Dinamika-predavanja003-slobodne-neprigusene-vibracije

3 SLOBODNE NEPRIGUŠENE VIBRACIJE
- nema uzbudne sile
- vibracije nastaju uslijed početnog pomaka i/ili početne brzine.
3.1 JEDNOSTAVNO HARMONIJSKO GIBANJE
Jednadžba gibanja
mx && + kx = 0
k
&& x + x = 0
m
2
&& x + ω x = 0
Rješenje jednadžbe gibanja
x(
t)
= Asin
ωt
+ B cos ωt
Početni uvjeti za t=0
x& x( t)
= 0
sin ωt
+ x0
cos ωt
ω
Period vibracija
T
= 2π
ω

x(
t)
=
X
amplituda
sin
fazni pomak
( ωt
+ ϕ)
X
=
3.2 INTERPRETACIJA RJEŠENJA
x
2
0
+
⎛
⎜
⎝
x&
0
ω
⎞
⎟
⎠
⎛ x ⎞
⎜
0ω
ϕ = arctg
⎟
⎝ x&
0 ⎠
2
brzina
ubrzanje
x&
() t = Xωcos( ωt
+ ϕ)
2
&& x() t = −Xω
sin( ωt
+ ϕ)
Prirodna (vlastita) frekvencija
f
1
=
T
=
ω
2π
[ Hz]

3.3 EKVIVALENTNA (ZAMJENJUJUĆA) KRUTOST
SDOF = jedna masa + jedna opruga
Zamjenjujuća opruga = ekvivalentni opis elastične krutosti konstrukcije
D
k
1
m
k
k
2 e
m
D
a) Paralelni spoj opruga
k
k
e
e
∆ =
=
k
( k + k )
1
1
+
k
2
2
∆
k
1
D k D k D
2 e
m
m
n
∑
k e
= k i
i=
1
W=mg
W=mg

3.3 EKVIVALENTNA (ZAMJENJUJUĆA) KRUTOST
SDOF = jedna masa + jedna opruga
Zamjenjujuća opruga = ekvivalentni opis elastične krutosti konstrukcije
k
k
1
2
m
a) Serijski spoj opruga
∆ = ∆
W
k
e
1
k
e
k
e
=
1
W
=
k
1
1
k
1
= n
+ ∆
+
∑
i=
1
2
W
+
k
1
k
1
1
k
i
2
2

3.3 EKVIVALENTNA (ZAMJENJUJUĆA) KRUTOST
Primjer kombinacije paralelnog i serijskog spoja opruga
k
k
k
3
4
m
k
1 2
kruto
k
k
e
e
( k )
e
( k )
k e
e
=
=
p
s
=
( k ) + ( k )
e
[ 1 ( k ) ] + 1 ( k )
=
=
k
⎛
⎜
⎝ k
p
1
e
+
p
k
[ ]
[ 1 ( k )] + [ 1 ( k )]
1
3
1
+ k
2
1
2
e
1
s
1
⎞ ⎛
⎟ +
⎜
⎠ ⎝
e
s
4
1
k
3
⎞ ⎛
⎟ +
⎜
⎠ ⎝
1
k
4
⎞
⎟
⎠

3.4 RAYLEIGH-eva METODA
Konzervativni sustavi (bez prigušenja)
fi
PRINCIP OČUVANJA ENERGIJE
Kinetička energija T (pohranjena u masi i proporcionalna
kvadratu brzine)
Potencijalna energija V (deformacijska energija pohranjena u
opruzi i proporcionalna njenoj elastičnoj deformaciji)
T + V = (ukupna mehanička energija) = const.
d
dt
( T +V ) = 0
fi
jednadžba gibanja
konzervativnog sustava (2.3)
fi vlastita kružna frekvencija w

3.4 RAYLEIGH-eva METODA
Za proizvoljno odabrana dva bliska vremenska trenutka vrijedi:
T
1
+ V1
= T2
+ V2
= const.
1. trenutak : masa u položaju statičke ravnoteže (nema
elastične deformacije ili energije deformacije u opruzi)
fi V 1
= 0
2. trenutak : maksimalno produljenje opruge (brzina mase jednaka
je nuli)
fi T 2
= 0
T
1
+ 0 = V2
+
0
T
max
= V max
fi vlastita kružna frekvencija w