4a. auditorna vježba: Prijelazne pojave

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
3. AUDITORNA VJEŽBA
Diferencijalne jednadžbe, Laplace, prijelazne pojave
Diferencijalne jednadžbe i Laplaceova transformacija
Zadatak 3-1
a) Ako je prijelazni proces opisan jednadžbom ( )
0.35
()
vrijednost napona v t .
0
b) Kolika je Laplaceova transformacija V0
( s ) napona v0
( )
( )
c) Ako je napon V s jednak:
V
0
() s
−10
10
= +
s
s +
()
koliki je v t .
Rješenje:
() t
0
0
9
16
12 2
+ = +
s s
s
v = 0
12 − −∞
6 = 12 − 0 = 12V
t−∞ 12 6
V0
( s)
= V
s
− s + 0.35
()
9
16
t
v0 t = 2+
10e −
V
10
9
+
16
v0 t = 12 − 6e − t V , kolika je stacionarna
t iz a).
Zadatak 3-2
Potrebno je riješiti nehomogenu diferencijalnu jednadžbu drugog reda
2
d y dy
+ 5 + 6y
= 3sin( t) + 7cos( t ) s početnim uvjetima y(0) = 4 , y'(0) =− 1.
2
dt dt
1. način rješavanja diferencijalne jednadžbe: Egzaktno
Ukupno rješenje (partikularno + homogeno): y = yh + yp
• Traženje homogenog rješenja: y '' + 5 y ' + 6y
= 0
h h h
61

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
t
t
2
yh = Ke λ , yh ' = Kλe λ , yh
'' = Kλ
e λt
t 2 2
( 5 ) 0 5 0
1
2,
2
e λ λ + λ+ λ = ⇒ λ + λ+ λ = ⇒ λ =− λ =−3
λ1t
λ2t
homogeno rješenje: y = K e + K e , y = K e + K e
h
1 2
h
− 2t
−3t
1 2
• Traženje partikularnog rješenja: y '' + 5 y ' + 6y = 3sin( t) + 7cos( t)
h h h
y = Asin( t) + Bcos( t) , y ' = Acos( t) − Bsin( t) , y '' =−Asin( t) − Bcos( t)
p p p
(5A − 5 B)sin( t) + (5B+ 5 A)cos( t) = 3sin( t) + 7 cos( t )
5A− 5B = 3, 5B+ 5A= 7 ⇒ A= 1,
2
B =
5
2
partikularno rješenje: yp
= sin( t) + cos( t )
5
2t
3t
2
• Traženje ukupnog rješenja: y K1e −
= + K2e + sin( t) + cos( t)
5
−2t
−3t
2
y' =−2K1e − 3K2e + cos( t) − sin( t )
5
yt ( = 0) = 4 , y'( t= 0) =−1 ⇒
44 26
K1 = , K2
=−
5 5
44 −2t
26 −3t
2
ukupno rješenje: y = e − e + cos( t ) + sin( t )
5 5 5
Matlab kôd: simboličko rješenje
%Rjesavanje diferencijalne jednadzbe drugog reda
clear
% brisanje varijabli iz memorije
%simbolicko rjesavanje diferencijalne jednadzbe po nezavisnoj varijabli t
y=dsolve('D2y+5*Dy+6*y=3*sin(t)+7*cos(t)','Dy(0)=-1','y(0)=4')
t=0:0.01:30; % vektor vremenskih koraka
z=inline(y) % stvara funkciju u obliku z(t) iz simbolicke jedn. y
u=z(t);
% izracunavanje funkcije z za vremenske korake t
plot(t,u)
Prijenosna funkcija
• Vremenska domena: y'' + 5 y' + 6y = 3sin( t) + 7cos( t)
, y(0) = 4 , y'(0) =− 1
• Laplaceova transformacija (tablice), vremenska domena => frekvencijska domena:
3 7s
( ) − (0) − '(0) + 5 ( ) − 5 (0) + 6 ( ) = +
2 2
s + 1 s + 1
2 3 2
(4s+ 19)( s + 1) + 3+ 7s 4s + 19s + 11s+
22
Ys () = =
2 2 4 3 2
( s + 5s+ 6)( s + 1) s + 5s + 7s + 5s+6
2
sY s sy y sY s y Y s
• budući da je nazivnik polinom 4. reda onda on ima 4 pola tj. nultočke. Da bismo dobili
polove tog polinoma potrebno ga je izjednačiti s nulom i riješiti jednadžbu. Matlab tu može
pomoći jer ima ugrađenu funkciju residue() koja rastavlja razlomak na parcijalne razlomke.
Polinom se u Matlab-u prikazuje kao vektorsko polje njegovih koeficijenata , npr. polinom
62

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
3 2
u brojniku 4s + 19s + 11s+ 22
će biti num=[4 19 11 22] i naziva se numerator, a u
4 3 2
nazivniku s + 5s + 7s + 5s+
6 će biti den=[1 5 7 5 6] i naziva se denominator.
>> den=[1 5 7 5 6];
>> num=[4 19 11 22];
>> [R,P,K]=residue(num,den)
R =
-5.2000
8.8000
0.2000 - 0.5000i
0.2000 + 0.5000i
P =
-3.0000
-2.0000
-0.0000 + 1.0000i
-0.0000 - 1.0000i
K = [ ]
3 2
4s + 19s + 11s+ 22 5.2 8.8 0.2 − 0.5i
0.2 + 0.5i
4 3 2
s + 5s + 7s + 5s+ 6 s+ 3 s+ 2 s− i s+
i
Y()
s = =− + + +
• Laplace-ova transformacija (tablice), frekvencijska domena => vremenska domena:
Prvi član postaje (-5.2)e -3t , treći (0.2+0.5i)e -it itd., pa se dobije
44 −2t
26 −3t
2 cos( ) sin( )
y = e − e + t + t
5 5 5
Naravno, sve je to moglo proći i jednostavnije koristeći Matlab funkciju ilaplace().
Matlab kôd: s-domena
syms s % postavljanje slova s kao simbolicke varijable
% inverzna Laplaceova transformacija
A=ilaplace((4*s^3+19*s^2+11*s+22)/(s^4+5*s^3+7*s^2+5*s+6))
v=inline(A) % od simbolickog izraza A stvara se funkcija v sa parametrom vremena t
t=0:0.01:30; % vremenski korak t
v(t);
% stvaranje vektora rjesenja dif.jed. za vremenske trenutke t
plot(t,v(t)) % crtanje v(t)
Zadatak 3-3
Za serijski RLC strujni krug, sklopka je zatvorena u trenutku t=0. Početna energija u zavojnici
i kondenzatoru je jednaka nuli. Pomoću Matlaba potrebno je izračunati napon na
kondenzatoru V () t i struju it ()
0
63

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
V S =
Postavljanje diferencijalne jednadžbe serijskog RLC strujnog kruga
2. Kirchhoff-ov zakon: VS() t = VR() t + VL() t + V0
() t
dV0 () t
di()
t
it () = C , VR() t = itR () , VL()
t = L
dt
dt
di()
t
VS
() t = i() t R+ L + V0
() t
dt
diferencijalna jednadžba:
dV 2
t 0
R
0
1
S
+ dV t + V
2
0() t =
V t
() () ()
dt L dt LC LC
Egzaktno rješavanje diferencijalne jednadžbe
Ukupno rješenje (partikularno + homogeno): V0() t = V0h() t + V0p()
t
2
dV0() t R dV0() t 1
• Traženje homogenog rješenja: + + V
2
0() t = 0
dt L dt LC
λ
1
=− 4 + 1789i , λ
2
= −4 − 1789i
1t
2t
homogeno rješenje: V () t K e λ
λ
= + K e
0h
1 2
• Traženje partikularnog rješenja:
dV 2
t 0
R
0
1
S
+ dV t + V
2
0() t =
V t
() () ()
dt L dt LC LC
partikularno rješenje: V0 p() t = VS() t = 8
λ1t
λ2t
• Traženje ukupnog rješenja: V0() t = K1e + K2e
+ 8
dV () 0
t
λ1 t λ2
= λ
t
1Ke
1
+ λ2Ke
2
dt
dV0
(0)
dV0 V0
(0) = 0 , = 0 , jer je (0) i
= (0) = 0 = 0
dt
dt C C
2VS
() t 1
K =− λ
1
4 i
λ λ
=− +
1VS
() t 1
, K2
4
−
= λ
i
112 λ − λ
=− − 112
2 1
2 1
64

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
( − 4+ 1789 it ) 1 ( − 4+ 4789 it ) ( −4−1789 it ) 1 ( −4−4789 it )
ukupno rješenje: V0
() t = − 4e + ie −4e − ie + 8
112 112
4t
2 4t
tj. V0
( t) 8 8e −
−
= − cos(1789 t) − e sin(1789 t)
112
dV0 4
• deriviranjem napona V 0 (t) dobije se
() t
− t
= 14311e
sin(1789 t ) , te je struja
dt
dV () 0
t
6 4t
it () = C , tj. it ( ) (0.25 10 −
−
= ⋅ ) ⋅14311e sin(1789 t)
dt
Matlab kôd: simboličko rješenje
Uc=dsolve('D2Uc+10/1.25*DUc+(1/1.25/(0.25e-6))*Uc=8/1.25/0.25e-
6','DUc(0)=0','Uc(0)=0')
vc=inline(Uc)
% funkcija vc(t)
der=diff(Uc)
% derivacija napona
Ic=inline(der);
% funkcija Ic(t)
t=0:0.0001:1;
Vo=vc(t);I=0.25e-6*Ic(t); % napon na kondenzatoru i struja RLC kruga
subplot(2,1,1);plot(t,Vo) % crtanje Vo(t)
grid on; title('Napon na kondenzatoru')
xlabel('Vrijeme [t]'), ylabel('Napon Uc(t) [V]')
subplot(2,1,2);plot(t,I) % crtanje I(t)
grid on; title('Struja RLC kruga')
xlabel('Vrijeme [t]'), ylabel('Struja I(t) [A]')
Prijenosna funkcija
• Vremenska domena:
dV 2
t 0
R dV t 0
1
S
V
2
0() t
V t
() () ()
dV0
(0)
+ + = , V0
(0) = 0 , = 0
dt L dt LC LC
dt
• Laplace-ova transformacija (tablice), vremenska domena => frekvencijska domena:
() − (0) −
R
1 VS
'(0) + ( () − (0)) + () =
L LC sLC
VS
V0 () s =
3 2
LCs + RCs + s
2
sV0 s sV0 V0 sV0 s V0 V0
s
Definiranjem konstanti i koristeći Matlab funkciju ilaplace() dobije se V 0 (t).
Matlab kôd: s-domena
syms s
% stvaranje simbolicke varijable s
%R-otpor, L-induktivitet, C-kapacitet, Viz-napon izvora
R=10; L=1.25; C=0.25e-6; Vs=8;
A=ilaplace(Vs/(s^3*L*C+R*C*s^2+s)) % pretvorba iz s->t domenu
v=inline(A) % od simbolickog izraza rjesenja A dif.jed. stvara se funkcija sa parametrom vremena t
i=diff(A); % deriviranje napona na kondenzatoru
65

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
ic=C*i;
% racunanje struje RLC kruga
I=inline(ic) % stvaranje funkcije I(t)
t=0:0.0001:1; % vremenski korak t
v(t);I(t); % stvaranje vektora rjesenja dif.jed. za vremenske trenutke t
subplot(2,1,1);plot(t,v(t)) % crtanje v(t)
grid on; title('Napon na kondenzatoru')
xlabel('Vrijeme [t]'), ylabel('Napon Uc(t) [V]')
subplot(2,1,2);plot(t,I(t)) % crtanje I(t)
grid on; title('Struja RLC kruga')
xlabel('Vrijeme [t]'), ylabel('Struja I(t) [A]')
66

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Prijelazne pojave
Zadatak 3-4
Kolika je vrijednost kapaciteta kondenzatora C
Rješenje:
() = − ()
v t 8 15u t V
s
−1.8t
0 ()
v t =− 3.50 + 7.50e V, t > 0
Za
t ≤ 0
v () t = 8V
s
v () t = 4V
o
, ut () predstavlja jedinični skok
Paralelni spoj: v ( t) = v ( t)
1.K.Z.:
2.K.Z.:
c
o
dvc() t vR() t dvo()
t vR()
t
it () = ic() t + io()
t = C + = C +
dt R dt R
v () t −v () t − v () t = 0 ⇒ v () t −v () t − i() t R = 0
s o R s o
vs() t vo()
t
it () = −
R R
Izjednačavanjem struja dobivenih iz oba K.Z. dobiva se dif.jed. kruga :
dvo() t vR
() t vs() t vo()
t
C + = −
dt R R R
dvo() t vo() t vs()
t
+ 2 =
dt CR CR
67

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Za
t > 0
v () t = 8− 15= −7 V
s
v t e − ⋅
1.8 t
o
() =− 3.5+
7.5 V
Laplaceova transformacija dif. jed. strujnog kruga:
dvo() t vo() t vs()
t
+ 2 =
dt CR CR
Vo() s Vs()
s
sVo() s − vo(0) + 2 =
CR s ⋅ CR
1 1
Vs() s + svo(0) (7) − + s⋅4
Vo
() s =
CR
=
CR
2 2
ss ( + ) ss ( + )
CR
CR
Laplaceova transformacija napona na kondenzatoru:
v () t =− 3.5+
7.5e
o
−1.8⋅t
−3.5 7.5 −3.5⋅1.8 + 4s
Vo
() s = + =
s s+ 1.8 s( s+
1.8)
Uspoređivanjem dobivenih napona vidimo da treba vrijediti:
7 1
= 3.5 ⋅1.8 ⇒ = 0.9 ⇒ C = 185 mF
CR
C ⋅ 6
2 1
= 1.8 ⇒ = 0.9 ⇒ C = 185 mF
CR
C ⋅ 6
Zadatak 3-5
Nađite vrijednost induktiviteta zavojnice (L) ako se nakon uključivanja sklopke jakost struje
počne mijenjati u vremenu po funkciji navedenoj na slici. Koristite Laplace-ovu
transformaciju.
68

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Rješenje:
1. Kirchhoffov zakon:
i () t −i () t − i() t = 0
1 2
2. Kirchhoffov zakon:
v () t = v () t
R
L
di()
t
vL()
t = L dt
v () t = R⋅i () t
R
2
di()
t R R
Diferencijalna jednadžba kruga: + it () = i1
() t
dt L L
R R I1 Laplaceova transformacija: () (0) ()
() s
sI s − i + I s =
L L s
I()
s
R I () s R 13
L R R
ss ( + )
L
ss ( + )
L L
1
= =
Zadani signal it ( ) = 13−13
0.35t
e −
u s-domeni:
13 13 13
Is ( ) = − = 0.35
s s+ 0.35 s( s+
0.35)
Usporede se dobivene struje u s-domeni te se dobije induktivitet.
R 13 13
Is ( ) = = 0.35
L R
ss ( + )
s ( s+
0.35 )
L
R
= 0.35 ⇒ L=
94.2 H
L
69

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Zadatak 3-6
Svi kondenzatori u nacrtanom spoju imaju kapacitet 1µF i prazni su u trenutku uklapanja
sklopke t = 0 .
d) koliki je maksimalni iznos struje iz izvora i kad nastupa,
e) u kojem trenutku je napon na otporniku polovica napona napajanja,
f) koliki je iznos energije kondenzatora C 1 nakon završetka prijelazne pojave
Rješenje:
E 200
= = = 100 µ A, t = 0s
R 210 ⋅
a) Imax 6
b)
3 3 −6
3
Cukupno
= C = ⋅ 10 = µ F
8 8 8
t
⎛ − ⎞
3
vc
() t = E 1 e
τ
⎜ − ⎟, τ = R⋅ Cukupno
= s
⎝ ⎠
4
⎛ − ⎞ −
E = vc() t + vR() t ⇒ vR() t = E−E 1 e
τ
Ee
τ
⎜ − ⎟ =
⎝ ⎠
vR
() t E
3 1
t =− τ ln( ), za vR
( t) = ⇒ t =− ln( ) = 0.52 s
E
2 4 2
c)
Q Cukupno
⋅ E E
EP
= = = = 50 V
3 3 4
C C
2 2
EP
50
E1
= = = 25 V
2 2
2 −6 2
C1⋅
E1
10 ⋅ 25
W = = = 0.3125 mJ
2 3
t
t
70

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Zadatak 3-7
Na slici je prikazan strujni RC krug u kojem je kondenzator početno nabijen na vrijednost
napona V M i prazni se preko otpornika R.
Zadano: R=2 Ω , C=5 µF, V M =15 V.
a) Nađite vrijeme koje je potrebno da napon na kondenzatoru v () t 0
padne na 0.1Vm.
b) Nađite vrijednost struje za onu vrijednost napona v () t 0
u trenutku traženom u a).
c) Skicirajte dijagram napona na kondenzatoru o vremenu, od t=0 do vremenskog trenutka
dobivenog u a).
d) Napišite diferencijalnu jednadžbu strujnoj RC kruga prikazanog na slici u a).
Rješenje:
0
M
a) v t V e ⇒ t =− RC ln − RC ln − RC ln ( )
b)
c)
0
it
−t
⎛v () t ⎞ ⎛0.1⋅V
⎞
() =
M
⋅
τ
⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0.1 = 23µ
s
⎝ VM
⎠ ⎝ VM
⎠
= v ( t ) v ( t ) 1.5
R
= R
= 2
=
R a 0 a
(
a
) 0.75 A
d)
v () t − v () t = 0, 2. Kirchhoff-ov zakon
0
it ()
R
dv
C dt
0
=− , pražnjenje kondenzatora
v () t = i()
t ⋅ R, Ohmov zakon
R
71

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
− dv0 v0
it () ⋅ R + v0
() t = 0 ⇒ 0
dt
+ RC
= , diferencijalna jednadžba RC strujnog kruga
Zadatak 3-8
Kondenzator C = 1µF nabija se preko otpornika R = 10 kΩ s izvora konstantnog napona
V = 100 V . U početnom trenutku napon na kondenzatoru je 0 V.
a) kolika je vremenska konstanta spoja
b) koliki će napon na kondenzatoru biti stotinku sekunde od početka nabijanja
c) izrazite struju nabijanja kao funkciju vremena
d) kolika se energija nakrcala u kondenzator do završetka nabijanja
e) kolika se energija utrošila na otporu tijekom nabijanja
Rješenje:
a)
τ = RC = ⋅ =
4 −6 −2
10 10 10 s
−t
/ τ
−1
b) vc
t V( e ) ( e )
() = 1− = 1001− = 63,2V
vR () t V − v () t 1 t/ τ V −t/
τ 100
it () = = = V− V+ Ve = e = e A
4
R R R R 10
c
−
0,01
c) ( )
d) W
e)
2 −6 4
CV 10 ⋅10
= = = ⋅ =
2 2
2
dWR
= i()
t Rdt
−2
0,5 10 J 5mJ
2 2t
2 2t
t=∞
∞
∞ −
−
2 2 2
2
τ
τ
τ
∫ ∫
τ
2
R 2 2R 2R
2
0 0
R
t=
0
V V V V RC V C
W = i() t Rdt = R e dt = − e = ⋅ = = = 5mJ
R
−t
Zadatak 3-9
a) Nađite diferencijalnu jednadžbu strujnog kruga nakon otvaranja sklopke.
b) Izrazite v(t) u frekvencijskoj domeni kao V(s) koristeći Laplaceovu transformaciju.
c) Koristeći rastav na parcijalne razlomke, te inverznu Laplaceovu transformaciju nađite v(t),
−0.3t
a usporedbom s vt ( ) = 3 + 16e V , za t>
0 nađite vrijednost kapaciteta kondenzatora
C.
72

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Rješenje:
U trenutku nakon otvaranja sklopke kondenzator je nabijen na v (0) = 19 V , a promatra se
samo RC krug s naponskim izvorom V = 3 V .
a)
t > 0, sklopka isključena
2.K.Z., vt ( ) −itR ( ) − V = 0
S
S
dv()
t
it ( ) =−C , pražnjenje kondenzatora
dt
dv()
t
vt () + C R− VS
() t = 0
dt
dv() t 1 VS
() t
+ vt ( ) = , v(0) = 19 V, VS( t) = VS
⋅ ut ( ) = 3 ⋅ut ( ) , ut ( ) - jedinični skok
dt CR CR
b)
dv() t 1 VS
() t
+ vt () = , v(0) = 19V
dt CR CR
Laplaceova transformacija:
1 VS
sV () s − v(0) + V () s =
CR s ⋅ CR
VS
v(0)
V()
s =
CR
+
1 1
ss ( + ) s+
CR CR
c)
73

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
VS
v(0)
V()
s =
CR
+
1 1
ss ( + ) s+
CR CR
H( s)
VS
A B
H()
s =
CR
= +
1 s 1
ss ( + ) s+
CR CR
⎛ VS
⎞
⎜
lim( ( )) lim
CR
⎟
A= s⋅ H s = ⎜ ⎟ = VS
s→0 s→0
1
⎜s
+
⎟
⎝ CR ⎠
1
⎛ VS
⎞
B = lim (( s+ ) ⋅ H( s)) = lim
V
CR
⎜ = −
s ⋅ CR
⎟
⎝ ⎠
1 1
s→−
s→−
CR
CR
VS
A B VS
VS
H()
s =
CR
= + = −
1 s 1 s 1
ss ( + ) s+ s+
CR CR CR
VS VS v(0) VS v(0)
−VS
3 19 − 3 3 16
V()
s = − + = + = + = +
s 1 1 s 1 s 1 s 1
s+ s+ s+ s+ s+
CR CR CR CR CR
Inverzna Laplaceova transformacija:
vt () = 3+
16e
1
− t
CR
1
CR
−0.3t
Usporedimo s vt ( ) = 3 + 16e
⇒ = 0.3
1 1
C = = = 0.1389 F
0.3R
0.3⋅
24
S
Zadatak 3-10
Za strujni krug prema slici:
a) Nađite vrijednosti struje i(t) i napona v(t) u vremenu t ≤ 0 .
b) Nađite diferencijalnu jednadžbu strujnog kruga nakon otvaranja sklopke.
c) Izrazite i(t) u frekvencijskoj domeni kao I(s) koristeći Laplaceovu transformaciju.
d) Koristeći inverznu Laplaceovu transformaciju nađite i(t).
e) Nađite v(t).
74

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Rješenje:
a)
t ≤ 0, sklopka uključena
24
2.K.Z., VS
( t) −75I − 15I = 0 ⇒ I = = 0.2667 A
90
vt ( ≤ 0) = I⋅ R = 0.2667 ⋅ 15 = 4 V
b)
t > 0, sklopka isključena
3
2.K.Z., V ( t) −i( t) ⋅ ( R + R + R ) − v ( t) = 0
S
1 2 3
di()
t
vL
() t = L dt
di t
L
()
() − () ⋅ ( + + ) − = 0
VS
t i t R1 R2 R3
L dt
di()
t R1 + R2 + R3
VS
() t
+ it ( ) = , i(0) = 0.2667 A, VS( t) = VS
⋅ ut ( ) = 24 ⋅ut ( ) , ut ( ) - jedinični skok
dt L L
di()
t R1 + R2 + R3
VS
() t
+ it ( ) = , i(0) = 0.2667 A
dt L L
Laplaceova transformacija:
R1 + R2 + R3
VS
sI() s − i(0) + I()
s =
L
s ⋅ L
VS
i(0) 0.1297 0.2667
Is () =
L
+ = +
R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3
ss ( + 0.6487) s+
0.6487
ss ( + ) s+
L
L
c)
75

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
0.1297 0.2667
Is () = +
ss ( + 0.6487) s+
0.6487
Inverzna Laplaceova transformacija:
⎡ 1
− t ⎤
it ( ) = 0.1297
⎢ ( 1− e ) + 0.2667e
⎣0.6487
⎥
⎦
−0.6487t
( ) 0.2 0.066 A
it
d)
= +
e
0.6487 −0.6487t
vt it R e e
0.6487 0.6487
( ) ( )
3
(0.2 0.066 − t
− t
= ⋅ = + ) ⋅ 15 = 3 + 1⋅
V
Zadatak 3-11
Za strujni krug prema slici:
a) Nađite diferencijalnu jednadžbu strujnog kruga nakon zatvaranja sklopke.
b) Izrazite i(t) u frekvencijskoj domeni kao I(s) koristeći Laplaceovu transformaciju. Za
t = 0, i( t) = 0 A .
c) Koristeći rastav na parcijalne razlomke, te inverznu Laplaceovu transformaciju nađite i(t).
−0.8t
d) Usporedbom izraza dobivenog iz c) i izraza it ( ) = 17 − 17e A , za t> 0 nađite
vrijednost induktiviteta zavojnice L.
e) Koliki je iznos vremenske konstante RL kruga
Rješenje:
a)
76

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
t > 0, sklopka uključena
1.K.Z., i ( t) −i( t) − i ( t) = 0
v () t = R⋅i () t
R
R
S
di()
t
vL
() t = L dt
Ldit
R
()
2.K.Z., vR( t) = vL( t) ⇒ iR( t)
=
R dt
Ldit ()
iS
() t −i() t − = 0
R dt
di()
t R R
+ it () = iS() t , iS() t = iS
⋅ ut () = 17 ⋅ut () , ut ()- jedinični skok
dt L L
b)
di()
t R R
+ it () = iS
() t
dt L L
, i(0) = 0A,
Laplaceova transformacija:
R
sI() s − i(0) + I()
s =
L
R IS
L s
Is () =
c)
R I
S
L
R
ss ( + )
L
R I
S
A B
Is () =
L
= +
R s R
ss ( + ) s+
L L
⎛ R ⎞
⎜ I
S
lim( ( )) lim
L
⎟
A= s⋅ I s = ⎜ ⎟ = IS
s→0 s→0
R
⎜s
+
⎟
⎝ L ⎠
⎛ R ⎞ I
S
R
⎜
B lim (( s ) I( s)) lim
L
⎟
= + ⋅ = ⎜ ⎟ = −I
R
R
s→−
L
s→−
s
L
L
⎜
⎟
⎝ ⎠
S
77

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
R I
S
A B IS
IS
Is () =
L
= + = −
R s R s R
ss ( + ) s+
s+
L
L L
17 17
Is () = −
s R
s +
L
Inverzna Laplaceova transformacija:
R t
e −
L
it ( ) = 17 −17 A
d)
L
Usporedimo dobiveni izraz it ( ) = 17 − 17 e ,s izrazom it ( ) = 17 −17e
R
20
⇒ = 0.8 ⇒ L = = 25 H
L
0.8
e)
τ = L 25 1.25 s
R
= 20
=
R
− t
−0.8t
Zadatak 3-12
a) Ako je prijelazni proces opisan jednadžbom
vrijednost napona v ( ) o
t .
0.35
vo () t 12 6e − ⋅t
b) Kolika je Laplaceova transformacija V ( o
s ) napona vo
( t)
iz a).
c) Ako je napon V ( ) o
s jednak:
Vo
2 10
() s = +
s 9
s +
16
= − , kolika je stacionarna
, koliki je v ( ) o
t .
Rješenje:
−∞
a) v () t
t
= 12 − 6 = 12 − 0 12V
0 →∞
=
12 6
b) V
0
() s = −
s s + 0.35
9
− t
16
v
c)
0
() t = 2 + 10e
78

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
Zadatak 3-13
a) Nađite diferencijalnu jednadžbu strujnog kruga nakon uključivanja sklopke
b) Izrazite vt () u frekvencijskoj domeni kao V()
s koristeći Laplaceovu transformaciju.
Početni uvjet napona vt () očitajte s dijagrama.
c) Koristeći rastav na parcijalne razlomke, te inverznu Laplaceovu transformaciju nađite
at
vt () funkcijskog oblika vt ( ) = A+ Be − ⋅ .
Rješenje:
a)
− v
R
2
− 20
() t
dv
dt
b)
() t + v() t + vL
() t
dv
()
() t
+ v t + 4
+
1
4
v
dt
() t = 5
= 0
= 0
v ( 0)
= 4V- očitano sa dijagrama
()
dv t
α ⎧
⎨
⎩ dt
,
R2
( ) =
s ( ) =
diL
() t
() =
v t V t
vL
t L dt
i
L
() t
() v()
t
v t
= =
R
1
+ vt () = 5
⎫
4
⎬ - Laplaceova transformacija
⎭
3
20 V
10
()
d ⎛vt
⎞
vL
() t = L⋅ ⎜ ⎟ dt ⎝ 10 ⎠
dv () t
vL
() t = 4
dt
79

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
1 5
sV ⋅ ( s) − v( 0) + V( s)
=
4 s
1 5 5 4
sV ⋅ ( s) − 4 + V( s) = ⇒ V( s)
= +
4 s
⎛ 1 ⎞ 1
s⎜s+
⎟ s +
⎝ 4 ⎠ 4
c) Rastav na parcijalne razlomke:
G
() s
=
s
A,
B =
1
0.25
( s + )
{ ( )} ()
=
A B
+
s s + 0.25
1 1
A= lim ⎡s G( s)
lim 4
s→0⎣
⋅ ⎤⎦
= = =
s→0
s + 0.25 0.25
1 1
B = lim ⎡( s 0.25) G( s)
lim 4
s→−0.25 ⎣ + ⋅ ⎤⎦
= = = −
s→−0.25
s −0.25
1 1 ⎡4 4 ⎤ 1
V ( s)
= 5⋅ + 4⋅ = 5⋅ − + 4⋅
⎛ 1 ⎞ 1 ⎢s
s 0.25 1
s s s
⎣ + ⎥
⎦
⎜ + ⎟ + s+
⎝ 4 ⎠ 4 4
20 20 4 20 16
V ( s)
= − + = −
s s+ 0.25 s+ 0.25 s s+
0.25
−1
α V s = v t , − tablice,
inverzna Laplaceova transformacija
0,25t
() = − e −
v t
20 16 V
Zadatak 3-14
− j6
a) Odredite vrijednosti konstanti a i b, ako je: = −4
− j3
a + jb
b) Ako je prijelazni proces opisan jednadžbom ( )
0.35
vrijednost napona v () t 0
.
c) Kolika je Laplace-ova transformacija V () s 0
napona v () t 0
iz b)
v0 t = 12 − 6e − t V , kolika je stacionarna
d) Ako je napon V () s 0
jednak: () −10
10 12 2 10
V
0
s = + + = + , koliki je
s 9 s s 9
v () t 0
.
s +
s +
16
16
e) Kojim parametrima četveropola se najbolje može opisati bipolarni tranzistor, a kojima
FET
Rješenje:
80

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
a)
a +
− j
jb =
− 4 −
− j90
6
j
j53
6e
=
j3
5e
− j143
6
= e
5
b) v0 ( t) = 12 − −∞
t
6 = →∞
12 − 0 = 12 V
12 6
c) V
0
() s = −
s s + 0.35
9
−
16
d) v
0
() t = 2 + 10e
e) Y – parametri, X - parametri
( −90
+ 143 )
= 1.2e
= 0.722 +
j0.958
Zadatak 3-15
(Knjiga Elektrotehnika, primjer 4.1)
Za strujni krug na slici struja u početku kroz zavojnicu jednaka je nuli. Neka se u t=0 sklopka
prebaci iz pozicije a u poziciju b i neka u njoj ostane 1 sekundu. Nakon 1sekunde kašnjenja,
sklopka se prebacuje iz pozicije b u poziciju c, gdje trajno ostaje. Zadaća je, nacrtati tijek
struje kroz zavojnicu u ovisnosti o vremenu.
Rješenje:
% Rješenja za primjer 4.1.
% tau1 je vremenska konstanta kad je sklopka u poziciji b
% tau2 is je vremenska konstanta kad je sklopka u poziciji c
%
tau1 = 200/100;
for k=1:20
t(k) = k/20;
i(k) = 0.4*(1-exp(-t(k)/tau1));
end
imax = i(20);
tau2 = 200/200;
for k = 21:120
t(k) = k/20;
i(k) = imax*exp(-t(k-20)/tau2);
end
% crta se struja
plot(t,i,'ob')
axis([0 6 0 0.18])
title('Struja za RL krug')
xlabel('Vrijeme, s')
81

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
ylabel('Struja, A')
Zadatak 3-16
(Knjiga Elektrotehnika, primjer 4.2)
Pretpostavimo da je C=10 µF. Treba Matlab programom simulirati napon na kondenzatoru,
ako je R jednak: a) 1.0 kΩ b) 10 kΩ i c) 0.1 kΩ. Napon izvora V s = 10 V.
Rješenje:
% Nabijanje RC kruga
%
c = 10e-6;
r1 = 1e3;
tau1 = c*r1;
t = 0:0.002:0.05;
v1 = 10*(1-exp(-t/tau1));
r2 = 10e3;
tau2 = c*r2;
v2 = 10*(1-exp(-t/tau2));
r3 = .1e3;
tau3 = c*r3;
v3 = 10*(1-exp(-t/tau3));
plot(t,v1,'+',t,v2,'o', t,v3,'*')
axis([0 0.06 0 12])
title('Nabijanje kondenzatora s 3 vremenske konstante')
xlabel('Vrijeme, [s]')
ylabel('Napon na kondenzatoru [V]')
text(0.03, 5.0, '+ za R = 1 Kilohms')
text(0.03, 6.0, 'o za R = 10 Kilohms')
text(0.03, 7.0, '* za R = 0.1 Kilohms')
Zadatak 3-17
(Knjiga Elektrotehnika, primjer 4.3)
Neka je priključeni napon pravokutni puls s amplitudom od 5V i širinom 0.5s. Ako je C=10
µF, treba nacrtati izlazni napon v 0 (t), za otpore R jednake a) 1000 Ω i b) 10,000 Ω. Crtež
neka počne u nula sekundi i završi u 1 sekundi.
Rješenje:
function [v, t] = rceval(r, c)
% rceval je funkcija za izracunavanje
% izlaznog napona zadanog vrijednostima
% otpora i kapaciteta.
% poziv [v, t] = rceval(r, c)
% r je vrijednost otpora(ohms)
% c je vrijednost kapaciteta(Farad)
% v je izlazni napon
% t je vrijeme koje odgovara naponu v
82

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
tau = r*c;
for i=1:50
t(i) = i/100;
v(i) = 5*(1-exp(-t(i)/tau));
end
vmax = v(50);
for i = 51:100
t(i) = i/100;
v(i) = vmax*exp(-t(i-50)/tau);
end
što nakon poziva:
% Problem se rjesava pozivom funkcije
% rceval
% Izlaz se racuna za razlicite otpore
c = 10.0e-6;
r1 = 2500;
[v1,t1] = rceval(r1,c);
r2 = 10000;
[v2,t2] = rceval(r2,c);
% iscrtavanje napona
plot(t1,v1,'*r', t2,v2,'+b')
axis([0 1 0 6])
title('odziv RC kruga na ulazni puls')
xlabel('Vrijeme, [s]')
ylabel('Napon, [V]')
text(0.55,5.5,'* je za 2500 Ohms')
text(0.55,5.0, '+ je za 10000 Ohms')
83

Auditorna vježba 3
Essert, Grilec, Žilić: Zbirka zadataka iz Elektrotehnike
84