PRICING BOUNDS ON ASIAN OPTIONS J. AASE NIELSEN AND ...

¦=THUP=@6BAQRH|HLNUPLNQRHx=A„~TD=>UPxUPLNQRD
¦Q¦>LNx ¦>LN=ARH>=!‹=AMr=AxEP>bK§(Q©‚HRH>LNLNM!{EPxUP=bˆ‰‚HNNƒ€x©>bŒ~RHQ81N=|H{©=|J!+wQ¦>‚H@€=AR~U1UŽƒ~TD=MP=ULNR
†‡LNRHxRH>LNxDMr‚HTHTDQEPU1ˆ‰EPQ@ŠUPKH=C+!xRHLNMPKz
,WH+!=RH@€x©ErŒD

MPLNxR€QTHUPLNQR6B~ƒ6UrKH=1{©=Q@€=AUrEPLN>)x8’=AErx©{=1xRH|6UrKH=,BxR€BD=1=„¦THEr=AMrMP=|6xM(x•Tx©/x©RHxNƒ~MPLNMLNU§LNMC>AQRH>N‚H|H=A|tUPKHxU•@€QEP=CLNR¦ˆfQEP@€xUrLNQ©RtLNM•{x©LNRH=|3ˆfErQ@ÖUrKH=
(ïfñ/èAçéç©íè3é…ð}èçí¡ ¢ ò

ô‡íçõ$ðHíîèæçÁôñõç©éùfüJï‰ñ‡ûÌòHö€ðHñëîíï&ðHñòDóèïfòDñÛ0‘çú

l
p
q
øòDñøçñJèAé…ðHèAçò

v
s
s
s
¢ ‘ gvI s
~ z
|
¦
¸ ‰Ž
~¬e çÿJó(tk^¡~u–• — ˜ £ ‰~ok#vKgš › z
s
s
å€æ‡çýó‡éïføçòHö3èæçëîíï&ðHñ*ò

¢ ù‰ç©ê ø~ð}ñ ¢ ç¢íAè…ðHèAçõ$ðHí€öPòJôó‡ó)òDíçÁèæ)ð}è0³¤é “³ ¸ s
³ / s z¡z¡z s
-òDéêðHùfùfüzèAæçzó‡éò
|
µ
¸ ‰Ž
s
³$Á / s z¡zz s
“³$Á¸
‡
s
e
¢
¢
¢
çÿJó&tk^¡~u
‡
‡
‡
‡
e
|
¸ ‰Ž
|
¸ ‰Ž
|
‰Ž ¸
‡
s
|
s
|
‰Ž ¸
e
¢
ɪ
¨
‡
‡
|
‡
¸ dŽ
|
dŽ ¸
‡
s
z
|
‡
‰Ž ¸
~ zË s
|
‰Ž ¸
‡
@
s
‡
‡
s
s
|
‰Ž ¸
z
s
‡
³ | tð}éçÁñ/ô‡ê ¢ çéAí€í…ð}èïfí'Q
örüJïfñû
³(e„DÛ!å€æç3ó)ð¦ü

‡
|
‰Ž ¸
s
a+g
v¤÷
‡
¢¤£
Ä Å | ¥§¦©¨
v
e
‡
|
É
È
ª
¨
ð}ñõ_íôDwÌøïfçñJèîøò

s
e
e
s
s
k
k
|
‡
‡
‰Ž ¸
e
e
‡
|
‰Ž ¸
a+g
v¤÷
‡
s
s
s
>= q > Å
¨
s
¢£
Ä ¥¦F¨
s
³ ¸ ‡
s
s
z
v
s
s
û
B
B
B
B
¢£
Ä¡Å | ¥¦©¨
s
£ ¢
Ä Å |# ¥¦©¨
s
s
s
s
e
s
s
l @
s
s
|
‰Ž ¸
ö
s
s
/ ¦dcgök`ü cgö¡c ¸ .u z
s
s
s
s
‡
s
s
s
|
µ
¸ ‰Ž
³ eÊ z
èAæéòDôû

‡
|
ö¡Ž ¸
s
ab“
v ÷
‡
³ ¸ ‡
v
|
¦
¸ ‰Ž
l @
|
µ
¸ ‰Ž
z
¥
p
e
l
|
µ
¸ p öŽ
˜ z s
s
å€æ‡çoòDóèïfêðHùíA禥JôçñøçKt–³ Á u | ‰Ž ¸ % g
³ k`Je5‡Û!ëtí
˜Dïfí€èæç©ñÌöPò

s
s
l
s
/
e
e
s
l
l @
‡
«/
s r
l
‡
«/
º
¸ ‰Ž
/
/
|
‡
|
‰Ž ¸
|‰Ž ¸ ç©ÿ/óotk^2cCCueKf
s
÷
|
öŽ ¸
s
¢ ùfçyp¢Ûå€æç©éç ¢ üD !ò

l
p
e
|
‚
‰Ž ¸
|
dŽ ¸
p
l
£ ‰~&k• ˜ ù‰ñ £ Y~“
ùfñ
ƒ Þá ˜ ùfñ £ ‰~m s
ü
/
l/
l
‡
‡
‡ V
n
d
òDèæç©é€æ)ðHñõ¤èæç¬éçíAôùfèïfñûÁ禥Jô)ðHèAï‰òDñ( Jñò£.òDñùfüøò

Ý ‘1r
… ’ Ûâ6Ùé>Ûá\ï.Ù×Dßàî îæ¦Ùá0Ü%ÝÛ\çÚ¦ä‰Þß7Ù¡ØèÜ“ä‰Ùß7é>ä‰Ü%ÝKÛ"†ÛáðädÚ¡Û†Øèá¦ä‰ð.Û v Þßà\رÞãõÛ¡ßÜ ¸ | µ | ‰Ž ¸ a+dcCC kWvB š ÞÜ
s È
p
e
e
e
l
s
çÿJótk^¡~u
‡
‡
çÿJó=tkj^¡~u
‡
‡
‡
|
‰Ž ¸
e
e
e
‡
a+g
‡
l
|
|
‰Ž ¸
a
|
¸ ‰Ž
|
|
s
‰Ž ¸
|
‰Ž ¸
|
‰Ž ¸
z
÷
‚
|
l @
s
s
@(l
l @
l
@&l
s
l
l @
s
z
s
l
l
r
l
l
l
l
‡
s
r
‡
r
r
k
r
‡
k
‡
k
‡
l
‡
a
v
‡
v
n
B B ø
B
B
B
z
|
‰Ž ¸
‚
s
s
e
e
s
Ü%ÝÛIõÞÜg×Dá¦äYÜgãIàÞÜgÛ2î ~ î>ä%ÚåäYóÛ¡ßBÞÚ=ÞßWÞóÛ¡áCÞ¡åÛIÙCæàÛ2â6ÞãÛ.à=ØÞãõIÛ¡ßÜ|‡j×$áÙ.ØÛ.Þß1ð Þ"â‰â(Ù.Ø;ÜgäYÙßDÚ
’ “v ‘1r
~
çÿJó;tk^DY~#k1cC'.u–‘ ‰~
v Á
cCFˆ
m
È s
‰Ž ¸
çÿJótk^DY~#k1cC'.u[''kŠ‰ Á n
a 'Pk_çÿJótk^¡~u vW'Rk9‰ Á
é(Ý ÛáÛ
‰ Á e ‹E‰Šo
a+g‘çÿJóih>^2cCok
/ a / n
a F‰
e5iŒ
V…g@
n +k …“
a e • ˜4p
êÌïfñ t¦c
c ö ue
p7q Å èe
@ Ž
ǹ ¡¦
öŽ ¸
¸ /
v Á e a+gJçÿJó h ^2cC;k
/ a / n
a F‰ Á
cC
ý áÙÙæ¦þ 4.ïfèAæwp e ¸ µ | ‰Ž ¸ p7q Å ¢ çïfñû ð_íAè…ðHñ‡õ)ðHéAõ5x¢ðHô‡ííï&ð}ñ.é…ð}ñõò

|
l
¨
> q > Å
¨
e
e
¢
¢
l @
e • — • — ˆ ‰~PkvB š o £ › à «›š Æ n• ˜% ˆ Y~&k#vB‘o £ $ à « ” Æ › z
l
¢Ÿ
•©—g˜ ˆ ‰~&k#vKgš&o pj›>k`˜ • ˜ ˆ ‰~ k9vo p+% š›¡ œP‰©$‰
£– <
@
@
Ÿ ¢
£ <
s
s
>1¢ Ã
¨
s
¨
s
s
s
s
s
s
s
s
Úbè¬íæòDôùfõ ¢ çÌíAèéç©ííç©õ( •èAæ)ðHè¢èAòçÿJóéAçííèAæçùfò£Cçé ¢ òDôñõØðHíÁðHñ$ð¦ú

£€æç©éç GJ¤ ò

¯³²
s
È
È
¢
È
¿
‡
‡
‡
¸
È
È
s
Ÿ ¢
£ <
|
¸ ‰Ž
|
s
‰Ž ¸
s
Ÿ ¢
£ <
— Ã •
s
öŽ ¸/ ´
È
È
È
È
|
dŽ ¸
s
È
È
¸
s
s
¸
s
‡
@
‡
l
B vBCš
B B
B
l
l
B
s
/
s
|
‰Ž ¸
l
‰
s
r
s
s
e
s
ëîóóùfüJïfñû=L

³ ¸ s
s
e
e
¢
¢
ç©ÿ/ótk^¡~u
‡
ç©ÿ/ótk^¡~u
‡
‡
‡
ç©ÿ/ótk^¡~u
‡
’
È
s
Ÿ ¢
£ <
|
¸ ‰Ž
|
¸ ‰Ž
|
¸ ‰Ž
|
— Ã •
s
¸¹¡ à •
s
¦¥
ö¡Ž ¸ ´
¸ ´ öŽ ¸/ ‰Ž
Á.Á ¸ s z¡z¡z s
³ Á.Á
òDóèïfêýð}ùíç2¥/ô‡çñøç7g³
«
À
È
ö
Ÿ ¢
£ <
È
|
‰Ž ¸
È
‡
vBCš B
“abdcCCPk³
B B
B
Ÿ Æ š
öŽ ¸/ ´
È
Ÿ ¢
£ <
f
s
a
È
l
|
s
/
l
B
È
|
‰Ž ¸
¸ g^jk ¸
/ l
|‰Ž
‰Ž ¸
¸
l
@
³ e z
/
s
È
½¼
È
e
l
È
l
«
s
l
È
l
‰
r
È
s
< ¸ ö
e
È
š
È
ö £
öD Jèæç¬ôóó(çé ¢ ò

s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
È
«
ëÁÛ¢=ÎiÀPÓÁ ÐÃÂÐ2Ò‘ÄÆśǓÑmÐÈ›ÂÆÁ›ÉCÚbñ$èAò£6çÌæ)ð¦úDç¢öPò

‡
s
£6çïfû

È
«
l
s
e5 z @G¢ð}ñõK) ðHè€ïfñJèçéAçíèîé…ð}èç=^è z E z
È
«
s
s
s
s
s
| ¸ …0e
s
ã Ù öj÷Fø ùjúj÷¡ûüìöj÷Fø ùjüjöjùjý öjýFø ájöjþ¡ûjû)öjýFø ájöjþjö öjýFø ájùjújá þFø þ äÜjßnß î;ñiÿjïð þFø öjöjù¡ûö
åjÙßnÝ
÷jýFø þjöj÷jájöì÷jýFø þjùjá¡ûú ÷¤£Fø þjýj÷jújü ÷¤£Fø þjájájüjù ÷¤£Fø þjþjájáj÷ þFø öjöjöjü¡û äÜjßnß î;ñiÿjõ^ð þFø öjú¤£jú¡û
¢¡
Ù§¦$è¡Ùânâ þFø újö¤£jú þFø újö¤£jþjù þFø öjújù¤£jö þFø öjú¤£j÷jù þFø öjüjöjüj÷ þFø þ äÜjßnß înï/ÿõ^ð þFø öjùjájújü
¢¥
Þ¡ß½ÖçÜjâ½× â ûøòûýjü¤£j÷ ûø4û÷j÷j÷¤£ ûø ùjþjújüjú ûø újýj÷jü ûø ú¡ûþjþjü þFø þjþjájújö äÜjßnß î;ñiÿñÆô$ð þFø öjöjùjùjý
¨
ã Ù újúFø ùjýjújöj÷ìújúFø ùjùjù¤£jö ùj÷Fø £¤£jújýjá ùj÷Fø üjájüjú¡û ùj÷Fø ü¡ûüjö¡û þFø þ äÜjßnß î;ñiÿjïð þFø öjöjþjö¤£
åjÙßnÝ
ájúFø új÷¤£jüjüìájúFø ö¡ûájújö ýjáFø ý¡û÷jú¤£ ýjáFø ú¤£¡ûüjù ýjáFø ýjújüj÷jú ûø þjþj÷j÷jý äÜjßnß î;ñiÿjõ^ð þFø ö¡ûᤣj÷
¢¡
Ù§¦$è¡Ùânâ ûø £jüjújüjá ûø ü¡û©£jýjý ÷Fø4ûújýjöjö ÷Fø ÷jüjújájá ÷Fø ÷jþjüjújú þFø þ äÜjßnß înï/ÿõ^ð þFø öjýjü¤£jý
¢¥
Þ¡ß½ÖçÜjâ½× â ýFø üjü¤£¤£jý £Fø4ûùj÷jýjü öFø öjüjüjú¤£ ûjûø ÷jþjýjþj÷ ûþFø ýjùjù¡û©£ þFø þj÷¤£jýj÷ äÜjßnß î;ñiÿñÆô$ð þFø öjöjýjýjú
¨
È
«
s
|
È
«
È
«
|
’
È
«
Û1å€æïfí ¢ ò

#
3 %
6 (
# 2%
6 (
# 22%
6 (
# 5%
' (
"
3
1
1 2
4
"
0/
-.
,
+*
# $&%
')(
"
!
S X;¯ ZU·Õ­éïføçoð}óéòHÿJïfêýð}èïfò8
7
;
:>9
;
99
>7
@@>;
::>
9
>7
= ;
:7
>8
8;
8
>;
;
@9
@
@©;
<
797
>;
==
9;
8
:79
:7
;
8
;
@©;
8>
7
>8©;
8
;
<
9
=< @
8©;
9
@©;
=98
:8>
>8
=9
@©;
;
=
8:
>
=
= ;
:>:
>
>:©;
>88
9
= ; >
8
;
: =
>
>7
>:©;
=@ :
>:©;
=:
9
>;
>
= ; 8
>
@
:87
8<
>;
>;
@><
>;
9;
@8
7
>;
>@
<
>>7
;
7
>7;
>
:9
>9;
:
9
>9;
=
>@©;
><
7
@ ;
8
97
>8
@@8>;
8©;
7
;
>9
>
88@
@ 8©;
7
<
:7
=
>7
>8©;
= 7
>8©;
:
@8©;
>>
=
>@©;
=9< :
>@©;
@©;
:87
@:©;
8©;
9
8©;
>8
9
@
==< <
@
= ;
= ; @
@;
<
>
@
= ;
:
@:©;
=7 7@
@:©;
@::
@:©;
> 9
@7;
>8
=9
7
=
88
; @
8
7
@@>;
=<
@ 9;
8©;
>8
:@@©;
@9
=
@@©;
===
:
@9
:©;
@
89
:>9
7
=7@
@@©;
@@©;
:9
=: @<
@@©;
9
@8©;
@@©;
< 7
:>
7
888
@>;
@
@;
>9
@>;
8
8©;
8@8©;
@7
9
97
=
:©;
:9
87
87
9
=
:©;
<
:©;
9
8:©;
@
7
>:7
=
9 ;
7
>>
:©;
@;
>
8©;
>8
@
;
8>
>
>@ ;
=7
:< ;
9
8:@
77
@
=:
;
>
:@9
= ;
;
;
>9
= ;
<
= 7
= ;
:@7
:©;
@7 ;
:7
>8
8©;
87;
>>7;
7
> ;
9
8:7 ;
=:
;
=7 ;
99
= ;
:
77
;
==@
= ;
>7
;
=8
;
8
97
7979;
=
8©;
99;
>
=
::@;
88>
>;
«

l
s
A
È
«
È
«
ðHñ‡õ¤)1ðHè6ï‰ñJèAçéçíAè3é…ðHèAç¢ðHèJEDC z
È
«
È
«
È
«
’
È
«
p
¢ íç©éú

l
s
ðHñõK) ð}èCïfñJèç©éçíAèté…ð}èçzð}èJEDC z
eŸ ü

l
‡
s
ðHñõK) ð}èCïfñJèçéAçíè3é8ðHèç¢ð}èJEDC z
s
È
«
s
‡
s
èAòzèAæçUVGC öròDéb~ e V¬ü

s
s
e
‡
a+g
‡
|
¸ ‰Ž
|
‰Ž ¸
s
u a+“Ftm ;¥›§ -
s
l
|
‰Ž ¸
s
‡
|
ö¡Ž ¸
l
Æ < • Å •
l
s
ð}ñõK) ðHè6ïfñJèçéAçíèîé…ðHèAçzðHèJELC z
‡
v
l
s
s
s
200
180
strike 150
160
K = 150
Strike
140
120
100
strike 120
strike 100
K = 120
80
K = 80
60
strike 80
K = 50
40
strike 50
20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Time-to-maturity
B•äZ,â1ß;UKJ[ÕîïfíèAéï ¢ ôèAïfò

s
‡
|
dŽ ¸
åä‰ó¡Ûß3ïã
Û¡Ü6Ý Ùà ÃÂÇ“Ò Ä b ÙÜ“ÞÜ“ä‰Ùß
a
r
˜
r
r
˜
w
r
n
r
|
k
¾
n
k
m
¾
m
n k
¾
r
{
˜
À Á ï.Ù×$ß à „ Á h§i vWt — §p D&k ¡\p D&n |
p Ÿ D › p D h§i |
È s
|‰Ž ¸ ‚ Á cC ž < ¸
"
c ¸ C9 µ
f
À Á ï.Ù×$ß à w Á h§i
Ÿ $ h§i x ~ Ÿ
xŸ
> œP / ‚ Á¸ s
¡
‚UÂLƒiÄ
D h§i x ~ Ÿ
x
â6Þðedgf'ÖMð.ÝÙâ%Û¦Ú „ h§i vWt

µ
’ s
˜
’ s
‡
œP / ‚ Á¸ s
s
|
‰Ž ¸
÷
k
‡
‡
s
v
s
s
|
dŽ ¸
v
˜
º
¸ ‰Ž
|
e
r
/
‡
l
v
˜
@;l
z
l
l
s
ø
z
l
s
r
s
r
s
˜
s
˜
k
Å m
ú ¾
Å
r
ý áÙÙæ¦þ å!ò¢ò ¢ è…ð}ï‰ñ¤èæç3éAçíôùfèAí€øò

w
r
„
r
èæç€ñJôê¤çéïfø~ð}ù‘ð}ñ)ðHùfüJíïfí!éç©óéçíAçñJèçõï‰ñÁå•ð ¢ ùfç&V £Cç€éAçøòDêÌêÌç©ñõ¢èò¬û

S X;¯ ZU‹H_ÕJç©ñíïfèïfúJïfèbütò}ö)èæç§óéïføïfñû ¢ ò ;
@@
@7
@77
=
@@©;
=@ @ =>
>997
8©;
=9
8888©;
7
8888©;
8©;
888
9
8©; = : @7
=:
=@
8©;
=:
8©;
>9
=
77
@:<
>
@8>;
7
> ;
>:87
@:8888©;
@
=8 @888©;
7
8©;
= 7::>
8©; = 7 =7 7
>9;
>
=@
>;
=< 7
:
>7
@
8<
>;
8©;
@
7
=7 > @
7
;
87
=: 9 ;
888©;
:9
7
8>88
==>
=@ :
8©;
8©;
9
8©;
>
8©;
>
==9
@
>9
==
89
>89
@:©;
88@
@:©;
8©;
@
7
@>;
: 7
:
= ;
=> 8 >
@888©;
=7 =7 7
888©;
9979
8©;
88
8©;
=8 : 7
8©;
=7 7
=9
=
:9
@7;
@
=9
@9;
9
> = ;
;
8 =
8<
>
8©;
>
7
=7
>
=@ :
@@©;
>
:
@8©;
9
;
@>::
=@
:
:
8©;
@88
:7
8
>>@@
7
8©;
7
8©;
8©;
:8
:
9
>9;
>;
>@
>;
8©;
>
7
@>;
@7
8
>@
:
9
@>;
= ;
>:>@88
8©;
>7
::7
8©;
>7
>97
8©;
@7
7;
8>
>;
>
77
>
>
8>@
>>;
8©;
7

•HpÈgPu}c‰eba6c iN–(c³iLNTHEPQ~>AxH{x@€@€x6|HLNMPUrEPLNBH‚HUrLNQ©RJW
23LNN=’¦MrŒ¦ƒWH2ÁLNRH{•Q8ˆ(MPLNxR3=„¦>bKHxRH{=EPxUP=!QTHUrLNQ©RHM1‚HRH|H=E1MPUrQ¦>bKHxMPUrLN>,LNR~UP=EP=MPU)EPxUP=M1xM,xtMP‚H@
#,LN=NMP=RJWH¦ALN=RH>=AMW0,RHLN’=EPMPLNU&ƒ•Q8ˆ),xEPK~‚HMA
Q8ˆ(QTHUrLNQ©RHMWL•Ax~
¦KHLfW ‡NS1FGG¦”¦WI1KH=•’8xN‚H=Qsˆ‘x©RtMPLNxRîQTHUrLNQ©RJWH[}g¢¦pbibŒ€xN{QEPLNUrKH@ˆ‰Q©E)THEPLN>LNRH{•"(‚HEPQT