komparativna analiza nastavnog plana i programa matematike za ...

ISSN 1986–518XISTRAŽIVANJE MATEMATIČKOG OBRAZOVANJAVol. V (2013), Broj 9, 23--42Pregledni radKOMPARATIVNA ANALIZANASTAVNOG PLANA I PROGRAMAMATEMATIKE ZA TREĆI RAZRED OSNOVNE ŠKOLEJelena Kurtuma 1 i Zlatan Marković 2Sažetak: U ovom radu daćemo kratku analizu nastavnog plana i programa iz matematike za treći razredosnovne škole u Republici Srpskoj, odnosno uporedićemo ovaj nastavni plan i program sa odgovarajućimnastavnim planovima i programima Federacije BiH, Republike Srbije, Republike Hrvatske, Republike CrneGore, kao i nastavnim planom i programom izgrađenim u MEP-projektu. U analizi se osvrćemo na fond časova,na nastavne oblasti koje su zastupljene, na očekivane ishode u nastavi matematike, postavljene nastavne ciljeve,planove aktivnosti nastavnika i učenika. Dakle, cilj našeg istraživanja je uporediti strukturu nastavnih planova iprograma i to: da li su (i na koji način) ciljevi nastave istaknuti prema Bloom-ovoj taksonomiji, da li suprecizirani sadržaji učenja i pripadni fond časova prema oblastima (aritmetika, geometrija i uslovno algebra – uIII razredu se može govoriti o rano-algebarskim sadržajima), da li se navode ishodi učenja i koji su to ishodi,preciziraju li se aktivnosti nastavnika i učenika.Ključne riječi: nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, MEP-projekat, očekivaniishodi, nastavni ciljevi, smjernice za nastavnika, aktivnosti učenika i nastavnikaAbstract: In this paper, we give a brief analysis of the mathematics curriculum for the third grade of primaryschool in the Republic of Srpska, and we compare this curriculum with appropriate curriculum of the Federationof Bosnia and Herzegovina, Serbia, Croatia, Montenegro, and with curriculum constructed in MEP-project.We analyze the number of classes, teaching areas that are represented, the expected outcomes in mathematics,learning objectives, plans of activities for teachers and students. Therefore, the aim of our study was to comparethe structure of curricula which includes: whether (and how) the learning objectives emphasize the Bloomtaxonomy of this, if the precisely defined learning content and corresponding number of classes according totheir fields (arithmetic, geometry and conditional algebra - in the third grade we could speak of early-algebraicfacilities), have the learning outcomes and what are the outcomes, if the activities of teachers and students arespecified.Key words and phrases: mathematics curriculum for the third grade of primary school, MEP – project, learningoutcomes, learning objectives, instructions for teachers, activities of teachers and studentsZDM (2010): B20, B70, D30.1. UVODNastavnim planom i programom RS 3 utvrđuju se obavezne nastavne i vannastavne aktivnosti, ito nastavnim planom 4 : nastavni predmeti i njihov raspored po razredima, te sedmični i godišnji brojčasova, dok nastavnim programom 5 se utvrđuje sadržaj za svaki obavezni i izborni predmet, cilj,zadaci, ishodi, te uputstva za realizaciju. Dakle, jasno je, kada govorimo o fondu časova i predmetu, unašem slučaju, matematike, govorimo o nastavnom planu, a kada govorimo o sadržaju, ciljevima iishodima nastave govorimo o nastavnom programu. U svim razredima osnovne škole (mislimo na II,1 Pedagoški fakultet, 76 300 Bijeljina, Semberskih ratara bb, Bosna i Hercegovina, e- mail: jelenakurtuma@gmail.com2 Pedagoški fakultet, 76 300 Bijeljina, Semberskih ratara bb, Bosna i Hercegovina, e- mail: zlatanmarkovic@hotmail.com3 Zakon o osnovnom obrazovanju i vaspitanju RS-a, Član 33, Stav (1).4 Ibid, Član 33, Stav (3).5 Ibid, Član 33, Stav (4).23

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićIII, IV, V razred) predviđeno je po 5 časova matematike sedmično, što je na godišnjem nivou 180časova. Na osnovu ovoga možemo konstatovati da je nastava matematike kvantitativno dobrozastupljena u osnovnim školama Republike Srpske.Sada se postavlja jedno pitanje kakvi su sadržaji u nastavi matematike u nižim razredima osnovneškole u pogledu kvaliteta, da li su sistematsko struktuisani u pogledu organizovanosti, usklađeni sapostavljenim ciljevima nastave matematike, odnosno očekivanim ishodima.Kada posmatramo nastavne planove i programe matematike država u našem neposrednomokruženju, vidimo da se nastavni plan i program RS-a najviše razlikuju u poređenju sa nastavnimplanom i programom Republike Hrvatske, odnosno Federacije BiH, te da nema mnogo zajedničkihosobina sa nastavnim planom i programom matematike izgrađenim u MEP-projektu, koji predstavljaprogram unapređenja (unapređene) matematike (Mathematics Enhancement Programme), razvijentokom posljednjih nekoliko godina u Centru za inovacije u nastavi matematike, da bi se sprovelirezultati (nalazi) međunarodnih istraživanja u školama u Velikoj Britaniji. Takođe, može se primijetitida nastavni plan i program RS-a ima određene sličnosti sa nastavnim planom i programom RepublikeSrbije 6 i Republike Crne Gore. Ta sličnost se naročito ogleda u elementima kojim se reprezentujuobaveze i aktivnosti (svi su prikazani u vidu tabele, sa manje ili više istim sadržajem).2. TEORIJSKA ZASNOVANOST2.1. Bloomova taksonomijaSama riječ taksonomija potiče iz grčkog jezika, od riječi tassein (u prevodu - „razvrstati”) i riječinomos („zakon”). Riječ označava klasifikaciju, tj. razvrstavanje i prvobitno se odnosila naklasifikaciju živih organizama u biologiji, a kasnije je riječ primjenjena u širem smislu, tako da semnoge stvari mogu razvrstavati prema određenoj taksonomskoj šemi. Bloomova taksonomija jenajpoznatija klasifikacija ciljeva vaspitanja i obrazovanja. Benjamin Bloom 7 je pedesetih godinadvadesetog vijeka, zajedno sa saradnicima 8 , kreirao taksonomiju ciljeva vaspitanja i obrazovanja.Bloom razlikuje tri područja ciljeva učenja:Kognitivno;Afektivno;Psihomotorno.Kognitivno područje obuhvata ciljeve učenja povezane sa znanjem i mišljenjem. Afektivnopodručje obuhvata ciljeve učenja povezane sa stavovima, interesovanjima i procjenjivanjemvrijednosti. Psihomotorno područje obuhvata ciljeve učenja povezane sa manuelnim i motoričkimvještinama.Primjer.- kognitivni cilj: učenik treba da zna šta je kvadrat;- afektivni cilj: učenik treba da može da kontroliše rješenja zadataka u vezi sa kvadratom pomoćupromjena parametara koji se u njima pojavljuju;- psihomotorni cilj: učenik treba da bude sposoban da vješto “skicira” kvardat, te da ga “preciznijecrta” korišćenjem šestara i trokuta.Treba napomenuti da su ‘kognitivno’, ‘afektivno’ i ‘psihomotorno’ samo težišne tačke realnihciljeva, a da su oni, u stvarnosti, uvijek međusobno isprepletani. Svako područje ima osnovnekategorije, koje su hijerarhijski uređene, od prostijih ka kompleksnijim.6 Napominjemo čitaoce ovoga teksta da smo za poređenje uzeli Nastavni plan i program drugog razreda osnovneškole Srbije iz razloga što je u Srbiji osmogodišnje obrazovanje.7 Benjamin Bloom (12.02.1913 – 13.09.1999), američki psiholog i pedagog8 Krajem XX vijeka (akademskoj zajednici saopštena 2001. godine) njegovi studenti Lorin Anderson i DavidKrathwohl, napravili su reviziju taksonomije, (pogledati, na primjer, u THEORY INTO PRACTICE,41(4)(2002), 212-218)24

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićKognitivno područjeUnutar kognitivnog područja Bloom razlikuje šest kategorija: Znanje, Razumijevanje, Primjena, Analiza, Sinteza, Evaluacija.Sada ćemo ukratko predstaviti, šta Bloom podrazumijeva pod tim kategorijama:- "Znanje" znači poznavanje (prije svega u psihološkom smislu sposobnosti sjećanja) bilo kakvihfaktora ili procedura.- "Razumijevanje" znači sposobnost pravilnog primanja saopštene informacije, prenošenje u nekidrugi oblik i njenu interpretaciju ili uopštavanje.- "Primjena" znači sposobnost da se u odgovarajućim situacijama upotrebe opšta pravila i postupci.- "Analiza" znači sposobnost da se informacija rastavi na dijelove, tako da njihovi međusobniodnosi tj. njihova organizacija bude jasna.- "Sinteza" znači sposobnost da se dijelovi sastave u jednu novu cjelinu.- "Evaluacija (Vrednovanje)" znači sposobnost da se daju mišljenja o vrijednosti materijala ilimetode.Afektivno područjePrvo treba napomenuti da su afektivni ciljevi neodvojivo povezani sa kognitivnim ciljevima, jerje za svaki kognitivni cilj učenja potreban neki afektivni angažman (motivacija, spremnost na učenje).Osim toga, što je zahtjevniji kognitivni cilj utoliko jači treba da bude afektivni angažman. Krathwohl,Bloom, Masia (v. [12]) postavili su, polazeći od Bloomove kognitivne taksonomije, jednu taksonomijuafektivnih ciljeva prema stepenu unutrašnjeg angažmana. Glavne kategorije su:Primanje,Reagovanje,Usvajanje vrijednosne orijentacije,Organizacija vrijednosnih orijentacija,Primjena vrijednosnih orijentacija.Lewy (v. [16]) je pokušao da prenese ovu opštu taksonomiju na matematiku, pa su, po njemu,afektivni ciljevi nastave matematike:- Učenik treba da zna značaj matematike za naše društvo;- Učenik treba da cijeni matematiku kao disciplinu, koja, na poseban način razvija logičko mišljenjei razmišljanje.Lewy prema gornjim kategorijama daje odgovarajuće primjere ponašanja:- Primanje: biti zainteresovan za upoznavanje logaritamskog računanja kao pojednostavljujućeračunske operacije;- Reagovanje: često koristiti dijagrame radi prikaza sopstvenih razmišljanja;- Usvajanje vrijednosne orijentacije: koristiti puno vremena za rješavanje nekog matematičkogproblema;- Organizacija vrijednosnih orijentacija: razmišljati o ljepoti matematikePsihomotorno područje25

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićPsihomotorni ciljevi učenja (koji se odnose na kretanje) igraju u nastavi matematike relativnopodređenu ulogu (slično "slugi"). Ponekad ih ipak ne bi trebalo potcijeniti, pošto se u osnovnoj isrednjoj školi radi o zadacima kao što su:uredno pisanje brojeva, kasnije i razlomaka,pregledno pisanje izraza i jednačina,sređeno pisanje vertikalnih kolona brojeva u pisanim računskim operacijama.korektno bilježenje prenosa,koordinirano ritmičko pisanje i govor kod pisanih računskih operacija,skiciranje (u obliku crteža) računskih operacija ("pite", dijagrami, brojevna osa),slikoviti prikaz razlomaka uz pomoć dijelova četvorougla i kruga,pregledno crtanje situacionih skica, crtanje i čitanje tabela i drugih dijagrama,uredno crtanje lenjirom, šestarom i trouglom, ručno korišćenje uglomjera (danas uglavnomgeotrougao),vladanje kretnjama za osnovne konstrukcije uz pomoć šestara, lenjira i geotrougla,upotreba ručnog računara (digitrona),izrada modela (npr. kocka, trostrana piramida).Treba naglasiti da su psihomotorni ciljevi često usko povezani sa kognitivnim ciljevima, tj. da imsluže (npr. poznavanje računskih operacija, razumijevanje zadataka). Ovdje spada i povezanost saafektivnim ciljevima kao što su volja za tačnost, čistoću i urednost i kognitivni uvid u smisao i koristtoga.Sigurno je važno, ponekad, pratiti psihomotorne ciljeve sa naročite tačke gledišta, ali jedva da seisplati postavljanje sopstvene taksonomije za psihomotorne ciljeve nastave matematike. Možda možebiti podsticajno da se uzme u obzir opšta taksonomija Dave-a (v. [9]) u njenim glavnim kategorijama,a u odnosu na to, koja se "perfekcija" želi postići. Dave prema stupnju koordinacije kretnji (uslobodnom prevodu), razlikuje sljedeće glavne nivoe:1. Savladavanje,2. Učvršćivanje,3. Preciznost,4. Harmonizacija,5. AutomatizacijaNa prvom nivou je bitno, da učenik, uopšte, savlada kretnje.Na drugom nivou bi trebalo govoriti o tome da učenik može da izvede kretnje (ali još uvijekkontrolisano).Na trećem nivou učenik već sa izvjesnom tačnošću vlada kretnjama.Na četvrtom nivou bi trebalo već da postoji dobra koordinacija sa drugim radnjama (npr.upotreba različitih naprava za crtanje).Na petom nivou su kretnje automatizovane: bez napora, brzo, nesvjesno.Vjerovatno treba poći i od toga, da kod psihomotornih ciljeva posebnu ulogu igra imitacionoučenje (posmatranje vještine i nastojanje da se ponovi).2.2. Bloomova revidirana taksonomijaTaksonomija kognitivnih ciljeva koju je Benjamin Bloom kreirao 1950-ih, revidirao (preradio) jeLorin Anderson (v. [2]) (bivši Bloom-ov student) 1990-ih. Imena šest glavnih kategorija suizmijenjena, tako što su imenice zamijenjene glagolskim oblicima. Pošto se taksonomija odražavarazličitim oblicima mišljenja a i samo mišljenje je aktivan proces, glagoli su u tom pogledu precizniji.Takođe potrebno je istaći da ova nova proširena taksonomija može pomoći onima koji se bavesastavljanjem nastavnih planova i programa kao i samim nastavnicima da pišu i revidiraju ishodeučenja. Novi pojmovi su definisani kao:26

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Marković• Pamtiti: vraćanje na prethodno, prepoznavanje i prizivanje relevantnih znanja iz dugoročnememorije, npr. saznati, učiti pojmove, činjenice, metode, procedure, koncepte.• Razumjeti: izgradnja značenja iz usmenih, pismenih i grafičkih poruka putem interpretiranja,pokazivanja, klasifikacije, sažimanja, izvođenja, upoređivanja i objašnjavanja. Podrazumijevanjem podrazumijevamo upotrebu i obuhvatanje pojmova, činjenica, metoda,procedura, koncepata.• Primijeniti: sprovođenje ili korišćenje procedure putem izvršavanja ili obuhvatanja. Iskoristiti,primijeniti teoriju prakse, rješavati probleme, koristiti informacije u novim situacijama.• Analizirati: rastavljanje materijala na sastavne dijelove, određivanje kako se dijelovi odnosejedni prema drugima i uopšte prema cjelini ili namjera kroz razlikovanje, organizovanje ipripisivanje. Rastaviti koncepte, analizirati strukturu, prepoznati pretpostavke i lošu logiku,procjenjivati relevantnost.• Vrednovati: procjenjivanje na osnovu kriterija i standarda kroz provjeru i kritiku. Postavitistandarde, procjenjivati korišćene standarde, dokaze, prihvatiti ili odbaciti na osnovu kriterija.• Kreirati: sastavljanje elemenata da bi se formirala koherentna ili funkcionalna cjelina;reorganizacija elemenata u novi obrazac ili strukturu putem generisanja, planiranja iliproizvodnje. Sastaviti predmete; okupiti različite dijelove; napisati temu, planiratieksperiment, sastaviti informacije na nov i kreativan način.Stari modelNovi modelBloomova revidirana taksonomija: matematikaNovi termini Radnje Aktivnosti učenjaKreirati(Udruživati ideje ili njihove elemente za razvojoriginalnih ideja ili ih uključivati u kreativnorazmišljanje).Vrednovati(Suditi o vrijednostiideja, materijala imetoda razvijajući i primjenjujući standarde ikriterije).izgradnjaplaniranjeproizvodnjaizmišljanjeosmišljavanjestvaranjeprovjeravanjeprovjera hipotezakritikovanjeeksperimentisanjesuđenjeispitivanjeotkrivanjemonitoring27Kreirati: (Generalizacija novih ideja,produkata ili uopšteno načina posmatranja).Kako bismo mogli odrediti broj novčića utegli a da ih ne prebrojimo? Primjenite iintegrišite nekoliko različitih strategija zarješavanje matematičkog problema.Dizajnirajte novi monetarni sistem ilieksperiment za osnivanje ...Projektovanje, građenje, planiranje,proizvodnja, izmišljanje.Napravite novi meni za zdravu hranu urestoranu.Vrednovati:(Suditi o vrijednosti proizvodaza određenu namjenu, koristeći određenekriterije). Razviti dokaz ... i opravdati svakikorak ..., Korištenjem definicije smo ...utvrdili ... Opravdati odluku ili tok akcije,provjeravanje, provjeravanje hipoteza,kritikovanje, eksperimentisanje, suđenje...Koje biste kriterije koristili za procjenu dali je vaš odgovor tačan? Pripremite popiskriterija za suđenje ... Procijenite izraze.

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićAnaliziratiPodjela informacije na najsitnije dijelove kako bise istražile vezePrimjeniti(Upotreba strategija, pojmova, principa i teorija unovim situacijama)Razumjeti(Razumijevanje datih informacija)Zapamtiti(Prisjećanje ili prepoznavanje posebnihinformacija)poređenjeorganizovanjedekonstrukcijapripisivanjeocrtavanjestrukturisanjeintegrisanjeobuhvatanjeprovođenjekorištenjeizvršavanjetumačenjerezimiranjeparafraziranjerazvrstavanjeupoređivanjeobjašnjavanjeprepoznavanjenabrajanjeopisivanjeidentifikovanjepreuzimanjeimenovanjelociranjepronalaženjeAnalizirati: (Podijeliti informacije udijelove kako bi istražio i razumio odnose).Za dati tekstualni matematički problem,odabrati strategiju za rješavanje. Napišiteparagraf koji opisuje odnos ..., kako ... upoređenju sa ...Poređenje, organizovanje,dekonstrukcija, ispitivati, pronalaženjeNapravi istraživanje kako bi saznali ...Grafikonom prikaži svoje rezultate.Koristite Veneov dijagram kako bi pokazalida li su dvije teme iste ili drugačije. Prevodizmeđu vizualne reprezentacije, rečenice, isimbolički zapis. Napravi predviđanjezasnovano na eksperimentalnim ilistatističkim podacima.Primjeniti: (Koristiti podatke u konkretnimsituacijama). Izračunajte površinu datihkrugova. Koristite grafik kako bi ...,odaberite i opišite najbolji način da se ...Iskoristite podatke iz druge slične situacije,sprovedi, obavi, iskoristi, izvršiNacrtajte dijagram kojim se prikazuju datirazlomci... Utvrditi mjere centralnetendencije i disperzije. Napišite objašnjenjeo ovoj temi za druge.Razumjeti: (Shvatiti značenje materijala).Uvažavajući formulu za površinu kruga,parafraziraj je pomoću svojih vlastitihriječi. Odaberite grafikon koji ilustruje.Objasni ideje ili koncepte, protumači,sažimaj, parafraziraj, klasifikuj, objasni.Nađi stavke koje možeš upotrebiti za prikazrazlomka. Prepričaj ili napiši svojimriječima ... Prijavi razredu ... Napiši kratakizvještaj o slučaju.Zapamtiti: (Prisjećanje prethodno naučenoggradiva), formulu za površinu kruga.Pravilo za ..., objasni i upotrebiti postupakza ...Prisjećanje informacija, prepoznavanje,navođenje, opisivanje, vraćanje naprethodno, imenovanje, pronalaženje,lociranje.Navedi razlomke koje poznaješ i možešpokazati. Navedi osobine tvog oblika.Napravi mapu pojmova za svoju temu.Napravi grafikon koji pokazuje ...Budući da je svrha pisanja ishoda učenja jasno definisati šta instruktor/učitelj želi da njegov učenikzna iz određenog sadržaja, korišćenjem ishoda učenja pomoći će se učenicima da bolje razumiju svrhusvake aktivnosti pojašnjenjem samih učenikovih aktivnosti. Glagoli kao što su „znati“, „cijeniti“,„usvojiti“ i „vrednovati“ ne daju baš najtačnije učinke koji se očekuju od učenika (Mager [18]).Nejasni ishodiUčenici će znati da opišu slučajeve kada im se javljajumentalne nejasnoćeUčenici će razumjeti relevantne i irelevantne brojeve utekstualnom matematičkom problemuUčenici će znati najbolji način da riješe neki tekstualniproblem28Revidirani ishodiUčenici će biti u mogućnosti da sagledaju svečinjenice koje će im omogućiti da pojasne o kome tipumentalne nejasnoće se radiUčenici će praviti razliku između relevantnih inerelevantnih brojeva u tekstualnom matematičkomproblemuUčenici će prosuditi koji od dva ponuđena načinarješavanja tekstualnog problema je više efikasniji

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićDevedesetih godina dvadesetog vijeka ne samo da je revidirana Bloomova taksonomija (kognitivnopodručje), nego su revidirani i afektivno i psihomotorno područje ili bolje rečeno zamijenjeni sarazvojem sposobnosti i vještina tj. socijalnim i socio-matematičkim normama. Tako da umjestoafektivnog područja imamo razvoj sposobnosti i vještina, gdje se jasan naglasak stavlja na samurazliku između sposobnosti odnosno vještine. Dok, kada govorimo o psihomotornom području,ističemo da je ono zamijenjeno sa socijalnim i socio-matematičkim normama.Kako bi što preciznije dočarali razvoj sposobnosti i vještina moramo najprije razlikovati ovepojmove. Matematička sposobnost je mogućnost da se razvije i primijeni matematičko mišljenje da bise riješio niz problema u svakodnevnim životnim situacijama. Matematička sposobnost je izgrađenana poznavanju numeracije sa naglaskom na sam proces ali i aktivnost, kao i na samo znanje. Onauključuje različite stepene, sposobnosti i voljnosti da se upotrebe matematički načini razmišljanja(logičko i prostorno mišljenje) i prezentovanje (formula, modela, grafika, konstrukcija, grafikona).Osnovno znanje, vještine i stavovi koji se odnose na matematičku sposobnost.Neophodno znanje u matematici podrazumijeva poznavanje numerike, mjerenje i strukture,osnovne operacije, osnovne matematičke prezentacije, razumijevanje matematičkih termina i pojmova,kao i samu svjesnost o pitanjima koja matematici mogu ponuditi odgovore. Pojedinac može razvitivještinu da primijeni osnovne matematičke principe i procese u svakodnevnom životnom kontekstukod kuće ili na poslu, kao i da procjenjuje same argumente. Takođe, trebalo bi da rezonujematematički, razumije matematički dokaz i komunicira na matematičkom jeziku, te da upotrebljavaodgovarajuće ciljeve. Pozitivan stav u matematici zasnovan je na poštovanju istine i voljnosti da setraže razlozi i procjenjuje njihova valjanost.2.3. SOLO taksonomija(Structure of Observed Learning Outcomes - Struktura posmatranih ishoda učenja)Džon B. Biggs i K. Kolins (v. [5]) kreirali su SOLO taksonomiju za procjenu kvaliteta ishodaučenja, koja je zasnovana na sveobuhvatnoj procjeni nivoa razumijevanja.Po SOLO taksonomiji, znanje se stiče nivoima:1. Prestrukturalni nivo: gomilanje nepovezanih informacija; učenik nije pristupio zadatku naodgovarajući način i treba pomoć da počne.2. Jednostrukturalni nivo: stvaranje očiglednih i jednostavnih veza među informacijama; učeniknavodi samo prvi (ne uvijek i bitan) aspekt koga se sjeti.3. Višestrukturalni nivo: stvaraju se višestruke veze bez uočavanja obrazaca i cjeline; učenikupoznat sa mnogim aspektima, ali još uvijek nije u stanju da ih poveže i tumači pravilno.4. Relacioni nivo: uočavanje odnosa dijelova i cjeline, integracija informacija u modele. Učenikuspijeva sagledati dijelove i pojedine informacije u odnosu na cjelinu, uspijeva povezati, analizirati,uporediti i primijeniti znanje. Ovaj nivo je ono što se obično podrazumijeva pod adekvatnimrazumijevanjem neke teme.5. Prošireni (Generalizovani) apstraktni nivo: mogućnost generalizacije i prenosa principa udruga područja.2.4. Teorija Van Hiele-ovih 9 o geometrijskom mišljenjuHolanđanin Pierre van Hiele (v. [32]) i njegova žena, Dina van Hiele-Geldof (v. [33]) nastojali suda u svojim teorijama objasne zašto veliki broj učenika ima probleme sa učenjem geometrije. Osnovna9Većina ovoga teksta biće upotrebljena u formiranju master rada: Marković, Z. (2013): Problemi u nastavigeometrije prilikom usvajanja osnovnih geometrijskih pojmova u nižim razredima osnovne škole, Pedagoškifakultet Bijeljina, 2013.29

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Markovićrazlika u njihovim izlaganjima bila je u tome što je Pierre uglavnom nastojao da otkrije razloge zaštoučenici postižu loš uspjeh u učenju geometrije, dok je Dina pokušavala da dođe do nekih konkretnihmetoda u nastavi koje bi omogućile prevazilaženje tih problema. U teoriji van Hieleovih (ili modeluvan Hieleovih) postoji pet nivoa razumijevanja geometrijskih koncepata. Svaki od ovih nivoa opisujeprocese mišljenja u geometrijskom kontekstu. Zapravo, nivoi opisuju kako pojedinac misli i o kojimvrstama geometrijskih ideja razmišlja. Na svakom narednom nivou, usvajaju se nova znanja. Da bi sedostigao bilo koji nivo iznad nivo 0 pojedinac mora proći kroz sve prethodne. Da bi prošao kroz bilokoji nivo pojedinac mora prilagoditi svoje mišljenje tom nivou i stvoriti vlastito geometrijskomišljenje o objektima i njihovim vezama kako bi se usredsredio na mišljenje na sljedećem nivou.Pored ovoga oni su smatrali da životno doba ne utiče na prelaženje na sljedeći nivo i kao u prilog tomeističu da postoje ljudi koji su tokom svog cijelog života ostali na nivou 0 odnosno nivou vizuelizacije.Nivo 0: Vizuelizacija.Učenici prepoznaju i imenuju figure zasnovano na globalnim, vizuelnim karakteristikamafigure. Učeničke operacije na ovome nivou su da mjere ili čak razgovaraju o svojstvima oblika, ali onjihovim svojstvima ne razmišljaju sa velikom tačnošću. Na osnovu izgleda oblika daju definicije.Npr. Kvadrat je kvadrat ”zato što liči na kvadrat”. Međutim, ako rotiramo kvadrat za 45 stepeni tada semože desiti da učenik na nivou vizuelizaciji taj objekat više ne smatra kvadratom. Učenici na ovmnivou u stanju su da odvoje i razvrstaju oblike na osnovu njihovog izgleda tj. sličnosti. Npr. “Staviosam ove objekte zajedno zato što liče jedan drugom”.Nivo 1: Analiziranje.Učenici na ovome nivou su u mogućnosti da razmatraju sve oblike unutar klase, a ne samoindividualno. Umjesto razgovaranja o pravougaoniku, razgovara se o svim pravougaonicima.Usredsređuje se na vrstu oblika učenici misle o tome šta čini sve pravougaonike (četiri strane, po dvijesuprotne strane paralelne, po dvije suprotne strane jednake, četiri prava ugla, itd.). Nebitne činjenicekao npr. orijentacija, smjer padaju u drugi plan. Na ovom nivou učenici polako počinju da shvataju dase oblici svrstavaju na osnovu njihovih svojstava. Ideja o individualnom obliku, sada može bitigeneralizovana unutar cijele klase. Učenici mogu da nabroje sva svojstva kvadrata, pravougaonika iparalelograma, ali nisu u mogućnosti da vide podklase, npr. da svi pravougaonici i kvadrati suparalelogrami. Kada govore o definiciji nekog objekta onda su skloni da nabrajaju mnoga svojstvatoga objekta koga poznaju.Nivo 2: Informalna dedukcija.Učenici počinju da misle o svojstvima geometrijskih objekata bez ograničenja određenog objekta,oni su u mogućnosti da razviju veze među ovim svojstvima. Npr. znaju da je dovoljno da četvorougao,koji ima sve stranice jednake, ima jedan prav ugao, da bi bio kvadrat.Nivo 3: Dedukcija.Učenici su u stanju da izvode dokaze srednjoškolskog nivoa, izvode zaključke iz prethodnopoznatih tvrdnji, razumiju definicije i aksiome, i shvataju značenje potrebnog i dovoljnog uslova.Nivo 4: Nivo strogosti.Na ovom nivou, stariji učenici ili mlađi studenti su u mogućnosti da razumiju konzistentnost,nezavisnost i kompletnost aksiomatskog sistema, i da porede matematičke sisteme. Mogu da razumijuindirektno dokazivanje, dokazivanje putem kontrapozicije, te da razumiju geometrijske sisteme kojinisu Euklidski (kao što je na primjer, sistem geometrije Lobačevskog kod koje su geometrijski likovismješteni na sferu, a ne u ravan - kao kod Euklidske geometrije).Kao što postoji pet nivoa mišljenja, van Hieleovi ističu i pet faza sa odgovarajućim postupcimakoji bi mogli učenicima pomoći u savladavanju datih nivoa.To su faze:- informisanja: U ovoj fazi učenici se upoznaju sa materijalom. Kroz diskusiju, nastavnik uviđa štasu učenici do sada naučili o određenoj temi i upoznaje ih sa temom;30

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Marković- usmjerenog vođenja: Učenicima se daje da nešto prave, mjere ili da obavljaju slične vrste poslova,koji će im omogućiti da kroz njih otkriju odnose, koji im do tada nisu bili poznati, ili su bilinedovoljno jasni;- objašnjavanja: Učenici pokušavaju svojim riječima, prirodnim jezikom, objasniti ono do čega sudošli kroz prethodni rad, a nakon toga, nastavnik ih upućuje na termine koji se upotrebljavaju umatematici da to opišu;- slobodnog usmjeravanja: Ovo je faza u kojoj se primjenjuju dotadašnja znanja za rješavanjekonkretnih problema;- integrisanja: U ovoj fazi se objedinjavaju prethodno stečena znanja, i te obrađene informacijepamte.Svaki nivo mišljenja, osim što ima posebnu interpretaciju istog pojma, ima i poseban jezik.Nastavnik posebno mora da vodi računa o tome da upotrebljava riječi koje pripadaju jeziku kojiodgovara nivou mišljenja učenika, jer ga, u suprotnom, oni neće razumjeti. Pošto ne razumiju ono štoim se predaje učenici će pokušati da nauče napamet gradivo. Međutim, kao i sve što se uči napamet ibez i kakvog razumijevanja, biće vrlo brzo zaboravljeno, a i učenici neće biti u stanju da primjenjujuono što su naučili.2.5. Elementi aritmetičkog i rano-algebarskog mišljenjaAritmetika predstavlja granu matematike koja se bavi proučavanjem računskih operacija sabrojevima. Nastala je iz grčke riječi arithmetike koja se sastoji iz dvije riječi arithmos, što u prevoduznači broj, i techne što znači umijeće. Aritmetika obuhvata sljedeće radnje: sabiranje, oduzimanje,množenje i dijeljenje, kvadriranje i korjenovanje. S druge strane, algebra predstavlja skup različitih alimeđusobno povezanih pojmova u matematici i kao jedna od osnovnih matematičkih grana izučavatakozvane algebarske strukture. Skup opštih i posebnih brojeva koji su međusobno povezaniaritmetičkim radnjama sabiranjem, oduzimanjem, množenjem, dijeljenjem, stepenovanjem,korjenovanjem naziva se algebarski izraz. Dakle, pod algebrom u nižim razredima smatramo izrazekoji se bave računanjem uz koje su pored brojeva uključene i nepoznate (promjenjive) x, y, z uzosnovne aritmetičke operacije. Ukazujemo i na rad Uri Lerona (v. [15]) “Porijeklo matematičkogmišljenja” (Origin of mathematical thinking) iz 1999. godine, u kojem se navodi da postojemnogobrojni eksperimenti sa životinjama (lavovi, šimpanze, pacovi, svinje, ...) koji pokazuju da nekeživotinje imaju smisao za brojeve. U istom radu se navodi i tvrdnja uzeta iz Lakoff & Nunez (v. [14]):- Sa tri ili četiri dana, beba pravi razliku između dva ili tri predmeta.- Sa četiri i po mjeseca beba „može reći“ da je 1+1=2 i 2-1=1.- Ove sposobnosti nisu ograničene vizuelnim redom. Bebe mogu razlikovati broj zvukova. Odtri do četiri dana, beba može praviti razliku između dva ili tri brojna sloga.- Od oko 7 mjeseci, bebe mogu prepoznati brojnu jednakost između reda objekata i lupanja bubnjaistog broja.Sve nas ovo navodi da zaključimo da su aritmetičke sposobnosti urođene, odnosno da se beberađaju sa znanjem da je 1+1=2. Posmatrano kroz istoriju, ali i kroz samo obrazovanje učenika algebraizrasta iz aritmetike. Ali izvjesno je da postoje izvjesne poteškoće koje učenici treba da prevaziđu kadaveć usvojene prilaze rješavanju aritmetičkih problema obogaćuju novim metodama koje su otvorenealgebrom. Ove poteškoće se prvi put pojavljuju kada učenici pokušavaju kreirati algebarsku jednačinukojom bi trebalo da predstave problem koji rješavaju. Prema dostupnoj literaturi Bednarz, Radford,Janvier and Lepage (v. [4]), Ceballos and Maximo (v. [6]), Tall (v. [29]), na algebru se može gledati,kao na jedan apstraktan sistem u kojem se reflektuju aritmetičke strukture (Cooper, Williams andBaturo, [8]) ili na jedan sistem koordinatizacije po Weyl (v. [35]) – Šafarevičevom [28] (Шафаревич)konceptu. Strukture o kojima je riječ mogu biti apstraktne šeme (Ohlsson, [19]) ili strukturnekoncepcije (Sfard, [26]) aritmetičkih operacija jednakosti i operacionih pravila kombinovanih saalgebarskim pojmom varijable (Cooper, Boulton-Lewis, Atweh, Wills and Mutch, [7]). Algebra neoperiše na istom nivou kao aritmetika: dok je aritmetika ograničena brojevima i numeričkimizračunavanjima, u algebru je involvirano pisanje simbola i razumijevanje operacija. Osnovni31

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićNastavna oblastR.SrbijaObradaVježbanje,Utvrđivanje,PonavljanjeEvaluacija isamoevaluacijaUkupnoProcenatPrirodni brojevi 55 82 8 145 80.56%do 100Geometrijski9 14 2 25 13.89%obliciMjerenje 3 6 1 10 5.56%Ukupno 67 102 11 180Tabela 3. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred uRepublici SrpskojNastavna oblast R.Srpska Opterećenje ProcenatAritmetika+ Algebra 156 86.67%Geometrijske figure 11 6.11%Mjere i mjerenje 13 7.22%180Tabela 4. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred uRepublici Crnoj GoriNastavna oblast R. Crnoj Gori Opterećenje ProcenatAritmetika + Algebra 85 62.5%Geometrija 15 11.03%Mjerenje 8 5.88%Rukovanje podacima 12 8.82%Rezerva 16 11.76%136Tabela 5. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razred uFederaciji BiHNastavna oblast F BiH Opterećenje ProcenatAritmetika + Algebra / /Geometrija / /Mjerenje, upoređivanje i/ /procjenjivanje105Tabela 6. Relativni odnosi nastavnih oblasti u nastavnom programu matematike za treći razredRepublike HrvatskeNastavna oblast R. Hrvatska Opterećenje ProcenatAritmetika + Algebra 90 75%Geometrija 25 20. 83%Drugi sadržaji 5 4. 17%120 raspoređenih + 16neraspoređenih časova35

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićIz tabela vidimo da je približno isti godišnji fond časova matematike za treći razred u nastavnimplanovima i programima, RS (180), Srbije (180) i MEP projektu (175) dok je za 44 časa manji uHrvatskoj (136) 12 , a za 75 časova manji u Federaciji BiH (105). Sedmični fond časova matematike uHrvatskoj iznosi četiri časa sedmično, a u Federaciji samo tri, dok u ostalim nastavnim planovima iprogramima je zastupljeno pet časova matematike sedmično. Iz navedenih tabela možemo primijetitida se u MEP projektu pravi jasna razlika između broja časova za svaku matematičku oblast, dakletačno se zna koliki je fond časova za aritmetiku, algebru, geometriju i slično. Dok u nastavnimplanovima i programima RS, Srbije, Crne Gore, Hrvatske nije baš najpreciznije definisan fond časova,šta više u nastavnom planu i programu Federacije BiH nema nikakvog fonda časova za bilo kojumatematičku oblast. S druge strane, u većini navedenih nastavnih planova i programa aritmetika ialgebra su predstavljene zajedno, te čine nerazdvojnu cjelinu.. Tako, na primjer, u Crnoj Gori ukupanbroj časova za aritmetiku i algebru zajedno iznosi 138, u RS 156, u Srbiji 145, dok u Hrvatskoj 90časova uz napomenu da 16 časova ostaje neraspoređeno od ukupnog godišnjeg broja časova. Iz ovogamožemo zaključiti da su u trećem razredu aritmetički i algebarski sadržaji najviše zastupljeni,međutim kada bolje pogledamo u njihovu strukturu vidimo dominaciju aritmetike. Dakle, aritmetika jenesrazmjerno najviše zastupljena u svim nastavnim planovima i programima, što i nije baš tolikokarakteristično za MEP projekat. Dakle, primjetno je da nisu baš najbolje precizirani sadržaji učenjeprvenstveno u pogledu algebre i aritmetike, kao ni sam fond časova prema ovim oblastima.5. OČEKIVANI ISHODI I AKTIVNOSTI U NASTAVNOM PROGRAMUIshodi učenja su jasno iskazane tvrdnje napisane od strane učitelja o tome što se od učenikaočekuje da zna, razumije i/ili da je sposoban pokazati nakon završetka procesa učenja. Dakle, onipredstavljaju operacionalizaciju kompetencija pomoću aktivnosti koje su mjerljive i vidljive 13 .Očekivani ishodi učenja pomažu učenicima da shvate što se od njih očekuje i olakšaju proces učenja, anastavnicima da tačno definišu činjenična znanja, vještine i stavove koje bi učenici morali posjedovatina kraju određenog razdoblja učenja. Ostvareni ishodi učenja su informacija roditeljima, učenicima iširoj društvenoj zajednici o kompetencijama mladih stečenim tokom školovanja na osnovu koje seprocjenjuje kvalitet vaspitno – obrazovnog rada. Dok ishodi učenja pokazuju koji je dio opisanihkompetencija učenik stekao, ocjenjivanje je način kojim se vrednuje kvalitet stečenih kompetencija.Uz ishode učenja moraju postojati prikladni kriteriji procjene koji se mogu koristiti za određivanje dali su očekivani ishodi zadovoljeni ili ne.12 Narodne novine Republike Hrvatske, Godište CLXVIII, broj 102 od 15. rujna 2006. stranica 672213 Tuning pojmovnik, 2007. – Vlasta Vizek Vidović: Ishodi učenja u obrazovanju učitelja i nastavnika –konceptualni okvir, Zagreb 2008.36

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićProcjenu čini cjelokupni spektar pisanih, usmenih i praktičnih testova, ispitivanja, koji se koristekako bi se ocijenio napredak učenika u predmetu. Vrednovanje ishoda nastave započinje određivanjemciljeva nastave, odnosno izradom kurikuluma.Metode procjene:- usmeno ispitivanje,- testovi znanja,- nizovi zadataka objektivnog tipa,- mjere učinka u zadatoj aktivnosti,- samoprocjena,- procjena vršnjaka,- kontinuirano praćenje rada – učenička mapa - „portfolio” u koju se prikupljaju radovi tokomdužeg vremenskog perioda (praćenje individualnog napretka).U nastavnom programu RS iz matematike za 3. razred, kao i u nastavnim programima, FederacijeBiH, Crne Gore i Hrvatske predstavljeni su očekivani ishodi učenja, ali samo uopšteno za nastavneteme (područja učenja). Očekivani ishodi spominju se u svim nastavnim planovima i programima(doduše u Hrvatskoj su to standardi znanja, minimalni i osnovni, dok se u Federaciji prave razlikeizmeđu ishoda u područjima učenja tj. u području znanja, području razvoja sposobnosti i vještinaodnosno u području vrijednosti i stavova, uz kasnije nešto složeniju konkretizaciju po svimsadržajima) osim u nastavnom planu i programu Republike Srbije.Tabela 7. Neki od navedenih očekivanih ishoda u nastavnim planovima i programima RS, FederacijeBiH, Republike Crne Gore, Republike Hrvatske.Republika Srpska Federacija BiH R. Crna Gora R. HrvatskaUčеnik ćе biti spоsоbаn: Učenici bi trebali znati: - Čitа, pišе i upоrеđuје Učenici treba da:•čitаti, zаpisivаti i upоrеđivаti a) područje znanja. brојеvе оd 0 dо 1000 a) minimalni standardi znanja.brојеvе dо 100; prvi slјеdbеnik i - Koristiti matematički -Prikаzuје brојеvе • prepoznaju geometrijskeprvi prеthоdnik brоја,jezik i simbole za pоmоću tаčаkа nа oblike (linije, trougao, kvadrat,•rјеšаvаti јеdnоstаvniје zаdаtkе sа osnovne matematičke prаvој i upоtrеblјаvа pravougaonik);јеdnаčinаmа i nејеdnаčinаmа, operacije u skupu znаkоvе јеdnаkоsti i•оvlаdаti rаčunskim оpеrаciјаmа brojeva do 100;• znaju pisanje brojnog niza;nејеdnаkоstisаbirаnjа i оduzmаnjа prirоdnih - Rješavati složenije• sabiraju i odizimaju u okviru-Čitа i pišе rimskеbrојеvа dо 100,tekstualne zadatke;prve stotine (slučajevi:brојеvе•usvојiti оsоbinе kоmutаtivnоsti i - Uočiti vezu i redoslijed50+8;37-7; 39-6; 26+40);-Znа dа sаbirа iаsоciјаtivnоsti sаbirаnjа,između• znaju tablicu množenja sa 2,оduzimа dо 1000•upоznаti zаvisnоst zbirа i rаzlikе osnovnih računskih5, 10;-Znа dа mnоži i dеli sаоd prоmјеnе јеdnе kоmpоnеntе, operacija i• znaju pojam polovine.оstаtkоm dо 1000•uоčiti svојstvа nulе kао sаbirkа i provjerava jedneb) osnovni standardi znanja(trоcifrеni brој dеliumаnjiоcа,operaciju s pomoćuznaju da sabiraju i oduzimajuјеdnоcifrеnim ili sа•оvlаdаti pоtrеbnоmdruge;do 100;dеsеt)tеrminоlоgiјоm i mаtеmаtičkim - Mjeriti, upoređivati ishvate množenje kao sabiranje-Znа оsоbinе rаčunskihјеzikоm nеоphоdnim zа prаvilnо procjenjivati sjednakih sabiraka, upoznaju iоpеrаciја, priоritеtzаpisivаnjе оdgоvаrајućih izrаzа i pomoću jedinica zakoriste termine i znakоpеrаciја i upоtrеburеlаciјаdužinu, masu,množenja;zаgrаdа•rјеšаvаti tеkstuаlnе zаdаtkе i vrijemе...-nauče do automatizma tablicu-Umе dа slikоvitоzаpisivаti ih оdgоvаrајućim b) područje razvojamnoženja 10 x 10; znajuprikаžе, upоrеdi i zаpišеizrаzоm ili rеlаciјоm,sposobnosti i vještina.tablicu dijeljenja, koristerаzlоmаk kао dео•rјеšаvаti zаdаtkе sа јеdnоm i -Da uz pomoć nastavnikatermine i znak dijeljenja;cеlinе, i dа izrаčunаdviје оpеrаciје.procjenjuje, upoređuje,i ukoriste ili primjenjujuјеdаn njеn dео•sаvlаdаti mnоžеnjе i diјеlјеnjеjednostavnim situacijamakomutativnost, asocijativnost i-Rаzumе i znа dа rеšаvаdonosi zaključke.distributativnost računskihdо 100,tеkstuаlnе zаdаtkе kојi- Koristi kreativnost ioperacija;•shvаtiti mnоžеnjе kао sаbirаnjеsе svоdе nа оsnоvnејеdnаkih sаbirаkа, upоznаti imaštu za rješavanjeznaju svojstva 0, kao sabirka,rаčunskе rаdnjе i prinjima primjerenihčinioca i dijeljenika, a jedinicekоristiti tеrminе i znаk mnоžеnjа,tоmе umе dа kоristiproblema.kao činioca i djelioca;•upоznаti оpеrаciјu diјеlјеnjа,slоvа zа zаpis- Koristi jednostavanznaju množenje i dijeljenje ukоristiti tеrminе i znаk diјеlјеnjа,nеpоznаtоg brојаmatematički jezik zaokviru 100, koriste zagrade i•uоčiti i stеći оdrеđеnе sprеtnоsti-Rеšаvа јеdnоstаvnеsaopštavanje ideja.poredak računskih opreacija;prоblеm situаciјеu crtаnju prаvе i duži, kао i rаznih c) područje vrijednosti iumiju da pročitaju i zapišu-Rеšаvа јеdnоstаvnеkrivih i izlоmlјеnih liniјаstavovapomoću slova zbir, razliku,lоgičkо-kоmbinаtоrnе•uоčiti i crtаti prаvоugаоnik i -Pokazuju višeproizvod, količnik ;prоblеmеkvаdrаt nа kvаdrаtnој mrеži,znaju da izračunaju vrijednost37

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Marković•rаzviti mоtоričkе sprеtnоsti zаupоtrеbu lеnjirа•upоznаti оsnоvnе mјеrе zаdužinu•prеtvаrаti mјеrnе јеdinicе umаnjе ili vеćе.samopouzdanja iodgovornosti.- Poštuju različitestavove.-Prepoznaju ulogu iznačaj matematike usvakodnevnom životu.-Znа јеdinicе zа dužinu-Znа јеdinicе zа vrеmе-Znа dа pоrеdi i umе dаprоcеni i mеri dužinе uоkružеnjuizraza sa dvije operacije;umiju da rješavaju tekstualnezadatke s jednom i dvijeračunske operacije;-koriste znake za skup,pripadnost elemenata skupu iprazan skup;U nastavnom programu matematike za drugi razred u MEP - projektu navedeno je da se od učenikaočekuje da:- koriste brojeve u sabiranju i oduzimanju do nekoliko stotina sa sigurnošću;- koriste i pamte množenje brojeva do 10 × 10;- nađu faktore brojeva;- koriste jedinice za novac (£ i p) u kontekstima;- koriste količinu (litar i centilitar) u kontekstima;- razumiju i identifikuju slične oblike;- identifikuju linije (ose) simetrije i izgrađuju (konstruišu, stvaraju) odrazne slike.- prepoznaju događaje koji su izvjesni tj.mogući, odnosno one koji nisu izvjesni i koji sunemogući.U odnosu na nastavne programe, Republike Srpske, Federacije BiH, Crne Gore i Hrvatske,očekivani ishodi učenja u MEP – projektu su još kraće i uopštenije prikazani, međutim ono što jekarakteristično za MEP- projekat, svi ti očekivani ishodi su konkretizovani, pa svaki nastavnik tačnozna šta učenici treba da znaju. S tim u vezi dajemo djelimičan prikaz šta svaki učenik trećeg razredamora da zna na kraju školske godine prema MEP-projektu:Brojevi do 20:Npr. broj 16, 0+16 =16, 1+15=16, 2+14=16, 3+13=16, itd.Tablica množenja: sve do 10×10Brojevi: 1D= 101S= 100Rimski brojevi: 1 I5 V10 X50 L100 CParni/ Neparni brojevi:Cijeli brojevi koji se završavaju sa 0, 2, 4, 6, 8 su parni (djeljivi su sa 2 i nema ostatka)Cijeli brojevi koji se završavaju sa 1, 3, 5, 7, 9 su neparni (imaju ostatak 1 kada se dijele sa dva).Oblici: 2D38

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.MarkovićTrougao (tri prave strane)Četvorougao (četiri prave stranice)Pravougaonik (suprotne stranice su jednake iparalelne, i ima četiri prava ugla)Kvadrat (sve stranice jednake i svečetiri prava ugla)(Primjedba svi kvadrati su pravougaonici, a svi pravougaonici su četvorouglovi).Imajući na umu sve naprijed rečeno, možemo zaključiti da ni u jednom nastavnom planu iprogramu, koje smo upoređivali, nisu jasno navedeni očekivani ishodi učenja za nastavne jedinice, kaoni način provjere kvaliteta stečenih kompetencija. Osim toga, neke od nastavnih jedinica uopšte nisupokrivene ishodima učenja, pa se postavlja pitanje zašto su i planirane za obradu. Nedostatak ishodaučenja otežava rad učiteljima, jer nemaju orijentaciju šta učenici treba da znaju i kolika očekivanja odučenika oni treba da imaju, pa se tu mogu javiti različite interpretacije. Dakle, predstavljeni ishodiučenja u navedenim nastavnim planovima i programima nisu zasnovani ni na van Hiele-ovoj teoriji ogeometrijskom mišljenju, kada govorimo o geometriji, a ni na instrukcijama Evropske asocijacije zaistraživanje matematičkog obrazovanja ’ERME’ kada govorimo o baznim elementima algebarskogznanja koji bi trebalo da su poželjni ishodi školskog sistema kada govorimo o algebri.Pored očekivanih ishoda, u nastavnim planovima i programima navode se smjernice zanastavnika, čija je svrha da pomognu nastavniku u realizaciji određenih nastavnih jedinica, kao iaktivnosti nastavnika i učenika. U Nastavnom planu i programu Republike Crne Gore konkretnoovakvih aktivnosti nema, dok u nastavnom planu i programu RS su date smjernice za nastavnika, a uostalim navedenim nastavnim planovima i programima, Republike Hrvatske, Republike Srbije, iFederacije BiH su prisutne i aktivnosti i nastavnika i učenika.Tabela 8. Primjeri aktivnosti nastavnika i učenika u Nastavnim planovima i programima, RepublikeHrvatske, Republike Srbije, i Federacije BiH.Republika Hrvatska Republika Srbija Federacija BiHAktivnosti učenika:Аktivnоsti učеnikа uAKTIVNOSTI UČENIKA:- Učenici zapisuju brojeve na оbrаzоvnо-vаspitnоm rаdu: - Učestvuju u svim etapama ibrojevnoj polupravi.- sаbirаnjе i оduzimаnjе dо 100 oblicima rada (grupa, tim, par);- Učenici vježbaju sabiranje i - mnоžеnjе i dеlјеnjе- Aktivno učestvuju uoduzimanje u skupu prirodnih - mеmоrisаnjеmatematičkim igrama ibrojeva do 100, koriste zakone - primеnjivаnjе stеčеnih znаnjа primjenjuju ranije stečenakomutacije i asocijacije za lakše - rеšаvаnjе prоblеmаznanja i iskustva;računanje isto pokazuju - zаpаžаnjе- Čitaju i zapisuju brojeve dodidaktičkim materijalom. - uоčаvаnjе100;- Učenici rješavaju jednostavne Аktivnоsti nаstаvnikа u - Predstavljaju odnose međutekstualne zadatke korak po оbrаzоvnо-vаspitnоm rаdu: brojevima upotrebljavajućimatematičke znake …39

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Markovićkorak.- Vježbaju da brzo usmenosabiraju i sabiraju.- Učenici određuju nepoznatisabirak, umanjenik i umanjilac,koriste vezu sabiranja ioduzimanja.- Učenici određuju za toliko većibroj (sabiranjem) i za toliko manjibroj (oduzimanjem).-usmеrаvа-nаvоdi-stvаrа situаciјu-sugеrišе-pоstаvlја prоblеm-pоdstičе-аnаlizirа-mоtivišе-kооrdinirа-nаvоdi nа pоvеzivаnjе iprimеnu znаnjа-pоdstičе nа lоgičnо mišlјеnjе-rаzviја kооpеrаtivnоstAKTIVNOSTI NASTAVNIKA:- Sadržaje Nastavnog programautvrđuje prema interesima isposobnostima učenika iprilagođava zahtjeve postavljeneprogramom kako bi biouspješnoostvaren;- Stavlja naglasak narazumijevanje osnovnihmatematičkih pojmova;- Pomaže djeci da poboljšajuizražavanje svojih matematičkihideja i zapažanja;- Prilagođava nastavu svakomučeniku pojedinačno …U nastavnom programu Hrvatske nisu navedene aktivnosti nastavnika, već samo aktivnosti učenika uokviru određenih nastavnih oblasti.Za svaku nastavnu jedinicu u MEP-projektu date su detaljne nastavne pripreme i smjernice zanastavnika, koje mu pomažu da što bolje realizuje predviđene nastavne jedinice. Na taj načinnastavnik je oslobođen dugotrajnog i svakodnevnog pisanja nastavnih priprema, čime dobija viševremena za osmišljanje kreativnih sadržaja i materijala koje će realizovati i koristiti na časovima.Pored niza vježbi i njihovih rješenja, u dijelu MEP – projekta, koji nosi naziv Pregled, dati su savjetiza učitelja na šta da obrati pažnju prilikom obrade gradiva. Tako se ističe da treba pomoći učenicimada sa više samopouzdanja prilaze rješavanju zadataka i da je osnovni cilj svakog učitelja da pomogneučenicima da matematički misle, što zahtijeva vođenje i strpljenje sa naglaskom na pravilno i preciznopisanje i čitanje matematike u svakom trenutku.6. ZAKLJUČCIU ovom radu upoređivali smo Nastavni plan i program Republike Srpske sa nastavnim planovimai programima, Federacije BiH, Republike Srbije, Republike Crne Gore, Republike Hrvatske i sa MEP– projektom, bazirajući se na nastavne ciljeve, ukupan godišnji fond časova, kao i fond časovarazličitih matematičkih oblasti, očekivane ishode učenja i aktivnosti.Svi navedeni nastavni planovi i programi u nastavi polaze od ciljeva, sem nastavnog plana iprograma RS, koji ne polazi od ciljeva, te za treći razred osnovne škole ciljevi nisu uopšte navedeni. Sdruge strane, nastavni plan i program Federacije Bosne i Hercegovine polazi od ciljeva (kognitivni,razvijanje sposobnosti i vještina, razvijanje pozitivnih vrijednosti i stavova), što mu daje neku vrstuprednosti u odnosu na druge, na način kako su predstavljeni ciljevi. Međutim, primjetno je da su svinavedeni nastavni planovi i programi zaostali, naročito u pogledu promjena koje su se dogodileposljednje decenije dvadesetog vijeka u oblasti vaspitno-obrazovnih ciljeva, kao što je revidiranaBloomova taksonomija. Očigledno da nijedan od navedenih nastavnih planova i programa ne poznajerevidiranu Bloomovu taksonomiju, kao ni socijalne i socio-matematičke norme, te ne pravi razlikuizmeđu pojma sposobnosti i vještine.Godišnji fond časova matematike za treći razred i broj časova predviđen za algebarske,aritmetičke i geometrijske sadržaje su isti u nastavnim planovima i programima, RS, Srbije, Crne Gore(sa 5 časova matematike sedmično), dok je u nastavnom planu i programu Republike Hrvatske taj fondnešto manji (136, sa četiri časa matematike sedmično), te znatno manji u Nastavnom planu i programuFederacije BiH (iznosi 105 časova), gdje uopšte nije naveden broj časova za algebarske, aritmetičke igeometrijske sadržaje.Kada su u pitanju ishodi učenja, možemo reći sa su oni „zastupljeni“ u svim nastavnimplanovima i programima osim u nastavnom planu i programu Republike Srbije. Međutim, ostaje idalje nejasno šta to učenik određenog razreda konkretno treba da zna da bi prešao u naredni razred, za40

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Markovićrazliku od MEP- projekta. Isti je slučaj i sa aktivnostima učenika i nastavnika. Dakle, nastavni planovii programi su napravljeni tako da su „date“ aktivnosti nastavnika, ali pitanje je koliko te „date“aktivnosti uopšte pomažu samom nastavniku odnosno učeniku. Kakvu korist nastavnik ima od tihaktivnosti konkretno za pripremu? Odgovor na ovo pitanje najbolje dobijemo kada te prikazaneaktivnosti u navedenim nastavnim planovima i programima uporedimo sa MEP-a projektom, u kojemje detaljno isplanirano gradivo, odnosno aktivnost nastavnika, ali i očekivana aktivnost učenika zasvaki čas.Dakle, na osnovu izvršene analize Nastavnih planova i programa iz matematike za treći razredosnovne škole, treba izvršiti reviziju Nastavnog plana i programa iz matematike, i to tako:- Nastavni ciljevi i ishodi učenja treba da budu jasno, precizno i konkretno navedeni za svakumatematičku oblast.- Povećati broj ishoda učenja i to tako što bi se neadekvatno formulisani ishodi učenjapreformulisali, a za nastavne jedinice, za koje ne postoje ishodi učenja, formulisali novi.- Vremenski ograničiti ishode učenja, tj. jasno navesti u kojem vremenskom periodu učeniktreba da ostvari zadati ishod učenja. Neki od njih mogu da budu ograničeni na nivou cijeleškolske godine, a za neke je moguće izvršiti i kraće vremensko ograničenje. Koliki vremenskiperiod se ostavlja za ostvarivanje ishoda učenja zavisi od njihove kompleksnosti, kao i oduzrasta učenika.- Uz očekivane ishode učenja trebalo bi da stoje načini njihovog mjerenja, tj. način provjerekvaliteta stečenih znanja i kompetencija.- Jasno predstaviti matematičke oblasti i razdvojiti aritmetiku od algebre u nastavnomprogramu.- Smanjiti broj aritmetičkih sadržaja, a povećati broj algebarskih i geometrijskih sadržaja.- Uraditi valjane aktivnosti za nastavnika i učenika od kojih će nastavnici imati konkretnukorist, a ne samo ih navesti.Preporuke koje su date odnose se na prevazilaženje nedostataka koje smo uočili u rezultatima oveanalize.LITERATURA:1. J. Ainley, L. Bills & K. Wilson: Designing Task for Purposeful Algebra; CERME 3, (2003), WG 6, 1-32. L. Anderson & D.R. Krathwohl (2001): A Taxonomy for Learning, Teaching and Assessing: a Revision ofBloom’s Taxonomy. New York. Longman Publishing.3. R. Berrincha: The Development of Algebraic Thinking in the Study of the First Degree Equations; 138-1404. N. Bednarz, L. Radford, B. Janvier and A. Lepage: Aritmetical and algebraic thinking inproblem-solving;PME 16 (1992), Vol. 1, 65-725. J. B. Biggs and K. Collins (1982). Evaluating the Quality of Learning: the SOLO taxonomy. New York,Academic Press.6. T. R. Ceballos and E. P. Maximo: Early Access to Algebraic Ideas: The Role of Representations and theMathematics of Variation; PME 31 (2007), Vol. 4, 113-1207. T. J. Cooper, G. Boulton-Lewis, B. Atweh, L. Wills and S. Mutch: The transition from algebraic toalgebra: Initial understandings of equals, operations and variables; PME, 21(2)(1997), 89-968. J. Cooper, A. M. Williams and A. R. Baturo: Equals, operations and variables; Proceedings of 24thconference of the mathematics Education Research group of Australasia (MERGA), 1999, 177-1849. R. Dave (1967). Psychomotor domain. Berlin: International Conference of Educational Testing.10. J. P. Drouhard: Epistemography and Algebra , CERME 6, (2009), WG 4, 54-6311. S. Ibrahimpašić, B. Ibrahimpašić, D. A. Romano: Argumentacija slutnje (formiranje hipoteze) o nivoimarazumijevanja osnovnoškolske aritmetike i rane algebre studenata Pedagoškog fakulteta Univerziteta uBihaću; IMO, Vol. II (2010), Broj 3, 3-1412. D. R. Krathwohl, B. S. Bloom & B. B. Masia (1973). Taxonomy of Educational Objectives, theClassification of Educational Goals. Handbook II: Affective Domain. New York: David McKay Co., Inc.13. S. Kriegler: Just what is Algebraic Thinking?, Preprint, (1998, 2006), 1-1114. G. Lakoff & R. Nunez (2000): Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind BringsMathemtatics Into Being, Basic Books.15. U. Leron (1999): Origin of mathematical thinking: a synthesis, CERME 3, Tematik group 1, 8 pp.16. A. Lewy (1968). The empirical validity of major properties of a taxonomy of affective educationalobjectives. Journal of Experimental Education, 36, 70-77.41

IMO, Vol. V(2013), Broj 9.J.Kartuma i Z.Marković17. L. Linchevski: Algbera with numbers and arithmetic with letters: A definition of pre-algebra;Journal of Mathematical Behavior, 14(1995), 113-12018. R. F. Mager (1997). Preparing Instructional Objectives: A Critical Tool in the Development ofEffective Instruction. Atlanta, GA : Center for Effective Performance.19. S. Ohlsson: Abstract schemas; Educational Psychology, 28(1)(1993), 51-6620. D.A.Romano: O geometrijskom mišljenju; Nastava matematike (Beograd), LIV (2-3) (2009), 1-1121. L. Redford: Algebraic Thinking and Generalization of Patterns: A Semiotic Perspective; PME-NA 2006,Proceedings, Vol. 1, 2-2122. D.A.Romano: Istraživanje matematičkog obrazovanja; IMO, Vol. I (2009), Broj 1, 1-1023. S. Rososhek: Forming Algebra Understanding in MPI-project; CERME 1 (1998), 184-19424. J. Schmittau: The Development of Algebraic Thinking, A Vygotskin perspective; ZDM, 37(1)(2005), 16-2225. J. L. Schwartz and M. Yerushalmy: On the need for a bridging language for mathematical modeling. For theLearning of Mathematics, 15(2)(1995), 29-35.26. A. Sfard: On the dual nature of mathematics conceptions: Reflections on processes and objects as differentsides of some coin; Educational Studies in Mathematics, 22(1991), 1-3627. B. J. Specht: Early Algebra - Processes and Concepts of Fourth grades Solving Algebraic Problems; CERME4 (2005), 706-71628. И. Р. Шафаревич: Основные понятия алгебры, Алгебра 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл.мат. Фундам. направления, 11, ВИНИТИ, Москва, 1986, 5-27929. D. O. Tall: Reflection on Early Algebra; Proceedings of 25th conference of PME, 2001, 149-15230. M. Yerushalmy and J. L. Schwartz: Seizing the opportunity to make algebra mathematically andpedagogically interesting. In: T. A. Romberg, E. Fennema, and T. Carpenter (Eds.) Integrating Researchon Graphical Representations of Functions; Erlbaum Inc. NJ. 1993, 41-68.31. Van de Walle, John A. (2001). Geometric Thinking and Geometric Concepts. In Elementary and MiddleSchool Mathematics: Teaching Developmentally, 4th ed. Boston: Allyn and Bacon.32. Van Hiele, P.M., (1986): Structure and insight, a theory of mathematics education. Orlando, FL: AcademicPress.33. Van Hiele, D.G., (1957): The Didactics of Geometry in the Lower Class of the Secondary School. Englishsummary (by Dina van Hiele-Geldof) of De didaktiek van de Meetkunde in de eerste klass van hetV.H.M.O. Doctorial dissertation, University of Utrecht.34. V. V. Vidović: Ishodi učenja u obrazovanju učitelja i nastavnika – konceptualni okvir, Zagreb 2008.35. H. Weyl: Topology and abstract algebra as two roads of mathematicakl comprehension; Amer. Math.Monthly, 102(5)(1995), 453-46036. Autor, Zakon o osnovnom obrazovanju i vaspitanju, ''Službenom glasniku Republike Srpske''. br. 74 od12. avgusta 2008, 71/09, 104/1137. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo prosvjete i kultureRepublike Srpske38. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo znanosti,obrazovanja i sporta Republike Hrvatske.39. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo prosvete, nauke itehnološkog razvoja Republike Srbije40. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo obrazovanja i naukeFederacije BiH41. Autor, Nastavni plan i program matematike za treći razred osnovne škole, Ministarstvo prosvjete RepublikeCrne Gore42