 0 6
3a1
0
4 6 0 : 2
1
p 1
1
a
1 0
p 1
3 1
1
1
2 2 1
1
2
0
2 3 0 (
p 1)
0
2( p 1)
3( p 1)
0
p 1
3 1
(
2)
0
2( p 1)
6
2
0
: ( p 1)
2
a2
1
0
0
1
2
0
2
3
6 3( p 1)
2
0
2
1
0
0
1
2
0
2
3
3 3p
2
0
2
(3 – 3p)x 3 = 2
.... má ešení, je-li p 1
(pro p = 1: 0x 3 = 2 nemá ešení)

Urete, pro jaké hodnoty parametru p má soustava ešení:
1
2
1
2
1
1
1
p
2
2
0
3
2a
a
1
1
1
0
0
2
3
3
1
p 2
1
2
4
5
a
2
1
0
0
2
3
0
1
p 2
p 3
2
4
1
(p + 3)x 3 = 1 .... má ešení, je-li p –3

1
1
1
4
1
2
2
1
1
2
p
p
Urete hodnost matice v závislosti na hodnot parametru p:
1
0
0
0
1
0
2
1
1
2
2
1
1
p
p
a
a
1)
3
)
(
2
)
(
1
)
(
1
1
1
A
h
A
h
A
h
p
p
p
0
0
0
0
0
2
0
0
3
1
2
0
1
2
1
1
p
2)
9
8
1
3
1
5
4
2
4
3
1
1
1
2
1
1
p
3
)
(
2
)
(
2
2
A
h
A
h
p
p
2
2
1
1
1
2
6
2
4
0
3
1
2
0
3
1
2
0
1
2
1
1
3
2
a
a
p
a
a
a

Urete, pro jaké hodnoty parametru p jsou
vektory uu, v kolmé:
1)
u
( 2; 3; p 1),
v ( 1;
3p;
(2; 3; p –1)(–1; 3p; 2) = –2 + 9p + 2(p –1) = 11p –4
11p – 4 = 0 p = 4/11
2)
2)
u
( 2 p;
2; 1),
v ( p 4; p 1;
2)
(2p; 2; – 1)(p –4; p + 1; 2) = 2p(p –4) + 2(p + 1) – 2 = 2p 2 –6p
2p 2 –6p = 0 p 2 –3p = 0 p(p –3) p 0; 3

Urete, pro jakou hodnotu parametru p jsou vektory LN:
1) a ( 2;3; 1),
b ( 1;2;0),
c (1;4; p)
2 1
1 1 0 p
3 2 4 3 2 4 3a1
1
0 p
2 1
1 2a1
1
0 p 1
0 p
0 2 4 3p
0 2 4 3p
0 1
1
2 p
2 a 1 0 0 2(1 2 p)
(4 3p)
1
0 p
6 + 7p = 0 p = –6/7
0 2 4 3p
0 0 6 7 p Vektory jsou LN, je-li p rzné od –6/7.
2) a ( 1; 2;
p),
b (0;1;1), c (2; p;
1)
3) a ( 1; p;
2),
b (3; 1;2),
c ( 5;
p 2; 6)

2)
a
( 1; 2;
p),
b (0;1;1), c (2; p;
1)
1
2
p
0
1
1
2
p
1
2a
pa
1
1
1
0
0
2
1
1
0
p 4
1
2 p
a
2
1
0
0
2
1
0
0
p 4
5 3p
–5 – 3p = 0 p = –5/3
Vektory jsou LN, je-li p rzné od – 5/3.

Vektory jsou LZ pro jakékoli p.
6)
2;
5;
(
1;2),
(3;
2),
;
1;
(
p
c
b
p
a
0
0
0
6
2
3
1
0
5
3
1
6
2
3
1
0
6
2
3
1
0
5
3
1
2
p
p
a
p
p
p
p
3)
)
3
(1
2
1
0
6
2
3
1
0
5
3
1
)
3
: (1
2
1
0
6
2
3
1
0
5
3
1
p
p
p
p
p
p
2
:
16
8
0
5
2
3
1
0
5
3
1
2
6
2
2
2
1
5
3
1
1
1 p
p
p
a
pa
p
p

Jsou dány vektory a = (1; 2; -1), b = (-4; 0; 2).
Urete vektor x, pro který platí:
1)
2)
x
a
2x
a 3b
4x
5a
2b
4x
a 3b
2x
6a
b : ( 2)
b
( 4;0;2)
x 3a
3(1;2;1)
2
2
( 3;6;3) ( 2;0;1
) (1;6;4 )
x 2a
b 4x
a 5b
4x
2a
b
3x
3a
6b
: ( 3)
x a
2b (1;2;1)
2( 4;0;2)
b
( 1;
2;
1)
( 8;0;4)
( 9;
2;3)

1
2
6
12
10
3
2
3
2
2
3
4
2
3
4
5
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
6
12
24
81
2
3
2
3
5
7
2
6
8
x
x
x
x
x
x
x
6
55
84
62
6
5
4
2
10
20
30
11
21
31
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
4
3
4
2
3
3
2
2
5 3
2
4
5 2
3
5
4
6
15
2
6
5
x
x
x
x
x
x
3
7 10
3 4
7 3
3
3
1
6
1
3
2
14
3
x
x
x
x
x
x
6
2
4 5
3 4
3
5
4
3 2
15
4
5
7
2
5
2
3
2
2
3
4
5
7
8
5
6
3
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1)
2)
3)
7)
6)
4)
5)

1)
5
3x
x
7
4x
3 2 5
2
x x
3 8
4 2
2
3
x x 4x
9
x
2)
2
7 2 4
5
x 2x
5
5 3 3 2
x
6
2
x 10x
4x
3)
x
7 3 4
4
3 11 x
4)
2
4 9
x
3
x
x
x
4
5
x
5)
x
3 2
x
x
x
3 5
2
1
x
3
6)
x
x
x
x
15
16
16
x

)
(
3)
3
(
2
2
x
x
e
e
x
x
x
x
2
2)ln
(5
ln
)
2
(
4
4
5
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3)
(
12
2
4
3)
(
2
2)
4
(
3)
(
4)
(2
3
2
4
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
sin
cos
sin
x
x
x
x
x
x
3
2
2ln
1
ln
x
x
x
x

3
3
3
2
3)
3
ln( 2
2
x
x
x
x
x
)
1
5
cos(
5)
(2
1)
5
sin(
2
2
x
x
x
x
x
x
x
tan
)
ln(cos
x
x
x
)
sin(ln
)
cos(ln

P.: Urete první derivace funkcí:
y
x
f
xy
x
y
x
f
y
x
3
3
,
3
3
2
2
)
3
ln(
)
;
(
2
xy
x
y
x
f
2
2
)
(2
11
)
(2
1)
(
)
3
(5
)
(2
3
y
x
x
y
x
y
x
y
x
f y
y
x
y
x
y
x
f
2 3
5
)
;
(
2
2
)
(2
11
)
(2
2
)
3
(5
)
(2
5
y
x
y
y
x
y
x
y
x
f x
a)
b)

P.: Urete rovnici teny funkce f: y = e 3x –6 [2; .
f(x)= e3x –6
f (2) = 1
f´(x) = 3e 3x –6 f´(2) = 3
y = 3 x
y –1 = 3 (x –2)
t: y = 3x –5
P.: Urete rovnici teny funkce f: y = ln (x 2 – 3) v bod [–2; .
f(x) = ln (x 2 – 3) f(–2) = 0
f´(x) = 2x/(x 2 –3) f´(–2) = –4 y = –4 x
y – 0 = –4 (x + 2)
t: y = –4x –8

P.: Nabídková funkce jisté komodity má tvar Q(p) p)
= 20p 3 4–40p,
p 1
kde Q je množství v kg a p je cena za 1 kg v K. Nyní je cena
6 K/kg. Odhadnte pomocí diferenciálu, o kolik se pibližn
zmní nabídka, pokud cena komodity vzroste na 6,1 K/kg. Jaká
pak bude pibližn tato nabídka
Q( p)
20
4 p 1
Q(6)
100
1
1
2
Q( p)
20
(4
p 1)
2
4
40
4 p 1
Q(6)
8
Q 8p
Q
80,1
0,8
Nabídka vzroste o pibližn o 0,8 kg, bude se tedy rovnat 100,8 kg.

P.: Urete, kde funkce f: y = x 4 2
xx
f ( x)
e + nabývá lokálních extrém.
f
(
x)
e
xx
2
(1
2x)
e x x
2
(1
2x)
0
x
0,5
x
(– ; 0,5)
0,5
(0,5; )
f ´(x)
+
0
–
f(x)
maximum
f(0,5) = e 0,25
Funkce f je na intervalu (-; 0,5) rostoucí, v bod 0,5 nabývá svého
maxima o hodnot e 0,25 , na intervalu (0,5; ) je klesající.

P.: Urete, kde funkce f: y = 3x 4 –16x 3 + 24x 2 – 5 nabývá lokálních
extrém.
f ´(x) = 12x 3 –48x 2 + 48x
12x 3 –48x 2 + 48x = 0
/ :12
x 3 –4x 2 + 4x = 0
x(x 2 –4x + 4) = 0
x(x –2) 2 = 0
x 1 = 0
x 2 = 2
x
(-; 0)
0
(0; 2)
2
(2; )
f ´(x)
–
0
+
0
+
f(x)
minimum
y = –5
stac. bod
y = 11

x
2
6
P.: Urete, kde je funkce f: y = 3 4
f ( x)
2x
5x
3x+ konvexní, kde
konkávní a kde má inflexní body.
6 4 5 3 4
f ( x)
2x
5x
3x
12x
20x
3 60x
60x
60x
4
2
60x
x
4
x
2
2
x
2 ( x
2 1)
( x 1)(
x 1)
0
0
0
0
/ : 60
x 1
0
x 2
1
x3 1
x
f ´´(x)
f(x)
;1
-1 1;0 0 0;1 1 1;
+
0
–
0
IB
zde
IB
není
y 6
IB
y 0
-
0
+

P.: Urete, kde je funkce f: y = x 3 12
x
f ( x)
e + 2 konvexní, kde konkávní
a kde má inflexní body.
2
2
2
2
f ( x)
12
x 12
x
12
x
12
x
e e (
4x)
e (
4x)
e (
4x)
2
12
x
12
x
e (
4x)
(
4x)
e
2
2
(
4)
16x
2
e
12
x
2
4e
12
x
2
4e
12
x
2
(4x
2
1)
4e
12
x
2
(4x
2
1)
0
x
0,5
x
;0,5
0,5 0,5;0,5 0,5 0,5;
f ´´(x)
+
0 –
0
+
f(x)
inflexní
bod
y e
inflexní
bod
y e

P.: Poptávková funkce jisté komodity je v obchod A dána vztahem
Q A = 2(p –1) –0,5 , ve obchod B vztahem Q B = 3(p –1) –1,5 , kde Q je
poptávané množství v kg a p je cena v K/g.
(a) Urete, pi jaké cen (stejné v obou obchodech) je poptávané
množství v obou obchodech stejné.
(b) Kde je pi této cen poptávka elastitjší
(a)
QA Q B
0,5
2( p 1)
3( p 1)
p 1 1,5
p 2,5K
/ g
1,5
(
p 1)
1,5
,
: 2
(b)
1,5
Q p
1
Q 4,5p
1
Q
A
A
(2,5) 0,5443
Q
B
B
2,5
(2,5) 1,633
elastická poptávka ... malá zmna p zpsobí výraznou zmnu Q,
tj. kivka je strmá
elastitjší je poptávka v B

Q
Q B
Q A
p

VŠEM
VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU
José Martího 2, 162 00, Praha 6
Tel.: +420 841 133 166
info@vsem.cz
www.vsem.cz