TOPOLOÅ KI DEFEKTI - F9 - IJS

Univerza v Ljubljani
Fakulteta za matematiko in fiziko
Oddelek za fiziko
TOPOLOŠKI DEFEKTI
Brina Črnko
Mentor: prof. dr. Slobodan Žumer
Februar 2007
Povzetek
Defekti so območja v snovi, kjer parameter urejenosti postane singularen. Topološkega
defekta ni mogoče odstraniti z lokalno zvezno deformacijo ureditvenega parametra v okolici
singularnosti. Nastanek defektov je tesno povezan s faznim prehodom, pri katerem pride do
zloma simetrije. Iz simetrij ureditvenega parametra lahko s pomočjo topologije izračunamo
stabilne defekte. Postopek ponazorimo na primerih feromagnetne tekočine in nematskih
tekočih kristalov, za katere izračunamo stabilne točkovne defekte v dveh in stabilne linijske
defekte v treh dimenzijah.
1 Uvod
Slika 1: Nematski tekoči kristal, kot ga vidimo pod polarizacijskim mikroskopom. Vzorec je med
dvema prekrižanima polarizatorjema. V barvastih območjih se orientacija paličastih molekul spreminja
zvezno. Črna območja so območja izotropne faze in orientacije molekul, ki je pravokotna na
katerikoli polarizator. Po črnih potezah prepoznamo defekt. Štirje črni ”žarki” so značilni za
radialni defekt, ki ga spoznamo v poglavju 3. Vir slike je [1].
1

Prostor ureditvenega parametra 2
Defekti v kristalu so vrzeli ali vrinjeni atomi v mreži, ter zamaknjene ravnine [2]. V tekočih
kristalih vidimo defekte pod polarizacijskim mikroskopom kot črne črte, skupine črt in pike v
barvasti strukturi [3] (slika 1). Defekti so tudi vorteksi v superprevodniku tipa II, znotraj katerih
je neničeln magnetni pretok [4].
Defekti so v tesni povezavi s faznimi prehodi. Fazni prehodi so ponavadi zaznamovani s spremembo
v simetriji fizikalnega sistema. Prehodi iz manj urejenega stanja z višjo simetrijo v bolj
urejeno stanje nižje simetrije v mnogih primerih neizogibno povzročajo defekte. Pri prehodu nematskega
tekočega kristala iz izotropne faze v nematsko fazo pride do urejanja dolgih osi molekul
vzdolž neke smeri. Pojavijo se urejene domene, katerih orientacije so med seboj neodvisne. Sčasoma
domene rastejo, se združujejo in snov je večinoma enakomerno orientirana. V njej pa ostanejo ujeta
območja, kjer se orientacija nezvezno spreminja. To so defekti [5].
Nekateri defekti so le metastabilni, drugi so topološko stabilni: stabilni s stališča lastnosti
prostora, ki ga dobimo, če najdemo vse možne različne vrednosti ureditvenega parametra sistema.
Te lastnosti izračunamo s pomočjo topologije, matematične vede, ki jo fiziki povezujejo recimo s
kvantnimi števili, kvantizacijo magnetnega pretoka skozi superprevodno zanko, faznimi prehodi in
dejstvom, da so možni le večkratniki osnovnega naboja [6].
Privlačnost računanja stabilnih defektov s topološkim pristopom leži v njegovi univerzalnosti:
potrebujemo le ureditveni parameter, njegove simetrije in matematični postopek (ne vedno enostaven,
resnici na ljubo), pa pridemo do stabilnih defektov za različne fizikalne sisteme: vse vrste
tekočih kristalov, supertekoči helij, feromagnete [7, 8, 9]...
Univerzalnost obnašanja sistemov pri faznem prehodu zanima tudi nekatere kozmologe, ki
predvidevajo, da je v prvih delčkih sekunde po velikem poku prišlo do enega ali več faznih prehodov.
Tudi pri tem prehodu naj bi prišlo do topoloških defektov, predvsem do nastanka kozmičnih strun,
linijskih defektov, ki naj bi bili odgovorni za zgoščevanje mase v galaksije. Defektov v zgodnjem
vesolju ne moremo opazovati, lahko pa jih modeliramo v znanih sistemih: spet so tu nematski
tekoči kristali, supertekoči helij in zlasti superprevodniki [10, 11].
Ta seminar bo pokril le delček: izbrali bomo štiri primere in pokazali, kako s pomočjo prve
homotopske grupe razvrstimo stabilne točkovne defekte v dveh dimenzijah in stabilne linijske
defekte v treh dimenzijah.
2 Prostor ureditvenega parametra
V urejeni snovi lahko uvedemo ureditveni parameter, recimo direktor pri nematskih tekočih
kristalih ali magnetizacijo pri feromagnetih. Tudi ureditveni parameter je povezan z zlomom
simetrije pri faznem prehodu. Izbira ureditvenega parametra ni enolična in velikokrat ni trivialna
(pri npr. superfluidnemu heliju se je bilo potrebno zelo potruditi, da so uganili smiseln ureditveni
parameter).
V vsaki točki urejene snovi definiramo vrednost ureditvenega parametra f(⃗r). Oznaka f ne
implicira, da je ureditveni parameter skalar: lahko je tudi vektor, tenzor...
Vse možne vrednosti, ki jih lahko zasede f imenujemo prostor ureditvenega parametra
in ga označimo z R [3]. V homogeni snovi je vrednost ureditvenega parametra konstantna. V
nehomogenem mediju se lahko f zvezno spreminja, takrat snov nima defektov. Lahko pa f vsebuje
nezveznosti.
Defekt je območje v prostoru, ki vsebuje nezveznost ureditvenega parametra.
Topološki defekt je singularnost, ki je ni mogoče odstraniti z zvezno deformacijo ureditvenega

2.1 Prostor ureditvenega parametra pri izbranih primerih 3
parametra v njeni bližini [12]. Singularnosti so lahko vzdolž črt, v točkah...
Ko določimo ureditveni parameter, najdemo tudi prostor R in s pomočjo topologije njegove
lastnosti. Pri vrednotenju rezultatov se je potrebno spomniti, katere predpostavke smo naredili pri
uvedbi ureditvenega parametra, saj je večinoma opis snovi z ureditvenim parametrom le približen.
2.1 Prostor ureditvenega parametra pri izbranih primerih
2.1.1 Spini v ravnini
Predstavljamo si gradnike z magnetnim momentom, naključno porazdeljene v ravnini, torej
feromagnetno tekočino v dveh dimenzijah. Vrednost magnetnega momenta je v našem približku
konstantna.
Lahko si predstavljamo tudi feromagnet, katerega magnetizacijo, povprečno urejenost magentnih
momentov posameznih atomov v majhnem delu volumna, vzamemo za konstanto. Obravnavamo
ga kontinuumsko: zanemarimo dejstvo, da so atomi porazdeljeni v kristalni mreži in
gledamo snov na večji skali. A kristalna mreža kljub temu poruši nekatere simetrije, zato snovi
raje rečemo feromagnetna tekočina.
Ureditveni parameter je mogoče opisati z enotskim vektorjem v ravnini (slika 2). Gibanje
enotskega vektorja v ravnini je omejeno na vrtenje. Vse vrednosti, ki jih lahko zavzame, ležijo na
krožnici, ki predstavlja prostor ureditvenega parametra.
2.1.2 Navadni spini
Obravnavamo feromagnetno tekočino v treh dimenzijah. Ureditveni parameter je enotski vektor,
ki kaže v katerokoli smer v prostoru. Prostor ureditvenega parametra je enotska sfera.
2.1.3 Nematik v ravnini
Slika 2: Spine predstavimo kot vektorje.
Slika 3: V nematskem tekočem kristalu so
težišča naključno porazdeljena po prostoru,
a imajo molekule orientacijski red dolgega
dosega [13]. V povprečju so dolge osi molekul
obrnjene v smer ⃗n, smer direktorja. Na sliki
je smer direktorja navpičnica.

Razvrščanje defektov 4
Nematske tekoče kristale sestavljajo podolgovate molekule, ki imajo eno daljšo os - molekularno
ali glavno os. Rišemo jih kot francoske štručke ali paličice. V nematski fazi so težišča molekul
naključno porazdeljena po prostoru, a v povprečju molekule kažejo v isto smer (slika 3). Smer,
v kateri so molekule lokalno poravnane, imenujemo direktor ⃗n(⃗r). Ta vektor ima le velikost (je
enotski) in orientacijo v prostoru, ne pa smeri (je brez ”glave”, imenujejo ga headless vector). To
pomeni, da smeri ⃗n in −⃗n predstavljata isto stanje. Tudi opis nematika z direktorjem je približek.
Slika 4: Tekoči kristal v ravnini opišemo
z direktorjem, enotskim vektorjem brez
smeri (’headless’): ⃗n ≡ −⃗n; nasprotni
orientaciji predstavljata isto stanje zaradi
paličaste oblike molekul [14]. Prostor ureditvenega
parametra je krožnica, ker pa
vsak par nasprotno ležečih točk predstavlja
isto stanje, moramo pare diametralnih točk
izenačiti.
Slika 5: Prostor ureditvenega parametra za
nematski tekoči kristal v treh dimenzijah je
sfera, pri kateri so nasprotno ležeče točke
med seboj izenačene. Lažje si jo predstavljamo
kot poloblo, kjer vsaka točka predstavlja
svoje stanje, razen na robu poloble, ki je
krožnica z diametralno izenačenimi točkami.
Narisana zanka je zaključena zanka.
Prostor ureditvenega parametra (skupek vseh vrednosti, ki jih lahko zavzame) je v dveh dimenzijah
enotska krožnica, na kateri moramo zaradi enakovrednosti stanj z nasprotno orientacijo
izenačiti točke, ki se nahajajo na nasprotni strani krožnice [14] (slika 4).
2.1.4 Navadni nematik
V treh dimenzijah orientacija ureditvenega parametra ⃗n lahko zasede katerokoli točko na enotski
sferi, kjer pa moramo ponovno upoštevati, da nasprotni smeri predstavljata isto stanje. Enotsko
sfero, kjer so nasprotno ležeče točke med seboj izenačene, si lahko predstavljamo kot hemisfero,
kjer vsaka točka na zgornji polobli predstavlja svoje stanje, na krožnici, ki zaključuje poloblo, pa
nasprotne točke paroma poistovetimo (slika 5) [3].
3 Razvrščanje defektov
Razvrstili bomo nekatere defekte v nematskih tekočih kristalih in feromagnetnih tekočinah.
Stabilni defekti imajo pravilno strukturo in jim lahko določimo moč. Ponazorimo na točkovnem
defektu v dveh dimenzijah: moč defekta je število polnih obratov, ki jih naredi spin ali direktor, ko
defekt obkrožimo po zanki. Pri radialnemu defektu je očitno, da se smer vektorja pri enem obhodu
spremeni za 2π (slika 6). Pri nekaterih defektih to ni tako očitno. V splošnem naredimo naslednji
postopek: narišemo zanko okrog defekta in ji določimo smer obhoda. Pomikamo se po zanki in

Razvrščanje defektov s pomočjo topologije 5
Slika 6: Defekti v nematskem tekočem kristalu in feromagnetni tekočini. Lahko jih gledamo kot
točkovne defekte v dveh ali linijske v treh dimenzijah. Pri radialnem defektu (desno) je očitno,
da se pri obhodu defekta z zaključeno zanko smer spina zavrti za 2π [15]. Moč tega defekta je 1,
kot tudi defekta v tekočem kristalu na sredini. V tekočem kristalu so možni tudi defekti polovične
moči, na sliki je na levi defekt moči 1 [14], saj se za toliko zavrti direktor pri enem obhodu.
2
beležimo smeri vektorja ali direktorja. Ko pridemo naokrog po zanki, preštejemo za kolikšen kot
se je spremenila smer vektorja in v katero smer se je spreminjala. Če je potekala zanka v prostoru
v eni smeri, položaji vektorja pa so se risali v nasprotni smeri, je moč defekta negativna [3].
Iz simetrije spinov sledi, da so možni le polni obrati, kar nam da celoštevilčne moči (±1, ±2...), v
tekočem kristalu pa so lahko obrati (moči) tudi polovični: ± 1, ± 2, ± 3 .... Moč ponavadi označimo
2 2 2
z s.
Tudi moč linijskih defektov v treh dimenzijah računamo enako, pri točkovnih defektih (v treh
dimenzijah) pa defekt obdamo s sfero.
4 Razvrščanje defektov s pomočjo topologije
S pomočjo topologije bomo razvrstili defekte pri štirih predstavljenih primerih. Glede na razliko
med dimenzijama prostora in defektov so potrebni rahlo različni postopki. Opisali bomo le tistega,
s katerim pridemo do defektov, ki jih je mogoče obkrožiti z zanko, torej točkovnih defektov v dveh
in linijskih defektov v treh dimenzijah.
Za defekte različnih moči lahko izračunamo njihovo energetsko stabilnost: izračunamo, koliko
”stane” deformacija v okolici defekta. V vsaki snovi (spini, vse vrste tekočih kristalov, oba izotopa
supertekočega helija, superprevodniki...) je za ta račun potrebno uporabiti drugo teorijo, pri
nematskih tekočih kristalih izračunamo recimo Frankovo elastično energijo. Če pa uporabimo
orodja topologije, potrebujemo ureditveni parameter in simetrije prostora ureditvenega parametra
za vsako snov, nato pa z enotnim pristopom obravnavamo vse snovi. Kot rezultat ”padejo ven”
defekti, ki so stabilni s stališča simetrij snovi. ”Stranski produkt” so poleg tega še pravila, po
katerih se defekti sestavljajo med seboj.
4.1 Defekte razvrstimo s homotopskimi grupami
Pojasnimo po korakih:
• V razred defektov združimo tiste defekte, ki jih lahko spremenimo drug v drugega z zvezno
deformacijo (slika 7).
• Ureditveni parameterf je preslikava, ki preslika elemente ⃗r navadnega prostora, ki ga
zavzema snov, v prostor ureditvenega parametra R. Defekt obdamo z zaključeno ploskvijo

Izračun fundamentalne grupe 6
Slika 7: Primer dveh defektov iste moči (s=1), ki ju lahko spremenimo enega v drugega z zvezno
deformacijo [7]. Defekta pripadata istemu razredu. Defekt na sredini dobimo tako, da vsak spin
levega defekta rotiramo za π/2. Rotiramo lahko tudi zvezno, od 0 do π/2, kjer je tudi vsako vmesno
stanje (rotacija za enega izmed vmesnih kotov) v istem razredu. Tudi defekt, ki ima sredico enega
defekta in okolico drugega defekta, vmes pa je zvezen prehod, pripada istemu razredu.
razsežnosti i (linijski defekt v treh dimenzijah obdamo z zanko, točkovni defekt v treh dimenzijah
obdamo s sfero) [3]. Vrednosti ureditvenega parametra f na njej sestavljajo zanko
(ali zaključeno ploskev) v prostoru ureditvenega parametra R.
• Različne preslikave i-razsežnih zaključenih ploskev združimo v razrede. Preslikavi sta v
istem razredu, če lahko eno zvezno deformiramo v drugo. Razredi sestavljajo grupo: i-to
homotopsko grupo prostora π i (R).
• Računali bomo le s prvo homotopsko grupo π 1 (R) ki jo imenujemo tudi fundamentalna
grupa. S prvo homotopsko grupo ali fundamentalno grupo π 1 (R) razvrstimo tiste stabilne
defekte, ki jih lahko obdamo z zanko: točkovne defekte v dveh dimenzijah in linijske defekte
v treh dimenzijah [3].
• Vsak element prve homotopske grupe ustreza razredu topološko stabilnih defektov. Stanje
brez defektov ustreza enotskemu elementu v homotopski grupi [7].
• Grupa π 1 (R) pove tudi, kako se njeni elementi množijo med seboj. Njeni elementi so razredi
preslikav zank okrog defektov. Ker razredi preslikav ustrezajo razredom topoloških defektov,
nam fundamentalna grupa pove, kako se defekti med seboj sestavljajo [14].
5 Izračun fundamentalne grupe
5.1 Grupa G vseh možnih transformacij
Najprej poiščemo G, grupo vseh zveznih transformacij, ki vrednost ureditvenega parametra f
prepišejo v katerokoli drugo vrednost ureditvenega parametra iz prostora ureditvenega parametra
R. Izbira grupe G ni enolična. Za G moramo izbrati grupo, ki je enostavno povezana.
• Enostavno povezan prostor Prostor je enostavno povezan, če je povezan s potmi in
lahko vsako pot med točkama zvezno deformiramo v vsako drugo. Zanko v enostavno
povezanem prostoru lahko zvezno skrčimo v točko. Črta je enostavno povezana, prav tako
krog, ne pa krožnica. Površina sfere je enostavno povezana (slika 8).

5.1 Grupa G vseh možnih transformacij 7
Slika 8: Krčenje zaključene zanke na sferi v točko. Sfera (S 2 ) je enostavno povezana [16].
5.1.1 G za spine in nematik v dveh dimenzijah
V dveh dimenzijah lahko spin in direktor poljubno rotiramo v ravnini. Grupa G vseh možnih
transformacij je SO(2). Prostor, s katerim jo opišemo je krožnica: rotacijo za določen kot v ravnini
predstavimo kot točko na krožnici. Sedaj pa napeljemo okrog krožnice zanko. Te zanke ne moremo
skrčiti v točko, kar pomeni, da grupa SO(2) ni enostavno povezana. Zato ne moremo izračunati
fundamentalne grupe s postopkom, ki sledi. Pomaga nam naslednje:
• Vsako zvezno grupo G lahko vstavimo v večjo grupo G ′ , ki je enostavno povezana in ji rečemo
krovna grupa. Vsak element grupe G je slika dveh, treh ali več (n, kjer je n celo število)
elementov krovne grupe G ′ .
Slika 9: Krovna grupa grupe SO(2), ki jo predstavimo s krožnico (ta in enostavno povezana: zanke,
ki gre naokrog krožnice ne moremo skrčiti v točko), je grupa T(1) translacij v eni dimenziji. To
predstavimo s premico, ki je enostavno povezana. Kot θ na krožnici je slika neskončno točk na
premici, ki so oblike θ + 2πn, kjer je n celo število.
Krovna grupa SO(2) je grupa T(1) translacij v eni dimenziji:
• Grupa T(1) translacij v eni dimenziji je enostavno povezana. Predstavimo jo s premico,
na kateri lahko vsako zaključeno zanko skrčimo v točko. Povezava med SO(2) in T(1) je
naslednja: Točka, ki v grupi SO(2) predstavlja rotacijo za kot θ in leži na krožnici, je slika
vseh točk oblike θ + 2nπ (n ∈ Z) na premici (slika 9).
Kadar nam simetrija prostora narekuje, da za grupo G vseh možnih transformacij ureditvenega
parametra vzamemo SO(2), jo nadomestimo s T(1).

5.2 Postopek za izračun π 1 8
5.1.2 G za spine in nematik v treh dimenzijah
Spin in direktor poljubno rotiramo v prostoru. Grupa vseh možnih transformacij je grupa
SO(3), grupa rotacij v 3D prostoru. Tudi ta ni enostavno povezana [8]. Nadomestimo jo z njeno
krovno grupo SU(2), ki je enostavno povezana.
• Grupa SU(2) Grupa SU(2) združuje unitarne 2×2 matrike z vrednostjo determinante 1.
Katerokoli unitarno 2×2 matriko lahko predstavimo z enotskim vektorjem ˆn in kotom θ v
intervalu 0 ≤ θ ≤ 4π [7]:
u(ˆn, θ) = cos θ 2 + i sin θ 2 (ˆn · σ) = ei θ 2 (ˆn·σ) , (5.1)
σ so Paulijeve matrike:
( )
0 1
σ x =
1 0
5.2 Postopek za izračun π 1
σ y =
( )
0 −i
i 0
σ z =
( )
1 0
. (5.2)
0 −1
Slika 10: Shema grupe G vseh možnih transformacij ureditvenega parametra in v njej podgrupa H,
ki ne spremeni vrednosti ureditvenega parametra. Kos H 0 je povezan z enoto s potmi, ki v celoti
ležijo v H [7].
Sedaj lahko navedemo postopek za izračun fundamentalne grupe:
• Za vsak sistem poiščemo grupo G vseh možnih transformacij ureditvenega parametra. Če
prva izbira za to grupo ni enostavno povezana (npr. SO(2) ali SO(3)), izberemo njeno krovno
grupo (npr. za SO(2) je to T(1), za SO(3) pa SU(2)).
• V njej poiščemo podgrupo H tistih transformacij, ki ne spremenijo vrednosti ureditvenega
parametra.
• V podgrupi H poiščemo tisti kos, ki je povezan z enoto. Imenujemo ga H 0 . To je množica
točk v H, ki so povezane z enoto z zveznimi potmi, ki v celoti ležijo v H. Fundamentalna
grupa π 1 , ki razvršča defekte, ki jih lahko obkrožimo z zanko (točkovne defekte v dveh in
linijske v treh dimenzijah) je enaka kvocientni grupi H/H 0 : π 1 = H/H 0 [7].

5.3 Prve homotopske grupe za primere 9
5.3 Prve homotopske grupe za primere
5.3.1 Spini v ravnini
Opišemo jih kot vektorje v ravnini. Grupa G vseh možnih transformacij ureditvenega parametra
je grupa SO(2) rotacij v ravnini, ki jo moramo nadomestiti s T(1). Operacije G so translacije oblike
[7]:
G = T (1) = {T φ θ = θ + φ; −∞ < φ < ∞},
ki spin, orientiran v smeri θ rotirajo za kot φ. Podgrupa H, ki ne spremeni stanja, je podgrupa
translacij za celoštevilčni mnogokratnik 2π, saj rotacija za 2π povrne začetno stanje (slika 9):
H = {T 2πn ; n = 0, ±1, ±2...}.
To je grupa translacij za celoštevilčni mnogokratnik 2π. Lahko si predstavljamo, da je to kar grupa
celih števil Z. Ti dve grupi imata enako število elementov, zanje veljajo enaka pravila. Rečemo,
da sta izomorfni, enake oblike. Za topologijo sta izomorfni grupi kar enaki. Ponazorimo ju kot
enaki grupi z enakimi elementi, le da so elementi drugače označeni. Na sliki 9, lahko vidimo, da je
vseeno, če točkam, ki predstavljajo translacije za 2πn rečemo cela števila. Zapišemo:
H = T 2πn = Z.
Sedaj se lahko lotimo iskanja H 0 . Grupa H je diskretna. Diskretna pomeni, da ima vsaka točka
okolico, ki ne vsebuje nobene točke. Točke na številski premici celih števil so ločene točke. Z enoto,
številom nič, ni povezana nobena točka. Povezana podgrupa enote je enota sama. Kvocientna
grupa je:
H/H 0 = H/0 = H,
Cela grupa H. Računanje kvocientne grupe si lahko predstavljamo kot deljenje.
Prva homotopska grupa ali fundamentalna grupa je enaka: π 1 = H/H 0 , torej je [7]:
Kaj nam to pove
π 1 = Z. (5.3)
• π 1 opisuje defekte, ki jih lahko obkrožimo z zanko. To so v dveh dimenzijah točkovni defekti.
Razrede točkovnih defektov pri 2D spinih torej razvrstimo z grupo celih števil.
Kako
• Spomnimo se na moči defektov v poglavju 3: moč defekta je bila enaka številu polnih obratov
spina, ki jih je naredil, ko smo defekt obkrožili z zanko. Najmanjša neničelna moč je bila 1 ali
−1, to pa ustreza celima številoma 1 in −1. Število nič je enota grupe, ta predstavlja stanje
brez defektov. Druga cela števila predstavljajo večje moči. Na sliki 11 sta predstavljena
defekta moči 2 in −2, ki ustrezata istima celima številoma v grupi celih števil.
π 1 nam pove tudi, da so vsi defekti celoštevilčne moči stabilni.
Kakšno zvezo ima to z zankami
• Prostor ureditvenega parametra je krožnica. Zanke, rečemo ji prva zanka, ki gre enkrat okrog
krožnice, ne moremo skrčiti v točko. Prav tako ne moremo zanke, ki gre v nasprotni smeri
okrog krožnice spremeniti v prvo zanko in tudi ne zanke, ki gre dvakrat naokrog. Vsaka
izmed teh zank predstavlja svoj razred, svoj element fundamentalne grupe. Ta element je
enak številu in smeri obhodov okrog krožnice. En obhod v pozitivni smeri predstavlja število
(element) 1 in moč defekta 1, saj je zanka, ki gre enkrat okrog krožnice preslikava zanke
okrog defekta moči 1 v navadnem prostoru.

5.3 Prve homotopske grupe za primere 10
Slika 11: Primeri defektov pri spinih v
ravnini, moči so označene z n [7].
Slika 12: Primeri stabilnih defektov za nematski
tekoči kristal v ravnini. Z s so
označene vrednosti moči [17].
5.3.2 Navadni spini
Prostor ureditvenega parametra je sfera. Vektor v prostoru lahko poljubno obračamo in napolnimo
vse točke na sferi. Sfera je enostavno povezan prostor (slika 8). Pred vsakršnimi nepotrebnimi
računi nas reši naslednje: Fundamentalna grupa enostavno povezanega prostora je trivialna
(vsebuje le enoto) [7].
To lahko ponazorimo tudi z zankami: vsako zanko na sferi lahko skrčimo v točko. Vse zanke
so v istem razredu, v katerem je tudi ničelna zanka (točka), ki predstavlja enoto. Edini element
prve homotopske grupe je enota (pišemo lahko 0), grupa je trivialna:
π 1 = 0.
Prva homotopska grupa razvrsti defekte, ki jih lahko obkrožimo z zanko, v treh dimenzijah so to
linijski defekti. Enota predstavlja stanje brez defektov.
Posledica: Pri spinih v treh dimenzijah ni stabilnih linijskih defektov.
Pri faznem prehodu se tvorijo različni defekti, a se sčasoma njihovo število zmanjšuje: defekti
in njihovi antidefekti se anihilirajo, če so dovolj blizu, nestabilni defekti razpadajo v stabilne,
nestabilni linijski defekti lahko razpadejo v več točkovnih...
5.3.3 Nematik v ravnini
Paličico, s katero si predstavljamo nematik, lahko vrtimo v ravnini. Grupa G vseh možnih
transformacij je grupa rotacij v ravnini SO(2), oziroma njena krovna grupa T(1). Paličico lahko
zavrtimo v ravnini za večkratnik 2π, pa dobimo isto stanje, prav tako pa dobimo nerazločljivo
stanje, če jo zavrtimo za lihi večkratnik π. Grupa G je enaka kot pri planarnih spinih, vse možne
transformacije dobimo s translacijo (rotacijo) za poljuben kot:
G = T (1) = {T φ (θ) = θ + φ; −∞ < φ < ∞}, (5.4)

5.3 Prve homotopske grupe za primere 11
podgrupa H pa je množica translacij v T(1) (rotacij v SO(2)) za nπ [14]:
H = {T nπ ; n ∈ Z}. (5.5)
Podgrupa H je ponovno diskretna in okolica enote je enota sama: H 0 = 0. Kvocientna grupa je:
H/H 0 = H/0 = H,
podgrupa H je sicer grupa translacij za nπ, ne pa 2nπ, kot pri spinih, a je tudi ta grupa enaka grupi
celih števil, če vsak element (vsako celo število) drugače poimenujemo. Fundamentalna grupa je
grupa celih števil:
π 1 = Z.
Kaj to pomeni za defekte
• Ponovno razvrščamo defekte, ki jih je v dveh dimenzijah mogoče objeti z zanko: točkovne.
Kot prej so različna števila povezana z defekti različne moči. V nematskem tekočem kristalu
je defekt najmanjše neničelne moči defekt z močjo s = 1 ali − 1 (poglavje 3), kar je povezano
2 2
s tem, da vrtež za π ne spremeni stanja. Po moči sledita defekta 1 in −1 (slika 12), tema pa
3
in − 3... Število nič povežemo s stanjem brez defektov, število 1 z defektom 1, −1 z − 1, 2
2 2 2 2
z defektom moči 1...
In zanke
• Prostor ureditvenega parametra za nematik v dveh dimenzijah je krožnica, na kateri so
nasprotne točke med seboj enake (slika 4). Če začnemo v poljubni točki in naredimo polkrog,
je to zaključena zanka, ker sta nasprotni točki med seboj zlepljeni. Če naredimo cel krog,
je tudi to zaključena zanka, ki je ne moremo spremeniti v prvo, lahko naredimo en krog
in pol, pa je zanka spet zaključena in različna od prejšnjih. Vsaka zanka, ki naredi celo
število polkrogov, predstavlja en element fundamentalne grupe, eno celo število in en razred
defektov. To je ponovno zato, ker to pomeni, da smo naredili zanko okrog defekta v navadnem
prostoru, v vsaki točki pogledali vrednost ureditvenega parametra, s tem pa naredili zanko
v prostoru ureditvenega parametra.
5.3.4 Navadni nematik
Ureditveni parameter je direktor, enotski vektor v prostoru, ki nima smeri (glave). Spet si
lahko predstavljamo paličico. Grupa vseh možnih transformacij je SO(3), grupa rotacij v prostoru,
ki jo moramo vstaviti v krovno grupo SU(2). Sedaj poiščemo transformacije, ki dajo ekvivalentna
stanja. Paličico lahko vrtimo za poljuben kot okrog lastne osi. Poleg tega jo lahko rotiramo za kot
π okrog katerekoli osi, ki je nanjo pravokotna. Te transformacije moramo sedaj zapisati v obliki
2×2 unitarnih matrik, ker smo v grupi SU(2).
Direktor si izberemo v z smeri. Delovanje poljubne rotacije nanj zapišemo tako [7]:
ŝ · σ = u † (ˆn, θ)σ z u(ˆn, θ),
u(ˆn, θ) je oblike kot v enačbi 5.1.
Najprej delujemo na paličico s transformacijami, ki ne spremenijo z-osi. Te so oblike (za ˆn v
enačbi 5.1 vzamemo ˆn = (0, 0, 1)):
( )
u(ẑ, θ) = e i θ 2 e
i θ
σz 2 0
=
0 e −i . (5.6)
θ
2

5.4 Druge homotopske grupe 12
Njim moramo dodati še tiste, ki obračajo okrog poljubne osi, pravokotne na z za π. Te rotacije
predstavimo kot rotacije okrog osi y (to si izberemo) za π, ki jim sledi primerna rotacija okrog z.
Rotacije okrog y za π zapišemo kot [7]:
( )
±u(ŷ, π) = e ±i π 2
0 1
σy
= ±iσ y = ± . (5.7)
−1 0
Podgrupa H rotacij, ki vodijo v ekvivalentno stanje sistema je sestavljena iz matrik oblike 5.6 ki
rotirajo okrog z osi in je ne spremenijo, poleg njih pa še produkte teh matrik z iσ y :
( )
0 e
i θ 2
v(ẑ, θ) = u(ẑ, θ)(iσ y ) =
, (5.8)
ki so kombinacija rotacije okrog osi y za π in rotacije okrog z za poljuben kot.
Vidimo, da je grupa H sestavljena iz dveh kosov: prvi je oblike 5.6 in drugi oblike 5.8. Le prvi
je povezan z enotsko 2×2 matriko in predstavlja grupo H 0 .
Fundamentalna grupa
• Kvocientna grupa H/H 0 ima dva elementa: enoto in še en element. V topologiji ni pomembno,
kateri. Za katerokoli grupo, ki ima dva elementa, lahko rečemo da je enaka grupi Z 2 ,
ki vsebuje elementa 0 (enota) in 1. To pa je tudi prva homotopska grupa za nematski tekoči
kristal v prostoru.
Kateri defekti so stabilni
• Fundamentalna ali prva homotopska grupa v treh dimenzijah razvrsti linijske defekte. Enota
je stanje brez defektov. Drugi element pa pove, da je v nematskem tekočem kristalu le en
razred stabilnih defektov. Najmanjša moč defekta je 1 (ko gremo okrog defekta, se direktor
2
zavrti za π) in to je edini stabilni defekt.
Zanke
• Prostor ureditvenega parametra je polobla, ki jo zaključuje krožnica, na kateri so nasprotne
točke med seboj zlepljene (slika 5). Na njej sta le dve vrsti zaključenih zank. Začnemo nekje
na krožnici in speljemo zanko po površini do nasprotnega konca krožnice, ki je zlepljen z
začetkom: te zaključene zanke ne moremo deformirati v točko. Lahko pa naredimo poln
obrat, takrat lahko zanko potegnemo prek poloble v točko: te zanke so v razredu ničelne
zanke, enote, medtem ko so tiste, ki so zaključene prek zlepljenih točk v drugem razredu in
predstavljajo netrivialni element grupe. Vse zanke so ali ene ali druge oblike (kar morda ni
na prvi pogled očitno). Tako lahko vse linijske defekte v nematskem tekočem kristalu zvezno
deformiramo ali v stanje brez defektov ali v defekt 1 2 .
Recimo: linijski defekt moči − 1 lahko zvezno spremenimo v defekt 1 , linijski defekt moči 1
2 2
lahko razpade na dva linijska defekta moči 1 , ali pa v več točkovnih defektov moči 1, tako
2
imenovani pobeg v tretjo dimenzijo [18].
5.4 Druge homotopske grupe
Za opis defekta dimenzije M ′ v prostoru dimenzije M potrebujemo i-to homotopsko grupo π i ,
kjer je i = M − M ′ − 1. Za razvrstitev točkovnih defektov v treh dimenzijah potrebujemo drugo
homotopsko grupo π 2 (3 − 0 − 1). Pri spinih in nematskih tekočih kristalih v treh dimenzijah so
stabilni vsi točkovni defekti celoštevilčne moči [7]. Za druge grupe obstajajo podobni postopki,
grupe so med seboj tudi povezane.
e −i θ 2

Zaključek 13
6 Zaključek
S homotopsko teorijo je mogoče izračunati stabilne defekte vseh dimenzij za vse snovi, ki
imajo ureditveni parameter. Ni se težko lotiti defektov supertekočega helija, holesteričnih tekočih
kristalov, dvoosnih nematskih tekočih kristalov [7, 8, 9]. Če je translacijska simetrija zlomljena
(kristali, smektični tekoči kristali...) je mogoče hitro zaiti v težave, prostori ureditvenega parametra
postanejo zapleteni, pa tudi gradniki so v diskretnih točkah. Opisi teh snovi s topološkega stališča
niso popolnoma zadovoljivi.
V realnih okoliščinah se lahko sistemi drugače obnašajo (vpliv omejene geometrije, končne velikosti
gradnikov...). Tipično v snoveh najdemo tudi defektne strukture, ki topološko niso stabilne.
Šele obravnava defektov z energetskega stališča pokaže, da so možna tudi metastabilna stanja.
Topološki pristop je morda na prvi pogled nenavaden, a koristen. Označiti ga je možno kot
komplementaren pogled na probleme s stališča lastnosti prostora samega, ki se zrcalijo v fizikalnih
lastnostih snovi.
Literatura
[1] www.tfe.gatech.edu/faculty/mohan/lcweb/pixnmovies/nlcpix/page3.html
[2] N.W. Ashcroft, N.D. Mermin, Solid State Physics, Holt, Rinehart and Winston, New York
(1976)
[3] M. Kleman, O.D. Lavrentovich, Soft Matter Physics, An Introduction, Springer-Verlag, New
York, 2003
[4] T.W.B. Kibble, Physica C, 369, 87-92 (2002)
[5] www.phys.syr.edu/research/hetheory/gravity and defects/condcos/condcos.html
[6] D.J. Thouless, Topological Quantum Numbers in Nonrelativistic Physics, World Scientific,
Singapur, 1998
[7] N.D. Mermin, Rev. Mod. Phys., 51 (3), 591-648 (1979)
[8] H.-R. Trebin, Adv. Phys., 31, (3), 195-254 (1982)
[9] G.E. Volovik, V.P. Mineev, Sov. Phys JETP, 45 (6), 1186-1196 (1977)
[10] T.W.B. Kibble, Nature, 317, 472 (1985)
[11] T.W.B. Kibble, J. Phys. A: Math. Gen., 9,(8) 1387-1398 (1976)
[12] www.rcp.ijs.si/dean/tdefect revtex/node1.html
[13] www.engin.brown.edu/courses/en292s16/docs/EN292-materials.ppt
[14] J. Bajc, Statika in dinamika defektov v ograjenih nematskih tekočekristalnih fazah, Disertacija,
Ljubljana, 1998

14
[15] www.lassp.cornell.edu/sethna/OrderParameters/OrderParameter.html
[16] www.wikipedia.org
[17] M. Daoud, C.E. Williams (urednika), Soft Matter Physics, Springer-Verlag, Berlin, 1995
[18] P.G. de Gennes, J. Prost, The Physics of Liquid Crystals, Oxford University Press, 1993