Matematyczne podstawy techniki (Informatyka) Lista 2 - CiÄ gi ...

Matematyczne podstawy techniki (Informatyka)
Lista 2 - Ciągi liczbowe
1. Wypisać kilka początkowych wyrazów ciągu (a n ) n∈N
, którego wyraz ogólny określony
jest następującym wzorem:
a) a n = 3 n , b) a n = n+1
n , c) a n = (−2) n , d) a n = 1 + ( 1
2) n.
2. Na podstawie znajomości kilku początkowych wyrazów ciągu znaleźć wzór na wyraz
ogólny tego ciągu:
a) (a n ) n∈N
= (1, 4, 9, 16, 25, 36, . . .), b) (b n ) n∈N
= ( 1, 1 4 , 1 9 , 1
16 , 1
25 , 1
36 , . . .) ,
c) (c n ) n∈N
= (2, 0, 2, 0, 2, 0, 2 . . .), d) (d n ) n∈N
= ( 1, − 1 3 , 1 5 , − 1 7 , 1 9 , − 1
11 , . . .) ,
e) (e n ) n∈N
= (2, 1, 0, −1, −2, −3, . . .), f) (f n ) n∈N
= (−1, 1, 3, 5, 7, 9, . . .).
3. Zbadać monotoniczność i ograniczoność ciągu o wyrazie ogólnym:
a) a n = n
n+1 , b) a n = 3n
3 n +2 , c) a n = n2
2 n ,
d) a n = cos π 2n , e) a n = (−2) n , f) a n = √ n 2 + 4n − n.
4. Wykazać, że ciąg (a n ) n∈N
jest monotoniczny i ograniczony, a następnie obliczyć jego
granicę, jeżeli:
a) a 1 = √ 3, a n+1 = √ 3 + a n dla n ∈ N, a) a 1 = 3 2 , a n+1 = √ 3a n − 2 dla n ∈ N.
5. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) a n = n
3n+1 , b) a n = 4n−3
6−7n ,
c) a n = n2 −1
3+2n−n 2 , d) a n = 2n2 −4n+5
6n+3n 2 −4n 3 ,
e) a n = (n−1)(n+2)
3n 2 +1
, f) a n = (n−6)2
(6−7n)(n+2) ,
g) a n = 3 n + 6 √ n+2
,
h) a n = 4n−3
6−7n −
i) a n = (−1)n
3n+1 , j) a n = ( 2n−1
6+3n) 2,
k) a n = ( 5n−3
3n+1) 3, l) an =
n ,
8+n 3
( √n+3
√ n+1
) 4.
6. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) a n = √ n + 1 − √ n, b) a n = √ n 2 + n − n,
c) a n = n − √ n 2 + 5n, d) a n = √ 3n 2 + 2n − 5 − n √ 3,
e) a n = 3√ n 3 + 4n 2 − n, f) a n = 3√ n 3 + 2n 2 − 4 − 3√ n 2 + 1.
1

7. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) a n = 4n −1
2 2n −7 , b) a n = 5·32n −1
4·9 n +7 ,
c) a n = 3·22n+2 −10
, d) a 5·4 n−1 +3 n = −8n−1 ,
7 n
e) a n = 2n+1 −3 n+2
, f) a 3 n+2 +1 n = ( )
3 n 2 n+1 −1
,
2 3 n+2 −1
g) a n = 2n +7 n
4 n +7 n+1 , h) a n = 5n+3 −5
25 n −n ,
i) a n = n√ 3 n + 7 n + e n , j) a n = n√ 10 n + π n ,
k) a n = n √ ( 2
3) n
+
( 3
4) n
+
( 4
5) n, l) an = n√ 3 + sin n,
m) a n = n√ 3n + cos n, n) a n = n√ 1 + 2 + . . . + n,
o) a n = 3n+cos2 n
2n+sin n , p) a n = 4n2 −sin n
4n 2 −n+cos n .
8. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) a n = 1
1·2 + 1
2·3 + . . . + 1
n·(n+1) ,
b) a n = 1+2+...+n
n 2 ,
c) a n = 12 +2 2 +...+n 2
, d) a
n 3 n = 1+ 1 2 + 1 4 +...+ 1
2 n
.
1+ 1 3 + 1 9 +...+ 1
3 n
9. Obliczyć granicę ciągu o wyrazie ogólnym:
a) a n = ( 1 + 2 n) n, b) an = ( n+3
n
c) a n = ( n
n−5) 4n+1,
d) an = ( 1 − 4 n) −n+2,
e) a n =
(
3n 2 +2
3n 2 +1) n 2 −3
, f) an =
10. Uzasadnić, że podany ciąg nie ma granicy:
(
) n,
n 2
n 2 +6
) 3−2n 2
.
a) b n = (−1) n , b) b n = (−1) n + (−1) n(n+1)
2
,
c) b n = 1+(−1)n
2
, d) b n =
) n,
(1 + (−1)n
n
e) b n = sin nπ 2 , f) b n = cos nπ.
2