15.11.2012 Views

primjena tenzora i levi-civita konekcija u ... - PMF - Univerzitet u Tuzli

primjena tenzora i levi-civita konekcija u ... - PMF - Univerzitet u Tuzli

primjena tenzora i levi-civita konekcija u ... - PMF - Univerzitet u Tuzli

SHOW MORE
SHOW LESS

Create successful ePaper yourself

Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.

�� ����������� � �����<br />

�������������������� ��������<br />

������ ����������<br />

���� ��������<br />

��������� ���<br />

�������� ������� � ����������� ��������� �<br />

��������������� ����������<br />

������ ���� ����� ������


������ ����� ��� ���� ����� ������ ������<br />

��� ���� �� ������<br />

����� ���� ���������� �����


������<br />

���� ���� ���������� ���� �� �������� �� �� ��������� � ����������� ��������<br />

��� ��� � �� �������� ��������� � ��������������� �����������<br />

��������� ��� �� ������� �� ������ ����������<br />

���� ��������� ������ � �������� � ��������� ��������� ������������ ������<br />

����� � ���������� �� � ����������� �� ����������<br />

� ������ ��������� ����� �� � ��������� � ����� ����������� ������������� �<br />

����������������� ��������� ��� � � �������� ��������� ��������<br />

� ������ ��������� ����� ������� ������� �� ���� ����� ������� �������������<br />

� ��������������� ����������� ������� ���� ������������� �������� ��������<br />

���� ��������� � ��� �������������� ������ �������� �� �������� ������� ��<br />

����������� ����������<br />

� ����������� ��������� ������ �� ������ �� ���� ����� ������� �������<br />

������� � ���������� ���������� ���������


�������<br />

��� ���� �� ���� ���� ��� ���������� ������ �� �� ��� ���������� ���� �������<br />

��� ��� ����������� ���������� �� ���� �� ����� ������������ �� �����������<br />

���������<br />

���� ���� ��� ���������� ������ �������� �� ���� ���������<br />

��� ���� ������� �� ����� �������� ��� ������� �� ������������ ����������<br />

���������� �� �������� ��� ����� ���������� �� ��� ��������<br />

��� ������ ������� �� ����� ������ ��� ���� ������� ��������� ��� ���<br />

����������� ������� ��� ����� ��� ����� ������ �������<br />

�� ��� ����� ������� �� ���� �� ����������� �� ��� ��� �� ��� ��� �������<br />

�� ����������� ��������� ��� �� ��������� ������������ �������� ���������<br />

��������� ���� ���� � ������� ���� ������� ��������� �� ��� ����������� ����<br />

��������<br />

�� ��� ���� ������� �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ������� �� ������� ��������<br />

���������


�������<br />

� ���� �<br />

��� ������ � ������� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� ����������� ���������� � ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� ���������� � �������������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� ��������� �� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� ������������ �������� e�������� � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

� ��������� ������� �<br />

��� �������� � ���� �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� �������������� ������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� ������ ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �<br />

��� ������������ � ���������������� ������ ����� ���� � � � � � � � � �<br />

��� ������������ � ���������������� ������� ������ � ����� ���� � � � ��<br />

��� ������� �������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��<br />

� ��������� ������� ��<br />

��� ������������� ������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��<br />

��� ������������ ����� ������� � ������� � � � � � � � � � � � � � � � ��<br />

��� �������������������� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��<br />

��� ����������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��<br />

��� ������� ������� �������� ���������� ����������� ��������� � � ��<br />

� ������ ��<br />

���������� ��


� ����<br />

� ������ �� ���� �������� �������� ���� ���� �� ������� �� ������� � ����<br />

����� ��������� ���������� ������ ������ �������� ������������� �� ��������<br />

��� ������ �� �������� ������ ������ ��� ����� �����������<br />

��������� ����� �� ����������� ���������� ������� ����� ���� �� ����<br />

����� ���� �� �� ��������� ����� �� ����� ��������� ������ �� �����������<br />

��������� ������� ���� ���� ������� �� ����� �������� ������� � �����<br />

���������� ������ � ������� �� ������� ������ ����������� � �������� ������<br />

���������� ��������� ����� �� ����������� ���������� ���� �� ������� ����<br />

�������� � �� ���� �������� � ������� ������������� ��� �� ����� ����� �������<br />

�� ���� ��������� �� ������� �������� � �������������� ����������� ���������<br />

����� �� ����� ��������� �������� �� ����������� ��������� ��������� �����<br />

�� � ������ ������� ��������<br />

� ����������� ������ ������������ �������� ��� ������ �� ��������<br />

�� �������� � ����� ������ �������� ������� � ������� �� ����������� � � �����<br />

������ ���������� ������������� ������� ��� ����������� ������� � ������<br />

������� �������� � ��� ���������� �� ������ �������� �� �� ���� ��� �����<br />

������ ������ � ������ ���������� ������ ���� �� ���� �������������� ������������<br />

� ������ ����������������� �������� �� ����� ����������� ���������� ����<br />

����� ���������� ��������� ����� �������� ������� �� �� ���������� ��������������<br />

����� ��������� ������ �������� �� ����� ���������� ������������� ������ ��<br />

�������� ������� ������� � ������� ���� �� ���������� ������������ �������<br />

������ ���������� ������ ��� �������� �������� �� ���� ������ ��������� ����<br />

������� ��� �� ���� ��� �� ������� ������� � ������������ ������ �����������<br />

�� ������� ����������<br />

��� ������ � ������� ��������<br />

���� ��� ���� ��� �� ���� ��������� ������������ ������������ �� ���<br />

������� ������� ������ ������� � ������ ������ �� ��������� ������ ���� x1�<br />

x2� x3� �������� ��� ������� ������ �������� � ����� ����� ���� x 1 � x 2 �<br />

x 3 � ��� ������ � ������ ������� ��� xi� ������� x i � �� i = 1, 2, 3� ����� ��<br />

�� �� ��� ������ ���� �������������� � � ������� ������������ ����� �������<br />

�������� ���� ��� �� ���� i ������� ����������� �� � �� �� ���� ����� ������<br />

�� �������������� ���� �� n� ��� �� ���� ������������� n� ���� ����� ��������<br />

���� �� ������� ���� ������ �������� ���� �� ������ ����� ����� ��������<br />


������� ������ ������� ������ ���������� ���������� �������� ������ �����<br />

���� ��� ������ ������� ��������� ������ ����������� ��� ������� ���� ���<br />

������ i ����� ��� ����������� 1, 2, ..., n� ���� �� ������ ����� n ����������<br />

����� �������� ������� ������������� ��� ���� ������� ����� ���� � �����<br />

�� �������� ���� � ����� �� �������� ����� ��� �������� �� �� ���������<br />

������� � ������ ������� ��������� ��������� ������������ ������� ��� �������<br />

����� ������� �� ����� ������ ����������<br />

������ �������� �������� ����� ax+by +cz� �� ��� ������������ x, y, z�<br />

�� ����������� ������������� a, b, c� ������� ������������� x, y, z ������<br />

������ ���� x1� x2� x3� � ������� ������������ ����� ������� ���� a1, a2, a3�<br />

���� ���������� �������� �������� ����� ������ ������ � ������<br />

a1x 1 + a2x 2 + a3x 3 3�<br />

= aix i .<br />

����������� ���� ����� ����������� �� ��� ����� �������������� ����<br />

x i � y i � i = 1, 2, 3� � ������� ����� ���� � ������ ����� �������� �� �����<br />

������������ ����� ����� � �� ����� ������������ ������ ������ �������<br />

a11x 1 y 1 + a12x 1 y 2 + a13x 1 y 3 + a22x 2 y 1 + a22x 2 y 2 + a23x 2 y 3 +<br />

i=1<br />

+a31x 3 y 1 + a32x 3 y 2 + a33x 3 y 3 = � 3<br />

i=1<br />

� 3<br />

j=1 aijx i y j .<br />

���� ������ ��� � ��������� � ���� �� ����������� � ������ ��������� �������<br />

������ ����� ������� �������� ���� �� �������� �� ��� ������� ���� �� �������<br />

������ ����� ������� ������ ���� ���� �� �������� � �� ��� ������� ���� ���<br />

�� ��� ������� �� ���� �� ����� ���� � ����� ����� �� ���� ����� ���������<br />

������� ������� �������� � ������ ����� ����� ��� ���������� ������ ����<br />

������� ���� ����� ���� ����������� �� �� � ���� �������� ��������� �� ����<br />

3 k � ���� �� k ��� �������� � ������� k���� ���� ���� ����� ������ �����<br />

���������� �� � �� n ���� ������ ���� ��������� n k �<br />

����� ������ �������� a� ��� ������� ������� ������ �� ������ ������ �����<br />

��� ����������� ���������� � ���������<br />

������ ���� �� ���� ������ � ����� ����� ������ ������ ��� ������� �<br />

������ ��� ������ ����� ������ ��� ����� ��������������� ���� ��������� �<br />

� ������� �� ��� �������� ���� ���� ai jbk i �����<br />

�<br />

a i jb k i .<br />

i<br />


���������� ������� �� ���� ��� � ������� ��������� �������� �������� �� �������<br />

�� ���� ������� ���� �� � ����� ����� �� ���������� � ���� �� ���� ���������<br />

��� ���������� � �������������� �������<br />

��� � ����� ����� ���������� ������� �� ��� ������� �������� ������<br />

������������� ��� �������� �������� ��� ��� �� ������ aij = aji� �������<br />

a ij = a ji � ������ �� ���� ����������� �� �������� ����������� ������� ������<br />

���� aijk ���� aijk = aikj = ajik = ajki = akij = akji� ��� ��� �������� ���� ��<br />

������� ����������� �� ��� ��������� �������� ���� �� i, j, k = 1, 2, 3� �������<br />

��� ��� �� i, j, k = 1, 2, ..., n ���� ����� �� ���� ������� ��� �������� ���� ��<br />

������� ���������� ��� ����������� �� n ����������<br />

������ ������ ���� aij� ������� a ij � ���� �� �������������� ��� �� aij =<br />

−aji� ������� a ij = −a ji � �� �������������� ������ ������ ���� aijk ����<br />

aijk = −aikj = −ajik = ajki = −akij = −akji� ��� �������� ���������������<br />

������� �� �������� ��� ������� ������� ������� �� ����� ����� ����� ������<br />

�������� ���� �� � ����� ��������������� ������� ��������� �� ���� ���� ���<br />

���� �� ��� ������� ��������� ����������<br />

��� ��������� �� ���������<br />

�� ��������� �� ���� ��� ��������� �������� �������� ���� ����������<br />

���������� ��� ���������� ��� ��������� ���� ����� ����� tipa� ��� �������<br />

�������� ����� �������� � ������� �������� �� ��� ������� ������ �� ��<br />

jednaki ��� �� ����� ���� � ���� � ����� ������������ �������� ���� �� �����<br />

��������� � ����� �������� ���������� � ���������� ��������<br />

���������� ��������� ��������� �� ���� ����������� ���������� �� �������<br />

����� ���� � ����� ��� ���� �� ��������� ������ �� ��� ����� �� �� ����� ����<br />

����� ������ ������� ������ �� ����� ������������� ��������� ������ ���<br />

����� ����� ��� ���� ������� � ���� ������ ���������� �������� ��� ���������<br />

���� ��� ������ ����� ���� � ���� ���� �� ���� zbir ����� �������� ���� ������<br />

�� a i jk � bi jk<br />

���� �� ������� ��� �� ����� ���� �������� � ����� ���� ��� �����<br />

������ ���� � ��� ������ ������� ��� ������������� �� ������� � ��� �������<br />

������� ���� ������ ����������� ������� ������� � ���� ������ c i jk = ai jk + bi jk �<br />

��������� �� �� ��� ��������� ��������� ������� �������� � ���������� � ��<br />

�� ���� ����� ��������� �� ����������� ���� �������� ����� ���� � �����<br />


��������� ��������� � ����� �� ����� �������� ������ ������� �������<br />

������ ��������� �� ��� ������ ������� ��� ������ �� ������ ��� � ���� ���<br />

�� ������� �� �������� �������� �� �� ��� ��������� �������� ���� �������<br />

���� �� proizvod �� ��� �������� ���� ��������� ������ a i j ������ ����<br />

� ������ b k ����� ���� ����� ���������� ������ ������ ���� ���� �� ��������<br />

c ik<br />

j = a i jb k � ��������� �� ���� ������� ���� aij �� �� ����� ��������� k<br />

���� ��������� ��� ������ ������ ����������� ����� �������� �������� ������<br />

�������� ������� aij �� k� �� ��� � ��� ������� ������ �������������� �����<br />

������� ����� ������� ���� kaij�<br />

������������ ��� ��������� �� ������ ���� �� ��� ������� � ������ ��<br />

������ ��� �� ����� ��� ������� ��������� ����� ��� ��� ����� ������ � ��� �����<br />

������ ���� ��������� �� ������� � ���� ��� �� ��� ��� ������� ��������� �<br />

������ ����� ������� ���� �� ��� ��������� ������ ������ �� ���� ������ ����<br />

�� ��� �� ��� ����� ����� ��� �� � ������� ����� ���� a ij<br />

k ����� k = j� ��<br />

i, j = 1, 2, 3 �������� ������<br />

a ij<br />

j<br />

= ai1<br />

1 + a i2<br />

2 + a i3<br />

3 .<br />

��� ������������ �������� e��������<br />

������������ ������� �� �� �������� ������� � ���������� �������<br />

������������ ������� �� ���� ������ δi j� ��� ����� � δij ��� δij � �������������<br />

������ ������ ����� ���� ������ �� �������� ���� �� ����� ���������� �<br />

���� �� ������� i � j �������� � � ��������� ����� ���������� �� �����������<br />

������ δi j �� i, j = 1, 2, 3 ����������� ������ �� � �������� �� ����� �� ����<br />

��� �� �������� ��������� ������� �� � ��� ������ ������� ��<br />

δ i �<br />

1 , ��� �� i = j<br />

j =<br />

0 , ��� �� i �= j .<br />

���������� � ��������� ���� ������� ������ ����������� ����� ���������<br />

���� ��� �� ���� n ���������� ������������� xi , i = 1, 2, ..., n� ���� ��<br />

∂xi �<br />

1 , ��� �� i = j<br />

=<br />

∂xj 0 , ��� �� i �= j<br />

������� ∂xi<br />

∂x j = δ i j� ��� ��� ��������� ������������ ������ �� �������� �����<br />

�� ������ ������������� x i � �� �� �������������� ������ ����� x i ������ ������<br />

∂x i<br />

∂x k<br />

∂x k<br />

∂x j = δi j,<br />


���� �� k ������ ������ �� �� �� ����� ������ � �� �� � �� n� ��� �� i, j, k =<br />

1, 2, ..., n�<br />

����� ������� ���� �������� ����������� ������� �� ������ ������� �� �<br />

������ ������ ���� ���� �� ���� e − simbol � ������� �� �� e ijk ��� eijk ��� ����<br />

�� i, j, k = 1, 2, 3 � ������� �� ���������<br />

eijk =<br />

⎧<br />

⎨<br />

⎩<br />

0 , ��� �� �� ���� ��� ������� �������<br />

+1 , ��� �� ijk ����� ����������� ������� �����<br />

−1 , ��� �� ijk ������� ����������� ������� �����<br />

���� ������ ��� �� ���������� �� ����� �� ���� �� ������� �� � ���� �<br />

��������� �� � � �� ��� �� � ��� ��� �� ��������� ������� ���� �� ������ �����<br />

������ � ������������� �������<br />


� ��������� �������<br />

��� �������� � ���� ��������<br />

��������� ��� ���� �� φ ��� ���� ������� R ��� ����������� C �������� ������<br />

��� ���������� ���� V ���������� �� ����� ������� ��������� + : V × V → V<br />

����������� � · : φ × V → V ��������� ��������� �� ������� ��� �����������<br />

�������� ��������� ������� ���� �� �� ��� a, b ∈ φ � ��� u, v, w ∈ V �����������<br />

�������� �������<br />

�� u + v ∈ V ������������ ��������� ����������<br />

�� u + (v + w) = (u + v) + w ��������������� ����������<br />

�� (∃0 ∈ V )(∀u ∈ V ) 0 + u = u ����������� ���������� �������� �� �����<br />

������<br />

�� (∀u ∈ V )(∃v ∈ V ) u + v = 0 ����������� ��������� �������� �� �����<br />

������<br />

�� u + v = v + u �������������� ����������<br />

�� a · u ∈ V ������������ ��������� �������� ���������<br />

�� a · (b · u) = (a · b) · u ��������������� �������� ���������<br />

�� (∃1 ∈ φ)(∀u ∈ V ) 1·u = u ����������� ���������� �������� �� ��������<br />

���������<br />

�� a · (u + v) = a · u + a · v ���������������� �������� �������� � ������<br />

�� ����������<br />

��� (a + b) · u = a · u + b · u ���������������� � ������ �� ��������� ���������<br />

�������� ����� φ �������� ���������� � �������� ����� V �������� ���<br />

�������� �������� �������� a · u ���������� ���������� �� au� � �� �����<br />

u + (−v) ��������� ����� u − v�<br />

��������� ��� ���� �� � �������� �������� v1, v2, ..., vn ������� �� � � a1,<br />

a2, ..., an ������� �� φ� ������ v = �n i=1 aivi �������� ��������� ����������<br />

��� ������� v1, v2, ..., vn �� ������������� a1, a2, ..., an�<br />

��� �� S ⊆ V � V �������� �������� ���� L(S) = { � n<br />

i=n λixi | λ ∈ φ, xi ∈ S,<br />

i = 1, 2, ..., n} �������� ������ ��� S ��� �������� ����������� ������ S�<br />


��������� ��� ���� �� � �������� �������� �� ������� x1, x2, ..., xn ∈ V<br />

������ �� �� �������� ������� ��� ������� ������������ ����������� ���������<br />

λ1, λ2, ..., λn ∈ φ ����� �� ���� �n i=1 λixi = 0 ���� ������������� ����������<br />

��� ��������������� �� �� ����� ����� �� λi, i = 1, 2, ..., n �������� �� ���<br />

� ��������� ������ �� �� ������� x1, x2, ..., xn �������� ����������<br />

��������� ��� ���� �� � �������� �������� �� ���� W ⊆ V ������ �� ��<br />

���������� �������� � ��� ��������<br />

�� (∀u, v ∈ W ) u + w ∈ W<br />

�� (∀a ∈ φ)(∀u ∈ W ) au ∈ W.<br />

��������� ������� W ⊆ V �� ���������� ��� �� �� ��� �� ���� �������� ����<br />

�����<br />

���������� �������� ������� �� ��� �� ������� ���������� ������� � ������<br />

�������� ���� �������� �� ������� ������������� �� ������ ����� ���� �������<br />

���� ���� ������ ����� �� ��������� ������� ������� ����� ����������� ����<br />

����� ��� ������� ����� ��������� �������� ������� � ���� ��������� ��� ����<br />

����� ����� ���� ��������� ��� � �������� ��������� ���� ��� ��������� �������<br />

����� �� ����������� �������� � ������� ���� ������� ����������� �����������<br />

������������ ��������� �������� �� ����� ������� ��� �� ��� ���� ����� �����<br />

� ����� ��������� ���� ��������� ��� ��������� �� �������� ����� ����<br />

����� ��������������� ��� ������ ���� ������� ���� ����� ����� � ����� ����<br />

����� ���� ������������ �������������� ��������� u� u ↦→ ku + b ���������<br />

����� ��������� ��������������� � ������ ��� ��������� ���������������<br />

���� ��� �� � �� � ������ ������� ���� �� ��������� ����� �������� A ����<br />

�� ��������������� Λ : A × A × R ↦→ A; (a, b, k) ↦→ Λk(a, b)� ��� ��������<br />

Λ0(a, b) = a� Λ1(a, b) = b� ��� ������������� �� ������ ���� ��������������<br />

�������� �������� �� ������� �� ����������������� �������� ����������<br />

� ����������� ������ ���� �� ���������� �� �� �������� ����� ����� ����������<br />

��������� ��� ������� �������� �������� �������� ������� �� ������ ������<br />

� ������������ ������� �������� ������� ����������<br />

���������� �� ���� ���� ��������� �������� �������� ��������� ���� ����<br />

��������� ������� �� ���� ������� ������� �� ����� ������ ��� � ���� ������<br />

���� ��������� ������� ���� ��� ���� ��������� ��� ���������� ��������� �������<br />

� ������ �� ������� ��� �� �������� ��������� �������� ������������ ��������<br />

�� ���� ����������� ���������� �������������� �� ���� �������� ω : V ↦→ R�<br />

���� �������<br />

ˆω = {v ∈ V | ω · v = 1}<br />


������� ���������� � ���������� �������� � ���� ������ �������������� �� ω�<br />

� �������� ���� �������� V �� �������� �� V ∗ �<br />

������� ��� ��� �� dimV = n ∈ N� ���� �� dimV ∗ = dimV �<br />

��� ������� �������� �� ��������� �� �� ��� V ∗ = ��� V · ��� φ = ��� V � �φ<br />

�� ��������������������<br />

��������� ��� ����� ������ �� V �� ���� ����������������� ��������� �<br />

����� ������ �� V ∗ �� ���� ������������� ���������<br />

� ������� �� �� V ∗ ������� �������� �������� �� ������ ��������� � �����<br />

������ ������� (V ∗ ) ∗ = V ∗∗ ����� �������� ����� ������ ������� ��������<br />

V � ���� ������� � ���� �� ���������� ������ ����� ����� P (a 1 , ..., a n ) �<br />

Q(b1 , ..., bn ) ��������� ��<br />

�<br />

n�<br />

d = P Q = (b i − a i )<br />

i=1<br />

�������� �������� �������� ��������<br />

�� ����� �������� ����� � ������ �� ���� ����������� ��������� �����������<br />

������ yi� P (y1 , ..., yn ) � Q(y1 + dy1 , ..., yn + dyn )� ����� �� ��<br />

P Q 2 = ds 2 = (dy 1 ) 2 + ... + (dy n ) 2 n�<br />

= (dy i ) 2 n�<br />

= dy i dy i ,<br />

��� ���� �� ds ������ �������� �������� ������� ��������� �������� � ����<br />

�������� ������������ ������ ������������ ������� ���������� dy i .<br />

��� �������������� �������������<br />

� ���� �� �������� �������������� ������������� ������������ ����������<br />

������� ���� �� ���� ������������ ����� ������ ��������� ��������� �����<br />

���� �� ���������� �������������� ��� �� x i ��������� ������������� � ¯ x i<br />

����� ����� �������������� �� ������<br />

¯x i = a i jx j ,<br />

i=1<br />

� 1<br />

2<br />

���� �� a i j ���������� ���� �� ��������� ����� �� ��<br />

�������<br />

a i j = ∂ ¯ xi ,<br />

∂xj ¯x i = x j ∂ ¯ xi .<br />

∂xj �<br />

,<br />

i=1


��� ������ ������ ����<br />

����������� �������� ϕ(x 1 , ..., x n ) = ϕ(x i ) � ���������� ��� �������� ���<br />

������������ �������������� ������������� ¯x i = ¯x i (x j ) �������� �� ¯ϕ(¯x 1 , ..., ¯x n )<br />

= ¯ϕ(¯x i )� ��� �� ��� ���� �������������� ¯ϕ = ϕ� ��� ���������� �������� ������<br />

��������������� ����� �������� ������ ������ ��� ������ ������ ����� � ����<br />

������� �������� ϕ � ¯ϕ �� ��������� �� ������� ��� �� ���������������� ����<br />

������ ����� �� ������ ����� �� �� ���������� ������ �������� �� ������ ��<br />

������ �������������� ������� �� ������ ������������ �������� ������ ���<br />

������� ������� ������ ���� ������ ����� ��� ������ ��������<br />

��� ������������ � ���������������� ������ ����� ����<br />

���� �� � �������� Rn ���� ���������� xi , i = 1, 2, ..., n� ������ ��������<br />

�� �r = �r(x i )� � ����� ������� �� �gi = ∂�r<br />

∂xi � ������� ���� ���������� ������<br />

����� �� ¯x i� ��� ���� �� ���� ������ ����� � ������ ���������� ���� � ������<br />

¯x i = ¯x i (xj )� �� ��� ���������� ��������������� �� �� ���������� �������� �<br />

�� �� ����������������� ��� � �� ����������� �������� �������������� �������<br />

�� �� ¯x i = ¯x i (xj ) ���� �������� � ������ xi = xi (¯x j )� ��� ���� �� �� ��<br />

�������� � �������� �� ���������� ������������ ���� ��������� �� �� �������<br />

�� ����<br />

�<br />

�<br />

J = �<br />

∂¯x<br />

�<br />

i<br />

∂xj �<br />

�<br />

�<br />

� �= 0.<br />

����� ������� � ������ �� ������ ���������� ¯x i ���������� �� �¯gi = ∂�r<br />

∂¯x i � �����<br />

������ �� ������<br />

�¯gi = ∂�r ∂�r<br />

=<br />

∂¯x i ∂xj ∂xj .<br />

∂¯x i<br />

������������ �gi = ∂�r<br />

∂x i � ���������� ��������� ����� �� ��<br />

�¯gi = ∂xj<br />

�gj.<br />

∂¯x i<br />

��������� ��� �� ������ ����� ���� Ai ������� ������ ���������� xi ���� ��<br />

��� ������������ �������������� ¯x i = ¯x i (xj ) ������������ �� ���� ����� ��� ���<br />

�� ������������ ����� �������� ��� ��� �� ����� �������������� ���� ��������<br />

� ������<br />

Āi = ∂xj<br />

Aj,<br />

∂¯x i<br />

������ �� ����� ������ ���� ������������ ������ ����� �����<br />


���� �� � n��������������� �������� ���� ���������� x i , i = 1, 2, ..., n�<br />

����������� ���� �gi � �g j � ��� ���� �� �g j ���������� ���� � ������ �� ����<br />

�gi� �� ����� �� ���� �gi · �g j = δ j<br />

i � ��������� �� ������� ���� �� ������������ ���<br />

�������� ���� ��� �������������� ������ � ���� ����������� �� ����� �������<br />

���� �� ��� �������� ���� �������� ���������� ����� ������ �g j ����� ����<br />

�gi� �g j = Bji�gi� ��� ���� Bji ����������� ����������� ����������� �������<br />

�g j = Bji�gi �� �gk ��������<br />

�g j · �gk = B ji �gi · �gk.<br />

���������� �� �� �gi · �gk = gik� ������ ������ �� ��<br />

B ji gik = δ j<br />

k .<br />

��� ���� ��������� �g j = B ji �gi �� ����������� ������ �������� �g l � �����<br />

���� �� ��<br />

�g j · �g l = B ji �gi · �g l = B ji δ l i = B jl ,<br />

������� ����������� ���������� �� Bjl = gjl� ������� gjigik = δ j<br />

k� ������ ��<br />

| gji || gik |=| δ j<br />

k |= 1� ��� ����� �� �� ������������ ������������ ����������<br />

��������� �����������<br />

���� �� ���� ���� ������ ������ � ����� ������������� � ������ ¯x i = ¯x i (x j )�<br />

������ ������������� �� �� ����� �������������� ����������� ������ �������<br />

�g i �������� ������ ������ � ���� ���������� ���� �������� � ������<br />

�¯g i = A i j�g j .<br />

��������� ������� ���������� ����� ������� �� ��������� ��� ������ ������� �g j� ��� ���������� ��������� ��������� �� �gk � ��������� � ����� �gi · �g j = δ j<br />

i �<br />

�������� Ai k = �¯g i · �gk� �� ����������� �� ��������� ��������� ����� �� ��<br />

∂¯x<br />

�gk = �¯gl<br />

l<br />

,<br />

∂xk ������ ������ �� �� ����� ����� ������� �������� ����� ������ ���������<br />

���������� ���������� �� �¯g i ��������<br />

�¯g i · �gk = �¯g i ∂¯x<br />

· �¯gl<br />

l<br />

∂x k = δi l<br />

∂¯x l ∂¯xi<br />

= .<br />

∂xk ∂xk ���������� ���������� ���������� � �¯g i = Ai j�g j ������������ �� �� �����������<br />

���������� Ai ∂¯xi<br />

k = ∂xk � �� �������� �¯g i = Ai j�g j ������ �������� � �������<br />

�¯g i = ∂¯xi<br />

∂x j �gj .<br />

��


��������� ��� �� ������ B i ����� ���� ������� ������ ���������� x i ����<br />

�� ��� ������������ �������������� ¯x i = ¯x i (x j ) ������������ �� ���� ����� ���<br />

��� �� ������������ ���������� ����� �������� ��� ��� �� ����� ��������������<br />

���� �������� � ������<br />

¯B i = ∂¯xi<br />

∂x j Bj ,<br />

������ �� ����� ������ ���� ���������������� ������ ����� �����<br />

��� ������������ � ���������������� ������� ������ � �����<br />

����<br />

���� ��� �� ���� �gi = ∂�r<br />

∂¯x i � ������ �� ������ ������������� �������������<br />

x i � ��������� ����� ������������� ¯x i ������� ��� �� �� ����� ������� ��������<br />

����� �� ������<br />

�¯gi = �gj<br />

∂xj ,<br />

∂¯x i<br />

� �������� ��������� ��������<br />

� � � �<br />

k<br />

l<br />

∂x ∂x<br />

�¯gi · �¯gj = �gk �gl<br />

∂¯x i ∂¯x j<br />

�������<br />

∂xl gkl,<br />

∂¯x j<br />

¯gij = ∂xk<br />

∂¯x i<br />

��� ���� �� �¯gi · �¯gj = ¯gij� ������� �gi · �gj = gij.<br />

= ∂xk<br />

∂¯x i<br />

∂xl ∂¯x j �gk · �gl,<br />

��������� ��� ������ ������ ���� ���� �� ��� �������������� ���������� ��������<br />

����� �� ������<br />

¯gij = ∂xk<br />

∂¯x i<br />

∂xl gkl,<br />

∂¯x j<br />

������ ������������ ������ ������ �����<br />

����������� ��� ������������ ������� ui � vi � ������ �� ������ ������������<br />

������������� x i � ��������� ����� ������������� ¯x i ������ ��� �� �� �����<br />

�������������� ������������� ������� ����� ���� ������<br />

∂x<br />

ūi = uk<br />

k<br />

�������� ��������� ��������<br />

∂¯x i , ¯vj<br />

∂x<br />

= vl<br />

l<br />

.<br />

∂¯x j<br />

∂x<br />

ūi¯vj = ukvl<br />

k<br />

∂¯x i<br />

∂xl .<br />

∂¯x j<br />

��


��������� �� �� ¯wij = ūi¯vj� wkl = ukvl� ����� �������������� �������� �<br />

������<br />

∂x<br />

¯wij = wkl<br />

k<br />

∂¯x i<br />

∂xl ,<br />

∂¯x j<br />

������ ������ �� ����������� ��������� ����� �������������� ������� ������<br />

�����<br />

��� �� ��� ���� ������ ������ ���� uijk ���� �� ���������� ��� ������ ����<br />

���������� ������������ ��� ��������� ��� ������������ ������� � ������ ��<br />

�������<br />

∂x<br />

ūijk = upqr<br />

p<br />

∂¯x i<br />

∂xq ∂¯x j<br />

∂xr ,<br />

∂¯x k<br />

����� ������ ������ ������������ ������ ������ �����<br />

� ������ ������� �� ������ k���� ���� ui1...ik ���� �� ��� � ������ ��<br />

����� ������ ���������� xi � ���� �� ��� �������������� ���������� xi � ¯x i<br />

������������ �� ������<br />

∂x<br />

ūi1...ik = uj1...jk<br />

j1 ∂xjk<br />

· · · i1 ∂¯x ∂¯x ik<br />

,<br />

������ �� �������� ������������ ������ k���� �����<br />

������ ��� ����� �������������� ����������������� ������ ������� ��� ����<br />

����������� ������������� x i � ¯x i � ������ �� �� ��� ����� �������������� ������<br />

�¯g i j ∂¯xi<br />

= �g ,<br />

∂xj � �������� ��������� ��������<br />

�¯g i · �¯g j �<br />

k ∂¯xi<br />

= �g<br />

∂xk � �<br />

l ∂¯xj<br />

�g<br />

∂xl �<br />

= �g k l ∂¯xi<br />

· �g<br />

∂xk �������<br />

¯g ij kl ∂¯xi<br />

= g<br />

∂xk ��� ���� �� �g i · �g j = gij � �g k · �g l = gkl� ∂¯x j<br />

,<br />

∂xl ∂¯x j<br />

,<br />

∂xl ��������� ��� ������ ������ ���� ���� �� ��� �������������� ���������� ����<br />

��������� �� ������<br />

¯g ij kl ∂¯xi<br />

= g<br />

∂xk ∂¯x j<br />

,<br />

∂xl ������ ���������������� ������ ������ �����<br />

��������� ���������� ��� � �� ������������ ������� ������ � ����� �����<br />

��������� ���������������� ������� ������ � ����� �����<br />

��


��� ������� �������� ������<br />

��� ��� ����� ������� ������� �� �� � ������ �� ���� ����������� ���������<br />

����������� ������ y i ������� ��������� �������� ds� ���� ������� �������<br />

���������� ��������� �������� ��������<br />

ds 2 =<br />

n�<br />

(dy i ) 2 =<br />

i=1<br />

n�<br />

i=1<br />

dy i dy i ,<br />

��� �� ���� � n��������������� ��������� ��� ������� ������������� �������<br />

���� ���������� ������� ����������� ������������ ������������ x i ��������<br />

���� y i = y i (x 1 , ..., x n )� �� i = 1, 2, ..., n� ���� ���� ds 2 �������� � ������<br />

���� ��<br />

ds 2 = gijdx i dx j ,<br />

gij =<br />

n�<br />

k=1<br />

∂yk ∂xi ∂yk .<br />

∂xj ���� �� �������� �������� ds� ��� ������ ������������ ������� ���������� dx i<br />

� ������� �������� �������� gij� �� �� ���� ������� ��������������� ��������<br />

������ ������ ���� ��� ������ ���� �������� �������<br />

��


� ��������� �������<br />

��� ������������� �������<br />

������� ������ �� �� ������� �������� �������� � ���� �������� ���������<br />

������ � ������� �� �� ����� ��������� �� �������� ����������� �� ������<br />

���������� �������� ������� ���� �� ����� ���� � ���� �������� ���������<br />

���������� �� �� ���� ���� ������� �������� ������� ��� ������ ��������<br />

������ ��������<br />

����� ������ ������ ������ �������� ������������ ������ ���� �����<br />

�<br />

1 ∂gjk ∂gki ∂gij<br />

+ −<br />

2 ∂xi ∂xj ∂xk �<br />

� �<br />

i j<br />

= [ij, k] = [k, ij] = = Γij,k = Γk,ij.<br />

k<br />

����� ��� ������ �������� ������ �������������� ������� ���� ����� ���� ���<br />

������� � ����������� ��� ���� ����� ���� �������������� ��������� [ij, k]�<br />

������������ ������ ����� ����� �������� �� ����������<br />

g kh � �<br />

k<br />

[ij, h] = = {k, ij} = {ij, k} = Γ<br />

i j<br />

k ij.<br />

��� ������� ������� ����������� 1, 2, 3 �������<br />

� �<br />

k<br />

i j<br />

= g kh [ij, h] = g k1 [ij, 1] + g k2 [ij, 2] + g k3 =<br />

[ij, 3] =<br />

1<br />

2 gk1<br />

�<br />

∂gj1 ∂g1i ∂gij<br />

+ −<br />

∂xi ∂xj ∂x1 +<br />

�<br />

+<br />

1<br />

2 gk2<br />

�<br />

∂gj2 ∂g2i ∂gij<br />

+ −<br />

∂xi ∂xj ∂x2 +<br />

�<br />

+<br />

1<br />

2 gk3<br />

�<br />

∂gj3 ∂g3i ∂gij<br />

+ −<br />

∂xi ∂xj ∂x3 �<br />

.<br />

������ �� �� ������������ ������ ����� ����� ������ ������������ ������<br />

�� ���� �������� ������������ ������ ���� ����� �� ����������������� �����<br />

���� �������� g ij � �������� ���� �� ������ �������� ������� gij ��<br />

�������������� ������� ����� ����� ������ ������������ ������ ���� ������<br />

������ ����<br />

ghk<br />

� �<br />

h<br />

= ghkg<br />

i j<br />

hl [ij, l] = δ l k[ij, l] = [ij, k].<br />

��


�� ��������� �������������� ������� ���� ����� �������� ����� �� ����������<br />

����� �������� ������� gjk �� x i � ����<br />

∂gjk<br />

∂x<br />

i =<br />

∂gij<br />

2[ij, k] +<br />

∂x<br />

= [ij, k] + 1<br />

2<br />

= [ij, k] + 1<br />

2 ∂x<br />

= [ij, k] + [ki, j].<br />

∂gki<br />

− =<br />

k ∂xj �<br />

∂gjk ∂gki ∂gij<br />

+ −<br />

∂xi ∂xj ∂xk �<br />

∂gij ∂gjk ∂gki<br />

+ − k i<br />

∂x<br />

�<br />

+ ∂gij<br />

∂x<br />

∂xj �<br />

=<br />

∂x<br />

∂gki<br />

− =<br />

k j<br />

� ����� ������� ��� ������� �� ������������ gjhghl = δ j<br />

l � �� �� �������������<br />

�� xi ��������<br />

jh ∂ghl ∂g<br />

g + ghl<br />

∂xi jh<br />

= 0.<br />

∂xi ��������� ��� ��������� ��� �� glk � �������� ��������� �� ������� l� ��<br />

���� ������<br />

δ k ∂g<br />

h<br />

jh<br />

∂xi = −glk jh ∂hl<br />

g ,<br />

∂xi �������<br />

∂gjk ∂xi = −glkg jh ([ih, l] + [li, h]) = −g jh<br />

� �<br />

k<br />

− g<br />

h i<br />

lk<br />

� �<br />

j<br />

.<br />

l i<br />

�� ������ ��� � ��� ������������� ������� � �������� ��������� ����� ��<br />

������ ������� �������� ���� ������ ��������� ��� ������� h ������� l�<br />

∂gjk � �<br />

k<br />

= −gjh − g<br />

∂xi h i<br />

hk<br />

� �<br />

j<br />

.<br />

h i<br />

��� ��� ������� �������� ���� �� ������ �������������� ������� ���� �<br />

����� ����� ���� �������� ������ ������������� � ����������������� ��������<br />

������� �� ����� ������������� ���������� ���� �������� ��������<br />

������ �������������� ������� ���� �� �������� � ����� ������ ������<br />

������������� x i �� ����� ������������� ¯x i � ���� �� ���������� � �� ���<br />

����� �� �� �� ������� ������ ����� ���� �� �������� � ������ ������� ���������<br />

� ���� �� �������� �������������� ���������� ������� ��� ��� �� ������ ������<br />

����� ����� �� x i �� ¯x i �������� ������ �������������� ������� � ����� ������<br />

��� ����� �������������� ���� ���� �� ������ �������������� ���� ����� ��<br />

���� �� ������� ������<br />

∂x<br />

¯gij = grs<br />

r<br />

∂¯x i<br />

∂xs ,<br />

∂¯x j<br />

��


� ������������� �� �� ¯x k � ��������<br />

∂¯gij ∂grs<br />

=<br />

∂¯x k ∂xp ∂xr ∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂x p<br />

∂¯x<br />

∂<br />

+ grs k 2xr ∂¯x i∂¯x k<br />

∂x s<br />

∂¯x<br />

j + grs<br />

∂xr ∂¯x i<br />

∂2xs ∂¯x j . ���<br />

∂¯x k<br />

���� � ���� ��������� ������� i, j, k ���� ������� ���� ���� ���������� ��<br />

1, 2, ..., n� ��� ��������� �� ������ � �������� � ���� �� ������� i, j, k ��������<br />

���������� ������ ��������� ������������ ������� �������� �������� �����<br />

����������<br />

∂¯gjk ∂gsp<br />

=<br />

∂¯x i ∂xr ∂xr ∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂x p<br />

∂¯x<br />

∂<br />

+ gsp k 2xs ∂¯x j∂¯x i<br />

∂x p<br />

∂¯x<br />

k + gsp<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂2xp ∂¯x k ,<br />

∂¯x i<br />

∂¯gki ∂gpr<br />

=<br />

∂¯x j ∂xs ∂xr ∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂xp ∂<br />

+ gpr<br />

∂¯x k 2xp ∂¯x k∂¯x j<br />

∂xr ∂x<br />

+ gpr<br />

∂¯x i p<br />

∂¯x k<br />

∂2xr ∂¯x i .<br />

∂¯x j<br />

��� ��� ����� ��������� �������� � �� �������� ����� �������� ���������<br />

���� �� ���������� �� ������ �� ��������<br />

�<br />

1 ∂¯gjk ∂¯gki ∂¯gij<br />

+ −<br />

2 ∂¯x i ∂¯x j ∂¯x k<br />

��� �� ������<br />

�<br />

= 1<br />

�<br />

∂gsp<br />

2 ∂x<br />

∂x<br />

∂gpr ∂grs<br />

+ − r s<br />

∂<br />

gsp<br />

2xs ∂¯x j∂¯x k<br />

∂xp ∂¯x k ∂<br />

i gpr<br />

2xr ∂¯x i∂¯x j<br />

∂xp ∂¯x k<br />

∂xp � r ∂x<br />

∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂xp +<br />

∂¯x k<br />

∂<br />

+grs<br />

2xr ∂¯x i∂¯x j<br />

∂xs , ���<br />

∂¯x k<br />

�������� ��� �� ���� ���� �� ������� ������� ������� s � ����� ������ �����<br />

������ r� � ���� ���� ����� � ��������� ������<br />

∂<br />

grs<br />

2xr ∂¯x i∂¯x k<br />

∂xs ∂¯x j ∂<br />

i gsp<br />

2xp ∂¯x i∂¯x k<br />

∂xs ,<br />

∂¯x j<br />

��� � ������<br />

∂<br />

grs<br />

2xs ∂¯x j∂¯x k<br />

∂xr ∂¯x j ∂<br />

i gpr<br />

2xp ∂¯x k∂¯x j<br />

∂xr .<br />

∂¯x i<br />

�� ������� ������ ��������� ��� ������ �� ������������ ������ ���� ����� �������<br />

��� � ���������� � ������ �� ������������ ¯x i� �� ���� �� ���������� �� [ij, k]�<br />

� ������ �� ������ ������ ������ �� ��� ���� ������������ ������ ���� ���������<br />

� ������ �� ������������ xi � ����� ���� ���������� �� [rs, p]� ����� �����<br />

�� ��������� ������ �������� � ������<br />

[ij, k] = [rs, p] ∂xr<br />

∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂xp ∂¯x<br />

��<br />

∂<br />

+ grs k 2xr ∂¯x i∂¯x j<br />

∂xs , ���<br />

∂¯x k


��� �������� ���� �� ������������ ������ ���� ����� ������������ ��� ������<br />

��� ����� ������������� � �� ����� ������ �������������� �� �������� ���<br />

����� ������� ����������� ��������� �� �� ������������ ������ ����� �����<br />

�� �������� ������� �� �� �� ������������� ������� �������������� ��� ��������<br />

�������� �� �� ����� ������ �� x i �� ¯x i ���� ������� ����� � �� �� ������ ����<br />

�� ���� � ��������� ��������������� ������� ���� �� ������� ������ �����������<br />

��� ������� �� ��������� ��������������<br />

¯g lk nh ∂¯xl<br />

= g<br />

∂xn ¯x k<br />

,<br />

∂xh ���� ���� �� ���������������� ������� ������� �� ���� ������ ��������� ��<br />

∂x m<br />

∂¯x l � �������� ��������� �� ����������� ������� l ��������<br />

lk ∂xm<br />

¯g<br />

∂¯x<br />

∂x h<br />

l = gnh ∂¯xk<br />

� ∂¯x l<br />

∂x n<br />

∂xm ∂¯x l<br />

�<br />

mh ∂¯xk<br />

= g . ���<br />

∂xh ��� ���� ������������ ������ ��������� ��� ��������� ������� � ������<br />

������� ��� ������������ � �������� ��������� �� ����������� ���������� ���<br />

������<br />

� � m l ∂x<br />

=<br />

i j ∂¯x l<br />

������ �� ������� ����� ����� �����<br />

� � r m ∂x<br />

r s ∂¯x i<br />

∂xs ∂2xm ∂¯x i � � m l ∂x<br />

=<br />

−<br />

∂¯x j i j ∂¯x l<br />

∂¯x j + ∂2xm ∂¯x i∂¯x � � r m ∂x<br />

r s ∂¯x i<br />

j , ���<br />

∂xs . ���<br />

∂¯x j<br />

�������� ��� ������ � ����� ������ ��������� ��� ��������� �� ∂¯xh<br />

∂x m � ��������<br />

��������� �� m� �������� ������� �� �������������� �������������� �������<br />

����� ������ ���<br />

��� ���� ��<br />

� �<br />

h<br />

=<br />

i j<br />

� � h l ∂¯x<br />

i j ∂xm � � r m ∂x<br />

r s ∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x j<br />

∂¯x h<br />

∂xm + ∂2xm ∂¯x i∂¯x j<br />

∂xm � �<br />

l<br />

= δ<br />

∂¯x l i j<br />

h � �<br />

h<br />

l = .<br />

i j<br />

��<br />

∂¯x h<br />

,<br />

∂xm


��� ������������ ����� ������� � �������<br />

����������� ����� ����� ������������� ������� ���� �� ���������� vi �<br />

������ �� ������ ������������� x i � � ¯vi � ������ �� ������������ ¯x i � ��� ����<br />

���� ����� ������� �� �������������� ������������� �������<br />

∂x<br />

¯vi = vj<br />

j<br />

.<br />

∂¯x i<br />

���� ���� ������ ��� ��������� ������������� �� ¯x k �������� � ������<br />

�������<br />

∂¯v i ∂<br />

=<br />

∂¯x k ∂¯x k<br />

�<br />

∂x<br />

vj<br />

j<br />

∂¯x i<br />

�<br />

= ∂vj<br />

∂xl ∂xl ∂¯x k<br />

∂xj ∂<br />

+ vj<br />

∂¯x i 2xj ∂¯x i ,<br />

∂¯x k<br />

�� ���� ���������� �� �� ���������� ������ ∂vj<br />

∂xk �� ���� �������� ��� ���<br />

�������� �������� ��� �� �� ������������ ��� ���������� �������� ��� �����<br />

��������� ���������� �������������� ����������� ������ ������������� �������<br />

���� ����� ������� ���������� �� ��� ����� ������ ���������� �������������<br />

�� ����� �������������� ���<br />

∂2xj ∂¯x i =<br />

∂¯x k<br />

� � � � j<br />

j<br />

l ∂x j ∂x<br />

−<br />

i k ∂¯x l r s ∂¯x i<br />

∂xs ,<br />

∂¯x k<br />

����������� ������� ������ �������������� � ������ �� ����� ��������������<br />

�������� ��� ���������� ����� ��������� ������������� � ������ � �����<br />

��������� �������������� �������<br />

�������<br />

∂¯vi ∂vj<br />

=<br />

∂¯x k ∂xl ∂xl ∂¯x k<br />

∂xj + vj<br />

∂¯x i<br />

� � j<br />

∂¯vi l ∂x ∂vj<br />

− vj =<br />

∂¯x k i k ∂¯x l ∂xl ∂xl ∂¯x k<br />

�� � � � j<br />

r<br />

l ∂x j ∂x<br />

−<br />

i k ∂¯x l r s ∂¯x i<br />

∂xj � � r j ∂x<br />

− vj<br />

∂¯x i r s ∂¯x i<br />

∂xs ∂¯x k<br />

�<br />

,<br />

∂xs .<br />

∂¯x k<br />

� ���� ��������� �� �� ����� �� ������� ������ ���� ����������� ������� ��������<br />

������� ���� ��� �� ������� ������ �� ������ ������� ���� �� � ����� �����<br />

����� ������� ����������� ������� l ������ s� � ������� j ������ r� �������<br />

∂vr<br />

∂xs ∂xs ∂¯x k<br />

∂xr � � r j ∂x<br />

− vj<br />

∂¯x i r s ∂¯x i<br />

∂xs � � �� r<br />

∂vr j ∂x<br />

= − vj<br />

∂¯x k ∂xs r s ∂¯x i<br />

∂xs .<br />

∂¯x k<br />

������� ������ �� �� ����� ∂vr<br />

∂xs � � j<br />

− vj ���� �������� ������ ������ �����<br />

r s<br />

������������ ����� ��� ��������� ������������ ������� �� ���� ���� � ��������<br />

��


���� ���� ������� �� � ���� ������ ���������� ����� ���������� ������� ���<br />

����������� ������� ������� �� ������ ��������� ������ � ���� �� ������<br />

������������ ������ ����� ������ ���������� �������������� ��������� �����<br />

������ �� ���������� ������������� ������� � ������ �� ������� ��������<br />

������ gij ���� �� ������������ ����� ������������� ������� vr �� xs � ������<br />

�� ������� ������ gij � ����<br />

� �<br />

∂vr j<br />

− vj<br />

∂xs r s<br />

∇ �� ������� ���� ����������� ����������<br />

= vr,s = vr;s = ∇svr = Dvr<br />

.<br />

Dxs � ���� �� ��������� ����� ���������� �� �� � ���������� ���� ����� ����<br />

∂<br />

≡ ∂i,<br />

∂xi ∂<br />

∂¯x i ≡ ¯ ∂i,<br />

���� �������� ��� �� ������ ∂<br />

∂x i � ∂<br />

∂¯x i ���� ����� �����������<br />

����������� ���� ���������������� ������ ���� �� ���������� u i � ū i �<br />

������ �� ��� ������� ������������� x i � ¯x i � ��������� ��������� ������<br />

���� �� ������������� ������ ����������������� �������� ����� ��� �������<br />

�� ������ �������������� ����������������� ������� � ������<br />

u i j ∂xi<br />

= ū ,<br />

∂¯x j<br />

�� ���� ������ ������������� �� x k � ��������<br />

∂ui ∂ūj<br />

=<br />

∂xk ∂¯x l<br />

∂¯x l<br />

∂xk ∂xi ∂¯x j + ūj ∂2xi ∂¯x j∂¯x i<br />

∂¯x i<br />

.<br />

∂xk ������� �������� ����������� �� ����� ����� ������������� xi �� ¯x i �����<br />

∂ui ∂ūj<br />

=<br />

∂xk ∂¯x l<br />

∂¯x l<br />

∂xk ∂xi �� � � � i<br />

s<br />

r ∂x i ∂x<br />

+ ūj<br />

−<br />

∂¯x j j l ∂¯x r s p ∂¯x j<br />

∂xp ∂¯x l<br />

�<br />

∂¯x l<br />

.<br />

∂xk ����� ���� � ������ �� ������ ������ ��� ��������� ���� �� �������������� ��<br />

�������� ������<br />

��


ūj �� � r ∂xi j l ∂¯x r − � � i ∂xs s p ∂¯x j<br />

∂xp ∂¯x l<br />

�<br />

∂¯x l<br />

∂xk =<br />

= ūj� � r ∂xi j l ∂¯x r<br />

∂¯x l<br />

∂xk − ūj� � i ∂xs s p ∂¯x j<br />

�<br />

∂xp ∂¯x l<br />

∂¯x l<br />

∂xk �<br />

=<br />

= ūj� � r ∂xi j l ∂¯x r<br />

∂¯x l<br />

∂xk − ūj� � i ∂xs s p ∂¯x j δ p<br />

k =<br />

= ū j� r<br />

j l<br />

� ∂x i<br />

∂¯x r<br />

∂¯x l<br />

∂xk − us� i<br />

s k<br />

�� ���� �� �������� � ���������� ��������� � ����������� ��������� �������<br />

�������� ������ ������� ������� ��������<br />

∂ui � �<br />

i<br />

+ us =<br />

∂xk s k<br />

∂ūj<br />

� � l j ∂¯x<br />

+ ūr<br />

∂¯x l r l ∂xk ∂xi .<br />

∂¯x j<br />

�� �������� �� �� ����� ∂ui<br />

∂xk + us� � i<br />

���� �������� ������ ������ �����<br />

s k<br />

������������ ��� ������ ������ ����� ��� �������������� ��������� �������� �<br />

���� �� ��������� �������� gij �� ����������������� ������������ u i �������<br />

���� �� ������������ ����� ����������������� ������� u i � ������ �� �������<br />

������ gij � ���� ��<br />

∂ui + uj<br />

∂xk � �<br />

i<br />

j k<br />

= u i ,k = u i k = ∇ku i = Dui<br />

.<br />

Dxk ��� �������������������� ������<br />

������������ ����� ����� ������� ���� �� ������� �� �� ����� ����� ����<br />

��������� ����� ������������ ������ �������� ������� ������������� ����������<br />

����� ������� ����� ������������ ����� ����� �������� ����������� �������<br />

������ ������ ui � �������� ������ ������������ ������ �� ���� ������<br />

ui,j = ∂ui<br />

− ur<br />

∂xj � r<br />

i j<br />

��� ���� ������ ui,j ������������ ������������� �� xk� �����<br />

� �<br />

− ui,r =<br />

ui,jk = ∂ui,j<br />

∂xk � r<br />

− ur,j i j<br />

� r<br />

j k<br />

�<br />

.<br />

= ∂2ui ∂xj ∂xk − � � r ∂ur<br />

i j ∂xk − � � r ∂ur<br />

i k ∂xj − � � r ∂ui<br />

j k ∂xr −<br />

�<br />

∂ −us ∂xk � � � �� � � �� � s s r s r<br />

− − i j r j i k i r j k<br />

�<br />

.<br />

���� ����������� ��� ������������� �������������� � ��������� ui,kj ���<br />

������<br />

��<br />

� ,


ui,kj = ∂2ui ∂xk∂x j − � � r ∂ur<br />

i k ∂xj − � � r ∂ur<br />

i j ∂xk − � � r ∂ui<br />

j k ∂xr −<br />

�<br />

∂ −us ∂xj � s<br />

i k<br />

� − � s<br />

�� r<br />

r k i j<br />

� − � s<br />

�� r<br />

i r j k<br />

�� .<br />

������� ���������� ���� ������ ������� �� ����� ������� �� ����� �� �����<br />

���� � ����� ��������<br />

ui,jk − ui,kj = R l ijkul,<br />

���� ��� ������� ������� ������� s �������� l � �������<br />

R l ijk = ∂<br />

∂xj � �<br />

l<br />

−<br />

i k<br />

∂<br />

∂xk � � � �� � � �� �<br />

l l r l r<br />

+<br />

−<br />

.<br />

i j r j i k r k i j<br />

������������ �������������� ��������� ���������� ������ Rl ijk �� ���� ������<br />

�������� ���� � �� ������ ���������������� � ��� ���� ������������� �� ��<br />

���� �������������������� ������� ���� ��������� ������ ��� ���������<br />

������ ����� ������<br />

������ ���� � �� ����������������� ������� u i � �� �� ��� ���� �������<br />

������ �������������� ���� ���� �� xj �� ����� �� xk� �� ���� ������<br />

ui ,jk = ∂2ui ∂xj ∂xk + � � i ∂ur j r ∂xk + � � i ∂ur k r ∂xj − � � r ∂ui j k ∂xr +<br />

+us �<br />

∂<br />

∂xk � � � �� � � �� i r i i r<br />

+ − j s j s k r r s j k<br />

�� .<br />

��� ����������� ��� ������������� ��������������� ��� ���������� ������� j<br />

� k� ��������<br />

u i ,kj = ∂2 u i<br />

∂x k ∂x j + � i<br />

k r<br />

� ∂u r<br />

∂xj + � � i ∂ur j r ∂xk − � � r ∂ui j k ∂xr +<br />

+us �<br />

∂<br />

∂xj � i<br />

k s<br />

� + � r<br />

�� i<br />

k s j r<br />

� − � i<br />

�� r<br />

r s j k<br />

�� ,<br />

�� ���� ��������� ������� ���������� ����� ����������� �������� �������� s<br />

������ l�<br />

ui ,jk − ui ,kj = ul<br />

�<br />

∂<br />

∂xk � � i ∂ − j l ∂xj � � � �� � � �� � i r i r i<br />

+ − k l k l j r j l k r<br />

�<br />

,<br />

���� ��<br />

∂<br />

∂xk � �<br />

i<br />

−<br />

j l<br />

∂<br />

∂xj � � � �� � � �� �<br />

i r i r i<br />

+<br />

−<br />

= −R<br />

k l j l k r k l j r<br />

i ljk.<br />

������ �� ���������������������� ������� �� ���� ���� � �������� �� �������<br />

����������� ���������� ����� ��������<br />

�������������������� ������ �� �������������� � ������ �� ��� ����� �����<br />

���� ��� ������� Rl ijk = −Rl ikj . ����� ���� �� �� �������� ���������� � ������<br />

�� ����� �������� �� ������ ��� �� ������ ������ �� ����� ��� ������� �� ��������<br />

�������������� ������ ���������� ���<br />

��


R l ijk = ∂<br />

∂xj � �<br />

l<br />

−<br />

k i<br />

∂<br />

∂xk � � � �� � � �� �<br />

l l r l r<br />

+<br />

−<br />

,<br />

i j r j k i r k i j<br />

R l jki = ∂<br />

∂xk � �<br />

l<br />

−<br />

i j<br />

∂<br />

∂xi � � � �� � � �� �<br />

l l r l r<br />

+<br />

−<br />

,<br />

j k r k i j r i j k<br />

R l kij = ∂<br />

∂xi � �<br />

l<br />

−<br />

j k<br />

∂<br />

∂xj � � � �� � � �� �<br />

l l r l r<br />

+<br />

−<br />

,<br />

k i r i j k r j k i<br />

�������� ���������� �������� ��������<br />

R l ijk + R l jki + R l kij = 0.<br />

��� �� ������ �������� ��������� ������� glm ������ ������ ������ l<br />

���������������������� �������� ������ �� ������ Rlijk ���� �� ������� ������<br />

�� Rl ijk� ��� �� ������������ ������ �������� ���� ������� �������<br />

�<br />

− glm ∂<br />

� �� � �� � r<br />

r<br />

+ glm − glm .<br />

Rlijk = glmR m ijk<br />

glm<br />

= glm ∂<br />

∂x j<br />

�������� ���� ��<br />

� � m<br />

= [ik, l],<br />

i k<br />

glm ∂<br />

∂x j<br />

� m<br />

i k<br />

������ ��<br />

� = ∂<br />

∂x j<br />

� glm<br />

� m<br />

i k<br />

∂x k<br />

� m<br />

i j<br />

∂glm<br />

∂x j = [jl, m] + [mj, l],<br />

� m<br />

i k<br />

�� − � m<br />

� ∂glm<br />

i k ∂xj =<br />

Rlijk = ∂ ∂<br />

[ik, l] − [ij, l] +<br />

∂xj ∂xk � m<br />

r j<br />

i k<br />

� m<br />

r k<br />

i j<br />

= ∂<br />

∂xj [ik, l] − � � m<br />

([jl, m] + [mj, l]) ,<br />

i k<br />

� �<br />

m<br />

[kl, m] −<br />

i j<br />

� �<br />

m<br />

[jl, m].<br />

i k<br />

��� �� ������������ �������������������� ������ ��� ��������� ������ ����<br />

������ � ��������� �� ���� �������� ��������� �������������������� ���<br />

���� ������� �� ���� � ��������� �������������������� �������<br />

�������������������� ������ Rlijk ���� �� �������� � � ������ �������<br />

������ ���� ��<br />

[ik, l] = 1<br />

�<br />

∂gkl ∂gli ∂gik<br />

+ −<br />

2 ∂xi ∂xk ∂xl �<br />

, [ij, l] = 1<br />

�<br />

∂gjl ∂gli ∂gij<br />

+ −<br />

2 ∂xi ∂xj ∂xl �<br />

,<br />

��


����<br />

�� �� ����<br />

∂ 1<br />

[ik, l] =<br />

∂xj 2<br />

∂ 1<br />

[ij, l] =<br />

∂xk 2<br />

∂ ∂ 1<br />

[ik, l] − [ij, l] =<br />

∂xj ∂xk 2<br />

��� ������ � ����� ��� �� ��<br />

� �<br />

m<br />

= g<br />

i j<br />

mn [ij, n],<br />

� 2 ∂ gkl<br />

∂xi∂xj + ∂2gli ∂xk∂x j − ∂2gik ∂xj∂x l<br />

�<br />

,<br />

� 2 ∂ gjl<br />

∂xk∂x i + ∂2gli ∂xj∂x k − ∂2gij ∂xk∂x l<br />

�<br />

,<br />

� 2 ∂ gkl<br />

∂xi∂xj + ∂2gij ∂xk∂x l − ∂2gik ∂xj∂x l − ∂2gjl ∂xk∂x i<br />

�<br />

.<br />

� �<br />

m<br />

= g<br />

i k<br />

mn [ik, n],<br />

������������ �������������������� ������ ������ �������� � ������<br />

Rlijk = 1<br />

2<br />

� ∂ 2 gkl<br />

∂x i ∂x j + ∂2 gij<br />

∂x k ∂x l − ∂2 gik<br />

∂x j ∂x l − ∂2 gjl<br />

∂x k ∂x i<br />

�<br />

+<br />

+g mn ([ij, n][kl, m] − [ik, n][jl, m]) ,<br />

���� �� ���������� ����� ���������� ������ ���������� �������� ��������� ���<br />

������ �� ����������� ������ ������ �� �� ���� ������ �������������� � ������<br />

�� ���� ��� ����� �������� ��� �� �� Rlijk = −Riljk � �� �� ���������� � ������<br />

�� ������ ���� ��� � ���������� ��� �������� ��� �� �� Rlijk = Rjkli�<br />

��� �� ������� �� ��������� ui,jk − ui,kj = R l ijk ul� �� ���������� ��� ��<br />

���� �� ���� ����������� ��� �� ���������� � ������ �� �������� ������ ��<br />

��� ���������� �������� ������������ ����� ���������� ���� �� ������������<br />

������ ����� �� ���������� ������ ��� �� ��� ������������� ������� ������� �����<br />

���� �� ����� �� ������� ������ ��� ��������� �������<br />

∂2ui ∂xj∂x k − ∂2ui ∂xk .<br />

∂xj �������� ���� ����� �� ��������� ������ ����� � ������� �� ���������������<br />

�� ��� ����������� �������������� ���� ���� ������������ �� ����� �� � �����<br />

������ ��� ��������� ������ ���� ������� ���� �� ��� ������� ul� �� �� � ���<br />

������� Rl ijk = 0.<br />

����� �� ���������������� ������� ������� ����� �� ��� �� ����������<br />

������� ������� ��� ��������� ������� ���� � ������ �� ����������� ������<br />

��


����������� ��� �� ���� ��������� ������� ���� � � ������ �� ����� ����� ������<br />

���������� � ��� ��������� �� ����� �� �� � ������ ���������� ��������<br />

�������������������� ������ ��������� ������ ���� ��� ������ �� �� � ������<br />

�� ���� �� ����������� ������ � ��� �������� ���������<br />

� ����������������� �������� �������������������� ������ ��� � �������<br />

���� ����������� �� �� ����������<br />

R1212, R1213, R1223, R1313, R1323, R2323.<br />

�������� ���� ������ ���������� ���������� � ����������������� ��������<br />

��� ���������� ������ ������ ����� �� ����� �� �� � �����������������<br />

��������� � ���� � ��� ��������� ���� ����������� ������������ ������ ���<br />

����������� ���������������������� ������� � ����� ����������� ���������<br />

����������������� ��������<br />

��� ����������� �����������<br />

� ������� ������� ���� ����� �� ������� ����� ����� ������������ ���������<br />

��� �������������������� ������<br />

R l ijk = ∂<br />

∂xj � �<br />

l<br />

−<br />

i k<br />

∂<br />

∂xk � � � �� � � �� �<br />

l l r l r<br />

+<br />

−<br />

.<br />

i j r j i k r k i j<br />

��� ���������� ���� ������ � ������ �� ���� ������ ���������� xi �� �����<br />

���� � ����� P � ���� �� �� ����� �� �����<br />

R l ijk = ∂<br />

∂xj � �<br />

l<br />

−<br />

i k<br />

∂<br />

∂xk � �<br />

l<br />

,<br />

i j<br />

��� �� � ��� ������� ������������� ������� ����� ����� � ����� P ������� �����<br />

���� ���� �� � ��� ����� ������������ ����� ����� �� ���������� ������ �� ��<br />

������������ ����� �� ���������� m ���������������������� ������� ����<br />

R l ∂<br />

ijk,m =<br />

2<br />

∂xj∂x m<br />

� �<br />

l<br />

−<br />

i k<br />

∂2<br />

∂xk∂x m<br />

� �<br />

l<br />

.<br />

i j<br />

��������� ������������ ������� j, k, m �������� �� ��� ����� ������ ���������<br />

R l ikm,j = ∂2<br />

∂xk∂x j<br />

� �<br />

l<br />

−<br />

i m<br />

∂2<br />

∂xm∂xj � �<br />

l<br />

,<br />

i k<br />

R l ∂<br />

imj,k =<br />

2<br />

∂xk∂x m<br />

� �<br />

l<br />

−<br />

i j<br />

∂2<br />

∂xk∂x j<br />

� �<br />

l<br />

.<br />

i m<br />

��


���������� ���������� ��� ��������� �������� ��������� �����������<br />

R l ijk,m + R l ikm,j + R l imj,k = 0.<br />

� ������� �� �� ������� ��� ��������� �������� ��� ��� ��������� ���� � ����<br />

������������ ��������� � � ���� ������� ����������� ��������� ���� ��<br />

�������� � ����������� ������������ � � ���� �� ��������� ������� ��������<br />

����������� �� ���� ����������� ������������<br />

��� ������� ������� �������� ���������� �����������<br />

���������<br />

����������� ����� S � ����������������� ���������� �������� � �����<br />

�� �� �� �� ����� �������� ����������� y i = y i (x 1 , x 2 )� ���� �� y i , (i =<br />

1, 2, 3) ������������ ��������� ����������� � x α , (α = 1, 2) ���� ������������<br />

���������� �� ����� ��� ������� ���� ��<br />

dy i = ∂yi<br />

∂x α dxα ,<br />

� ������ ��������� �������� �� ������� ������� � ������������ x α � ���� ����<br />

��<br />

ds 2 = aαβdx α dx β ,<br />

���� ��<br />

aαβ = �<br />

i<br />

∂yi ∂xα ∂yi ,<br />

∂xβ ���������� ������������ ������ ���� �� ���� ���� ������� ������ ������ ���<br />

�������� ������ �������<br />

������������ ���������������� ������� ������ a αβ ���� �������� �����������<br />

a αβ aβγ = δ α γ .<br />

��� �� e αβ � eαβ e�������� ������ ����� ���� �� ��������� ������������<br />

������� ������ ���� �����������<br />

εαβ = √ a eαβ, ε αβ = 1<br />

√ a e αβ ,<br />

��� ��������� ������� ������ ����� ���� ��<br />

�<br />

�<br />

a = |aαβ| = �<br />

� a11 a12<br />

a12 a22<br />

��<br />

�<br />

�<br />

�<br />

� .


������ ���� ���� ������������ ������ uα �������� �� ����� ������� ������<br />

������������ ����� �� xβ � ������ �� �������� ������ aαβ ����<br />

uα,β = ∂uα<br />

� �<br />

γ<br />

− uγ ,<br />

∂xβ α β<br />

��� ���� �� � � γ<br />

������������ ������ ����� ����� ��������� �� ������<br />

α β<br />

���� �� �� ��������� � � γ γδ = a [αβ, δ]� � ������� ������� ���� �����������<br />

α β<br />

� � �� ������ � ����� ���� ������������� ������� ����� ����� � ������ �� ��<br />

����������� ��������� �� ������� ��� ������ uα,β ������������� ������������<br />

�� xγ �������� uα,βγ� ���� �� ���� ���������<br />

���� ��<br />

R λ αβγ = ∂<br />

∂x β<br />

uα,βγ − uα,γβ = R λ αβγuλ,<br />

� �<br />

λ<br />

−<br />

α γ<br />

∂<br />

∂xγ � � � �� � � �� �<br />

λ δ λ δ λ<br />

+<br />

−<br />

,<br />

α β α γ β δ α β γ δ<br />

�������������������� ������ ����� ����� �� ������<br />

�������������������� ������ ���� ����� ���� ������� ����������<br />

Rλαβγ = aλδ R δ αβγ.<br />

��� ���� ������������ �������������������� ������ ��������� �� 1<br />

4 ελα ε βγ �<br />

�������� ��������� ����������� �������� �����������<br />

K = 1<br />

4 ελα ε βγ Rλαβγ.<br />

�� �� ����������� ���� �� �������� ���� ������ �������� ������� aαβ � ����<br />

����� ������� �� ����� ���� ����������� �������� ������� ������ �������<br />

��������� ���������� ���������� �� εστεµν ��������<br />

εστ εµν K = ε λα εστ ε βγ εµν Rλαβγ = 1<br />

4 δλα στ δ βγ<br />

µν Rλαβγ.<br />

�������� � ������� �� ��������� ������� ����<br />

δ λα<br />

στ Rλαβγ = � δ λ σ δ α τ − δ λ τ δ α� σ Rλαβγ = Rστβγ − Rτσβγ = 2Rστβγ<br />

�<br />

2δ βγ<br />

µν Rστβγ = 2 � δ β µ δ γ nu − δ β ν δ γ �<br />

µ Rστβγ = 2Rστµν − 2Rστνµ = 4Rστµν.<br />

��


������ ��������<br />

Rστµν = εστ εµν K = a eστ eµν K,<br />

��� �������� �� �� ������������ ������������������� ������ ������ ����<br />

�������� ������ ������ e�������� � ����� ����������� K� ��� ����������� ��<br />

���� �������� ��� ������� ������� �������<br />

��� ����� �� ��<br />

R1212 = ε12 ε12 K = a e12 e12 K = a K ⇒ K = R1212<br />

a .<br />

��� �������� ������� K ���� �� ������� � ���� �� ��������� ������������<br />

������� R = g ij Rij� �� ����� �� ��������� �������� aαβ ����<br />

R = a 11 R11 + 2a 12 R12 + a 22 R22,<br />

������ �� R = − 2R1212<br />

a � ��� R = −2K� ��� ���������� ������ ����� �� R ������<br />

����������� ��������<br />

����������� ���� � ����� ����� ������ S ��������� ������� ∂yi<br />

∂yα �������<br />

������� ������ �� ������ � ��������� ������ ������� ������ ������� ��� ������<br />

�������� �� ������� ∂yi<br />

∂x1 � ∂yi<br />

∂x2 � ���� �� ������������ ���������� � ������ ��<br />

������ ������� U i� ��������<br />

U i � y 1 (x 1 , x 2 ), y 2 (x 1 , x 2 ), y 3 (x 1 , x 2 ) �<br />

���� ������������ � ������ �� ������ ������������� xα � ������� � ������<br />

������������� ����� �� ��������� ��������<br />

�<br />

U i U i = 1<br />

� ��� ������ �����������<br />

i<br />

i<br />

�<br />

i ∂yi<br />

U = 0 (α = 1, 2).<br />

∂xα ��� ��� ��������� ������������� �� x β � ��������<br />

− �<br />

i<br />

∂U i<br />

∂x β<br />

∂yi �<br />

=<br />

∂xα i<br />

��<br />

∂2y i<br />

∂xα = bαβ,<br />

∂xβ


��� ����������� ���� ��� ���� ������������ ������ ���� �� �������� � ������<br />

�� ������ ��������� �� bαβ = bβα� ��� ����� �� �� ������ bαβ �����������<br />

�������� �����������<br />

− �<br />

dU i dy i = bαβdx α dx β ,<br />

���� ��<br />

dU i =<br />

i<br />

∂U i<br />

∂x α dxα , dy i = ∂yi<br />

∂x β dxβ ,<br />

���� �� ����� �������� ����� ������� � ���������� ������������ ������ bαβ<br />

���� �� ����� ������� ��� ����� �������� ������ �������<br />

��������� ������� �� �������� ������� K = − 1R<br />

� 2<br />

����� �� ��<br />

R1212 = b11b22 − b 2 12 = |bαβ| = b,<br />

K = R1212 b<br />

=<br />

a a .<br />

���� ������� ������ �� ��� ������ �������� ����������<br />

�� ������ ������<br />

�<br />

U i U i = 1 i �<br />

i ∂yi<br />

U = 0,<br />

∂xα i<br />

����� �� �� bαβ,γ −bαγ,β = 0� ���� ������ ��������� �� ���� ��������� �������<br />

bαβ ����� �� ����� ��������� ��������� � ������� ������ ���� �� ���� ����<br />

��� �� ���������<br />

bαα,β − bαβ,α = 0 (α �= β),<br />

b11,2 − b12,1 = 0 i b22,2 − b21,2 = 0.<br />

��� ��������� �� ���� ����������� ��������� �� ����� � ���� �� �����������<br />

�������� � ������<br />

� � � �<br />

∂bαα ∂bαβ δ<br />

δ<br />

− − bαδ + bδβ = 0.<br />

∂xβ ∂xα α β α α<br />

�������� ��� ����� ������������ ��������� �������� ������� ������� ����<br />

���� ������ �� ������ S ���� ����� P ���� ����� C� ���� ��������� ������<br />

�������� ���� dyi<br />

ds = ti � � ��������� ������ ����� ������ ������� n i = ρ dti<br />

ds =<br />

ρ d2 y i<br />

ds 2 � ���� �� ρ ����������� ������� ����� C � ����� P � � ������ ��������<br />

��<br />

i


������ ������� ��� ����� C ������� �� �������� ������ U i � ����� P ����<br />

���� α� ��� ����<br />

cos α = �<br />

U i n i = ρ �<br />

��� �� � ������������� ���������� ������������<br />

i<br />

dt i<br />

ds = d2 y i<br />

ds 2 κ ni = ni<br />

ρ ,<br />

i<br />

U i d2yi ,<br />

ds2 ���� ��� �� κ ���������� ������� ����� C � ����� P � � �� ρ ���� �����������<br />

�������� ���� ����� �� ��<br />

cos α<br />

ρ =<br />

�<br />

i U id2yi aαβdxα .<br />

dxβ � ����� ������ ��<br />

�������<br />

�<br />

U i d 2 y i = �<br />

i<br />

i<br />

U i ∂2 y i<br />

∂x α ∂x β dxα dx β = bαβdx α dx β ,<br />

cos α<br />

ρ = bαβdxαdxβ aαβdxα .<br />

dxβ �� ���� ������ ������ �� �� ����� ������ �� �������� ����� P ����� C �<br />

�������� �������� dxα ������� �������� ����������� �� ��� ����� �� ������<br />

S ���� ����� P ���� � ��� ����� ����� ���� ��������� ����� ���� ���������� ��<br />

�����<br />

cos α<br />

ρ<br />

� �������� �� �� ����� �� �� ��� �� ����� ������ cos α � ρ ��������<br />

������� ��� �� �� ���� ���� ��������� �� ������ �������� ������ ��������������<br />

�� �������� ��� �� ������ ����� ������ ��� �������� ������� ���� ������ ����<br />

����� P �� ������ dx α � ��� ������� ���� ���� �������� � ���� ��������<br />

������� ������ � ����� P �� ��� ���� ���� �� ���� ���� ����� ������ �����<br />

���� � ���� ������ ������� �� ����� � ��� ������ � ��� ������� �� ���� α = 0<br />

��� α = π� ��� cos α = ±1� �� ������ ������<br />

cos α<br />

ρ<br />

= 1<br />

R<br />

ili ρ = R cos α,<br />

���� �� R ��������� ��� ��������� ����� ���� �� �� �� ������ ������� ������<br />

���� �������� � ������� �� ����� ���� ������������ ��� ���������<br />

��� �� κ ���������� ������� ������������ ��������� �������� ������ S � �����<br />

P � ��� �������<br />

κ = 1<br />

R<br />

= cos α<br />

ρ ,<br />

��


����� �� ��<br />

κ = bαβdxαdxβ aαβdxα ,<br />

dxβ ���� � ������� �� �� aαβdx α dx β = ds 2 > 0�<br />

(bαβ − κ aαβ)dx α dx β = 0.<br />

��� �� ������� ������� ����������� ���� ������� dxα �� ���� �� α ���� ����<br />

���������� ���� ���� �� ��� ���� ����������� ������ (bαβ − κ aαβ)dxβ = 0�<br />

���� ������ ��������� ��������� ��������� �� dxβ ����� ������������ ��������<br />

���� ��� ��<br />

�<br />

�<br />

|bαβ − κ aαβ| = �<br />

� b11<br />

�<br />

− κa11 b12 − κa12 �<br />

�<br />

� = 0,<br />

������ ��<br />

b12 − κa12 b22 − κa22<br />

aκ 2 − (a11b22 + 2a12b12 + a22b11)κ + b = 0.<br />

�� ��� ��������� �� κ �� ���� �� �� �������� ������� �������� ��������<br />

K = b<br />

a = κ1κ2 = 1<br />

R1R2<br />

���� �� ����������� ����������� �������� �������<br />

κ1 = 1<br />

R1<br />

i κ2 = 1<br />

���� ������ �������� ������� R1 � R2 �� ���� ������ ������������ �������<br />

������ � ������� ������<br />

��<br />

,<br />

R2


� ������<br />

������� ��� ��� �� S ij = S ji ���������� ������� � A ij = −A ji �������������<br />

������� �������� �� �� ���� ������ A ij Sij ������ ��<br />

��������<br />

������� ������������ ��� �������� �������� A ij Sij� ����� ������ ������<br />

�������� � ������<br />

A ij Sij = 1 � ij<br />

A Sij + A<br />

2<br />

ij �<br />

Sij .<br />

����������� ����� ���� � �������� ����� �� ������� i � j ������ �������� ��<br />

����� �� ��� ���� ����� ���� ���� �� ��������� ���� ������� ���� ������ i<br />

�������� �� j� � ������ j �� i� ���� �����<br />

A ij Sij = 1 � ij<br />

A Sij + A<br />

2<br />

ji �<br />

Sji .<br />

���� �� A ��������������� � S ���������� ������� ��� ������� Aij = −Aji �<br />

Sij = Sji � ����� �� ��<br />

��� �� � ������� ���������<br />

A ij Sij = 1 � ij<br />

A Sij − A<br />

2<br />

ij �<br />

Sij = 0,<br />

������� ��� �������� �� �� ����������� ������ ���� � ���� �������� ���<br />

���� ����������� � ��������������� �������� �������� �� �� � ���������<br />

�������� ds 2 �������� ��������������� ������ ��������� ������� gik ������ ��<br />

��������<br />

��� ��������� �������� �������� ������� �� ���������������� ������� ������<br />

����� �������� �� ��������<br />

T ij = A ij + B ij , ∀T ij , A ij = A ji , B ij = −B ji .<br />

�� ����� �� ��������� ����� ������������ ������� ��� � � ����������<br />

�������� ������� ��<br />

T ij = 1<br />

2 T ij + 1<br />

2 T ij .<br />

���� ������� � �������� 1<br />

2 T ji � ��� �������� ������������� �����������<br />

����� ������� ����� ������ �� ���� �� �� ����� �� �� ���� �����������<br />

��������� �� ���� ���� ������� ���������� �� T ji ��������<br />

����������������<br />

T ij = 1<br />

2 T ij + 1<br />

2 T ij ± 1<br />

2 T ji ,<br />

��


T ij = T ij + T ji<br />

2<br />

� �� �<br />

����������, ∀T ij<br />

+ T ij − T ji<br />

� �� 2 �<br />

��������������, ∀T ij<br />

.<br />

�������� ���� �� �� T ij +T ji<br />

���������� ������� � 2<br />

T ij−T ji<br />

��������������<br />

2<br />

������� ������ ����������� �� ������� ������ ������� ��������<br />

�������������� �������� �������������� ��������<br />

� � ij ji τ<br />

T + T<br />

=<br />

2<br />

(T ij ) τ + (T ji ) τ<br />

=<br />

2<br />

T ji + T ij<br />

=<br />

2<br />

T ij + T ji<br />

,<br />

2<br />

� � ij ji τ<br />

T − T<br />

=<br />

2<br />

(T ij ) τ − (T ji ) τ<br />

=<br />

2<br />

T ji − T ij<br />

= −<br />

2<br />

T ij − T ji<br />

,<br />

2<br />

���� �� ������� ���� ��� ��������<br />

����������� ds 2 = gikdx i dx k ���� ���� gik ��������� ��� ���� ����������� �<br />

��������������� �������� ���<br />

gik = aik + bik, aik = aki, bik = −bki.<br />

����� �� ��� aik � bik ���� ���������� ��<br />

�� ��<br />

aik = gik + gki<br />

2<br />

� �� �<br />

���������� ���<br />

, bik = gik − gki<br />

,<br />

2<br />

ds 2 � �<br />

gik + gki<br />

=<br />

dx<br />

2<br />

i dx k<br />

� �<br />

gik − gki<br />

+<br />

dx<br />

2<br />

i dx k .<br />

� �� �<br />

�������������� ���<br />

� ������� �� �� �������� ������ ����������� ��� gik = gki� ����� �� ��<br />

ds 2 � �<br />

gik + gki<br />

=<br />

dx<br />

2<br />

i dx k<br />

� �<br />

gik − gki<br />

+<br />

dx<br />

2<br />

� �� �<br />

i dx k ,<br />

� �� �<br />

=0<br />

=gik<br />

������� �������������� ��� ���� ����� �������� ������ �� ��� �� � �������<br />

���������<br />

��


������� ��� ���� ���������� ��������� ������� �� ����������������<br />

�������� ��������<br />

��������<br />

����������� ������� �v � �u �� ����������������� � �������������<br />

������������<br />

�v = λ 1 �e1 + λ 2 �e2 + λ 3 �e3; λ 1 = �v · �e1, λ 2 = �v · �e2, λ 3 = �v · �e3,<br />

�u = µ 1 �e1 + µ 2 �e2 + µ 3 �e3; µ 1 = �u · �e1, µ 2 = �u · �e2, µ 3 = �u · �e3.<br />

������ �������� ��� ����<br />

�u · �v = (µ 1 �e1 + µ 2 �e2 + µ 3 �e3) · (λ 1 �e1 + λ 2 �e2 + λ 3 �e3) =<br />

= µ 1 λ 1 �e1 · �e1 + µ 1 λ 2 �e1 · �e2 + µ 1 λ 3 �e1 · �e3 + µ 2 λ 1 �e2 · �e1 + µ 2 λ 2 �e2 · �e2 +<br />

+ µ 2 λ 3 �e2 · �e3 + µ 3 λ 1 �e3 · �e1 + µ 3 λ 2 �e3 · �e2 + µ 3 λ 3 �e3 · �e3 =<br />

= |gij = �ei · �ej; i, j = 1, 2, 3|<br />

= g11λ 1 µ 1 + g12<br />

����<br />

+ g31<br />

����<br />

g13<br />

= �<br />

ij<br />

g21<br />

λ 1 µ 3 + g32<br />

gijλ i µ j .<br />

λ 2 µ 1 + g13<br />

����<br />

g31<br />

λ 3 µ 1 + g21<br />

λ<br />

����<br />

2 µ 3 + g33λ 3 µ 3 =<br />

g23<br />

λ<br />

����<br />

1 µ 2 + g22λ 2 µ 2 + g23 λ<br />

����<br />

3 µ 2 +<br />

� ������� �� �� ��������� ������� ������������ ���� ��������� gij = δij� �� ��<br />

���������� ��������� ��������<br />

g12<br />

g11 = g22 = g33 = 1,<br />

g12 = g21 = g13 = g31 = g23 = g32 = 0.<br />

���� ��� �� �������� � ������ �������<br />

⎡<br />

1 0<br />

⎤<br />

0<br />

gij = ⎣ 0 1 0 ⎦ .<br />

0 0 1<br />

��<br />

g32


������� ��� ���� ���������� ��������� ������� �� ����������������<br />

�������� ����� ������� ���������� x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .<br />

��������<br />

�� ��������� ����� �� ���������� z �����<br />

z = ± � R 2 − x 2 − y 2 .<br />

������� ��������� �������� ������ �������� ������ �������� �������<br />

ds 2 = gikdx i dx k .<br />

� ����� ������� ����� �� �� � ds2 = dx2 + dy2 + dz2� ����� ������<br />

�������� dz ���� �� ������<br />

dz =<br />

�<br />

1<br />

±<br />

2 (R2 − x 2 − y 2 ) −1/2 (−2x)dx + 1<br />

2 (R2 − x 2 − y 2 ) −1/2 �<br />

(−2y)dy<br />

�<br />

= ±<br />

x<br />

y<br />

� dx + �<br />

R2 − x2 − y2 R2 − x2 − y2 dy<br />

�<br />

,<br />

dz 2 =<br />

⇒ ds2 �<br />

=<br />

x 2<br />

R 2 −x 2 −y 2 dx 2 +<br />

x 2<br />

R 2 −x 2 −y 2 + 1<br />

xy<br />

R 2 −x 2 −y 2 dxdy +<br />

�<br />

dx2 +<br />

yx<br />

R 2 −x 2 −y 2 dydx +<br />

y 2<br />

R 2 −x 2 −y 2 dy 2 ,<br />

xy<br />

R2−x2−y 2 yx<br />

dxdy + R2−x2−y 2 dydx+<br />

�<br />

+<br />

y 2<br />

R 2 −x 2 −y 2 + 1<br />

�<br />

dy2 .<br />

����� ������ ����� �������������� ��������� ����������� �� ������� x = x 1 �<br />

y = x 2 �<br />

ds 2 = gikdx i dx k =<br />

2�<br />

gikdx i dx k =<br />

i,k=1<br />

= g11dx 1 dx 1 + g12dx 1 dx 2 + g21dx 2 dx 1 + g22dx 2 dx 2 .<br />

��� �� ������ ������ � � ��������� �������� ��������� ����� x � y� �� ��<br />

�������� ���� ������ ������ ��������� ���������� ��������� �������<br />

g11 =<br />

g12 = g21 =<br />

g22 =<br />

x2 R2 − x2 + 1,<br />

− y2 xy<br />

R2 − x2 ,<br />

− y2 y2 R2 − x2 + 1.<br />

− y2 ��


���� ��� �������� � ������ �������<br />

�<br />

gij =<br />

x2 R2−x2−y 2 + 1<br />

xy<br />

R2−x2−y 2<br />

xy<br />

R2−x2−y 2<br />

y2 R2−x2−y 2 + 1<br />

������� ��� �������� �� �� ������������� ������� ����������� �� �� ������<br />

���� ���� ���� ���������� ����������� ������ ����������� ����������<br />

�������������� ������� ������� � ����� � ��� ����������<br />

��������<br />

���������� ���� ������ ��� �������������� ������� ���� ������ ��� ��<br />

��������� ��<br />

[ik, l] = 1<br />

�<br />

∂gil ∂gkl ∂gik<br />

+ −<br />

2 ∂xk ∂xi ∂xl �<br />

,<br />

���� �� i, k, l = 1, 2� �� ����� �� �������������� ������� ���� ����� ���<br />

������ 2 3 � ���<br />

[ik, l] = [11, 1], [11, 2], [12, 1], [12, 2], [21, 1], [21, 2], [22, 1], [22, 2] = 8.<br />

�������� �� ���� ���� �� �� ��� ��� ��������� ���������� ���� ����<br />

������� ��������� �������� ������������� ��������� �������� ��������� ������<br />

������� �� �� ���� ���������� ������<br />

[11, 1] = 1<br />

2<br />

� ∂g11<br />

∂x1 + ∂g11<br />

∂x1 − ∂g11<br />

∂x1 � = 1<br />

2<br />

[11, 2] = 1<br />

� ∂g12<br />

2 ∂x1 + ∂g12<br />

∂x1 − ∂g11<br />

∂x2 �<br />

1 = 2<br />

[12, 1] = 1<br />

�<br />

∂g11<br />

2<br />

∂x 2 + ∂g11<br />

∂x 1<br />

����<br />

∂g 12<br />

∂x 1<br />

− ∂g11<br />

∂x1 �<br />

= 1<br />

2<br />

[12, 2] = 1<br />

� ∂g12<br />

2 ∂x2 + ∂g22<br />

∂x1 − ∂g12<br />

∂x2 �<br />

1 = 2<br />

[21, 1] = 1<br />

� ∂g21<br />

2 ∂x1 + ∂g11<br />

∂x2 − ∂g21<br />

∂x1 �<br />

1 = 2<br />

[21, 2] = 1<br />

�<br />

∂g22<br />

2<br />

∂x 2 + ∂g12<br />

∂x 2<br />

����<br />

∂g 21<br />

∂x 2<br />

− ∂g21<br />

∂x2 �<br />

= 1<br />

2<br />

� ∂g11<br />

∂x 1<br />

� ,<br />

� ∂g12 2 ∂x1 − ∂g11<br />

∂x2 � ∂g11<br />

∂x1 �<br />

,<br />

� ∂g22<br />

∂x1 �<br />

,<br />

� ∂g11<br />

∂x 2<br />

� ,<br />

� ∂g22<br />

∂x1 �<br />

,<br />

[22, 1] = 1<br />

� ∂g21<br />

2 ∂x2 + ∂g21<br />

∂x2 − ∂g22<br />

∂x1 � �<br />

1 ∂g21 = 2 2 ∂x2 − ∂g22<br />

∂x1 �<br />

,<br />

[22, 2] = 1<br />

� ∂g22<br />

2 ∂x2 + ∂g22<br />

∂x2 − ∂g22<br />

∂x2 �<br />

1 = 2<br />

� ∂g22<br />

∂x2 �<br />

.<br />

��<br />

� ,<br />

�<br />

.


������ �� �� ��� ���������� ���� ��� ����� ������������� � �������������� ���<br />

��� ������ �� ������ ��������� �� �� ������������� ������� ���� �����<br />

���������� ������� �� ������� ���� ��� �������� ���<br />

[ik, l] = [ki, l].<br />

�� ��������� ��������� ������������ �� � ����� ��������� ������� �<br />

���������� �������������� ������� ���� ������<br />

� ��� ��������� ������� �� ������� �� ������� i, j, k ����� ���������� �� �� ��<br />

������ 3 3 �������������� ������� ���� ������ �� ��� ����� ������ ������<br />

�������� ��� ������� ��������<br />

���� �� l = 1� �������� �� � ������� �������� ���� ��� ����� � �������<br />

n = 2� [12, 1] = [21, 1]� ����� ���������� ����� ��� ������ � ����� ������<br />

�������� � ��������� �������������� ������� ���� ������ ������ �� �� ��� ��<br />

� ���� ������� �������� ��� ��� ������� �������� �� ��� [13, 1] = [31, 1] �<br />

[23, 1] = [32, 1]�<br />

���������� ��������� �� ����� ������ �� ����� �����<br />

[13, 1] = 1<br />

� ∂g11<br />

2 ∂x3 + ∂g31<br />

∂x1 − ∂g13<br />

∂x1 �<br />

1 = 2<br />

[31, 1] = 1<br />

� ∂g31<br />

2 ∂x1 + ∂g11<br />

∂x3 − ∂g31<br />

∂x1 �<br />

1 = 2<br />

� ∂g11<br />

∂x3 �<br />

,<br />

� ∂g11<br />

∂x3 �<br />

.<br />

���� �� l = 2� ������� �� ��� �� �������� ���� ��������� � ������� ��������<br />

��� �� [12, 2] = [21, 2]� [13, 2] = [31, 2] � [23, 2] = [32, 2]�<br />

���� ��������� ����� � � ������� �� l = 3� ������ ��� ��� ������� ��������<br />

[12, 3] = [21, 3]� [13, 3] = [31, 3] � [23, 3] = [32, 3]�<br />

������ � ������� n = 3 ����� ������ 3 · 3 = 9 �������� ��������������<br />

������� ���� ������ ������� 3 3 − 3 · 3 = 18 ���������� ��������������<br />

������� ���� ������<br />

������� ��� ���� ����������� ��������� ������������� ������� �<br />

����������������� ���������� �������� �� ������������ ������<br />

��������<br />

����� ������������ ������� ������� �ei · �ej = δij� ���� �� i, j = 1, 2� �� �����<br />

�� �� ���������� ��������� ������� �����<br />

�<br />

1 , ��� �� i = j<br />

gij =<br />

0 , ��� �� i �= j ,<br />

��


��� ����� �� ��<br />

∂gij<br />

= 0, ∀i, j.<br />

∂xk �� ���������� ������ �� ��� ������ ��� �� ���������� � ��������������<br />

���������� ��������� �������� ���������� �� ������ ������������ ������<br />

������ � �<br />

1<br />

= g<br />

1 1<br />

11 [11, 1] = g 11 · 1 ∂g11<br />

·<br />

2 ∂x1 = 0.<br />

����<br />

=0<br />

������ �� �� ��� �� ���� ����� �������� ���� ��� ������������ ������<br />

��������� � ������� �� ��������� ������� ����� ���� �� �� ����������<br />

���������� ������ ∂gij<br />

∂xk � � �������������� ��������� ����� ��� �� ��� ����<br />

������� ����� ������ �� ���������������� �������� ������� �������<br />

� �<br />

i<br />

= 0, ∀i, j, k = 1, 2.<br />

j k<br />

������� ��� ���� ����������� ��������� ������������� ������� �� ��������<br />

��������� ������<br />

��������<br />

��� ��������� �������������� ������� ����������� ������ ���������� ��� ��<br />

���������� �� ����������� ������� ������ ���<br />

x = ρ sin θ cos ϕ, y = ρ sin θ sin ϕ, z = ρ cos θ.<br />

�������� ������ �� ����� ��� ����������<br />

g11 = R 2 , g12 = g21 = 0, g22 = R 2 sin 2 θ<br />

���������� �� �� ������� ������ ���������� ρ ���������� ������� R� �� ��<br />

�������� ������ �������� ���� ���� �� ������� ������������� ������� ��<br />

�������� ������ ���� �� ���� � ���������� ����� (R = 1)� �� ���� �����<br />

g11 = 1, g12 = g21 = 0, g22 = sin 2 (x 1 ),<br />

���� ��� θ ���������� �� x 1 ���� �� ����� �������� ���������� ������ ∂gij<br />

∂x k �<br />

����������� ���� ������������� ������� �� l = 1 ��������� ��� ���������<br />

��������� ����������<br />

��


� � 1 11 1<br />

= g [11, 1] = 1 1<br />

2 · g11 · ∂g11<br />

∂x1 = 0,<br />

����<br />

=0<br />

� � � � 1 1 11 1<br />

= = g [12, 1] = 1 2 2 1<br />

2 · g11 · ∂g11<br />

∂x2 = 0,<br />

����<br />

=0<br />

� � 1 11 1<br />

= g [22, 1] = 2 2<br />

� � 2 21<br />

= g 1 1<br />

����<br />

=0<br />

[11, 1] = 0,<br />

� � � � 2 2 21<br />

= = g 1 2 2 1<br />

� � 2 21<br />

= g 2 2<br />

����<br />

=0<br />

����<br />

=0<br />

[22, 1] = 0.<br />

�� l = 2 �����<br />

� 12<br />

= g [11, 2] = 0,<br />

� 1<br />

1 1<br />

����<br />

=0<br />

� � � � 1 1 12<br />

= = g 1 2 2 1<br />

� � 1 12<br />

= g 2 2<br />

����<br />

=0<br />

����<br />

=0<br />

[22, 2] = 0,<br />

2 · g11 · � 2 · ∂g21<br />

∂x 2<br />

[12, 1] = 0,<br />

[12, 2] = 0,<br />

� � 2 22 2 1 1<br />

= g [11, 2] = sin (x ) 1 1<br />

����<br />

=0<br />

−<br />

2 · � 2 · ∂g12<br />

∂x 1<br />

����<br />

=0<br />

∂g22<br />

∂x 1<br />

����<br />

=2 sin(x 1 ) cos(x 1 )<br />

− ∂g11<br />

∂x2 �<br />

= 0,<br />

����<br />

0<br />

� = − sin(x 1 ) cos(x 1 ),<br />

� � � � 2 2 22 2 1 1 ∂g22<br />

= = g [12, 2] = sin (x )· · 1 2 2 1<br />

2 ∂x1 = sin2 (x1 )· 1<br />

2 ·2 sin(x1 ) cos(x1 ) =<br />

� � 2 22 2 1 1<br />

= g [22, 2] = sin (x ) · 2 2<br />

2<br />

∂g22<br />

·<br />

∂x2 = 0.<br />

����<br />

=0<br />

��<br />

= sin 3 (x 1 ) cos(x 1 ),


������� ��� �������� �� �� gil,k = [ki, l] + [kl, i]�<br />

��������<br />

gil,k �� ������ �� �������� ���������� � �� ����������� ����� ����� �� ∂gik<br />

∂xk �<br />

��������� �������� ���������� ����� ������� ����� ���������<br />

�������������� ������� ���� ������ �����<br />

[ki, l] = 1<br />

2<br />

� ∂gkl<br />

∂x<br />

[kl, i] = 1<br />

�<br />

∂gki<br />

2 ∂x<br />

���������� ��� ����� ��������� �����<br />

[ki, l] + [kl, i] = 1 �∂gkl<br />

2 ∂x<br />

��� �� � ������� ���������<br />

∂x<br />

∂x<br />

∂x l<br />

∂gil ∂gki<br />

+ − i k<br />

∂x<br />

∂x i<br />

∂gli ∂gkl<br />

+ − l k<br />

∂x<br />

∂x<br />

�<br />

,<br />

�<br />

.<br />

∂x k<br />

∂gil ∂gki ∂gki ∂gli<br />

+ − + + i k l l<br />

����<br />

∂g il<br />

∂x k<br />

− ∂gkl<br />

∂xi �<br />

� �� �<br />

2 ∂g il<br />

∂x k<br />

������� ��� ���������� ����� ��������� ��������<br />

�� �������� ������ ����������������� ���������� ��������<br />

⎡<br />

1 0<br />

⎤<br />

0<br />

gij = ⎣ 0 1 0 ⎦ ,<br />

0 0 1<br />

�� �������� ������ ���������������� �������� �����<br />

gij =<br />

�<br />

(x1 ) 2<br />

R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 x + 1<br />

1x2 R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2<br />

x1x2 R2−(x1 ) 2−(x2 2 (x<br />

)<br />

2 ) 2<br />

R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 + 1<br />

�<br />

.<br />

= ∂gil<br />

,<br />

∂xk ��������<br />

�� � ������� �� �� ��� ���������� ��������� ������� ���������� �� ��<br />

������ ���� ���������� �� ���� ������������ ������� ����� ������<br />

gij,k =<br />

⎡<br />

⎣<br />

0 0 0<br />

0 0 0<br />

0 0 0<br />

��<br />

⎤<br />

⎦ , ∀k.


�� ��� ���������� ���������� ��������� �������� ������� �� ���� ���������<br />

�������� �� ����� ���������� ���� ����� ������ ���������� �� ��<br />

���������� g12 � g21 �������� �� �� �� � ������ ���� ��������<br />

����� ���������� �� ���������� x 1 �������� �������<br />

gij,1 =<br />

⎡<br />

⎣<br />

2x1 [R2−(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

x2 [R2 +(x1 ) 2−(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

x2 [R2 +(x1 ) 2−(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

2x1 [(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

��� ����� ���������� �� ���������� x 2 �������� �������<br />

gij,2 =<br />

⎡<br />

⎣<br />

2(x1 ) 2x2 [R2−(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

x1 [R2 +(x1 ) 2−(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

��<br />

x1 [R2 +(x1 ) 2−(x2 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

2x2 [R2−(x1 ) 2 ]<br />

[R2−(x1 ) 2−(x2 ) 2 ] 2<br />

⎤<br />

⎦ ,<br />

⎤<br />

⎦ .


����������<br />

��� �������� �� �������� ��������� ������ ������ ������� �������� �����<br />

��� ������� ����� ���� ������� ��� ����������� ������� �������� �����<br />

��� ������ �������� ������� ����������� ��������� ��������� ����������<br />

������ �����<br />

��� ������� ��� � ������������� ������������ �� ����������� ���������<br />

������� �� ������� �����<br />

��� ���������������������<br />

��

Hooray! Your file is uploaded and ready to be published.

Saved successfully!

Ooh no, something went wrong!