Matemaatika riigieksami eristuskiri 1. Eksami ... - Opetaja.edu.ee

Matemaatika riigieksami eristuskiri
1. Eksami eesmärgid
Vastavalt haridusministri 24.12.2001 määrusele nr 75 “Põhikooli ja gümnaasiumi lõpueksamite
korraldamise ning põhikooli ja gümnaasiumi lõpetamise tingimused ja kord”, jõustunud 10.01.2002,
matemaatika riigieksami peamiseks eesmärgiks on:
• hinnata riiklikus õppekavas määratletud õpitulemuste saavutatust matemaatikas;
• suunata õppeprotsessi eksami sisu ja vormi kaudu;
• siduda omavahel järjestikuseid haridusastmeid ja -tasemeid.
Matemaatika riigieksam võimaldab lisaks:
• õpilastel saada objektiivsem ettekujutus oma õpitulemustest ja koolil ennast hinnata;
• kooli pidajal, Haridus- ja Teadusministeeriumil, lastevanematel ja teistel saada tagasisidet
õppimise ning õpetamise tulemuslikkusest koolis;
• võrrelda gümnaasiumilõpetajate eksamitulemusi;
• ühitada gümnaasiumi lõpueksamid kutseõppeasutuse, rakenduskõrgkooli ja ülikooli
sisseastumiseksamitega.
2. Eksami vorm
Matemaatika riigieksam on kaheosaline kirjalik eksam. 1. osa kestus on 120 minutit ja 2. osa kestus on
150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on vaheaeg kestusega 45 minutit.
2008. a matemaatika riigieksami esimeses osas tuleb lahendada viis 10-punktilist ülesannet ja teises
osas 3 ülesannet, kaks 15-punktilist ülesannet ja üks 20-punktiline valikülesanne ette antud kahe
erinevatesse ainevaldkondadesse kuuluva 20-punktilise ülesande hulgast. Kõikide õigesti lahendatud
ülesannete eest on võimalik saada maksimaalselt 100 punkti.
Põhieksami eksamitöö on kahes (I ja II) variandis, lisaeksami eksamitöö ühes variandis.
Teooriaküsimusi 2008. a matemaatika riigieksamitöös iseseisvate ülesannetena ei esine.
Kõik ülesannete lahendamiseks vajalikud andmed on vastavate ülesannete tekstidega ette antud.
Riigieksamil ei ole lubatud kasutada teatmikke, käsiraamatuid ja muid abimaterjale.
Eksamil võib kasutada kalkulaatorit.
Kalkulaator, kirjutus- ja joonestusvahendid peavad eksaminandil endal eksamil kaasas olema.
Eksaminandidel ei ole lubatud eksamitöö ajal üksteisele kirjutus-, arvutus- ja joonestusvahendeid
laenata. Paberi lahenduste vormistamiseks ja mustandi jaoks annab eksamikeskus. Eksami lõppedes
annab eksaminand lahenduste lehe, ülesannete tekstide lehe ja mustandi üle eksamikomisjonile.
3. Eksami tase
Põhikooli ja gümnaasiumi riiklikus õppekavas (vt “Põhikooli ja gümnaasiumi riiklik õppekava”, Riigi
Teataja I osa nr 20 22.veebr.2002) on öeldud et gümnaasiumis võib õpilane valida kahe erineva
matemaatika ainekava vahel. Need on matemaatika kitsas ja lai ainekava, mis erinevad oma mahult ja
käsitluse sügavuselt. Kõigile kohustuslik on matemaatika kitsas ainekava, mis koosneb kaheksast
ainekursusest ja 20- tunnisest kordavast osast.
Eksamitöö variantide koostamisel lähtutakse gümnaasiumi riikliku õppekavaga määratud
matemaatika õppe-eesmärkidest, matemaatika kitsa ainekava õppesisust ja õpitulemustest.
Kõigile kohustuslike kitsa ainekava teemade kohta käivate eksamiülesannete komplektis on
ülesandeid, mille tase vastab
a) matemaatika kitsas ainekavas eeldatud käsitluse sügavusele,
b) matemaatika laias ainekavas eeldatud käsitluse sügavusele.
1

Ülesannete valimisel matemaatika riigieksami ülesannete komplekti peetakse silmas eesmärki, et igal
eksaminandil oleks eksamil võimalik näidata oma teadmiste ja oskuste maksimaalset taset.
Matemaatika riigieksam ei ole 12. klassi lõpueksam, vaid kogu koolimatemaatika põhiteadmiste ja
-oskuste omandatust kontrolliv eksam.
Eksamiülesannete koostamisel eeldatakse, et eksaminandid on läbinud järgmised ainekursused:
1. Reaalarvud, võrrandid ja võrratused.
2. Trigonomeetria.
3. Vektor tasandil. Joone võrrand.
4. Funktsioonid I, II.
5. Funktsiooni piirväärtus ja tuletis.
6. Tõenäosusteooria ja kirjeldav statistika.
7. Stereomeetria. Vektor ruumis.
Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest, mille kohaselt
gümnaasiumi lõpetaja
• oskab arvutada peast, kirjalikult ja kalkulaatori abil, oskab kriitiliselt hinnata arvutustulemusi;
• oskab teisendada algebralisi avaldisi;
• oskab lahendada ainekavaga fikseeritud võrrandeid ja võrrandisüsteeme ning võrratusi ja
võrratussüsteeme;
• oskab kasutada õpitud mõõtühikuid ja seoseid nende vahel;
• tunneb ainekavaga fikseeritud ruumilisi kujundeid, oskab neid ja nende tasandilisi lõikeid joonisel
kujutada;
• oskab arvutada ainekavaga fikseeritud kehade pindala ja ruumala ning kehade tasandiliste lõigete
pindala;
• tunneb ainekavaga fikseeritud trigonomeetrilisi seoseid, oskab neid rakendada avaldiste
lihtsustamisel, geomeetria ja stereomeetria ülesannete lahendamisel;
• tunneb ainekavaga fikseeritud funktsionaalseid seoseid ja oskab neid kasutada;
• tunneb ainekavaga fikseeritud funktsioonide graafikuid;
• oskab kirjeldada graafikuga esitatud funktsiooni omadusi;
• oskab uurida lihtsamaid tundmatuid funktsioone;
• tunneb ainekavaga määratud tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika mõisteid;
• oskab rakendada tõenäosusteoorias õpitut ülesannete ja reaalsuse probleemide lahendamisel;
• oskab koostada tabeleid ja diagramme ning neid analüüsida;
• oskab esemeid ja nähtusi klassifitseerida ühe või mitme tunnuse põhjal;
• saab aru defineerimise vajalikkusest ja oskab ainekavaga fikseeritud mõisteid defineerida;
• oskab liikuda mõttekäikudes üldiselt üksikule ja vastupidi;
• saab aru väidete tõestamise vajalikkusest ja oskab teoreeme teadmiste piires tõestada;
• oskab esitada matemaatiliste sümbolite keeles väljendatud teksti tavakeeles;
• oskab matemaatiliselt kirjeldada ülesannetes esitatud situatsioone ja probleeme ning neid
lahendada;
• oskab prognoosida ja analüüsida lahendustulemusi;
• oskab kasutada matemaatilisi teadmisi teiste õppeainete ja igapäevaelu probleemide lahendamisel.
Eksami esimese osa ülesannetega kontrollitakse gümnaasiumi iga ainekursuse põhiteadmiste ja
-oskuste omamist ning oskust neid rakendada elulistes situatsioonides.
Eksami teise osa ülesannetega kontrollitakse, kuivõrd struktureeritud on eksaminandi teadmised, kui
hästi ta suudab õpitud teadmisi seostada ja rakendada mitterutiinsete ülesannete korral ning milline on
eksaminandi ettevalmistus õpingute jätkamiseks järgmisel astmel.
2

Õpitulemustes eristatakse 7 aspekti. Neist õpitulemused 1 ja 2 vastavad äratundmise,
arusaamise ning memoreerimise tasandile:
1- õpilane teab gümnaasiumi ainekavaga määratud mõisteid, fakte, meetodeid ja
protseduure;
2- õpilane saab aru matemaatika ainekavaga määratud mõistetest, faktidest, meetoditest
ja protseduuridest ning oskab neid kasutada.
Rakendamisoskuse tasandile vastavad:
3- õpilane saab probleemist aru;
4- õpilane oskab informatsiooni tõlgendada (teha kujundite ja kehade jooniseid,
joonistada ning lugeda funktsioonide graafikuid);
5- õpilane oskab valida lahendamisstrateegiat;
6- õpilane oskab andmeid töödelda (teha nõutavaid arvutusi, hinnata tulemusi);
7- õpilane oskab informatsiooni esitada, oskab lahenduskäiku selgitada (põhjendada),
annab korrektse vastuse.
Matemaatika riigieksamitöö koostamisel arvestatakse, et hindepunktide jaotus eksamivariantides ühelt
poolt õpitulemuste 1-2 ning teiselt poolt õpitulemuste 3 – 4 lõikes oleks ligikaudu 50 : 50.
Vt ka nt 2007. a matemaatika riigieksami ülesandeid koos lahenduste ja kommentaaridega aadressil
http://www.ekk.edu.ee/92649 .
4. Hindamine
Matemaatika riigieksamitöid hinnatakse ülesannete kaupa.
Kriteeriumid, millest ülesannete lahenduste hindamisel lähtutakse on:
kas eksaminand
• teab keskkooli matemaatika kursuses käsitletavaid mõisteid, fakte, meetodeid ja protseduure;
• saab matemaatika mõistetest, faktidest, meetoditest ja protseduuridest aru, oskab neid
kasutada;
• saab probleemist aru;
• oskab teha ülesandes nõutud arvutusi, oskab kasutada arvutusvahendeid ning arvutustulemusi
hinnata;
• oskab lahenduskäiku selgitada (põhjendada);
• oskab teha tasandiliste kujundite ja ruumiliste kehade jooniseid, ehitada funktsioonide
graafikuid ning neid lugeda;
• vastab küsimustele korrektselt.
3

5. Eksamiülesannete lahenduste hindamise näiteid
1. ülesanne (5 punkti) Lihtsustage avaldis
⎛
⎜
⎝
a + 1
−
a −1
a −1⎞
⎛
⎟⋅⎜
a + 1
⎠ ⎝
a −
1 ⎞
⎟.
a ⎠
LAHENDUS
HINDAMINE
⎛
⎜
⎜
⎝
a + 1
a −1
a + 1
−
a −1
a + 1
a −1
⎞ ⎛
⎟
⋅⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
a
a
−
1
⎞
⎟ =
a ⎟
⎠
Algebraliste murdude lahutamise oskus 1
(
=
a + 1)
2
− (
a −1)
( a −1)(
a + 1)
2
(
⋅
2
a)
−1
=
a
Algebra põhivalemite teadmine 1
( a + 2
=
a + 1−
a + 2
( a −1)
⋅
a −1)
⋅(
a −1)
4
=
a
a
a
= 4
Juuravaldiste teisendamise oskus 3
Sulgude avamine lugejais 1,
algebraliste murdude korrutamine 1,
taandamine 1
4

2. ülesanne (10 punkti) Amsterdam - Berliin - Praha moodustavad
kolmnurga (vt joonist), mille kaks nurka on 50 ° ja 110 ° .
Berliinist Prahasse on 280 km. Kui kaugel on Amsterdam
Berliinist ja Praha Amsterdamist? Vastus andke täpsusega 10 km.
LAHENDUS
Ams terdam
HINDAMINE
Berliin
110
o
50
Praha
280 km
o
A
Amsterdam
Berliin
110
o
B
280 km
Probleemi mõistmine 1
Informatsiooni tõlgendamine 1
Praha
50
o
P
Lahendusstrateegia omamine 1
Tähistame kolmnurga tipud ja nurgad järgmiselt:
Amsterdam – , Praha – P, Berliin – B, siis
∠ABP
= 110 ° , ∠BPA
= 50°
.
Kolmnurgast APB on antud üks külg ( BP) ja
selle kaks lähisnurka( ∠ ABP, ∠BPA
), ülejäänud
küljed saame leida siinusteoreemi abil, arvutades
eelnevalt nurga PAB.
∠PAB
= 180° − ( ∠ABP
+ ∠BPA)
= 20°
Rakendades siinusteoreemi
a b c
( = = ),
sinα
sin β sinγ
saame :
280⋅sin110°
AP =
≈ 770
sin 20°
Kolmnurga nurkade summa teadmine 1
Siinusteoreemi teadmine 1
Oskus kasutada siinusteoreemi 1
Külgede AP ja BA pikkuste arvutamine 2
(kumbki 1 punkt)
Oskus õigesti ümardada 1
Tulemuse hindamine 1
280⋅sin50°
AB =
≈ 630
sin 20°
Vastus. Amsterdami ja Berliini vahemaa on
ligikaudu 630 km ning Praha ja Amsterdami
vahemaa ligikaudu 770 km.
5

3. ülesanne (15 punkti) Antud on funktsioon y = x 3 – 3x.
1) Leidke funktsiooni nullkohad.
2) Leidke funktsiooni tuletis.
3) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud.
4) Leidke funktsiooni graafiku maksimum- ja miinimumpunkti koordinaadid.
5) Joonestage funktsiooni y = x 3 – 3x graafik.
6) Kirjutage välja antud funktsiooni positiivsuspiirkond.
LAHENDUS
y = x 3 – 3x
1) Nullkohad: x 3 – 3x = 0⇒ x ( x
2 − 3) = 0 ⇒
⇒ x
1
= 0,
x2
= − 3, x3
= 3.
2) y ′ = 3x
2 − 3
3)Kasvamis- ja kahanemisvahemike leidmiseks
tingimused ( y′
> 0,
y′ 0 ⇒ 3x
2 − 3 > 0 ⇒ x < −1,
x > 1
Kasvamisvahemikud: ( − ∞;−1)
, ( 1; ∞ ) .
y′ < 0 ⇒ 3x 2 − 3 < 0 ⇒ −1
< x < 1
Kahanemisvahemik: (− 1;1 ) .
4)Maksimum- ja miinimumkoha leidmiseks
f ′(
xmax
) = 0, f ′′(
xmax
) < 0;
tingimused:
f ′(
xmin
) = 0, f ′′(
xmin
) > 0.
y′
= 0 ⇒ x1
= −1,
x2
= 1
y′′
= 6x
Kui x= –1, siis y ′′ < 0 . Kui x=1, siis y ′′ > 0.
Järelikult x max = –1, x min = 1.
y max = y(–1) = 2, y min = y(1) = –2
Seega maksimumpunkt on punkt (–1; 2),
miinimumpunkt on punkt (1; –2).
5)
HINDAMINE
Funktsiooni nullkoha mõiste teadmine 1
Erikujulise kuupvõrrandi lahendamise oskus 2
Monotoonsusvahemike tunnuste teadmine 1
Funktsiooni tuletise leidmise oskus 2
Ruutvõrratuse lahendamise oskus 1
Kasvamisvahemike leidmine 1
Kahanemisvahemiku leidmine 1
Maksimum- ja miinimumkoha olemasolu
tingimuste teadmine 1
Ekstreemumkohtade liigi määramise oskus 1
Ekstreemumpunktide ordinaatide arvutamine 1
Funktsiooni y = x 3 – 3x graafiku
joonestamine 1
6) Positiivsuspiirkond: ( − 3;0) ∪ ( 3; ∞)
.
Funktsiooni y = x 3 – 3x positiivsuspiirkonna 2
leidmine joonise abil
6

4. ülesanne (20 punkti) On antud funktsioonid f(x) = x 2 – bx (b > 0) ja
x − x
g(x) = 8 ⋅ 2 + 2 − 9.
1) Joonestage x-teljega ja joonega y = f(x) piiratud kujund ning selle sisse täisnurkne
kolmnurk, mille üks tipp on koordinaatide alguses, üks kaatet x-teljel ja selle
vastastipp joonel y = f(x). Leidke selle kolmnurga maksimaalne võimalik pindala.
2) Leidke funktsiooni g(x) nullkohad.
3) Määrake arv b, nii et funktsiooni f(x) nullkohad ühtiksid g(x) nullkohtadega.
Arvutage saadud b väärtusel punktis 2) leitud kolmnurga pindala.
LAHENDUS
HINDAMINE
Parabooli joonestamine 2
Kolmnurga joonestamine 2
1) Joonestame parabooli y = x 2 – bx ,
kus b > 0,
joonestame ülesande tingimustele vastava
kolmnurga.
Leiame kolmnurga pindala S = 0,5x(x 2 – bx),
moodustame pindalafunktsiooni
S(x) = 0,5x 3 + 0,5bx 2 ,
2
leiame S ′( x)
= 1,5 x + bx ,
leiame funktsiooni S′ (x)
nullkohad,
2
lahendades võrrandi 1 ,5x + bx = 0.
2b
Saame x 1 = − , x 2 = 0, kus viimane on ilmselt
3
võõrlahend.
2b
Kontrollime, kas − on maksimumkoht, leides
3
2b
näiteks S ′ ( − ) = −b
< 0 . Seega
3
2b
xmax
= − .
3
3
2b
2b
Leiame S ( − ) = .
3 27
2) Lahendame võrrandi 8·2 x + 2 –x – 9=0⇒
2x
x
⇒ 8⋅2
− 9⋅2
+ 1 = 0 , millest
x 1
a) 2 1 = ⇒ x1
= 3
8
− x
, b) 2 2 = 1⇒
x = 2
0 .
1) Funktsiooni f(x) nullkohad peavad olema
0 ja –3, seega f ( 0) = 0 ja f ( −3)
= 0 .
Järelikult (–3) 2 + b ⋅( −3)
= 0 ⇒ b = 3 .
Kui b = 3, siis S = 2.
Pindalafunktsiooni moodustamine 2
Pindalafunktsiooni tuletise ja selle
nullkohtade leidmine 3
Ekstreemumi olemasolu piisava tingimuse
rakendamine 1
Kolmnurga maksimaalse võimaliku pindala
avaldamine parameetri b kaudu 2
Mõistmine, et tegemist on 2 x suhtes
ruutvõrrandiga ja selle lahendamine, st
2 x väärtuste leidmine, 3
x väärtuste leidmine 2
Parameetri b väärtuse leidmine 2
Pindala leidmine 1
7

Eksami eesmärk
MATEMAATIKA RIIGIEKSAM 2008
Matemaatika riigieksami eesmärgiks on:
Välja selgitada
• kui hästi saab gümnaasiumilõpetaja matemaatika mõistetest, faktidest, printsiipidest
ja protseduuridest aru;
• kuivõrd struktureeritud ja korrastatud on tema teadmised;
• kui hästi ta suudab õpitut rakendada, lahendada mitterutiinseid ülesandeid;
• milline on 2008. a gümnaasiumilõpetaja matemaatikaalane ettevalmistus õpingute
jätkamiseks järgmisel astmel.
Eksami korraldusest
2008. a matemaatika riigieksam toimub 16. mail. Eksaminandidele, kes mõjuval põhjusel 16.
mail osaleda ei saanud, korraldatakse riigieksam 2. juunil.
2008. aasta matemaatika riigieksam on kirjalik ja viiakse läbi kahes osas. 1. osa kestus on 120
minutit ja 2. osa kestus on 150 minutit. Kahe eksamiosa vahel on vaheaeg kestusega 45
minutit.
Eksami esimese osa ülesannetega kontrollitakse gümnaasiumi iga ainekursuse (vt “Põhikooli ja
gümnaasiumi riiklik õppekava”, Riigi Teataja I osa nr 20 22.veebr.2002) 1 põhiteadmiste ja
-oskuste omamist ning oskust neid rakendada elulistes situatsioonides. Eksami teise osa
ülesannetega kontrollitakse, kuivõrd struktureeritud on eksaminandi teadmised, kui hästi ta
suudab õpitut rakendada mitterutiinsete ülesannete korral, milline on eksaminandi ettevalmistus
õpingute jätkamiseks järgmisel astmel.
Eksami esimeses osas tuleb lahendada viis 10-punktilist ülesannet ja teises osas 3 ülesannet,
kaks 15-punktilist ülesannet ja üks 20-punktiline valikülesanne ette antud kahe erinevatesse
ainevaldkondadesse kuuluva 20-punktilise ülesande hulgast.
Kooli lõpetamiseks peab eksami 1. ja 2. osa hindepunktide summa olema vähemalt 20
punkti.
Teooriaküsimusi 2008. a matemaatika riigieksamitöös iseseisvate ülesannetena ei esine.
Kõik ülesannete lahendamiseks vajalikud andmed on vastavate ülesannete tekstidega ette antud.
Riigieksamil ei ole lubatud kasutada teatmikke, käsiraamatuid ja muid abimaterjale.
Eksamil võib kasutada kalkulaatorit.
Kalkulaator, kirjutus- ja joonestusvahendid peavad eksaminandil endal eksamil kaasas olema.
Eksaminandidel ei ole lubatud eksamitöö ajal üksteisele kirjutus-, arvutus- ja
joonestusvahendeid laenata. Paberi lahenduste vormistamiseks ja mustandi jaoks annab
eksamikeskus. Eksami lõppedes annab eksaminand lahenduste lehe, ülesannete tekstide lehe ja
mustandi üle eksamikomisjonile.
1

1 Koopia kehtivast matemaatika ainekavast leiate aadressil www.ekk.edu.ee või kirjastuse Argo
väljaande „Matemaatika riigieksami ülesanded koos vastustega 1997-2007“ lisast (ilmub detsembris).
Nõutavad teadmised ja oskused
Riigieksamiülesannete koostamisel lähtutakse riiklikus õppekavas esitatud nõuetest, mille
kohaselt gümnaasiumi lõpetaja
• oskab arvutada peast, kirjalikult ja kalkulaatori abil, oskab kriitiliselt hinnata
arvutustulemusi;
• oskab teisendada algebralisi avaldisi;
• oskab lahendada ainekavaga fikseeritud võrrandeid ja võrrandisüsteeme ning võrratusi ja
võrratussüsteeme;
• oskab kasutada õpitud mõõtühikuid ja seoseid nende vahel;
• tunneb ainekavaga fikseeritud ruumilisi kujundeid, oskab neid ja nende tasandilisi lõikeid
joonisel kujutada;
• oskab arvutada ainekavaga fikseeritud kehade pindala ja ruumala ning kehade tasandiliste
lõigete pindala;
• tunneb ainekavaga fikseeritud trigonomeetrilisi seoseid, oskab neid rakendada avaldiste
lihtsustamisel, geomeetria ja stereomeetria ülesannete lahendamisel;
• tunneb ainekavaga fikseeritud funktsionaalseid seoseid ja oskab neid kasutada;
• tunneb ainekavaga fikseeritud funktsioonide graafikuid;
• oskab kirjeldada graafikuga esitatud funktsiooni omadusi;
• oskab uurida lihtsamaid tundmatuid funktsioone;
• tunneb ainekavaga määratud tõenäosusteooria ja matemaatilise statistika mõisteid;
• oskab rakendada tõenäosusteoorias õpitut ülesannete ja reaalsuse probleemide
lahendamisel;
• oskab koostada tabeleid ja diagramme ning neid analüüsida;
• oskab esemeid ja nähtusi klassifitseerida ühe või mitme tunnuse põhjal;
• saab aru defineerimise vajalikkusest ja oskab ainekavaga fikseeritud mõisteid defineerida;
• oskab liikuda mõttekäikudes üldiselt üksikule ja vastupidi;
• saab aru väidete tõestamise vajalikkusest ja oskab teoreeme teadmiste piires tõestada;
• oskab esitada matemaatiliste sümbolite keeles väljendatud teksti tavakeeles;
• oskab matemaatiliselt kirjeldada ülesannetes esitatud situatsioone ja probleeme ning neid
lahendada;
• oskab prognoosida ja analüüsida lahendustulemusi;
• oskab kasutada matemaatilisi teadmisi teiste õppeainete ja igapäevaelu probleemide
lahendamisel.
Soovitusi matemaatika riigieksamiks valmistumiseks
Hea ettevalmistus matemaatika riigieksamiks omandatakse pikaajalise ja pideva iseseisva töö
tulemusena. Eksamiks vajalikke teadmisi ja oskusi ei ole võimalik omandada ühe päeva või
nädalaga.
Vaja on selgeks õppida põhimõisted ning aru saada teoreemidest, valemitest ja meetoditest.
Teoreemid, valemid ja lahendusmeetodid jäävad meelde seda paremini, mida rohkem nende
kohta ülesandeid lahendada.
Matemaatika ideed kinnistuvad paremini, kui püüate neid võimaluse korral kellelegi (näiteks
kaasõpilas(t)ele) oma sõnadega selgitada.
2

Matemaatika riigieksami ülesanded 18.05.2007. a
I variant
Lahendada tuleb 6 ülesannet.
I osa
1. ( 5 punkti) Antud on avaldis
x
1+
5x
⋅
, kus ≠ 0
− 2
2 0
( 25x
− x )
x ja
1
x ≠ ± .
5
1) Lihtsustage see avaldis. 3 punkti
3
2
2) Arvutage avaldise väärtus, kui x = 2 . Vastus andke täpsusega 10 −2
.
2 punkti
2. (5 punkti) Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist
1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 1 punkt
2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised. 4 punkti
3. (10 punkti) Antud on funktsioon y = x
3 − 5x
2 + 3x
+ 7 .
1) Leidke funktsiooni kahanemis- ja kasvamisvahemikud. 6 punkti
2) Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul [ − 2;4]
. 4 punkti
4. (10 punkti) Antud on funktsioon y = 2sin
x lõigul [ 0;2π ].
1) Leidke funktsiooni nullkohad ja muutumispiirkond.
2) Joonestage funktsiooni graafik.
3) Kasutades saadud graafikut, leidke
a) funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond;
b) argumendi x väärtused, mille korral y < −1.
5. (10 punkti) Tiik on täisnurkse trapetsi kujuline. Trapetsi alusteks olevate
kallaste pikkused on a ja b (a > b) ning nendega ristuva kalda pikkus on c,
vt joonist. Trapetsi diagonaalide lõikepunktis paikneb purskkaev.
1) Leidke purskkaevu kaugus tiigi kaldast pikkusega a.
2) Arvutage see kaugus, kui a = 60 m, b = 40 m ja c = 30 m.
c
b
6. (10 punkti) Külmas toas, kus temperatuur oli 0 ° C, lülitati sisse radiaator ning toa temperatuur hakkas
tõusma. Esimese tunniga tõusis temperatuur 5 kraadini. Alates teisest tunnist oli iga tunni ja sellele
vahetult eelneva tunni jooksul toimunud temperatuurimuutuste jagatis jääv suurus q. Kolmanda tunni
lõpuks oli toas 10 kraadi sooja.
1) Arvutage konstant q.
3

2) Kui soojaks läheb see tuba tundide arvu tõkestamatul kasvamisel?
II osa
Lahendada tuleb ülesanded 7, 8 ning veel kas 9. või 10. ülesanne.
Hinnatakse ainult kolme (kahe 15-punktilise ja ühe 20-punktilise) ülesande lahendusi.
7. (15 punkti) Võrdhaarse trapetsi ABCD alused on paralleelsed y-teljega ja x-telg on trapetsi
sümmeetriateljeks. Antud on tipp A ( 1,5; −5,5)
ning vektor AD = (3,2;2,4)
.
Tehke joonis.
Leidke
4 punkti
1) trapetsi pindala; 4 punkti
2) trapetsi alusnurk; 3 punkti
3) selle sirge võrrand, millel paikneb haar AD; 2 punkti
4) haarade pikenduste lõikepunkt. 2 punkti
8. (15 punkti) On antud joon y = x ln x + 2x
.
1) Leidke sellel joonel punkt P ( x;
y)
, mille koordinaatide summa on vähim. 8 punkti
2) Leidke arv a, mille korral sirge y = ax − 2 on antud joone puutujaks. Arvutage
7 punkti
vastava puutepunkti koordinaadid.
3 2
9. (20 punkti) Kuupfunktsiooni y = ax + bx + cx + 1 kohta on teada, et tema graafiku puutujate seas on
1
ainult üks selline puutuja, mille tõus on 4, ja selle puutepunkti abstsiss on x = − . Veel on teada, et
3
sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x = −1.
Määrake kordajad a,
b ja c .
10. (20 punkti) Koonuse põhjal on neli ühesuurust kera, millest igaüks puutub ülejäänud keradest kahte.
Nendel keradel asetseb viies niisama suur kera, vt joonist. Iga kera puutub koonuse külgpinda. Leidke
kaugus viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike tipunurga suurus, kui
kerade raadius on r.
4

2
x
1
Vastused.1. 1) , 2) 0,61. 2. 1) 0,375, 2) 0,125. 3. 1) Kasvamisvahemikud ( − ∞; ) ja (3; ∞ ),
5x −1
3
1
kahanemisvahemik ( ; 3)
, 2) lõigul [ − 2; 4]
on funktsiooni vähim väärtus − 27 .
3
+
−
7π
11π
4. 1) x0 ∈{ 0; π ;2π
},
y ∈[ − 2, 2]
, 3) a) X = ( 0 ; π ),
X = ( π;
2π
), b) x ∈(
; ) .
6 6
ac
−1+
5
5. 1) , 2) 18m. 6. 1) q = ≈ 618
a + b
2
0, 5( 3 + 5) o
, 2) ≈ 13,1 (13º).
2
4 ⎛ 53 ⎞
7. 1) 27,52; 2) α = arctan ≈ 53°08′; 3) 3x – 4y – 26,5 = 0; L ⎜ ;0⎟ .
3 ⎝ 6 ⎠
−4
−4
P e ; −2e
; 2) = 3 + ln 2
M 2 ; 4 + 2 ln 2 .
8. 1) ( )
a . 10. r (2+ 2), 90°
.
9. = b=− 3 , c = 3
a , puutepunkti koordinaadid on ( )
Eksami I osa
2007. a matemaatika riigieksami tulemused ülesannete kaupa
Tabel 1
1. ül. 2. ül. 3. ül. 4. ül. 5. ül. 6. ül.
Keskmine tulemus 4,17 4,10 7,11 6,51 4,39 2,54
Standardhälve 1,11 1,47 2,67 3,32 2,15 2,25
Minimaalne tulemus 0 0 0 0 0 0
Maksimaalne tulemus 5 5 10 10 10 10
Tabelist on näha, et enim valmistasid raskusi 5. ja 6. ülesanne. Lihtsad olid 1., 2. ja 3.
ülesanne.
Eksami II osa
Tabel 2
7. ül. 8. ül. 9. ül. 10. ül.
Keskmine tulemus 10,99 4,02 4,53 6,61
Standardhälve 4,35 4,43 4,28 5,84
Minimaalne tulemus 0 0 0 0
Maksimaalne tulemus 15 15 20 20
Ülesanded 9. ja 10.on valikülesanded.Ülekaalukalt eelistati neist lahendamiseks 9. ülesannet .
Tabelis 3 on esitatud kohustuslike ülesannete korrelatsioon.
Tabel 3
1. ül. 2. ül. 3. ül. 4. ül. 5. ül. 6. ül. 7. ül. 8. ül. Tulemus
1. ül. 1 0,36 0,42 0,45 0,30 0,31 0,48 0,35 0,57
2. ül. 0,36 1 0,41 0,41 0,25 0,30 0,42 0,31 0,53
3. ül. 0,42 0,41 1 0,55 0,32 0,38 0,51 0,46 0,69
4. ül. 0,45 0,41 0,55 1 0,36 0,45 0,59 0,51 0,77
5. ül. 0,30 0,25 0,32 0,36 1 0,36 0,37 0,46 0,6
6. ül. 0,31 0,30 0,38 0,45 0,36 1 0,42 0,47 0,65
5

7. ül. 0,48 0,42 0,51 0,59 0,37 0,42 1 0,46 0,77
8. ül. 0,35 0,31 0,46 0,51 0,46 0,47 0,46 1 0,77
Tulemus 0,57 0,53 0,69 0,77 0,6 0,65 0,77 0,77 1
Järgmises tabelis on esitatud eksamitöö esimese ja teise osa korrelatsioon.
Tabel 4
I osa II osa Tulemus
I osa 1 0,77 0,93
II osa 0,77 1 0,95
Tulemus 0,93 0,95 1
Eksamitöö esimese osa üksikülesannete analüüsist järeldub, et eksaminandid oskavad hästi
lahendada ülesandeid, mille lahendusalgoritm on tuttav (algebraliste avaldiste lihtsustamine,
funktsioonide uurimine, teavad klassikalist tõenäosust). Probleeme tekitavad tavatu sõnastusega
ülesanded ning rakendusoskuse tasemega ülesanded (näiteks ülesanne 5. või ülesanne 6.). Töö
teise osa ülesannetes oli suurem rõhk rakendustasemega ülesannetel. Probleemsemeteks
osutusid ülesanne 8 ja valikülesanded 9. ja 10.
Ülesannete lõikes enim esinenud eksimused
Järgnev põhineb 331 riigieksamitööst koosneva valimi analüüsija tähelepanekutel.
Analüüsitavatest töödest 1/3 esindas töid tulemusega 20-40 punkti, teine kolmandik oli
keskmise punktisummaga tööd ja ülejäänud valim esindas töid tulemusega 90-100 punkti.
Kuna eksamivariandid teineteisest põhimõtteliselt ei erinenud, siis esinesid vastavate
ülesannete lahendamisel samatüübilised vead. Et II variandi ülesanded on
põhimõtteliselt samad, siis järgnevas esitatakse ülesande tutvustuseks I variandi vastav
ülesanne ning tuuakse välja põhilised eksimused.
1+
5x
Ülesanne 1. Antud on avaldis
, kus x ≠ 0 ja
− 2 2 0
x ⋅ (25x
− x )
2
1
x ≠ ± . Lihtsustage see
5
3
2
avaldis. Arvutage avaldise väärtus, kus x = 2 . Vastus andke täpsusega 10 − .
Eksaminandide vead: astendamisel ei arvestata negatiivse astendajaga; lihtsustamisel ei teata
silmas tehete järjekorda; sulgude avamisel korrutatakse läbi ainult sulgavaldise esimene liige;
taandatakse summast/vahest liikmeid; aste 0 annab vastuseks 0; eksitakse täpsuse määramisel;
lubamatult palju arvutusvigasid.
Ülesanne 2. Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist juhuslikult võetud
kuul on roheline; juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised.
Eksaminandide vead: ei osata oma tulemust kriitiliselt hinnata (nt leitud tõenäosus on suurem
kui 1); ülesande teises pooles ei osata arvestada kahe kuuli võtmisega.
Ülesanne 3. Antud on funktsioon y = x
3 − 5x
2 + 3x
+ 7 . Leidke funktsiooni kahanemisja
kasvamisvahemikud. Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul [ − 2;4]
.
6

Eksaminandide vead: kasvamis- ja kahanemisvahemike määratakse valesti; eksitakse
ruutvõrrandi lahendamisel; vastuseks esitatakse ekstreemumkohad, ei kontrollita funktsiooni
väärtust lõigu otspunktides; vead tuletise arvutamisel.
Ülesanne 4. Antud on funktsioon y 2sin
x 0 ;2π . Leidke funktsiooni
nullkohad ja muutumispiirkond. Joonestage funktsiooni graafik. Kasutades saadud
graafikut, leidke funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond; argumendi x väärtused,
mille korral y < −1.
= lõigul [ ]
Eksaminandide vead: ei osata leida trigonomeetriliste funktsioonide nullkohti ega
määramispiirkonda; vaadeldakse väärtusi väljaspool lõiku; joonestatakse siinusfunktsiooni
graafik; kordajat 2 kasutatakse argumendi kordajana; muutumispiirkonna asemel esitatakse
määramispiirkond; muutumispiirkonda proovitakse esitada kasvamis- ja kahanemispiirkonna
kaudu, ent sobivat vastust neist kahest piirkonnast ei osata leida; esitatakse üks argumendi x
väärtus.
Ülesanne 5. Tiik on täisnurkse trapetsi kujuline. Trapetsi alusteks olevate kallaste pikkused on
a ja b ( a > b ) ning nendega ristuva kalda pikkus on c. Trapetsi diagonaalide lõikepunktis
paikneb purskkaev. Leidke purskkaevu kaugus tiigi kaldast pikkusega a. Arvutage see kaugus,
kui a = 60 m, b = 40 m ja c = 30 m.
Eksaminandide vead: trapetsi diagonaal loetakse nurgapoolitajaks; ülesannet lihtsustakse;
kauguseks esitatakse pool küljest c; ülesanne lahendatakse ainult konkreetsete külgede korral.
Ülesanne 6. Külmas toas, kus temperatuur oli 0 ◦ C, lülitati sisse radiator ning toa temperatuur
hakkas tõusma. Esimese tunniga tõusis temperatuur 5 kraadini. Alates teisest tunnist oli iga
tunni ja sellele vahetult eelneva tunni jooksul toimunud temperatuurimuutuste jagatis java
suurus q. Kolmanda tunni lõpuks oli toas 10 kraadi sooja. Arvutage konstant q. Kui soojaks
läheb see tuba tundide arvu tõkestamatul kasvamisel?
Eksaminandide vead: Ei tuntud ära geomeetrilist jada, ülesannet lahendati aritmeetilise jada
abil; lahendatakse temperatuuride jadana; tulemust ei hinnata kriitiliselt (nt tuba läheb lõpmatult
soojaks); hääbuva geomeetrilise jada summa leidmisel ei kasutata piirprotsessi.
Ülesanne 7. Võrdhaarse trapetsi ABCD alused on paralleelsed y-teljega ja x-telg on trapetsi
sümmeetriateljeks. Antud on tipp A(1,5; -5,5) ning vector AD=(3,2; 2,4). Tehke joonis. Leidke
trapetsi pindala; trapetsi alusnurk; selle sirge võrrand, millel paikneb haar AD; haarade
pikenduste lõikepunkt.
Eksaminandide vead: ei saada aru mõistetest ‘paralleelne’ ja ‘sümmeetriatelg’; loetakse
andmeid valesti (lahendatakse kolmemõõtmelises ruumis); eksitakse punkti D leidmisel; trapetsi
pindala valem vigane (kesklõigu asemel kasutatakse poolt aluste korrutisest); ei osata leida sirge
võrrandit; vajalikke andmeid loetakse jooniselt ligikaudu; võrdhaarse trapetsi asemel
joonestatakse täisnurkne trapets; haarade pikenduste lõikepunkti koordinaadid leitakse jooniselt,
mitte ei lahendatud võrrandisüsteemi.
Ülesanne 8. On antud joon y = x ln x + 2x
. Leidke sellel joonel punkt P ( x;
y)
, mille
koordinaatide summa on vähim. Leidke arv a, mille korral sirge y = ax − 2 on antud joone
puutujaks. Arvutage vastava puutepunkti koordinaadid.
Eksaminandide vead: ei osata leida funktsiooni f(x,y)=x+y; tuletis võeti antud funktsioonist y;
lubamatud eksimused tuletise arvutamisel (korrutise tuletis!); puutujas oleva kordaja a
määramisel kasutatakse ülesande esimeses osas leitud summa tuletist.
7

3 2
Ülesanne 9. Kuupfunktsiooni y = ax + bx + cx + 1kohta on teada, et tema graafiku
puutujate seas on ainult üks selline puutuja, mille tõus on 4, ja selle puutepunkti
1
abstsiss on x = − . Veel on teada, et sellel kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal
3
x = −1. Määrake kordajad a, b ja c.
Eksaminandide eksimused: moodustatakse võrrandisüsteem, kus on kolm tundmatut, ent 2
võrrandit; arvutusvead.
Ülesanne 10. Koonuse põhjal on neli ühesuurust kera, millest igaüks puutub ülejäänud keradest
kahte. Nendle keradel asetseb viies niisama suur kera. Iga kera puutub koonuse külgpinda.
Leidke kaugus viienda kera kõige kõrgemast punktist koonuse põhjani ja koonuse telglõike
tipunurga suurus, kui kerade raadius on r.
Eksaminandide eksimused: aetakse segi mõisted ‘prisma’ ja ‘püramiid’; alumise kihi kerad
puutuvad kolme kera; kauguse leidmisel ei liideta juurde 2r; tipunurga leidmisel kasutatakse
valet trigonomeetrilist funktsiooni.
Hinnang õpilaste loogiliste järelduste tegemise, funktsionaalse lugemisoskuse,
võrdlemis- ja seostamisoskuse kohta
Tutvutud eksamitööde valimi ja keskmise eksamitulemuse põhjal saab väita, et eksaminandide
matemaatikaalased teadmised on keskmisel tasemel. Eksami sooritajad eksivad arvutamisel,
neile valmistab raskust algebraliste avaldiste teisendamine. Raskusi valmistab rakenduslike
ülesannete ja tavapärasest erineva sõnastusega ülesannete lahendamine. Ülesannete lahenduste
vormistus on puudulik (eksaminandid kommenteerivad liigselt oma lahendusi). Aasta-aastalt
nõrgeneb eksaminandide funktsionaalne lugemisoskus.
JÄRELDUSED
1. Matemaatika 2007. aasta riigieksamitöö vastas riiklikule õppekavale, kontrollides
ainealaste pädevuste olemasolu. Ülesanded vastasid kontrollitavatele õpitulemustele.
Eksamitöö esimene osa kontrollis kõikide, välja arvatud stereomeetria, kursuste
omandatust. Teises osas olid välja jäetud tõenäosusteooria ja statistika kursus.
2. Naissoost õpilaste tulemused on keskmiselt kõrgemad meessoost õpilaste omadest.
Selline erinevus neidude ja noormeeste teadmiste vahel on esinenud igal eksamiaastal.
3. Teeninduspiirkonnata koolide õpilaste keskmine tulemus on kõrgem teiste koolide
keskmisest tulemusest.
4. Eksaminandide matemaatikaalased teadmised on keskmisel tasemel. Probleeme on
nende ülesannete, kus on vaja erinevate valdkondade teadmisi rakendada,
lahendamisel. Matemaatika riigieksamil valitakse rohkem ja lahendatakse paremini
ülesandeid, millel on väljakujunenud lahendusalgoritm.
5. Kevadise riigieksami tulemuste põhjal võib öelda, et valdav enamus gümnaasiumi
lõpetajatest saavutab gümnaasiumi lõpuks matemaatika riiklikus õppekavas ette
nähtud taseme.
8