Fotodiodni ojaÄevalniki - F9 - IJS

Erik Margan, IJS, F-9Fotodiodni ojačevalnikiOptimizacija elektro-optičnih merilnih sistemovv frekvenčni in časovni domeni

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSeznam pogosto uporabljenih simbolovZaradi zgodovinskih in praktičnih razlogov imajo nekateri simboli dva ali več pomenov.Dogovorjena oblika pisave simbolovNaziv Način pisave PrimerFizikalne količine kurzivVektorji ali matrike poudarjen kurzivE +E +Merske enote pokončno A aE Aktivna optična površina fotodiode;tudi splošno ojačenje ojačevalnika.E ! Faktor enosmernega ojačenjaoperacijskega ojačevalnika brezpovratne zanke.E= ab Odprtozančno jačenje operacijskegaojačevalnika, v odvisnosti odkompleksne frekvence = .+ albedo, razmerje med odbito inabsorbirano svetlobo na neki površini.F Vektor gostote magnetnega pretoka vMaxwellovih enačbah.F s Svetilnost svetlobnega vira (Tab.2).G Kapacitivnost kondenzatora.- Svetlobna hitrost - œ 299 792 458 mÎs;-œ-/ œ -[Î2œ"Î# È . ! & ! .H Determninanta, diskriminanta, splošno.H Vektor gostote električnega pretoka vMaxwellovih enačbah.. Operator odvoda funkcije, .JaBbÎ.B.. P Vdorna globina svetlobe v kristalfotodiode.I Amplituda sinusnega nihanja električnekomponente elektromagnetnega vala.Včasih tudi energija (predvsem vEinsteinovi enačbi Iœ7- # ).I Vektor električne komponente polja vMaxwellovih enačbah./ N Specifična (v pasovni širini ? 0 œ 1Hz)napetostna komponenta šuma.e Eulerjevo (‘naravno’) število, osnovanaravnega logaritma; e œ #Þ(")#)á . e , e Elektron, pozitron ali vrzel.J ab =Prenosna funkcija sistema v odvisnostiod kompleksne frekvence = .0 Realna frekvenca.0 T Prehodna frekvenca, pri kateri jeodprtozančno ojačenje sistema enako 1.0 ! Resonančna frekvenca.0 " Frekvenca dominantnega pola sistema.0 # Frekvenca sekundarnega pola sistema.0 h Zgornja mejna frekvenca sistema, kjerojačenje pade za faktor "ÎÈ# .0 ab >Časovni odziv sistema, običajno kotimpulzni odziv, 0 ab > œ 0 e$a>bf.KK= abg mPrevodnost, K œ "ÎV.Prenosna funkcija sistema v odvisnostiod kompleksne frekvence = ; običajnokot odziv sistema na stopničastofunkcijo v frekvenčnem prostoru,K= abœJ=Î=.Inkrementalna prevodnost bipolarnegatranzistora, ali kombinacije le teh.g fs Inkrementalna prevodnost poljskegatranzistora (FET) ali kombinacije FET.ga> b Časovni odziv sistema, običajno kotodziv na stopnico, gab > œ ge2 ab > f.L= ab Heavisiedova stopnica v frekvenčnemprostoru, L ab = œ "Î=.2 Planckova energijska konstanta,$%2œ6.626×10 Js.h2> abDiracov zapis Planckove konstante,h= 2Î# 1.Heavisiedova stopnica v časovnemprostoru, 2> œ!l & "l .ab >! > !M Enosmerni tok, amplituda fazorja zaizmenične tokove.M s Svetilnost svetlobnega vira. Tudi toknasičenja pri polprevodnikih.M P S svetlobo povzročen fotodiodni tok.M sc Kratkostični maksimalni fotodiodni tok.M d Fotodiodni temni tok.3 Trenutna vrednost toka.3N Specifična (v pasovni širini ? 0 œ " Hz)tokovna komponenta šuma.3 P Trenutni tok fotodiode.N Koeficijenti polinomov (splošno).4 Imaginarna enota, 4 œ È" .O Koeficijenti polinomov (splošno).5 B Boltzmannova konstanta,#$ "5B œ 1.3806504×10 W s K .P Induktivnost.6 Dolžina loka (krožničnega odseka).Q Magnituda, absolutna vrednostprenosne funkcije, QœlJ ab =l.7 Masa (fizikalna). Tudi indeks ničelpolinoma prenosne funkcije.7 c Eksponent napetostne odvisnostiparazitne kapacitivnosti fotodiode.-2-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganR Celo število.8 Indeks loma svetlobe. Tudi stopnjakarakterističnega polinoma prenosnefunkcije. Tudi splošni indeks polov.T Moč (električna, ali svetlobna).:", : 8 Poli prenosne funkcije.U Faktor kvalitete nihajnega kroga.Indeksirano: oznaka tranzistorja.; Celoštevilčni eksponent, ali odvod.; e Osnovni naboj (naboj elektrona);"*; e œ 1.602 176 478 ×10 As.ZV Realna Ohmska upornost, V œM[ H].< Inkrementalna upornost, < œ .ZÎ.M.Tudi radij kroga, sfere, ali na splošnooddaljenost od svetlobnega vira.< !, < ", < 5 Residuum prenosne funkcije.W Občutljivost; W œ .MPÎ.T [AÎW].W max Največja spektralna občutljivost.Wa- b Občutljivostni spekter (v odvisnosti odvalovne dolžine -).= Kompleksna frekvenca v Laplaceovemprostoru, =œ5 4=.= ", = 8 Poli ali ničle prenosne funkcije sistema.X Absolutna temperatura v kelvinih [K].> Časovna spremenljivka.> r Vzponski čas pri odzivu na stopnico.Z Enosmerna napetost; amplituda fazorjaza izmenične napetosti.@ Trenutna napetost.@", @ n Napetostno vozlišče.@ o Izhodna napetost.[ Energija, delo.\ Reaktanca, imaginarni del kompleksneimpedance.B Splošna neznanka.] Admitanca, kompleksna prevodnost,inverzna impedanca.C Splošna vrednost funkcije. Lahko tudineznanka.^ Impedanca, kompleksna upornost.D , D Ničle prenosne funkcije." 7! Tokovni prenosni faktor tranzistorja odMC"emiterja h kolektorju, ! œ œ .M E """ Tokovni prenosni faktor tranzistorja odbaze h kolektorju, " œ M .M C B# Simbol za foton, žarek gama.?B Simbol za razliko, B# B".$B Simbol za zelo majhno razliko.$a> b Diracov enotni impulz,$a> bœ _l >œ! & !l>Á!.% Majhna, od nič različna napaka.& Dielektričnost (permitivnost).& 0 Dielektričnost vacuuma:""#& ! œ-¸ Î. # !8.854×10 [As Vm].& r Relativna dielektričnost materijala vprimerjavi z vacuumom.( Izkoristek, razmerje moči.) Geometrijski kot. Običajno pri polih:e e=5f=) 5 œ arctand e=fœ arctan 55 5 .5Tudi vapadni kot svetlobe na nekopovršino, glede na normalo.- Valna dolžina svetlobe, - œ-œ2-./ [#. Magnetilna konstanta, permeabilnost.. ! Magnetilna konstanta vacuuma,"(.!œ& -# !œ % 1× "! [VsÎAm]. r Relativna magnetilna konstanta snoviglede na vacuum./ Fotonska (nosilna) frekvenca svetlobe,- [/ œ œ#- 2.0 Logaritemski dekrement dušenjaprenosne funkcije sistema, 0 œ "Î#U.1 Ludolfovo število, razmerje medobsegom in premerom kroga,1 œ $Þ"%"&*á ; kot polkroga [rad].3 s Gostota moči svetlobnega toka,3 s œ .T.E .5 Stefanova konstanta sevanja.Tudi realna komponenta kompleksnefrekvence = , ali pola (ima dimenzijokotne frekvence [radÎs]).7 Časovna konstanta; 7 œVG; 7 œ P V.7 e Časovna (ovojnična) zakasnitev sistema7 ea=b œ . := a b. =.: Fazni kot prenosne funkcije:= a b œ arctan e e J a=bfdeJa= bf.= Kotna frekvenca, = œ# 10, imaginarnidel kompleksne frekvence = , ali pola(ima dimenzijo frekvence [radÎs]).S Prostorski kot.def Realni del kompleksne količine.! Vsota vseh členov v nekem izrazu.L ef Laplaceov transformacijski operator,_L e0 ab > f œ ' =>0Ð>Ñ e .> œ J ab =!eef Imaginarni del kompleksne količine.# Zmnožek vseh členov v nekem izrazu.L i ef Inverzni Laplaceov transform,54_L i eJ ab = f œ " ' =>ab# 14J Ð=Ñ e .= œ 0 >54_-3-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSpoštovani Bralci!Pomembno obvestiloNekaj nas skromnih Dreves Vam želi izraziti svojo neizmernohvaležnost, če tega besedila NE BOSTE NATISNILI na papir!Radi bi Vas opozorili da je porabo in potrato izdelkov iz lesa, medkatere spada tudi papir, človeška vrsta pripeljala do neslutenihrazsežnosti; nekateri pač dobesedno od drevesa ne vidijo gozda!Čeprav nas je veliko ni se hitro razmnožujemo, je naša rast razmeromapočasna. Posledično se s prekomerno poseko tudi naš življenski prostornezadržno krči. S tem pa se krči tudi življenski prostor neštetimrastlinskim in živalskim vrstam, s katerimi živimo v simbiozi. Zato niveč daleč dan, ko se bodo posledice takega početja začele negativnoodražati na obstoj celotnega življenja na Zemlji.Če pa je kdo med Vami, ki ga skrbijo emisije CO # zaradi električneenergije, ki jo porabi Vaš računalnik med vsakodnevnim delovanjem,lahko Vam zagotavljamo da celotna energija, ki jo porabite za izdelavo1 kg papirja, zadošča za okoli 3000 ur delovanja vašega računalnika!Poleg tega, eno samo povprečno Drevo vsak dan vsrka toliko CO #, kotga vaš računalnik s svojim delovanjem posredno spravi v ozračje v trehmesecih!Zato prosimo, kar brezskrbno berite to besedilo z zaslona!Vaša hvaležna DrevesaPS: Če že ne gre drugače, vsaj natisnite besedilo obojestransko!-4-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSeznam poglavijSeznam pogosto uporabljenih simbolov ................................................................................... 2Pomembno obvestilo ................................................................................................................. 4Seznam poglavij ..................................................................................................................................... 5Seznam tabel ............................................................................................................................. 6Seznam slik ............................................................................................................................... 6Računati ali ne računati? To sploh ni vprašanje ................................................................................ 71. Fizikalne definicije in relacije v optiki ............................................................................................ 92. Definicije fizioloških optičnih količin v SI ..................................................................................... 173. Polprevodniške fotodiode: zgradba in lastnosti ............................................................................ 194. Polprevodniške fotodiode v elektroniki ......................................................................................... 275. Kalibracija fotodiodnih ojačevalnikov .......................................................................................... 316. Analiza fotodiodnih ojačevalnikov ................................................................................................ 336.1. Zgradba operacijskega ojačevalnika ..................................................................................... 336.2. Problem dominantnega pola, Millerjev učinek ...................................................................... 366.3. Frekvenčna odvisnost prenosne funkcije ............................................................................... 376.4. Ojačevalnik s povratno zanko in idealno fotodiodo .............................................................. 406.5 . Ojačevalnik z realno fotodiodo ............................................................................................. 446.6 . Fazni zasuk ............................................................................................................................ 526.7 . Ovojnična zakasnitev ............................................................................................................ 556.8 . Impulzni časovni odziv ......................................................................................................... 576.9. Časovni odziv na stopničast vhodni signal ............................................................................ 616.10. Sklepne opombe k osnovnem vezju ...................................................................................... 657. Izboljšave fotodiodnega ojačevalnika ............................................................................................ 677.1. Prenosna funkcija ob kompenzirani povratni zanki ............................................................... 677.2. Zagotovitev popolne stabilnosti ojačevalnika ....................................................................... 727.3. Vpliv ojačevalnikovega dominantnega pola .......................................................................... 767.4. Problem šuma in šumnega ojačenja ...................................................................................... 797.5. Delne kompenzacije povratne zanke ojačevalnika ................................................................ 857.6. Optimizacija zančnega ojačenja dveh ojačevalnikov ............................................................ 877.7 . Dvojni ojačevalnik s filtrom .................................................................................................. 8x7.8. Zgotovitev stabilnosti ob reaktivnem bremenu ..................................................................... 9x8. Ojačevalnik s tokovno povratno zanko ......................................................................................... 998.1. Ojačevalnik CFB kot fotodiodni ijačevalnik ....................................................................... 1059. Optimizacija za večjo občutljivost ............................................................................................... 11510. XXXXXXXXXX ........................................................................................................................ 1XXDodatek A: Družine polinomov in različni kriteriji optimizacije odziva sistema ........................ 123A.1 . Butterworthova družina ....................................................................................................... 124A.2. Bessel-Thomsonova družina ............................................................................................... 128Dodatek B: Splošne rešitve polinomov 1., 2., 3. in 4. stopnje ........................................................ 132Viri in povezave ................................................................................................................................. 136Indeks ................................................................................................................................................. 137-5-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSeznam tabelTabela 1: ............................................................................................................................................... xxSeznam slikSl.1: ....................................................................................................................................................... xx-6-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganRačunati, ali ne računati? To sploh ni vprašanje!Vedno je bilo elektronsko vezje, tudi ta najbolj preprosto, mnogo lažje narediti inpreskusiti, kot pa zračunati. In danes je še vedno tako, čeprav nam vseprisotni računalnikiponujajo preproste, natančne in hitre programe za simulacijo vezij, z bogato založenimikjižnicami vseh možnih na trgu obstoječih komponent. Delo s temi programi je skoraj otročjaigra, vsekakor izjemno zabavna igra.Fotodiodne ojačevalnike upravičeno štejemo med bolj preprosta vezja, skorajtrivialno preprosta. Kot igra z LEGO kockami: vzameš operacijski ojačevalnik, dodaš parkondenzatorjev na napajalne priključke, upor v povratno zanko, fotodiodo na vhod, vklopišnapajalno napetost in — stvar dela! Naj živi LEGOtronika!Zakaj, za Murphyja, bi potemtakem kdorkoli potreboval karkoli zračunati?Odgovor na to vprašanje je presenetljivo preprost: ravno zaradi tega, ker je danes vsetako preprosto!??Naj pojasnim.Živimo v takoimenovani ‘družbi znanja’, vsaj na politično-deklarativni ravni, hkratipa je prav znanje med najbolj razvrednotenimi vrednotami te družbe.Na Dalnjem vzhodu je življenje kruto, ljudi je veliko, hrane malo, in konkurenca (bojza golo preživetje) je zelo huda. V takih pogojih je marsikdo pripravljen delati karkoli za pestriža na dan. Če delodajalec hoče imeti fotodiodni ojačevalnik, bo vsak delavec vesel takopreproste naloge, in jo bo opravil tako dobro, da se bo kar bleščalo, naprav’ca bo znala ne lerazlikovati svetlobo od teme, znala bo svetlobo izmeriti na 16, ali celo 24 bitov natančno,zaznala bo barvni spekter osvetljenega objekta, z mehkim ženskim glasom kot matiopozarjala na povečano UV sevanje, hkrati z rezultati zabeležila trenutne GPS koordinate, alicelo hkrati predvajala MP3-kodirano glasbo s Svetovnega spleta. Pa še skoraj zastonj bo!Vpliv Dalnjega vzhoda se že od sredine osemdesetih let prejšnjega stoletja pozna žetudi v ZDA in Evropi, v zadnjem času tudi drugod po svetu. Če danes kdo v Sloveniji želi ssvojimi izdelki konkurirati v svetovnem merilu, se bo soočil s trgom, ki je že preplavljen spodobnimi razmeroma dobro delujočimi in skoraj zastonj izdelki. Kakšne možnosti ima?Prva, najbolj razumna, je opustiti dejavnost in začeti nekaj povsem drugega, pomožnosti v sektorju kjer konkurenca ni tako huda.Druga možnost, bolj ‘darvinistična’: naj se prilagodi in izkaže pripravljenost delati zapest riža na dva dni.Tretja možnost, ki meji že skoraj na noro trmoglavljenje je, da izkaže pripravljenostnaučiti se kaj več kot najbolj trivijalne ‘kuharske recepte’, ter sčasoma uspe narediti resničnovrhunski izdelek, izpiliti vse parametre delovanja do skrajnih meja tehnologije, morda malcečez. In za ne previsoko ceno.Za to zadnjo možnost je potrebno kar nekaj računanja, ker je treba natančno vedetikaj je teoretično sploh mogoče, kje leži optimum med nasprotujočimi se zahtevami in pravtako nasprotujočimi se fizikalnimi lastnostmi, tako posameznih komponent kot tudi sistema vceloti. In vseskozi preverjati kako daleč od optimuma je lastni izdelek, tako na tehnični, kottudi na cenovni ravni.Torej: le tisti, ki ste noro trmoglavi, berite pogumno naprej!Ljubljana, 22.06.2009.-7-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan-8-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan1. Fizikalne definicije in relacije v optikiVidna svetloba je elektromagnetno valovanje in predstavlja le ozek pascelotnega elektromagnetnega sevalnega spektra. Sl.1.1 ponazarja dogovornorazdelitev frekvenčnih območij elektromagnetnega spektra glede na nekatere lasnosti,značilne učinke in uporabo.Sl.1.1: Značilna območja elektromagnetnega sevalnega spektraZačetek kvantitativne fotometrije sovpada z odkritjem Stefanovega zakonasevanja leta 1879 ( Jožef Stefan, 1835–1893), kjer se prvič pojavlja sorazmernaodvisnost gostote moči sevalnega toka od četrte potence temperature telesa ki seva:3 5 s œ X % (1.1)Tukaj je 5 Stefanova konstanta, X pa absolutna temperatura v kelvinih [K].Kelvin ( William Thomson, Lord Kelvin, 1824–1907) je že leta 1848 zasnovalabsolutno temperaturno lestvico, pri čemur za osnovo ni vzel faznih prehodov snovi,temveč jo je izpeljal izključno na zakonih termodinamike. Absolutna ničla je tistatemperatura na kateri snov ne more oddati in ne sprejeti sevanja (takrat snov vsebujele osnovno kvantno-mehansko energijo). Velikost stopinje absolutne lestvice jeKelvin izbral enako kot pri Celzijevi lestvici ( Anders Celsius, 1701–1744), tako da jeizhodišče 0 K œ273.15°C (pri kelvinih po dogovoru ne pišemo znaka za stopinje).Stefanov učenec Boltzmann ( Ludwig Eduard Boltzmann, 1844–1906) je leta1884 teoretično izpeljal Stefanov zakon, ki je od takrat znan kot Stefan–Boltzmannovzakon. Stefanova konstanta proporcionalnosti 5, sprva eksperimentalno določena, jebila kasneje teoretično izpeljana na podlagi drugih osnovnih naravnih konstant:& %# 1 5B ) # %5 œ œ 5.670400×10 W m K (1.2)"& 2$ -##$ "kjer je 5BBoltzmannova konstanta, 5Bœ 1.3806504×10 W s K , 2 je Planckova$%konstanta ( Max Planck, 1858–1947), 2œ6.626×10 Js, in -je svetlobna hitrost.-9-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZa svetlobo, tako kot za vsa druga valovanja, je značilna končno velikapropagacijska hitrost, -, ki je povezana z valovno dolžino - (‘lambda’), izraženo vmetrih [m], ter frekvenco valovanja / (‘nü’), izraženo v hertzih [Hz] ( Heinrich RudolfHertz, 1857–1894), po preprosti relaciji:-œ-/ (1.3)Valovno dolžino merimo med vrhoma dveh sosednih valov, frekvenca nihanja / papomeni število nihajev (valov) v sekundi, [Hz œ 21radÎs].Mednarodni sistem merskih enot (fr., Le Système international d’unités, SI)določa vrednost svetlobne hitrosti v prostoru brez prisotnosti snovi ( vacuum) zabsolutno natančnostjo: -œ299 792 458 mÎs (kar določata SI dogovora o metru [m])in sekundi [s]). Pogosto uporabljamo približek -¸3×10 mÎs.Občutljivostni spekter človeškega očesa, v odvisnosti od valovne dolžinesvetlobe, sega od okoli 780 nm (rdeča) do 430 nm (violična); tem mejam ustrezata"% "% "* "*frekvenci 3.84×10 in 6.97×10 Hz, oziroma energiji 2.544×10 in 4.615×10 J,ali v elektron-voltih: 1.588 in 2.881 eV. Občutljivostni maksimum očesa je pri 555 nm"% "*(5.4×10 Hz, 3.576×10 J, ali 2.232 eV). Sl.1.2 kaže primerjavo gostote sevalnemoči sončnega spektra (v stratosferi in skozi zemeljsko ozračje) z normiranoobčutljivostjo človeškega očesa in tipične silicijeve fotodiode (SFH203).Sl.1.2: Primerjava sončnega spektra (v stratosferi in na morski gladini – vir NASA) spovprečno občutljivostjo človeškega očesa in tipične silicijeve fotodiode (SFH203). Zaprimerjavo je podan še teoretični spekter sevanja črnega telesa (enačba 4) pri temperaturi5620 K, označen pa je tudi vpliv molekul nekaterih plinov v atmosferi na absorpcijskevrzeli v sončnem spektru. Maksimum relativne spektralne občutljivosti človeškega očesaje pri 555 nm, fotodiode pa pri 850 nm. Maksimum gostote moči sončnega spektra sespreminja z nadmorsko višino in geografsko širino in je odvisen od vsebnosti vlage vatmosferi, poleg tega pa se spreminja v teku leta zaradi eliptičnosti zemeljske orbite med# # #1412 WÎm v začetku januarja in 1321 WÎm v začetku junija, v povprečju 1366 WÎm(merjeno na ekvatorju opoldne jasnega dne na morski gladini). Prav tako se spreminja zaokoli 0.1% v teku 11-letnega aktivnostnega ciklusa Sonca.-10-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIntenziteta svetlobe se pogosto spreminja s časom, če, na primer, svetlobni virnamenoma periodično moduliramo. Modulacijsko frekvenco ponavadi označujemo s0, da jo razlikujemo od fotonske frekvence /, ter se izognemo morebitni zmedi. Sl.1.3ponazarja razliko med enakomernim in moduliranim valovanjem.νc= λSl.1.3: Enakomerno in amplitudno modulirano valovanjefλEnergijska kvantiziranost elektromagnetnnega valovanja pomeni da kateri kolidelec snovi lahko odda (emitira) ali sprejme (absorbira) energijo na določeni frekvencile v celoštevilčnih večkratnikih osnovnega energijskega obroka, kvanta (lat., quantum,količina), ki mu je Gilbert M. Lewis leta 1926 nadel ime ‘foton’. Foton ponavadisimbolično označujemo z grško črko # (‘gama’), izhajajoč iz Rutherfordovega ( ErnestRutherford, 1871–1937) poimenovanja izsevanih produktov pri radioaktivnemrazpadu atomskih jeder (!-delci so jedra helija, He , "-delci so elektroni, e ,#-žarki pa so fotoni, oziroma elektomagneto valovanje).Iz Maxwellove elektromagnetne teorije ( James Clerk Maxwell, 1831–1879)izhaja da vektorja električne ( I) in magnetne ( L) poljske jakosti nihata kot sinusno–cosinusni par v med seboj pravokotnih smereh. Smer razširjanja valovanja določaPoyntingov vektor ( John Henry Poynting, 1852–1914) T œ I ‚ L, ki je pravokotenna oba (transverzalno valovanje). Foton si tako lahko predstavljamo kot prostorskoomejen valovni paket s karakteristično frekvenco / ( Sl.1.4), svetlobno valovanje pakot fazno-vektorsko vsoto zelo velikega števila takih valovnih paketov.EHP = E×H-11-Sl.1.4: Fizikalno dokaj naivna predstava o fotonu: pri elektromagnetnem valovanjunihata vektorja električne ( I) in magnetne ( L) poljske jakosti kot par I sina# 1/ > b,L cosa# 1/ > b med seboj pravokotno, kar opiše spiralni energijski vektor polja (spinskokvantno število je ±1). Smer gibanja določa Poyntingov vektor T œ I ‚ L, ki jepravokoten na oba (‘transverzalno’ valovanje). Amplituda naj bi ustrezala GaussoviB( J.C.F. Gauß, 1777–1855) eksponenčni funkciji, e # , kjer je B koherenčna dolžinafotona ( B¦-).Vrednost energijskega kvanta je določena na podlagi leta 1900 odkrite inobjavljene Planckove zakonitosti sevanja črnega telesa, katerega sevalna moč [ pridoločeni temperaturi X v območju valovnih dolžin med - in -.-znaša:# &# 1- 2-[ a-ßX b. - œ .-2-e -5 B X"(1.4)

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIntegral izraza (1.4) čez vse valovne dolžine je enak Stefan–Boltzmannovemuzakonu (1.1). Izraz (1.4) se popolnoma ujema z rezultati meritev le, če je energijasevanja kvantizirana in za posamični foton velja:[ œ 2 œ 2 -# /(1.5)-kjer je 2 Planckova energijska konstanta, / pa je fotonska frekvenca [Hz].Energijo izražamo v jouleih [J] ( James Prescott Joule, 1818–1889). Napodlagi Jouleovega izraza za mehansko energijo lahko ugotovimo da je sevalna# #energija enakovredna mehanski: [J] œ [kg m s ], in električni: [J] œ [Ws], kjer je W‘watt’, enota za električno moč ( James Watt, 1736–1819).Energijo včasih označujemo z I, vendar je I tudi oznaka za električno poljsko jakost. Da seizognemo morebitni zmedi, za energijo raje uporabljamo [ , po angleški besedi ‘work’, delo.Frekvenco si fizikalno predstavljamo kot periodično nihanje, ali krožnogibanje, izraženo z velikostjo kota, ki ga gibajoče se telo opiše v časovni enoti. Todakotna enota ni krog (# 1< Ê 360°), pač pa ‘radian’ [rad], ki je sorazmeren dolžini lokaenaki radiju pripadajočega kroga ( 6œ< ), torej je 1 rad œ360° Î21¸57.296°.Posledično moramo tudi frekvenco vzeti kot ‘kotno frekvenco’, = (‘omega’),= œ# 1/ , v enotah [radÎs]. Zato je v fizikalni literaturi bolj pogosto v uporabiDiracov ( Paul A. M. Dirac, 1902–1984) zapis ‘reducirane’ Planckove konstante,$%hœ2Î# 1 œ1.0536×10 Js. Energijo fotona potem lahko zapišemo kot:[ # œ 2 / =œ 2 œ h# 1=(1.6)Iz vsega tega sledi da je celotna sevalna energija nekega monokromatskegasvetlobnega vira lahko le celoštevilčni večkratnik energije fotona: [œR[ # .Pri obravnavi pojavov, ko foton ionizira nek atom snovi (torej ustvari parelektron–vrzel) je koristno če energijo podamo v elektron-voltih [eV]. Če elektronpospešimo v električnem polju s potencijalno razliko 1 V, pridobi le-ta energijo 1 eV.Volt je enota električne napetosti ( Alessandro Volta, 1745–1827); naboj elektrona je"*; e œ 1.602×10 As; ‘amper’, [A], je enota jakosti električnega toka ( André-MarieAmpère, 1775–1836). Ker je [ J] œ [Ws] œ [VAs], sledi da, če vrednost energije v [J]delimo z nabojem elektrona, dobimo njeno vrednost v [eV]:[ œ [ [J][eV] (1.7);Prav tako je ugodno če vrednost Planckove reducirane konstante podamo v [eVs]:eh [Js]"'h [eVs] œ œ 6.582×10 eVs (1.8);eV Einsteinovi ( Albert Einstein, 1879–1955) posebni relativnostni teoriji iz leta1905 je svetlobna hitrost privzeta za konstantno, kar ponazarja njena oznaka - (lat.,constanta). Pozneje (že v splošni relativnostni teoriji leta 1915) je bilo ugotovljeno dase v določenih pogojih (močno gravitacijsko polje, prisotnost snovi) svetlobna hitrostlahko spremeni, a jo kljub temu še vedno označujemo z enakim simbolom.Matematično upravičenost za tako označevanje najdemo že v Maxwellovielektrodinamiki. Iz Maxwellowih ‘konstitutivnih’ enačb za vektorja gostote-12-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganelektričnega in magnetnega pretoka, H in F, kjer poleg električne in magnetnepoljske jakosti I in L , nastopata dve osnovni elektromagnetni konstanti, &! in .!:H œ & ! I(1.9)F œ . ! L(1.10)izhaja izraz za propagacijsko hitrost elektromagnetne energije v vacuumu:-œ"È. ! & !(1.11)Tukaj je . ! magnetilna konstanta, oziroma ‘permeabilnost’ vacuuma z natančno(vrednostjo .! œ % 1 × "! VsÎAm (po SI definiciji), &!pa je dielektričnost, oziroma‘permitivnost’ vacuuma, z vrednostjo določeno prek SI definicije za svetlobno hitrost,tako da je &! œ"Î.!- # ¸8.8542×10 "# [AsÎVm].V snovi sta vrednosti . in & večji kot v vacuumu. Definiramo relativnopermeabilnost . r œ . Î. ! in relativno dielektričnost & r œ & Î&! materialnegaelektromagnetnega medija. Pri izolatorjih je . r œ" in & r ¦" , pri feromagnetnihmaterijalih pa . r ¦" in & r ¸" , med tem ko paramagnetni in diamagnetni materijaliimajo . ¸" in & ¸" . Na splošno je v prozorni snovi svetlobna hitrost manjša:rr" " --œ ' œ œ(1.12)È.& È. . & & È. &! r ! r r rŽal, materijalne ‘konstante’ niso vedno konstantne: pri večini materijalov se . rali & r , ali kar oba, močno spreminjata s frekvenco, pa s temperaturo tudi. Denimo, zrakima & r œ "Þ!!!#( v širokem razponu frekvenc, voda pa 81 pri 1 MHz, a le 1.33 pri"&10 Hz, zato se hitrosti radijskih valov in svetlobe v teh medijih precej razlikujeta.Posledično se radijski valovi na vodni gladini odbijejo, svetlobni žarek pa se pripoševnem prehodu na vodni gladini lomi; lomni količnik je podan kot 8œÈ& .Razmerje sinusov lomnih kotov pa je:sin) " &sin) œ - " œ 8 # œ #- 8Ê (1.13)&# # " "kjer je )" vpadni kot, )#pa izstopni kot žarka, oba glede na normalo na mejno ravninooptično različno gostih snovi. Pri lomu ostane frekvenca svetlobe enaka, spremenitapa se propagacijska hitrost in valovna dolžina:-/" " -œ œ # œ /#(1.14)- -Zato veljajo razmerja:--" #" " #œ- 8œ- 8# # "(1.15)Prav tako je prozornost optičnih medijev pri različnih frekvencah različna,denimo v vodi je absorpcijski koeficijent za rdečo svetlobo okoli 3× večji kot zamodro (zato je morje videti modro). Steklo je za valovne dolžine manjše od 300 nm(UV) neprozorno (če se sončimo za zaprtim oknom ne bomo porjaveli!). Temnopleksi-steklo je za IR sevanje prozorno. Podobno je tudi pri drugih materijalih.-13-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganViru sevanja pravimo da je izotropen, če seva v vse smeri enako (na pr.,Sonce), sicer pa je anizotropen (na pr., žaromet).Sevanje svetlobnega vira opišemo bodisi s celotnim izsevanim energijskimtokom [ [J], ali pa z izsevano močjo svetlobnega toka T [W]. Seveda je energijaenaka časovnemu integralu izsevane moči:[œ T.> ( (1.16)Svetilnost (intenziteto) svetlobnega vira izrazimo z delno močjo svetlobnegatoka na prostorski kot S:M œ .Ts (1.17). SSvetilnost merimo v wattih na steradian [WÎsr]. Prostorski kot S œ 1 sr opišemo spovršino < # na površini krogle s polmerom < ( Sl.2.1 ).S časom se je uveljavila žalostna praksa da kotnih enot [rad] in [sr] ni potrebno pisati, zatopogosto najdemo svetilnost izraženo kar v [W], namesto [WÎsr], in podobno pri nekaterih drugihkoličinah; to pogosto povzroča težave pri razlikovanju med močjo sevanja in svetilnostjo.Za izotropni vir velja Ms œ TÎ% 1 (ker je % 1sr prostorski kot celotne krogle),svetilnost M s pa ni odvisna od smeri. Pri anizotropnem viru pa je svetilnost odvisna odsmeri in v tem primeru svetilni tok izrazimo z enačbo TœëM. s S.Svetlost ploskovnega vira vpeljemo kot delno intenziteto na površinsko enoto:F œ .M ss(1.18).Ekjer je .E delček sevalne površine, .M s pa je pripadajoča intenziteta. Svetlost merimov wattih na kvadratni meter na steradian [WÎ m # sr].Gostota svetlobnega toka je določena z razmerjem moči na površinsko enoto:3 s œ .T(1.19).E#izražamo pa jo v WÎm . Pri tem pada svetloba pravokotno na ploskev E. Gostotasvetlobnega toka točkastega izotropnega vira v razdalji < meri:3s œT% 1

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganTabela 1: Nekatere pomembne fizikalne in materijalne konstanteKonstante Simboli Vrednosti Merske enoteNaboj elektrona ; e"*1.602 176 478(40)×10 AsSvetlobna hitrost v vacuumu - 299 792 458 mÎsMagnetilna konstanta vacuuma .!(% 1× "! VsÎAmDielektrična konstantavacuuma, "Îa. -#! b&!"#8.854 187 817 á×10 AsÎVmPlanckova konstanta 2$%6.626 068 96(33)×10 JsBoltzmannova konstanta 5B#$1.380 650 4(28)×10 JÎKTermična energija pri 300 K 5BX0.0259 eVEnergija 1 eV-"*1.602 176 478(40)×10 JValovna dolžina fotonaz energijo 1 eV-eV1240 nmEnergijski potencijal v siliciju [ bgaSibµ 1.14 eVRelativna dielektričnost silicija & raSibµ 12 -Relativna dielektričnostsilicijevega dioksida& r aSiO#b µ 4 -Vrednosti fizikalnih konstant so podane na toliko decimalnih mest natančno, kot je bilo znanoleta 2007. Decimalna mesta v oklepaju predstavljajo srednjo vrednost intervala merilne napake.-15-


Fotodiodni ojačevalnikE.Margan2. Definicije fizioloških optičnih količin v SIRazlikujemo dve vrsti merskih enot optičnih količin: fizikalne (objektivne) infiziološke (pogojene z zgradbo in delovanjem človeškega očesa) ( Tabela 2).Tabela 2: Primerjava fizikalnih in fizioloških merilKoličina Simbol Enota v fizikalnem merilu Enota v fiziološkem meriluMočsvetlobnega tokaGostotasvetlobnega tokaOsvetljenostSvetilnostSvetlostTW.T# #3 s œ Wm Î lmm Î.E3' œ 3 cos)WÎm lx œ lmÎmslm# #Msœ.T. SWsr Î cdœ lmsr ÎFœ.Ms.E#Wmsr Î#cdm ÎSl.2.1: Pojasnilo za prostorski kot in osvetlitveno površino k definicijam enot [lm] in [lx].Osnovna enota za fiziološko intenziteto svetlobe je candela [cd]. Ena candelapredstavlja svetlobno intenziteto, ki jo v dani smeri seva točkasti monokromatski vir s"#frekvenco / œ 540×10 Hz (oziroma valovno dolžino - œ 555 nm) s prostorsko1gostoto moči v tej smeri [W sr] v fizikalnih enotah.683ÎDefinicija candele predstavlja dogovor, dosežen zaradi nekaterih težav pri standardizaciji merilnihpogojev, ki so bili podlaga za staro definicijo mednarodne sveče (sevanje platine pri temperaturi faznega prehodaiz tekočine v trdnino, X œ 2045 K), oziroma Hafnerjeve sveče (na osnovi temperature plamena).PtDefinicija candele upošteva fizikalno sevalno moč svetlobnega vira, izraženo zenoto watt [W]; 1 W je moč energijskega toka enega joulea [J] v eni sekundi [s],# #[W] œ [JÎ s]. Sevalna energija 1 J ustreza mehanski energiji 1 kg m s . Prostorskikot S œ 1 sr (stereo-radian, steradian) predstavlja konico (stožec) z vrhnim kotom: œ # arccosa" SÎ# 1b œ 1.1439 rad ¸ 65.541° (1 rad œ 360° Î21¸ 57.296°).-17-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan#Drugače povedano, 1 sr omejuje površino 1 m na površini krogle s polmerom1m. Površina celotne krogle oklepa prostorski kot 41sr.Izpeljana fiziološka enota za svetilnost, ali moč svetlobnega toka, je lumen[lm]. En lumen predstavlja svetlobni tok točkastega monokromatskega vira zintenziteto 1 cd znotraj prostorskega kota 1 sr; [lm] œ [cd † sr]. Obratno, vir imainteziteto 1 cd če osvetli površino s svetlobnim tokom 1 lmÎsr.Izpeljana fiziološka enota za osvetljenost je lux [lx]. En lux predstavlja#osvetiljenost površine 1 m na površini krogle s polmerom 1 m, ki jo osvetljuje vcentru korgle nahajajoči se točkasti monokromatski vir, katerega svetilnost je 1 lm;torej je [lx] œ [lmÎ m # ]. Če svetloba pada na površino pod kotom ) glede na normalo,bo osvetljenost zmanjšana sorazmerno kosinusu vpadnega kota: 3' œ 3 s cos).-18-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan3. Polprevodniške fotodiode: zgradba in lasnostiZgradba fotodiode je podana na Sl.3.1. Poznavanje zgradbe fotodiode inrazumevanje procesa foto-ionizacije, zlasti v osiromašeni plasti polprevodnika, jekjučnega pomena za uporabi prilagojeno načrtovanje optičnega merilnega sistema.Difuzijska plast P+Oksidna pasivizacijska plastOksidna difuzijska maskaOsiromašena plastSilicijeva N osnovaSpodnja N+ difuzijaMetalizacijaKovinsko ohišje(katoda)KatodaSvetlobai PKatodai PAnodaSl.3.1: Zgradba (presek) tipične silicijeve fotodiodeVrhna kontaktna površinaiPVez ('Bond')AnodaIzolacijaOsiromašena plast (ang., ‘depleted region’) je področje v katerem jekoncentracija prostih nabojev močno zmanjšana (v primerjavi z osnovno plastjopolprevodnika), zato v tem področju svetlobno sevanje ionizira polprevodnik inustvari pare elektron–vrzel, ki nato potujejo proti elektrodi z nasprotnim potencijalom.Debelina osiromašene plasti se spreminja z napetostjo: brez napetosti je ta plastomejena na tenko območje ob P-N spoju, z večanjem zaporne napetosti pa sepoglablja in širi v silicijevo N osnovo. Pri zadosti visoki zaporni napetosti seosiromašena plast poglobi vse do N+ difuzijske plasti. Takrat pravimo da je diodapopolnoma osiromašena. Neosiromašena plast je delno prevodna, zato je praktičnoceloten padec napetosti prisoten na osiromašeni plasti.Sevanje, naj si bo to v obliki elektromagnetnega valovanja, ali hitrihvisokoenergijskih subatomskih delcev, vpliva na polprevodniški materijal na večrazličnih načinov; s stališča fotodiodnih ojačevalnikov nekateri od teh vplivov nisotoliko zanimivi, zato se z njimi ne bomo podrobneje ukvarjali (med temi vplivi so,denimo, poškodbe v kristalni strukturi polprevodnika obsevanega z veliko gostototežkih delcev, kot so nevtroni protoni, ali alfa-delci, pojavi elektromigracije dopantovv polprevodniku, in še nekateri podobni pojavi). Zanima nas predvsem kako sepolprevodnik odziva na elektromagnetno sevanje v spektralnem območju odinfrardečega sevanja do žarkov #.Sevanju izpostavljena polprevodniška snov sprošča elektrone v sorazmerniodvisnosti od valovne dolžine, gostote, ter časa obsevanja. Za posamični energijskikvant [ r obstaja verjetnost ( q (kvantni izkoristek snovi) da bo sprostil en parelektron–vrzel le, če je njegova energija večja od energije prepovedanega pasu [ g . Vsiliciju je [ œ "Þ" eV, kar ustreza fotonu z valovno dolžino œ ""#' nm, kot sledig -( qiz enačb (1.5) in (1.7). Verjetnost v siliciju je okoli 80% in predstavlja razmerjemed povprečnim številom fotonov, ki tvorijo par elektron–vrzel, in številom vpadnihfotonov. Preostali fotoni bodisi predirajo skozi snov brez interakcije, bodisi-19-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganinteragirajo s prostimi elektroni ali atomi kristalne strukture snovi, ter povečajonjihovo notranjo energijo (ki se odraža v višji povprečni temperaturi snovi).Pri višjih energijah v siliciju prevladujejo reakcije neelastičnih trkov zelektroni in elastični trki z atomi kristalne strukture. V prvem primeru elektroniabsorbirajo zadostno energijo (1.1 eV) za prehod iz valenčnega pasu v prevodnienergijski pas. Vsak tako pospešen elektron pusti za seboj vrzel, a gre za začasenpojav, ki traja do ponovne rekombinacije nabojev; temu času pravimo povprečnaživljenska doba manjšinskih nosilcev naboja, 7 q , ki v siliciju (brez od zunajpritisnjene napetosti) znaša okoli 2–3 µs. Po tem času elektron spet ‘pade’ v kakodrugo vrzel, in vrzel zasede kak drug elektron, ki pride iz prevodnega pasu. Ob temelektroni oddajo odvečno energijo v obliki novih fotonov, katerih frekvenca (torej tudienergija) je ustrezno nižja od prvotnega fotona, ki je povzročil nastanek paraelektron–vrzel.Če je [ r [ g, lahko pride do sekundarnih ionizirnih učinkov, ko pospešenielektron pridobi dovolj energije da odrine še kakšnega. Pri [ r "& eV je že dovoljenergije da reakcije v kristalni mreži izvržejo nek silicijev atom iz svoje ravnovesnelege in s tem trajno poškoduje kristal. Prisotnost takih poškodb vpliva na skrajšanježivljenske dobe manjšinskih nosilcev naboja na ~0.1 µs, ali manj, v odvisnosti odupornosti silicija in gostote fotonov. Vendar kljub poškodbam kristal lahko še naprejdeluje kot detektor, ker življenska doba nosilcev nima večjega pomena, ker ne vplivana tvorbo parov, zlasti ko je kristal pod zaporno noapetostjo.Svetloba, z energijo fotonov med 1.1 eV in 4 eV (torej z valovno dolžino med1100 in 300 nm), se v siliciju absorbira in večina absorbirane energije se porabi zatvorbo parov elektron–vrzel. Ob neprekinjenem obsevanju se naboj nabira na N,oziroma P plasti, in ustvari električni potencijal. Temu pravimo foto-napetostni načindelovanja. Če je intenziteta svetlobe zadosti velika da potencijal zraste nad vrednostjopotencijalne barijere P-N spoja, se začnejo naboji rekombinirati bistveno hitreje, karpovzroči notranji tok v diodi. Ta pojav je razlog za nelinearnost napetosti v odvisnostiod svetlobe v foto-napetostnem načinu delovanja. Če bi fotodiodo priključili naampermeter, ter tako omogočili rekombinacijo nabojev po zunanjem tokorogu, bivideli da teče foto-tok zmeraj v zaporni smeri diode.Za fotone z valovno dolžino daljšo od 1100 nm je silicij prozoren in svetlobane generira naboja, med tem ko fotone z valovno dolžino manjšo od 300 nm absorbiraže vrhna, ~100 nm debela plast, pa še stekleni pokrov ohišja fotodiode v UV območjuni prozoren.S svetlobo ustvarjeni naboj se mora prebiti na površje da ga zajame elektroda.Vendar je električno polje kot posledica ustvarjenega naboja majhno, zato elektronipridobijo razmeroma nizke hitrosti. Zaradi tega narašča tok počasi in odzivni čas naspremembo osvetlitve je dolg. Poleg tega, če elektron potuje dalj časa skozi plast, bovečja verjetnost da se nekje vmes rekombinira (zasede vrzel, ki jo je zapustil drugelektron), kar poslabša linearnost.Zvišanje zaporne napetosti poglobi osiromašeno plast, ter poveča električnopolje, le-to pa grnerirani naboj pospeši do višje hitrosti. Temu pravimo foto-prevodnodelovanje. Za hitrejši elektron je verjetnost da se ponovno ujame v kakšno vrzelmanjša, zato bo povprečna prosta pot elektronov daljša in prehod osiromašene plastibo hitrejši. Zato tudi tok hitreje sledi spremembi osvetljenosti.-20-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDokler je zaporna napetost razmeroma nizka, denimo 5 V, le naboj ustvarjen vosiromašeni plast pride do elektrod hitro, med tem ko naboj ustvarjen v neosiromašeniN osnovi ob nizkem električnem polju v tem delu silicija potrebuje ustrezno več časada pride v osiromašeno plast, kjer bo bolj pospešen. Zaradi tega ima tokovni odzivdve komponenti, hitrejšo, a z manjšo amplitudo, in počasnejšo, s katero zraste dokončne vrednosti odziva. Ob zadosti visoki zaporni napetosti, denimo 25V, je diodaže popolnoma osiromašena, in odziv bo hiter, kot ponazarja Sl.3.2. Povečanje zapornenapetosti nad vrednostjo potrebno za popolno osiromašenje le malenkostno pohitriodziv, vse dokler napetost ne povečamo do vrednosto pri kateri pride do plazovitegapreboja (‘avalanche’), ko vsak elektron ustvari zaradi svoje velike hitrosti še noveelektrone. Če napetost povečamo še bolj, pride do plazovitega preboja že zaradijakosti električnega polja samega, tudi brez osvetlitve.i P25V5VV r =0VSvetlobni pulzSl.3.2: Pulzni odziv v odvisnosti od zaporne napetosti. Brez napetosti je odziv počasen, in imadolg relaksacijski čas po koncu svetlobnega pulza. Pri nizki zaporni napetosti je fotodioda ledelno osiromašena in tok narašča hitro v osiromašeni plasti, nato pa počasi v prevodni plasti.Popolnoma osiromašena fotodioda ima hiter odziv tako pri naraščanju, kot pri pojemanju toka.Probleme natančnosti, linearnosti in hitrosti odziva bomo podrobnejeobravnavali ob analizi fotodiodnih ojačevalnikov. Najprej pa si oglejmo definicijepomembnejših fotodiodnih parametrov.1) Spektralni odziv fotodiode, Wa-bVsaka fotodioda ima svoj karakteristični spektralni odziv. Spektralni odziv jeodvisnost jakosti električnega toka fotodiode od valovne dolžine vpadnesvetlobe (oziroma fotonske frekvence, -Î/). Relativni spektralni odziv jeponavadi podan normirano na tisto jakost toka, ki pri določeni fotonskivalovni dolžini - m ima maksimalno vrednost; večinoma je podan v grafičniobliki (kot na Sl.1.2). Absolutni spektralni odziv dobimo če grafične vrednostipomnožimo z občutljivostjo fotodiode.t2) Občutljivost fotodiode, W maxObčutljivost fotodiode je razmerje med električnim tokom fotodiodemočjo vpadnega sevanja T, ki ta tok generira, izraženo v [AÎW]:M PinWmaxœ M Pº (3.1)T.Wa-blim š › œ!-Ä-mObčutljivost definiramo pri taki valovni dolžini - , kjer je Wa-b največja..-mm-21-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan3) Kvantni izkoristek, ( qKvantni izkoristek je razmerje med številom s svetlobo ustvarjenih elektronovali vrzeli in številom vpadnih fotonov, ( q œRÎR e # . Ponavadi se izraža privalovni dolžini -mpri kateri je Wa-mbnajvečji, običajno v odstotkih [%]; prisilicijevih fotodiodah v povprečju lahko računamo s ( q ¸)! %. Sicer pakvantni izkoristek narašča z višanjem frekvence svetlobe (oziroma krajšanjemvalovne dolžine). Približno velja:-eV†W a-mb( qa-bœ ‚ "!! [%] (3.2)-kjer je - eV œ "#%! nm, valovna dolžina fotona z energijo 1 eV (v vacuumu).Kvantni izkoristek izkazuje zapleteno temperaturno odvisnost: pri daljšihvalovnih dolžinah s temperaturo narašča, pri krajših valovnih dolžinah pa se spovečanjem temperature zmanjšuje.4) Vdorna globina, . P , refleksija in absorpcija svetlobeSvetloba, ki pada na površino snovi se delno reflektira, delno pa absorbira vsnovi. Reflektirani del svetlobe izrazimo kot:3 a-bœ+ a-b3(3.3)+ !kjer je 3 ! gostota vpadnega svetlobnega toka, + pa je odbojnost (‘albedo’); taje odvisna od barve površine in njene hrapavosti, ter od valovne dolžine.Večina fotodiod pri navpičnem vpadnem kotu ima neznaten albedo, z vpadnimkotom pa se ta poveča predvsem zaradi prozornega pokrova ohišja in tenkesteklene pasivizacijske plasti na površini polprevodnika. Preostali del svetlobec"+ a-bd3 ! se v snovi absorbira. Pri absorpciji (Beerov zakon, August Beer,1825–1863) gostota svetlobnega toka 3 z globino eksponencijano pojema:! .- a b.P3a. P, -b œ c"+a-bd3e (3.4)"kjer je .- a b [m ] od vrste snovi ter njene gostote odvisen absorpcijskikoeficijent (oziroma absorpcijski spekter), . P pa je vdorna globina ine œ 2.71828 á je Eulerjevo ‘naravno’ število ( Leonhard Euler, 1707–1783).10240035010 1 0−10ηqd P [mm]d1P1010−2300250200ηq[%]10−3−41011001501001000 900 800 700 600 500 400 300λ [nm]Sl.3.3: Tipične odvisnosti vdorne globine . P in kvantnega izkoristka ( q od valovnedolžine. Spektralna občutljivost W a-bje zmnožek funkcijskih odvisnosti . a- bin ( a-b.Pq-22-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPri določeni valovni dolžini - plast snovi z debelino:. œ "Pa"Î eb(3.5).- a boslabi vpadni svetlobni tok na vrednost 1Îe. Tako absorpcijo ima 20 cm debelasteklena plošča pri valovni dolžini 430 nm. Pri valovnih dolžinah, ki soprimerljive z razdaljo med atomi polprevodnika, znaša vdorna globina nekajvalovnih dolžin, pri večjih valovnih dolžinah pa le del valovne dolžine.5) Kratkostični tok, M in odprtozančna napetost, ZscKratkostični tok je s svetlobo pvzročen električni tok, ki ga fotodioda odda vbreme z upornostjo VLœ !. Ta tok je približno sorazmeren površini fotodiode(pri enaki inteziteti svetlobe). Ta podatek včasih imenujemo ‘občutljivost zabelo svetlobo’, merimo ga pa pri osvetlitvi z žarnico z žarno nitko izwolframa, segreto na enakovredno barvno temperaturo sevanja Xœ2856 K.Odprtozančna napetost je napetost, ki jo ustvari fotodioda pri enakihosvetlitvenih pogojih, če je obremenjena z VLœ _ (v praksi zadošča če imanapetostni merilnik vhodno upornost vsaj 10 M H). Vrednost te napetosti je zaposamično fotodiodo konstanta in ni odvisna od njene površine.6) Temni tok, M , efektivna vzporedna upornost, V , in šumdTemni tok teče skozi popolnoma zatemnjeno fotodiodo, ob prisotnosti zapornenapetosti Z r . Ta tok je poglavitni vir šuma. Če pa zaporne napetosti ni, ali pa jezelo majhna, je poglavitni vir šuma efektivna vzporedna upornost, ki jodoločimo z meritvijo temnega toka pri majhni zaporni napetosti Zrœ "! mV:Vshœ Z Mrdocsh[ H] (3.6)Šum je takrat primerljiv termičnemu šumu navadnega upora enake vrednosti,efektivno napetost šuma pa izračunamo iz termodinamičnih zakonitosti( Walter H. Schottky, 1886–1976, John B. Johnson, 1887–1970), HarryNyquist, 1889 – 1976) po relaciji:/ œ ÈN %5BX Vsh? 0 [V] (3.7)#$kjer je 5Bœ 1.3806505×10 JÎK vrednost Boltzmannove konstante ( LudwigEduard Boltzmann, 1844–1906), X je absolutna temperatura v kelvinih [K],?0 pa je frekvenčni pas znotraj katerega želimo šumno napetost ovrednotiti.Pri zapornih napetostih Z r 1 V poleg Johnsonovega (termičnega) šuma (3.7)nastopajo še druge komponente šuma: nizkofrekvenčni ‘"Î0’ šum (ang.,‘flicker noise’), Schottkyjev (‘popcorn’ ali ‘shot’) šum, visokofrekvenčni(‘excess’) šum. Za tok Schottkyjevega šuma (ki ga včasih imenujejo poznačilnem pokanju kot pri pokovkah ali poku šibrovke) velja:3 œ È #; M ? 0 [A] (3.8)se dTemni tok, oziroma efektivna vzporedna upornost, ter seveda šum, omejujetanatančnost meritev pri zelo nizkih osvetlitvah.-23-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan7) Kapacitivnost P-N spoja, G jVsak P-N spoj s svojimi elektrodami in koncentracijo naboja v polprevodnikuoblikuje ploščatemu kondenzatorju podobno geometrijsko strukturo, ki se kažekot parazitna spojna kapacitivnost G j (‘junction’) na priključkih diode. Polegelektrod, ki tvorijo kapacitivnost v običajnem pomenu, znotraj polprevodnikapri dopiranju nastajajo ‘žepi’ neenakomerne koncentracije dopantov, znotrajkaterih se generirani naboj lahko ujame za nekaj časa in s tem lokalnospremeni lasnosti polprevodnika. Ta efektivna kapacitivnost povzroča večrazličnih nezaželjenih učinkov in je eden poglavitnih parametrov, ki jih jetreba upoštevati pri načrtovanju fotodiodnih ojačevalnikov (ogrozi lahkonjegovo stabilnost, enakomernost frekvenčnega odziva, poveča šum in znižazgornjo frekvenčno mejo sistema; te probleme bomo bolj podrobnoobravnavali v naslednjem poglavju). Čeprav je razmeroma majhna (od nekajpF do nekaj 100 pF, odvisno od površine fotodiode), G j upočasni električniodziv (hitrost naraščanja toka) , ker se s svetlobo ustvarjen naboj najprej tamkopiči. Druga nerodna lasnost je da je G j največja kadar na diodi ni zapornenapetosti, z večanjem le te pa se zmanjšuje po relaciji:GÐZÑœjrGj!Œ" Z Zrj7c[F] ( 3.9)Tukaj je Gj!vrednost Gj brez zaporne napetosti ( Zr œ !), Zjje efektivnipotencijal P-N bariere, ki znaša pri silicijevih fotodiodah ~1.12 V,eksponenčni koeficijent 7 c pa je določen z obliko barijere, in znaša od "Î# zastrme P-N prehode do "Î$ za bolj položne prehode (pri katerih sekoncentracija dopantov spreminja v širšem pasu). Vrednost G j merimo vfaradih, [F] œ [AsÎV] ( Michael Faraday, 1791–1867).1210C PD08C PD[pF]64200 5 10 15 20 25V r [V]Sl.3.4: Kapacitivnost v odvisnosti od zaporne napetostiPri fotodiodah z zelo majhno vrednostjo G j je treba biti pozoren tudi narazsejane kapacitivnosti kontaktov proti ohišju in med povezavami natiskanem vezju, ter vhodno kapacitivnost samega ojačevalnika, ki so lahko vsepodobnega velikostnega reda (0.5–2 pF).-24-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan8) Zgornja mejna frekvenca, 0 hZgornja mejna frekvenca je tista frekvenca modulacije svetlobne intenzitete prikateri pade izhodna električna moč na "Î# moči, izmerjene pri neki nižjifrekvenci, denimo 1 kHz. Ker je moč sorazmerna s kvadratom toka ( TºM # )je 0hfrekvenca pri kateri pade tok na È# Î# ( 3 dB) vrednosti izmerjene prinizki frekvenci. Na zgornjo frekvenčno mejo vpliva mobilnost nosilcevnaboja, ki je odvisna od efektivne proste poti naboja v polprevodniku inkoncentracije dopantov. Vendar ima dominanten vpliv spojna kapacitivnost G jskupaj z upornostjo bremena V L :0 œh"# GjV[Hz] ( 3.101)LMeritev opravimo z uporabo hitre laserske diode (- œ 830 nm), ki joelektrično moduliramo s sinusnim valovanjem, ter njeno svetlobo usmerimona fotodiodo, ki je priključena na standardno breme V œ &! H.9) Vzponski čas, > rVzponski čas je parameter, ki je pomemben pri zaznavi impulzne modulacije,ko se intenziteta vpadne svetlobe skokoma spremeni. Vzponski čas jedefiniran kot časovna razlika, ki je potrebna da se izhodni tok spremeni od10% do 90% končne vrednosti:> r œ a> *!% > "!%b [s] ( 3.11)Pogoj pa je da se intenziteta vpadne svetlobe spremeni vsaj 10× hitreje.Meritev opravimo podobno kot za zgornjo mejno frekvenco, z lasersko diodo,ki jo električno moduliramo z daljšimi pravokotnimi pulzi, in s fotodiodopriključeno na upornost bremena VLœ &! H. Ker ima tak sistem le en pol vprenosni funkciji, pričakujemo odziv oblike:>abœ3> a bŒ" 5 eGV j L( 3.12)kjer je > 5 dolžina modulacijskih pulzov, 3 a>5bpa je končna vrednost izhodnegatoka fotodiode, obenem pa mora biti > 5 &GjVL. Če v izraz (3.12) vstavimo3> a " b œ!Þ"3> a 5 b in 3> a # b œ!Þ*3> a 5b, matematično zelo preprosto pokažemoda je v tem primeru vzponski čas enak:> r œ #Þ# GjVL ( 3.13)Produkt 7 œGV j L imenujemo karakteristična časovna konstanta sistema. Zasisteme z enim samim polom, a tudi za večpolne, če so poli razporejeni kot priBesselovih ( Friedrich Wilhelm Bessel, 1784–1846) polinomih, je medvzponskim časom in zgornjo frekvenčno mejo preprosta povezava, ki jopogosto srečamo v literaturi:L> r † 0h ¸ !Þ$&( 3.14)Pri nekaterih fotodiodah sta vzponski in vpadni čas lahko različna, predvsemzaradi določenih nelinearnih učinkov ko se napetost na fotodiodi spreminja zosvetlitvijo; te učinke večinoma lahko precej zmanjšamo z višanjem zaporne-25-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margannapetosti in zmanjšanjem upornosti bremena, oziroma z uporabo tokovno–napetostnega pretvornika.Večinoma pri fotodiodah z veliko površino vpliva na > r, oziroma 0h, predvsemkapacitivnost fotodiode GDin zunanja impedanca bremena VL. Vendar imajomnogi sodobni ojačevalniki tako visoko lastno zgornjo mejno frekvenco, da jenjihova efektivna vhodna impedanca (v tokovno–napetostni vezavi je toimpedanca bremena fotodiode) 0.1 H , ali manj. Ob definicijah za > r in 0hbipotem utegnili pomisliti, da se v tem primeru > r zniža (in 0hzviša) soramernozmanjšanju V L , pa ni tako. Dejansko je vzponski čas foto-toka omejen zmobilnostjo elektronov in vrzeli v osiromašeni plast, ter z efektivno debelinote plasti in zaporno napetostjo.Drugače pa je pri fotodiodah z majhno površino. Če za primer vzamemo#fotodiodo SFH203, katere aktivna površina je Eœ" mm , in kapacitivnostPN-spoja GD!œ "" pF (brez zaporne napetosti), ter vzponski čas > r œ & ns, biob bremenu V L= &! H po definicijah za > r in 0hnapačno pričakovali vrednosti#Þ#GDVL œ "Þ# ns, oziroma "Î# 1GDVLœ #)* MHz. V resnici pa dominira> r œ & ns (posledično 0h¸ (! MHz).Kljub temu je tudi pri fotodiodah z majhno površino zaželjeno, da jeobremenjena s kar se da nizko efektivno impedanco, predvsem zaradilinearnosti in stabilnosti sistema. Delno pa je razlog tudi hitrejši odziv sistema,ker vsaka še tako majhna kapacitivnost, če jo moramo polniti in prazniti zomejeno velikostjo toka, upočasni sistem neposedno, pa tudi posredno prekpotrebne večje kompenzacijske kapacitivnosti v povratni zanki.10) Šumu enakovredna moč, T NŠumu enakovredna moč (angl., ‘noise equivalent power’, NEP), je tista močvpadne svetlobe, ki bi povzročila enako izhodno napetost kot je efektivna(‘rms’) amplituda šuma fotodiode. Drugače povedano, je to svetlobna jakost,ki je potrebna da dobimo razmerje signal Î(signal+šum) œ "Î#. T N se običajnopodaja pri valovni dolžini - m , pri kateri je spektralni odziv maksimalen. Gledena to da je šum sorazmeren korenu iz širine frekvenčnega pasu, È?0 , glejenačbo (3.7), izkazujemo v normiranem frekvenčnem pasu 1 Hz:T NT Î œ 3 ÎN [W ] N [A ÈHz]ÈHzW [AÎW]( 3.15a-b)K celotnemu šumu, ki ga moramo upoštevati, prispeva svoj delež tudi termičnišum upornosti bremena, vhodni šum ojačevalnika, ter pasovna širina prenosnefunkcije sistema. Celotni šum je enak korenu iz vsote kvadratov posamičnihšumnih komponent, ob predpostavki da procesi generiranja šuma niso medseboj korelirani.11) Največja dovoljena zaporna napetost, Z rmaxKot smo že pojasnili na začetku, zaporna napetost je pri fotodiodah pogostozaželjena, ker izboljša hitrost odziva in linearnost. Vendar vsakapolprevodniška dioda nad maksimalno zaporno napetostjo začne močnoprevajati tok, ter sproži izredno povečanje toplote v P-N spoju, zaradi katere seta lahko trajno poškoduje, ali celo uniči. Proizvajalci merijo to napetost takom-26-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganda omejijo tok enosmernega izvora na 1 µA in počasi dvigujejo napetostdokler ne dosežejo praga. Nato največjo dovoljeno napetost določijo nanekoliko nižjo vrednost (5–10%). Toda zaradi proizvodnih toleranc ne smemotrajno prekoračiti največje dovoljene zaporne napetosti (razen če tok skozifotodiodo omejimo z veliko upornostjo; to izkoriščamo v posebnem načinudelovanja, ko kratek svetlobni pulz povzroči plazovit preboj [‘avalanche’]).Tako kot pri vseh polporevodnikih, tudi pri fotodiodi večina naštetihparametrov kaže močno temperaturno odvisnost, nekateri pa tudi medsebojnosoodvisnost, zaradi česar je vsak posamezni tip fotodiode rezultat določenihkompromisov optimizacije enega sklopa parametrov na račun drugih. Zato je tudiizbor posamezne fotodiode pogosto odvisen od vrste meritve, ki jo želimo opraviti.Prav tako je električno povezavo med fotodiodo in elektronskim ojačevalnikom nujnooptimizirati glede na zahtevano natančnost, hitrost odziva, ter namen meritve.Poznamo tudi PIN fotodiode, ki, za razliko od običajnih PN fotodiod,vsebujejo še eno, razmeroma debelo I-plast (‘intrinsic’, osnovno, nedopirano plast) vmes med N in P dopiranima plastema. Zaradi I-plasti imajo PIN fotodiodenekatere pomembne prednosti, predvsem večjo občutljivost, ki narašča sorazmernodebelini I-plasti, večjo hitrost odziva, manjšo parazitno kapacitivnost, večjo uoprnostv zaporni smeri, večjo prebojno napetost, itd. Poleg tega njihova uporaba ni omejenana nizke temperature, delujejo lahko v širokem območju od && °C do "&! °C, pa šeproizvodne tolerance posameznih parametrov so manjše prav zaradi razmeromadebele I-plast.Silicijeve PIN diode so uporabne ne le kot detektorji svetlobe, pač pa tudi kotdetektorji sevanja #, ter sevanja v obliki hitrih visokoenergijskih delcev (elektroni,protoni, nevtroni, delci !, različni mezoni). V te namene so bili prvič uporabljene žeokoli leta 1965. PIN diode detektirajo sevanje in generirajo večino foto-toka medčasom, ko se sevalni impulz absorbira predvsem v I-plasti.Polprevodniške fotodiode so lahko izdelane iz različnih osnovnih materijalov,ki jim dodamo ustrezne primesi (dopante) in s tem ustvarimo PN ali PIN spoj.Debelino posameznih plasti in koncentracijo primesi določamo glede na željenikvantni izkoristek, občutljivost, karakteristično valovno dolžino in spektralno širino.Večinoma je kot osnova uporabljen silicij (Si), ki je element IV skupine periodnegasistema. Kot primesi so pretežno uporabljeni elementi iz III in V skupine, kot so galij(Ga), indij (In), aluminij (Al), fosfor (P) in arsen (As). Lahko pa tudi kombinacijaelementov III in V skupine tvori že sama osnovni materijal, denimo GaAs, GaP,GaInP, GaAlAs, itd. Za UV področje ponavadi uporabljamo silicijev karbid, SiC, alilutecijev silikat, LuSi.-27-


Fotodiodni ojačevalnikE.Margan4. Polprevodniške fotodiode v elektronikiOb zajetju fotona (svetlobnega kvanta), katerega energija je večja od 1.1 eV,nastane v fotodiodi par elektron–vrzel, ali pa ne. Razmerje med številom generiranihelektronov in številom vpadnih fotonov imenujemo kvantni izkoristek, ( q , ki jeponavadi 80–90%. Kvantni izkoristek sicer narašča s frekvenco fotonov, oziromanjihovo energijo, toda vdorna globina fotonov se s frekvenco manjša. Fotoni vidnesvetlobe imajo energijo v območju 1.4–2.8 eV. En elektron-volt [eV] je energija, ki jopridobi elektron, če ga pospešimo v polju z napetostno razliko ?Z œ 1 V; po enačbi"*(7) ustreza enemu elektron-voltu energija [ " œ 1.602×10 J, ker je naboj elektrona"*; e œ 1.602×10 As. Verjetnost da bo foton ustvaril par elektron–vrzel v kristalupolprevodnika je odvisna od interakcijskega preseka na kvantnomehanski ravni,oziroma od vezalne energije elektronov v zunanjih lupinah atomov, ki tvorijopolprevodniško kristalno mrežo. Foton # nosi energijo [ # , ki je določena z njegovofrekvenco, po relaciji [# œ 2/ œ 2-Î-, kjer je 2 Planckova konstanta (glej"&Tabelo 1), / pa je frekvenca fotona, ki za vidno svetlobo znaša okoli 10 Hz.S svetlobo ustvarjeni naboj potrebuje določen čas da prepotuje debelinopolprevodnika in prispe na elektrode. S tem časom pa je povezana najvišja odzivnafrekvenca električnega toka, 0, ki še sledi modulaciji svetlobe (če se intenziteta,oziroma število fotonov, periodično spreminja). Mejna frekvenca 0 h , ko efektivni tokpade na polovico nominalne vrednosti, se pri večini silicijevih fotodiod nahaja vobmočju med ~100 kHz in ~10 GHz; posebne izvedbe fotodiod sledijo svetlobnimodulaciji tudi nad 100 GHz. Da se izognemo zmedi, fotonsko frekvenco označujemoz /, modulacijsko frekvenco pa s 0.Energija fotonov s frekvenco narašča, toda vdorna globina fotonov v snov se sfrekvenco hitro zmanjšuje, zato izkoristek doseže pri neki frekvenci maksimum in znadaljnjim višanjem frekvence pada. V UV območju zmanjševanju izkoristka dodatnoprispeva še stekleno ali plastično ohišje fotodiode. Potek izkoristka je izražen sspektralno funkcijo Wa-b, ki pri silicijevih fotodiodah ima maksimum v rdečem(- œ 635–780 nm) ali IR območju (780–1200 nm). Spektralna funkcija je ponavadinormirana na vrednost maksimuma, zato je izraz za svetlobno-tokovno pretvorbopodan kot produkt maksimalne občutljivosti, spektralne odvisnosti in vpadnesvetlobne moči na aktivno površino:M œ W a- b†W a- b†T(4.1)P max Pkjer je Wa-b brez dimenzij, foto-tokovno občutljivost Wa- max b pa večinoma izrazimov amperih na watt [AÎW], svetlobno moč TPpa v [W]. Včasih pa je Wa-maxbpodanav nanoamperih na lux [nAÎlx], takrat pač moramo ta faktor ustrezno preračunatiupoštevajoč aktivno površino fotodiode. Kvantni izkoristek ( q je že upoštevan vWa- max b.Poleg kvantnega izkoristka, občutljivosti in valovne dolžine je pri fotodiodahpomembna še vrsta drugih parametrov: napetost med valenčnima energijskimapasovoma, največja dovoljena zaporna napetost, temni tok, tok nasičenja,kapacitivnost, ter foto-aktivna površina. Večina teh parametrov kaže določenesoodvisnosti in tudi temperaturne odvisnosti, zaradi česar je nujno izbrati posameznitip fotodiode, ki najbolj ustreza zahtevani natančnosti in vrsti meritve. Nekaterenajbolj pomembne parametre ene tipične fotodiode smo zbrali v Tabeli 3.-29-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganTabela 3: Tipične vrednosti pomembnejših parametrov fotodiode SFH203PParametriSimboli Vrednosti Merske enoteNajvišja zaporna napetost Z rmax 50 VValovna dolžina največje občutljivosti - m 850 nmObčutljivost( Zrœ & V, standardna luč A, X œ 2856 K)W 9.5 nAÎlxTokovna občutljivost( Zrœ & V, - œ 850 nm, TPœ 1 mWÎcm #)Ms6.2 µANajvečja spektralna občutljivost( Zrœ & V, - œ 850 nm)Wa-mb0.62 AÎWSpektralno območje (10% Wmax) - 400–1100 nmKvantni izkoristek ( 0.89 RÎRFoto-občutljiva površina E 1 mmTemni tok ( Zrœ 20 V) Mrd1 nAVzponski in vpadni čas foto-toka ( VLœ &! H,Zrœ #! V, - œ )&! nm, MPœ )!! µA)> r, > f 5 nsKapaciteta( Zrœ ! V, 0 œ " MHz, TPœ !)GP11 pFŠumu enakovredna močTN"%W2.9×10( Zrœ #! V, - œ )&! nm) (NEP)ÈHzSpodnja meja detekcije cm È"#HzH 3.5×10( Zrœ #! V, - œ )&! nm) WVidni kot ( WœW Î# ) „ 75 °max :qe##Poenostavljen električni model fotodiode kaže Sl.4.1. Tokovni generatormodelira svetlobno–tokovno pretvorbo. Temni tok 3 d in efektivna vzporedna upornostVP, ter šumni tok 3N določajo spodnjo mejo foto-občutljivosti. GD, skupaj z upori VP,VS in VL, določa hitrost odziva. VP in VSdoločata zgornjo mejo detekcije (zaradidisipacije moči).3 Pi P i d i N C D R pR sR LSl.4.1: Električni model fotodiode: 3Pje od svetlobe odvisen tok, 3dje od zapornenapetosti odvisen temni tok, 3N je šumni tok, GD je kapacitivnost P-N spoja, VPjevzporedna upornost fotodiode, VSje zaporedna upornost fotodiode, VLpa je upornostzunanjega bremena. Vrednost posameznih parametrov je močno odvisna od napetosti nafotodiodi, od fotonske frekvence svetlobe, ter seveda tudi od temperature.-30-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganRazmerje VÎV P L in izbira zaporne napetosti dopuščata štiri možne načinedelovanja, Sl.4.2 in Sl.4.3. Foto-napetostni način a ob veliki upornosti bremena inbrez zaporne napetosti uporabljamo le za najbolj nezahtevno detekcijo svetlobe.Načeloma bi lahko fotodiodo uporabili kot samostojni element, Sl.4.2a, ki obosvetlitvi generira napetost (foto-napetostni način delovanja, z visoko upornostjobremena), to napetost pa bi lahko neposredno merili z volt-metrom, ali pa ojačili zustreznim ojačevalnikom. Žal se izkaže da tako zaznana napetost ni linearno odvisnaod osvetlitve (odvisnost je približno logaritmična).Z uporabo zaporne napetosti ob nizki upornosti bremena, Sl.4.2c, se temtežavam delno izognemo, vendar na račun občutljivosti. Zato se v večini primerov rajeodločimo za delovanje v foto-tokovnem načinu, kjer z invertirajočim ojačevalnikomustvarimo zelo nizko efektivno upornostjo bremena, Sl.4.2 b,d. Tok fotodiode paojačevalnik pretvori v napetost prek napetostnega padca na uporu povratne zanke .V FI PPDR LVo=R L I PP Pa bR FII PPPDR L VPDo = I P R LA( s)P P V r V rP PI PP PPD AR F( s)Vo= − I P R FVo= − I P R FcdSl.4.3: Štirje načini delovanja fotodiode: a)foto-napetostno delovanje, brez zapornenapetosti ( Zrœ !) in z upornostjo bremena mnogo večjo od efektivne vzporedne upornostifotodiode ( V L ¦ VP), pri čemur je napetost na fotodiodi enaka padcu napetosti nabremenu, Zo œ MPVL, in efektivna upornost fotodiode VP œ .ZoÎ.MP; b) foto-tokovnodelovanje, brez zaporne napetosti ( Zr œ !) in z nizko upornostjo bremena ( V L ¥ VP), pričemur je efektivna upornost bremena enaka upornosti povratne zanke ulompleno zojačenjem odprte zanke ojačevalnika, VL œ VFÎE ab = ; c) foto-prevodnostno delovanje, zzaporno napetostjo večjo od napetosti potencijalne barijere P-N spoja ( Zr Zj) in z visokoupornostjo bremena ( V L ¦ VP); d) foto-prevodnostno delovanje, z zaporno napetostjo( Z Z) in nizko upornostjo bremena ( V œ !).r j LSl.4.3 prikazuje potek toka v odvisnosti od zaporne napetosti Z r na fotodiodiin moči svetlobnega toka T P , ki pada na aktivno površino fotodiode. V območju ko nizaporne napetosti se fotodioda polarizira v prevodni smeri z napetostjo Z F , ki jeposledica generiranega naboja. Kot je razvidno iz grafa, ne napetost ne tok nistalinearni funkciji osvetlitve. Šele ko zaporna napetost preseže potencijalno barijeroP-N spoja Z j postane tok fotodiode linearno odvisen od osvetlitve in ostaja linearenvse dokler ne doseže zaporna napetost vrednost Z max pri kateri je fotodioda žepopolnoma osiromašena. Nadaljnje povečanje zaporne napetosti povzroči dodatno-31-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margannelinearnost. Pri prebojni napetosti Z B pa se tok elektronov plazovito poveča(napetostno polje pospeši elektrone do tako visokih energij da ti lahko izbijejo nasvoji poti skozi kristal nove elektrone in zaradi velike gostote toka pride do poškodbekristalne strukture). Pri posebnih izvedbah fotodiod (ang., ‘avalanche’) pa ta učineklahko izkoristimo za povečanje občutljivosti, a le če je vpadna svetloba v oblikiporedko ponavljajočih se ozkih pulzov, maksimalni tok fotodiode pa omejen.I PV jZ zaporno napetostjoV r >d R L = 0Brez zaporne napetostiV r = 0bR L > R PaV FR L >> R PP PV jfoto-prevodnodelovanjeV rmaxSl.4.3: Odvisnost foto-toka od zunanje zaporne napetosti Z r in gostote svetlobnegatoka 3. Naklon delovne premice v posameznem načinu delovanja ( a, b, c, d, kiustrezajo vezjem na Sl.4.2) je obratno sorazmeren upornosti bremena.Nakloni premic na Sl.4.3 ponazarjajo (efektivne) upornosti bremena fotodiodev posameznih načinih delovanja, v odvisnosti od zaporne napetosti (oznake a, b, c ind ustrezajo delovnim pogojem na Sl.4.2).V nekaterih primerih, ko želimo meriti osvetlitev v dinamičnem območju večvelikostnih redov, je koristno če uporabimo foto-napetostni način delovanja, kjerizkoriščamo logaritmično odvisnost fotodiodne napetosti od osvetlitve. Vendarpreprosta vezava na Sl.4.2a ni primerna, ker bi potrebovali neskončno upornost V L .Zato si pomagamo z vezavo na Sl.4.4, kjer lahko izkoristimo še možnost ojačenja. Žalje tok nasičenja M s močno odvisen od dopiranja, zato je logaritmična zakonitost oddiode do diode različna. Ta vezava je primerna le za nezahtevne statične meritveÞV BV rR G1R F( )P P=PDV PAsV o( + R F kR G)Bqe T( 1 + I lnPVPIs )Sl.4.4: Foto-napetostni ojačevalnik z logaritmično odvisnostjo napetosti od osvetlitve.-32-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan5. Kalibracija fotodiodnih ojačevalnikovPogosto želimo poznati razmerje med vpadno svetlobo in izhodno napetostjofotodiodnega ojačevalnika kar se da natančno, zato da lahko izmerimo svetilnostnekega svetlobnega vira ali osvetljenost neke površine. Včasih pa nas absolutnanatančnost niti ne zanima, pač pa želimo le relativno določiti zaznano svetlobo.Denimo, pri optičnih komunikacijah, ali pri daljinskih upravljalcih, želimo določitizanesljivo mejo detekcije hitre spremembe svetlobe ob določeni konstantni svetlobimoduliranega svetlobnega vira, ter svetlobi okolice.V obeh primerih moramo najprej določiti območje svetlobne jakosti v kateremnaj fotodiodni ojačevalnik deluje. Spodnja meja občutljivosti je ponavadi odvisna odlastnega termičnega šuma fotodiode, ojačevalnika in pripadajoče enakovredneupornosti v povratni zanki ojačevalnika, pomemben pa je tudi spekter šumnegaojačenja, ki je za večino ojačevalniških topologij različen od signalnega ojačenja innanj najbolj vpliva velikost parazitne kapacitivnosti fotodiode in razsejanihkapacitivnosti vezja. Zgornjo mejo občutljivosti pa lahko določimo sami, sevedaupoštevajoč električne zmogljivosti in omejitve fotodiode in ojačevalnika. Temproblemom se bomo podrobneje posvetili v nadaljevanju, pri obravnavi posameznihojačevalniških topologij.V primeru da zahtevamo neko razmeroma majhno odstopanje od absolutnenatančnosti, nujno potrebujemo nek standardni, dobro definirani in stabilni svetlobnivir, običajno je to ‘standardni vir A’ (monokromatski vir, - œ 555 nm). Poleg tegamoramo natančno določiti tudi optične parametre, kot so oddaljenost, vidni kot, itd. Zuporabo standardnega vira poustvarimo podobne merilne pogoje, kot jih bomo imelikasneje pri meritvah, ter ob določeni inteziteti svetlobe določimo vrednost upornostina kateri poteka tokovno-napetostna pretvorba fotodiodnega ojačevalnika. Ponavadivrednost upornosti izberemo upoštevajoč občutljivost fotodiode na določenem deluoptičnega spektra, tako da rezultira v neki celoštevilčni vrednosti izhodne napetosti zaneko celoštevilčno vrednost svetlobne moči, denimo 10 mV ÎµW, ali kako drugače.Kadar standardnega svetlobnega vira nimamo, si lahko pomagamo tudi ssončno svetlobo, čeprav Sonce ne sveti enakomerno (v svojem 11-letnemaktivnostnem ciklu se intenziteta sončne svetlobe spreminja celo do 2%), poleg tegapa atmosferska vlaga, koncentracija prašnih delcev in višina Sonca nad obzorjemmočno vplivata tako na celotno intenziteto kot tudi na posamezne dele spektra. Zaraditega kalibracijo s sončno svetlobo opravimo najraje opoldne jasnega dne. Sončnasvetloba je lahko dober kalibracijski pripomoček tudi kadar potrebujemo zaznavošibkih svetlobnih sprememb ob močni dnevni svetlobi.Naredimo preprost zgled.Kot smo videli že v prvem poglavju, oddaja Sonce v vidnem delu spektrapribližno belo svetlobo (ta ima enako intenziteto, neodvisno od valovne dolžine), kipa zaradi večjega sipanja pri krajših valovnih dolžinah in karakteristike človeškegaočesa zgleda bolj rumeno kot belo. Prav tako je gostota pretoka svetlobne moči narazdalji ene astronomske enote (1 AU) od Sonca (srednji radij zemeljske orbite,"" #1.496×10 m) znaša okoli 3 s œ 1366 WÎm , toda na naših geografskih širinah zaradisipanja in absorpcije v ozračju ta vrednost pade na 3 sa ¸ 1000 WÎ m # .-33-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganFotodioda SFH203 ( Tabela 3) ima optično aktivno površino E œ 1 mm , zatoje celotna moč na njeni površini manjša za razmerje površin (1 mm # À 1 m # œ 10 ' ),torej bo TP œ 3saEoœ 0.001 W. Poleg tega ima SFH203 spektralni maksimumobčutljivosti v bližini zgornje meje infra-rdečega območja (850 nm), občutljivost pana obeh straneh spektra pada ( Sl.1.2). Zaradi tega je povprečni spektralni odziv leokoli W a œ 34 % vpadne moči bele svetlobe. Maksimum občutljivosti fotodiode pa jepo navedbah proizvajalca Wmœ 0.62 AÎW (pri -mœ 850 nm).Denimo da bi radi dosegli izhodno napetost Z o œ 10 V, če opoldne jasnegadne obrnemo fotodiodo naravnost proti Soncu, kar glede na zgornje podatke pomenida želimo občutljivost sistema 10 VÎmW. Kakšno vrednost upornosti V F v povratnizanki ojačevalnika ( Sl.4.2b,d) potrebujemo, če upoštevamo da teče foto-tok le skoziV F (vhodni tok ojačevalnika zanemarimo)?Zo10 [V]VFœ œ ¸ 47 k H (5.1)T W W 0.001 [W] ‚ 0.62 [AÎ W] ‚ 0.34P m ao#Žal pa, kot bo to kmalu razvidno, v povratni zanki ojačevalnika potrebujemoše kaj več kot golo upornost, in tudi izbira samega ojačevalnika zahteva tehtenpremislek. Razmere v povratni zanki ojačevalnika nikoli niso trivijalne, toda problemje z malo truda povsem obvladljiv.-34-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan6. Analiza fotodiodnih ojačevalnikovNa videz preprosti vezji na Sl.6.1 bosta osnovi za večino fotodiodnihojačevalnikov, ki jih bomo analizirali. V takem načinu fotodioda obratuje kot (skoraj)idealni tokovni vir, obremenjen z zelo nizko efektivno upornostjo, ki jo določanegativna povratna zanka ojačevalnika, ojačevalnik pa deluje kot trans-impedančni(tokovno-napetostni) pretvornik, s pretvornim faktorjem enakim upornosti povratnezanke, VF. Razlika med narisanima primeroma je le v zaporni napetosti, Zr. Ta jenujna, če je za določeno uporabo pomembnejša hitrost odziva; če pa dajemo prednostnatančnosti ob zelo nizki osvetlitvi, se reverzni napetosti raje odpovemo, ker tapovzroča temni tok ( Tabela 3) in dodaten šum.i PP Pi PP PPD12 R F( )AsoPD12 R F( )Asoa) b)Sl.6.1: Osnovna oblika trans-impedančnega fotodiodnnega ojačevalnika;a) brez zaporne napetosti; b) z zaporno napetostjo ( ).Za razumevanje delovanja teh vezij (tudi vseh drugih, ki jih bomo obravnavalikasneje), je nujno poglobiti se v samo zgradbo operacijskega ojačevalnika. Zgradba jesicer zapletena, vendar se izkaže da jo je mogoče nadomestiti z razmeroma preprostimmodelom, tako funkcionalno, kot tudi matematično. Nakratko bomo obdelali zeloenostaven primer zgradbe ojačevalnika in pokazali kako lahko posamične stopnjeobravnavamo kot poenostavljene linearne bloke z elementarnimi matematičnimifunkcijami, ki skupaj tvorijo zelo preprost model.6.1. Zgradba operacijskega ojačevalnikaNaziv ‘operacijski ojačevalnik’ izvira iz časov analognih računalnikovneposredno po drugi svetovni vojni (ko digitalni računalniki še niso bili tako širokodostopni in je celo sam predsednik korporacije IBM napovedal, da bo svetovno tržiščev prihodnosti potrbovalo k večjemu kakšnih pet digitalnih računalnikov!). Analogneračunalnike so uporabljali največ pri balistiki za reševanje diferencijalnih enačb, kiopisujejo gibanje izstrelka. V te namene so večje število diferencijalnih ojačevalnikovz upori, kondenzatorji, tuljavami, diodami, povezovali med seboj za realizacijorazličnih matematičnih operacij (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje,intergriranje, diferenciranje, logaritmiranje, itd). Kasneje se je ime obdržalo inuveljavilo tudi za analogna integrirana vezja z enako funkcijo.Ojačevalnik, ki ga bomo uporabili za ojačenje foto-toka, mora imetizanemarljivo majhen vhodni tok. Ta pogoj izpolnjujejo ojačevalniki, ki imajo navhodih tranzistorje s prenosno funkcijo odvisno le od električnega polja (‘field effecttranzistor’, FET), zato je vhodna impedanca lahko zelo visoka ( "! "# H).V rZ r-35-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDiferencijalni ojačevalnik ojačuje razliko vhodnih napetosti z ojačevalnimfaktorjem E= ab:@ o œ a@ " @ # b†E a=b(6.1)Faktor ojačenja E= abse spreminja s kompleksno frekvenco =œ5 4=, kotobčajno zapišemo v Laplaceovi teoriji kompleksnih spremenljivk (Pierre Simon deLaplace, 1749–1827). Zaradi enostavnosti se bomo pogosto omejili le na imaginarnoos kompleksnega prostora in zapisali =œ4= œ4# 10.Laplace je vpeljal svoje znamenite transformacije že leta 1779, med tem ko je, neodvisno od njega,Fourier ( Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768–1830) objavil svojo različico 43 let kasneje. Laplaceovatransformacija je bolj splošna ker zajema celotno kompleksno ravnino kot domeno pretvorbe, zato omogočaobravnavo tudi časovno neperiodičnih funkcij. Fourier pa obravnava le časovno periodične funkcije, ki jih pretvoriv frekvenčno odvisne funkcije z domeno omejeno le vzdolž imaginarne osi, 4=. Sveda takrat še ni biloelektronskih ojačevalnikov, in tudi beseda ‘elektronika’ še ni obstajala, vedelo se je le za nekatere preprosteelektrične pojave (Volta, Ampere). Laplace je svojo teorijo zasnoval kot čisto matematični problem, med tem ko jeFourier, kot general v Napoleonovi armadi, raziskoval toplotne raztezke topovskih cevi in je na osnovi meritevrazširjanja toplote v kovinskih obročih prišel do svoje obravnave problema periodičnih funkcij. Elektronika se jepojavila šele leta 1904 s Flemingovim ( John Ambrose Fleming, 1849–1945) izumom vacuumskih elektronskih(‘termionskih’) cevi (diod), ki jim je De Forest ( Lee De Forest, 1873–1961) leta 1906 dodal še tretjo, kontrolnoelektrodo (‘mrežico’), s katero je bilo mogoče modulirati tok elektronov iz katode proti anodi (‘audion’). Vpeljavokompleksnih spremenljivk v obravnavo elektronskih vezij pa dolgujemo Heavisideu ( Oliver Heaviside, 1850–1925), ki je tudi neodvisno od Laplacea iznašel svoj ‘kompleksni račun’ (med leti 1880–1887) za reševanjediferencijalnih enačb z uporabo vektorskega (‘fazorskega’) prikaza električnih količin in na svoj načinreformuliranih Maxwellovih enačb polja, kar je uporabil pri študiju in optimizaciji (induktivni kompenzacijidominantno kapacitivnih) telegrafskih vodov (‘telegrafske enačbe’). Heavisideov račun so mnogi ortodoksnimatematiki imeli za ‘neznanstveno’ manipuliranje s številkami. Šele Campbell ( George A. Campbell) in Pupin( Mihajlo Idvorski Pupin, 1858–1935) sta dokazala, da je njegova metoda pravilna, zlasti pa Bromwich ( ThomasBromwich), ki je dokazal povezavo med Heavisideovo metodo operatorjev in Laplaceovo transformacijo(‘Bromwichev integral’) na rigorozni matematični osnovi.Ojačenje operacijskega ojačevalnika lahko modeliramo na osnovi njegovepoenostavljene notranje zgradbe na Sl.6.2 in ekvivalentne blok-sheme na Sl.6.3.Operacijski ojačevalnik je večinoma zgrajen iz treh stopenj: vhodne diferencijalnetranskonduktančne stopnje (‘trans-konduktanca’ ali ‘prenosna prevodnost’ je prenosnafunkcija z napetostnim vhodom in tokovnim izhodom), ki ji sledita tokovnonapetostnaojačevalna stopnja, ter izhodni močnostni napetostni sledilnik.Na osnovi ekvivalentne sheme na Sl.6.3 bomo najprej izpeljali ojačevalnoprenosno funkcijo in ugotovili njeno frekvenčno odvisnost, kar bo podlaga za vseostale analize ojačevalnikov. Ne bomo se spuščali v podrobnosti na ravni analizedelovanja tranzistorjev, ker bi nas to odpeljalo predaleč od osnovne teme.Najprej ugotovimo razmere pri vhodni stopnji. Zaradi uporabe jFET ali"#MOSFET tranzistorjev je vhodna upornost izredno visoka, med 10 in 10"& H, takoda vhodni tok lahko zanemarimo (razen kadar s fotodiodo zaznavamo zelo šibkosvetlobo). Ne moremo pa zanemariti vhodne kapacitivnosti, ki je okoli 1–5 pF, kar jev določenih priemrih primerljivo s kapacitivnostjo nekaterih fotodiod, vendar bomo topodrobneje obravnavali nekoliko kasneje. Vhodna stopnja ojačuje napetostno razliko,@" @ #, in jo s svojo prenosno funkcijo, transkonduktanco g m , pretvori v izhodni tok.Za razliko od upornosti, ki jo označujemo z V (‘resistance’) in ki jo merimo v ohmih [ H] ( Georg SimonOhm, 1789–1854), prevodnost (‘conductance’), ki je inverzna upornosti, označujemo z K œ "ÎV (črka G je žerezervirana za kapacitivnost) in jo merimo v siemensih [S] ( Ernst Werner von Siemens, 1816–1892). Ker jeVœZÎM(razmerje napetosti in toka), bo KœMÎZ. V literaturi (pretežno ameriški) najdemo včasih enoto [mho],ali celo , kar je sicer funkcionalno, nazorno, in celo simpatično, vendar s stališča SI nedopustno. Kot priupornosti, kjer inkrementalno, dinamično upornost označunemo z < , tudi inkrementalno prevodnost označujemo zg. Indeks ‘m’ pa označuje medsebojno (‘mutual’) prevodnost med izvorom (‘source’) in ponorom (‘drain’) FETa.-36-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganV SPQ 3 Q 4Q 6i d1A v21g mQ 1Q 2i c1Q 5C cbQ 9Q 7Q 8oV refV SNSl.6.2: Poenostavljena električna shema operacijskega ojačevalnika. Tranzistorja U& in U(skupaj znapetostno referenco Zref skrbita za konstanten tok ojačevalnih podsistemov. Tranzistorja U" in U#izkoriščata učinek polja (FET) za visoko vhodno upornost in tvorita vhodni diferencijalni par, kiojačuje vhodno napetostno razliko a@ " @ # b, ki jo prek tokovnega zrcala, ki ga tvorita tranzistorjaU$ in U% , pretvorita v izhodni tok 3d". Ta tok krmili napetostno ojačevalno stopnjo U6, ki v svojilokalni negativni povratni zanki ima kompenzacijski kondenzator Gcb. Napetosti na kolektorju U'sledita izhodna tranzistorja U) in U*, ki imata napetostno ojačenje ¸ 1 in zadosti veliko tokovnoojačenje, da lahko napajata kakršno koli breme, ki ga priključimo na izhod.2i d1g m A v 1C M R bo1Sl.6.3: Funkcionalna blok-shema modela operacijskega ojačevalnika, na katero se sklicujemo prianalizi. Diferencijalna vhodna stopnja pretvori vhodno napetostno razliko a@ " @ # b strankonduktanco g m v izhodni tok 3 d". Ta tok povzroči padec napetosti na vhodni impedanci^ œ "Îa4= G M "ÎV b b napetostne ojačevalne stopnje. Signal, napetostno ojačen E v krat, krmilivhod napetostnega močnostnega sledilnika z napetostnim ojačenjem ¸ 1 (ter velikim tokovnimojačenjem, Ei 100). Kapacitivnost GM z efektivno vhodno upornostjo baze Vb trazistorja U'skupaj določata lego dominantnnega pola prenosne funkcije ojačevalnika.Transkodukančno pretvorbo vhodne napetostne razlike v tok zapišemo kot:3 œ a@ @ b†g (6.2)d" " #kjer je 3d" diferencialni tok prve ojačevalne stopnje. Tok 3d"teče v vzporedno vezavoGMin Vb, ter povzroča padec napetosti, ki ga ojači druga stopnja. Kolikšna bo tanapetost pa je odvisno od skupne impedance ^ te vzporedne vezave (‘impedanca’ jekompleksna, frekvenčno odvisna ‘upornost’). Impedanca same kapacitivnosti G M paje čisto imaginarna količina, ki ji včasih pravimo tudi ‘reaktanca’, :m\ G" "^G œ \ G œ œ(6.3)4 G =G= M M-37-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZadnji ulomek izraža impedanco v Laplaceovem kompleksnem zapisu, kjer je nasplošno =œ5 4= . Skupna impedanca vzporedne vezave GM in Vbpa je inverznavrednost vsote njunih inverznih vrednosti:" " "^œ œ œVb" " " =GMVb " =GM^ V VG b b(6.4)Na koncu izraza smo ločili frekvenčno neneodvisni del, V b , od frekvenčno odvisnegadela (ulomek).Padec napetosti, ki ga bo zaznala in ojačila druga ojačevalna stopnja, bo tako:@ œ 3 ^ œ 3 V^ d" d"b"=G V "M b(6.5)6.2. Problem dominantnega pola, Millerjev učinekPozornejši bralec je najbrž opazil da smo v shemi ojačevalnika, Sl.6.2,kapacitivnost označili drugače ( Gcb) kot v modelu na Sl.6.3 ( GM). To smo naredilinamenoma, ker želimo opozoriti na zelo pomemben pojav, ki ga srečujemo pri vsehojačevalnikih. Gre za Millerjev učinek, ki ga je John M. Miller opisal v leta 1920objavljenem članku (J.M. Miller, Dependence of the input impedance of a three-electrode vacuum tubeupon the load in the plate circuit. Scientifc Papers of the Bureau of Standards, 15(351):367–385, USA, 1920).ii iZoiAoi iM =AZZ1 + ASl.6.4: Millerjev učinek: enakovredna vhodna impedanca ^M je odvisnaod impedance ^ v povratni zanki ojačevalnika in njegovega ojačenja E.Na Sl.6.4 je invertirajoči ojačevalnik s faktorjem ojačenja E in impedanco ^ vpovratni zanki. Vhodni tok 3 teče le skozi impedanco ^, kar pomeni da je:i3 œ @@ i oi^Ker pa je ojačenje definirano kot razmerje izhodne proti vhodni napetosti:sledi da je vhodni tok:Eœ @ @@ i E@ i @ i3iœ œ a"Eb^ ôi(6.6)(6.7)(6.8)Ta enačba nam poraja misel: kakšna bi bila efektivna vhodna impedancavezja proti referenčnemu potencijalu (ozemljitev), če ne bi imeli povratne zanke?-38-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPoglejmo: ob enaki vhodni napetosti in enakem vhodnem toku mora biti:@ i ^^Mœ œ3 "Ei(6.9)torej enakovredna Millerjeva impedanca ^ M je za a"Ebkrat manjša od ^.Kadar je ^œV, torej realna ohmska upornost, bo enakovredna vhodnaupornost manjša za faktor ojačenja a"Eb. Vendar če namesto ^ imamokapacitivnost ^ œ "Î=G velja:Gcb^ G" "^Mœ œ œ"E =G a"E b =GMillerjeva nadomestna vhodna kapacitivnost G je za faktor a"Eb večja od G :cbMM(6.10)G œ G "EM cba b (6.11)to pa zato, ker je impedanca kondenzatorja obratno sorazmerna kapacitivnosti. Tapresenetljivi rezultat si moramo dobro zapomniti, ker igra pomembno vlogo prifrekvenčni odvisnosti prenosne funkcije fotodiodnih ojačevalnikov, pravzaprav vsehojačevalnikov na sploh.6.3. Omejena hitrost spreminjanja napetostiPojav omejene hitrosti spreminjanja napetosti (ang., ‘slew-rate limiting’) jeneposredna posledica Millerjevega pojava in konstantnega tokovnega vira, ki napajavhodno diferencijalno stopnjo ojačevalnika ( 3 c1 na Sl.6.2). Kadar vhodnodiferencijalno stopnjo ojačevalnika izkrmilimo čez linearnostno mejo, tako da je entranzistor popolnoma zaprt, drugi pa popolnoma odprt, bo izhodni diferencijalni tok( 3d1na Sl.6.2) lahko kvečjemu enak toku 3c1. Posledično se bo napetost na Millerjevikapacitivnosti spreminjala sorazmerno času z neko konstantno hitrostjo:.@ 3œ.> Gc1 Mcb(6.12)Predpostavimo da ojačevalnik krmilimo z napetostjo ali tokom sinusne oblikein take amplitude, da je amplituda izhodnega signala največja možna in oblikanepopačena. Zanima nas pri kateri frekvenci pride do omejevanja hitrosti spreminjanjaizhodne napetosti. Ker je hitrost spremembe enaka časovnemu odvodu napetosti, sebo ob sinusni valovni obliki hitrost spreminjala po cosinusni funkciji, zato bo prisinusnem signalu sprememba najhitrejša ob prehodu skozi srednjo vrednost (zaidealen ojačevalnik brez enosmerne napake je srednja vrednost enaka nič). Če imasinusni signal amplitudo Za in frekvenco = œ # 10, in je torej trenutna vrednostnapetosti @œZ a sin = > , bo hitrost ob prehodu skozi ničlo odvisna tako od amplitudesignala kot tudi od frekvence:.@.> œZ a = cos = >(6.13)Pri sinusnem signalu s periodo Xœ# 1 Î=nastopi prehod skozi ničloperiodično ob časih >œXÎ#œ!„R1 Î=( R je celo število) in je takratna treuntnavrednost napetosti enaka nič, ker je sin aXÎ# b œ !.Takrat pa je hitrost spreminjanja-39-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margannapetosti maksimalna, ker je cos aXÎ# b œ cos !„R1 Î=œ „". Potemtakem izenačbe (y2) sledi, da je največja hitrost spremembe napetosti enaka produktuamplitude in frekvence:.@º º.>maxœZa = (6.14)Če je Z as največja možna amplituda izhodne napetosti, ki je omejena predvsemz napajalno napetostjo ± Z s (pri tako zgradbi ojačevalnika kot na Sl.6.2 nastopi ta mejanekako tri diodne napetostne padce, $ × !Þ') ¸ # V, pod napajalno napetostjo), bonajvišja frekvenca pri kateri še ne pride do valovnega popačenja najnižja. Za manjšeamplitude pa bo ta frekvenca seveda ustrezno višja.Vzemimo za primer ojačevalnik, ki se napaja z napetostjo ± Zsœ ± "& V, terposledično inma največjo možno amplitudo izhodnega signala Zasœ "$ V. Naj ima taojačevalnik tok diferencijalne stopnje 3c"œ " mA in kapacitivnost med kolektorjem inbazo tranzistorja U' ( Sl.6.2) Gcb' œ "Þ& pF. Denimo da ima tranzistor U'tokovnoojačenje "'œ 3cÎ3b œ "&!, ter emitersko upornost VE'œ ') H. To pomeni da boefektivna upornost baze Vb' œ "' VE'œ "&! ‚ ') œ "!#!! H, in bo Millerjeva"#kapacitivnost po enačbi (6.11): GM œ Gcb' a"' " b œ "Þ& × "! ‚ "&" ¸ ##' pF.Če izenačimo enačbi (y1) in (y3) dobimo:º .@ º3 c1œZa= œ(6.15).> GmaxTo pomeni, da bo maksimalna še nepopačena izhodna napetost lahko imelanajvišjo frekvenco:0 œs3c1# 1Z GasMM(6.16)Po pravkar izračunanih podatkih bo frekvenca 0 s za ojačevalnik iz našega$ "#primera znašala: 0sœ "! Î a# 1× "$ × ##' × "! b ¸ &% kHz. Za izhodno amplitudonormirano na " V pa bo ta frekvenca "$ × večja, okoli (!! kHz. Na Sl.6.5 je narisanosinusno valovanje pri katerem še ni popačenja in pripadajoč največji naklon vala, terpopačena oblika izhodnega vala za nekoliko višjo frekvenco.π/21.0ab0.50ω 2> ω 1−0.5−1.0− π/2 0 π/2 π 3 π /2ϕ=ωt [rad]2 πSl.6.5: a) najvišja frekvenca pri kateri še ni popačenja; b)popačenje pri višji frekvenci.0t-40-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan6.4. Frekvenčna odvisnost prenosne funkcijePravkar smo spoznali da že razmeroma majhna kapacitivnost G cb ob zadostivelikem napetostnem ojačenju E v v drugi ojačevalni stopnji močno upočasni celotenojačevalnik. Sicer se g m prve stopnje tudi spreminja s frekvenco, in prav tako tokovnoojačenje izhodne stopnje, vendar druga stopnja prevladuje (‘dominira’), zato časovnakonstanta G M V b določa ‘dominantni pol’ prenosne funkcije ojačevalnika. Zapišimorelacijo za izhodno napetost , upoštevajoč enačbe (43, 42, 40):@ o@ oœ ! E v @ ^œ E 3 V"=G V "! v d " bM bœ E g a@ @ bV"=G V "! v m " # bM b(6.17)Tukaj je ! œ"Î""Î a " b, in " je tokovno ojačenje izhodnih tranzistorjev. Ker je "ponavadi okoli 100 ali več, je jasno da je ! ¸" . Če izraz za izhodno napetost (6.17)delimo z vhodno napetostno razliko, dobimo prenosno funkcijo ojačevalnika:@ o"E= abœ œ! EvgmVba@ @ b=G V "" #M b(6.18)Frekvenčno neodvisni del ojačenja bomo označili z E ! ; indeks ‘0’ ponazarjafrekvenco nič, E ! je torej ojačenje enosmerne konstantne napetosti:E! œ ! E v g m V b(6.19)V frekvenčno odvisnem delu ločimo neodvisno spremenljivko, frekvenco = :""=G V " œ GMVbM b"=G VPrimerjajmo zadnjo relacijo s splošno obliko prenosne funkcije prve stopnje:J"Mb(6.20)"ab = œ(6.21)==Funkcija J " ab = ima neskončno vrednost pri = œ = ", zato = " imenujemo ‘pol’ funkcije.Večpolne prenosne funkcije ponavadi normiramo pri frekvenci nič (DC), da legapolov ne vpliva na izraz za enosmerno ojačenje, pač pa le na frekvenčni potek, takokot je to pri realnem vezju. Zato vrednost funkcije J "a= bevalviramo pri = œ !:"J = œ J ! œ "" ab¹ " ab(6.22)==œ! "Normirano obliko J " Na= bdobimo če delimo J " ab = ÎJ " ab ! :J " ab = = "J " Na= bœ œJ ab ! ==" "(6.23)-41-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganOd slej bomo obravnavali le normirane funkcije, tudi večpolne, ki jih bomovedno skušali spraviti v tako splošno obliko:J8ab = œa= " ba= # ba= $ bâa=8ba== ba== ba== bâ a==b" # $ 8(6.24)zato bomo oznako normiranja ‘N’ opustili (ohranili jo bomo le za številčne vrednostinormiranih polov), indeks 8 pa bo pomenil stopnjo polinoma, oziroma število polov.Če sedaj primerjamo enačbi (6.20) in (6.23) vidimo da je naša ojačevalnafunkcija že pravilno normirana, in je vrednost pola določena:= ""= " œ (6.25)G VTako smo prišli do splošnega izraza za ojačenje (brez povratne zanke) za modeloperacijskega ojačevalnika, ki ga bomo odslej povsod rabili:E= œE = "ab !(6.26)==Izraz (6.26) predstavlja nekoliko idealiziran model, saj realni ojačevalniki (kotje, denimo, tisti na Sl.6.1 ) imajo poleg dominantnega pola = " v drugi ojačevalnistopnji vsaj še dva nedominantna pola, enega v vhodni diferencijalni stopnji indrugega v izhodni stopnji. Proizvajalci se trudijo da pri večini ojačevalnikovzagotovijo lego nedominantnih polov precej nad E= ! " , torej v območju kjer jelE=l" ab , kjer ojačevalnik več ne ojačuje vhodnega signala. Če tega ne bi naredili,bi ojačevalnik ob sklenjeni povratni zanki lahko postal nestabilen in bi namestoojačevalnika imeli visokofrekvenčni oscilator. To se lahko zgodi tudi sicer stabilnemuojačevalniku, če bodisi izhod, bodisi invertirajoči vhod kapacitivno obremenimo, karpoveča fazni kot signala povratne zanke, zato ta signal postane pri neki frekvencisofazen (pozitiven), namesto da je protifazen (negativen) povsod kjer je ojačenje " .Pogosto nas zanima prav tista frekvenca 0T, pri kateri je ojačenje lE0 a Tblœ".Izhajamo iz absolutne vrednosti ojačenja, ki je določena kot koren iz produkta*prenosne funkcije E= abs lastno konjugirano kompleksno vrednostjo E ab = œE= ˆ *‰.*Če se omejimo le na imaginarno os, = œ 4= œ 4# 10 , bo = œ 4= œ # 10. Če šeupoštevamo da je = œ = œ # 10 , bo Ea0b:" " "E0 a b œE!zato bo magnituda, oziroma absolutna vrednost:Mb"0"0 40"(6.27)¹ a b¹È0" 0"0" #E0 œ E0 a b†E0 a b œE ! Ë † œE!0 40 0 40Ë0 0" "" # #(6.28)Če sedaj zadnji izraz enačimo z 1 in razrešimo za 0, dobimo:0œ0 œ0É #E " ¸0E(6.29)T " !" !Mejni frekvenci 0 T pravimo tudi ‘prehodna frekvenca’ (ang., ‘transitionfrequency’), ker ojačenje pri tej frekvenci pade na vrednost 1, med tem ko nad 0 T-42-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganojačevalnik ne ojačuje več. Definirajmo še kotno frekvenco = T œ# 10T, ter tejustrezno časovno konstanto 7 T œ"Î=T. Na Sl.6.6 smo narisali potek magnitudelEa0b l (6.28) v odvisnosti od frekvence, ter lego značilnih frekvenc 0" in 0T. Zravensmo narisali še pripadajoči fazni zasuk :a0b, ki je informacija odločilnega pomena zastabilnost ojačevalnika, kot bomo videli v kratkem.105104A 0A 0f 12i21A( s)o10| A( f ) |1032| A( f ) |ϕ ( f )[ ° ]−180101ϕ ( ) ff T =f 12A 0−1−225100−270−110−3150 1 2 3 4 5 6 7 810 10 10 10 10 10 10 10 10f [Hz]Sl.6.6: Magnituda in fazni zasuk prenosne funkcije ojačevalnika brez povratnezanke. Prekinjeni črti ponazarjata vpliv sekundarnih polov na magnitudo in fazo.Fazni zastk je definiran kot Arcus tangens razmerja med imaginarnim inrealnim delom prenosne funkcije, ki je v tem primeru ojačenje odprte zanke E= ab:eeE ab = f:a= bœarctan (6.30)deE ab = fČe upoštevamo da sta E ! in = " realna in da je = œ 5 4=, sledi:""eš 5 4==› eš ›"a5 = " b=: ab = œ arctan œ arctan # =#œ arctan"5 = " 4=dš › dš › 5 =5 4=="5 = 4=a5 = b =" # #Omejimo se spet le na imaginarno os, 5 œ! , ter upoštevajmo da je = œ=:oziroma s frekvenco v Hz:= =:= a b œ arctan œ arctan= =" "0 0:a0bœ arctan œ arctan0 0" """ "(6.31)(6.32)(6.33)Ker je argument funkcije negativen bo tudi fazni kot negativen, kot smo narisali naSl.6.6. Signal smo, tako kot pri fotodiodnem ojačevalniku, napeljali na invertirajočivhod, zato je treba faznemu kotu dodati še 180°.-43-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganKo bi ojačevalnik uporabljali brez povratne zanke, bi bilo za stabilnostojačevalnika vseeno kje ležijo posamezni poli, njihova lega bi bila pomembna le zagladek potek frekvenčnega odziva, oziroma za časovni odziv berz odvečnihprenihajev. Vendar so koristi od sklenjene povratne zanke tako pomembne (zalinearnost ojačenja, za stabilnost enosmerne komponente izhodne napetosti, za šum,ter za druge napake ojačevalnika, ki so posledica bodisi proizvodnih toleranc, bodisidinamičnih lastnosti polprevodnikov), da se v praksi povratni zanki ne želimo odreči.Ob sklenjeni povratni zanki je pomembno, da bo celotni fazni zasuk v zanki največ315° (gre za znani Nyquistov kriterij stabilnosti). Fazni zasuk 360° predstavlja‘pozitiven’ (sofazni) signal v povratni zanki. Takrat že lastni šum ojačevalnikazadošča da izhodni signal divergira v nestabilnost, ponavadi v oblikivisokofrekvenčnih oscilacij.V mislih je treba imeti dejstvo, da je povratna zanka ‘negativna’ (zato kerželimo napake ojačevalnika v izhodnem signalu ‘odšteti’) in zato že sama predstavljafazni zasuk 180°, poleg tega pa vsak pol v E= abdoda še svojih 45° na sami frekvencipola, ter 90° na visokih frekvencah. Sledi da si na frekvencah, pri katerih je zančnoojačenje večje od 1, lahko privoščimo kvečjemu en sam pol, vsi morebitni drugi polipa se morajo nahajati na frekvencah kjer je lE=l" ab .Tako z ustrezno izbiro lege dominantnega pola zagotovimo stabilnost obsklenjeni povratni zanki, vendar njegova razmeroma nizka frekvenca ojačevalnikizredno upočasni. Zaradi potrebe po večji hitrosti pri večjih ojačenjih proizvajalcivčasih naredijo tudi ‘dekompenzirane’ ojačevalnike, ki imajo dominantni polpostavljen na nekoliko višjo frekvenco (manjša vrednost G cb ). Posledično se ojačenjena visokih frekvencah poveča, zato vsaj en nedominantni pol leži v območju, kjer jeojačenje večje od 1. Taki ojačevalniki so potem specificirani za minimalno ojačenje5× ali 10× da še ohranijo zančno stabilnost. Fotodiodni ojačevalniki, ki s topologijopovratne zanke zagotavljajo potrebno tokovno–napetostno pretvorbo, vedno imajozančno napetostno ojačenje enako 1, zato v te namene dekompenzirani ojačevalnikiniso primerni.Kot je razvidno iz dosedanje obravnave, predstavlja taka notranja zasnovaoperacijskega ojačevalnika dokaj resno omejitev za doseganje višjih frekvenc. Zato sookoli leta 1985 nastali drugačni ojačevalniki, s tokovno povratno zanko (‘currentfeedback’, CFB). Te ojačevalnike bomo obravnavali nekoliko kasneje.6.5. Ojačevalnik s povratno zanko in idealno fotodiodoVrnimo se fotodiodnemu ojačevalniku na Sl.6.1a. Na začetku analize bomoupoštevali fotodiodo kot idealni tokovni vir in zanemarili vse njene ‘parazitne’komponente iz Sl.4.1, ter prav tako vpliv zaporne napetosti Z r . Vplive le-teh bomopostopno vključili v obravnavo po osnovni analizi.Ker je ojačenje odprte zanke E ! razmeroma veliko (za zelo nizke frekvence,&do 100 Hz, znaša običajno okoli 10 ), bo ojačevalnik preko povratne zanke (upor V F )skušal vzpostaviti ravnovesje in zmanjšati razliko vhodnih napetosti na zelo majhnovrednost, vsaj dokler je izhodna napetost @ o v linearnem območju, oziroma je manjšaod napajalne napetosti ojačevalnika. To je lepo razvidno če enačbo (6.1) obrnemo:a@ @ b œ @ o" #(6.34)E= ab-44-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganKer smo neinvertirajoči vhod ozemljili, je napetost @"œ !.Lahko torej zapišemo:@ œ @ o#(6.35)E= abZato bo ob sklenjeni povratni zanki tudi napetost na invertirajočem vhodu @#¸ !. Čeje vhodni tok ojačevalnika zanemarljiv, gre ves foto-tok 3Pskozi upor VFv povratnizanki. Izhodna napetost @ bo tako enaka padcu napetosti na V zaradi foto-toka:ok@ok¸ 3PVF (6.36)Če pa želimo biti natančni, ker ojačenje vseeno ni neskončno veliko, moramoupoštevati da bo napetost sicer zelo majhna, a različna od nič:Tako iz enačb (6.35) in (6.37) lahko ugotovimo:@ #@ @ œ 3 V# o P F (6.37)a@ # @ ob@ o "3Pœ œ Œ"V V E ab =F FIzraz (6.38) razrešimo za izhodno napetost @ v odvisnosti od foto-toka 3 :oFP(6.38)"@ o œ 3PVF " "(6.39)E= abEnačba (6.39) predstavlja trans-impedančno prenosno funkcijo sistema. Pritem predstavlja produkt 3V P F frekvenčno neodvisni napetostni faktor, med tem ko jeulomek frekvenčno odvisen, pač zaradi E= ab, ki se pri realnih ojačevalnikih zmanjšujesorazmerno s (kompleksno) frekvenco = , tako kot je to določeno z enačbo (6.26).Naj ima naš izbrani ojačevalnik dominantni realni pol = " pri frekvenci&0" œ 100 Hz, tako da je = " œ # 10" , ter enosmerni faktor ojačenja E!œ "! , kotsmo narisali na Sl.6.6.Sistemsko prenosno funkcijo J ab = običajno normiramo na vhodno količino,zato enačbo (6.39), uporštevajoč tudi (6.26), lahko zapišemo kot:J ab = œ@ o"œ 3V P F""E = "!=="(6.40)Zanimivo je primerjati grafa prenosnih funkcij ojačevalnika brez povratnezanke (6.28) in s povratno zanko (6.40), v odvisnosti od frekvence. Ker gre pri (6.40)za kompleksno količino, moramo v ta namen izračunati absolutni vrednosti(magnitudi) obeh izrazov, kar dobimo, če korenimo produkt prenosne funkcije innjene konjugirano-kompleksne vrednosti. Izraz (6.40) najprej nekoliko preuredimo:J ab = œ E = "!== "= "E!"=="œ E ! = "== aE " b" !(6.41)-45-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganKoeficijenta pri = " moramo narediti enaka, če želimo da relacija ustreza funkciji zenim polom, v kanonični obliki, normirani pri =œ! :E! aE! " b="J ab = œ †E " =aE " b=! ! "(6.42)Opazimo da se pol odprtozančne prenosne funkcije = " ob sklenjeni povratni zankizaradi zančnega ojačenja preseli na = T œ aE! " b=", torej se bo magnituda prenosnefunkcije sistema prelomila pri ustrezno višji frekvenci 0 T , kot smo to že izračunali(6.29). Obenem imamo, zaradi končno velikega ojačenja na nizkih frekvencah, tudistatično (frekvenčno neodvisno) napako faktorja ojačenja, ki bo zato malenkostmanjši od ena: EÎE a " b. Tako bo magnituda prenosne funkcije:! !#E! 0T0TE!0T¹ Ja0b¹œ † œE "Ë0 40 0 40 E "Ë0 0! TT!# #T(6.43)ali, če upoštevamo (6.29):E E " 0¹ Ja0b¹œE "Ë a # b #!! "aE " b0 0!# # #! "(6.44)Na Sl.6.7 sta grafa izrazov (6.28) in (6.44) narisana v log-log merilu, kjer pridedo izraza mnogo velikostnih redov velika razlika med obema magnitudama, ter pravtako med njunimi mejnimi frekvencami.105A 0 A 0 √ 1/2101043f 1g21A( s)o102ig2| A( f ) |1011A( s)oR FA 0f T =f 12−1100| F( f ) |√ 1/2−1100 1 2 3 4 5 6 7 810 10 10 10 10 10 10 10 10f [Hz]Sl.6.7: Primerjava frekvenčne odvisnosti absolutnih vrednosti prenosnihfunkcij odprte in zaprte povratne zanke.Iz izraza (6.43) in grafa lJ a0blna Sl.6.7 je razvidno da ima ojačevalnik naSl.6.1a prenosno razmerje @Î3V o P F ¸" za celoten frekvenčni pas, vse do frekvence0 T , pri kateri njegova asimptota seka asimptoto ojačenja z odprto zanko. Pri frekvenci0 ojačevalnik brez povratne zanke še sledi vhodnemu signalu, ker je lE0 a blœ",TT-46-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganmed tem ko ojačevalnik s sklenjeno zanko signal zmanjša skladno izrazu (6.43), kjerpri 0 œ 0TÊ lJ a0Tbl œ È"Î# , kar je ¸ !Þ(!(. Ker se je izhodna napetostznmanjšala, vhodni tok pa je enak, sledi da se napetost @ # na vhodu poveča, to pa jesorazmerno ojačevalni napaki.Pogosto je v literaturi količina È"Î# označena kot 3 dB. Inženirji Bell Telephone Laboratories so včast osnivatelju firme in telekomunikacijskemu pionirju Bellu ( Alexander Graham Bell, 1847–1922) enoto zaatenuacijo signala na dolžini 10 milj standardnega telefonskega kabla poimenovali Bell [B]. To je logaritemskaenota za 10× razmerje moči, dB (decibel) pa je 10× manjša enota, ki jo računamo kot B[dB] œ "! log "! aToÎTib,ali, če gre za moč ki se troši na enakih upornostih, B[dB]œ #! log "! aZoÎZib. Po definiciji decibele smemouporabljati le takrat, kadar se tako vhodna kot izhodna moč porablja na enaki upornosti, kar pri operacijskihojačevalnikih skoraj nikoli ni res. Zato je v takih primerih bolje za razmerje napetosti pisaiti dBV.Zanima nas še efektivna vhodna impedanca ojačevalnika, ki jo fotodioda čutikot breme, ^L . Kot smo to že omenili pri Millerjevem učinku, je ta impedancadoločena z negativno povratno zanko ojačevalnika. V našem primeru je impedanca vpovratni zanki enaka , zato iz (6.9) sledi:V F^ œLVF"E ab =(6.45)Iz te enačbe je razvidno da vhodna impedanca ima pri nizkih frekvencah zelonizko vrednost, ki pa s frekvenco narašča. Pri 0Tje Ea0Tbœ 4" , in je absolutnavrednost imenovalca (6.44) enaka È# , zato je pri 0T impedanca ^L œ VFÎÈ#. Zatose tudi vhodna napetost @ # temu primerno poveča. To pa delno poslabša linearnostodziva fotodiode na visokih frekvencah.Ob sklenjeni povratni zanki bo, kot bomo videli kmalu, pomembno kakšen jefazni zasuk v bližini mejne frekvence. Fazni zasuk samega ojačevalnika lahkoizračunamo iz prenosne funkcije (6.42), če kompleksno spremenljivko = zamenjamo z4 = , ter upoštevamo da je realni pol = œ 5 œ =:" " "E! aE! " b="Ja4=b œ †E " aE " b= 4=! ! "(6.46)V izrazu (6.45) moramo najprej racionalizirati imenovalec, kar dosežemo zmnoženjem števca in imenovalca s konjugirano kompleksno vrednostjo imenovalca:E! aE! " b= " aE! " b= " 4=Ja4=b œ † †E " aE " b= 4= aE " b= 4=! ! " ! "in dobimo:Ja4= b œ E! aE! " b="†E " caE " b= d =† caE " b= 4=d(6.47)! ! " # # ! " (6.48)Frekvenčni potek faznega zasuka je Arcus tangens razmerja imaginarnega delaprenosne funkcije proti realnemu delu. Ker v (6.48) imamo imaginarno vrednost le vzadnjem oglatem oklepaju, se pri deljenju imaginarnega dela z realnim delom obaulomka prenosne funkcije pokrajšata in ostane:= =:= a b œ e a bfarctan e J 4 e a = bf œ arctan a b=œ arctan0d J 4 E " aE " b0! " ! "(6.49)-47-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPri zadnjem izrazu smo pokrajšali še faktor #1, vsebovan tako pri = kot pri = " .Iz (6.49) je razvidno da bo pri frekvenci 0œaE! "0 b " ¸0Tfazni zasuk znašal0.7854 rad, oziroma 45°. Temu moramo prišteti že obstoječi notranji fazni zasuksamega ojačevalnika, ki pri frekvenci 0Tznaša 270°. Skupno je to 315°, nad tempa negativna povratna zanka spet postane pozitivna (Nyquistov kriterij stabilnosti). Nasrečo je pri 0 0 T ojačenje že manjše od 1. Ojačevalnik je še stabilen, če je prizančnam ojačenju 1 fazna margina vsaj 45°.6.6. Ojačevalnik z realno fotodiodoVse dosedanje ugotovitve veljajo le za idealno vezje, kjer fotodiodo lahkoobravnavamo kot idealni tokovni vir z neskončno notranjo upornostjo, tako da ninobenega delilnika toka v povratni zanki ojačevalnika. Realne fotodiode sevedaustrezajo modelu na Sl.4.1. Analizo v novih okoliščinah bomo dopolnili z nekajteoretične podlage, ki jo bomo kasneje uporabljali tudi v vseh ostalih primerih.Če fotodiodi, kot idealnemu tokovnemu viru, dodamo še vzporedno parazitnokapacitivnost, G D , kot na Sl.6.8, dobimo že bolj realne razmere. Velikost tekapacitivnosti določa površina elektrod, debelina P-N spoja, ter efektivna dielektričnakonastanta polprevodnika. Tipične vrednosti za silicijeve fotodiode so okoli 10–20#pFÎ mm , odvisno od dopiranja in debeline fotodiode.2iPC DR F( )Aso1Sl.6.8: VplivG Dna frekvenčno odvisnost ojačenja.Prisotnost kapacitivnosti fotodiode v povratni zanki ojačevalnika ima dvadokaj nezaželjena učinka:Prvič, že majhna kapacitivnost fotodiode povzroči znatno upočasnitev odziva,ker se generirani naboj najprej kopiči na tej kapacitivnosti in šele nato lahko steče vpreostali del vezja. Fotodioda z večjo površino sicer ob enaki svetlobi daje večji tok,in enako izhodno napetost lahko zagotovimo z manjšim V F , vendar bo kapacitivnosttudi sorazmerno večja.Drugič, prisotnost kapacitivnosti na invertirajočem vhodu ojačevalnikapovzroči zmanjšanje signala v povratni zanki na visokih frekvencah. Zato se vprenosni funkciji sistema pojavi nov pol, ki poveča ojačenje na ozkem frekvenčnempasu (rezonanca), ter posledično poveča fazni zasuk signala v povratni zanki.Spomnimo da je fazni zasuk ojačevalnika v invertirajoči konfiguraciji 180° in zaradidominantnega pola še dodatnih 90° na frekvencah višjih od ~10 0 " ( Sl.6.6). Dodatnifazni zasuk povzroči daljše nihanje pri impulznem odzivu. Še večja kapacitivnost palahko privede tudi do nestabilnosti in visokofrekvenčnih oscilacij.Analizirajmo spremembe v prenosni funkciji sistema zaradi prisotnosti G D .Izhajamo iz vezave na Sl.6.8 , kjer še vedno velja relacija (6.1), @ o œ a@ " @ # bE a=b.-48-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPrav tako za konstanten enosmerni tok velja (6.39), @# @ o œ 3PVF. Vendar zaizmenični tok moramo upoštevati od kompleksne frekvence = odvisno impedanco, kijo predstavlja parazitna kapacitivnost fotodiode G D . Impedanca fotodiode se, tako kotpri običajnem kondenzatorju, z višanjem frekvence niža:" "^Dœ œ4=G =GDD(6.50)Zaradi kapacitivnosti se foto-tok 3 P ob spremembi deli na dve komponenti, enapovzroča napetostni padec 3^ " D, druga pa 3V # F. Privzemimo da je v senci izhodnanapetost @ o œ !, prav tako napetost na G D , @#œ !. Naj se foto-tok ob prehodu izsence na svetlobo v trenutku >œ! skokovito spremeni. Ob spremembi bo 3 " , ko stečeskozi GD, maksimalna: 3" œ3P; tok skozi VFbo nič: 3#œ! . Med tem ko sekapacitivnost G D počasi polni, se napetost @#malenkostno zviša in del toka začneodtekati v V F (ne pozabimo da se ojačevalnik na hitre motnje lahko odzove le ssvojim ojačenjem odprte zanke, katerega mejna frekvenca je nizka, zato signalpovratne vezave popravi napetost @# z določeno zakasnitvijo). Zato tok 3"počasi pada,med tem ko 3# narašča. Po zadosti dolgem času bo ves foto-tok odtekal skozi VF,3# œ 3P, med tem ko bo tok skozi GDenak nič, 3"œ !ÞPrenosno funkcijo sistema začnemo računati v vozlišču @ # , kjer velja:@# @#@ o3Pœ 3" 3#œ (6.51)^ VUpoštevajoč enačbi za ojačejne (6.1) in impedanco kapacitivnosti (6.50), dobimo:@ o=GD @ o "3Pœ Œ"(6.52)E= ab V E= abDFFkar razrešimo za @ o :@ œ 3 Vo P FE= ab=G V E ab = "DF(6.53)Enačbo (6.53) skušajmo spraviti v kanonično obliko, tako da najprej delimoštevec in imenovalec s produktom G V :D@ œ 3 Vo P FFE= ab"G VD=cE ab = " dF"G VIzenačimo še koeficijente pri polu in dobimo trans-impedančno prenosno funkcijo:DF(6.54)E= ab@ o œ 3PV F † †E= ab"cE= ab"d=cE ab = " d"GDVF"G VDF(6.55)Če izhodno napetost normiramo na vhodni tok (delimo z 3V P F), dobimo J= ab:@ o E ab =J ab = œ œ †3V E= ab"PFcE= ab"d=cE ab = " d"GDVF"G VDF(6.56)Ta prenosna funkcija ima dva pola. Prvi pol je posledica prenosne funkcijeojačevalnika E= ab,(6.26).-49-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSedaj šeDrugi pol je posledica časovne konstante G V :E= abDF= œ "# (6.57)G Vzamenjamo z (6.26), in bo izraz (6.56) imel obliko:E = "!== "J ab = œ = †"E!"=="DF= "” E! " • = #== "= "=” E " • ===! #"(6.58)Ko se znebimo dvojnih ulomkov dobimo:E! = " aE! " b = # c== " aE!" bdJ ab = œ † †#E " == aE " b = = a= = b= = aE " b! " !" # " # !(6.59)Izraz c== " aE!" bdv imenovalcu drugega ulomka in v števcu tretjega ulomkalahko pokrajšamo, ter dobimo prenosno funkcijo druge stopnje:E ! = " = # aE!" bJ ab = œ †#E " = = a= = b= = aE " b!" # " # !(6.60)Funkcija ima zgornjo mejno frekvenco = h œ È= " = # aE!" b , resonančni faktor pa jedoločen s srednjim členom polinoma v imenovalcu, a= = b." #POZOR: čeprav sta = " in = # pola svojih lastnih funkcij, kompozitna funkcija(6.60) ima le te za koeficijente polinoma. Dejanska pola J ab = ležita drugje, zaradivpliva povratne zanke. Čeprav sta = " in = # realna, lahko pola funkcije J ab = ,imenujmo ju :" in :#, vdoločenih pogojih tvorita celo konjugirano-kompleksnipar. To dejstvo je izredno pomembno za stabilnost sistema.Zaradi enostavnosti aproksimiramjo izraz EÎE ! a ! " b ¸" . To drobno&napako si lahko privoščimo ker je ojačenje E!œ "! ; poleg tega je to le statičnaamplitudna napaka, ki na dinamiko odziva ne vpliva. Naj se torej funkcija J ab = glasi:J ab = œ aE! " b= " = ##= = a= = baE " b= =" # ! " #(6.61)Za dosego optimalnega frekvenčnega ali časovnega odziva vezja moramovrednosti posameznih komponent izračunati iz vrednosti polov, le te pa moramouskladiti z vnaprej izbranimi optimalnimi poli (glej Dodatek A). Pri določanju polovsi bomo vedno prizadevali karakteristični polinom v imenovalcu preurediti kotprodukt njegovih korenov, ki so hkrati poli funkcije J ab = . Na splošno je mogoče vsakpolinom 8-te stopnje pretvoriti iz oblike potenčne vrste v obliko produkta korenov:8 8"3O= œ $a=: b(6.62)3 43œ! 4œ"Tukaj so O 3 koeficijenti polinoma ob pripadajočih potencah = , medtem kosmo s : označili pripadajoče korene (pole funkcije). Opazimo da indeks 3 gre od ! do43-50-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan8, indeks 4 pa od " do 8, kar pomeni da v našem primeru imamo tri koeficijente indva pola. Resda je pretvorba iz potenčne vrste v produkt z večanjem stopnje polinomavedno težja in za 8 & algebrske rešitve ni (dokaz je izpeljal že Évariste Galois,1811–1832), numerično pa je problem seveda vedno rešljiv.Po splošni enačbi (6.62) velja za polinom druge stopnje naslednja enačba:## " ! " #O = O =O œ a=:ba=:b (6.63)Ob primerjavi z izrazom (6.61) bodo koeficijenti v (6.63):O œ " #O œ a= = b" " #O! œ aE! " b= " = #Izraz (6.63) razrešimo po znani splošni rešitvi za kvadratično enačbo ( Dodatek B):(6.64): œ"# ,O „ ÈO %O O#O" " # # !#(6.65)Vstavimo koeficijente iz (6.64):= " = # "#:"# , œ „ Éa= " = # b % aE! " b = " = # (6.66)# #Lahko izpostavimo skupni faktor:= " = # % aE! " b= " = #:"#, œ "„ "# – Ë—a= = b" # #(6.67)Iz algebre vemo, da bosta pola :" in :#realna in med seboj različna, če je izrazpod korenom, ‘diskriminanta’ H! ; pola bosta realna in med seboj enaka, ko boHœ! (takemu sistemu pravimo da je ‘kritično dušen’); in končno, pola bosta tvorilakonjugirano-kompleksni par kadar bo H! . V primeru realnih polov bo tisti, ki jebližje koordinatnemu izhodišči (nižja frekvenca) dominanten pol, pasovna širina pa borazmeroma majhna. Zanimajo nas torej predvsem primeri, ko pola tvoritakonjugirano-kompleksni par, ali mejni primer, ko sta pola enaka. Zato iz korenaizpostavimo imaginarno enoto:= = % E " = =:"#, " #œ "„4 "# – ! " #Ë a ba= = b—" # #(6.68)Ojačevalni faktor aE! " b in ojačevalnikov dominantni pol = " sta določena zizbiro ojačevalnika, medtem ko je pri = # œ "ÎGDVF kapacitivnost GDdoločena zizbiro fotodiode in morebitne zaporne napetosti Z r po relaciji (3.9). Edina prostakomponenta, prek katere v tem primeru lahko vplivamo na lego polov, je upornostpovratne zanke V F , ta pa pripada = #. Zato nas bo zanimalo predvsem razmerje,označimo ga B , med lego = in prehodno frekvenco ojačevalnika = aE " b:# " !Bœ= #aE " b=! "(6.69)-51-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIzraz (6.68) lahko poenostavimo, če upoštevamo da bo v primerih, ki naszanimajo, = # vedno v bližnji okolici prehodne frekvence ojačevalnika, = " aE!" b.Zato bo veljalo = ¥ = in lahko zapišemo = = ¸ = :" # " # #= # % E! " = " = #:"#, ¸ "„4 "# – Ë a b =# —(6.70)kar, upoštevajoč (6.69), lahko spremenimo v:#BE a ! "= b " %:"#, ¸ "„4 "# – ÊB —(6.71)Diskriminanta (izraz pod korenom) je torej razmeroma preprosta::%H ¸ "(6.72)BČe je Hœ! , bosta pola realna in med seboj enaka ob:B œ%(6.73)Torej bosta pola :" in :# med seboj enaka in realna kadar bo = # štiriktat večjiod aE! " b=". To je primer kritično dušenenga sistema. Pola pa bosta konjugirano-kompleksna, če bo B% .Zapišimo še realno in imaginarno komponento polov, upoštevajoč = " œ ="in = œ "ÎG V . Tako je realna komponenta polov:# D Fimaginarni komponenti pa sta:" " "5" œ 5 # œ Œ=" ¸ # G V #G VD F D F(6.74)! = "= "# , œ … "= " " % aE " b GDVFŒ# G#DV ËF aG V = b # = G V ""D F " " D F(6.75)ali približno:"= "# , ¸ … % E! " = " GDVF"#G V È a b (6.76)DFSedaj, ko poznamo pole, bi radi ugotovili vpliv lege polov na pasovno širinoin frekvenčni odziv, ter posledično na stabilnost ojačevalnika.Poglejmo najprej frekvenčni odziv. Izračunajmo magnitudo prenosne funkcijekJa4 = bk, upoštevajoč = œ 4 = , = œ = , = œ =:Za enačbo (6.61) to pomeni:" " # #kJa4= bk œ ÉJa4 = b†J* a4= b œ ÈJa4 = b†Ja4=b (6.77)-52-

ω| F( j ) |Fotodiodni ojačevalnikE.MargankJa4=bkœ#E! Íc==" # aE!" bdE!" Ì #= = = aE " b‘#= a= =b# #" # ! " #(6.78)Narišimo Bodeov ( Hendrik Wade Bode, 1905–1982) diagram (magnitudo vodvisnosti od frekvence, ali ‘frekvenčni potek’) ko razmerje = # Î=" aE!" b zajame"vrednosti [3, 1, 3, 4]. Ker smo že na Sl.6.7 videli da je prehodna frekvenca(ojačevalnika 0T¸ "! Hz, kar je posledica = " aE!" b, bomo podrobneje pogledali le& )tri frekvenčne dekade v okolici in sicer 0 œ "! á "! . Za primerjavo bomo narisališe primer ko je = # Î=" aE!" b Ä _, kar je enakovredno primeru GDœ !. Prav takobomo za primerjavo narisali še ojačenje odprte zanke kE= abk(kar ustreza V Ä_ ).Fe0.707| A( s)|PR FA( s)i C Da b coR F10 110 0ω 2ω 1 ( A 0 +1)a 0.33b 1.0c 3.0d 4.0e ( C D = 0)d−11010 5 10 6 10 7 10 8f [Hz]Sl.6.9: Bodeov potek magnitude v odvisnosti od frekvence (‘frekvenčni odziv’). a) obrazmerju frekvenc = # Îc=" aE! " bdœ "Î$, se ojačenje v resonanci skoraj podvoji vprimerjavi z ojačenjem na nizkih frekvencah; b) ob razmerju 1 je ojačenje še vedno večje od 1(če je fazni zasuk ob ojačenju >1 večji od 315° bi sistem lahko postal nestabilen); c) šele prirazmerju 3 je ojačenje manjše od 1; d) ob razmerju 4 je sistem kritično dušen. e) razmerje jeneskončno, oziroma GDœ !. Za primerjavo, lE ab = l je ojačenje odprte zanke, takrat jerazmerje enako nič, oziroma VFp_ . Primer c ima največjo pasovno širino (seka ravenpolovične moči, oziroma amplitudno oznako 0.707, pri frekvenci ~12 MHz).Opazimo, da v primerjavi z enopolnim sistemom ( e), ki nad 10 MHz pada z20 dBÎ10 0, imajo dvopolni sistemi ( a, b, c, d) naklon dvakrat večji, 40 dBÎ10 0.Opazimo tudi, da se vse štiri krivulje dotikajo asimptote ojačenja odprte zanke prirazlčnih frekvencah, kar je tudi logično: ojačevalnik lahko ojači največ toliko, kolikormu dovoljuje njegova notranja zgradba in impedance v povratni zanki.Opazimo še da se ojačenje v resonanci veča, če se vrednost = # zmanjšuje.Ojačenje je večje od 1 že, če sta frekvenci enaki, = # Î=" aE!" b œ ", kot v primeru( b). Pri = # Î=" aE! " b œ "Î$ ( a) pa se ojačenje skoraj podvoji. Ojačenje bo manjšeod 1 šele v primeru ( c),kjer je tudi pasovna širina največja, okoli 12 MHz.-53-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganVelikost ojačenja v resonanci je sicer pomembna za stabilnost ojačevalnika,vendar ojačenje samo ni odločilnega pomena. Odločilnega pomena je velikost faznegazasuka v povratni zanki pri frekvenci, kjer je ojačenje še vedno večje od 1. Kot smo žeomenili, Nyquistov kriterij stabilnosti pravi, da bo ojačevalnik stabilen le, če je faznamargina v povratni zanki vsaj 45°. Ker je povratna zanka negativna (invertira signal),je to 180° zasuka na nizkih frekvencah. Poleg tega dominantni pol = " prispeva še45° na frekvenci 0" œ = " Î# 1, in 90° na vseh frekvencah vejih od 10× 0", skupno270°. Fazni zasuk 360° pomeni pozitivno povratno zanko (in nestabilni sistem).Razlika je 360° 45° œ 315°; tolikšen je lahko največ fazni zasuk ojačevalnika.Sledi da = # œ "ÎGDVFlahko prispeva kvečjemu še 315 270 œ 45° nafrekvenci kjer je ojačenje še večje od 1. Za analizo stabilnosti, ter s tem v zvezidoločitev največje vrednosti upornosti povratne zanke V F , nujno moramo poznatiodvisnost faznega zasuka od frekvence.Zakaj ojačevalnik v določenih pogojih izkazuje resonanco in zaniha, v drugihpa ne? Lega polov sistema je tisti ključni podatek, ki ga potrebujemo. Sl.6.10ponazarja kako se spreminja lega polov v odvisnosti od Bœ= # Î=" aE!" b. Za tosliko smo naredili izračun polov :" in :#na podlagi relacije (6.72) za vrednosti B vobmočju od 5 do 0.2 v korakih po 0.2, ter narisali lego polv v Laplaceovemprostoru, oziroma v kompleksni frekvenčni ravnini, =œ5 4=.1.00.5× 10 8pp12s = σ + jω321j ω0∆ x = 0.2x = 5 4450.2θ 2θ 30.2σ−0.5321− 1.0− 2.5 − 2.0 − 1.5 − 1.0 − 0.5 0 0.5 × 10 8Sl.6.10: Potovanje sistemskih polov :" in :#v kompleksni ravnini pod vplivomfaktorja Bœ= # Î=" aE!" b, ki se spreminja od 5 do 0.2, v korakih po 0.2. Polapotujeta najprej drug proti drugemu po realni osi 5, dokler ne dosežeta enake lege( Bœ% ). Z nadaljnjim zmanjševanjem Bpola tvorita konjugirano-kompleksni par inpotujeta po krogu proti izhodišču koordinatnega sistema. Manjša ko je negativnarealna komponenta polov, manjše je dušenje sistema in večje nihanje.Če pogledamo enačbo polov (6.72), vidimo da je diskriminanta H (6.72) obdoločenih vrednostih parametra B lahko pozitivna ali negativna. Karakterističnovrednost, ko je diskriminanta enaka nič, smo že določili: Bœ% . Glede na to točkorazlikujemo območje, ko je = # % = " aE! " b in sta pola :" in :#realna in medseboj različna; ko je = # œ% = " aE!" b sta pola realna in med seboj enaka; vobmočju kjer je = % = aE " b tvorita pola konjugirano-kompleksni par.# " !-54-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSpremljajmo lego polov v kompleksni ravnini v odvisnosti od B. Dokler jeB% , ležita pola na realni osi 5 in z zmanjševanjem Bpotujeta drug proti drugemudokler se ne srečata v isti legi ob Bœ% . Z nadaljnjim zmanjševanjem Bpa začnetatvoriti konjugirano kompleksni par, :"# , œ 5 "„4=", ter potujeta po krogu, ki sedotika izhodišča kompleksne ravnine (0, 0), vsak po svojem polkrogu proti izhodišču.Tako potovanje polov ob spremembi faktorja povratne zanke je značilno ne le zata primer, temveč za vse sisteme ki imajo od frekvence odvisno povratno zanko!Kakšen je fizikalni pomen lege polov v kompleksni ravnini? Negativna realnaos ponazarja upornost (izgubo energije), pozitivna realna os pa ‘negativno upornost’,oziroma generator (dodajanje energije). Imaginarna os pa predstavlja reaktivnoenergijo, pozitivni del asociramo z induktivnostjo, negativni pa s kapacitivnostjo. Boljoddaljena ko sta pola od izhodišča, večja je pasovna širina sistema (višja zgonjafrekvenčna meja), vendar bližje ko sta pola imaginarni osi, večje je nihanje pri odzivuna hitre spremembe signala, zaradi tega ker je upornostno dušenje sistema manjše.Poglejmo si nekaj karakterističnih točk na Sl.6.10. Zanimiva je mejna točka,ko pola imata istovetno lego ß: " œ: #, Bœ% . To lego imenujemo ‘tokčka kritičnegadušenja’, sistem pa bo kritično dušen (ang., ‘critically damped system’, CDS). OdzivCDS nima prenihaja pri odzivu na stpnico in se le asimptotično približuje končnivrednosti. Vendar je tak odziv prepočasen, ker za doseganje zahtevane natančnostipotrebuje precej časa, zato ga uporabljamo le v nekaterih posebnih primerih.Druga zanimiva točka je ob Bœ# , ko sta realna in imaginarna komponenta)pola med seboj enaki, :"#, œ a!Þ(!( „ 4 !Þ(!( b‚ "! [radÎs]. V tej točki tvoritapola z izhodiščem koordinatnega sistema trikotnik s kotom 90° v izhodiščnem kotu,oziroma, matematično bolj pravilno, izhodiščna vektorja polov tvorita s pozitivnorealno osjo kota ) # „ 135°. Tak kot pa je značilnost Butterworthovega para polov( Stephen Butterworth, 1885–1958, je leta 1930 prvi objavil članek o filtrskihojačevalnikih, kjer je izpeljal tak sistem polov [On the Theory of Filter Amplifiers,Experimental Wireless & Wireless Engineer, Vol.7, 1930, pp. 536–541]). Za podrobnejšo razlagorazličnih vrst polov naj si bolj radovedni bralci ogledajo Dodatek A . Kot ) je, potrigonometričnih pravilih, določen kot Arcus tanges razmerja med imaginarno inrealno komponento pola:)3e e=fœ arctand e=f=œ arctan53 33 3(6.79)Butterworthovi polinomi 8-te stopnje imajo vseh ( 8" ) odvodov v izhodišču( =œ! ) enake nič, kar zagotavlja maksimalno ravno frekvenčno karakteristiko (ang.,‘maximally flat amplitude’, MFA) skoraj do same zgornje mejne frekvence. MFAsistemi so najbolj uporabni za ojačevanje sinusnih signalov (elektronski VFvoltmetri), ker ima sistem enako ojačenje za vse posamične frekvence (skoraj dozgornje mejne frekvence). Vendar MFA sistemi niso primerni za ojačevanjeimpulzov, ker v časovni domeni na hitre spremembe preveč zanihajo.Tretja, za prakso najbolj zanimiva točka v grafu na Sl.6.10 je pri Bœ$ . Tam)imata pola vrednosti :"#, œ a!Þ*%#& „ 4 !Þ&%%" b‚ "! [radÎs]. Izhodiščna vektorjapolov tvorita med seboj kot 60° v izhodišču, oziroma ) $ „ 150° s pozitivno realnoosjo. To pa je značilnost Besselovih polov. Fazni zasuk Besselovih polinomov pojemalinearno s frekvenco (v linearnem frekvenčnem merilu; linearnost se ohrani do blizu-55-

| s |Fotodiodni ojačevalnikE.Marganfrekvenčne meje, kjer preide v konstanto; Besselovi polinomi višjega reda ohranijofazno linearnost tudi nad zgornjo frekvenčno mejo sistema).Ponazorimo še povezavo med lego polov in frekvenčnim potekom. V tanamen narišimo magnitudo prenosne funkcije lJ ab = l, a ne le nad imaginarnofrekvenčno osjo, pač pa nad celotno kompleksno ravnino. Sl.6.11 prikazuje rezultat zaprimer ko je razmerje = Î=aE " b œ #(primer Butterwortovih polov).# " !43.53F ( )2.52| F ( s ) |1.510.50−2σ−1.5−10.5× 10 8 −0 −2−1| F ( jω)|012j ω × 10 8Sl.6.11: Magnituda dvopolne prenosne funkcije v Laplaceovem prostoru. Domena funkcije je)kompleksna ravnina = œ 5 4 = , pola :"#, ležita na koordinatah 5 œ !Þ(!( × "! [radÎs],)= œ „ !Þ(!( × "! [radÎs] (Butterworthova lega polov). Namesto običajnega mrežega prikazapovršine, smo narisali potek funkcije za zvezno spreminjajoči se imaginarni del domene 4= ;)njen realni del 5 pa smo spreminjali parametrično (v korakih po 0.1×10 ), ter na ta načinpoudarili spremembo oblike frekvenčnega poteka in zvišanje odziva v resonanci, če se realnidel vrednosti polov (dušenje sistema) postopno zmanjšuje proti nič. Če z ojačevalnikomkopenziramo Ohmske izgube v vezju, dušenja ni in 5 œ! ; takrat ležita pola na imaginarni osiin je odziv v resonanci neskončen, sistem pa se obnaša kot oscilator. Ponavadi lJ a4=blrišemole nad pozitivnim delom imaginarne osi, 4 = !, z magnitudo in frekvenco v logaritmičnemmerilu; na tej sliki pa je merilo linearno. Toda vsaka v časovnem prostoru realna funkcija ima vfrekvenčnem prostoru konjugirano-kompleksno sliko, simetrično na realno os.6.7. Fazni zasukPoudarili smo že da je fazni potek v okolici mejne frekvence odločilnegapomena za stabilnost sistema. Fazni zasuk izvira iz razmerja reaktivnih in disipativnihimpedanc v vezju in predstavlja sukanje prenosne funkcije v odvisnosti od frekvenceu kompleksnem prostoru. Sl.6.12 prikazuje to sukanje za prvo krivuljo na Sl.6.11,torej za J a!„4= b. Dejansko se vse krivulje na Sl.6.11 prostorsko sučejo, toda žal kajtakega težko narišemo, ker v dveh dimenzijah lahko narišemo kvečjemu projekcijo 3Ddiagrama, za risbo kompleksne funkcije kompleksne spremenljivke pa bi potrebovali4D prostor, ali vsaj njegovo 3D projekcijo.-56-

I F( jω )IF( jω )Fotodiodni ojačevalnikE.Margan10.80.60.40.2cF( jω)0− 0.2− 0.4− 0.6− 0.8−11a− 20.5−1001− 0.5j ω × 10 8R F( jω)2 −1Sl.6.12: Prenosna funkcija Ja4=b v kompleksnem prostoru je prostorska krivulja. Zaradi lažjepredstave sukanja prenosne funkcije smo narisali še vse tri ‘sence’: senci a in b predstavljatarealen in imaginarni del frekvenčne odvisnosti. Senca c pa predstavlja Nyquistov faznidiagram, ki smo ga podrobneje in za širše frekvenčno območje narisali na Sl.6.13.b10.80.6f = 10 7 HzF( jω)0.40.20−0.2−0.4−0.6−0.8f = 10 6 HzDC| F( ) |jωϕ( jω)f = 10 8 HzF( −j ω)−1− 1 − 0.8 − 0.6 − 0.4 − 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1R F( jω)Sl.6.13: Nyquistov fazni diagram. Velikost (absolutna vrednost) faznega vektorja jelJa4= bl œ ÉcdeJa4= bfd # ceeJa4= bfd # , fazni kot pa je : a4=b œ arctan eeJa4= bf. KerdeJa4=bfojačevalnik invertira, je prenosna funkcija negativna, fazni vektor pa sevrti v smeri urnegakazalca (sicer bi se vrtel v nasprotni smeri in slika bi bila zrcalna okrog navpične osi).-57-

ϕω( j )Fotodiodni ojačevalnikE.MarganOglejmo si potek faznega zasuka naše dvopolne funkcije za enake primere kotpri frekvenčnem odzivu. Tako za enopolne funkcije (6.49), kot tudi za dvopolne(6.61) in večpolne funkcije velja, da je fazni zasuk Arcus tangens ulomkaimaginarnega in realnega dela prenosne funkcije:eeJa4=bf:= a b œ arctan (6.80)deJa4=bfOlajšajmo si delo in racionalizirajmo prenosno funkcijo Ja4=b tako, da bo imaginarnaenota le v števcu ulomka; to dosežemo tako, da tako števec kot imenovalec množimoz konjugirano-kompleksno vrednostjo imenovalca in imenovalec preide v svojoabsolutno vrednost. Prenosna funkcija (6.60) z racionaliziranim imenovalcem je:Ja4=b œ#= " = # aE! " bc= = " = # aE! " b4= a= " =# bd # #= = = aE " b‘##= a= =b" # ! " #(6.81)V izrazu (6.81) se imaginarna enota nahaja le v oglatem oklepaju v števcu ulomka,zato se bodo pri deljenju v izrazu (6.80) vsi ostali izrazi pokrajšali; ostane le::= a b œ arctan= a= " =# b= #= = aE " b" # !(6.82)Enako velja če namesto = pišemo kar 0 , ker se faktor # 1 povsod pokrajša. Sevedamoramo rezultatom prišteti še fazni zamik zaradi priklopa vhodnega signala nainvertirajoči vhod ojačevalnika, kar znaša 1[rad], oziroma 180°.Sl.6.14 kaže grafe izraza (6.82) ob enakih pogojih kot pri Sl.6.9. Nyquistovameja stabilnosti je označena s : N œ315°.−180−210−240−270−300R FA( s)iPC Dϕ N 315ϕ Ao= − °ababcdecdω 2ω 1 ( A 0 +1)e0.331.03.04.0−330−36010 5 10 6 10 7 10 8f [Hz]Sl.6.14: Bodeov fazni diagram v odvisnosti od frekvence za sistem na Sl.6.8. Nyquistovastabilnostna meja je pri : R œ315°. Fazni zasuk ojačevalnika ( e), ko je GDœ! , limitiraproti : E œ #(! ° Òod tega 180° prispeva invertirajoči vhod ojačevalnika, preostalih 90° paprispeva pol prenosne funkcije = " aE ! " bÓ. Fazni zasuk a prečka 315° pri ~7.6 MHz, kjerje ojačenje ¸" ( Sl.21, a);tak sistem je torej na sami meji stabilnosti.-58-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganČe ima ojačevalnik s povratno zanko ojačenje več kot 1 pri frekvenci, kjerfazni potek prečka Nyquistovo mejo, bo ta ojačevalnik nestabilen. Fazni potek ( a)prečka Nyquistovo mejo pri ~7.6 MHz, ojačenje na Sl.6.9 pa je pri tej frekvenci ¸ 1;ta sistem je torej na sami meji stabilnosti. Za mejni primer a iz razmerja frekvenc= # Î=" aE! " b œ "Î$ lahko ugotovimo mejno vrednost VFob kateri je ojačevalnik skapacitivnostjo G D še stabilen (privzemimo da uporabljamo fotodiodo SFH203 brez&zaporne napetosti, zato je GD œ "" pF, Tabela 3 ). Ostale vrednosti so: E!œ "! ,0 œ "! #, = œ # 10 . Iz (6.56) pa imamo = œ "ÎG V œ =. Ob tem bo:" " " # D F #"= #GDV F "œœ= aE " b # 1†"! #a"! &" b $" !(6.83)Zadnja dva ulomka nam dajeta odgovor:V œF$# 1 † "!# a"! & " b [s"] † "" † "!"#[AsÎV]œ %Þ$% k H (6.84)Upornost od 4.3 k H sicer še zagotavlja stabilnost sistema (ob ostalih danihpogojih), vendar je za detekcijo nizkih osvetlitev razmeroma majhna. A če želimoimeti odziv na stopnico z minimalnim prenihajem, bi morali V F zmanjšati na ~1.5 k H,kot je to v primeru c. Bolj natančno bomo mejni primer za časovni odziv zminimalnim prenihajem in najkrajšim vzponskim časom pri odzivu na stopnicougotovili z analizo ovojnične časovne zakasnitve sistema.6.8. Ovojnična zakasnitevAnalizo zgornjega primera dopolnimo še z ovojnično (grupno) časovnozakasnitvijo (ang., ‘envelope delay’ ali ‘group delay’), v odvisnosti od frekvence.Ovojnica je namišljena krivulja, ki se stikoma prilega vrhovom signalov vsehprenesenih frekvenc, in je podobna (ne pa enaka!) odzivu sistema na stopnico. Če najsistem ohrani kar se da verno obliko impulza ali stopničastega napetostnega prehoda,mora prenesti vse pomembne frekvence v prepustnem pasu z enako zakasnitvijo.Sistem, ki v delu prepustnega pasu ima povečano zakasnitev, ob vsaki ostrispremembi signala zaniha, zato bo naslednji pulz superponiran nihanju, ki so gapovzročili predhodni pulzi. Na splošno je frekvenca vhodnih pulzov različna od lastnefrekvence nihanja sistema, zato je v takem sistemu detekcija impulznih signalovmočno odvisna od frekvence ponavljanja pulzov, kar seveda ni zaželjeno.Pogosto bo pasovna širina sistema nižja od najvišjih frekvenc, vsebovanih vhitrih prehodnih pojavih. Idealno strm prehod vsebuje (po Fourieru) neskončno visokefrekvence, neskončna pasovna širina pa pomeni neskončno veliko energije. Odveč jepripomniti da noben realni sistem ne more imeti na voljo neskončno količino energije,zato bodo izhodni pulzi vedno imeli manj strme prehode.Izkaže se da sistemi z maksimalno ravno časovno zakasnitvjo (‘maximally flatenvelope delay’, MFED) imajo lego polov določeno na podlagi polinomov, katerihkoeficijente je mogoče izračunati s pomočjo Besselovih funkcij. Vezja s takimilastnostimi (takrat so to bile le pasivne VPG mreže) je leta 1952 prvi izračunal W.E.Thomson ( Networks with Maximally Flat Delay, Wireless Engineer, Vol. 29, 1952, pp. 253–263).Njima v čast pole takih vezij imenujemo Bessel-Thomsonovi poli, ali krajše Besselovipoli.-59-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZanima nas sprememba ovojnične zakasnitve sistema s frekvenco vhodnegasignala. Ovojnično zakasnitev izračunamo kot odvod fazne zakasnitve po frekvenci::=7e œ . a b(6.85).=Ker je frekvenca inverzna času, ima fazni odvod po frekvenci dimenzijo časa.Če želimo da je odvod faznega zasuka za vse frekvence enak (vsaj do zgornje mejnefrekvence sistema), mora biti sama fazna zakasnitev := a b linearna funkcija frekvence.Takim sistemom pravimo da so ‘fazno linearni’. Na Sl.6.14 uporabljamo logaritmično meriloza frekvence, zato tam linearne odvisnosti za sistem c ni opaziti. Bralcu za vajo priporočamo, da sinariše to sliko v linearnem merilu.Fazni zasuk smo za naše preprosto vezje na Sl.6.8 že izračunali (6.82). Tejfunkciji pa izračunamo odvod razmeroma preprosto po takoimenovanem ‘verižnem#pravilu’: če ulomek = a= " = # bÎc= = " = # aE!" bdv relaciji (6.82)označimo z B, bo odvod funkcije arctanaBb œ "Î a" B # b; to množimo z odvodomštevca, ki je preprosto Ð = " = # Ñ ; nato množimo z odvodom imenovalca "ÎC, kar#je "ÎC ; naposled pa vse množimo še z odvodom izraza v imenovalcu, kar je # = .Žal pa funkcije niso vedno tako preproste, zlasti če ima vezje več kot dva pola.Zato se bomo raje poslužili drobnega trika. Namreč, fazna funkcija je preprosta vsotafaznih prispevkov vsakega pola posebej. Če ima funkcija 8 polov in če so realne inimaginarne komponente vsakega pola = 5 œ 55 „4= 5, lahko fazno funkcijo : a=bzapišemo kot vsoto posameznih prispevkov:8 8= … = 5:= a b œ ": 5a=b œ " arctan (6.86)55œ" 5œ"Posledično bo tudi fazni odvod po frekvenci vsota posameznih prispevkov:58 8 8.:= a b .: 5a= b . = … = 5 55œ " œ " Œarctan œ ". = . = . = 555 a= … = b5œ" 5œ" 5œ"5 # 5 #(6.87)Še bolj preprosto pa je numerično računanje: če smo že izračunali točke zagraf faznega poteka, potem odvod izračunamo preprosto kot razliko vsakih dvehsosednih točk, ki jo delimo z razliko pripadajočih frekvenc, a: 3" : 3bÎa= 3" =3b.Vseeno, podajmo relacijo za ovojnično časovno zakasnitev s pomočjo polov. Kerželimo narisati graf faznega odvoda glede na frekvenco izraženo v Hz, lahkozamenjamo: 0 œ = Î# 1 , 0" œ = " Î# 1, prav tako pa ne smemo pozabiti na0# œ = # Î# 1 œ GDVF Î# 1. Lahko torej zapišemo:# 1#GDVF7 e œ##G V #G V " ! D Fˆ # 1 ‰ # 10 È%0 aE " bG V " ‘D F D F###G V #G V# 1#G Vˆ # 1 ‰ # 10 È%0" aE!" bG D V F " ‘D F D FDF#(6.88)Opazimo da sta predznaka obeh členov negativna, kar pomeni zakasnitev včasu in je posledica dejstva da ležijo poli v levem delu kompleksne ravnine (realni del5 !). Če bi sistem imel kakšno ničlo v prenosni funkciji, bi njen prispevek bil-60-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganpozitiven (pomenil bi časovno prehitevanje). Ker smo 7 e definirali kot ‘zakasnitev’, bimorda kdo raje predznak zanemaril in risal pozitivne vrednosti za vplive polov innegativne za vplive ničel. Vendar je bolje če ostanemo pri predznaku kot v (6.88), kerle ta odseva tudi smer vrtenja faze ( Sl.6.14). Na Sl.6.15 so ovojnične zakasnitve zaenake primere kot pri faznem diagramu in prenosni funkciji.0−0.1edcτ e−0.2−0.3[µs]−0.4−0.5−0.6a bR FoiPC D A( s)−0.710 5 10 6 f [Hz]10 7 10 8abcdω 2ω 1 ( A 0 +1)0.331.03.04.0e ( C D = 0)Sl.6.15: Ovojnična zakasnitev v odvisnosti od frekvence za enake primere kot naSl.6.9 in Sl.6.14. Primer ( c) predstavlja natanko tisti primer maksimalno ravneovojnične zakasnitve skoraj do same mejne frekvence sistema. Primera ( a) in ( b)imata preveliko zakasnitev ob resonanci, zato v časovnem odzivu močno zanihata.6.9. Impulzni časovni odzivOdziv sistema v časovni domeni karakterizirata predvsem impulzni odziv inodziv na enotno stopnico. Računanje prehodnih pojavov v časovni domeni na osnovipoznane prenosne funkcije v frekvenčni domeni je dejansko problem Laplaceoveinverzne transformacije, oziroma teorije residuov (lat., residuum, ostanek). Ne bomose spuščali v podrobnosti Cauchyjevih ( Augustin Louis Cauchy, 1789–1857)potenčnih vrst in krivuljnih integralov (bolj radovedni bralci lahko najdejo vsepodrobnosti v prvem poglavju knjige Wideband Amplifiers, [ Vir.xx]). Zaenkrat namzadostuje, če residue definiramo kot ‘ostanke’ prenosne funkcije, ko ji odvzamemoenega od polov. Vsota vseh residuov pa je iskani časovni odziv sistema. Več o tem vkratkem; najprej poglejmo odnose med vhodnimi in izhodnimi signali v časovnidomeni, ter definicijo časovnih funkcij za katere bomo računali časovne odzive.Kot bomo videli kmalu, je prenosna funkcija J ab = enaka Laplaceovemutransformu časovnega odziva sistema 0> ab, ki pa je odziv na Diracov impulz $ ab > .Relacija med vhodnim signalom B> ab, odzivom sistema 0> abin izhodnim signalomC> ab je podana s ‘konvolucijskim integralom’:> "C> abœ(B> ab†0a7 > b.>( 6.89)!-61-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIme izhaja iz latinskega izraza convolvere, kar pomeni ‘prepogniti’. Funkcijo0> ab smo prepognili tako, da smo vzeli njen potek v intervalu od ! do 7, ter jopreslikali (časovno obrnili) okoli vertikalne osi, kar se odraža v predznaku časovnespremenljivke, > . Ko potem pustimo da čas teče od ! do > ", funkcija 0a7 > b počasu drsi v smeri časovnega vektorja in se vedno bolj prekriva z vhodnim signalomB> ab. Infinitezimalna vsota (integral) zmnožkov prekrivajočih se površin je potemizhodni signal C> ab. Izraz ( 6.89) konvergira proti dejanski končni vrednosti signala lepod pogojem, da je 0> a 7b¸! , zato je potrebno izbrati zadosti velik 7.Impulzni odziv sistema, 0> ab, je po definiciji odziv na idealni, neskončno ozekin neskončno visok impulz, znan tudi kot Diracova, ali ‘delta’ funkcija, $a>b. Kot kažeSl.6.16, je Diracova funkcija definirana kot limita impulza z enotno površino,E ? >œ" , če gre ? >Ä! , zaradi česar gre EÄ_ .30211tδ()t$a> bœ œ ! k _ k>Á!>œ!( 6.90)t = 01 13 21tt = 0tSl.6.16: Diracova (‘delta’) funkcija kot limita impulza z enotno površinoKonvolucija ( 6.89) lahko hitro postane izredno zapleten postopek, ker sta tudiB> ab in 0> ab večinoma dokaj zapeleteni funkciji, in je integral njunega prduktaanalitično rešljiv le za razmeroma preproste primere (numerična rešitev pa sevedavedno obstaja).Vseeno smo izraz ( 6.89) navedli zaradi dveh zelo pomembnih lastnosti:Prvič, vrednost izhodnega signala v času > 8 ni odvisna le od vrednostih B a>8bin 0a7 > 8b, pač pa je, zaradi integracije, ki poteka od časa > œ !, njena vrednostodvisna tudi od vseh predhodnih vrednosti B ab ! âB a> 8" bin 0 ab ! â0a7 > 8" b. Topomeni, da je izhodni signal katerega koli sistema odvisen ne le od trenutne vrednostivhodnega signala, temveč tudi od celotne zgodovine odziva na vhodni signal! Če sevhodni signal hipoma spremeni, bo sprememba izhodnega signala vedno le postopna,nikakor ne trenutna.Druga lastnost pa je povezana s tem zadnjim stavkom: če je B> abœ $ ab > , se bofunkcija 0a7> bpreslikala v C ab > œ 0 ab > , torej sama vase. Spomnimo še enkrat da je$a> bneskončno ozek in neskončno visok pulz, vendar z efektivno površino enako 1,množenje z enoto pa vrednosti ne spremeni.Zato lahko zapišemo pomembno relacijo:0 e$ ab > f ´ 0 a>b( 6. 91)To spoznanje pa nam pride prav pri analizi v frekvenčnem prostoru in prehodu izčasovnega v frekvenčni prostor in spet nazaj.-62-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganV frekvenčni prostor vstopamo prek Laplaceove transformacije:=>J ab = œL e0 ab > fœ ( 0Ð>Ñ e .>( 6.92)=>Laplaceov fazni operator e skrbi za ustavitev rotacije fazorja na frekvenci = za vsečase > (stroj, ki mu želimo izmeriti premer enega od vrtečih se koles, je pametnonajprej ustaviti!). Ostali fazorji na drugih frekvencah se še naprej vrtijo in je njihovintegral po dolgem času enak nič, medtem ko fazor na frekvenci = konvergira protisvoji končni vrednosti.V frekvenčnem prostoru preide konvolucijski integral ( 6.89) v preprostomnoženje, zaradi česar so operacije v frekvenčnem prostoru razmeroma preprostealgebraične operacije. Če je ] ab = œ LeC ab > fin \ ab = œ LeB ab > f, sledi:!_] ab = œ \ ab = †J ab =( 6.93)Če še upoštevamo da je za B> abœ $ ab > odziv sistema C> abœ0 e$ab> f, sledi obupoštevanju relacije ( 6. 91), da je Laplaceov transform Diracove funkcije enak 1:=>L e$ ab > f œ ( $ Ð>Ñ e .> œ "( 6.94)!_Ker pri inverzni Laplaceovi transformaciji (iz frekvenčnega v časovni prostor)mora veljati enako, sledi da impulzni odziv sistema v časovnem prostoru lahkoizračunamo, če le poznamo frekvenčno odvisnost, preprosto z inverzno Laplaceovotransformacijo prenosne funkcije:-4_0 e$ ab > f œ 0 a> b œL i eJ ab = f œ ( JÐ=Ñ e .= ( 6.95)-4_Pri tem je - po volji izbrana pozitivna konstanta za katero inverzni transform obstaja.Omenili smo že da inverzno Laplaceovo transformacijo računamo prek teorijeresiduov. Le te definiramo kot ostanke prenosne funkcije, ko odštejemo vpliv enegaod polov. Za prenosno funkcijo smo že pokazali (91) da jo lahko zapišemo bodisi vobliki polinomske vsote, bodisi kot produkt izrazov, ki vsebujejo po en sam pol. Vsplošnem ima prenosna funkcija lahko 8 polov : 3 ( 3œ"á8) in 7 ničel D5( 5œ"á7), pri čemur je vedno 87. Zapisali smo : 3 in D 5 namesto običajnih = ",= #, á , = 8 da lažje razlikujemo pole od ničel prenosne funkcije:8# a:3b# a=D5b3œ" 5œ"J ab = œ8†7# a=:b # aDb3œ"73 55œ"=>a: " ba: # bâa: 8 b a=D " ba=D# bâ a=D7bœ †a=: ba=: bâ a=: b aD baD bâaDb" # 8 " # 7( 6.96)-63-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSplošni izraz za residuum < 3 enostavnega pola : 3 se glasi::> 3< 3 œ lim a=: 3bJ a=be ( 6.97)= p:3˜Kot kaže definicija ( 6.97 ), je residuum < 3 rezultat limitnega procesa ko grekompleksna frekvenca = proti polu : 3, če smo prenosno funkcijo pomnožili s a=:3b:>in s tem izločili vpliv pola : , ter množili z Laplaceovim faznim operatorjem e 33 , kiskrbi za ustrezno rotacijo (ali, če je predznak v eksponentu negativen, za ustavitevrotacije) fazorjev posameznih spektralnih komponent.Izkaže se da je limitni proces nujen le, kadar računamo analitično. Zanumerično računanje zadostuje, če v izrazu ( 6.97) najprej pokrajšamo a=: 3 b zenakim izrazom v J ab = , nakar preprosto vstavimo = œ : 3, kar računalniški algoritemzelo poenostavi.Vendar je treba opozoriti da postopek ( 6.97) velja le za preproste pole. Kadarima funkcija ;–krat ponavljajoči se enak pol, poteka postopek drugače:a;"b" .< 3 œ Ð= : Ñ KÐ=Ñ=p:;" x .=;" 3 ; : 3>lim3a b – —e Ÿ ( 6.98 )a bpri čemur je K= abœJ aba =Î=: b, kjer je J ab = del funkcije s preprostimi poli, medtem ko pol : 3 nastopa ;–krat. Zato je treba funkcijo Ð= : 3 Ñ ; KÐ=Ñ najprej odvajatia;" b–krat po = , ter šele nato poiskati limito. Algoritem, ki bi to naredil za splošniprimer, bi bil dokaj zapleten. Na srečo se izkaže da skoraj nikoli ne želimo imeti večpolov z isto lego, ker take funkcije niso optimalne v nobenem smislu. Žal je vpraksi najbolj enostavno realizirati prav sisteme s ponavljajočimi se vrednostmikomponent in temu se mnogi elektroniki iz lenobe, ali iz neznanja radi zatečejo!Vsota vseh residuov ( 6.97) je impulzni odziv sistema v časovni domeni:3 ;80> ab œ " < 3 ( 6.99)Residui, tako kot poli, nastopajo vedno bodisi kot realni, bodisi v konjugiranokompleksnihparih, zato je vsota vseh residuov vedno realna časovna funkcija(imaginarne vrednosti konjugirano kompleksnih parov se pri seštevanju izničijo).Poiščimo sedaj residue naše dvopolne prenosne funkcije (6.62), ki jo bomozapisali v produktni obliki s poli, ki smo ijh tudi že izračunali (6.77):J ab = œ 3œ":: " #a=: ba= : b" #(6.100)Residuum za pol : " se glasi::: " #:> "< " ab > œ lim a=:"e= p:"b” •a=:" ba=:# bœe œe ( 101)= lim :: " # :> ::"" # :> "p: "Œ 6.=: : :# " #Enako naredimo še za =Ä: # in dobimo residuum < #ab > :-64-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan:: " #< # ab > œ lim a=:#e= p:#b” •a=:ba=:b" #œe œe ( 102)= lim :: " # :> ::#" # :> #p: #Œ 6.=: : :" # "Tako bo časovni odziv sistema vsota vseh residuov::>##:: " # :: " #0> abœ " < 5ab> œ e : : : :5œ1:> :>" # # "e" #(6.103)Narišimo impulzne odzive po relaciji (6.103) za enake pogoje kot smo jihimeli za frekvenčni odziv, fazni zasuk, ter ovojnično zakasnitev.0.60.50.40.3edcbf ( t )R FoiPC D A( s)abcdω 2ω 1 ( A 0 +1)0.331.03.04.0e ( C D = 0)0.2a0.10− 0.10 0.1 0.2 0.3t [ µ s]Sl.6.17: Impulzni odziv sistema ob enakih pogojih kot pri frekvenčnem odzivu, Sl.6.9.Pri praktičnem preskušanju impulznega odziva seveda ne moremo imetiidealne Diracove funkcije. Na srečo zadostuje, če je višina impulza taka, da ostaneznotraj linearnega območja vhoda sistema, širina impulza pa mora biti zadosti kratka,ne daljša od 1Î5 najkrajše časovne konstante sistema. Časovni integral takega impulzaje potem ‘enota’, glede na katero preračunamo amplitudo izhodnodnega signala.6.10. Časovni odziv na stopničast vhodni signalZa praktično preskušanje vezij je najpomembnejši odziv na stopničastospremembo napetosti ali toka. Frekvenčni potek magnitude je večinoma mnogo lažjeizračunati kot izmeriti, za meritev potrebujemo precizni oscilator z v širokem obseguzvezno nastavljivo frekvenco in amplitudo, povrhu pa še vektorski analizator(instrument, ki lahko deli fazorja izhodnega signala z vhodnim, ter izpiše magnitudoin fazni kot). Pri časovnem odzivu na stopnico je ravno obratno, za meritevpoterbujemo le bistabilni oscilator in navaden osciloskop. Seveda za precizno meritevmorata biti tudi oscilator in osciloskop primerne kvalitete, a če nam zadostuje-65-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margannatančnost 1‰, je te instrumente je razmeroma enostavno narediti, zato jih izdelujejov večjih količinah in njihova cena ni pretirano visoka, za razliko od instrumentov zafrekvenčno analizo primerljive natančnosti.Enotna stopnica, ali Heavisideova funkcija, se skokovito spremeni ob času>œ! in ima po definiciji vrednost 0 za čase >! , ter vrednost 1 za čase > !:1t = 0ht ()t2> abœ œ ! k " k >!> !(6.104)Sl.6.18: Definicija Heavisideove enotne stopniceČe želimo dobiti odziv ga> bna Heavisideovo stopnico 2 ab > , imamo na voljodve poti: prva je časovni integral impulznega odziva, oziroma funkcije 0> ab:> mga> bœ ( 0 ab > .>( 6. 105)>œ!pri čemur mora biti zgornja meja integracije > m taka, kot je bil časovni interval v:>eksponencijalnem členu e5pri residuih. Zaželjeno je da je > m vsaj petkrat večji odnajdaljše časovne konstante sistema, zato da vsa nihanja pri impulznem odzivuizzvenijo do zadosti majhne vrednosti (za dosego vrednosti nič bi moral biti časovniinterval neskončno dolg). S tem dosežemo da bo končna vrednost integrala zadostiblizu dejanski končni vrednosti, ki jo sistem doseže čez čas. Čeprav je numeričnaintegracija razmeroma preprosta operacija (vsak naslednji člen niza je vsota vsehprejšnjih), je analitična rešitev integrala ( 6. 105) pogosto izredno zapletena, če ne žekar nemogoča.Na srečo nam je na voljo še druga pot, in sicer prek Laplaceove transformacije.Najprej je treba, po relaciji ( 6.93), množiti prenosno funkcijo sistema, J ab = , zvhodnim signalom \= abœL=ab, kar je Laplaceova trasformacija Heavisidovestopnice:=>L= abœL e2> abfœ ( 2Ð>Ñ e .> œ " ( 6. 106)=S tem ko pomnožimo našo prenosno funkcijo J ab = z operatorjem "Î= dobimoše en dodaten pol, označimo ga z :!, pri = œ !, zato bomo imeli še en dodatniresiduum, < ! , katerega vrednost bo vedno 1 (vsaj pri normiranih prenosnih funkcijahbrez ničel, le s poli, torej takih sistemov, pri katerih spodnja frekvenčna meja sega dofrekvence nič). Zaradi tega se analitično iskanje residuov sicer nekoliko zaplete, a jenaloga še vedno neprimerno lažja kot pri časovnem integralu ( 6. 105).Sedaj imamo določena vsa potrebna matematična orodja in lahko poiščemočasovni odziv na stopnico za naš ojačevalnik na Sl.6.8, ali (matematično) Laplaceovoinverzno transformacijo prenosne funkcije J ab = iz relacije (6.61) [ki je enakovrednafunkciji iz relacije (6.69) ob 8 œ # in 7 œ !], pomnožene z "Î=.!_-66-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZaradi enostavnosti spet vzemimo da je ojačenje E ! zadosti visoko da lahkoaproksimiramo izraz EÎE ! a ! " b¸" . Tako se nova funkcija K= ab, ko J ab =pomnožimo z "Î=, glasi:" " aE! " b= " = #K= abœ J ab = œ †= =#= = a= = baE " b = =Pole :"#, funkcije J ab = smo že izračunali (6.69):" :":#K= abœ †= a=: ba=:b" # ! " #" #(6.107)(6.108)Zaradi "Î= ima ta funkcija dodatni pol :!œ ! (torej pri = œ !). Poiščimo residue zaK= ab po splošni relaciji ( 6.97 ). Če začnemo pri < ! (za =Ä: !):" :":#< 0a>bœlima=!e= p0bŒ †= a=: ba=:bœ" #œ= lim p0 Œ :: " # :: " # œ "a= : ba= : b a: ba:b" # " #!>( 6. 109)!ker je e œ" . Že smo zapisali da je residuum pri = ! œ! vedno enak ", a našojačevalnik invertira signal zato je predznak negativen. Nadaljujmo pri =Ä: " :" :":#< " ab > œ lim a=:"e= p :bŒ †"= a=: ba=:b" #:: " # :> ::"" # :> "œ lime œe= p : Œ " == a :# b :" a: " :#b:#:> "œ e ( 6. 110): :" #Enako naredimo še za :#" :":#< # ab > œ lim a=:=Ä: #e= p :bŒ †#= a=: ba=:b" #:: " # :> ::#" # :> #œ lime œe= p : Œ # == a :" b :# a: # :"b:":> #œ e ( 6.111): :# "Tako bo časovni odziv sistema vsota vseh residuov::>":>##:# :"ga>bœ " < 5ab> œ " e : : : :5œ!:> :>" # # "e" #(6.112)Kadar pola :" in :#tvorita konjugirano kompleksni par, je mogoče vsotoeksponencijalnih izrazov transformirati v sinusno-kosinusni par funkcij (po Eulerjevihenačbah), vendar tega ne bomo naredili, ker je izraz (6.112) bolj splošen.Vstavimo vrednosti polov : "ß# po relacijah (6.74) in (6.75), ter upoštevajmoÞenake vrednosti komponent in parametrov vezja kot prej, tudi Bœ !Þ$"$% , , , ‘.Časovno območje > naj bo tako, kot za impulzni odziv, v intervalu !á $ × "! ( [s].-67-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIzračunane odzive na stopnico kaže Sl.6.19. Glede na predznak funkcije ga>b(6.112) bi seveda pričakovali negativen odziv (zrcalno sliko okoli časovne osi).Vendar spomnimo da smo fotodiodo priključili tako, da foto-tok teče navzven izvhoda ojačevalnika ( 3P !), zato je izhodna napetost pozitivna. Opozorimo ponovnona daljše nihanje pri odzivih a in b, ter na odziv c (Besselova lega polov), kateregaprenihaj je le ~0.4% nad končno vrednostjo, prav tako pa ima najkrajši vzponski čas(časovna razlika med točkama, kjer signal doseže 90% in 10% končne vrednosti).1.41.2ba1.00.8cde0.60.4iPC DR FA( s)a 0.33b 1.00.2c 3.0d 4.0e00 0.1 0.2 0.3t [ µ s]og( t )ω 2ω 1 ( A 0 +1)Sl.6.19: Odziv ojačevalnika na stopnico za enake pogoje kot pri frekvenčnem odzivu ( Sl.6.9).Za primerjavo je, poleg omenjenih vrednosti parametra Bœ= # Î=" aE!" b, narisan še odzive, ko je fotodiodna kapacitivnost GDœ !. Primer a je, kot smo že ugotovili, na mejistabilnosti in močno zaniha. Primer b sicer zaniha manj, a za sledenje hitri sekvenci impulzovle ni primeren. Dejansko nam najbolj ustreza primer -, ki najhitrejše doseže končno vrednostna bolj kot 1‰ natančno (že v ~66 ns), ter ima prenihaj manjši od 0.5%.Ker pa smo normirali odziv na produkt 3V P F, spreminjali pa le VF, smodejansko morali vsakič prilagoditi še velikost vhodnega toka, da smo dosegli enakokončno vrednost odziva. Temu bi se lahko izognili, če bi namesto VFsperminjali GD,toda ta je za določeno fotodiodo tudi določena, spreminjamo jo lahko le v manjši meris pomočjo zaporne napetosti (3.9). Iz grafa na Sl.3.4 je razvidno, da je pri zaporninapetosti 25 V kapactivnost G D ~ 4× manjša (3 pF) kot brez zaporne napetosti (11 pF).To pomeni da bi namesto 4.3 k H (6.84) v primeru a lahko imeli V F ¸ 16 k H, oziromaV F ¸ 6 k H v primeru c.Vendar je, poleg kapacitivnosti fotodiode, G D , potrebno upoštevati tudi ostalerazsejane kapacitivnosti. Denimo, že sam ojačevalnik ima okoli 1–2 pF na vhodu, paše okoli 0.5–1 pF prinesejo povezave na tiskanem vezju, kar je treba prištetikapacitivnosti fotodiode. Zato je zmanjševanje kapacitivnosti G D učinkovito le dodoločene meje.Za nadaljnje zvišanje pasovne širine in zagotavljanje stabilnosti sistema sopotrebne nekoliko drugačne rešitve; te bomo obravnavali v naslednjem poglavju.-68-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganOpozoriti je treba še na eno podrobnost: fotodiode s kovinskim ohišjem imajopraviloma katodo v stiku z ohišjem, Sl.3.1, kar pomeni da bi v naši vezavi ohišje bilovezano na vhod ojačevalnika in prispevalo svojo kapacitivnost proti okolici (naprimer, kovinskemu ohišju celotnega sistema) k vhodni kapacitivnosti. Temu se jetreba izogibati, ne le zaradi povečane kapacitivnosti, pač pa tudi zaradi možnosti davisokofrekvenčni signali drugih naprav prek večje parazitne kapacitivnosti najdejo potdo občutljivega vhoda ojačevalnika in povzročijo motnje. V takem primeru lahkopriključke fotodiode raje obrnemo, in uporabimo pozitivno zaporno napetost; s tem boseveda izhodna napetost negativna funkcija osvetljenosti. Druga možnost je v uporabifotodiode s plastičnim ohišjem.6.11. Sklepne opombe k osnovnemu vezjuS tem končujemo obravnavo osnovnega vezja fotodiodnega ojačevalnika, obkateri smo spoznali osnovne lastnosti samega ojačevalnika, ter osnove analize vezij innekatera pomembna matematična orodja za izračun odziva sistema v frekvenčnem inčasovnem prostoru.Spoznali smo tudi kako lega polov vpliva na delovanje sistema. Ob tem smopokazali eno zelo pomembno splošno lastnost aktivnih električnih vezij, to je dasistem s sklenjeno povratno zanko ima drugačne pole, kot jih imajo njegoviposamezni sestavni deli (ojačevalnik, VG členi).Če smo operacijskemu ojačevalniku s polom = " (zaradi katerega je njegovoodprtozančno ojačenje imelo zgornjo mejno frekvenco 0" œ = " Î# 1 œ "!! Hz)dodali le upornost V F v povratno zanko, se je sistemski pol prestavil na = " a"E!b, kimu ustreza frekvenca 0T œ = " a"E!bÎ#1, torej za faktor odprtozančnega ojačenja&E!œ "! višje, na 10 MHz ( Sl.6.7).Še bolj dramatične spremembe nam je pokazala Sl.6.10, tam sta dva sicerpovsem realna pola, = " a" E ! b in "ÎGDVF, naenkrat po vplivom povratne zankeprešla v konjugirano-kompleksni par, .: "# ,V nadaljevanju bomo obravnavali različna večpolna vezja, tudi taka z dvemaojačevalnikoma, zato se bo treba navaditi strogo ločevati med sistemskimi poli in poli,določenimi s sestavnimi deli vezja. Da se izognemo morebitni zmedi, bomo odslejpole, ki so določeni s setavnimi deli vezja, vedno označevali s črko = in ustreznimštevilčnim indeksom, med tem ko bomo sistemske pole označevali s črko : inprav tako s številčnim indeksom, morebitne ničle pa s črko D, tako kot v ( 6.96 ).-69-


Fotodiodni ojačevalnikE.Margan7. Izboljšave fotodiodnega ojačevalnikaVideli smo da kapacitivnost fotodiode G D , četudi razmeroma majhna,neugodno vpliva na odziv ojačevalnika. Večina fotodiod ima optično povšino večjood tiste s katero smo računali, njihove kapacitivnosti gredo celo v nanofarade.Kapacitivnosti večje od ~50 pF v svoji povratni zanki večina ojačevalnikov neprenese, ker takoj zanihajo (znano Murphyjevo pravilo, prikrojeno elektroniki, seglasi: “Ojačevalniki oscilirajo, oscilatorji nočejo!”). Pojav oscilacij pri ojačevalnikihželimo preprečiti, zato moramo povratno zanko ojačevalnika nekoliko spremeniti.Za visoko občutljivost mora biti v povratni zanki ojačevalnika ustrezno velikupor VF. Če temu uporu vzporedno dodamo majhno kapacitivnost GFz vrednostjo lenekaj pF, kot na Sl.7.1, nastane v povratni zanki kapacitivni delilnik GÎG F D, kar navisokih frekvencah omili fazni zasuk signala v povratni zanki, ter izboljša stabilnost.C Fi PC D21R F( )AsoSl.7.1: Kompenzacija parazitne kapacitivnosti fotodiode v primeru zahteve povisoki občutljivosti (visoki vrednosti VF). GF in GDtvorita kapacitivni delilnik;ojačenje na fisokih frekvencah je še vedno veliko, vendar je fazni zasuk manjši.Vendar tak fazni popravek zadostuje le za manjše vrednosti G D , morda do~100 pF, odvisno tudi od lege sekundarnih polov ojačevalnika. Večje vrednosti G Dzahtevajo spet drugačne načine kompenzacije, ki jih bomo obdelali kasneje.7.1. Prenosna funkcija ob kompenzirani povratni zankiIzpeljimo prenosno funkcijo vezja na Sl.7.1. Kapacitivnosti GFin GDtvoritakapacitivni delilnik, kar pripomore k manjšemu faznemu zasuku na visokihfrekvencah. Tako kot v prejšnjem primeru, se vhodni tok 3 P v vozlišču @#razveji, atokrat na tri komponente: prva je spet tista ki gre skozi G D , drugi dve gresta skoziimedanco v povratni zanki, ki je sedaj v obliki vzporedne vezave upornosti V F inkompenzacijske kapacitivnosti G F . Toda, kot bomo videli v kratkem, na pasovnoširino vpliva vsota obeh kapacitivnosti, zato bo pasovna širina vedno manjša kot prinekompenziranem ojačevalniku.Vsota tokov v vozlišču je:@ #@# @#@ o3Pœ " "=G D"V=GFF(7.1)-71-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIzraz (141) najprej uredimo in se znebimo večkratnih ulomkov:nato pa združimo koeficijente pri @ # :Pomnožimo še vse z@#@ o3 œ @#=G a"=G V bVP D F FF(7.2)"=G V @3 P œ @ =G D F F o#Œ a"=G VV VF F b (7.3)F, da dobimo napetostno normirano relacijo:V F3PVF œ @#a=GDVF =GFVF " b @ oa" =GFVFb (7.4)Ojačenje odprte zanke ojačevalnika (6.26) določa vhodno napetost @# œ @ oÎE ab = ,tako kot smo že videli v začetni obravnavi (64). Če zamenjamo v (144):@ o3PVF œ =GDVF =GFVF " @ o "=GFVFE= ab a b a b@ #F(7.5)Torej se prenosna funkcija glasi:@ o"J ab = œ œ3V P F"=G V =G V " " =G VE= ab a D F F F b a F F b(7.6)Vstavimo še izraz za E= ab(6.26), nato uredimo po potencah = , tako da je koeficijentpri najvišji potenci = enak 1:EJ ab = œ †a"EbPreostala koeficijenta O in O sta potem taka:" !O#= =O O! !!" !" a= " bGDaE! " ba= " bGO"œ V aG G b aG G b aG G bF D F D F D FF(7.7)(7.8)aO œ = " ba " E ! b!V aG G bF D F(7.9)Prevedimo karakteristični polinom prenosne funkcije, torej imenovalec vizrazu (147), iz potenčne vrste v obliko produkta polov. Tako kot v prejšnjemprimeru, pole lahko najdemo s primerjavo koeficijentov v imenovalcu (147) s splošnoobliko karakterističnega polinoma:#= = a: : b: : œ a=: ba=:b (7.10)" # " # " #Primerjava nam da enačbi: a: : b œO" # "::œO" # !Ta sistem enačb razrešimo tako da iz (152) izrazimo = " :(7.11)(7.12)-72-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan:"œO:#!(7.13)nato pa s tem zamenjamo v (151):: "O!Œ: # œO"(7.14):in dobimo kvadratično enačbo za :#: : O O# # # " !œ!: #(7.15)ki jo razrešimo s standardnim obrazcem za polinom druge stopnje ( Dodatek B)::#œ O „ ÈO" # %O#" !kar zapišemo tako, da izpostavimo skupni faktor in imaginarno enoto izpod korena:(7.16)S tem se vrnemo v (153) in dobimo še ::#O " %Oœ "„4 "# Ë!O" #(7.17):": "#O! %O!œ "„4 "(7.18)O ËO " " # "Navidez sta pola povsem različna. Toda naj ima : " negativen predznak pred korenom:#O!":"œ †(7.19)O"%O"4 "É !O" #Množimo števec in imenovalec s komplementarno vrednostjo imenovalca in takoracionaliziramo imenovalec:Po krajšanju fakteorjev dobimo::"#O!œ †O"%OO!"4É"%OO!"Š " ‹" #" #(7.20):"O " %Oœ "4 "# Ë!O " #(7.21)zato bo : œ :, kjer smo z zvezdico nakazali konjugirano kompleksno vrednost:# " * O " %O:#œ "4 "(7.22)# Ë!O Imamo torej spet komplementarni par polov, ki v določenih pogojih (obdoločenem razmerju VG konstant sistema) preideta v konjugirano kompleksni par." #-73-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganV praksi ponavadi najprej izberemo fotodiodo, in sicer na osnovi zahtevanesvetlobne občutljivosti W. Iz občutljivosti W in željene izhodne napetosti @ o obnominalni osvetlitvi TDdoločimo VF. Fotodioda pa prispeva še nezaželjeno parazitnokapacitivnost G D , ki utegne destabilizirati ojačevalnik. Ojačevalnik izberemopredvsem na podlagi zahtevane pasovne širine, visoke vhodne impedance in majhnegalastnega šuma. Nato pa iščemo tako vrednost kompenzacijske kapacitivnosti G F vpovratni zanki, ob kateri bo ojačevalnik ne le stabilen, pač pa bo imel odziv nastopnico z minimalnim prenihajem. Tak odziv dobimo le s Besselovo lego polov( Dodatek A). Vrednosti za dvopolni Besselov sistem, izpeljane iz pogoja zanormirano ovojnično zakasnitev 7= , so:e h œ"$ È$= +ß, œ „ 4 œ "Þ& „ 4 !Þ)'' [radÎs] (7.23)# #Delimo z realno komponento da dobimo vrednosti normirane na pasovno širino:$= œ " „ 4 È $+ß, œ F " „ 4 !Þ&((%# $ a b (7.24)kjer je F œ $Î# faktor, ki je sorazmeren (ne pa enak!) pasovni širini sistema. V našemprimeru za pole :"ß# je F œ O"Î# . Sledi da mora biti izraz pod korenom v relacijah(161) in (162) enak 4 !Þ&((%:È$ %O!œ "$Ë (7.25)OIzraz (164) bi lahko kvadrirali in vnesli izraza za O" in O! , ter razrešili za GF,vendar je to čisto algebraični problem, povrhu dokaj zamuden (tudi če O "poenostavimo do skrajnosti in upoštevamo le zadnji sumand), in ne prinese nobenihnovih vpogledov.Vendar ni smiselno določiti G F z veliko natančnostjo, saj razsejanekapacitivnosti vezja in tolerance komponent povzročajo razmeroma veliko napako.Zadostuje če za konkreten primer vnesemo numerične podatke v (164), ali kar vprenosno funkcijo (147) in s spreminjanjem parametra G F poiščemo željeni odziv. Zuporabo računalniških programov kot sta Mathematica (Wolfram Resarch), Matlab(The Mathworks), ali drugi, je opravilo otročje lahko, saj imajo ti programi vsamatematična in grafična orodja, ki jih potrebujemo, že vgrajena. Lahko uporabimotudi kakšnega izmed namenskih programov za simulacijo vezij (SPICE, ali podobni).Še največ časa nam bo vzelo vnašanje podatkov, oziroma risanje sheme in definiranjeojačevalnika (če le tega ni v programski knjižnici). Edino na kar moramo biti pozornije da J ab = izračunamo pri = œ 4# 10, med tem ko bomo grafe frekvenčne odvisnostirisali v odvisnosti of 0.Tak postopek smo uporabili za Sl.7.2, ki kaže magnitudo, fazni zasuk inovojnično zakasnitev v odvisnosti od frekvence 0 in kapacitivnosti G F , ki joparametrično spreminjamo od 1 do 10 pF v korakih po 1 pF.Iz grafov magnitude in faznega zasuka težko razločimo katera vrednost G Fustreza Besselovemu paru polov. Zato si pomagamo še s potekom ovojničnezakasnitve 7 e œ. : a= bÎ.= , ki seveda mora biti maksimalno ravna." #-74-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIz Sl.7.2 je razvidno da maksimalno ravno ovojnično zakasnitev dosežemo privrednosti kapacitivnosti GF¸ & pF (ob določenih vrednostih ostalih parametrov).10 1( s)oiPR F10 0C F = 1pFC FC F = 10 pF10 −110 − 2−180−210i PC D21R FA( s)oR F =C D =100 kΩ50 pF5A 0 = 10s 1 = − 2 π 102C F = 1pF−240C F = 10 pF−270ϕ ( s)[ ° ] −300τ e[µs]−330−3600−0.2−0.4−0.6−0.8−1.0−1.2−1.4−315C F = 1pFC F = 5pFC F = 10 pF−1.6−1.810 4 10 5 f [Hz]10 6 10 7Sl.7.2: Magnituda lJ ab = l , fazni zasuk : ab = , ter ovojnična zakasnitev 7 e œ .: a= bÎ.=v odvisnosti od frekvence in kapacitivnosti G F , ki se spreminja od 1 do 10 pF vkorakih po 1 pF, ob podanih vrednostih ostalih parametrov vezja. Če je GFœ & pF,bo ovojnična zakasnitev maksimalno ravna, kar je lastnost Besselovega sistema.Da je vrednost GFœ & pF ustrezna preverimo še z odzivom na stopnico. V tanamen spet potrebujemo izračun residuov iz polov, ki poteka enako kot v prejšnjemprimeru in tudi rezultat je podoben, le da so vrednosti polov tokrat drugačne, zato tegane bomo ponavljali. To nalogo prepustimo bralcu za vajo. Sl.7.3 kaže rezultate,odzive smo izračunali le za oba skrajna primera G F, " in "! pF, ter za optimalniprimer & pF, za katero dobimo maksimalno hiter odziv z minimalnim prenihajem.-75-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan1.81.61.41.2C F = 1pFC F = 5pFR F =C D =100 kΩ50 pF5A 0 = 10s 1 = − 2 π 1021.00.80.60.40.20C F = 10 pFR F2A( s)1− 0.20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t [ µ s]Sl.7.3: Odziv na stopnico pri enakih pogojih kot na Sl.7.2.Rezultat za " pF nekoliko preseneča; namreč, amplituda nihanja se zmanjšujerazmeroma hitro. Ogromna večina realnih ojačevalnikov bi z tako majhno vrednostjokompenzacijeke kapacitivnosti zagotovo zanihala z naraščajočo amplitudo inzaoscilirala. Da se to v našem modelu vseeno ne zgodi je posledica premalo realnegamodela našega modela ojačevalnika. Kot smo že omenili, realni ojačevalniki imajo,poleg dominantnega pola = " še vsaj en nedominantni pol, ki leži nad mejo = " aE!" b.Ker je nad to frekvenco ojačenje odprte zanke že manjše od 1, prisotnost tega pola občisto uporovnem delilniku v povratni zanki ne vpliva dosti. Vendar v primerih kot jenaš, nedominantni pol vnese dodatni fazni zasuk, ki fazo povleče pod Nyquistovomejo stabilnosti (: œ $"& °). Če se to zgodi pri frekvencah, kjer je ojačenje še vednovečje od ena, bo ojačevalnik zaosciliral.Če bi želeli postaviti nekoliko bolj realen model ojačevalnika, bi moraliprenosno funkcijo odprte zanke opisati z vsaj dvema poloma:E= abœE!i PC D== " ##= = a= = b= =" # " #C Fo(7.26)ob pogoju = # #=" aE!" b; a s tem bi že tako zapleteno analizo dodatno otežkočili.Vpliv sekundarnih polih bomo podrobneje obravnavali nekoliko kasneje.7.2. Zagotovitev popolne stabilnosti ojačevalnikaČe želimo vezju zagotoviti popolno stabilnost v vseh pogojih, je trebapovratno zanko oblikovati tako da vedno obstaja neka minimalna upornost, kiprepreči prevelik fazni zasuk ali preveliko izgubo signala povratne zanke na visokihfrekvencah. To najlažje dosežemo, kot je narisano na Sl.7.4, z dodatno upornostjo V Eproti vhodu ojačevalnika, kar omogča razvejitev povratne zanke na ločeno nizkofrekvenčnoin visoko-frekvenčno vejo.Pasivne komponente tega vezja določijo dva pola, ojačevalnik pa prispeva šetretjega. Toda upornost V potebujemo predvsem takrat, ko je kapacitivnost GED-76-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganrelativno velika, zato je frekvenca "ÎG D V F razmeroma nizka, kar pomeni da bo tudipasovna širina sistema precej manjša od prehodne frekvence ojačevalnika, 0 T . To namomogoča da vpliv dominantnega pola ojačevalnika zanemarimo, ter ojačevalnikobravnavamo kot idealnega. Analizirajmo najprej primer z idealnim ojačevalnikom,nato pa še primer, ko vpliva frekvenčne omejitve ojačevalnika ni mogoče zanemariti.i P3C DR E21R F( )C FAsoSl.7.4: Če ima fotodioda veliko površino in zato veliko kapacitivnost G D , zazagotovitev stabilnosti sistema potrbujemo še upornost V E , ki razcepi povratnozanko na visoko-frekvenčno vejo prek G in nizko-frekvenčno vejo prek V .FPri idealnem ojačevalniku lahko privzamemo da vhodne napetostne razlike ni:Zato so tokovi v vozlišču @ $ :@ $ @ $ @ $ @3Pœ " VEVF=G@ œ @ œ !# " (7.27)DoF(7.28)V invertirajoči vhod ojačevalnika teče zanemarljivo majhen tok, zato bo v vozlišču @ # :@ $ @(7.29)V œ oE"=Gkjer smo upoštevali (166), oziroma @ œ !. Iz (168) lahko izrazimo @ :To vstavimo v (167):F# $@ œ @ =G V$ o F E (7.30)VF3PVF œ @ o” =GFV EŒ=GDVF " " • (7.31)VETako dobimo prenosno funkcijo sistema:@ o"J ab = œ œ 3V =G V ˆV=G V "‰ "P F F E D Fki jo uredimo po padajočih potencah = , kot smo že vajeni:J ab = œ "GVG F E DVF# " V F"= = Œ " G V V G V G VV F ED F E F E D F(7.32)(7.33)-77-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganGre za funkcijo druge stopnje, ki jo primerjamo s splošno obliko:J ab = œa: " ba: # b:":#œ#a=: ba= : b = = a: : b: :" #" # " #(7.34)Vidimo, da sta koeficijenta polinoma v imenovalcu:: a : b " Vœ "G VŒ F" #VD F E(7.35)::" #œ"GVG VF E D F(7.36)Iz (174) in (175) lahko izračunamo :" in :#. Naivno bi lahko sklepali da moraveljati: :" œ "ÎGDV F in :#œ "ÎGFVE, toda to drži le v posebnih primerih. Splošniizraz dobimo, če, denimo, iz (175) izrazimo : " :":"œ(7.37):GVG Vkar vstavimo v (174):in razrešimo po :# F E D F" " VFŒ : # œ Œ " (7.38):GVG V G V V#F E D F D F E: #" V ":# # F: # Œ " œ !(7.39)G V V G V G VD F E F E D FTo je kvadratična enačba, katere korena ( Dodatek B) sta pola prenosne funkcije:" " V G V V:"ß# œ † " "„ "% †# G V Œ FV – D F EË#D F E GFaV V b—FE(7.40)Na osnovi relacije (176) bi sicer sklepali da morata biti pola povsem različna, todaizkaže se da dejansko tvorita par, kot v (161) in (162), in tudi izračun poteka enakokot tam. Dokaz prepuščamo bralcu za vajo.Pola :" in :#bosta tvorila konjugirano-kompleksni par le, če bo izraz podkorenom negativen, zato lahko izločimo imaginarno enoto:" " V G V V:"# , œ † " "„4 % † "# G V Œ F#V – D F EËD F E GFaV V b—FE(7.41)Tako kot prej, dobimo mejni, kritično dušeni primer, kadar je diskriminantaenaka nič. Tak primer nastopi kadar je produkt aGDÎGFbVFVEÎaVF VE b# œ "Î%.Poseben primer kritično dušenega sistema dobimo pri G œ G in V œ V .D F E FČe pa želimo imeti sistem z najhitrejšim odzivom ob minimalnem prenihaju,potrebujemo Besselova pola. Numerične vrednosti Besselovih polov, izpeljane iznormirane ovojnične zakasnitve 7= e h œ" , so navedene v Tabeli A2 v Dodatku A.-78-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZa sistem druge stopnje sta normirani vrednosti:$ È $= +, , œ „4# # [radÎs](7.42)Razmerje imaginarne in realne vrednosti pa je:e e= f È+ $œd e= f $+(7.43)Enako razmerje morata imeti tudi pola : "# , :e e: f G V V È"D F E$œ % † " œ(7.44)d e: f Ë#" G aV V b $F F ETukaj smo upoštevali da se skupni faktor pred oglatim oklepajem v (180) pri deljenjupokrajša, torej lahko delimo le imaginarno in realno vrednost znotraj oglategaoklepaja, kjer je realni del enak 1. Če sedaj izraz (183) kvadriramo:GD VFV E $% † " œG aV V b # *F F E(7.45)in razrešimo za V E , dobimo enačbo druge stopnje:# GD#!œVEVEV FŒ$ # VF(7.46)Gkatere rešitve ustrezajo Besselovim polom.F" Ô#G G×DDVEœ V F Œ$ # „ Ë Œ$ # % (7.47)# Õ GFGFØKer iščemo le realne rešitve (realna upornost pač ne more biti kompleksna količina),mora biti izraz pod korenom enak nič:GDŒ$ # % œ !GF#(7.48)oziroma je razmerje kapacitivnosti:G D %œG $F(7.49)Zato pa bosta upornosti med seboj enaki:VE œ VF (7.50)Seveda bi lahko izbrali katero koli kombinacijo VF, VE in GF, ki bi ob danivrednosti G D ustrezala izrazu (186). Vendar ponavadi želimo bodisi maksimiziratipasovno širino (kar pogojuje da mora biti GF GD), bodisi želimo imeti vprepustnem pasu vnaprej določeno tokovno občutljivost, VF œ @ oÎ3P, zaradi česar jeizbira V in G vedno omejena.EF-79-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPo relaciji (180) gresta pola : "# , (z njima tudi pasovna širina) v neskončnost,če sta bodisi VEœ !, bodisi GFœ !. Seveda sistem ne more imeti neskončne pasovneširine, pač pa smo brez VEspet pri prejšnjem primeru ( Sl.7.1). Poleg tega, brez VEmora biti precej večji za enako stabilnost sistema, kar spet zniža pasovno širino.G FKmalu bomo videli da V E ugodno vpliva, ne le na stabilnost sistema, temvečtudi na ‘šumno ojačenje’ sistema (angl., ‘noise gain’).7.3. Vpliv ojačevalnikovega dominantnega polaVpliv ojačevalnikovega dominantnega pola postane pomemben ko bi radiimeli zgornjo mejno frekvenco sistema tako visoko, kot to še dopušča stabilnostsistema. Za analizo, upoštevajoč razmere na Sl.7.4, potrebujemo nekolikospremenjene enačbe (166) do (168), ker je @ Á !. Za @ torej velja enačba (64):# #@ œ @# o"E= ab(7.51)Enačba za vozlišče@ $ se sedaj glasi:@ $ @ $ @ # @ $ @3Pœ " VEVF=GDo(7.52)in za vozlišče @ # :@ $ @ # @#@ oœ(7.53)VE"=GPodobno kot prej, po daljšem algebrskem premetavanju, pridemo do izraza zaprenosno funkcijo sistema. Tu smo zaenkrat ohranili prispevek ojačevalnika vsimbolični obliki, E= ab:F@ o3VPFœE= abE=" ab †"G VGVD F F EVF= = ’ † ˆ " ‰“# " " " "GV E=" ab G V V G VGVF E D F E D F F E(7.54)Dejansko bo treba E= abizpisati eksplicitno, kot v (6.26), in urediti izraz vskladu s splošno enačbo tretje stopnje. Vendar tudi oblika (192) dovolj nazornopokaže kje se najbolj pozna vpliv omejenih zmožnosti ojačevalnika: poleg ojačevalnenapake E=ÎE= abc ab"dv števcu, ki pomembno vpliva šele na prehodni frekvenciojačevalnika in višje, je očiten vpliv še v koeficijentu linearnega člena, O " , v oglatemoklepaju (192), ki določa dušilne lastnosti sistema. Tukaj ojačevalnikovaodprtozančna prenosna funkcija E= abneposredno množi in s tem povečuje ravno tistočasovno konstanto, GV F E , s pomočjo katere želimo frekvenčni odziv sistema v bližinizgornje mejne frekvence stabilizirati (povečanje časovne konstante je sevedaenakovredno zniževanju frekvence). V teoriji filtrov to imenujemo ‘ U– enhancement’,povečanje efektivnega U–faktora in zmanjšanje dušenja sistema.Poglejmo najprej izraz za ojačevalno napako. Ločimo jo na statični del, ki jeposledica končno velikega ojačenja, EÎE ! a ! " b, ter frekvenčno odvisni del, ki jeidentično enak frekvenčni odvisnosti samega ojačevalnika pri ojačenju 1 (6.42):-80-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margana! = b"E= ab E== E = aE " b"! " !œ œ †E ab = "a " bE " E! " == " aE!" b! ==="(7.55)Ta del ima pol določen s prehodno frekvenco ojačevalnika, # 0 œ = aE " b.Sedaj se lahko vrnemo k prenosni funkciji (192):1 T " !@ o3VPFœE = aE " b "E" == aE" b G VGV!" ! † †! " !D F F E== "VF= = ’ † ˆ " ‰“# " " "GV == aE" b G V V G VGVF E " !D F E D F F E(7.56)Po še daljšem algebrskem premetavanju pridemo do enačbe tretje stopnje:@ o E! O!œ †(7.57)3 V E " =$=#O =O OPF! # " !kjer so posamezni koeficijenti karakterističnega polinoma:OOOJ ab = œ$" " VFœa= ba"E b Œ " GV G V V# " !F E D F E" " V F"œ a= b a= ba"E b Œ " GV G V V GVG V" " " !F E D F E F E D F"œ a=ba"EbG V G V! " !D F F EIzraze (195) in (196) primerjajmo s splošno obliko enačbe tretje stopnje:a: " ba: # ba:$ ba=: ba=: ba=:b" # $(7.58)œ::: " # $=$=#a: : : b= a: : : : : : ba: : : b" # $ " # " $ # $ " # $(7.59)Z enačenjem koeficijentov pri enakih potencah kompleksne frekvencepostavimo sistem treh enačb za izračun treh polov:O # œ : " : # : $=lahkoO " œ:: " # :: " $ :: # $O ! œ::: " # $(7.60)Sistem enačb (198) razrešimo po standardnih obrazcih za polinom tretjestopnje (glej Dodatek B). A čeprav so nam standardni obrazci v veliko pomoč ko jetreba izraziti pole :"ß#ß$s pomočjo koeficijentov O#ß"ß!, še vedno imamo ogromno delada pole izrazimo z elementi vezja, kot je določeno v sistemu enačb (196). Težava nitoliko v zapletenosti postopka, temveč v razultatih, ki s svojo zapletenostjo neomogočajo vpogleda v vpliv posameznih komponent na vrednosti polov. Zato se-81-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganbomo tudi v tem primeru raje zatekli k numeričnim izračunom, seveda ob izdatnipomoči računalnika. Sl.7.5 kaže rezultat izračuna, kjer smo privzeli kapacitivnostfotodiode GD œ "" pF in upornost povratne zanke VF œ "! k H, spreminjali pa smoodprtozančno mejno frekvenco ojačevalnika 0 " v območju od 10 Hz do 10 kHz,kompenzacijsko kapacitivnost GF od 1 do 11 pF, ter upornost VE od 1 do 10 k H.Vrednosti polov :"ß#ß$smo normirali na vrednost realnega pola = c Besselovega sistemaz ovojnično zakasnitvijo 7 e œ" . Vsega skupaj smo izračunali 4000 leg polov.2.0sajω1.51.00.5p1scσ0p3p2−0.5−1.0−1.5sb−2.0− 3.0 − 2.5 − 2.0 − 1.5 − 1.0 − 0.5 0 0.5 1.0Sl.7.5: Primerjava lege polov Besselovega sistema ( = +ß,ß- ) s poli sistema na Sl.7.4, obrazličnih vrednostih nekaterih komponent in mejnih frekvenc ojačevalnika. Ob konstantnivrednosti kapacitivnosti fotodiode GD œ "" pF in upornosti povratne zanke VF œ "! kHsmo spreminjali odprtozančno mejno frekvenco ojačevalnika 0 " od 10 Hz do 10 kHz,kompenzacijsko kapacitivnost GF od 1 do 11 pF, ter VE od 1 do 10 k H. Vrednosti polov sonormirane na realni pol Besselovega sistema, tako da je realni pol : $ œ = -. Pola :"ß#pa starealna kadar je vrednost 0 " nizka, z njenim naraščanjem pola potujeta drug proti drugemupo realni osi do točke ko sta enaka, nakar se prelevita v konjugirano-kompleksni par,katerega imaginarna vrednost najprej narašča sorazmerno 0 " , potem pa spet pada. Zato sepola :"ß# nikoli ne približata poloma = +ß, , oziroma drugače povedano, realni pol sistema : $je vedno predaleč. Sklep: s takim sistemom ne moremo doseči tripolnega Besselovegaoptimuma, lahko dosežemo le dvopolni optimum, ob dodatnem nedominantnem polu.Na osnovi Sl.7.5 lahko rečemo da sistema na Sl.7.4 ni možno optimizirati zaBesselov tripolni odziv, pač pa le za dvopolni, kot v poglavju 7.2. Kljub temu jeuporaba zaželjena, ker močno zniža šumno ojačenje, kot bo kmalu razvidno.V E-82-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan7.4. Problem šuma in šumnega ojačenjaVsak materijal na temperaturi večji od absolutne ničle izkazuje termoelektričnišum, ki je posledica kvantmo-mehanskih naključnih nihanj, tako prostih nosilcevnaboja (elektronov, oziroma vrzeli), kot tudi nihanj posameznih atomov okoli svojihravnovesnih položajev v strukturi materijala. Poleg termičnega šuma pa pripolprevodnikih opazimo še nekatere druge šumne pojave, predvsem zaradi ‘puščanja’p-n spojev v zaporni smeri (ang., ‘leakage current’; noben p-n spoj ni idealni izolator).Šum omejuje ločljivost sistema za majhne signale.Šum sistema je treba analizirati posebej za prispevek fotodiodnega šuma inposebej za ostale prispevke, kot so lastni šum ojačevalnika in termični šum uporov.Ker fotodiodnega šuma ni mogoče ločiti od s svetlobo sproženega toka, bo tašum procesiran enako kot foto-signal, s prenosno funkcijo sistema (matematično je taproces konvolucijski integral šuma z impulznim odzivom ojačevalnika v časovnidomeni, oziroma množenje šumnega spektra s kompleksno prenosno funkcijo vfrekvenčni domeni).Podobno je s termičnim šumom uporov, tega tudi ni mogoče ločiti odželjenega signala, ker je ojačenje ojačevalnika definirano z upornostjo v povratnizanki in efektivno množi vhodni signal. Sicer tudi kondenzatori in tuljave izkazujejonekaj termičnega šuma, toda ta je v primerjavi z šumom upornov zanemarljiv.V nasprotju s tem je lastni šum ojačevalnika izpostavljen ‘šumnemu ojačenju’,ki je v osnovi različno od signalnega ojačenja, ker se vir šuma nahaja znotraj povratnezanke sistema. Zanka pa je frekvenčno odvisna zaradi prisotnosti kapacitivnosti,katerih razmerje vpliva na spekter šumnega ojačenja. Dejansko je šumno ojačenjeenako zančnemu ojačenju negativne povratne zanke. Zančno ojačenje pa, poleg našum, vpliva tudi na stabilnost sistema, tako z magnitudo kot tudi s faznim zasukom.Zato je analiza šumnega ojačenja nepogrešljiva pri analizi stabilnosti sistema. Sl.7.6kaže modeliranje šumnih virov vezja, na katere se sklicujemo pri naslednji analizi.NF3R ENEi C DPi NPi NANA421R F( )C FAsoSl.7.6: Modeliranje generatorjev šuma pri analizi šumnega ojačenja. Vhod ojačevalnikagenerira tako tokovni šum 3 N ko tudi napetostni šum @ NA, med tem ko upornosti VF in VEgenerirata napetostni šum @ NF in @ NE. Fotodioda prispeva tokovno komponento šuma 3NP.Kot vedno je notranja upornost napetostnih generatorjev enaka nič, tokovnih pa neskončna.Vhod ojačevalnika generira tokovni šum 3 N in napetostni šum @ NA, med temko upornosti VF in V E generirata termični šum z enakovredno napetostjo @ NF in @ NE.Šum je ponavadi podan s specifično spektralno gostoto toka ali napetosti, ponavadiznotraj pasovne širine 1 Hz pri središčni frekvenci 1 kHz, zato celotno efektivno-83-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margannapetost ali tok dobimo z množenjem s pasovno širino vezja. Poglejmo velikostiposameznih komponent šuma. Za upornost V velja:@ aVb œ È %5 XV? 0(7.61)NTukaj je 5BBoltzmannova konstanta, X je absolutna temperatura, V jeupornost in ?0 œ0max0minpredstavlja frekvenčni pas sistema. Pri fotodiodnihojačevalnikih pogosto ojačujemo vse od enosmernega toka ( 0minœ !) naprej, zato jepasovna širina ?0 kar enaka zgornji mejni frekvenci 0 h .Pri upornostih gre pretežno za ‘beli’ šum, kjer, po analogiji z belo svetlobo,nastopajo vse frekvence z enako amplitudo (to drži pri uporih s kovinsko-oksidnoplastjo; pri ogljeno-plastnih uporih je termični šum na nizkih frekvencah 4–5 kratvečji!). Ker pa je v vsaki naslednji oktavi dvakrat več frekvenc kot v prejšnji, spekteršuma narašča s frekvenco za $ dB na oktavo (#0), oziroma "! dB na dekado ("!0).V našem primeru imamo VF VE, zato bo šum upornosti VFpoglavitni virtermičnega šuma, sicer pa je razmerje šumnih napetosti sorazmerno ÈV ÎV .Za vrednosti V œ "!! k H in 0 œ " MHz imamo:@ NF œ È%5 B XV F 0 hFhBFEœ È%†"Þ$)†"! #$[VAsÎ K] † 300 K †"!& [VÎ A] †"!' [s"]œ %!Þ( µV (7.62)Če nam bo na koncu ustrezalo razmerje VE œ VFÎ"! , bo @ NE œ @ NFÎÈ "! ,torej trikrat manjši, tako da lahko zaokrožimo šum obeh uporov na povprečno 54 µV.Poglejmo kako je s šumom operacijskega ojačevalnika. Pri ojačevalnikih, kiimajo na vhodu jFETe, je zaradi zelo visoke vhodne impedance tokovna komponentašuma zelo majhna (v primerjavi z ojačevalniki, ki imajo na vhodu bipolarnetranzistorje). Že pri ‘navadnih’ ojačevalnikih, kot je, denimo, LF356, je gostotatokovnega šuma tipično 3nœ 0.01 pA ÎÈHz. Če tako tokovno gostoto pomnožimo skorenom iz pričakovane pasovne širine sistema in nato s celotno upornostjo, skozikatero ta šumni tok teče ( V V ¸ V ), dobimo enakovredno šumno napetost:F E F¸V 3 È 0 œ"! VA” •A†"! – È —Hz†"!& "% $@ N3 F n h’ ÈHz“œ"µV (7.63)Za isti ojačevalnik proizvajalec podaja vrednost napetostne gostote šuma/ n œ "# nV ÎÈHz, zato bo šumna napetost v celotnem frekvenčnem pasu:Vœ / È0 œ "# † "! – † "!È —Hz@ NA n h* $’ ÈHz“œ"#µV (7.64)-84-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPodatek za šumno gostoto ojačevalnika je sicer podan za pasovno širino 1 Hzv okolici frekvence 1 kHz. Vendar poleg komponente belega šuma nastopata priojačevalnikih še ‘"Î0’ šum na območju pod 100 Hz, ter dodatni visokofrekvenčni šumnad 100 kHz.Prvi tip šuma, kot že pove ime ‘"Î0’, narašča sorazmerno pojemanjufrekvence. Teoretično bi pri 0œ! (DC) bil neskončno velik, a je v resnici omejen shitrostjo in povprečno prosto potjo elektronov na poti skozi P-N spoj med kanalom invrati jFETa, zato pod 0.1 Hz spet pada.Drugi, visokofrekvenčni šum, pa narašča s frekvenco ' dB na oktavo,oziroma #! dB Î"!0, a je navzgor omejen s pasovno širino sistema. To pomembnoprispeva k celotnemu šumu; ta bo tako v širokem pasu skoraj dvakrat večji odvrednosti v (202), približno 20 µV.Posebni nizkošumni ojačevalniki z bipolarnimi tranzistorji imajo napetostnokomponento šuma tudi desetkrat manjšo, vendar je njihov tokovni šum razmeromavelik, kar se ob večjih upornostih v povratni zanki precej pozna. Seveda obstajajo tudinizkošumni ojačevalniki s jFETi, tak je, denimo OPA656, ki ima napetostno gostotošuma / n œ ( nV ÎÈHz, in visokofrekvenčno komponento šuma, ki začne naraščatišele nad 10 MHz. Nekateri diskretni jFETi, kot je denimo tip 2N5911, pa imajo celo/ n œ "Þ# nV ÎÈHz.Upoštevati je treba še šumni tok fotodiode, 3 NP . Vrednost šumenga tokadobimo če zmnožimo največjo foto-tokovno občutljivost Wa- max b s šumuenakovredno optično močjo T N (iz Tabele 3) in pasovno širino sistema:3 NP œW a-max b†T N † È0h(7.65)œ !Þ'# AW× Hz × [A]W† #Þ* "! "%” •Hz† È "! '– È — ’ È “ ¸ "Þ) "! ""Ta šumni tok, pomnožen z upornostjo povratne zanke@ NP NP F"" & ', da izhodno napetost:V Fœ 3 V œ "Þ) × "! cA d† "! cHd œ "Þ) × "! cV d œ "Þ) µV (7.66)Celoten enakovredni vhodni šum sistema pa dobimo če korenimo vsotokvadratov posameznih komponent šuma (zato, ker je šum naključna količina inposamične komponente niso med seboj fazno korelirane, sicer bi jih preprosto sešteli):8@ N œ Ë " a@ N5 b # œ É# # # #@NA@N3 @NJ@NP¸ %&µV rms (7.67)5œ"Akronim ‘rms’ pomeni ‘root-mean-square’, oziroma ‘koren srednjega kvadrata’, alipreprosto efektivna vrednost šumne napetosti.Relacija (184) se dejansko nanaša na enakovredni vhodni šum, toda priizračunu velikosti šuma na izhodu ojačevalnika moramo upoštevati, kot smo žepovedali na začetku, da je lastni šum ojačevalnika podvržen šumnemu ojačenju, ki serazlikuje od signalnega ojačenja (vsaj v delu frekvenčnega spektra).-85-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganAnalizo šumnega ojačenja bomo naredili na osnovi Sl.7.7, kjer je ves šumojačevalnika modeliran z virom @ N. Vrednosti VG členov, ki oblikujej frekvenčniodziv, bomo izbrali tako, da so posamične prelomne frekvence zadosti narazen, dalahko ponazorimo vpliv posameznih komponent na šumno ojačenje.3R ENC D421R F( )C FAsoSl.7.7: Enakovredni šumni generator ojačevalnika pri analizi šumnega ojačenja.Analizo šumnega ojačenja najlažje izpeljemo, če si predstavljamoenakovreden generator šuma @ N , ki nadomesti šum ojačevalnika, ter izračunamozančno ojačenje sistema. Za model ojačevalnika privzemimo da veljajo relacije (6.26)in (64). Napetost v vozlišču @ pa je preprosto vsota vhodne napetosti @ in šuma @ :% # N@ o@ œ @ @ œ @E= ab% # N N(7.68)Poleg tega za vozlišče @ % velja enakost tokov:@ o @ % @% @ $œ(7.69)" V E=GFV vozlišče @ $ se stekajo tri tokovne komponente:@ o @ $ @% @ $ @ $ œ(7.70)VFVE"=GIz (207) lahko izrazimo @ $ :@ $ œ@ %a"=GFVEb@ o=GFVE (7.71)kar vstavimo v (208) in, po daljšem preurejanju, dobimo šumno ojačenje:D@ o E ab =œ †@ E ab = "N# " " V F"= = ” Œ" •GV F E GDVF VE GDVGVF F E# " V F " " "= = ” Œ" † • G V V G V E ab = " G V G VD F E F E D F F E( 7.72)Primerjajmo šumno ojačenje (210) s signalnim ojačenjem (195). Signalnoojačenje je nizkoprepustna funkcija tretje stopnje, ker je v imenovalcu najvišjapotenca kompleksne frekvence = enaka $ , v števcu pa je enak člen kot zadnji členkarakterističnega polinoma (pri = ! ). Šumno ojačenje pa ima tako v števcu kot vimenovalcu polinom druge stopnje, dodatna, tretja stopnja je skrita v E= ab.Funkcije,-86-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganki imajo v števcu in imenovalcu enako stopnjo polinoma, so po definiciji‘vseprepustne’ (ang., ‘all-pass’). Vendar funkcija (210) nima enake vrednosti na vsehfrekvencah, odstopanja se pojavijo zaradi razlike v srednjih členih polinomov nasrednjih frekvencah, pa še na zelo visokih, kjer prevlada inverzni faktorodprtozančnega ojačenja "ÎcE ab = " d v srednjem členu imenovalca. Za bolj nazornoprimerjavo potrobujemo magnitude (absolutne vrednosti) obeh funkcij. Magnitudodobimo iz kompleksne prenosne funkcije, tako kot v (6.77), s korenom iz produktafunkcije z njeno lastno konjugirano kompleksno vrednostjo. Na Sl.7.8 smo narisalirazlične poteke magnitude šumnega ojačenja lENa4= bl in signalnega ojačenja lJ a4=bl,če se V E zmanjšuje od 100 k H do 1 k H, vsakič za faktor È"! , hkrati pa se temuprilagaja kapacitivnost povratne zanke G F za Besselov odziv. Pri tem smo privzelikapacitivnost fotodiode G œ &! pF in upornost povratne zanke V œ "!! k .D F He10 010 1 −A NF( )| ( jω)|A 0 = 10 5s 1 = −2π 100 [rad/s]C D = 50 pF= 100 kΩR Fcd| A OL |ba|jω|10 1abcdeR E [ kΩ]100.031.6210.03.1621.0C F [pF]3627157.55.6a b c d e10 3 10 4 10 5 10 6 10 7f [ Hz]Sl.7.8: Potek magnitude šumnega ojačenja lENa4= bl in signalnega ojačenja lJ a4=bl, čeVEzmanjšujemo od 100 k H do 1 k H, temu pa priredimo GFza ustrezen Besselov odziv.Šum se nad 10 kHz ojači celo do 10× (20 dBV). Na frekvencah nad ~3 MHz opazimozmanjšanje šumenga ojačenja zaradi vpliva odprtozančnega ojačenja ojačevalnika, E OL .Očitno dobimo najmanjše šumno ojačenje kadar je VEœ VF. Žal pa je takratvhodna impedanca (ki bremeni fotodiodo) precej velika, în œ VFVEÎaVF VEb,zato del povratnega toka gre v fotodiodno kapacitivnost G D in ojačevalnik pri odzivuna stopnico močno zaniha, če ustrezno ne povečamo kapacitivnost povratne zanke G F .S tem žal močno znižamo tudi pasovno širino sistema. Torej bo izbira VEin GFkompromis med šumnim ojačenjem in pasovno širino. Dober kompromis dosežemože v primeru c, z VE œ VFÎ"! in GF ¸ GDÎ$. Takrat je vrh šumnega ojačenja 2.5×manjši, spekter pa za celo frekvenčno dekado ožji, kar pomeni da bo efektivni šumsistema v območju 10 kHz-10 MHz okoli 25× manjši kot ob največji pasovni širini.Pravzaprav bi morali v izrazu za šumno ojačenje (210) faktor E= abzapisatieksplicitno, ter preurediti (210) v funkcijo tretje stopnje. Vendar smo videli že v-87-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganpoglavju 7.3 da vpliv ojačevalnika lahko zanemarimo, če je pasovna širina sistemavsaj 5× nižja od prehodne frekvence ojačevalnika 0 T (10 MHz v našem primeru) . Topotrjuje tudi potek šumnega ojačenja na Sl.7.8, ki pade pod vrednost 1 šele pri 2 MHz.Namreč, na visokih frekvencah, ko je =¦E= ! ", bo E= ab¥", zato je"Î c" E ab = d ¸ ". Takrat sta števec in imenovalec relacije (210) enaka in je njunulomek enak ", zato na visokih frekvencah preostane le vpliv izrazaE=Î"E=abc ab d¸E=abin šumno ojačenje pada enako kot odprtozančno ojačenje.Nasprotno, pri nizkih frekvencah, ko je =¥E= ! ", imamo E= ab¦"in bo zatoE=Î"E= a b c abd ¸" , med tem ko bo "Î"E= c abd¸! , zato člen "ÎGFVEvsrednjem členu imenovalca lahko zanemarimo.Tako pridemo do poenostavljenega izraza za šumno ojačenje, ki ga lahkouporabimo kadar je zgornja mejna frekvenca manjša od ~500 kHz:0 h@@oNœ# " GDVF V F"= = ” Œ" •G V G V V G V G V# " V F "= = Œ" G V V G V G VD F F E E F E D FD F E F E D F(7.73)Na Sl.7.9je narisan odziv na stopnico za enake pogoje kot na Sl.7.8.1.2g( t)1.00.80.60.40.2edcbaC F [pF]00 5 10 15 20 25t [ µ s]abcdeR E [ kΩ]100.031.6210.03.1621.0R F3627157.55.6A 0 =10 5s 1 = − 2π 100 [rad/s]C D = 50 pF= 100 kΩSl.7.9: Odziv na stopnico za sistem na Sl.7.4, če znižujemo upornost V E od 100 k H do 1k H za faktor È"! , obenem pa G F prilagajamo za Besselov odziv.Analitični izraz za odziv na stopnico dobimo, če na podlagi polov : "ß#ß$ , ki jihdobimo numerično iz (198), izračunamo residue prenosne funkcije, pomnožene ztransformacijo Haevisidove stopnice, "Î= (zaradi katerega bomo imeli še dodatni polpri : œ !). Odziv na stopnico se glasi:!:: :> ":: :> #:: :> $a:: ba:: b a:: ba:: b a:: ba::b# $ " $ " #ga> bœ " e e e" # " $ # " # $ $ " $ #(7.74)-88-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDa bi lažje razumeli vpliv posameznih komponent na šumno ojačenje innjegov frekvenčni spekter, si oglejmo Sl.7.10, kjer so podani (poenostavljeni) izraziza prelomne točke grafa šumnega ojačenja ( E N ) v primerjavi s prenosno funkcijoojačevalnika z zaprto ( ECL) in odprto ( EOL) povratno zanko. Vrednosti komponent( GD œ "$! pF, GF œ "! pF, VF œ "! M H, VEœ !) smo namenoma izbrali tako, da soposamične prelomne frekvence zadosti narazen in zato brez večjega medsebojnegavpliva, tako da je mogoče vsako prelomno točko pripisati določenemu paru VG.105104A 0A 0 −3dBf 1i PNCFR Fo10| A( s)|101010321012π1+C DCF1C D R F1AOLA NCDA( s)f T =Cf DTCFf 12A 0−1−12πC F R F A CL100 1 2 3 4 5 6 7 810 10 10 10 10 10 10 10 10f [Hz]Sl.7.10: Primerjava prelomnih frekvenc v magnitudi šumnega ojačenja E N z magnitudoprenosne funkcije sistema z zančnim ojačenjem ECL(za VEœ !) in odprtozančnegaojačenja EOL. Z VE ! bi znižali prelomno frkvenco (zgornjo mejo) šumnega ojačenja0TGDÎG F in hkrati pasovno širino sistema na "Î# 1ÈGDVFGFV E, namesto "Î# 1GFVF.Sam vrh šumnega ojačenja pa je sorazmeren razmerju kapacitivnosti: E œ "G ÎG .N D FKot vidimo na Sl.7.10, začne šumno ojačenje naraščati pri ničli v enačbi (211),ki približno ustreza frekvenci "Î# 1G D V F . To naraščanje ustavi pol, ki približnoustreza frekvenci "Î# 1G F V F . Maksimum šumnega ojačenja je določen z razmerjemkapacitivnosti: "aGDÎGFb. Nazadnje prevlada prenosna funkcija odprte zankeojačevalnika, kar se zgodi pri frekvenci približno aGDÎGFb0T, kjer je 0Tprehodnafrekvenca, pri kateri je ojačenje odprte zanke enako ena. Iz vsega tega je jasno zakaj siprizadevamo imeti kapacitivnost fotodiode kar se da majhno.Vrnimo se še za trenutek celotni šumni napetosti sistema, (205), kjer še nismoupoštevali prispevka ojačevalnikovega vhodnega šuma povečanega za faktor šumnegaojačenja. Prav tako pa iz številčnega izračuna efektivne vrednosti šuma ni mogočerazbrati katera komponenta šuma prevladuje v posamičnem delu spektra. Za boljcelovito sliko je potrebno primerjati spektre šuma vsake posamične komponente, tercelotnega šuma. To smo prikazali na Sl.7.11, in sicer za enake vrednosto komponentvezja kot v primeru c na Sl.7.8 in Sl.7.9. Zraven šumnih spektrov smo narisali šeodprtozančno ojačenje EOL, signalno ojačenje ES, ki vpliva na vse komponente šuma,razen napetostnega šuma ojačevalnika Z NA ; le tega je treba množiti s šumnimojačenjem .E N-89-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan10 0−10 1A NA SA OL10 1 −10 2−10 3−10 4−i P3C DR EN21R FC FA( s)o−10 5VNA A N−10 6−10 7−10 8V NTV NAIINDNAR F A SR F A SN( R F ) A S10 910 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7f [Hz]Sl.7.11: Spektri šuma posamičnih komponent in celotnega vezja. Vrednostikomponent so take kot na Sl.7.8 in Sl.7.9 za primer c. MNAVFESje vhodni tokovnišum ojačevalnika, pomnožen z upornostjo povratne zanke V F in faktorjem signalnegaojačenja ES; MNDVFES je fotodiodni tokovni šum, prav tako množen z VF in ES;RV a FbES je termični šum upornosti povratne zanke VF, množen s signalnimojačenjem E S ; vse te tri šume komponente naraščajo s frekvenco 10 dB na dekado dozgornje mejne frekvence signalnega ojačenja; Z NA je vhodni napetostni šumojačevalnika, ki pod 100 Hz izkazuje močno "Î0 odvisnost, prav tako pa povečanvisokofrekvenčni šum nad 10 kHz; ZNAje treba množiti s šumnim ojačenjem EN, kinad 2 MHz pada zaradi vpliva odprtozančnega ojačenja ojačevalnika E OL . Celotnienakovredni napetostni šum je koren iz vsote kvadratov vseh posamičnih šumov.Z NTVidimo da na srednjih frekvencah, med 100 Hz in 100 kHz prevladuje šumupornosti V F (165). Pod 100 Hz prevladuje ojačevalnikova napetostna "Î0komponenta, med tem ko nad 100 kHz prevladuje ojačevalnikov visokofrekvenčnišum, ki ga dodatno poveča še šumno ojačenje sistema. Fotodiodni tokovni šum inojačevalnikov vhodni tokovni šum sta v tem primeru zanemarljiva.Zanimivo je poiskati najbolj zaželjeno vrednost upora V F , pri kateri borazmerje signalÎšum najbolj ugodno.Iz prenosne funkcije sistema (148) je razvidno, da je, ob določeni vrednostifoto-toka 3 P, izhodna napetost @ o sorazmerna z VF, med tem ko je iz termičnega šumaupora (165) razvidno da @ NF narašča s ÈVF . To pomeni da z večanjem upornosti VFnarašča signal za ÈV F hitreje kot šum. Torej je s stališča maksimiziranja razmerjasignalÎšum najbolj ugodno, če je upornost V F kar se da velika! To pa je v nasprotju stem kar bi intuitivno pričakovali. Dodatna pridobitev je še v tem da povečanje V Fzahteva tudi ustrezno povečanje VEin GF, kar znižuje zgornjo mejno frekvencosistema, ter znižamo šumno ojačenje, s tem pa tudi šum na visokih frekvencah.Sklepamo torej, da je optimalna vrednost V F kompromis med izbrano pasovnoširino sitema in temu ustreznim razmerjem signalÎšum.-90-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan7.5. Delne kompenzacije povratne zanke ojačevalnikaPravkar smo ugotovili, da je za doseganje višjega razmerja signalÎšum nujnoizbrati čim večjo vrednost V F . To hkrati pomeni, da je za doseganje višje frekvenčnemeje potrebno izbrati fotodiodo majhne površine in dodatno zmanjšati G D z uporabozaporne napetosti. Manjša površina fotodiode bo ugodno vplivala na znižanje šumageneriranega v polprevodniku, prav tako pa manjša vrednost kapacitivnosti znižašumno ojačenje. Žal uporaba zaporne napetosti fotodiodni šum nekoliko poveča, kerse pod 10 Hz pojavi še ‘"Î0’ komponenta, ki je sorazmerna z Z r .V primerih ko je GDle nekaj pF, zna biti izbira vrednosti GFprecej težavna,ker je zahtevana vrednost manj kot 1 pF, zato bodo razsejane kapacitivnosti vezja,četudi je njihova skupna vrednost le del pF, vnesle veliko napako. Temu se izognemotako, da namesto ene same kapacitivnosti v povratni zanki uporabimo ‘T-atenuator’,kot na Sl.7.12. S takim vezjem je mogoče z razmeroma velikimi vrednostmikapacitivnosti doseči zahtevano majhno efektivno kapacitivnost, vendar je zaradirazsejanih kapacitivnosti in večjih toleranc tako vezje potrebno ročno uglasiti. Todosežemo z nastavljivo kapacitivnostjo v ozemljeni veji T-atenuatora. Ozemljenanastavljiva elektroda prepreči, da bi kapacitivnost kovinskega izvijača, s katerim tokapacitivnost nastavljamo, med postopkom vplivala na razmerje.P PR Fi P2PD A( s)1C F TC EC GoSl.7.12: Uporaba T-atenuatorja za lažje uglaševanje vezja, ki zahteva zelonizko efektivno vrednost kompenzacijske kapacitivnosti v povratni zanki.Enakovredno kapacitivnost T-atenuatora lahko izračunamo če najprej izrazimonapetost sredi T-atenuatora @ T kot funkcijo izhodne napetosti @ o, ob predpostavki daje ojačevalnik idealen (@ œ @ œ !). Vsota tokov v vozlišču @ bo:Iz te relacije izrazimo @ T :# " Ta@ o @ Tb=GE œ@=G T G @=G T F ( 7. 75)@ œ @To=GE=G =G =GE F G( 7.76)Enakovredno impedanco T-atenuatorja, gledano iz vozlišča @ o proti @#dobimo čeizhodno napetost delimo s tokom povratne zanke, ki teče v vozlišče :@ @ " =G =G =G^Fœ œ œ †3 @ =G =G =Go o E F GF T F F E@ #( 7.77)-91-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSledi da je enakovredna kapacitivnost v povratni zanki enaka:Gsœ GFFGEG G GF E G( 7.78)Toda, zaradi simetrične zgradbe kapacitivnega delilnika, bo tudi na vhoduojačevalnika prisotna povečana enakovredna kapacitivnost vzporedno s fotodiodnokapacitivnostjo GD, ki bo vplivala na prenosno funkcijo bolj kot GDsama in katerevelikost bo zaradi Millerjevega učinka (6.11) sorazmerno velika:GEGinœ G Fc"E ab = d( 7.79)G G GF E GZaradi te razmeroma velike enakovredne vhodne kapacitivnosti bo tudi šumnoojačenje mnogo večje in začelo bo naraščati že na razmeroma nizkih frekvencah. Zatose takemu načinu kompenzacije raje izogibajmo.Včasih si želimo da bi tudi upornost povratne zanke realizirali z majhnimivrednostmi, namesto ene same velike upornosti, kot na Sl.7.13. Prednost take oblikepovratne zanke je nižji šum, kljub temu da so upornosti manjše, ker na visokihfrekvencah kapacitivno premostimo atenuator in preostane le dejanska vrednost V F ,zato je šumno ojačenje nižje. Na srednjih frekvencah pa je šumno ojačenje še vednorazmeroma veliko.R FC ER GR Ei PP PPD21A( s)oSl.7.13: Uporovni T-atenuator v povratni zanki. Slaba stran take rešitve jerazmeroma velika enosmerna napetostna napaka na izhodu, ker se vhodnaenosmerna napetostna napaka ojačevalnika množi z enosmernim ojačenjem.Enakovredno upornost tega T-atenuatora lahko izračunamo na enak način kotprej kapacitivnost:VsVEF œ VE V FŒ" ( 7.80)VVendar ima taka vezava eno resno pomanjkljivost. Namreč, enosmernavhodna napaka ojačevalnika (angl., ‘DC offset voltage’), ki je posledica razlike vkarakteristikah vhodnih tranzistorjev, bo tudi ojačena za enak faktor kot je povečanjeefektivne upornosti. Izhodna enosmerna napetost bo zaradi te napake tudi večja:GEZ œ Z Z " V o% a " # bŒ ( 7.81)VG-92-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganV odvisnosti od polaritete napetostne razlike Z" Z#bo ta napaka bodisiprišteta, bodisi odšteta od napake, ki jo prispeva temni tok fotodiode.Druga resna pomanjkljivost take kompenzacije je potek frekvenčnega odziva,ki ima ojačenje kot (213) le do razmeroma nizke mejne frekvence, ki približno ustrezačasovni konstanti GV E E , nato pada do ojačenja 1, kjer prevlada ničla v prenosnifunkciji, ki približno ustreza časovni konstanti GV E G . Ojačenje nato ostaja enako 1 dozgornje mejne frekvence celotnega sistema, na katero vpliva vsota kapacitivnostiGE GD, skupaj z odprtozančnim ojačenjem ojačevalnika E ab = . Tak frekvenčnipotek seveda ni nekaj kar bi si zelo želeli.Skratka, atenuatorske vezave v povratni zanki prinesejo več pomanjkljivostikot resničnih koristi, zato jih tukaj ne bomo podrobneje obravnavali.7.6 Optimizacija zančnega ojačenja dveh ojačevalnikovŠe ena različica optimizacije povratne zanke je mogoča z uporabo dodatnegaoperacijskega ojačevalnika. Pravzaprav se v tem primeru spremeni odprtozančnoojačenje, ter posledično tudi šumno ojačenje. Primer takega vezja je narisan naSl.7.14. Ojačevalnika sta vezana zaporedno, povratna zanka pa je sklenjena čez oba.V takem primeru invertira le drugi ojačevalnik, čeprav deluje neinvertirajoči vhodprvega ojačevalnika dejansko kot invertirajoči vhod celotnega sistema. Prav tako jetreba opozoriti na lokalno povratno zanko drugega ojačevalnika s komponentami G A ,V in V , kar je ključnega pomena za uglasitev z zahtevami sistema.ABC Fi PR FP P 24PD C D3A 1( s)1R B R A C AA ( s)2oSl.7.14: Sistem z dvema ojačevalnikoma s posebej prirejenim ojačenjem drugegaojačevalnika, s katerim dosežemo ustreznejše zančno ojačenje in zmanjšanje šumnegaojačenja. Pomembna pogoja sta V V , ter "Î=G V ¥ E .A B A A = "" ! 1Na Sl.7.15 je narisana primerjava odzivov v frekvenčnem prostoru medsistemom z enim samim ojačevalnikom in sistemom z dvema ojačevalnikoma, kjerima drugi ojačevalnik posebej prirejen frekvenčni odziv.Najprej opazimo da kapacitivna sklopitev G A v lokalni povratni zanki drugegaojačevalnika močno poveča faktor ojačenja na nizkih frekvencah, toda ojačenje naddominantnim polom = " œ # 10"pada dvakrat hitreje kot sicer, torej %! dB Î"!0.Če bi se to vpadanje nadaljevalo enako hitro do "! & Hz in naprej, bi faznizasuk obeh ojačevalnikov znašal že 360°, zato bi sistem ob sklenjeni povratni zankipostal nestabilen. To prepreči ničla, ki jo določata G in V . Poleg tega, kadar jeAA-93-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganprodukt GAVA večji ali enak GFVF, bo šumno ojačenje takega sistema mnogo manjšeod tistega, ki bi ga imel sistem brez ojačevalnika .Naj bo ojačenje odprte zanke prvega ojačevalnika definirano kot:E #E ab = œEin drugega ojačevalnika kot:a="" b= ""œEa== b a==b" !" !""" ""E ab = œEa="# b= "#œEa== b a==b# !# !#"# "#( 7.82)( 7.83)& #Tako kot prej, privzemimo E!" œ"! in = "" œ# 10" , s 0"œ"! Hz, med tem% $ko naj ima drugi ojačevalnik E!# œ"! in = "# œ# 10# , s 0#œ"! Hz. Vzemimo daima fotodioda kapacitivnost GDœ "" pF, povratno zanko pa sklenimo z upornostjoV œ " M H, vzporedno s kapacitivnostjo G œ " pF.FFA1( f )G2( f )10 41A 02 2πC A R AA OL ( f ) = A 1 ( f)G 2 ( f )10 7F( f )A OL ( f )GN( f )10 6HN( f )10 5 A 01A N( f )B N ( f )M( f )10 3G 2 ( f )A 1 ( f )10 210 8 −10 110 010 −110 −210 −3A OL1 + A OL12πC A R B12πC F R FH N( f )G N ( f )12πC A R A10 1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8f [Hz]R AR BF ( f )C DC Ff 2 A 02Sl.7.15: Odziv sistema z dvema ojačevalnikoma in primerjava s sistemom z enim samimojačevalnikom. E" je magnituda frekvenčnega odziva odprte zanke prvega ojačevalnika; K#jemagnituda frekvenčnega odziva drugega ojačegalnika ob sklenjeni povratni zanki; E OL je skupnoojačenje odprte zake; Ja0b je prenosna funkcija sistema ob sklenjeni zanki, normirana na 3PVF;LNje šumno ojačenje sistema z le enim ojačevalnikom, KNpa je šumno ojačenje sistema zdvema ojačevalnikoma. Ob ustrezni uglastivi povratne zanke drugega ojačevalnika, z VA VBinG V G V , dosežemo pomembno zmanjšanje šumnega ojačenja, F a0b.A A F F N-94-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganVendar je ojačenje drugega ojačevalnika omejeno še z lokalno povratno zanko,določeno z uporoma V œ" k H in V œ"! k H ter kapacitivnost G œ#Þ# nF:Ker pa je:A B A" "a@ $ @ % b œ a@ % @ obVV "( 7.84)BA=G@ œ @%o"E ab =#A( 7.85)sledi ( K # na Sl.7.15):@ o"œ @ $ÎÑ" V B = V B =Ð " † Ó †E #a= b VA" VA"Ï = =G V ÒG VA A A A( 7. 86)oziroma, urejeno po potencah = :kjer je faktor 5:@ oE !# = #" a==Ab5œ @ =# = e= c "E a "5 bd5 = f 5 = =$#" !# A A #"5œin frekvenca = A := E œSkupno ojačenje odprte zanke je torej:ali, podrobneje:VAV VA"G VAA@ o @EOLœ œ E "a=b@ @Bo# $= "" E !# = #" a= = Ab5EOLœ E !" †a== b#= = e= c"E a"5bd5= f5= =""#" !# A A #"(7.87)(7.88)(7.89)(7.90)(7.91)oziroma, urejeno po potencah = :Eœ E EOL !" !#5 = "" = "# a==Eb=$ #= O =O O# " !(7.92)Odprtozančno ojačenje je torej enačba tretje stopnje, z eno ničlo in tri pole.Zaradi posebnih zahtev po zmanjšanju šumnega ojačenja in zagotavljanju stabilnostisistema ob sklenjeni povratni zanki bodo vsi trije poli v tem primeru realni, prav takotudi ničla.-95-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganKoeficijenti polinoma v imenovalcu v tem primeru so:œ = = c"E a"5bd5=AO # "" #" !#O " œ = "" = #" c"E !# a"5bd5= Aa= "" =#" bO ! œ5= A= #" = ""Prenosno funkcijo dobimo iz izraza za vhodni tok:Množimo z(7.93)"3P œ @# =GD a@ # @ obŒ =GF (7.94)VV F in združimo koeficijente:3V P F œ@ #a=VFaGD GFb " b@ oa"=GVF Fb(7.95)nato pa s pomočjo (221) zamenjamo @ # :@ o3PVF œ a=VFaGD GFb " b@ oa"=GFVFb(7.96)EOLSedaj lahko že izrazimo prenosno funkcijo ( J na Sl.7.15):@ oEOLœ3V =VaG Gb"E a"=GVbP F F D F OL F FF(7.97)ki jo preuredimo v:@ o3VEOLœ †a"EbP F OL" "EGV † a OLbF F GDŒG"E OLF" a"EOLb= †GV F F GDŒG"E OL F(7.98)V izrazu za prenosno funkcijo sistema (230) bi lahko še E OL zamenjali zustreznim izrazom (223), vendar si bomo ta trud prihranili, ker E OL nastopa vkvocijentih, ki so vsi približno enaki 1. Tako, čeprav ima prenosna funkcija dejanskoštiri pole in eno ničlo, je po obliki podobna sistemu prve stopnje, zaradi E OL v& (območju "! –"! Hz, ter G V v povratni zanki.FFŠumno ojačenje sistema dobimo če napetosti na vhoduenakovredno šumno napetost vseh izvirov šuma :@ N@ #prištejemo"a@ N @ # b=GD œ c@ o a@ N @ # bdŒ =GF(7.99)VPonovno nadomestimo s pomočjo (222):F@ #@ o@ o "Œ@ N =GD œ Œ@ o @ N Œ =GFE E VOL OL F(7.100)Delimo s in združimo faktorje pri in :G @ @F N o-96-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganG D" G D "@ o” = a"EOLbŒ = • œ@ NE OL” = Œ = •G G V G G VF F F F F F(7.101)Šumno ojačenje ( K N na Sl.7.15) je torej:@@oNœ G D"E OL” = Œ " •GF GFVFG Da"EOLb= ” a"EOLb•GG VF F F(7.102)oziroma preurejeno:@@oNEOLœ †a"EbOLa"EOLbG D"= " G” Œ •DG "E GF GFVFa OLbF" a"EOLb= †GV F F GDG a "E OLbF(7.103)Zaradi enakih razlogov kot pri prenosni funkciji sistema, ima šumno ojačenjemagnitudo frekvenčnega odziva podobno sistemu z enim polom in eno ničlo, čepravje dejansko relacija bolj zapletena.Primerjajmo še zmanjšanje šumnega ojačenja z uporabo dveh ojačevalnikovglede na sistem z enim samim ojačevalnikom. Izračun le tega je enak (235), kjernamesto EOLvnesemo E "a= bpo enačbi (214). Tako dobimo potek LNna Sl.7.15. Zuporabo dveh ojačevalnikov smo, torej, vrh šumnega ojačenja, ki je sicer približnoGDÎGF, znižali za 2× (primerjajmo LN in KNna Sl.7.15). Poleg tega pa smo pasovnoširino šumnega spektra ~10× zožili. Če upoštevamo da beli šum narašča $ dB Î#0 inje, torej, v najvišji spektralni dekadi 3× toliko energije šuma, kot v vseh nižjihdekadah skupaj, je celotno znižanje približno 8×, ali okoli ") dB.Ob tem pa smo ohranili razmeroma visoko zgornjo mejno frekvenco ()!kHz)in zelo visoko občutljivost (transimpedanca sistema: V œ " M H, ali 1 V ÎµA).7.7 Ojačevalnik z aktivnim filtromKadar sta najpomembnejši zahtevi hkrati velika hitrost in nizek šum, veljarazmisliti o dvojnem ojačevalniku z aktivnim filtrom. Ta konfiguracija, kot je naSl.7.16 omogoča posebej optimizacijo stopnje za tokovno–napetostno pretvorbo, terposebej prilagojeno filtriranje šuma in dodatno ojačenje signala.F4RC CFi PR F 3 R B R A C A26P P PD C D A 1( s)C B A 2( s)15oSl.7.16: Dvojni ojačevalnik s filtrom.-97-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDenimo, da bi nam v sistemu z enim samim ojačevalnikom, ob fotodiodi skapacitivnostjo GDœ "& pF, za doseganje zahtevane občutljivosti najbolj ustrezalaupornost VFœ " M H. Ob tako veliki vrednosti VFsistema ne moremo uglasiti kotBesselov sistem druge stopnje, ker sta oba sistemska pola realna in daleč narazen.Zadovoljivo kompenzacijo dosežemo s GFœ " pF, zaradi česar znaša zgornja mejnafrekvenca le 0h¸ "'! kHz. Prenosno funkcijo tega sistema (236) smo že izpeljali(147-149), zato izpeljave ne bomo ponavljali:@ $ E! O"œ †3V "E =#P F a b =O O! # "( 7.104)Pri tej funkciji sta koeficijenta:OOG F " GFœ a= bŒ"E †aG G b G V aG G b# " !" " !D F F F D F" GFœ a= ba"E b †GV aG GbF F D F( 7.105)( 7.106)Pola sistema z enim samim ojačevalnikom dobimo če razrešimo karakterističnipolinom v imenovalcu (236). Ker gre za sistem druge stopnje, je rešitev preprosta::"# ,O # „ ÈO# # %O"O# O"œ œ "…4 % " ( )# # – ËO — 7.107Izkaže se da sta za izbrane vrednosti oba pola realna in precej narazen, ker je"ÎGFV F ¥ a=" b E ! . Zato bo pol bližje koordinatnemu izhodišču dominanten.Šumno ojačenje sistema z enim samim ojačevalnikom, če ojačevalnikovovhodno šumno napetost @ prištejemo k @ , je izraženo z:N" GFa= " ba" E!= †@ o Eb” •!GV F F aGF GDbœ †@ a"E b=#= O ON! # "'# #(7.108)Kaj lahko dosežemo z dvema ojačevalnikoma? V tem primeru lahko pasovnoširino povečamo z ustreznim zmanjšanjem upornosti v povratni zanki prvegaojačevalnika, V F, denimo ÷ "!, na vrednost VF œ "!! k H, čeprav s tem tudi zvišamorazmerje signalÎšum. Dodatno ojačenje za faktor VCÎVBœ "! za doseganjezahtevane občutljivosti priskrbi drugi ojačevalnik, ki ga lahko oblikujemo kot filterdruge stopnje. Ta filter pomembno zniža šum na visokih frekvencah. Najboljširezultat pa dosežemo, če dominantni realni pol v prenosni funkciji prvegaojačevalnika skupaj s konjugirano-kompleksnim parom polov drugega ojačevalnikatvorijo Besselov filter tretje stopnje. To načrtovalsko strategijo bomo podrobnejepojasnili na naslednjem primeru.Ob zmanjšani vrednosti VFin enaki kompenzacijski kapacitivnosti GFœ " pFbo zgornja mejna frekvenca "! × višja, med tem ko bo šum sistema le $ × višji. Vendarv tem primeru začne šum naraščati šele pri "! × višji frekvenci, pa še prenosnafunkcija filtra močno zniža visokofrekvenčni šum. Zgornja mejna frekvenca prvegaojačevalnika bo sedaj 0h¸ "Þ) MHz. Ker želimo celotni sistem uglasiti kot Besselov-98-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganfilter tretje stopnje, je z 0 h določen realni pol sistema. Temu bo potrebno prilagoditidrugo ojačevalno stopnjo, katere konjugirano-kompleksni par polov se mora ujemati zlego Besselovih polov. Seveda bo prva stopnja imela, tako kot prej, še ennedominantni pol, vendar bo ta zadosti daleč in njegovega vpliva na prenosnofunkcijo ne bo treba upoštevati.Besselovi poli za sistem tretje stopnje, kot so podani v tabeli v Dodatku A, soizpeljani na osnovi zahteve po enotni ovojnični zakasnitvi, vendar tukaj potrebujemodrugačno normiranje in sicer glede na realni del konjugirano-kompleksnega para:a=ba,b Na=bc Nœ " „ 4 !Þ*&%! [radÎs]œ "Þ#'#) [radÎs] (7.109)Izraze in prave vrednosti polov bomo izpeljali iz prenosne funkcije filtra,oziroma druge ojačevalne stopnje. Pri analizi filtra ni treba upoštevati omejitev, ki jihvnaša ojačevalnik, zato lahko privzamemo da je @ œ !.Tako se tokovna enačba v vozlišču"a@ % @ ' b œ a@ ' @ ob=GVAA@ ''glasi:Ê@% œ @ o=GAVA(7.110)Za vozlišče @ % se tokovna enačba glasi:" " "a@ $ @ % b œ @% =GB a@ % @ ' b a@ % @ obV V VB A CV V VÊ @ $ œ@ %”"=GBVB • @ oV V VB B BA C C(7.111)Izraz za @% (242) vstavimo v (243) in razrešimo za razmerje @ oÎ@$ , ter dobimoprenosno funkcijo filtra:@@oVCœ †V$ B #" VB†GAVAGBVB VC" V V " V= = Œ" †G V V V G V G V VB B BB B A C A A B B CUgodno je če izberemo VAœ VB.Pola prenosne funkcije izračunamo na enak način kot prej in dobimo:(7.112)Ô ×" " V G "BB: $% , œ † Œ# "„4 † "# GBVB V Ö ÍC GAVCV ÙB" Õ Ì V %V ØBC(7.113)-99-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPola smo namenoma izrazili v tej obliki, zato da v oglatem oklepaju dobimonormirano realno komponento, tako kot pri (241), poleg tega pa imamo ločenarazmerja istovrstnih komponent: VCÎVBpredstavlja nizkofrekvenčno ojačenje filtra,med tem ko GBÎGAomogoča izbiro imaginarne komponente polov neodvisno odrealne komponente. Besselovo lego polov dobimoNormirani pol a= c bN(241) moramo primerjati z manjšim (dominantnim)realnim polom prve stopnje :", ki ustreza zgornji mejni frekvenci # 10h . Njunorazmerje določa faktor pasovne širine sistema F, ki je obenem faktorproporcionalnosti med normirnimi in pravimi vrednostmi polov:'# 10 h # 1† "Þ) × "!F œ œ ¸ # 1 † "Þ% † "!a= b "Þ#'#)c N'(7.114)Zato bo prava realna vrednost konjugirano-kompleksnega para polov enaka:d e: $% , f œF†d ea= a,bbNfœ# 1 †"Þ%†"! [radÎs] (7.115)Realna vrednost polov je odvisna od časovne konstante "ÎGBVB in ojačenja VCÎVB.Eni izmed teh komponent določimo neko poljubno vrednost, vendar naj bo takšna daimajo z njo povezane komponente vrednosti, ki jih je lahko implementirati, oziromatake, ki jih ojačevalnik lahko krmili (impedance naj ne bi bile prenizke). Denimo dasmo izbrali:VC œ $* k H(7.116)Zato bosta upora:VCVAœ VBœ œ $ .*k H(7.117)"!in kapacitivnost G B bo:" "GBœ œ ¸ $! pF (7.118)" ' "V B † # † F † $*!! † # † # 1 † "Þ% † "! †VC# #Þ"VB'Kapacitivnostpa določimo iz imaginarnih vrednosti polov:G Ae e: $% , f G B "œ † " œ e = œ !Þ*&%! (7.119)d e:f Ëeab f$% GV Va,bC BN, A " V %VBCOd tod sledi:G B"GAœ#† ¸ "Þ% pF (7.120)" a!Þ*&%! b ""!"Î a%†"!bCelotna prenosna funkcija sistema z dvema ojačevalnikoma je zmnožekprenosne funkcije @ $ Î3PVF (236), toda ob VF œ "!! k H in GFœ " pF, s prenosnofunkcijo filtra @Î@ o $ (244), kjer smo vstavili pravkar izračunane vrednosti komponent:@ o @ $ @œ †3V 3V @P F P Fo$(7.121)-100-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganNa Sl.7.17 smo narisali prenosno funkcijo J "" (236) sistema z enim samimojačevalnikom, za primerjavo z izboljšanim sistemom (253), katerega parametere smopravkar določili. Absolutno vrednost prenosne funkcije prve stopnje smo označili zJ#" , filtra pa z J## , njun zmnožek pa z J#" × J##. Za primerjavo je še podanoodprtozančno ojačenje samega operacijskega ojačevalnika .E OL10 4 A OL10 3iRCPC F 4R F 3 RB R A C APD 26C D A 1( s)C B A 2( s)P 1P 5o10 210 1F 2210 0F 21 × F 2210 -1F 11F 2110 -210 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9f [Hz]Sl.7.17: Primerjava sistema z enim ojačevalnikom J "" in izboljšanega sistema z dvemaojačevalnikoma s filtrom, J#" × J##. Sistem z enim samim ojačevalnikom ima zgornjomejno frekvenco le ~160 kHz, izboljšani sistem pa 10× višjo, ~1.8 MHz. Za primerjavoje narisano še odprzozančno ojačenje samega operacijskega ojačevalnika, E OL .Lega polov na Sl.7.18 kaže da smo vrednosti komponent dokaj dobro ujeli vprimerjavi s idealnim Besselovim sistemom tretje stopnje. Odstopanja so znotraj 5%,kar je v mejah tolerance pasivnih komponent vezja.2jω10p 2Np 3Ns aNs cNp 1Np 4N-1s bN-2-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0σSl.7.18: Primerjava lege polov idealnega Besselovega sistema tretje stopnje ( = aN, = bN, = cN) inpolov fotodiodnega ojačevalnika (:" N, :# N) s filtrom (: $ N, :%N). Pole smo normirali na realnidel konjugirano-kompleksnega para. Pol : #N leži precej daleč in vpliva šele na zelo visokihfrekvencah. Poli :" N, : $ N in :% N tvorijo sistem podoben Besselovemu (če bi realni del : $% ,povečali za okoli 5% bi dobili popolno ujemanje); odstopanje je v mejah tolerance komponent.-101-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZa idealno ujemanje bi potrebovali za okoli 5% večje dušenje filtra, oziromamanjše razmerje kondenzatorjev GBÎGA. Lahko bi za GAvzeli standardno vrednost1.5 pF, vendar v praksi moramo upoštevati še razsejane kapacitivnosti vzporedno s G Ain G B , pa še vhodno kapacitivnost operacijskega ojačevalnika, ki znaša 2-3 pF inskupaj s G A tvori kapacitivni delilnik v povratni zanki. Zato je zelo verjetno da bo vdejanskem vezju potrebno prej zmanjšati na okoli 1-1.2 pF, kot pa povečati.G AŽal je na trgu težko dobiti kondenzatorje z toleranco manjšo od 10%. Rajeizkoristimo moč operacijskega ojačevalnika OPA656, ki lahko krmili bereme 100 H.Upornosti filtra torej zmanjšamo in za enak faktor povečamo kapacitivnosti, na pr.,VA œ VB œ $*! H in VC œ $Þ* k H, ter GB œ $!! pF in GAœ "& pF. Tako precejzmanjšamo vpliv razsejanih kapacitivnosti. Fino uglasitev pa poiščemo s sprememboupornosti okoli nominalnih vrednosti, predvsem , ker ta ne vpliva na ojačenje.Primerjajmo še šumno ojačenje in šumni spekter, ter celotni šum sistema predin po izboljšavi s dodatnim ojačevalnikom. Na Sl.7.19 so narisane pmembnejše šumnekomponente sistema z enim samim ojačevalnikom. Fotodiodni šum in ojačevalnikovvhodni tokovi šum smo zanemarili. Termični šum Z NR upornosti povratne zankeVF œ " M H je pomnožen z frekvenčnim odzivom sistema J"". Vhodni napetostni šumojačevalnika ZNAmnoži šumno ojačenje EN; velikost šumnega ojačenja je določena zrazmerjem kapacitivnosti fotodiode s kapacitivnostjo v povratni zanki (16×) in jenajbolj izraženo v območju med 100 kHz in 10 MHz. Celotni šum sistema Z NT jekoren iz vsote kvadratov obeh komponent.V A10 110 010 -110 -210 -310 -410 -510 -610 2 f [Hz]A NC Fi PNAC D21R FA( s)NRoF 11V NTVNAV ×NAA NVNR× F 1110 -710 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Sl.7.19: Šumne komponente sistema z enim samim ojačevalnikom. Napetost Z NRtermičnega šuma upornosti VF množi prenosna funkcija sistema J"". Vhodnonapetostno komponento šuma operacijskega ojačevalnika Z NA množi šumno ojačenjeEN. Celoten šumni spekter ZNTje koren vsote kvadratov oveh komponent. Kljub temuda je mejna frekvenca prenosne funkcije razmeroma nizka, v celotnem šumu prevladujeZ × E , največ šuma je v območju 10-200 MHz.NAN-102-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganŠumno ojačenje izboljšanega sistema dobimo tako da v izraz (240) vstavimovrednosti za prvo stopnjo, VFœ "!! k H in GFœ " pF. Kot je narisano na Sl.7.20,termični šumni spekter ZNRupornosti VFje sicer manjši, a narašča do 10× višje mejnefrekvence prve stopnje. Napetostni šumni spekter vhodnega ojačevalnika je enak kotprej, a množi ga šumno ojačenje E N , ki sedaj začenja naraščati na 10× nižji frekvenci.Celotni šum prve stopnje je koren vsote kvadratov obeh komponent, ki pa ga množiprenosna funkcija filtra J ## . Ta ojači nizkofrekvenčni šum 10×, toda poreževisokofrekvenčni šum z 40 dBÎ10 0 nad 2 MHz. Zaradi tega ima celotni šum vrh pri2 MHz, nakar pa strmo pada.10 110 010 -110 -210 -310 -410 2 f [Hz]F 22A NF 21i PRC CFR F 3 R B R A C APD 26C D A 1( s )C B A 2( s )P P154oVNT+V NTV ×NAA N10 -510 -6V NAVNR× F 21−V NT10 -710 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8 10 9Sl.7.20: Šumne komponente izboljšanega sistema s filtrom. Napetost Z NR termičnegašuma upornosti VF, ki je sedaj ~3× manjši, množi prenosna funkcija sistema J2", ki paima višjo mejno frekvenco. Vhodno napetostno komponento šuma operacijskegaojačevalnika ZNA, ki je enaka kot prej, množi šumno ojačenje EN, ki sedaj začenjanaraščati pri 10× višji frekvenci.. Celoten šumni spekter Z NT je koren vsote kvadratovoveh komponent, vendar tokrat pomnožen s prenosno funkcijo filtra J ## . Vrh šumnegaspektra je sicer približno enak kot prej, toda nastopa na 2 MHz, nato pa strmo padazaradi J## . Sicer je celotni šum na nizkih frekvencah večji ( ZNT), vendar je efekivnišum bistveno manjši kot prej, zaradi nižjih šumnih frekvenc in ožjega spektra ( ).Z NTPrimerjajmo še odziv na stopnico obeh sistemov. Prenosne funkcije včasovnem prostoru izračunamo po splošnem obrazcu za residuume ( 6.97 ), s tem dasmo prenosne funkcije v frekvenčnem prostoru množili še z Laplaceovimtransformom za Haevisideovo stopnico, "Î=. Torej je K ab = œ a"Î= b† J ab = , zaradičesar imamo v obeh funkcijah še en pol v izhodišču. Sistem z enim samimojačevalcem ima dva realna pola, :" in :#, od katerih je en dominanten (leži bližjekoordinatnemu izhodišču), zato je odziv g # ab > podoben sistemu z enim polom:: :" #e e ( 7.122)# :> " :>g # ab > œ " :" : # :# : "-103-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganSistem z dvema ojačevalnikoma ima dejansko pet polov. Vendar smo priizračunu odziva filtra pri drugem ojačevalniku zaradi razmeroma nizke mejnefrekvence filtra lahko zanemarili dominantni pol samega ojačevalnika, pomnožen z*odprtozančnim ojačenjem, a= " ba" E!b, ker ta leži blizu 1.1×10 [radÎs] inupoštevali le pola, določena s pasivnimi komponentami filtra. Zato imamo v funkcijile 4 pole, čeprav se izkaže da je tudi pri prvi ojačevalni stopnji vpliv ojačevalnikamožno zanemariti in je odziv sistema podoben sistemu s tremi poli. Izraz za časovniodziv sistema z dvema ojačevalnikoma bo tako:::: # $ % :> :::"" $ %:> #g % ab > œ"e ea: : ba: : ba: : b a: : ba: : ba: : b" # " $ " % # " # $ # %::: " # %e ::: " # $ea: : ba: : ba: : b a: : ba: : ba: : b:> :>$ %$ " $ # " % % " % # % $( 7.123)Pripomnimo še da se pola :" in :#v sistemu z enim samim ojačevalnikomrazlikujeta od polov :" in :# v sistemu z dvema ojačevalnikoma. Na Sl.7.21 stanarisana pripadajoča odziva na stopnico.1.11.00.90.8g 4() tg 2() t0.70.60.50.4i PC F 4R F 3 R BR CR A C AP P15PD 26C D A 1( s)C B A 2( s)g 4() to0.30.20.1P PPDi PNAC DC FR F2A( s)1g 2() to00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0t [ µs]Sl.7.21: Primerjava odzivov na stopnico. Pri sistemu z enim samim ojačevalnikom g # ab > jeen pol dominanten, zato je odziv podoben odzivu sistema z enim samim polom. Sistem zdvema ojačevalnikoma g % ab > se odziva kot sistem s tremi poli in ima ~10× krajši vzponskičas (časovna razlika med doseženih 10% in 90% končne vrednosti), zaradi ~10× višjezgornje mejne frekvence kompozitnega sistema. Prenihaj je sicer bolj izrazit (~2%) kot bilahko bil v primeru idealnega Besselovega 3-polnega sistema (~0.4%), vendar ga jemogoče s majhno korek-ijo upornosti V A ustrezno uglasiti, in obenem kompenziratimorebitne moteče vplive razsejanih kapacitivnosti dejanskega vezja.-104-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan7.7 Vpliv končne izhodne impedance ojačevalnikaV praksi, poleg vpliva končne pasovne širine in končnega ojačenjaoperacijskih ojačevalnikov, proizvodnih tolerančnih vrednosti pasivnih komponent,ter razsejanih kapacitivnosti vezja, pogosto nastopijo še druge težave. Glede odzivasistema so le te večinoma povezane z končno izhodno impedanco ojačevalnika ô inparazitno kapacitivnostjo bremena G L (na primer, kadar dolg koaksialni kabelpovezuje fotodiodni ojačevalnik na merilni sistem). Kapacitivnosti bremena je trebaprišteti še zaporedno vezavo kapacitivnosti v povratni zanki in vhodne kapacitivnostiojačevalnika ter kapacitivnosti fotodiode, "Î ca"ÎG b "ÎaG G bd.F in DIzhodna impedanca ojačevalnika je posledica impedance emiterske sledilnestopnje na izhodu ojačevalnika ( U) , U9, Sl.6.2). Realni del impedance znaša, odvisnood tipa ojačevalnika, med 5 H in 70 H za nizke frekvence, vendar nad ~10 kHznarašča, ker tranzistojem faktor tokovnega ojačenja " s frekvenco pojema, kar sepreslika kot dodatna, zaporedno vezana induktivnost. Sl.7.22 kaže enakovrednovezavo za tak primer in ustrezno rešitev z ločevanjem bremena in povratne zenke nanizkofrekvenčno in visokofrekvenčno vejo.C FRFi PP PPDC D2C inA( s)3R o L ooC L R L1a)R FD R EC Fi P2P P CDPDC inA( s)13R oL o4C LR koR LSl.7.22: Izhodna impedanca ojačevalnika ô œ Vo =Poskupaj z impedanco bremena^L œ "Î c=GL a"ÎVLb d in impedanco kapacitivnega delilnika v povratni zanki^F œ "Î=GF "Î c"Î= aGin GDb d lahko povzroči dodatni fazni zasuk v povratni zankiin ojačevalnik postane nestabilen. To odpravimo z dodajanjem upornosti V k (10–100 H)proti bremenu in upornosti VE (100 H– VF), ki ločuje GD od Gin in GF, ter ločevanjemvisoko-frekvenčne veje od nizko-frekvenčne veje povratne zanke tako, da V F na nizkihfrekvencah neposredno zaznava napetost na fotodiodi in na bremenu.Iz te kratke analize je razvidno da kompenzacija le s kapacitivnostjo v povratnizanki, kljub navidezni enostavnosti, večinoma ne zadošča; v kritičnih primerih je zaohranjanje stabilnosti potrebna zelo velika vrednost G F , kar močno upočasni odzivsistema. Ustrezno kompenzirani sistemi so hirejši, pa še nižji šum imajo.b)-105-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPrimerjajmo na hitro frekvenčni, fazni in ovojnični zakasnitveni funkciji zaoba primera. Impedance posameznih skupin pasivnih komponent na Sl.7.22a so:^^LFœœ""V L=GL( 7.124)""V F=GL( 7.125)ô œV o =P o ( 7.126)^Dœ"=G a GDinb( 7.127)Za ojačevalnik naj velja ojačenje:= "E= ab œE!==in relacija med vhodno in izhodno napetostjo (ob @"œ !):"( 7.128)@ $ œ@ # E= ab ( 7.129)Vsota tokov v vozlišču @ # (invertirajoči vhod ojačevalnika) je:@# @#@ o3Pœ ( 7.130)^ ^DFin vsota tokov v vozlišču @ o (izhod ojačevalnika) je:@ # @ oœ@ o@ o @ $( 7.131)^ ^ ^F L oNormirana prenosna funkcija sistema je potem:@ o " ^^^ L D o ^^Ê=L D F abœ †3 V V ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ c"E ab = dP F F o F F L o D o L L D( 7.132)Zadnji člen v imenovalcu ima tri frkvenčno odvisne člene, torej imamoopravka s funkcijo tretje stopnje. Ker nas za stabilnost sistema zanima le potek faze inovojnične zakasnitve, analitične rešitve ne bomo iskali, temveč bomo izhajajoč izprenosne funkcije izrisali odzive z računalnikom.Imejmo enake vrednosti komponent kot za primer na Sl.7.2:G DV FG Fœ&!pFœ "!! kHœ&pFNaj ima izbrani operacijski ojačevalnik odprtozančno ojačenje:ter dominantni pol:E !œ"!&-106-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganin izhodno upornost:#= " œ# 1"!radÎsV o œ$& Hki pa začne naraščati nad 0 b œ 10 kHz (zaradi vpadanja tokovnega ojačenja izhodnihtranzistorjev na visokih frekvencah), kar je enakovredno zaporedni induktivnosti:P oV# 10 o bœ ¸ &'! µH.Izhod ojačevalnika priklopmo na merilni sistem z vhodno upornostjo:V L œ"!kHČe smo to naredili z 1 m dolgim koaksijalnim kablom RG-58, kateregakapacitivnost znaša 100 pFÎm, bo enakovredna kapacitivnost bremena:G Lœ "!! pFNa Sl.7.23 so narisani frekvenčni in fazni potek, ter ovojnična zakasnitevnekompenziranega sistema.ϕ ( jω)[°]270 400| F( jω ) |[dBV]02251802000-20ϕ ( jω)135-200-40τ e( jω)90-400-60-80| F( jω ) |45 -600τ e( jω)[ns]-10010 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8f [Hz]Sl.7.23: Magnituda lJ a4= bl, fazni kot : a4= b, ter ovojnična zakasnitev 7 ea4=bsistema s končno majhno, toda reaktivno izhodno impedanco. Čeprav je signalnoojačenje v resonanci manjše od 1 (dejansko 0.316, oziroma 10 dB), bo navzgorobrnjen fazni prehod in posledično časovno prehitevanje v frekvenčnem območju1–2 MHz povzročilo nestabilnost sistema in oscilacije na resonančni frekvenci.Na osnovi faznega poteka in časovnega prehitevanja nad 1 MHz sklepamo dabo sistem zaradi reaktivne izhodne impedance in prav tako reaktivnega bremenanestabilen in bo osciliral na resonančni frekvenci ~1.5 MHz. Hitrejši in močnejšioperacijski ojačevalniki imajo sicer nižjo izhodno impedanco in izhodne tranzistorje,-107-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganki jim tokovno ojačenje začne vpadati pri višjih frekvencah, zato lažje krmilijo večjekapacitivnosti, vendar pogosto le zaoscilirajo pri višji frekvenci. Sistem je mogočestabilizirati s povečanjem G F , toda s tem veliko izgubimo na pasovni širini in hitrostiodziva. Nekateri ojačevalniki lahko krmilijo nizkoohmsko breme in v tem primeru bilahko koaksialni kabel zaključili s njegovo karakteristično impedanco 50 H zaporednona izhodu ojačevalnika in vzporedno na koncu kabla, ter se tako znebili nadležnekapacitivnosti kabla, toda obenem bi izgubili faktor 2 (6 dB) v signalnem ojačenju.Vedno je bolje če sistem načrtno zavarujemo pred oscilacijami, tako kot naSl.7.22b. Za analizo tega vezja izhajamo iz naslednjih enačb:@ @ # @ @3P œ @ D=GD V VD D oEF( 7.133)@D@VE#œ @ =G a@ @ b =G( 7.134)# in # %F@ 4 @ oa@ # @ % b=GFœ Vk@ @^% $o( 7.135)@ @ @%@ @ œV V ^D o o oF k L( 7.136)Če ta sistem enačb razrešimo za @ oÎ3VP F, dobimo v imenovalcu enačbo četrtestopnje z 239 členi. To zapleteno enačbo nima smisla reševati, ker je lega polovdoločena z velikim številom parametrov, zato je izredno težko razločiti vliveposamezne komponente na stabilnost sistema. Analizo raje prepustimo kakemuračunalniškemu programu za simulacijo vezij. Sl.7.24 kaže magnitudo, fazni zasuk inčasovno zakasnitev v odvisnosti od frekvence, če kapacitivnost bremena G b"Î%spreminjamo od 1 do 100 nF v korakih ×10 . Sistem je brezpogojno stabilen.| F( jω)|[dBV]50−5−10−15−20| F( jω)|ϕ ( jω)C b = 100 nFC b = 1 nFτ e( jω)C b = 1 nFϕ ( jω)[°]−180−225−270−315−3600−0.5−1.0−1.5−2.0−25−405−2.5−30C b = 100 nF−450−3.0−35−495−3.5−40−540−45C b = 100 nFC b =1 nF10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 10 8f [Hz]Sl.7.24: Potek magnitude, faznega zasuka in časovne zakasnitve kompenziranega sistemav odvisnosti od frekvence, če kapacitivnost bremena spreminjamo od 1 do 100 nF.G b−4.0τ e( jω)[ µ s]-108-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan8. Ojačevalnik s tokovno povratno zankoKlasični operacijski ojačevalniki, ki smo jih obravnavali doslej, imajo dvepomembni pomanjkljivosti. Prvo smo spoznali ob obravnavi Millerjevega pojava(6.11) in kompenzacije zančnega ojačenja s pomočjo dominantnega pola v prenosnifunkciji odprte zanke. Poleg tehnoloških omejitev proizvodnje tranzistorjev PNP tipa(počasni ‘lateralni’ PNP tranzistor) skupaj s tranzistorji NPN tipa na isti rezini silicija,je, zgodovinsko gledano, prav Millerjev pojav tisti, ki je vsiljeval ojačevalniškokonfiguracijo kot na Sl.6.2, kjer tranzistor U ' povzroča poglavitno omejitev pasovneširine ojačevalnika.Druga poglavitna pomanjkljivost klasične konfiguracije je posledicavečstopenjskega napetostnega ojačenja, kjer del napetostnega ojačenja prispevavhodna diferencijalna stopnja, del pa Millerjeva stopnja; tokovno ojačenje prispeva leizhodna stopnja, zgrajena kot ‘napetostni sledilnik’ z ojačenjem malenkostnomanjšem od ena. Zaradi dvostopenjskega napetostnega ojačenja leži pol, ki pripadavhodni diferencijalni stopnji, razmeroma blizu polu, ki pripada drugi stopnji, kar imaza posledico da je fazni zasuk na višjih frekvencah že 360° ob hkratnem ojačenjuvečjem od ena. Tak ojačevalnik bi zanihal takoj ko sklenemo povratno zanko. Zato jenujno dominantni pol srednje stopnje znižati mnogo bolj kot bi si to želeli.Sl.8.1 kaže poenostavljen prikaz ojačevalnika s tokovno povratno zanko, kizaradi svoje notranje zgradbe omogoča bistveno povečanje pasovne širine sistema.I qQ 1CQ 2iR eI q Q 5 Q 7V ccI q Q 6 Q I q8V eeZ TT RQ 9Q 10Q 3Q 11R f+ToQs4Q 12fb−Sl.8.1: Poenostavljen prikaz notranje zgradbe ojačevalnika s tokovno povratno zanko. Tokovnigeneratorji Mq polarizirajo tranzistorje v ustrezno delovno območje. Tranzistorji U"%– delujejokot vhodni napetostni sledilnik, katerega nizkoimpedančni izhod (emiterja U $ß% ) služi kotinvertirajoči tokovni vhod povratne zanke 3fb. Razlika tokov v kolektorjih U$ß%je sorazmernatoku povratne zanke 3fb in ta krmili tokovni zrcali U&ß( in U'ß). Razlika njunih izhodnih tokovustvari napetostni padec na notranjem bremenu ^T œ "Î a=GT "ÎVTb. Tej napetosti slediizhodni napetostni sledilnik U *"# – , ki krmili uporovni delilnik v povratni zanki, ter hkrati šeizhodno breme ojačevalnika.-109-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganMed letoma 1983–1985 je prišlo na tehnološkem področju do nekajpomembnih prebojev, ki so omogočili izdelavo komplementarnih tranzistorjev zdomala enakimi karakteristikami na isti rezini silicija. Tako je naenkrat postalomogoče razmišljati o alternativah klasični konfiguraciji operacijskega ojačevalnika.Od vseh možnih konfiguracij, ki uporabljajo popolnoma komplementarno simetričnozgradbo ojačevalnika, se je najbolje izkazala konfiguracija s tokovno povratno zanko(angl., ‘current feedback topology’, CFB). Včasih v literaturi najdemo tudi izraz ‘transimpedančniojačevalnik’, oziroma ‘TIA’, ali ‘trans-Z’, zaradi posebne notranje zgradbe takih ojačevalnikov, kot bomo to vkratkem spoznali; vendar je transimpedanca bolj splošno ime za način delovanja ojačevalnika v tokovnonapetostnemnačinu, kar smo videli že v doslej obravnavanih primerih, zato bomo raje ustrajali pri izrazu CFB.Topologija CFB odpravi obe pomanjkljivosti klasičnih ojačevalnikov s tem, daima le eno ojačevalno stopnjo, kar prestavi težave s sekundarnimi poli na mnogo višjefrekvence, poleg tega pa ta ojačevalna stopnja ima izredno nizko vhodno imedanco,kar skoraj popolnoma odpravi Millerjev pojav. Nenazadnje, ta ojačevalna stopnja nitokovno omejena z generatorjem konstantnega toka, pač pa tokovna povratna zankaprispeva ravno toliko toka, kot je za doseganje razlike med vhodno in izhodnonapetostjo potrebno. Pri klasičnih ojačevalnikih Millerjev pojav, skupaj s ostroomejenim prvostopenjskim tokom, ki je na voljo za polnjenje Millerjevekapacitivnosti, povzroči upočasnitev in popačenje za velike signale, znano kot ‘slewratelimiting’. Ker je pri CFB topologiji tok, ki polni kompenzacijskio kapacitivnostsorazmeren napaki povratne zanke, se kompenzacijska kapacitivnost vedno polni zpotrebno vrednostjo toka, sorazmerno velikosti vhodnega signala. To popolnomaodpravi problem upočasnitve odziva za velike signale. Sl.8.2 predstavlja blokovnimodel ojačevalnika s tokovno povratno zako.V ccI m1 Z TA A 1 2C T R T+1 T+1sI m2i fbR e fb R fSl.8.2: Blokovni model ojačevalnika na Sl.8.1. E " je vhodni napetostni sledilnik, kateregaizhod predstavlja invertirajoči nizkoimpedančni tokovni vhod povratne zanke. Tokovnazrcala zaznajo tokovno razliko v napajanju E" , ki je posledica toka povratne zanke 3fb, terjo preslikajo v enako tokovno azliko v točki @ T. Ta tokovna razlika, ki je dejanko enaka 3fb,ustvari napetostni padec na transimpedanci ^T œ "Î a=GT "ÎVTb. Izhodni napetostnisledilnik E # to napetost preslika na izhod, obenem pa priskrbi tok uporovnemu delilniku vpovratni zanki, ter morebitnemu izhodnemu bremenu.Poglejmo podrobneje delovanje modela na Sl.8.2. Vhodni napetostni sledilnikE" (z napetostnim ojačenjem ¸ " , sledi signalnemu viru @ s in enaka napetost sepojavi na izhodu E" . Ta povzroči tok 3fb, ki teče v upor Ve. Zaradi 3fbse v napajanjusledilnika E" pojavi tokovna razlika enaka 3fb, ki prek tokovni zrcal Mm" in Mm#ustvarienako tokovno razliko na notranji impedanci ^ in sorazmeren napetostni padec @ .TV eeoT-110-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganImpedanco ^Tje mogoče modelirati kot vzporedno vezavo kapacitivnosti GTinupornosti VT. Kapacitivnost GTje dejansko sestavljena iz parazitnih kapacitivnostiizhodnih tranzistorjev obeh tokovnih zrcal, ter vhodnih parazitnih kapacitivnostitranzistorjev v sledilniku E# . Upornost VTpredstavlja realni del vhodne impedancesledilnika E# . Sledilnik E# je po zgradbi sicer podoben E", vendar mora bitimočnejši, da lahko krmili morebitno nizkoimpedančno breme na izhodu (pri zelovisokih frekvenca običajno delamo s standardizirano impedanco 50 Hali 75 H, zato daparazitne kapacitivnosti vzporedno z bremenom ne znižajo pasovne širine sistema).S tem, kar smo do sedaj povedali, še nismo razkrili vseh prednostiojačevalnikov s tokovno povratno zanko. Več nam bo razkrila naslednja analizanjihovega delovanja. Tako kot pri klasičnem operacijskem ojačevalniku, tudi tu veljada sta, ob zadostnem signalu povratne zanke, invetrirajoči in neinvertirajoči vhod napribližno enaki napetosti:@ fb ¸ @ s (8.1)Prav tako velja razmerje med izhodno napetostjo in napetostjo na invertirajočemvhodu, kar je določeno z razmerjem uporov v povratni zanki:@ @Vœ@Vo fb fbfe(8.2)Od tod sledi enačba (nizkofrekvenčnega) ojačenja, ki je identična tisti pri klasičnemoperacijskem ojačevalniku:@@osœ Œ"Razlika pa se pokaže ko upoštevamo razmere znotraj ojačevalnika v točki @ T :@ œ @ œ 3 ^ œ 3o T fb T fbVVfe"=G " TVskupaj s tokovi in napetostmi v povratni zanki, kar določa povratni tok 3 fb :@ fb @ fb @ o3fbœ V VefT(8.3)(8.4)(8.5)oziroma, če upoštevamo (8.1):" " @ o3fbœ @ sŒ (8.6)V V Ve f fS tako določenim povratnim tokom 3 fb se vrnemo v (8.4):Ločimo koeficijente po napetostih:" " @ o "@ o œ ”@ sŒ •Ve Vf Vf=G " (8.7)TV" " " "@ oŒ=GT œ @ sŒ (8.8)V V V VT f e fT-111-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIzraz (8.8) razrešimo za prenosno funkcijo @Î@:@ o V f "œ Œ" †@ s Ve " V fVTos" VfŒ"GV T f VT" Vf= Œ"GV VT f T(8.9)Tukaj je ECL œ a"VfÎVebfrekvenčno neodvisno ojačenje sklenjene zanke,kot pri (8.3). Naslednji člen, E% œ "Î a" VfÎVTbpredstavlja frekvenčno neodvisnonapako zaradi končno velikega realnega dela transimpedance, VT (če je V T ¦ Vfjeta člen E % ¸ 1), analogno napaki zaradi končno velikega enosmernega ojačenja priklasičnem ojačevalniku. Zadnji ulomek pa je normirana frekvenčna odvisnost, kotsmo je bili vajeni tudi pri klasičnem ojačevalniku, s polom = " ¸ "ÎGTVf, vendar zeno pomembno razliko: v njej, poleg kapacitivnega dela transimpedance G T , nastopale še upornost povratne zanke V f , med tem ko V e nastopa le v frekvenčnoneodvisnem delu ojačenja.Zaradi te lastnosti ponuja prenosna funkcija ojačevalnika s tokovno povratnozanko zelo uporabno možnost: izbiro pasovne širine sistema neodvisno od ojačenja.Enkrat ko izberemo V f in s tem določimo pol prenosne funkcije, oziroma zgornjomejno frekvenco = h ¸ "ÎG T V f , ojačenje sistema lahko nastavimo po želji z ustreznoizbiro .V ePri večini CFB ojačevalnikov je VT "!! k H in GT " pF, zato bo obupornosti Vfœ " k H napaka ojačenja manjša kot 1%, in pasovna širina ojačevalnikavsaj 150 MHz.Vendar imajo tudi CFB ojačevalniki svoje fizične omejitve. Najprej sevedaglede največjega možnega toka v povratni zanki, potem še pri izhodni impedanci obehnapetostnih sledilnikov, ki je sicer večinoma < o & H, a to že zadostuje da nekolikopokvari prenosno funkcijo in zaradi tega se mejna frekvenca le spreminja z ojačenjem.Ne sicer sorazmerno, kot pri klasičnih ojačevalnikih, kjer ob 10× večjem ojačenju 0 htudi pade za 10×, vendar opazno, zlasti pri večjih ojačenjih, kot to pokaže naslednjaanaliza. Zaradi prisotnosti < o na izhodu sledilnika E"bo napetost na invertirajočemtokovnem vhodu nižja od signala na veinvertirajočem vhodu, in sicer za padecnapetosti 3 < . Enačba (8.1) tako postane:fb oVsota tokov v vozlišču@ œ @ 3

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganpostane enačba (8.8):V f < o V f < o Vf@ sŒ" œ @ o” " Œ" • (8.14)V ^ V ^

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan10 2 −10 1A CL10 010 110 6 10 7 10 8 10 9f [Hz]Sl.8.3: Magnituda prenosne funkcije ojačevalnika s tokovno povratno zanko za različnevrednosti ojačenja sklenjene zanke E CL v območju od 1 do 100. Zgornja mejnafrekvenca 0 h (označena s ‘+’) se pri večjih ojačenjih zniža, zaradi od nič različnevrednosti izhodne upornosti < o prvega napetostnega sledilnika E". Izračun je narejen naosnovi enačbe (284) ob vrednostih < œ & H, V œ $$! k H, G œ # pF, V œ " k H.1.00.90.8o T T ff hf h10.70.60.5CFB0.40.30.20.1VFB010 0 10 1 10 2 10 3Sl.8.4: Primerjava padanja zgornje mejne frekvence 0 h (normirane na zgornjo mejnofrekvenco 0h"pri ojačenju sklenjene zanke ECLœ ") v odvisnosti od naraščanja ojačenjasklenjene zanke , za ojačevalnike s tokovno (CFB) in napetostno (VFB) povratno zanko.E CLZnižanje zgornje mejne frekvence za večja ojačenja sklenjene zanke je priojačevalnikih s tokovno povratno zanko sicer opazno, pri ojačenju ECLœ #!! pade napribližno !Þ& 0 h (pri razmerju < oÎVfœ "Î#!!), a to je še vedno mnogo boljše kot priklasičnih ojačevalnikih, katerih zgornja mejna frekvenca je kar obratno sorazmernafaktorju ojačenja, torej pade na !Þ& 0 že pri ojačenju E œ #.hA CLCL-114-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPoleg tega ojačevalniku s tokovno povratno zanko lahko vedno znižamovrednost Vfin ustrezno preračunamo vrednost Ve, ter tako tudi pri večjem ojačenju ševedno dosežemo enako pasovno širino, kot pri ojačenju 1. Le paziti je treba, da V f neznižamo pod mejno vrednost, pri kateri pol "ÎG T V f še dominira nad sekundarnimipoli ojačevalnika. Ko to mejo enkrat presežemo, bo ojačevalnik osciliral na zelovisoki frekvenci (nekaj GHz!) in se pregreval.Danes je (predvsem zahvaljujoč napredku v tehnolgiji polprevodnikov tipaSiGe, ali SiGeC) sicer mogoče narediti ojačevalnike s klasično topologijo, ki imajozgornjo mejno frekvenco 0 T ¸ 3.8 GHz (AD8099), kar je primerljivo ojačevalnikom stokovno povratno zanko. Kljub temu so ojačevalniki s tokovno povratno zanko ševedno v znatni prednosti ko gre za večje faktorje ojačenja ( 3×) in velike signale(primerljive z napajalno napetostjo), zaradi mnogo višje meje pri kateri prihaja dopojava ‘slew-rate limiting’ (ta pogosto znaša 5 000 V Îµs in več).8.1. Ojačevalnik CFB kot fotodiodni ojačevalnikOjačevalniki s tokovno povratno zanko (CFB) imajo nizko vhodno impedancoinvertirajočega tokovnega vhoda, ter temu primerno veliko napetostno in tokovnoenosmerno napako (offset) in razmeroma velik šum, tako da njihovo uporabo zaprecizne optične meritve večinoma odsvetujemo. Vendar so primeri, ko nas preciznostpri nizki svetlobni inteziteti ne zanima, pomembna je le hitrost odziva. Takrat pa jeCFB ojačevalnik razmisleka vredna alternativa.Težave nastopijo le, če je kapacitivnost fotodiode zelo velika, ker so CFBojačevalniki zelo občutljivi za kapacitivnosti na invertirajočem vhodu, še mnogo boljkot klasični ojačevalniki. To je razvidno že iz same relacije za pol (8.18). Za razlikood klasičnih ojačevalnikov, že majhna kapacitivnost vzporedna upornosti V f izničivpliv V f na pasovno širino in prestavi pol mnogo višje (teoretično neskončno visoko,praktično pa odvisno od < o ), kjer ta ni več dominanten; zato nedominantni poliprispevajo svoj fazni zasuk povratni zaki, ki iz negativne postane pozitivna in pahneojačevalnik v območje nestabilnosti. Podobno učinkuje tudi kapacitivnost nainvertirajočem vhodu proti zemlji, kar je tipično za fotodiode.Na srečo se zahteve po doseganju visokoh frekvenc skladajo z zahtevo pomajhni kapacitivnosti fotodiode. Takrat smo prisiljeni uporabiti fotodiodo z majnopovršino, povrhu pa dokaj visoko zaporno napetost, ki zniža kapacitivnost fotodiodena le nekaj pF. Če je V f razmeroma velik, denimo nekaj k H, teh nekaj pF nainvertirajočem vhodu ne predstavlja velikega bremena napetostnem sledilniku E " , ki ssvojo nizko izhodno impedanco večinoma lahko krmili tako kapacitivnost.Včasih pa je treba za doseganje izjemno visoke mejne frekvence izbrati za V fvrednost le okoli 500–1000 H. Takrat je treba ojačevalniku pomagati z eno izmedzvijač, ki smo jih že obravnavali, a jih je za ta primer treba nekoliko prilagoditi.Prva možnost je dodana kapacitivnost Gf vzporedno z Vf, kot na Sl.7.1,vendar pri ojačevalnikih s tokovno povratno zanko vrednost G f ne sme biti večja od1–2 pF, odvisno od tokovnih zmogljivosti prvega napetostnega sledilnika, E " . Žal jeuporaba kapacitivnosti manjših od 1 pF dokaj nezanesljiva, ker so razsejanekapacitivnosti na tiskanem vezju približno istega velikostnega reda in prispevajoveliko napako.-115-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDelno si lahko pomagamo s kapacitivnim T-atenuatorjem, enako kot naSl.7.12. Čeprav so kapacitivnosti, ki tvorijo T-atenuator, lahko velike, si ne smemoprivoščiti efektivne kapacitivnosti večje od nekaj pF, gledano tako iz smeri izhodnenapetosti @ , kot tudi iz smeri invertirajočega tokovnega vhoda 3 .oDruga možnost je le delna kapacitivna premostitev upornosti V f , kot jeprikazano na Sl.8.5. Ker je upornost Vf razdeljena na Vf" in Vf#in je Gfvzporenda lez Vf# , ojačevalnik pri visokih frekvencah vedno zazna Vf"v povratni zanki. Če jevrednost V f" zadosti majhna, leži pol, ki ga vnaša kapacitivnost fotodiode, precejvišje, kot če kapacitivnosti Gfne bi bilo. Poleg tega Gfdelno kompenzira fazni zasukv povratni zanki in s tem prispeva k stabilnosti ojačevalnika.fbC F2P Pi PPDC DR F1i fbZ ( s)1TR F2oSl.8.5: Stabilizacija fotodiodnega ojačevalnika s tokovno povratno zankos pomočjo delne kapacitivne premostitve upornosti povratne zanke . V fTretja možnost je umetno povečanje zaporedne upornosti invertirajočegatokovnega vhoda, V o , kot na Sl.8.6. Ta možnost je še najbolj preprosta in najboljzanesljiva, čeprav delno zniža psovno širino sistema.C Fi P2R FR oP P i fboPD C DZ ( s)1TSl.8.6: Stabilizacija fotodiodnega ojačevalnika s tokovno povratno zanko spomočjo dodatne zaporedne upornosti invertirajočega tokovnega vhoda.To zadnjo možnost ( Sl.8.6) se splača analizirati bolj podrobno. Tako kot prejpri klasičnem operacijskem ojačevalniku, imamo tudi pri ojačevalniku s tokovnopovratno zanko prenosno funkcijo odprte zanke, ki vpliva na obnašanje sistema ssklenjeno povratno zanko, le da tukaj prenosna funkcija ni brezdimenzijsko razmerjeizhodne in vhodne napetosti, pač pa je v obliki transimpedance ^T , oziroma razmerjeizhodne napetosti z vhodnim tokom:@ o œ 3fb^T (8.19)Upoštevajoč notranjo uoprnost < o prvega napetostnega sledilnika E1zaporedno z V , bo napetost v vozlišču @ :o #V o-116-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan@ œ @ 3# " fb o oa< V b (8.20)kjer je seveda po vezavi na Sl.8.6 @ œ !. Vsota tokov v vozlišču @ pa je:" #3 œ @ =G 3 @ @ =G " P # D fb a # obŒ f (8.21)VfČe v izrazu (289) zamenjamo @# z (288) in 3fbizrazimo iz (287) dobimo:3a< o V ob=GD " < o V o"œ @ ” Œ" Œ=G •^ ^ VP o fT T fTransimpedanca celotnega sistema je tako:@ o ^TVfœ 3 a< V b=G V V a^ < V ba=G V " bP o o D f f T o o f f(8.22)(8.23)Izrazimo še ^T z VT in GT, kot v enačbi (269), zaradi česar bo transimpedančnaenačba funkcija drugega reda. Normirajmo transimpedanco na vhodno količino 3V P f ,da dobimo brezdimenzijski izraz prenosne funkcije, ter ločimo frekvenčno neodvisnidel, frekvenčno odvisnega pa uredimo po potencah kompleksne frekvence = :@ o3VPfO!œ KDC (8.24)=#=O O" !Vemo da bo nizkofrekvenčno ojačenje KDC ¸" , če je V T ¦Vf Vo < o:KDC" VTœ †VfVTa< o VobŒ" a< V b a< V bo o o oKoeficijenta karakterističnega polinoma pa sta:(8.25)OO"!" aGD GfbVf GfVf Vfœ ” " •V aG G b G V G a< V b a< V bf D f T T T o o o o" VfVTœ " G V V aG G b Œ < V < VT T f D f o o o o(8.26)(8.27)Zgornja mejna frekvenca sistema bo tako:"0h œ O(8.28)# 1 È !Zgornji izrazi so dokaj zapleteni in je analitično iskanje lege polov vodvisnosti od vrednosti V o , ter optimizacija sistema za maksimalno ravno ovojničnozakasnitev dokaj zamudno opravilo, zato raje poiščimo numerično rešitev.Denimo da ima izbrani ojačevalnik, naj bo to tip THS2301 podjetja TexasInstruments, VT œ $$! k H in GT œ !Þ" pF, ter < o œ " H, izbrana fotodioda (SFH203)naj ima GDœ $ pF (ob zaporni napetosti #& V), želimo pa realizirati sistemskotransimpedanco Vfœ " k H in Gfœ !Þ" pF. Da bo simulacija bolj realna,predpostavimo da leži sekundarni pol nekje okoli 10 GHz. Ponavadi je to pol-117-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganmočnostne izhodne stopnje, ker izhodni tranzistorji morajo imeti razmeroma velikopovršino, torej tudi večjo parazitno kapacitivnost, denimo GCB¸ 1.5 pF, kar skupaj zupornostjo baze VB ¸ 10 H določa tretji pol, = $ œ "ÎGCBVB, torej na frekvenci0$ œ "Î# 1G CB V B . Potem enačbo (276) preprosto množimo s c= $ Î a= = $ bd.Pri teh pogojih spreminjajmo upornost V o od ! do "!! H, v korakih po #! H.Sl.8.7 prikazuje rezultat za absolutno vrednost prenosne funkcije lJ ab = l, fazni zamik: ab = œ arctan eecJ ab = dÎdcJ ab = df, ter ovojnično zakasnitev sistema 7 e œ .:ab = Î.= .Seveda smo = reducirali na pozitivni del imaginarne osi 4# 10. Vidimo da primer c( Voœ %! H) ustreza zahtevi po maksimalno ravni ovojnični zakasnitvi ( 7e¸ 207 ps).Takrat je tudi zgornja mejna frekvenca sistema (pri $ dBV) najvišja ( 0 ¸ "Þ" GHz).| F () s |+ 30− 3− 6− 9[dBV]−12−15−18−21−24abcdefR o [ Ω]020406080100abcdeac bdefabe dcf−27f45010 7 10 8 f [Hz]10 9 10 10hϕ [°] τ e [ps]1802703600− 30− 60− 90−120−150−180−210−240Sl.8.7: Magnituda lJ ab = l , fazni zasuk : ab = in ovojnična zakasnitev 7 e ab = fotodiodnegaojačevalnika s tokovno povratno zanko iz Sl.8.6, pri različnih vrednostih upornosti V o .Vrednosti ostalih komponent so: VT œ $$! k H, GT œ !Þ" pF, GD œ $ pF, Vf œ " k H,Gfœ !Þ"pF. Ovojnična zakasnitev je maksimalno ravna v primeru ( c) pri Vo¸ % 0 H, takrat ima sistemnajvišjo zgornjo mejno frekvenco 0h ¸ "Þ" GHz. Pri vrednosti Vo œ ! ( a) leži prelomnafrekvenca drugega pola nad 10 GHz, zato je odziv podoben odzivu sistema prve stopnje. Faznigraf ( a) bi se zato moral končati pri 270°, vendar nad ~3 GHz pride do izraza vpliv tretjega pola.Realni ojačevalnik pa bi kazal tudi vpliv razsejanih kapacitivnosti vezja, in pri povezavah daljšihod 5 mm še parazitnih induktivnosti, zato bi bil nekoliko počasnejši in imel več rezonanc nad1GHz, ki bi se pri odzivu na stopnico odrazile kot slabo dušene visokofrekvenčne oscilacije.Za izračun časovnega odziva na stopnico moramo poiskati pole v enačbi (292).Kot v vseh sistemih drugega reda, tvorita pola konjugirano-kompleksni par pri tistihvrednostih V o za katere izraz pod korenom manjši od nič, sicer sta oba pola realna:":"# , œ ŒO "„ É O" # %O!(8.29)#Za tretji pol pa smo že predpostavili da ga poznamo:": $ œ G VCBB(8.30)-118-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganVpliv tega pola bi lahko modelirali, če bi enačbo (292) množili z izrazoma: $ bÎ a= : $ b. Vendar tretji pol leži na precej visoki frekvenci, kjer je frekvenčniodziv oslabljen za več kot 20 dB, zato pri izračunu odziva na stopnico ne bomonaredili velike napake če zanemarimo.: $Izraza za O" (294) in O!(295) poenostavimo. Zato jih zapišimo drugače, terupoštevajmo da je G ¸ G , G ¦ G , V ¦ V ¦ V , < pa prištejmo k V :O"f T D f T f o o o" " " "œ G V G V G V G VT T D o D o D f" # " #¸ ” • ¸G V V G VD o f D o(8.31)O!" " "œ GVVaG Gb GVaG GbV GVaG GbVT T f D f T T D f o T f D f o¸" "¸GVaG GbV GVGVT f D f o T f D o(8.32)S temi približki se vrnimo v (297)::"# ," Ô## # " ×œ „ ËŒ %# Õ GDVo GDVo GTVfGDVoØ"œ Ô GDVo"…4 "×GDVËoÕGTVfØ(8.33)Vidimo da sta pola odvisna predvsem od produkta G D V o , njuna imaginarnavrednost proti realni pa od razmerja pod korenom, GDVoÎGTVf. Te relacije so sedajdovolj preproste da lahko poiščemo residue prenosne funkcije, ki se glasi:J ab = œ KDCa: " ba:# ba=:ba=:b" #Frekvenčno neodvisno napako v ojačenju bomo zanemarili in vzelina stopnico pa zahteva še množenje s transformirano stopnico, "Î=:" a: " ba:# bK= abœ J ab = œ= = a=: ba=:b" #(8.34)KDÇ ". Odziv(8.35)Ker imamo sedaj tri pole, bomo imeli tudi tri residue.Opozorimo še enkrat, da bodo predznaki residuov negativni, ker ojačevalnikinvertira signal, toda fotodiodo smo obrnili tako, da to kompenziramo, zato boizhodna napetost sorazmerna vpadni svetlobi in temu ustrezno bomo izrisali tudi grafčasovnega odziva na stopnico.Prvi residuum, ko gre =p! , je:-119-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan a: " ba: # b a: " ba:# b< 0a>b œ lim= e œ lime= p0 = a=: ba=: b = p0a=: ba=:b=> !>" # " #œ a: " ba:# ba: ba:b" #œ" (8.36)Naslednji residuum, ko gre, je: =p: "< " ab > œ lim a=: " b a : " ba : # be œ lim a : " ba : # be= p: " = a=: ba=: b = p: " = a=:b=> =>" # #œ :: " # :#œ : a: : b e :> ": :e :> "(8.37)" " # " #Naj bosta pola : œ 5 4 = in : œ 5 4=. Sledi:< ab > œ "" #5 4= 4 5 4=e œ e5 4= 5 4= 4# =a5 = b> a5 4=b>œ " # Œ54=5 > 4=>" e e(8.38)In še zadnji residuum, ko gre =p: # :< # ab > œ lim a=: # b a : " ba : # be œ lim a : " ba : # be= p: # = a=: ba=: b = p: # = a=:b=> =>" # "œ :: " # :"œ : a: : b e :> #: :e :> #(8.39)# # " # "Ponovno nadomestimo : œ 5 4 = in : œ 5 4=. Sledi:< ab > œ #" #5 4= 4 5 4=e œ e5 4= 5 4= 4#=a5 = b> a5 4=b>œ "# Œ 5"4= e e5 > 4=>(8.40)Časovna funkcija ga> bbo vsota vseh resuduov funkcije K ab = :#" 5 " 5ga>bœ " < 5ab> œ " Œ" e e Œ"e e# 4= # 4 =5œ!5 > 4= > 5 > 4=>(8.41)Načeloma bi lahko sedaj namesto 5 in = vpisali komponente polov iz (301),vendar pokažimo še, da bo časovna funkcija vedno realna, pa če so poli in pripadajočiresudui realni, ali tvorijo konjugirano-kompleksne pare.Najprej eksponenta z imaginarno enoto prevedemo po Eulerjevih obrazcih vtrigonometrični funkciji:-120-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganEnačbo (293) lahko potem zapišemo kot:4De œ cosD 4sinD4De œ cosD 4sinD(8.42)e 5> 5 5ga>b œ " ” Œ" acos= b Œ"a b•# 4= >4 sin= > cos= 4=>4 sin=>(8.43)To uredimo tako, da faktorje zmnožimo in ustrezno pokrajšamo enake izraze znasprotnimi predznaki. Tako se bodo pokrajšali cos=> ki množi a„ 5 Î 4=b, ter ", kimnoži a„4 sin= > b. Tako nam ostane le:" "ga>bœ " e 5 > 5Œ e 5 > 5cos= > 4 sin= > Œcos= > 4 sin=> (8.44)# 4= #4=Pokrajšajmo še imaginarne enote in prištejmo polovične izraze v oklepajih. Dobimo:5> 5ga>bœ "e Š cos= > sin=> ‹(8.45)=Funkcija (312) je čisto realna. Vpišimo še namesto 5 in = komponente polov iz (301):" " GDVo5 œ = œ "G V G VËG VD o D o T f(8.46)Na Sl.8.8 je narisan časovni odziv na stopnico ga> bza enake vrednosti V o , kot prifrekvenčnem odzivu.1.21.00.8a b c d efC Fg( t)0.60.40.20abcdefR o [ Ω]0204060801002i R PFR oP P i fboPD C DZ ( s)1T− 0.20 0.5 1.0 1.5 2.0t [ns]Sl.8.8: Odziv na stopnico fotodiodnega ojačevalnika s tokovno povratno zanko za različnevrednosti upornosti Vo. Vrednosti ostalih komponent so: VT œ $$! k H, GTœ !Þ" pF,GD œ $ pF, Vf œ " k H, Gfœ !Þ" pF. Sistem ima najhitrejši vzponski čas (10-90%amplitude) okoli 0.25 ns v primeru ( c),Vo œ %! H, ko je tudi ovojnična zakasnitev na Sl.8.7maksimalno ravna in v ravnem delu znaša 0.21 ns, to pa je čas prehoda polovice amplitude.-121-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganTako se celotni odziv na stopnico glasi:G VoGDVoe >É" DG VÉ"ga > b œ " G V– G VGDVoT fD oT fcosG V> É "G Vsin G V> —D o T f D o(8.47)Spoznali smo da je mogoče ojačevalnik s tokovo povratno zanko uglasiti zaoptimalni časovni odziv z izbiro upornosti V o vezani zaporedno invertirajočemusignalnemu vhodu. Toda to je možno le takrat, ko imamo fotodiodo z majhnopovršino in majhno kapacitivnostjo. V obravnavanem primeru smo imeli fotodiodoSFH203, ki ob zaporni napetosti 25V ima le okoli 3 pF.8.2. Ojačevalnik CFB s fotodiodo večje kapacitivnostiSprašujemo se kaj lahko naredimo kadar nujno potrebujemo fotodiodo zveliko površino (za večjo svetlobno občutljivost) in hkrati kar se da visoko mejnofrekvenco.Proizvajalci fotodiod v spremni literaturi pogosto priporočajo vezavo kot naSl.8.9, kjer je fotodioda priključena na breme 50 H, ojačevalnik pa je v običajnineinvertirajoči vezavi za napetostno ojačenje. Taka vezava je sicer sila preprosta in nepotrebuje nobene posebne optimizacije; vse kar moramo storiti je da izberemoustrezno hiter in nizkošumni ojačevalnik, bodisi z napetostno, bodisi s tokovnopovratno zanko. Žal se pogosto izkaže da taka vezava ni najbolj posrečena iz večrazlogov. Najprej, če bi radi ohranili linearnost odziva fotodiode, je nujno izbratirazmeroma majhno upornost bremena V D , ki je lahko največ 1 k H, še raje pa 100 H,ali celo 50 H; prav tako zaporna napetost Z B mora biti kar se da velika, zato dasprememba zaradi 3V P D ne vpliv a na linearnost. Velika zaporna napetost je sicer vprid hitrejšemu odzivu, ker zmanjša GD(3.9). Vendar majhna vrednost VDposlabšarazmerje signalÎšum. Poleg tega faktor signalnega ojačenja K œ "VFÎVEv enakimeri ojači tudi šum, ter hkrati še enosmerno napako zaradi temnega toka fotodiode invhodne napetostne napake (offset) ojačevalnika.G DR EAV B2R FP PPD C Do1i PR DSl.8.9: Običajni fotodiodni ojačevalnik, po priporočilih nekaterih proizvajalcev fotodiod.Eno izredno zanimivo možnost nam ponuja vezje na Sl.8.10, kjer spojni FET(jFET) loči fotodiodno kapacitivnost od povratne zanke ojačevalnika.U "-122-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margani PV SSQ 1R FTP PGPDC GS C GDCi fb C FDV2oG1µFZ ( s)1.5k1.5k 11µFV BV eeSl.8.10: Kadar nujno potrebujemo fotodiode z veliko površino, torej tudi z veliko parazitnokapacitivnostjo GD $! pF, si lahko pomagamo s tako vezavo. Tranzistor jFET U"deluje zozemljenimi vrati, zato ima tokovno ojačenje ~1, napetostno ojačenje pa ~0, vendar jenjegova bistvena vloga ločiti fotodiodo od povratne zanke ojačevalnika. Ojačevalnik bo takozaznaval le kapacitivnost ponor-vrata G GD, ki pri jFETih ponavadi znaša ~ # pF ali manj.Pomanjkljivost te vezave se kaže pri zelo šibki osvetlitvi fotodiode, ko je tok skozi jFETmajhen, in je impedanca izvora razmeroma visoka, zato je fotodioda dodatno obremenjena skapacitivnostjo vrata-izvor G GS ; pa še transkonduktanca jFETa g fs je pri šibkem toku majhna,zato bo zgornja mejna frekvenca za šibke tokove precej nižja, kot pri večjih tokovih. Če panas zanima le hitrost odziva za večje signale, lahko vzporedno fotodiodi dodamo upornostV p ¸ 100 k H (še raje vir konstantnega toka s še enim enakim jFETom), ki ki drži jFET odprtpri šibkih osvetlitvah, zato se frekvenčna meja z osvetlitvijo ne bo bistveno spreminjala. Tosicer povzroči enosmerno napako na izhodu, ki je enaka VZ f GSÎVp, a jo je mogočekompenzirati z upornostjo med ponorom (D) jFETa in pozitivno napajalno napetostjo; žal stem povečamo šumno ojačenje, zlasti če je vrednost velika.i PDV FKer je kapacitivnost med vrati in ponorom jFETa GGD¸ # pF, je povratnozanko ojačevalnika razmeroma preprosto ukrotiti. Prav tako kapacitivnost med vrati inizvorom jFETa GGS¸ & pF ne poveča veliko GD, kateri je vezana vzporedno, če je leta že razmeroma velika. Tako bo zgornja mejna frekvenca omejena bolj s fotodiodosamo, kot pa z ojačevalnikom, jFETom, ali ostalimi pasivnimi komponentami.Težave lahko nastopijo ob šibki osvetlitvi, ko je foto-tok majhen in je zatojFET skoraj zaprt. Takrat je impedanca izvora jFETa razmeroma velika (nekaj k H),zato do izraza pride kapacitivnost GGS, ki je vzporedna kapacitivnosti fotodiode GDinnekoliko upočasni foto-odziv. Poleg tega jFET pri šibkih tokovih, MD 10 µA, imakar 6–8× nižjo transkonduktanco g fs , kot ta znaša v območju 100 µA M D 2 mA,zato bo tudi porast toka skozi jFET počasnejši.Enako vezavo je seveda mogoče uporabiti tudi s klasičnimi ojačevalniki znapetostno povratno zanko, zlasti v primerih ko bi tok invertirajočega vhoda CFBojačevalnika bil prevelik in bi povzročal večjo enosmerno napako.8.3. Zmanjšanje enosmerne napake pri CFB ojačevalnikuZradi razmeroma velike razlike v vhodni impedanci med invertirajočim inneinvertirajočim vhodom pri ojačevalnikih s tokovno povratno zanko bo fotodiodniojačevalnik v invertirajoči vezavi pogosto imel na izhodu tudi precejšnjo enosmernonapako. Le ta bo vsota napetostne razlike med obema vhodoma in padca napetosti naupornosti povratne zanke V F zaradi vhodnega toka invertirajočega vhoda. Sl.8.11kaže enega od možnih načinov neodvisne kompenzacije napetostne in tokovneenosmerne napake. Tukaj je ^ Ta= bojačevalnik s tokovno povratno zanko, E ab = pa jeojačevalnik z napetostno povratno zanko, ki je lahko razmeroma počasen, vendarmora imeti zelo majhno napetostno napako (denimo, OP-07 katerega Z ¸ 10 µV,ofs-123-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganlahko pa uporabimo tudi ICL7650, LTC1150, ali podobni avto-komutacijskiojačevalnik, katerega Zofs¸ 1 µV, ali manj). Ta ojačevalnik uporabmo v integratorskivezavi in z njo kompenziramo napetostno napako med vozlišči @" in @#. Spotenciometrom pa potem izničimo še tokovno napako.V PR DoV ccR PV eeC CR EP PV BAPDi P1k5C D1µF43TR A21Z ( s)R FC A R B R C( s)C BSl.8.11: Zmanjšanje napetostne enosmerne napake CFB ojačevalnika s pomočjo integratorskovezanega VFB ojačevalnika. Tokovno napako lahko potem odpravimo s potenciometrom.-124-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan9. Optimizacija za visoko občutljivostV dosedanjih obravnavah smo spoznali kako zahteva po večji hitrosti vplivana pogoje stabilnosti sistema. Zahteva po visoki občutljivosti tudi vpliva na pogojestabilnosti, toda v manjši meri, pa tudi stabilizirati sistem je bolj preprosto kadar jehitrost odziva drugotnega pomena. Po drugi strani ima visoka občutljivost svoje mejev šumu sistema, čeprav ukrepi, ki so v teh primerih na voljo, delno tudi sovpadajo zzahtevami za večje razmerje signalÎšum. Pri obravnavi naslednjega primera bomoizhajali prav iz tega dejstva.C FR FiP P2oPPDC DA ( s)1C ER ESl.9.1: Sistem z zelo visoko občutljivostjo.Bistvena razlika med tem vezjem in dosedaj obravnavanimi je v tem, daneinvertirajoči vhod ojačevalnika ni ozemljen, zato vhodni tok 3 v teče hkrati skoziimedanco povratne zanke ^Fin impedanco proti zemlji Ê. Smoter take vezave je vmanjši občutljivosti na elektromagnetne motnje, ki se inducirajo hkrati na obehkoncih fotodiode, ojačevalnik pa jih izloči, ker ne ojači skupnega signala, pač pa lerazliko. V tem primeru je smiselno impedanci v obeh vejah med seboj izenačiti, torejnaj bo ^ œ ^ .EFAnaliza je v tem primeru preprosta, napetost @ o @ # mora biti enaka napetosti@" ! . Ker pa ojačevalnik skuša doseči ravnovesje @# ¸ @", bo izhodna napetostpreprosto dvakratnik vhodne napetosti, @ œ #@ .o "Tok fotodiode 3P se deli na tok 3c skozi kapacitivnost GD in vhodni tok 3v:3 œ 3 3P c v (xx1)in 3 povzroči na fotodiodni kapacitivnosti G vhodno napetostno razliko:cD@ @ œ 3" # c"=GD(xx2)zato je vhodni tok 3 v :3v œ 3P a@ " @ # b=GD(xx3)Potemtakem je potencijal @ " :@ œ 3 ^ " v E (xx4)-125-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganTaisti vodni tok 3vna impedanci povratne zanke ^Fustvari potencijalno razliko@ o @ #, zato je @#:@# œ @ o 3v^F (xx5)Izhodna napetost@ o je potem, če upoštevamo prenosno funkcijo ojačevalnika, enaka:@ o œ @" a@ " @ # bE a=b (xx6)kjer bomo za E= abprivzeli enako preprosto enopolno funkcijo, kot v (6.26):E= œE = "ab !==Če enačbi (xx4) in (xx5) vstavimo v (xx3) dobimo:"(xx7)3v œ3P a3vÊ @ o 3v^ Fb =GD(xx8)Iz te relacije lahko eksplicitno izrazimo vhodni tok:3 œv3P @ o=GD"a^ ^ b=GE F DTo lahko stavimo v (xx4) in (xx5), nato pa še v (xx6):3 @ =G@ o c P o D"E ab = d œ Ê Ê ^FE =" ^ ^ =Gc a b aba bdLočimo koeficijente pri @ in 3 :oPE F D=GDcÊ aÊ ^FbE a= bd 3PcÊ aÊ ^FbE a=bd@ oœ"E ab = œ"a^ ^ b=G "a^ ^ b=GE F D E F Din sedaj lahko izrazimo transimpedančno prenosno funkcijo:@3oPœČe izberemo ^ œ ^ :Uredimo imenovalec:in delimo z c" #E ab = d:F^ " ˆ^F" ‰ E ab = ‘ED E E Fc"a^ ^ b=G dš "E a= b›EE F DÊ=G c^ a^ ^ bE a=bd"a^ ^ b=GE F D@ o^ Ec" #E ab = dœ3P=GD^ Ec"#E ab = dc"#=G ^ dš "E a= b›DE"#^ =G@ o^ Ec" #E ab = dœ3 c"#=G ^ dc"E ab = d=G ^ c"#E ab = dP D E D E@3oÊœc "#=G ^ d "E ab = =G ^P D E "#E ab = D EED(xx9)(x10)(x11)(x12)(x13)(x14)(x15)Pri frekvencah nižjih od ojačevalnikove prehodne frekvence jeulomek c"E= abdÎ"#E=c abd¸"Î# :=E=! ". Takrat bo-126-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan@3oÊœc "#=G ^ d " # =G ^P D E D E(x16)Frekvenčno odvisni del imenovalca se pokrajša:@ oÊœ"3 =G ^ =G în ostane le:Zamenjajmo šeÊP # D E D E@3oPœ#^z pripadajočimi komponentami:E(x17)(x18)""VG E EÊœ œ VE(x19)" "=G E =VV GE E EKončno lahko transimpedančno prenosno funkcijo normiramo na vhodno upornost indobimo prenosno funkcijo prve stopnje:"@ o3V œ# VG EP E= "EVGEE(x20)S tem smo potrdili intuitivno domnevo z začetka obravnave, @ o œ #@". Pri višjihfrekvencah vpliva ojačevalnika ne moremo več zanemariti, takrat je =E= ! " , zato je"E ab =E= ab " in je ulomek ¸" , posledično pa bo (x15):Če ponovno izrazimo"#E ab =@ o ^ ^œE œE3 " #=G ^ =G ^ " =G ^P D E D E D EÊs pripadajočimi komponentami:(x21)"@ oVG"E EœV E †3"P =VG E E "=G VDE ="VEGE"VEGE(x22)Transimpedančno prenosno funkcijo spet normiramo na vhodno upornost:@ o3V œ VG E EGP E =" ˆ D ‰ G""V GE E E(x23)in delimo s koeficijentom pri = , da dobimo kanonično obliko:@3V œ †oVG a"P E = †"E E E DVGGEGGbGEaGGbE E E D(x24)Pokrajšamo šeG Ein ugotovimo da ponovno imamo opravka s funkcijo prve stopnje.-127-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPol funkcije v tem primeru določa vsota fotodiodne in kompenzacijske kapacitivnosti:@ o3V œ V=PE"EaGEGDb"V aG G bE E D(x25)To pomeni da bo v prehodnem območju, ko je =¸E= ! " prenosna funkcija ukrivljenanekoliko bolj kot je to navadna funkcija prve stopnje, kar se odraža na predvsem nafaznem prehodu in ovojnični zakasnitvi. Odstopanje pa ni veliko in pride do izraza leče leži sistemski pol v okolici pola določenega z ojačevalnikovo prehodno frekvenco,oziroma k"ÎaVEGE bk ¸ kE ! = " k. Vendar to ni pogost primer, ker ponavadi želimo pritem načinu vezave imeti kar se da veliko upornost VEin VF. Posledično (če le ni samojačevalnik zelo počasen) bo v veliki večini primerov k"ÎaVEGE bk kE ! = " k; takratveljata prva aproksimacija in prenosna funkcija (x20).To dejstvo se bo odrazilo tudi na časovnem odzivu na tokovno stopnico, kjerbo to preprosta eksponencijalna funkcija:@ oab>>Vga> bœ œ # Š "eE G E ‹3 ab > VPC FE(x26)R FC E2oC D1NA( s)R ESl.9.2: Enakovredna vhodna šumna napetost za analizo šumnega ojačenja.Tako kot v prej obravnavanih primerih je tudi tukaj celotna šumna napetostenaka kvadratnemu korenu iz vsote kvadratov napetosti posameznih šumnih virov(tokovna komponenta šuma pri ojačevalnikih, ki imajo na vhodu FETe, je vprimerjavi z napetostno komponento zelo majhna in jo lahko zanemarimo). Sevedatermično šumno upornost fotodiode in termično upornost jemljemo neposredno, medtem ko šumno napetost ojačevalnika moramo množiti še z šumnim ojačenjem sistema,ki jo izpeljemo skladno z vezavo na Sl.9.2.Enakovredno šumno napetost ojačevalnika @ N dobimo če gostoto napetostnegašumnega spektra / N (preberemo jo v podatkih izdelovalca ojačevalnika) množimo skorenom iz pasovne širine sistema, le to pa določa pol : œ "ÎV E G E v prenosnifunkciji (x20), torej ? 0´:Î# 1 (ker je spodnja mejna frekvenca enaka nič, DC):@ œ /NN"Ê (x27)# 1 V GPri določanju funkcije šumnega ojačenja izhajamo iz superpozicije šumnegavira in vhodne napetostne razlike, ki jo množi ojačenje odprte zanke:EE-128-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan@ o œ c@ N a@ " @ # bdE a=b(x28)Izhodni tok ojačevalnika (brez bremena) teče v enaki velikosti skozi vse tri impedancev povratni zanki, zato veljata relaciji:@ o @ #œ a@ # @ " b =GD(x29)^Fa@ @ b=G œ @^# " DIz (x30) izrazimo @ # :"@# œ @"Œ"=G ^kar vstavimo v (x29) da dobimo @ " :@ œ@ o"F" ^^D"EE"=G Ê D EIzraza za @ in @ (x32) in (x31) vstavimo v (x28) in dobimo:" #@ o"œ@ N" "E= ab =G a^^b"D E F(x30)(x31)(x32)(x33)10 5 f [Hz]10 410 310 2R E = R F = 10MC E = C F = 5pFC D = 200pFA(s)A (s)N10 110 0oiPR E−10 1−10 2−10 3−10 4C FR FiP P2oPPDC DA ( s)1R E C E−10 510 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7Sl.9.3: Prenosna funkcija @Î3V o P E, enačba (x15) v primerjavi z ojačenjem odprtezanke E= ab, ter s šumnim ojačenjem E Nab= , enačba (x33), za v grafu podanevrednosti komponent. Ker smo prenosno funkcijo normirali na V E , izkazuje grafojačenje # × na nizkih frekvencah, dominantni pol pa je pri "ÎV E G E . Šumnoojačenje začne naraščati pri "ÎVEaGD GEb, ima maksimum pri GDÎ a" #GEb,nakar doseže ojačenje odprte zanke in začne v skladu s tem padati.-129-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganKot je razvidno iz grafov na Sl.9.3, je šumno ojačenje sistema razmeromaveliko, GDÎ a"#GEb, in ostaja večje od 1 vse do prehodne frekvence 0 T (~10 MHz).Zato je taka vezava primerna le kadar je termični šum obeh uporov večji odnapetostnega šuma ojačevalnika, pomnoženega s šumim ojačenjem. Vendar sta uporapremoščena s pripadajočo kompenzacijsko kapacitivnostjo, zato termični šum uporovnad frekvenco dominantnega pola pada. To pomeni da bo za izpolnitev prejšnjegakriterija potrebno izbrati kar se da velike upornosti. Na srečo, signalno ojačenjenarašča premosorazmerno z upornostjo, šum pa s korenom iz upornosti, oziroma šepočasneje, zaradi tega ker se z upornostjo spreminja tudi zgornja mejna frekvencasistema. Na tej podlagi je zato vedno mogoče sistem optimizirati, a če ne gre drugače,še vedno lahko izberemo fotodiodo z manjšo površino in manjšo kapacitivnostjo.Na Sl.9.4 je narisan odziv sistema na tokovno stopnico po enačbi (x26), obenakih vrednostih posameznih komponent.2.01.81.61.4gt ()1.21.00.80.60.40.200 50 100 150 200 250 300t [µs]Sl.9.4: Odziv sistema na enotno tokovno stopnico po enačbi (x26), ob enakihvrednostih komponent kot pri frekvenčnem odzivu.-130-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDodatek A:Družine polinomov in različni kriteriji optimizacije odziva sistemaOdziv sistema je mogoče optimizirati po različnih kriterijih. V moderni teorijifiltrskih ojačevalnikov poznamo več družin polinomov, katerih matematične lastnostiustrezajo določenim optimizacijskim kriterijem, ter posledično rezultirajo v posebnihlegah polov. Sistem stopnje 8, torej tak ki vsebuje 8 reaktivnih komponent ( G ali P),ter 8 disipativnih ( V ), ob dani zgornji mejni frekvenci = h , lahko razvrstimo v eno odnaslednjih glavnih optimalnih družin:1) Butterworthova družina je optimalna v smislu maksimalno ravnegafrekvenčnega odziva, s tem da je vseh 8" odvodov frekvenčnega odziva v8 8izhodišču koordinatnega sistema ( = œ! ) enako nič: ` kJa4= bkÎ`=¸ œ! .!o=Poli te družine ležijo vsi na levi strani kompleksne ravnine, na krogu zradijem, ki je enak pasovni širini sistema = h , so razporejeni simetrično(konjugirano-kompleksno) glede na realno os in so razmaknjeni za enake kote.2) Bessel-Thomsonova družina je optimalna v smislu maksimalno ravneovojnične zakasnitve, s tem da je vseh 8" odvodov ovojnične zakasnitve vizhodišču enako nič: ` 8 := a bÎ`=8 ¸ œ !. Ob maksimalno ravni zakasnitvi!o=gredo vse frekvence v prepustnem pasu skozi sistem enako zakasnjene, s temse oblika signala (ob določeni = h ) ohrani. Taki sistemi imajo maksimalno hitervzponski čas ob minimalnem prenihaju. Poli te družine ležijo na levi stranikompleksne ravnine, na družini elips, katerih bližnje gorišče sovpada zkoordinatnim izhodiščem, dalnje gorišče pa leži na pozitivnem delu realne osi.3) Čebiševljeva ( Pafnutiš Lvoviq Qebyix›v, 1821–1894) družina prvegatipa je optimalna v smislu maksimalno strmega poteka frekvenčnega odziva vneposredni okolici zgornje mejne frekvence: ¸`J k a4= bkÎ`= ¸ = œ=hœmax, todaob vnaprej določenemu valovitemu odstopanju v prepustnem frekvenčnempasu za „

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganPoleg naštetih glavnih družin poznamo še Gaussove (več vrst), Legendreove ( A.M.Legendre, 1752–1833), ter različne tipe aproksimacij fazno linearnih sistemov zomejenim odstopanjem (‘ Equi-Ripple Linear Phase’), toda lastnosti teh sistemov sovedno sub-optimalne v primerjavi z eno izmed glavnih družin.Zgoraj našteti optimizacijski kriteriji v osnovi definirajo nizko-prepustnesisteme, vendar je enake kriterije mogoče uporabiti tudi za visoko-prepustne, pasovnoprepustne in pasovno zaporne sisteme. Algoritmi za pretvorbo iz ene oblike v drugoso razmeroma preprosti, vendar je to bolj zanimivo za splošno teorijo filtrov.Različni sistemi imajo lahko različna ojačenja in različne mejne frekvence,sistemi različnh stopnej 8 pa so tudi različno strimi. Zaradi primerjave teh sistemovna enakih osnovah se ponavadi zatekamo naslednji sistemski standardizaciji:a) vsi sistemi naj imajo vrednosti polov normirane na zgornjo mejno kotnofrekvenco enopolnega sistema, = h , ki naj bo 1 radian na sekundo (kar jeenakovredno krožni frekvenci 0h œ "Î# 1 [Hz]).b) vsi sistemi naj imajo ojačenje enosmernega (DC, = œ! ) toka ali napetostinormirano na enoto, E œ ".0Seveda, za normirane sisteme lahko izračunamo le medsebojna razmerjaposameznih komponent vezja; dejanske vrednosti dobimo šele, če pole pomnožimo zdejansko zgornjo mejno frekvenco in ojačenje z dejanskim ojačenjem. Za določenfrekvenčni potek lahko sicer izberemo kakršne koli vrednosti komponent, le produktiVG, ali PÎV, morajo ustrezati zahtevani legi polov. V praksi pa je treba upoštevati,da tranzistorji ne zmorejo poljubno velikih tokov in napetosti, zato je nujno pasivnekomponente dimenzionirati na ustrezne napetostno-tokovne razmere. Poleg taga jetreba imeti v mislih razsejane in parazitne impedance, ki so posledica medsebojnihpovezav komponent, geometrije, ter nekaterih materijalnih lastnostih (na primerdielektričnost izolacijskega materijala, na katerem je vezje zgrajeno), zato izbraneimpedance ne smejo biti previsoke, če naj se izognemo vplivu neželjenih impedanc.Izpeljali bomo pole le za Butterworthovo in Bessel-Thomsonovo družino, kersta le ti primerni za fotodiodne ojačevalnike.A1: Butterworthova družinaPole Butterworthove družine izpeljemo lahko iz izraza za kvadriranomagnitudo frekvenčnega odziva sistema stopnje 8:# "kK 8ab= k œ œ K a= b †K a=b" ˆ # 8 8= ‰8 (A.1)To je sistem s samimi poli; teh je #8, ker gre lK ab s l p _ kadar je:Koreni enačbe (A.2) so:8#8"= œ!=œÈ#8"#(A.2)(A.3)Izraz (A.3) razrešimo s pomočjo znamenitih de Moivrejevih ( Abraham de Moivre,1667–1754) formul, ki povezujejo kompleksna števila s trigonometrijskimi relacijami:-136-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganOd tod sledi:"œ cosa"#; b14 sina"#;b 1 ¹(A.4);œ!ß"ßáß#8"#8 È a"#;b1 a"#;b1" œ cos 4 sin ¹#8 #8;œ!ß"ßáß#8"(A.5)Vse te rešitve ležijo v kompleksni ravnini na krogu z enotnim radijem,katerega center sovpada z koordinatnim izhodiščem. Žal tukaj nismo bili srečne rokepri izbiri parametra ;: že pri 8 œ " (in ; œ !) imamo cosa1Î# b œ ! in sina1Î# b œ ",kar pomeni da je pol čisto imaginaren, namesto realen. Enako se zgodi pri 8" , če je" #; œ 8 , ali " #; œ $8. Fizikalno nam negativna realna os pomeni izguboenergije skozi toplotno disipacijo na uporu. Par polov na sami imaginarni osi tako nebi imel nobenega dušenja in bi povzročil nestabilnost sistema.Čisto imaginarnim polom se lahko izognemo, če sinusno-cosinusne izrazemnožimo z imaginarno enoto 4, in tako zavrtimo lego polov za 1Î#; tudi taki poli sorešitve enačbe D.1. Poleg tega bi radi pole šteli od " do 8 , namesto od ! do 8" .Zato bomo naredili zamenjavo 5œ;" , in dobili:a#5"b1 a#5"b1= 5 œ5 5 4=5 œsin 4cos º(A.6)#8 #8To lahko zapišemo tudi v Eulerjevi obliki:5œ"ß#ßáß8415= œ e" #5"8#º5œ"ß#ßáß8(A.7)Tabela A1: Butterworthovi poli za prvih pet stopenjStopnja 8 5 [rad Î= ] = [rad Î= ] ) [°]" ".!!!! !!!!! .")!# !.(!(" „ !(!(" . ")! … %&.!!!!$ ".!!!! !!!!! .")! !.&!!! „ !)''! . ")! … '!.!!!!% !.*#$* „ !$)#( . ")! … #".&!!! !. $)#( „ !*#$* . ")! … '(.&!!!& ".!!!! !!!!! .")! !.)!*! „ !&)() . ")! … $' .!!!! !. $!*! „ !*&"" . ")! … (#.!!!!-137-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganLege polov v kompleksni ravnini na osnovi Tabele A1 in enačb (A.6) in (A.7)za prvih pet sistemov so narisane na Sl.A1.jωjωs ss 34s 21jω1s 2s 1s θ 11 s 1s 1σ σ 1 σσσs 2s s 2 3s 3 s 4 s 5n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5jωjωjωσSl.A1: Lega Butterworthovih polov za prvih pet polinomskih stopenjStabilnost sistema sicer določa Nyquistov kriterij (na frekvencah kjer jeojačenje sistema " , fazni zasuk ne sme biti večji od 270°), bolj splošno pa Routh–Hurwitzova ( Edward J. Routh, 1831–1907, Adolf Hurwitz, 1859–1919) zahteva:karakteristični polinom sistema je polinom Hurwitzovega tipa le, če so koeficijenti pri8 !vseh potencah neodvinsne spremenljivke (od = do = ) večji od nič (realni inpozitivni). Tak polinom ima vse pole v levem delu kompleksne ravnine, zato prikK 8ab= k# moramo 8 polov v levem delu kompleksne ravnine pripisati KÐ=Ñ, preostalih8polov na desni strani kompleksne ravnine pa pripada Ka=b.Prenosna funkcija (A.1) izražena s poli bi lahko imela obliko:K= abœ8= 5"$a==b5œ"5(A.8)toda ojačenje tako izražene prenosne funkcije pada z večanjem reda 8. Če izrazimoK= ab za =œ! , dobimo:K! abœ8"$a=b5œ"5(A.9)Z deljenjem K=ÎK! ab abdobimo normirano funkcijo J ab = , katere ojačenje je E!œ" ,neodvisno od stopnje 8:J ab = œ8K= ab a=5bœ $K! ab a==bProdukt polov v števcu določa zgornjo mejno frekvenco sistemalastnost le Butterwortovih polov (pri ostalih družinah le za 8œ# ):885œ"5(A.10), a to je = h= h œ Ë $ a=5 b(A.11)5œ"-138-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganZaradi lege vseh polov na enotnem krogu, k= 5kœ ", je Butterworthov sistempopolnoma določen že s samo stopnjo 8, in je za vsak 8 normiran na isto zgornjomejno frekvenco = h œ" , in ima na tej frekvenci polovično moč:# " "J Ð4"Ñ J Ð4"Ñ œ J Ð"Ñ œ Ê ¸J Ð"Ñ¸œ(A.12)# È#2.01.0| Fn( jω)|0.707n = 123450.10.1 1.0 10.0ωω H/ω H = 1 /RCSl.A2: Magnituda frekvenčnega odziva Butterworthovih sistemov za prvih pet stopenj, naosnovi enačbe A.10. Mejna frekvenca in nizkofrekvenčno ojačenje sta neodvisna od stopnje 8.1.21.0g() t0.80.6n = 123n 450.40.20.00 510 15tRCSl.A3: Odziv na stopnico Butterworthovih sistemov za prvih pet stopenj 8./-139-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganA2: Bessel-Thomsonova družinaPole Bessel–Thomsonove družine izpeljemo na osnovi zahteve po enotniovojnični zakasnitvi. V kompleksni ravnini sistem z časovno zakasnitvijo X lahkoizrazimo kot:JÐ=Ñ œ e=X(A.13)=Ta izraz najprej normiramo na enotno zakasnitev, Xœ" . Nato lahko eaproksimiramo s polinomom stopnj 8. Toda če to naredimo z uporabo Taylorjevevrste ( Brook Taylor, 1685–1731), polinomi za 8# ne bodo Hurwitzovega tipa. Če=pa e izrazimo s hipreboličnimi funkcijami:e= "œ œsinh = cosh ="sinh =cosh ="sinh =(A.14)bo Taylorjeva vrsta za hyperbolični sinus imela lihe potence = , vrsta za hiperboličnicosinus pa bo imela sode potence = ; ulomek teh polinomov, z uprabo verižnihulomkov, bo polinom Hurvitzovega tipa. Če verižne ulomke okrnimo pri 8-tem členu,dobimo Bessel–Thomsonov sistem stopnje 8:kjer je F 8a= bBesselov polinom stopnje 8:J = œ - !abF ab =888 55œ!5(A.15)F ab = œ "- =(A.16)v katerem vsakF 8a=bustreza eni od sledečih relacij:F ! ab = œ"F " ab = œ="F ab = œ a#8" bF #ab = = F ab =8 8" 8#(A.17)Obrazec za določanje koeficijentov -5za splošno obliko polinoma stopnje 8 je:- œÐ#8 5Ñx# 5xÐ85Ñx5 Ð85Ñº5œ!"#á8"8, , , , ,(A.18)Iz teh koeficijentov lahko izračunamo pole po standardnih obrazcih, ki jihlahko najdemo v vsakem matematičnem priročniku; vrednosti za 8 œ "á & sonavedene v Tabeli A2. Žal analitične rešitve obstajajo le za 8Ÿ% , kot je to dokazal žeE. Galois leta 1830. Za 8 & pa moramo uporabiti numerične metode. Na srečoimamo pri ojačevalnikih opravka s sistemi, ki so pretežno druge ali tretje stopnje, in leizjemoma četrte ali višje.Bessel–Thomsonovi poli ležijo na levi strani kompleksne ravnine na družinielips, katerih bližji fokus sovpada z koordinatnim izhodiščem, drugi fokus pa leži na-140-

Fotodiodni ojačevalnikE.Marganpozitivnem delu realne osi. Lego polov v kompleksni ravnini kaže Sl.A4. Takoizračunani sistemi predstavljajo družino z enotno ovojnično zakasnitvijo. Posledičnose pasovna širina sitemov z večanjem stopnje 8 tudi povečuje.Tabela A2: Bessel-Thomsonovi poli (enotna ovojnična zakasnitev)Stopnja 8 5 [rad Î= ] = [rad Î= ] ) [°]" "Þ!!!! ! Þ!!!! ")!# "Þ&!!! „! Þ)''! ")! … $!Þ!!!!$ #Þ$### ! Þ!!!! ")! "Þ)$)* „" Þ(&%% ")! … %$Þ'&#&% #Þ)*'# „! Þ)'(# ")! … "'Þ''*( #Þ"!$) „# Þ'&(% ")! … &"Þ'$#&& $Þ'%'( ! Þ!!!! ")! $Þ$&#! „" Þ(%#( ")! … #(Þ%'*' #Þ$#%( „$ Þ(&"! ")! … &'Þ*$''50I {s}5432n = 1R {s}−5−5 0 5 10Sl.A4: Lega Bessel-Thomsonovih polov za prvih pet polinomskih stopenj 8.Za razliko od Butterworthovih polov, kjer je pasovna širina sistema 8-testopnje enaka bodisi 8-temu korenu iz produkta vseh 8 polov, bosisi absolutnivrednosti katerega koli posamičnega pola, in je neodvisna od stopnje 8, pri Besselovihpolih se pasovna širina povečuje s stopnjo 8 . Povečanje pasovne širine = H sistemastopnje 8 v primerjavi s pasovno širino = h sistema prve stopnje ( 8 œ ") izražamo sfaktorjem ( œ = Î=. Vrednosti za prvih 5 stopnjenj so navedene v Tabeli A3:b H hTabela A3: Relativna pasovna širina večpolnih Besselovih sistemov8 " # $ % &"Þ!! "Þ$' "Þ(& #Þ"# #Þ%#( b-141-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganNa podlagi vrednosti normiranih polov druge stopnje, = +ß, œ #„4#, binapačno sklepali da je pasovna širina = H# œ È= + = , œ 1.7321, dejansko pa je njenavrednost, izračunana iz magnitude frekvenčnega odziva le 1.36. Skratka, analitičnegaizraza za pasovno širino sistema z Besselovimi poli ni. Rezultat dobimo le numerično.2.0$È$1.0| F ( jω)|n0.707n = 1 2 34 5ω h = 1 /RC0.10.1 1.0 10.0ωω hSl.D5: Magnituda frekvenčnega odziva Besselovih sistemov za prvih pet polinomskih stopenj.Z večanjem stopnje polinoma zgornja mejna frekvenca narašča. To je posledica dejstva dasmo za izračun polov izhajali iz enotne ovojnične zakasnitve.0/−0.2−0.4τ enω Hn = 12 3 45−0.6−0.8−1.0ω h = 1 /RC−1.20.1 1 10 100ωω / hSl.D6: Ovojnična zakasnitev Besselovih sistemov za prvih pet polinomskih stopenj 8. Vsisistemi imajo enako nizkofrekvenčno zakasnitev, iz česar smo pri izpeljavi polov tudi izhajali.-142-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan1.21.00.8gn () t0.60.40.2n = 12 34 50.00 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t RCSl.D7: Odziv na stopnico Besselovih sistemov za prvih pet polinomskih stopenj 8. Opazimokako se z večanjem stopnje polinoma zakasnitev odziva na polovični amplitudi hirto približujenormirani časovni enoti >ÎVG œ ". Oziroma obratno, amplituda pri >ÎVG œ " pada zvrednosti "Îe ¸!Þ'$ za 8œ" proti vrednosti 0.5. Prav tako se z večanjem stopnje 8skrajšuje vzponski čas (čas med 10% in 90% končne vrednosti odziva). Toda prenihaj nadkončno vrednost je skoraj konstanten in manjši od 0.5% končne vrednosti za vse stopnje./Bessel-Thomsonove pole lahko normiramo še na dva načina. S prvim načinomasimptoto frekvenčnega poteka na visokih frekvencah ( = = h ) naredimo enakoasimptoti Butterworthovega sistema enake stopnje. Če naj = + postane nova zgornjamejna frekvenca, lako zapišemo:¹ JÐ Ñ¹œ - !œ ""Î8= + Ê = + œ -# =8 !(A.19)+ #"Î8 "Î8Če korene FÐ=Ñ 8 zdelimo z -! , bo ovojnična zakasnitev enaka -!, namesto"; posledično se bo pasovna širina sistema zmanjševala s povečanjem stopnje 8.Z drugim načinom normiramo pasovno širino na 1 rad s za katero koli stopnjoÎ8, tako kot pri Butterworthovi družini. Žal pa za ta postopek ne obstaja preprostaanalitična relacija, pač pa je potrebno rezultat poiskati numerično: če pole množimorekurzivno s ustreznim korekcijskim faktorjem, ki je sorazmeren ulomku prvotne innove pasovne širine, dosežemo zadovoljivo natančnost že v nekaj korakih.-143-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganDodatek B:Splošne rešitve polinomov 1., 2., 3. in 4. stopnje_____________________________________________________________________Polinom 1. stopnje:+B,œ!,Kanonična oblika: B œ!+Rešitev: Bœ , +_____________________________________________________________________Polinom 2. stopnje:#+B ,B-œ!# , -Kanonična oblika: B B œ !+ +È #,… , %+-Rešitev: B"ß#œ#+_____________________________________________________________________Polinom 3. stopnje:$ #:B ;B

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganČe zamenjamo: Oœ È +#$,$ # # $ #Q œ %+ - + , ")+,- %, #(-$R œ #+ *+, #(-je realna rešitev:4R+ # arctan$ È $QB$œ Osin$ $ $in dve konjugirano-kompleksni rašitvi sta:BB#"4R4R$ $Q $ È$Q+ arctanÈ È$arctanœ Osin Ocos$ $ $ $4R4R$ $Q $ È$Q+ arctanÈ È$arctanœ Osin Ocos$ $ $ $Opomba: na voljo so tudi čisto algebrske (ne-trigonometrične) rešitve, dosegljive,med drugim, tudi znotraj programa Matlab, v.5.3 for Students (The MathWorks, Inc.,). Ukazne vrstice so preproste:syms x a b c % define x, a, b and c as symbolsr = solve( x^3 + a*x^2 + b*x + c ) ;Realna rešitev je:r(1) =1/6*(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*ain konjugirano-kompleksni rešitvi sta:r(2) =-1/12*(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a+1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*a*b-108*c-8*a^3+12*-145-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan)(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)r(3) =-1/12*(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+3*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)-1/3*a-1/2*i*3^(1/2)*(1/6*(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3)+6*(1/3*b-1/9*a^2)/(36*a*b-108*c-8*a^3+12*(12*b^3-3*b^2*a^2-54*b*c*a+81*c^2+12*c*a^3)^(1/2))^(1/3))----------------------------------------------------------------------------------O œ $'+, "!)- )+ $Q œ "# a"#, $, + &%+,- )"- "#-+ bRœ#, +$ *$ # # # $ "Î#< œ cO Qd'$+ " "Î$ R$ 'cOQd "Î$+ " "Î$ R " R< œ cOQd $ 4 š aOQb‘' ›#È$ "Î$$ "# "Î$cOQd # 'cOQd+ " "Î$ R " R< œ cOQd $ 4 š aOQb‘' ›"È$ "Î$$ "# "Î$cOQd # 'cOQd_____________________________________________________________________Polinom 4. stopnje, kanonična oblika:Rešitve:Koreni so identični korenom dveh enačb 2. stopnje:% $ #B +B ,B -B.œ!"Î$"Î$kjer je:# B +C-B a+Eb Š C ‹ œ !# EEœ „È )C+#%,in C je kateri koli realni koren enačbe 3. stopnje:-146-

Fotodiodni ojačevalnikE.Margan$ # #)C %,C a#+-). bC. a%,+ b- œ!_____________________________________________________________________Francoski matematik Evariste Galois (1811-1832) je dokazal da rešitevpolinomov 5. stopnje in višjih stopenj ni mogoče zapisati v čisto algebrski obliki, kotracionalne funkcije polinomskih koeficijentov.Numerične rešitve pa seveda obstajajo in jih je mogoče najti z uporabonumeričnih metod znotraj namenskih matematičnih programov, kot je, denimo,Mathematica (Wolfram Research, Inc.), ali že omenjeni Matlab (uporabniki Matlabalahko preskusijo rutino z imenom ROOTS za iskanje korenov polinoma iz znanihkoeficijentov, ter inverzno rutino POLY za iskanje koeficijentov polinoma iz znanihkorenov)._____________________________________________________________________-147-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganViri in povezave:[1][2][3][4][5][6][7][8][9][10][11][12]-148-

Fotodiodni ojačevalnikE.MarganIndeks-149-

Fotodiodni ojaÄevalniki - F9 - IJS

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?

Fotodiodni ojaÄevalniki - F9 - IJS