Diplomski rad 3D Grafika u LATEX-u - PMF - Univerzitet u Tuzli

JU Univerzitet u Tuzli 

Prirodno-Matematički fakultet 

Odsjek: Matematika 

Diplomski rad 

3D Grafika u L A TEX-u 

Juni, 2009. 

Amela Halidović

Mentor rada: Nermin Okičić, docent 

Rad ima 78 stranica. 

Redni broj diplomskog rada:

⋆ Rezime 

U ovom diplomskom radu je obrad¯en problem 3D grafike u L A TEX-u, bazirajući 

se na pstricks paketu pst-3dplot. 

U prvom poglavlju je dat matematički osvrt na samo funkcionisanje paketa 

pst-3dplot. U nastavku su definisane i pobliže objašnjene brojne naredbe za 

crtanje koordinatnog sistema, osnovnih 3D grafičkih objekata (tačka, linija, 

trougao, paralelogram, paralelopiped), složenih 3D grafičkih objekata (elipsa, 

kružnica, cilindar, paraboloid, kugla). Ipak, akcent je na petom poglavlju, 

koje je posvećeno grafičkom predstavljanju matematičkih funkcija. 

U dodatku je prezentiran paketpst-light3d, kao i osnovne karakteristike 

ostalih pstricks paketa za crtanje trodimezionalnih grafičkih objekata.

⋆ Summary 

In this thesis is elaborated the problem of 3D graphics in L A TEX. This 

elaboration is based on pstricks package pst-3dplot. 

The first chapter is giving a mathematical view on how this package works. 

Hereafter are defined and closely explained many macros for drawing the 

coordinate axes, basic 3D graphical objects (dot, line, triangle, square, box), 

complex 3D graphical objects (ellipse, circle, cylinder, paraboloid, sphere). 

However, the accent is on the fifth chapter, that is dedicated to the plotting 

mathematical functions. 

In the appendix is introduced pst-light3d package, as well as basic 

characteristics of the other pstricks packages for plotting three dimensional 

graphical objects.

3D Grafika u LATEX-u 

PST-3dplot 

PSTricks paket za crtanje 3D grafičkih objekata

Sadržaj 

1 PST-3dplot sa stanovišta Matematike 1 

1.1 3D koordinatni sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 

1.2 Paralelna projekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 

1.3 Kako pokrenuti 3D crtanje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 

2 Koordinatni sistem 8 

2.1 Crtanje koordinatnog sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 

2.1.1 Parametri Alpha i Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 

2.1.2 Parametri za numeraciju koordinatnih osa . . . . . . . 13 

2.1.3 Parametri za rotaciju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 

2.2 3D koordinatna mreža . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 

2.3 Put naredbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.3.1 \pstThreeDPut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 

2.3.2 \pstPlanePut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 

2.4 Povezivanje objekata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 

3 Osnovni 3D grafički objekti 31 

3.1 Tačka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 

3.2 Linija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 

3.3 Trougao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 

3.4 Paralelogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 

3.5 Paralelopiped . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

4 Složeni 3D grafički objekti 42 

4.1 Elipse i kružnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 

4.1.1 Elipsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 

4.1.2 Kružnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 

4.2 Površi drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.2.1 Cilindar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 

4.2.2 Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 

4.2.3 Sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

SADRŽAJ 

ii 

5 Matematičke funkcije 52 

5.1 Funkcije zadane eksplicitno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 

5.1.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 

5.2 Funkcije zadane parametarski . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 

5.2.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 

A Grafičko predstavljanje datoteka podataka 69 

A.1 Naredbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 

B Paket PST-light3d 71 

B.1 Naredba \PstLightThreeDText . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

B.1.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 

B.2 Naredba \PstLightThreeDGraphic . . . . . . . . . . . . . . 73 

B.2.1 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 

C Ostali PSTricks 3D paketi 76 

C.1 pst-solides3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 

C.2 pst-ob3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

C.3 pst-vue3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

C.4 pst-gr3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

C.5 pst-fr3d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 

C.6 pst-circ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Poglavlje 1 

PST-3dplot sa stanovišta 

Matematike 

Dobro poznati pstricks paket nudi odlične makro naredbe koje pružaju mogućnost 

unošenja manje ili više složenih grafika u dokument. pstricks paket je 

osnova za nekoliko drugih dodatnih paketa, koji su uglavnom nazvani pst-xxx, 

kao pst-plot. Postoji nekoliko paketa za crtanje trodimenzionalnih grafičkih 

objekata. Jedan od njih je pst-3dplot, koji je više sličan pst-plot paketu za 

dvodimenzionalne objekte i matematičke funkcije. 

1.1 3D koordinatni sistem 

Prilikom crtanja objekata u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom sistemu 

potreban nam je referentni okvir prema kome specificiramo lokaciju 

i veličinu objekta kojeg crtamo. Za dvodimenzionalno crtanje, referentni 

okvir je zapravo pravougli koordinatni sistem u ravni, koji se sastoji iz dvije 

perpendikularne (presjecaju se pod pravim uglom) ose, x i y. 

Za trodimenzionalno crtanje potrebno je dvodimenzionalni koordinatni 

sistem proširiti trećom dimenzijom koja daje komponentu dubine. Tako se 

uvodi nova osa z koja je perpendikularna na x i y ose i predstavlja liniju 

koja se crta ka posmatraču. Ose x, y i z, koje se sijeku u jednoj tački 

i perpendikularne su med¯usobno, predstavljaju trodimenzionalni pravougli 

koordinatni sistem i referentni okvir za 3D crtanje. Na slici 1.1 je predstavljen 

takav 3D koordinatni sistem, gdje y osa stremi pravo ka posmatraču. 

z 

x 

y 

Slika 1.1: 3D koordinatni sistem (y osa izvire iz ravni papira)

1.2 Paralelna projekcija 2 

Med¯utim, kako se y osa ne vidi, ovakav položaj koordinatnog sistema 

ne daje željeni osjećaj ‘prostornosti’ na papiru. Zbog toga se uvode uglovi 

rotacije 3D koordinatnog sistema, ugao horizontalne i ugao vertikalne rotacije. 

Ako zarotiramo pogled na koordinatni sistem sa slike 1.1 horizontalno u 

odnosu na z osu za ugao α i vertikalno u odnosu na x osu za ugao β, imat 

ćemo koordinatni sistem na slici 1.2. 

z 

x 

y 

Slika 1.2: Zarotirani 3D koordinatni sistem 

Ugao α je ugao horizontalne, a ugao β ugao vertikalne rotacije 3D sistema. 

Dakle, α je ugao izmed¯u x ose i horizontalne ose ravni papira, a β ugao izmed¯u 

z ose i vertikalne ose ravni papira. Naravno, pod pozitivnom rotacijom se 

podrazumijeva rotacija u smjeru suprotnom kretanju kazaljki na satu. 

1.2 Paralelna projekcija 

Od ranije je poznato kako se specificira položaj u 3D prostoru pomoću 

pravouglih koordinata. Med¯utim, bez odbzira na to kako možete da ubjedite 

svoje oko, na papiru postoje samo dvije dimenzije. Time se postavlja 

pitanje: Kako L A TEX prevodi 3D pravougle koordinate u dvodimenzionalne 

koje mogu da se crtaju na papiru? Kratak odgovor bi bio “Trigonometrija 

i prosta manipulacija matricom”. Ipak, to i nije tako jednostavno i biće u 

nastavku detaljno objašnjeno. 

Prva činjenica koju treba shvatiti jeste projekcija, kojom se 3D koordinate 

spljošte, odnosno projektuju na 2D površinu (ekran ili ravan papira). To je 

kao crtanje flomasterom obrisa nekog objekta na staklu koje se nalazi ispred 

njega. Kada pomjerimo staklo, na njemu se još mogu vidjeti konture objekta 

sa svim njegovim ugaonim ivicama. Na slici 1.3, kuća je projektovana na 

ravan komad stakla.


Slika 1.3: Projekcija 3D odjekta na 2D površinu 

Zamislimo sada 3D koordinatni sistem koji je od ravni papira zarotiran 

za horizontalni ugao rotacije α i vertikalni ugao rotacije β. Tačka u ovom 3D 

sistemu je odred¯ena svojim 3D koordinatama. Njena ortogonalna projekcija 

na ravan papira za posmatrača je tačka koju ne vidi i vizuelno doživljava 

kao tačku koja se nalazi na papiru ravno iza projektovane tačke. Ako sve 

ovo predstavimo na papiru, dobit ćemo sliku na kojoj će se polazna tačka 

i njena ortogonalna projekcija poklapati. Upravo ovo je osnovni koncept 

na kome se zasniva 3D crtanje u L A TEX-u upotrebom pst-3dplot paketa: 

tačka specificirana 3D koordinatama se prvo transformiše u tačku sa 2D 

koordinatama (svoju ortogonalnu projekciju), koja se onda može pradstaviti 

na dvodimenzionalnoj površini kakva je ravan papira. 

y E 

z 

y ∗ 

• 

P(x,y,z) 

P ∗ (x ∗ ,y ∗ ) 

x 

x ∗ 

α 

α 

x·sinα 

α x·cosα y·cosα 

y·sinα 

L M x·cosα α N 

y·cosα + x·sinα 

P xy 

y 

x E 

y·sinα − x·cosα 

Slika 1.4: Dužine u 2D i 3D sistemima


Na slici 1.4 prikazana je tačka P(x,y,z) u trodimenzionalnom koordinatnom 

sistemu (x,y,z) sa transformacijom u P ∗ (x ∗ ,y ∗ ), tačku u dvodimenzionalnom 

koordinatnom sistemu (x E ,y E ) ravni papira. Kakve zapravo koordinate 

ima tačka P ∗ u ravni (x E ,y E )? 

Spuštanjem okomica sa koordinatnih osa x i y na y E osu formiraju se dva 

pravougla trougla sa hipotenuzama x i y. Zbog jednakosti oštrih uglova s 

paralelnim, odnosno ortogonalnim kracima, uočeni pravougli trouglovi imaju 

po jedan oštar ugao jednak uglu α. Sada su katete pravouglih trouglova x·sinα 

i x·cosα, odnosno y·sinα i y·cosα za drugi trougao. 

Dvodimenzionalna x koordinata x ∗ tačke P ∗ je razlika dvije dužine LN i 

LM. Uočimo pravougli trougao △MNP xy . Njegova hipotenuza je NP xy = x, 

a stranice NP xy i MN ortogonalne na y, odnosno y E osu, te su uglovi ∠NLK 

i α jednaki kao dva oštra ugla s ortogonalnim kracima. Zbog toga je dužina 

MN jednaka x·cosα, i za koordinatu x ∗ dobijamo 

x ∗ = y·sinα − x·cosα. 

Jasno je da će koordinata x ∗ uvijek zavisiti samo od horizontalnog ugla 

rotacije α 3D sistema, jer se vertikalna rotacija vrši okomito na horizontalnu 

osu x E i izlazi iz ravni papira. Zbog toga, vertikalna rotacija utiče samo na 

y ∗ koordinatu tačke P ∗ . Dakle, ako nema vertikalne rotacije 3D sistema, tj. 

ako je β =0, onda je y ∗ =z. Ako je ugao β veći od 0 ◦ , onda samo koordinata 

y ∗ ima drugu vrijednost. 

Ugao β se lijepo vidi na slici 1.5, koja potiče od slike 1.1 kada se koordinatni 

sistem zarotira horizontalno za ugao −90 ◦ i vertikalno za ugao β. 

z 

y E 

z·cosβ 

(y·cosα + x·sinα)·sinβ 

y 

β 

β 

x 

y·cosα + x·sinα 

x E 

−(y·cosα + x·sinα)·sinβ 

Slika 1.5: 3D sistem za α=−90 ◦ i β>0 (x osa ulazi u ravan papira) 

Ortogonalna projekcija z koordinate tačke P na y E osu odsjeca na njoj 

dužinu z·cosβ. Ali, to još uvijek ne odred¯uje koordinatu y ∗ .

• 

• 


Okomice spuštene sa koordinatnih osa x i y na osu y E na slici 1.4 predstavljaju 

i dužine u (x,y) ravni. Isto vrijedi i za dužinu y ·cosα + x ·sinα . 

Vertikalnom rotacijom 3D sistema dužina y·cosα +x·sinα, kao i ravan (x,y), 

zaklapa ugao β sa osom x E (uglovi s ortogonalnim kracima). Na slici 1.5, 

dužina y·cosα + x·sinα se i vidi na y osi, zbog položaja 3D sistema (x,y,z). 

Dužina okomice povučene sa kraja te dužine u ravni (x,y) na osu x E jednaka 

je (y ·cosα + x·sinα)·sinβ. Kako se ova dužina nalazi ispod x E ose ona je 

negativna, pa je konačno 

y ∗ = z·cosβ − (y·cosα + x·sinα)·sinβ. 

Tako dobijamo sljedeće jednačine za transformaciju 3D pravouglih koordinata 

tačke u 2D koordinate u ravni (x E ,y E ): 

x ∗ = −x·cosα + y·sinα 

y ∗ = −(x·sinα + y·cosα)·sinβ + z·cosβ 

(1.1) 

ili, zapisano u matričnom obliku: 

⎛ ⎞ 

( ) ( ) 

x 

∗ 

x 

− cosα sinα 0 

y ∗ = 

· ⎝y⎠ . (1.2) 

− sinα sinβ − cosα sinβ cosβ 

z 

Prilikom svakog crtanja trodimenzionalnih objekata pomoću pst-3dplot 

paketa, L A TEX vrši transformacije 3D koordinata u dvodimenzionalne koje 

potom predstavlja na papiru. 

z 

z 

2 

(1,2,2) 

1 

y ∗ (x∗ ,y ∗ ) 

-2 

-1 

x ∗ 1 2 

x 

y 

x 

-1 

y 

Slika 1.6 

Slika 1.7 

Na slici 1.6 nacrtan je 3D koordinatni sistem, sa uglovima rotacije α=45 ◦ 

i β = 30 ◦ , te tačka sa koordinatama (1, 2, 2) pomoću naredbi pst-3dplot 

paketa. Dvodimenzionalne koordinate tačke (1, 2, 2), izračunate pomoću 

jednačina (1.1), su:

• 

• 

 

• 

 


√ √ 

2 2 

x ∗ = −1 · 

2 + 2 · ≈ 0.7071 , 

(√ √ ) 2 

2 2 

y ∗ = − 

2 + 2 · · 1 

√ 

3 

2 2 + 2 · 2 ≈ 0.6714 . 

Na slici 1.7 prikazan je i 2D koordinatni sistem, u kojem su koordinate tačke 

(1, 2, 2) upravo izračunate (x ∗ ,y ∗ ). 

Na narednoj slici predstavljena je još jedna ilustracija. Na prvom crtežu 

su nacrtane tačke (1, 2, 2) i (2, 1, 3) u 3D sistemu. Koristeći formule (1.1) dobijaju 

se transformacije ovih tačaka u dvodimenzionalne tačke sa približnim 

koordinatama (0.7071, 0.6714) i (−0.7071, 1.5374), koje se na prvom crtežu 

nalaze ravno ispod tačaka (1, 2, 2) i (2, 1, 3), tj. projektovana tačka i njena 

pojekcija se poklapaju. Zbog toga je na drugom crtežu 3D koordinatni sistem 

pomjeren (rotacijom) iz položaja koji ima na prvom crtežu, te se tako 

jasno vide original i njegova transformacija. 

2 

(2,1,3) 

z 

2 

z 

1 

(1,2,2) 

(2,1,3) 

• 

1 

-2 

-1 

1 2 

-2 

-1 

(1,2,2) 

1 2 

x 

-1 

y 

x 

-1 

y 

Slika 1.8 

Ovdje se može uočiti da su vektori koji ilustruju projekciju paralelni, pa 

se stoga svaka tačka duži čije su krajnje tačke (1, 2, 2) i (2, 1, 3) projektuje 

u neku tačku duži u ravni papira, sa krajnjim tačkama (0.7071, 0.6714) i 

(−0.7071, 1.5374). 

Na osnovu svega izloženog može se zaključiti da su uglovi horizontalne i 

vertikalne rotacije 3D sistema neophodni za svako 3D crtanje. Zbog toga, i 

ukoliko ih ne precizirate, oni već imaju svoju unaprijed definisanu vrijednost 

(po default-u) unutar pst-3dplot paketa. Stoga, kako svaka makro naredba 

pst-3dplot paketa zahtijeva vrijednosti ovih uglova, svaku njihovu promjenu 

je najbolje uvoditi pomoću \psset naredbe, jer tako svaka promjena postaje

1.3 Kako pokrenuti 3D crtanje? 7 

globalna unutar okruženja za koje je predvid¯ena. Ova veoma važna činjenica 

će ovdje možda biti pomalo nejasna, ali će se zato u nastavku, kada za to 

dod¯e pravo vrijeme, na nju skrenuti pažnja čitaoca . . . 

1.3 Kako pokrenuti 3D crtanje? 

Sve počinje aktivacijom paketa pst-3dplot u preambuli dokumenta, naredbom: 

⋆ \usepackage{pst-3dplot} ⋆ 

Prvi korak svake grafičke ilustracije jeste postavljenje referentnog okvira, 

odnosno crtanje koordinatnog sistema u odnosu na koji se objekti pozicioniraju. 

Zbog toga će sljedeće poglavlje biti u potpunosti posvećeno koordinatnom 

sistemu. 

pst-3dplot je pstricks paket za crtanje 3D grafičkih objekata, te se 

stoga svako crtanje pokreće unutar pspicture okruženja, koje se definiše na 

već poznati način. Naravno, sve pstricks opcije su moguće, kao i kombinovanje 

dvodimenzionalnog i trodimenzionalnog crtanja.

Poglavlje 2 

Koordinatni sistem 

2.1 Crtanje koordinatnog sistema 

Naredba za crtanje koordinatnog sistema je 

⋆ \pstThreeDCoor[Opcije] ⋆ 

Upotreba ove neredbe, uz izostavljanje bilo kakvih opcija, daje sljedeći 

rezultat: 

z 

\begin{pspicture}(-3.3,-2.2)(2,4.3) 

\pstThreeDCoor 

\end{pspicture} 

x 

y 

Jedina specijalna opcija jedrawing=true|false, koja omogućava crtanje 

koordinatnih osa. Default vrijednost ove opcije je true. Prilikom gotovo 

svakog 3D crtanja, za inicijalizaciju 3D koordinatnog sistema potrebno je 

koristiti ovu naredbu. Ako je pak ona postavljena na false, onda su sve 

opcije za podešavanje izgleda koordinatnih osa takod¯er onemogućene. 

U tablici 2.1 prikazani su svi novi parametri za podešavanje izgleda 3D 

koordinatnog sistema, kao i unaprijed definisane vrijednosti tih parametara

2.1 Crtanje koordinatnog sistema 9 

Tablica 2.1: Parametri za 3D koordinatni sistem 

Naziv parametra Moguće vrijednosti Default 

Alpha 45 

Beta 35 

xMin -1 

xMax 4 

yMin -1 

yMax 4 

zMin -1 

zMax 4 

nameX $x$ 

spotX 180 

nameY $y$ 

spotY 0 

nameZ $z$ 

spotZ 90 

IIIDticks false|true false 

Dx 1 

Dy 1 

Dz 1 

IIIDxTicksPlane xy|xz|yz xy 

IIIDyTicksPlane xy|xz|yz yz 

IIIDzTicksPlane xy|xz|yz yz 

IIIDticksize 0.1 

IIIDxticksep -0.4 

IIIDyticksep -0.2 

IIIDzticksep 0.2 

RotX 0 

RotY 0 

RotZ 0 

RotSequence xyz|xzy|yxz|yzx|zxy|zyx xyz 

koje L A TEX postavlja u slučaju izostanka njihovog preciziranja (default vrijednosti). 

Ne postoje ograničenja za uglove ili za minimalne i maksimalne vrijednosti 

na koordinatnim osama. Sve pstricks opcije su moguće, takod¯er. 

Promjene minimalne i maksimalne vrijednosti na odred¯enoj koordinatnoj 

osi vrše se parametrima xMin, xMax, yMin, yMax, zMin, zMax. Takod¯er 

je moguće promijeniti oznake koordinatnih osa (parametri nameX, nameY,


nameZ). Pozicioniranje oznake u odnosu na samu koordinatnu osu vrši se 

parametrima spotX, spotY i spotZ. Odabirom odgovarajućih vrijednosti 

(uglova) za ove parametre se zapravo vrši izbor uglova koje želimo da zaklapaju 

koordinatna osa i oznaka, te se na taj način vrši njeno pozicioniranje. 

Sve pomenute opcije ilustruju primjeri koji slijede, kao i način na koji se vrši 

promjena debljine i boje koordinatnih osa pomoću pstricks parametara. 

a 

c 

b 

\begin{pspicture}(-2.3,-2.3)(2.5,2.5) 

\pstThreeDCoor[ 

linewidth=1pt,linecolor=WildStrawberry, 

xMin=-2,xMax=2, 

yMin=-2,yMax=2, 

zMin=-2,zMax=2, 

nameX=$a$,nameY=$b$,nameZ=$c$] 


a 

c 

b 

\begin{pspicture}(-2.2,-2)(3,3) 


linewidth=1.2pt,linecolor=DarkViolet, 



zMin=-2,zMax=3, 

nameX=$a$,spotX=330, 

nameY=$b$,spotY=80, 

nameZ=$c$,spotZ=-160] 


v 

a 

t 



linewidth=1pt,linecolor=MidnightBlue, 

xMin=0,xMax=3, 

yMin=0,yMax=3, 

zMin=0,zMax=3, 

nameX=$v$,spotX=90, 

nameY=$t$,spotY=90, 

nameZ=$a$,spotZ=90] 


Preostali parametri iz tablice 2.1 bit će pojašljeni kroz naredne odjeljke.


2.1.1 Parametri Alpha i Beta 

U odjeljku 1.1 definisani su uglovi rotacije Dekartovog 3D koordinatnog sistema, 

ugao horizontalne i ugao vertikalne rotacije. Njihov izuzetni značaj 

za 3D crtanje u L A TEX-u pomoću pst-3dplot paketa opravdan je u odjeljku 

1.2. Naime, pomoću tih uglova se 3D koordinate prevode u dvodimenzionalne 

koje L A TEX ctra na papiru. Zbog toga je jasno da njihovo preciziranje mora 

biti sastavni i obavezni dio opcionih argumenata \pstThreeDCoor naredbe. 

Parametri Alpha i Beta predstavljaju upravo te uglove, gdje je Alpha ugao 

horizontalne, a Beta ugao vertikalne rotacije. 

Sljedeći primjeri pokazuju kako se izmjenom uglova Alpha i Beta vrši 

izmjena pogleda na isti koordinatni sistem. 

x 

z 

y 

\begin{pspicture}(-3.3,-1.5)(1,3) 


linewidth=1.2pt,linecolor=DarkViolet, 

xMin=-1,xMax=2.5, 

yMin=-1,yMax=2.5, 

zMin=-1,zMax=2.5, 

Alpha=0,Beta=0] 


x 

z 

y 



linewidth=1.2pt,linecolor=violet, 






x 

z 

y 



linewidth=1.2pt,linecolor=MidnightBlue, 




Alpha=45,Beta=30] % default vrijednosti 

\end{pspicture}


y x 

z 

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(1,3) 


linewidth=1.2pt,linecolor=MidnightBlue, 




Alpha=-60,Beta=0] 


y 

x 

z 

\begin{pspicture}(-3,-1.5)(1,3) 


linewidth=1.2pt,linecolor=violet, 






x 

z 

y 



linewidth=1.2pt,linecolor=DarkBlue, 




Alpha=30,Beta=-60] 


x 

z 

y 



linewidth=1.2pt,linecolor=WildStrawberry, 





\end{pspicture}


2.1.2 Parametri za numeraciju koordinatnih osa 

Numeracija koordinatnih osa postiže se parametrom IIIDticks. Moguće 

vrijednosti za ovaj parametar su false|true, a default vrijednost je false. 

Izborom opcije true za vrijednost ovog parametra, koordinatne ose dobijaju 

numeraciju i podione oznake. Med¯utim, preciziranje vrijednosti ovog 

parametra nije neophodno. Naime, samo navod¯enje ovog parametra u listi 

opcionih argumenata naredbe\pstThreeDCoor L A TEX će interpretirati kao izbor 

opcije true za njegovu vrijednost. Tako se izostavljanje ovog parametra 

interpretira kao i opcija IIIDticks=false. Naredni primjer ilustruje upravo 

rečeno. 

z 

-1.0 

3.0 

2.0 

-1.0 

1.0 



IIIDticks, 

linewidth=1pt, 

linecolor=DarkViolet!80] 


x 

1.0 2.0 3.0 

-1.0 

y 

1.0 2.0 3.0 

Podioni razmaci na koordinatnim osama, kao i pozicija numeracije i njena 

veličina u prethodnom primjeru imaju default vrijednosti. Ipak, svaka od 

ovih karakterizacija 3D sistema može biti promjenjena do željenog oblika. 

Veličina fonta kojim se vrši numeracija na osama može se promijeniti 

predefinisanjem makro naredbe na sljedeći način: 

\def\psxyzlabel#1{\bgroup\scriptsize\textsf{#1}\egroup} 

Ovom definicijom se vrši izbor \textsf fonta veličine \scriptsize za numeraciju 

na osama. U sljedećem primjeru je odabran \textrm font veličine 

\scriptsize.


z 

x 

1.0 2.0 3.0 

-2.0 

-1.0 

3.0 

2.0 

1.0 

-2.0 -1.0 

-1.0 

-2.0 

1.0 2.0 3.0 

y 

\def\psxyzlabel#1{\bgroup 

\scriptsize\textrm{#1}\egroup} 



IIIDticks, 


linecolor=DarkViolet!80, 

xMin=-2,yMin=-2,zMin=-2] 


Podioni razmaci na koordinatnim osama 

Izborom odred¯enih konkretnih vrijednosti (pozitivnih brojeva) za parametre 

Dx, Dy i Dz vrši se odabir podionih razmaka na koordinatnim osama x, y i z 

respektivno, te je na taj način moguće postići željenu podjelu. 

z 

x 

2.0 4.0 6.0 

-1.0 

-0.5 

0.75 

0.5 

-2.0 

0.25 

-4.0 

0.5 1.0 1.5 

-0.25 

-0.5 

y 



IIIDticks, 


linecolor=RedOrange!80, 

xMin=-2, 

yMin=-2, 

zMin=-2, 

Dx=2,Dy=0.5,Dz=0.25] 


Pozicija numeracije koordinatnih osa 

Postoje dva parametra za pozicioniranje numeracija koordinatnih osa. Parametri 

IIIDxTicksPlane, IIIDyTicksPlane i IIIDzTicksPlane postavljaju 

brojne vrijednosti na odgovarajućim osama x, y i z u ravni xy, yz ili xz,

1.5 

1.0 

0.5 

-1.0 


što omogućava optimalan pogled na 3D sistem. Takod¯er, moguće je precizirati 

udaljenost numeracije od same koordinatne ose, a parametri koji to 

omogućavaju su IIIDxticksep, IIIDyticksep i IIIDzticksep, gdje se prvi 

parametar odnosi na x, drugi na y, a treći na z osu, što je naglašeno i u 

nazivu parametra. Ilustracija funkcije navedenih parametara prikazana je u 

narednim primjerima. 

z 

x 

3.0 

-2.0 

1.0 

2.0 

-1.0 

3.0 

2.0 

-2.0 

1.0 -1.0 

1.0 2.0 3.0 

-1.0 

-2.0 

y 



linecolor=black, 

linewidth=0.9pt, 

IIIDticks, 

IIIDxTicksPlane=yz, 

xMin=-2,yMin=-2,zMin=-2] 


-0.5 

1.0 2.0 3.0 

y 

2.0 

4.0 

6.0 

z 

-2.0 

x 



linecolor=MidnightBlue, 

linewidth=1pt,IIIDticks, 

IIIDxTicksPlane=zx, 

IIIDxticksep=-0.2, 

IIIDyTicksPlane=yz, 

IIIDyticksep=-0.1, 

IIIDzTicksPlane=yz, 

IIIDzticksep=-0.2, 

Dx=0.5,Dy=1,Dz=2, 

Alpha=-135,Beta=-30] 


Sljedeći primjer prikazuje pogrešnu poziciju brojnih vrijednosti kojima 

se vrši numeracija koordinatnih osa. Naime, odabirom uglova Alpha i Beta 

koordinatne ose u prostoru zauzimaju pozicije tako da dolazi do preklapanja 

brojnih vrijednosti na osama. Takvo preklapanje se izbjegava upravo upotrebom 

opcija koje premještaju brojne vrijednosti u ravni koje su više pogodne.

-1.0 

0.5 

1.0 

1.5 


x 

0.5 1.0 1.5 

z 

-0.5 

y 

1.0 2.0 3.0 

2.0 

4.0 

6.0 

-2.0 

-1.0 



linecolor=NiceRed, 


IIIDticks, 

Dx=0.5,Dy=1,Dz=2, 



Moguće rješenje ovakvog problema je: 

y 

x 

1.0 2.0 3.0 

2.0 

4.0 

z 

6.0 

-2.0 

-0.5 





IIIDticks, 

IIIDxTicksPlane=zx, 

IIIDxticksep=-0.2, 

IIIDyTicksPlane=yz, 

IIIDyticksep=0.1, 

IIIDzTicksPlane=yz, 

IIIDzticksep=-0.2, 

Dx=0.5,Dy=1,Dz=2, 



U narednom primjeru nacrtane su dvije elipse u koordinatnom sistemu sa 

numerisanim osama. Elipse su nacrtane pomoću naredbi pst-3dplot paketa 

o kojima će u daljem izlaganju biti više riječi. 

Ono što je važno uočiti u ovom primjeru jeste sljedeće: Uglovi rotacije 

Alpha i Beta postavljeni su sa \psset naredbom i tako učinjeni globalnim za 

sve naredbe koje figurišu unutar ovog primjera. Razlog za to je taj što svaka 

pst-3dplot naredba zahtijeva vrijednosti ovih uglova, te u slučaju nepreciziranja 

istih koristi standardne (default) vrijednosti. Zato, ukoliko bi uglovi 

Alpha i Beta bili postavljeni kao opcioni parametri unutar \pstThreeDCoor 

naredbe, elipse će biti crtane za standardne vrijednosti uglova Alpha i Beta, 

tj. u standardnom 3D koordinatnom sistemu. 

Sa namjerom što boljeg pojašnjenja navedena su oba slučaja:

• 

• 

• 

• 


x 

1.0 2.0 3.0 

z 

3.0 

2.0 

1.0 

-1.0 

-1.0 

-1.0 

1.0 2.0 3.0 

y 


\pstThreeDCoor[Alpha=30,Beta=30,IIIDticks, 

linecolor=black] 

\psset{linecolor=mycolor, 

linewidth=1.7pt} 

\pstThreeDEllipse 

(1,0.5,0.5)(-0.5,1,0.5)(1,-0.5,-1) 

\pstThreeDDot[drawCoor=true] 

(1,0.5,0.5) % centar 

\psset{beginAngle=0,endAngle=270, 

linecolor=mycolor1} 


(2,1,2.5)(-0.5,0.5,0.5)(0.5,0.5,-1) 


(2,1,2.5) % centar 


. . . a trebalo bi da izgleda ovako: 

x 

1.0 2.0 3.0 

z 

3.0 

2.0 

1.0 

-1.0 

-1.0 

-1.0 

1.0 2.0 3.0 

y 


\psset{Alpha=30,Beta=30} 

\pstThreeDCoor[linecolor=black,IIIDticks] 

\psset{linecolor=mycolor, 



(1,0.5,0.5)(-0.5,1,0.5)(1,-0.5,-1) 


(1,0.5,0.5) % centar 


linecolor=mycolor1} 


(2,1,2.5)(-0.5,0.5,0.5)(0.5,0.5,-1) 


(2,1,2.5) % centar 

\end{pspicture}


2.1.3 Parametri za rotaciju 

Koordinatni sistem može biti rotiran neovisno o odabranim vrijednostima 

uglova Alpha i Beta. Tako je moguće postaviti koordinatne ose u bilo kojem 

pravcu i bilo kojem redoslijedu. 

Postoje tri parametra RotX, RotY, RotZ kao i dodatni RotSequence. 

Mouguće vrijednosti parametra RotSequence su bilo koje kombinacije slova 

xyz. Parametrima RotX, RotY i RotZ se vrši rotacija oko koordinatnih osa 

x, y i z respektivno. Ako se u nekoj makro naredbi upotrebljavaju sva tri, 

onda je opcijom RotSequence moguće precizirati redoslijed vršenja rotacija. 

Tako npr. opcija RotSequence=zxy odred¯uje redoslijed: RotZ, RotX, RotY. 

U sljedećem primjeru pomoćupstricks makro naredbe\multido prikazan 

je niz od 18 rotacija koordinatnog sistema oko z ose za po 10 o . 

z 

x 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

y 

x 

x 

y 

y 

x y 

x y 

x y 

x y 

x y 

x y 

y 

\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3.5) 

\multido{\iA=0+10}{18}{ 

\pstThreeDCoor[linewidth=1pt,linecolor=NiceRed, 

RotZ=\iA,xMin=0,xMax=5,yMin=0,yMax=5,zMin=-1,zMax=3.5] 

} 


Kroz naredne primjere ilustrovane su funkcije parametara RotX, RotY, 

RotZ, RotSequence na trodimenzionalnom objektu (kvadar).


x 

z 

y 

\begin{pspicture}(-2,-1.8)(2,2.5) 

\pstThreeDCoor[linecolor=black, 

xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=2,yMax=2,zMax=2] 

\pstThreeDBox(0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotX=90, 

linecolor=WildStrawberry]% 

(0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotX=90,RotY=90, 

linecolor=NiceRed!80]% 

(0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=CarnationPink!80]% 

(0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 


z 

x 

y 

\begin{pspicture}(-4.5,-2)(2,2.6) 

\pstThreeDCoor[xMin=0,xMax=2.5,yMin=0,yMax=2.5,zMin=0,zMax=2.5] 

\pstThreeDBox(0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=NiceRed](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotSequence=xzy,RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=viol_red](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotSequence=zyx,RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=cyan](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotSequence=zxy,RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=blue](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotSequence=yxz,RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=magenta](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[RotSequence=yzx,RotX=90,RotY=90,RotZ=90, 

linecolor=violet](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDBox[fillstyle=gradient](0,0,0)(.5,0,0)(0,1,0)(0,0,1.5) 

\pstThreeDCoor[xMin=0,xMax=2.5,yMin=0,yMax=2.5,zMin=0,zMax=2.5] 

\end{pspicture}

2.2 3D koordinatna mreža 20 

2.2 3D koordinatna mreža 

Opšte-poznata je činjenica da Descartes-ov trodimenzionalni koordinatni sistem 

predstavlja ortogonalni presjek tri ravni u prostoru (horizontalna, frontalna 

i profilna ravan). Zbog toga se koordinatna mreža 3D sistema sastoji 

iz koordinatnih mreža ravnina koje odred¯uju taj sistem. 

Naredba za crtanje koordinatne mreže u nekoj od ravnina 3D sistema ima 

sintaksu: 

⋆ \pstThreeDPlaneGrid[Opcije](xMin,yMin)(xMax,yMax) ⋆ 

Parametri navedeni unutar ( ) su obavezni i odred¯uju okvir koordinatne 

mreže, te je njihova funkcija ista kao i funkcija odgovarajućih parametara 

pst-plot paketa za naredbu \psgrid. Naime, na taj način se definišu koordinate 

dva suprotna tjemena četverougla u odred¯enoj ravni, koji predstavlja 

okvir za koordinatnu mrežu te ravni. Opcioni argumenti mijenjaju izgled koordinatne 

mreže, a parametri koji to omogućavaju su planeGrid, subticks 

i planeGridOffset. 

U narednim primjerima su odred¯ene opcije uvod¯ene pomoću\psset naredbe 

da bi učinjene globalnim za sve naredbe unutar pspicture okruženja. 

planeGrid 

Parametrom planeGrid se vrši izbor ravni u koju se želi umetnuti koordinatna 

mreža. Njegove moguće vrijednosti su: xy, xz iyz, a default vrijednost 

xy. 

U primjeru koji slijedi nacrtana je koordinatna mreža za sve tri ravni 

3D sistema, te promijenjena standardna debljina i boja linija kojima će se 

koordinatna mreža crtati. 

z 

x 

y 


\psset{linewidth=0.2pt, 

linecolor=lightgray} 


[xMin=0,yMin=0,zMin=0, 

linecolor=violet, 

linewidth=2pt] 

\pstThreeDPlaneGrid(0,0)(4,4) 

\pstThreeDPlaneGrid 

[planeGrid=xz](0,0)(4,4) 


[planeGrid=yz](0,0)(4,4) 

\end{pspicture}


subticks 

Iz prethodnog primjera smo vidjeli da ukoliko želimo da se koordinatna mreža 

sastoji iz odred¯enog broja linija, onda se taj broj mora precizirati. Parametar 

subticks ima sličnu funkciju. On je takod¯er definisan i u pst-plot 

paketu, ali ovdje uz komandu \pstThreeDPlaneGrid ima drugačiju funkciju. 

Naime, njime se odred¯uju podjele koordinatne mreže koje polaze od obje 

koordinatne ose ravni u kojoj se koordinatna mreža crta. 

U sljedećem primjeru je prikazana podjela koordinatne mreže na 6 dijelova 

od obje ose opcijom subticks=6. 

x 

z 

y 



linecolor=lightgray, 

subticks=6} 











Moguće je i determinisati podjelu koordinatne mreže različitim podjelama 

koje polaze od koordinatnih osa. Parametri koji to omogućavaju su 

xsubticks i ysubticks. 

x 

z 

y 




xsubticks=6, 

ysubticks=2} 










\end{pspicture}


planeGridOffset 

Koordinatna mreža može biti udaljena od koorinatnih osa za proizvoljnu 

dužinu. Parametar kojim se ta dužina precizira jeplaneGridOffset. Default 

vrijednost ovog parametra je 0. 

x 

z 

y 




subticks=6} 







[planeGrid=xz, 

planeGridOffset=4](0,0)(4,4) 




y 

x 

z 



linecolor=thistle!70, 

Alpha=-65,Beta=-45, 

subticks=5,unit=1.25} 


[planeGridOffset=-2, 

planeGrid=xy](-2,-2)(2,2) 


[planeGrid=xz, 

planeGridOffset=2](-2,-2)(2,2) 


[planeGridOffset=-2, 

planeGrid=yz,](-2,-2)(2,2) 


[xMin=-2,yMin=-2,zMin=-2, 

xMax=2,yMax=2,zMax=2, 




U narednim primjerima nacrtane su funkcije 

f(x,y)=sinx·y i f(x,y)= x2 + 2y 2 − 6x − 4y + 3 

10


pomoću naredbe \psplotThreeD, o kojoj će više riječi biti kasnije, a pomoću 

3D koordinatne mreže ograničeni dijelovi prostora unutar kojih su funkcije 

smještene. 

z 

x 

y 

\scalebox{1.2}[1.6]{ 

\begin{pspicture}(-5.45,-3)(5.45,3) 

\psset{nameX=\scriptsize{$x$},nameY=\scriptsize{$y$}, 

nameZ=\scriptsize{$z$}} 

\psset{Alpha=25,Beta=20, 

linecolor=thistle,linewidth=0.5pt, 

xsubticks=10,ysubticks=3,unit=0.8} 

\pstThreeDCoor[xMin=-5.5,yMin=-5.5,zMin=-1, 

xMax=5.5,yMax=5.5,zMax=1, 

linecolor=black,linewidth=.7pt] 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGridOffset=-1,ysubticks=10](-5,-5)(5,5) 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=5](-5,-1)(5,1) 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=-5](-5,-1)(5,1) 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=-5](-5,-1)(5,1) 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=5](-5,-1)(5,1) 

\psplotThreeD[plotstyle=curve,drawStyle=xyLines, 

yPlotpoints=70,xPlotpoints=70, 

linewidth=0.2pt,linecolor=black](-3.5,3.5)(-3.5,3.5) 

{x y mul 57 mul sin} 

\psset{subticks=10} 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGridOffset=1](-5,-5)(5,5) 

\end{pspicture}}


z 

x 

y 


\psset{Beta=10,Alpha=30,subticks=7} 

\pstThreeDCoor[xMin=0,yMin=0,zMin=0,xMax=7,yMax=7,zMax=7, 

linewidth=1.5pt,linecolor=black] 

\psset{linewidth=0.1pt,linecolor=gray} 


\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz](0,0)(7,7) 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz](0,0)(7,7) 

\pscustom[linewidth=0.1pt,fillstyle=gradient,gradbegin=MidnightBlue, 

gradend=lightgray,gradmidpoint=0.6,plotstyle=curve]{ 

\psset{xPlotpoints=200,yPlotpoints=1} 

\psplotThreeD(0,7)(0,0) 

{x dup mul y dup mul 2 mul add x 6 mul sub y 4 mul sub 3 add 10 div} 

\psset{xPlotpoints=1,yPlotpoints=200,drawStyle=yLines} 



\psset{xPlotpoints=200,yPlotpoints=1,drawStyle=xLines} 



\psset{xPlotpoints=1,yPlotpoints=200,drawStyle=yLines} 


{x dup mul y dup mul 2 mul add x 6 mul sub y 4 mul sub 3 add 10 div}} 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz,planeGridOffset=7](0,0)(7,7) 

\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=yz,planeGridOffset=7](0,0)(7,7) 

\end{pspicture}

• 

2.3 Put naredbe 25 

2.3 Put naredbe 

U L A TEX-u, općenito, put naredbe služe za pozicioniranje teksta ili bilo kakvih 

objekata na crtežu, kao i za označavanje objekata. Kod pst-plot paketa tu 

funkciju ima \rput naredba. Ona omogućava i pozicioniranje objekta sa 

raznih strana referentne tačke (parametri: lt|lB|lb|t|c|B|b|rt|rB|rb). 

Kod pst-3dplot paketa postoje dvije put naredbe, \pstThreeDPut i 

\pstPlanePut. Default parametar pozicioniranja prve je c (referentna tačka 

je centrirana u odnosu na objekat), a druge naredbe lB (referentna tačka je 

lijevo po osnovnoj liniji od objekta). 

2.3.1 \pstThreeDPut 

Sintaksa ove naredbe slična je \rput naredbi i glasi: 

⋆ \pstThreeDPut[opcije](x,y,z){objekat} ⋆ 

Unutar [ ] zagrada moguće je specificirati odred¯ene opcije za objekat, a 

(x,y,z) su koordinate referentne tačke objekta. 

• 

3D tačka 

x 

y 

z 


\psset{Alpha=-60,Beta=30} 


linecolor=MidnightBlue,linewidth=.8pt, 

xMin=-1,yMin=-1,zMin=-1, 

xMax=2,yMax=2,zMax=2] 

\pstThreeDPut(1,0.5,1.25){\emph{3D ta\v cka}} 

\pstThreeDDot[drawCoor=true](1,0.5,1.25) 


Ako se naredbom \pstThreeDPut želi postaviti neki 3D objekat, onda se 

referentna tačka ne mora vidjeti kao centar tog odjekta, zbog perspektive iz 

koje se koordinatni sistem posmatra. Med¯utim, to nije slučaj sa prethodnim 

primjerom jer je tekst dvodimenzionalan objekat. 

x 

z 

y 



linecolor=black,linewidth=.7pt, 


xMax=2.5,yMax=2.5,zMax=2.5] 

\pstThreeDBox[linecolor=thistle]% 

(-1,-1,-1)(0,1,0)(0,0,.5)(1.5,0,0) 

\pstThreeDPut[linecolor=MidnightBlue](1,-1,1.25) 

{\pstThreeDBox(-1,-1,-1)(0,1,0)(0,0,.5)(1.5,0,0)} 

\pstThreeDDot[drawCoor=true](1,-1,1.25) 

\end{pspicture}


2.3.2 \pstPlanePut 

Ova naredba omogućava postavljanje željenog objekta u jednu od tri koordinatne 

ravni 3D sistema. Sama definicija ove naredbe identična je prethodnoj: 

⋆ \pstPlanePut[opcije](x,y,z){objekat} ⋆ 

Med¯utim, opcioni argumenti ove naredbe se ured¯uju pomoću dva parametra: 

plane i planecorr. 

plane 

Parametrom plane se vrši izbor ravni u koju se objekat želi postaviti. Objekat 

može biti bilo kojeg tipa, ali u većini slučajeva on je neka vrsta teksta. 

Referentna tačka objekta je sa lijeve strane vertikalno centrirana, obično 

vid¯ena kao u poziciji lB. 

Moguće vrijednosti za ovaj parametar su: xy, xz, yz; a default vrijednost 

xy. Prvi parametar odred¯uje pozitivan smjer za širinu, a drugi za visinu. 

Kroz naredne primjere su ilustrovane sve tri vrijednosti za ovaj parametar. 

x 

xy plane 

xy plane 

xy plane 

z 

y 


\psset{Alpha=30} 



linewidth=.9pt, 

xMin=-3,yMin=-3, 

zMin=-3,zMax=3.3] 

\pstPlanePut[plane=xy](0,0,-2) 

{\fbox{\LARGE\emph{xy plane}}} 

\pstPlanePut[plane=xy](0,0,0) 


\pstPlanePut[plane=xy](0,0,2) 


\end{pspicture}

xz plane 


x 

xz plane 

z 

xz plane 

y 




linewidth=.9pt,xMin=-3, 



\pstPlanePut[plane=xz](0,-2,0) 

{\fbox{\LARGE\emph{xz plane}}} 

\pstPlanePut[plane=xz](0,0,0) 





x 

z 

yz plane 

yz plane 

yz plane 

y 




linewidth=.9pt,yMin=-3, 



\pstPlanePut[plane=yz](-2,0,0) 

{\fbox{\LARGE\emph{yz plane}}} 

\pstPlanePut[plane=yz](0,0,0) 


\pstPlanePut[plane=yz](2,0,0) 



planecorr 

U prethodnim primjerima je moguće uočiti i neke nepravilnosti. Naime, u 

prva dva primjera tekst je postavljen u odred¯ene ravni, ali je njegov odraz na 

papiru na neki način izokrenut. Kod trećeg primjera to nije slučaj i tekst je 

u potpunosti čitljiv. Za korekciju ovakvih nepravilnosti koristi se parametar 

planecorr. 

O čemu se zapravo radi? Naredba\pstPlanePut sa parametromplane=xy 

postavlja tekst u xy ravan sa gornje strane, tako da parametar x odred¯uje 

pozitivan smjer za širinu, a parametar y pozitivan smjer za visinu. Prema 

tome, ako je odraz teksta izokrenut, onda je ravan u prostoru postavljena 

tako da je vidimo sa donje strane. 

Sljedeće tri opcije mogu biti vrijednosti parametra planecorr:

•XZ 


⋆ off 

Izbor ove opcije ne uzrokuje nikakve promjene u prikazu i ona je, takod¯er, default 

vrijednost ovog parametra. Stoga je opcija planecorr=off postavljena 

u slučaju kada nedostaje parametar planecorr. 

•XY 

x 

z 

•YZ 

y 



xMax=3.2,yMax=3.2,zMax=4] 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=Violet](1,-1,2) 

\pstPlanePut[plane=xy](1,-1,2) 

{\fbox{\LARGE\Violet\textbf{XY}}} 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=magenta](1,3,1) 


{\fbox{\LARGE\magenta\textbf{XZ}}} 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=cyan](-1.5,0.5,3) 

\pstPlanePut[plane=yz](-1.5,0.5,3) 

{\fbox{\LARGE\cyan\textbf{YZ}}} 


⋆ normal 

Opcijom planecorr=normal se za svaki položaj koordinatnog sistema obezbjed¯uju 

ravni u kojima je postavljeni tekst čitljiv iz perspektive posmatranja 

3D sistema. 

x 

•XY 

z 

•YZ 

•XZ 

y 



xMax=3.2,yMax=3.2,zMax=4] 

\pstThreeDDot 


\pstPlanePut[plane=xy,planecorr=normal]% 

(1,-1,2){\fbox{\LARGE\Violet\textbf{XY}}} 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=magenta](1,3,1) 

\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal]% 

(1,3,1){\fbox{\LARGE\magenta\textbf{XZ}}} 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=cyan](-1.5,0.5,3) 

\pstPlanePut[plane=yz,planecorr=normal]% 

(-1.5,0.5,3){\fbox{\LARGE\cyan\textbf{YZ}}} 

\end{pspicture}

2.4 Povezivanje objekata 29 

⋆ xyrot 

Ova opcija omogućava dodatnu korekciju za xy ravan. Zbog simetričnosti 

pogleda, nekada je potrebno rotirati tekst u xy ravni tako da je linija teksta 

paralelna sa y, a ne x osom. To se postiže rotacijom ravni xy, a pomoću 

opcije planecorr=xyrot. 

x 

z 

•XY 

•YZ 

•XZ 

y 


\psset{Alpha=69.3,Beta=19.43} 



\pstThreeDDot 


\pstPlanePut[plane=xy,planecorr=xyrot]% 

(1,-1,2){\fbox{\LARGE\Violet\textbf{XY}}} 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=magenta](1,3.5,1) 

\pstPlanePut[plane=xz,planecorr=normal]% 

(1,3.5,1){\fbox{\LARGE\magenta\textbf{XZ}}} 

\pstThreeDDot 

[drawCoor=true,linecolor=cyan](-2,1,3) 

\pstPlanePut[plane=yz]% 

(-2,1,3){\fbox{\LARGE\cyan\textbf{YZ}}} 


2.4 Povezivanje objekata 

Povezivanje objekata u 3D sistemu vrši se definisanjem node-ova. Definicija 

3D node-a slična je definicijama dvodimenzionalnih node-ova i glasi: 

⋆ \pstThreeDNode(x,y,z){ime node-a} ⋆ 

gdje je (x,y,z) referentna tačka, a ime node-a najčešće definisano slovima 

A, B, C, . . . 

Ovom definicijom se zapravo definiše dvodimenzionalan node u 3D tački 

(x,y,z), pa se povezivanje dva 3D node-a vrši sintaksom za povezivanje 2D 

node-ova pst-plot paketa: 

⋆ \nc-veza{arrows}{node A}{node B} ⋆ 

Parametrom veza se specificira način povezivanja node-ova, a moguće su 

sljedeće opcije 1 : ncline, ncarc, ncdiag, ncdiagg, nccurve, . . . 

Evo nekoliko jednostavnijih primjera . . . 

1 Sve navedene opcije su definisane za pst-plot paket.

• 

2.4 Povezivanje objekata 30 

z 

x 

node A 

node B 

y 

\begin{pspicture}(-3,-2)(3,4) 

\pstThreeDCoor[linewidth=.8pt, 


xMax=3.5,yMax=3.5] 

\pstThreeDPut[linecolor=RedOrange](1.4,1,0) 

{\ovalnode{A}{\textsl{node A}}} 

\pstThreeDPut[linecolor=RedOrange](0,2,3) 

{\ovalnode{B}{\textsl{node B}}} 

\nccurve{->}{A}{B} 


x 

z 

translacija 

y 





\pstThreeDBox(1.2,0,0)% 

(-.5,0,0)(0,-1,0)(0,0,-1.5) 

\pstThreeDNode(1.2,0,0){A} 

\pstThreeDPut[linecolor=RedOrange](0,2,3.4) 

{\rnode{B} 

{\pstThreeDBox(0,0,0)% 

(-.5,0,0)(0,-1,0)(0,0,-1.5)}} 

\ncline{->}{A}{B} 

\tvput{\small\emph{translacija}} 


x 

z 

tačka u xz ravni 

y 




xMin=0,yMin=0,zMin=0, 


\pstThreeDPlaneGrid[planeGrid=xz, 



xsubticks=7, 

ysubticks=8](0,0)(3.5,4) 

\pstThreeDDot[linecolor=RedOrange](2,0,2) 

\pstThreeDNode(2,0,2){A} 

\pstThreeDPut(2,2,0){\rnode{B}{ 

\texttt{\emph{ta\v cka u xz ravni}}}} 

\ncarc[linewidth=.6pt]{

Poglavlje 3 

Osnovni 3D grafički objekti 

U ovom poglavlju će biti definisano mnoštvo naredbi za crtanje osnovnih grafičkih 

objekata 3D sistema, kao što su: tačka, prava, mnogougao, kvadar, . . . Neke od 

njih su već korištete u prethodnom izlaganju, ali će u nastavku biti detaljno 

objašnjene i ilustrovane brojnim primjerima. 

3.1 Tačka 

Naredba za crtanje tačke u 3D sistemu je: 

⋆ \pstThreeDDot[Opcije](x,y,z) ⋆ 

(x,y,z) su koordinate tačke koja se crta, dok opcioni argumenti odred¯uju 

njen izgled. 

Parametri kojima se specificira izgled tačke su svi parametri istog tipa 

naredbi \psdot i \psdots pst-plot paketa, a oni su: dotstyle, dotscale, 

dotsize,dotangle,fillcolor, . . . Varijacije svih ovih parametar su, takod¯er, 

preuzete iz pst-plot paketa. Jedini dodatni i posebni parametar naredbe 

\pstThreeDDot jeste parametar drawCoor, sa mogućim vrijednostima true 

i false, koji omogućava iscrtavanje koordinatnih linija tačke (isprekidanim 

linijama). Takod¯er je moguće i nacrtati ‘nevidljivu’ tačku opcijomdotstyle= 

none. U ovom slučaju naredba crta samo koordinatne linije tačke, ako je 

uključena i opcija drawCoor=true. 

U narednim primjerima ilustrovane su neke opcije za pomenute parametre. 

Korištena je i naredba \multido radi što bolje demonstracije crtanja 

tačaka u 3D sistemima. (Nacrtane su tačke oblika (a,a,a), gdje a ∈ {−3, −2, 

− 1, 0, 1, 2, 3}.)

3.1 Tačka 32 

x 

y 

z 

 

 


\psset{Alpha=30,Beta=60,arrowsize=0.15, 

drawCoor=true,dotstyle=pentagon*, 

dotscale=1.6,linecolor=MidnightBlue} 

\pstThreeDCoor[linewidth=.9pt,linecolor=black, 

xMin=-2,xMax=2,yMin=-2,yMax=2,zMin=-2,zMax=2] 

\pstThreeDDot(-1,1,1) 

\pstThreeDDot(1,-1,-1) 


x 

y 

z 

 

 

 

 

 

 


\psset{Alpha=65,Beta=30,linecolor=MidnightBlue} 

\pstThreeDCoor[linewidth=.9pt,linecolor=black, 

xMin=-2,xMax=2,yMin=-2,yMax=2,zMin=-2,zMax=2] 

\pstThreeDDot[dotstyle=pentagon*, 

dotscale=2.6,drawCoor=true](-1,1,1) 

\psset{dotstyle=triangle*,dotscale=1.8} 

\pstThreeDDot[dotangle=0](-1.22,.9,1.28) 

\pstThreeDDot[dotangle=68](-1,.6,1.05) 

\pstThreeDDot[dotangle=140](-.8,.82,.7) 

\pstThreeDDot[dotangle=212](-1.05,1.25,.67) 

\pstThreeDDot[dotangle=-60](-1.3,1.25,1.08) 


x 

y 

z 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 

+ 



dotstyle=+,dotsize=6pt, 

dotangle=45,drawCoor=true, 

arrowsize=0.15} 

\pstThreeDCoor[linewidth=1pt, 


xMin=-3.2,yMin=-3.2,zMin=-3.2, 


\multido{\n=-3+1}{7}{ 

\pstThreeDDot(\n,\n,\n)} 

\end{pspicture}

• 

 

 

3.2 Linija 33 

3.2 Linija 

Definicija naredbe za crtanje trodimenzionalne linije (prave) ista je kao definicija 

odgovarajuće naredbe pst-plot paketa (\psline): 

⋆ \pstThreeDLine[Opcije]{arrow}(x1,y1,z1)· · ·(xn,yn,zn) ⋆ 

Ona omogućava crtanje prave ili izlomljene linije. 

Dijelovi za opcije i arrow su opcioni, a broj tačaka je jedino ograničen 

memorijom. Sve opcije za pstricks linije su moguće, pa ne postoje dodatne 

opcije za 3D linije. Naredba za crtanje linija se koristi i za crtanje vektora, 

a jedina razlika je u izboru opcije za arrow, u slučaju linije je to ‘-’, a za 

vektor ‘->’. 

Za pst-3dplot paket ne postoji specijalna naredba za crtanje poligona, 

jer se gotovo isto može postići naredbom \pstThreeDLine. Ipak, za crtanje 

trouglova i paralelograma postoje posebne i pogodnije naredbe, o kojima u 

nastavku više. 

Primjeri 

x 

z 

y 


\psset{Alpha=30,Beta=60,arrowsize=0.15} 





\pstThreeDDot[dotstyle=diamond*, 

drawCoor=true](-1,1,1) 

\pstThreeDDot[drawCoor=true](1.5,-1,-1) 

\pstThreeDLine[linewidth=2pt, 

linecolor=violet](-1,1,1)(1.5,-1,-1) 


x 

z 

y 


\psset{Alpha=30,Beta=-60,drawCoor=true, 

dotstyle=Bpentagon,dotscale=1.3, 

arrowsize=0.15} 





\pstThreeDLine[linewidth=3pt,linearc=0.5, 

linecolor=violet,arrowscale=1.8] 

{}(-1,1,1)(1.5,2,-1)(1.5,-1,-1) 

\pstThreeDDot(-1,1,1) 

\pstThreeDDot(1.5,-1,-1) 

\end{pspicture}

3.2 Linija 34 

x 

z 

y 


\psset{Alpha=60,Beta=50,arrowsize=0.15} 




\pstThreeDLine[linewidth=1.8pt, 

linecolor=WildStrawberry, 

linearc=0.2]{H-H}% 

(3,1,1)(0,2,3)(.5,3,1)(2,0,3) 


z 

x 

y 


\pstThreeDCoor[linecolor=black,linewidth=.8pt, 

xMin=-3,xMax=3.5,yMin=-3,yMax=3.5,zMin=-1.5,zMax=4.8] 

\multido{\iA=1+1,\iB=60+-10}{5}{ 

\ifcase\iA\or\psset{linecolor=black}\or\psset{linecolor=violet} 

\or\psset{linecolor=mycolor1}\or\psset{linecolor=WildStrawberry} 

\or\psset{linecolor=mycolor} 

\fi 

\pstThreeDLine[SphericalCoor=true,linewidth=3pt] 

(\iA,0,\iB)(\iA,30,\iB)(\iA,60,\iB)(\iA,90,\iB)(\iA,120,\iB) 

(\iA,150,\iB)(\iA,180,\iB)(\iA,210,\iB)(\iA,240,\iB) 

(\iA,270,\iB)(\iA,300,\iB)(\iA,330,\iB)(\iA,360,\iB)} 

\multido{\iA=0+30}{12}{ 

\pstThreeDLine[SphericalCoor=true,linestyle=dashed] 

(0,0,0)(1,\iA,60)(2,\iA,50)(3,\iA,40)(4,\iA,30)(5,\iA,20)} 

\end{pspicture}

• 

• 

• 

3.3 Trougao 35 

U prethodnom primjeru su korištene sferne koordinate 3D tačaka, a njihovo 

korištenje omogućava se opcijomSphericalCoor=true. I u ovom slučaju 

moraju postojati tri parametra (r,φ,θ), gdje je r poluprečnik, a φ i θ sferni 

uglovi. Sferne koordinate je moguće koristiti kod svih naredbi koje zahtijevaju 

trodimenzionalne koordinate, osim kod naredbi za crtanje matematičkih 

funkcija. 

Za crtanje izlomljenih linija značajan je parametar linejoin, kojim se 

specificira način na koji se tačke spajaju. Ovaj parametar ima tri opcije 

0|1|2, koje su ilustrovane na sljedećoj slici, a default vrijednost je 0. 

linejoin=0 linejoin=1 linejoin=2 

Slika 3.1: Značenje opcija linejoin=0|1|2 za crtanje linija 

3.3 Trougao 

Naredba za crtanje trougla je: 

⋆ \pstThreeDTriangle[opcije](P1)(P2)(P3) ⋆ 

gdje tačke P1, P2 i P3 odred¯uju vrhove trougla. 

Ponovo su sve pstricks opcije moguće. Za trouglove je posebno važan 

parametar linejoin (slika 3.1). 

x 

z 

y 


\psset{linejoin=1,arrowsize=0.15} 



linewidth=.8pt,xMin=-4, 

yMin=-4,zMin=-4,zMax=3] 

\pstThreeDTriangle[ 

fillcolor=JungleGreen!40, 

fillstyle=solid,linewidth=1.5pt] 

(3,1,-2)(1,4,-1)(-2,2,0) 

\pstThreeDTriangle[drawCoor=true, 



(3.8,1,2)(3,4,-1)(-1,-.7,1) 

\end{pspicture}

• 

• 

• 

• 

 

3.4 Paralelogram 36 

3.4 Paralelogram 

Paralelogram je četverougao koji ima dva para paralelnih stranica, pa je za 

crtanje u potpunosti odred¯en sa početnom tačkom (koja predstavlja jedan vrh 

paralelograma) i dva vektora smjera koji odred¯uju stranice paralelograma. 

Na sljedećoj slici su prikazani ti vektori. 

z 

⃗u 

P 

⃗v 

⃗o 

x 

y 

Slika 3.2: Vektori položaja paralelograma 

Za pst-3dplot paket vektori ⃗o, ⃗u i ⃗v jednoznačno odred¯uju paralelogram 

sa jednim vrhom u tački P čiji je vektor položaja ⃗o, a vektori ⃗u i ⃗v su vektori 

pravca stranica paralelograma, koji se nalazi u ravni odred¯enoj vektorima ⃗u 

i ⃗v. Za crtanje paralelograma u 3D sistemu neophodno je precizirati upravo 

ove vektore, te naredba za crtanje paralelograma ima oblik: 

⋆ \pstThreeDSquare[Opcije](⃗o)(⃗u)(⃗v) ⋆ 

Paralelogram odred¯en istim vektorima ⃗o, ⃗u i ⃗v kao na slici 3.2, nacrtan 

pomoću naredbe \pstThreeDSquare, prikazan je u sljedećem primjeru: 

x 

z 

y 


\psset{drawCoor=true,arrowsize=0.15} 



xMin=-2.5,xMax=2.5, 

yMin=-2.5,yMax=2.5, 

zMin=-1,zMax=4] 

\pstThreeDSquare[linewidth=1.5pt, 

linecolor=MidnightBlue] 

(-2,2,3)(3.7,0,0)(0,1,0) 

\end{pspicture}

• 

3.5 Paralelopiped 37 

x 

y 

z 


\psset{Alpha=-20,Beta=48, 


linewidth=1.5pt,arrowsize=0.15} 





\pstThreeDSquare 

(-2,2,3)(3.7,0,0)(0,1,0) 

\pstThreeDSquare[RotZ=40] 

(-2,2,3)(3.7,0,0)(0,1,0) 


(-2,2,3)(3.7,0,0)(0,1,0) 


(-2,2,3)(3.7,0,0)(0,1,0) 


3.5 Paralelopiped 

Zapst-3dplot paket, paralelopiped je samo specijalan slučaj paralelograma. 

Naime, kada vektorima ⃗u i ⃗v pridružimo treći vektor ⃗w u istoj početnoj tački, 

dobijamo tri povezana vektora koji sada odred¯uju trodimenzionalan objekat– 

paralelopiped (slika 3.3). 

z 

⃗v 

⃗u 

⃗w 

⃗o 

x 

y 

Slika 3.3: Vektori položaja paralelopipeda 

Prema tome, sintaksa naredbe za crtanje 3D ‘kutije’ je: 

⋆ \pstThreeDBox[Opcije](⃗o)(⃗u)(⃗v)(⃗w) ⋆ 

gdje je ⃗o vektor položaja proizvoljne početne tačke (jednog vrha paralelopipeda), 

a ⃗u, ⃗v i ⃗w vektori pravca koji odred¯uju stranice paralelopipeda– 

vektori položaja paralelopipeda.

• 

• 


Paralelopiped, čiji su vektori položaja predstavljeni na prethodnoj slici, 

nacrtan je pomoću naredbe \pstThreeDBox u narednim primjerima. (To je, 

zapravo, kvadar je su mu vektori položaja med¯usobno ortogonalni.) 

x 

z 




linewidth=.8pt,arrowsize=0.15, 

xMin=-2,yMin=-2,xMax=2,yMax=2] 

\pstThreeDLine[linecolor=WildStrawberry, 

⃗u 

linewidth=1.4pt,arrows=->](0,0,0)(-1,1,2) 

⃗v 

• ⃗w \pstThreeDPut(-.75,.35,.7){$\vec{o}$} 

\pstThreeDPut(-.6,1.2,3){$\vec{u}$} 

⃗o \pstThreeDPut(0,1,2.3){$\vec{v}$} 

\pstThreeDPut(-1.2,1.5,2.3){$\vec{w}$} 

\psset{linecolor=violet,linewidth=1.2pt} 

\pstThreeDBox(-1,1,2)(0,0,2)(2,0,0)(0,1,0) 

y \pstThreeDDot[drawCoor=true](-1,1,2) 


z 

x 

y 










\pstThreeDBox(-1,1,2)(0,0,2)(2,0,0)(0,1,0) 

\pstThreeDDot[drawCoor=true](-1,1,2) 


y 

z 

x 










\pstThreeDBox(-1,1,2)(0,0,2)(2,0,0)(0,1,0) 


\end{pspicture}

• 


z 

x 

y 










\pstThreeDBox(-1,1,2)(0,0,2)(2,0,0)(0,1,0) 



Za crtanje kvadra postoji još jedna specijalna naredba, koja omogućava 

sjenčenje osnova i bočnih strana kvadra. Njena definicija je: 

⋆ \psBox[Opcije](⃗o){širina}{dubina}{visina} ⋆ 

gdje je ⃗o vektor položaja donjeg lijevog vrha kvadra. Izgled kvadra determinišu 

obavezni parametri širina, dubina i visina, koji se odražavaju u 

smjeru x, y i z ose, respektivno. 

x 

z 

y 

\psset{SegmentColor= 

{[cmyk]{0.98,0.13,0,0.43}}} 




linewidth=1pt,xMin=-2,xMax=3, 

yMin=-2,yMax=3,zMin=-2,zMax=3] 

\psBox(0,0,0){2}{1.4}{3.4} 


Za naredbu \psBox postoje dva parametra. Parametar showInside, sa 

mogućim vrijednostima true|false (default: true), omogućava sjenčenje 

osnova kvadra i na taj način skrivanje njegove unutrašnjosti. U sljedećem 

primjeru korištena je opcija showInside=false.


x 

y 

z 



xyzLight=0.5 2 -2.5} 




\psBox[showInside=false, 

SegmentColor={[cmyk]{0,0.53,0.38,0}}] 

(0,0,0){2}{1.4}{3.4} 


Intenzitet sjenčenja reguliše parametar xyzLight, i u narednim primjerima 

je ilustrovano njegovo korištenje. 

z 

x 

y 


\psset{Beta=30,xyzLight=-7 1 4} 






(2,1,1.5){2}{1.4}{4} 


x 

y 

z 



xyzLight=1 1 -4} 






(0,0,0){2}{1.4}{4} 


Boja kojom se vrši sjenčenje može se proizvoljno odabrati pomoću opcije 

SegmentColor={[cmyk]{c,m,y,k}}. U narednim primjerima je za boju 

sjenčenja odabrana MidnightBlue ({c,m,y,k}={0.98,0.13,0,0.43}).


x 

y 

z 


\psset{Alpha=-30,Beta=-45, 

xyzLight=1 -1 -4} 

\pstThreeDCoor[linecolor=DarkBlue, 



\psBox[SegmentColor={ 

[cmyk]{0.98,0.13,0,0.43}}] 

(0,0,0){2}{1.4}{4} 


x 

y 

z 


\psset{Alpha=-30,Beta=-45, 

xyzLight=1 2 3} 





[cmyk]{0.98,0.13,0,0.43}}] 

(0,0,0){2}{1.4}{4} 


z 

y 

x 



xyzLight=-4 2 7} 





[cmyk]{0.98,0.13,0,0.43}}] 

(0,0,0){2}{1.4}{4} 

\end{pspicture}

Poglavlje 4 

Složeni 3D grafički objekti 

4.1 Elipse i kružnice 

Elipsa, kao kriva drugog reda u ravni, ima jednačinu: 

e : 

(x − x M ) 2 

a 2 + (y − y M) 2 

b 2 = 1, 

gdje je tačka (x M ,y M ) centar elipse, a parametri a i b predstavljaju malu, 

odnosno veliku poluosu elipse. 

y 

F 2 

a 

e 

a 

b 

e 

M 

F 1 

x 

Slika 4.1: Elipsa u 2D sistemu 

Ako je u prethodnoj jednačini a = b, onda dobijamo jednačinu kružnice 

poluprečnika a, koja je, prema tome, samo specijalan slučaj elipse. 

Parametarski oblik jednačine elipse je: 

{ x = a · cos α 

e : 

y = b · sin α , 

a vektorski (da bi dobili elipsu u 3D sistemu): 

e : ⃗x = ⃗m + cos α · ⃗u + sin α · ⃗v (0 ≤ α ≤ 360),

4.1 Elipse i kružnice 43 

gdje je ⃗m vektor položaja centra elipse, a ⃗u i ⃗v vektori smjera, koji su 

ortogonalni med¯usobno, i čiji su intenziteti jednaki parametrima a i b. 

Na sljedećoj slici prikazana je elipsa u 3D sistemu, sa vektorima ⃗m, ⃗u i ⃗v. 

z 

⃗u 

⃗v 

x 

⃗m 

Slika 4.2: Elipsa u 3D sistemu 

y 

4.1.1 Elipsa 

Veoma je teško u 3D koordinatnom sistemu uočiti razliku izmed¯u elipse i 

kružnice. U zavisnosti od perspektive pogleda na koordinatni sistem, elipsa 

može biti vid¯ena kao kružnica i obratno. 

Naredba za crtanje elipse u 3D sistemu je: 

⋆ \pstThreeDEllipse[Opcije](⃗m)(⃗u)(⃗v) ⋆ 

Vektori ⃗m, ⃗u i ⃗v prikazani su na slici (4.2): ⃗m je vektor položaja tačke koja je 

centar elipse, a ⃗u i ⃗v su tzv. vektori smjera koji odred¯uju smjerove i dužine 

poluosa elipse i moraju biti ortogonalni med¯usobno (njihovi inetenziteti su 

jednaki poluosama a i b – respektivno). 

x 

z 

y 



\pstThreeDCoor[linecolor=black!75, 

xMax=3,yMax=2.5,zMax=2.5] 

\psset{linecolor=DarkOrchid!90,linewidth=1.5pt} 


(0,0,0)(-0.25,0.5,-0.5)(1.25,-0.625,-1.25) 

\psset{linecolor=thistle,linewidth=1.2pt} 

\pstThreeDLine{->}(0,0,0)(-0.25,0.5,-0.5) 

\pstThreeDLine{->}(0,0,0)(1.25,-0.625,-1.25) 

\end{pspicture}

• 


x 

z 

y 





\pstThreeDDot[drawCoor=true, 

linecolor=thistle](-1,0.5,0.5) 

\psset{linecolor=DarkOrchid!90,linewidth=1.5pt} 


(-1,0.5,0.5)(-0.2,0.4,-0.4)(1,-0.5,-1) 


Za izmjenu karaktristika elipse (debljina linije, boja . . . ) koriste se svi već 

postojeći parametri pst-plot paketa, kao i dva dodatna koji omogućavaju 

crtanje odred¯enih segmenata elipse definisanjem početnog i krajnjeg ugla 

crtanja, a oni su: 

⋆ beginAngle (default: 0), 

⋆ endAngle (default: 360). 

x 

z 

y 


\psset{Alpha=60,linewidth=1.5pt} 


xMax=4,yMax=2.5,zMax=3.5] 

\pstThreeDEllipse[linecolor=violet, 

beginAngle=0,endAngle=290] 

(0,-1,0)(-.25,.5,-.5)(1.25,-.625,-1.25) 

\pstThreeDEllipse[linecolor=NavyBlue, 

beginAngle=-280,endAngle=0] 

(.7,.6,0.4)(-.2,.4,-.4)(1,-.5,-1) 

\pstThreeDEllipse[linecolor=DarkOrchid!90, 

beginAngle=-90,endAngle=125] 

(-.8,.5,-.8)(-.16,.32,-.32)(.8,-.4,-.8) 


Redoslijed navod¯enja vektora ⃗u i ⃗v u prethodnoj definiciji je važan, jer 

odred¯uje smjer crtanja elipse, koji je u skladu sa pravilom desne ruke: 

ako se prvi vektor (⃗u) najkraćim putem dovede do poklapanja sa drugim vektorom 

(⃗v), onda dobijamo smjer pozitivnog kretanja. Ova činjenica je posebno 

značajna prilikom korištenja parametara beginAngle i endAngle. 

Na sljedećoj slici prikazana je ilustracija uticaja redoslijeda navod¯enja 

vektora ⃗u i ⃗v na smjer crtanja elipse, tako što su sve linije crtane sa opcijom 

arrows=->.


x 

x 

1.0 2.0 

1.0 2.0 

-1.0 

-1.0 

z 

-1.0 

z 

-1.0 

2.0 

1.0 

-1.0 

2.0 

1.0 

-1.0 

1.0 2.0 

1.0 2.0 

y 

y 

\psset{arrows=->,linewidth=1.5pt, 

linecolor=violet} 



IIIDticks,xMax=3,yMax=3,zMax=3] 


arrowscale=1.5} 

\pstThreeDEllipse(0,0,0)(2,0,0)(0,2,0) 




\vspace{2mm} 



IIIDticks,xMax=3,yMax=3,zMax=3] 


arrowscale=1.5} 





Ukoliko vektori ⃗u i ⃗v u definiciji naredbe \pstThreeDEllipse nisu ortogonalni, 

L A TEX će i dalje crtati elipsu sa ‘poluosama’ jednakim intenzitetima 

vektora ⃗u i ⃗v i koje neće biti ortogonalne. 

Na narednoj slici nacrtana je elipsa u xy ravni sa vektorima smjera koji 

nisu ortogonalni, te radi što bolje ilustracije ravan xy rotacijom 3D sistema 

smještena u ravan papira. Takod¯er je prikazana ista elipsa sa opcijama 

beginAngle=0 i endAngle=90. 

x 

x 

z 

y 

z 

y 

\psset{Alpha=0,Beta=90,linewidth=1.5pt, 

linecolor=DarkOrchid!90} 



xMax=2,yMax=1.5,zMax=2] 

\pstThreeDEllipse(0,0,0)(-0.5,1,0)(2,-0.5,0) 

\pstThreeDLine{->}(0,0,0)(-0.5,1,0) 

\pstThreeDLine{->}(0,0,0)(2,-0.5,0) 

\end{pspicture} \vspace{1mm} 



xMax=2,yMax=1.5,zMax=2] 

\pstThreeDEllipse[beginAngle=0,endAngle=90] 

(0,0,0)(-0.5,1,0)(2,-0.5,0) 

\pstThreeDLine{->}(0,0,0)(-0.5,1,0) 

\pstThreeDLine{->}(0,0,0)(2,-0.5,0) 

\end{pspicture}

• 

• 

• 

•• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

•• 

• 


Zapravo se radi o tome da zadavanjem proizvoljnih vektora za crtanje 

elipse L A TEX računa njihove ‘ortogonalne komponente’, čiji intenziteti odgovaraju 

stvarnim poluosama prikazane elipse. 

x 

z 

y 





\psset{linecolor=DarkOrchid!90, 



(1,1,0.5)(-0.5,0.5,1)(2,-0.5,0.4) 

\pstThreeDDot[drawCoor=true](1,1,0.5) 

\pstThreeDLine{->}(1,1,0.5)(0.5,1.5,1.5) 

\pstThreeDLine{->}(1,1,0.5)(3,0.5,0.9) 


4.1.2 Kružnica 

Kružnica je specijalan slučaj elipse, te ju je moguće nacrtati pomoću naredbe 

\pstThreeDEllipse, gdje vektori smjera ⃗u i ⃗v moraju biti istih intenziteta 

i ortogonalni med¯usobno (⃗u · ⃗v = ⃗0). Ipak, postoji i posebna naredba za 

crtanje kružnice: 

⋆ \pstThreeDCircle[Opcije](⃗m)(⃗u)(⃗v) ⋆ 

gdje vektori ⃗u i ⃗v moraju zadovoljavati već pomenute uvjete, a ⃗m je vektor 

položaja centra kružnice. 

x 

• • • • • • • 

z 

y 


\psset{linewidth=1.5pt,linecolor=NavyBlue} 



\pstThreeDCircle[linestyle=dashed,linecolor=violet] 

(1,1,0)(1,0,0)(0,-1,0) 

\pstThreeDCircle(1,1.6,1.5)(.8,.4,.8)(.8,-.8,-.4) 

\pstThreeDDot[drawCoor=true,linecolor=NavyBlue] 

(1,1.6,1.5) 

\psset{linecolor=DarkOrchid!90,linewidth=2pt, 

plotpoints=20,showpoints=true} 

\pstThreeDCircle(1.6,.6,2)(.8,.4,.8)(.8,-.8,-.4) 

\pstThreeDDot[drawCoor=true,linecolor=DarkOrchid!90] 

(1.6,.6,2) 

\end{pspicture}

4.2 Površi drugog reda 47 

4.2 Površi drugog reda 

4.2.1 Cilindar 

Naredba za crtanje uspravnog valjka–cilindra je 

⋆ \pstIIIDCylinder[Opcije](x,y,z){radijus}{visina} ⋆ 

gdje je (x,y,z) centar donje osnove cilindra, a radijus poluprečnik osnova. 

Ako nedostaju koordinate tačke (x,y,z), onda se za centar uzima (0,0,0). 

Primjeri 

z 

x 

y 




xMax=3,yMax=2.5,zMax=4.8, 



\pstIIIDCylinder{1.5}{3.5} 


z 

x 

y 






linewidth=.8pt] 

\pstIIIDCylinder[RotY=15, 

fillcolor=MidnightBlue!10, 

linecolor=black!80, 

fillstyle=solid]{1.5}{3.5} 


Broj izvodnica cilindra moguće je izmjeniti parametromincrement (engl. 

korak povećanja, prirast), koji precizira rastojanje izmed¯u njih. U narednom 

primjeru je pomoću opcije increment=0.4 nacrtan cilindar čije su izvodnice 

jako blizu, tako da ostavljaju dojam ‘neprekidnosti’ omotača.


x 

z 

y 







\pstIIIDCylinder[ 

linecolor=DarkOrchid!60, 

fillstyle=solid, 

increment=0.4]{1.5}{3} 

\psset{linecolor=black, 

linewidth=.8pt} 

\pstThreeDLine{->}(0,0,3)(0,0,4.4) 


Postoji još jedna naredba za crtanje cilindra. Njena sintaksa je slična 

prethodnoj definiciji: 

⋆ \psCylinder[Opcije](x,y,z){radijus}{visina} ⋆ 

gdje svi parametri imaju isto značenje. Jedina razlika je u tome da omotač 

cilindra nacrtanog pomoću ove naredbe biva ispunjen bojom (isjenčen), a 

opcijom showInside=false|true se unutrašnjost cilindra može sakriti ili 

prikazati. 

z 

x 

x 

z 

y 

y 

\psset{SegmentColor={[cmyk]{0,0.53,0.38,0}}} 




xMax=3,yMax=2.5,zMax=4, 

linecolor=RedOrange, 


\psCylinder[RotY=-45]{1.5}{3.5} 


\vspace{2mm} 




xMax=3,yMax=2.5,zMax=4, 

linecolor=RedOrange, 


\psCylinder[RotY=15,RotZ=-25,RotX=45, 

showInside=false]{1.5}{3.5} 

\end{pspicture}


4.2.2 Paraboloid 

Definicija naredbe za crtanje paraboloida je: 

⋆ \pstParaboloid[Opcije]{visina}{radijus} ⋆ 

gdje parametri visina i radijus zavise jedan od drugog–naime, radijus 

je poluprečnik kružnice na visini visina paraboloida. 

Po default-u je početna tačka paraboloida u koordinatnom početku, ali 

pomoću naredbe \pstThreeDPut paraboloid može biti premješten bilo gdje. 

U tablici ispod prikazani su parametri naredbe\pstParaboloid, sa mogućim 

vrijednostima. 

Naziv parametra Značenje Mog.vr.(Default) 

SegmentColor cmyk boja za segmente ({0.2,0.6,1,0}) 

showInside prikaz unutrašnjosti false|true(true) 1 

increment rast. izmed¯u izvodnica dužina (10) 

Tablica 4.1: Parametri naredbe \pstParaboloid 

Parametar SegmentColor ima sintaksu SegmentColor={[cmyk]{c,m,y,k}}. 

Boja za segmente mora biti postavljena kao cmyk boja, i u suprotnom njene 

vrijednosti ne mogu biti pročitane. Bijela boja segmenata data je sa 

SegmentColor={[cmyk]{0,0,0,0}}. 

Primjeri 

z 

\psset{showInside=false, 

SegmentColor={[cmyk]{0.34,0.90,0,0.02}}} 




\pstParaboloid{3.5}{1} 


x 

y 

1 Ove vrijednosti za MiKTeX ver.2.7 imaju drugačije značenje: false–prikazuje unutrašnjost, 

true–ne prikazuje unutrašnjost.

• 


x 

1.0 2.0 

-2.0 

-1.0 

z 

4.0 

3.0 

2.0 

-2.0 -1.0 

1.0 

-1.0 

1.0 2.0 

y 


\pstThreeDCoor[linewidth=1pt, 


xMax=3,yMax=3,zMax=5.8, 

xMin=-2,yMin=-2, 

IIIDticks] 

\pstThreeDPut(-1,1.5,1){ 

\pstParaboloid[showInside=false, 

SegmentColor={ 

[cmyk]{0.47,0.91,0,0.08}}] 

{4}{2}} 

\psset{linecolor=MidnightBlue} 

\pstThreeDLine[linewidth=1pt 

]{->}(0,0,2.2)(0,0,5.8) 


(-1,1.5,1) 


z 

5.0 

4.0 

3.0 

2.0 

1.0 

-1.0 

-1.0 

1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 

x 

1.0 


\psset{showInside=false} 

\pstThreeDCoor[linecolor=black,xMax=2,yMax=13,zMin=0,zMax=6,IIIDticks] 

\multido{\rA=2.0+2.5,\rB=0.15+0.20}{5}{ 

\pstParaboloid[SegmentColor={[cmyk]{0.07,\rB,0,0.34}}](0,\rA,0){5}{1}} 

\pstThreeDLine[linestyle=dashed]{->}(0,0,5)(0,13,5) 


y


4.2.3 Sfera 

Definicija naredbe za crtanje sfere je: 

⋆ \pstThreeDSphere[Opcije](x,y,z){radijus} ⋆ 

Tačka (x,y,z) je centar sfere. Moguće su sve opcije navedene u tablici 4.1, 

osim, naravno, opcija za parametar showInside. 

Primjeri 

z 

y 


\psset{SegmentColor={[cmyk] 

{0.40,0.80,0.20,0}}} 

\pstThreeDCoor[xMin=-2,yMax=2, 



\pstThreeDSphere(1,-1,2){1.6} 


drawCoor=true](1,-1,2) 


x 

x 

z 

y 


\psset{SegmentColor={[cmyk] 

{0,0,0,0}}} 

\pstThreeDCoor[xMin=-2,yMax=2, 



\pstThreeDSphere[ 

increment=8](1,-1,2){1.6} 


drawCoor=true](1,-1,2) 

\end{pspicture}

Poglavlje 5 

Matematičke funkcije 

Ovo poglavlje je posvećeno crtanju grafika matematičkih funkcija dvije promjenljive. 

Postoje dvije naredbe, koje rade slično kao odgovarajuće naredbe paketa 

pst-plot. One su: 

⋆ \psplotThreeD – koja služi za grafičko predstavljanje funkcija f(x,y) 

zadanih u eksplicitnom obliku; 

⋆ \parametricplotThreeD – kojom se grafički predstavljaju funkcije date 

u parametarskom obliku. 

5.1 Funkcije zadane eksplicitno 

Naredba \psplotThreeD za crtanje ekslicitno zadanih funkcija nema istu 

sintaksu kao odgovarajuća naredba pst-plot paketa, ali obje rade na isti 

način. Naredba je definisana sa: 

⋆ \psplotThreeD[Opcije](xMin,xMax)(yMin,yMax){Funkcija} ⋆ 

Funkcija mora biti zapisana PostScript kodom, tj. inverznom poljskom 

notacijom (IPN). Takod¯er, jedini validni nazivi promjenljivih su x i y. (Na 

primjer: {x dup mul y dup mul add sqrt} je PostScript kod funkcije 

date sa f(x,y) = √ x 2 + y 2 .) 

U tablici 5.1 prikazani su parametri naredbe \psplotThreeD, kao i njihove 

moguće i default vrijednosti. Naredba \psplotThreeD ima iste opcije 

za parametar plotstyle kao i naredba \psplot, dok su opcije plotpoints 

parametra sada podijeljene na opcije za promjenljivu x i opcije za promjenljivu 

y.

5.1 Funkcije zadane eksplicitno 53 

Naziv parametra Moguće vrijednosti Default 

dots 

line 

polygon 

plotstyle curve none 

ecurve 

ccurve 

none 

showpoints false|true false 

xPlotpoints 25 

yPlotpoints 25 

xLines 

drawStyle yLines xLines 

xyLines 

yxLines 

hiddenLine false|true false 

Tablica 5.1: Parametri naredbe \psplotThreeD 

Na sljedećoj slici prikazan je grafik funkcije f(x,y) = (5x − y)e −(x2 +y 2) . 

z 

x 

y 



\pstThreeDCoor[xMax=4,yMax=4.5,zMax=3.5,linecolor=black!60, 


\psplotThreeD[linewidth=.5pt,plotstyle=line,drawStyle=xLines, 

xPlotpoints=40,yPlotpoints=40](-3,3)(-3,3) 

{1 2.718183 x x mul y y mul add exp div x 5 mul y sub mul} 

\end{pspicture}


U ovom primjeru odabrane su opcijeplotstyle=line idrawStyle=xLines. 

Kroz naredne primjere će biti ilustovane i druge opcije parametraplotstyle. 

Opcijom plotstyle=curve postiže se glatkoća grafika. 

x 

y 

z 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Slika 5.1: Grafik funkcije f(x,y) sa opcijom plotstyle=dots 

x 

y 

z 

Slika 5.2: Grafik funkcije f(x,y) sa opcijom plotstyle=curve 

x 

y 

z 

Slika 5.3: Grafik funkcije f(x,y) sa opcijom plotstyle=ccurve


Parametrima xPlotpoints i yPlotpoints se bira broj tačaka za obje 

promjenljive, koji odred¯uje broj linija krive koje će se crtati. Te linije mogu 

biti nacrtane na četiri načina, koji se precizira parametrom drawStyle. Opcije 

parametra drawStyle su: 

⋆ xLines – linije se crtaju u smjeru x ose (default), 

⋆ yLines – linije se crtaju u smjeru y ose, 

⋆ xyLines – linije se prvo crtaju u smjeru x, a zatim u smjeru y ose, 

⋆ yxLines – linije se prvo crtaju u smjeru y, a zatim u smjeru x ose. 

U narednim primjerima nacrtan je grafik funkcije 

f(x,y) = sin x sin y sin(x + y) 

(⋆) 

te ilustrovane razne opcije za parametar drawStyle. 

z 

x 

y 


\pstThreeDCoor[xMax=5,yMax=5,zMax=3.5,linewidth=.8pt, 

linecolor=black!60] 

\psplotThreeD[linewidth=.8pt,plotstyle=curve,drawStyle=xLines, 

yPlotpoints=50,xPlotpoints=50](-4,4)(-4,4) 

{x 57 mul sin y 57 mul sin mul x y add 57 mul sin mul} 

\end{pspicture}


z 

x 

y 

Slika 5.4: Grafik funkcije (⋆) sa opcijom drawStyle=yLines 

z 

x 

y 

Slika 5.5: Grafik funkcije (⋆) sa opcijom drawStyle=xyLines 

Crtanje trodimenzionalnih funkcija sa krivuljama koje su transparentne 

(prozirne) čini teško vidljivim tačke koje se nalaze ispred ili iza drugih. Zbog 

toga, \psplotThreeD naredba ima opcioni parametar hiddenLine, koji radi 

na način da prostor izmed¯u svake dvije linije krive ispuni bijelom bojom 

(default). 

U sljedećim primjerima ilustrovana je primjena ovog parametra na primjeru 

funkcije 

( 

f(x,y) = 10 x 3 + xy 4 − x ) 

e −(x2 +y 2 ) + e 

−((x−1.225) 2 +y 2 ) (⋆⋆) 

5


z 

x 

y 


\psset{Beta=15} \psscalebox{.8}{ 

\pstThreeDCoor[xMax=5,yMax=5,zMax=4.5,linecolor=black,linewidth=.8pt] 

\psplotThreeD[plotstyle=curve,hiddenLine=true,drawStyle=xLines, 

yPlotpoints=50,xPlotpoints=50,linewidth=1pt,linecolor=DarkViolet] 

(-4,4)(-4,4){x 3 exp x y 4 exp mul add x 5 div sub 10 mul 

2.729 x dup mul y dup mul add neg exp mul 

2.729 x 1.225 sub dup mul y dup mul add neg exp add}} 


z 

x 

y 

Slika 5.6: Grafik funkcije (⋆⋆) sa opcijamadrawStyle=yLines ihiddenLine=true


5.1.1 Primjeri 

z 

x 

y 

f (x,y) = (5x − y)e −(x2 +y 2 ) 


\psset{Beta=25,fillstyle=gradient,gradbegin=DarkBlue,gradend=DarkViolet} 

\pstThreeDCoor[xMax=4,yMax=4,zMax=3,linecolor=black!60,linewidth=.9pt] 

\psplotThreeD[linewidth=.5pt,plotstyle=curve,drawStyle=xLines, 

xPlotpoints=40,yPlotpoints=40](-3,3)(-3,3) 

{1 2.718183 x x mul y y mul add exp div x 5 mul y sub mul} 

\rput(4.4,-2.25){$\mathit{f(x,y)=(5x-y)e^{-(x^{2}+y^{2})}}$} 


z 

x 

y 

f (x,y) = 4 − x2 − y 2 

e x2 +y 2 


\pstThreeDCoor[xMax=4,yMax=4,zMax=3.6,linewidth=.8pt,linecolor=black] 

\psscalebox{.8}{\psplotThreeD[plotstyle=curve,drawStyle=xyLines, 

linecolor=DarkOrchid,yPlotpoints=50,xPlotpoints=50](-4,4)(-4,4) 

{4 x x mul sub y y mul sub 1 2.73 x x mul y y mul add exp div mul}} 

\rput(4.5,-2.5){$\mathit{f(x,y)=\displaystyle\frac{4-x^{2}-y^{2}} 

{e^{x^{2}+y^{2}}}}$} 

\end{pspicture}


z 

x 

y 

f (x,y) = 12 sin √ x 2 + y 2 

√ 

x2 + y 2 


\pstThreeDCoor[xMax=5,yMax=5,zMax=3.5,linecolor=black!70,linewidth=.9pt] 

\psscalebox{0.2}{\psplotThreeD[plotstyle=curve,drawStyle=xLines, 

xPlotpoints=75,yPlotpoints=75,linewidth=3.5pt,linecolor=DarkBlue] 

(-20,20)(-20,20){x x mul y y mul add sqrt 57 mul sin 12 mul x x 

mul y y mul add sqrt div}} 

\rput(4.25,-2.6){$\mathit{f(x,y)=\displaystyle 

\frac{12\sin\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}}$} 


z 

x 

y 

f (x,y) = 5 4 sin √ x 2 + y 2 


\pstThreeDCoor[xMax=5,yMax=5,zMax=3.5,linewidth=.8pt,linecolor=black!70] 

\psscalebox{.2}{\psplotThreeD[plotstyle=curve,drawStyle=yLines, 

yPlotpoints=70,xPlotpoints=70,linewidth=3.5pt,linecolor=DarkBlue] 

(-18,18)(-18,18){x x mul y y mul add sqrt 57 mul sin 1.25 mul}} 

\rput(4.5,-2.5){$\mathit{f(x,y)=\displaystyle\frac{5}{4} 

\sin\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$} 

\end{pspicture}


x 

y 

z 

f (x,y)=x 2 −y 2 



\pstThreeDCoor[xMax=4,yMax=4,zMax=3,linewidth=.8pt,linecolor=black] 

\psplotThreeD[plotstyle=curve,drawStyle=xyLines,linecolor=DarkOrchid, 

yPlotpoints=50,xPlotpoints=50,linewidth=.8pt](-1.5,1.5)(-1.5,1.5) 

{x x mul y y mul sub} 

\rput(4.9,-2.6){$\mathit{f(x,y)\!=\!x^{2}\!-\!y^{2}}$} 


x 

y 

z 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x,y) = 5 2 − 2x2 − y 2 


\psset{Alpha=25,Beta=15,dotstyle=pentagon*,dotsize=1.5pt} 

\pstThreeDCoor[xMax=4,yMax=4,zMax=3.5,linewidth=.8pt,linecolor=black] 

\psplotThreeD[plotstyle=dots,drawStyle=xyLines,linecolor=DarkOrchid, 

xPlotpoints=50,yPlotpoints=50,linewidth=.7pt](-1.25,1.25)(-1.25,1.25) 

{2.5 x x mul 2 mul sub y y mul sub} 

\rput(4.6,-2.4){$\mathit{f(x,y)=\displaystyle\frac{5}{2}-2x^{2}-y^{2}}$} 

\end{pspicture}

5.2 Funkcije zadane parametarski 61 

5.2 Funkcije zadane parametarski 

Za grafičko predstavljanje trodimenzionalnih krivih i površi datih u parametarskom 

obliku koristi se naredba 

⋆ \parametricplotThreeD[Opcije](t1,t2)(u1,u2){x y z} ⋆ 

gdje su x, y i z parametarske funkcije, koje zavise od parametara t i u: 

x = f(t,u) 

y = f(t,u) 

z = f(t,u) 

Jedini mogući nazivi za parametre su t i u, sa intervalima definisanosti 

(t1,t2) i(u1,u2). Funkcijex,yizse u naredbi navode zapisane PostScript 

kodom, odvojene med¯usobno samo praznim prostorom. Redoslijed navod¯enja 

funkcija nije važan. 

Parametarske funkcije krive u prostoru zavise samo od jednog parametra, 

pa se za predstavljanje krivih koristi naredba 

⋆ \parametricplotThreeD[Opcije](t1,t2){x y z} ⋆ 

a naziv za parametar mora biti t (default). Med¯utim, isto se može postići i 

upotrebom prve naredbe uz interval za parametar u (0,0). 

Opcije za naredbu \parametricplotThreeD su iste kao i opcije naredbe 

\psplotThreeD, i prikazane su u tablici 5.1. 

U sljedećem primjeru nacrtana je cilindrična spirala poluprečnika 2.5, čije 

su parametarske jednačine: 

x = r cos t 

y = r sin t 

z = t/600 

x 

z 

y 

\begin{pspicture}(-3.3,-2)(3.2,5.4) 




zMax=5.5] 

\parametricplotThreeD[ 


xPlotpoints=200, 


plotstyle=curve](0,2160) 

{2.5 t cos mul 

2.5 t sin mul 

t 600 div} 

\end{pspicture}


U prethodnom primjeru je vrijednost parametra t za z koordinatu podijeljena 

sa 600. Razlog za to je taj što su vrijednosti parametratustepenima, 

a interval definisanosti (0 ◦ , 2160 ◦ ), te bi dužina spirale bila ogromna. 

Umjesto uptrebe naredbe\psplotThreeD se brojne matematičke funkcije 

mogu predstavljati pomoću naredbe \parametricplotThreeD, ako su poznate 

njihove parametarske jednačine. Isto tako je moguće, na primjer, umjesto 

upotrebe \pstThreeDSphere naredbe nacrtati sferu pomoću njenih parametarskih 

jednačina. Parametarske jednačine sfere se mogu zadati na dva 

načina: 

x = r cos t · sin u 

y = r cos t · cosu 

z = r sin t 

(⋆) 

x = r cos u · sin t 

y = r cos u · cos t 

z = r sin u 

(⋆⋆) 

Njihovim primjenama se ne dobijaju isti grafici, što ilustruje sljedeći primjer. 

x 

x 

z 

z 

y 

y 








plotstyle=curve, 


yPlotpoints=20](0,360)(0,360) 

{2 t cos mul u sin mul 

2 t cos mul u cos mul 

2 t sin mul} 











yPlotpoints=20](0,360)(0,360) 

{2 u cos mul t sin mul 

2 u cos mul t cos mul 

2 u sin mul} 


Obje \parametricplotThreeD naredbe moguće je upotrijebiti zajedno 

unutar istog pspicture okruženja, a rezultat je prikazan na sljedećem primjeru.


x 

z 

y 

\begin{pspicture}(-3.2,-3)(2.8,3.6) 

\pstThreeDCoor[xMax=3,yMax=3,zMax=3, 

linecolor=black!75,linewidth=1pt] 

\psset{ 

linecolor=NiceRed,yPlotpoints=20, 

plotstyle=curve,linewidth=1.15pt} 

\parametricplotThreeD(0,360)(0,360) 



2 t sin mul} 

\parametricplotThreeD(0,360)(0,360) 

{2 u cos mul t sin mul 

2 u cos mul t cos mul 

2 u sin mul} 


5.2.1 Primjeri 

Plückerov konoid 

Plücker-ovi konoidi su pravčaste plohe (plohe koje nastaju pomjeranjem 

pravca duž neke krivulje) koje zadovoljavaju sljedeće parametarske jednačine: 

x(u,v) = v cos u 

y(u,v) = v sin u k ∈ N, (u,v) ∈ [0, 2π] 2 

z(u,v) = 3 sin ku 

Na sljedećoj slici prikazan je Plücker-ov konoid za k = 5. 

z 

x 

y 

\psset{xunit=0.9,yunit=0.7} 



\pstThreeDCoor[zMax=5.5, 


linewidth=0.8pt] 





yPlotpoints=40 

](0,360)(0,360) 

{t cos u mul 120 div 

t sin u mul 120 div 

t 5 mul sin 3 mul} 

\end{pspicture}


Torus 

Torus je ploha koja nastaje rotacijom kružnice poluprečnika r 1 oko ose koja 

je od njenog središta udaljena za r 2 . Ako kružnica leži u xz ravni i rotira se 

oko z ose, parametarske jednačine torusa su: 

x(u,v) = (r 2 + r 1 cos v) cos u 

y(u,v) = (r 2 + r 1 cos v) sin u (u,v) ∈ [0, 2π] 2 

z(u,v) = r 1 sin v 

Torus sa poluprečnicima r 1 = 1 i r 2 = 1.7 nad područjem [0, 3π/2] × [0, 2π] 

prikazan je na slici ispod. 

z 

y 

x 




xMax=3.75,zMax=3.5, 






yPlotpoints=60, 

linewidth=.6pt](0,270)(0,360) 

{u cos 1.7 add t cos mul 

u cos 1.7 add t sin mul 

u sin} 


Evo primjera još jedne slične plohe. 

x 

z 

y 

\psset{unit=1.25} 








linecolor=thistle, 



linewidth=.5pt](0,360)(0,360) 

{t sin t cos u sin add u cos} 

\end{pspicture}


Njene parametarske jednačine su: 

x(u,v) = sin u 

y(u,v) = cosu + sinv (u,v) ∈ [0, 2π] 2 

z(u,v) = cosv 

Helikoid 

Helikoid je, takod¯er, pravčasta ploha koja nastaje istovremenom rotacijom 

i translacijom neke dužine. Kraj te dužine se kreće po osi okomitoj na tu 

dužinu, a drugi kraj rotira oko te iste ose. Parametarske jednačine helikoida 

su: 

x(u,v) = sinhucos v 

y(u,v) = sinhusin v u ∈ R, v ∈ [0, 2π] 

z(u,v) = v 

z 

x 

y 



\psset{Beta=36} 










linewidth=.5pt](-2,2)(-6,6) 

{2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

sub 2 div u 57 mul cos mul 

2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

sub 2 div u 57 mul sin mul 

u} 

\end{pspicture}


Hiperboloid 

Parametarske jednačine jednostranog hiperboloida su: 

a dvostranog: 

x(u,v) = coshucos v 

y(u,v) = coshusin v u ∈ R, v ∈ [0, 2π] 

z(u,v) = sinhu 

x(u,v) = sinhucos v 

y(u,v) = 1/2 sinh u sin v u ∈ R, v ∈ [0, 2π] 

z(u,v) = ± cosh u 

Na sljedećoj slici prikazan je dvostrani hiperboloid. 

x 

z 

y 




xMin=-4,yMin=-4,zMin=-5.5, 

xMax=4,yMax=4,zMax=5.5, 



\psset{linecolor=MidnightBlue, 



linewidth=.5pt} 

\parametricplotThreeD 

(-2.3,2.3)(0,360) 

{2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

sub 2 div u cos mul 

2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

sub 4 div u sin mul 

2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

add 2 div} 

\parametricplotThreeD 

(-2.3,2.3)(-180,180) 

{2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

sub 2 div u cos mul 

2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

sub 4 div u sin mul 

2.71 t exp 2.71 -1 t mul exp 

add 2 div -1 mul} 

\end{pspicture}


Vivianijeva krivulja 

Viviani-jeva krivulja je kriva čije su parametarske jednačine: 

x(t) = 1 + cost 

y(t) = sint t ∈ [−2π, 2π] 

z(t) = 2 sin t 2 

Njen grafik prikazan je na sljedećoj slici. 

z 

y 

x 

\psset{xunit=1.5,yunit=1.4, 

Alpha=165,Beta=38} 




xMax=2.5,yMax=2.5,zMax=3.5, 



\psset{linecolor=DarkBlue, 



\parametricplotThreeD(-360,360) 

{t cos 1 add 

t sin 

t 2 div sin 2 mul} 


Interesantna je činjenica da je Vivianijeva krivulja prodorna kriva kugle 

sa centrom u koordinatnom početku i poluprečikom r = 2 i cilindra čija je 

dužina MN osa sa krajnjim tačkama M(1, 0, −2) i N(1, 0, 2), a poluprečnik 

osnovice r = 2. 

Parametarske jednačine opisanog cilindra su: 

x(u,v) = cosu + 1 

y(u,v) = sinu (u,v) ∈ [0, 2π] × [−2, 2] 

z(u,v) = v 

a grafik je predstavljen na slici zajedno sa Vivianijevom krivuljom. 

Takod¯er su prikazani kugla sa centrom u koordinatnom početku, poluprečnika 

2, cilindar i Vivianijeva krivulja na istoj slici.


z 

y 

x 









\psset{linecolor=DarkOrchid!90, 




\parametricplotThreeD(0,360)(-2,2) 

{t cos 1 add t sin u} 

\psset{linecolor=DarkBlue, 



\parametricplotThreeD(-360,360) 

{t cos 1 add 

t sin 

t 2 div sin 2 mul} 


z 

y 

x 









\psset{plotstyle=curve, 

linecolor=DarkOrchid!90} 



linewidth=0.25pt](0,360)(0,360) 



2 t sin mul} 



linewidth=1.25pt](0,360)(-2,2) 

{t cos 1 add t sin u} 


linecolor=DarkBlue, 

linewidth=1.7pt](-360,360) 

{t cos 1 add t sin t 2 div sin 2 mul} 

\end{pspicture}

Dodatak A 

Grafičko predstavljanje 

datoteka podataka 

Grafičko predstavljanje datoteka podataka koje podržavaju 3D koordinate omogućava 

pst-3dplot paket, upotrebom naredbi, veoma sličnih odgovarajućim naredbama 

pst-plot paketa. U narednom odjeljku su, bez ozbiljnijeg pristupa, 

pomenute naredbe definisane. 

A.1 Naredbe 

Grafičko predstavljanje datoteka podataka koje podržavaju 3D koordinate 

vrši se pomoću naredbi: 

⋆ 

\fileplotThreeD[Opcije]{datoteka} 

\dataplotThreeD[Opcije]{datoteka} 

\listplotThreeD[Opcije]{datoteka} 

⋆ 

Za njihovo korištenje potrebna je datoteka podataka, unutar koje podaci, 

po dogovoru, moraju biti predstavljeni nekim od sljedećih načina: 

0.0000 1.0000 0.0000 

-0.4207 0.9972 0.0191 

... 

0.0000, 1.0000, 0.0000 

-0.4207, 0.9972, 0.0191 

... 

( 0.0000,1.0000,0.0000) 

(-0.4207,0.9972,0.0191) 

...

A.1 Naredbe 70 

{ 0.0000,1.0000,0.0000} 

{-0.4207,0.9972,0.0191} 

... 

Kako će podaci biti grafički prikazani, zavisi od izbora opcije za parametar 

plotstyle, a moguće su sljedeće vrijednosti: dots, line, polygon, curve, 

ccurve, ecurve. 

Više o naredbama za grafičko predstavljanje datoteka podataka moguće je 

naći u djelu 3D plots: PST-3dplot, A PSTricks package for drawing 3d objects, 

v1.83 – autor Herbert Voß.

Dodatak B 

Paket PST-light3d 

pst-light3d je pstricks paket koji omogućava dodavanje trodimenzionalnih 

efekata na tekstu i dvodimenzionalnim pstricks graficima. Trodimenzinalni 

efekti se postižu upotrebom dvije osnovne pst-ligh3d naredbe: 

⋆ \PstLightThreeDText 

⋆ \PstLightThreeDGraphic 

U narednim odjeljcima će, kroz brojne primjere, biti ilustrovan način rada svake 

od njih, uz dodatnu upotrebu odred¯enih parametara. 

B.1 Naredba \PstLightThreeDText 

Naredba je definisana sa 

⋆ \PstLightThreeDText[Opcije]{Tekst} ⋆ 

i bit će ilustrovana kroz naredne primjere. 

B.1.1 

Primjeri 

Parametar linestyle 

\DeclareFixedFont{\Bf}{T1}{ptm}{b}{n 

}{2.5cm} 

\PstLightThreeDText[fillstyle=solid, 

fillcolor=lavender]{\Bf Tekst 

}\\[0.5cm] 

\PstLightThreeDText[fillcolor= 

lavender,fillstyle=solid,linestyle 

=none]{\Bf Tekst}%

B.1 Naredba \PstLightThreeDText 72 

Parametar LightThreeDAngle 

\psset{linestyle=none,fillstyle=solid 

,fillcolor=DarkViolet} 


}{2.5cm} 

\PstLightThreeDText[LightThreeDAngle 

=0]{\Bf Tekst}\\[0.5cm] 

\PstLightThreeDText[LightThreeDAngle 

=90]{\Bf Tekst} 

Parametri LightThreeDXLength i LightThreeDYLength 

\psset{linestyle=none,fillstyle=solid 

,fillcolor=thistle} 


}{2.5cm} 

\PstLightThreeDText[ 

LightThreeDXLength=0.5, 

LightThreeDYLength=-1]{\Bf Tekst 

}\\[1.2cm] 


LightThreeDXLength=-0.5, 

LightThreeDYLength=0.5]{\Bf Tekst 

}% 

Parametar LightThreeDColorPsCommand 

\psset{linestyle=none,fillstyle=solid, 

fillcolor=thistle} 

\DeclareFixedFont{\Sf}{T1}{phv}{b}{n}{3 

cm} 


LightThreeDColorPsCommand=1.2 

divsetgray]{\Sf 752}\\[0.5cm] 


LightThreeDColorPsCommand=2.5 div 

setgray]{\Sf 752}%

B.2 Naredba \PstLightThreeDGraphic 73 

\psset{linestyle=none,fillstyle=solid} 

\DeclareFixedFont{\Rm}{T1}{ptm}{m}{n}{3 

cm} 

\PstLightThreeDText[fillcolor=my_violet, 

LightThreeDColorPsCommand=2.5 

div 0.7 exch 0.8 sethsbcolor]{\Rm 

687}\\[0.5cm] 

\PstLightThreeDText[fillcolor=DarkGreen, 

LightThreeDColorPsCommand=2 

div 0.5 exch 0.2 exch sethsbcolor]{\Rm 

687} 

\DeclareFixedFont{\Rmb}{T1}{ptm}{m}{n}{3.5cm} 

\PstLightThreeDText[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=MidnightBlue, 

LightThreeDColorPsCommand=1.6 div 0.55 exch 0.7 exch sethsbcolor]{\Rmb 

PSTricks} 

B.2 Naredba \PstLightThreeDGraphic 

Naredba je definisana sa 

⋆ \PstLightThreeDGraphic[Opcije]{pst-plot naredbe} ⋆ 

gdje se u dijelu za opcije koriste svi već pomenuti parametri. Ova naredba 

je, takod¯er, ilustrovana kroz primjere. 

B.2.1 

Primjeri 

\psset{unit=0.5cm,linestyle=solid, 

fillstyle=none} 

\begin{pspicture}(-0.25,-4.5)(2.25,4) 

\PstLightThreeDGraphic[ 


LightThreeDColorPsCommand= 

1.8 div 0.9 exch 0.4 exch sethsbcolor] 

{\pscurve(0,2)(1,-3)(2,2)(4,3)(7,0)} 

\end{pspicture}








3 div 0.82 exch 0.9 exch sethsbcolor] 

{\pspolygon(0,2)(1,-3)(2,0)(4,1)(6,1)(7,3)} 








3 div 0.6 exch 0.9 exch sethsbcolor] 

{\psellipse(3,0)(1.5,3)} 


\SpecialCoor \def\PstCoordinates{} 

\Multido{\nDistance=0.00+0.02,\iAngle=0+20 

}{200}{\edef\PstCoordinates{ 

\PstCoordinates(\nDistance;\iAngle)}} 

\psset{unit=0.5cm} 

\begin{pspicture}(-4,-4.8)(4.4,4.6) 

\PstLightThreeDGraphic[LightThreeDLength=0.2, 


2.8 div 0.8 exch 0.4 exch sethsbcolor] 

{\expandafter\pscurve\PstCoordinates} 


\SpecialCoor \def\PstCoordinates{} 

\Multido{\nDistance=0.00+0.02,\iAngle=0+20 

}{200}{\edef\PstCoordinates{ 

\PstCoordinates(\nDistance;\iAngle)}} 

\psset{unit=0.5cm} 

\begin{pspicture}(-4,-5.45)(4.4,5.25) 

\PstLightThreeDGraphic[LightThreeDLength=0.2, 


/Counter Counter 0.0001 add def 2 mul Counter 

exch 0.8 exch sethsbcolor, 

LightThreeDAngle=30]{\pstVerb{/Counter 0 def} 

\expandafter\pscurve\PstCoordinates} 

\end{pspicture}


sin 10x 

0.5 cos 30x 

1.2 

1.0 

0.8 

0.6 

0.4 

0.2 

0.0 

-0.2 

-0.4 

-0.6 

-0.8 

-1.0 

-1.2 

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 

x 

\psset{xunit=8cm,yunit=3cm} 


\psaxes[Dx=0.2,Oy=-1.2,Dy=0.2,tickstyle=top, 

axesstyle=frame](0,-1.2)(1,1.2) 

\psset{plotpoints=500,LightThreeDXLength=0.3, 

LightThreeDYLength=-0.3} 

\PstLightThreeDGraphic[LightThreeDColorPsCommand=1 div 0.9 exch 

0.2 exch sethsbcolor]{\psplot{0}{0.95}{x 10 mul 57.296 mul sin}} 

\PstLightThreeDGraphic[LightThreeDColorPsCommand=1.6 div 0.55 exch 

0.7 exch sethsbcolor]{\psplot{0}{0.95}{x 30 mul 57.296 mul cos 2 

div}} 

\rput(-0.3,0.1){\thistle{$\sin 10x$}} 

\rput(-0.3,-0.1){\MidnightBlue{$0.5\cos 30x$}} 

\rput(0.5,-1.5){$x$} 

\end{pspicture}

Dodatak C 

Ostali PSTricks 3D paketi 

Kao što je već na samom početku pomenuto, postoji nekoliko pstricks paketa 

za crtanje trodimenzionalnih grafičkih objekata. Ovdje će biti pomenuti neki 

od njih, dok se o ostalima više može naći na web adresi homepage stranice 

pstricks-a: 

⋆ http://tug.org/PSTricks/, 

ili konkretno za pakete: 

⋆ http://tug.org/PSTricks/main.cgi?file=packages. 

Na ovoj adresi moguće je vršiti download svih dostupnih paketa, kao i odgovarajuće 

dokumentacije koja sadrži sva potrebna uputstva za korištenje. 

C.1 pst-solides3d 

Paket je dostupan i na adresi 

⋆ http://syracuse.eu.org/syracuse/pstricks/pst-solides3d/. 

Pomoću ovog paketa moguće je grafičko predstavljanje definisanih geometrijskih 

tijela, kao i korištenje već postojećih (predefinisanih unutar samog 

paketa, koje se u dokument uključuju parametrom object=vrsta objekta). 

Geometrijska tijela mogu biti prikazana sa ili bez skrivenih ivica, čije boje 

mogu varirati sa efektima sjenčenja. 

Posebno je značajan za predstavlja-nje matematičkih funkcija. Pored¯enja 

radi, pomoću pst-solides3d paketa moguće je nacrtati funkcije koje će 

izgledati kao da su nacrtane pomoću software paketa Mathematica. 

Ovaj paket omogućava i projekciju dvodimenzinalnog crteža/teksta na 

bilo koju ravan proizvoljog geometrijskog tijela.

C.2 pst-ob3d 77 

C.2 pst-ob3d 

Paket služi za predstavljanje osnovnih 3D grafičkih objekata. Do sada postoje 

samo dvije definisane naredbe: \PstCube za crtanje kocke i \PstDie 

za crtanje kockice za kockanje. Ipak, postoje brojni dodatni parametri, čijim 

se maštovitim kombinacijama dobijaju zanimljivi oblici. 

C.3 pst-vue3d 

3D reprezentacija objekata je jedan od najinteresantnijih aspekata komjuterske 

znanosti i postoje razne oblasti industrije koje se koriste istim (dizajn automobila, 

aviona, video igrica . . . ). Ovaj paket omogućava, upravo za ovakve 

svrhe potrebnu, manipulaciju 3D objektima, koja se postiže odgovarajućim 

izborom perspektive posmatranja objekta. Jedna od ovih manipulacija je i 

mogućnost predstavljanja unutrašnjosti 3D objekata . . . 

C.4 pst-gr3d 

pst-gr3d je pstricks paket za crtanje trodimenzionalne mreže. Postoji 

samo jedna glavna naredba \PstGridThreeD i nekoliko parametara za specifikaciju 

karakteristika 3D mreže. 

C.5 pst-fr3d 

Ovaj paket omogućava crtanje trodimenzionalnih okvira (framed boxes), 

korištenjem naredbe \PstFrameBoxThreeD. Ovo je posebno korisno za crtanje 

3D objekata, kao što su dugmad. 

C.6 pst-circ 

pst-circ je kolekcija grafičkih elemenata, baziranih na pstricks-u, koji se 

koriste za predstavljanje elemenata električnih kola. Tako je moguće, njihovim 

kombinovanjem, prikazati razna električna kola. Takod¯er je moguće 

strelicama naznačiti ogovarajuće smjerove proticanja struja, kao i razlike potencijala 

. . .

Bibliografija 

[1] Herbert Voß. 3D plots: PST-3dplot - A PSTricks package for drawing 3d 

objects, v1.83; November 2008. 

[2] Denis Girou and Peter Kleiweg. The pst-light3d package version 0.11 

- A PSTricks package for three dimensional lighten effect on characters 

and PSTricks graphics; August 2007. 

[3] Dominique Rodriguez and Herbert Voß. pstricks-add - Additionals Macros 

for pstricks v.3.00; December 2007. 

[4] Timothy Van Zandt. PSTricks - PostScript macros for Generic TEX; 

March 2003. 

[5] PSTricks web site∼Packages 

http://tug.org/PSTricks/main.cgi?file=packages

Diplomski rad 3D Grafika u LATEX-u - PMF - Univerzitet u Tuzli

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?