přehled síťových schémat

Metoda sítí – základní schémata
h . . . krok sítě ve směru x, tj. h = x i − x i−1
q . . . krok sítě ve směru y, tj. q = y j − y j−1
τ . . . krok ve směru t, tj. τ = t k − t k−1
U j i . . . hodnota přibližného řešení v uzlu (x i , y j ) (Poissonova rovnice)
Ui k . . . hodnota přibližného řešení v uzlu (x i , t k ) (rovnice závislé na čase t)
f j i ≡ f(x i , y j )
Obyčejné diferenciální rovnice Náhrada první derivace
Náhrada druhé derivace
Grafické znázornění
u ′ (x i ) ≈ U i+1 − U i−1
2h
(symetrické schéma).
u ′′ (x i ) ≈ U i−1 − 2U i + U i+1
h 2 .
U i−1 U i U i+1
1 1 1
x i−1 x i x i+1
Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami.
Poissonova rovnice
∂ 2 u
∂x + ∂2 u
= f. (1)
2 ∂y2 Diferenční rovnice v uzlu (x i , y j ) (pětibodové schéma):
U j i−1 − 2U j i + U j i+1
h 2
+ U j−1
i − 2U j i + U j+1
i
= f j
q 2 i . (2)
Jestliže h = q (čtvercová sít’), pak
Jestliže navíc f = 0 (Laplaceova rovnice), pak
U j i−1 + U j i+1 + U j−1
i + U j+1
i − 4U j i = h 2 f j i . (3)
U j i−1 + U j i+1 + U j−1
i + U j+1
i − 4U j i = 0, (4)
z čehož dostaneme
U j i = 1 (
U
j
i−1
4
+ U j i+1 + U ) j−1
i + U j+1
i . (5)
Vztahy (2)-(4) jsou vlastně lineární algebraické rovnice pro hodnoty přibližného řešení
ve vnitřních uzlech; je třeba sestavit celou soustavu rovnic, a pak ji vyřešit.
Ze vztahu (5) vychází Liebmannova iterace.

Grafické znázornění schématu
y j+1
U j+1
i−1 U j+1
i
U j+1
i+1
1
y j
U j i−1 U j i
U j i+1
1
1
1
y j−1
U j−1
i−1
U j−1
i
1
U j−1
i+1
x i−1 x i x i+1
Na hranicích oblasti jsou uzlové hodnoty dány okrajovými podmínkami.
Upozornění: Aby diferenciální operátor přímo odpovídající Poissonově rovnici byl pozitivně
definitní, uvádí se (1) často ve tvaru − ∂2 u
∂x − ∂2 u
2 ∂y = ˆf, jenž, při ˆf = −f, je s (1)
2
ekvivalentní. Tomu pak odpovídá schéma
− U j i−1 − 2U j i + U j i+1
h 2
− U j−1
i − 2U j i + U j+1
i
=
q ˆf j 2 i .
Rovnice vedení tepla
∂u
∂t = ∂2 u
a2
∂x . 2
Diferenční rovnice v uzlu (x i , τ k ) (čtyřbodové explicitní schéma):
U k+1
i
− Ui
k
τ
= a 2 U k i−1 − 2U k i + U k i+1
h 2 . (6)
Podmínka stability τ ≤ h2
2a . 2
Z (6) dostáváme explicitní vyjádření uzlové hodnoty U k+1
i
(hodnoty na k-té vrstvě jsou již známy):
na (k + 1)-ní časové vrstvě
volba τ = h2
rovnost dále zjednoduší
2a2 U k+1
i = Ui k + a2 τ ( )
U
k
h 2 i−1 − 2Ui k + Ui+1
k ,
U k+1
i = 1 ( )
U
k
2 i−1 + Ui+1
k .

Grafické znázornění schématu
t k+1
U k+1
i−1 U k+1
i
U k+1
i+1
1
t k
Ui−1 k U k i
Ui+1
k 1
1
1
t k−1
U k−1
i−1
U k−1
i
U k−1
i+1
x i−1 x i x i+1
Diferenční rovnice v uzlu (x i , τ k ) (čtyřbodové implicitní schéma):
U k i
− U k−1
i
τ
= a 2 U k i−1 − 2U k i + U k i+1
h 2 .
Metoda je stabilní pro libovolné τ.
Hodnoty na (k − 1)-ní časové vrstvě jsou již známy, ale na k-té vrstvě ještě ne. Nelze
je explicitně určit, nýbrž je nutné ze sít’ových rovnic sestavit soustavu, jejímž vyřešením
dostaneme uzlové hodnoty přibližného řešení na k-té časové vrstvě.
Grafické znázornění schématu
t k+1
U k+1
i−1 U k+1
i
U k+1
i+1
t k
Ui−1 k U k i
Ui+1
k 1
1
1
t k−1
U k−1
i−1
U k−1
i
1
U k−1
i+1
x i−1 x i x i+1
V obou schématech se uzlové hodnoty pro počáteční čas t 0
= 0 dostanou z počáteční

podmínky 1
podmínek.
a hodnoty na koncích prostorového intervalu (pro t 1 , t 2 , . . . ) z okrajových
Vlnová rovnice
∂ 2 u
∂t = ∂2 u
2 a2
∂x , a > 0.
2
Diferenční rovnice v uzlu (x i , τ k ) (pětibodové explicitní schéma):
Podmínka stability τ ≤ h a .
U k+1
i − 2Ui k + U k−1
i
= a 2 U i−1 k − 2Ui k + Ui+1
k . (7)
τ 2 h 2
Z rovnosti (7) dostáváme explicitní vyjádření uzlové hodnoty U k+1
i
vrstvě (hodnoty na k-té a (k − 1)-ní vrstvě jsou již známy):
)
U k+1
i = 2
(1 − a2 τ 2
U k
h 2 i + a2 τ 2
h 2 (
U
k
i−1 + U k i+1
)
− U
k−1
i ,
na (k+1)-ní časové
volba τ = h a vede k U k+1
i
= U k i−1 + U k i+1 − U k−1
i .
Grafické znázornění schématu
t k+1
U k+1
i−1 U k+1
i
U k+1
i+1
1
t k
Ui−1 k U k i
Ui+1
k 1
1
1
t k−1
U k−1
i−1
U k−1
i
1
U k−1
i+1
x i−1 x i x i+1
Uzlové hodnoty pro počáteční čas t 0 = 0 se dostanou z počáteční podmínky předepisující
u(x, 0). Uzlové hodnoty pro čas t 1 = t 0 +τ se určí pomocí počáteční podmínky předepisující
1 Počáteční podmínkou je tedy určena počáteční časová vrstva a může být zahájen explicitní či implicitní
přechod k další časové vrstvě.

∂u
∂t (x, 0). Tj. U i 1 = Ui 0 + τ ∂u
∂t (x i, 0). 2 Hodnoty na koncích prostorového intervalu (pro
t 1 , t 2 , . . . ) jsou dány okrajovými podmínkami.
Problémy se stabilitou metody odpadají u vhodných implicitních schémat, např. u sedmibodového
schématu
[
U k+1
i − 2Ui k + U k−1
i
= 1 U
k+1
τ 2 2 a2 i−1
k+1
− 2Ui + U k+1
i+1
+ U k−1
i−1
h 2
]
k−1
− 2Ui
+ U k−1
i+1
,
h 2
v němž je druhá parciální derivace podle x aproximována průměrem diferenčních podílů
na časových vrstvách k + 1 a k − 1. Pro každé tři sousední uzlové hodnoty na (k + 1)-ní
časové vrstvě je třeba sestavit lineární algebraickou rovnici. Výsledné soustavě odpovídá
třídiagonální matice. Jejím vyřešením získáme hodnoty U k+1
i , i = 1, . . . , M − 1 (hodnoty
U0 k+1 a U k+1
M
jsou známy z okrajových podmínek).
Grafické znázornění schématu
t k+1
t k
t k−1
U k+1
i−1 U k+1
i
U k+1
✈ ✈ ✈ i+1
Ui−1 k U k i
Ui+1
k ✈
U k−1
i−1 U k−1
i
U k−1
✈ ✈ ✈ i+1
x i−1 x i x i+1
Stejně jako u explicitní metody, uzlové
hodnoty pro počáteční čas t 0 =
0 se dostanou z počáteční podmínky
předepisující u(x, 0). Uzlové hodnoty
pro čas t 1 = t 0 + τ se určí pomocí
počáteční podmínky předepisující
∂u
∂t (x, 0), tj. U i
1 = Ui 0 + τ ∂u
∂t (x i, 0).
Poznámka Některá schémata vedou k sestavení lineárních algebraických rovnic pro neznámé
hodnoty U j i (nebo Ui k ) v těch uzlech sítě, v nichž přibližné řešení nelze určit přímo
z počátečních a okrajových podmínek. Označení se dvěma indexy je z hlediska algoritmu
řešení soustavy rovnic neobratné. Proto se neznámé přejmenují novým symbolem s jedním
indexem, např. W l a uspořádají do sloupcového vektoru w. Pak lze soustavu psát maticově
Aw = g,
kde sloupcový vektor g vznikne z hodnot f j i
přibližného řešení na nižší časové vrstvě.
(u Poissonovy rovnice) nebo z hodnot
2 Počátečními podmínkami jsou tedy určeny dvě časové vrstvy a může být zahájen explicitní přechod
k další časové vrstvě.