Mean Value Integral Equations and the Helmholtz Equation

Á
'
ä
1
"
¡£¤§10,2$¤§(,34¢'¤§¦
56879:;)?;A@CBEDF9;)G-68MON?;9;)IKL;)IKJ8L
. '‚ƒ1„u…
‚ˆ‡T‰T‚lƒ„„ †
'
ä
1
Ú
Þ
Ü
Ú)ß àÚ)Û Ü8Ü Šâá›ã¥äKåæ
'
ä
1
Ü
¤
Ý
Ú
Ú
ò!Ó?öˆÔ8ÐCêÿ¢Aê8ÐCóCÐCØÔwö×øì8Ï\Ö é ÐCõ˜Ï\Ö é
¤
ACB@D!EFHGJI9FKIMLGJNKDPO@L+FQFSR!T8TVUGJWKI9XZY![L.\]L5WSR8GJL^`_£NCEICaN9I9FbLaXZc6aedEfaeI9IJGKEfaedZgQI9FKI9LGJNhD*i@UR8aNCEf^jUkji@LaL+X!L.l6U+FKWSmon]U£N9WKUGJL^
¥
å
Ý
Ú
4
Ü
¡£¢¥¤§¦©¨¤§¢¦¢¥§¤§¤§§¦ !¤§¦"#$¢%&¢')(*$§+,¤§-§¦/.
.
DPJQDP9L;)68:SRT>-IVUH68:)LIK;XWYZ9\Y^]>?;)9H:)IK@Y_§`aT`b5c`dYe'fN=gh
?;):68M˜9; ƒ˜ —š1Y›9H>M † :)687:68L)6w>^;L4e\68–168Lœ~6P-œ;G6
•
• 6EŸ>Md;G9;';)G6§L)79HJ86§@CBJ8@>?;IV>?~@H~L\Bl~>J8;IV@H>L L9;IVL BW?IK>œA;)GIKL'68€?~9;IV@H> ‚ IK>d;G6uJ89HL)6§¡ … .£¢¥¤ „
L)7168J8;:)9H[L)W?>?;)G6wL)IKL8Y
o
IKLAJ¦G9:9J8;68:)IK§868M¨IV>P;68:)L§@CBu;)G6SZ68[K
© r=«­¬®tw¯›s\°C±z£vzC²lytQt8³ˆ´µzCyvQ³1·˜kµ¸¹º ¤H¤ o
©ªª
»=±?¼½&1x¾›t£{À¿X>?UC9:IK9>?;uL)~-–L)79HJ868LwY L)7168J8;:)9[¥LW^>?;G68L)IKLwYZT6w[V\Y?4UC9H[K~6T;G68@:68

Ù
Ú
Û
Ü
Ý
Ú
Ü
Ý
Ý
4
K
Ò\Ø\óCÔ8Õ×ÖØ\ìdÖ ÖØ\Ðqô?Ó?ê8ÕÓâî\ö×Ðò ¡ ónÏ é Ó?ê8Ô7Nÿ(O¢µõ\Õˆì8óCÖ?ôÐCê8ÐCõñÔ8Ï\Ð Öö×ö×Ö é ÕˆØ\ï4ê8ÐCì8Ò\öˆÔ Ú Ü
¤
Ú
¥
Ü
D
¤
Ø
Ò\Ø\óCÔ8Õ×Ö-Ø
ÓâóCÐCì é Ó?ìTÔ8ÖPÕ×Ø\óCöˆÒ\õ\Ðqê8ÖÔnÓ?ÔwÕ×ÖØ\ìò?Ô8Ï1Ò\ì Ö-êbÔwÏ\ÐÔ é Ö?ù)õ\Õ×ðñÐCØ\ì8Õ×ÖØ Óâö
ì8ë'ÐCóCÔ8ênÓ?ö¥ì8ø1ØÔwÏ\ÐCì8Õ×ìSÔ8Ö4Ö-Ô8Ï\ÐCê."AÒ\óCö×Õ×õ\ÐÓâØúì8ë
é ÐqÏ ÓHôÐ óÓ?ì8Ðò
Ú
¥
%
Ü
Ú
¥
Ü
Ú
¥
Ü
EHFI
å
Ú
¥
Ü
q
Ú
¥
Ý
Ý
Ü
Ú
å
Ú
s
Ü
Ý
¢
Ü
Ú
¥
Ú
¥
Ü
Ž
¤
Ü
Ž
Ú
¥
Ü
Ý
Ý
Ú
¥
Ú
Ü
Ú
¥
Ü
Ú Ü
¢
Ü
q
¤
4
Ú Ü
ò\Ó?Ô
ØÔ8Ï\Õˆìdë Ó?ë ÐCêHò
é Õ×ì8ÏžÔ8Ö¨ì8Ï\Ö é Ï\Ö é Ô8ÖOïÐCØ\ÐCêQÓ?Ô8Ð4Ó?ö×öÄÔ8Ï\ÐqóCÖØ1Ô8Õ×Ø1Ò\ÖÒ\ìdì8ÖöˆÒ\Ô8Õ×ÖØ\ì Öê."AÑ1Ò Ó?Ô8ÕˆÖØ
ö×ÐÓ?ìwÔÕ×ؘÔ8Ï\ÐPóÓ?ìwÐCìZ
Ó?Ø\õ
ÐPì8Ï Ó?ö×ö§Ò\ì8ÐPÔ8Ï\ÐPðñÐCÔ8Ï\ÖõÖ ìwë ÐCóCÔ8ênÓâöµì8ø1Ø1Ô8Ï\ÐCì8Õ×ì
¡ ÐCóCÔ8ÕˆÖØ#4\ò
¤
Ô8Ï\Ð=ì8ë ÐCóCÔ8êQÓ?öuì8ø1ØÔwÏ\ÐCì8Õ×ìdðñÐCÔ8Ï\Ö1õžÕ×ìdÐQ÷\ë\öÓ?Õ×Ø\ÐCõ˜Ó?Ø\õÔ8Ï\ÐqêwÐCì8Ò\ö×Ô8ì é Ï\Õ×ónÏ é Õ×ö×ö¥î'ÐÒ\ìwÐCõì8Ï Ó?öˆöuî Ð=Õ×ØÔwê8Öõ\Ò\óCÐCõ
¡ ÐCóCÔ8Õ×Ö-Ø£¢PóCÖØ\ì8Õ×õ\ÐCêwìdÔ8Ï\ÐqóÓ?ì8Ð
ò é Ï\Õ×öˆÐqì8ÐCóCÔ8Õ×ÖØ¥¤Oõ\ÐCÔnÓâÕ×ö×ìSÔ8Ï\Ð4Ô é Ö?ù)õ\Õ×ðñÐCØ\ì8Õ×Ö-Ø Ó?ö\óÓ?ì8Ð
¦ §©¨SËcÅEƧOà ÅÄÌ
í¥ÐCÔ](
¥
õ\ÐCØ\ÖÔwÐTÔ8Ï\Ðì8ë Ó?óCÐTÖ óCÖØÔwÕ×ØÒ\Ö-Ò\ì Ò\Ø\óCÔwÕ×ÖØ\ì§ÖØ*¥ é Õ×Ô8Ï=Ô8Ï\ÐTÔwÖë ÖöˆÖïø Ö Ò\Ø\Õ Öêwð
óCÖØ1ôÐCê8ï-ÐCØ\óCÐ
Ö Q Ò\Ø\óCÔ8Õ×Ö-Ø\ìdÖØžóCÖðñë Ó?óCÔTìwÐCÔ8ìò\Ó?Ø\õ£
ÔwÏ\Ðqì8ë Ó?óCÐqÖ Õ×Ør§ Ø\Õ×Ô8ÐCöˆøOõ\ÕuÐCê8ÐCØ1Ô8ÕÓ?î\ö×Ð Ò\Ø\óCÔ8ÕˆÖØ\ìdÖØ&¥ é Õ×ÔwÏ
Ô8Ï\ÐdÔwÖë ÖöˆÖïø4Ö Ò\Ø\Õ ÖêwðÀóCÖØ1ôÐCê8ïÐCØ\óCÐ Ö Ò\Ø\óCÔ8ÕˆÖØ\ìdÓ?Ø\õOÔ8Ï\ÐCÕ×êõ\ÐCê8Õ×ô?Ó?Ô8Õ×ôÐCìAÖ-ØúóCÖðñë Ó?óCÔAì8ÐCÔwì
¤]=
(ÀÕ×ìdìQÓ?Õ×õñÔ8ÖOî ÐPÓ"!$#&%('*)+#*,-/.0%2143657!8#*)93:)9;@A)9B?;(
Î Ï\Ð Ööˆö×Ö é Õ×Ø\ï4ÔwÏ\ÐCÖê8ÐCðñì Óâê8Ðqë\ê8Ö?ôÐCØñÕ×ØM–SÏ ÓâðOî ÐCê8ölÓ?Ø\õúÓ?Ø\õ
öÓ?õ é ÐCö×öÿ(¢+¢
Ú)Û ÜÝ
P©QRASUT*R$VXW+YH—˜ˆ 3?;Ši73.Ba%#*b63Fc‚;

Ž
Ž
-=;

%
Óô1Õ×Ø\ï
à
4
Ý
¤
à
Ý
¤
Ý
Ý
ò\Ï\ÐCØ\óCÐ=Õ D
Û
#4>©;

¤
¤
G
æ
Ù
¥
Ú Ü
O
¤
) ¥ ª
¤ ¦¨§Ú¦ ¡
¡£¢¥¤
¡£¢¥¤¡Ú)Û'Ü
Ú Ü
L
ܧ©¥ ¡
4
Öö×ø1Ø\ÖðñÕÓ?ö1Ö õ\ÐCïêwÐCÐ ÓÍÏ\ÖðñÖïÐCØ\ÐCÖÒ\ìë Ý ¦¤
Ô8Ï\ÐOÔ8ÐCê8ðñìò é ÐPì8ÐCÐPÔ8Ï Ó?Ô ª Öê8õ\ÐCêqÖ %ºì8Õ×Ø\ïžÔwÏ\Õ×ìÕˆØ\õ\Ò\óCÔ8Õ×ôÐCö×øò é Ð § Ø\õ˜Ô8Ï Ó?Ô ª Ù
¡
Ú Ü
O
ë\ê8ÐCô1Õ×ÖÒ\ìdìwÐCóCÔ8Õ×ÖØuò é ÐqØ\Ö é
=
J (
¤
Ý
ª ¡ÙOÝ*Ú
Ý
Ý
Ý
Ù
Ú
L
Ý
,
¤
ª
Ú
)
)
Ù
¤
ÙúÝ
¥
Ú
Ý
Ú
Ú
,
Ü
,
Ü¡ÙuÚ)Û
Ü
Û
Û
)
¡¢¤
¤
Ú
å
Ü
/
7
Ú Ü
O
¦¨§Ú¦ ¤ 4
¤
4
4
¡
ܧ7
å Ü
7
Ú Ü
O
E CI
¤
/
¢
Ý
å
¤
¤
Ù
Ü
Ú
Ú
Ü
Ü
ò
ò
ÚXçÜ8è-çAÝ
Š á¥ã¥ä
4 ¥
¤=
é Ï\ÐCê8ÐL J ¥
ÎSÏ\Õ×ì Õ×ìqÓOïÐCØ\ÐCêQÓ?ö×ÕHNÓ?ÔwÕ×ÖØñÖ Ô8Ï\ÐPðúÐÓâØ1ù)ô^Ó?ö×Ò\Ð Ö-ê8ðOÒ\öÓ ÖêÏ Óâê8ðúÖ-Ø\Õ×ó Ò\Ø\óCÔ8Õ×Ö-Ø\ì
ïÓâÕ×Øuò
ö×ÐCÔ„Š õ\ÐCØ\ÖÔ8ОÔ8Ï\Ðñì8ë Ó?óCÐžÖ óCÖØ1Ô8Õ×Ø1Ò\ÖÒ\ì Ò\Ø\óCÔ8Õ×ÖØ\ìPìnÓ?ÔwÕ×ì øÕ×Ø\ï "cÑÒ Ó?ÔwÕ×ÖØ
ÎSÏ\Оìwë Ó?óCУŠ£Õ×ì¨óCö×ÐÓ?ê8ö×ø
Ô8ênÓâØ\ì8öÓ?Ô8ÕˆÖØ1ù)Õ×Ø1ô^Ó?ê8ÕlÓ?ØÔHò8ê8ÖÔQÓ?Ô8Õ×ÖØ1ù)ÕˆØô?Ó?ê8ÕÓ?Ø1Ô Ó?Ø\õqóCö×Ö-ì8ÐCõqÕ×ØqÔ8Ï\ÐAÒ\ì8Ò ÓâöÔ8Öë'Öö×Öïø
ÙOÝ
ÙuÚ)Û Ü
ûºÖ é
é ÐAì8ÐCÐCü Öê¥ë'Öö×ø1Ø\ÖðúÕlÓ?öKù
ÐQ÷\ë ÖØ\ÐCØ1Ô8ÕÓ?ö Ò\Ø\óCÔ8ÕˆÖØ\ìdìnÓ?ÔwÕ×ì øÕ×Ø\ï0"AÑ1Ò Ó?Ô8Õ×Ö-Ø
¤@=
rAÕˆê8ì8Ô é ÐTØ\Ö-Ô8ÐTÔ8Ï ÓâÔ Ó?Ø1øqë Ö-ö×øØ\Ö-ðúÕÓâö×ì¥ìnÓ?Ô8Õ×ì ø1Õ×Ø\ï"cÑÒ Ó?ÔwÕ×ÖØ
ðOÒ\ì8ÔÄî ÐSÏ Ó?ê8ðñÖØ\Õ×ó
ì8ì8Ò\ðñÐ
Õ×ìÓFØ\ÖØ\ö×Õ×Ø\ÐÓ?êSë'Öö×Ø\ÖðñÕÓ?ö
ê8Õ×ÔwÐ
Ó?ì
ÙEÚÛ ÜTÝ
%ºì8Õ×Ø\ïPÔ8Ï\Ð ÕHN6NCÐCÔ8ÔwÕ ÖêwðOÒ\öÓ\òÓ?Ø\õñóCÖðñë Ó?ê8Õ×Ø\ïqÔwÏ\Ð
é Ï\ÐCê8Ð
¡
Öê Óâö×ö ¦ò
ÙEÚÛ ÜAÝ
Ý*Ú
Õˆì
Ï\ÐCØ\óCÐ
Õ×ìSÏ Ó?ê8ðñÖØ\Õ×ó
óCÖØ\ì8Õ×õ\ÐCêØ\ÖØ1ù)Ô8ê8ÕˆôÕÓâöë\Ò\ê8ÐdÐQ÷\ë ÖØ\ÐCØ1Ô8ÕÓâö×ì
í¥ÐCÔ8Ô8ÕˆØ\ï
ò é Õ×Ô8Ï $
$ >/ $
J (
íEÐCÔAÒ\ìTØ\Ö é
é ÐqÏ ÓHôÐ
/
é Ï\ÐCê8Ð
‹¤ $
ò\Ô8Ï\ÐCØ
¤
Ý
$
Õ×ìSÏ Ó?ê8ðñÖØ\Õ×óò-ì8Ö é Ð4Ó?ì8ì8Ò\ðñÐÔwÏ Ó?Ô
%ºì8Õ×Ø\ï "AÑ1Ò Ó?Ô8Õ×Ö-Ø
é Ч Ø\õÔ8Ï ÓâÔ
ÙuÚXç¦Ü8èç
Š?á ã äVåæ
ܧ ©¥
4 ¥
¤ Ü ¦¨§Ú¦
ܧ©
¥
¡£¢¥¤
ª ¡ÙuÚ)Û Ü
¡
4 ¥
¦¨§Ú¦ ¤
ÙuÚ)Û'Ü
4 ¥
ì8ÐCÐOÿ ò Ö-ê8ðOÒ\öÓ.
¢
¤ ¤
ÐCì8ì8ÐCö Ò\Ø\óCÔ8Õ×ÖØÖ ÔwÏ\ÐZ§ ê8ì8Ô ü1Õ×Ø\õÖ Öê8õ\ÐCê ÖØ\Ð
ÎSÏ\ÕˆìdÕ×ðñë\ö×Õ×ÐCìSÔ8Ï Ó?Ô
ìnÓ?ÔwÕ×ì9§ ÐCì"cÑÒ Ó?ÔwÕ×ÖØ
¡£¢¥¤
é Ï\ÐCê8Ð
Õ×ì Ó
Õ Ó?Ø\õžÖØ\öˆøúÕ
¥
Ú ¥
Ú)Û'Ü
4 ÖêdÓ?öˆö\Ø\ÖØ1ùkNCÐCê8ÖPê8ÐÓ?ö
ò-Ô8Ï\Ð Õ×ðÊÓâïÕ×Ø Ó?ê8øqë Óâê8ÔTÖ
Õ×ìSØ\ÖØ1ùkNCÐCê8Ö
ìSÕ×ØúÔwÏ\Ð
ûºÖÔ8ÐdÔ8Ï ÓâÔbìwÕ×Ø\óCÐ :
¤]=
óCÖØ\ì8Õ×õ\ÐCê Ò\Ø\óCÔ8ÕˆÖØ\ìdÖ Ô8Ï\Ð Öê8ð
4
ÙúÝ
K
fE CI
ÔwÏ Ó?Ô
¤
é Ï\ÐCê8Ð
Ø\Ð=ðÊÓHøOÐÓ?ìwÕ×ö×øOì8Ï\Ö é
Ü¡
¤ 4¦
K $ Eo *I
Ù
¢ é ÐqÏ ÓHôÐ
¤ ¤
r êwÖð
î\ênÓâî Ö é Õ×Ô7N4ÓâØ\õ ¡ Ô8ÐCïÒ\Øuÿ ò ÖêwðOÒ\öÓ.
ÜAÝ
,ƒLo ¤
L 4
Ü¡

Ý
¥
Ý
Ü
q
Ý
Ý
Ý
Ý
Ý
Ú ¥
4 ¥
¥
¡¢¥¤ Ú
¥
Ú
Ü
4 ¥
¤
)
)
Ú
,
Ü¡
Ü
Ü
4 ¥
Ý ¤
¢
ª
Ù
©¥
4 ܧ
¤
Ú
, 4¦
K $ Eo *I ¤
¤ ©¥
ܧ 4 ¦¨§Ú¦
Ù
å
¥
K $ Eo *I ¤ ¤
¤ 4 ¥
K $ Eo CI
¤
ÙúÝ
)
¤ å Ú ¥
¦¨§Ú¦ ¡¢¥¤
Ü
Ú
,
Ü
Ü¡
©¥
4 ܧ¦
¥¤aSÆ‹ºÃËpƒ £
qHY!GJLUO@EW.LaX q¦_WKIMdR!a6IMXEWKUGJF9q ¢¢!¥"$#%¨&('*)¥%,+.- /0(12-¢%3+3(4Cqn]U¢55ICG l R!Y!^fEN9L+WSEUaVF*76 aN+q8¦\]IMO
¦¨§©
q}eL^N* La¦q I9Lak5L^fReIMF]LaXZX£E\~VICGJICa!WSEL^@I*s+RL+WSEUaeF9qH4 K'*/G#%¨&(G8 §JVcSPP;¢UPZT= §J;