Fyzika -přednáška \(setrvačníky precipitace nutace\)

POHYB SETRVAČNÍKU- jde o tuhé homogenní osově souměrné těleso s velkým momentem setrvačnosti k osesouměrnostiu techn. setrvačníků:•počet otáček až 50 000min -11 2• získávají velkou Ek = Jω2• a velký moment hybnosti b = Jωužití: k zrovnoměrnění chodu strojů např. výbušných motorůVOLNÝ SETRVAČNÍK- gyroskop, kdy moment vnějších působících sil je nulový• působí - li jen tíha, je podepřen v T a nazývá se Maxwellův setrvačník• osy, kolem kterých se může otáčet procházejí těžištěm se nazývají setrvačníkv Cardanově závěsuMaxwellův setrvačník

Cardanův závěs

volný setrvačník: M=0roztočením kolem jedné volné osy jeb = Jωdbpak = 0dta b = Jω= konst.Pak b a ω mají stejný směr se směrem osy symetrie setrvačníku. Osa volného setrvačníkuzachovává v prostoru stálý směr.VOLNÉ OSYRovnováha:a) statickáb) dynamickáa) osa rotace prochází těžištěm – jinak kyvadlob) rotuje podle jedné ze tří hlavních os setrvačnosti- při rotaci tělesa na elementy začnou působit setrvačné síly – souvisí s ω a • ω- rovnoměrná rotace – síly odstředivé F opůsobení sil kompenzují ložiska přídavnýmireakcemi R• zvyšují opotřebení ložisek• vyvolávají neklidný chod strojedynamická rovnováha: NULOVÝ MOMENTVŠECH SIL, I SETRVAČNÝCH

Podmínky pro rovnováhu tělesa při rotacirovnoměrná rotace kolem osy y inerciálnívztažné soustavyna elementy mipůsobí odstředivé síly2F = m ⋅ω⋅ riiiVe složkách:FxFyFziii2= F cosα= m ω x= 0i2= F sinα= m ω ziiiiiiiVýslednice:2Fx = ωFy = 02Fz = ω∑i∑im xim ziiiUžití souřadnic hmotného středu22Fx = ω mx s; Fy = 0 ; Fz = ω mzskde m je hmotnost tělesaPro síly nulové je x y = z = 0 ⇒ osa rotace prochází hmotným středem.s=s sTěleso bude v dynamické rovnováze, když bude rotovat podle jedné ze tří hlavních ossetrvačnosti. Osy se nazývají VOLNÉ OSY.RESALOVA VĚTA2. impulsová věta

dbdt= Mb = Jωpro případy:• nehybná osa• rotace kolem jedné z volných osje J = konst.Při prostorové rotaci tělesa kolem pevného bodu se osa rotace vůči inerciální soustavěpohybuje. K přibližnému řešení se užívá geometrické interpretace 2. impulsové věty, navrhlFrancouz Résal. Analogie s definicí rychlosti částicedrv =dtRychlost koncového bodu vektoru b = výslednému momentu sil MKoncový bod b se posune za čas od b = Mdt a změněný moment hybnostib + db = b + MdtGeometr. podoba 2. imp. věty je RESALOVA VĚTAPRECESE A NUTACE TĚŽKÉHO SETRVAČNÍKUTěžký setrvačník - rotující gyroskop v tíhovém poli uchycený v bodě mimo jeho T.např. setrvačník podepřený v O pod těžištěm T. Roztočíme setrvačník úhlovou rychlostí ωkolem volné osy ξ, odkloněné od svislé osy o ϑ → nutační úhelTím mu udělímeTíhová síla

Působí vzhledemm - hmotnost setrvačníku;- kolmý k rovině vymezené svislicí a osou ξDle Resalovy věty:vychýlí koncový bod A vektoruve směrustejně se vychýlí i osa ξsoučasně se změní směr, je stále kolmý k ξproces je spojitý a bod A opisuje kružniciPohyb se nazývá precese, ψ precesní úhel. Uhlová rychlostužitím Resalovy věty.precesního pohybu se určíBod A vykoná rovnoměrný pohyb po kružnici o poloměrurychlostí o velikosti

Analogický vztahplatívelikost součinu→Úhlová rychlost precesního pohybu ≠ f (ϑ) a tedy na odklonu ξ od svislice.Působení rušivých momentů sil:při dotyku osy setrvačníku s podložkoupo udělení příčného impulsuudělíme setrvačníku další rotací kolem jiné osy než je volná osa.Osa setrvačníku neopisuje plášť precesního kuželu s ϑ = konst.Nutační úhel ϑ se cyklicky mění, vzniká přídavný pohyb - rotace bodu AJde o skládání dvou kruhových pohybů, které opisuje bod osy setrvačníku - epicykloiduobyčejnáprodlouženázkrácenáCelkový pohyb se označuje: pseudoregulární preceseVyužití:letectví:- umělý horizont indikující polohu letadla v mlze- zatáčkoměr- setrvačníkový kompas- automatický pilotrakety:- řízení pohybu raket

tank:- stabilizace polohy hlavně kanónua) M působí v ose setrvačníkuv t = 0 jepro M = konst., rotace se rovnoměrně zrychluje či zpomaluje - analogie rovnoměrnězrychlenému (zpomalenému) pohybu.→ při působení M v ose setrvačníku ovlivní pouze velikost b a tím i ω. Takový momentsetrvačník roztáčí nebo brzdí.b) M působí kolmo k ose setrvačníkuKolmý na osu setrvačníku působí síla F = konst.a vyvolá vzhledem k T moment M = konst.Přibližné řešení:předpoklad - malý M změní v krátkém ∆t původníPakPůsobí-li v rovině nákresny bude působit kolmo znákresny. Ve stejném směru se změní . Osasetrvačníku se nastaví do směru výsledného momentu!→ Účinkem síly se osa setrvačníku sklápí do směruvyvolaného silou (tedy kolmý ke směru působení síly )

GYROSKOPICKÉ JEVY U DOPRAVNÍCH STROJŮ V ZATÁČCEDopravní stroje - rotující části:pozemní stroje:kolaletadla, lodě, rakety: rotory turbín a kompresorů → rotující části představují setrvačníky:při změně směru pohybu - gyroskopické jevy.LETADLO, LOĎ RAKETArotory mají osu v podélné ose strojeProudové letadlomoment hybnosti roztočenýchrotorůPro změnu pohybu vnutíme rotačnípohyb pomocí kormidel.např. pro zatáčku vlevo musí působit sílypohyb úhlovou rychlostí(vzhůru kolmo k nákresně) TEN vyvolá

Při zatáčce vlevo se zvedá předek letounu → letadlo těžké na ocasPři zatáčce vpravo → letadlo těžké na nosPodobně LOĎ, RAKETAKvantitativní popisSetrvační o vnucuje rotaci vlevo úhlovou rychlostí působení .Rotor jako volné těleso (neložení v ložiskách) sklápěla by se osa do směru tak, že podleResalovy věty by rychlost koncového bodu byla rovna a vznikla by precese p úhlovourychlostí Ω.Rotor uložený do ložisek 1, 2, bude pohybu zabráněno, ale rotor působí na ložiska silami ,jsou vyvolány gyroskopickým momentem .Pro vznik precese úhlovou rychlostí- analogicky:, musí podle Resalovy věty působit moment síly(1)

nebo (2)velikost:

SMĚR GYROSKOPICKÉHO MOMENTU MG pravidlem ŽUKOVSKÉHOJe-li setrvačník nucen vykonávat precesní pohyb, pak vzniká gyroskopický moment,který se snaží nejkratší cestou otočit osu rotace setrvačníku (vektor ) do směru osyvnuceného pohybu.Jiné vyjádření gyroskopického momentu: ,kde:jsou přídavné síly, kterými působí osa rotoru na ložisko, je rameno těchto sil.Sílykolmé na osuJEDNOSTOPÁ VOZIDLAKdo jednostopé vozidlo má;Vykloněním kola ze svislé roviny o malý úhel υ, vznikne působením tíhové síly, moment ten pootáčí ve směru , tj. vodorovně.Kolo vedle posuvného a otáčivého pohybu koná precesní pohyb.Při náklonu kola vlevo dojde k jeho stáčení vlevo. Při návratu zpět precese (a i zatáčení)ustane.Jízdní kolo a motocykl je v zatáčce stabilní.Při řízení kola: působíme, který mu vnucuje rotaci – viz obr. Dvojstopá vozidla,

Vzniká gyroskopický moment .

DVOJSTOPÁ VOZIDLAPři zabočení např. VLEVO musíme působit na kola momentem sílyPodle druhé IMPULSOVÉ věty má tento moment tendenci způsobit precesi úhlovourychlostí vyklápí vozidlo ze zatáčky gyr. momentem viz (2)Gyr. Účinek kol v zatáčce je nepříznivý a s(odstředivými silami)zmenšuje stabilitu, neboť působí vzhledem k bodu dotyku O kdes vozovkou klopným momentem síly.STABILIZACE LETU DISKU A STŘELYDisk:Pohyb disku: stabilnídélka vrhu co nejdelšísportovec mu udělí rotacikolem osy souměrnostidisk — setrvačník (např. papírový pivní tácek)Při vrhu kotouče LEVOU RUKOU rotuje při pohledu shora v kladném směru (proti směruhodinových ručiček).

Za pohybu působí odpor o výslednicisměru pohybu (v důsledku aerodynamických poměrů); působiště není v těžišti T, nýbrž v C vePřenesením síly do T musíme připojit dvojice R ′ , R ′′ .Uvedený moment způsobí precesi tácek vržený LEVOU rukou se stáčí VPRAVO.Složka síly působí jako vztlaková síla.DISK: podobně, jen precese v důsledku velkého a malého není výrazná.Vztlaková síla nadnáší disk a zejména v sestupné části prodlužuje délkuvrhuStřela:Vlastnosti setrvačníku využito ke stabilizaci pohybu hlavňových střel. V hlavni seuděluje rotace a tím , za pohybu působí odpor vzduchu – působiště C je mimo těžiště, kešpici střely.

Síla dává k T moment kolmo k rovině proložené osou střely a tečnouk trajektorii. Působením momentu střela vykonává precesní pohyb. V důsledku tření vzduchuvzniká další moment síly, ten zmenšuje nutační úhel . Působením tohoto momentu sledujeosa střely stále tečnu k balistické dráze střelydopadá na cíl špicí.Ve vakuu: – naopak osa střely by zachovávala směr osy hlavně– dopadl na cíl dnemKvantitativní řešení: složitéhledá se: vztah meziase ovlivní tj. stoupání m závitů v hlavnise ovlivní polohou C.