Karakteristicne funkcije 1

Teorem 3:Neka je X slučajna varijabla sa karakterističnom funkcijom ϕ X te a i b realni brojevi.Karakteristična funkcija slučajne varijable Y = aX + b dana je izrazomϕ aX+b (t) = e ibt ϕ X (at), t ∈ R.Teorem 4:Neka su X 1, . . . , X n nezavisne slučajne varijable sa karakterističnim funkcijama ϕ Xk (t),n∑k ∈ {1, . . . , n}. Tada je karakteristična funkcija slučajne varijable Y = X k dana izrazom:k=1n∏ϕ Y (t) = ϕ Xk (t).k=1Teorem 5:Ako je E [|X| n ] < ∞, ∀n ∈ N, tada karakteristična funkcija ϕ X slučajne varijable X imak-tu derivaciju za k ≤ n i vrijedi:+∞ ∫a) ϕ (k)X (t) = (ix) k e itx dF X (x),−∞b) E[X k] = 1i k ϕ(k) X (0).Zadatak 1:Odredite karakteristične funkcije sljedećih slučajnih varijabli:a) standardne normalne slučajne varijable (X ∼ N (0, 1)),b) normalne slučajne varijable s parametrima µ ∈ R i σ 2 > 0 (X ∼ N (µ, σ 2 )),c) dvostrane eksponencijale ili Laplaceove slučajne varijable s parametrom λ > 0,d) uniformne slučajne varijable s parametrima a i b, a < b (X ∼ U(a, b)),e) jedinične Cauchyjeve slučajne varijable (X ∼ C(0, 1)),f) Cauchyjeve slučajne varijable s parametrima a > 0 i b ∈ R (X ∼ C(a, b)).Rješenje:a) ϕ X (t) = e − t2 2 , t ∈ R, b) ϕ X (t) = e itµ− σ2 t 22 , t ∈ R,c) ϕ X (t) = λ2λ 2 + t 2 , t ∈ R, d) ϕ X (t) = eibt − e iatit(b − a) , t ∈ R,e) ϕ X (t) = e −|t| , t ∈ R, f) ϕ X (t) = e itb−a|t| , t ∈ R.Zadatak 2:Neka su X 1, . . . , X n nezavisne Bernoullijeve slučajne varijable s parametrom p ∈ 〈0, 1〉.n∑Odredite karakterističnu funkciju slučajne varijable Y = X k . Rješenje: ϕ Xk (t) = q + pe it ,k=1ϕ Y (t) = [q + pe it ] n ,Y ∼ B(n, p).Zadatak 3:Neka su X 1, . . . , X n nezavisne binomne slučajne varijable s parametrima n i p ∈ 〈0, 1〉.n∑Odredite karakterističnu funkciju slučajne varijable Y = X k . Rješenje: ϕ Xk (t) = [q +k=12

pe it ] n , ϕ Y (t) = [q + pe it ] n2 .Zadatak 4:Neka su X 1, . . . , X n nezavisne Poissonove slučajne varijable s parametrom λ > 0. Odreditekarakterističnu funkciju slučajne varijable Y =n∑X k . Rješenje: ϕ Xk (t) = e λ(eit−1) ,k=1ϕ Y (t) = e λn(eit −1) ,Y ∼ P(λn).Zadatak 5:Neka su X 1, . . . , X n nezavisne normalne slučajne varijable s parametrima µ k ∈ R i σ 2 kn∑> 0,k ∈ {1, . . . n}. Odredite karakterističnu funkciju slučajne varijable Y = X k . Rješenje:k=1ϕ Xk (t) = e itµ k − σ2 k t2itn∑µ k − t2 22 , ϕ Y (t) = e k=1n∑σk 2 k=1 ,( n∑)n∑Y ∼ N µ k , σ 2 k .k=1 k=1Zadatak 6:Neka su X 1, . . . , X n nezavisne Cauchyjeve slučajne varijable s parametrima a k > 0 i b 2 kn∑∈ R,k ∈ {1, . . . n}. Odredite karakterističnu funkciju slučajne varijable Y = X k . Rješenje:k=1ϕ Xk (t) = e itb k −a k |t| ,itn∑n∑b k −|t| a kϕ Y (t) = e k=1 k=1 ,( n∑ n∑Y ∼ C a k , b k).k=1 k=1Zadatak 7:Pomoću poznate karakteristične funkcije ϕ X odredite matematičko očekivanje i varijancua) Bernoullijeve slučajne varijable s parametrom p ∈ 〈0, 1〉,b) normalne slučajne varijable s parametrima µ ∈ R i σ 2 > 0.Zadatak 8:Provjerite jesu li sljedeće funkcije karakteristične funkcije:a) ϕ(t) = e −i|t| t ∈ R,.1b) ϕ(t) =1 − i|t| , t ∈ R,⎧⎨ e 2t , t ≥ 0c) ϕ(t) =⎩1, t < 01 + t 2Rješenje:Niti jedna od navedenih funkcija nije karakteristična funkcija.3