okna, sita in viri

UNIVERZA
V
MARIBORU
Žarko ČUČEJ
SIGNALI
Okna, sita in viri
signal_C

CIP - Kataloški zapis o publikaciji
Univerzitetna knjižnica Maribor
681.51/.52(075.8)
ČUČEJ, Žarko
Signali: okna, sita in viri
[risbe Žarko Čučej]. - Maribor: Fakulteta za elektrotehniko,
računalništvo in informatiko, 2002
ISBN . . .
COBBIS-ID . . .
naslov
SIGNALI:
Okna, sita in viri
avtor
Žarko ČUČEJ
soavtorja nekaterih poglavij Peter Cafuta, Peter Planinšič
revizija v1.05 20040504
recenzija
Rajko Svečko
jezik
Milena Milanovič
uredil in oblikoval
Žarko ČUČEJ
risbe
Žarko ČUČEJ
uporabljani programi MikTeX 2.4, WinEdt 5.4, CorelDraw 7
založba knjižna: UM – FERI 50 izvodov
elektronska: SPaRC, na domači strani:
http://sparc.feri.uni-mb.si/Digknj/index.htm#U%E8beniki
datoteka: signal_D.pdf
vse pravice pridržane

Kazalo
Kazalo
i
I Okna, sita in viri 1
15 Laplaceova in z transformacija 3
15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije . . . . . . 4
Izpeljava Laplaceove transformacije . . . . . . . . . . . . . 5
Simbolični zapis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Bazične funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Opis Laplaceova transformiranke s poli in ničlami . . . . . . 6
Konvergenca Laplaceovega integrala . . . . . . . . . . . . . 7
Laplaceova transformacija vzorca signala . . . . . . . . . . 12
Povezava Laplaceove in z-transformacije . . . . . . . . . . . 13
Konvergenčno območje z-transformacije . . . . . . . . . . . 14
Lastnosti konvergenčnega območja . . . . . . . . . . . . . . 17
15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije . . . . . . . . . . . 19
Linearnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Pomik po časovni osi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Množenje z eksponentno funkcijo . . . . . . . . . . . . . . 21
Zasuk signalne osi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Teorem o začetni in končni vrednosti . . . . . . . . . . . . . 23
Laplaceova transformacija odvoda signala . . . . . . . . . . 23
Laplaceova transformacija integrala signala . . . . . . . . . 24
Odvod transformiranke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Konvolucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
15.3 Povezanost transformacij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
15.4 Tabele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
15.5 Inverzna Laplaceova in z -transformacija . . . . . . . . . . . 30
Ničelna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Definicija inverzne Laplaceove in z-transformacije . . . . . . 33
i

ii
KAZALO
Računanje inverzne Laplaceove in z-transformacije . . . . . 34
Računanje s pomočjo tabel in konvolucije. . . . . . . 34
Parcialni ulomki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Heavisideov razcep . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Heavisideov razcep pri kompleksnih ničlah . . . . . 36
15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij . . . . . . . . . . . 36
15.7 Bilinearna transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
16 Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami 47
Peter Cafuta in Žarko Čučej
16.1 Analogni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Struktuiranje analognih sistemov . . . . . . . . . . . . . . . 50
Zgradba blokov analognih sistemov . . . . . . . . . . . . . 51
Analogne realizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
16.2 Digitalni sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Diferenčne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Začetni pogoji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Model MA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Model AR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Prenosna funkcija in impulzni odziv . . . . . . . . . . . . . 58
Sistem s končnim impulznim odzivom . . . . . . . . 59
Sistem s neskončnim impulznim odzivom . . . . . . 60
Računanje izhoda s konvolucijo . . . . . . . . . . . 60
16.3 Grafična predstavitev diferenčnih enačb . . . . . . . . . . . 61
Direktna izvedba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Zaporedna izvedba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Paralelna izvedba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Transponirane oblike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Digitalne realizacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
17 Analogna sita 67
Peter Planinšič, Žarko Čučej
17.1 Idealna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
17.2 Idealno nizko sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
17.3 Realna nizka sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Amplitudna karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Frekvenčno skaliranje amplitudnega odziva . . . . . . . . . 70
Fazna karakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Stopnični odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Impluzni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

iii
17.4 Ostala sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Visoko pasovna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Pasovna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Širokopasovna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Ozkopasovna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Zaporna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
17.5 Načrtovanje sit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
17.6 Aproksimacija prenosne funkcije idealnega nizko pasovnega
sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Postopek aproksimacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
17.7 Unificirano načrtovanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Kaskadna zgradba sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Normiranje na mejno frekvenco gradnika sita . . . . 78
Normiranje na mejno frekvenco kaskade . . . . . . 79
Računanje koeficientov a k in b k . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Računanje a k in b k iz kompleksnih frekvenc . . . . . 82
Določitev lege normiranih polov . . . . . . . . . . . 82
17.8 Optimirana realna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
17.9 Butterworthovo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Amplitudni in fazni odziv
Butterworthovega nizkopasovnega sita . . . . . . . . 89
Impulzni odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Stopnični odziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
17.10Čebiševo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Prenosna funkcija normirana na ω r . . . . . . . . . . . . . . 92
Prenosna funkcija normirana na ω m . . . . . . . . . . . . . 95
17.11Aktivna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Načrtovanje aktivnih nizkopasovnih sit . . . . . . . . . . . . 96
Vrste aktivnih analognih sit . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Aktivna sita z neskončnim ojačenjem in enojno
povratno zanko: sita IGSFB . . . . . . . . 97
Aktivna sita z neskončnim ojačenjem in večkratno
povratno zanko: sita IGMSFB . . . 98
Aktivna sita z napetostno krmiljenim napetostnim
izvorom: sita VCVS . . . . . . . . 99
18 Digitalna sita 103
18.1 Uvod v digitalna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
18.2 Vrste digitalnih sit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
18.3 Kdaj uporabiti sito s FIR in kdaj z IIR . . . . . . . . . . . . 106
18.4 Idealna digitalna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
datoteka: signal_C

iv
KAZALO
Normiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Normirane idealne frekvenčne karakteristike . . . . . . . . . 107
Impulzni odzivi idealnih digitalnih sit . . . . . . . . . . . . 108
Ostala idealna digitalna sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
18.5 Koraki načrtovanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Specifikacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Računanje koeficientov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
Sita s FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Sita z IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Struktura: prikaz realizacije digitalnega sita . . . . . . . . . 114
Sita s FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Sita z IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Mrežne strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Analiza vpliva zaokroževanja števil . . . . . . . . . . . . . . 116
Gradnja sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
19 Sita s FIR 119
19.1 Značilnosti sit s končnim impulznim odzivom . . . . . . . . 119
Lastnosti sit s FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Pomen linearne fazne karakteristike . . . . . . . . . . . . . 120
Pogoj za linearno fazno karakteristiko . . . . . . . . . . . . 122
Pozitivna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Negativna simetrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Vrste sit s FIR in linearno fazno karakteristiko . . . . . . . . 127
19.2 Postopki načrtovanja sit s FIR . . . . . . . . . . . . . . . . 127
19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo . . . . . . . . . . . 127
Izbira okna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Uporaba nepravokotnih oken . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
Uporaba nenastavljivih oken . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
Načrtovanje s Kaiserovim oknom . . . . . . . . . . . . . . . 138
19.4 Optimalna aproksimacija sit . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike . . . . . 145
Načrtovanje nerekurzivnih sit s FIR z vzorčenjem frekvenčne
karakteristike . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Optimiranje amplitudnega odziva . . . . . . . . . . . . . . . 147
Načrtovanje rekurzivnih sit s FIR . . . . . . . . . . . . . . . 148
Rekurzivna sit s FIR in preprostimi koeficienti . . . . . . . . 153
19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR . . . 157
Računanje frekvenčnega odziva digitalnih sit . . . . . . . . 157
Okenska metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Optimalna metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

v
Funkcija remez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Funkcija remezord . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Metoda vzorčenja frekvenčne karakteristike . . . . . . . . . 174
20 Načrtovanje sit z IIR 181
20.1 Osnovne lastnosti sit z IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
20.2 Postopki načrtovanja sit z IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
20.3 Postopek z razporejanjem polov in ničel . . . . . . . . . . . 184
20.4 Metoda enakih impulznih odzivov . . . . . . . . . . . . . . 188
Postopek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Lastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
20.5 Bilinearna transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Butterworthovo sito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
Čebiševa sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
Eliptična sita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
20.6 Načrtovanje sit z IIR z Matlabom . . . . . . . . . . . . . . . 198
20.7 Primerjava sit tipa IIR in FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
20.8 Povzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
datoteka: signal_C

Del I
Okna, sita in viri
Okna
Laplaceova in z transformacija
Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Načrtovanje analognih sit
Načrtovanje digitalnih sit
Načrtovanje sit s FIR
Načrtovanje sit z IIR
Banke (gruče) sit
Viri
1

15
Laplaceova in
z - transformacija
LAPLACEOVO IN z-TRANSFORMACIJO bomo obravnavali kot posplošitev
Fourierove transformacije signalov in zaporedij tako, da bomo
z njima lahko analizirali širši razred signalov in zaporedij oziroma si
olajšali načrtovanje analognih in digitalnih sistemov.
S Fourierovo transformacijo dobimo vpogled v sestavo funkcije ali zaporedja
iz harmoničnih signalov ali zaporedij, pri katerem pa smo omejeni na
razred signalov, ki izpolnjujejo Dirichletove pogoje. Obstaja pa razred pomembnih
signalov in zaporedij tako imenovanega eksponentnega naraščanja,
na primer enotska stopnica:
{
1 t > 0
u(t) =
0 t < 0
ki je v obravnavi signalov, posebej sistemov, zelo pogosti signal, ki ne izpolnjuje
Dirichletovega pogoja:
‖x(t)‖ 1 =
∫ ∞
−∞
|x(t)|dt < ∞
(absolutna integrabilnost)
zato zanj ne moremo določiti spektra 1 . Zato se oziramo za analizo, ki je
uporabna pri širši družini signalov in zaporedij kot Fourierova transformacija.
Taka transformacija je Laplaceova transformacija.
1 Za enotsko stopnico smo sicer v razdelku na strani izračunali spekter s Fourierovo
transformacijo, ki smo jo izračunali v limitnem postopku. Ta postopek ni splošna metoda
in ne zmore zajeti na primer začetnih stanj sistemov.
3

4 15. Laplaceova in z transformacija
15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije
Laplaceova transformacija, podobno kot Fourierova transformacija, spada v
družino integralskih transformacij. Dopolnjuje jo z-transformacija, ki preoblikuje
Laplaceovo transformacijo časovno diskretnih signalov, to je zaporedij,
v uporabnejšo obliko. Njuni splošni definiciji sta:
DEFINICIJA 15.1.1 (Laplaceova transformacija)
Laplaceova transformacija je preslikava L , ki transformira
časovno zvezne regularne ali singularne signale
x(t), definirane na časovni osi T ∈ R, v kompleksno
funkcijo X(s) = L {x(t)}:
∫ ∞
X(s) = x(t) e −st dt , s ∈ E . (15.1)
−∞
Množico E sestavljajo vsa kompleksna števila s, pri katerih
integral v (15.1) konvergira. Imenujemo jo konvergenčno
ali eksistenčno območje X(s).
DEFINICIJA 15.1.2 (z-transformacija)
z-transformacija je preslikava Z , ki transformira časovno
diskretne regularne ali singularne signale ali zaporedja
x[n], definirane na časovni osi T ∈ Z, v kompleksno
funkcijo X(z) = Z {x[n])}:
X(z) =
∞
∑
n=−∞
x[n]z −n , z ∈ E . (15.2)
Množico E sestavljajo vsa kompleksna števila z, pri katerih
vsota v (15.2) konvergira. Imenujemo jo konvergenčno
ali eksistenčno območje X(z).
☞
Ker zapisani definiciji transformacijo definirana nad negativno in pozitivno
polovico časovne osi – zato velja za kavzalne in nekavzalne signale – jo imenujemo
tudi dvostranska ali tudi obojestranska Laplaceova oziroma z-transformacija.
Ko imamo opravka le s kavzalnimi signali ali zaporedji, uporabimo desno
stransko Laplaceovo oziroma z-transformacijo. Njuni definiciji sta:
DEFINICIJA 15.1.3 (Laplaceova transformacija)
Desno stranska Laplaceova transformacija je preslikava
L , ki transformira kavzalne časovno zvezne regularne
ali singularne signale x(t), t ∈ R + , v kompleksno
funkcijo X + (s) = L {x(t)}:
∫ ∞
X + (s) = x(t) e −st dt , s ∈ E . (15.3)
0
Množico E sestavljajo vsa kompleksna števila s, pri katerih
integral v (15.1) konvergira. Imenujemo jo konvergenčno
ali eksistenčno območje X + (s).
DEFINICIJA 15.1.4 (z-transformacija)
Desno stranska z-transformacija je preslikava Z ki
transformira kavzalne časovno diskretne regularne ali
singularne signale (zaporedja) x[n], n ∈ Z + , v kompleksno
funkcijo X + (z) = Z {x[n])}:
X + (z) =
∞
∑
n=0
x[n]z −n , z ∈ E . (15.4)
Množico E sestavljajo vsa kompleksna števila z, pri katerih
vsota v (15.2) konvergira. Imenujemo jo konvergenčno
ali eksistenčno območje X + (z).
☞
Desnostranski transformiranki bomo označevali z indeksom + le v primerih,
kadar bosta obe transformaciji hkrati nastopali. Ker nas zanimajo predvsem
kavzalni signali in sistemi, bomo večinoma uporabljali le desnostranski transformaciji.
Zaradi krajšega pisanja, bomo v teh primerih izpuščali indeks + .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 5
Iz definicij dvostranskih transformacij sledi, da lahko definiramo tudi levostranski
transformaciji. Definicija je podobna desnostranski z razliko, da
sta meji integriranja oziroma seštevanja med −∞ in 0.
Pierre S. Laplace (1749 – 1827) francoski matematik. Ukvarjal se
je tudi z astronomijo in mehaniko. Dokazal stabilnost sončnega sistema.
V analizo je vpeljal potencialne funkcije in Laplaceove koeficiente
(danes znane kot Lagrangeove funkcije). Uveljavil je teorijo
matematične verjetnosti.
Ime z-transformacija izhaja iz črke z, s katero matematiki običajno označujejo neodvisno
spremenljivko v transformaciji. Njena izbira nima nobene asociacije s čemerkoli.
z-transformacija temelji na teoriji potenčnih vrst. Opiše jo potenčna vrsta s spremenljivko
z −1 in koeficienti, ki jih določajo vrednosti zaporedja.
Izpeljava Laplaceove transformacije
Iz definicije Laplaceove transformacije sledi, da je Fourierova transformacija
poseben primer Laplaceove transformacije, ko je σ = 0. To potrdimo z izpeljavo
Laplaceove transformacije iz Fourierove transformacije. Na primer,
imejmo signal:
g(t) = x(t) e −σt , (15.5a)
katerega Fourierova transformacija je:
G(ω) =
∫ ∞
−∞
g(t) e − jωt dt =
Vpeljimo novo oznako s = σ + jω:
G(ω) =
∫ ∞
−∞
∫ ∞
x(t) e −(σ+ jω)t dt =
−∞
∫ ∞
in vidimo, da se (15.5c) in (15.1) ujemata.
Simbolični zapis
x(t) e −σ e − jωt dt . (15.5b)
−∞
Simbolični zapis Laplaceove in z-transformacije sta:
x(t) e −st dt = X(s)
(15.5c)
X(s) = L { x(t) } , X(z) = Z { x(t) } , (15.6)
oziroma rečemo, da x(t) in X(s) ter x[n] in X(z) tvorita transformacijski par:
x(t)
L
←−−−→ X(s) , x[n]
Z
←−−−→ X(z) . (15.7)
datoteka: signal_C

6 15. Laplaceova in z transformacija
Bazične funkcije
Spremenljivko s = σ + jω nekateri imenujejo posplošena frekvenčna spremenljivka
[]. Določa bazične funkcije transformacije:
φ(t) = e −st = e −(σ+ jω)t , (15.8)
ki poleg sinusnih in kosinusnih nihanj (pri σ = 0) obsegajo še naraščajoča
in padajoča sinusna ter kosinusna nihanja ter naraščajoče in padajoče eksponentne
signale (slika 15.1).
(a) primeri funkcij eksponentnega naraščanja
(b) primeri naraščajočih in padajočih sinusnih
ter kosinusnih nihanj
Slika 15.1
Primeri kavzalnih bazičnih funkcij φ(t), ki poleg harmoničnih nihanj nastopajo v Laplaceovi transformaciji.
Opis Laplaceova transformiranke s poli in ničlami
Argandova ravnina
V splošnem Laplaceovo transformiranko določa racionalna funkcija, ki je
kvocient dveh polinomov:
X(s) = Q(s)
P(s)
. (15.9)
Koreni polinoma Q(s) določajo ničle X(s) (pri njih je X(s) enaka nič), koreni
polinoma P(s) pa pole X(s) (pri njih X(s) ni omejena). Pole in ničle
predstavimo s krožci in križci na tako imenovani Argandovi ravnini, to je
kompleksni s-ravnini. Poli in ničle so lahko realni, imaginarni ali kompleksni.
Pri realnih signalih se kompleksni poli vedno pojavijo v konjugirano
kompleksnih parih.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

☞
15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 7
ZGLED 15.1.1 (prikaz X(s) s poli in ničlami)
Za funkcijo
X(s) =
s2 − 2s
s 2 + 2s + 10
poiščimo pole in ničle ter z njimi predstavimo X(s).
(15.10)
REŠITEV:
Najprej X(s) faktoriziramo:
X(s) =
s(s − 2)
(s + 1 − j3)(s + 1 + j3)
.
nato pa določimo ničle in pole X(s): Korena števca s = 0 in s = 2 določata ničli X(s),
Slika 15.2
Ničle in poli X(s) določene z (15.10).
korena imenovalca s = −1 + j3 in s = −1 − j3 pa določata pola X(s) (slika 15.2). ♦
Konvergenca Laplaceovega integrala
V splošnem so funkcije x(t), za katere obstaja Laplaceova transformacija,
funkcije eksponentnega naraščanja. Zanje velja:
| e −σt x(t)| < M ali |x(t)| < M e σt , (15.11)
kjer so M in σ poljubni realni števili. Območje vrednosti kompleksne spremenljivke
s, za katero Laplaceova transformacija konvergira: |X(s)| < ∞,
imenujemo konvergenčno območje. Na slikah in v enačbah ga bomo označevali
z E , kar nas bo spominjalo na eksistenca, ker v tem področju Laplaceova
transformacija eksistira 2 .
Pogoj (15.11) pomeni, da je Laplaceov integral izračunljiv:
‖ e −σt x(t)‖ 1 =
∫ ∞
−∞
| e −σt x(t)| < ∞ , (15.12)
2 V nekaterih učbenikih v angleščini konvergenčno območje označujejo s kratico ROC
(Region of Convergence).
datoteka: signal_C

8 15. Laplaceova in z transformacija
oziroma da smo Dirichletov pogoj absolutne integrabilnosti signala razširili
na absolutno integrabilnost dušenega signala.
ZGLED 15.1.2 (konvergenčno območje kavzalnega signala)
Za signal x(t) = e at u(t), a je realen, poiščimo območje konvergence.
REŠITEV: Signal je zaradi u(t) kavzalen: x(t)| t −a, a < 0 (slika 15.4a) (15.14a)
0
R{s} > a, a > 0 (slika 15.4b) . (15.14b)
(a) amplitudna karakteristika slike |X(s)|, a = −3 (b) amplitudna karakteristika slike |X(s)|, a = 3
Slika 15.3
Amplitudna karakteristika |X(s)| = ∣ ∣ 1
∣
∣
s+a . Pol z okolico je omejen na maksimalno vrednost 10.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 9
(a) a < 0 (b) a > 0
Slika 15.4
Konvergenčno območje Laplaceove transformacije kavzalnega signala x(t) = e −at u(t) je v osenčenem delu
s-ravnine. Označeno je z E .
V konvergenčnem območju velja:
lim x(t)
t→−∞ e−st = lim
t→−∞ e−(a+s)t = 0 ,
torej, ko t narašča preko vseh meja, vrednost integranda v (15.13a) eksponencialno
upada proti nič. Ker je to upadanje hitrejše kot naraščanje časa, ima integral v (15.13a)
končno vrednost.
♦
ZGLED 15.1.3 (konvergenčno območje nekavzalnega signala)
Za signal x(t) = −e at u(−t), a je realen, poiščimo območje konvergence.
REŠITEV: Ta signal je nekavzalen, torej brez začetka in s koncem pri t = 0, torej
x(t) = 0 pri t > 0. Laplaceovo transformiranko izračunamo z definicijo dvostranske
Laplaceove transformacije (15.1), v kateri ustrezno upoštevamo meje signala:
∫ ∞
∫ 0
X(s) = − e at u(−t) e −st dt = − e −(s−a)t dt
−∞
−∞
= − 1
s − a e−(s−a)t ∣ ∣∣∣
∞
0
(15.15a)
= 1
s − a . (15.15b)
Vidimo, da se rezultata (15.13b) in (15.15b) ujemata, čeprav se signala razlikujeta. Iz
tega zaključimo, da je Laplaceova transformacija povsem določena šele takrat, ko ji
določimo konvergenčno območje.
datoteka: signal_C

10 15. Laplaceova in z transformacija
(a) a < 0 (b) a > 0
Slika 15.5
Konvergenčno območje Laplaceove transformacije nekavzalnega signala x(t) = − e −at u(−t). Nahaja se v
osenčenem delu s ravnine. Označeno je z E .
Pri obravnavanem signalu za konvergenčno območje velja:
E : R{s} < −a, a < 0 (slika 15.5a) (15.16a)
R{s} < a, a > 0 (slika 15.5b) . (15.16b)
♦
ZGLED 15.1.4 (Laplaceova transformacija neprehodnega signala )
Neprehodni signal sestavljata signala iz zgleda 15.1.2 in 15.1.3:
x(t) = e a1t u(t) − e a2t u(−t)
} {{ } } {{ }
kavzalni nekavzalni
del
del
, a 1 ,a 2 sta realna . (15.17)
REŠITEV: Laplaceova transformacija je linearna transformacija (razdelek 15.2 na strani
19), zato lahko dvostransko Laplaceovo transformacijo sestavimo iz enostranske Laplaceove
transformacije nekavzalnega dela X − (s) in enostranske Laplaceove transformacije
kavzalnega dela X + (s):
X(s) = X − (s) + X + (s) . (15.18)
Za kavzalni in nekavzalni del neprehodnega signala je Laplaceova transformacija enaka:
∫ ∞
(en. 15.13b ) X + (s) = e a1t u(t) e −st dt = 1
0
s − a 1
∫ 0
(en. 15.15b ) X − (s) = − e a2t u(−t) e −st dt = 1 ,
−∞
s − a 2
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 11
obstaja pa v konvergenčnem območju E , ki ga pri kavzalnem delu določa (15.14),
pri nekavzalnem delu pa (15.16). Če se področji E − in E + izključujeta, ne moremo
najti R{s}, ki hkrati izpolnjuje pogoj kavzalnega in nekavzalnega dela signala. V tem
primeru je presek E − ∩ E + prazna množica in takšen neprehodni signal seveda nima
Laplaceove transformacije (slika 15.6).
Laplaceova transformacija neprehodnega signala (15.6) obstaja le na preseku E − ∩
E + ≠ ∅. Da presek ni prazna množica (slika 15.7), mora veljati:
E = E − ∩ E + ≠ ∅ ⇒ a 1 < R{s} < a 2 . (15.19)
Poleg leg konvergenčnih območij predstavljenih na slikah 15.6 in 15.7, sta še dve legi,
(a) a 2 < a 1 < 0 (b) 0 < a 2 < a 1
Slika 15.6
Za neprehodni signal x(t) = e a 1t u(t) − e a 2t u(−t), a 2 < a 1 Laplaceova transformacija ne obstaja. Konvergenčno
območje je prazna množica: E − ∩ E + = ∅.
(a) a 1 < a 2 < 0 (b) 0 < a 1 < a 2
Slika 15.7
Za neprehodni signal x(t) = e a 1t u(t) − e a 2t u(−t), a 2 > a 1 Laplaceova transformacija obstaja na območju
E − ∩ E + . Tam velja a 1 < R{s} < a 2
datoteka: signal_C

12 15. Laplaceova in z transformacija
(a) a 2 < 0 < a 1 (b) a 1 < 0 < a 2
Slika 15.8
Za neprehodni signal x(t) = e a 1t u(t) − e a 2t u(−t), a 2 > 0 > a 1 Laplaceova transformacija obstaja tudi na
območju E − ∩ E + = [a 1 < R{s} < a 2 ].
ko sta konstanti a 1 in a 2 različnih predznakov (slika 15.8). Izmed njih je za splošno
Laplaceovo transformacijo uporabna le tista, pri kateri velja a 1 < R{s} < a 2 , torej
ko je a 1 < 0 < a 2 (slika 15.8b). Vidimo, da v tem primeru konvergenčno območje
E = E − ∩ E + zajema tudi imaginarno os ravnine s.
♦
Laplaceova transformacija vzorca signala
Laplaceovo transformacijo časovno diskretnega signala oziroma zaporedja
lahko izpeljemo s Fourierovo transformacijo zaporedja. Poglejmo:
1. Imejmo zaporedje g[n] = x[n] e −σnT s
u[n], katerega Fourierova transformacija
je:
G(ω) = F {g[n]} =
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
g[n] e − jωnT s
=
∞
∑
n=−∞
x[n] e −σnT s
} {{ }
=g[n]
e − jωnT s
x[n] e −(σ+ jω)nT s
(15.20)
2. Enako kot pri signalih vpeljimo novo oznako s = σ + jω in (15.20)
zapišemo v obliki:
L { x[n] } =
∞
∑
n=−∞
x[n] e −nT s ·s = X(s) . (15.21)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 13
Slika 15.9
Periodičnost Laplaceove
transformiranke vzorca signala.
Vidimo, da se Laplaceova transformacija vzorca signala, podobno kot Fourierova
transformacija, periodično ponavlja vzdolž frekvenčne osi (slika 15.9).
Zato je X(s + jk 2π
T s
) enaka X(s):
X(s + jk 2π ∞
T ) = 2π
∑ x[n] e
−nT (s+ jk T )
n=0
=
∞
∑
n=0
x[n] e −nT ·s e
2π
nT (− jk T )
} {{ }
=1
=
∞
∑
n=0
x[n] e −nT ·s . (15.22)
Zaradi periodičnosti X(s) Laplaceova transformacija vzorca signala izgubi
mnogo lepih lastnosti. Na primer, pri inverzni Laplaceovi transformaciji
imamo neskončno število polov in ničel v s-ravnini. Izmed njih so ”pravi´´ le
tisti, ki ležijo znotraj pasu [− jω m , jω m ]. Samo iz teh lahko povrnemo signal,
ki smo ga vzorčili.
Povezava Laplaceove in z-transformacije
Če v (15.21) vpeljemo novo spremenljivko:
z = e T s ·s
, (15.23)
iz (15.21) dobimo z-transformacijo (15.2) ali (15.4), ko imamo opravka s
kavzalnimi zaporedji. Ta preslika pasove med − jnω m in jnω m , n = 2k +
1, k ∈ Z, vzdolž realne osi v s-ravnini v z-ravnino, tako, da se tam prekrijejo
vsi poli in ničle (slika 15.10 na naslednji strani).
datoteka: signal_C

14 15. Laplaceova in z transformacija
Slika 15.10
Preslikava s-ravnine v z-ravnino
pri kavzalnem zaporedju.
z-transformacija več lična
transformacija vrste
”many-to-one“.
Konvergenčno območje z-transformacije
Med tem ko konvergenčno območje Laplaceove transformacije omejuje navpična
premica, ga pri z-transformaciji omejuje krožnica. Zato pogoj (15.11),
ki velja za Laplaceovo transformacijo, prilagodimo v:
|x(t)z −n | < M . (15.24)
V območju, kjer velja pogoj (15.24), ni polov. Pri kavzalnih signalih je to
izven krožnice, ki gre skozi izhodišču najbližji pol, pri nekavzalnih pa je
ravno obratno.
ZGLED 15.1.5 (z-transformacija kavzalnega signala)
Izračunajmo z-transformacijo zaporedja x[n] = a n u[n], a je realen.
REŠITEV: z-transformacijo zaporedja x[n] izračunamo z:
definicija 15.1.4: X(z) =
=
∞
∑
n=0
∞
∑
n=0
x[n]z −n
a n u[n]z −n =
∞
∑
n=0
(z/a) −n . (15.25)
Pogoj (15.24) je izpolnjen v območju |a/z| < 1, torej v območju, ko je |z| > a. V tem
primeru vsoto v (15.25) lahko izračunamo z obrazcem (). Dobimo:
X(z) =
=
∞
∑
n=0
(z/a) −n =
∞
∑
n=0
1
1 − az −1 = z
z − a
(
az
−1 ) n
(15.26)
, |z| > a . (15.27)
Vidimo, da je X(z) racionalna funkcija z, zato jo lahko, podobno kot pri Laplaceovi
transformaciji, opišemo z lego njenih ničel in polov. Iz (15.27) sledi, da ima X(z) ničlo
pri z = 0 in pol pri z = a. V odvisnosti od velikosti a glede na enotsko krožnico |Z| = 1,
so možne štiri lege pola (slika 15.11).
Konvergenčno območje omejuje krožnica, ki gre skozi pol X(z). Pri 0 < a < 1
(slika 15.11a) in −1 < a < 0 (slika 15.11c) je mejna krožnica znotraj enotskega kroga,
pri a > 1 (slika 15.11c) in a < −1, pa zunaj njega (slika 15.11d).
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

☞
15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 15
(a) 0 < a < 1 (b) a > 1
(c) −1 < a < 0 (d) a < −1
Slika 15.11
Konvergenčno območje z-transformacije kavzalnega zaporedja x[n] = e an u[n] je v
osenčenem delu z-ravnine. Označeno je z E .
ZGLED 15.1.6 (z-transformacija nekavzalnega signala)
Opazujmo obnašanje z-transformacije zaporedja x[n] = −a n u[−n − 1], a je realen.
REŠITEV: z-transformacijo nekavzalnega zaporedja x[n] izračunamo z:
definicija 15.1.2: X(z) =
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
∞
= −
∑
n=1
x[n]z −n
−a n u[−n − 1]z −n = −
(z/a) n = 1 −
∞
∑
n=0
1
∑
−∞
a n z −n
(z/a) n (15.28)
Pogoj (15.24) je izpolnjen v območju |z/a| < 1, torej v območju, ko je |z| < a. V tem
primeru vsoto v (15.25) lahko izračunamo z () . Dobimo:
X(z) = 1 −
1 z/a
=
1 − (z/a) −1 z/a − 1 = z
z − a
, |z| < a . (15.29)
Vidimo, da ima to zaporedje enako z-transformacijo kot v primeru 15.1.5. Zato je tudi
z-transformacija povsem določena šele takrat, ko določimo še konvergenčno območje.
Pri nekavzalnih signalih se nahaja znotraj krožnice, ki gre skozi izhodišču z-ravnine
najbližji pol (slika 15.12).
♦
potenčna vrsta
datoteka: signal_C

16 15. Laplaceova in z transformacija
(a) 0 < a < 1 (b) a > 1
(c) −1 < a < 0 (d) a < −1
Slika 15.12
Konvergenčno območje z-transformacije nekavzalnega zaporedja
x[n] = − e an u[−1 − n] je v osenčenem delu z-ravnine. Označeno je z E .
ZGLED 15.1.7 (z-transformacija neprehodnega zaporedja )
Naj neprehodno zaporedje sestavljata kavzalno zaporedje iz zgleda 15.1.5 na strani 14
in zgleda 15.1.6 na predhodni strani:
x[n] = a n 1
} {{ u[n] −a n 2u[−n − 1]
} } {{ }
kavzalni nekavzalni
del
del
, a 1 ,a 2 sta realna . (15.30)
Določimo pogoje, pri katerih to zaporedje obstaja z-transformacija.
REŠITEV: Iz zgledov 15.1.5 in 15.1.6 vemo, da kavzalni del zaporedja konvergira
v območju |z| > |a 1 |, ki je izven krožnice s središčem v izhodišču in z radijem a 1
(slika 15.11 na predhodni strani), nekavzalni del zaporedja pa v območju |z| < |a 2 |
(slika 15.12). Vso zaporedje seveda konvergira takrat in samo takrat, ko sta konvergenčna
pogoja za oba dela zaporedja hkrati izpolnjena:
|a 1 | < |z| < |a 2 | , (15.31)
torej v kolobarju v z-ravnini. Kolobar se nahaja znotraj enotske krožnice, ko velja
|a 1 |,|a 2 | < 1, izven enotskega krožnice, ko velja 1 < |a 1 |,|a 2 |, oziroma zajema enotsko
krožnico, ko velja |a 1 | < 1 < |a 2 | (slika 15.13).Radije mejnih krožnic določajo poli.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.1 Definicija splošne Laplaceove in z-transformacije 17
(a) −a 1 < −1 < −a 2 (b) a 2 < 1 < a 1
Slika 15.13
Konvergenčno območje za neomejena zaporedja pri |a 1 | < 1 < |a 2 |.
Ker so določeni z absolutno vrednostjo konstant a 1 in a 2 , enak radij krožnice dobimo
pri a 1 in −a 1 ter pri a 2 in −a 2 (slika 15.13).
♦
Lastnosti konvergenčnega območja
Iz zgledov 15.1.2 – 15.1.7 povzemimo spoznanja o konvergenčnih območjih:
Laplaceova transformacija
z-transformacija
1. V konvergenčnem območju H(s) nima polov. V konvergenčnem območju H(z) nima polov.
2. Ko je x(t) prehodni signal:
⎧
0 −∞ t < t ⎪⎨
1
x(t) = x(t) t 1 t t 2
⎪⎩
0 t 2 t < ∞
(15.32)
Ko je x[n] končno zaporedje:
⎧
0 −∞ n < n ⎪⎨
1
x[n] = x[n] n 1 n n 2
⎪⎩
0 n 2 n < ∞
(15.33)
potem konvergenčno območje obsega vso s-
ravnino z mogočo izjemo točk s = 0 in s → ∞.
3. Ko je x(t) kavzalni signal:
x(t) =
{
0 , t < t1
x(t) , t t 1
, (15.34a)
potem se konvergenčno območje X(s) nahaja
v delu s-ravnine z lastnostjo:
R{s} > σ max , (15.34b)
potem je konvergenčno območje vsa z-ravnina
z mogočo izjemo točk z = 0 in z = ∞.
Ko je x[n] kavzalno zaporedje:
x[n] =
{
0 , n < n1
x[n] , n n 1
, (15.35a)
potem se konvergenčno območje X(z) nahaja
zunaj krožnice z lastnostjo:
|z| > r max ali ∞ > |z| > r max , (15.35b)
datoteka: signal_C

18 15. Laplaceova in z transformacija
Laplaceova transformacija
kjer je σ max maksimalni realni del polov X(s).
Torej se nahaja na desni strani vertikalne premice
R{s} = σ max .
4. Ko je x(t) nekavzalni signal:
x(t) =
{
x(t) , t < t1
0 , t t 1
, (15.36a)
potem se konvergenčno območje X(s) nahaja
v delu s-ravnine z lastnostjo:
R{s} < σ max , (15.36b)
kjer je σ max maksimalna realni del polov X(s).
Torej se nahaja na levi strani vertikalne premice
R{s} = σ max .
5. Ko je x(t) neprehodni, dvostranski signal, potem
se konvergenčno območje nahaja v delu
s-ravnine z lastnostjo:
σ min < R{s} < σ max , (15.38)
6. kjer sta σ min in σ max minimalna oziroma maksimalna
vrednost realnega dela polov X(s).
vertikalnima premicama .
Trak, ki ga omejujeta vertikalni premici
R{s} = σ min in R{s} = σ max določa presek
konvergenčnega območja E + kavzalnega dela
signala in konvergenčnega območja E − nekavzalnega
dela signala:
E = E − ∩ E + ≠ ∅ . (15.40)
7. Fourierova transformacija x(t) obstaja le, če
konvergenčno območje Laplaceove transformacije
x(t) zajema imaginarno os s-ravnine.
nadaljevanje opisa lastnosti
z-transformacija
kjer je radij krožnice r max enak razdalji med
izhodiščem z-ravnine in najbolj oddaljenega
pola X(z).
Ko je x[n] nekavzalno zaporedje:
x[n] =
{
x[n] , n < n1
0 , n n 1
, (15.37a)
potem se konvergenčno območje X(z) nahaja
v delu z-ravnine z lastnostjo:
|z| < r min ali 0 < |z| < r min , (15.37b)
kjer je radij krožnice r min enak razdalji med
izhodiščem z-ravnine in najmanj oddaljenega
pola X(z).
Ko je x(t) neprehodno, dvostranski zaporedje,
potem se konvergenčno območje nahaja v kolobarju
v z-ravnini z lastnostjo:
r min < |z| < r max , (15.39)
kjer sta r min in r max razdalji med izhodiščem
z-ravnine in najbližjim oziroma najbolj oddaljenim
polom X(z).
Kolobar, ki ga omejujeta krožnici s polmeri
r min in r max , določa presek konvergenčnega
območja E + kavzalnega dela zaporedja in konvergenčnega
območja E − nekavzalnega dela
zaporedja:
E = E − ∩ E + ≠ ∅ . (15.41)
Fourierova transformacija x[n] obstaja le, če
konvergenčno območje z-transformacije x[n]
zajema enotski krog v z-ravnini.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije 19
Laplaceova transformacija
8. Konvergenčno območje mora omejevati sklenjena
krivulja.
V s-ravnini si to predstavljamo tako, da se
mejna premica konvergenčnega območja v neskončnosti
zaključi v vase tako, da vmes obide
vso konvergenčno območje.
nadaljevanje opisa lastnosti
z-transformacija
Konvergenčno območje mora omejevati sklenjena
krivulja.
Pomen lastnosti 7 in 8 bomo spoznali kasneje, ko bomo iskali inverzno Laplaceovo
in z-transformacijo, oziroma iskali frekvenčne karakteristike sistemov,
katerih prenosne funkcije bomo določili z Laplaceovo oziroma z-
transformacijo.
15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije
Pokazali smo, da sta si Laplaceova in z-transformacija zelo sorodni transformaciji.
Zato imata mnogo skupnih lastnosti, ki jih zato povzemamo v
paralelnem zapisu. Razlike med njima so opisane ločeno.
Linearnost
Laplaceova transformacija
Za poljubni konstanti a 1 in a 2 velja:
L
a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) ←−−−→ a 1 X 1 (s) + a 2 X 2 (s) .
(15.42)
Ko se ničle in poli obeh signalov ne prekrivajo, je konvergenčno
območje določeno s presekom posameznih
konvergenčnih območij posameznega signala, če pa
se, potem lahko ničle enega signala črtajo pole drugega.
Posledica je lahko povečanje konvergenčnega
področja. Zato velja:
[E 1 ∩ E 2 ] ⊆ E , (15.43)
z-transformacija
Za poljubni konstanti a 1 in a 2 velja:
Z
a 1 x 1 [n] + a 2 x 2 [n] ←−−−→ a 1 X 1 (z) + a 2 X 2 (z) .
(15.44)
Ko se ničle in poli obeh zaporedij ne prekrivajo, je konvergenčno
območje določeno s presekom posameznih
konvergenčnih območij. Če je linearna kombinacija zaporedij
taka, da ničle enega zaporedja črtajo pole drugega,
potem se konvergenčno območje lahko poveča.
Zato zanj velja:
[E 1 ∩ E 2 ] ⊆ E , (15.45)
ZGLED 15.2.1 (Konvergenčno območje linearne kombinacije dveh zaporedij)
Določimo konvergenčno območje linearne kombinacije zaporedij
x[n] = a n u[n] − a n u[n − n 0 ] .
REŠITEV:
Tako a n u[n] kot a n u[n−n 0 ] sta kavzalni zaporedji. Njuna z-transformacija
datoteka: signal_C

20 15. Laplaceova in z transformacija
ima pole in ničle pri z = a, zato sta njuni konvergenčni območji določeni z |z| > a.
Vendar so ti poli izničeni z ničlami pri z = a, zato skupno konvergenčno območje obsega
vso z-ravnino razen koordinatnega izhodišča.
♦
Pomik po časovni osi
Laplaceova transformacija
1. Če za regularni ali singularni signal obstaja dvostranska
Laplaceova transformacija z E = E x , potem
pri pomiku signala po časovni osi za poljubni t 0 , t ∈ R
velja:
z-transformacija
1. Če za regularno ali singularno zaporedje obstaja
dvostranska z-transformacija z E = E x , potem pri pomiku
zaporedja po časovni osi za poljubni n 0 , n 0 ∈ Z
velja:
x(t −t 0 )
L
←−−−→ e −st 0
X(s)
(15.46a)
x[n − n 0 ]
Z
←−−−→ z −n 0
X(z)
(15.47a)
s konvergenčnim območjem s ∈ E x .
s konvergenčnim območjem E = E x ∩ [0 < |z| < ∞].
Če sta t 0 oziroma n 0 pozitivna, se signal oziroma zaporedje premakne v desno,
če sta negativna, pa v levo po časovni osi. Pri pomiku imamo pri z-
transformaciji dve posebnosti:
1. Pri n 0 = 1:
x[n − 1]
x[n + 1]
Z
←−−−→ z −1 X(z) , E = E x ∩ [ 0 < |z| ] (15.48a)
Z
←−−−→ z X(z) , E = E x ∩ [ |z| < ∞] (15.48b)
Zaradi (15.48a) spremenljivko z −1 imenujemo operator zakasnitve, zaradi
(15.48b) pa spremenljivko z imenujemo operator prehitevanja.
Pri Laplaceovi transformaciji ima s −1 par v integraciji v časovnem prostoru;
s pa par v odvajanju v časovnem prostoru.
2. Desnostranska z-transformacija za poljubni n 0 , n 0 ∈ Z + po časovni osi
pomaknjenega regularnega ali singularnega zaporedja je enaka:
x[n − n 0 ]
x[n + n 0 ]
Z
←−−−→ z −n 0
X + (z) +
Z
←−−−→ z n 0
X + (z) −
n 0
∑
i=1
n 0
∑
i=1
z −n 0+i x[−i]
z n 0−i x[n 0 − i]
(15.49a)
(15.49b)
Pri desnostranski in dvostranski Laplaceovi transformaciji se lastnosti pomika
ne razlikujeta.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije 21
Množenje z eksponentno funkcijo
Laplaceova transformacija
L
Če velja x(t) ←−−−→ X(s), E = E x , potem za x(t) e s 0t
velja:
x(t) e s 0t
L
←−−−→ X(s − s 0 ) . (15.50a)
Konvergenčno območje E x se premakne za R{s 0 }:
Če velja x[n]
velja:
x[n]z n 0
z-transformacija
Z
←−−−→ X(z), E = E x , potem za x[n]z n 0
Z
←−−−→ X(z/z 0 ) . (15.51a)
Konvergenčno območje E x se spremeni za |z 0 | krat:
(s − s 0 ) ∈ E x → s ∈ E = E x + R{s 0 } (15.50b)
(z/z 0 ) ∈ E x → z ∈ E = |z 0 |E x
(15.51b)
Pomik konvergenčnega območja E x v desno v s-ravnini
povzroči dušenje signala v časovnem prostoru, pomik
v levo pa eksponentno naraščanje signala.
posebni primer: Če je s 0 imaginarno število, torej
s 0 = jω 0 , dobimo amplitudno moduliran signal. Njegova
Laplaceova transformacija je:
x(t) e jω 0t
L
←−−−→ X(σ + j[ω − ω 0 ])
(15.52a)
Konvergenčno območje E x se v tem primeru ne premakne,
saj je R{s 0 } = 0:
(s − jω 0 ) ∈ E x → s ∈ E = E x (15.52b)
(z/a) imenujemo tudi radialni pomik. Pol z = z 1 pri
X(z) se radialno premakne v z = z 0 z 1 pri X(z/z 0 ). Pri
0 < z 0 < 1 se razdalje od izhodišča z-ravnine do polov
krčijo, pri z 0 > 1 pa daljšajo (slika 15.14).
posebni primer: Če je z 0 kompleksno število z absolutno
vrednostjo enako ena:
|z 0 | = | e jω 0
| = 1 , z 0 ∈ C 1 (15.53a)
potem množenje x[n] z z 0 povzroči zasuk X(z) v z-
ravnini za kot ω 0 . To lahko predstavimo kot frekvenčni
premik, ki ga dobimo pri amplitudni modulaciji. Če za
zaporedje obstaja Fourierova transformacija, potem to
lastnost opišemo z:
z = e jω 0n x[n]
Z
←−−−→ X(e j(ω−ω 0) )
(15.53b)
Zasuk signalne osi
Če velja x(t)
velja:
x(−t)
Laplaceova transformacija
L
←−−−→ X(s) , E = E x , potem za x(−t)
L
←−−−→ X(−s) , E = −E x (15.54)
Obrat signalne osi povzroči, da pri enostranskih signalih
kavzalni signali postanejo nekavzalni in obratno, prehodni
signali pa zamenjajo svoj začetek in konec. V
obeh primerih se pri tem zasuče tudi konvergenčno območje
(slika 15.15).
Če velja x[n]
velja:
x[−n]
z-transformacija
L
←−−−→ X(z), E = E x , potem za x(−t)
Z
←−−−→ X(1/z) , E = 1 E x
(15.55)
Pri obratu signalne osi invertira konvergenčno območje.
Če pri X(z) velja R N < |z| < R Z , potem za X(z) velja
1/R Z < |z| < 1/R N (slika 15.15).
Lastnost zasuka signalne osi lahko dokažemo z uporabo definicije z-transformacije.
Njeno uporabnost pa si poglejmo na naslednjem preprostem primeru (zgled 15.2.2).
datoteka: signal_C

22 15. Laplaceova in z transformacija
(a) E x (b) E x
(c) E = E x + R{s 0 } (d) E = |z 0 |E x
Slika 15.14
Pomik konvergenčnega območja pri množenju signala in zaporedja z eksponentno
funkcijo.
ZGLED 15.2.2 (Izračun z-transformacije z uporabo zasuka signalne osi)
Določimo z-transformacijo zaporedju x[n] = na n u[−n] s konvergenčnim območjem E x
z uporabo lastnosti zasuka signalne osi zaporedju.
REŠITEV:
Najprej poiščimo transformacijski par zaporedju x[n] = na n u[n]. V tabeli
(a) E = E x (b) E = 1/E x
Slika 15.15
Konvergenčno območje z-transformacije pri zasuku časovne osi kavzalnemu
zaporedju.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije 23
najdemo:
na n u[n]
Z
←−−−→
iz lastnosti zasuka signalne osi zaporedju sledi:
na n u[−n]
z
z − a
Z
←−−−→ X(1/z) = 1/z
1/z − a
s konvergenčnim območjem |1/z| < |a| oziroma E = 1/E x (slika 15.15).
♦
Teorem o začetni in končni vrednosti
Laplaceova transformacija
Če je x(t) kavzalni signal za katerega obstaja X + (s),
potem je X + (s) na konvergenčnem območju analitična
funkcija, za katero velja teorem o (i) začetni in
(ii) končni vrednosti:
z-transformacija
Če je x[n] kavzalno zaporedje za katerega obstaja
X + (z), potem je X + (z) na konvergenčnem območju
analitična funkcija, za katero velja teorem o (i) začetni
in (ii) končni vrednosti:
(i)
x(0 + ) = lim
s→∞
sX + (s)
(15.56a)
(i)
x[0] = lim
z→∞
X + (z)
(15.57a)
(ii)
lim x(t) = lim sX + (s)
t→∞ s→0
(15.56b)
(ii)
lim x[n] = lim(1 − z −1 )X + (z)
n→∞ z→1
(15.57b)
Laplaceova transformacija odvoda signala
1. Če za signal x(t) obstaja dvostranska Laplaceova transformacija, potem
odvod signala in dvostranska Laplaceova transformacija tvorita
transformacijski par:
d n x(t)
dt n
L
←−−−→ s n X(s) , E ⊃ E x (15.58)
Z besedami, učinek odvajanje v časovnem prostoru je enak množenju
Laplaceove transformiranke s s. Novo konvergenčno območje ostane
isto, tudi v primeru, če se zaradi množenja s s črta pol X(s) pri s = 0.
2. Če za signal x(t) obstaja enostranska Laplaceova transformacija, potem
odvod signala in enostranska Laplaceova transformacija tvorita
transformacijski par:
dx(t)
dt
L
←−−−→ sX(s) − x(0 − ) (15.59)
kjer je x(0 − ) vrednost signala v t = 0, ki jo izračunamo z levo limito.
Konvergenčno območje pri enostranski Laplaceovi transformaciji je
datoteka: signal_C

24 15. Laplaceova in z transformacija
določeno z
E : R{s} > σ max (15.60)
Enostransko Laplaceovo transformacijo odvodov višjih redov dobimo
s ponavljanjem (15.59):
d 2 x(t)
dt 2
d n x(t)
dt n
L
←−−−→ s 2 X(s) − sx(0 − ) − x ′ (0 − ) (15.61)
L
←−−−→ s n X(s) − s n−1 x(0 − ) − s n−2 x ′′ (0 − ) − ···
··· − sx (n−2) (0 − ) − x (n−1) (0 − ) (15.62)
kjer so
∣
x (r) (0 − ) = dr x(t) ∣∣∣t=0
dt r .
−
Iz (15.58) - (15.62) sledi, da enostranska Laplaceova transformacija pri
odvajanju upošteva začetno stanje signala oziroma sistema.
Laplaceova transformacija integrala signala
1. Če za signal x(t) obstaja dvostranska Laplaceova transformacija, potem
ima integral signala naslednji transformacijski par:
∫ t
−∞
x(τ) dτ
L
←−−−→ X(s)
s
, E = E x ∩ [ R{s} > 0 ] . (15.63)
Z besedami, učinek integriranja v časovnem prostoru je enak deljenju
Laplaceove transformiranke s s. Novo konvergenčno območje upošteva,
da se zaradi tega lahko pojavi nov pol X(s) pri s = 0.
2. Če za signal x(t) obstaja enostranska Laplaceova transformacija, potem
ima integral signala naslednji transformacijski par:
∫ t
0
x(τ) dτ
L
←−−−→ X +(s)
s
, E = E x ∩ [ R{s} > 0 ] . (15.64)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

☞
15.2 Lastnosti Laplaceove in z-transformacije 25
Odvod transformiranke
(množenje signala ali zaporedja z neodvisno spremenljivko)
Laplaceova transformacija
L
Če velja x(t) ←−−−→ X(s) , E = E x , potem je par k
odvodu Laplaceove transformacije:
z-transformacija
L
Če velja x(t) ←−−−→ X(s) , E = E x , potem je par k
odvodu z-transformacije:
−tx(t)
L
←−−−→ dX(s)
ds
(15.65)
−nx[n]
Z
←−−−→ z dX(z)
dz
(15.66)
s konvergenčnim območjem E = E x .
s konvergenčnim območjem E = E x z izjemo, ko se pri
odvajanju doda ali črta z = 0 ali z = ∞.
Konvolucija
Laplaceova transformacija
z-transformacija
Pri
x 1 (t)
L
←−−−→ X 1 (s) , E = E 1
Pri
x 1 [n]
Z
←−−−→ X 1 (z) , E = E 1
x 2 (t)
L
←−−−→ X 2 (s) , E = E 2
x 2 [n]
Z
←−−−→ X 2 (z) , E = E 2
je Laplaceova transformacija konvolucije enaka
je Laplaceova transformacija konvolucije enaka
x 1 (t) ∗ x 2 (t)
L
←−−−→ X 1 (s)X 2 (s)
(15.67a)
x 1 [n] ∗ x 2 [n]
Z
←−−−→ X 1 (z)X 2 (z)
(15.68a)
Obstaja nad konvergenčnim območjem
Obstaja nad konvergenčnim območjem
E ⊇ E 1 ∩ E 2
(15.67b)
E ⊇ E 1 ∩ E 2
(15.68b)
Laplaceova in z-transformacija konvolucije da podoben rezultat lot Fourierova
transformacija. Ker zajemata širši razred signalov in zaporedij, in ker
upoštevata začetne pogoje pri kavzalnih sistemih, imata v teoriji sistemov
osrednji pomen v analizi in sintezi zveznih oziroma diskretnih sistemov.
Laplaceova in z-transformacija impulznega odziva v teoriji sistemov običajno
imenujemo sistemska funkcija. Mi bomo zanjo ohranili ime iz Fourierove
transformacije impulznega odziva – prenosna funkcija – in s tem poudarili,
da smo osredotočeni na zakonitosti prenosa signalov skozi sistem in ne
sistemsko teorijo.
Z znano prenosno funkcijo in Laplaceovo oziroma z-transformacijo vhoda,
lahko preprosto z množenjem izračunamo Laplaceovo ali z transformacijo izhoda.
Časovni odziv dobimo z ustrezno inverzno transformacijo (slika 15.16).
Ta pot je daljša le navidezno, saj je marsikdaj hitreje prehodna kot direktno
računanje konvolucije.
datoteka: signal_C

26 15. Laplaceova in z transformacija
(a) zvezni sistemi
(b) diskretni sistemi
Slika 15.16
Izračun odziva sistema s pomočjo Laplaceove ali Z-transformacije.
V teoriji sistemov ima sistemska funkcija še dodatni pomen. Z njo lahko
določimo lastnosti sistema, njegovo strukturo, oziroma je z njo dan model
sistema.
15.3 Povezanost transformacij
Oglejmo si še podobnosti med transformacijami. V razdelku 15.1 na strani 5
smo Laplaceovo transformacijo izpeljali iz Fourierove, zato zvezo
X( jω) = X(ω) = H(s) ∣ ∣
σ=0
(15.69)
le ponazorimo s primerom X(s) = 1/(s + 1), kjer je pol pri s = −1. Ker je
imaginarna os v konvergenčnem področju
E x : R{s} > 1
Fourierova transformacija eksistira (slika 15.17). Povezanost z-transformacije,
zvezne Fourierove in diskretne Fourierove transformacije pa uvidimo z naslednjo
izpeljavo. Zapišimo z v polarni obliki:
in jo zapišimo v splošni z-transformaciji:
X(z = |z| e jω ) =
z = |z| e jω (15.70)
=
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=−∞
x[n] [ |z| e jω] −n
Če izberemo |z| = 1, se zgornja enačba poenostavi v:
X(z = 1· e jω ) =
∞
∑
n=−∞
x[n]|z| −n e − jnω . (15.71)
x[n] e − jnω , (15.72)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.4 Tabele 27
Slika 15.17
Prikaz Fourierove
transformacije v
Laplaceovi. Funkcija
nad imaginarno osjo
določa amplitudni
spekter. Da je prikaz
preglednejši, je pol
odrezan pri |X(s)| = 2
kar je Fourierova transformacija zaporedja x[n] (slika 15.18)!
V splošnem primeru je z-transformacija vzdolž poljubnega kroga s polmerom
R enaka Fourierovi transformaciji zaporedja x[n], ki je pomnožena s
faktorjem R −n . To je ponovna podobnost med z-transformacijo, Laplaceovo
transformacijo in Fourierovo transformacijo. Seveda pa obstajajo funkcije,
za katere obstaja z-transformacija, Fourierova pa ne. Vzrok je prav R −n . Ta
mora biti takšen, da se enotska krožnica nahaja v konvergenčnem območju
z-transformacije.
Vrednosti DFT so otipki Fourierove transformacije zaporedij. Od tod
sledi, da je DFT enaka otipkom z-transformacije na enotski krožnici:
X(mΩ) = X(z) ∣ , (15.73)
z=e
j 2π N k
kjer je Ω je interval med otipki spektra (slika 15.18).
15.4 Tabele
Laplaceovo in z-transformacijo lahko razmeroma preprosto izračunamo z
njuno definicijo. Pri zahtevnejših funkcijah si lahko pomagamo z Matematičnim
priročnikom, pri pogostih signalih pa lahko pogledamo v tabele transformacijskih
parov.
datoteka: signal_C

28 15. Laplaceova in z transformacija
(a) tridimenzionalni prikaz (zaradi preglednejšega prikaza je pol odrezan pri
|X(s)| = 3)
(b) običajni dvodimenzionalni prikaz
Slika 15.18
Povezava med Fourierovo transformacijo, diskretno Fourierovo transformacijo (DFT) in z-transformacijo.
Pri računanju si pogostokrat pomagamo z lastnostmi obeh transformacij.
Z njihovo spretno uporabo se lahko poenostavimo računanje integralov ali
vsot. Poleg tega so danes na voljo še računalniška orodja, s katerimi si lahko
– seveda če jih obvladamo – računanje transformacije še nadalje olajšamo.
Z njimi si lahko tudi nazorno grafično predstavimo poteke transformirank.
Uporaba programskega paketa Matlab z orodnim kovčkom “digital signal
processing toolbox” je opisana v na koncu tega poglavja.
Diracov impulz: Iz definicije Diracovega impulza δ(t)
sledi, da je integral produkta Diracovega impulza in
funkcije enaka vrednosti funkcije v trenutku t = 0, zato
za njegovo Laplaceovo transformacijo velja:
∫ ∞
−∞
δ(t) e −st dt = e −s·0 = 1 .
Ker L {δ(t)} nima pola (slika 15.19a), je njeno konvergenčno
območje pri vseh s.
Kroneckerov impulz: Iz definicije Kroneckerjevega impulza
δ K [n] sledi, da je njegova z-transformacija:
∞
∑ δ K (t)z −n = 1·z 0 = 1 .
n=0
Ker Z {δ(t)} nima pola (slika 15.19a), je konvergenčno
območje pri vseh z.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.4 Tabele 29
(a)
δ(t)
L
←−−−→ 1 (b) δ K [n]
Z
←−−−→ 1
Slika 15.19
Laplaceova in z-transformacija enotskega impulza je ravnina X(s) = L {δ(t)} = 1 oziroma
X(z) = Z {δ K [n])} = 1. Spekter δ(t), ki ga izračunamo s Fourierovo transformacijo, predstavlja trak z višino 1 ob
imaginarni osi (na sliki 15.19a je označen s F {δ(t)}), oziroma plašč valja na enotski krožnici z višino 1 (na sliki
15.19b je označen s F {δ K [n]}).
Eksponentni pulz: Splošni zapis eksponentnega
pulza je x(t) = k e −at u(t). Njegovo Laplaceova transformacijo
izračunamo iz definicije
∫ ∞
X(s) = x(t) e −st dt
−∞
∫ ∞
= k e −at u(t) e −st dt
−∞
∫ ∞
= k e −(a+s)t dt =
k
0
s + a . (15.74)
Pol X(s) je pri s = −a. Njegova lega je odvisna
od predznaka a. Lahko je pri s = −a ali pri s = a
(slika 15.4).
Posebni primeri eksponentnega signala:
Eksponentno zaporedje: Splošni zapis eksponentnega
zaporedja je x[n] = ka n u[n]. Njegovo z-
transformacijo izračunamo iz definicije:
X(z) =
= k
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=0
x[n]z −n =
a n z −n = k
Pri |z/a|>1 lahko izračunamo:
X(z) =
∞
∑
n=−∞
∞
∑
n=0
ka n u[n]z −n
(z/a) −n (15.75)
k
1 + (z/a) −1 = k z
z + a . (15.76)
Posebni primeri eksponentnega zaporedja:
a = 1, k = 1 → x(t) = u(t)
L
u(t) ←−−−→ 1 s
a = 1, k ≠ 0 → x(t) = ku(t)
L
ku(t) ←−−−→ k s
a < 0, k ≠ 0 → x(t) = k e −at u(t)
x(t)
L
←−−−→
k
s − a
R{s} > 0
R{s} > 0
R{s} > a
x[n] = u[n]
Z
u[n] ←−−−→ 1
1 − z −1 = z
z − 1
x[n] = ku[n]
Z
ku[n] ←−−−→
k kz
=
1 − z−1 z − 1
x[n] = ka n u[n]
x[n]
Z
←−−−→
k kz
=
1 − z−1 z + a
|z| > 1
|z| > 1
|z| > a
datoteka: signal_C

30 15. Laplaceova in z transformacija
Klanec: Pri računanju Laplaceove transformacije enotske
strmine ali klanca x(t) = tu(t) uporabimo lastnost
odvoda transformiranke X(s). Iz (15.65) sledi:
Klanec: Pri računanju z-transformacije zaporedja
klanca x[n] = nu[n] uporabimo lastnost odvoda transformiranke
X(z). Iz (15.66) sledi:
ker je
je
u(t)
−tu(t)
L
←−−−→ 1 s
L
←−−−→ − d
ds
1
s = 1 s 2
ker je
je
u[n]
−nu[n]
Z
←−−−→ 1
1 − z −1
Z
←−−−→ − d
dz
z
z − 1 =
z
(z − 1) 2
Konvergenčno območje klanca je enako kot pri enotski
stopnici, E : R{s} > 0.
Konvergenčno območje zaporedja klanca je enako kot
pri enotski stopnici, E : |z| > 1.
Zgoraj izračunani rezultati Laplaceove in z-transformacije ter še njune transformacije
ostalih signalov oziroma zaporedij, ki jih v teoriji signalov in v
teoriji sistemov pogosto srečujemo, so zbrani v tabeli 15.1 na naslednji strani
oziroma v tabeli 15.2 na strani 32.
15.5 Inverzna Laplaceova in z -transformacija
Ena glavnih težav Laplaceove in z-transformacije je izračun njihove inverzne
transformacije. Čeprav imamo dvostranski in enostranski Laplaceovi in
z-transformaciji, za obstaja le ena – dvostranska inverzna transformacija. Ta
v primeru uporabe pri enostranskih transformacijah rekonstruira signal oziroma
zaporedja le za nenegativne vrednosti t oziroma n.
Spoznali smo, da sta rezultat Laplaceove in z-transformacije kompleksni
funkciji. Zato pri računanju inverzne transformacije uporabljamo matematična
orodja znana iz kompleksne analize. V njene podrobnosti ne zahajamo,
zadovoljimo se z definicijami in tistimi rezultati kompleksne analize, ki jih
potrebujemo pri računanju inverzne transformacije.
Ničelna funkcija
Obstajajo funkcije N (t), katerih Laplaceov transform je enak nič:
∫ t
N (u) du = 0 . (15.77)
0
Take funkcije imenujemo ničelne funkcije. V splošnem so ničelne enake nič
povsod razen v števnem zaporedju številu točk, ki jih lahko preslikamo v
naravna števila 1,2,3···. Zaradi obstoja N (t), inverzna Laplaceova transformacija
ni enolična transformacija. Na primer:
če je L [x(t)] = X(s) potem je tudi L [x(t)] + N (t) = X(s) .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.5 Inverzna Laplaceova in z -transformacija 31
Tabela 15.1
Pomembnejši Laplaceovi pari.
oblika x(t) X(s) E poli in ničle
δ(t) 1 pri vseh s
u(t)
−u(−t)
e −at u(t)
− e −at u(−t)
1
s
1
s
1
s + a
1
s + a
R(s) > 0
R(s) < 0
R(s) > −R(a)
R(s) < −R(a)
tu(t)
−tu(−t)
t k u(t)
t e −at u(t)
−t e −at u(−t)
1
s 2 R(s) > 0
1
s 2 R(s) < 0
k!
s k+1 R(s) > 0
1
(s + a) 2 R(s) > −R(a)
1
(s + a) 2 R(s) < −R(a)
cosω 0 t u(t)
s
s 2 + ω 2 0
R(s) > 0
sinω 0 t u(t)
ω 0
s 2 + ω 2 0
R(s) > 0
tabela se nadaljuje na naslednji strani
datoteka: signal_C

32 15. Laplaceova in z transformacija
Tabela 15.1
Pomembnejši Laplaceovi pari.
(nadaljevanje tabele s prejšnje strani)
oblika x(t) X(s) E poli in ničle
e −at cosω 0 t u(t)
s + a
(s + a) 2 + ω 2 0
R(s) > −R(a)
e −at sinω 0 t u(t)
ω 0
(s + a) 2 + ω 2 0
R(s) > −R(a)
Tabela 15.2
Pomembnejši z-transformacijski pari.
oblika x[n] X(z) E poli in ničle
δ K [n] 1 vsi z
δ[n − m] z −m vsi z razen
z = 0 (m > 0) ali
z = ∞ (m < 0)
u[n]
−u[−n − 1]
a n u[n]
−a n u[−n − 1]
z
z − 1
z
z − 1
z
z − a
z
z − a
|z| > 1
|z| < 1
|z| > |a|
|z| < |a|
na n u[n]
az
(z − a) 2 |z| > |a|
−na −n u[−n − 1]
az
(z − a) 2 |z| < |a|
[ ]
(n + 1)a n z 2
u[n] −
|z| > |a|
z − 1/a
tabela se nadaljuje na naslednji strani
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.5 Inverzna Laplaceova in z -transformacija 33
Tabela 15.2
Pomembnejši z-transformacijski pari.
(nadaljevanje tabele s prejšnje strani)
oblika x[n] X(z) E poli in ničle
u[n]cosΩ 0 n
u[n]sinΩ 0 n
u[n]r n cosΩ 0 n
u[n]r n sinΩ 0 n
z 2 − (cosΩ 0 )z
z 2 − (2cosΩ 0 )z + 1
(sinΩ 0 )z
z 2 − (2cosΩ 0 )z + 1
z 2 − (r cosΩ 0 )z
z 2 − (2r cosΩ 0 )z + r 2
(r sinΩ 0 )z
z 2 − (2r cosΩ 0 )z + r 2
|z| > 1
|z| > 1
|z| > r
|z| > r
{
a
n
0 n N − 1
0 sicer
1 − a N z −N
1 − az −1 |z| > 0
Zato lahko imata različna originala isto sliko. Na srečo se te funkcije ne
pojavljajo v fizikalnih sistemih. O tem govori Lerchov izrek:
IZREK 15.1 (Lerchov izrek)
Če se omejimo na funkcije x(t), ki so eksponentnega reda pri t > N in odsekoma
zvezne v vsakem končnem intervalu = 0 ≤ t ≤ N, potem je inverzna Laplaceova transformacija
X(s) enolična transformacija.
Definicija inverzne Laplaceove in z-transformacije
Za krajše pisanje bomo po potrebi za izraza inverzna Laplaceova transformacija
in inverzna z-transformacija uporabili kratici L −1 oziroma Z −1 .
Laplaceova transformacija
1. dvostranska L −1 : Iz dvostranske transformiranke
X(s) časovno zveznega signala x(t) s konvergenčnim
območjem E rekonstruiramo signal x(t) z:
x(t) = L −1 {X(s)}
= 1
j2π
∫ σ+ j∞
σ− j∞
X(s) e st ds (15.78)
Integral računamo vzdolž abscise σ, ki obide vso konvergenčno
območje E .
z-transformacija
1. dvostranska Z −1 : Iz dvostranske transformiranke
X(s) zaporedja x[n] s konvergenčnim območjem
E rekonstruiramo zaporedje x[n] z:
x[n] = Z −1 {X(z)}
= 1 ∮
X(z)z n−1 dz (15.79)
j2π
Integral računamo vzdolž krožnice, ki obkroža vso konvergenčno
območje E s središčem v izhodišču kompleksne
ravnine.
datoteka: signal_C

34 15. Laplaceova in z transformacija
2. enostranska L −1 : Dvostranska L −1 enostranske
transformiranke X + (s) povrne časovno zvezni
signal x(t) pomnožen z enotsko stopnico u(t):
2. enostranska Z −1 : Dvostranska Z −1 enostranske
transformiranke X + (z) povrne zaporedje x[n]
pomnoženo z enotsko stopnico u[n]:
x(t) = L −1 {X + (s)} =
{
x(t) t 0
0 t < 0
(15.80)
x[n] = Z −1 {X + (z)} =
{
x[n] n 0
0 n < 0
(15.81)
inversion by reduction:
inverzna transformacija z
redukcijo
Vidimo, da sta obrazca (15.78) - (15.79) kompleksna. Iz njiju vidimo, kako
Laplaceova transformacija izrazi zvezni signal x(t) s kontinuum eksponentnih
signalov oblike
e st , t ∈ R (15.82)
oziroma, kako z-transformacija izrazi zaporedje x[n] s kontinuum eksponentnih
signalov oblike
z n−1 , n ∈ Z . (15.83)
Računanje inverzne Laplaceove in z-transformacije
Direktno računanje inverzne Laplaceove in z-transformacije je zelo zahtevno,
zato se oziramo za postopki, ki so preprostejši. Z njimi preoblikujemo zapis
X(s) oziroma X(z) v sestavljeno obliko, kjer lahko za vsak člen poiščemo
v tabeli transformacijski par, nato pa z uporabo lastnosti Laplaceove in z-
transformacije poiščemo pripadajoči signal x(t) oziroma zaporedje x[n]. Skupno
ime tem tehnikam je obrat z redukcijo.
V nadaljevanju tega razdelka so povzete glavne tehnike računanja inverzne
Laplaceove transformacije. Z ustrezno zamenjavo neodvisnih spremenljivk
(s z z) navedene tehnike veljajo tudi za inverzno z transformacijo.
Računanje s pomočjo tabel in konvolucije.
V literaturi (na primer [, ]) so obsežne tabele Laplaceovih parov. V njih
skušamo najti zapis transformiranke, za katero iščemo original. Če najdemo
transformacijske pare le za faktorje produkta, do iskanega originala pridemo
s pomočjo konvolucijskega izreka.
Parcialni ulomki.
V primeru, ko lahko sliko signala zapišemo kot kvocient dveh polinomov
P(s)/Q(s), kjer je red polinoma P(S) manjši ali enak redu polinoma Q(S),
lahko ta kvocient razdelimo na parcialne ulomke. Pri tem imamo naslednje
možnosti:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.5 Inverzna Laplaceova in z -transformacija 35
X(s) je pravilna racionalna funkcija (m n)
1. enojne ničle in poli:
X(s) = P(s)
Q(s) = A 1
+ A 2
+ ··· +
A n
(15.84)
s − s 1 s − s 2 s − s n
kjer so s 1 ,s 2 ,··· koreni števca Q(s). Koeficiente lahko A k izračunamo
z:
ali metodo istoležnih koeficientov.
2. večkratne ničle in poli:
A k = (s − p k )X(s) ∣ ∣
s=pk
. (15.85)
P(s)
Q(s) = A 11
(s − s 1 ) + A 12
(s − s 1 ) 2 + ··· + A 1r
(s − s 1 ) r (15.86)
3. konjugirano kompleksni poli:
P(s)
(s − s 1 )(s − s ∗ 1 ) = P(s)
=
(s − σ 1 − jω 1 )(s − σ 1 + jω 1 )
K 1
+
s − σ 1 − jω 1
K1
∗ (15.87)
s − σ 1 + jω 1
X(s) je nepravilna racionalna funkcija (m > n) V tem primeru izvedemo
dolgo deljenje, s katerim X(s) razdelimo v dva dela:
P(s) R(s)
= Z(s) +
Q(s) Q(s)
(15.88)
Inverzno Laplaceovo transformacijo določimo z določitvijo inverzne
Laplaceove transformacije Z(s) in racionalnega polinoma R(s) R(s)
Q(s)
. Za
Q(s)
uporabimo eno od naštetih metod za racionalne funkcije, pri Z(s) pa
uporabimo Laplaceov par
d δ (t)
dt
L
←−−−→ s k , k,1,2,... (15.89)
Original sedaj tvorimo tako, da za vsak parcialni ulomek poiščemo Laplaceov
par v tabeli in delne rezultate preprosto seštejemo.
datoteka: signal_C

36 15. Laplaceova in z transformacija
Heavisideov razcep
Pri inverzni transformaciji si lahko pomagamo tudi s Heavisideovo formulo:
x(t) =
N
∑
k=1
P(s k )
Q ′ (s k ) es kt
(15.90)
kjer je Q ′ (s) = d ds Q(s).
Obrazec je primeren za racionalne funkcije, ki jih lahko zapišemo kot
kvocient dveh polinomov P(s)/Q(s), kjer je red polinoma P(S) manjši ali
kvečjemu enak redu polinoma Q(S).
Heavisideov razcep pri kompleksnih ničlah
Iz (15.90) sledi, da ima polinom Q(s) samo (realne) enostavne korene, vendar
Heavisideov razcep ostane v veljavi tudi pri kompleksnih in večkratnih
korenih. V takih primerih vsak par ulomkov, ki pripada konjugirano kompleksnim
korenom, strnemo v ulomek s kvadratnim imenovalcem ter zanje
inverzno transformacijo poiščemo v tabelah (tako kot smo storili pri razstavljanju
v parcialne ulomke). To storimo tudi, ko ima Q(s) večkratne korene.
15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij
Opisane metode računanja inverzne Laplaceove in z-transformacije podkrepimo
še z nekaj zgledi.
ZGLED 15.6.1 (Uporaba tabel in konvolucije)
S pomočjo tabel in konvolucije poiščimo original Laplaceove transformiranke:
X(s) = 1
s + 3
1
s 2 + 4 = X 1(s)X 2 (s) . (15.91)
REŠITEV: V tabeli Laplaceovih parov poiščemo para za X 1 (s) = 1/(s+a) in X 2 (s) =
1/(s 2 + b 2 ):
{ } 1
L −1 = e −at = x 1 (t)
s + a
{ } 1
L −1 s 2 + b 2 = 1 { } b
b L −1 s 2 + b 2 = 1 b sinbt = x 2(t) .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij 37
Z uporabo izreka o konvoluciji (15.67a) dobimo:
x(t) = L −1 {X 1 (s)·X 2 (s)}
=
=
∫ t
0
∫ t
0
x 1 (t − τ)x 2 (t) dτ
e −b(t−τ)
} {{ }
x 1 (t)
(sinbτ)/b
} {{ }
x 2 (t)
dτ = e−bt
b
∫ t
= 1 ( asinbt − bcosbt
b 2 + a 2 + exp−at
b
expbτ sinbτ dτ
0
} {{ }
)
integral 459, []
Na koncu še vstavimo prave vrednosti za a in b in smo dobili iskani signal.
♦
ZGLED 15.6.2 (uporaba parcialnih ulomkov)
Za Laplaceovo transformiranko:
X(s) = 3s + 7
s 2 − 2s − 3
(15.92)
z metodo parcialnih ulomkov poiščimo originalni signal. Pri tem Števce parcialnih ulomkov
določimo z metodo istoležnih koeficientov in z limitnim postopkom.
REŠITEV:
1. Metoda istoležnih koeficientov:
X(s) = 3s + 7
s 2 − 2s − 3 = 3s + 7
(s − 3)(s + 1) = A
s − 3 + B
s + 1 . (15.93)
Pomnožimo obe strani z (s − 3)(s + 1):
3s + 7 = A(s + 1) + B(s − 3) = (A + B)s + (A − 3B)
Izenačimo koeficiente pri istih potencah s ter izračunamo A in B:
3 = A + B in 7 = A − 3B → A = 4 ter B = −1
Inverzna transformacija te slike je:
{
L −1 3s + 7
(s − 3)(s + 1)
2. Metoda z limitiranjem:
}
= 4L −1 { 1
s − 3
= 4 e 3t − exp−t
} { } 1
+ L −1 s + 1
Pomnožimo obe strani (15.93) s prvim korenom, to je s s − 3 in poiščimo vrednost
produktov z limitnim postopkom pri s → 3:
datoteka: signal_C
3s + 7
lim
s→3 s + 1 = A + lim B(s − 3)
= 3·3 + 7
s→3 s + 1 3 + 1 = 4 = A

38 15. Laplaceova in z transformacija
Podobno poiščemo še vrednost za B:
3s + 7
lim
s→−1 s − 3 = lim A(s + 1)
s→−1 s − 3 + B = 3· − 1 + 7
−1 − 3
= −1 = B
Vidimo, da smo dobili enaki vrednosti za A in B kot prej.
♦
ZGLED 15.6.3 (uporaba parcialnih ulomkov pri večkratnih polih)
Poiščimo inverzno Laplaceovo transformacijo za:
X(s) = P(s)
Q(s) = 2s + 1
(s − 2)(s + 1) 2 . (15.94)
REŠITEV: Vidimo, da ima Q(s) dvojno ničlo. Zato pri razcepu na parcialne ulomke
uporabimo nastavek (15.86). Dobimo:
X(s) =
1. Metoda istoležnih koeficientov:
2s + 1
(s − 2)(s + 1) 2 = A
s − 2 + B
(s + 1) 2 + C
s + 1
(15.95)
Najprej v (15.95) odpravimo ulomke - obe strani enačbe pomnožimo s Q(s) = (s −
2)(s + 1) 2 :
2s − 1
(s − 2)(s + 1) 2 = A
s − 2 + B
(s + 1) 2 + C
∣ − 2)(s + 1)2
s + 1∣·(s 2s − 1 = A(s + 1) 2 + B(s − 2) +C(s − 2)(s + 1)
= As 2 + 2As + A + Bs − 2B +Cs 2 −Cs − 2C
nato izenačimo koeficiente členov z isto potenco:
= (A +C)s 2 + (2A + B −C)s + (A − 2B − 2C)
0 = A +C 2 = 2A + B −C − 1 = A − 2B − 2C
ter jih z razrešitvijo sistema treh enačb s tremi neznankami izračunamo. Dobimo
A = 5/9, B = 1/3 in C = −3/9.
Od tu do inverzne transformacije gre naravnost. V tabeli najdemo:
{ } 1
L −1 = e at → 1
s − a s − 2 ↔ exp2t, 1
s + 1 ↔ exp−t
{ } 1
L −1 (s + a) 2 = tn−1
(n − 1)! → 1
(s + 1) 2 ↔ t exp−t
in iskani original je:
x(t) = 1 9
(
5e 2 t +t exp−t − 5 e −t)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij 39
2. Metoda z limitiranjem:
Imenovalec Q(s) ima dvojni pol, zato lahko izračunamo le koeficient A in B, koeficient
C, pa po tej metodi ni izračunljiv. Poglejmo!
Pomnožimo obe strani (15.95) s prvim korenom, to je s s − 2 in izračunajmo limito
produkta, ko gre s → 2. Dobimo:
lim
s→2
izračunajmo še koeficient B:
2s + 1
(2s + 1) 2 = A + lim
s→2
B(s − 2)
(s + 1) 2 + lim
s→2
2·2 + 1
(2·2 + 1) 2 = 5 9 = A + 0 + 0 → A = 5 9
2s + 1
lim
s→−1 (s − 2) = lim A(s + 1) 2
s→−1 s − 2
2·(−1) + 1
−1 − 2
Pri koeficientu C pa ta metoda odpove:
lim
s→−1
= 1 3 = 0 + B +C =→ A = 1 3
2s + 1
(s − 2)(s + 1) = lim A(s + 1) 2
s→−1 s − 2
∞ = 0 + ∞ +C
C(s − 2)
s + 1
C(s + 1)
+ B + lim
s→−1 s + 1
+ lim
s→−1
B
s + 1 +C
Koeficient C lahko izračunamo le po metodi istoležnih koeficientov. V njej lahko
upoštevamo že izračunana koeficienta A in B. Dobimo:
2s + 1
(s − 2)(s + 1) 2 = 5
9(s − 2) + 1
3(s + 1) 2 + C
∣ − 2)(s + 1)2
(s + 1) ∣·9(s
18s + 9 − 5s 2 − 10s − 5 − 3s + 6 =
9(2s + 1) = 5(s + 1) 2 + 3(s − 2) +C(s − 2)(s + 1)
∼
−5s 2 + 5s + 10 = 9Cs 2 − 9Cs − 18
Po izenačitvi istoležnih koeficientov dobimo dve enačbi z eno neznanko:
−5 = 9C ter 5 = −9C
Vidimo, da sta enaki (to samo potrjuje, da se v računanju nismo zmotili) in da je
rezultat enak kot pri prvi metodi, torej C = −5/9.
♦
ZGLED 15.6.4 (Heavisideov razcep)
Izračunajmo inverzno transformacijo
datoteka: signal_C
X(s) =
1
(s + a)(s 2 + b 2 )

40 15. Laplaceova in z transformacija
s pomočjo Heavisideovega razcepa in po metodi parcialnih ulomkov.
REŠITEV:
1. Izračun s Heavisideovo formulo:
Pri tem X(s) je P(s) = 1, Q(s) = (s + a)(s 2 + b 2 ) in Q ′ (s) = 3s 2 + 2sa + b 2 . Poli
X(s), določajo jih ničle Q(s), so pri α 1 = −a,α 2 = jb in α 3 = − jb in so enostavni
(enojni). Iz Heavisideove formule sledi:
kjer so:
x(t) =
1
Q ′ (s = −a) e jat +
1
Q ′ (s = jb) e jbt +
1
jbt
Q ′ e−
(s = − jb)
1
Q ′ (s = −a) = 1
3(−a) 2 + 2a(− jb) + b 2 = 1
3a 2 − 2a 2 + b 2 = 1
a 2 + b 2
1
Q ′ (s = jb) = 1
3(− jb) 2 + 2a(− jb) + b 2 = 1
−3b 2 − j2ab + b 2 = 1 1
−2b b + ja
1
Q ′ (s = − jb) = 1
3( jb) 2 + 2a( jb) + b 2 = 1
−3b 2 + 2 jb − b 2 = 1 1
−2b b − ja .
Iskani parcialni ulomek Laplaceove transformiranke je:
X(s) =
2. Razcep v parcialne ulomke.
Naredimo po že uhojeni poti:
e−at
(s 2 + a 2 ) − e jbt
2b(b − ja) −
e−
jbt
2b(b + ja)
1
(s + a)(s 2 + b 2 ) = 1
(s + a)(s + jb)(s − jb)
= A
s + a +
B
s + jb +
C
s − jb .
Računanje koeficientov A,B in C po metodi istoležnih koeficientov je kar obsežno.
Izhajamo iz:
1 = A(s 2 + b 2 ) + B(s + a)(s + jb) +C(s + a)(s − jb)
= (A + B +C)s 2 + [(a + jb)B + (a − jb)C]s + b 2 b + jabB − jabC ,
od koder sledi sistem enačb:
0 = A + B +C → A = −(B +C) = −( a − jb
a + jb + 1)C
0 = (a + jb)B + (a − jb)C → B = − a − jb
a + jb C
1 = b 2 A + jabB − jabC → 1 = −b 2 (B +C) + jab(B −C)
in
A = 1
a 2 + b 2 B =
a − jb
j2b(a 2 + b 2 )
C =
a + jb
− j2b(a 2 + b 2 )
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij 41
Torej je slika opisana s parcialnimi ulomki:
X(s) = 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + a − jb
j2b
= 1
a 2 + b 2 [ 1
s + a + 1
j2b
1
s − jb − a + jb )
1
j2b s + jb
( a − jb
s − jb − a + jb )]
s + jb
= 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + 1 as − jbs + jab + b 2 − (as + jbs − jab + b 2 )
)
j2b
s 2 + b 2
= 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + 1
)
− j2bs + j2ab
j2b s 2 + b 2 = 1 ( 1
a 2 + b 2 s + a + s + a )
s 2 + b 2
Od tu do inverzne transformacije je preprosto. Z upoštevanjem linearnosti Laplaceove
transformacije in ob uporabi tabele dobimo:
x(t) = 1
a 2 + b 2 (
exp−at + a b sinbt + cosbt )
Rezultata sta ekvivalentna (to lahko dokažemo z uporabo Eulerjevih obrazcev e jα =
cosα + j sinα, e − jα = cosα − j sinα).
♦
ZGLED 15.6.5 (Izpeljava inverzne z-transformacije)
Izpeljimo obrazec za inverzno z-transformacijo (15.79).
REŠITEV: Določiti jo moramo na več načinov, vsem načinom pa je v ozadju znana
relacija iz kompleksne analize.
{
∮
1
0 k ≠ 0
z k−1 dz =
2π j C
1 k = 1
(15.96)
Za rešitev krivuljnega integrala moramo določiti krivuljo C, ki mora obiti vse pole.
Če pomnožimo levo in desno stran enačbe, ki definira z-transformacijo, z z k−1 ,
dobimo:
X(z)z k−1 =
∞
∑
n=0
x[n] z −n z k−1 =
∞
∑
n=0
x[n] z k−n−1
ter rezultat integriramo po zaključeni krivulji C, ki je v območju konvergence:
∮
C
X(z)z k−1 dz =
∞
∑
n=0
∮
x[n] z k−n−1 dz . (15.97)
C
Zaradi (15.96) je na desni strani (15.97) različen od nič samo člen z k = n, zato sledi:
datoteka: signal_C
∮
C
X(z)z k−1 dz = x(k)(2π j) ,

42 15. Laplaceova in z transformacija
kjer je 2π j zaradi
1 ∮
2π j
C z−1 dz = 1. Sledi, da je x[n] določen z:
x[n] = 1 ∮
X(z) z n−1 dz . (15.98)
2π j
Vidimo, da se (15.98) in definicija inverzne z-transformacije ujemata.
C
♦
Iz kompleksne analize je znano, da lahko integral v (15.98) rešimo s teoremom
o residuumih, to je ostankih []. Velja
∮
1
X(z) z n−1 dz =
2π j
∑ [ Res X(z)vseh polov znotraj C ] , (15.99)
C
kjer residuum izračunamo z:
[Res] k = (z − z k )X(z) z n−1∣ ∣
z=zk
. (15.100)
ZGLED 15.6.6 (Izračun Z −1 z residuumi)
Določimo zaporedje x[n], katerega z-transformacija je kompleksna funkcija:
X(z) =
z −1
(1 − z −1 )(1 − 0,5z −1 ) = z
(z − 1)(z − 0,5)
z inverzno z-transformacijo, ki jo izračunamo s pomočjo residuumov.
, E : |z| > 1 ,
REŠITEV: Ker je konvergenčno območje X(z) določeno z E : |z| > 1, mora biti zaporedje
x[n] kavzalno. Zato pri računanju inverzne z-transformacije izhajamo iz njegove
definicije
en. (15.81): x[n]u[n] = 1 ∮
X(z)z n−1 z
dz =
2π
(z − 1)(z − 0,5) zn−1 dz
kjer z upoštevanjem (15.99) in (15.100) dobimo:
z n (z − 1)
x[n]u[n] =
(z − 1)(z − 0,5) ∣ + zn (z − 0,5)
} {{ z=1
(z − 1)(z − 0,5) ∣
}
z=0,5
} {{ }
Res 1
Res 2
x[ n]
Slika 15.20
Ilustracija zgleda 15.6.6.
2
1
0
1 2 3
n
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.6 Zgledi računanja inverznih transformacij 43
x[n]u[n] =
1n
1 − 0,5 + 0,5n
0,5 − 1 = 2 − 0,5n−1 = 2(1 − 2 −n ) ♦
Pri računanju inverzne z transformacije pri uporabi postopka razvoja v
parcialne ulomke želimo, da so ti oblike:
zA k
z − p k
, (15.101)
p k in A k sta lahko realni ali kompleksni števili, ker so v tabelah z-transformacijskih
parov (na primer v tabeli 15.2 na strani 32) zapisani ulomki take
oblike. Ker razvoj racionalne funkcije z enojnimi poli v parcialne ulomke
oblike (15.101) ne da take oblike, si pomagamo z naslednjim postopkom:
1. tvorimo polinom F(z) = z −1 X(z), katerega lahko razstavimo na parcialne
ulomke
2. parcialne ulomke F(z) pomnožimo z z , da postanejo oblike (15.101)
ter enaki X(z)
3. z uporabo tabel poiščemo inverzne z-transformacijske pare ulomkov
ter sestavimo iskano zaporedje x[n].
ZGLED 15.6.7 (izračun Z −1 s parcialnimi ulomki)
Ponovimo izračuna inverzne z-transformacije funkcije X(z) iz zgledu 15.6.6 s postopkom
z razvojem X(z) v parcialne ulomke in uporabe tabel z-transformacijskih parov.
REŠITEV:
Najprej X(z) zapišemo v korenski obliki:
X(z) =
z
(z − 1)(z − 0,5)
, |z| > 1 .
nato upoštevamo zapisani postopek računanja inverzne z-transformacije z delnimi ulomki:
F(z) = z −1 z
(z − 1)(z − 0,5) = 1
(z − 1)(z − 0,5) = A
z − 1 + B
z − 0,5 ,
kjer sta koeficienta A in B določena z:
Sedaj je
1
A = lim(z − 1)F(z) = lim
z→1 z→1 z − 0,5 = 2
B = lim (z − 0,5)F(z) = lim
z→0,5 z→0,5
1
z − 1 = −2 .
F(z) = 2
z − 1 − 2
z − 0,5
⇒ X(z) = x F(x) = 2 z
z − 1 − 2 z
z − 0,5 .
datoteka: signal_C

44 15. Laplaceova in z transformacija
V tabeli poiščemo transformacijske pare:
a n u[n]
Z
←−−−→
z
z − a
, |z| > |a|
in iskana funkcija x[n] je:
x[n] = 2·1 n u[n] − 2·0,5 n u[n] = 2(1 − 0,5 n )u[n]
torej smo dobili enak rezultat kot v prejšnjem zgledu (zgled 15.6.6 na strani 42).
♦
15.7 Bilinearna transformacija
V izpeljavi z-transformacije smo vpeljali novo spremenljivko z, ki smo jo
definirali z:
en. (15.23): e sT s
= z . (15.102)
Iz (15.102) lahko izračunamo s. Dobimo:
s = 1 T s
lnz . (15.103)
Izraz na desni strani (15.103) lahko razvijemo v vrsto. Dobimo:
s = 1 [ ]
z − 1 (z − 1)3 (z − 1)2n+1
+ + ··· + . (15.104)
T s z + 1 3(z + 1) (2n + 1)(z + 1)
Aproksimacija (15.103) s prvim členom vrste v (15.104) določa tako imenovano
bilinearno transformacijo:
bilinearna transformacija λ ↔ z λ = z − 1
z + 1 = 1 − z−1
1 + z −1 . (15.105)
V (15.105) je λ aproksimacija s in je bilinearna funkcija z – s spremenljivko
z je povezana z dvema linearnima izrazoma, z enim v imenovalcu in z drugim
v števcu (15.105). Od tod tudi izhaja tudi ime transformacije.
Bilinearna transformacija je posebej uporabna v dveh primerih:
1. Pri preizkusu stabilnosti digitalnih sistemov (s tem se obširnejše ukvarja
teorija sistemov in vodenja, zato je tu nadalje ne obravnavamo).
2. Pri aproksimaciji analognih sit z digitalnimi. Ta postopek načrtovanja
digitalnih sit je opisan v razdelku 20.5 na strani 192.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

15.7 Bilinearna transformacija 45
V tem razdelku se nahaja le opis preslikave s ravnine v z ravnino preko λ
ravnine. Povezave med njimi lahko najdemo z zapisom z in λ v kartezičnih
koordinatah:
z = z R + jz I
(15.106a)
λ = λ R + jλ I , (15.106b)
kjer imata λ R in λ I isto vlogo kot σ in ω v s ravnini. Upoštevamo (15.106)
v (15.102):
λ = λ R + jλ Im = z − 1
z + 1 = z R + jz I − 1
(15.107)
z R + jz I + 1
ter ulomek v (15.107) razdelimo na realni in imaginarni del:
λ R + jλ Im = (z − 1)(z∗ + 1)
(z + 1)(z ∗ + 1) = zz∗ − z ∗ + z − 1
zz ∗ + z ∗ + z + 1
Iz realnega dela (15.109) sledi:
= |z|2 − z R + jz I + z R + jz I − 1
|z| 2 + z R + jz I + z R − jz I + 1 = |z|2 − 1 + j2z I
|z| 2 + 2z R + 1
(15.108)
= |z|2 − 1
|z + 1| 2 + j 2z I
|z + 1| 2 . (15.109)
1. Notranjost enotskega kroga v z-ravnini se preslika v levo (negativno)
polovico λ ravnine:
|z| < 1 ⇔ λ R < 1 . (15.110)
2. Zunanjost enotskega kroga v z-ravnini se preslika v desno (pozitivno)
polovico λ-ravnine:
3. Preslikavo krožnice določa:
|z| > 1 ⇔ λ R > 1 . (15.111)
|z| = 1 ⇔ λ R = 0 , (15.112)
zato lahko sklepamo, da se enotska krožnica v z-ravnini preslika v imaginarno
os v λ-ravnini. Ta sklep lahko preprosto potrdimo z opazovanjem
(15.105) in upoštevanjem (15.112):
z = 1 ⇔ λ R = 0 & λ I = 0 (15.113)
in
z = −1 ⇔ λ R = 0 & λ I = ±∞ . (15.114)
datoteka: signal_C

46 15. Laplaceova in z transformacija
Pri z-transformaciji predpostavimo, da je signal omejen v skladu s Shannonovim
pravilom, zato v enotsko krožnico preslikamo le del imaginarne osi
med −ω s /2 ter ω s /2. Frekvence tega dela imaginarne osi jω so enakomerno
porazdeljene po enotski krožnici. Pri bilinearni transformaciji to linearnost
izgubimo, saj drugače ni mogoče preslikati premice v krog.
Frekvenčne razmere bilinearne transformacije uvidimo, če v (15.105) upoštevamo
z = |z| e jω ter opazujemo dogajanja le na imaginarni, to je frekvenčni
osi:
1 − e−
jω
λ = jλ I = j
1 + e − jω = j e− jω/2 [ e − jω/2 − e − jω/2]
e [ − jω/2 e − jω/2 + e − jω/2]
upoštevamo še Eulerove obrazce in dobimo:
frequency pre-warping
λ I = j sin(ω/2)
cos(ω/2)
. (15.115)
Zaradi nelinearne povezave med dejansko frekvenco ω in navidezno frekvenco
λ I , nekateri izraz (15.115) imenujejo frekvenčno zvijanje. Z njim ob
upoštevanju povezav med trigonometrijskimi funkcijami definiramo transformacijo
frekvenčnega območja, ki je dostopno pri vzorčenju signala:
bilinearna transformacija s ↔ λ λ I = j tan(ω/2) . (15.116)
Funkcija λ I je periodična funkcija s periodo π. V tej periodi zavzame vse
vrednosti med −∞ in ∞. Z njo območje frekvenc med −ω s /2 in ω s /2 v s-
ravnini razširimo na vso imaginarno os λ ravnine. Z drugimi besedami, z njo
preslikamo trak med −ω s /2 in ω s /2 (slika 15.10 na strani 14) preslikamo v λ
ravnino. Imaginarna os v λ ravnini pa je z bilinearno transformacijo (15.105)
povezana z enotsko krožnico v z-ravnini (slika 15.21).
Slika 15.21
Preslikave med s, λ in z-ravnino.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16
Opis sistemov z
diferencialnimi in
diferenčnimi enačbami
Peter Cafuta in Žarko Čučej
PRI DOSEDANJI OBRAVNAVI SISTEMOV je za opis lastnosti sistema zadoščal
signalni vhodno-izhodni opis. Sedaj pa je pred nami drugačna
naloga. Želimo sestaviti sistem, ki bo obdelal vhodni signal ali vhodno
zaporedje na želen način. Torej za sistem ne zadostuje več črna škatla,
temveč bela, v kateri se pokaže njegova struktura.
Predpostavimo, da imamo sistem, ki ga sestavljajo upori, kondenzatorji in
tuljave. Takemu električnemu vezju lahko določimo izhod vezja pri danem
vhodu s pomočjo prvega in drugega Kirchhoffovega zakona (vsota tokov v
vozlišču je enaka nič, vsota napetosti v zanki je enaka nič). Ker sta napetost
in tok v kondenzatorju in tuljavi povezana z:
u C = 1 C
∫ t
∞
i c dτ , u L = L di L
dt
sklepamo, da lahko poljubni električni sistem opišemo z diferencialnimi enačbami.
Izkaže se, da to velja na splošno, torej tudi za mehanske 1 , kemične,
1 Na primer, mehanski sistem, ki ga določa prosti pad, opišemo z diferencialno enačbo
drugega reda, ki jo izpeljemo iz drugega Newtonovega zakona (F = ma):
−mg = ma = m dv
dt = m d2 s
dt 2 ⇒ d2 s
dt 2 ≡ g = a ,
kjer so m masa, g gravitaciski pospešek, a pospešek in s pot.
47

48 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
biološke in druge sisteme 2 .
Omejimo se na konvolucijske sisteme. Kot vemo, so to časovno neodvisni
in linearni sistemi. Zato jih lahko opišemo z linearnimi, časovno neodvisnimi
diferencialnimi (če so zvezni) ali diferenčnimi (če so digitalni) enačbami.
16.1 Analogni sistemi
Pri vhodno-izhodnim opisu sistemov (poglavje na strani ) smo videli, da
je izhod sistema enak konvoluciji vhoda z impulznim odzivom sistema. Pri
tem smo v razdelku na strani opisali specifičnost prevajanja harmoničnih
signalov. Tam smo odziv sistema določili s produktom frekvenčne karakteristike
(pri izbrani frekvenci) z vhodnim harmoničnim signalom. Pri opisu
lastnosti Fourierove in Laplaceove transformacije, smo te ugotovitve posplošili
na poljubni vhodni signal. Spoznali smo, da Fourierova transformacija
impulznega odziva h(t) določa frekvenčno karakteristiko sistema, označili
smo jo s H( jω), oziroma da Laplaceova transformacija impulznega odziva
določa sistemsko ali prenosno funkcijo, označili smo jo s H(s), ter da izhod
transformiranega sistema lahko izračunamo z
oziroma z
Y ( jω) = H( jω)·V ( jω)
Y (s) = H(s)·V (s) ,
kjer so V ( jω), V (s), Y ( jω) in Y ()s) Fourierove oziroma Laplaceove transformiranke
vhodov oziroma izhodov sistema.
ZGLED 16.1.1 (Opis LR vezja z diferencialnimi enačbami)
V zgledu na strani vidimo, kako lahko z impedancami preprosto določimo frekvenčni
karakteristiki pri določeni frekvenci in pri njej izračunamo odziv na določeni
vhodni harmonični signal. Sedaj za enak sistem (slika 16.1), določimo izhod sistema
Slika 16.1
Analogni sistem, ki ga določa električno
vezje z LR členom.
pri poljubnem (amplitudno končnem) vhodnem signalu ter prenosno funkcijo sistema!
2 Do tega sklepa lahko pridemo na primer tudi iz definicij odvoda (diferencialno enačbo
sestavlja linearna kombinacija odvodov funkcije). Na primer, na odvod lahko gledamo
kot na kvocient sprememb funkcije, torej napoveduje kako se bo v določenem trenutku
spremenila funkcija, spremenila napoved spremembe funkcije itd.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.1 Analogni sistemi 49
REŠITEV: Iz elektrotehnike vemo, da sta napetost na tuljavi in tok skozi tuljavo povezani
z diferencialno enačbo u L = L(di L (t)/ dt). Iz 1. Kirchhoffovega lahko zakona
izpeljemo:
v(t) = u L (t) + u R (t) = L di L(t)
dt
Prenosno funkcijo določimo z Laplaceovo transformacijo:
+ Ri L (t) in y(t) = u R (t) = Ri L (t) .
V (s) = sI L (s)L + I L (t)R ⇒ I L (s) = V (s)
sL + r = V (s) 1/L
s + R/L ,
od koder izračunamo:
R/L
Y (s) = i L (s)R = V (s)
s + R/L
Y (s)
in H(s) =
V (s) = R/L
s + R/L .
Impulzni odziv je seveda enak inverzni Laplaceovi transformaciji prenosne funkcije:
h(t) = L −1 {H(s)} . ♦
Iz primera sledi, da lahko poljuben (SISO) sistem opišemo z navadno diferencialno
enačbo s konstantnimi koeficienti:
a p
d p y(t)
dt p
+ a p−1
d p−1 y(t)
dt p−1
b q
d q v(t)
dt q
+ ··· + a 1
dy(t)
dt
+ b q−1
d q−1 v(t)
dt q−1
+ a 0 y(t) =
+ ··· + b 1
dv(t)
dt
+ b 0 v(t) . (16.1)
Predpostavimo, da je sistem sproščen (torej so vsi začetni pogoji diferencialne
enačbe enaki nič). Laplaceova transformacija obeh strani (16.1), kjer sta
V (s) = L {v(t)} in Y (s) = L {y(t)} da:
SISO:
Single Input
Single Output
a p s p Y (s) + a p−1 s p−1 Y (s) + ··· + a 1 sY (s) + a 0 Y (s) =
oziroma
b q s q V (s) + b q−1 s q−1 V (s) + ··· + b 1 sV (s) + b 0 V (s) , (16.2)
[
ap s p + a p−1 s p−1 ]
+ ··· + a 1 s + a 0 Y (s) =
[
bq s q + b q−1 s q−1 ]
+ ··· + b 1 sY (s) + b 0 V (s) . (16.3)
in sistemsko ali prenosno funkcijo H(s) določa kvocient:
H(s) = Y (s)
V (s) = b qs q + b q−1 s q−1 + ··· + b 1 s + b 0
a p s p + a p−1 s p−1 = B(s)
+ ··· + a 1 s + a 0 A(s)
. (16.4)
datoteka: signal_C

50 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Imenujemo jo tudi racionalna funkcija kompleksne spremenljivke s = σ +
jω. Razstavimo jo lahko v produkt kvocientov polinomov prvega ali drugega
reda ali v parcialne ulomke polinomov prvega ali drugega reda (tehniko
smo opisali pri računanju inverzne Laplaceove transformacije, razdelek
na strani ).
Struktuiranje analognih sistemov
Razčlenitev funkcije (16.4) v produkte kvocientov polinomov nižjih redov
imenujemo kaskadna ali zaporedna razčlenitev. Dobimo jo z izračunom korenov
polinomov števca in imenovalca:
∏: produkt
H(s) = H (s − z p)(s − z p−1 )··· + (s − z 0 )
(s − p q )(s − p q−1 )··· + (s − p 0 )
= H
0
∏
i=p
j=q
s − z i
= H
s − p j
0
∏
j=q
(16.5)
H j (s) , (16.6)
kjer so v H združeni vsi koeficienti, ki nastanejo pri faktorizaciji, z i so koreni
polinoma v števcu, ki določajo ničle prenosne funkcije, p i pa so koreni polinoma
v imenovalcu, ki določajo njene pole. Iz zapisa (16.6) sledi, da sistem
tvori kaskadna vezava blokov, ki jih določajo podsistemi H j (s) (slika 16.2b).
V( s)
H
aps
+a s p-1+ ... +a s+a
bqs
+b s q-1+ ... +b s+b
p-1 1 0
q-1 1 0
Y( s)
(a)
direktna realizacija analognega sistema
(b) kaskadna realizacija analognega sistema (c) vzporedna realizacija analognega sistema
Slika 16.2
Tri glavne realizacije analognih sistemov. Narisani primeri veljajo pri m = n. V tem prikazu strukture gradnikov –
podsistemov ne vidimo, gre le za koncept kako lahko tudi razdelimo sistem na podsisteme.
Pri razčlenitvi (16.4) na parcialne ulomke dobimo paralelno ali vzporedno
vezavo blokov (slika 16.2c). Na primer, ko so koreni enojni, to je enostavni,
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.1 Analogni sistemi 51
lahko zapišemo:
H(s) = H q
s − z p
s − p q
+ H q−1
s − z p−1
s − p q−1
+ ··· + H 0
s − z 0
s − p 0
=
0
∑
i=p
j=q
H j
s − z i
s − p j
. (16.7) ∑: vsota
Zgradba blokov analognih sistemov
Prikaze povezanih blokov pogosto imenujemo tudi simulacijski diagrami. Simulacijsko
zgradbo si oglejmo pri bloku, ki ga določa prenosna funkcija drugega
reda in a 0 = 1. Njen zapis z naraščajočimi potencami je:
Ta blok lahko zapišemo v obliki:
kjer sta
in
H(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2
1 + a 1 s + a 2 s 2 . (16.8)
H(s) = H 1 (s)H 2 (s) , (16.9)
H 1 (s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 (16.10)
H 2 (s) =
1
1 + a 1 s + a 2 s 2 . (16.11)
Opazujmo H 1 (s) kot podsistem z vhodom V 1 (s) in izhodom Y 1 (s):
Y 1 (s) = (b 0 + b 1 s + b 2 s 2 )V 1 (s)
= b 0 V 1 (s) + b 1 sV 1 (s) + b 2 s 2 V 1 (s) . (16.12)
Z (16.12) lahko direktno prikažemo njegovo strukturo (slika 16.3a). Podobno
vidimo tudi pri podsistemu H 2 (s). Tu bodi vhod V 2 (s) in izhod Y 2 (s):
Y 2 (s) = H 2 (s)V 2 (s)
1
=
1 + a 1 s + a 2 s 2 V 2(s)
Y 2 (s)(1 + a 1 s + a 2 s 2 ) = V 2 (s)
Y 2 (s) = V 2 (s) − a 1 sY 2 (s) − a 2 s 2 Y 2 (s) , (16.13)
iz katere spet lahko direktno narišemo zgradbo bloka H(s) (slika 16.3b).
datoteka: signal_C

52 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Združimo podsistema. Pri tem imamo več možnosti, ki jih bomo podrobneje
predstavili pri opisu sistemov z diferenčnimi enačbami. Izmed njih poglejmo
tako imenovano kanonsko obliko, ki jo dobimo iz (16.9), s katero smo
uvedli zaporedno vezavo blokov H 1 (s) in H 2 (s), izračunajmo:
H(s) = H 1 (s)H 2 (s) = Y 1(s)
V 1 (s)
Y 2 (s)
V 2 (s) = Y (s)
V (s)
, (16.14)
kar pomeni, da so v tem primeru V (s) = V 1 (s), Y 1 (s) = V 2 (s) in Y 2 (s) = Y (s).
Seveda velja tudi H(s) = H 2 (s)H 1 (s), torej da je izhod drugega bloka vhod
prvega in da velja:
Y 2 (s) = V 1 (s) , V 2 (s) = Y 1 (s) , Y 1 (s) = Y (s) . (16.15)
Pri tej povezavi in z upoštevanjem (16.15) za (16.12) dobimo:
Y (s) = (b 0 + b 1 s + b 2 s 2 )Y 2 (s) , (16.16)
in za (16.13):
Y 2 (s) = V (s) − a 1 sY 2 (s) − a 2 s 2 Y 2 (s) . (16.17)
Zgradbo sistema H(s) pričnimo risati iz izhoda drugega bloka. Pri tem uporabimo
simulacijske elemente prikazane v tabeli 16.1 na naslednji strani. Vidimo,
da smo bloka sestavili tako, da si delita diferenciatorja (slika 16.3c).
To obliko simulacijskega vezja imenujemo kanonska oblika realizacije.
(a) realizacija H 1 (s),
opisuje ga (16.10).
Slika 16.3
Simulacijska vezja drugega reda.
(b) realizacija H 2 (s),
opisuje ga (16.11).
(c) kanonska povezava blokov
določenima z (16.16) in (16.17).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.2 Digitalni sistemi 53
Tabela 16.1
Simulacijski simboli v grafični predstavitvah realizacij prenosnih funkcij.
simbol
diferenciator
pomen
množenje s skalarjem, na primer z b k
seštevanje
vejitev
Analogne realizacije
Primer vezja na sliki 16.1 imenujemo pasivno realiziran sistem prenosne
funkcije H(s). Predstavlja približek diferenciranja saj pravega diferenciatorja
ni možno realizirati. V analognih simulacijskih vezjih uporabljamo zato integratorje,
seštevalnike in množilnike s konstanto. Kanonsko realizacijo na
sliki 16.3c zato ustrezno pretvorimo. Potrebno znanje bo študent pridobil pri
predmetih Teorije sistemov in Simulacije. Prenosne funkcije je možno tudi
direktno uporabiti, kadar izberemo ustrezna programska orodja. Pri tem zelo
pogosto uporabljamo programski paket MATLAB s simulacijskim kovčkom
Simulink. Pri vnosu sistemov za simuliranje lahko uporabimo blokovne kot
tudi simulacijske diagrame. Ker Simulink računa diskretno moramo izbrati
ustrezni T s časovne diskretizacije.
16.2 Digitalni sistemi
Zaradi neustavljivega razvoja polprevodniške tehnologije so danes zaradi že
večkrat omenjenih lastosti aktualni predvsem digitalni sistemi. Pri njih se
struktura sistema ujema s strukturo algoritma, ki teče v izbranem računalniku
ali digitalnem signalnem procesorju.
Algoritmi digitalnih sistemov temeljijo na opisu z diferenčnimi enačbami.
Za take sisteme ne moremo zgraditi računalnikov, saj zahtevajo poljubno natančnost
zapisa otipkov v vzorcu signala. Zato moramo časovno diskretne
sisteme aproksimirati s časovno in amplitudno diskretnimi sistemi. Obe vrsti
sistemov se razlikujeta v kvantizaciji in kodiranju otipkov (slika 16.4). Zaradi
kvantizacije se izhoda obeh sistemov razlikujeta. Signal razlike ima lastnosti
datoteka: signal_C

54 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Slika 16.4
Časovno diskretne in amplitudno zvezne
signale lahko obdelujemo le z analognim
sistemom. Digitalni sistem obdeluje le
zaporedje podatkov (števil), zato mu pri
obdelavi signalov dodamo analogno - digitalni
pretvornik, ki kvantizira in kodira otipke v vzorcu
signala. Stopnično rekonstrukcijo zveznega
signala opravi digitalno analogni pretvornik.
☞
šuma, zato ga imenujemo po izvoru njegovega nastanka kvantizacijski šum.
Če je kvantizacijska stopnica dovolj majhna, lahko razliko med diskretnim in
praktičnim digitalnim sistemom zanemarimo. Vedno pa se moramo zavedati,
da so natančne izpeljave povezav le med analognimi in časovno diskretnimi
sistemi. Z digitalnimi sistemi lahko diskretne sisteme (in s tem analogne) le
aproksimiramo.
Diferenčne enačbe
Diferenčne enačbe, s katerim opišemo časovno diskretni (in amplitudno zvezni)
sistem, izpeljemo z aproksimacijo odvoda:
dx(t)
∣ ≈ x(nT s) − x((n − 1)T s )
(16.18)
dt
T s
∣
Ts →0
≈
x[n] − x[n − 1]
T s
(16.19)
kjer je T s interval otipavanja signala, x(nT s ) in x((n − 1)T s ) sta zaporedna
otipka signala x(t) v trenutkih (n − 1)T s in nT s , n ∈ Z, x[n] in x[n − 1] pa
sta koda teh otipkov, torej podatka. Ker bomo diferenčne enačbe računali
z digitalnimi računalniki, torej obdelavali zaporedje števil (ki predstavljajo
otipke signala do kvantizacijskega šuma natančno), bomo nadalje upoštevali
(16.19) kot izhodišče opisa digitalnih sistemov z diferenčnimi enačbami.
V splošnem za sistem, ki povezuje p + 1 vhodnih podatkov z q + 1 izhodnimi,
opišemo z diferenčno enačbo:
b ′ 0v[n] + b ′ 1v[n − 1] + b ′ 2v[n − 2] + ··· + b ′ pv[n − p] =
a ′ 0y[n] + a ′ 1y[n − 1] + a ′ 2y[n − 2] + ··· + a ′ py[n − q] , (16.20)
oziroma v krajši obliki:
p
∑
k=0
b ′ kv[n − k] =
q
∑
k=0
a ′ ky[n − k] (16.21)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.2 Digitalni sistemi 55
Zapis (16.20) je splošen in velja tudi za kompleksna zaporedja s kompleksnimi
koeficienti. V takem primeru se običajno z zapisom označi, da so
koeficienti konjugirano kompleksni.
Začetni pogoji
Tako kot linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti tudi linearne
diferenčne enačbe s konstantnimi koeficienti nimajo enolične rešitve.
Določeno ali partikularno rešitev zagotovijo šele pripadajoči začetni pogoji.
Za ilustracijo si oglejmo naslednji zgled (zgled 16.2.1).
ZGLED 16.2.1 (Vpliv začetnih pogojev na lastnosti sistema)
Imejmo sistem, ki ga opišemo z diferenčno enačbo:
y[n] = ay[n − 1] + v[n] . (16.22)
Na vhod sistema damo impulz v[n] = Kδ K [n], kjer je K poljubno število. Za začetni
pogoj diferenčne enačbe izberimo y[−1] = c. Določimo izhod sistema!
REŠITEV: Izhod sistema pričnimo računati v trenutku, za katerega je določen začetni
pogoj:
y[0] = ay[−1] + v[0]
= ac + K
y[1] = ay[0] + v[1]
= a(ac + K) + 0 = a 2 c + K
y[2] = ay[1] + v[2]
.
= a(a 2 c + K) + 0 = a 3 c + K
Iz tega preprostega primera vidimo, da pri n 0 za izhod sistema dobimo:
.
y[n] = a n+1 + a n K , n 0 . (16.23)
Da izračunamo izhod pri n 0, preuredimo diferenčno enačbo v (16.22) v:
y[n − 1] = a −1 (y[n] − v[n])
(16.24a)
y[n] = a −1 (y[n + 1] − v[n + 1]) . (16.24b)
Podobno kot prej po korakih računajmo izhod sistema pri n −1:
y[−2] = a −1( y[−1] + v[−1] ) = a −1 c
y[−3] = a −1 ( a −1 c ) = a −2 c
y[−3] = a −1 ( a −2 c ) = a −3 c
.
.
y[−n] = a −n−1 c (16.25)
datoteka: signal_C

56 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Združimo (16.23) in (16.25) in dobimo:
y[n] = a n+1 + a n Ku[n] , pri vseh n , (16.26)
kjer je u[n]enotska stopnica.
♦
Iz zgleda lahko zaključimo naslednje:
1. Rekurzivno računanje izhoda za pozitivne in negativne n pričnemo pri
n = −1. Seveda je ta procedura nekavzalna.
2. Pri K = 0 vhod ne učinkuje na sistem, vendar kljub temu zaradi začetnih
pogojev dobimo izhod:
y[n] = a n+1 .
Zaradi tega je ta vhodno-izhodni sistem nelinearen. Linearni sistemi
imajo izhod enak nič dokler se ne pojavi vhod različen od nič.
3. Sistem je časovno odvisen. To uvidimo, če premaknemo vhod na primer
za n 0 otipkov:
v 1 [n] = Kδ K [n − n 0 ] .
V tem primeru je izhod sistema enak:
y 1 [n] = a n+1 c + a n−n 0
Ku[n − n 0 ] , pri vseh n (16.27)
in je odvisen od tega, kdaj se pojavi vhod 3 .
Povzemimo, kavzalni sistem morajo na začetku biti v stanju nič. Ker ti pogoji
določajo začetno stanje sistema, jih imenujemo začetni pogoji. Pri kavzalnih
sistemih je trenutni izhod odvisen od trenutnega in izbranega števila predhodnih
vhodov ter izbranega števila predhodnih izhodov:
v(n < p) = 0 ⇒ y(n − q) = 0 , a ′ 0 ≠ 0 (16.28)
Zato lahko (16.20) delimo z a ′ 0 . Če vpeljemo oznake a k = a ′ k /a′ 0 in b k =
b ′ k /a′ 0 , je izhod sistema:
y[n] = b 0 v[n] + b 1 v[n − 1] + ··· + b p v[n − p]
=
p
∑
k=0
− a 1 y[n − 1] − a 2 y[n − 2] − ··· − a q y[n − q]
b k v[n − k] −
q
∑
k=1
3 Ko bi bil začetni pogoj enak nič, bi se (16.22) in (16.27) glasili
a k y[n − k] . (16.29)
y 1 [n] = y[n − n 0 ] = kδ K [n − n 0 ]
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.2 Digitalni sistemi 57
Model MA
Za q = 0 v (16.29) dobimo:
y[n] =
p
∑
k=0
b k v[n − k] . (16.30)
Pri statistični obdelavi signalov imenujemo tako vsoto pomično povprečje in
ga označujemo z MA in MA(p), ko želimo poudariti njegovo dolžino. Določa
jo p + 1 otipkov iz zaporedja. Ime izhaja iz pomikanja okna dolžine p +
1, v katerem seštevamo utežene otipke. S seštevanjem uteženih vrednosti
v statistični obdelavi določimo srednjo vrednost v opazovanem oknu (glej
razdelek na strani ).
Izhod, ki ga določa (16.30), lahko zapišemo tudi vektorsko:
y[n] = b H v[n] = ( b T v[n] ) ∗
, (16.31)
Moving Average: MA
kjer sta b in v[n] stolpična vektorja
⎡ ⎤
v[n]
v[n − 1]
v[n] =
⎢
⎣
. ⎥
⎦
v[n − p]
⎡ ⎤
b 0
b 1
, b =
⎢
⎣
. ⎥
⎦
b p
,
b H pa je transponirani vektor b s konjugirano kompleksnimi elementi: b H =
[b ∗ 0 ,b∗ 1 ,...,b∗ p]. Pri realnih zaporedjih in koeficientih seveda velja b H = b T .
Vektorski zapis modela MA(p) kaže, kako ga lahko učinkovito računamo z
različnimi programskimi orodji.
Model AR
Pri p = 0 dobimo iz (16.29):
y[n] = b 0 v[n] −
q
∑
k=0
a k y[n − k] . (16.32)
Takšno zaporedje imenujemo avto regresijsko zaporedje reda q in ga označujemo
s kratico AR oziroma AR(q), ko želimo poudariti njegov red. Termin
avto izhaja iz tega, ker je zaporedje izraženo z njim samim, regresijski pa
zato, ker obstaja funkcionalna povezava med dvemi ali več spremenljivkami.
Podobno kot model MA lahko tudi model AR izrazimo vektorsko:
autoregressive: AR
y[n] = b 0 v[n] − a H y[n] , (16.33)
datoteka: signal_C

58 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
kjer sta a in v[n] stolpična vektorja koeficientov diferenčne enačbe oziroma
trenutne in preteklih vrednosti izhoda sistema. Zaradi tega so sistemi AR(q)
rekurzivni sistemi.
Model ARMA
Diskretni konvolucijski sistem lahko opišemo s kombinacijo modelov AR(q)
in MA(p). Njegove lastnosti so določene z obema modeloma. Model MA
“povpreči” p zaporednih podatkov vhodnega zaporedja, model AR pa omogoči
vpliv zadnjih q podatkov izhoda. Primer kombinacije za sistem prvega
reda vidimo v naslednjem zgledu.
ZGLED 16.2.2 (Struktura modela ARMA)
Strukturo modela ARMA, ki ga opišemo z diferenčno enačbo
y[n] = a 1 y[n − 1] + b 0 v[n] + b 1 v[n − 1] (16.34)
kaže slika 16.5. Prva dva člena na desni strani (16.44) pripadata modelu MA(1), druga
(a) Predstavitev s simulacijskim diagramom
(b) Predstavitev z signalnim grafom
Slika 16.5
Grafična predstavitev (16.44). Na sliki označuje z −1 zakasnitev za en otipek (interval T s ).
dva pa modelu AR(1). Vidimo, da se vhod b 0 v[n] pojavlja v obeh modelih.
♦
Prenosna funkcija in impulzni odziv
Pot do sistemske funkcije vodi preko z-transformacije diferenčne enačbe, s
katero je opisan sistem. Podobno kot pri analognih sistemih obravnavamo le
tiste, pri katerih so začetni pogoji enaki nič. z-transformacija (16.29) da:
Y (z)
q
∑
k=0
a k z −k = V (z)
p
∑
k=0
b k z −k , (16.35)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.2 Digitalni sistemi 59
Kjer sta V (z) in Y (z) z-transformiranki vhoda in izhoda: Y (z) = Z {y[n]},
V (z) = Z {v[n]}. Zgornjo enačbo lahko zapišemo tudi v obliki:
Y (z)A(z) = V (z)B(z) . (16.36)
kjer sta A(z) in B(z) ustrezna polinoma. Njun kvocient določa prenosno funkcijo:
p
∑
H(z) = Y (z)
V (z) = B(z)
b k z −k
A(z) = k=0
q
∑
k=0
p
∑
k=0
=
a k z −k 1 +
b k z −k
q
∑
k=1
a k z −k , (16.37)
kjer je a 0 = 1. Če je sistem vrste AR, potem je njegova prenosna funkcija:
H(z) =
1 +
1
q
∑
k=1
a k z −k = 1
A(z)
. (16.38)
Takšen sistem nima ničel, zato se zanj v angleški literaturi sreča ime all-pole
system. Če je sistem vrste MA, potem je njegova prenosna funkcija
H(z) =
p
∑
k=0
b k z −k = B(z) . (16.39)
Takšen sistem nima polov, zato se zanj v angleški literaturi sreča ime all-zero
system. Impulzni odziv sistema lahko določimo z inverzno transformacijo
prenosne funkcije:
h[n] = Z −1 {H(z)} . (16.40)
ali pri z odzivom sistema na Kroneckerov impulz:
all-pole
all-zero
δ K [n] =
{
1 , n = 0
0 , sicer
.
Sistem s končnim impulznim odzivom
Pri sistemih MA(p) je impulzni odziv enak:
y[n] = h[n] =
p
∑
k=0
b k δ K [n − k] . (16.41)
Vidimo, da so koeficienti impulznega odziva enaki koeficientom b k . Ker je
koeficientov končno mnogo, imamo končno dolg impulzni odziv. Zato sisteme
MA(p) imenujemo tudi sistemi s končnim impulznim odzivom, oziroma
na kratko sistem s FIR (kratica FIR izhaja iz angleškega termina za končni
impulzni odziv).
FIR:
Finite Impulse Responce
datoteka: signal_C

60 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Sistem s neskončnim impulznim odzivom
Pri sistemu AR(q) pa imamo opraviti z neskončnim impulznim odzivom. To
uvidimo iz preprostega primera AR(1) v zgledu 16.3.1 na strani 64.
ZGLED 16.2.3 (Impulzni odziv sistema AR(1))
Impulzni odziv AR(1) izračunamo z (16.32), kjer upoštevamo p = 1 in da pri δ K [n]
dobimo na izhodu sistema h[n]. Dobimo:
h[n] = b 0 δ K [n] −
1
∑
k=0
Z računanjem (16.42) po korakih dobimo:
h[0] = b 0 δ[0] + b 1 δ[0 − 1] − a 1 h[0 − 1]
= b 0 ·1 + b 1 ·0 − a 1 ·0 = b 0
h[1] = b 0 δ[1] + b 1 δ[1 − 1] − a 1 h[1 − 1]
= b 0 ·0 + b 1 ·1 − a 1 ·b 0 = −a 1 b 0 + b 1
h[2] = b 0 δ[2] + b 1 δ[2 − 1] − a 1 h[2 − 1]
a k h[n − k] , n ∈ Z + . (16.42)
= b 0 ·0 + b 1 ·0 − a 1 (−a 1 b 0 + b 1 ) = −a 1 (−a 1 b 0 + b 1 )
h[3] = b 0 δ[3] + b 1 δ[3 − 1] − a 1 h[3 − 1]
= b 0 ·0 + b 1 ·0 − a 1 [−a 1 (−a 1 b 0 + b 1 )] = (−a 1 ) 2 (−a 1 b 0 + b 1 )
oziroma pri k-tem koeficientu impulznega odziva:
h[k] = (−a 1 ) k−1 (−a 1 b 0 + b 1 ) . (16.43)
Iz (16.32) in (16.43) sedaj lahko sestavimo splošni zapis impulznega odziva sistema
AR(1):
h[n] = b 0 δ[n] + (−a 1 ) n (−a 1 b 0 + b 1 )δ[n − 1] . (16.44)
♦
IIR:
Infinite Impulse
Response
Za (16.42) smo potrdili, da ima sistem neskončni odziv. Temu je vzrok povratna
vez – odvisnost trenutnega izhoda od predhodnih izhodov. Diskretne
sisteme s takšno lastnostjo imenujemo sistemi z neskončnim impulznim odzivom.
Zanje uporabljamo kratico IIR.
Računanje izhoda s konvolucijo
Pri znanem impulznem odzivu sistema lahko izračunamo izhod sistema z
diskretno konvolucijo. Njen splošni obrazec je:
y[n] =
∞
∑
k=−∞
v[n]h[n − k] . (16.45)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.3 Grafična predstavitev diferenčnih enačb 61
Pri neskončno trajajočem vhodnem zaporedju in končnem impulznem odzivu,
je (16.45) enak modelu MA(p), pri neskončno dolgem impulznem odzivu
s tem obrazcem ne moremo izračunavati izhodnega zaporedja. Izračunamo
ga lahko le z rekurzivno formulo, ko jo dobimo iz opisa sistema z
diferenčnimi enačbami. Iz tega sledi, da je dolžina impulznega odziva pomembna
značilnost sistema. Od nje je odvisna uporabnost konvolucije pri
določanju izhoda sistema. Zato bomo pri opisu sit le-ta ločili na sita s FIR in
sita s IIR. Napovejmo, da prva praviloma računamo s konvolucijo, druga pa
rekurzivno 4 .
16.3 Grafična predstavitev diferenčnih enačb
Algoritme računanja diferenčnih enačb lahko podobno kot pri diferenčnih
enačbah nazorno upodobimo z simulacijskimi diagrami ali s signalnimi grafi.
Elementi teh prikazov so zbrani v tabeli 16.2.
Tabela 16.2
Simulacijski simboli predstavitve diferenčnih enačb
1pt]vhv
zakasnitev za interval T s
množenje s skalarjem b k
seštevanje
1pt]vhv
vejitev
(prireditev v[n] = v 1 [n] =
v 2 [n])
Simulacijski diagram je možno neposredno pretvoriti v računski algoritem
– program. V signalni tehniki dajemo simulacijskim diagramom prednost
pred diagrami programskih potekov. Predstavitev s signalnimi grafi je
4 Obstojajo tudi tehnike rekurzivnega računanja izhodov sit oziroma sistemov s FIR. Pri
sistemih oziroma sitih z IIR pa lahko na primer direktno računamo izhod s konvolucijo
končnega vhoda in neskončnega impulznega odziva.
datoteka: signal_C

62 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
“asketska” oblika simulacijskih diagramov. Uporabljamo jih ne samo pri ponazoritvi
diferenčnih enačb, ampak za vse algoritme v obdelavi signalov (na
primer potek računanja hitre Fourierove transformacije).
Diskretne sisteme lahko zapišemo na več načinov. Pri tem lahko izhajamo
iz (16.29), ki vodi do tako imenovane direktne in modificirane direktne
oblike. Nadaljne možnosti nudi uvedba pomičnega operatorja oziroma
(16.44). Iz (16.44) lahko izpeljemo gradnike prvega in drugega reda prirejene
za zaporedno ali pa za vzporedno vezavo.
Direktna izvedba
Direktna izvedba, kot pove že ime, direktno preslika matematični zapis sistema
v ustrezni diagram oziroma algoritem. Za sistem prvega reda opisanega
z (16.30) simulacijsko shemo kaže slika , splošni diskretnega sistem:
en. (16.29): y[n] =
M
∑
j=0
b j v[n − j] −
M
∑
k=1
a k y[n − k] , N M
pa upodablja slika 16.6. Iz te slike spoznamo, da imamo dva zaporedno ve-
(a) predstavitev s simulacijskim diagramom
(b) predstavitev z signalnim grafom
Slika 16.6
Direktna izvedba diskretnega sistema, osnovna oblika.
zana bloka. Prvi pripada vhodnemu signalu in njegovim zakasnitvam, drugi
pa zakasnjenim povratnim vplivom izhoda.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.3 Grafična predstavitev diferenčnih enačb 63
Zaporedna izvedba
Prenosno funkcijo lahko izrazimo tudi v razčlenjeni obliki, podobno kot smo
jo zapisali za kaskadne zgradbe analognih sit. Pri tem združimo konjugirano
kompleksne pole in ničle. Za sodo prenosno funkcijo lahko zapišemo:
H(z) = H 0
(1 + b 11 z −1 + b 12 z −2 )···(1 + b k1 z −1 + b k2 z −2 )
(1 − a 11 z −1 + ab 12 z −2 )···(1 − a k1 z −1 − a k2 z −2 )
(16.46)
= H 0 ·H 1 (z)H 2 (z)···H k (z) (16.47)
kjer je
H k (z) = (1 + b k1z −1 + b k2 z −2 )
(1 − a k1 z −1 − a k2 z −2 )
(16.48)
k-ti blok kaskade. Njegova struktura je lahko taka kot pri kanonski direktni
realizaciji. Zaporedno realizacijo prenosne funkcije kaže slika 16.7.
Slika 16.7
Kaskadna izvedba diskretnega sistema, na osnovi kanonske oblike.
Ko prenosna funkcija ni soda, pomeni da ima realne ničle ali pole. V
tem primeru imamo v kaskadni vezavi tudi člen prvega reda. Tega preprosto
dobimo iz drugega reda tako, da postavimo a 21 = b 21 = 0.
Paralelna izvedba
Pot do paralelne izvedbe je razcep prenosne funkcije na delne ulomke drugega
reda. Ker v tem primeru določa izhod vsota vseh blokov drugega reda,
so vezani vzporedno (slika 16.8).
Transponirane oblike
Signalni graf ponazarja algoritem, s katerim izračunamo izhod sistema pri danem
vhodu. Teorija grafov nudi za isti sistem več postopkov preoblikovanja
datoteka: signal_C

64 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
Slika 16.8
Paralelna vezava diskretnega sistema, modificirana
oblika.
grafov in s tem algoritmov računanja. Med njimi je pomembno preoblikovanje,
ki ga dobimo z zasukom smeri vej ter pri sistemih SISO z zamenjavo
vhoda in izhoda 5 (zgled 16.3.1). Grafe, ki jih pri tem dobimo, imenujemo
transponirane grafe.
ZGLED 16.3.1 (Transpozicija sistema prvega reda)
Imejmo sistem, ki ga opiše prenosna funkcija
H(z) =
Zanj narišimo signalni graf in transponirani signalni graf.
1
1 − az −1 . (16.49)
REŠITEV: Postopek transpozicije zahteva, da vsem puščicam spremenimo smer ter
medsebojno zamenjavo vhoda in izhoda (slika 16.9). Ko rišemo transponirano obliko
od leve proti desni, tako kot je običaj v naših krajih, skico 16.9b zasučemo okoli vertikalne
osi (slika 16.10). Primerjava slik 16.10 in 16.9a pokaže, da se medsebojno razlikujeta
v tem, da se v direktni obliki najprej zakasni izhod in nato pomnoži s konstanto
a ter prišteje vhodu, pri transponirani obliki, pa se najprej pomnoži izhod s konstanto a
ter nato zakasni ter prišteje vhodu.
♦
Podobno lahko transponiramo tudi kanonsko obliko sistema drugega reda
(zgled 16.3.2).
ZGLED 16.3.2 (Transpozicija kanonske oblike sistema drugega reda)
Za sistem na sliki poiščimo transponirani signalni graf.
5 Pri teh sistemih je ta zamenjava enolična, ker se s problemi, ki nastopijo pri MIMO sistemih,
ne obremenjujemo.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

16.3 Grafična predstavitev diferenčnih enačb 65
Slika 16.9
Signalni graf (16.49).
(a) signalni graf sistema (16.49) (b) transponirani signalni graf sistema (16.49)
Slika 16.10
Zasukani transponirani signalni
graf sistema (16.49).
Slika 16.11
Signalni graf kanonskega sistema
drugega reda.
REŠITEV: Najprej spremenimo smer vsem puščicam, potem pa medsebojno zamenjamo
vhod in izhod (slika 16.12a). Skico 16.12a zasučimo še okoli vertikalne osi in
(a) transponirani signalni graf
(b) zasukani transponirani signalni graf
Slika 16.12
Transponirani signalni graf kanonskega sistema drugega reda.
dobimo iskani transponirani signalni graf (slika 16.10).
Pokažimo še razliko v zapisu diferenčnih enačb za oba primera. Za sliko 16.11
datoteka: signal_C

66 16. Opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami
velja:
w[n] = a 1 w[n − 1] + a 2 w[n − 2] + x[n]
y[n] = b 0 w[n] + b 1 w[n − 1] + b 2 w[n − 2]
(16.50a)
(16.50b)
Za signalni graf na sliki 16.12b pa velja:
u 0 [n] = b 0 v[n] + u 1 [n − 1]
u 1 [n] = a 1 y[n] + b 1 v[n] + v 2 [n − 1]
u 2 [n] = a 2 y[n] + b 2 v[n]
(16.51a)
(16.51b)
(16.51c)
y[n] = u 0 [n] . (16.51d)
Enačbi (16.50) in (16.51) organizirata na različni način računanje izhoda. Iz njihovega
zapisa ni takoj vidno, da sta si ekvivalentni. To lahko pokažemo na več načinov. Prvi
je, da z z-transformacijo obeh skupin enačb poiščemo razmerje Y (z)/V (z) = H(z) ter
primerjamo ti razmerji. Drugi je, da vstavimo (16.51c) v (16.51b), dobljeni rezultat
vstavimo v (16.51a) in na koncu v (16.51d). Dobimo:
y[n] = a 1 y[n − 1] + a 2 [y − 2] + b 0 v[n] + b 1 v[n − 1] + b 3 v[n − 2] . (16.52)
Ker slika (16.11) kaže kanonsko obliko strukture, uvidimo, da tudi zanjo lahko zapišemo
isti vhodno-izhodni opis z diferenčnimi enačbami.
♦
Digitalne realizacije
Diferenčne enačbe sistemov z IIR in konvolucijske vsote s FIR uporabimo kot
algoritme programov digitalnih računalnikov, ki sproti preračunavajo vhodna
zaporedja v izhodna. Zelo verjetno je hitrost računanja omejena s strukturo
procesorja in sposobnostjo uporabljenega programskega sistema. Zato so se
za hitro računanje uveljavili posebni procesorji, ki so prilagojeni signalni obdelavi.
Imenujemo jih digitalni signalni procesorji in zanje uporabljamo
posebne knjižnice programov. Najhitrejše računanje algoritmov je možno
doseči s posebej razvitimi diskretnimi digitalnimi vezji. Verjetno bomo za
reševanje signalne obdelave izbrali možnost, ki daje najboljše razmerje kakovost/cena.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17
Analogna sita
Peter Planinšič, Žarko Čučej
SITA SO SISTEMI, ki selektivno menjajo obliko signala, frekvenčno karakteristiko
in/ali fazno karakteristiko signala na način, kot ga predpišemo
pri načrtovanju sita. Splošni cilji uporabe sit so izboljšati
kakovost signala (na primer z zmanjševanjem šuma), ekstrakcija informacije
ali razstavljanje sestavljenih signalov na njihove komponente (na primer demultipleksiranje
v komunikacijskih sistemih).
Sita glede na to, ali ločujejo signale po časovni razdelitvi ali frekvenčni,
imenujemo časovna sita oziroma frekvenčna sita. Ker se večinoma uporabljajo
slednja, ponavadi s terminom sita opredeljujemo frekvenčna sita. Te
navade se bomo v nadaljnjem opisovanju držali tudi mi.
V tem poglavju si bomo ogledali razdelitev sit, model idealnega nizkega
sita ter na kratko predstavili najbolj znana realna, to je izvedljiva nizka sita, ki
se na različne načine približujejo sicer neizvedljivem idealnemu situ. Opisali
bomo tudi običajen način prikazovanja karakteristik realnih sit.
17.1 Idealna sita
Poznamo štiri vrste idealnih (frekvenčnih) sit. To so: nizkopasovna (prepustna)
sita, visokopasovna (prepustna) sita, pasovno prepustna site in pasovno
zaporna sita. Njihove amplitudne odzive, to je frekvenčna odvisnost amplitud
harmoničnih valovanj, kaže (slika 17.1). Vidimo, da želene frekvence
sito preidejo neovirano, neželene pa so odrezane. Žal analiza impulznega
in stopničnega odzive idealnih sit pokaže, da so idealna sita nekavzalna ter
jih zato ni možno narediti. Obstajajo pa praktične izvedbe sit, ki se s posameznimi
lastnostmi približujejo idealnim sitom. Med njimi so najbolj znana
67

68 17. Analogna sita
Buttherwothova sita, potem Čebiševa in inverzna Čebiševa sita ter Besselova
ali eliptična sita. V nadaljevanju jih bomo natančneje opisali.
|H( j)
m
idealno nizko sito
Slika 17.1
Amplitudni odzivi idealnih
sit.
|H( j)
|H( j)
ms
m
mz
idealno visoko sito
idealno pasovno sito
|H( j)
ms
mz
idealno pasovno zaporno sito
17.2 Idealno nizko sito
Pokazali bomo, da se vsako sito da načrtati tako, da najprej načrtamo nizko(pasovno)
sito želene frekvenčne širine in drugih lastnosti in ga potem z ustrezno zamenjavo
spremenljivk preslikamo v želeno izvedbo sita (visokopasovnega,
pasovnega ali pasovno zapornega). Zato si oglejmo osnovne značilnosti idealnega
nizkega sita.
prenosna funkcija
H(s) =
{
ke
−st
za s v prepustnem območju
0 za s izven prepustnega območja
(17.1)
amplitudni odziv
|H( jω)| =
{
K za ω v prepustnem območju
0 za ω izven prepustnega območja
(17.2)
fazni odziv
(
φ( jω) = arctan − nπω )
2ω m
(17.3)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.3 Realna nizka sita 69
fazna zakasnitev
φ( jω)
τ p ( jω) = −
ω
= nπ
(17.4)
2ω m
skupinska zakasnitev
τ g ( jω) = − d nπ
φ( jω) = (17.5)
dω 2ω m
Dokler sta fazna in skupinska zakasnitev konstantni in enaki, bo katerikoli
stacionarni vhodni signal, katerega frekvenca je znotraj prepustnega pasu
sita, zakasnjen za nπ/(2ω m ) in ojačan za K-krat, vsi ostali signali pa bodo
odrezani. Impulzni odziv idealnega nizkega sita kaže (slika 17.1). Vidimo,
da ga opišemo s S a funkcijo. Ker ta pravi, da je odziv sita že pred vhodnim signalom,
ponovno uvidimo, da so idealna sita nekavzalna in zato neizvedljiva.
h( t)
c
1
Slika 17.2
Impulzni odziv idealnega nizkopasovnega sita.
t
17.3 Realna nizka sita
V tem podpoglavju si bomo ogledali karakteristike nizkopasovnih sit tipa
Butterworth, Čebišev, inverzni Čebišev ter Bessel. Za njihovo primerjavo
bomo definirali nekaj terminov in postavili pravila prikaza njihovih karakteristik
in odzivov.
Amplitudna karakteristika
Medtem, ko pri idealnih sitih lahko ločimo le med prepustnim in zapornim
pasom, imajo realna sita še prehodni ali vmesni pas (slika 17.3). Meje med
pasovi določa:
Mejna frekvenca prepustnega pasu.
Za določitev mejne frekvence je sprejet dogovor, da je to tista frekvenca,
pri kateri sito prepušča še polovico moči harmoničnega vala
s to frekvenco. Kot vemo, je ta sorazmerna kvadratu amplitude, zato
amplituda pri tej frekvenci upade za 3 dB, natančneje za 3,0103 dB,
oziroma na vrednost A 0 / √ 2 , kjer je A 0 najvišja amplituda v prepustnem
pasu sita. To frekvenco bomo označevali z ω m .
datoteka: signal_C

70 17. Analogna sita
pp
vp
zp
zp
vp
pp
|H( j)
|H( j)
Slika 17.3
Pasovi v amplitudnih
odzivih realnih sit.
|H( j)
realno nizko sito
zp
vp
pp
vp
zp
|H( j)
realno visoko sito
pp
vp
zp
vp
pp
realno pasovno
propustno sito
realno pasovno
zaporno sito
Mejna frekvenca med prepustnim in zapornim pasom.
To frekvenco bomo označevali z ω 1 . Dogovor za določitev te frekvence
ne obstaja. Pri nekaterih vrstah sit, kot sta na primer inverzno Čebiševo
in Besselovo sito, to frekvenco določimo z značilno točko slabljenja
v zapornem pasu, (17.4)c in (17.4)d. Pri ostalih vrstah sit pa je ta
frekvenca ponavadi določena z zahtevanim slabljenjem frekvenc izven
prepustnega pasu.
Poteke amplitudnih odzivov naštetih realnih sit kaže (slika 17.4).
Značilnosti sit, ki so načrtana za različne frekvenčna področja lahko medsebojno
primerjamo le, če njihove amplitudne odzive normaliziramo. Tako
lahko selektivnost sita (to je hitrost prehoda med prepustnim in zapornim področjem
sita) primerjamo le, če normalizirano širino vmesnega pasu ω m −ω 1 :
ω m − ω 1
ω m
. (17.6)
V večini teoretskih obravnav se amplituda v grafih podaja v linearnem merilu,
pri praktičnih relizacijah pa v logaritmičnem. Slednje daje boljši pregled nad
karakteristiko. V obeh primerih amplitudo ponavadi normaliziramo tako, da
je njena največja vrednost v prepustnem pasu izenačena z 1 oziroma z 0 dB.
Frekvenčno skaliranje amplitudnega odziva
Vsesplošno je osvojen prikaz karakteristik sit v logaritemskem frekvenčnem
merilu. Pri tem ponavadi krožno frekvenco ω m postavimo na vrednost 1 rad/s
ali mejno frekvenco na 1Hz. Tako predstavljene amplitudne odzive lažje
medsebojno primerjamo.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.3 Realna nizka sita 71
|H( j)
A 0
Butherworthovo sito
|H( j)
A 0
A 0 2
m
Èebiševo sito
|H( j)
A 0
A 1
|H( j)
A 0
A 1
m
m
A 0 2 prehodni
pas
1
prehodni
pas
m
1
nedokonèana slika
inverzno Èebiševo sito
eliptièno ali Besselovo sito
Slika 17.4
Značilni poteki amplitudnih odzivov
nekaterih realnih sit.
A 0 0[ dB]
H( j)
H( j)
-3
-5
-10
A 0
A 0 2
0.4
0.2
0
10 2
10 2
10 1
10 1
1
1 2 3 5 10 1 10 2 10 3
m [ rad / s]
f m f m [ Hz]
10 1 10 2 10 3
m
[ rad / s]
f m [ Hz]
f m
Slika 17.5
Prikaz amplitudnega
odziva. Zgoraj
logaritemska skala za
amplitudo in frekvenco,
spodaj: linearna skala
za frekvenco in
logaritemska skala za
frekvenco. Prikazan je
amplitudni odziv
Butherworthovega
nizkega sita prvega
reda.
datoteka: signal_C

72 17. Analogna sita
Fazna karakteristika
Običajno frekvenčno skalo rišemo enako kot pri amplitudnem odzivu. Skalo
za fazo pa vedno linearno. Pri tem včasih izrišemo ves fazni razmah, mnogokrat
pa le osnovni cikel. Tu v primeru presega tega faznega zasuka, nadaljnji
potek rišemo zamaknjeno za vrednost enega cikla, to je 2π (slika 17.6).
Slika 17.6
Risanje faznega odziva. a: v celem, b:
razsekano na cikle zasuka.
( j)
-90 0
-180 0
-270 0
-360 0
-450 0
-540 0
0, 2 c 0, 5 c c
0, 2 c 0, 5 c c
2 c
2 c
5 c
5 c
( j)
-90 0
-180 0
-270 0
-360 0
Stopnični odziv
Normalizirani stopnični odziv dobimo z računanjem tega odziva iz normalizirane
prenosne funkcije. S tem je že podano skaliranje časovne osi. Amplitudni
obseg ne zavisi od te normalizacije, izbiramo ga sami. Stvarne frekvence
dobimo z delenjem normalizirane frekvence z mejno frekvenco.
Impluzni odziv
Normalizirani impulzni odziv dobimo podobno kot stopničnega - z njegovim
računanjem iz prenosne funkcije. S tem je določeno njegovo časovno in
amplitudno skaliranje. Stvarne amplitude dobimo z množenjem z mejno frekvenco.
Frekvenčni obseg pa z delenjem časovne skale z enakim faktorjem.
17.4 Ostala sita
Kaj pa ostale vrste sit Lažje kot ponovno raziskovanje značilnosti ostalih
vrst sit, je uporabiti obstoječe poznavanje nizkih sit ter ta sita nato transformirati
v želeno vrsto sita (visoko, pasovno prepustno in pasovno zaporno).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.4 Ostala sita 73
Visoko pasovna sita
Normalizirano prenosno funkcijo nizkega sita lahko pretvorimo v prenosno
funkcijo visokopasovnega sita tako, da preprosto invertiramo spremenljivke:
s −→ 1 s
(17.7)
Ta zamenjava povzroči, da se karakteristika nizko pasovnega sita zasuče okoli
normalizirane mejne frekvence (slika 17.7).Seveda mora biti pri tem skala lo-
[dB]
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
nizkopasovno
sito H( s)
c
c
c
visokopasovno
sito H( 1 s)
c
c
Slika 17.7
Transformacija nizkopasovnega sita v visokopasovno
sito. Poudarimo, da je amplitudni odziv narisan v
logaritemskem merilu!
garitemska. Enostavneje kot risanje zasukane krivulje je poiskati pomembne
recipročne frekvence in opazovati vse odzive ali lastnosti visokopasovnega
sita kar na nizkopasovnem situ.
Pasovna sita
Pasovna sita delimo na ozkopasovna in naširokopasovna. Delitev opravimo
na osnovi relativne širine prenosnega pasu. Pri vsaki zvrsti prepustnega pasovnega
sita uporabimo svojo metodo iskanja prenosne funkcije.
Širokopasovna sita
Dobimo ga lahko z zaporedno vezavo nizkopasovnega in visokopasovnega
sita. Ta način je sprejemljiv dokler je pasovnaširina prepustnega sita relativnoširoka
in amplitudni odziv po mejni frekvenci razmeroma hitro upada.
Relativno ozka pasovna širina in/ali počasno upadanje amplitudnega odziva
povzroči znatne izgube v sredini prepustnega pasu (slika 17.8).
Ozkopasovna sita
Normalizirano nizko sito pretvorimo v normalizirano ozkopasovno sito z naslednjo
zamenjavo spremeljivk:
s −→ s + 1 s
(17.8)
datoteka: signal_C

74 17. Analogna sita
Slika 17.8
Konstrukcija širokopasovnega sita iz zaporedne
vezave nizkopasovnega in visokopasovnega
sita.
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
nizkopasovno
visokopasovno
sito H( s)
sito H( 1 s)
pasovno sito
H( s) H( 1 s)
c
c
c
c
c
Središčna frekvenca tega sita je mejna frekvenca izhodiščnega nizkopasovnega
sita, frekvenčna karakteristika v logaritemskem merilu pa vedno simetrična.
Pri kateremkoli nivoju dušenja je pasovna širina pasovnega sita enaka
frekvenci, pri kateri ima nizkopasovno sito enako dušenje (slika 17.9).
Slika 17.9
Konstrukcija ozkopasovnega sita.
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
nizkopasovno
sito H( s)
W=1
ozkopasovno
sito H( 11
s)
c
c
c c
c
Zaporna sita
Normalizirano nizkopasovno sito pretvorimo v zaporno pasovno sito z naslednjo
zamenjavo spremenljivk:
s −→ s + 1
s 2 − 1
(17.9)
Središčna frekvenca tako dobljenega sita je mejna frekvenca nizkopasovnega
sita, dobljeno sito pa simetričnega izgleda, če ga rišemo v logaritemskem
merilu. Pri kateremkoli nivoju dušenja je pasovna širina zapornega sita enaka
recipročni frekvenci, pri kateri ima nizko sito enako dušenje (slika 17.10)
Slika 17.10
Konstrukcija pasovnega zapornega sita.
0
-5
-10
-15
-20
-25
-30
pasovno
zaporno
sito
c
c
nizkopasovno sito
c
c
c
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.5 Načrtovanje sit 75
17.5 Načrtovanje sit
Sistem, ki bo izvajal funkcijo želenega sita, načrtamo tako, da so njegove
lastnosti čimbolj podobne idealnemu (frekvenčnemu) situ. Njegovo načrtovanje
- sinteza poteka v dveh korakih:
1. Aproksimacija idealnega sita
Iščemo izvedljivo, to je kavzalno prenosno funkcijo H( jω), ki v najboljši
meri po izbranih kriterijih aproksimira želeno obliko amplitudnega
in faznega odziva sistema.
2. Sinteza vezja
Pri sintezi vezja iščemo fizikalne elemente, ki imajo ustrezne lastnosti
in z njimi sestavimo sistem, recimo električno vezje, ki s svojimi značilnostmi
najbližje lastnostim, ki jih določa prenosna funkcija H( jω).
Prvi korak načrtovanja poteka v glavnem v frekvenčnem prostoru. V tem
poglavju se bomo spoznali z poenoteno metodo načrtovanja sit. Pri metodi
enotnega načrtovanja vedno načrtamo le nizkopasovno sito - zanje bomo v
nadaljevanju zaradi krajšega pisanja uporabljali kratico NPS - ostala sita pa
dobimo s transformacijo normaliziranega NPS v želeno zvrst sita.
Od sit se bomo natančneje seznanili le z Butterworthovim sitom, ostala
sita pa bomo le prevedli na to osnovo. Drugi korak načrtovanja, to je sinteza
vezij, bomo le na kratko pregledali.
17.6 Aproksimacija prenosne funkcije idealnega nizko
pasovnega sita
Pravokotni obliki idealnega amplitudnega odziva se želimo približati s sestavo
polinoma. Pri tem izbiramo red polinoma in njegove korene tako, da
so na primer boki grafa čimbolj strmi, ali da je vrh grafa gladek, ali pa da je
poudarjena katera druga značilnost.
Slika 17.11
Prikaz aproksimacije
pravokotne oblike s
polinomom drugega in
četrtega reda.
datoteka: signal_C

76 17. Analogna sita
Prenosno funkcijo idealnega NPS želimo opisati z izvedljivo prenosno
funkcijo oblike:
H( jω) = H 0
(17.10)
C( jω)
kjer je H 0 konstanta (ki določa ojačenje sita) in C( jω) polinom oblike:
C( jω) = c 0 + c 1 ·( jω) + c 2 ·( jω) 2 +
c 3 ·( jω) 3 + ··· + c n ·( jω) n . (17.11)
Red polinoma določa red sita in v glavnem določa točnost aproksimacije prenosne
funkcije idealnega NPS. Močno vpliva tudi na število komponent, ki
jih potrebujemo pri izvedbi sita, torej določa stroške realizacije.
Zahteva po izvedljivosti sita določa naravo polinoma C( jω). Ta mora zato
imeti realne koeficiente c 0 ,c 1 ,c 2 ,···, ker pa mora biti sistem tudi stabilen,
morajo koreni karakterističnega polinoma C( jω) imeti negativni realni del.
Amplitudni spekter A(ω) = |H( jω)| določa ojačanje moči signala, ko potuje
skozi sito. Velja:
A 2 (ω) = |H( jω)| 2 = H( jω)H ∗ ( jω) =
H 2 0
C( jω)C ∗ ( jω)
(17.12)
Ker morajo biti koeficienti C( jω) realni, mora veljati:
in
C( jω) = C ∗ (− jω) (17.13)
A 2 (ω) =
H 2 0
C( jω)C(− jω)
. (17.14)
Sedaj je pravi trenutek, da iz frekvenčnega prostora preidemo v kompleksni.
To naredimo s formalno zamenjavo jω → s. V tem prostoru pa si oglejmo
značilnosti polinoma, ki ga določa produkt v imenovalcu (17.14):
F(s) = C(s)C(−s) . (17.15)
Iz (17.13) sledi, da če so s 0 ,s 1 ,··· koreni C(s), potem so −s = ,−s 1 ,··· koreni
C(−s) in ±s 0 ,±s 1 ,··· koreni polinoma F(s). Ker so koeficienti polinoma realni,
se vsi kompleksni koreni polinoma F(s) pojavljajo v konjugirano kompleksnih
parih (slika 17.12).
Dvojna simetrija je posledica definicije polinoma F(s) v (17.15) in zahteve,
da so koeficienti polinoma c k realni. Velja tudi nasprotno: vsak polinom
z dvojno simetrijo korenov lahko razcepimo v produkt polinomov C(s)
in C(−s) z realnimi koeficienti, od katerih je C(s) polinom z negativnimi realnimi
deli korenov. V obeh primerih je polinom C(s) lahko karakteristični
polinom izvedljivega, stabilnega sistema.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.7 Unificirano načrtovanje 77
s - ravnina
imaginarna os
-s 2
s* 2
-s 1
s* 1
Slika 17.12
Dvojno simetrični poli.
realna os
-s* 1
s 1
-s* 2
s 2
Postopek aproksimacije
Iz zgornjega izvajanja lahko sklepamo, da do prenosne funkcije izvedljivega
NPS pridemo po naslednji poti:
Aproksimiramo kvadrat ojačanja idealnega NPS z funkcijo (17.16),
kjer je polinom F(s) polinom z dvojno simetričnimi koreni.
Polinom F(s) faktoriziramo v obliko C(s)C(−s).
Oblikujemo prenosno funkcijo:
H(s) = H 0
∣ . (17.16)
C(s) s→ jω
Polinomov z lastnostjo dvojne simetrije korenov je neskončno mnogo.
Ustvarimo jih z izbiro dvojno simetričnih korenov v kompleksni ravnini.
Osnovni problem pri tem je taka določitev korenov, da bo sito imelo želene
lastnosti.
17.7 Unificirano načrtovanje
Pri načrtovanju sit želimo zaradi udobnosti in preglednosti enoten postopek
načrtovanja za vse vrste sit in za vsa frekvenčna območja, to je za vse mejne
frekvence. To dosežemo z normiranjem frekvence in razstavo sita na osnovne
gradnike ali celice, ki povezani v kaskado tvorijo sito želenega reda. Pri tem
izhajamo iz enačbe (17.16), ki v faktorizirani obliki izgleda tako:
H(s) = H 0
1
s − s 0
1
s − s 1
1
s − s ∗ 1
1 1
···
s − s n−1 s − s ∗ n−1
. (17.17)
datoteka: signal_C

78 17. Analogna sita
Slika 17.13
Razdelitev sita na osnovne
celice vezane v kaskado.
1
( s s )
0
1
( s s )
1
1
( s )
1
( )
+ s2
s + sn
- 1
Kaskadna zgradba sita
Vsak binom v (17.17) lahko naredimo z osnovnim gradnikom - sitom prvega
reda - ki v kaskadni povezavi sestavijo sito želenega reda (slika 17.13).
Napravimo sedaj formalno zamenjavo spremenljivk s → jω. Če frekvenco
izrazimo s periodo:
f k = 1 in ω k = 2π = 1 (17.18)
T k T k τ k
so poli prenosne funkcije (17.17) pri frekvencah 1/τ 0 ,1/τ 1 ,··· in polinom
C(s → jω) lahko zapišemo v obliki:
C(s → jω) = ( jω − 1 τ 0
)( jω − 1 τ 1
)···( jω − 1
τ n−1
)
= (1 + jωτ 0)(1 + jωτ 1 )···(1 + jωτ n−1 )
τ 0 τ 1 ···τ n−1
(17.19)
Vstavimo (17.19) v enačbo za prenosno funkcijo in dobimo:
H 0 τ 0 τ 1 ···τ n−1
H( jω) =
(1 + jωτ 0 )(1 + jωτ 1 )···(1 + jωτ n−1 )
H 00
H 01
=
(1 + jωτ 0 ) (1 + jωτ 1 ) ··· H 0(n−1)
(1 + jωτ n−1 )
(17.20)
kjer je ∏ n−1
k=0 H 0k = H 0 ∏ n−1
k=0 τ k.
Normiranje na mejno frekvenco gradnika sita
Pri unificiranem načrtovanju sita načrtujemo za normirano frekvenco ω m = 1
[rad/s]. Zato sedaj normirajmo prenosno funkcijo (17.20) tako, da delimo vse
frekvence z mejno frekvenco:
ω
ω m
= Ω . (17.21)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.7 Unificirano načrtovanje 79
Pri normiranju sita prvega reda, to je sita ki ima samo en (realen) pol, lahko
pri upoštevanju definicije za τ k izpeljemo:
H( jω) =
=
H k
1 + jωτ k
ω mk
ω mk
}{{}
=1
H k
1 + jΩ ω mk
ω mk
}{{}
=1
=
H k
1 + j ω
ω mk
ω mk
1/τ k
= H k
1 + jΩ , (17.22)
kjer je ω mk mejna frekvenca k-tega gradnika. Z oznako H( jΩ) poudarimo,
da imamo opravka z normirano prenosno funkcijo. Do tega zapisa lahko
pridemo s formalno zamenjavo spremenljivk S → jΩ, kjer je S normirana
kompleksna spremenljivka. Zanjo seveda v smislu (17.21) velja:
S =
Normiranje na mejno frekvenco kaskade
s = a + jω = A + jΩ . (17.23)
ω m ω m
Pri sitih višjega reda je skupna mejna frekvenca manjša od (najmanjše) posamezne
mejne frekvence posameznega sita v kaskadi. V to se zlahka prepričamo
iz prikaza na sliki 17.14.
| H( j)|
H 0
| H( j)|
H 0
| H( j)|
H 0
3 dB
6 dB
9 dB
6 dB/okt
3 dB
6 dB
9 dB
premik m
6 dB/okt
12 dB/okt
3 dB
6 dB
9 dB
premik m
6 dB/okt
12 dB/okt
18 dB/okt
m
m
m
m
m
m
Slika 17.14
Vpliv kaskadne vezave sit na skupno mejno frekvenco. V prikazu je upoštevana enaka mejna frekvence za vsa
sita v kaskadi.
Zato moramo pri normiranju vse kaskade upoštevati ta premik mejne frekvence.
Če upoštevamo, da (17.21) velja za skupno mejno frekvenco, lahko
datoteka: signal_C

80 17. Analogna sita
izpeljemo naslednjo normirano obliko kaskadnega zapisa sita:
H( jΩ) =
H 00
1 + jωτ 0
ω m
ω m
H 01
1 + jωτ 1
ω m
ω m
···
H 0(n−1)
Za k-ti gradnik kaskade lahko v smislu (17.22) zapišemo:
H( jΩ) =
=
H 0k
1 + jωτ k
ω m
ω m
=
1 + j
1 + jωτ n−1
ω m
ω m
(17.24)
H 0k
ω
ω m
ω m
ω k
}{{} }{{} (17.25)
=Ω =Ω k
H 0k
1 + jΩΩ k
kjer smo upoštevali 1/τ k = ω k in vpeljali novo oznako Ω k = ω k /ω m . Tako
smo prišli do normiranega zapisa prenosne funkcije poljubnega NPS:
H( jΩ) =
H 00 H 01
···
1 + jΩΩ 0 1 + jΩΩ 1
n−1
=
∏
k=0
H 0(n−1)
1 + jΩΩ n−1
(17.26)
H 0k
1 + jΩΩ k
Normiranje posameznega gradnika sita seveda normira gradnik na mejno
frekvenco, ki jo določa pol v gradniku. Vemo pa, da so pri polinomih z zahtevanimi
realnimi koeficient vsi kompleksni poli v konjugirano kompleksnih
parih. Predpostavimo, da kompleksne pare tvorijo poli:
{
realen
s 0
ga ni
n je lih
n sod
s 1 ←→ s n−1 = s ∗ 1
s 2 ←→ s n−2 = s ∗ 2
(17.27)
.
s k ←→ s n−k = s ∗ k
k = ⌊n/2⌋
Če zmnožimo binoma v imenovalcu prenosne funkcije s s k in s n−k , dobimo
kvadratno enačbo:
(s + s k )(s + s n−k ) = s 2 + (s k + s n−k )s + s k s n−k (17.28)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.7 Unificirano načrtovanje 81
ki ima korena s k in s ∗ k
. Ta rezultat uporabimo pri normirani prenosni funkciji
NPS. Dobimo:
H 0k H 0(n−k)
H( jΩ) =
1 + jΩΩ k 1 + jΩΩ n−k
(17.29)
H k
=
1 + (Ω k + Ω n−k )Ω + Ω k Ω n−k Ω 2
Sedaj se indeksi k ujemajo z zaporednimi gradniki kaskade sita, (slika 17.15).
Za krajše pisanje vpeljimo a k za Ω k + Ω n−k in b k za Ω k Ω n−k in splošni zapis
1
( S + S )
0
1
2
(1 + a1S
+ b1
S )
1
2
(1 + a1S
+ b1
S )
1
2
(1 + an- 1S + bn
- 1S
)
1
2
(1 + an- 1S + bn
- 1S
)
Slika 17.15
Kaskadna vezava gradnikov
NPS s samo kompleksnimi poli
(zgoraj) in s kompleksnimi ter
enim realnim polom (spodaj).
prenosne funkcije NPS sodega reda je:
ter lihega reda:
H( jΩ) =
n
∏
k=0
H( jΩ) = H 0
1 + Ω 0
n
∏
Računanje koeficientov a k in b k
H k
1 + a k Ω + b k Ω 2 (17.30)
k=1
H k
1 + a k Ω + b k Ω 2 . (17.31)
Koeficiente a k in b k izračunamo po metodi istoležnih koeficientov. Izhajamo
iz povezave:
H k
1 + a k Ω + b k Ω 2 = 1
(Ω + Ω ∗ k )(Ω + Ω k)
1
=
Ω k Ω ∗ k + (Ω k + Ω ∗ k
)Ω + Ω2
(17.32)
1
Ω k Ω ∗ k
=
1 + Ω k + Ω ∗ k
Ω k Ω ∗ Ω + 1
k
Ω k Ω ∗ Ω 2
k
od koder je pot do koeficientov a k in b k preprosta:
datoteka: signal_C
a k = Ω k + Ω ∗ k
Ω k Ω ∗ k
, b k = 1
Ω k Ω ∗ k
in H k = b k . (17.33)

82 17. Analogna sita
Računanje a k in b k iz kompleksnih frekvenc
Da lahko določimo, kje so normirani poli, se povrnemo kompleksnim frekvencam.
Z upoštevanjem (17.32) in
dobimo:
S k = −A k + jΩ k in S ∗ k = −A k − jΩ (17.34)
a k =
−A k + jΩ k − A k − jΩ k
(−A k + jΩ k )(−A k − jΩ k ) = − 2A k
A 2 k + Ω2 k
1
b k =
(−A k + jΩ k )(−A k − jΩ k ) = − 1
A 2 k + Ω2 k
(17.35)
(17.36)
Določitev lege normiranih polov
Sedaj predpostavimo, da imamo znane koeficiente a k in b k . Zanima nas, kje
ležijo normirani (konjugirano kompleksni) poli, ki jih določata.
Pola sta določena s koreni imenovalca v (17.29). Splošna rešitev te kvadratne
enačbe, je:
S k ,S ∗ k = − a k
2b k
± j
√
a 2 k − 4b k
Z upoštevanjem (17.35) in (17.36) v (17.37) lahko zapišemo:
√
−A k = − a k
2b k
, Ω k = j
a 2 k − 4b k
(slika 17.16) izpeljemo naslednjo pove-
Iz (17.36) lahko pri znanem kotu γ k
zavo:
2b k
(17.37)
2b k
, Ω ∗ k = − j
√
a 2 k − 4b k
2b k
− a k
2b k
= 1 b k
cosγ k oziroma a k = −2cosγ k (17.38)
kjer je tanγ k = Ω k /A k . Kasneje, pri obravnavi Butterworthovega sita bomo
spoznali, da je to zelo uporabna povezava, saj koreni Butterworthovega polinoma
so določeni na ta način.
17.8 Optimirana realna sita
V tem poglavju bomo opisali osnovne značilnosti realnih sit. Prvo bo Butterworthovo
sito, ki je optimirano tako, da ima maksimalno gladek potek
amplitudnega odziva. Drugo sito je Čebiševo sito. To je optimirano tako, da
ima kar se da linearno fazno karakteristiko.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.9 Butterworthovo sito 83
s - ravnina
{ S } =j
S k
j
1
A
k
ak
2b
k
k
A
2 2 1
k
k
k
Slika 17.16
b
{ S } = A
Odvisnost lege normiranega
kompleksno konjugiranega para
polov od a k in b k .
S *
k
j
Opisali bomo seveda le nizkopasovna in normirana sita. Ostala sita iz
njih dobimo z ustrezno transformacijo, ki smo jo opisali v poglavju 17.4 na
strani 72, dejanske mejne frekvence, zakasnitve in ostalo, pa z upoštevanjem
opisanih postopkov normiranja.
Spoznali bomo, da na karakteristike vpliva izbira polinoma F(s), ki mora
imeti – kot smo v prejšnjem poglavju spoznali – dvojno simetrične korene.
Koreni, ki imajo negativne realne vrednosti, seveda določajo iskani polinom
prenosne funkcije sita.
Poglavje bomo zaključili s kratkim pregledom gradnje aktivnih sit. To
so sita, ki jih v praksi zelo pogosto srečujemo. Sestavljena so iz uporov,
kondenzatorjev in ojačevalnikov. Ojačevalniki so zadolženi za impedančno
pretvorbo in da v ustrezni povezavi s kondenzatorji nadomestijo induktivnosti.
17.9 Butterworthovo sito
Butterworthovo sito je sito z gladkim potekom amplitudnega odziva, ki ga
dobimo z rešitvijo Butterworthovega nastavka:
F(S) = 1 + (−1) n (S) 2n , (17.39)
kjer je S normirana kompleksna frekvenca, S = s/ω m in F(S) polinom z
dvojno simetričnimi koreni: F(S) = C(S) = C(−S). Korene tega polinoma,
to je S 0 ,S 1 ,···s 2n−1 , določimo iz nastavka:
0 = 1 + (−1) n (S) 2n = 1 − (−1) n+1 S 2n , (17.40)
datoteka: signal_C

84 17. Analogna sita
iz katerega izpeljemo
(−1) n+1 S 2n = 1 −→ S 2n = (−1) −(n+1) = (−1) (n+1) −→
S = (−1) n+1
2n = (−1) ( 1 2 + 1
2n ) = (−1) 1 2 (−1)
1
2n
= j(−1) 1/2n
ki ga rešimo s pomočjo DeMoivreovega obrazca 1,2 . Izpeljemo lahko dva
obrazca za izračun korenov. Pri obeh upoštevamo, da je radij krožnice, na
kateri ležijo koreni |z| = | − 1| in začetni kot ϕ = π/2n (glej (17.41c) v spo-
1 Potenciranje kompleksnega števila (povzeto po [], str. 25): n-to potenco kompleksnega
števila izračunamo s pomočjo DeMoivreovega obrazca:
[r(cosϕ + j sinϕ)] n = r n (cosnϕ + j sinnϕ) , (17.41a)
Obrazec je uporabljiv pri poljubni vrednosti n: celi, ulomljeni, pozitivni ali negativni. Med
tem ko je pri celih vrednostih eksponentna n rezultat enoličen, je pri ulomljeni vrednosti,
torej pri korenjenju, rezultat večličen. Tako za kompleksno število z(cosϕ + j sinϕ) za
vsako naravno število n obstaja n rešitev enačbe:
x n = z . (17.41b)
Rešitev te enačbe je naslednjih n števil:
[
√
x k = n |z| cos ϕ + 2kπ + j sin ϕ + 2kπ ]
n
n
, k = 0,1,2, ·n − 1 . (17.41c)
Geometrično gledano so točke x k oglišča pravilnega n-kotnika s središčem v koordinatnem
izhodišču.
2 Potence imaginarne enote so:
j 2 = −1, j 3 = − j, j 4 = 1 , (17.42a)
in v splošnem
j 4n+k = j k . (17.42b)
Z upoštevanjem Eulerjevega obrazca:
e jϕ = cosϕ + j sinϕ
(17.42c)
lahko DeMoivreov obrazec zapišemo tudi v eksponentni obliki. Pri Butterworthovem situ,
je pride v poštev še naslednja izpeljanka (17.42c):
e jkπ/2 = cos kπ 2 + j sin kπ 2 = jk
(17.42d)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.9 Butterworthovo sito 85
dnjem povzetku DeMoivreovega obrazca). Prva oblika je:
S k = j| − 1| 1 2n
[
cos
( π
2n + 2kπ
2n
) (
+ j sin
π
2n + 2kπ )]
2n
(2k + 1)π (2k + 1)π
= −sin + j cos
2n
2n
k = 0,1,...2n − 1 .
(17.43)
Vidimo, da normirani koreni Butterworthovega polinoma ležijo enakomerno
razporejeni na krožnici s polmerom 1, oziroma koreni nenormiranega sita na
krožnici s polmerom ω m .
OPOMBA 17.1 Številčenje korenov, ki ga dobimo z DeMoivreovim obrazcem, se ne ujema s
številčenjem, ki smo ga uporabljali pri enotnem načrtovanju sit. Tam smo z indeksom 0 označili
koren, ki je imel le (negativni) realni del. Tukaj pa je z indeksom nič označen prvi izmed množice
korenov, ki imajo negativni realni del.
Druga oblika rešitve Butterworthovega polinoma upošteva, da množenje z
j povzroči zasuk korenov po krožnici za π/2 (glej (17.42c) in (17.42d) v
povzetku DeMoivreovega obrazca na strani 84):
S k = j| − 1| 1 2n e
j( π 2n + 2kπ
2n )
= e j π 2 e
j( 2n π + 2kπ
2n ) = e
j( π 2 + 2n π + 2kπ
2n ) = e
j n+2k+1
2n
π
(n + 2k + 1)π (n + 2k + 1)π
= cos + j sin
2n
2n
k = 0,1,...2n − 1 .
(17.44)
Primer lege za n = 3 kaže slika 17.17. Razmik med koreni je π/n radianov.
Koreni z indeksom k = 0,1,2,··· ,n − 1 imajo negativni realni del. Členi z
njimi tvorijo iskani polinom C(S).
s - ravnina
imaginarna os
s 0 s5 s0
s 1
s5 s1
realna os
Slika 17.17
Lega korenov Butterworthovega polinoma 3. reda.
Pozor, številčenje korenov se ujema z DeMoivreovim
obrazcem!
s
s
s s s
2 0
C( s) C( s)
4 2 0
datoteka: signal_C

86 17. Analogna sita
Z znanimi koreni lahko Butterworthov polinom zapišemo v faktorizirani
obliki:
F(S) = (S − S 0 )(S − S 1 )···(S − S n−1 ) ·
} {{ }
C(S)
(S − S −0 )(S − S −1 )···(S − S −(n−1) )
} {{ }
C(−S)
(17.45)
kjer prvih n faktorjev določa iskani karakteristični polinom NPS. Do prenosne
karakteristike H( jΩ) pridemo po že znani poti:
Naredimo formalno zamenjavo S → jΩ.
Izračunamo ojačanje moči signala, ki preide sito, torej A p ( jΩ):
A p ( jΩ) = |H( jΩ)| 2 = H2 0
F( jω) = H2 0
1 + Ω 2n (17.46)
S korenjenjem (17.46) dobimo iskano prenosno funkcijo:
H 0
|H( jΩ)| = √
1 + Ω 2n
(17.47)
Vidimo, da prenosna funkcija Butterworthovega NPS nima lihih potenc. Ojačenje
moči je soda funkcija. Butterworth je s svojim polinomom izvedel optimizacijo
NPS glede na zahtevo po maksimalno ravnem poteku (do mejne
frekvence) karakteristike A 2 p( jω).
ZGLED 17.9.1 (Butterworthovo sito 3. reda)
Izračunajmo korene polinoma C(S) s prvim in drugim obrazcem ter določimo prenosno
funkcijo Butterworthovega nizkopasovnega sita 3. reda!
Splošna oblika prenosne funkcije normiranega nizkega sita 3. reda je:
H(S) =
1
(S − S 0 )(S − S 1 )(S − S 2 )
.
Pri Butterworthovem normiranem nizko pasovnem situ lahko določimo z (17.44) (levi
stolpec) ali z (17.45) (desni stolpec):
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.9 Butterworthovo sito 87
obrazec (17.44):
S 0 = −sin [ 2·0+1
2n
π ] + j cos [ 2·0+1
2n
π ]
= −sin π 6 + j cos π 6 = −sin(30o ) + j cos(30 o )
= −0,5 + j0,8666
S 1 = −sin [ 2·1+1
2n
π ] + j cos [ 2·1+1
2n
π ]
= sin 3π 6 − j cos 3π 6 = sin(90o ) − j cos(90 o )
= −1
S 2 = −sin [ 2·2+1
2n
π ] + j cos [ 2·2+1
2n
π ]
= sin 5π 6 − j cos 5π 6 = sin(150o ) − j cos(150 o )
= −0,5 − j0,8666 .
obrazec (17.45):
S 0 = cos [ 2·0+3+1
2n
π ] + j sin [ 2·2+3+1
2n
π ]
= cos 4π 6 + j sin 4π 6 = cos(150o ) + j sin(150 o )
= −0,5 + j0,8666
S 1 = cos [ 2·1+3+1
2n
π ] + j sin [ 2·1+3+1
2n
π ]
= cos 6π 6 + j sin 6π 6 = cos(180o ) + j sin(180 o )
= −1
S 2 = cos [ 2·2+3+1
2n
π ] + j sin [ 2·2+3+1
2n
π ]
= cos 8π 6 + j sin 8π 6 = cos(240o ) + j sin(240 o )
= −0,5 − j0,8666 .
Iz zgornje primerjave izračunov korenov polinoma C(S) vidimo, da obe obliki izračuna
data enak rezultat. Z znanimi koreni je prenosno funkcijo preprosto določiti:
H(S) =
1
(S + 1)(S + 0,5 + j0,8666)(S + 0,5 − j0,8666)
oziroma v faktorizirani obliki, ki jo uporabljamo pri realizaciji s kaskadno vezavo členov
prvega in drugega reda:
H(S) = 1 1
S + 1 S 2 + S + 1
♦
Iz (17.43) in (17.44) sledi, da Butterworthovo NPS n-tega reda ima n polov
in nič ničel. Prav tako sledi, da so ti poli enakomerno porazdeljeni na
polkrogu v levi polovici s ravnine.
Sita višjega reda ponavadi realiziramo s kaskadno vezavo členov prvega
in drugega reda. Pri Butterworthovih NPS splošna oblika kaskadnega zapisa
(17.30) in (17.31) preide pri sitih sodega reda v:
ter pri sitih lihega reda v:
H(S) =
n
∏
k=1
H(S) = H 0
1 + S
1
1 + a k S + S 2 (17.48)
n
∏
k=1
1
1 + a k S + S 2 (17.49)
Kvadratni polinomi so seveda tako izbrani, da enakomerno razporejajo pole
na polkrožnici v levi polovici s ravnine. Koeficiente a k , ki to omogočijo,
datoteka: signal_C

88 17. Analogna sita
Tabela 17.1
Koeficienti Butterworthovih sit
2. reda 3. reda 4. reda 5. reda 6. reda 7. reda 8. reda
a 1 1,414214 1,0 0,765357 0,618034 0,517638 0,445042 0,390181
a 2 1,847759 1,618034 1,414214 1,246980 1,111140
a 3 1,931852 1,801938 1,662939
a 4 1,961571
lahko s pomočjo računalnika za normirane frekvence sproti izračunamo, izračunane
in tabelirane pa najdemo v mnogih priročnikih o načrtovanju sit. Za
sita do osmega reda so zbrani tudi v tabeli 17.1.
Poglejmo si še, kako iz dane karakteristike amplitudnega odziva Butterworthovega
nizkega sita določimo parametre H 0 ,n in ω m . Pri tem bomo
izhajali iz prikaza na sliki 17.18 in iz (17.44).
Slika 17.18
Karakteristične točke amplitudnega
odziva Butterworthovega nizkega
sita.
H 0 0 dB
A 1
H( j)
A 2
1 2
Na sliki 17.18 vidimo dve oporni točki, s pomočjo katerih določimo potrebni
red sita. Prva točka je A 1 pri frekvenci ω 1 , druga pa pa A 2 pri frekvenci
ω 2 . Za prvo lahko zapišemo:
H 0
A 1 =
.
√1 + (ω/ω 1 ) 2n
Iz moči signala v tej točki sledi:
A 2 H 2 [
0
1 =
1 + (ω/ω 1 ) 2n → A2 1 1 + (ω/ω 1 ) 2n] = H0
2
in ( ) ω 2n ( ) 2 H0
= − 1 = m . (17.50)
ω 1 A 1
Podobno izpeljavo naredimo še za točko A 2 pri frekvenci ω 2 :
A 1 =
H 0
√
1 + (ω/ω 2 ) 2n
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.9 Butterworthovo sito 89
in ( ) ω 2n ( ) 2 H0
= − 1 = z . (17.51)
ω 2 A 1
Iz razmerja:
( ω
ω 1
) 2n
( ω
ω 2
) 2n
=
( ) 2 H0
− 1
A 1
( ) 2
= m ( ) 2n
H0 z = ω2
(17.52)
ω 1
− 1
A 2
izračunamo potrebni red sita, ki zagotovi zahtevano ojačenje sita pri ω 2 , z
logaritmiranjem:
log m z = 2nlog ω 2
ω 1
in
n = 1 log m z
2 log ω . (17.53)
2
ω 1
Obrazec (17.53) velja za poljubno logaritemsko osnovo. Ponavadi za osnovo
izberemo 10, lahko pa jo izberemo tako, da nam olajša računanje.
ZGLED 17.9.2 (Red Butterworthovega sita)
Določimo red sita nizkopasovnega Butterworthovega sita, od katerega zahtevamo, da
je izhod izhoda pri frekvenci ω 1 enaka 1,024 [V], pri frekvenci ω 2 = 2ω 1 pa 2 [mV].
Iz (17.53) sledi:
n = 1 log 1,024
0,002
2 log 2ω = 1 log2 10
1 2 log2
ω 1
Za lažje računanje izberemo logaritem z osnovo 2. Dobimo:
n = 1 10log 2 2
2 log 2 2 = 1 2 10 = 5
Ponovno poudarimo: izbira osnove logaritma ne vpliva na rezultat izračuna reda sita.
Preverimo to še z izračunom reda, kjer za logaritemsko osnovo vzamemo 10:
n = 1 log 10 2 10
2 log 10 2 = 1 10log 10 2
2 log 10 2 = 5 ♦
Amplitudni in fazni odziv
Butterworthovega nizkopasovnega sita
Sliki 17.19 in 17.20 kažeta amplitudne odzive Butterworthovih nizkopasovnih
sit od prvega do osmega reda, na sliki 17.21 pa je fazna karakteristika teh
sit.
datoteka: signal_C

90 17. Analogna sita
Slika 17.19
Amplitudni odzivi Butterworthovih
nizkih sit. Potek do mejne frekvence.
H( ) [dB]
A 0 0
0
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
n 1 2 3 4
n 8
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,9
[rad/s]
m
Slika 17.20
Amplitudni odzivi Butterworthovih
nizkih sit. Potek nad mejno
frekvenco.
H( ) [dB]
A 0 0
10
20
30
40
50
60
70
n 8
n
n
n 1
n
n
n
m 2 m 3 m 4 m 5 6 7 8 9 10
[rad/s]
Slika 17.21
Fazna karakteristika
Butterworthovih nizkih sit.
( )
90 0
n 1
180 0
n
270 0
n
360 0
n
450 0
n
540 0
n
630 0
n
720 0
n
0,1 m 1 m 10 m
[rad/s]
Impulzni odziv
Impulzne odzive normaliziranih Butterworthovih nizih sit kaže (slika 17.22).
Iz slike vidimo, da se zakasnitev vrha odziva veča z redom sita. Iz normaliziranih
odzivov dobimo dejanskega tako, da časovno skalo delimo z mejno
frekvenco, amplitudno pa z njo pomnožimo, (slika 17.23).
Stopnični odziv
Odzive Butterworthovih nizkih sit na stopnico kažeta sliki 17.24 in 17.25. Iz
pokazanih normaliziranih odzivov dobimo dejanske poteke odzivov za mejno
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.9 Butterworthovo sito 91
normalizirana
amplituda
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,1
0,2
n 3 n 5n 7
Slika 17.22
Normalizirani impulzni odziv
Butterworthovih nizkih sit.
0
5 10 15 20
t [ s]
normalizirana
amplituda
125,60
100,48
75,36
50,24
25,12
0,00
,12
50,24
n 5
Slika 17.23
Impulzni odziv
Butterworthovega nizkega sita
3. reda z mejno frekvenco
f m = 4 [kHz].
0
200 400 600 800
t [ s]
frekvenco ω m = 2π f c tako, da časovno skalo delimo s to frekvenco, amplitudno
pa z njo pomnožimo torej enako kot pri impulznem odzivu. Primer
odziva sita z mejno frekvenco 4 kHz kaže slika 17.25. Na sliki je posebej
1,4
1,2
1,0
n 2
n 4
n 6 n 8
normalizirana
amplituda
0,8
0,6
0,4
Slika 17.24
Normaliozirani stopnični odzivi
Butterworthovih nizkih sit.
0,2
0
0
5 10 15 20
t [ s]
označen prvi prehod preko končne vrednosti, ki jo določa stopnica.
datoteka: signal_C

92 17. Analogna sita
1,4
Slika 17.25
Stopnični odziv
Butterworthovega nizkega sita
3. reda z mejno frekvenco
f m = 4 [kHz].
normalizirana
amplituda
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
n 4
200 400 600 800
150 t [ s]
17.10 Čebiševo sito
Čebiševo nizkopasovno sito je tako oblikovano, da ima kar se da strmi prehod
iz prepustnega v zaporni pas. Ta strm prehod žal se plača z valovitostjo
amplitudnega odziva v prenosnem pasu. Videli bomo, da s postopkom načrtovanja
lahko vplivamo na velikost te valovitosti. V primeru, da ga odpravimo,
Čebiševo sito preide v Butterworthovo.
Prenosna funkcija normirana na ω r
Splošni potek amplitudnega odziva smo pokazali že v drugem poglavju. Na
sliki 17.26 so podane karakteristične točke, na katere se opiramo pri načrtovanju.
To sta frekvenci ω r , ki jo določa valovanje amplitudnega odziva in
frekvenca ω m , ki jo določa upad moči na eno polovico. Ti dve frekvenci uporabimo
za normiranje odziva. Normiranje z ω r je ugodnejše pri načrtovanju
sita, normiranje z ω m pa daje možnost primerjave z ostalimi tipi sit.
Splošna oblika prenosne funkcije Čebiševega sita, ki je normirano na frekvenco
ω r , je:
H 0
H(S) =
n
∏ (S − S k )
k=1
⎧
n
⎪⎨ ∏ −S k
k=1
H 0 =
⎪⎩ 10 r/20 ∏
n −S k
k=1
n = lih
n = sod
(17.54)
(17.55)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.10 Čebiševo sito 93
H( ) [dB]
A 0 0
A 1
r
A 2
Slika 17.26
Karakteristične točke
normaliziranega Čebiševega
nizkega sita.
2
[rad/s]
m
0,1 0,2 0,3 2 m 3 m 10
0,1 0,2 0,3 2 m 3 m 10
r
Lege polov so določene z naslednjimi enačbami:
S k = A k + jΩ k (17.56)
A k = γ−1 − γ
2
Ω k = γ−1 − γ
γ =
(2k − 1)π
sin
2n
2
(
1 + 1 √ 1 + ε 2
(17.57)
(2k − 1)π
cos (17.58)
2n
) 1/n
(17.59)
ε
ε = √ 10 r/10 − 1 (17.60)
Takoj vidimo, da je korene Čebiševega polinoma bolj zapleteno določiti kot
Butterworthovega. Pri načrtovanju moramo najprej določiti parametre r,γ in
ε.
Glede na izbrano normiranje, imamo dva postopka določanja karakteristične
funkcije Čebiševih sit. Najprej si oglejmo postopek, ko sito normiramo
na frekvenco ω r . Postopek je naslednji:
1. Določimo velikost valovanja amplitudnega odziva v propustnem območju
sita. To velikost označimo z r, ki je neka ali manjši od te vrednosti.
2. Z (17.60) izračunamo ε.
3. Izberemo red sita, s katerim zagotovimo želene lastnosti
4. Z (17.59) izračunamo γ.
datoteka: signal_C

94 17. Analogna sita
5. Z (17.57) in (17.58) izračunamo realni in imaginarni del vsakega pola.
6. Z (17.55) izračunamo H 0 .
7. Izračunamo (17.54).
ZGLED 17.10.1
Določimo prenosno funkcijo Čebiševega nizkega sita 3. reda normiranega na ω r !
REŠITEV:
V skladu z opisanim postopkom računamo:
1. Določimo velikost valovanja amplitudnega odziva v propustnem območju sita.
To velikost označimo z r, ki je neka ali manjši od te vrednosti.
2. r = 0,5 dB
3. ε = √ 10 r/10 − 1 = √ 10 0,5/10 − 1 = 0,34911
4. n = 3
(
5. γ =
1+√
1 + ε 2
6.
ε
A 1 = γ−1 − γ
2
) 1/n
=
(
1+√
1 + 0,349311 2
0,349311
(2·1 − 1)π
sin
2·3
= 1,806477−1 − 1,806477
2
(2·1 − 1)π
sin
2·3
= 1,806477−1 − 1,806477
Ω 1 = γ−1 − γ
2
.
S 1 = −0,313228 + j1,021928
S 2 = −0,626457
S 1 = −0,313228 − j1,021928
7. H 0 = ∏ 3 k=1 −S k = 0.715695
2
) 1/3n
= 1,806477
(21 − 1)π
sin = 0,313228
6
(2·1 − 1)π
sin = 1,021928
6
Na sliki 17.27 vidimo, da poli ležijo na levi polovici kompleksne ravnine s. Skozi pole
lahko potegnemo polelipso. Elipsa ima glavno os na imaginarni osi s ravnine, malo os
pa na realni osi.
♦
Velikost elipse, na kateri ležijo poli in lega polov je odvisna od dovoljene
valovitosti amplitudnega odziva. Tipične vrednosti valovitosti so med 0,01
dB in 1dB. Manjšo valovitost zahtevamo, širši je vmesni pas med prepustnim
in zapornim. Pri valovitosti 0 dB je Čebiševo sito enako Butterworthovem.
Kompromisna vrednost, pri kateri je valovitost dovolj mala, hkrati pa prehod
bistveno bolj strm kot pri Butterworthovem situ, je 0,5 dB.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.11 Aktivna sita 95
imaginarna os
s - ravnina
-1
s 0
s 1
realna os
Slika 17.27
Lega polov Čebiševega nizkega sita 3
reda z valovitostjo r = 0,5. Za primerjavo
je črtkano vrisan odsek krožnice, na
kateri ležijo poli Butterworthovega
nizkega sita istega reda (označeni z
malimi križci).
s 1
Prenosna funkcija normirana na ω m
Prenosna funkcija Čebiševega sita, ki je normirano na mejno frekvenco ω m
ima pole zamaknjene za korekcijski faktor R:
H ωr (S) =
H 0 /R n
∏ n k=1 (S + S k/R)
R = coshA = eA + e −A
A = cosh−1 (1/ε)
n
2
(
= 1 n log 1 + √ 1 − ε 2
ε
)
(17.61)
(17.62)
(17.63)
Čebiševo sito normirano na ω r lahko pretvorimo v sito normirano na ω m po
naslednjem postopku:
1. Z (17.63) izračunamo A.
2. Z (17.62) izračunamo faktor R.
3. Vsak pol delimo z R.
4. Števec H 0 delimo z R n .
17.11 Aktivna sita
Aktivna sita so sita, ki vsebujejo operacijske ojačevalnike. Njihova naloga
je fazni zasuk signalov, ki omogoča nadomeščanje induktivnosti s kapacitivnostmi,
potem impedančna pretvorba, ki omogoča razklop med segmenti
vezja sita in po potrebi ojačenje signala na zahtevani nivo.
datoteka: signal_C

96 17. Analogna sita
Aktivna sita lahko načrtujemo na mnogo načinov. Izmed vseh bomo povzeli
le en recept. Poleg tega se bomo seznanili z vrstami aktivnih sit.
Načrtovanje aktivnih nizkopasovnih sit
Oglejmo si metodo načrtovanja aktivnih sit, ki temelji na tehniki enotnega
načrtovanja. Povzamemo jo lahko z naslednjim receptom:
1. Izberemo amplitudni odziv sita. S tem določimo tip sita, na primer
Butterworthovo sito, Čebiševo sito ali katero drugo.
2. Določimo minimalni red sita, to je n, s katerim ustrežemo zahtevanim
lastnostim sita.
3. Če je n sodo število, oblikujemo n/2 nizkopasovnih gradnikov drugega
reda, pri lihem pa (n − 1)/2 nizkopasovnih gradnikov drugega reda in
en gradnik prvega reda.
Oblikovanje izvedemo tako, da zapišemo prenosno funkcijo v faktorizirani
obliki. Koeficiente a k ,b k izračunamo ali pa poiščemo v tabelah.
4. Izberemo električno vezavo aktivnega sita, s katerim realiziramo gradnik
kaskadne verige sita.
Obstaja več vezij za dosego tega cilja. Ugodna je izbira takega vezja,
kjer s preprosto redukcijo enostavno preidemo iz gradnika 2. reda v
gradnik 1. reda.
5. Zapišemo prenosno funkcijo električnega vezja osnovnega gradnika in
jo primerjamo s prenosno funkcijo gradnika, ki ga želimo narediti. Iz te
primerjave z metodo istoležnih koeficientov določimo velikosti uporov
in kondenzatorjev. V mnogih priročnikih za načrtovanje aktivnih sit so
te enačbe ponavadi že izpeljane.
Izbira vezij za aktivna sita je pogosto odvisna od želenih impedančnih prilagoditev
in drugih lastnosti, kot so potrebno število pasivnih elementov, operacijskih
ojačevalnikov in drugo. Primer vezja in uporabo recepta si poglejmo
v naslednjem zgledu.
ZGLED 17.11.1 (Aktivno nizkopasovno sito prvega reda)
Načrtajmo sito prvega reda z vezjem, ki ga kaže slika 17.28.
REŠITEV: Za napetost na izhodu vezja velja u o (t) = u c (t)A u , zato najprej izračunamo
u c (t). V primeru uporabe Laplaceove transformacije smo izračunali, da je napetost
na kondenzatorju enaka:
U c (s) =
U i(s)
1 + sRC .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.11 Aktivna sita 97
i i
R
i i
u c
ui( t) C
uo( t) = A u u c ( t)
R 41
Slika 17.28
Primer analognega aktivnega sita prvega reda.
R 31
Če upoštevajmo, da je U o (s) = A u U c (s), je prenosna funkcija vezja:
H(s) =
A A u
u
1 + sRC = RC
s +
RC
1
. (17.64)
Dobljeni rezultat sedaj primerjajmo z izpeljavami pri enotnem načrtovanju sit. Za normirano
(nizko prepustno) sito prvega reda. Ustrezna splošna oblika prenosne funkcije
je:
H 1 (s) = H 01
(17.65)
1 + a 1 S
Normirana prenosna funkcija narisanega vezja je:
H 1 (s) =
A u A u
ω
1 + sR m
=
C ω m
1 + ω m RCS
(17.66)
S primerjavo istoležnih koeficientov v (17.66) in (17.65) dobimo:
Mejno frekvenco določa pol prenosne funkcije, enaka je
ω m RC = a 1 H 1 = A u (17.67)
ω m = 1
RC .
Ker imamo več spremenljivk kot enačb, moramo nekaj elementov izbrati.
izberemo kondenzatorje, upore pa izračunamo.
Običajno
♦
Vrste aktivnih analognih sit
Pri načrtovanju analognih aktivnih sit bomo predpostavili, da je operacijski
ojačevalnik idealen. To pomeni, da ima neskončno diferencialno ojačenje,
neskončno vhodno upornost, neskončno pasovno širino, da so brez šuma,
popolnoma simetrični in da je izhodna impedanca enaka nič.
Aktivna sita z neskončnim ojačenjem in enojno povratno zanko: sita IGSFB
Ta sita sestavljajo dva pasivna četveropola z R in C elementi ter operacijski
ojačevalnik (slika 17.29).
datoteka: signal_C

98 17. Analogna sita
Y 12A
i iB
Y 12B
i iA i oA i oB
Slika 17.29
Sito tipa IGSFB.
u t
i( ) u oA = u iB
u o (t)
A
B
Pasivna četveropola A in B določata prenosno funkcijo, ki je v splošnem
drugega reda. Iz sheme na sliki 17.29 sledi v(t) = u iA (t), y(t) = u oB , u iB (t) =
u oA in i oA = i iB . Če vezji A in B zapišemo z uporabo admitančnih enačb, to
je z Y četveropolnimi enačbami, dobimo za prenosno funkcijo:
Y (s)
V (s) = Y 21A
Y 12B
. (17.68)
Slika 17.30
Admitančni ali Y pasivni četveropol.
i i
Y
1 12 = Y 12
2
ui( t) Y 11 Y 22 uo( t)
1'
2'
i o
Pri tem situ ni možno neodvisno nastavljati ojačenja, mejne frekvence itd.
Ta sita niso fleksibilna (prilagodljiva).
Aktivna sita z neskončnim ojačenjem in večkratno povratno zanko: sita
IGMSFB
Ta aktivna sita (slika 17.31) načrtujemo podobno kot sita IGSFB. Ponovno
uporabimo upore in kondenzatorje za pasivne elemente. Pri načrtovanju pred-
i 4 i 4
Slika 17.31
Sito tipa IGMFB.
u t i( )
i 1 e i
Y 4 Y 5
Y 1 Y 3 i 5
Y 2
uo( t)
u 2
i 2
postavimo, da velja e i = 0 in i 3 = i 5 . Najprej določimo napetost u 2 :
u 2 (Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 ) − u 0 Y 4 − e i Y 3 = u 1 Y 1 (17.69)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.11 Aktivna sita 99
sledi:
in
i 3 = u 2 Y 3 = i 5 = −u 0 Y 5 (17.70)
Y 5
u 2 = u 0 (17.71)
Y 3
Vstavimo (17.70) v (17.68) in dobimo prenosno funkcijo:
u 0
Y 1 Y 3
=
(17.72)
u 1 Y 5 (Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 ) +Y 4 Y 5
To sito ima podobne lastnosti kot sito IGSFB: vsi elementi vplivajo na ojačenje
in mejno frekvenco. Kompleksnost načrtovanja tega sita naraste, kadar
njegove ničle niso v izhodišču s ravnine.
Aktivna sita z napetostno krmiljenim napetostnim izvorom: sita VCVS
Ta zvrst aktivnih sit uporablja operacijske ojačevalnike z malim invertirajočim
ali neinvertirajočim ojačanjem. Postopek načrtovanja ponavadi imenujemo
po avtorjih: Sallen-Keyev postopek. Primer nizkopasovnega sita VCVS
kaže slika 17.32. Analiza tega preprostega vezja ne dela težav. Upoštevamo,
C 1 R 1 R 2
i
i R 1 i 1 R
Slika 17.32
2 u 2
A
u 1 i u
2
ui( t) C 2
uo( t)
A u
da je u 0 = A u u 2 , kjer je
U 2 (s) =
U 1(s)
. (17.73)
1 + sR 2 C 2
Z upoštevanju Kirchovega tokovnega zakona (vsota tokov v vozlišču je enaka
nič) zapišimo:
I i (s) = I 1 (s) + I 2 (s)
U i (s) −U 1 (s)
R 1
= s[U 1 (s) −U o (s)]C 1 + [U 1 (s) −U 2 (s)] 1 R 2
za krajše pisanje izpustimo pisanje argumenta, potem odpravimo ulomek na
levi strani ter razrešimo oklepaje:
R 1 R 1
U i −U 1 = sU 1 R 1 C 1 − sU o R 1 C 1 +U 1 −U 2
R 2 R 2
Iz enačbe (17.73) izračunamo U 1 ter upoštevamo, da je U o = A u U 2 :
Nizko prepustno
aktivno sito VCVS.
datoteka: signal_C

100 17. Analogna sita
U i −U 2 (1 + sR 2 C 2 ) = sU 2 (1 + sR 2 C 2 )R 1 C 1 − sU o R 1 C 1 +U 2 (1 + sR 2 C 2 ) R 1
R 2
−U 2
R 1
R 2
= sU 2 R 1 C 1 + s 2 R 2 C 2 R 1 C 1 − sA u U 2 R 1 C 1 +U 2
R 1
R 2
+ sU 2 R 2 C 2
R 1
R 2
−U 2
R 1
R 2
= sU 2 [R 1 C 1 − A u R 1 C 1 + sR 2 1C 2 ] + s 2 R 2 C 2 R 1 C 1
na vsaki strani enačbe zberemo člene z isto napetostjo:
U i = U 2 + sU 2 [R 2 C 2 + R 1 C 1 − A u R 1 C 1 + sR 2 1C 2 ] + s 2 U 2 R 2 C 2 R 1 C 1
[
]
= U 2 1 + s[R 2 C 2 + R 1 C 1 − A u R 1 C 1 + sR 2 1C 2 ] + s 2 U 2 R 2 C 2 R 1 C 1
(17.74)
ponovno upoštevamo U o = A u U 2 ter izrazimo razmerje U o /U i :
U 0 (s)
U i (s) = H(s) =
A u
1 + [ C 2 (R 1 + R 2 ) + R 1 C 1 (1 − A u ) ] s +C 1 C 2 R 1 R 2 s 2 . (17.75)
V Sallen-Keyevi obliki zapisa nizkega sita je A u = 1, zato se prenosna funkcija
poenostavi v:
v 0
= Y (s)
v i V (s) = H(s) = 1
1 +C 2 (R 1 + R 2 ) s +C
} {{ } 1 C 2 R 1 R 2 s
} {{ }
2 , (17.76)
=b 1 =a 1
ki ima mejno frekvenco pri:
1
ω m = √ . (17.77)
C1 C 2 R 1 R 2
Kako pa izgleda vezje visokopasovnega aktivnega sita VCVS Iz pravila
transformacije nizkega sita v visoko, to je s zamenjavo s z 1/s, lahko sklepamo,
da morajo medsebojno zamenjati lego kondenzatorji in upori (slika 17.33).
Slika 17.33
Visoko prepustno aktivno sito
VCVS.
R 1
i i C 1 i 1 C 2 u 2
A
u 1 i u
2
ui( t) R 2 uo( t)
A u
Ponovno predpostavimo, da je A u = 1. Potem je prenosna funkcija visokega
sita enaka:
u 0
s 2 C 1 C 2 R 1 R 2
=
u i 1 + (C 1 R 1 +C 2 R 2 )s +C 1 C 2 R 1 R 2 s 2 , (17.78)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

17.11 Aktivna sita 101
ki ima mejno frekvenco pri:
1
ω m = √ . (17.79)
C1 C 2 R 1 R 2
Vidimo, da sta mejni frekvenci sit pri zamenjavi s z 1/s isti. Z izbiro A u = 1
smo seveda izbrali tudi tip sita. To sito imenujemo nedušeno sito. Ostale vrste
sit lahko preprosto dobimo z izbiro ojačenja. če za upore in kondezatorje v
vezju sita velja R 1 = R 2 = R in C 1 = C 2 = C, potem je prenosna funkcija
aktivnega sita enaka:
H 1 (s) = u 0
u i
=
A u
1 + [2CR +CR(1 − k v )]s +C 2 R 2 s 2
A u
=
1 +CR(2 + 1 − k v )s +C 2 R 2 s 2
A u
=
1 +CR(3 − k v )s +C 2 R 2 s 2 ,
(17.80)
kjer sedaj z izbiro ojačenja A u izbiramo tudi tip sita (tabela 17.2).
Tabela 17.2
Določitev vrste sita z ojačenjem A u
A u
tip sita
1 kritično dušeno sito
1,268 Besselovo sito
1,586 Butterworthovo sito
2.234 Čebiševo sito s 3 dB valovitosti
3 nedušeno sito
datoteka: signal_C

18
Digitalna sita
DIGITALNO SITO je matematični algoritem, ki ga zapisanega v obliki
programa ali rutine izvajajo ali namenska elektronska vezja, digitalni
signalni procesorji (to so za digitalno obdelavo signalov specializirani
mikroprocesorji) ali splošni računalniki.
18.1 Uvod v digitalna sita
Z digitalnimi siti pogosto obdelujemo digitalizirane analogne signale. V takih
primerih je pred siti nameščen analogno digitalni pretvornik, za njimi
pa digitalno analogni pretvornik. Sistem dopolnjujeta še analogni siti. Vhodno
sito preprečuje prekrivanje spektrov, izhodno sito pa gladi izhodni signal
(slika 18.1). Obdelujemo pa lahko tudi samo števila, ki predstavljajo kakšno
spremenljivko. Ta števila so ponavadi hranjena v pomnilniku računalnika.
v( t) vhodno
v[ n]
digitalni y[ n] y( t)
ADC
procesor
DAC
izhodno
sito
sito
Slika 18.1
Blokovna shema digitalne
obdelave analognega signala v
sprotnem času.
Digitalna sita so zelo pomemben segment digitalne obdelave signalov. V
primerjavi z analognimi siti, jim dajemo prednost v mnogih uporabah, na
primer pri stiskanju podatkov, pri obdelavi biomedicinskih signalov, obdelavi
govornih signalov, prenosu podatkov, digitalni audio tehniki, odpravljanju
odmeva v telefoniji in še na mnogih drugih področjih, kjer so pomembne
naslednje njihove prednosti:
103

104 18. Digitalna sita
Digitalna sita lahko imajo značilnosti, ki jih analogna sita nimajo. Na
primer, fazna karakteristika je resnično linearna.
Pri digitalnih sitih se lastnosti sita ne spreminjajo s spreminjanjem okoliške
temperature ali zaradi staranja elementov. Zaradi tega ne potrebujejo
periodičnega nastavljanja oziroma kalibracije kot je to potrebno
pri analognih sitih.
Digitalnim sitom, ki so realizirana s programljivimi procesorji, lahko
preprosto spreminjamo karakteristiko. Zato so adaptivna sita ponavadi
digitalne izvedbe.
Eno digitalno sito lahko z dodanim multipleksorjem in demultipleksorjem
sočasno obdeluje več signalov (slika 18.2).
Slika 18.2
Blokovna shema sočasne digitalne obdelave
večih signalov.
v1[ n] y1[ n]
digitalni
MUX signalni DEMUX
procesor
vk[ n] yk[ n]
Vhodne in izhodne podatke, ki jih obdeluje digitalno sito, lahko preprosto
hranimo za kasnejšo uporabo.
Prednosti, ki jih prinaša razvoj VLSI vezij, kot so manjša vezja, manjša
poraba energije, predvsem pa manjša cena, ne zahtevajo novega razvoja
algoritma sita.
V praksi je ujemanje lastnosti analognih sit s specifikacijami precej
omejeno. Na primer, pri aktivnih sitih s standardnimi elementi dosežemo
v zapornem pasu največ 60 do 70 dB dušenja. Pri digitalnih sitih
dušenje omejuje le natančnost zapisa, to je število številk v zapisu koda
otipka signala in koeficientov sita.
Ponovljivost lastnosti je digitalnim sitom inherentna.
Digitalna sita so tudi pri zelo nizkih frekvencah, te so značilne na primer
za mnoge biomedicinske signale, fizično majhna. Pri teh frekvencah
so analogna sita zelo velika. Digitalna sita lahko delujejo tudi pri
različnih frekvencah – spremeniti moramo le frekvenco tipanja.
Digitalna sita seveda nimajo samo prednosti. Med slabosti, ki jih imajo v
primerjavi z analognimi, izpostavljamo:
Omejitev hitrosti. Maksimalna pasovna širina signala, katerega lahko
z digitalnim sitom obdelamo v realnem času, je mnogo manjša kot
pri analognih sitih. Omejitve digitalne tehnike so v hitrosti analognošarko
ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.2 Vrste digitalnih sit 105
digitalne in digitalno-analogne pretvorbe, hitrosti procesorja ter števila
aritmetičnih operacij, ki se morajo izvršiti.
Končna dolžina besede. Na rezultat delovanja digitalnega sita zelo
vplivata kvantizacijski šum, ki nastane pri analogno-digitalni pretvorbi
in numerični šum, ki nastane zaradi zaokroževanja števil pri računanju.
Pri rekurzivnih sitih visokega reda se zaradi tega lahko pojavi nestabilnost
v delovanju digitalnega sita.
Dolgo načrtovanje in razvoj. Načrtovanje in razvoj digitalnega sita,
posebej razvoj specializirane strojne opreme, je lahko mnogo daljši
kot pri analognih sitih.
Ko sta strojna in programska oprema razviti, ju lahko uporabljamo z le
majhnimi spremembami ali celo brez njih tudi drugje.
Pri načrtovanju digitalnih sit si danes ponavadi pomagamo z računalniki. Obstoja
mnogo programov CAD, s katerimi si olajšamo inženirsko delo, vendar
kljub temu potrebujemo znanje, poznavanje in razumevanje delovanja digitalnih
sit. Brez tega izdelana digitalna sita ne bodo dobra in učinkovita.
18.2 Vrste digitalnih sit
Digitalna sita v grobem delimo v dve veliki družini:
1. Sita s končnim impulznim odzivom. Zanje bomo nadalje uporabljali
mednarodno uveljavljeno oznako sita s FIR. Zanje velja:
N−1
FIR: y[n] =
∑
k=0
N−1
= ∑
k=0
h[k]v[n − k]
(18.1a)
b[k]v[n − k] , (18.1b)
kjer so v[n] vhodno zaporedje, h[n] impulzni odziv in b k koeficienti
sita. Iz (18.1) sledi, da se pri teh sitih koeficienti impulznega odziva
ujemajo s koeficienti sita.
2. Sita z neskončnim impulznim odzivom. Zanje bomo nadalje uporabljali
mednarodno uveljavljeno oznako sita s IIR. Zanje velja:
IIR: y[n] =
∞
∑
k=−∞
N−1
= ∑
k=0
h[k]v[n − k]
b k v[n − k] −
M
∑
k=1
(18.2a)
a k y[n − k] , (18.2b)
datoteka: signal_C

106 18. Digitalna sita
kjer so a k koeficienti rekurzivnega dela sita, opiše ga model AR(N −1),
b k pa koeficienti sita direktnega dela sita, opiše ga model MA(M − 1).
Ker konvolucija (18.2a) ni v praksi ni izračunljiva, ta sita vedno realiziramo
v obliki modela ARMA, ki ga opisuje (18.2b). To pomeni, da
pri teh sitih imamo sistem povratno zanko.
18.3 Kdaj uporabiti sito s FIR in kdaj z IIR
Izbira med siti s FIR in siti z IIR ni preprosta. Obe vrsti sit imajo svoje
prednosti in slabosti. Ko jih ocenjujemo, se ponavadi oziramo na naslednje
lastnosti:
1. Sita s FIR lahko imajo linearni potek faze, ki ne povzroča faznih popačitev.
Ta lastnost je zelo pomembna v mnogih področjih obdelave
signalov, na primer pri prenosu podatkov, biomedicini, digitalni avdio
in video tehniki. Sita z IIR imajo nelinearno fazno karakteristiko. Nelinearnost
je posebej velika v prehodnih pasovih.
2. Sita s FIR so nerekurzivna, zato so vedno stabilna. Sita z IIR so v
praksi vedno rekurzivna, zato njihova stabilnost ni dana a priori.
3. Posledice kvantizacijskega pogreška in zaokroževanja števil so manjše
pri sitih s FIR kot pri sitih z IIR.
4. Sita s FIR zahtevajo pri isti strmini prehodnega pasu veliko več koeficientov
kot sita z IIR. Zato potrebujejo več procesnega časa in več
pomnilniškega prostora. Tu si lahko pomagamo z uporabo FFT in več
hitrostne tehnike obdelave signalov.
5. Analogna sita lahko preprosto transformiramo v ekvivalentna sita z
IIR. Pri pri sitih s FIR to ni mogoče. Ta sita nimajo ekvivalentnih analognih
sit. Zato pa lahko sitom s FIR določimo poljubno frekvenčno
karakteristiko.
6. V splošnem je, če ni na voljo računalniške podpore za načrtovanje sit,
razvoj algebraično bolj zahteven pri sitih s FIR kot pri sitih z IIR.
Iz naštetih prednosti in slabosti sit s FIR ali z IIR, lahko oblikujemo dve
splošni navodili:
Kadar sta pomembni le oster prehod med prepustnim in zapornim pasom
sita in velika prepustnost sita (visoka mejna frekvenca), izberemo
sito z IIR. Tako sito ima manj koeficientov kot sito s FIR.
Kadar želimo linearno fazno karakteristiko in število koeficientov ni
(pre)velika omejitev, izberemo sita s FIR. Pri njihovi realizaciji je v
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.4 Idealna digitalna sita 107
veliko pomoč arhitektura digitalnih signalnih procesorjev, ki je prilagojena
sitom s FIR.
18.4 Idealna digitalna sita
Frekvenčne karakteristike idealnih digitalnih sit – označujemo jih z D(ω) in
s tem poudarimo, da so želene (vendar nedosegljive) – se od analognih razlikujejo
v tem, da so periodične s periodo, ki jo določa frekvenca otipavanja f s
oziroma ω s . Zato zadostuje, da so podana nad le nad Nyquistovim intervalom
[− f s /2, f s /2] oziroma [−ω s /2,ω s /2].
D spominja na
desired: (za)želen
Normiranje
Idealne karakteristike ponavadi prikažemo v normirani obliki. V literaturi o
digitalni obdelavi signalov je običajna praksa, da so frekvence normirane s
frekvenco vzorčenja f s . Če so frekvenčne karakteristike prikazane v odvisnosti
od frekvence f , potem so definirane nad intervalom [−0,5;0,5], če pa so
podane v odvisnosti od krožne frekvence ω, pa so definirane nad intervalom
[−π,π]. Za ta intervala se uporablja ime Nyquistov interval 1 .
Normirane idealne frekvenčne karakteristike
Tudi idealna digitalna sita razvrščamo enako kot analogna. Tako tudi pri
njih ločimo nizko pasovna, visoko pasovna, pasovno prepustna ter pasovno
zaporna sita (slika 18.3). Njihove lastnosti so nad Nyquistovim intervalom
enake kot so lastnosti idealnih analognih sit nad njihovim definicijskim območjem
ω ∈ R:
1. amplitudne karakteristike |D(ω)| so sodo simetrične,
2. fazne karakteristike θ D (ω) so linearne,
3. ker so frekvenčne karakteristike idealnih sit pravokotne, je ovojnica
impulznih odzivov sestavljena iz znanih funkcij S a (·) = sin(·)/(·),
torej so impulzni odzivi nekavzalni in sodo simetrični.
1 V tem pravilu je pomembna izjema program MATLAB. V njem so karakteristike sit podajajo
v frekvencah, ki so normirane na tako imenovano Nyquistovo frekvenco f q = f s /2 ter
so specifikacije dane le za pozitivni del intervala, torej nad [0,1], kjer 1 pomeni Nyquistovo
frekvenco f N = f s /2. Pri opisu uporabe programa MATLAB, pa uporabljamo konvencijo,
ki je privzeta v tem paketu.
datoteka: signal_C

108 18. Digitalna sita
| D( ) |
| D( ) |
1
1
c
0
c
c
0
c
(a) idealno nizko pasovno digitalno sito
| D( ) |
(b) idealno visoko pasovno digitalno sito
| D( ) |
1
1
0
b a
a b
(c) idealno pasovno prepustno digitalno sito
0
b a
a b
(d) idealno pasovno zaporno digitalno sito
Slika 18.3
Amplitudne karakteristike idealnih digitalnih sit.
D(ω) =
Impulzni odzivi idealnih digitalnih sit
Frekvenčne karakteristike sit s pripadajočimi impulznimi odzivi – označujemo
jih z d[n] – povezuje Fourierova transformacija zaporedja:
∞
∑
n=−∞
d[n]e − jωn
DFV
←−−−−−→ d[n] = 1 ∫ π
D(ω)e jωn dω . (18.3)
2π −π
Tako za idealno nenormirano nizko pasovno sito, za katerega velja:
|D(ω)| =
{
1 −ωc ω ω c
0 −π ω < −ω c ali ω c ω π
, (18.4)
za impulzni odziv, ki ga izračunamo z (18.3), dobimo:
∫ π
∫ ωc
d[n] = 1 D(ω)e jωn dω = 1 1e jωn dω
2π −π
2π −ω c
[ ] e
jωn ωc
=
= 1 e jωcn − e − jω cn
= 1
2π jn
−ω c
nπ j2 nπ sin(ω cn)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.4 Idealna digitalna sita 109
oziroma
d[n] = ω c
π S a[ω c n] , −∞ < n < ∞ (18.5)
Podobno lahko izračunamo impulzne odzive za ostala idealna frekvenčno selektivna
sita (tabela 18.1). Pri programiranju algoritma za izračunan impul-
Tabela 18.1
Impulzni odzivi idealnih frekvenčno selektivnih digitalnih sit.
tip sita kratica d[n] d[0] štev. en.
nizko pasovno sito NPS d n = ω c
π S a[ω c n]
ω c
π
(18.6)
visoko pasovno sito VPS d n = δ[n] − ω c
π S a[ω c n]
pasovno prepustno sito PPS d n = ω b
π S a[ω b n] − ω a
π S a[ω a n]
pasovno zaporno sito PZS d n = δ[n] − ( ω b
π S a[ω b n] − ω a
π S a[ω a n] )
δ[n] je Kroneckerjev impulz: δ[n] n=0 = 1, δ[n] n≠0 = 0
1 − ω c
π
(18.7)
ω b
π − ω a
π
(18.8)
1 − ω b
π − ω a
π
(18.9)
znega odziva moramo vrednost pri n = 0 obravnavati posebej (pri analitični
rešitvi vrednost S a (n) = (sinn)/n v tej točki dobimo z razvojem funkcije
(sinn)/n v vrsto). V tej točki, kot vemo, je S a (n) n=0 = 1.
Če pri nizkem in visokem situ izberemo isto vrednost za ω c , sta siti komplementarni.
Enako velja pri pasovno prepustnih in pasovno zapornih sitih,
če imajo iste vrednosti za ω a in ω b :
d NPS [n] + d VPS [n] = δ[n] ⇐⇒ D NPS (ω) + D V PS (ω) = 1
d PPS [n] + d PZS [n] = δ[n] ⇐⇒ D PPS (ω) + D PZS (ω) = 1
Komplementarnost lahko s pridom izkoristimo pri poenostavitvi realizacije
nekaterih vrst sit.
(18.10a)
(18.10b)
Ostala idealna digitalna sita
Poleg teh, frekvenčno selektivnih sit, so pomembna še druga sita, kot sta na
primer siti, ki je idealni diferenciator in sito, ki izvede Hilbertovo transformacijo.
Zanju velja:
datoteka: signal_C

110 18. Digitalna sita
diferenciator
D(ω) = jω
DFV
←−−−−−→ d[n] = cos(πn) − sin(πn)
n πn 2
(18.11a)
Hilbertova
transformacija
DFV
D(ω) = j sign(ω) ←−−−−−→ d[n] = 1 − cos(πn)
(18.11b)
πn
Frekvenčni karakteristiki diferenciatorja in Hibertove transformacije sta imaginarni
in liho simetrični (slika 18.4), njuna impulzna odziva pa sta realna in
liho simetrična. Glede na ti značilnosti, sta ti siti si v najbližjem sorodstvu z
digitalnimi siti s FIR tipa III in IV. Opisani sta v naslednjem poglavju.
| D( ) |
| D( ) |
0
0
(a) idealni diferenciator
(b) Hilbertova transformacija
Slika 18.4
Frekvenčne karakteristike idealnega diferenciatorja in Hilbertove transformacije.
18.5 Koraki načrtovanja
Načrtovanja digitalnih sit se lahko lotimo na različne načine. Izkušnje pa
so pokazale, da učinkovito načrtovanje poteka v naslednjih zaporednih petih
korakih:
1. specifikacije zahtev,
2. računanje koeficientov,
3. določitev/izbira strukture sita,
4. analiza vpliva zaokroževanja števil na kakovost sita,
5. gradnja sita (izdelava strojne in/ali programske opreme).
Ti koraki v delo načrtovalca vpeljejo zelo koristno sistematiko načrtovanja.
Teh pet korakov ponavadi ne opravimo le enkrat, mnogokrat, ko usklajujemo
želje z možnostmi ali ko želimo raziskati možnosti, ki so na voljo, nekatere
med njimi tudi večkrat ponovimo (slika 18.5).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.5 Koraki načrtovanja 111
Slika 18.5
Koraki načrtovanja digitalnih sit.
Specifikacije
Specifikacija digitalnega sita lahko obsega:
karakteristike signalov (vrsta signalnega vira in ponora, maksimalna
frekvenca signala, frekvenca tipanja),
frekvenčna in fazna karakteristika sita oziroma tolerance, znotraj katerih
se naj nahaja karakteristika načrtovanega sita,
ali bo sito delovalo v sprotnem času ali ne,
kako bo sito izdelano (programski jezik, strojna oprema),
druge zahteve, kot so na primer cena sita.
Izmed zgoraj navedenih zahtev, so bistvene zahteve druge točke. Tolerance
želene frekvenčne karakteristike (slika 18.6) opišemo z naslednjimi parametri:
ε p :
ε z :
ω p :
ω z :
deviacija prepustnega pasu
deviacija zapornega pasu
mejna frekvenca prepustnega pasu
mejna frekvenca zapornega pasu
Pri teh parametrih sit se deviacija podaja v linearnem merilu, mejne frekvence
pa normirano, podobno kot pri načrtovanju analognih sit. Tolerance sita so
lahko podane tudi v drugače, na primer s širino prehodnega pasu:
∆ω = |ω z − ω p | , (18.12)
datoteka: signal_C

112 18. Digitalna sita
Slika 18.6
Tolerance frekvenčne
karakteristike nizko pasovnega
sita.
namesto ε p in ε z pa sta podani slabljenje signala v zapornem pasu in valovitost
v prepustnem pasu v decibelih:
dušenje v zapornem pasu: a z = −20log 10 ε z [dB] (18.13)
valovitost v prepustnem pasu: a p = 20log 10 (1 + ε p ) [dB] (18.14)
Fazno karakteristiko običajno opišemo manj natančno kot amplitudno. Izjema
so le primeri, ko želimo kompenzirati fazno karakteristiko kakšnega
sistema.
ZGLED 18.5.1
Za pasovno sito s FIR so podane naslednje zahteve:
širina prepustnega pasu 0,18 – 0,33 (normirana z ω s )
širina prehodnega pasu 0,04 (normirana z ω s )
deviacija zapornega pasu 0,001 (linearno)
deviacija prepustnega pasu 0,05 (linearno)
Zanj: (i) skicirajte tolerance sita (ii) določite stvarne frekvence, če je krožna frekvenca
tipanja signala ω s = 10 3 rad/s
REŠITEV:
(i) Skico toleranc kaže slika 18.7.
(ii) Stvarne frekvence, ter dušenje in valovitost v decibelih so:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.5 Koraki načrtovanja 113
| H( )|
p db
db
p db
z
db
0,14
s
0,18 0,33 0,37 0,5
s
Slika 18.7
Shema toleranc
pasovno prepustnega
sita (zgled 18.5.1).
širina prepustnega pasu
širina prehodnega pasu
dušenje zapornega pasu
valovitost prepustnega pasu
0,18·10000 = 1800 rad/s
0,33·10000 = 3300 rad/s
0,04 · 10 000 = 400 rad/s
nahaja se med
1400 in 1800 rad/s ter med
3700 in 4200 rad/s
20log 10 (0,001) = −60 db
20log 10 (1 + 0,02) = 0,42 db
Pri izračunu stvarnih krožnih frekvenc smo upoštevali, da pri digitalnih sitih frekvence
normiramo na krožno frekvenco tipanja Ω = ω/ω s .
♦
Računanje koeficientov
Koeficiente sita določimo oziroma izračunamo glede na izbrano vrsto sita.
Tako za sita s FIR določimo h[m], za sita z IIR pa a k in b k . Metode, po
katerih jih določamo, je več (tabela 18.2). Za sita s FIR in za sita z IIR so
obširnejše opisana v naslednjih poglavjih. Tu jih le omenjamo in povzemamo
najpomembnejše lastnosti.
Tabela 18.2
Najpogosteje uporabljane metode za določitev koeficientov digitalnih sit.
sita s FIR
okenska metoda
vzorčenje frekvenčne karakteristi
optimalne tehnike
sita z IIR
enaki impulzni odzivi
bilinearna transformacija
postavljanje polov in ničel
datoteka: signal_C

114 18. Digitalna sita
Sita s FIR
☞
Načrtovanje sit s pomočjo oken je zelo preprosta in fleksibilna metoda, žal
pa ne daje načrtovalcu nadzora nad parametri sita. Glavna privlačnost metode
vzorčenja frekvenčne karakteristike je možnost rekurzivne realizacije
sita s FIR, ki je računsko zelo učinkovita. Žal pa ji manjka fleksibilnosti pri
specifikaciji parametrov oziroma pri nadzoru nad njimi.
Optimalne tehnike – osnova jim je Parks-McClellan-ov algoritem – so
dostopne le, če imamo na voljo ustrezne programe za načrtovanje sit s FIR.
Zaradi dobrih lastnosti sit, ki jih dobimo na ta način, danes v praksi prevladuje
ta tehnika načrtovanja sit s FIR.
Sita z IIR
☞
☞
Pri računanju koeficientov pri sitih z IIR običajno izhajamo iz znanega analognega
sita, ki ga imenujemo tudi prototipno sito. Pri metodi enakih impulznih
odzivov – kot ime pove – pretvorimo impulzni odziv analognega prototipa v
impulzni odziv digitalnega sita. Pri tem se žal ne ohrani amplitudna karakteristika.
Prihaja do prekrivanja, zato je ta metoda neprimerna za načrtovanje
visoko pasovnih in pasovno prepustnih ali zapornih sit.
Pri bilinearni transformaciji transformiramo sistemsko funkcijo analognega
sita H(s) v sistemsko funkcijo digitalnega sita H(z). Pri tem ponavadi
izhajamo iz znanega analognega sita, kot so Butterworthovo, Čebiševo ali
inverzno Čebiševo sito. Bilinearna transformacija ohrani vse lastnosti frekvenčnih
karakteristik, zato je primerna za načrtovanje vseh frekvenčno selektivnih
vrst sit. Za to metodo so na voljo učinkovita računalniška orodja,
pri katerih zadostuje, da podamo želene specifikacije ali le bistvene parametre
sita, program pa s pomočjo bilinearne transformacije izračuna koeficiente
ustreznega digitalnega sita.
S postavljanjem polov in ničel lahko preprosto določimo preprosta sita.
Za bolj zahtevna sita je ta metoda poskušanja (in učenja na napakah) ni priporočljiva.
Struktura: prikaz realizacije digitalnega sita
Da lahko sito realiziramo, moramo prenosno funkcijo H(z) pretvoriti v ustrezno
strukturo sita. Strukture diskretnih sistemov – digitalna sita so njihov
imanentni predstavnik – smo opisali že v razdelku 16.3 na strani 61. Tu le
povzemamo njihovo uporabo pri realizaciji digitalnih sit.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.5 Koraki načrtovanja 115
Sita s FIR
Pri sitih s FIR se največkrat uporablja direktna oblika (slika 16.6). Zaradi te
oblike jo pogosto imenujejo zakasnilna linija z odcepi ali tudi transverzalno
sito. Poleg te oblike se uporablja struktura vzorčenja frekvence (slika 18.8a)
in struktura hitre konvolucije (slika 18.8b). V primerjavi z direktno strukturo
je struktura vzorčenja frekvenca računsko učinkovitejša, saj ima manj koeficientov.
Pri računanju potrebuje pa več pomnilniškega prostora, algoritem pa
je razmeroma zapleten. Pri hitri konvoluciji uporabimo FFT. Ta realizacija
je posebej zanimiva, kadar so pri specifikacijah sita podane zahteve o poteku
močnostnega spektra.
tapped delay line
(a) struktura vzorčenja frekvence
x[ n]
segmentacija
zaporedja v bloke
x i [ n]
FFT
(vsakega bloka)
X i [ m]
X i [ m]H i [ m]
IFFT
y[ n]
FFT
impulznega odziva
(tabela)
H i [ m]
(b) struktura hitre konvolucije
Slika 18.8
Možni strukturi sit s FIR.
Sita z IIR
Pri sitih z IIR uporabljamo direktno (slika 16.6), kaskadno (slika 16.7) in
paralelno izvedbo sita (slika 16.8). Slednji izvedbi imata preprosto strukturo
datoteka: signal_C

116 18. Digitalna sita
s preprostimi, na vpliv zaokroževanje malo občutljivimi algoritmi. Zato se
tudi največ uporabljata. Pri direktnih strukturah so sita zelo občutljiva na
natančnost koeficientov, posebej, če so sita visokega reda. Zato te strukture v
teh primerih ne uporabljamo.
Mrežne strukture
lattice filters
Poleg navedenih struktur se v realizaciji sit s FIR in sit z IIR uporabljajo še
mrežne strukture sit (slika 18.9). Te se pogosto uporablja v analizi govornega
signala in pri linearnih predikcijah.
(a) osnovna mrežna struktura
(b) mrežna struktura N-tega reda
Slika 18.9
Mrežne strukture sit.
Analiza vpliva zaokroževanja števil
Do tega koraka načrtovanja predpostavljamo, da ni omejitev pri natančnosti
zapisa vhodnega in izhodnega zaporedja ter koeficientov sita. Pri realizaciji
sita take natančnosti ne moremo doseči. Število številk v zapisih je omejeno,
zato se lastnosti načrtovanih in dejanskih sit razlikujejo. Pri tem je lahko
degradacija lastnosti dejanskega sita tolikšna, da sito postane neuporabno.
Zato je analiza vpliva zaokroževanja koeficientov in podatkov nujna.
Glavni vzroki slabih lastnosti narejenih digitalnih sit so naslednji:
Kvantizacija vhodnega in izhodnega signala. Nastane pri analognodigitalni
pretvorbi signala. Ta ustvari pogreške, ki imajo lastnosti šuma
(glej razdelek na strani ).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

18.5 Koraki načrtovanja 117
Kvantizacija koeficientov. Ko koeficiente zaokrožimo na dolžine zapisa,
ki so na voljo, pomeni, da jih kvantiziramo. S tem pri sitih s FIR
in z IIR povzročimo odstopanja v frekvenčni karakteristiki, pri sitih z
IIR pa tudi lahko pride do nestabilnosti v delovanju sita.
Pogreški zaradi zaokroževanja pri računanju. Pri aritmetiki s končnim
številom številk nastanejo tudi rezultati, ki jih s številkami, ki so na
voljo, ne moremo predstaviti. Kadar taka števila zaokrožimo na obseg,
ki je na voljo, lahko nastanejo neželene posledice, kot je na primer
nestabilnost pri sitih z IIR.
Prekoračitev. Ko delne vsote ali izhod sita zahtevajo več številk za
zapis, kot jih lahko zapišemo v dano dolžino kodne besede, pride do
prekoračitve. Takrat se kod številke zapiše tudi na mesto predznaka
otipka. Posledica je napačna vrednost otipka.
Prekoračitev lahko zmanjšamo ali tudi odpravimo s skaliranjem koeficientov
sita (vse koeficient delimo s faktorjem, ki zagotovi, da izhodi
nikoli ne prekoračijo dovoljene dolžine besede). Posledica skaliranja
je tudi zmanjšanje razmerja signal/šum.
Obseg degradacije sita je odvisen od dolžine kodne besede in vrste aritmetike,
ki jo uporabljamo (na primer, aritmetika s plavajočo vejico ali aritmetika
s fiksno vejico), kvantizacijskega koraka vhodnih in izhodnih signalov ter koeficientov
in strukture sita. Če poznamo te negativne vplive na kakovost sita,
jih lahko z ustreznimi ukrepi minimiziramo že pri načrtovanju sita.
Ti vplivi so zelo odvisni od tega, kako sito naredimo. Na primer, če program
napišemo v C jeziku in se izvaja na splošnem osebnem računalniku,
nimamo skrbi z vplivi zaokroževanja in kvantizacije. Sita, ki delujejo v sprotnem
času, pa so ponavadi izdelana z digitalnimi signalnimi procesorji, ki so
danes tipično 16 ali 32 bitni s celoštevilčno aritmetiko. Pri njih je analiza
vpliva zaokroževanja in kvantizacije nujna.
Gradnja sita
Ko imamo izračunane koeficiente sita, izbrano primerno strukturo in preverjen
vpliv pogreškov na kakovost sita, so diferenčne enačbe pripravljene za
zapis v obliki programa računanja ali za izvedbo v strojni obliki.
Iz zapisa diferenčnih enačb vidimo, da pri računanju y[n] potrebujemo
množenje, se ¯dtevanje/odštevanje in zakasnitev. Torej za gradnjo digitalnega
sita potrebujemo naslednje osnovne gradnike:
programski pomnilnik (na primer EPROM), kjer shranimo koeficiente
sita in vpišemo algoritem sita,
datoteka: signal_C

118 18. Digitalna sita
delovni pomnilnik (RAM), kjer shranjujemo trenutne in pretekle vhode
(x[n − 1],x[n − 2],...) in izhode (y[n − 1],y[n − 2],...),
množilnik v strojni ali programski izvedbi,
seštevalnik ali aritmetično logično enoto.
Pri sitih, ki se uporabljajo pri sprotni obdelavi signalov, od sita zahtevamo,
da v vsakem intervalu vzorčenja algoritem sita izračuna izhod preden se na
vhodu pojavi nov podatek, ali da obdela blok vhodnih podatkov – na primer
izračuna FFT tega bloka zaporedja – preden se na vhodu zbere nov blok
podatkov.
Kadar ima signal visoko mejno frekvenco, mora biti frekvenca tipanja vsaj
dvakrat višja, kar lahko zahteva uporabo posebne strojne opreme, ki zmore
tako hitro izvajanje algoritma. V uporabah, kot je obdelava govornih signalov,
shajamo s standardnimi digitalnimi procesorji, kot so na primer Motorola
DSP5600 ali Texas Instruments serije TM320C5000.
Mnogokrat želimo zbrane merilne podatke obdelati kasneje. V teh primerih
pri algoritmih digitalnih sit čas obdelave ni zelo pomemben, zato so
ponavadi napisani v visoko nivojskih jezikih.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19
Sita s FIR
PRI OPISU DIGITALNIH SIT s končnim impulznim odzivom – na kratko
jih označujemo s sita s FIR – se omejujemo le na pregled njihovih
osnovnih lastnosti in značilnosti ter konceptov najpomembnejših
standardih postopkov načrtovanja. Ta kratek teoretični pregled sit s FIR
zaokroža širši opis praktičnega načrtovanja teh sit s pomočjo programskega
paketa MATLAB z orodnim kovčkom “Signal Processing Toolbox”.
19.1 Značilnosti sit s končnim impulznim odzivom
Ponovimo, digitalni sistem s končnim impulznim odzivom popolno opišeta
diferenčna enačba:
N−1
y[n] =
∑
k=0
N−1
b[k]v[n − k] =
ali z-transformacija impulznega odziva:
N−1
H(z) =
∑
k=0
∑
k=0
h[k]z −k N−1
=
∑
k=0
h[k]v[n − k] (19.1)
b[k]z −k . (19.2)
Iz (19.1) sledi, da so koeficienti impulznega odziva h[k] določeni s koeficienti
sistema b[k]. Njihova z-transformacija z upoštevanjem povezav:
H(z) = H(e sT s
) in H(e jωT s
) = H(e sT s
)
∣ , (19.3)
σ=0
kjer je T s interval vzorčenja, vodi do frekvenčne karakteristike sita:
H(ω) = |H(ω)|e jθ(ω) . (19.4)
V (19.4) sta |H(ω)| amplitudna in θ(ω) fazna karakteristika sita.
119

120 19. Sita s FIR
Lastnosti sit s FIR
Prednosti sit s FIR večinoma izhajajo iz njihove nerekurzivne realizacije:
Možnost linearne fazne karakteristike. Ta lastnost, ki pri realnih analognih
sitih ni dosegljiva, je enostavno dosegljiva pri nerekurzivnih digitalnih
sitih s FIR. Zato z njimi lahko realiziramo funkcije, ki v analognem
svetu niso izvedljive.
Mala občutljivost na numerične pogreške. Nerekurzivna sita so manj občutljiva
na natančnost zapisa koeficientov b k in na pogreške zaokroževanja
pri računanju.
Stabilnost. Nerekurzivna sito s FIR so sistemi so brez povratne zanke. Zato
so inherentno stabilni.
Enostavna realizacija. Vsi digitalni signalni procesorji imajo svojo arhitekturo
prilagojeno gradnji nerekurzivnih sit s FIR.
Obstajajo tudi rekurzivna sita s FIR. Ker imajo njihovi algoritmi pri isti
frekvenčni karakteristiki manj računskih operacij kot jih je pri nerekurzivnih
sitih, z njimi lažje dosegamo uporabo pri višjih frekvencah, oziroma jih
uporabljamo tam, kjer je čas računanja večja omejitev pri uporabi sita kot so
prednosti pri nerekurzivnih izvedbah.
Pomen linearne fazne karakteristike
Pomen linearne fazne karakteristike pojasnimo in poudarimo s primerom sistema,
ki ima frekvenčno neodvisno amplitudno karakteristiko:
|H(ω)| = H 0 , (19.5)
na vhodu sistema pa signal v(t) s hormonskima komponentama h v 1 (t) =
V 1 cos(ω 0 t) in h v 3 (t) = V 3 cos(3ω 0 t). Iz opisa prevajanja harmoničnih signalov
skozi konvolucijske sisteme (razdelek na strani ) vemo, da velja:
()
h y(t) = |H(ω)|e jθ(ω) · hv(t) ,
oziroma v primeru, ko h v(t) nadomestimo z V 1 cos(ω 0 t) +V 3 cos(3ω 0 t) ter
upoštevamo (19.5), je izhod y(t) določen z:
[
]
y(t) = |H(ω)|e jθ(ω) · V 1 cos(ω 0 t) +V 3 cos(3ω 0 t)
]
= H 0
[e jθ(ω 0) ·V 1 cos(ω 0 t) + e jθ(3ω 0) ·V 3 cos(3ω 0 t) . (19.6)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.1 Značilnosti sit s končnim impulznim odzivom 121
Zaradi (19.5) pričakujemo, da je izhod sorazmeren vhodu. Vendar je le v primeru,
ko sta zakasnitvi harmonskih komponent h v 1 in h v 2 , enaki (slika 19.1).
Kadar se zakasnitev spreminja s frekvenco harmonske komponente signala,
nastanejo tako imenovana fazna popačenja (slika 19.2).
v ( t )
v1( t)+v2( t)
y ( t )
y1( t)+y2( t)
T 0
t
p
T0
T 0 + p
t
v ( t )
v t 1( )
v t 2( )
y ( t )
y t 1( )
y t 2( )
T 0
t
p
T 0
T 0 + p
t
(a) vhod
(b) sito
θ(ω) = ωτ p
(c) izhod pri konstantni zakasnitvi:
y(t) = H 0 e jωτ p{v 1 cosω 0 t + v 3 cos3ω 0 t}
Slika 19.1
Fazne razmere pri odzivu sita na harmonične signale na vhodu sita pri frekvenčno neodvisni zakasnitvi. Če je τ p
konstanten, torej frekvenčno neodvisen, vse harmonske komponente signala potujejo enako hitro skozi sito.
v ( t )
v1( t)+v2( t)
y ( t )
v1( t)+v2( t)
T 0
t
t
v ( t )
v t 1( )
v t 2( )
y ( t )
y t 1( )
y t 2( )
p 0)
T0+
p 3 0)
T0+
T 0
t
p0)
p 3 0 )
T 0
t
(a) vhod
(b) sito
θ(ω) = ωτ p (ω)
(c) izhod pri frekvenčno odvisni zakasnitvi:
y(t) = H 0 {e jωτ p(ω 0 ) V 1 cos(ω 0 t)
+e jωτ p(3ω 0 ) V 3 cos(3ω 0 t)}
Slika 19.2
Fazne razmere pri odzivu sita na harmonične signale na vhodu sita pri frekvenčno odvisni zakasnitvi. Pri njih se
harmonske komponente vhodnega signala širijo različno hitro skozi sistem. Zato nastanejo fazna popačenja.
datoteka: signal_C

122 19. Sita s FIR
Faza signala je z zakasnitvijo povezana z:
θ(ω) = −ωτ p (ω) , (19.7)
indeks p izhaja iz ang.
termina propagation
je mera, s katero ocenjujemo potek fazne karakteristike. Poleg te mere je
pomembna še skupinska zakasnitev τ g . Z njo ocenjujemo lastnost fazne ka-
rakteristike za skupino frekvenc. Njena definicija je
indeks g izhaja iz ang.
termina group
kjer je τ p čas širjenja signala skozi sito. Pri konstantni zakasnitvi τ p (ω) = τ p
se faza signala linearno spreminja s frekvenco. Povedano z drugimi besedami,
zakasnitev signala:
τ p (ω) = − θ(ω)
ω
, (19.8)
τ g (ω) = − dθ(ω)
dω
. (19.9)
Pogoj za linearno fazno karakteristiko
Kakšen impulzni odziv mora imeti sito, da ima linearno fazno karakteristiko
Izkaže se 1 , da da je potreben in zadosten pogoj, da impulzni odziv simetričen
okoli svoje simetrale. Simetrija je lahko pozitivna:
h[n] = h[N − 1 − n] ,
ali negativna:
{ n = 0,1,2,...,(N − 1)/2 pri lihem N (19.10a)
n = 0,1,2,...,(N/2 − 1) pri sodem N (19.10b)
N je število koeficientov
v impulznem odzivu sita
h[n] = −h[N − 1 − n] ,
☞
{ n = 0,1,2,...,(N − 1)/2 pri lihem N (19.11a)
n = 0,1,2,...,(N/2 − 1) pri sodem N (19.11b)
Negativna in pozitivna simetrija se od lihe in sode simetrije razlikujeta v
tem, da pri njima simetrala, ki poteka skozi točko (N − 1)/2. Ta točka ima
pri lihem številu koeficientov celoštevilčno vrednost, zato se pri njej nahaja
koeficient zaporedja. Pri pozitivni simetriji ima poljubno končno vrednost
(slika 19.3a), pri negativni pa je enak nič (slika 19.3b). Pri sodem N simetrala
poteka na sredi med dvema koeficientoma. Pri pozitivni simetriji sta si enaka
(slika 19.3c), pri negativni simetriji pa imata enako velikost in nasprotni predznaka
(slika 19.3d).
Da je simetrija impulznega odziva potrebni in zadostni pogoji za linearno
fazno karakteristiko θ(ω) sita s FIR, pokažimo z izpeljavo fazne karakteristike,
za vsako simetrijo posebej.
1 Izpeljava potrebnega in zadostnega pogoja za obstoj linearne fazne karakteristike pri sitih
s FIR je delo L. R. Rabinera. Glej []
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.1 Značilnosti sit s končnim impulznim odzivom 123
(a) pozitivna simetrija, število koeficientov je
liho: N = 11 (sito tip I)
(b) negativna simetrija, število koeficientov je
liho: N = 11 (sito tip III)
(c) pozitivna simetrija, število koeficientov je
sodo: N = 10 je sod (sito tip II)
(d) negativna simetrija, število koeficientov je
sodo: N = 10 (sito tip IV)
Slika 19.3
Simetrije impulznih odzivov. N je število koeficientov v impulznem odzivu sita s FIR reda N − 1.
Pozitivna simetrija
Najprej naredimo z-transformacijo impulznega odziva:
N−1
H(z) =
∑
n=0
h[n]z −n
(19.12a)
nato premaknemo impulzni odziv tako, da gre njegova simetrala skozi n = 0:
H(z)z N−1
2 =
−1
∑
n=− N−1
2
h [ N−1
2
+ n ] z ( N−1
2 +n) +
h [ N−1
2
N−1
] 2
+ ∑ h [ N−1
2
+ n ] N−1
z
−( +n) 2 . (19.12b)
n=1
datoteka: signal_C

124 19. Sita s FIR
Upoštevamo pozitivno simetrijo pri lihem številu koeficientov v impulznem
odzivu (19.10a) in združimo simetrične koeficiente: h[n] = h[N − 1 − n]:
H(z)z N−1
2 = h [ N−1
] 2 (
N−1
2 + ∑ h[n] z N−1
2 −n + z − N−1 +n) 2 , (19.12c)
n=1
upoštevamo še povezavo med H(z) in H(ω) v (19.3) ter Eulerov obrazec ()
in dobimo:
N−1 jω
H(ω)e
2 T s
= h [ N−1
2
N−1
] 2
+ 2 ∑ h[n]cosω( N−1
2
− n)T s . (19.12d)
n=1
Frekvenčno karakteristiko lahko zapišemo v obliki H(ω) = |H(ω)|e − jθ(ω)t ,
od koder sledi H(ω)e jθ(ω)t = |H(ω)|, torej je absolutna vrednost desne strani
(19.12d) enaka amplitudnemu spektru, zato:
N−1 jω
H(ω)e T 2 s
= sign{H(ω)}|H(ω)| , ω ∈ R . (19.12e)
N−1
Iz H(ω) = sign{H(ω)}|H(ω)|e− jω T 2 s
= |H(ω)|e − jθ(ω) sledi:
θ(ω) = −ω N − 1 T s mod 2π . (19.12f)
2
Vidimo, da je θ(ω) na Nyquistovem intervalu (−π,π) premosorazmerna s
frekvenco in da se periodično ponavlja enako kot amplitudna karakteristika.
Zato na začetku vsake periode naredi preskok (slika 19.4). Pri preskoku faze
Slika 19.4
Periodično ponavljanje fazne karakteristike.
Zaradi tega je frekvenčna karakteristika le
odsekoma linearna (nad periodami
ponavljanja) in ne po vsej frekvenčni osi.
sign{H(ω)} spremeni predznak, zato za frekvenčne karakteristike digitalnih
sit najdemo tudi zapis H(ω) = ±|H(ω)| − jθ(ω) []. Ponovimo in poudarimo,
da je to posebnost digitalnih sit. Pri analognih sitih ima linearno fazno karakteristiko
samo idealno sito. Tam je potek linearen čez vso frekvenčno os:
ω ∈ R.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.1 Značilnosti sit s končnim impulznim odzivom 125
Linearnost fazne karakteristike potrdimo še z izračunom zakasnitve signala:
θ(ω) = −ω N − 1
2
T s ⇒ τ p = − θ(ω)
ω = −N − 1 T s
2
τ g = − dθ(ω)
dω = −N − 1 T s
2
(19.13a)
(19.13b)
Predznak sign{H(ω)} v (19.12e) pove, da se tudi fazna karakteristika periodično
ponavlja enako kot amplitudna.
Pri sodem številu koeficientov v impulznem odzivu gre simetrala med
dvema koeficientoma impulznega odziva (slika 19.3c) ter zato imamo nekaj
posebnosti. Pri premiku impulznega odziva v levo za odmik njegove simetrale,
se njegovi koeficienti nahajajo pri ne celoštevilnih indeksih n ′ = n+ 1 / 2 .
Ker pri n ′ = 0 koeficienta v impulznem odzivu ni, vsoto (19.12a) razdelimo
na dva dela ter za (19.12b) dobimo:
H(z)z N−1
2 =
oziroma:
=
−1/2
∑
n ′ =− N−1
2
N−1
2
∑
n ′ =1/2
N−1 jω
H(ω)e
h [ N−1
2
+ n ′] z N−1
2 +n′ +
N−1
2
∑
n ′ =1/2
h [ N−1
2
+ n ′] z − N−1
2 −n′
(
h[n ′ ] z N−1
2 −n′ + z − N−1 +n′) 2 . (19.14a)
2 T s
= 2
N−1
2
∑
n ′ =1/2
h[n]cosω ( N−1
2
− n ′) T s . (19.14b)
Sedaj premaknimo (19.14c) v levo za toliko, da bodo indeksi celoštevilčni:
N−1 jω
H(ω)e T Ts
2 s jω
e 2 = H(ω)e jω N T 2 s
(19.14c)
= 2
= 2
N
2
∑
h[n]cosω ( N−1
2
− n + 2) 1 Ts
n=0
N
2
∑
h[n]cosω ( N
2 − n) T s (19.14d)
n=0
in H(ω) = ±|H(ω)|e − jω N 2 T s
(19.14e)
od koder sledi:
θ(ω) = −ω N 2 T s ⇒ τ p = − θ(ω)
ω = −N 2 T s (19.15a)
τ g = − dθ(ω)
dω = −N 2 T s (19.15b)
datoteka: signal_C

126 19. Sita s FIR
Primerjava (19.12) in (19.14) ter (19.13) in (19.15) potrjuje, da je za linearno
fazno karakteristiko zadosten (in potreben) pogoj simetričnost impulznega
odziva. Je pa med (19.13) in (19.15) pomembna majhna razlika. Pri
Nyquistovi frekvenci ω N = ω s /2 pri sodem številu koeficientov dobimo:
ω N T s
2
= ω N
2 · 2π
ω
}{{} N
= π . (19.16)
=T s
☞
Zaradi tega se amplitudna karakteristika pri tej frekvenci manjša proti nič:
H(ω N ) = h[0] − h[1] + h[2] − ... → 0 . (19.17)
Tako, pokazali smo, da je pozitivna simetričnost impulznega odziva sita
s FIR zadostni pogoj, da sito ima linearno fazno karakteristiko. Določa jo
(19.13) oziroma (19.15), torej lega simetrale impulznega odziva. Vidimo
tudi, da število N vpliva na lastnosti sita. Iz (19.16) in (19.17) sledi, da so
pozitivno simetrični impulzni odzivi s sodim številom koeficientov primerni
za nizkopasovna in pasovno prepustna sita in neprimerni za visokopasovna
ter pasovno zaporna sita.
Negativna simetrija
Impulznim odzivom z negativno simetrijo imenujemo tudi aritmetični impulzni
odzivi [], saj sita s takšnim impulznim odzivom uporabljamo za izvajanje
aritmetičnih operacij diferenciranja in Hilbertove transformacije.
Dokaz, da imajo tudi ta sita linearno fazo, uvidimo iz izpeljave, ki jo
naredimo podobno kot prej pri pozitivno simetričnem h[n]. Najprej za lihe
N. Ker pri lihih N gre simetrala skozi točko (N − 1)/2, ki ima celoštevilčno
vrednost, mora biti koeficient impulznega odziva v tej točki enak nič. Zato
za z-transformacijo tega impulznega odziva dobimo:
H(z)z j N−1
2 =
=
−1
∑
n=− N−1
2
N−1
2
∑
n=− N−1
2
h [ N−1
2 n] z N−1
2 −n + 0 +
N−1
2
∑
n=1
h [ N−1
2 n] z N−1
2 −n (19.18a)
(
h[n] z N−1
2 −n − z − N−1 +n) 2 (19.18b)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.2 Postopki načrtovanja sit s FIR 127
oziroma:
H(ω)e jω3T s
= j2
N−1
2
∑
n=0
= e jπ/2 2
h[n]sinω ( N−1
2
− n ) T s (19.18c)
N−1
2
∑
n=0
h[n]sinω ( N−1
2
− n ) T s , (19.18d)
kjer smo v (19.18d) j = √ 1 zapisali v polarni obliki j = e jπ/2 .
Vidimo, da je v tudi v tem primeru fazna karakteristika linearna, vendar
ne več premosorazmerno. Zaradi pomika za π/2 je konstanta le skupinska
zakasnitev, fazna pa je frekvenčno odvisna:
θ(ω) = −ω N − 1
2
T s − π 2
⇒
τ p = − θ(ω)
ω = −N − 1 T s − π 2 2
τ g = − dθ(ω)
dω = −N − 1 T s
2
1
ω
(19.19a)
(19.19b)
Vrste sit s FIR in linearno fazno karakteristiko
Spoznali smo štiri značilne primere sit s FIR z linearno fazno karakteristiko.
Določa jih vrsta simetrije impulznega odziva – pozitivna ali negativna – ter
število koeficientov v impulznem odzivu – liho ali sodo. Glede na to sita s
FIR in linearno fazno karakteristiko razvrščamo v štiri razrede: sita tipa I, II,
III ali IV (tabela 19.1).
19.2 Postopki načrtovanja sit s FIR
Sita s FIR, za razliko od sit z IIR, nimajo ustreznega analognega para. Zato so
zanje razvite novi postopki načrtovanja. Izmed vseh postopkov v naslednjih
razdelkih opisujemo le tri najpomembnejše:
1. okensko metodo,
2. postopek načrtovanja sit z enakomerno valovitostjo in
3. postopek načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike.
19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo
Načrtovanje sit z okensko metodo je preprost a učinkovit postopek načrtovanja
digitalnih sit s FIR. Primeren je za načrtovanje frekvenčno selektivnih sit.
datoteka: signal_C

128 19. Sita s FIR
Tabela 19.1
Vrste sit s FIR in linearno karakteristiko in njihove glavne lastnosti.
tip simetrija h[n] N |H(ω)| θ(ω) skica |H(ω)|
I
lih
2
h [ ]
N−1
2 +
N−1
2
∑ h[n]cosω ( N−1
2
− n ) Ts
n=1
−ω N−1
2 T s
pozitivna:
h[n] = h[N − 1 − n]
II sod 2
N
2
∑
n=0
h[n]cosω ( N
2
− n ) Ts −ω N 2 T s
III
N−1
2
lih 2 ∑ h[n]sinω ( N−1
2
− n ) Ts −ω N−1
2 T s − π 2
n=0
negativna:
h[n] = −h[N − 1 − n]
IV sod 2
N/2
∑
n=1
h[n]sinω ( N
2
− n ) Ts −ω N 2 T s − π 2
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo 129
Naredimo ga v petih korakih, od katerih zadnje tri ponavadi večkrat ponovimo,
da dobimo želeni rezultat:
1. Izberemo frekvenčno karakteristiko, kateri želimo aproksimirati. Označimo
jo z D(ω). Ponavadi so želene frekvenčne karakteristike idealne
karakteristike digitalnih frekvenčno selektivnih sit.
2. Z inverzno Fourierovo transformacijo zaporedja izračunamo koeficiente
impulznega odziva želenega sita:
3. S pravokotnim oknom
d[n] = 1
2π
∫ π
−π
D(ω)e jnωt dω . (19.20)
w M [n] =
{
1 , −M n M
0 , sicer
(19.21)
odrežemo del impulznega odziva, za katerega sodimo, da je bistven za
dosego želenih lastnosti izvedljivega sita:
d M [n] = d[n]·w M [n] . (19.22)
Okno (19.21) iz impulznega odziva d[n] odreže N = 2M +1 koeficientov
d −M ,...,d −1 ,d 0 ,d 1 ,...,d M (slika 19.5b).
4. d M [n] ima časovno izhodišče na svoji sredi, zato določa nekavzalno
sito. Da postane kavzalno, ga premaknemo na začetek (slika 19.5c):
h M [n] = d M [n − M] =[h 0 ,...,h M−1 ,h M ,h m+1 ,...,h 2M ]
kjer so b k koeficienti načrtovanega sita.
(19.23a)
=[b 0 ,...,b k−l ,b k ,b k+l ,...,b 2M ] , (19.23b)
5. Z izračunom H(ω) preverimo, kako dobro se ujemata želeno in dejansko
sito. Če smo z ujemanjem zadovoljni, je načrtovanje končano, če
pa ne, se vrnemo v tretjo točko postopka, kjer spremenimo M.
Ker okno (19.21) odreže liho število koeficientov 2 , dobimo sito tip I. Nekavzalna
sita z sodo simetričnim impulznim odzivom imenujemo tudi sita z
ničto fazo 3 .
sita z ničto fazo
2 Obstajajo tudi postopki načrtovanja z okensko metodo za sita tip II, ki imajo sodo število
koeficientov v impulznem odzivu. Teh postopkov ne obravnavamo.
3 Ime izhaja iz lastnosti digitalnih sitih z linearno fazno karakteristiko. Da postanejo izvedljiva,
impulzni odziv d M [n] premaknemo v h[n] = d m [n + M] in s tem ustvarimo fazno
karakteristiko
θ(ω) = −ωτ p = −ωMT s .
Pri nekavzalnih sitih tega premika ni, zato je njihova fazna karakteristika θ(ω) = 0.
datoteka: signal_C

130 19. Sita s FIR
(a) Impulzni odziv želenega idealnega sita. Koeficienti d[n] so določeni nad
intervalom n ∈ Z.
(b) Aproksimacija impulznega odziva želenega sita s končno dolgim impulznim
odzivom d M [n]. Iz d[n] ga izrežemo s pravokotnim oknom w[n] n∈[−M,M] = 1;
w[n] n∉[−M,M] = 0. Rezultat d M [n] je nekavzalno zaporedje!
(c) S časovnim premikom končnega impulznega odziva d M za M časovnih enot
dobimo kavzalno obliko aproksimacije želenega sita h[n] = d M [n − M].
Slika 19.5
Aproksimacija impulznega odziva z njegovim izsekom s pravokotnim oknom. N = 13, M = 6
Izbira okna
Kako dobro se ujemata frekvenčni karakteristiki načrtanega in želenega sita
Pri sitih z linearno fazno karakteristiko ocenjujemo le podobnost amplitudne
karakteristike, saj je fazna karakteristika linearna in določena z zakasnitvijo
τ p = MT s , za katero premaknemo d M , da sito postane izvedljivo s
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo 131
h[n] = d M [n+M]. Amplitudno karakteristiko načrtovanega sita izračunamo s
pomočjo z-transformacije h[n] in upoštevanjem povezave (19.3) in po zgledu
izpeljave v (19.12) dobimo:
D M (z) = z −M
∑
M
n=−M
H(ω) = e − jωMT s
h[n + M]z −n
M
∑
n=−M
H(ω) sestavljata amplitudna in fazna karakteristika:
(19.24a)
h[n + M]e − jnωT s
. (19.24b)
|H(ω)| =
=
M
∑
k=−M
M
∑
k=−M
h[n + M]e − jnωT s
d[n]w[n]e − jmωT s
(19.24c)
(19.24d)
θ(ω) = ωMT s . (19.24e)
Na podobnost amplitudnih karakteristik pa vpliva okno w M [n]. Pri izbiri pravokotnega
okna ima zapis amplitudne karakteristike v (19.24c) obliko odrezane
kompleksne Fourierove vrste, ta pa – kot vemo – minimizira srednji
kvadratni pogrešek med originalno funkcijo in njeno aproksimacijo (v opazovanem
primeru med želeno in dejansko frekvenčno karakteristiko). Srednji
kvadratni pogrešek se manjša s številom koeficientov, z daljšanjem okna njegova
energija izginja, zaradi pravokotnosti okna pa imamo Gibssov pojav
(slika 19.6).
Boljši vpogled v vpliv oblike okna na podobnost amplitudnih karakteristik
dobimo, če upoštevamo lastnost amplitudne modulacije (glej razdelek na
strani ), ki pove, da je množenje v časovnem prostoru ekvivalentno konvoluciji
v frekvenčnem prostoru. Zato lahko |H(ω)| izračunamo s konvolucijo
Fourierovih transformacij impulznega odziva sita in okna:
H(ω) = D(ω) ∗W(ω) , (19.25)
kjer je W(ω) spekter okna. Z opazovanjem konvolucije se pomen lastnosti
okna bolje vidi. Do izraza pridejo, ko opazujemo primer aproksimacije
idealnega frekvenčno selektivnega sita, na primer nizkopasovno:
Spekter pravokotnega okna ima obliko Dirichletovega jedra C M (ω)
(glej na strani ). Konvolucijo (19.25) pomeni, da izračunamo integral
produkta C M (ω)D(ω) za vsak premik jedra. Zato dobimo valovito
amplitudno karakteristiko v prepustnem in zapornem pasu z maksimumom
blizu mejnih frekvenc (slika 19.6a).
vref{sec:gibbs}
datoteka: signal_C

132 19. Sita s FIR
| D 13 ( ) |
c
0
c
(a) frekvenčna karakteristika aproksimacije
idealnega nizkega sita, N = 13
| D 25 ( ) |
c
0
c
(b) frekvenčna karakteristika aproksimacije
idealnega nizkega sita, N = 25
| D ( ) |
1
c
0
c
(c) frekvenčna karakteristika aproksimacij
idealnega nizkega sita, N → ∞.
Slika 19.6
Frekvenčne karakteristike sit v odvisnosti od števila koeficientov v impulznem odzivi
d M [n], s katerimi aproksimiramo idealno nizko pasovno sito.
Daljšanje okna oži spekter okna, ne spremeni pa njegove oblike. Zaradi
tega se grebeni valovitosti H(ω) pomikajo k mejni frekvenci. Ožji postaja
tudi prehodni pas, višine snopov ostajajo iste, pri mejni frekvenci
pa še vedno velja H(ω c ) = 1 / 2 (slika 19.6b).
V mejnem primeru, ko okno daljšamo proti neskončnosti in zato spekter
okna limitira proti Diracovemu impulzu (glej na strani ) v
(19.25) dobimo D(ω) ∗ δ(ω) = D(ω). Zato H(ω) postaja enak D(ω)
(v smislu srednjega kvadratnega pogreška), impulzni odziv h[n] pa neskončno
dolg (slika 19.6c).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo 133
Kaj narediti Se da izboljšati podobnost med frekvenčnima karakteristikama
aproksimacije in želenega sita, torej minimizirati funkcijo pogreška
E(ω) = D(ω) − D M (ω) (19.26)
Da, možnosti sta dve: (i) izbrati nepravokotno okno, katere spekter hitreje
konvergira in ima manjšo valovitost kot pri pravokotnih oknih, ali (ii) izbrati
drugi postopek načrtovanja, ki minimizira neželene lastnosti pravokotnih
oken. Uporabnost nepravokotnih oken pri načrtovanju sit s FIR povzemamo
v naslednjem razdelku, pri izbiri drugih metod pa imamo več možnosti.
Pri načrtovanja frekvenčno selektivnih sit se danes največ uporablja tako
imenovana optimalna metoda. Opisana je v naslednjem podpoglavju.
Uporaba nepravokotnih oken
Nepravokotna okna imajo zvezen prehod med “prepustnim” in “zapornim”
časovnim pasom. Zaradi zveznega prehoda se zmanjša valovitost v prehodnem
in zapornem frekvenčnem pasu, ožji je tudi prehodni pas. Obseg teh
sprememb je odvisna od oblike okna. Ta s stališča načrtovanja sit delimo v
dve skupini:
1. nenastavljiva okna, kjer so parametri okna fiksni in
2. nastavljiva okna, kjer s parametrom valovitosti lahko ločeno določimo
višino snopov v prepustnem in zapornem pasu načrtovanega sita.
Med prva okna spadajo na trikotno, von Hammovo, Hammingovo in Barletovo
okno, izmed drugih pa se največ uporablja Kaiserovo okno.
Katero od teh oken izbrati Izbira primernega okna ni enostavna. Osnovne
lastnosti in značilnosti oken smo opisali v poglavju na strani , tu povzemamo
le medsebojno primerjavo oken, ki se v praksi pogosteje uporabljajo.
Z njo si lahko pomagamo pri izbiri ustreznega okna:
1. Minimalno slabljenje. Določa ga razmerje:
a z = A 1
A 0
, (19.27)
kjer sta A 1 višina prvega stranskega snopa in A 0 višina glavnega snopa
v frekvenčni karakteristiki okna. Ponavadi so amplitude normirane z
A 0 , zato je A 0 = 1 in a z = δ z . Ponavadi ga izrazimo v decibelih:
A Z = −20log 10 (a z ) = −20log 10 (δ z ) [dB] . (19.28)
datoteka: signal_C

134 19. Sita s FIR
Slika 19.7
Razmerje amplitud najvišjega stranskega in
osnovnega snopa v amplitudni karakteristiki okna.
2. Valovitost prepustnega pasu. Določa jo deviacija amplitudne karakteristike
od želene, ki ga okno povzroči okna. Ponavadi se podaja v
decibelih. Spomnimo se, da je deviacija načrtovalski parameter. Določa
jo toleranca δ p oziroma a p :
a p = 20log 10 (1 + δ p ) [dB] . (19.29)
3. Maksimalno slabljenje zapornega pasu. To je največje slabljenje, ki
ga lahko dosežemo pri uporabi določenega okna pri aproksimaciji idealnega
sita. Določa ga A z , ki ga lahko dosežemo pri uporabi določenega
okna. Pri ne nastavljivih oknih je A z neodvisen od dolžine impulznega
odziva, pri nastavljivih sitih pa je odvisen od razmerja med valovitostjo
v prepustnem in zapornem pasu.
4. Relativna širina osnovnega snopa. To je širina glavnega snopa deljena
s številom koeficientov okna (slika 19.8):
L c = Ω c
N = ∆Ω N
. (19.30)
Določa širino prehodnega pasu in vpliva na konvergenco spektra okna.
Slika 19.8
Širina osnovnega snopa.
Praviloma imajo okna z nizkimi višinami stranskih snopov veliko širino
osnovnega snopa. Posledica je širši prehodni pas sita.
Naštete glavne lastnosti so za najpogosteje uporabljana okna povzete v tabeli
19.2 na naslednji strani. Njihova analiza pokaže naslednje:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo 135
Tabela 19.2
Osnovne lastnosti okenskih funkcij.
vrsta okna minimalno
slabljenje
[dB]
valovitost
prepustnega
pasu [dB]
maksimalno
slabljenje
[dB]
normalizirana širina
osnovnega snopa ∆Ω/N
okenska funkcija
pravokotno -13 0,7416 21 2π ·0,9/N 1
∣ ∣∣
-21 0,7416 21 2π ·0,9/N 1 − , N = 2M + 1
trikotno ali
Barletovo
( ) 2πn
Hanningovo ali -31 0,0546 44 2π ·3,1/N 0,5 + 0,5cos
N
Von Hanovo
( ) 2πn
Hammnigovo -41 0,0194 53 2π ·3,3/N 0,54 + 0,46cos
( ) N
2πn
Blackmanovo -57 0,0017 75 2π ·5,5/N 0,42 + 0,5cos + 0,08cos
N − 1
∣ ∣∣ n
M
( 4πn
N − 1
Kaiserovo 0,0274 50 2π ·2,93/N (β = 4,54)
0,00275 70 2π ·4,32/N (β = 6,76)
0,000275 90 2π ·5,71/N (β = 8,96)
I0(β{1 − [2n/(N − 1)] 2 } 1 /2 )
I0(β)
)
datoteka: signal_C

136 19. Sita s FIR
1. Ker širina glavnega snopa vpliva na prehodni pas načrtovanega sita,
vsa izboljšanja, ki jih pri načrtovanju sit pridobimo z uporabo nepravokotnih
oken, plačamo z razširitvijo prehodnega pasu.
2. Velikost izboljšav ni sorazmerna širini prehodnega pasu ampak od zapletenosti
funkcije, ki opisuje okno. Tako je Hammingovo okno učinkovitejše
kot Hanningovo okno.
3. Pri nenastavljivih oknih sta valovitosti v prepustnem in zapornem enaki
(δ p = δ z ). Ta omejitev v praksi vodi k nepotrebno majhni valovitosti
v prepustnem pasu, ki jo pri želeni širini prehodnega pasu plačamo z
velikim številom koeficientov sita.
4. Nastavljiva okna so glede slabljenja zapornega pasu za razred učinkovitejša
od nenastavljivih oken. Manjša je tudi širina prehodnega pasu.
To prednost dosegajo z zapleteno funkcijo, v kateri pa je na voljo parameter
β, s katerim izberemo razmerje valovitosti v prepustnem in zapornem
pasu. Ker s tem razmerjem vplivamo tudi na širino prehodnega
pasu, pri načrtovanju običajno iščemo kompromis med valovitostjo v
prehodnem pasu in širino prehodnega pasu.
Danes, ko sita praviloma načrtujemo s programskimi orodji, obsežnost
postopka načrtovanja z nastavljivimi okni ne predstavlja večjo oviro.
Nastavljiva okna imenujemo tudi sinus-hiperbolična ali na kratko sinh
okna. Med njimi so najbolj znana Kaiserova okna.
Uporaba nenastavljivih oken
Pri načrtovanju sit z okensko metodo si ponavadi pomagamo s podatki v tabeli
19.2 na predhodni strani. Iz zahtevanih lastnosti minimalnega slabljenja,
valovitosti v prepustnem in zapornem pasu s pomočjo te tabele izberemo
okno, iz širine prehodnega pasu pa izračunamo potrebno število koeficientov
sita:
N = ∆Ω
L c
. (19.31)
Tudi pri načrtovanju s pomočjo programskih orodij so podatki v tej tabeli
koristni. Na primer, z njimi lahko na hitro ocenimo, katera okna bodo dala
želene lastnosti sita.
ZGLED 19.3.1 (Aproksimacija nizkopasovnega sita s FIR z okenskim postopkom)
Določimo koeficiente impulznega odziva aproksimacije idealnega nizkopasovnega sita,
ki izpolnjuje naslednje zahteve:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo 137
mejna frekvenca idealnega sita:
širina prehodnega pasu:
slabljenje zapornega pasu:
frekvenca vzorčenja:
1,5 kHz
0,5 kHz
> 50 dB
8 kHz
REŠITEV: Impulzni odziv idealnega nizkega sita smo zapisali v tabeli 18.1 na strani
109:
⎧
⎨
ω c sin(nω c )
π nω c
n ≠ 0
d[n] =
⎩ ω c
π = 2 f c n = 0
Iz tega odziva z oknom odrežemo končno dolg del in ga utežimo z njegovimi koeficienti.
Iz tabele 19.2 na strani 135 sledi, da zahteve po slabljenju v zapornem pasu
načrtovanega sita izpolnijo Hammingovo, Blackmanovo in Kaiserovo okno. Med njimi
je najpreprostejše Hammingovo okno, zato ga uporabimo. Iz (19.31) izračunamo potrebno
število koeficientov. Najprej normiramo širino prehodnega pasu:
∆Ω = 2π 0,5
8
= 2π ·0,0625 ,
potem pa iz podatka za širino prehodnega pasu, ki je zapisan v tabeli 19.2, izračunamo:
∆Ω = 2π 3,3
N ⇒
N = 2π 3,3
∆Ω = 2π 3,3
2π ·0,0625 = 52,8 .
Število koeficientov mora biti celo število, zato izberemo N = 53 ⇒ M = 26. Koeficiente
sita izračunamo z (19.22):
d M [n] = d[n]w Ham [n] , −26 n 26 ,
kjer je w Ham Hammingovo okno:
w Ham = 0,54 + 0,46cos ( n 2π )
53
Ker ima amplitudna karakteristika zvezen prehod med prepustnim in zapornim pasom,
se njegova mejna frekvenca ne ujema z mejno frekvenco idealnega sita. To razhajanje
upoštevamo pri izračunu koeficientov sita. Ti naj določijo sito z mejno frekvenco, ki jo
postavimo na sredo prehodnega pasu:
f ′ c = f c + ∆ f /2 = 1,5 + 0,25 = 1,75 kHz .
Ker je impulzni odziv d M [n] sodosimetrična funkcija, zadostuje, da izračunamo polovico
koeficientov. Pričnimo pri n = 0, račune pa uredimo v tabelo (tabela 19.3). Da
dobimo impulzni odziv izvedljivega sita, premaknimo koeficiente d M [n] za M v desno,
da dobimo izvedljivo sito:
h[k] = b k = d M [k + M] = d M [k + 26] .
Koeficienti impulznega odziva h[k] oziroma koeficiente sita b k so zbrani v tabeli 19.4.
Iz tabele 19.3 na naslednji strani sledi, da je računanje koeficientov obsežno delo. Zato
ga danes prepuščamo računalnikom. Pri tem lahko uporabimo izdelana namenska
programska orodja kot je na primer MATLAB (glej razdelek 19.6 na strani 157). ♦
.
datoteka: signal_C

138 19. Sita s FIR
Tabela 19.3
Računanje koeficientov sita s FIR (N = 53 ⇒ M = 26, Hammingovo okno, f c = 1750 Hz), zgled 19.3.1.
k d[k] = w[k] = d M = d[k]w[k] =
0 2 f c = 2·0,21875 = 0,4375 0,54 + 0,46cos(0) = 1 0,4375·1 = 0,4375
sin(1·2π ·0,21875)
2·0,21875 0,54 + 0,46cos ( )
1·2π
1·2π ·0,21875
53
0,4375·0,99677
1
= 0,31219
= 0,99677
= 0,31118
sin(2·2π ·0,21875)
2·0,21875 0,54 + 0,46cos ( )
2·2π
2·π ·0,21875
53
0,06013·0,98713
2
= 0,06013
= 0,98713
= 0,06012
.
26
.
sin(26·2π ·0,21875)
2·0,21875
26·π ·0,21875
= −0,01131
.
0,54 + 0,46cos ( )
26·2π
53
= 0,08081
.
− 0,01131·0,08081
= −0,000914
Tabela 19.4
Koeficienti sita s FIR (N = 53 ⇒ M = 26, Hammingovo okno, f c = 1750 Hz), zgled 19.3.1.
h[0] = b 0 = −9,1399895 × 10 −4 = h[52] = b 52
h[14] = b 14 = −1,1402453 × 10 −2 = h[38] = b 38
h[1] = b 1 = 2,1673690 × 10 −4 = h[51] = b 51
h[13] = b 13 = −1,1271299 × 10 −2 = h[39] = b 39 h[26] = b 26 = 4,3750000 × 10 −1 = h[26] = b 26
h[2] = b 2 = 1,3270280 × 10 −3 = h[50] = b 50 h[15] = b 15 = 1,0630714 × 10 −2 = h[37] = b 37
h[3] = b 3 = 3,2138355 × 10 −4 = h[49] = b 49 h[16] = b 16 = 2,0964392 × 10 −2 = h[36] = b 36
h[4] = b 4 = −1,9238177 × 10 −3 = h[48] = b 48
h[5] = b 5 = −1,4683633 × 10 −3 = h[47] = b 47
h[17] = b 17 = −5,2583216 × 10 −3 = h[35] = b 35
h[18] = b 18 = −3,2156086 × 10 −2 = h[34] = b 34
h[6] = b 6 = 2,3627318 × 10 −3 = h[46] = b 46 h[19] = b 19 = −7,5449714 × 10 −3 = h[33] = b 33
h[7] = b 7 = 3,4846558 × 10 −3 = h[45] = b 45 h[20] = b 20 = 4,3456153 × 10 −2 = h[32] = b 32
h[8] = b 8 = −1,9925839 × 10 −3 = h[44] = b 44 h[21] = b 21 = 3,2593190 × 10 −2 = h[31] = b 31
h[9] = b 9 = −6,2837232 × 10 −3 = h[43] = b 43 h[22] = b 22 = −5,3413653 × 10 −2 = h[30] = b 30
h[10] = b 10 = 4,5320247 × 10 −9 = h[42] = b 42 h[23] = b 23 = −8,5682029 × 10 −2 = h[29] = b 29
h[11] = b 11 = 9,2669460 × 10 −3 = h[41] = b 41 h[24] = b 24 = 6,0122145 × 10 −2 = h[28] = b 28
h[12] = b 12 = 4,3430586 × 10 −3 = h[40] = b 40 h[25] = b 25 = 3,1118568 × 10 −1 = h[27] = b 27
Načrtovanje s Kaiserovim oknom
Kot smo že omenili, imamo pri uporabi Kaiserovega okna na voljo parameter
β, s katerim nadziramo razmerje valovitosti v prepustnem in zapornem pasu.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.3 Postopek načrtovanja z okensko metodo 139
Ker s tem vplivamo tudi na širino prehodnega pasu, imamo možnost iskanja
kompromisa med valovitostjo in širino prehodnega pasu.
V tabeli 19.2 na strani 135 smo za Kaiserovo okno zapisali:
⎧
⎨ I 0 (β{1−[2n/(N−1)] 2 } 1/2 )
I
w[n] =
0 (β)
−M n M
, (19.32)
⎩0 sicer
kjer je I 0 (x) modificirana Besselova funkcija prve vrste in ničtega reda. Izračunamo
jo lahko s potenčno vrsto:
I 0 (x) = 1 +
L
∑
k=0
[ ] (x/2)
k 2
, (19.33)
kjer je L običajno manjši od 25. Ko je β = 0, je Kaiserovo sito enako pravokotnemu
situ, ko je β = 5,44, postane zelo podobno Hammingovemu oknu.
Vrednost β določimo s slabljenjem zapornega pasu in ga lahko ocenimo z
eno od naslednjih empiričnih relacij:
k!
⎧
⎨
0 A z 21 dB (19.34a)
β = 0,584(A z − 21) 0,4 + 0,07886(A − 21) 21 < A z < 50 dB (19.34b)
⎩
0,1102(A z − 8,7) A z 50 dB (19.34c)
kjer je A z = −20log 10 δ in δ = min{δ p ,δ z }. Število koeficientov v impulznem
odzivu določimo z empiričnim obrazcem:
⌈ ⌉
Az − 7,95
N
, (19.35)
14,36∆Ω/2π
kjer je ∆Ω normalizirana širina prehodnega pasu. Z znanimi vrednostmi za
N in β izračunamo koeficiente Kaiserovega okna.
ZGLED 19.3.2 (Postopek načrtovanja nizkopasovnega sita s Kaiserovim oknom)
Z uporabo Kaiserovega okna določimo koeficiente impulznega odziva aproksimacije
idealnega nizkopasovnega sita, ki izpolnjuje naslednje zahteve:
prepustni pas:
širina prehodnega pasu:
valovitost prepustnega pasu
slabljenje zapornega pasu:
frekvenca vzorčenja:
150 – 250 Hz
50 Hz
0,1 dB
60 dB
1000 Hz
REŠITEV:
Iz specifikacij sledi, da za valovitost v prepustnem in zapornem pasu velja:
20log 10 (1 + δ p ) = 0,1 dB ⇒ δ p = 0,0115
−20log 10 (δ z ) = 60 dB ⇒ δ z = 0,001 ,
datoteka: signal_C

140 19. Sita s FIR
zato
δ = min{δ p ,δ z } = δ z = 0,001 .
Število koeficientov impulznega odziva pri načrtovanju s Kaiserovim oknom izračunamo
z (19.35):
⌈
⌉
60 − 7,95
N
= 73 .
14,36(50/1000)
Ker je 73 liho število, ga izberemo za število koeficientov v impulznem odzivu N. Parameter
valovitosti β glede na velikost zahtevanega slabljenja v zapornem pasu določimo
z (19.34c):
β = 0,1102(60 − 8,7) = 5,65 .
Tako, “peš” smo določili vse potrebne parametre za izračun koeficientov sita. Nadaljnje
delo prepustimo računalniku. Za to sito lahko napišemo program v C jeziku, ali pa
uporabimo na primer programski paket MATLAB, ter z njim izračunamo koeficiente sita
ter narišemo pripadajočo amplitudno karakteristiko sita.
♦
19.4 Sita z enakomerno valovitostjo:
optimalna aproksimacija sit s FIR
☞
Mnogokrat želimo narediti sito, ki je najboljše, kar se da doseči pri danem
številu koeficientov sita. Seveda moramo pri tem definirati kriterij ocenjevanja,
ker je drugače “najboljše” nima pravega pomena. Kaj izbrati za optimizacijski
kriterij Pri uporabi pravokotnega okna optimiramo srednjikvadratni
pogrešek med želenim in dejanskim sitom. Žal tu nastane Gibbsov pojav, ki
ga manjšamo z uporabo nepravokotnih oken. Njihova uporaba zmanjša deviacijo
aproksimacije od želenega sita, ne pa srednje kvadratnega pogreška.
Napeljuje pa na misel, (posebej postopek načrtovanja s Kaiserovim oknom),
da enakomerna razporeditev deviacij po vsem prepustnem in zapornem pasu
tako, da je po vsem pasu enaka, lahko zmanjša njeno velikost. Sita s tako
lastnostjo so sita z enakomerno valovitostjo 4 . Ponovimo in poudarimo: ta
sita ne minimizirajo srednji kvadratni pogrešek. Tega lahko dosežemo le pri
načrtovanju s pravokotnim oknom. Dosežemo pa druge lastnosti, ki so načrtovalcem
mnogokrat dragocene.
Sita z enakomerno valovitostjo imajo sprejemljivo valovitost karakteristike
v vsem prepustnem in sem zapornem pasu 5 pri kar se da ozkem prehodnem
pasu. To seveda lahko dosežemo le s povsem drugačnim postopkom
4 Enakomerna valovitost pomeni, da so znotraj istovrstnih pasov (prepustnih, zapornih) deviacije
(vrhovi snopov) enako velike, med pasovi pa se lahko razlikujejo. Spoznali bomo,
da lahko z nastavitvijo njihove razlike lahko nastavimo širino prehodnega pasu.
5 Obstajajo tudi multipasovna sita z enakomerno valovitostjo
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.4 Optimalna aproksimacija sit 141
načrtovanja, kot smo ga spoznali pri okenskem postopku. V njem v bistvu
v frekvenčni karakteristiki H(Ω) iščemo lokalne maksimume in minimume
valovitosti karakteristike sita ter jih v iterativnem postopku postavimo tako,
da dosežemo enakomerno valovitost. Žal, zaradi omejitev, ki jih ima prenosne
funkcije sit s FIR, zanje ne obstaja analitična rešitev 6 , zato za rešitev tega
problema moramo uporabiti numerične metode. Dodajmo, da je teh več in
da temeljijo na Čebiševi aproksimaciji 7 .
Obširnejše teoretično ozadje teh metod najdemo v [], tu se omejujemo
le na kratek pregled njihove uporabe pri aproksimaciji idealnega nizkopasovnega
sita.
Privzemimo, da je impulzni odziv pozitivno simetričen in da ima liho število
koeficientov. Njegovo frekvenčno karakteristiko opisuje (19.12d). Vpeljimo
nove oznake:
Z njimi (19.12d) zapišemo v obliki:
H(ω) = e − jωT sM
c[m] = 2h [ N−1
2
− n ] (19.36a)
c[0] = h [ ]
N−1
2
. (19.36b)
∑
M
m=0
c[m]cosmωT s , (19.37)
kjer je M = (N − 1)/2. Amplitudno karakteristiko te aproksimacije določa
vsota v (19.37). Upoštevajmo normirane frekvence: f N = 1 = 1/T s , zato
6 Pri analognih sitih in sitih z IIR obstaja analitična rešitev tega problema.
7 Parametri M, ε p , ε z , Ω p in Ω z so medsebojno povezani, zato jih ne moremo neodvisno
določiti. Za načrtovanje sta bili v sedemdesetih letih določeni dve metodi:
1. Herman in Schuessler sta določila parametre M, ε p , ε z in dovolila, da se spreminjata
parametra Ω p in Ω z . Pokazala sta, da frekvenčno karakteristiko z enakomerno valovitostjo
lahko izrazita z množico nelinearnih enačb. težava pri reševanju enačb z
veliko vrednostjo M je vzpodbudila Hofstetterja, Oppenheima in Siegela, da so razvili
iterativni postopek, s katerim so poiskali trigonometrične polinome z zahtevanimi
lastnostmi.
2. Parks in McClellan sta za izhodišče načrtovanja izbrala parametre M, Ω p in Ω z ter
razmerje višin grebenov v prepustnem in zapornem pasu ε p /ε z , med tem ko lahko se
parametra ε p in ε z spreminjata.
Ta metoda ima prednost, saj pri njej za izbrano širino prehodnega pasu – zelo pomemben
podatek pri večini sit, ki jih uporabljamo v praksi – prilagodimo razmerje
valovitosti v prepustnem in zapornem pasu.
Načrtovalski problem, ki ga rešujemo s to metodo, je Čebiševa aproksimacija preko
razdeljenih množic.
V praksi večinoma uporabljamo drugo metodo, zato nekaj besed o njej. Pri njej funkcija
optimalnega pogreška ima na območju (0 Ωπ) M+2 ali M+3 menjav.
datoteka: signal_C

142 19. Sita s FIR
T s = 1 in ω/ω N = Ω. Za |H(Ω)| dobimo:
|H(Ω)| =
M
∑
m=0
c[m]cosmΩ , (19.38)
ki se od želene amplitudne karakteristike razlikuje za funkcijo pogreška
ε(Ω) = |D(Ω)| − |H(Ω)| . (19.39)
ki na intervalu [0,π] ima M + 1 ekstremov pri frekvencah:
Ω 0 < Ω 1 < ··· < Ω M . (19.40)
To lahko uvidimo iz tega, da cosmΩ v (19.38) izrazimo s potenčno vrsto:
|H(Ω)| =
M
∑
m=0
c[m](cosΩ) m , (19.41)
ki določa trigonometrijski polinomom M-tega reda. Ta ima natanko M − 1
lokalnih ekstremov v območju 0 < Ω < π, odvod (19.39) po Ω:
M
dH(Ω)
dΩ = −sinΩ ∑ mc[m](cosΩ) m−1 , (19.42)
m=1
pa pokaže, da sta ekstrema tudi pri mejnih frekvencah Ω = 0 in Ω = π, zato
ta polinom na intervalu [0,π] zavzame M + 1 ekstremnih vrednosti.
V teoriji aproksimacij je dobro znana Čebiševa ali enakomerna aproksimacija.
Ta minimizira največji odmik v (19.39). Čebišev izrek pravi, da
H(Ω) na intervalu [0,π] enakomerno aproksimira D(ω), če maksimalne vrednosti
pogreška zavzamejo vrednosti ±δ(D;H) z izmeničnimi spremembami
znaka M+1 krat. Torej:
ter:
ε(Ω 1 ) = −ε(Ω i+1 ) , i = 0,1,...,M (19.43)
|ε(Ω i )| = max|ε(Ω)| , i = 0,1,...,M (19.44)
kjer maksimum iščemo na vsem intervalu [0,π]. To velja tudi, kadar funkcijo
pogreška utežimo z utežno funkcijo W(Ω):
ε(Ω) = W(Ω)(|D(Ω)| − |H(Ω)|) . (19.45)
Utežna funkcija omogoča, da v postopku načrtovanja določimo različno velikost
pogreškov v prepustnem in zapornem pasu. Na primer:
|D(Ω)| =
{
1 0 Ω Ωp (prepustni pas)
0 Ω z Ω π (zaporni pas)
(19.46)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.4 Optimalna aproksimacija sit 143
in
W(Ω) =
{
(δz /δ p ) 0 Ω Ω p (prepustni pas)
1 Ω z Ω π (zaporni pas)
Aproksimacijski problem lahko zapišemo v obliki:
oziroma
[
W(ω i )
. (19.47)
W(ω i )(|D(ω i )| − |H(Ω i )|) = (−1) i δ(D,H) , (19.48)
|D(ω i )| −
M
∑
m=0
c[m]cosmω i
]
= (−1) i δ(D,H)
i = 0,1,...,M + 1 , (19.49)
kjer so neznani koeficienti c[m] in največji pogrešek δ(D,H). Množico enačb,
ki jih določata (19.48) oziroma (19.49) lahko zapišemo v matrični obliki:
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1
1 cosΩ 0 cos2Ω 0 ... cos(MΩ 0 )
c[0] D(M 0 )
W(Ω 0 )
1
c[1]
D(Ω 1 )
1 cosΩ 1 cos2Ω 1 ... cos(MΩ 1 )
W(Ω 0 )
×
. .
.. .
=
.
.
⎢
⎥ ⎢ c[M] ⎥ ⎢ D(Ω
⎣
1 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ M ) ⎥
⎦
1 cosΩ M+1 cos2Ω M+1 ... cos(MΩ M+1 )
W(Ω 0 ) δ(D,H) D(Ω M+1 )
Če poznamo frekvence ω i in red sita r (velja r = N − 1 = 2M), potem lahko
z (19.50) izračunamo koeficiente sita. Ker nobenega od teh parametrov ne
poznamo vnaprej, uporabimo iterativni postopek, ki iz izbranih začetnih vrednosti
izračuna prave. Ta postopek temelji na Remezovem menjalnem algoritmu.
Parks in McClellan sta leta 1972 objavila članka 8,9 , v katerem sta
pokazala, da je računanje (19.50) zelo učinkovito, če množico teh enačb rešimo
za množico ekstremnih točk, za katere določimo δ(D,H) z:
δ(D,H) =
M+1
∑ c m D(Ω m )
m=0
c 0
W(Ω 0 ) − c 1
W(Ω 1 ) + ··· + (−1)M+1 c M+1
W(Ω M+1 )
, (19.51)
(19.50)
8 J.H. McClellan, and T.W. Parks: “Unified Approach to the Design of Optimum FIR Linear-
Phase Filters”. IEEE Trans. Circuit Theory, CT 20(6), pp 697–701 (1973). ponatis: Digital
filters and fast Fourier transform. edit. Bede Liu
9 J.H. McClellan, T.W. Parks and L.R. Rabiner: “Computer program for Design Optimum
FIR Linear Phase Digital Filters”. IEEE Trans. Audio Electroacustics, AU 21(6), pp 506–
526 (1973). ponatis: Digital filters and fast Fourier transform. edit. Bede Liu
datoteka: signal_C

144 19. Sita s FIR
kjer so
M+1
c i =
∑
i=0
i≠k
Ves postopek poteka v petih korakih:
1
cosΩ k − cosΩ i
. (19.52)
(i) Izberemo število koeficientov sita in začetne vrednosti frekvenc Ω i , pri
katerih bi naj imela funkcija pogreška ε(Ω) maksimume.
(ii) Sistem enačb (19.50) izračunamo za δ(D,H).
(iii) Z Langragejevim interpolacijskim obrazcem določimo vrednosti |H(Ω)|
v točkah Ω i :
B k = D(Ω k ) − (−1) k δ(D,H)
W(ω k )
, k = 0,1,...,M + 1 . (19.53)
in z njimi izračunamo amplitudno karakteristiko aproksimacijskega sita:
kjer so
|H(Ω)| =
M+1
β k =
∑
i=0
i≠k
M+1
∑
k=0
M+1
∑
k=0
(
βk
x − x k
)
B k
(
βk
x − x k
) , (19.54)
1
x k − x i
in x = cosΩ . (19.55)
(iv) Izračunamo pogrešek ε(ω) in ga primerjamo z δ(D,H). Če v bližnji
okolici Ω i velja ε(Ω) < δ(D,H), potem smo našli optimalno rešitev,
če pa ne, potem ponovimo prejšnji korak pri novi množici frekvenc Ω i ,
pri katerih je imel pogrešek primerjave maksimum. Proces ponavljamo,
dokler δ(D,H) ne konvergira k svoji zgornji meji.
(v) Ko so frekvence optimumov znane, iz (19.50) izračunamo koeficiente
c[m]. Izračun lahko naredimo tudi s hitro Fourierovo transformacijo. V
tem primeru ni potrebno računati inverzno matriko v (19.50)
Konvergenca Parks-McClellanovega algoritma je odvisna od izbire začetnih
točk, zato je bilo vloženega veliko napora v iskanje njihove dobre izbire 10 .
10 A. Antoniou: “Accelerated Procedure for the design of equiripple non-recursive digital
filters”. Proceedings of IEE, Part G, No. 129, pp. 1–10, 1982 []
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

☞
19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 145
Ker sita z enakomerno valovitostjo načrtujemo le s pomočjo računalnikov,
njihovega opisa ne nadaljujemo. Poudarimo le, da se tudi pri načrtovanju z
računalniškimi programi predpostavlja, da je red sita znan a priori. To, žal ni,
zato moramo red sita r = 2M = N − 1 posebej določiti. Pri nizkopasovnih in
visokopasovnih sitih si pomagamo z empirično oceno:
N ocena = 2 3 log 10
( 1
10δ p δ z
)
ωN
∆ω . (19.56)
Uporabna je tudi pri pasovno prepustnih in zapornih sitih, če za ∆ω upoštevamo
min(∆ω 1 ,∆ω 2 ), kjer sta ∆ω 1 ,∆ω 2 širini spodnega oziroma zgornjega
prehodnega pasu. Ponovimo, (19.56) daje le oceno, ne pravo vrednost. Vendar
ocena zadostuje za določitev začetnega stanja pri uporabi Ramirezovega
algoritma.
19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike
Ta postopek omogoča načrtovanje tako frekvenčno selektivnih sit kot tudi sit
s poljubno frekvenčno karakteristiko. Njegova privlačnost je v tem, da omogoča
tudi rekurzivno izvedbo sita s FIR. Ta lahko z določenimi omejitvami
izvedemo tudi s celoštevilčnimi koeficienti. To je izjemna prednost, ko so na
voljo digitalni signalni procesorji samo s celoštevilčno aritmetiko.
Načrtovanje nerekurzivnih sit s FIR
z vzorčenjem frekvenčne karakteristike
Zamisel postopka je naslednja. Izberemo si frekvenčno karakteristiko prototipnega
sita (ponavadi katero od idealnih sit). Njegovo karakteristiko vzorčnimo
po vsem Nyquistovem intervalu med 0 in Ω s = 2π (slika 19.9).To lahko
izvedemo na dva načina:
prvi način: Ω m = m(Ω s /N) m = 0,1,2,...,N − 1 (19.57)
drugi način: Ω m = (m + 1 2 )(Ω s/N) m = 0,1,2,...,N − 1 . (19.58)
Število otipkov, je lahko liho ali sodo. Zato so pri vzorčenju frekvenčne karakteristike
možne štiri razporeditve vzorčnih frekvenc (slika 19.10),katerih
impulzni odzivi se zaradi tega medsebojno nekoliko razlikujejo.
Impulzni odziv izračunamo z inverzno DFT:
datoteka: signal_C
h[n] = 1 N
N−1
∑ H[m]e j 2π N nm , (19.59)
m=0

146 19. Sita s FIR
(a) frekvenčna karakteristika idealnega nizkopasovnega sita
(b) vzorec idealne frekvenčne karakteristike idealnega nizkopasovnega sita
(c) frekvenčna karakteristika nizkopasovnega sita, ki ga dobimo iz vzorca idealne karakteristike
Slika 19.9
Koncept vzorčenja frekvenčne karakteristike.
kjer so H[m] otipki v vzorcu frekvenčne karakteristike. Tudi pri tem postopku
pri aproksimacij idealnih sit dobimo sita s FIR z linearno fazo tip I, če je N
lih, ali tip II, če je N sod. To uvidimo iz pozitivne simetrije impulznega
odziva (ker so frekvenčne karakteristike idealnih sit sodosimetrične so tudi
njihovi impulzni odzivi sodosimetrični).
Frekvenčna karakteristika načrtanega sita se v točkah vzorčenja natančno
ujema s prototipnim sitom. Med točkami vzorčenja pa se frekvenčni karakteristika
razlikuje (slika 19.9c). Aproksimacijo lahko izboljšamo s povečanjem
števila otipkov v vzorcu, to pa seveda pomeni daljši impulzni odziv. Pri aprošarko
ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 147
(a) tip I, N je sod
(b) tip II, N je sod
(c) tip I, N je lih
(d) tip II, N je lih
Slika 19.10
Štiri možne razporeditve (mreže) vzorčnih frekvenc.
ksimacijah idealnih sit daje ta postopek podobne rezultate kot jih dobimo pri
načrtovanju s pravokotnim oknom. Zato z gostenjem vzorca prototipne frekvenčne
karakteristike dobimo boljše ujemanje v notranjosti prepustnih in
zapornih pasov sita, ob robovih prehodnih pasov pa vstraja Gibbsov pojav.
Optimiranje amplitudnega odziva
Gibbsov pojav in valovitost na sploh lahko zmanjšamo s podobnimi prijemi
kot pri postopkih načrtovanja z nepravokotnimi okni, lahko pa za prototipno
sito uporabimo katero od realnih optimalnih analognih sit. Z definiranjem
poteka prehodnega pasu se manjša valovitost in Gibbsov pojav, poveča se
slabljenje prvega stranskega snopa in s tem slabljenje vsega zapornega pasu.
Problem, ki ga pri tem moramo rešiti je, kako določiti optimalni potek prehodnega
pasu.
Najpreprostejša možnost je linearni upad iz prepustnega pasu v zaporni
(slika 19.11). Ponavadi je njegovo dolžino izberemo tako, da se v prehodnem
pasu nahajajo trije otipki frekvenčne karakteristike. Povečanje dolžine prehodnega
pasu poveča slabljenje za približno 20 dB za vsak dodatni otipek
datoteka: signal_C

148 19. Sita s FIR
prehodnega pasu [], oziroma med številom otipkov v prehodnem pasu in
slabljenjem v zapornem pasu veljata naslednji povezavi:
približno slabljenje v zapornem pasu (25 + 20n pp ) [dB] (19.60)
približna širina prehodnega pasu (n pp + 1)Ω/N [rad −1 ] (19.61)
kjer sta n pp število otipkov v prehodnem pasu in N število koeficientov sita.
Optimalni potek prehodnega pasu, ki določi velikost otipkov A[n 1 ], A [ n 2 ],
. . . , A npp tako, da je slabljenje v zapornem pasu minimalno, lahko določimo
z optimizacijskim algoritmom []. Njegova nalogo opisuje:
[ ∣
min max W(Ω)[D(Ω) − H(Ω) ∣ ] , ω p < Ω < Ω z . (19.62)
A[n 1 ],...,A[n pp ]
V literaturi (predvsem v raznih priročnikih za načrtovanje digitalnih sit) je
mogoče najti tabelirane vrednosti A[n] za različne dolžine sit in števila otipkov
prehodnega pasu (za sito z N = 15 glej tabelo 19.5 na naslednji strani),
vendar jih danes ponavadi izračunamo sproti. Programi, ki razrešijo (19.62)
[, ], temeljijo na hibridnem genetskem algoritmu.
Načrtovanje rekurzivnih sit s FIR
Prenosno funkcijo sita s FIR in linearno fazno karakteristiko lahko zapišemo
tudi v rekurzivni obliki 11 :
H(z) = 1 − z−N
N
} {{ }
H 1 (z)
N−1
H[m]
∑
m=0
1 − e j2πm/N z −1 = H 1 (z)H 2 (z)
} {{ }
, (19.63)
H 2 (z)
Iz (19.63) sledi, da lahko sito s FIR razcepimo na zaporedno vezavo sita
H 1 (z), imenujemo ga comb sito, z N ničlami, ki so enakomerno porazdeljena
po enotski krožnici v z-ravnini; in vsote N sit H 2 (z) s po enim polom. Ničle
H 1 (z) in poli H 2 (z) nahajajo na enotskem krogu v točkah z m = e 2πm/N , torej
Slika 19.11
Vzorec nizkopasovnega sita s tremi
otipki v prehodnem pasu.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

☞
19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 149
se prekrivajo. Ker ničle črtajo vse pole, ima tako rekurzivno končno dolg
odziv, torej kljub povratni zanki dobimo sito s FIR.
Zaradi končne dolžine zapisa koeficientov poli niso povsem natančno razporejeni
po enotski krožnici, zato se zgodi, da se ne črtajo z ničlami. Posledica
je potencialno nestabilno sito z IIR. Nestabilnost lahko odpravimo, če
pole namesto na enotsko krožnico razporedimo na krožnici z radijem r < 1.
V tem primeru je prenosna funkcija sita enaka:
H(z) = 1 − rN z −N
N
N−1
∑
m=0
H[m]
1 − re j2πm/N z −1 , r < 1 . (19.64)
Ker so frekvenčne karakteristike v splošnem kompleksne, so kompleksni tudi
njihovi vzorci, zato pri direktni uporabi (19.63) ali (19.64) potrebujemo kom-
11 Izpeljava tega obrazca je v zgledu 19.5.1 na naslednji strani
Tabela 19.5
Optimalne vrednosti otipkov v prehodnem pasu pri postopku načrtovanja sit z vzorčenjem frekvenčne
karakteristike. Sito je tipa I, N = 15 [].
BW slabljenje v zapornem pasu [dB] A[n 1 ] A[n 2 ] A[n 3 ]
en otipek v prehodnem pasu
1 42,309 322 83 0,433 782 96
2 41,262 992 86 0,417 938 23
3 41,253 337 86 0,410 473 63
4 41,949 077 13 0,404 058 84
5 44,371 245 38 0,392 681 89
6 56,014 165 88 0,357 665 25
dva otipka v prehodnem pasu
1 70,605 405 85 0,095 001 22 0,589 954 18
2 69,251 681 56 0,103 198 24 0,593 571 18
3 69,919 734 95 0,100 836 18 0,589 432 70
4 75,511 722 56 0,084 074 93 0,557 153 12
5 103,460 783 00 0,051 802 06 0,499 174 24
trije otipki v prehodnem pasu
1 94,611 661 91 0,014 550 78 0,184 578 82 0,668 976 13
2 104,998 130 80 0,010 009 77 0,173 607 13 0,659 515 26
3 114,907 193 18 0,008 734 13 0,163 973 10 0,647 112 64
4 157,292 575 84 0,003 787 99 0,123 939 63 0,601 811 54
BW je število otipkov v prepustnem pasu
datoteka: signal_C

150 19. Sita s FIR
pleksno računanje. Temu se izognemo, če izkoristimo simetrije, ki so lastne
frekvenčnim karakteristikam sit s FIR, ki imajo realni impulzni odziv h[n].
Pri frekvenčno selektivnih sitih z linearno fazo – ta imajo pozitivni simetrični
impulzni odziv – lahko (19.64) zapišemo v obliki:
H(z) = 1 − rN z −N
·
N
∣
∣H[m] ∣ { 2cos(2πmα/N) − 2r cos[2πm(1 + α)/N]z −1}
]
1 − 2r cos(2πm/N)z −1 + r 2 z −2 + H[0]
1 − z −1
[ M∑
m=1
, (19.65)
kjer je α = (N − 1)/2 in M = (N − 1)/2, ko je N lih, oziroma M = N/2 − 1,
ko je N sod. Realizacijo (19.65) kaže slika 19.12.
ZGLED 19.5.1 (Rekurzivno sito s FIR)
S postopkom vzorčenja določimo koeficiente rekurzivnega sita s FIR, s katerim aproksimiramo
idealno nizkopasovno sito. Načrtano sito naj izpolni naslednje zahteve:
prepustni pas:
frekvenca vzorčenja:
dolžina sita (N): 9
0 – 4 kHz
18 kHz
REŠITEV:
Prenosno funkcijo sita s FIR določa obrazec
N−1
H(z) =
∑
n=0
h[n]z −n . (19.66)
Najprej iz njega izpeljimo obrazec za prenosno funkcijo rekurzivnega sita s FIR. Pri tem
predpostavimo, da so poli prenosne funkcije na krožnici s polmerom r < 1.
Impulzni odziv h[m] sita s prenosno funkcijo H(z) izračunamo z inverzno diskretno
transformacijo vzorca frekvenčne karakteristike:
h[n] = 1 N
N−1
∑ H[m]r n e j2πnm/N , n = 1,2,··· ,N − 1 , r < 1 . (19.67)
m=0
V (19.66) za h[n] upoštevamo (19.67) in dobimo:
[
N−1
H(z) = h[n]z −n N−1
1
=
N
∑
n=0
N−1
∑
n=0
∑
m=0
H[m]r n e j2πnm/N ]z −n . (19.68)
Zamenjajmo zaporedje seštevanja
[ ]
H(z) = 1 N−1 N−1
N
∑ H[m] ∑
(re j2πm/N z −1) n
m=0 n=0
(19.69)
in upoštevamo, obrazec za vsoto končne potenčne vrste
N−1
() S n =
∑
n=0
α n = 1 − αn
1 − α
, α ≠ 1
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 151
Slika 19.12
Rekurzivna realizacija sita s FIR z realno aritmetiko. Postopek načrtovanega je z vzorčenjem frekvenčne
karakteristike.
ter za α upoštevamo re j2πm/N z −1 . Sedaj lahko zapišemo:
datoteka: signal_C
H(z) = 1 − rN z −N
N
N−1
∑
m=0
H[m]
1 − re j2πm/N z −1 . (19.70)

152 19. Sita s FIR
Vidimo, da se (19.64) in (19.70) ujemata. Izpišimo še vsoto v (19.70). Dobimo:
N−1
H 2 (z) =
∑
m=0
H[m]
1 − re j2πm/N z −1 (19.71)
= H[0]
1 − rz −1 + H[1]
1 − re j2π1/N z −1 z −1 + H[2]
1 − re j2π2/N z −1 z −1 +
H[N − 2]
··· +
1 − re j2π(N−2)/N z −1 + H[N − 1]
1 − re j2π(N−1)/N z −1 . (19.72)
Pri sitih z realnimi koeficienti v impulznem odzivu velja:
H[m] = H ∗ [n − m] in zato e j2π(N−m)/N = e j2πm/N . (19.73)
Zato lahko H 2 [m] zapišemo v obliki:
H 2 (z) =
H[0]
1 − rz −1 + H[1]
1 − re j2π1/N z −1 + H[2]
1 − re j2π2/N z −1 +
H ∗ [2]
··· +
1 − re − j2π2/N z −1 + H ∗ [1]
1 − re − j2π1/N z −1 , (19.74)
od koder vidimo, da prvi člen določa realen pol, drugi in zadnji člen pa konjugirano
kompleksni par polov.Tudi tretji in predzadnji člen določata konjugirano kompleksni par
itd. Člena, ki določata konjugirano kompleksni par polov lahko združimo v:
H 2 (z) =
H[k]
1 − re j2πk/N z −1 + H ∗ [k]
1 − re − j2πk/N z −1
= H[k]( 1 − re − j2πk/N z −1) + H ∗ [k] ( 1 − re j2πk/N z −1)
(
1 − re j2πk/N z −1)( 1 − re − j2πk/N z−1) (19.75)
= H[k]( 1 − re − j2πk/N z −1) + H ∗ [k] ( 1 − re j2πk/N z −1)
1 − 2r cos(2πm/N)z −1 + r 2 z −2 . (19.76)
Za sita z linearno fazno karakteristiko velja:
H[m] = |H[m]|e j2πmM/N ,
kjer je M = (N − 1)/2, ko je N lih, pri sodem N pa velja M = N/2 − 1. S tem lahko
poenostavimo števec v (19.76):
(
|H[k]|e − j2πkM/N 1 − re − j2πk/N z −1) ( + |H[k]|e j2πkM/N 1 − re j2πk/N z −1)
= |H[k]|
[e ( − j2πkM/N 1 − re − j2πk/N z −1) ( + e j2πkM/N 1 − re j2πk/N z −1)]
= |H[k]|
[e − j2πkM/N − re − j2πk/N e − j2πkM/N z −1 + e j2πkM/N − re j2πk/N e j2πkM/N z −1]
uporabimo Eulorov obrazec:
= |H[k]| [ 2cos(2πkM/N) − 2r cos[2πk(1 + α)/N]z −1] (19.77)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 153
in za (19.76) dobimo:
H(z) = 1 − rN z −N
N
]
+ H[0]
1 − z −1
[ M∑
m=1
∣ H[m]
∣ ∣
{
2cos(2πmα/N) − 2r cos[2πm(1 + α)/N]z
−1 }
1 − 2r cos(2πm/N)z −1 + r 2 z −2
, (19.78)
kjer je M = (N − 1)/2 pri lihih N in M = N/2 − 1 pri sodih N.
Načrtujemo sito lihe dolžine z N = 9 in M = (N − 1)/2 = (9 − 1)/2 = 4. Frekvenčno
karakteristiko prototipnega sita otipamo v intervalih:
Ω s
2π
1
N = 18
9 = 2 kHz ,
torej so otipki H[0],...,H[M] idealnega nizkopasovnega sita z mejno frekvenco 4 kHz
enaki:
{
1 m = 0,1,2
H[m] =
0 m = 3,4
V tem primeru je α = (N − 1)/2 = (9 − 1)/2 = 4 in r = 1. Prenosno funkcijo izračunamo
z (19.78):
H(z) = 1 − z−9
9
{
2
∣ ∣ H[m] ∣ ∣ [ 2cos(2π4/9) − 2cos(2π5/9)z −1]
1 − 2cos(2π/9)z −1 + z −2
+ 2∣ ∣H[m] ∣ ∣ [ 2cos(2π2·4/9) − 2cos(2π2·5/9)z −1]
1 − 2z −1 cos(2π/9)z −1 + z −2 + 1
1 − z −1 }
,
Vrednosti kotnih funkcij so:
cos(8π/9) cos(10π/9) cos(2π/9) cos(16π/9) cos(20π/9) cos(4π/9)
−0,9397 −0,0397 0,7760 0,7660 0,7660 0,1736
Vstavimo tabelirane vrednosti kotnih funkcij v zgornjo enačbo in dobimo:
H(z) = 1 − z−9
9
= 1 − z−9
9
{ 2(−0,9397 − 0,9397z −1 )
1 − 2(0,7660)z −1 + z −2 + 2(0,7760 − 0,7760z−1 )
1 − 2(0,1736)z −1 + z −2 + 1 }
1 − z −1
[ −1,8794(1 − z −1 )
1 − 1,5320z −1 + z −2 + −1,5320(1 − z−1 )
1 − 0,3472z −1 + z −2 + 1 ]
1 − z −1 .
Realizacijo sita z zgornjo prenosno funkcijo kaže slika 19.13 na naslednji strani.
♦
Rekurzivna sit s FIR in preprostimi koeficienti
Posebna vrsta sit s FIR so rekurzivna sita s FIR, ki imajo celoštevilčne koeficiente.
Pri teh sitih se še dodatno zelo zmanjša število računskih operacij –
datoteka: signal_C

154 19. Sita s FIR
žal na račun kakovosti aproksimacije prototipnega sita. Če so pri tem koeficienti
števila potence števila 2, je njihovo računanje še posebej hitro [].
Celoštevilčne koeficiente lahko dobimo le pri določenih legah polov. Zato
so sita lahko le določenih dolžin in so njihove frekvenčne karakteristike omejene
le na področja osredotočena na frekvence, pri katerih ležijo poli. Ker so
koeficienti celoštevilčni, so poli natančno razporejeni po enotskem krogu,
zato ničle popolno črtajo pole.
Načrtovanje teh sit je preprosto (zgled 19.5.2). Poli se lahko nahajajo
le na koordinatnih oseh, kjer jih seka enotska krožnica le na. Torej lahko
imamo največ dva realna pola in dva konjugirana kompleksna pola (z realnim
delom enakim nič). To pomeni, da od obrazca (19.63) del H 1 (z) ostane
nespremenjen, od dela H 2 (z) pa le celoštevilčni poli, ki lahko ležijo – kot smo
zapisali – le na koordinatnih oseh. Te lege dosežemo z ustreznim vzorčenjem
prototipne frekvenčne karakteristike.
ZGLED 19.5.2 (Rekurzivno sito s FIR in celoštevilčnimi koeficienti)
S postopkom vzorčenja določimo koeficiente rekurzivnega sita s FIR s celoštevilčnimi
koeficienti, s katerim aproksimiramo idealno nizkopasovno sito. Načrtano sito naj iz-
Slika 19.13
Rekurzivna realizacija sita s FIR z zgleda 19.5.1.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.5 Načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike 155
polni naslednje zahteve:
(a) srednja frekvenca prepustnega pasu:
frekvenca vzorčenja:
0 kHz
18 kHz
dolžina sita: N = 9
(b) srednja frekvenca prepustnega pasu:
frekvenca vzorčenja:
3 kHz
12 kHz
dolžina sita: N =
REŠITEV: Pri N = 9 so intervali med vzorčnimi frekvencami 18/9=2 kHz. V primeru
(a) mora pol ležati pri frekvenci 0 kHz. Zato vzorčenje prototipne frekvence pričnemo pri
tej frekvenci (slika 19.14a). Pri tej razpodelitvi ničel je lahko celoštevilčni pol le na realni
(a) razporeditev ničel in polov po enotski krožnici v Z -
ravnini pri N = 9.
(b) amplitudna karakteristika rekurzivnega sita s
celoštevilčnimi koeficienti pri N = 9.
Slika 19.14
Rekurzivna realizacija nizkopasovnega sita s FIR (zgled 19.5.2 na predhodni strani).
osi, zato je lahko frekvenčna karakteristika rekurzivnega sita s FIR in celoštevilčnimi
koeficienti v tem primeru enaka le:
H(z) = 1 − z−9
9
1
1 − z −1 .
Njen potek kaže slika 19.14b.
V primeru (b) imamo pasovnoprepustno sito s srednjo frekvenco prepustnega pasu
3 kHz. Tu moramo frekvence vzorčenja izbrati tako, da bo frekvenčni otipek tudi pri tej
frekvenci. To pomeni, da je možna le taka izbira intervala vzorčenja, da se njihov celoštevilčni
mnogokratnik ujema s srednjo frekvenco prepustnega pasu. To z N = 9 pri frekvenci
vzorčenja 12 kHz ne moremo doseči, lahko pa na primer z N = 4,8,12,16,....
Izberimo N = 8.
Pri srednjih frekvenci različnih imamo vedno dva konjugirano kompleksna pola. Da
ju določata celoštevilčna koeficienta, morata ležati na imaginarni osi (slika 19.15a),
zato je lahko frekvenčna karakteristika rekurzivnega pasovnoprepustnega sita s FIR in
celoštevilčnimi koeficienti v tem primeru enaka:
datoteka: signal_C
H(z) = 1 − z−8
8
1
1 + z −2 .

156 19. Sita s FIR
(a) razporeditev ničel in polov po enotski krožnici v
Z -ravnini pri N = 8.
(b) amplitudna karakteristika rekurzivnega sita s
celoštevilčnimi koeficienti pri N = 8.
Slika 19.15
Rekurzivna realizacija pasovno prepustnega sita s FIR (zgled 19.5.2 na strani 154).
Njen potek kaže slika 19.15b.
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 157
19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR
Programsko orodje MATLAB Signal Processing Toolbox vsebuje zbirko programov
in funkcij, s katerimi lahko preprosto načrtujemo in analiziramo sita
s FIR. Programi in ukazi so tako pripravljeni, da pri njihovi uporabi nismo
obremenjeni s programiranjem, omogočajo pa vpogled v vsebino načrtovanja.
Še več, imena funkcij oziroma ukazov v angleškem jeziku imajo dobro
asociacijo s svojo funkcijo, zato si jih je lahko zapomniti, oziroma uganiti
njihov namen.
V tem razdelku je kratek pregled, kako s programskim orodjem MATLAB
izračunamo koeficiente sit s FIR pri postopku načrtovanja z okensko metodo,
optimalno (Park-McClellan) metodo in metodo vzorčenja frekvenčne karakteristike.
S tem je razlaga konceptov načrtovanja teh sit v prejšnjih razdelkih
zaokrožena.
Računanje frekvenčnega odziva digitalnih sit
Za izračun frekvenčne karakteristike digitalnih sit ima orodni kovček “Signal
Processing Toolbox” pripravljeno funkcijo freqz. Ta funkcija je prilagodljiva
različnim zahtevam pri računanju frekvenčne karakteristike. Njena
osnovna sintaksa je:
[H,f] = freqz(b,a,l)
kjer sta b in a vektorja s koeficienti sita, l je skalar, ki določi dolžino vektorjev
H in f . Vektorja b in a lahko vsebujeta realne ali kompleksne koeficiente sita.
Algoritem izračuna temelji na prenosni funkciji
en. (16.37)
H(z) = Y (z)
q
∑ b k z −k
V (z) = k=0
p
∑
k=0
a k z −k , (19.79)
kjer upošteva (19.3):
en. (19.3) H(z) = H(e sT s
) H(ω) = H(e sT s
)
∣ , (19.80)
σ=0
kjer je T s interval tipanja.
Funkcija freqz najprej izračuna kvocient vektorjev b in a, potem pa
s FFT izračuna frekvenčno karakteristiko v točkah vzorčenja. Če te niso
eksplicitno določene, izračun kvocient razširi z ničlami tako, da je prenosna
funkcija dolžine, ki jo določa s skalar l. Zato je zelo ugodno, da je l, ki
datoteka: signal_C

158 19. Sita s FIR
določa število točk računanja FFT, potenca števila 2 (. . . 128, 256, . . . ). Če l
ni določen, freqz za l izbere vrednost 512.
Iz (19.79) sledi, da lahko s freqz izračunamo frekvenčni odziv sit z IIR
in sit s FIR. Pri sitih s FIR so koeficienti a 0 = 1,a 1 = a 2 ... = 0, zato v funkciji
freqz navedemo le vrednost koeficienta a 0 :
[H,f] = freqz(h,1,l)
kjer je h = b vektor koeficientov končno dolgega impulznega odziva oziroma
koeficientov sita dolžine l.
Vektor H vsebuje kompleksne koeficiente. Njihovo lego na frekvenčni osi
določa vektor normiranih krožnih frekvenc
f = {Ω 0 = 0,Ω 1 ,Ω 2 ,...,Ω l = Ω N = π} . (19.81)
Frekvenčni odziv lahko izračunamo tudi za vse frekvence med 0 in Ω s = 2π.
To dosežemo z dopisom ukaza ’whole’ med argumente funkcije freqz:
[H,f] = freqz(b,a,l,’whole’)
Frekvence, pri katerih želimo, da se izračuna frekvenčna karakteristika, lahko
določimo tudi eksplicitno z vektorjem f . V tem primeru je sintaksa freqz
naslednja:
H = freqz(b,a,w)
Pri tem lahko ima vektor f poljubno dolžino.
Frekvenčno karakteristiko lahko izračunamo tudi za izbrano frekvenco
vzorčenja. V tem primeru je sintaksa freqz naslednja:
[H,f] = freqz(b,a,l,fs)
Vektorja H and f sta dolžine l. Frekvenco vzorčenja f s freqz privzame
v hertzih, zato so frekvence v vektorju f normirane z f s , torej so med 0 in
1. Vrednost 1 pripada Nyquistovi frekvenci f s /2 Hz. Tudi v tem primeru
lahko eksplicitno določimo, pri katerih frekvencah želimo imeti izračunano
frekvenčno karakteristiko:
H = freqz(b,a,f,fs)
Ta je sedaj določena pri normiranih frekvencah v Hz.
poljubne dolžine. S freqz s sintakso
Vektor f je lahko
[H,f] = freqz(b,a,l,’whole’,fs)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 159
izračunamo frekvenčni odziv pri frekvencah med 0 Hz in f s Hz. Pri tem je
vektor f dolžine l.
Zapisali smo le najpomembnejše možnosti funkcije freqz. Podrobnejši
opis vseh možnosti najdemo v “Pomoči”, ki je sestavni del paketa Matlab.
Opis freqz zaključimo s preprostim zgledom njene uporabe (zgled 19.2 na
strani 162).
MATLAB 19.1: Izračun in izris amplitudne karakteristike sita s FIR. Frekvenčna karakteristika naj bo izračunana v
512 točka za izbrano frekvenco vzorčenja.
...
% IZRAČUN FREKVENČNE KARAKTERISTIKE
[H,f]=freqz(h,1,512,fs);
% IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE
mag=20*log10(abs(H));
plot(f,mag),grid on;
xlabel(’frekvenca [Hz]’);
ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)
% b = h: impulzni odziv sita
% a = a_0 = 1: sito s FIR
% 512: število točk računanja FFT
% fs: frekvenca vzorčenja
% izračun amplitude v dB
% izris grafa na podlago z mrežo
% oznaka horizontalne osi
% oznaka vertikalne osi
Okenska metoda
Postopek načrtovanja standardnih, frekvenčno selektivnih sit s FIR z linearno
fazno karakteristiko z uporabo okenske metode smo širše opisali v razdelku
na strani . Iz opisa sledi, da ga izvedemo v naslednjih korakih:
1. izberemo frekvenčno karakteristiko prototipnega sita,
2. izračunamo idealni odziv prototipnega sita (za idealna frekvenčno selektivna
sita so d[n] zbrani v tabeli 18.1 na strani 109),
3. izberemo okensko funkcijo w[n],
4. ocenimo število koeficientov sita N,
5. izračunamo koeficiente okenske funkcije w[n],
6. izračunamo koeficiente sita,
Za te korake ima Matlab v orodnem kovčku “Signal Processing Toolbox”
pripravljeno funkcijo fir1. Njena osnovna sintaksa je naslednja:
h = fir1(r,fm)
Vektor h vsebuje N koeficientov impulznega odziva sita z mejno frekvenco
f m. Parameter r določa red sita – ta je pri sitih s FIR za ena manjši od števila
datoteka: signal_C

160 19. Sita s FIR
členov v impulznem odzivu:
r = N − 1 . (19.82)
Mejna frekvenca f m je normirana. Njena vrednost je med 0 in 1, kjer vrednost
1 pripada Nyquistovi frekvenci f N = f s /2. Koeficienti vektorja h določajo
prenosno funkcijo sita H(z):
H(z) = b[0] + b[1]z −1 + b[2]z −2 + ··· + b[r]z −(r) . (19.83)
Če posebej ne označimo, funkcija fir1 predpostavlja nizkopasovno prepustno
sito in Hammingovo okno. Če želimo drugi tip sita, to določimo z
zapisom vektorja f m in dopisom opcije ’high’ ali ’stop’:
h = fir1(r,fm) % nizkopasovno sito
h = fir1(r,fm,’high’) % visokopasovno sito
h = fir1(r,[f_m1 f_m2]) % pasovno prepustno sito
h = fir1(r,[f_m1 f_m2],’stop’) % pasovno zaporno sito
Mejne frekvence pasovno prepustnih ali zapornih sit ponavadi predhodno določimo
kot vektor fm=[f_m1 f_m2] ter s tem skrajšamo zapis funkcije
fir1. Ko načrtujemo multipasovna sita, pasove označimo s pari frekvenc
v vektorju f m, z oznakama DC-1 ali DC-0 pa določimo, ali prvi pas (od
frekvence nič navzgor) prepustni ali zaporni.
Pri visokopasovnih in pasovno zapornih sitih mora sito imeti liho število
koeficientov, torej mora biti sodega reda (glej razdelek 19.1 na strani 123).
Zato funkcija fir1 v primeru, če vpišemo lihi red sita, sama poveča red sita
za 1.
Tip okna označimo z dopisom njegovega angleškega imena, na primer
Blackmanovo, Kaiserovo, . . . okno. Na primer, funkcija:
h = fir1(r,[f_m1 f_m2],’stop’,kaiser(r+1,beta))
izračuna koeficiente pasovno zapornega sita z uporabo Kaiserovega okna dolžine
r + 1 = N in s parametrom β. Okno lahko opišemo tudi z vektorjem w,
katerega koeficiente izračunamo ali določimo posebej. Na primer:
w = boxcar(N) % pravokotno okno
w = blackman(N) % Blackmanovo okno
w = hamming(N) % Hammingovo okno
w = hanning(N) % Hanningov okno
w = kaiser(N,beta) % Kaiserovo okno,
kjer je N število koeficientov okna. Z redom sita je povezan z (19.82).
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 161
Rezultati, ki jih dobimo pri načrtovanju s programom Matlab, se lahko
razlikujejo od rezultatov, ki jih dobimo pri drugih podobnih programih. Razlike
lahko nastanejo na primer zaradi drugačnega skaliranja. Tako MATLAB
priredi amplitudi vrednost 1 na sredini prepustnega pasu. To skaliranje lahko
izključimo z dopisom besede noscale:
b = fir1(r,fm,nonscale)
Ker je tudi računanje koeficientov okenskih funkcij specifično, mnogokrat
vmesni rezultati niso direktno prenosljivi v druge programe. Zato moramo
biti pazljivi pri uporabi rezultatov oziroma moramo pred njihovo uporabo v
navodilih preveriti konkretne algoritem računanja.
ZGLED 19.6.1 (Hammingovo okno)
V zgledu 19.3.1 smo “peš” določili koeficiente impulznega odziva aproksimacije idealnega
nizkopasovnega sita, ki izpolnjuje naslednje zahteve:
mejna frekvenca idealnega sita:
širina prehodnega pasu:
slabljenje zapornega pasu:
1,5 kHz
0,5 kHz
> 50 dB
frekvenca vzorčenja: 8 kHz
Ponovimo postopek izračuna s pomočjo programa Matlab in orodnega kovčka “Signal
Processing Toolbox”.
REŠITEV: Izbiro okna, določitev števila koeficientov in mejne frekvence naredimo
enako kot v zgledu 19.3.1. Iz tabele glede na širino prehodnega pasu in zahtevanega
dušenja zapornega pasu izberemo Hammingovo okno. Iz podatka za širino
prehodnega pasu, ki je zapisan v tabeli 19.2, izračunamo število koeficientov sita:
⌈
N = 2π 3,3 ⌉ ⌈
⌉
3,3
= 2π
= ⌈52,8⌉ = 53 .
∆Ω 2π ·0,0625
Določimo še mejno frekvenco aproksimacijskega sita:
f c = f c + ∆ f /2 = 1,5 + 0,25 = 1,75 kHz
f m = 2 f c / f s = 2.1,75/5 = 0,7 .
Koeficientov sita izračunamo s funkcijo fir1. Za primerjavo izračunamo še koeficiente
sita, ki ga dobimo pri uporabi pravokotnega okna in koeficiente Hammingovega okna.
Za vse to zadostuje naslednji programom:
datoteka: signal_C

162 19. Sita s FIR
Tabela 19.6
Koeficienti sita d[n] (zgled 19.6.1 na predhodni strani) načrtanega z uporabo pravokotnega okna, koeficienti
Hammingovega sita w[n] in koeficienti sita h[n] načrtanega z uporabo Hammnigovega okna. Velja
h[n] = d[n]·w[n]. Ker je impulzni odziv pozitivno simetričen, je zapisana le prva polovica koeficientov. (koeficienti
so iz starega zgleda)
n d[n] w[n] h[n]
0 0,0072 0,0800 0,0006
1 −0,0127 0,0834 −0,0011
2 0,0078 0,0934 0,0007
3 0,0043 0,1099 0,0005
4 −0,0137 0,1327 −0,0018
5 0,0122 0,1614 0,0020
6 0,0000 0,1957 −0,0000
7 −0,0135 0,2350 −0,0032
8 0,0168 0,2787 0,0047
n d[n] w[n] h[n]
9 −0,0058 0,3262 −0,0019
10 −0,0117 0,3769 −0,0044
11 0,0212 0,4299 0,0091
12 −0,0133 0,4846 −0,0065
13 −0,0076 0,5400 −0,0041
14 0,0252 0,5954 0,0150
15 −0,0234 0,6501 −0,0152
16 0,0000 0,7031 0,0000
17 0,0286 0,7538 0,0216
n d[n] w[n] h[n]
18 −0,0378 0,8013 −0,0303
19 0,0140 0,8450 0,0119
20 0,0311 0,8843 0,0276
21 −0,0635 0,9186 −0,0585
22 0,0467 0,9473 0,0443
23 0,0327 0,9701 0,0318
24 −0,1511 0,9866 −0,1493
25 0,2570 0,9966 0,2566
26 0,6986 1,0000 0,6999
MATLAB 19.2: Izračun koeficientov sita po okenskem postopku. Za primerjavo je dodan še izračun koeficientov
Hammingovega okna in koeficientov sita pri pravokoetnem oknu. Sito aproksimira idealno nizkopasovno sito.
fm=0.7;
N=53;
w_Ham=hamming(N);
h=fir1(N-1,fm,w_Ham);
d=fir1(N-1,fm,boxcar(N));
% normalizirana mejna frekvenca
% dolžina sita
% koeficienti Hammingovega okna
% aproksimacija s Hammingovim oknom
% aproksimacija s pravokotnim oknom
Izračunani koeficienti d[n], w[n] in h[n] so zbrani v tabeli 19.6. Po vzoru programa za
izračun frekvenčne karakteristike (program MATLAB 19.1 na strani 159) še izračunamo
in izrišemo amplitudni karakteristiki za siti z impulznim odzivom d[n] (slika 19.16a) in
h[n] (slika 19.16b).
V program 19.2 bi na začetku lahko vključili še izračun števila koeficientov sita in
izračun normirane mejne frekvence:
N=ceil(3,3/2*0,0625)
fm=2*(1,5+0,25)/5
in si s tem prikrajšali posebno računanje reda sita in normirane frekvence.
♦
ZGLED 19.6.2 (Kaiserovo okno)
Izračunajmo koeficiente sita s FIR z okensko metodo, kjer uporabimo Kaiserovo okno.
Sito naj izpolni naslednje zahteve:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 163
20
20
0
0
amplitudni odziv [dB]
−20
−40
−60
amplitudni odziv [dB]
−20
−40
−60
−80
−80
−100
0 1 2 3 4
frekvenca [Hz]
(a) pri pravokotnem oknu
−100
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
frekvenca [Hz]
(b) pri Hammingovem oknu
Slika 19.16
Amplitudni karakteristiki (zgled 19.6.1 na strani 161).
prepustni pas: 150 – 250 Hz širina prehodnega pasu: 50 Hz
valovitost prepustnega pasu: 0,1 dB slabljenje v zapornem pasu: 60 dB
frekvenca vzorčenja: 1000 Hz
REŠITEV:
Iz specifikacij valovitosti in slabljenja v zapornem pasu izračunamo::
0,1 = 20log 10 (1 + δ p ) ⇒ δ p = 0,0115
60 = −20log 10 (δ z ) ⇒ δ z = 0,001 .
V nadaljnjem postopku upoštevamo manjšo izmed mej:
δ = min(δ p ,δ z ) = 0,001 .
Zahtevano slabljenje lahko dosežemo le s Kaiserovim ali Blackmanovim oknom. Za
Kaiserovo okno število koeficientov impulznega odziva izračunamo z
⌈
N =
⌈ A − 7,95
14,36∆F
⌉
=
Za parameter valovitosti β velja:
60 − 7,95
14,36(50/1000)
β = 0,1102(60 − 8,7) = 5,65 .
⌉
= ⌈72,49⌉ = 73 .
Program, s katerim izračunamo aproksimacijo impulznega odziva in dobimo narisano
frekvenčno karakteristiko, je naslednji:
datoteka: signal_C

164 19. Sita s FIR
MATLAB 19.3: Izračun koeficientov sita z okenskim postopku pri uporabi Kaiserovega okna.
fs=1000;
% frekvenca vzorčenja
fn=fs/2;
% Nyquistova frekvenca
N=73;
% dolžina sita
beta=5.65;
% parameter valovitosti
fm1=125/fn;
% normalizirana spodnja mejna frekvenca
fm2=275/fn;
% normalizirana zgornja mejna frekvenca
fm=[fm1 fm2];
% vektor mejnih frekvenc
h=fir1(N-1,fm,kaiser(N,beta)); % aproksimacija impulznega odziva
% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE
[H,f]=freqz(h,1,fs); % privzame l=512
mag=20*log10(abs(H));
plot(f,mag),grid on
xlabel(’frekvenca [Hz]’)
ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)
Koeficienti, ki jih izračuna program 19.3 so zbrani v tabeli 19.7. Amplitudna karakteri-
Tabela 19.7
Koeficienti Kaiserovega pasovnega sita (zgled 19.6.2 na strani 162). Ker je impulzni odziv pozitivno simetričen, je
zapisana le prva polovica koeficientov.
n h[n]
0 −0,0001
1 −0,0004
2 −0,0001
3 −0,0001
4 −0,0007
n h[n]
5 0,0005
6 0,0023
7 0,0008
8 −0,0017
9 −0,0005
n h[n]
10 −0,0005
11 −0,0044
12 −0,0022
13 0,0069
14 0,0066
n h[n]
15 −0,0016
16 0,0000
17 0,0022
18 −0,0117
19 −0,0164
n h[n]
20 0,0069
21 0,0189
22 0,0029
23 0,0044
24 0,0188
n h[n]
25 −0,0125
26 −0,0520
27 −0,0165
28 0,0333
29 0,0104
n h[n]
30 0,0094
31 0,0856
32 −0,0453
33 −0,1665
34 −0,2066
n h[n]
35 0,0891
36 0,2998
stika je na sliki 19.17 na naslednji strani.
♦
Optimalna metoda
Za postopke načrtovanja sit z optimalno metodo nudi program orodje Matlab
v orodnem kovčku Signal Processing Toolbox dve funkciji, ki temeljita na algoritmih,
ki so ji razvili Park in McClellan 12 . Osnova jim je tako imenovani
Remezov izmenjevalni algoritem, ki pomika frekvence, pri katerih ima pogreškovna
funkcija aproksimacije D(ω) − D M (ω) ekstreme. Remez je zanj
12 Glej opombi 8 in 9 na strani 143.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 165
20
0
amplitudni odziv [dB]
−20
−40
−60
−80
−100
Slika 19.17
Amplitudna karakteristika sita
načrtovanega s Kaiserovim oknom
(zgled 19.6.2 na strani 162).
−120
0 1 2 3 4
frekvenca [Hz]
napisal program v Fortranu 13 , ki je v programu Matlab zapisan v obliki datoteke
MEX. Program v MEX se od originala razlikuje v tem, da omogoča
načrtovanje poljubno dolgih sit s FIR s poljubnim številom linearnih pasov.
Funkcija remez
Za računanje koeficientov sita je namenjena remez, za določitev reda sita pa
funkcija remezord. Funkcija remez ima naslednjo osnovno sintakso:
h = remez(r,f,a)
kjer so r red sita, f vektor normaliziranih mejnih frekvenc in a vektor amplitud
pri mejnih frekvencah. Mejne frekvence so normalizirane z Nyquistovo
frekvenco f N = f s /2 in morajo biti zapisane v naraščajočem zaporedju. Vektorja
f in a sta iste, vedno sode dolžine.
Impulzni odziv je simetričen in dolžine N = r + 1. Zato ima sito linearno
fazno karakteristiko, ki jo določa zakasnitev
τ p = N − 1
2
= r 2
.
Red sita (poleg vrste simetrije) določa tudi tip sita. Pri izbiri reda pa smo
omejeni z vrsto sita. Na primer, visokopasovno sito ne sme biti tipa II (r lih, N
13 Programs for Digital Signal Processing, IEEE Press, New York, 1979, Algorithm 5.1.
datoteka: signal_C

166 19. Sita s FIR
sod). Če v tem primeru izberemo lihi r, ga funkcija remez poveča za ena 14 .
Če posebej ne navedemo, funkcija remez pri sodem r izračuna koeficiente
sita tip I, pri lihem r pa za tip II. Za tip III in IV moramo dopisati, ali je
sito diferenciator ali pa izvaja Hilbertovo transformacijo (tabela 19.8). Pri
Tabela 19.8
Vrste sit, osnovne lastnosti in sintaksa zapisa funkcije.
tip N r h[k] H( f = 0) H( f = 1) sintaksa ukaza
tip I lih sod pozitivno ni omejitev ni omejitev
tip II sod lih simetričen ni omejitev H(1) = 0
remez(n,f,a), remez(n,f,a,w), . . .
tip III lih sod negativno H(0) = 0 H(1) = 0 remez(n,f,a,’tip sita’),
tip IV sod lih simetričen H(0) = 0 ni omejitev remez(n,f,a,w,’tip sita’), . . .
’tip sita’ je lahko ali ’hilbert’ ali ’differentiator’.
optimalnih sitih lahko nastavimo tudi razmerja valovitosti med posameznimi
pasovi. Razmerja določajo uteži v vektorju w:
h = remez(r,f,a,w)
Dolžina w je enaka polovici dolžine f , tako določa natančno eno utež po
prepustnem oziroma zapornem frekvenčnem pasu.
ZGLED 19.6.3 (Sito z enakomerno valovitostjo)
Izračunajmo koeficiente pasovno prepustnega sita z enakomerno valovitostjo, katerega
frekvenčna karakteristika izpolni naslednje zahteve:
prepustni pas: 1000 – 1500 Hz dolžina sita: 41
širina prehodnega pasu: 500 Hz frekvenca vzorčenja: 10 kHz
valovitost prepustnega pasu:
0,1 dB
REŠITEV: Iz specifikacij sita sledi, da je zaporni frekvenčni pas med 0 in 500 Hz ter
med 2000 in 5000 HZ, prepustni pas pa med 1000 in 1500 Hz. Njihove normalizirane
mejne frekvence so:
f 0 = 0 f z1 = 500 /5000 =0,1 f p1 = 1000/5000 =0,2
f z2 = 1500/5000 =0,3 f p2 = 2000/5000 =0,4 f N = 1
zato je vektor normiranih frekvenc enak
f = [0 0.1 0.2 0.3 0.4 1]
14 Enako lastnost smo srečali pri okenskem postopku, kjer je taka omejitev veljala za visokopasovna
pasovno zaporna sita. Glej razdelek 19.1 na strani 123.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 167
Idealna amplitudna karakteristika ima v zapornih pasovih vrednost 0, v prepustnih pasovih
pa 1, zato je v tem primeru vektor a amplitud enak:
a = [0,0,1,1,0,0]
Tako, sedaj poznamo vse parametre za izračun koeficientov sita z enakomerno valovitostjo.
Napišimo še program:
MATLAB 19.4: Izračun impulznega odziva sita z enakomerno valovitostjo
fs=10000;
% frekvenca vzorčenja
n=41;
% dolžina sita
a=[0,0,1,1,0,0];
% želena amplitudna karakteristika
f=[0 0.1 0.2 0.3 0.4 1];
% normalizirane mejne frekvence
b=remez(n-1,f,a);
% aproksimacija impulznega odziva
% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE
[H,f]=freqz(h,1,fs); % privzame l=512
mag=20*log10(abs(H));
plot(f,mag),grid on
% frekvenca v rad/s
xlabel(’frekvenca [rad/s]’)
ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)
Koeficienti, ki jih izračuna program 19.4, so zbrani v tabeli 19.9, amplitudno karakteri-
Tabela 19.9
Koeficienti sita iz zgleda 19.6.3. Ker je impulzni odziv pozitivno simetričen, je zapisana
le prva polovica koeficientov.
n h FIR [n]
0 −0,0001
1 −0,0004
2 −0,0001
3 −0,0001
4 −0,0007
n h FIR [n]
5 0,0005
6 0,0023
7 0,0008
8 −0,0017
9 −0,0005
n h FIR [n]
10 −0,0005
11 −0,0044
12 −0,0022
13 0,0069
14 0,0066
n h FIR [n]
15 −0,0016
16 0,0000
17 0,0022
18 −0,0117
19 −0,0164
n h FIR [n]
20 0,0069
21 0,0189
stiko kaže slika 19.18.
♦
Funkcija remezord
S funkcijo remezord izračunamo minimalni red sita, pri katerem frekvenčna
karakteristika sita še izpolni zastavljene meje toleranc. Funkcija uporablja
datoteka: signal_C

168 19. Sita s FIR
20
0
Slika 19.18
Amplitudna karakteristika sita z
enakomerno valovitostjo (zgled 19.6.3
na strani 166).
amplitudni odziv [dB]
−20
−40
−60
−80
−100
−120
−140
0 1 2 3 4
frekvenca [Hz]
algoritem, ki sta ga predlagala L. R. Rabiner in O. Herrmann 15 . Temelji na
empiričnem obrazcu 19.56 na strani 145. Njena osnovna oblika je:
[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev)
kjer so v zbirki rezultatov [r,fo,ao,w] r iskani red sita, f 0 vektor normiranih
mejnih frekvenc, a 0 amplitude pri mejnih frekvencah in w vektor uteži
valovitosti po pasovih sita. Ti parametri so vhodni podatki funkcije remez:
[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev,fs)
h = remez(r,fo,ao,w)
Parametri f, a, dev in fs imajo naslednji pomen in zgradbo:
f je vektor mejnih frekvenc prehodnih pasov med 0 in f N = f s /2. Zato v
njem ne nastopata frekvenci 0 in f N . Zapisane morajo biti v naraščajočem
vrstnem redu. Kadar v remezord ni parametra fs, morajo biti
frekvence v vektorju f normirane, drugače pa so dejanske.
a je vektor želenih amplitud v prepustnih in zapornih pasovih. Predpostavlja,
da je potek amplitud med njimi konstanten. Zato je dolžina f
za dva manjša od dvojne dolžine a. Na primer, pasovno prepustno sito
opišemo z vektorjema:
15 Rabiner, L.R., and O. Herrmann, "The Predictability of Certain Optimum Finite Impulse
Response Digital Filters,"IEEE Trans. on Circuit Theory, Vol. CT-20, No. 4 (July 1973),
pp. 401-408.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

☞
19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 169
f=[f_z1 f_p1 f_p2 f_z2]
a=[0 1 0]
dev je vektor velikosti valovitosti v prepustnih in zapornih pasovih. Je
enake dolžine kot vektor a. Zapisati ga moramo v linearnem merilu.
fs je vzorčna frekvenca. Kadar ni navedena, funkcija remezord upošteva
F s = 2 hertz. V tem primeru so, kot smo že omenili, frekvence v
vektorju f normirane.
Kadar imamo valovitost podano kot razdaljo med tolerančnimi mejami v decibelih
(običaj pri načrtovanju sit z enakomerno valovitostjo), jo moramo za
uporabo v funkciji remezord preračunati v deviacijo δ p oziroma δ z . Povezuje
jih (slika 19.19):
A p = 20log 10 (1 + δ p ) +20log
} {{ } 10 (1 − δ p )
} {{ }
=a + p
=a − p
= 20log 10
(1 + δ p )
(1 − δ p )
(19.84)
oziroma
δ p = 10A p/20 − 1
10 A p/20 + 1
. (19.85)
Ti povezavi se razlikujeta od zapisa (18.14), kjer smo predpostavili:
a p = a + p = 20log(1 + δ p ) . (19.86)
Ker so meje toleranc v zapornem pasu 0 in δ z , je tam povezavo med slabljenjem
zapornega pasu v decibelih in absolutno mero tolerance enaka:
Slika 19.19
Definicija toleranc za
nizkopasovno sito.
A z = −20log 10 δ z (19.87)
oziroma
δ z = 10 A z/20
. (19.88)
Ko so mejne frekvence prehodnih pasov dejanske, si lahko pisanje programa
skrajšamo z opcijo ’cell’:
c = remezord(f,a,dev,fs,’cell’)
h = remez(c{:})
datoteka: signal_C

170 19. Sita s FIR
V primerih, ko so mejne frekvence blizu ničle ali Nyquistove frekvence,
se lahko zgodi, da funkcija remezord izračuna premajhen reda sita. To
uvidimo s primerjavo doseženih in želenih specifikacij. V takem primeru
moramo izračun koeficientov sita ponoviti pri redu sita r+1 ali r+2.
ZGLED 19.6.4 (nizkopasovno optimalno sito: uporaba dejanskih frekvenc)
Določimo red nizkopasovnega sita, ki še izpolni naslednje zahteve:
mejna frekvenca prepustnega pasu: 0,5 kHz valovitost v prepustnem pasu: 3 dB
mejna frekvenca zapornega pasu: 0,6 kHz slabljenje v zapornem pasu 40 dB
frekvenca vzorčenja:
in izračunajmo koeficiente sita!
2 kHz
REŠITEV: Pri načrtovanju uporabimo funkcijo remezord s sintakso, ki dovoljuje
uporabo dejanskih frekvenc. Ker so koeficienti deviacije podani v decibelih, jih moramo
z (19.85) in (19.87) pretvoriti v absolutno vrednost. To lahko naredimo pomočjo
programa Matlab. Pri tem lahko koeficiente vektorja deviacije izračunamo posebej
(program MATLAB 19.5)
MATLAB 19.5: Izračun vektorja deviacije amplitudne karakteristike
A_p = 3;
% valovitost v dB v prepustnem pasu
A_z = 40;
% valovitost v dB v zapornem pasu
d_p = (10^(A_p/20)-1)/(10^(A_p/20)+1);
d_z = 10^(-A_z/20);
dev = [d_p d_z];
% vektor absolutne valovitosti
ali pa kar v okviru definicije vektorja dev (program MATLAB 19.6 na naslednji strani).
Amplitudno karakteristiko načrtovanega sita izračunamo in narišemo na običajni način.
Če želimo videti še fazno karakteristiko – na njej se sprememba reda sita bolj opazi –
program dopolnimo še s funkcijami za njen izris.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 171
MATLAB 19.6: Izračun koeficientov sita in njegove frekvenčne karakteristike
A_p = 3;
% valovitost v dB v prepustnem pasu
A_z = 40;
% valovitost v dB v zapornem pasu
dev = [(10^(A_p/20)-1)/(10^(A_p/20)+1) 10^(-A_z/20)];
fs = 2000;
% frekvenca vzorčenja
f = [500 600];
% vektor mejnih frekvenc
a = [1 0];
% zelene amplitude
c = remezord(f,a,dev,fs,’cell’); % računanje reda sita
h = remez(c{:});
% računanje koeficientov sita
% IZRAČUN FREKVENČNE KARAKTERISTIKE
[H,f]=freqz(h,1,1024,fs);
mag=20*log10(abs(H));
phase=angle(H);
% amplitudna karakteristika
figure; plot(f,mag),grid on;
xlabel(’frekvenca [Hz]’);
ylabel(’amplitudna karakteristika [dB]’);
% fazna karakterisitka
figure; plot(f,unwrap(phase*180/pi)),grid on;
xlabel(’frekvenca [Hz]’);
ylabel(’fazna karakteristika’);
20
0
amplitudni odziv [dB]
0
−20
−40
−60
−80
fazni kot
−500
−1000
−1500
−100
0 200 400 600 800 1000
frekvenca [Hz]
(a) amplitudna karakteristika pri redu r
−2000
0 200 400 600 800 1000
frekvenca [Hz]
(b) fazna karakteristika pri redu r
Slika 19.20
Amplitudna karakteristika sita iz zgleda 19.6.4.
datoteka: signal_C

172 19. Sita s FIR
To sito za malenkost presega tolerance valovitosti v prepustnem pasu in slabljenja v
zapornem pasu (slika 19.24a). Da izpolnimo zastavljene tolerance, moramo v funkciji
remez namesto reda r uporabiti red r+1. Pri tem v funkciji remezord ne moremo
več uporaniti uporabiti parametra ’cell’, ki omogoča krajše pisanje, ampak
zapišemo:
[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev,fs); % računanje reda sita
h = remez(r+1,fo,ao,w);
% računanje koeficientov sita
20
0
amplitudni odziv [dB]
0
−20
−40
−60
−80
fazni kot
−500
−1000
−1500
−2000
−100
0 200 400 600 800 1000
frekvenca [Hz]
(a) amplitudna karakteristika pri redu r + 1
−2500
0 200 400 600 800 1000
frekvenca [Hz]
(b) fazna karakteristika pri redu r + 1
Slika 19.21
Amplitudna karakteristika sita iz zgleda 19.6.4 pri povečanem redu sita.
Program 19.6 na predhodni strani izriše dve sliki. Na prvi je amplitudna, na drugi pa
fazna karakteristike sita. Fazni karakteristiki so prikazani v linearnem merilu in v kotnih
stopinjah. Z opustitvijo funkcije unwrap, bi njena poteka imela preskoke pri modulu
360 ◦ . ♦
ZGLED 19.6.5 (nizkopasovno optimalno sito: uporaba normiranih frekvenc)
Ponovimo postopek načrtovanja iz zgleda 19.6.4 na strani 170 z uporabo normiranih
frekvenc.
REŠITEV: Pri načrtovanju uporabimo funkcijo remezord s sintakso, ki dovoljuje
uporabo normiranih frekvenc:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 173
frekvenca vzorčenja: 2 kHz −−−−−−→ normiranje
2
mejna frekvenca prepustnega pasu: 0,5 kHz −−−−−−→ normiranje
0,5
mejna frekvenca zapornega pasu: 0,6 kHz −−−−−−→ normiranje
0,6
Red sita in njegove koeficiente impulznega odziva izračunamo s programom 19.7.
MATLAB 19.7: Izračun koeficientov nizkopasovnega sita pri uporabi normiranih frekvenc v funkciji remezord
d_p = 3;
% valovitost v dB v prepustnem pasu
d_z = 40;
% valovitost v dB v zapornem pasu
dev = [(10^(d_p/20)-1)/(10^(d_p/20)+1) 10^(-d_z/20)];
f = [0.5 0.6];
% vektor mejnih frekvenc
a = [1 0];
% želene amplitude
[r,fo,ao,w] = remezord(f,a,dev); % računanje reda sita
h = remez(r+1,fo,ao,w);
% računanje koeficientov sita
% upoštevamo red r+1
% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE
[H,f]=freqz(h,1,1024);
mag=20*log10(abs(H));
plot(f/pi,mag),grid on;
% f/pi: frekvenca v Hz
xlabel(’frekvenca [Hz]’);
ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)
20
0
amplitudni odziv [dB]
−20
−40
−60
−80
Slika 19.22
Amplitudna karakteristika sita iz zgleda 19.6.5.
−100
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
frekvenca [Hz]
Da smo izpolnili zastavljene tolerance, smo v funkciji remez namesto reda r uporabiti
red r+1.
♦
ZGLED 19.6.6 (pasovnoprepustno sito z enakomerno valovitostjo)
Za pasovno prepustno sito z linearno fazno karakteristiko in s parametri
datoteka: signal_C

174 19. Sita s FIR
prepustni pas: 12 – 16 kHz valovitost prepustnega pasu: 1 dB
širina prehodnega pasu: 2 kHz slabljenje v zapornem pasu: 45 dB
frekvenca vzorčenja: 10 kHz
ocenimo dolžino sita, izračunajmo koeficiente sita z optimalno metodo in narišimo frekvenčno
karakteristiko tega sita.
REŠITEV: Iz specifikacij sita sledi, da je zaporni frekvenčni pas med 0 in 10 kHz ter
med 16 in 25 kHz, Zato lahko za v vektor mejnih frekvenc f zapišemo:
f = [10 12 16 18]*1000
Pripadajoči vektor amplitud v zapornih in prepustnih pasovih a je:
a = [0 1 0]
Oceno potrebne dolžine sita določimo s funkcijo remezord. Ker imamo valovitost
podano v dB, jo najprej pretvorimo v skladu z (19.85) in (19.87) v absolutno. linearno
vrednost. Program, ki izračuna potrebni red sita, impulzni odziv in frekvenčno karakteristiko,
je naslednji:
MATLAB 19.8: Izračun reda, koeficientov ter amplitudne karakteristike pasovno prepustnega sita
Ap=1;
% valovitost prepustnega pasu v dB
Az=45;
% slabljenje v zapornem pasu v dB
ep=(10^(Ap/20)-1)/(10^(Ap/20)+1); % valovitost v prepustnem pasu
ez=10^(-Az/20);
% valovitost v zapornem pasu
dev=[ez ep ez ]; % deviacije
w=[ep/ez 1 ep/ez ];
% razmerja valovitosti
fs=50000;
% frekvenca vzorčenja
f=[10 12 16 18 ]*1000;
% ndejanske mejne frekvence
a=[0 1 0];
% želena amplitudna karakteristika
c=remezord(f,a,dev,fs,’cell’); % red sita
h=remez(c{:});
% aproksimacija impulznega odziva
% IZRAČUN IN IZRIS AMPLITUDNE KARAKTERISTIKE
[H,f]=freqz(h,1,1024,fs);
mag=20*log10(abs(H));
plot(f/pi,mag),grid on
xlabel(’frekvenca [Hz]’)
ylabel(’amplitudni odziv [dB]’)
Amplitudno karakteristiko kaže slika 19.24.
♦
Metoda vzorčenja frekvenčne karakteristike
Pri načrtovanju sit, katerih želena frekvenčna karakteristika je poljubne (nestandardne)
oblike, uporabljamo postopek načrtovanja z vzorčenjem prototipne
frekvenčne karakteristike. Za ta postopek načrtovanja je v orodnem
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 175
20
0
amplitudni odziv [dB]
−20
−40
−60
−80
Slika 19.23
Amplitudna karakteristika sita iz
zgleda 19.6.6.
−100
0 2000 4000 6000 8000
frekvenca [Hz]
kovčku “Signal Processing Toolbox” pripravljena funkcija fir2.
osnovna sintaksa je:
Njena
h = fir2(r,f,m)
Parametri imajo naslednji pomen in lastnosti:
r je red sita. Funkcija fir2 vedno predpostavlja sito sodega reda. Če
kljub temu izberemo lihi n, ga fir2 poveča za 1.
f je vektor normiranih frekvenc. Zapisane morajo biti v naraščajočem
vrstnem redu. Pri tem je prva enaka 0, zadnja pa 1, torej enaka Nyquistovi
frekvenci.
m je vektor amplitud pri frekvencah zapisanih v vektorju f.
vektorja f and m enake dolžine.
Zato sta
Če ima želena frekvenčna karakteristika skok, je frekvenca, pri kateri
je skok, zapisan dvakrat. Prvi zapis (z leve) je namenjen levi limiti
amplitudne karakteristike, drugi pa desni.
Funkcija fir2 izračuna n+1 koeficientov sita s FIR reda n. Koeficienti v
vektorju so urejeni po upadajočih potencah z:
h = [h r ,h r−1 ,...,h 1 ,h 0 ] .
datoteka: signal_C

176 19. Sita s FIR
Amplitudna karakteristika, ki jo izračunamo iz izračunanega impulznega odziva,
se v točkah vzorčenja ujema prototipnim sitom. Tega lahko narišemo s
funkcijo plot(f,m).
Funkcija fir2 računa koeficiente sita z inverzno Fourierovo transformacijo.
Če posebej ne navedemo tip okna, fir2 pri njenem računanju uporabi
Hammingovo okno. Če želimo drugo okno, ga navedemo. Na primer
ali direktno, na primer:
window = blackman(r+1)
b = fir2(r,f,m,window)
b = fir2(r,f,m,kaiser(r+1,beta))
Vektor, ki določa okno, mora imeti r+1 koeficientov.
Potek prototipne amplitudne karakteristike, ki jo določata vektorja f in m,
funkcija fir2 upošteva kot oporne točke pri interpolaciji prototipne karakteristike,
ki je določena skupaj v 512 točkah. Če želimo spremeniti to število,
uporabimo parameter npt. Uporabljamo ga lahko brez ali z določitvijo okna:
h = fir2(r,f,m,npt)
h = fir2(r,f,m,npt,window)
Če sta v vektorju f dve zaporedni frekvenci enaki, funkcija fir2 določi
prehodni pas s središčem pri tej frekvenci, v katerem amplitudna karakteristika
naredi gladek prehod med želenima amplitudama (levo in desno limito
prototipne amplitudne karakteristike). Širino prehodnega pasu nadzira parameter
lap. Uporabljamo ga lahko brez ali z določitvijo okna:
b = fir2(n,f,m,npt,lap)
b = fir2(n,f,m,npt,lap,window)
☞
Pri uporabi parametra lap moramo pred njim vedno navesti tudi npt, tudi
če uporabljamo prednastavljeno vrednost! Če lap ni naveden, fir2 uporabi
prednastavljeno vrednost, ki znaša 25.
ZGLED 19.6.7 (Postopek načrtovanja z vzorčenjem frekvenčne karakteristike)
Po postopku vzorčenja frekvenčne karakteristike določimo koeficiente aproksimacije
idealnega nizkopasovnega sita z mejno frekvenco 0,6. Sita bodi 30. reda. Zanj narišimo
prototipno in dejansko amplitudno karakteristiko.
REŠITEV: Potek amplitudne karakteristike idealnega nizkopasovnega sita ima preskok
pri mejni frekvenci 0,6 (normirano). Opišemo jo z:
f = [0 0.6 0.6 1]
m = [1 1 0 0]
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 177
MATLAB 19.9: Izračun koeficientov sita s prednastavljenimi vrednostmi parametrov npt in lap.
f = [0 0.6 0.6 1]; % vektor frekvenc, preskok pri 0,6 !
m = [1 1 0 0]; % vektor amplitud pri frekvencah f
h = fir2(30,f,m);
% izračun koeficientov sita
% IZRAČUN IN IZRIS FREKVENČNE KARAKTERISTIKE
[H,w]=freqz(h,1,128);
plot(f,m,w/pi,abs(H)),grid on % w je normirana krožna frekvenca!
legend(’idealna’,’aproksimacija’)
1.4
1.2
idealna
aproksimacija
1.05
idealna
aproksimacija
1
0.8
0.6
1
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(a) pri prednastavljenih vrednostih parametrov npt in lap
0.95
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55
(b) detajl prepustnega pasu v okolici mejne frekvence
Slika 19.24
Primerjava amplitudnih karakteristik prototipnega in dejanskega sita (program MATLAB 19.9).
Poglejmo si še vpliv širine prehodnega pasu na potek amplitudne karakteristike. V tem
primeru se funkcija za izračun koeficientov glasi:
h = fir2(30,f,m,512,50); (19.89)
in vpliv uporabe Blackmanovega okna pri izračunu inverzne Fourierove transformacije
v funkciji fir2:
h = fir2(30,f,m,blackman(31)) (19.90)
Primerjava prikazanih amplitudnih karakteristik pokaže:
Širina prehodnega pasu je najmanjša pri prednastavljenih vrednostih parametrov
funkcije fir2
Če podvojimo število otipkov v prehodnem pasu, se širina prehodnega pasu
nekoliko poveča, precej pa se zmanjša valovitost v prepustnem pasu.
datoteka: signal_C

178 19. Sita s FIR
1.4
1.2
idealna
aproksimacija
1.05
idealna
aproksimacija
1
0.8
0.6
1
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(a) pri parametrih npt = 512 in lap = 50
0.95
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55
(b) detajl prepustnega pasu v okolici mejne frekvence.
1.4
1.2
idealna
aproksimacija
1.05
idealna
aproksimacija
1
0.8
0.6
1
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
(c) pri uporabi Blackmanovega okna
0.95
0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55
(d) detajl prepustnega pasu v okolici mejne frekvence
Slika 19.25
Primerjava amplitudnih karakteristik prototipnega in dejanskega sita, z (19.89) in (19.89) modificirani program
19.9 (zgled 19.6.7 na strani 176).
Uporaba Blackmanovega okna pri računanju inverzne Fourierove transformacije
odpravi valovitost v prepustnem pasu. To pa plačamo s povečano širino
prehodnega pasu.
♦
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

19.6 Uporaba programa MATLAB pri načrtovanju sit s FIR 179
literatura: 16 .
16 [2] Rabiner, L.R., and B. Gold. Theory and Application of Digital Signal Processing.
Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1975, pp. 156-157.
datoteka: signal_C

20
Načrtovanje sit z IIR
SITA Z IIR načrtujemo na dva načina: (i) z razporejanjem ničel in polov
v z ravnini in (ii) s transformacijo zveznih sit v digitalna. V tem
poglavju bomo na kratko opisali osnove postopkov obeh vrst načrtovanja
sit z IIR. Zapis zaokroža pregled načrtovanja teh sit s pomočjo orodnega
kovčka “Signal Processing Toolbox” programa MATLAB.
20.1 Osnovne lastnosti sit z IIR
Digitalno sito opišemo s konvolucijo obrazcem:
en. 16.45: y[n] =
∞
∑
k=−∞
v[n]h[n − k] (20.1)
kjer je h[n] impulzni odziv, ki je teoretično neskončne dolžine (zato je konvolucija
v (20.1) praktično neizračunljiva) ali rekurzivnim obrazcem:
en. (16.29): y[n] =
M
∑
j=0
b j v[n − j] −
M
∑
k=1
a k y[n − k] , N M (20.2)
ki ga lahko sproti računamo. Zapis v (20.1) je nekavzalen. Kavzalen, torej
izvedljiv sistem prične konvolucijo računati ob njegovem vklopu. Vklopni
trenutek označimo s t = 0, zato se seštevanje v (20.1) prične pri nič in konča
v neskončnosti.
181

182 20. Načrtovanje sit z IIR
Prenosno funkcijo sita z IIR določajo koeficienti a i in b i :
en. 16.37:
M
∑
H(z) = Y (z)
V (z) = B(z)
b k z −k
A(z) = k=0
=
N
a k z −k 1 +
∑
k=0
N
∑
k=0
b k z −k
M
∑
k=1
a k z −k , (20.3)
kjer je a 0 = 1.
Prednosti sit z IIR izhaja iz fleksibilnosti, ki jo daje povratna zanka. Na
primer, sita z IIR so pri istih specifikacijah mnogo krajša kot sita s FIR. Ta
lastnost je zelo pomembna, ko želimo ozek prehodni pas in visoke mejne
frekvence. Povratna zanka pa je sočasno potencialna nevarnost nestabilnosti.
Zato moramo biti pri načrtovanju teh sit še posebej pazljivi.
Sita z IIR so stabilna, če so poli prenosne funkcije H(z) znotraj enotskega
kroga v Z -ravnine. Če so na krožnici, morajo biti prekriti z ničlami prenosne
funkcije
20.2 Postopki načrtovanja sit z IIR
Postopek načrtovanja sit z IIR lahko razdelimo na pet korakov:
1. Izbira vrste sita (nizkopasovno, visokopasovno, . . . ) in želene lastnosti
(širina prehodnih pasov, valovitosti, . . . ).
2. Izračun koeficientov sita po eni od obstoječih metod.
3. Realizacija sita. To je preprosto pretvorba prenosne funkcije v primerno
strukturo sita. Značilni sta vzporedna in zaporedna vezava gradnikov
prvega in drugega reda.
4. Analiza pogreškov, ki nastanejo zaradi zaokroževanja koeficientov
5. Izdelava sita, ki vključuje izdelavo strojne in programske opreme, ki
izvaja matematične operacije sita.
Od teh korakov bomo širše opisali le drugega. Ta opis bomo razširili še z
opisom uporabe programa Matlab pri računanju sit. Zaokrožili ga bomo s
kratko oceno numeričnih pogreškov na kakovost sita.
Kot pri večini inženirskih problemov, tudi pri načrtovanju sit z IIR pričnemo
s specifikacijo lastnosti načrtanega sita. Specifikacija mora vključevati:
(i) karakteristike signalov (vira, ponora, vhodno/izhodni vmesniki, hitrost
pretoka podatkov, . . . ) (ii) frekvenčna karakteristika sita, njene tolerance
(iii) kako bo sito narejeno (kot program na osebnem računalniku, digitalnem
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.2 Postopki načrtovanja sit z IIR 183
signalnem procesorju, izbira procesorjev, . . . ) (iv) omejitve pri načrtovanju
(cena, popačenje signala, . . . ) .
Pri frekvenčno selektivnih sitih frekvenčno karakteristiko načrtovanega
sita ponavadi opišemo s podobnimi mejami, kot smo to naredili pri sitih s
FIR. Pri tem so pomembne naslednje meje (slika 20.1):
ε 2 parameter valovitosti v prepustnem pasu
δ p
δ z
f p1 in f p2
f z1 in f z2
deviacija v prepustnem pasu
deviacija v zapornem pasu
mejne frekvence prepustnega pasu
mejna frekvence zapornega pasu
Slika 20.1
Tolerance amplitudne
karakteristike sit z IIR.
ε 2 : parameter valovitosti
Mejne frekvence ponavadi v fazi računanja pretvorimo v normirano obliko.
Normiramo jih ponavadi s frekvenco vzorčenja. Sodobni načrtovalski programi
pa ponavadi omogočajo tudi uporabo stvarnih frekvenc.
Deviacija je lahko podana v absolutnih vrednostih, kot običajna števila,
ali pa relativno v decibelih. Povezava med njimi se nekoliko razlikuje od
definicij pri sitih s FIR:
A p = 10log 10 (1 + ε 2 ) = −20log 10 (1 − δ p ) (20.4)
A z = −20log 10 δ z . (20.5)
Iz slike 20.1 vidimo, da je normirana maksimalna vrednost amplitudne karakteristike
enaka 1, srednja vrednost valovitosti v prepustnem pasu pa je enaka
datoteka: signal_C

184 20. Načrtovanje sit z IIR
1 − δ p , valovitost pa določa parameter valovitosti ε 2 .
Ko so specifikacije želenega sita znane, ga aproksimiramo z izbrano metodo.
Opisali bomo tri metode:
1. postopek z razporejanjem polov in ničel
2. postopek enakih impulznih odzivov
3. postopek z bilinearno z-transformacijo
Prvi postopek je primeren le za preprosta sita, ostala dva pa temeljita na transformaciji
zveznih sit v enakovredna digitalna sita. Zato pri teh dveh postopkih
načrtovanje naredimo v dveh fazah. V prvi načrtamo zvezno sito želenih
lastnostih, v drugi pa ga pretvorimo v digitalno. Takoj povejmo, da pri tem
večinoma uporabljamo bilinearno z transformacijo.
Priljubljenost pretvarjanja zveznih sit v digitalna izhaja iz dejstva, da so
postopki načrtovanja analognih sit dobro znani in izpolnjeni. Poleg tega pa
med njimi in siti z IIR – za razliko s siti s FIR – obstaja transformacijska
povezava.
20.3 Postopek z razporejanjem polov in ničel
Če postavimo ničlo v določeno točko Z -ravnine, bo amplitudni odziv pri
frekvenci, ki jo določa ta točka, enak nič. Po drugi strani pa postavitev pola
v določeno točko Z -ravnine povzroči greben v amplitudni karakteristiki pri
frekvenci, ki jo določa ta točka (slika 20.2). Z njihovim postavljanjem bližje
enotski krožnici višamo greben v frekvenčni karakteristiki.
Pri razporejanju polov in ničel se moramo zavedati, da realne koeficiente
sita dobimo le pri realnih ničlah in polih ali če so oboji v konjugirano kompleksnih
parih. S primerno strategijo lahko s tem postopkom dobimo preprosta
nizkopasovna ali pasovno prepustna sita 1 . V tem opisu se bomo zadovoljili
le z dvema zgledoma načrtovanja po tem postopku.
ZGLED 20.3.1 (Pasovno prepustno sito: postopek razporejanja polov in ničel)
Določimo koeficiente sita z IIR, ki izpolni naslednje zahteve:
1. popolna pridušitev signala pri frekvenci nič in 250 Hz
2. sredina prepustnega pasu je pri 125 Hz
3. pasovna širina sita 10 Hz
4. frekvenca vzorčenja je 500 Hz
REŠITEV:
Glede na zahteve sita morata biti ničli razporejeni na enotskem krogu pri
1 Obširnejši opis strategije načrtovanja sit z IIR po tem postopku najdemo v [, Lynn in
Fuerst, 1989].
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.3 Postopek z razporejanjem polov in ničel 185
(a) primer razporeditve polov in ničel v Z -ravnini
(b) Frekvenčna karakteristika, ki pripada raporeditvi
polov in ničel s slike 20.2a
Slika 20.2
Koncept načrtovanja pasovno prepustnega sita z IIR po postopku razporejanja polov in ničel v Z -ravnini.
frekvenci je 0 Hz in 250 Hz. Zato najprej določimo lego teh frekvenc na enotskem krogu.
Prva je pri kotu 0 ◦ , druga pa pri:
360 ◦ · 250 Hz
= 180 ◦ .
500 Hz
Da je sredina pasovne širine pri 125 Hz in da so koeficienti sita realni, mora biti konjugirano
kompleksni par polov pri frekvencah:
± 360◦ · 125 Hz
500 Hz
= ±90 ◦ .
Pasovno širino določa radij r krožnice, ki gre skozi pola. Pri radijih večjih od 0,9 velja
med pasovno širino in radijem naslednja empirična povezava:
r ≈ 1 − B f s
π , (20.6)
kjer je B pasovna širina sita v hertzih. Pri B =10 Hz in f s = 500 Hz dobimo
r ≈ 1 − 10
500 π = 0,937 .
Iz znane razporeditve ničel (slika 20.3a) lahko enostavno določimo prenosno funkcijo
sita:
H(z) =
(z − 1)(z + 1)
( )( z − r e jπ/2 z − r e − jπ/2) = z 2 − 1
z 2 + 0,877969 = 1 − z 2
1 + 0,877969z −2 .
datoteka: signal_C

186 20. Načrtovanje sit z IIR
Z inverzno z-transformacijo dobimo diferenčno enačbo:
y[n] = x[n] − x[n − 2] − 0,877969y[n − 2] ,
iz katere s primerjavo s splošno diferenčno enačbo za sita z IIR
y[n] = b 0 x[n] − b 2 x[n − 2] − a 2 y[n − 2]
dobimo koeficiente sita:
b 0 = 1 a 1 = 0
b 1 = 0 a 2 = 0,877969
b 2 = −1
(a) razporeditve polov in ničel v Z -ravnini
(b) Zgradba sita z IIR (direktna oblika)
Slika 20.3
Razporeditev polov in ničel ter zgradba sita (zgled 20.3.2).
Z znanimi koeficienti je pot do zgradbe sita enostavna (slika 20.3b).
♦
ZGLED 20.3.2 (Sito z zarezo: postopek razporejanja polov in ničel)
Določimo koeficiente sita z IIR, ki izpolni naslednje zahteve:
1. frekvenca zareze 50 Hz
2. pasovna širina zareze ±10 Hz
3. frekvenca vzorčenja je 500 Hz
REŠITEV:
Postopke načrtovanja tega sita je naslednji:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.3 Postopek z razporejanjem polov in ničel 187
Da pridušimo frekvenco 50 Hz, postavimo konjugirano kompleksni par ničel na
enotsko krožnico pri frekvencah ±50 Hz. Ti frekvenci sta pri kotih
± 360·50
500
= ±36 ◦ .
Ostro frekvenčno karakteristiko dosežemo tako, da postavimo konjugirano kompleksni
par na boka zareze tako, da dobimo želeno širino zareze. Za oceno
radija uporabimo (20.6), od koder sledi, da je r = 0,9372 (slika 20.4a).
(a) razporeditve polov in ničel v Z -ravnini
(b) frekvenčna karakteristika sita z zarezo
Slika 20.4
Razporeditev polov in ničel ter frekvenčna karakteristika sita z zarezo in IIR (zgled na strani ).
Iz slike 20.4a sledi, da je prenosna funkcija sita:
( )( )
z − e
j36 ◦ z − e
− j36 ◦
H(z) =
(z − 0,9372 e j36◦ )(z − 0,9372 e − j36◦ )
= z2 − 1,6180z + 1
z 2 − 1,5164z + 0,8783 = 1 − 1,6180z −1 + z −2
1 − 1,5164z −1 + 0,8783z −2 ,
od koder z inverzno z transformacijo dobimo diferenčno enačbo:
y[n] = x[n] − 1,6180x[n − 1] − x[n − 2] − 1,5164y[n − 1] − 0,8783y[n − 2] .
Podobno kot v prejšnjem zgledu s primerjavo zgornje diferenčne enačba s splošno
enačbo za sita z IIR izpišemo koeficiente sita:
b 0 = 1 a 1 = −1,5164
b 1 = −1,6180 a 2 = 0,8783
b 2 = −1
datoteka: signal_C

188 20. Načrtovanje sit z IIR
Z znano prenosno funkcijo lahko po znanem postopku določimo amplitudno karakteristiko
načrtovanega sita (slika 20.4b).
♦
20.4 Metoda enakih impulznih odzivov
Pri postopku načrtovanja sit z IIR po metodi enakih impulznih odzivov najprej
izberemo primerno analogno sito, zapišemo njeno prenosno funkcijo
H(z) ter z inverzno Laplaceovo transformacijo izračunamo njen impulzni odziv
h(t) (prva faza načrtovanja). Z vzorčenjem impulznega odziva dobimo:
h(t) ∣ = h(nT s ) (20.7)
t=nTs
od koder po kvantizaciji dobimo zaporedje h[n], katerega lahko obdelujemo
z digitalnimi računalniki 2 . Z z-transformacijo h[n] dobimo prenosno funkcijo
H[z] digitalnega sita z IIR.
Pri vzorčenju h(t) seveda moramo upoštevati osnovno pravilo vzorčenja
– Shannonovo pravilo – zaradi katerega mora veljati:
H( jω) ∣ = 0 . (20.8)
|ω|≥ωp = T 2π
s
Če ga ne upoštevamo, pride do prekrivanja periodično ponavljajoče se transformiranke
impulznega odziva, kar onemogoča transformacijo analognega
sistema v disktretnega.
Postopek
Postopek načrtovanja po metodi enakih impulznih odzivov opravimo v naslednjih
korakih:
1. Za izhodišče izpeljave transformacije zveznega sistema v diskretni uporabimo
faktorizirano obliko prenosne funkcije zveznega sistema:
H(s) =
N
∑
k=1
H k
s − s k
, (20.9)
2 Zaporedje h[n] in časovno diskretni signal impulznega odziva h(t) se razlikujeta za kvantizacijski
pogrešek:
h(t) ∈ [ h[n] − 1 2 ∆ q,h[n] + 1 2 ∆ )
q
kjer je ∆ q kvantizacijska stopnica ali korak. Podrobnosti o vzorčenju so zapisane v poglavju
na strani .
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.4 Metoda enakih impulznih odzivov 189
kjer so s k poli zvezne prenosne funkcije, H k pa koeficienti, katere lahko
(v primeru enojnih polov) preprosto izračunamo s pomočjo residiumov:
H k = lim H(s)·(s − s k ) . (20.10)
s→sk
2. Z inverzna Laplaceovo transformacijo izračunamo impulzni odziv analognega
sita:
h(t) = L −1 {H(s)} =
N
∑
k=1
H k e s kt
(20.11)
3. Z vzorčenjem – upoštevanjem (20.7), pri čemer mora biti izpolnjeno
Shannonovo pravilo (20.8) – dobimo impulzni odziv digitalnega sita:
h[n] =
N
∑
k=1
H k e s kt
. (20.12)
4. Z z-transformacijo h[n]:
H(z) = Z
{ N∑
H k e s kt
k=1
}
=
∞ N∑
∑
n=0{
k=1
H k e s kt
}
z −n (20.13)
izračunamo prenosno funkcijo (izvedljivega) digitalnega sita. Z upoštevanjem
vsote potenčnih vrst (glej obrazce v razdelku na strani
v zbirki obrazcev v dodatku) za (20.13) velja:
H(z) =
N
∑
k=1
5. Iz primerjave (20.14) in (20.9) sledi:
H k
1 − e s kT sz −1
(20.14)
H k
H k
←→
1 − s k 1 − e s (20.15)
kT sz −1
torej s preslikavo polov s k v analognem svetu v pole e s kT s
v diskretnem
svetu transformiramo analogno sito v digitalno.
Opisani postopek je pojasnimo še s preprostim zgledom.
ZGLED 20.4.1 (nizkopasovno sito: metoda enakih impulznih odzivov)
Za zvezno prenosno funkcijo
H(s) =
1
(s + 1)(s + 2)
(20.16)
datoteka: signal_C

190 20. Načrtovanje sit z IIR
določimo z metodo enakih impulznih odzivov prenosno funkcijo ekvivalentnega digitalnega
sistema!
REŠITEV:
Najprej H(s) razcepimo na delne ulomke:
H(s) =
1
(s + 1)(s + 2) = A
s + 1 + B
s + 2 = 1
s + 1 − 1
s + 2
(20.17)
Upoštevamo (20.15) ter delnim ulomkom H(s) priredimo ekvivalentne impulzne odzive
digitalnega sita:
1
←→
s + 1
} {{ }
s p1 =−1
−1
←→
s + 2
} {{ }
s p2 =−2
∣
1 ∣∣∣
1 − e −1·T sz −1 =
Ts=1
∣
−1 ∣∣∣
1 − e −2·T sz −1 =
Ts=1
1
1 − e −1 z −1 = 1
1 − 0,367879z −1 (20.18a)
1
1 − e −2 z −1 = −1
1 − 0,135335z −1 , (20.18b)
kjer z izbiro T s = 1 računamo koeficiente sita za normorano frekvenco vzorčenja f s =
1/T s = 1, oziroma Ω s = 2π. Za prenosno funkcijo H(z) sedaj lahko zapišemo:
H(z) =
1
1 − 0,367879z −1 + −1
1 − 0,135335z −1
= (1 − 0,135335z−1 ) − (1 − 0,367879z −1 )
(1 − 0,367879z −1 )(1 − 0,135335z −1 )
=
0,232544z −1
1 − 0,503214z −1 + 0,049787z −2 = b 1 z −1
a 0 − a 1 z −1 + a 2 z −2 (20.19)
Z znanimi koeficienti je pot do direktne zgradbe ekvivalentnega digitalnega sita preprosta
(slika 20.5). Kje pa so poli in ničle H(z) Iz (20.18) in (20.19) vidimo, da ima
Slika 20.5
Zgradba digitalnega sita načrtanega po
metodi ekvivalentnih impulznih odzivov
(zgled 20.4.1 na predhodni strani).
to sito realne pole in ničle. Poli se nahajajo na realni osi v točkah z p1 = 0,367879 in
z p2 = 0,135335, ničla pa je v točki z n = 0,232544.
♦
V zgledu 20.4.1 na predhodni strani smo koeficiente sita izračunali za normirano
frekvenco vzorčenja. Kako pa dejanska frekvenca vpliva na velikost
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.4 Metoda enakih impulznih odzivov 191
koeficientov To vidimo iz postopka normiranja:
H(S) = H(s) ∣ ∣
s=s/ωs
. (20.20)
To v primeru za (20.16) velja:
H(S) = H(s) ∣ ∣
s=s/ωs
=
1
(S + 1)(S + 2) = 1
(s/ω s + 1)(s/ω s + 2)
kar pomeni, da sedaj pola s k nista pri −1 in −2, ampak pri:
, (20.21)
s p1 = −1·ω s in s p2 = −2·ω s . (20.22)
Posledica so zelo velike vrednosti koeficientov A in B. Zaradi tega se lege
polov v Z -ravnini ne spremenijo veliko, saj T s izračunati iz ω s = 2π/T s , zelo
pa se spremeni lega ničel. Te pa določajo ojačenje sita, ki pri pri frekvenci
ω = 0 postane zelo veliko – za približno 1/T s večje, kot ga dobimo v primeru
normiranih sit.
V opisu vzorčenja smo zapisali, da imata vzorec in signal enako energijo
oziroma moč, kadar otipek predstavlja ploščino, ki jo določa vrednost signala
v trenutku (nT s ) ter interval T s . Zato nekateri učbeniki za (20.12) navajajo
h[n] = T s
N
∑
k=1H k e s kt u(t) , (20.23)
kjer z enotsko stopnico u(t) dosežemo, da je sistem (sito) kavzalen. Zaradi
(20.23) sta ekvivalentna impulzna odziva povezana z
H k
1 − s k
←→ T s
H k
1 − e s kT sz −1
. (20.24)
Postopek enakih impulznih odzivov smo izpeljali za enojne pole. Izpeljemo
ga lahko tudi pri večkratnih polih.
Lastnosti
Glavne lastnosti tega postopka načrtovanja digitalnih sit so:
1. Impulzni odziv časovno diskretnega sita h(nt) in analognega sita h(t)
sta v točkah nT s , n ∈ Z + identična (slika 20.6). Od tod tudi izhaja ime
tega postopka načrtovanja sit z IIR.
V praksi časovno diskretna sita aproksimiramo z digitalnimi. Med
njimi je razlika v kvantizacijskem pogrešku (glej opombo 2 na strani
188). Zaradi tega lahko postane impulzni odziv končno dolg ter s tem
frekvenčno neomejen.
datoteka: signal_C

192 20. Načrtovanje sit z IIR
Slika 20.6
Primerjava impulznih odzivov analognega in
digitalnega sita, ki ga določimo po postopku
enakih odzivov.
2. Frekvenca vzorčenja mora biti dovolj visoka, da je impulzni odziv diskretnega
sita dovolj podoben analognemu tudi izven točk vzorčenja.
Pri izbiri frekvence vzorčenja bi morali spoštovati (20.8), torej Shannonovo
pravilo. Če impulzni odziv analognega sita frekvenčno ni omejen,
frekvenco vzorčenja izberemo tako, da so pogreški, ki nastanejo zaradi
prekrivanja spektrov impulznega odziva, zanemarljivi (na primer v razredu
kvantizacijskih pogreškov).
Zaključimo lahko, da je postopek načrtovanja z metodo enakih impulznih
odzivov primeren le za nizko pasovna sita s strmim prehodnim
pasom.
20.5 Načrtovanje z bilinearno transformacijo
Bilinearno transformacijo smo opisali v razdelku 15.7 na strani 44. Z njo
najprej preslikamo ravnino s v ravnino λ, to pa v ravnino z. Ker v teh transformacijah
zajamemo vso imaginarno os λ I , je Fourierova transformacija v
analognem svetu ekvivalentna Fourierovi transformaciji v diskretnem svetu.
Naj prototipno analogno sito opiše sistemska funkcija:
H(s) = N m(s)
D n (s)
, m n , (20.25)
katere kvadrat amplitudne karakteristike je:
|H( jω)| 2 = |N m( jω)| 2
|D n ( jω)| 2 . (20.26)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.5 Bilinearna transformacija 193
Glede na izbrani optimizacijski kriterij iz nje dobimo želeno vrsto sita, ki
ima normirano mejno krožno frekvenco ω c = 1. Če naredimo zamenjavo
spremenljivk:
bilinearna transformacija s → z s → λ Ω c
= 1 Ω c
1 − z −1
kjer je
Ω c = tan π ω c
ω s
(20.28)
transformirana normirana frekvenca, ω c dejanska mejna frekvenca analognega
prototipnega sita in ω c frekvenca vzorčenja, naredimo bilinearno transformacijo
analognega sita v digitalno:
1 + z −1 , (20.27)
H(λ) = N m(λ)
D n (λ)
, m n , (20.29)
katerega amplitudna karakteristika je:
|H( jλ I )| 2 = |N m( jλ I )| 2
|D n ( jλ I )| 2 . (20.30)
Nekatere pomembne lastnosti bilinearne transformacije smo našteli na
strani 45 pri opisu bilinearne transformacije. Dopolnimo jih še z naslednjimi:
Točka ω = ω c = 1 analognega prototipnega sita se transformira v točko
ω 0 digitalnega sita. Točka ω = 0 se transformira v točko ω = 0 digitalnega
sita (slika 20.7 na naslednji strani).
Bilinearna transformacija ne vpliva na lastnosti stabilnosti. Če je prototipno
analogno sito stabilno, potem je stabilno tudi digitalno sito, ki
ga dobimo z bilinearno transformacijo.
Lastnosti imaginarne osi jω se transformirajo v lastnosti enotske krožnice
v z ravnini. Zato se seveda ohrani periodičnost spektra 3 .
Prenosna funkcija, ki jo dobimo pri bilinearni transformaciji je racionalna
funkcija spremenljivke z −1 z realnimi koeficienti.
3 Če je signal frekvenčno omejen v skladu s Shannonovim pravilom, zaradi periodičnosti
spektra ne pride do prekrivanja
datoteka: signal_C

194 20. Načrtovanje sit z IIR
(a) specifikacija analogna sita
(b) specifikacija digitalnega sita
Slika 20.7
Bilinearna transformacija specifikacij amplitudne karakteristike analognega sita v specifikacije amplitudne
karakteristike digitalnega sita.
Butterworthovo sito
Butterworthovo sito spada v družino sit z maksimalno plosko amplitudno
karakteristiko. Zanjo velja:
H(s) =
N
∏
r=1
|H 0
(s − s r )
Po zamenjavi spremenljivk s → λ/Ω 0 dobimo:
. (20.31)
kjer je:
H(λ) =
N
∏
r=1
H 0
( λ
Ω c
− j e jϑ r) , (20.32)
ϑ r = 2r − 1 π , r = 1,2,...,N . (20.33)
2n
V (20.31) je H 0 enosmerno ojačenje, torej ojačenje pri frekvenci ω = 1.
Lahko ga poljubno zberemo. Ponavadi je H 0 = H(0) = 0. Pri mejni frekvenci
ω c ojačenje pade za 3 dB. Z upoštevanjem (20.27) v (20.32) dobimo
prenosno funkcijo digitalnega sita v z-domeni:
H(z) =
N
∏
r=1
H 0 (1 + z −1 )
[ n
( ( 1
− j e r) 1 jϑ − − j e jϑ r
Ω c Ω c
) z−1
] , (20.34)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.5 Bilinearna transformacija 195
ki jo lahko realiziramo na enega od načinov, ki smo jih opisali v poglavju
opis sistemov z diferencialnimi in diferenčnimi enačbami.
Frekvenčno karakteristiko lahko določimo z (), kjer upoštevamo transformirane
frekvence. Dobimo:
|H( jΩ c )| 2 =
H 2 0
1 + Ω/Ω c
, (20.35)
kjer imamo (2n − 1) ničel pri Ω = 0, ki odgovarjajo ničlam pri ω = 0. Prav
tako ima (2n − 1) ničel pri Ω = ∞, ki odgovarjajo ničlam pri ω N /2.
Predpostavimo, da je frekvenca vzorčenja natančno dvakrat večja od mejne
frekvence signala:
ω N = 2ω s , (20.36)
Ω = λ I
V tem primeru je prepustni pas določen z:
in zaporni pas z:
0 ω ω N
ω c
ω s
(20.37)
ω z1
ω N
ω ω N
1 / 2 . (20.38)
Nadalje, pripadajoča vrednost Ω je dobljena za definiranje pasov v Ω-območju:
prepustni pas: 0 Ω Ω c
zaporni pas: Ω z1 Ω Ω z2 ,
(20.39)
kjer so:
Ω c = tan π ω c
ω N
Ω z1 = tan π ω z1
ω N
(20.40a)
(20.40b)
Ω z2 = tan π ω z2
ω N
= ∞ . (20.40c)
Če izberemo frekvenco vzorčenja višjo od 2ω z2 , potem je zaporni pas sita
znotraj:
Ω z1 Ω Ω z2 , (20.41)
kjer namesto (20.40c) imamo
datoteka: signal_C
Ω z2 = tan π ω z2
ω N
≠ ∞ . (20.42)

196 20. Načrtovanje sit z IIR
Pa še potrebni red sita. Iz () z upoštevanjem dobimo:
⌈ log(10
0,1α z
⌉
− 1)
n =
. (20.43)
2log(Ω z1 /Ω c )
Alternativna oblika specifikacij je:
maksimalno slabljenje prepustnega pasu:α p ω ω c
minimalni slabljenje v zapornem pasu:α z ω ω z1 .
(20.44)
številčenje enačb je ušlo
nadzoru. . .
V tem primeru lahko za določitev reda sita uporabimo transformirano obliko
:
⎡
) ⎤
log(
10 0,1αz −1
10 0+1αp −1
n =
⎢
2log Ω z1
Ω c
⎥ . (20.45)
ZGLED 20.5.1 (maksimalno plosko sito z IIR)
Načrtajmo maksimalno plosko sito z IIR, ki izpolni specifikacije:
prepustni pas: 0 – 1 kHz z dušenjem 1 dB
zaporni pas: 2 – 4 kHz z dušenjem 20 dB
REŠITEV: Predpostavimo kritični vzorčenje, torej najvišja frekvenca v prepustnem
pasu je enaka polovici frekvence vzorčenja:
ω N = (2π) × 8 × 10 3 ,
λ
oziroma v Ω domeni imamo:
Ω 0 = tan 1 8 π = 0,41142
Ω z1 = tan 2 8 π = 1,00
red sita izračunamo z (20.45):
n = 4 .
Z znanim redom prenosno funkcijo izračunamo z (20.35). Sito lahko realiziramo na
enega od načinov, ki smo jih opisali v poglavju 16 na strani 47.
♦
Čebiševa sita
Prenosna funkcija Čebiševega sita je:
H(s) → H(Λ) =
N
∏
r=1
H 0
( λ
Ω c
+
[η sinθ r + j(1 + η) 1/2 cosθ r
] ) , (20.46)
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.5 Bilinearna transformacija 197
kjer θ r izračunamo z ():
( 1
η = sinh
1 )
n sinh−1 ε
. (20.47)
Vrednost števca v (20.46) je lahko poljubna. V tem se digitalno sito razlikuje
od (pasivnih) analognih sit, kjer mora biti 1. Z upoštevanjem bilinearne
transformacije (20.35) v (20.46) dobimo zapis Čebiševega sita v z-domeni:
kjer je:
H(z) =
N
∏
r=1
H 0 (1 + z −1 )
( )] , (20.48)
1
− jy r
Ω c
[( 1
Ω c
+ jy r
)
−
y r = cos(arcsin jη + θ r ) . (20.49)
Kvadrat amplitudne karakteristika prenosne funkcije je:
|H( jΩ)| 2 =
H 2 0
1 + ε 2 T 2 n (Ω/Ω c )
, (20.50)
kjer je T n (Ω/Ω c ) Čebišev polinom, ki smo ga definirali v obravnavi analognih
Čebiševih sit, in ε koeficient valovitosti amplitudne karakteristike.
|H( jΩ)| 2 ima v prepustnem pasu optimalno enakomerno valovitost in (2n −
1) ničel pri Ω = ∞, torej pri ω s /2.
Red sita določimo tako, da specifikacije transformiramo v Ω-domeno,
enako kot pri Butterworthovem situ. Pri tem uporabimo obrazec, ki smo
ga spoznali pri analognih Čebiševih sitih. Če so specifikacije sita dane z:
prepustni pas: 0 Ω Ω c
zaporni pas: Ω z1 Ω Ω z2 ,
(20.51)
je potrebni red sita:
⎡ [ cosh −1 10 0,1αz −1
n =
10 0,1αp −1
⎢ cosh −1 (Ω/Ω c )
] ⎤
⎥ . (20.52)
ZGLED 20.5.2 (Čebiševo nizko pasovno sito z IIR)
Načrtajmo nizko pasovno sito z IIR, ki izpolni specifikacije:
prepustni pas: 0 – 0,5 kHz valovitost 0,1 dB
zaporni pas: nad 0,7 kHz z dušenjem 40 dB
frekvenca vzorčenja:
2 kHz
datoteka: signal_C

198 20. Načrtovanje sit z IIR
REŠITEV:
Transformirane normirane frekvence so:
Ω c = tan 0,5
2 π = 1
Ω z1 = tan 0,7
2 π = 1,963 .
Red sita izračunamo z (20.52):
n = 6 .
Koeficient valovitosti je:
in pomožni parameter η je:
ε = (10 0,1α p
− 1) 1/2 = 0,1562
( )
1 1
η = sinh
6 sinh−1 = 0,443
0,1562
Sito realiziramo kot kaskadno vezavo treh sit drugega reda:
kjer so:
H(z) = H 1 (z)H 2 (z)H 3 (z) ,
H 1 (z) = 0,426 + 0,851z−1 + 0,426z −2
1 + 0,103z −1 + 0,856z −2
H 2 (z) = 0,431 + 0,863z−1 + 0,431z −2
1 + 0,266z −1 + 0,459z −2
H 2 (z) = 0,472 + 0,944z−1 + 0,472z −2
1 + 0,696z −1 + 0,192z −2 . ♦
Eliptična sita
Postopek načrtovanja eliptičnih nizko pasovnih sit se ne razlikuje od že opisanih
maksimalno ploskih in Čebiševih sit.
20.6 Načrtovanje sit z IIR z Matlabom
Orodni kovček ”Signal processing toolbox"v programu Matlab vsebuje naslednje
funkcije za načrtovanje sit z IIR:
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504

20.7 Primerjava sit tipa IIR in FIR 199
20.7 Primerjava sit tipa IIR in FIR
V odločanju med obema glavnima družinama digitalnih sit, moramo razmisliti
vsaj o naslednjem:
1. Pri sitih FIR se da z izbiro simetričnega ali antisimetričnega impulzni odziva
preprosto določiti konstantno skupinsko zakasnitev. Če pri tem zahtevamo
še dobro amplitudno selektivnost, postanejo metode načrtovanja
zelo kompleksne.
Sita s konstantno skupinsko zakasnitvijo so pomembna v mnogih uporabah,
na primer v obdelavi govornega signala, pri prenosu podatkov itd.
2. Sita FIR so zaradi svoje nerekurzivne zgradbe inherentno stabilna.
3. Pogreški, ki nastanejo zaradi zaokroževanja, lahko naredimo poljubno
majhne.
4. Omejitev, da je impulzni odziv simetričen ali antisimetričen, poenostavi
realizacijo sita FIR
5. Pri izbrani selektivnosti sita (poteku amplitudne frekvenčne karakteristike),
so sita FIR znatno višjega reda kot sita IIR.
6. Sita IIR, ki jih načrtujemo glede na amplitudno karakteristiko, lahko načrtujemo
iz analognih prototipov. Pri tem lahko direktno izkoristimo izobilje
znanja in gradiva o analognih sitih. Njihova pretvorba v digitalno
IIR obliko ne zahteva nobene optimizacije numeričnih algoritmov, kot je
to potrebno pri sitih FIR.
Zaključimo lahko, da je izbira vrste sita odvisna od posebnosti, ki jih zahteva
njihova uporaba, števila si, ki jih moramo načrtati in od pripomočkov, ki so
nam na voljo.
20.8 Povzetek
Pri načrtovanju digitalnih sit imamo dva pristopa. Tako imenovano amplitudno
usmerjeno in fazno usmerjeno načrtovanje. Njihove značilnosti so:
Pri amplitudno usmerjenem načrtovanju digitalnih sit tipa IIR lahko
uporabimo prenosno funkcijo analognega prototipa sita (to je analogno
sito s z želeno amplitudno karakteristiko), ki jo z bilinearno transformacijo
pretvorimo v digitalno obliko.
datoteka: signal_C

200 20. Načrtovanje sit z IIR
☞
Fazno usmerjena sita IIR načrtujemo direktno. Pri tovrstnih sitih analogni
prototipi niso uporabni, ker nimajo takih lastnosti.
Sita FIR lahko načrtujemo tao, da imajo linearno fazno karakteristiko
pri vseh frekvencah. Načrtovanje lahko izvedemo z uporabo kombinacije
okenske funkcije in njene transformacije. Obstajajo tudi tehnike
numeričnega optimiranja enakomerne valovitosti odziva.
Digitalna sita zaradi svojih številnih prednosti pred analognimi, le-ta naglo
izpodrivajo v mnogih uporabah kot so na primer v radarski in sonarski tehniki,
seizmičnih raziskavah, analizi vibracij, analizi biomedcinskih signalov
itd. Prednosti digitalnih sit so v izvedljivosti, ponovljivosti, visoki natančnosti,
se ne starajo in niso občutljiva na temperaturne spremembe. Nadalje,
upadanje cene in naraščanje hitrosti delovanja digitalne strojne opreme in ne
nazadnje izboljšave računalniških algoritmov in programov so povzročili, da
digitalna sita postajajo alternativa analognim sitom, posebej pri zelo nizkih
frekvencah, kjer velikost elementov analognih sit postajajo neuporabno velika.
Drugi primeri, kjer je možna uporaba le digitalnih sit, so področja, kjer se
mora med delovanjem spreminjati lastnosti sit. Na primer pri obdelavi govornega
signala. Na koncu še omenimo, da lahko isto digitalno sito uporabljamo
sočasno za več uporabnikov, oziroma si ti lahko delijo njegove aritmetične
elemente, morajo pa imeti svoje pomnilniške registre.
šarko ƒu£ej: Teorija signalov revizija 20040504