1 AEGRIDADE MUDELID Sisukord 1. Stohhastilised protsessid ...

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausAEGRIDADE MUDELIDSisukord1. Stohhastilised protsessid. Statsionaarsuse mõiste.......................................................21.1. Stohhastilised protsessid............................................................................................21.2. Statsionaarsed ja integreeritud protsessid ...................................................................21.3. Aegrea karakteristikud ..............................................................................................31.4. Korrelogramm. Statsionaarsuse määramine................................................................51.5. Sohhastiliste protsesside näiteid .................................................................................72. ARIMA mudelid ....................................................................................................142.1. Libiseva keskmise (MA-moving average) mudelid.................................................142.2. Autoregressiivsed (AR-autoregressive) mudelid. ....................................................192.3. ARMA mudelid ......................................................................................................252.4. ARIMA mudelid ....................................................................................................262. 5. Näiteid modelleerimisest ARIMA mudelitega..........................................................292.6. Sesoonsed ARIMA mudelid....................................................................................413. ARCH ja GARCH mudelid....................................................................................453.1. Sissejuhatus ............................................................................................................453.2. ARCH ja GARCH mudelid.....................................................................................453.3. Asümmeetrilised ARCH mudelid .............................................................................463.4. Autoregressiivse heteroskedastiivsuse olemasolu testimine ........................................474. Ühikjuure testid. Aegridade kointegratsioon............................................................534.1. Sissejuhatus ............................................................................................................534.2. Diferents-statsionaarsed ja trend-statsionaarsed protsessid.......................................554.3. Ühikjuure testid.......................................................................................................564.4. Viitaegade arvu ja sobiva testvõrrandi valikust ühikjuure testide korral......................594.5. Ühikjuure testidest sesoonsuse korral. Struktuursed muutused ja ühikjuure testid......614.6. Aegridade kointegratsiooni mõiste ..........................................................................634.7. Kointegratsiooni testimine. Engle-Grangeri metoodika.............................................644.8. Johanseni kointegratsioonitestid. ..............................................................................661

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus1. Stohhastilised protsessid. Statsionaarsuse mõiste.1.1. Stohhastilised protsessidEeldame järgnevas, et aegrida y t, t=1,2,...,T on genereeritud stohhastilise protsessi poolt,s.t. me vaatleme antud aegrida kui mingi stohhastilise protsessi üht realisatsiooni.Aegrea kirjeldamiseks ja prognoosimiseks me hindame esmalt aegrida genereerivastohhastilise protsessi karakteristikuid (parameetreid) ning pärast seda leiame prognoosidkui stohhastilise protsessi tinglikud keskväärtused.Stohhastilist protsessi võime vaadelda kui aja järgi järjestatud juhuslike muutujate hulkaY t, t = 1,2,...,T . Aegrida y ton vaadeldav juhusliku protsessi mingi realisatsioonina, kus iga{ }juhusliku suuruse Y tkohta on olemas vaid üheelemendiline valim. Üks viis stohhastilistprotsessi kirjeldada oleks määrata ta ühine jaotusfunktsioon (joint probability distribution)p( Y1 , Y2 ,... Y T) , kuid praktikas ei õnnestu meil ühe realisatsiooni baasil jaotust määrata.Seetõttu püütakse järgnevalt kirjeldada stohhastilisi protsesse nende esimest ja teist järkumomentide kaudu. Esimest ja teist järku momentideks on teatavastikeskväärtus µ ( t) = E( Y t) ,dispersioon σ 2 ( t) = Var( Y t)ning autokovariatsiooni funktsioonγ t , t ) = Cov(Y , Y ) = E(((Y − µ ( t ))( Y − ( ))) .(1 2t 1 t2t11 tµ t2 2Aegrea andmete põhjal püüame hinnata teda genereeriva stohhastilise protsessi momentening nende põhjal määrata stohhastilist protsessi esitava aegrea mudeli liigi ning hinnatamudeli parameetreid.1.2. Statsionaarsed ja integreeritud protsessidMe ütleme, et juhuslik protsess on statsionaarne, kui juhusliku protsessi karakteristikud onajas konstantsed. Vastasel juhul on protsess mittestatsionaarne. Rangelt statsionaarse(strictly stationary) protsessi korral eeldatakse, et protsessi ühine jaotusfunktsioon on ajaskonstantne, s.t.p( Yt , Yt + 1,...., Yt + k) = p( Yt+ m, Yt + m+ 1,..., Yt + m+k) iga t, k (k≥0) ja m korral.Me ütleme, et protsess on nõrgalt statsionaarne (weakly stationary), kui protsessiesimest ja teist järku momendid on ajas konstantsed, s.t.2µ = E(Yt)= E(Yt+ m),σ = Var(Yt) = Var(Yt+m),.γ ( k)= Cov(Y , Y ) = Cov(Y , Y )tt+kt+mt+m+kJärgnevas osas mõistame statsionaarsuse all nõrka statsionaarsust.Autokorrelatsioonifunktsiooniks me nimetame funktsiooniE((Yt− E(Yt))( Yt+ k− E(Yt+ k))) Cov(Yt, Ytρ(t,k)==22E(Y − E(Y )) E(Y − E(Y )) σ σStatsionaarse protsessi korralttt+kt+kY t Y t+ k+ k).2

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausρ(t,k)= ρE((Y− µ )( Y− µ ))tt+kk==2σγ ( k).2σStatsionaarsuse omadus on oluline seetõttu, et mittestatsionaarseid protsesse on üldjuhulkeeruline esitada konstantsete kordajatega mudelite kaudu, kuid ajas muutuvatekordajatega mudeli hindamiseks ei piisa reeglina ühe aegrea andmetest. Seetõttu on lihtsammodelleerida statsionaarseid protsesse.Me ütleme, et protsess on k-ndat järku integreeritud (integrated of order k), kuiprotsessi k-ndat järku diferents ∆ k Yton statsionaarne protsess. Siin k-ndat järku diferentsdefineeritakse järgmiselt:2k k −1 k −1∆Yt = Yt − Yt −1, ∆ Yt = ∆Yt − ∆Yt−1, ..., ∆ Yt= ∆ Yt− ∆ Yt−1.Järgnevalt räägime ka aegrea statsionaarsusest ning integreeritusest ning sel juhul peamesilmas seda, et vastavat aegrida genereeriv stohhastiline protsess on kas statsionaarne võiintegreeritud. Enamus majandusandmete aegridu on ilmselt mittestatsionaarsed, kuna nendeväärtused kasvavad ajas (seega protsessi keskväärtus ei ole ajas konstantne), kuid sagelion nende 1. järku diferents statsionaarne aegrida.1.3. Aegrea karakteristikudKui meil on antud vaid protsessi üks realisatsioon - aegrida, siis ei ole meil võimalik täpseltmäärata stohhastilise protsessi karakteristikuid. Kuid me saame vaadelda aegrea keskmistväärtust, standardviga ning k-järku autokorrelatsioonikordajad statsionaarse juhuslikuprotsessi keskväärtuse, dispersiooni ning autokorrelatsiooni funktsiooni hinnangutena.Aegrea keskmine väärtus leitakse vastavalt valemile1y =TT∑ y tt=1ning aegrea standardvigaT1σ ˆ = ( y t− y).∑2T t=1Kui aegread sisaldavad aga püsivat arengutendentsi, trendi, siis need karakteristikud onsuhteliselt väheinformatiivsed aegrea iseloomustamiseks, kuna nende väärtused sõltuvadoluliselt vaadeldava ajaperioodi pikkusest.Üheks oluliseks aegrea omaduseks on aegrea väärtuse perioodil t sõltuvus varasemateperioodide väärtustest ning peamine karakteristik, millega seda seost mõõdetakse, onautokorrelatsioonikordaja. Meenutame, et tavaline valimi korrelatsioonikordaja näitajate xja y vahel on esitatav kujul3

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausn∑( x − x)( y − y)i ii=1ˆρ =,nn22∑ ( xi− x) ∑ ( yi− y)i=1i=1kus x, y on vastavalt näitajate x ja y keskmised väärtused. Analoogiliselt defineeritakse kaautokorrelatsioonikordaja. Kui meil on antud aegrida yt, t=1,2,…,T, siis saamemoodustada T-1 arvupaari ( y1, y2),( y2,y3),...,( y T − 1,y T). Vaadeldes iga paari esimestvaatlust kui üht muutujat ning teist vaatlust teise muutujana, saame defineeridakorrelatsioonikordaja näitajate yt−1ja ytvahel vastavalt valemilekusy=1T∑t y iT − 1 i=2T∑( y − y )( y − y )t−1t−1t tˆρ =t=2,TT22∑ ( yt−1− yt−1) ∑ ( yt− yt)t=2t=2T1, y −1= ∑T −1t y i −1i=2Tavaliselt esitatakse korrelatsioonikordaja näitajate yt−1jatvalemigaT∑t−1t=21= T( y − y)( y − y).∑( yt− y)t=1tT1ˆρ , y = ∑2Ty vahel lihtsustatud kujuly tt=1ning seda nimetatakse 1. järku autokorrelatsioonikordajaks. Esimest järkuautokorrelatsioonikordaja mõõdab järjestikuste vaatluste vahelist korrelatsiooni. Nii nagutavalise korrelatsioonikordaja korral, jäävad ka autokorrelatsioonikordajate väärtused -1 ja1 vahele. Kui autokorrelatsioonikordaja väärtus on null, siis aegrea väärtus perioodil t eisõltu aegrea väärtusest eelmisel perioodil.Analoogiliselt esimest järku autokorrelatsioonikordajale defineeritakse ka k-ndat järkuautokorrelatsioonikordaja kui vaatluste yt− kja ytvaheline korrelatsioonikordaja.ˆρT∑t−kt=k + 1k= T( y − y)( y − y)∑( yt− y)t=1t2On lihtne veenduda, et iga k korral ρ$ $k= ρ − k.Statistikast on teada lisaks korrelatsioonikordaja mõistele ka osakorrelatsioonikordajamõiste, mis mõõdab näitajate x ja ja y vahelise seose tugevust tingimusel, et näitajatez1, z2,...,z mmõju on eemaldatud. Analoogiliselt saab defineerida ka osaautokorrelatsioonikordaja.k-ndat järku osaautokorrelatsioonikordaja mõõdab vaatluste4

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausytjat ky −vahelist korrelatsiooni tingimusel, et vaatluste yt−1, yt−2,...,yt−k+1mõju oneemaldatud.Märgime, et k-ndat järku osaautokorrelatsioonikordaja leidmine on samaväärne aegridadeyt− kning utvahelise korrelatsioonikordajaga, kus uton regressiooniyt= b0 + b1yt− 1+ b2yt−2+ .... + bk−1yt−(k−1)+ utjääkliikmed.1.4. Korrelogramm. Statsionaarsuse määramine.Oluliseks vahendiks stohhastiliste protsesside uurimisel on aegrea autokorrelatsioonikordajate$ρ kvaatlus korrelogrammi abil. Joonisel 1.1 on esitatud tarkvarapaketis EViewskasutatav korrelogramm , mille korral esitatakse autokorrelatsiooni-(AC) jaosaautokorrelatsioonikordajad (PAC) nii arvuliselt kui graafiliselt tärnidega.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|** | .|** | 1 0.209 0.209 7.2818 0.007.|** | .|** | 2 0.247 0.213 17.535 0.000.|** | .|* | 3 0.235 0.165 26.907 0.000.|** | .|* | 4 0.205 0.106 34.063 0.000.|. | *|. | 5 0.021 -0.114 34.141 0.000.|* | .|. | 6 0.078 -0.009 35.182 0.000.|. | .|. | 7 0.065 0.020 35.903 0.000*|. | *|. | 8 -0.102 -0.146 37.731 0.000.|. | .|* | 9 0.057 0.094 38.310 0.000.|. | .|. | 10 0.038 0.052 38.560 0.000.|. | .|. | 11 0.026 0.034 38.683 0.000.|. | .|. | 12 -0.034 -0.042 38.890 0.000.|. | .|. | 13 0.029 -0.029 39.037 0.000*|. | *|. | 14 -0.152 -0.179 43.231 0.000.|. | .|. | 15 -0.010 0.050 43.248 0.000.|. | .|. | 16 -0.002 0.052 43.248 0.000.|. | .|. | 17 -0.040 0.020 43.541 0.000.|. | .|* | 18 0.026 0.100 43.670 0.001.|. | *|. | 19 -0.032 -0.079 43.863 0.001*|. | *|. | 20 -0.061 -0.108 44.566 0.001.|. | .|. | 21 -0.006 0.028 44.572 0.002.|* | .|* | 22 0.163 0.168 49.644 0.001.|. | .|. | 23 -0.048 -0.024 50.084 0.001.|* | .|* | 24 0.075 0.087 51.183 0.001Joonis 1.1. USA agregeeritud tarbimise (1947-1988, kvartaalsed andmed) esimestediferentside korrelogramm.Stohhastilise protsessi kirjeldamiseks on oluline kindlaks teha, kas mingi k korralρ kon nullvõi kas kõik ρ k, k=1,2,…m, on võrdsed nulliga. Selleks, et testida hüpoteesi ρ k= 0,kasutatakse Bartletti testi. Bartlett näitas, et kui statsionaarse stohhastilise protsessiautokorrelatsioonifunktsioon ρ = k0 , k > 0 , siis aegrea autokorrelatsioonikordajad $ρ konligikaudu normaalse jaotusega juhuslikud suurused keskväärtusega 0 ja standardhälbega5

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|****** | .|. | 13 0.754 0.012 1620.4 0.000.|****** | .|. | 14 0.737 -0.003 1715.2 0.000.|****** | .|. | 15 0.721 0.012 1806.7 0.000.|***** | .|. | 16 0.705 -0.018 1894.6 0.000Joonis 1.2. USA agregeeritud tarbimise (1947-1988, kvartaalsed andmed) korrelogramm.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob****|. | ****|. | 1 -0.519 -0.519 42.599 0.000.|. | ***|. | 2 0.032 -0.325 42.767 0.000.|. | *|. | 3 0.052 -0.144 43.203 0.000.|. | .|. | 4 0.014 -0.014 43.232 0.000*|. | *|. | 5 -0.098 -0.107 44.800 0.000.|. | *|. | 6 0.002 -0.168 44.800 0.000.|* | .|* | 7 0.171 0.096 49.602 0.000**|. | **|. | 8 -0.297 -0.208 64.250 0.000.|* | *|. | 9 0.176 -0.119 69.412 0.000.|. | *|. | 10 -0.050 -0.135 69.826 0.000.|. | .|. | 11 0.065 0.004 70.536 0.000*|. | .|. | 12 -0.072 -0.014 71.415 0.000.|* | .|. | 13 0.100 0.053 73.121 0.000*|. | *|. | 14 -0.150 -0.169 76.981 0.000.|. | *|. | 15 0.051 -0.107 77.441 0.000Joonis 1.3. USA agregeeritud tarbimise (1947-1988, kvartaalsed andmed) teist järkudiferentside korrelogramm.1.5. Sohhastiliste protsesside näiteidValge müra (white noise) protsess on esitatav kujulYt= u t,kus u ton ühesuguse jaotusega sõltumatud juhuslikud suurused keskväärtusega 0, s.t.E[ ] ( )22 2( ut) = 0, Var( ut) = E ( ut− E( ut) = E ut= σ ,( u , u ) = E[ ( u − E( u ))( u − E( u)] = E( u u ) = 0, kui t ≠ scovtsttssts.3210-1-2-350 100 150 200 250 300Joonis 1.4. 'Valge müra' protsess ( Var ( ) = 1), T=300, normaaljaotus.u t7

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausProtsess on statsionaarne ning tema autokorrelatsioonifunktsioon on kujul:⎧1,kui k = 0,ρk= ⎨⎩0,kui k > 0Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|. | .|. | 1 -0.002 -0.002 0.0009 0.976.|. | .|. | 2 0.007 0.007 0.0145 0.993.|. | .|. | 3 0.032 0.032 0.3319 0.954*|. | *|. | 4 -0.066 -0.066 1.6576 0.798.|* | .|* | 5 0.097 0.097 4.5677 0.471.|. | .|. | 6 -0.052 -0.053 5.3958 0.494.|. | .|. | 7 -0.040 -0.036 5.8813 0.554.|. | .|. | 8 -0.013 -0.023 5.9305 0.655.|. | .|* | 9 0.052 0.070 6.7840 0.660.|. | .|. | 10 0.037 0.023 7.2230 0.704.|. | .|. | 11 0.030 0.037 7.5128 0.756*|. | *|. | 12 -0.067 -0.072 8.9438 0.708.|. | .|. | 13 0.045 0.053 9.5705 0.729*|. | *|. | 14 -0.089 -0.107 12.067 0.601.|* | .|* | 15 0.104 0.122 15.500 0.416.|. | .|. | 16 0.003 -0.017 15.503 0.488Joonis 1.5. 'Valge müra' protsessi ( Var ( ) = 1) korrelogramm, T=300Lineaarset trendi sisaldav protsessi näiteks on protsess kujulu tkustY = a + bt + ,tu tu on 'valge müra' protsess. Protsess on mittestatsionaarne, kunaE( Y t) = a + bt onajas muutuv. Mittestatsionaarsust näitab ka aegrea korrelogramm. Seevastu esimest järkudiferentsid on statsionaarsed (vt. joonis 1.8).20151050-550 100 150 200 250 300Joonis 1.6. Lineaarset trendi sisaldav protsess y 0 .1+0.05t+ u , Var(u ) = 1t=ttAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|*******| .|*******| 1 0.937 0.937 265.78 0.000.|*******| .|*** | 2 0.923 0.373 524.79 0.000.|*******| .|** | 3 0.914 0.214 779.62 0.000.|*******| .|* | 4 0.901 0.081 1027.9 0.000.|*******| .|* | 5 0.901 0.163 1277.1 0.000.|*******| .|. | 6 0.887 -0.002 1519.4 0.0008

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|*******| .|. | 7 0.876 -0.003 1756.4 0.000.|*******| .|. | 8 0.868 0.023 1990.4 0.000.|*******| .|. | 9 0.861 0.038 2221.3 0.000.|*******| *|. | 10 0.847 -0.064 2445.3 0.000.|****** | .|. | 11 0.836 -0.019 2664.5 0.000.|****** | *|. | 12 0.816 -0.105 2874.2 0.000.|****** | .|* | 13 0.814 0.071 3083.4 0.000.|****** | *|. | 14 0.796 -0.080 3284.4 0.000.|****** | .|* | 15 0.799 0.142 3487.1 0.000.|****** | .|. | 16 0.787 -0.017 3684.8 0.000.|****** | .|. | 17 0.772 -0.026 3875.7 0.000.|****** | .|. | 18 0.771 0.046 4066.6 0.000.|****** | .|. | 19 0.753 -0.056 4249.3 0.000.|****** | .|. | 20 0.746 -0.003 4429.3 0.000.|****** | .|. | 21 0.736 -0.002 4605.2 0.000.|****** | .|. | 22 0.725 -0.004 4776.7 0.000.|****** | .|. | 23 0.720 0.031 4946.1 0.000.|***** | .|. | 24 0.708 -0.049 5110.8 0.000Joonis 1.7. Aegrea y 0 .1+0.05t+ u , Var(u ) = 1, T=300 korrelogrammt=ttAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob****|. | ****|. | 1 -0.507 -0.507 77.521 0.000.|. | ***|. | 2 -0.004 -0.350 77.524 0.000.|. | *|. | 3 0.062 -0.180 78.707 0.000*|. | **|. | 4 -0.136 -0.288 84.324 0.000.|* | *|. | 5 0.159 -0.101 92.089 0.000*|. | *|. | 6 -0.083 -0.110 94.201 0.000.|. | *|. | 7 -0.003 -0.107 94.204 0.000.|. | *|. | 8 -0.021 -0.179 94.343 0.000.|. | *|. | 9 0.037 -0.115 94.760 0.000.|. | *|. | 10 -0.001 -0.115 94.760 0.000.|. | .|. | 11 0.043 -0.005 95.351 0.000*|. | *|. | 12 -0.101 -0.123 98.563 0.000.|* | .|. | 13 0.121 0.038 103.19 0.000*|. | *|. | 14 -0.163 -0.181 111.58 0.000.|* | .|. | 15 0.149 -0.027 118.65 0.000.|. | .|. | 16 -0.009 0.003 118.68 0.000*|. | *|. | 17 -0.137 -0.107 124.65 0.000.|* | .|. | 18 0.180 0.005 135.03 0.000*|. | .|. | 19 -0.108 0.026 138.74 0.000.|. | .|. | 20 0.016 -0.025 138.83 0.000.|. | .|. | 21 0.022 -0.012 138.98 0.000.|. | .|. | 22 -0.054 -0.053 139.94 0.000.|. | .|. | 23 0.066 0.011 141.34 0.000.|. | .|. | 24 -0.026 -0.010 141.56 0.000Joonis 1.8. Aegrea y 0 .1+0.05t+ u , Var(u ) = 1, T=300 esimest järku diferentsidekorrelogrammt=ttJuhuslik ekslemine (random walk; RW-process). Juhusliku ekslemise korral aegreaväärtus perioodil t sõltub aegrea eelmisest väärtusest, millele lisandub juhuslik viga. SeegaYt = Yt −1+ ut,kus juhuslikud suurused u ton 'valge müra' protsess, seega nad ühesuguse jaotusegasõltumatud juhuslikud suurused keskväärtusega 0.9

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus403020100-10-2050 100 150 200 250 300Joonis 1.9. Juhuslik ekslemine (2 realisatsiooni), y 0, Var(u ) 1, T=3000=t=Protsess on mittestatsionaarne, kuna protsessi dispersioon on ajas kasvav (järgnevalt onvõetud =t⎛ ⎞Y00 ning sel juhul ka E ( Y ) 0t= E⎜Y0 + ∑u t⎟ = )⎝ i=1 ⎠γt,0= Var( Y )t= E(Y= .... = E(Y2t2t−n) = E((Y) + nσ2t−1+ u= . E(Yt)202) = E(Y) + tσ.22t−1= tσ) + σ2.2= E(Y2t−2) + 2σ2=Samuti on protsessi kovariatsioonid ajas kasvavad:γ2( t − )222t 1,= E( YtYt−1) = E(Yt−1(Yt−1+ ut)) = E(Yt−1)= ... = E(Yt−n)+ ( n −1)σ = 1 σ .Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|******** .|******** 1 0.982 0.982 292.02 0.000.|*******| .|. | 2 0.964 0.011 574.63 0.000.|*******| .|. | 3 0.948 0.031 848.79 0.000.|*******| .|. | 4 0.933 0.028 1115.3 0.000.|*******| .|. | 5 0.917 -0.050 1373.4 0.000.|*******| .|. | 6 0.899 -0.030 1622.6 0.000.|*******| .|. | 7 0.883 0.028 1863.9 0.000.|*******| .|. | 8 0.869 0.033 2098.3 0.000.|*******| .|. | 9 0.855 0.009 2326.1 0.000.|****** | *|. | 10 0.838 -0.091 2545.7 0.000.|****** | .|. | 11 0.821 -0.018 2756.9 0.000.|****** | .|. | 12 0.806 0.037 2961.1 0.000.|****** | *|. | 13 0.788 -0.068 3157.3 0.000.|****** | .|. | 14 0.770 -0.018 3345.3 0.000.|****** | .|. | 15 0.755 0.055 3526.4 0.000.|****** | .|. | 16 0.742 0.062 3701.9 0.000.|****** | .|. | 17 0.730 0.026 3872.5 0.000.|****** | .|. | 18 0.717 -0.042 4037.5 0.000.|***** | .|. | 19 0.702 -0.042 4196.2 0.000.|***** | .|. | 20 0.689 0.032 4349.6 0.000.|***** | .|. | 21 0.677 0.008 4498.2 0.000.|***** | .|. | 22 0.663 -0.020 4641.7 0.000.|***** | .|. | 23 0.651 0.024 4780.2 0.00010

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|***** | .|. | 24 0.639 0.001 4914.0 0.000Joonis 1.10. Juhusliku ekslemise ( y 0, Var(u ) 1, T=300) korrelogramm.Kunatttt0=t=∆Y = Y − Y−1= u , siis juhusliku ekslemise esimest järku diferentsid onstatsionaarne protsess.40200-20-40-60-80-100-1202000 4000 6000 8000 10000Juhuslik eksleminey(t)=0.98*y(t-1)+u(t)Joonis 1.11. Juhuslik ekslemine ja protsess Y 0 .98Y+ ut=t−1tVõrdleme juhuslikku ekslemist protsessiga Y .98Y+ u , Y = 0, Var(u ) 1.t= 0t−1 t 0t=Selgub, et on oluline vahe, kas Yt−1kordaja on 1 või 0.98. Jooniselt 1.11 on näha, etprotsess kordajaga 0.98 jääb oma keskväärtuse (mis on 0) lähedusse, kuid juhuslikuekslemise korral on aegrea varieeruvus on tunduvalt suurem. Samuti on erinevusautokorrelatsioonikordajate käitumises. Kui juhusliku ekslemise korral on ka veel 200-ndatjärku autokorrelatsioonikordaja 0.867, siis protsessi kordajaga 0.98 korral on suuremad kui100-ndat järku autokorrelatsioonikordajad praktiliselt nullid.Juhusliku ekslemise protsessi üheks modifikatsiooniks on vabaliikmega juhuslik ekslemine(random walk with drift)Yt = Yt + d + utkus d on mingi konstant. See protsess on samuti mittestatsionaarne.Märgime, et sageli on juhusliku ekslemise protsessina kirjeldatavad aktsiahindade javaluutakursside liikumised.+1.,11

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus6050403020100-1050 100 150 200 250 300Joonis 1.12. Vabaliikmega juhuslik ekslemine y = .2 + y−+ u , Var(u ) = 1, y 0T=300t0t 1 tt0= ,Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|******** .|******** 1 0.991 0.991 296.38 0.000.|******** .|. | 2 0.981 -0.023 587.95 0.000.|*******| .|. | 3 0.971 0.006 874.85 0.000.|*******| .|. | 4 0.962 -0.007 1157.1 0.000.|*******| .|. | 5 0.953 0.015 1434.9 0.000.|*******| .|. | 6 0.943 -0.050 1707.8 0.000.|*******| .|. | 7 0.932 -0.014 1975.8 0.000.|*******| .|. | 8 0.922 -0.014 2238.7 0.000.|*******| .|. | 9 0.912 0.004 2496.7 0.000.|*******| .|. | 10 0.902 0.017 2750.1 0.000.|*******| .|. | 11 0.893 0.038 2999.4 0.000.|*******| .|. | 12 0.884 -0.032 3244.2 0.000.|*******| .|. | 13 0.874 -0.026 3484.4 0.000.|*******| .|. | 14 0.864 0.033 3720.3 0.000.|*******| .|. | 15 0.855 -0.027 3951.9 0.000.|*******| .|. | 16 0.846 0.006 4179.2 0.000.|****** | .|. | 17 0.836 -0.031 4402.1 0.000.|****** | .|. | 18 0.825 -0.043 4620.2 0.000.|****** | .|. | 19 0.815 0.034 4833.9 0.000.|****** | .|. | 20 0.805 -0.034 5042.9 0.000.|****** | .|. | 21 0.794 -0.020 5247.2 0.000.|****** | .|. | 22 0.784 -0.015 5446.6 0.000.|****** | .|. | 23 0.773 0.006 5641.4 0.000.|****** | .|. | 24 0.762 -0.036 5831.3 0.000Joonis 1.13. Vabaliikmega juhusliku ekslemise korrelogramm.Vaatleme nüüd prognoosimist aegridade mudelite abil. Olgu meil teada, et aegriday 1, y 2,..., y Ton genereeritud mingi stohhastilise protsessi poolt. Kuidas leida aegreaprognoose Y ˆTYˆTYˆ+ 1,+ 2,...,T+l? Loomulik oleks leida prognoosid nii, et prognoosiveadel : = YT lY$+−T+ loleks võimalikult väikesed. Kuna aga prognoosiviga on juhuslik suurus, siisleiame prognoosid nii, et prognoosivigade ruutkeskmine viga oleks minimaalne. Seegaprognoosi YT$ 2+ lleiame nii, et E( el ) E (( YT lY$ 2=+−T+ l) ) oleks minimaalne. Osutub, etülatoodud mõttes parima prognoosi saame, kui leiame Y T + ltingliku keskväärtuse muutujateY 1, Y 2,..., Y Tteadaolevatel väärtustel y 1, y 2,..., y T. Seega12

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausY$ = E( Y | y1, y2 ,..., y ) .T + l T + l TLeiame näiteks, milline tuleks parim prognoos juhusliku ekslemise protsessi korral :Y$ = E ( Y y , y ,..., y ) = E( y + u ) = E( y ) = yAnaloogiliselt kaning üldjuhulT + 1 T+ 1 T T− 1 1 T T + 1 T T.Y$ = E( Y + u ) = E( y + u + u ) = yT + 2 T + 1 T + 2 T T+ 1 T+2 T$Y = T + ly , l=1,2,3,…..TSeega parim prognoos juhusliku ekslemise protsessi korral olenemata prognoosihorisondiston aegrea viimane väärtus.Vaatleme nüüd, milline on prognoosiviga ning prognoosivea dispersioon (mis on võrdneprognoosivea ruutkeskmise veaga, kuna prognoosivea keskväärtus on 0). Juhuslikuekslemise protsessi korral.22 2e : = Y − Y$ = y + u − y = u , Var( e ) = E( e ) = E( u ) = σ ,1 T + 1 T + 1 T T + 1 T T + 1 1 1T + 1e : = Y − Y$ = y + u + u − y = u + u ,ning üldjuhul2 T+ 2 T + 2 T T+ 1 T + 2 T T + 1 T+222 2Var( e ) = E( e ) = E(( u + u ) ) = 2σ,e2 2T+ 1 T+2lˆ2 2l: = YT+ l−YT+l= ∑uT+ j,Var( el) = E(el) = lσ.j=1Seega prognoosi ruutkeskmine viga kasvab prognoosihorisoondi kasvades tõkestamatult.Vabaliikmega juhusliku ekslemise korral on parim prognoos Yˆ= y ld ningT + l T+2prognoosivea dispersioon on sama mis juhusliku ekslemise korral: Var( el ) = lσ.13

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus2. ARIMA mudelidLoengukonspekti selles osas vaatleme mudeleid, mis kirjeldavad aegrea käitumist temavarasemate perioodide käitumise põhjal. Tegemist on spetsiaalset tüüpiregressioonimudelitega, kus sõltumatuteks muutujateks on vaid aegrea enda viitajad võivarasemate perioodide juhuslikud vead. Neid mudeleid kasutatakse eeskätt aegridade (eritifinantsaegridade) kirjeldamiseks ning prognoosimiseks. Need mudelid on kasutatavad vaidstatsionaarsete aegridade korral. Kui esialgne majandusaegrida on mittestatsionaarne, siisdiferentsitakse esialgset aegrida ning modelleeritakse diferentse.Mudeleid vaadeldakse järgnevalt kui teatavaid stohhastilisi protsesse ning sobiva mudelivalik tähendab sisuliselt analüüsi, millise stohhastilise protsessi poolt antud aegrida võib kõigetõenäolisemalt genereeritud olla. Selle kindlakstegemiseks me võrdleme aegreaautokorrelatsiooni - ja osaautokorrelatsioonikordajaid erinevate mudelite (ehk stohhastlisteprotsesside) teoreetiliste kordajatega. Seetõttu ongi järgnevalt mudelite kirjeldamisel toodudära ka info mudelile vastavate stohhastiliste protsesside autokorrelatsiooni- jaosaautokorrelatsioonikordajate kohta ning samuti protsesside keskväärtuse kohta. Samutivaatleme, millised on parimad prognoosid ning kui suur tuleb prognoosiviga.2.1. Libiseva keskmise (MA-moving average) mudelid.Libiseva keskmise q-ndat järku protsessi korral vaatlus Y tgenereeritakse viimase qperioodi juhuslike vigade kaalutud keskmisena. Formaalselt on q-ndat järku libisevakeskmise protsess MA(q) esitatav mudelinaYt = µ + ut − Θ1ut− 1−Θ2ut−2 − ... − Θqut−q,kus µ , Θ1, Θ2,...,Θ on mudeli parameetrid ning juhuslikud suurused u q ton genereeritud‘valge müra’ protsessi poolt, s.t. nad on sõltumatud juhuslikud suurused keskväärtusega 0ning võrdse dispersiooniga :2 2E(u ) = 0, Var u = E(u ) = σ , cov u , u = E(u u ) = 0, kui t ≠ st( ) ( ) .ttSeega MA(q) protsess on kirjeldatud q+2 parameetriga ( µ , Θ , Θ ,..., Θ , σtsts1 2 q).MA(q) protsessi täpsemaks iseloomustamiseks leiame protsessi esimest ja teist järkumomendid. Info nende kohta aitab meil praktikas määrata, kas vaadeldav aegrida võib ollagenereeritud MA protsessi poolt ning milline võiks olla protsessi järk q.MA(q) protsessi keskväärtus ja dispersioon on esitatavad kujul:E( Y t) = µ ,2 2 2 2 2γ = Var( Y ) = E(( Y − µ ) ) = σ ( 1+ Θ + Θ + .... + Θ ) .0t t 1 2qMA(q) protsessi autokorrelatsioonifunktsiooni uurimiseks vaatleme esmalt protsesse MA(1)ja MA(2) ning siis esitame valemi üldjuhu jaoks.MA(1) protsessi Yt = µ + ut − Θ 1ut−1korral on autokovariatsioonid kujul2γ = E(( Y − µ )( Y − µ )) = E(( u − Θ u )( u − Θ u )) = −Θσ ,γ1 t t−1 t 1 t−1 t−1 1 t−2 1k= 0,kui k > 1ning autokorrelatsioonifunktsioon on kujul14

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus2ρ1 = γ1 / γ0= − Θ1 / ( 1+Θ1),.ρk = γk/ γ0= 0,kui k > 1Märgime, et libiseva keskmise protsesside korral osaaautokorrelatsioonikordajad on üldiseltnullist erinevad ning kahanevad geomeetrilise progressiooni kiirusega.Näide 2.1. Esimest järku libiseva keskmise protsessi näitena vaatleme protsessiy + u + 0.9u,kustt= 1t t−1u on 'valge müra' protsess dispersiooniga 1. Joonisel 2.1 ja 2.2 on esitatud protsessiüks realisatsioon t=1,2,...,300 korral ning aegrea korrelogramm. Joonisel 2.3 on toodudkorrelogramm juhul kui valimi maht on 10000. Näeme, et mida suurem on valimi maht, sedatäpsemini vastab aegrea korrelogramm vastava stohhastilise protsessi teoreetiliselekorrelogrammile.6420-2-450 100 150 200 250 300Joonis 2.1. Aegrida yt= 1+ut+ 0.9ut−1, t=1,2,...,300Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|**** | .|**** | 1 0.495 0.495 73.966 0.000.|. | **|. | 2 0.020 -0.298 74.090 0.000.|. | .|** | 3 0.007 0.205 74.104 0.000.|. | *|. | 4 -0.002 -0.152 74.106 0.000.|. | .|* | 5 0.036 0.171 74.508 0.000.|. | **|. | 6 -0.025 -0.218 74.707 0.000*|. | .|* | 7 -0.072 0.127 76.287 0.000.|. | *|. | 8 -0.004 -0.070 76.292 0.000.|. | .|* | 9 0.061 0.143 77.461 0.000.|* | *|. | 10 0.075 -0.067 79.218 0.000.|. | .|. | 11 0.012 0.028 79.265 0.000.|. | .|. | 12 -0.031 -0.049 79.570 0.000.|. | .|. | 13 -0.032 0.001 79.894 0.000.|. | .|. | 14 -0.015 -0.002 79.967 0.000.|. | .|* | 15 0.065 0.113 81.287 0.000.|. | *|. | 16 0.018 -0.144 81.393 0.000Joonis 2.2. Aegrea yt= 1+ut+ 0.9ut−1, t=1,2,...,300 korrelogrammAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob|**** | |**** | 1 0.491 0.491 2408.4 0.000| | ***| | 2 -0.011 -0.331 2409.5 0.000| | |** | 3 -0.004 0.245 2409.7 0.000| | *| | 4 0.006 -0.185 2410.0 0.000| | |* | 5 0.000 0.143 2410.0 0.000| | *| | 6 -0.009 -0.127 2410.7 0.000| | |* | 7 0.007 0.126 2411.2 0.000| | *| | 8 0.016 -0.097 2413.7 0.00015

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus| | |* | 9 0.010 0.092 2414.6 0.000| | *| | 10 0.010 -0.070 2415.5 0.000| | | | 11 0.007 0.065 2416.0 0.000| | | | 12 0.007 -0.049 2416.5 0.000| | | | 13 0.010 0.054 2417.5 0.000| | | | 14 0.007 -0.045 2417.9 0.000| | | | 15 0.003 0.042 2418.0 0.000| | | | 16 -0.003 -0.045 2418.1 0.000Joonis 2.3. Aegrea yt= 1+ut+ 0.9ut−1, t=1,2,...,10000 korrelogrammMA(2) protsessi Yt= µ + ut− Θ1ut−1− Θ2ut−2korral :γ = E(( Y − µ )( Y − µ )) = E(( u − Θ u − Θ u )( u − Θ u − Θ u ))γγ1 t t−1 t 1 t−1 2 t−2 t−1 1 t−2 2 t−32= −Θ( 1 − Θ ) σ ,= − Θ2 2k1 2σ= 0,kui k > 22ning2 22 2ρ = − Θ ( 1− Θ ) / ( 1+ Θ + Θ ), ρ = − Θ / ( 1+ Θ + Θ ), ρ = 0,kui k > 2 .1 1 2 122 2 1Üldjuhul saab MA(q) protsessi korral näidata, et:ρk= − Θ + Θ + + +1Θ + 1Θ2Θ + 2.... Θ−Θ2 2 21+ Θ + Θ + ... + Θρkk k k q k q= 0, kui k > q12q2, k = 1, 2,...qSeega, kui aegrida oleks genereeritud MA(q) protsessi poolt, siis ei tohiks aegreaq+1 ja kõrgemat järku autokorrelatsioonikordajad erineda statistiliselt oluliseltnullist.Näide 2.2.Kõrgemat järku MA protsesside näitena vaatleme protsessiy + u − 0.9u+ 0.5u− 0.2u, Var(u )t= 1t t−1 t−2t−3t=k1, t=1,2,...,300.Joonistel 2.4 - 2.6 on toodud vastavalt protsessi ühe realisatsiooni graafik ningkorrelogrammid valimi mahtude 300 ja 10000 korral. Näeme, et väikese valimi mahu korralei pruugi meil õnnestuda korrelogrammi põhjal protsessi järku korrektselt määrata (T=300korral on nullist oluliselt erinevad kaks esimest autokorrelatsioonikordajat, kuid mittekolmas).16

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus6420-2-450 100 150 200 250 300Joonis 2.4. Aegrida y + u − 0.9u+ 0.5u− 0.2u, Var(u ) 1, t=1,2,..300t= 1t t−1 t−2t−3t=Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob*****|. | *****|. | 1 -0.684 -0.684 140.53 0.000.|** | ***|. | 2 0.289 -0.338 165.60 0.000.|. | .|* | 3 0.005 0.080 165.61 0.000*|. | .|. | 4 -0.161 -0.056 173.51 0.000.|* | .|. | 5 0.171 -0.037 182.42 0.000*|. | .|. | 6 -0.119 -0.025 186.72 0.000.|. | .|. | 7 0.060 0.013 187.81 0.000.|. | *|. | 8 -0.047 -0.071 188.48 0.000.|. | .|. | 9 0.052 0.008 189.30 0.000*|. | .|. | 10 -0.058 -0.023 190.34 0.000.|* | .|* | 11 0.101 0.111 193.53 0.000*|. | *|. | 12 -0.158 -0.092 201.26 0.000.|* | .|. | 13 0.192 0.064 212.74 0.000**|. | *|. | 14 -0.205 -0.088 225.89 0.000.|* | .|. | 15 0.149 -0.021 232.89 0.000.|. | .|* | 16 -0.003 0.113 232.89 0.000Joonis 2.5. Aegrea y + u − 0.9u+ 0.5u− 0.2u, Var(u ) 1, t=1,2,..300korrelogramm.t= 1t t−1 t−2t−3t=Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob*****| | *****| | 1 -0.691 -0.691 4770.8 0.000|** | **| | 2 0.322 -0.297 5806.6 0.000*| | | | 3 -0.092 -0.019 5891.8 0.000| | | | 4 -0.009 -0.008 5892.5 0.000| | | | 5 0.020 -0.031 5896.3 0.000| | | | 6 -0.027 -0.052 5903.4 0.000| | | | 7 0.021 -0.027 5907.7 0.000| | | | 8 -0.008 0.001 5908.3 0.000| | | | 9 0.003 0.008 5908.4 0.000| | | | 10 -0.003 -0.005 5908.5 0.000| | | | 11 0.010 0.008 5909.5 0.000| | | | 12 -0.016 -0.006 5912.1 0.000| | | | 13 0.020 0.008 5916.0 0.000| | | | 14 -0.017 0.003 5918.9 0.000| | | | 15 0.014 0.008 5920.9 0.000| | | | 16 -0.010 0.002 5921.9 0.000Joonis 2.6. Aegrea y + u − 0.9u+ 0.5u− 0.2u, Var(u ) 1, t=1,2,..10000korrelogramm.t= 1t t−1 t−2t−3t=17

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausLibiseva keskmise mudelitega prognoosimisel on meil vaja teada juhuslike vigadehinnanguid, milleks kasutame MA mudeli jääkliikmeid. Need saame MA mudeli korral leidarekursiivselt vastavalt valemile (algväärtuste uˆ , uˆ,..., u leidmisest tuleb juttu punktis2.4)ˆ0 −11−qu$ : = Y − µ − Θ u$ − Θ u$ −... −Θu$t t 1 t−1 2 t−2 q t−q.Siis parimad prognoosid MA(q) protsessi korral oleksid:Y $ = E ( Y y , y ,..., y ) = E ( µ + u − Θ u $ − ... − Θ u $ ) =T + 1 T+ 1 T T− 1 1 T + 1 1 T q T+ 1−qµ − Θu$ −... Θ u$ ,1 T q T+ 1−qY$ = E( Y y , y ,..., y ) = E( µ + u −Θ u − Θ u$ −... − Θ u$ ) =T + 2 T + 2 T T− 1 1 T + 2 1 T + 1 2 T q T + 2−qµ − Θ u$ −... −Θu$ ,Y$ = E( Y y , y ,..., y ) = µ − Θ u$ ,Y$ = E ( Y y , y ,..., y ) = µ , kui l > .2Tq T+ 2−qT + q T + q T T −1 1q TT + q+ l T+ q+ l T T−1 10Ülaltoodust on näha, et MA(q) protsessi mälu on q, s.t. prognoosi leidmisel võetaksearvesse aegrea viimased q väärtust ning varasemad väärtused prognoosi ei mõjuta (vt. joonis2.7)3210-1-2296 298 300 302 304 306 308 310Joonis 2.7. Aegrea y + u − 0.9u+ 0.5u− 0.2u, Var(u ) 1, t=1,2,..300t= 1t t−1 t−2t−3t=tegelikud väärtused t=295,296,..,300 korral ning prognoosid perioodidekst=301,302,...310.Prognoosivead ja nende dispersioonid tulevad MA(q) protsessi korral vastavalt:18

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rause1( µ − Θ uˆee23= Y= Y= YT + 11T + 2T + 3..............................................................................................................e = Y − Yˆ= u − Θ u − ...... − Θ u ,q+lVar(e− YˆTq+l− Yˆ− YˆT + q+lT + 1− Θ uˆ2T+2T + 3= µ + uT −1= u= uT + q+l) = (1 + Θ− .... − ΘT + 2T + 321T + 1+ Θ22− Θ uˆ− Θ u1− Θ uT + q+lq1uˆT+11 T + 2TT −q+1+ ... + Θ− Θ uˆ) = u, Var(e− Θ1 T + q+l−12q2u2 T + 1) σ22T −1T + 1) = (1 + Θ,− .... − Θ, Var(e ) = E(u, Var(el > 02121uˆ) σT −q+12,) = (1 + ΘqqT+l−2T + 121) = σSeega prognoosivead suurenevad esialgu horisondi kaugenemisel, kuid alates q+1perioodist on konstantsed.Näide 2.3. Lineaarset trendi sisaldava protsessit+ Θ22t2,) σY = a + bt + u saab esitada MA(1)protsessina esimest järku diferentside suhtes. Tõepoolest∆Y = Y − Y = a + bt + u − a − b t −1− u = b + u −u.ttt−1 t( )t−1t t−12pAnaloogiliselt saab protsessi Yt= a0 + a1t+ a2t+ ... + apt+ utesitada MA(p)protsessina p-ndat järku diferentside suhtes.2,2.2. Autoregressiivsed (AR-autoregressive) mudelid.Autoregressiivse p-ndat järku protsessi korral genereeritakse vaatlus Y tviimase p perioodivaatluste kaalutud keskmisena. Formaalselt on AR(p) protsess esitatav kujulY = δ + Φ Y + Φ Υ + + Φ Υ + ut 1 t−1 2 t−2 ...p t−p tabil, kus δ , Φ1, Φ2 ,..., Φ on mudeli parameetrid ning juhuslikud suurused u onp tgenereeritud ‘valge müra’ protsessi poolt, s.t. nad on sõltumatud juhuslikud suurusedkeskväärtusega 0 ning võrdse dispersiooniga :E( u ) = 0, E( u 2 ) = σ 2 , E( u u ) = 0, kui t ≠ s.t t t sSeega AR(p) protsess on kirjeldatud p+2 parameetriga (δ , Φ1, Φ2,..., Φp, σ ).AR(p) protsessi statsionaarsuseks on tarvilik (kuid mitte piisav), etΦ + Φ + ... + Φp< .1 21Leiame nüüd AR(p) protsessi keskväärtuse. Statsionaarse protsessi korral peab temakeskväärtus peab olema ajas konstantne. Siis keskväärtuse konstantsuse tingimusestsaame, etµ = E( Y t) = δ + Φ1µ + Φ2µ + ... + Φ pµ ,millest järeldub, et protsessi keskväärtus µ avaldub kujul:δµ = .1− Φ1 − Φ2 − ... − Φp19

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausLeiame nüüd autoregressiivse protsessi dispersiooni, kovariatsioonid ningautokorrelatsioonifunktsiooni.Vaatleme AR(1) protsessi kujul Y = δ + Φ 1Y 1+ u . Saab näidata, et selle protsessit t−tstatsionaarsuseks on tarvilik ja piisav, et Φ 1< 1 . Arvestades, etδ + Φ1Yt−1− µ = Φ1(Yt−1− µ ) + δ − (1 − Φ1)µδ,= Φ1(Yt−1− µ ) + δ − (1 − Φ1) = Φ1(Yt−1− µ )1− Φ1leiame AR(1) protsessi dispersiooni:22γ = E((Y − µ ) ) = E((δ + Φ Y + u − µ ) ) =0E((Φ ( Y1tt−1− µ ) + u )t2) = E(Φ1 t−121( Yt−1t− µ )22+ 2Φ1(Yt−1− µ ) ut) = Φ1E((Yt−1− µ ) ) + σmillest saame, et22γ0= σ / ( 1−Φ1) .Analoogiliselt saame leida autokovariatsioonid:γγγ12= E((Y= Φ γ= E((YE((Y1t−2= E((Yk0t−2= E((Yt−1t−2− µ )( Y=Φ σ1− µ )( Y− µ )( Φ12− µ )( Φt−kt− µ )( Y− µ )) = E((Y/(1− Φt− µ )) = E((Y( Φ ( Y211( Ytt−221t−2),− µ ) + u− µ ) + Φ u− µ )) = Φ γk1t−1t−20− µ )( Φ− µ )( Φt−11 t−1= Φ( Y( Y) + u )) =k1σ211t−12t−1/(1 −Φ+ u2+ u )) = Φ γning AR(1) autokorrelatsioonifunktsioon on seegakρ = γ γ = Φ .kk/0 1tt2t= Φ).+21γ0− µ ) + u ))Näide 2.4. Esimest järku autoregressiivne protsessEsimest järku autoregressiivse protsessi näitena vaatleme protsessiY = + 0.8Y−+ u , Y 5+ σ− µ ) + u )) =21t1t 1 t 0= .210=Φtt21σ2,/(1 − ΦLihtne on veenduda, et protsess on statsionaarne ning protsessi keskväärtus on 5.21),12108642050 100 150 200 250 30020

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausJoonis 2.8. AR(1) protsessi Yt = 1+0.8Yt− 1+ ut,Y0= 5 üks realisatsioon, t=1,2,...,300Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|****** | .|****** | 1 0.798 0.798 192.09 0.000.|***** | .|. | 2 0.639 0.008 315.76 0.000.|**** | .|. | 3 0.513 0.002 395.63 0.000.|*** | .|. | 4 0.400 -0.031 444.38 0.000.|*** | .|* | 5 0.340 0.077 479.74 0.000.|** | *|. | 6 0.247 -0.112 498.51 0.000.|* | .|. | 7 0.187 0.026 509.28 0.000.|* | .|. | 8 0.154 0.032 516.62 0.000.|* | .|. | 9 0.136 0.039 522.38 0.000.|* | .|. | 10 0.107 -0.053 525.98 0.000.|* | .|. | 11 0.072 -0.019 527.61 0.000.|. | .|. | 12 0.030 -0.051 527.89 0.000.|. | .|* | 13 0.026 0.069 528.11 0.000.|. | *|. | 14 0.004 -0.064 528.11 0.000.|. | .|* | 15 0.024 0.113 528.29 0.000.|. | *|. | 16 -0.007 -0.135 528.31 0.000Joonis 2.9. Aegrea Yt = 1+0.8Yt− 1+ ut,Y0= 5 korrelogramm.Kui protsessi kordaja Φ1on negatiivne, siis autokorrelatsioonikordajate märgid hakkavadvahelduma (vt. joonis 2.10).Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob******|. | ******|. | 1 -0.748 -0.748 169.14 0.000.|**** | *|. | 2 0.529 -0.070 254.02 0.000***|. | .|* | 3 -0.334 0.085 287.94 0.000.|* | *|. | 4 0.173 -0.063 297.09 0.000*|. | .|. | 5 -0.061 0.021 298.23 0.000.|. | .|. | 6 0.009 0.032 298.25 0.000.|. | .|. | 7 0.014 -0.002 298.31 0.000*|. | *|. | 8 -0.059 -0.092 299.37 0.000.|* | .|. | 9 0.098 0.048 302.35 0.000*|. | .|. | 10 -0.119 -0.009 306.74 0.000.|* | .|* | 11 0.163 0.093 315.04 0.000**|. | *|. | 12 -0.202 -0.063 327.82 0.000.|** | .|. | 13 0.211 0.014 341.81 0.000**|. | .|. | 14 -0.206 -0.027 355.19 0.000.|* | .|. | 15 0.161 -0.050 363.38 0.000*|. | .|* | 16 -0.062 0.117 364.59 0.000Joonis 2.10. Aegrea Yt = 1−0.8Yt− 1+ ut,Y0= 1/1. 8 korrelogramm.Seega AR(1) protsessi autokorrelatsioonikordajad kahanevad (absoluutväärtuselt)geomeetrilise progressiooni kiirusega.AR(2) protsessi korral (üldsust kitsendamata eeldame lihtsuse mõttes, et δ ja µ on nullid)saame:γ2= E( Y ) = E( Y ( Φ Y + Φ Y + u )) = Φ γ + Φ γ2+ σ ,0t t 1 t−1 2 t−2 t 1 1 2 2γ = E( Y Y ) = E( Y ( Φ Y + Φ Y + u )) = Φ γ + Φ γ ,1 t−1 t t−1 1 t−1 2 t−2 t 1 0 2 1γ = E( Y Y ) = E( Y ( Φ Y + Φ Y + u )) = Φ γ + Φ γ ,2 t−2 t t−2 1 t−1 2 t−2 t 1 1 2 0k= E(Yt −kYt) = Φ1γk −1 + Φ2γk −2,k ≥ 2γLahendame 3 esimest võrrandit tundmatute γ0, γ1jaγ2suhtes. Teisest võrrandist järeldub,et21

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausγ1= Φ11−Φ2)/( γning kolmandast võrrandist saame2γ ⎛ Φ122 01 ⎟ ⎠γ ⎞= ⎜ + Φ .⎝ − Φ20Asendades γ1jaγ2esimesse võrrandisse, saame avaldada dispersiooni γ02( 1−Φ2)σγ0=2 2( 1+ Φ2)(( 1− Φ2) − Φ1).Jagades γ1, γ2ja γkavaldised läbiγ 0- ga saame leida ka AR(1) protsessiautokorrelatsioonifunktsiooni:ρ = Φ / ( 1−Φ ),ρ1 1 2= Φ + Φ / ( 1−Φ ),2 2212k 1 k−1 2 k−2kρ = Φ ρ + Φ ρ , ≥ 2.Protsessi AR(p) kovariatsioonid on seotud mudeli parameetritega p+1 võrrandist koosnevasüsteemi kaudu:2γ = Φ γ + Φ γ + Φ γ + ... + Φ γ + σγ = Φ γ + Φ γ + Φ γ + ... + Φ γ ,γ = Φ γ + Φ γ + Φ γ + ... + Φ γ ,γ0 1 1 2 2 3 31 1 0 2 1 3 2 p p−12 1 1 2 0 3 1 p p−2............................................................= Φ γ+ Φ γ + Φ γ + ... + Φ γp 1 p−1 2 p−2 3 p−3 p 0Jagades võrrandite mõlemad pooled läbi γ 0− ga , saame p võrrandist koosneva süsteemimis seob esimest p autokorrelatsioonikordajat mudeli parameetritega:pp..ρρ12p= Φ= Φ11= Φ ρ+ Φ+ Φp−1+ Φ+ Φ+ Φp−2+ ... + Φ+ ... + Φ.........................................................ρ1ρ12ρ122ρ33ρρ21+ Φ3ρp−3ppρρp−1p−2,+ ... + Φp(2.1)Ülejäänud autokorrelatsioonikordajad on leitavad rekursiivselt:ρk = Φ1ρk −1 + Φ2ρk −2 + .... + Φpρk − p, k ≥ p .Võrrandisüsteemi (2.1) nimetatakse Yule-Walkeri võrranditeks.Kui meil oleks teada protsessi järk p, siis Yule-Walkeri võrrandite lahendamisel( ρ1, ρ2,..., ρ asendame valimi autokorrelatsioonikordajatega $pρ , ρ$ ,..., ρ$1 2 p) saaksime leidaprotsessi kordajad Φ1, Φ2,..., Φp. Paraku protsessi järk üldjuhul teada ei ole. Seetõttulahendatakse Yule-Walkeri võrrandid järjestikuste p väärtuste korral. Järgu p=1 korralsaame, et Yule-Walkeri süsteem on kujul ρ 1= Φ 1ning seega parameetri hinnaguks saameΦ$ 1= ρ $ 1. Kui Φ $ 1on statistiliselt oluliselt nullist erinev, siis protsessi järk on vähemalt 1.Tähistame a 1: = Φ $1. Eeldame nüüd, et p=2. Siis saame Yule-Walkeri süsteemi lahendamisel22

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausuued parameetrite hinnangud Φ$ , Φ $1 2( Φ $ 1väärtus ei lange üldjuhul muidugi kokkuparameetri Φ 1hinnanguga, mis me saime eelduse p=1 korral)Tähistame a 2: = Φ$ 2. Jällegi, kui Φ $ 2on statistiliselt oluliselt nullist erinev, siis protsessi järkon vähemalt 2. Analoogiliselt saame lahendada Yule-Walkeri süsteemi eelduste p=3, p=4jne. korral, kusjuures tähistame a3: = Φ$ 3eeldusel p = 3, a4: = Φ$4eeldusel p=4 jne.Saab näidata, et kordajad a1 , a2 , a3,.... on tegelikult AR(p) protsessiosaautokorrelatsioonifunktsiooni (partial autocorrelation function) hinnangud. Seega,kui autoregressiivse protsessi järk on p, siis suuremat järku kui posaautokorrelatsioonikordajad a peaksid olema ligikaudu võrdsed nulliga :ja ≈ 0 , kui j > p.Näide 2.5. Kõrgemat järku autoregressiivse protsessi näideVaatleme kolmandat järku statsionaarset autoregressiivset protsessiY + 0.6Y− 0.33Y+ 0.135Y+ u , Var(u ) = 1, Y = Yt= 1t−1 t−2t−2tt0 −1= Y−2=j1/ 0.595Protsessi üks realisatsioon on esitatud joonisel 2.11 valimi mahu T=300 korral. Joonisel2.12 on toodud vastava aegrea korrelogramm. Näeme, et kolm esimestosaautokorrelatsioonikordajat on nullist tõepoolest oluliselt erinevad nagu teooria järgi peaksolema.6420-250 100 150 200 250 300Joonis 2.11. ProtsessiYt = 1+0.6Yt−1 − 0.33Yt−2+ 0.135Yt−2+ ut,Var(ut)= 1, Y0= Y−1= Y−2= 1/ 0.595 üksrealisatsioon valimi mahu T=300 korralAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|**** | .|**** | 1 0.461 0.461 64.288 0.000.|. | **|. | 2 0.030 -0.232 64.554 0.000.|. | .|* | 3 -0.008 0.110 64.572 0.000.|. | .|. | 4 0.036 -0.002 64.965 0.000.|* | .|. | 5 0.073 0.064 66.612 0.000.|. | *|. | 6 -0.019 -0.108 66.728 0.000*|. | .|. | 7 -0.064 0.015 67.982 0.000.|. | .|. | 8 -0.020 0.003 68.105 0.000.|. | .|* | 9 0.056 0.068 69.070 0.000.|. | .|. | 10 0.062 -0.006 70.284 0.00023

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|. | .|. | 11 0.016 0.006 70.360 0.000.|. | .|. | 12 -0.042 -0.054 70.923 0.000.|. | .|. | 13 -0.026 0.025 71.144 0.000.|. | .|. | 14 -0.007 -0.033 71.158 0.000.|* | .|* | 15 0.077 0.129 73.037 0.000.|. | *|. | 16 0.014 -0.117 73.099 0.000Joonis 2.12. ProtsessiYt= 1+0.6Yt−− 0.33Yt−2+ 0.135Yt−2+ ut,Var(ut)= 1, Y0= Y−1= Y−2korrelogramm1=1/ 0.595MA ja AR protsesside vahel on järgmine seos: iga lõplikku järku statsionaarse ARprotsessi saab esitada lõpmatut järku MA protsessina ning kui on täidetud teatudpööratavuse tingimused, siis saab iga lõplikku järku MA protsessi saab esitada lõpmatutjärku autoregressiivse protsessina.Vaatleme nüüd AR protsessi prognoose ja prognoosivigasid. Prognoosid AR(1) korral:Y $ = E ( Y y , y ,..., y ) = E ( δ + Φ y + u ) = δ + Φ yT + 1 T+ 1 T T− 1 1 1 T T+1 1 TY$ = E( Y y , y ,..., y ) = E( δ + Φ Y + u ) =T + 2 T + 2 T T− 1 1 1 T+ 1 T + 22E( δ + Φ ( δ + Φ y + u ) + u ) = ( 1+ Φ ) δ + Φ y1 1 T T + 1 T + 2 1 1 T$ 2Y = E( Y y , y ,..., y ) ( ... l −1l= 1+ Φ + Φ + + Φ ) δ + Φ y , kui l > 0.T + l T + l T T −11 1 1ning kui l kasvab tõkestamatult, siis prognoos läheneb protsessi keskväärtusele:lim Y $ = y lim Φ + δ Φ = δ / ( 1− Φ ) = µ ..l→∞∞l jT+l T 1 l∑ 1→∞j=0AR protsessi mälu on lõpmatu, kuna prognoosid arvestavad aegrea kõiki eelnevaid väärtusi( YTsõltub YT-1−st, YT− 1sõltub YT−2−st jne. ). Leiame ka AR(1) protsessi prognoosiveadning nende dispersioonid:2e1 = YT 1− Y$ + T+ 1= δ + Φ1 yT + uT + 1− δ − Φ1yT = uT+1, Var( e1) = σ ,e2 = YT 2− Y$ + T+ 2= δ + Φ1YT 1+ uT 2− Y$ + + T+ 2= δ + Φ1( δ + Φ1 yT + uT+ 1)2+ u − Y$ = ( 1 + Φ ) δ + Φ y + u + Φ u − Y$= u + Φ u ,T+ 2 T+ 2 1 1 T T+ 2 1 T+ 1 T+ 2 T+ 2 1 T + 1Var( e ) = ( 1 + Φ ) δ2 22 1................................................................................................................e = Y − Y$= + Φ Y + u − Y$=l T + l T + lδ1 T+l T+ l T + l2( 1 + Φ ) δ + Φ Y + u + Φ u − Y$ = ...... =1 1 T + l− 1 T+ l 1 T+ l− 1 T + l( 1 ... )2l−1l+ Φ1 + Φ1+ + Φ1δ + Φ1 yT + uT + l+ Φ1uT + l−1+2u + .... + u − Y$ l−1Φ Φ = u + Φ u + Φ u + .. .. + Φ u ,1l−1T+ l−2 12T + 1 T+ l T+ l 1 T+ l− 1 1 T+ l−22l( 1 − Φ )2 42l−2 2 1Var( el) = ( 1 + Φ1+ Φ1+ ... + Φ1) σ =2σ1 − ΦMärgime, et kui l → ∞ , siis prognoosivea dispersioon Var( e l) → σ 2 2/ ( 1−Φ1).112.11T1T + 124

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus6420-2296 298 300 302 304 306 308 310ˆ , t = 301,..,306Y t1.5879911.6907861.8291021.7664321.6998061.6940991.7034491.7033061.6998291.698844Joonis 2.13. Aegrea Yt= 1 + 0.6Yt−1 − 0.33Yt−2+ 0. 135Yt−2+ ut, t=1,2,..300 tegelikudväärtused t=295,296,..,300 korral ning prognoosid perioodideks t=301,302,...310.2.3. ARMA mudelidARMA mudelites on nii autoregressiivne kui libiseva keskmise osa. ARMA(p,q) mudeliüldkuju onY = δ + Φ Y + Φ Υ + ... + Φ Υ + u − Θ u − Θ u −... −Θu ,t 1 t−1 2 t−2 p t− p t 1 t−1 1 t−1q t−qSelleks, et protsess oleks statsionaarne, on tarvilik etΦ + Φ + ... + Φp< .1 21Protsessi keskväärtus on sama mis AR(p) korral:δµ = .1− Φ1 − Φ2 − ... − ΦpÜldjuhul on dispersiooni ja autokorrelatsioonikordajate analüütiline leidmine keeruline.Toome vastavad karakteristikud ära vaid ARMA(1,1) korral:21121 1 2γ0= + Θ − Φ Θ2σ1−Φ111 1 1 1ρ1=( − Φ Θ )( Φ − Θ ) , 2ρ = 1ρ,k Φ k −1k ≥ 21 + Θ1− 2Φ1Θ1Esitame järgnevalt ARMA(p,q) mudeli kompaktsel kujul. Selleks toome sisse(tagasi)nihkeoperaatori (backward shift operator) B, mis defineeritakse järgmiselt:2nBut = ut− 1, B ut = ut−2,..., B ut = ut−n.Nihkeoperaatori B kaudu saame MA(q) protsessi esitada kujul:2qY = µ + ( − Θ B − Θ B −... − Θ B ) u = µ + Θ ( B) u ,t11 2kus Θ( B)on operaatori B polünoom. Analoogiliselt saame AR(p) protsessi esitada kujul2p( − Φ B − Φ B −... − Φ B ) Y = δ + u11 2pqttttehk Φ( B)Yt= δ + u ,t25

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rauskus Φ(B)on operaatori B polünoom.Lõpuks, ARMA(p,q) protsess on kompakselt esitatav kujulKui tähistada~YtΦ( B) Y = δ + Θ( B)u . (2.2)t= Y − µ , siis arvestades, et Φ (B)µ = δ (vt. ARMA protsessitkeskväärtuse avaldist ning arvestades et Bk µ = µ ), saame mudeli (2.2) esitada kujul:Φ( B) Y~ t= Θ( B)ut,ehk~ −1Yt= Φ ( B) Θ( B)ut.Esitame nüüd piisava tingimuse selleks, et ARMA(p,q) protsess oleks statsionaarne. Selleks,et Y toleks statsionaarne protsess, on tarvilik ja piisav, et p-astme polünoomi2pΦ ( λ)= 1− Φ1λ − Φ2λ−...− Φ pλkõik juured (nullkohad) oleksid väljaspool ühikringi (mooduli poolest ühest suuremad).Selleks, et ARMA(p,q) protsess oleks esitatav vaid AR protsessina (kas siis lõplikku võilõpmatut järku), on tarvilik ja piisav, et q-astme polünoomi2qΘ ( λ)= 1− Θ1λ − Θ2λ−...− Θqλkõik juured (nullkohad) oleksid väljaspool ühikringi (mooduli poolest ühest suuremad).t2.4. ARIMA mudelidEespool vaatlesime statsionaarsete aegridade modelleerimist AR või MA mudelitega. Kunaaga enamus majandusprotsesside aegridu on mittestatsionaarsed, siis esmalt diferentsitakseneid seni, kuni nad osutuvad statsionaarseks ning seejärel modelleeritakse statsionaarseiddiferentse ARMA mudelitega. Enamasti piisab statsionaarsuse saavutamiseks ühe diferentsivõtmisest. Aegridu, mida on vaja diferentsida rohkem kui 2 korda, majandusprotsessidekorral peaaegu ei ole (võib aga juhtuda, et diferentsimisega ei ole võimalik aegridastatsionaarseks teisendada).dOlgu nüüd protsessi Y d-ndat järku diferents statsionaarne. Kui W = ∆ Y onARMA(p,q) protsess, siis me ütleme, etARIMA(p,d,q) protsess:tΦ( δ Θ u .dB ) ∆ Yt= + ( B)Y on integreeritud ARMA protsess ehkVaatleme nüüd, kuidas aegridade modelleerimiseks kasutada ARIMA mudeleid. Box jaJenkins töötasid selleks välja järgmise metodoloogia.tttt26

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus1. ARIMA mudeli järkude p,d,q spetsifitseerimineEsmalt määratakse korrelogrammi põhjal kindlaks, mitmes aegrea diferents on statsionaarne.Teatavasti erinevad statsionaarse ja mittestatsionaarse aegrea korrelogrammid selle poolest,et mittestatsionaarse aegrea korral ka suhteliselt kõrget järku autokorrelatsioonikordajad onoluliselt nullist erinevad. Kui diferentsimise järk d on kindlaks tehtud, siis püütakse d-järkudiferentside korrelogrammi põhjal määrata AR ja MA protsesside järkusid p ja q.Teatavasti p-ndat järku AR protsessi korral peavad järgust p suuremadosaautokorrelatsioonikordajad olema nullid ning q-ndat järku MA protsessi korral peavadjärgust q suuremad autokorrelatsioonikordajad olema nullid. Tihti ei õnnestu p ja q väärtusikorrelogrammide põhjal üheselt määrata ning seetõttu valitakse välja mitu võimalikku mudelit2. Teisel etapil toimub väljavalitud mudelite parameetrite δ , Φ ,..., Φ , Θ ,..., Θ1 p 1hindamine mittelineaarse vähimruutude meetodi abil. Parameetrite hinnangud leitakse nii, etjääkliikmete ruutude summa oleks minimaalne:kusT∑[ Φ(B w ]2−1S ( δ , Φ ,..., Φ , Θ ,..., Θ ) = uˆ→min,kus uˆ= Θ ( B)) − δw1dt= ∆ yt.p1qt=1tKuna esimese perioodi jääkliige on esitatav kujuluˆ ...ˆ ˆ ... ˆ1= w1− δ − Φ1w0−Φ2w−1−− Φpw−p+1+ Θ1u0+ Θ1u−1+ + Θqu−q+1,siis oleks meil esimese perioodi jääkliikme leidmiseks vaja teada p+q väärtustw w ... w , uˆ, uˆ...ˆ u . Tavaliselt võetakse need võrdseks vastavate juhuslike0,−1− p+1 0 −1−q+1muutujate tingimusteta keskväärtustega, mis jääkliikmete u ˆ ˆ0, uˆ−1,,, u−q+1korral on võrdsednulliga. Kui δ = 0, siis on ka w0, w−1...w−p+1tingimusteta keskväärtused nullid, üldjuhul onaga nende algväärtuste leidmiseks valemid keerulisemad ning siinkohal neid ei esitata.ttqKui ARIMA mudel sisaldab MA liikmeid, siis on tegemist mittelineaarseminimiseerimisülesandega, kuna funktsioon S on mittelineaarne parameetriteΦ1,..., Φp,Θ1,...,Θ qsuhtes. Kasutades sellisel juhul Taylori rittaarenduse 1 kaht esimestliiget lineariseeritakse funktsioon S parameetrite alglähendite väärtustel1 0 0 0Funktsiooni f x , x ,..., x ) Taylori rittaarendus punktis x x x kahe esimese liikme järgi:(1 2 pf ( x , x12,..., xp) ≈f ( x01, x02,..., x0p) +p∑i=11,2,...,p⎛ ∂f⎞⎜x⎟⎝ ∂i ⎠Ligikaudse võrduse parem pool on lineaarne funktsioon muutujate( x− x0i i.0 0 0x1, x2,..., xpx1, x2,..., xpsuhtes.)27

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausδ ning lahendatakse lineaarne minimiseerimisülesanne, mille0 0 0 0 0, Φ1,..., Φp,Θ1,...,Θqlahenditeks saadakse parameetrite uued hinnangudlineariseeritakse funktsioon S parameetrite väärtustelδ1 1 1 1 1, Φ1,...,Φp,Θ1,...,Θq1 1 1 1 1, Φ1,...,Φp,Θ1,...,Θq. Seejärelδ ninglahendatakse taas lineaarne minimiseerimisülesanne. Protsessi jätkatakse senikaua, kunij −1järjestikuste hinnangute H , Hj vahe absoluutväärtused on piisavalt väikesed, nt. kõigihinnangute korralParameetrite alglähendidj j− −1−1 jH H / H ≤ ε , kus ε on etteantud väike arv (nt. 0.001).δ saadakse ARIMA(p,d,0) mudeli hindamisel0 0 0, Φ1,..., Φpvähimruutude meetodiga (lineaarne minimiseerimisülesanne) ning MA parameetritealglähendid võetakse tavaliselt võrdseks nulliga.Märgime, et kui ARIMA mudeli juhuslikud vead u ton normaaljaotusega sõltumatudjuhuslikud muutujad keskväärtusega 0 ning ajas konstantse dispersiooniga, siis suurimatõepära meetodil saadud hinnangud on samad mis vähimruutude meetodi korral. Kui ontäidetud AR protsessi statsionaarsuse ja MA protsessi pööratavuse tingimused, siis saadudhinnangud on mõjusad ning asümptootiliselt normaaljaotusega. Kui juhuslikud vead onnormaaljaotusega, siis hinnangud on ka asümptootiliselt efektiivsed.3. Pärast mudelite hindamist püütakse mudelite jääkliikmete ning kirjeldatuse taseme põhjalvälja valida sobivaim mudel. Kui mudel on õigesti spetsifitseeritud, siis hinnatud aegrea $w tjategeliku aegrea w tkorrelogrammid peaksid olema sarnased ning jääkliikmed peaksidligikaudselt välja nägema nii nagu oleks nad genereeritud ‘valge müra’ poolt (seega Ljung-Boxi testi olulisuse tõenäosus peaks olema suurem, kui etteantud olulisuse nivoo, misARIMA mudelite korral on tavaliselt kas 0.05 või 0.10)2Märgime, et jääkliikmete korral on Ljung-Boxi Q-statistik χ jaotusega.m−p−qVõrreldes erinevate mudelite korrelogramme ning kirjeldatuse taset valitakse välja kõigesobivam mudel.Kirjeldatuse taseme võrdlemisel kasutatakse ARIMA mudelite korral tavaliselt järgmisinäitajaid:a) AIC - Akaike Information CriteriaRSS 2 kAIC = log( ) + ,T Tkus RSS on jääkliikmete ruutude summa ja k - hinnatavate parameetrite arvb) SC - Schwarz criterionRSS log( T) SC = log( ) + k .T Tc) Hannan Queen criteriaRSS log(log( T))HQ = log( ) + 2 k.TTd) forecast prediction error criteria( T + k)RSSFPE =.T( T − k)28

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausKõikide kriteeriumide korral loetakse parimaks seda mudelit, mille korral vastav näitaja onväikseim. Praktikas enim levinumad on Akaike'i ja Schwarzi kriteeriumid. Lisaksjääkliikmete korrelogrammile ning kirjeldatuse tasemele on kasulik uurida ka jääkliikmetejaotuse vastavust normaaljaotusele ning kontrollida tingliku heteroskedastiivsuse olemasolu.Kui mudelis on heteroskedastiivsus, siis võib sellemodelleerimiseks kasutada ARCH-GARCH mudeleid .Vaatleme veel, kuidas hinnatud/prognoositud diferentside kaudu saada esialgse aegreahinnanguid/prognoose. Kõigepealt peame silmas, et kui me diferentsime d korda aegrida, siisaegrea pikkus väheneb d liikme võrra. Seega kui esialgne aegrida ondy− d+1, y−d +2,...,y0, y1,... yT, siis diferentsitud aegrida onwt = ∆ yt, t = 1,2,...,T .Esialgse aegrea hinnatud väärtused saame leida hinnatud diferentside ŵ kaudu järgmiselt.Kui d=1, siis dünaamilise lahendi korraly ˆ ˆ , ˆ ˆ ˆ , ......, ˆ ˆ ˆ1= y0+ w1y2= y1+ w2yT+ 1= yT+ wT+1,....ning staatilise lahendi korraly y + wˆ, yˆ= y + wˆ, ......, y = yˆw .ˆ1= ˆ0 1 2 1 2T + 1 T+T + 1Kui d=2, siis leitakse esmalt analoogiliselt esimest järku diferentside hinnangud/prognoosidja nende kaudu aegrea hinnangud/prognoosid.t2. 5. Näiteid modelleerimisest ARIMA mudelitega.Näide 2.6. USA dollari vahetuskursside modelleerimineVaatleme päevaste Eesti Panga USA dollari vahetuskursside (07.02.1993-24.10.1996)modelleerimist. Finantsanalüüsis modelleeritakse tihti logaritmitud väärtusi, kuna logaritmitudväärtuste esimene diferents on ligikaudu võrdne hindade/kursside suhtelise muuduga:∆ log( Yt)= log( Yt) − log( Yt−1) = log( Yt/ Yt−1)=.log(1+( Y − Y ) / Y ) = log(1 + ∆Y/ Y ) ≈∆Y/ Ytt−1t−1Finantsanalüüsist on teada, et kui aktsiahinna või valuutakursi päevane tulusus on konstantsevõi ajas muutuva dispersiooniga 'valge müra' protsess, siis aktsia- või valuutaturg on nõrgaltefektiivne.tt−1tt−129

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus151413121110Joonis 2.14. USA dollari Eesti Panga vahetuskurss 07.02.1993-24.10.1996Korrelogrammide uurimisel osutub, et logaritmitud vahetuskursid on mittestatsionaarsed,kuid nende esimene diferents on statsionaarne protsess (vt. joonised 2.15 ja 2.16).Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|******** .|******** 1 0.995 0.995 948.16 0.000.|******** .|* | 2 0.991 0.087 1889.3 0.000.|******** .| | 3 0.986 -0.016 2822.9 0.000.|******** .| | 4 0.981 -0.038 3748.4 0.000.|******** .| | 5 0.977 0.046 4667.0 0.000.|*******| .| | 6 0.973 -0.022 5578.0 0.000.|*******| .| | 7 0.969 0.047 6482.6 0.000.|*******| .| | 8 0.964 -0.031 7379.9 0.000.|*******| .| | 9 0.960 0.020 8270.7 0.000.|*******| .| | 10 0.956 -0.018 9154.5 0.000.|*******| .| | 11 0.952 -0.012 10031. 0.000.|*******| .| | 12 0.947 -0.016 10901. 0.000.|*******| .| | 13 0.943 0.052 11764. 0.000.|*******| .| | 14 0.939 -0.006 12620. 0.000.|*******| .| | 15 0.935 0.004 13471. 0.000.|*******| .| | 16 0.931 0.010 14315. 0.000Joonis 2.15. Aegrea LOG(USD) korrelogrammAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob*| | *| | 1 -0.105 -0.105 10.614 0.001.| | .| | 2 0.031 0.020 11.546 0.003.| | .| | 3 0.033 0.038 12.568 0.006.| | .| | 4 -0.047 -0.041 14.713 0.005.| | .| | 5 0.017 0.006 15.004 0.010.| | .| | 6 -0.048 -0.045 17.209 0.009.| | .| | 7 0.026 0.020 17.875 0.013.| | .| | 8 -0.017 -0.013 18.151 0.020.| | .| | 9 0.032 0.032 19.144 0.024.| | .| | 10 -0.008 -0.006 19.199 0.038.| | .| | 11 0.020 0.021 19.599 0.051.| | .| | 12 -0.050 -0.053 22.036 0.037.| | .| | 13 0.010 0.004 22.126 0.053.| | .| | 14 0.002 0.002 22.130 0.076.| | .| | 15 -0.024 -0.015 22.681 0.09130

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.| | .| | 16 -0.006 -0.018 22.721 0.121Joonis 2.16. Aegrea LOG(USD) esimest järku diferentside korrelogrammKorrelogrammilt on ka näha, et aegrida z = ∆ ln( USD ) ei ole 'valge müra', kuna esimesttjärku autokorrelatsioonikordaja ja osaautokorrelatsioonikordaja erinevad oluliselt nullistning Ljung-Boxi Q-statistikute olulisuse tõenäosus on enamasti väiksem kui 0.05. See viitabsellele, et aegrida on genereeritud kas AR(1) või MA(1) protsessi poolt. Hindame esmaltAR(1) protsessi. Tulemuseks saamezt= 0.902 E − 05 − 0.1053zt−( se)(0.000194) (0.0322)( p)R2(0.6413)= 0.0111 RF = 10.6782(0.0011)= 0.0101( p = 0.001),AIC = −7.200S.E.= 0.0066AR lahendid : − 0.11(se - hinnangute standardvead, p - olulisuse tõenäosus, AIC ja SBC - Akaike ja Schwarzikriteeriumid, S.E. - regressiooni standardviga σˆ , F - F-statistik, AR lahendid - polünoomi1Φ( B − ) = 0 lahendid; kui kõik lahendid on mooduli poolest ühest väiksemad, siis protsesson statsionaarne)Mudeli jääkliikmed näevad välja 'valge mürana' (Q-statistiku vähim olulisuse tõenäosus on0.326), vt. joonis 2.17.1tSBC = −7.190Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.| | .| | 1 0.002 0.002 0.0058.| | .| | 2 0.024 0.024 0.5445 0.461.| | .| | 3 0.033 0.033 1.5728 0.455.| | .| | 4 -0.044 -0.045 3.4564 0.326.| | .| | 5 0.008 0.007 3.5256 0.474.| | .| | 6 -0.045 -0.044 5.4916 0.359.| | .| | 7 0.021 0.024 5.9222 0.432.| | .| | 8 -0.009 -0.010 6.0068 0.539.| | .| | 9 0.028 0.031 6.7713 0.561.| | .| | 10 -0.001 -0.006 6.7720 0.661.| | .| | 11 0.015 0.017 6.9929 0.726.| | .| | 12 -0.048 -0.054 9.2314 0.601.| | .| | 13 0.005 0.011 9.2598 0.681.| | .| | 14 0.000 -0.001 9.2598 0.753.| | .| | 15 -0.026 -0.018 9.9237 0.768.| | .| | 16 -0.008 -0.015 9.9784 0.821Joonis 2.17. AR(1) mudeli jääkliikmete korrelogramm31

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus250200Series: ResidualsSample 3 955Observations 953150100500-0.025 0.000 0.025Joonis 2.18. AR(1) mudeli jääkliikmete histogrammMean -2.31E-13Median 0.000229Maximum 0.036828Minimum -0.040203Std. Dev. 0.006601Skewness -0.301847Kurtosis 8.683799Jarque-Bera 1297.272Probability 0.000000Joonisel 2.18 on toodud ära jääkliikmete histogramm. Kuna Jarque-Bera statistik on1297.27 (Prob= 0.000000), siis jääkliikmed ei ole normaaljaotusega. Silma torkabekstsessi (Kurtosis) suur väärtus - 8.68, mis normaaljaotuse korral peaks olema 3.Asümmeetriakordaja (Skewness) väärtus normaaljaotuse korral peaks olema 0.Modelleerides logaritmitud kursside diferentse MA(1) mudeli abil, saame tulemuseksz − 8.51E− 05 − 0.0995ut=t−1( se)( p)R2(0.6587)= 0.0106F = 10.110(0.000193)RMA lahendid : 0.102(0.0322)(0.0021)= 0.0095( p = 0.0015),AIC = −7.200S.E.= 0.0066SBC = −7.1891(MA lahendid - polünoomi Θ( B − ) = 0 lahendid; kui kõik lahendid on mooduli poolestühest väiksemad, siis protsess on pööratav)Jääkliikmed näevad taas välja 'valge mürana' (Q-statistiku vähim olulisuse tõenäosus on0.275). Jääkliikmete histogrammi uurimisel näeme, et Jarque-Bera statistik on 1304.59(Prob= 0.000000) ning jääkliikmed ei ole normaaljaotusega (ekstsess=8.69).Seega võib öelda, et mõlemad mudelid annavad enam-vähem sama tulemuse. See ei ole kaüllatav, arvestades MA(1) ja AR (l) kordajate väikeseid väärtusi (ligikaudu 0.1). KunaMA(1) protsessi saab esitada lõpmatut järku AR protsessina ning AR kordajate väärtusedkahanevad geomeetrilise progressiooni kiirusega, siis ei tohiks mudelitel23zt= a + bzt−1 + utja zt= a + bzt− 1+ b zt−2+ b zt−3+ ... + utväikeste b väärtuste korral kuigi suurt vahet olla.Vaadeldes mõlema mudeli korral jääkliikmete varieeruvust graafikul, torkab silma, etvarieeruvus on erinevatel perioodidel mõnevõrra erinev. See viitab sellele, et mudelites võibolla heteroskedastiivsus ning seega tuleks aegrea edasisel modelleerimisel kasutada ARCH-GARCH mudeleid.32

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus0.040.020.00-0.02-0.04-0.06100 200 300 400 500 600 700 800 900Joonis 2.19. AR(1) mudeli jääkliikmed.Näide 2.7 Hansapanga aktsiahindade modelleerimineVaatleme Hansapanga aktsiate logaritmitud keskmiste hindade (19.12.1997-22.10.1999)modelleerimist. Logaritmitud väärtused on mittestatsionaarne aegrida (vt. joonis 2.21), kuidtema esimene diferents osutub taas statsionaarseks (vt joonis 2.22).180160140120100806040Joonis 2.20. Hansapanga aktsia keskmine hind ajavahemikus 19.12.1997-22.10.1999Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|******** .|******** 1 0.988 0.988 455.74 0.000.|*******| **|. | 2 0.971 -0.203 896.99 0.000.|*******| .|* | 3 0.956 0.097 1325.3 0.000.|*******| *|. | 4 0.940 -0.074 1740.3 0.000.|*******| .|. | 5 0.923 -0.015 2141.3 0.000.|*******| .|. | 6 0.907 0.035 2529.6 0.000.|*******| .|. | 7 0.893 0.058 2906.8 0.000.|*******| .|. | 8 0.879 -0.020 3273.4 0.000.|*******| *|. | 9 0.864 -0.087 3627.9 0.000.|*******| .|. | 10 0.846 -0.044 3969.1 0.000.|****** | .|. | 11 0.828 -0.046 4296.6 0.000.|****** | .|. | 12 0.809 -0.036 4609.9 0.00033

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|****** | .|. | 13 0.790 0.001 4909.0 0.000.|****** | .|* | 14 0.773 0.106 5196.3 0.000.|****** | .|. | 15 0.758 0.008 5473.3 0.000.|****** | .|. | 16 0.743 -0.023 5740.0 0.000Joonis 2.21. Aegrea LOG(HP) korrelogrammAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|** | .|** | 1 0.301 0.301 42.221 0.000.|. | *|. | 2 -0.055 -0.159 43.616 0.000.|. | .|* | 3 0.029 0.109 44.021 0.000.|. | .|. | 4 0.029 -0.028 44.426 0.000*|. | .|. | 5 -0.059 -0.056 46.058 0.000*|. | *|. | 6 -0.139 -0.113 55.193 0.000.|. | .|. | 7 -0.035 0.040 55.764 0.000.|* | .|* | 8 0.084 0.068 59.103 0.000.|. | .|. | 9 0.066 0.032 61.144 0.000.|. | .|. | 10 0.058 0.053 62.738 0.000.|. | .|. | 11 0.052 0.007 64.034 0.000.|. | .|. | 12 0.028 -0.003 64.419 0.000*|. | *|. | 13 -0.073 -0.089 66.957 0.000*|. | .|. | 14 -0.079 -0.007 69.920 0.000*|. | *|. | 15 -0.131 -0.127 78.151 0.000*|. | *|. | 16 -0.140 -0.059 87.667 0.000Joonis 2.22. Aegrea LOG(HP) esimest järku diferentside korrelogrammKorrelogrammilt on ka näha, et aegrida z = ∆ ln( HP ) ei ole 'valge müra', kuna esimesttjärku autokorrelatsioonikordaja erineb oluliselt nullist ning Ljung-Boxi Q-statistikuteolulisuse tõenäosus on 0.000. Oluliselt erineb nullist ka 6-ndat järkuautokorrelatsioonikordaja. Osaautokorrelatsioonikordajatest erinevad oluliselt nullist 1.,2.,3.ja 6. Kordaja. Kui eeldada, et 6.-ndat järku kordajad nullist erinemine võib olla juhuslik(tingitud mõnest ebaharilikust vaatlusest), siis võiksime aegrea modelleerimiseks proovidaesialgu AR(3) või MA(1) mudeleid. Hindame esmalt AR(3) protsessi. Tulemuseks saamezt= − 0.00135 + 0.3670 zt−1− 0.1984 zt−2+ 0.1089 zt−( se)(0.00232) (0.0463) (0.0484) (0.0462)( p)R2(0.5619)= 0.1248F = 21.873RAR lahendid : 0.46,2(0.0000)= 0.1191( p = 0.0000),(0.0000)AIC = −3.7979S.E.= 0.0361−0.04+ 0.49i,t(0.0189)SBC−0.04− 0.49i3= −3.7622Kuna jääkliikmete korrelogramm ei näe välja päris 'valge müra'na (vt. joonis 2.23), siisproovime ka AR(6) mudelit.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|. | .|. | 1 0.003 0.003 0.0048.|. | .|. | 2 0.000 0.000 0.0049.|. | .|. | 3 0.013 0.013 0.0816.|. | .|. | 4 -0.031 -0.031 0.5215 0.47034

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|. | .|. | 5 -0.027 -0.027 0.8615 0.650*|. | *|. | 6 -0.120 -0.120 7.6378 0.054.|. | .|. | 7 -0.027 -0.027 7.9884 0.092.|* | .|* | 8 0.077 0.078 10.809 0.055.|. | .|. | 9 0.033 0.035 11.317 0.079.|. | .|. | 10 0.060 0.054 13.018 0.072.|. | .|. | 11 0.023 0.013 13.266 0.103.|. | .|. | 12 0.053 0.041 14.612 0.102*|. | *|. | 13 -0.086 -0.090 18.134 0.053.|. | .|. | 14 -0.042 -0.022 18.990 0.061*|. | *|. | 15 -0.084 -0.073 22.416 0.033*|. | *|. | 16 -0.129 -0.119 30.506 0.004Joonis 2.23. AR(3) mudeli jääkliikmete korrelogramm.Tulemuseks saame (kui eemaldame ebaolulised AR(4) ja AR(5) liikmed)zt= − 0.00132 + 0.3587 zt−1− 0.1933zt−2+ 0.1101zt−3− 0.1144zt−( se)(0.0020) (0.0461) (0.0481) (0.0459) ( −0.1144)( p)R2= 0.1379F = 18.360(0.5056)RAR lahendid :2(0.0000)= 0.1304( p = 0.0000),0.65 + 0.33i,− 0.50 + 0.37i,(0.0001)AIC = −3.8086S.E.= 0.03580.65 − 0.33i,− 0.50 −0.37i(0.0169)SBC = −3.76400.03 + 0.74i,(0.0086)60.03−0.74i,Viimase mudeli korral on jääkliikmed 'valge müra' (Q-statistiku vähim olulisuse tõenäosus on0.273). Jääkliikmed ei ole normaaljaotusega ning ARCH LM test näitab tinglikuheteroskedastiivsuse olemasolu (p=4 korral olulisuse tõenäosus on 0.000000)100806040200-0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15Series: ResidualsSample 500 963Observations 464Mean1.95E-17Median 0.000723Maximum 0.157881Minimum -0.179151Std. Dev. 0.035687Skewness -0.241582Kurtosis 7.854237Jarque-Bera 460.0766Probability 0.000000Joonis 2.24. AR(6) mudeli jääkliikmete histogrammProovime ka libiseva keskmise mudelit. MA(1) mudeli korral on tulemused sellised:35

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rauszt= −0.00138+ 0.3991ut−1( se)(0.00234) (0.0427)( p)(0.5563) (0.0000)2R = 0.11952R = 0.1176 AIC = −3.800F = 62.729 ( p = 0.000), S.E.= 0.0361MA lahendid : − 0.40SBC= −3.782Jääkliikmete korrelogramm viitab sellele, et olulisuse nivool 0.05 on esimesed 15autokorrelatsioonikordajat nullid (seega 'valge müra' ), kuid olulisuse nivool 0.10 see väideei kehti.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|. | .|. | 1 -0.030 -0.030 0.4086*|. | *|. | 2 -0.058 -0.059 1.9775 0.160.|. | .|. | 3 0.041 0.038 2.7632 0.251.|. | .|. | 4 0.023 0.022 3.0084 0.390.|. | .|. | 5 -0.024 -0.018 3.2717 0.513*|. | *|. | 6 -0.121 -0.122 10.179 0.070.|. | .|. | 7 -0.021 -0.033 10.378 0.110.|* | .|* | 8 0.082 0.070 13.586 0.059.|. | .|. | 9 0.021 0.035 13.799 0.087.|. | .|. | 10 0.042 0.060 14.652 0.101.|. | .|. | 11 0.020 0.015 14.836 0.138.|. | .|. | 12 0.049 0.035 15.973 0.142*|. | *|. | 13 -0.081 -0.087 19.102 0.086.|. | .|. | 14 -0.023 -0.010 19.367 0.112*|. | *|. | 15 -0.075 -0.078 22.047 0.078*|. | *|. | 16 -0.129 -0.127 30.114 0.012Joonis 2.25. MA(1) mudeli jääkliikmete korrelogramm.Jarque-Bera test-statistik on 521.47 ning ARCH LM test näitab taas heteroskedastiivsust.Kuna diagnostilised testid annavad enam-vähem samasid tulemusi, siis mudeli lihtsuse tõttutuleks eelistada MA(1) mudelit (ka AIC ja SBC kriteeriumid on MA(1) mudeli korralväiksemad). Heteroskedastiivsuse tõttu tuleks aga aegrea edasiseks modelleerimisekskasutada ARCH-GARCH mudeleid.Näide 2.8. USA kodumaiste investeeringute modelleerimine (1982.a. hinnad, 1947-1986, kvartaalsed andmed)Modelleerime investeeringute logaritmitud väärtusi. Joonistel 2.26 ja 2.27 on näha, etaegrida ise on mittestatsionaarne, kuid tema esimest järku diferentsid on statsionaarsed.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|*******| .|*******| 1 0.966 0.966 156.94 0.000.|*******| *|. | 2 0.929 -0.084 302.69 0.000.|*******| .|. | 3 0.893 0.015 438.22 0.000.|*******| .|. | 4 0.858 -0.009 564.12 0.000.|****** | .|. | 5 0.826 0.037 681.72 0.000.|****** | .|* | 6 0.803 0.102 793.55 0.000.|****** | .|. | 7 0.782 -0.005 900.08 0.00036

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|****** | .|. | 8 0.759 -0.025 1001.1 0.000.|****** | .|. | 9 0.736 0.003 1096.8 0.000.|****** | .|. | 10 0.716 0.029 1187.9 0.000.|***** | .|. | 11 0.696 0.001 1274.5 0.000.|***** | *|. | 12 0.672 -0.068 1355.7 0.000.|***** | .|. | 13 0.652 0.060 1432.8 0.000.|***** | .|. | 14 0.633 -0.014 1505.8 0.000.|***** | .|. | 15 0.615 0.033 1575.4 0.000.|***** | .|. | 16 0.601 0.025 1642.2 0.000Joonis 2.26. Logaritmitud investeeringute korrelogrammAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|** | .|** | 1 0.239 0.239 9.5742 0.002.|* | .|. | 2 0.091 0.035 10.952 0.004.|. | *|. | 3 -0.031 -0.064 11.111 0.011**|. | **|. | 4 -0.293 -0.294 25.742 0.000**|. | *|. | 5 -0.214 -0.092 33.560 0.000**|. | *|. | 6 -0.212 -0.125 41.328 0.000*|. | .|. | 7 -0.072 0.005 42.215 0.000*|. | *|. | 8 -0.076 -0.148 43.225 0.000.|. | .|. | 9 0.010 -0.038 43.243 0.000.|* | .|* | 10 0.163 0.083 47.944 0.000.|. | .|. | 11 0.050 -0.057 48.388 0.000.|. | *|. | 12 -0.049 -0.181 48.824 0.000*|. | *|. | 13 -0.086 -0.122 50.143 0.000*|. | *|. | 14 -0.113 -0.060 52.481 0.000*|. | .|. | 15 -0.079 -0.045 53.623 0.000.|. | *|. | 16 -0.032 -0.078 53.815 0.000.|. | *|. | 17 0.022 -0.080 53.901 0.000.|* | .|. | 18 0.111 0.039 56.181 0.000.|* | .|. | 19 0.090 -0.020 57.694 0.000.|* | .|. | 20 0.105 -0.032 59.773 0.000.|. | *|. | 21 0.029 -0.087 59.933 0.000*|. | *|. | 22 -0.059 -0.061 60.608 0.000*|. | *|. | 23 -0.109 -0.089 62.903 0.000.|. | .|. | 24 -0.040 0.025 63.220 0.000Joonis 2.27. Logaritmitud investeeringute esimest järku diferentside korrelogrammDiferentside osaautokorrelatsioonikordajad viitavad sellele, et tegemist võib ollaautoregressiivse protsessiga, kus olulised on AR(1) ja AR(4) liikmed. See, et 4-ndat järkuosaautokorelatsioonikordaja tuleb oluline, ei ole üllatav, arvestades võimalikku sesoonsustandmetes. Aegrea modelleerimine MA mudelitega on arvatavasti probleemsem, kunaolulised on 1., 4., 5. ja 6. korrelatsioonikordaja. Vaatleme seega ARIMA({1,4},1,0)mudelit. Tulemuseks saamezt= 0.0080 + 0.2354 zt−1− 0.2966zt−( se)(0.0042) (0.0755) (0.0742)( p)R2(0.0562)= 0.1513F = 13.287RAR lahendid :2(0.0022)= 0.1399( p = 0.0000),0.59 − 0.52i,(0.0001)AIC = −2.9614S.E.= 0.0545SBC= −2.9010.59 + 0.52i,−0.47+ 0.52i, − 0.47 − 0.52i37

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausJääkliikmete uurimine näitab, et need on 'valge müra' (vähim olulisuse tõenäosus on 0,104),kuid tundub, et 8. järku autokorrelatsioonikordaja on oluliselt nullist erinev.Autoregressiivne heteroskedastiivsus puudub (ARCH LM Prob = 0.5801), jääkliikmed eiole normaaljaotusega (Jarque-Bera= 43.59 ning ekstsess on 5.41).Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|. | .|. | 1 -0.052 -0.052 0.4148.|. | .|. | 2 0.052 0.050 0.8425.|. | .|. | 3 0.007 0.012 0.8496 0.357.|. | .|. | 4 -0.036 -0.038 1.0509 0.591.|. | .|. | 5 -0.030 -0.035 1.1974 0.754*|. | *|. | 6 -0.069 -0.069 1.9589 0.743.|. | .|. | 7 -0.039 -0.043 2.2050 0.820**|. | **|. | 8 -0.198 -0.199 8.5856 0.198*|. | *|. | 9 -0.132 -0.161 11.442 0.120.|* | .|* | 10 0.104 0.100 13.237 0.104.|. | .|. | 11 0.012 0.037 13.261 0.151*|. | *|. | 12 -0.128 -0.171 15.997 0.100.|. | *|. | 13 -0.032 -0.099 16.166 0.135.|. | *|. | 14 -0.036 -0.065 16.381 0.174*|. | *|. | 15 -0.060 -0.102 16.988 0.200.|. | *|. | 16 0.001 -0.079 16.988 0.257Joonis 2.28. ARIMA({1,4},1,0) mudeli jääkliikmedProovime igaks juhuks ka ARIMA({1,4,8},1,0) mudelit. Tulemuseks saamezt= 0.0087 + 0.2132 zt−1− 0.3453zt−4−0.1655zt−( se)(0.0034) (0.0752) (0.0789) (0.0775)( p)R2= 0.1720F = 9.975(0.0121)RAR lahendid :2(0.0052)= 0.1548( p = 0.0000),0.73 − 0.40i,− 0.36 + 0.71i,(0.0000)AIC = −2.978S.E.= 0.05380.73+0.40i,− 0.36 − 0.71 i,(0.0354)SBC = −2.8970.41+0.68i,− 0.68 + 0.37i,80.41−0.68i− 0.68 − 0.37iOsutub, et AR(8) liige tuleb mudelis oluline (nivool 0.05). Akaike' i kriteerium vähenesvõrreldes eelmise mudeliga, kuid Schwarzi kriteerium kasvas. Jääkliikmed ei olenormaaljaotusega, autoregressiivne heteroskedastiivsus puudub. Seega olulist vahet(diagnostika mõttes) kahe mudeli vahel ei ole.Aegrea graafiku, histogrammi ja jääkliikmete graafiku põhjal on hästi näha, et valimis onkaks ebaharilikku vaatlust, üks 1975.a. 1. kvartal ning teine 1950.a. 1. kvartal.38

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus6.86.46.05.65.24.850 55 60 65 70 75 80 85Joonis 2.29. Logaritmitud investeeringud403020100-0.2 -0.1 0.0 0.1Series: ResidualsSample 1949:2 1986:1Observations 148Mean -4.55E-17Median 0.001339Maximum 0.172152Minimum -0.242945Std. Dev. 0.053305Skewness -0.534743Kurtosis 5.400256Jarque-Bera 42.58103Probability 0.000000Joonis 2.30. ARIMA({1,4,8},1,0) mudeli jääkliikmete histogramm0.20.10.0-0.1-0.2-0.350 55 60 65 70 75 80 85Joonis 2.31. ARIMA({1,4,8},1,0) mudeli jääkliikmete graafik.Lülitame nüüd mudelisse neid erindeid kirjeldavad fiktiivsed muutujad.Paneme tähele, et kui struktuurse muutuse (hüppe) kirjeldamiseks lähtereas tuleks fiktiivnemuutuja kasutusele võtta kujul⎧0,kui t < t0DD t= ⎨,⎩1,kui t ≥ t0siis diferentsitud aegreas peaks see olema kujul39

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus⎧0,kui t ≠ t0D t= ⎨,⎩1,kui t = t0kuna ∆DD t= 0 välja arvatud juhul, kui t = t0.Seega võtame struktuursete muutuste kirjeldamiseks kasutusele järgmised muutujad⎧0,kui t ≠ 1950:1⎧0,kui t ≠ 1975:1D1t= ⎨D2= ⎨⎩1,kui t = 1950:1t.⎩1,kui t = 1975:1ning vaatleme ARIMA({1,4,8},1,0) mudelit, kuhu täiendavalt on juurde lülitatud muutujadD1 ja D2. Osutub, et AR(8) liige on ebaoluline nivool 0.05 (olulisuse tõenäosus 0.0857)ning seetõttu me eemaldame selle mudelist. Kokkuvõttes jõuame mudelinizt= 0.0086 + 0.2397 zt−1−0.2882zt−( se)(0.0042) (0.0755) (0.0742)( p)R2(0.0292)= 0.2914F = 15.111RAR lahendid :2(0.0020)= 0.2721( p = 0.0000),0.58 − 0.51i,(0.0002)AIC = −3.1154S.E.= 0.0501+ 0.129D1(0.0474)(0.0073)SBC−0.218D20.58 + 0.51 i,− 0.46 + 0.51i, − 0.46 −0.51it(0.0474)(0.0000)= −3.015Näeme, et kõik muutujad on olulised ning võrreldes varasemate mudelitega on AIC ja SBCvähenenud. Jääkliikmete uurimine näitab, et jääkliikmed on normaaljaotusega. Samutipuudub heteroskedastiivsus (ARCH LM Prob=0.3721) ning jääkliikmed on 'valge müra'tAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob*|. | *|. | 1 -0.058 -0.058 0.5165.|. | .|. | 2 0.037 0.034 0.7277.|. | .|. | 3 0.027 0.031 0.8432 0.358.|. | .|. | 4 -0.019 -0.017 0.8982 0.638.|. | .|. | 5 -0.030 -0.034 1.0396 0.792*|. | *|. | 6 -0.101 -0.105 2.6691 0.615.|. | .|. | 7 -0.023 -0.033 2.7575 0.737*|. | *|. | 8 -0.155 -0.152 6.6626 0.353*|. | *|. | 9 -0.087 -0.104 7.9072 0.341.|* | .|* | 10 0.146 0.144 11.401 0.180.|. | .|. | 11 -0.006 0.021 11.408 0.249*|. | *|. | 12 -0.078 -0.106 12.428 0.257.|. | *|. | 13 -0.023 -0.067 12.517 0.326.|. | *|. | 14 -0.041 -0.080 12.805 0.383.|. | *|. | 15 -0.055 -0.083 13.330 0.423.|. | .|. | 16 0.029 0.023 13.471 0.490Joonis 2.32. ARIMA({1,4,8},1,0) +D1+D2 mudeli jääkliikmete korrelogramm40

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus2520151050-0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10Series: ResidualsSample 1948:2 1986:1Observations 152Mean -1.28E-15Median 0.002091Maximum 0.113566Minimum -0.124389Std. Dev. 0.049484Skewness -0.243481Kurtosis 2.832956Jarque-Bera 1.678553Probability 0.432023Joonis 2.33. ARIMA({1,4,8},1,0) +D1+D2 mudeli jääkliikmete histogramm0.150.100.050.00-0.05-0.10-0.1550 55 60 65 70 75 80 85Joonis 2.34. ARIMA({1,4,8},1,0) +D1+D2 mudeli jääkliikmete graafik.2.6. Sesoonsed ARIMA mudelidPaljud majanduslikud protsessid (nt. turismimajanduses, ehituses, põllumajanduses) onsesoonse iseloomuga ning neid kirjeldades ja prognoosides peaksime sesoonsust ka arvessevõtma. Vaatleme alljärgnevalt, kuidas seda teha ARIMA mudelite korral. Lihtsuse mõtteseeldame, et meil on kvartaalsed andmeid, kus sesoonsuse periood on neli.Põhimõtteliselt võiksime sesoonsuse korral kasutada ka sesoonselt silutud andmeid (näitekslibiseva keskmisega meetodiga silumine või X11 - meetod) ning siis modelleerida neid41

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raustavaliste ARIMA mudelitega, kuid see ei pruugi alati olla parim võimalus (eriti kui andmedsisaldavad nn. stohhastilist 2 sesoonset komponenti), kunaa) kuigi teoreetiliselt peaks silutud andmetes sesoonsus puuduma, ei pruugi see praktikassiiski nii olla;b) ei ole efektiivne hinnata eraldi esmalt silumisprotseduuride parameetrid ning siis ARIMAmudeli parameetreid.Lihtsaimad stohhastilist sesoonsust kirjeldavad mudelid kvartaalsete andmete korral onesitatavad kujulY Φ Y + u Φ 1(2.3)t=4 t−4t, 4

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus.|* | .|. | 15 0.126 0.044 352.97 0.000.|** | .|. | 16 0.321 0.061 385.42 0.000Joonis 2.36. Aegrea yt = 1+0.8yt−4 + ut,y−3= y−2= y−1= 0, y0= 10, T=300korrelogrammTihti sisaldavad aegread lisaks sesoonsele komponendile ka mittesesoonset tendentsi ningüldine ARMA(1,1) mudel koos sesoonsust arvestava liikmega näeks välja kujulY δ + Φ Y + Φ Y + u − Θ uvõiehk,t=1 t−14 t−4t 1 t−1 Y δt= + Φ1Yt−1+ ut− Θ1ut−1−Θ4ut−4(1 − Φ L − Φ144L ) Y = δt+ (1 − Θ L)u ,4(1 − Φ1L)Yt= δ + (1 −Θ1L− Θ4L) utNeid mudeled nimetatakse aditiivseteks, kuna sesoonsust kirjeldav liige liidetakse mudeliülejäänud osale juurde. Multiplikatiivsete mudelite näideteks on mudelid4(1 − Φ L)(1− Φ L ) Y = (1 − Θ L)u ,ehkY δ1(1 − Φ L)Y1t4= (1 −Θ1tL)(1− Θ411t4L ) u,t= + Φ1Yt−1+ Φ4Yt−4− Φ1Φ4Yt−5+ ut− Θ1ut−1t= + Φ1Yt−1+ ut− Θ1ut−1− Θ4ut−4+ Θ1Θ4ut−5,Y δSeega multiplikatiivne sesoonsust arvestav mudel on kitsendatud ARMA mudel, kus lisaksesimesele ja neljandale viitajale on mudelis ka vastavalt kas aegrea või juhusliku vea viiesviitaeg , kusjuures viienda viitaja parameeter on määratud esimese ja neljanda parameetrikaudu.Kui lähteaegrida on mittestatsionaarne, siis võib sesoonsete andmete korral kasutada ka nn.sesoonset diferentsimist, mille korral leitakse esmalt aegrea Ytsesoonne diferents:4∆ Yt= Yning kui diferentsitud aegrida ei osutu statsionaarseks, siis võetakse veel tavaline diferents:4∆ ∆ Y ) = ∆(Y − Y ) = Y − Y − Y Y .t− Yt−4(tt t− 4 t t−1t−4+t−5See, kas sesoonset diferentsimist kasutada või mitte, sõltub sellest, kas aegrea varieeruvuson suurem pärast sesoonset või tavalist diferentsimist. Kui tavalise diferentsimise korral onvarieeruvus suurem, siis tuleks esmalt võtta sesoonne diferents.Sesoonsust arvestava multiplikatiivse mudeli ARIMA(p,d,q)(P,D,Q) s üldkuju on:2ps 2sPsd s D(1 − Φ L − Φ L − Φ L )(1−φ L −φL −...−φL )(1 − L)(1 − L ) Y =12δ + (1 − Θ1L − Θp2L2− ΘqLsq)(1 −θ2ssLs−θ2sL2sPs−...−θSiin D on sesoonse diferentsimise järk ning P ja Q on vastavalt suurima sesoonse AR liikmening suurima sesoonse MA liikme järk.tQst,LQs) utt43

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus44

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus3. ARCH ja GARCH mudelid3.1. SissejuhatusMe ütleme, et regressioonimudelis on heteroskedastiivsus, kui juhuslike vigadedispersioonid ei ole konstantsed. Enamasti esineb heteroskedastiivsus mudelis ristandmetekorral, kus selle põhjuseks on tavaliselt asjaolu, et suurematel (näiteks sissetuleku või kasumimõttes suurematel) subjektidel on suuremad võimalused oma tegevuse varieerimiseks.Sellisel juhul on juhuslike vigade dispersioon seotud mõne sõltumatu muutujaga või sõltuvamuutuja hinnanguga. Heteroskedastiivsus võib mudelis olla ka aegridade korral. Nimelt onaegridade korral tähele pandud, et antud perioodi juhusliku vea dispersioon võib sõltudaeelmiste perioodide dispersioonidest ning on perioode, kus dispersioonid on keskmisestsuuremad ning perioode, kus nad on keskmisest väiksemad. Järgnevalt tutvustamegimudeleid, mis modelleerivad dispersiooni sõltuvalt varasemate perioodide volatiilsusest.Kuna modelleerimisel võetakse arvesse eelnevate perioodide dispersioone, siis saamerääkida tingliku dispersiooni modelleerimisest. Tinglikku dispersiooni kirjeldavaid mudeleidnimetatakse ARCH-GARCH (ARCH -Autoregressive Conditional HeteroskedasticityModels, GARCH - Generalized ARCH) mudeliteks.Autoregressiivsete tingliku heteroskedastiivsusega mudelite korral eeldatakse,et sõltuva muutuja (ja ka juhuslike vigade) dispersioon muutub ajas ning et see sõltubeelmiste perioodide juhuslikest vigadest ning nende dispersioonide hinnangutest. ARCH-GARCH mudelid on väga levinud finantsaegridade analüüsimisel, kuna praktikas on tähelepandud, et näiteks aktsiahindade langusega kaasneb ka aktsia suurem volatiilsus. ARCHmudeleid vaatles esimesena Engle (1982) ning üldistatud ARCH ehk GARCH mudeleidBollerslev (1986).3.2. ARCH ja GARCH mudelidEsimest järku ARCH mudeli korral modelleeritakse samaaegselt nii sõltuva muutuja2tinglikku keskväärtust (esimene võrrand) kui juhusliku vea dispersiooni σ = Var() (teinevõrrand):Yσt2t= B= A0+ B1Xt+ ut,0+ A u12t −1tt u t. (3.1)+ vSeega ARCH mudeli korral eeldatakse, et tinglik dispersioon2σtsõltub eelmiseperioodi volatiilsusest, mida praktikas mõõdetakse jääkliikme ruudu kaudu.Esimest järku GARCH mudeli korral lisandub teisele võrrandile veel eelmise perioodihinnatud tinglik dispersioon.Yt= B0 + B1Xt+ ut,222(3.2)σ = A + A u + A σ + vt01t−1Mudelit (3.1) nimetatatakse ARCH(1) mudeliks ning mudelit (3.2) GARCH(1,1)mudeliks.GARCH mudelit saab interpreteerida nii, et t-nda perioodi dispersioon (volatiilsus) onesitatav pikaajalise keskmise (vabaliige), eelmise perioodi hinnatud dispersiooni ning eelmiseperioodi tegeliku volatiilsuse kaalutud keskmisena.2t−1t45

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausMärgime, et GARCH mudeli korral on tinglik dispersioon esitatav ka kui jääkliikmeteviitaegade ruutude kaalutud keskmine:222222σ = A + A u + A σ = A + A u + A ( A + A u + A σ ) =t0010t−1A (1+AA (1+A222+ At−1) + A ( u221A0(1−A2t−1+ ....) + A ( u20+ A)+ A u112∑ ∞ 1j=1t−12t−22t−1A2) + A σ+ A uj−12u222t−j202t−22t−21t−2= .... =+ A u222t−32t−2+ ....) =Seega, kui A2< 1, siis antud perioodi juhusliku vea dispersioon sõltub kõigivarasemate perioodide volatiilsusest, kusjuures mida varasem on periood, seda väiksematmõju see antud perioodi dispersioonile avaldab.Samuti saab GARCH(1,1) protsessi esitatada jääkliikmete ruutude suhtes ARMA(1,1)protsessina:22u A + A + A ) u + w − A wkusw2tu t2tt=0(1 2 t−1t 2 t−1= − σ . Tõepoolest, kui mudeli (3.2) teises võrrandis viia suurusparemale poole, liita mõlemale poole juurde suurusparemale poolele suurusu2t= A0A , siis saame22u t −1+ A u=21 t−1A0++ u2t−σ2t+ A σ2t−12( A1+A2) ut−1+ wt− A2wt−1Kõrgemat järku GARCH mudel on esitatav kujulσ2t22tσ2tüle võrrandiu ning liita ja lahutada võrrandi− A upq= + 2A ∑ +0Biut− i ∑i=1j=12j2t−1C σ2t−j+ A uja tähistatakse GARCH(p,q), kus p on ARCH liikmete kõrgeim järk ning q on GARCHliikmete kõrgeim järk.GARCH mudelite korral võib dispersiooni võrrandisse lülitada ka teisi regressoreid,näiteks vaadelda mudelit222σ + A u + A σ + A Z , (3.3)t= A01 t−12 t−13kus Z on mingi eksogeenne muutuja. Mudeli (3.3) vaatlemisel tuleks siiski silmas pidada, ethinnatud dispersioonid ei tuleks negatiivsed; selle garanteerimiseks peaksid muutuja Zväärtused olema positiivsed.Me võime lülitada mudeli põhivõrrandisse (keskväärtuse võrrandisse) ühe eksogeensemuutujana ka hinnatud dispersiooni või standardhälbe:2Y t = B0 + B1Xt + B2σ t + utvõi Y t = B 0 + B 1 X t + B 2 σ t + utSelliseid mudeleid nimetatakse ARCH-M (ARCH in Mean) mudeliteks. ARCH-Mmudeleid kasutatakse tihti finantsaegridade uurimisel, kus oodatav väärtpaberi tulu on seotudoodatava väärtpaberi riskiga (volatiilsusega). Tavaliselt on kordaja B 2 väärtus negatiivne.t22t−1=3.3. Asümmeetrilised ARCH mudelid46

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausAktsiahindade analüüsimisel on tähele pandud, et negatiivsete uudiste korral aktsiate kohtaon aktsiahinna volatiilsus sageli suurem, kui positiivsete uudiste korral ning sellist aktsiahinnavolatiilsust on kasulik modelleerida asümmeetriliste ARCH mudelitega.Asümmeetrilisi GARCH mudeleid nimetatakse TARCH mudeliteks (Threshold ARCH)mudel (sõltumatult Zakoian (1990) ja Glosten,Jaganathan,Runkle (1993)) ning neismudelites lisatakse harilikele ARCH-GARCH mudelitele täiendav asümmeetriat kirjeldavmuutuja. Näiteks GARCH(1,1) protsessi korral on vastav TARCH mudel kujul2222σ A + A u + A σ A d u ,t= 0 1 t− 1 2 t−1+ 3 t−1t−1kus dt= 1, kui ut< 0 (seega t-perioodil olid ülekaalus negatiivsed uudised) ningd = 0, kui u ≥ 0. Selle mudeli korral omavad halvad ja head uudised erinevat efektitttingliku dispersiooni väärtustele: heade uudiste korral avaldub eelmise perioodi volatiilsusemõju kordajaga A 1 , halbade uudiste korral aga kordajaga A 1 + A 3 . Finantsaegridadekorral peaks parameetri A 3 väärtus olema positiivne ning sellisel juhul öeldakse, et leiab asetnn. leverage effect. Kui A 3 = 0, siis on uudiste mõju sümmeetriline ning TARCH mudeleidvaadelda ei ole mõtet.Teiseks asümmeetrilise mudeli näiteks on eksponentsiaalne GARCH mudel EGARCH(Nelson, 1991), mille spetsifikatsioon on järgmine22log( σ ) A + A log( σ ) + A u / σ A u / σ .t=0 1 t− 1 2 t−1t−1+3 t−1t−1EGARCH mudeli korral leiab leverage effect aset juhul kui A 3 < 0.ARCH-GARCH mudelite korral hinnatakse nii keskväärtuse kui dispersiooni võrranditsamaaegselt suurima tõepära meetodiga. GARCH(1,1) mudeli korral on log- tõepärafunktsioon (eeldame, et juhuslikud vead on normaaljaotusega) kujul 3ln( L(B0, B , A , A , A10σ2t1= A20))T2= − ln( 2π) − ln( σt) −2 2∑t=1+ A ( Y − B1Tt0− B X1Tt)2+ A σ22t−1( Y − Bt0− B X.Kuna dispersiooni suhtes on log-tõepära funktsioon mittelineaarne, siis kasutataksefunktsiooni maksimiseerimiseks iteratsioonimeetodeid (Marquardt või BHHH/Gauss-Newtoni meetod).1t)2/2σ2t,3.4. Autoregressiivse heteroskedastiivsuse olemasolu testimineKõige levinumaks autoregressiivse tingliku heteroskedastiivsuse testiks on ARCH LM(Lagrange Multiplier) test (Engle, 1982). Selleks, et testida, kas mudelis on kuni q-ndatjärku autoregressiivne heteroskedastiivsus , vaadeldakse testvõrrandit3 Tavalise lineaarse regressioonimudeli parameetrite hindamisel suurima tõepära meetodiga on logtõepärafunktsioon kujul (vt. Ökonomeetria II)ln( L(Bnnn220 , B1,)) = − ln( 2π) − ln( σ ) − ∑ ( yi − B0− B1X 2i )2 2 2σi=1σ .147

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausu ˆ α ˆ ˆ ˆ + e(3.4)2t222=0+ α1ut−1+ α1ut−2+ .... + αqut−qkus e on jääkliikmed. Testi nullhüpoteesiks on kõigi parameetrite (v.a. vabaliige) võrduminenulliga, s.t. jääkliikmete ruudud (juhusliku vea dispersiooni hinnang) ei sõltu eelmisteperioodide jääkliikmete ruutudest. Osutub, et kui mudelis kuni q-ndat järku autoregressiivneheteroskedastiivsus puudub, siis test-statistikon asümptootiliselt2nR ∼2χ(q)2χ jaotusega vabadusastmete arvuga q. Test-statistiku avaldises on n2valimi maht ning R on testvõrrandi determinatsioonikordaja. Seega kui etteantud olulisusenivool on test-statistiku väärtus on suurem kui kriitiline väärtus, siis lükkame nullhüpoteesikuni q-ndat järku autoregressiivse heteroskedastiivsuse puudumise kohta ümber.Autoregressiivse heteroskedastiivsuse kontrollimiseks võib vaadelda ka jääkliikmete ruutudekorrelogrammi, kus on esitatud nii graafiliselt kui arvuliselttu ja2ˆt2ˆtju −vahelisedkorrelatsioonikordajad ning vastava Ljung-Box test-statistiku väärtused (vt. joonis 3.1). Kuikorrelatsioonikordajad on oluliselt nullist erinevad, siis see viitab autoregressiivseleheteroskedastiivsusele.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|* | .|* | 1 0.158 0.158 11.700.|** | .|* | 2 0.210 0.189 32.253 0.000.|** | .|** | 3 0.287 0.245 70.826 0.000.|* | .|* | 4 0.157 0.069 82.350 0.000.|* | .|. | 5 0.142 0.033 91.851 0.000.|* | .|. | 6 0.109 -0.010 97.430 0.000.|* | .|* | 7 0.156 0.076 108.90 0.000.|* | .|* | 8 0.196 0.131 127.07 0.000.|* | .|* | 9 0.146 0.068 137.26 0.000.|* | .|. | 10 0.070 -0.057 139.60 0.000.|* | .|. | 11 0.118 -0.007 146.28 0.000.|* | .|* | 12 0.170 0.094 160.18 0.000.|* | .|. | 13 0.117 0.065 166.80 0.000.|* | .|. | 14 0.121 0.037 173.80 0.000.|* | .|. | 15 0.169 0.055 187.52 0.000.|** | .|* | 16 0.200 0.094 206.91 0.000Joonis 3.1. Jääkliikmete ruutude korrelogramm.3.5. Näiteid ARCH-GARCH mudelite kasutamisestNäide 3.1. USA dollari vahetuskursside modelleerimine ARCH-GARCH mudeliteabil.Jätkame näites 2.6 vaadeldud USD vahetuskursside modelleerimist. Kontrollime esmaltARCH LM testiga tingliku heteroskedastiivsuse olemasolu. Võtame testi parameetriks(viitaegade arvuks) p=4. Tulemuseks saameuˆ22222t=t−1t−2t−3t−4( p)R23.30E− 05 + 0.182uˆ= 0.0366(0.000)nR2− 0.011uˆ(0.742)+ 0.034uˆ(0.299)= 34.851 (Pr ob = 0.000000)+ 0.038ˆ u(0.247).48

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausKuna testi olulisuse tõenäosus on 0, siis lükatakse nullhüpotees tingliku autoregressiivseheteroskedastiivsuse puudumise kohta tagasi. Heteroskedastiivsusele viitab ka jääkliikmeteruutude korrelogramm (vt. joonis 3.2.)Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|* | .|* | 1 0.184 0.184 32.225.| | .| | 2 0.030 -0.004 33.091 0.000.| | .| | 3 0.045 0.041 35.005 0.000.| | .| | 4 0.052 0.038 37.581 0.000.| | .| | 5 0.017 0.000 37.869 0.000.| | .| | 6 -0.010 -0.016 37.958 0.000.| | .| | 7 -0.014 -0.014 38.157 0.000.| | .| | 8 0.006 0.009 38.188 0.000.| | .| | 9 0.000 -0.003 38.188 0.000.|* | .|* | 10 0.162 0.170 63.391 0.000.| | *| | 11 -0.003 -0.066 63.399 0.000.| | .| | 12 0.017 0.030 63.692 0.000.| | .| | 13 0.028 0.008 64.436 0.000.|* | .|* | 14 0.096 0.083 73.396 0.000.| | .| | 15 0.040 0.006 74.986 0.000.| | .| | 16 0.016 0.010 75.226 0.000Joonis 3.2. Jääkliikmete ruutude korrelogrammValuutakursside modelleerimisel ARCH-GARCH mudelitega osutus sobivaimaks mudeliksTARCH(1)-M mudel2z = −0.0023+ 49.6298σσ2t( se)( p)( se)( p)= 3.66E− 05 + 0.0683u(1.23E− 06)R(0.0000)AIC = −7.23592t(0.0006)(0.0009)= 0.0173,(0.0199)(0.0006)R2(15.592)(0.0015)2t−1= 0.0132SC = −7.21051t+ 0.1754du(0.0427)(0.0000)t2t−1S.E.= 0.00659F = 4.185 ( p = 0.0023)Mudeli diagnostilised testid annavad järgmisi tulemusi. Jääkliikmete korrelogramm näeb välja'valge müra'-na (Q-statistiku vähim olulisuse tõenäosus on 0.408). ARCH LM testi (p = 4)olulisuse tõenäosus on 0.3489, seega heteroskedastiivsus puudus. Standardiseeritudjääkliikmete histogramm näitas, et jääkliikmed ei ole endiselt normaaljaotusega, kuid Jarque-Bera test-statistik ning ekstsess vähenesid mõnevõrra (vt. joonis 3.3)..49

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus300250Series: Standardized ResidualsSample 2 955Observations 954200150100500-6 -4 -2 0 2 4Mean -0.004141Median 0.043086Maximum 4.936629Minimum -6.592035Std. Dev. 1.000584Skewness -0.458335Kurtosis 7.416079Jarque-Bera 808.5962Probability 0.000000Joonis 3.3. TARCH(1)-M mudeli standardiseeritud jääkliikmete histogramm.Näide 3.2. Jätkame näites 2.7 vaadeldud logaritmitud Hansapanga keskmisteaktsiahindade esimest järku diferentside modelleerimist. Kuna ARIMA mudelis oli tinglikheteroskedastiivsus, siis proovime leida sobivat ARCH-GARCH mudelit. Proovimekasutada TARCH(1,1) mudelit, kus põhivõrrandis on näites 2.7 valitud autoregressiivsedliikmed. Tulemuseks saamezt( se)( p)σ2t( se)( p)RAIC = −4.3315ARRoots= −0.0015+ 0.3661z(0.0014)(0.2716)= 8.02E− 06 + 0.1031u(0.1090)= 0.0126,(0.0564)(0.0000)SBCR0.52 + 0.26i,t−1(5.01E−06)(0.0345)2(0.0028)2−0.1416z2t−1= 0.0110= −4.2512(0.0510)(0.0055)0.52 − 0.26 i,+ 0.0568zS.E.= 0.03625+ 0.1431duF = 8.183 ( p = 0.0000)0.04 + 0.58i,− 0.0250z0.04 − 0.58i−0.38+ 0.29i,−0.38−0.29iKuna AR(3) ja AR(6) liige on mudelis ebaolulised, siis vaatame põhivõrrandina AR(2)mudelit.z = −0.0015+0.3525 z −0.1195zσ2t( se)( p)RAIC = −4.3363AR Rootst( se)( p)= 7.58E− 06 + 0.1056u(4.91E− 06) (0.0333)(0.1225)2(0.2638)(0.2638)= 0.1125,SBCR0.18 + 0.30i,(0.0015)2(0.0548)(0.0000)2t−1= 0.1009= −4.2738t−10.18 − 0.30i+ 0.8385σ(0.0228)(0.0000)t−2+ 0.8393σ(0.0231)(0.0000)(0.0480)(0.0128)2t−1t−2(0.0435)(0.1910)2t−1S.E.= 0.03645t−3(0.0492)(0.0036)+ 0.1425du(0.0460)(0.0019)2t−1F = 9.656 ( p = 0.0000)t(0.0474)(0.5979)t2t−1t−650

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausViimase mudeli jääkliikmed on 'valge müra' (Q-statistiku vähim olulisuse tõenäosus on0.279), Jarque-Bera statistik on 54.27 (prob=0.000000), ekstsess on 4.61 ningasümmeetriakordaja on -0.222. ARCH LM testi olulisuse tõenäosus 0.0505 ningjääkliikmete ruutude korrelogrammi järgi tundub jääkliikmetes olevat teist järku tingimuslikheteroskedastiivsus.Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|. | .|. | 1 -0.048 -0.048 1.0835.|* | .|* | 2 0.124 0.122 8.2609.|. | .|. | 3 -0.002 0.009 8.2635 0.004.|. | .|. | 4 -0.038 -0.054 8.9366 0.011.|. | .|. | 5 -0.002 -0.007 8.9383 0.030.|. | .|. | 6 -0.023 -0.012 9.1852 0.057.|. | .|. | 7 0.041 0.041 9.9736 0.076.|. | .|. | 8 -0.023 -0.018 10.232 0.115.|. | .|. | 9 -0.012 -0.025 10.295 0.172*|. | *|. | 10 -0.065 -0.064 12.290 0.139.|. | .|. | 11 0.000 0.003 12.290 0.197.|. | .|. | 12 -0.002 0.014 12.292 0.266.|. | .|. | 13 0.004 0.004 12.298 0.342.|. | .|. | 14 -0.020 -0.030 12.484 0.408.|. | .|. | 15 0.000 -0.004 12.484 0.488.|. | .|. | 16 0.026 0.032 12.800 0.542Joonis 3.4. AR(2)-TARCH(1,1) mudeli jääkliikmete ruutude korrelogrammSeetõttu proovime ka AR(2)-TARCH(2,1) mudelit. Kuna aga ARCH(2) liige on olulisusenivool 0.05 ebaoluline (olulisuse tõenäosus on 0.067) ning Schwarzi kriteerium ei vähene(SCB=-4.2667, AIC=-4.3380), siis eelistame lihtsamat AR(2)-TARCH(1,1) mudelit.Kasutame TARCH(1,1) mudelit ka esimest järku libiseva keskmise mudeli korral.Tulemuseks saamez = −0.0015+ 0.3525 z −0.1195zσ2t( se)( p)( se)( p)= 7.25E− 06 + 0.0976u(4.66E− 06)R(0.1196)AIC = −4.3420Inverted MA Roots2t(0.2638)(0.2638)= 0.1178, R(0.0330)(0.0031)2− 0.35(0.0548)(0.0000)2t−1= 0.1082SBC = −4.2884t−1+ 0.8445σ(0.0221)(0.0000)(0.0480)(0.0128)2t−1t−2S.E.= 0.03630+ 0.1433du(0.0451)(0.0015)F = 12.2365t2t−1( p = 0.0000)Mudeli jääkliikmed on 'valge müra' (Q-statistiku vähim olulisuse tõenäosus on 0.406),Jarque-Bera statistik on 50.06 (prob=0.000000), ekstsess on 4.56 ningasümmeetriakordaja on -0.190. ARCH LM testi olulisuse tõenäosus 0.0545. Kuna niiAkaike kui Schwarzi kriteeriumid on MA(1)-TARCH(1,1) mudeli korral väiksemad kuiAR(2)-TARCH(1,1) mudeli korral, siis tundub Hansapanga aktsiate jaoks kõige sobivammudel olevat MA(1)-TARCH(1,1)51

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus6050403020100-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3Series: Standardized ResidualsSample 500 963Observations 464Mean 0.000912Median -0.011994Maximum 3.382702Minimum -4.758366Std. Dev. 1.004175Skewness -0.195928Kurtosis 4.560775Jarque-Bera 50.06501Probability 0.000000Joonis 3.5. MA(1)-TARCH(1,1) mudeli jääkliikmete histogramm420-2-4-6Standardized ResidualsJoonis 3.6. MA(1)-TARCH(1,1) mudeli standardiseeritud jääkliikmedAutocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob.|. | .|. | 1 -0.013 -0.013 0.0776.|* | .|* | 2 0.110 0.109 5.7037 0.017.|. | .|. | 3 -0.003 0.000 5.7071 0.058.|. | .|. | 4 -0.039 -0.052 6.4236 0.093.|. | .|. | 5 -0.010 -0.011 6.4723 0.167.|. | .|. | 6 -0.030 -0.020 6.8997 0.228.|. | .|. | 7 0.034 0.037 7.4584 0.281.|. | .|. | 8 -0.034 -0.030 7.9955 0.333.|. | .|. | 9 -0.011 -0.022 8.0576 0.428*|. | *|. | 10 -0.068 -0.064 10.237 0.332.|. | .|. | 11 -0.021 -0.017 10.457 0.401.|. | .|. | 12 -0.001 0.011 10.458 0.490.|. | .|. | 13 0.007 0.011 10.479 0.574.|. | .|. | 14 -0.017 -0.028 10.626 0.642.|. | .|. | 15 0.006 0.001 10.642 0.714.|. | .|. | 16 0.031 0.034 11.114 0.744Joonis 3.7. MA(1)-TARCH(1,1) mudeli jääkliikmete ruutude korrelogramm.52

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus4. Ühikjuure testid. Aegridade kointegratsioon4.1. SissejuhatusÖkonomeetrilises analüüsis on tõsiseks probleemiks regressioonianalüüsi tulemustetõlgendamine mittestatsionaarsete (eriti ühikjuurt 4 sisaldavate või nendele lähedasteaegridade korral) aegridade korral. Sel korral on statistilised näitajad (muutujate olulisus,kirjeldatuse tase) tavaliselt head isegi juhul kui antud muutujate sisuline seostamine mingitmõtet ei oma. Viimase väite tõestuseks vaatleme järgmisi näiteid:Näide 4.1. Olgu muutujad ytja xtgenereeritud mittestatsionaarsete protsessidey y + u x = x + u , t = 1,2,...,50, y = x 100,t=t−1 1t,t t−12t0 0=u1 tu2tpoolt, kus juhusliku vead, on sõltumatud normaaljaotusega juhuslikud muutujadkeskväärtusega 0 ning dispersiooniga 1. Konstrueeritud 1000 valimi korral osutus 67%valimite korral seos y = a + bx statistiliselt oluliseks olulise nivool 0,05. Samal ajalttvastavalt muutujate ytja xtgenereerimise mehhanismile on selge, et mingit sisulist seostmuutujate ytja xtvahel ei ole. Ainuke asjaolu, mis viitas mudeli valele spetsifikatsioonile,oli Durbin-Watsoni statistiku madal väärtus (keskmiselt 0,33).Näide 4.2. Olgu muutuja xtgenereeritud protsessi xt= 1 + xt−1+ utpoolt. VaatlemeSuurbritannia agregeeritud tarbimise C (andmed kvartaalsed: 1957 II. kv. – 1975 IV. kv.)ty saame esitada kujul Φ ( B)y t= F(u,t,Z)4 Lineaarse stohhastilise protsessit, kus seose parempool võib sisaldada juhuslikku viga ja tema viitaegu, trendi või ka eksogeenseid muutujaid Z ning seosevasakul pool ony ja tema viitajad ( Φ(B)ttähenduse kohta vt. punkti ARMA mudelid)Me ütleme, et aegrida sisaldab ühikjuurt, kui teda genereeriva protsessi korral vähemalt üks polünoomiΦ(λ)nullkoht on mooduli poolest võrdne ühega. Näiteks juhusliku ekslemise korralΦ( λ ) = λ − 1.53

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raussõltuvust muutujast xtning sesoonsust kirjeldavatest fiktiivsetest muutujatest D j, j = 1,2,3,kus Dj= 1,kui on tegemist j-nda kvartaliga ülejäänud kvartalite korral. Esimese juhuslikultgenereeritud xtkorral saadi:2Ct= 5378 + 42.68xt− 741D1 , t− 386D2,t− 311D33,tR = 0,972( t ) ( 112 .7) ( 47) ( −14.6) ( − 7.7) ( − 6.2) DW = 0, 67Tulemustest näeme taas, et muutuja xton mudelis statistiliselt oluline, olgugi et mingit sisulistseost muutujate xt, Ctvahel ei ole.Toodud näidetest on näha, et mittestatsionaarsete aegridade vahelise regressioonianalüüsimisel ei piisa vaid tavaliste näitajate (statistiline olulisus, kirjeldatuse tasevaatlemisest. Sel põhjusel on 1980-ndate keskpaigast alates uuritud aegridadekointegratsiooni (kooskõla) probleeme eesmärgiga teha kindlaks, millal on uuritavadaegread sisuliselt seotud ning millal mitte. Osutub, et kahe aegrea vahelise regressioonivaatlemine on õigustatud vaid sel juhul, kui nad on kas statsionaarsed või sama järkuintegreeritud. Viimasel juhul on vajalik veel teatavate kooskõla tingimuste täidetus. Seegaesmane ülesanne aegridade kooskõla probleemi uurimisel on kindlaks teha, kas aegrida onstatsionaarne või mittestatsionaarne ning kas mittestatsionaarset aegrida saab diferentsimiseteel muuta statsionaarseks.Aegridade statsionaarsuse mõiste on oluline ka hinnangute teoreetiliste omaduste korral.Üheks regressioonimudeli klassikaliseks eelduseks on teatavasti eeldus:juhuslikud vead ei korreleeru sõltumatute muutujatega, s.t.( , X ) cov( u X , X ) 0cov u = iga i ja j korral.ij=i jAegridade mudelite korral võib selle eelduse täidetusega tekkida tõsiseid probleeme Toomeselle kohta alljärgnevalt mõned näited. Vaatleme mudelitKURI β + POL + ut=0β1ttkus KURI on kuritegevuse tase perioodil t ning POL on politseinike arv perioodil t. Üheltpoolt politseinike arv perioodil t mõjutab kuritegevuse taset perioodil t, kuid võib arvata, etkuritegevuse tase perioodil t mõjutab ka politseinike arvu järgnevatel perioodidel ning seljuhul juhuslik viga perioodil t ja järgmiste perioodide sõltumatu muutuja X s, s > t ,korreleeruvad:cov( u , ) ≠ 0tX s, kui s>t.Viimane väide kehtib ka juhul, kui meil on tegemist autoregressiivse mudeliga. Vaatlemenäiteks mudelity x + ut= β0+ β1yt− 1+ β2Kuna ytkorreleerub juhusliku veaga utning yton perioodil t+1 sõltumatu muutuja osas,siis ka autoregressiivsete mudelite korral juhuslik viga perioodil t korreleerub järgmisteperioodide sõltumatu muutujaga.tt54

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausKui mittekorreleerumise eeldus ei ole täidetud, siis parameetrite hinnangud tulevad nihkega.Kuid kui mudelis olevad muutujad on statsionaarsed või kui muutujate (kas lähteväärtustelvõi pärast trendi eemaldamist) autokorrelatsioonikordajad lähenevad järgu kasvades küllaltkiiresti nullile ning cov ( u , ) = 0, siis hinnangutel säilivad head suure valimi omadused -hinnangud on mõjusad.tX t4.2. Diferents-statsionaarsed ja trend-statsionaarsed protsessidMittestatsionaarne aegrida võib sisaldada stohhastilist trendi nagu juhuslik ekslemine(RW-random valk)y = y −1+ u(4.1)tja vabaliikmega juhuslik ekslemine (RWD protsess)tttty = d + y−1+ u(4.2)tNeid protsesse nimetatakse diferents-statsionaarseteks protsessideks, kuna neid saabteisendada diferentsimise teel statsionaarseteks protsessideksAegrida võib olla mittestatsionaarne ka sel juhul, kui ta sisaldab determineeritud trendinagu protsess kujuly = a + bt + ., (4.3)tu tmida nimetatakse ka trend-statsionaarseks protsessiks. Trend-statsionaarseksnimetatakse protsessi, mida saab muuta statsionaarseks trendi eemaldamise teel.Nii stohhastilist kui determineeritud trendi omab protsess kujuly = a + bt + y−+ u .(4.4)tt1 tEdaspidi nimetame mittestatsionaarseks protsessiks vaid protsessi, mis ei olestatsionaarne tavalises mõttes ning ei ole ka trend-statsionaarne. Sellise mittestatsionaarsusemõiste korral on mittestatsionaarseteks protsessideks protsessid (4.1), (4.2) ja (4.4). Kuijuhusliku ekslemise ja vabaliikmega juhusliku ekslemise korral eeldatakse, et juhuslik viga uton ‘valge müra’ , siis praktikas võib juhtuda ka, et juhuslik viga uton seriaalseltkorreleeritud. (nt. u = ρ u + v ). Ka sel juhul on protsessid (4.1), (4.2) ja (4.4)mittestatsionaarsed.Diferents-statsionaarne aegridattty on intergreeritud järku d (tähistame y t≈ I( d )t), kuitema d-ndat järku diferents on statsionaarne. Statsionaarse (ja ka trend-statsionaarse) reay korral y t≈ I( 0).tSesoonsete andmete korral on mittestatsionaarset aegrida võimalik teisendadastatsionaarseks ka nn. sesoonse diferentsimise teel. Kui sesoonsuse periood on s(kvartaalsete andmete korral s=4, igakuiste andmete korral s=12), siis sesoonseksdiferentsiks me nimetame diferentsi kujul∆ y = y − y .sttt−s55

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausDiferents-statsionaarne aegrida yton sesoonselt intergeeritud järku (d,D) (tähistamey t≈ SI d,D ), kui lähterida esmalt D korda sesoonselt diferentsides ning seejärel d korda( )tavalist diferentsi leides saame statsionaarse aegrea:d D∆ ∆ s y t≈ I ( 0).Tavaliselt majandusandmete korral diferentsitakse sesoonselt mitte rohkem kui üks kord(D=1) ning seejärel leitakse tavalisi diferentse, kui sesoonse diferentsimise järel aegrida eiosutunud statsionaarseks.4.3. Ühikjuure testidVaatleme nüüd, kuidas testida, kas aegrida on mittestatsionaarne või statsionaarne (ehktäpsemalt, kas aegrida sisaldab ühikjuurt või mitte). Selleks, et testida kas y ongenereeritud protsessiy = y −1+ u poolt, kasutatakse Dickey-Fulleri poolt 1979. a. väljatttpakutud DF-testi, mis seisneb selles, et vaadeldakse test-regressiooni∆y = δ y + u(4.5)ning testitakse hüpoteesipaaritHH01: δ: δHüpoteesi δ = 0 kehtivuse korral ∆ yt= utehk yt= yt−1+ ut, mis tähendab, et aegridaon mittestatsionaarne. Kui aga < 0 y 1+δ y + u ning aegrida ont−1= 0< 0tδ , siist= ( )t−1tstatsionaarne (teatavasti on AR(1) protsess yt= Φ1 yt−1+ utstatsionaarne juhul, kuiΦ1

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausTabel 4.1. DF testide kriitilised väärtused test-võrrandite (4.5), (4.6) ningkvartaalse sesoonsuse korralTest-võrrandis testvõrrandis on Kvartaalnevabaliige puudub vabaliigesesoonsusn - valimi maht alum. ülem. Alum. ülem. alum. ülem.15 -1.98 1.83 -2.54 2.32 -2.98 2.8320 -1.98 1.84 -2.41 2.19 -2.98 2.8225 -1.99 1.84 -2.33 2.11 -2.97 2.8130 -1.99 1.85 -2.26 2.05 -2.97 2.8140 -2.00 1.85 -2.18 1.97 -2.96 2.8150 -2.00 1.86 -2.12 1.91 -2.96 2.8075 -2.01 1.86 -2.03 1.83 -2.96 2.80100 -2.01 1.86 -1.98 1.77 -2.95 2.79150 -2.01 1.87 -1.91 1.71 -2.95 2.79300 -2.02 1.87 -1.82 1.62 -2.94 2.78Selleks, et testida, kas yton genereeritud protsessi yt= µ + yt−1+ utvõi protsessiy µ + bt + y + u poolt, kasutame vastavalt DF- teste kujuljat=t−1t∆y = µ + δy+ u(4.6)tt−1t∆y = µ + bt + δy+ u .(4.7)tt−1 tTestimine toimub analoogiliselt eelmise juhuga, kuid kriitilised väärtused on teised (vt. Tabel4.1).Dickey-Fulleri testi puuduseks on see, et ta ei võta arvesse juhusliku vea utvõimalikkuautokorrelatsiooni. Seetõttu 1981.a. Dickey ja Fuller pakkusid välja laiendatud DF ehkADF-testi (Augmented Dickey-Fuller test). ADF testi korral vaadeldakse regressiooni(testvõrrandi (4.5) analoog)∆yning testitakse taas hüpoteesipaarit= δ ykt− 1 + ∑αi∆yt−i+ εti=1HH01: δ = 0.: δ < 0Kriitilised väärtused on samad mis DF testi korral. Kui võrrand sisaldab vabaliiget võivabaliiget ja trendi, siis tuleb kasutada vastavate tavaliste DF testide kriitilisi väärtusi ADFtesti juures tuleb eelnevalt kindlaks määrata viiteaegade arv k. Üldine reegel on, et57

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausvõrrandisse lülitatakse nii vähe viitaegu kui võimalik, kuid jääkliikmed εˆ tei tohi ollakorreleeritud (peaksid välja nägema nagu ‘valge müra’).Lisaks Dickey-Fulleri testidele kasutatakse ühikjuure olemasolu testimiseks ka Phillips-Perroni teste. Nende testide korral ei lülitata testvõrranditesse viitaegu (muus osas langevadADF testidega kokku), kuid kriitiliste väärtuste leidmisel võetakse etteantud viitaegade arvarvesse (erineva viitaegade arvu korral erinevad kriitilised väärtused).Toome veel mõned märkused ühikjuure testide kohta:- Hüpoteesist H1 ei tulene ADF testi (4.7) korral, et aegrida on statsionaarne tavalisesmõttes (s.t. esimest ja teist järku momendid, sealhulgas keskväärtus, on ajas konstantsed);küll aga saame järeldada, et aegrida ei sisalda ühikjuurt (ehk dispersioon on ajastõkestatud). Seega aegrida on kas statsionaarne tavalises mõttes või trend-statsionaarne.- Ühikjuure testid on väga madala võimsusega (võimsus = 1 – teist järku vea tekkimisetõenäosus). Seega hüpoteesist H0 ei tulene, et aegrida sisaldab ühikjuurt, pigem võikstõlgendada nii, et aegrida võib sisaldada ühikjuurt (on kas ühikjuurt sisaldav või sellelelähedane protsess). Seega kui meil hüpoteesi H0 ei õnnestu ümber lükata, siis väide, etmingi juhusliku šoki mõju aja jooksul ei kao, ei ole vast päris õige; pigem võiks sel juhulöelda, et šoki mõju kahaneb aeglaselt.- Ühikjuure testid on suhteliselt tundlikud aegrea pikkuse suhtes.Näiteks protsessiy = .25 + 0.95 y−+ u , y = 5, u ≈ (0,1) (4.8)t0t 1 t 0 tN(t=1,2,…300) korral saame enamasti testide tulemuseks H0 või osadel juhtudel ka H1 (kuiolulise nivoo =0.10).Protsessiy = .4 + 0.92 y−+ u , y = 5, u ≈ (0,1) (4.9)t0t 1 t 0 tN(t=1,2,…300) korral saame testide tulemuseks enamustel juhtudel H1 (kui olulise nivoo=0.05). Kui aga valimi mahtu vähendada ( n=45 ), siis viimase protsessi korral pea poolteljuhtudel hüpoteesi H0 ümber lükata ei õnnestunud.Protsessi (4.9) korral šoki mõju väheneb poole võrra 8-nda perioodi lõpuks ning 10 kordakui t=27; protsessi (4.8) korral vastavalt t=14 ja t=45.- Ühikjuure testidel on kalduvus näidata suuremat integreerituse järku kui tegelikult on(aegrida tegelikult I(1), testid annavad aga I(2)).- Kui aegrea käitumises on toimunud struktuurseid muutusi, siis ühikjuure testid ei pruugihüpoteesi H0 ümber lükata ka siis, kui aegrida on tegelikult statsionaarne.Märgime veel, et üheks lihtsaks aegrea statsionaarsuse ( y t≈ I ( 0)(ühikjuure teste kasutamata) on integreeritud Durbin-Watson statistiku) testimise võimaluseks58

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausIDW=∑∑( yt− yt−)2( y − y)t21 1,y =Tkasutamine. Kui IDW on väike ( 0 , Intercept test δ = 0 ja Trendand Intercept test δ < 0). See on tingitud sellest, et iga trend-statsionaarset mudelit saabkuitahes hästi lähendada ühikjuurt sisaldava mudeliga:tttxt= 0.3152 + 0.9964 xt−( t)(1.726) (201.97)xt= 2.9690 + 0.1998 t( t)(24.21) (281.47)1R2= 0.9927DW = 3.078R2= 0.9962DW = 1.91359

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausÜlaltoodust näeme, et õige testi valik on äärmiselt tähtis. Kui jätame ADF ja PP testistdetermineeritud liikmed välja juhul kui nad peaksid testvõrrandis sees olema, siis nendetestide võimsus läheneb nullile (valimi mahu kasvades), s.t. tõenäosus, et me ühikjuurepuudumisel lükkaksime nullhüpoteesi ümber, läheneb nullile;Kirjanduses (Enders, 1995) on sobiva testi valikuks välja pakutud järgmine strateegia.Lähtume kõige vähem kitsendatud testist:∆ytkt− 1 + ∑αi∆yt−i+i=1= µ + β t + δyu (A)A1. Kui δ < 0 , siis võtame vastu otsuse, et ühikjuur puudubA2. Kui δ = 0 , siis testitakse, kas β = 0 tingimusel , et δ = 0( selle testi kriitilised väärtused t=100 korral on vastavalt:Crit ( 0.05) = 2.79, Crit(0.01)= 3.53)A2.1. Kui β ≠ 0 , siis kontrollime hüpoteesi H : δ 0 Studenti jaotuse0=kriitiliste väärtuste korral:A2.1.1. kui δ = 0 (t-test) , siis on ühikjuurA2.1.2 kui δ < 0 (t-test) , siis ühikjuur puudubA.2.2. kui β = 0, seega trendimuutuja ei ole oluline, siis vaatleme vabaliikmegatest-regressiooni∆ytkt− 1 + ∑αi∆yt−i+i=1= µ + δyu . (B)ning toimime analoogiliselt juhuga A:B1. Kui δ < 0 , siis ühikjuur puudubB2. Kui δ = 0 , siis testitakse, kas µ = 0 tingimusel , et δ = 0( kriitilised väärtused t=100 korral on vastavalt:Crit ( 0.05) = 2.54, Crit (0.01) = 3.22B2.1. kui µ ≠ 0 , siisB2.1.1. kui δ = 0 (t-test) , siis on ühikjuurB2.1.2. kui δ < 0 (t-test) , siis ühikjuur puudubB2.2. kui µ = 0, seega vabaliige ei ole tesrt-võrrandis oluline, siis läheme ülevabaliikmeta test-regressioonile∆yKui testvõrrandis (C) δ = 0δ < 0 , siis ühikjuur puudub (I(0))tkt− 1+ ∑αi∆yt−i+i=1= δ yu(C)t, siis on aegreas ühikjuur (ei ole I(0)) ning kuiEespool vaadeldud strateegia korral me eeldame, et viitaegade arv testvõrrandites on õigening järgnevalt vaatlemegi, kuidas valida sobivat viitaegade arvu k. Kirjanduses on väljapakutud järgmised võimalused:a) valida a priori maksimaalne viitaegade arv kmax ning eemaldada võrrandist suuremateviitaegadega ebaolulised liikmed.tt60

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausNäiteks olgu kmax=4 ning testvõrrandi viitaegade t-statistikud olgu järgmised:∆y= µ + β t + δy+ α ∆y+ α ∆y+ α ∆y+ α ∆y+ u( t)tt−11(3.01)t−12( −2.78)t−23(0.35)t−34( −1.54)Kuna kolmas ja neljas viitaeg on ebaolulised siis eemaldame 2 viimast viitaega ning õigeviitaegade arv oleks k=2 (kui aga ebaolulised oleks teine ja kolmas viitaeg ning neljasviitaeg oleks oluline, siis oleks õige viitaegade arv k=4).b) valida maksimaalne viitaegade arv kmax ning seejärel valida vahemikust [ 0,k max]k ∈ kasAkaike’i või Schwarzi kriteeriumi põhjal sobiv viitaegade arv (mille korral vastav kriteeriumoleks minimaalne).c) lülitada mudelisse järjest viitaegu juurde seni, kuni jääkliikmed näevad välja genereeritunavalge müra poolt (kasutada jääkliikmete korrelogrammi ja Ljung-Boxi testi).4t4.5. Ühikjuure testidest sesoonsuse korral. Struktuursed muutused ja ühikjuuretestid.Vaatleme nüüd, kuidas testida ühikjuure olemasolu juhul, kui meil on tegemist sesoonseteandmetega. Kui aegreas on determineeritud sesoonsus 5 , siis eemaldame fiktiivseid muutujaidkasutades esmalt sesoonsuse ning silutud aegrea jaoks kasutame tavalisi ühikjuure teste.Stohhastilise sesoonsuse korral on üheks enamlevinud testiks Dickey, Hasza ja Fulleri DHFtest (1984), mille korral vaadeldakse test-regressiooni (järgnevalt esitatakse vaidvabaliikmeta (None) testvõrrandid, kuid nii nagu tavaliste ADF testide korral, on kasesoonsuse testimisel igal testil kolm erinevat testvõrrandit)y = δ z + εkuszt= yt−k∑i=1ˆλ i yt−ining kordajadi∆s∆s t t−sytλˆ leitakse kui regressiooni=k∑i=1λ ∆isytt− i1 + ν tparameetrite hinnangud. Testitakse jällegi hüpoteesi δ = 0.Kui τ -statistik on väiksemalumisest kriitilisest väärtusest (need erinevad DF testi kriitilistest väärtustest), siis lükkamehüpoteesi protsessi sesoonsest integreeritusest tagasi. Kui nullhüpoteesi tagasi lükata eiõnnestu (s.t. sesoonne mittestatsionaarsus võib eksisteerida), siis tavaliselt püütaksestatsionaarse reani jõuda tavalise diferentseerimisega ning järgnevalt kasutatakse teist järkudiferentside korral kas tavalist DF või ADF testi.5 Determineeritud sesoonset komponenti sisaldava mudeli näide:y β + u , kus D = 1, kui j-s kvartal ning D = 0t=0+ β1D1t+ β2D2t+ β3D3tkvartalite korralStohhastilist sesoonset komponenti sisaldava mudeli näide:tjty + ut=0+ β 1yt−4β .tjtülejäänud61

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus∆∆sytkt− 1 + ∑αi∆∆syt−i+ εti=1= δ ∆ y.DHF testi lihtsustused on Dickey-Fulleri sesoonse integratsiooni test (DFSI)s∆sytyt−s= δ + εning laiendatud Dickey-Fulleri sesoonse integratsiooni test (ADFSI):∆syt= δ ykt− s + ∑αi∆syt−i+i=1Nende testide kriitilised väärtused on samad, mis DHF testi korral.tεtKui aegrea käitumises on toimunud struktuurseid muutusi, siis ühikjuure testid ei pruuginullhüpoteesi H0 ümber lükata ka siis, kui aegrida on tegelikult statsionaarne.Struktuurse muutuse näide:y = 0.5y − 1 + u + D , t = 1,2,...,100 , u ≈ N (0,1),tttt⎧0,t ≤ 50kus D t= ⎨ .⎩3,t > 50Kuigi aegrida on tegelikult statsionaarne, näitavad ADF ja PP testid, et aegrida sisaldabühikjuurt. Selle üle, kas enamus makromajanduslikke aegridu on ühikjuurt sisaldavadaegread või mitte, on uurijad erinevatel seisukohtadel. Nelson, Plosser (1982) väidavad, etenamus makromajanduslikke aegridu (USA) on ühikjuurt sisaldavad aegread. SeevastuPerron (1989) väidab, et enamus makromajanduslikke aegridu sisaldavad struktuurseidmuutusi (a-tel 1929, 1973), kuid ei sisalda ühikjuurt.Kui me oleme saanud kogu aegrea kohta tulemuseks, et aegrida sisaldab ühikjuurt, kuidkahtlustame, et see võib olla tingitud struktuursest muutusest, siis võiksime jagada aegreastruktuurse muutuse kohalt kaheks ning kasutada ühikjuure teste kummagi osa kohta eraldi.Kui osaridade korral nullhüpotees jääb ümber lükkamata, siis aegrida sisaldab ühikjuurt; kuime aga osaridade korral lükkame nullhüpoteesi ümber, siis ilmselt on aegrida statsionaarne,kuid edasisel modelleerimisel tuleks struktuurne muutus arvesse võtta.Selleks, et otsustada kas aegrida sisaldab ühikjuurt või on toimunud lihtsalt struktuurnemuutus võib kasutada ka Perroni testi, mille korral vaadeldakse protsesse kujul :k1 Dp,t + µ 2 DL,t + β t + ρ yt−1+ α ii=1y t = µ + µ∑ ∆yt−i+ ut⎧1,t = T⎧1,t ≥ TD p , t= ⎨D L , t= ⎨⎩0,t ≠ T⎩0,t < TAegrida sisaldab ühikjuurt, kui ρ = 1,β = 0 µ 2= 0 .Perroni testi korral hinnatakse esmalt võrrandity a + a t + µ D + D + u , (A)kust=0 1 1 L,tµ2 T , t⎧t− T,t ≥ T= ⎨. Muutuja,D T , tkirjeldab trendi tõusunurga struktuurset muutust.⎩0t < TD T t,tt62

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausEdasi testitakse ühikjuure olemasolu mudeli (A) jääkliikmetes kas DF või ADF testiga.DF-test: u ˆ auˆ+ v .t=t−1Kui a = 1, siis jääkliikmed ning ka esialgne aegrida sisaldavad ühikjuurt. Selle testi kriitilisedväärtused sõltuvad struktuurse muutuse asukohta kirjeldavast suurusest λ = T / n , kus n onkogu aegrea pikkus. Näiteks λ=0.5 ja olulisuse nivoo 0.05 korral on kriitiline väärtus –4.24(juhul mudel A ei sisalda muutujat D ,, siis kriitiline väärtus on –3.76).T tt4.6. Aegridade kointegratsiooni mõisteMe ütleme, et aegread xtja yton kointegreeritud järku (d,b), kus d ≥ b ≥ 0, kuimõlemad read on integreeritud järku d ning leidub nende aegridade lineaarne kombinatsioonα + , mis on integreeritud järku d-b.1xt α2y tKui aegread on kointegreeritud järku (d,b), siis tähistame seda xt ytCI( d,b)Vektorit ( α ) nimetatakse kointegratsioonivektoriks., ≈ .1,α 2Analoogiliselt saame defineerida n aegrea kointegreeritust. Kui aegridadeintegreerituse järk on d ning leiduvad kordajadintegreeritud järku d-b, siis x( )juht kus d=b. See tähendab, et leidub aegridade xtjatmis on statsionaarne protsess (I(0)).Olgu x , y CI( 1)1 t, x2tnα1, α2,...,αnnii, et summa ∑ jx jtj=1t, x2t,...,xntCI d,bx ,..., xntα on1≈ . Praktikas on kõige huvipakkuvamy selline lineaarne kombinatsioon,t t≈ (s.t. x ja y on kointegreeritud I(1) protsessid) ning nendevahelinepikaajaline tasakaaluseos (long run relationship) esitatav kujul:yt= βx.Kui xt , yt≈ CI( 1)ning kointegratsioonivektor on [ β ,−1], siis x − y ≈ I( 0)ttβ ning mesaame esitada muutujate x ja y nii pikaajalise ja lühiajalise (short run, diferentside vahelineseos) seose ühe võrrandina kujul∆y = β + u . (4.13)t0∆xt+ γ ( yt− 1− βxt−1)ttMudelit kujul (4.13) nimetatakse veaparandusmudeliks (error correction model). Kunanii ∆yt, ∆xt, yt− 1− β xt−1≈ I( 0), siis antud mudelit hinnates puudub petteregressiooni oht (kõik muutujad on statsionaarsed). Veaparandusmudel võimaldab esitada muutujate x ja y niipikaajalise kui ka lühiajalise (short run, diferentside vaheline seos) seose ühe võrrandinakujul. Veaparandusefekti rakendumiseks on vajalik, et kordaja γ < 0 . Selgitame kalühidalt, miks seda mudelit nimetatakse veaparandusmudeliks. Eeldame, et y ja x vaheleksisteerib pikaajaline tasakaaluseos kujul y = β x . Kui nüüd perioodil t-1 on näitaja ytväärtus tasakaaluväärtusest suurem (seega y > t− 1β xt−1), siis γ < 0 korral liigeγ ( y − )t−1 βxt−1 tuleb mudelis negatiivne ning y muut perioodil t ∆ yttuleb väiksem, kuit63

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Rausjuhul, kus y väärtus perioodil t-1 oleks võrdne tasakaaluväärtusega. Seega kui pikaajalinetasakaaluseos mingil perioodil on häiritud, siis veaparandusmehhanismi tõttu toimubVaatleme seostintegreerituse astmest:y I 1 , x ≈ Iy = β x + u ning erinevaid võimalusi kointegratsiooniks sõltuvalt muutujatettta) kuit≈ ( )t( 0), siis u t≈ I( 1)ning muutujad xt, ytei ole kointegreeritudb) kui yt≈ I ( 0) , xt≈ I( 1), siis u t≈ I( 1)ning muutujad xt, ytei ole kointegreeritudc) kui y ≈ I( 1) , x ≈ I( 1), siis võib juhtuda, et u t≈ I ( 0), kui vektor [ ,−1]ttkointegratsioonivektor ning sel juhul muutujadx , y on kointegreeritud.ttβ onSeega, selleks et kaks muutujat oleks kointegreeritud, on tarvilik (kuid mitte piisav), etmuutujad oleks sama järku integreeritud.Kui muutujaid on võrrandis rohkem kui kaks, siis erinevaid võimalusi kointegratsiooniks onrohkem ning muutujad ei pea tingimata olema sama järku integreeritud. Näiteks mudelisy β x + x + ut=1 1tβ22tvõivad muutujad olla integreeritud juhul kuix x y 1 β , β2,1 on kointegratsioonivektora)1t ,2tt≈ I( ) ning [1− ]b) x x ≈ I( 2) , y ≈ ( 1)ning z = β x + β ≈ ( 1)ja y z ≈ I( 0)1t,2ttIt1 1t2tItt− .Kindlasti peavad muutujate kointegratsiooniks olema täidetud järgmised tingimused:a) sõltuva muutuja integreerituse järk ei tohi olla suurem kui sõltumatutel muutujatelb) kui sõltuva muutuja integreerituse järk on madalam kui sõltumatute muutujate kõrgeimintegreerituse järk, siis peab vähemalt kaks sõltumatut muutujat olema integreeritudkõrgeima järguga ning nad peavad olema omavahel kointegreeritud.Kui on tegemist sesoonsete andmetega, siis kointegratsiooni kontseptsioon läheb oluliseltkeerulisemaks.t4.7. Kointegratsiooni testimine. Engle-Grangeri metoodikaVaatleme Engle ja Grangeri poolt väljatöötatud metoodikat kointegratsiooni testimiseks.Olgu meil antud pikaajaline seos muutujatex ,1 t, x2t,...,xmtytvahel:yt= β ... +1x1t+ β2x2t+ + βmxmtνt(4.14)1. Testime mudelisse kuuluvate muutujate integratsioonijärke. Kui mudelis on vaid kaksmuutujat, siis nad peavad olema sama järku, kui rohkem muutujaid, siis jälgime, et olekstäidetud eespool toodud tarvilikud tingimused.64

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus2. Kui tarvilikud tingimused kointegratsiooniks on täidetud, siis hindame mudelit (4.14)vähimruutude meetodiga ning testime jääkliikmete integreerituse järku kas DF või ADFtestiga:∆ν ˆ = δνˆ+ ε (DF test)tt−1kt− 1 + ∑αi∆νˆt−1+i=1t∆ν ˆ = δνˆε (ADF test)tKui jääkliikmed on integreeritud järku I(0), siis on tegemist kointegratsiooniga ningβ ˆ , βˆ,..., ˆ , 1 on kointegratsioonivektor. Oluline erinevus kointegratsiooni testimise ja[1 2β m− ]ühikjuure olemasolu testimise vahel on see, et kointegratsiooni testimisel DF ja ADF testidekriitilised väärtused ei ole samad mis harilike ühikjuure testide korral ning sõltuvad mudelisõltumatute muutujate arvust.Kui osutub, et kointegratsioon leiab aset, siis saame esitada lühiajalise seose vastavatemuutujate vahel koos veaparandusmehhanismiga:∆y t= α ∆xt+ α ∆xt+ + αm∆xmt+ γ ( y−− βˆxt− βˆt− − βˆ1 1 2 2...1 1 1 1 1 2...mxmt) + utning hinnata vähimruutude meetodiga parameetreid α1 , α2,...,αm, γ1.Engle-Grangeri metoodika puhul on probleemiks see, et kointegratsiooni testimine ei olesümmeetriline muutujate suhtes (üks muutuja valitakse sõltuvaks, teised sõltumatuteks).Lõplike valimite korral võib sõltuva muutuja erinev valik anda erinevaid tulemusi.Kointegratsiooni olemasolu esmaseks testimiseks võib kasutada ka kointegratsiooni Durbin-Watsoni testi (cointegration Durbin-Watson test), mille korral leitakse statistik2∑ ( νˆ− ˆtνt−1)CIDW =,2νˆ−ν∑ (t)kus ν on jääkliikme aritmeetiline keskmine. Statistiku CIDW jaotus ei ole täpselt teada,kuid võib kasutada Baerjee poolt pakutud reeglit: kui determinatsioonikordaja CIDW ≤ R 2 ,siis kointegratsioon tõenäoliselt puudub, vastasel juhul võivad muutujad kointegreeritud ollaning tuleks selle kindlakstegemiseks täpsemaid teste kasutada.Pikaajalist seost võib hinnata ka teistmoodi kui mudeli (4.14) hindamisega vähimruutudemeetodil. Üheks võimaluseks on kasutada autoregressiivset jaotatud viitajaga mudelit (ADL-Autoregressive distributed lag). Kahe muutuja vahelise pikaajalise seose korral ADLmudel formuleeritakse kujul:ytnt = ∑ αiyt−1 + ∑ β i xt−1+ ε t. (4.15)i=1Mudelit (4.15) hinnatakse vähimruutude meetodiga ning pikaajaline seosekordaja∗ ∗β y = β x leitakse mudeli (4.15) hinnatud parameetrite kaudu:( )Edasi testitakse, kas vektor [ ,−1]∗n∑βˆi∗ i=1β = n.αˆ∑i=1β on kointegratsioonivektor, s.t. kasi65

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas Raus( 0)∗β x − y ≈ I .tt4.8. Johanseni kointegratsioonitestid.Johanseni kointegratsioonitest põhineb vektor-autoregressiivsel ehk VAR mudelil.Vaatleme VAR mudelit m muutuja y1, y2,...,ymkorral (lihtsuse mõttes eeldame, etvabaliikmed puuduvad):kkk− 1miym,t−1+i= 1 i= 1 i=1∑ 11iy1,t 1 + ∑α12iy2,t−1+ + ∑y1 t = α ... α u1t,kkk− 2miym,t−1+i= 1 i= 1 i=1∑ 21iy1,t 1 + ∑α22iy2,t−1+ + ∑y2 t = α ... α u2t,………………………………………………………………yehk maatrikskujulmt=kkk1 − ... αmmiym,t−1+i= 1 i= 1 i=1∑αm i y1,t 1 + ∑αm2iy2,t−1+ + ∑Yt=k∑i=1Viimase mudeli saab esitada ka kujulkusk∑ − 1i=1A Yit− i +ut− 1 + ΠYt−k+t∆Y = Γ ∆Yu , (4.17)tiΓ = −I+ A + AiΠi= −I+ A + A112tt+ ... + A ,2+ ... Akiumt(4.16)Näiteks, kui m=2 (muutujad vastavalt x ja y) ning k=1, siis VAR mudel näeb välja nii(vastab kujule (4.16)):x = α x + α y + uytt= α11 t−112 t−11t,x21 t−1+ αning ta saab esitada ka kujul (vastab esitusele (4.17))∆x= ( α −1)x + α y + ut∆yt= α11x21 t−1t−1+ ( α2212−1)y22t−1t−1yt−11t+ u+ u,2t2t(4.18)Seega maatriks Π on kujul⎛α11−1α12⎞Π =⎜⎟ .⎝ α21α22−1⎠Märgime, et VAR mudeli (4.18) saab kointegratsiooni korral esitada ka veaparandusmudelikujul (võrdle allpool Johanseni testi 1. variandiga )∆x= γ ( y −bx) + u ,kus γ1= α12ja γ2= α22−1.t∆yt= γ12( yt−1t−1−bxt−1t−11t) + u2t66

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausEeldame nüüd, et kõik muutujad on kas statsionaarsed või 1. järku integreeritud. SiisGrangeri teoreem muutujate kointegratsiooni kohta ütleb järgmist:- Kui maatriksi Π astak on m, siis kõik muutujad on integreeritud järku 0, s.t. onstatsionaarsed.- Kui maatriksi Π astak on r

Aegridade mudelid. LoengukonspektToomas RausVEC:∆yt∆xt= γ= γ12( y( yt −1t−1− a − bx− a − bxt−1t−1) + u) + u1, t,2, t3. CE: y = a + bxVEC:t∆yt∆xt= d= d12+ γ1+ γt( y2( yt −1t −14. CE: y = a + bx + ctVEC:ttt∆y= d + γ ( y1∆x= d + γ212tt−1( yt−1− bx− a − bx− a − bxt −1− bx5. CE: y = a + bx ctVEC:∆yt t+t∆x= dt= d12+ g t + γ2+ g t + γ21( y2t−1( yt −1t −1t −1) + u1, t) + u− a − ct)+ ut −11, t− a − ct)+ u− bx− bxt−1t−1,2, t,2, t− a − ct)+ u1, t− a − ct)+ uEt otsustada, millist Johanseni testi versiooni kasutada, võib toimida järgmiselt:a) teha kindlaks, kas aegread sisaldavad determineeritud trendi võimitte (see selgub juba integreerumisjärgu testimisel ADF testidega)b) valida sobiv kointegratsiooniseos regressiooniyt= a + bxt+ ctalusel (testida kas c=0 või a=0 ja c=0).Aegridade iseloomu ja sobiva kointegratsiooniseose määramisega ongi sobiv variant valitud(vt. tabel 4.2).Sobiva viitaegade arvu määramiseks VAR mudelis võib kasutada mitmeid võimalusi.Enamlevinud on viitaegade arvu valik Akaike'i või Schwarzi kriteeriumi põhjal. Samuti võibjälgida viitaegade olulisust nii jääkliikmete korrelogramme (kas on 'valge müra')Nii Johanseni kui Engle-Grangeri testid on tundlikud valimi mahu suhtes ning mõnikordannavad Johanseni test ning Engle-Grangeri testid erinevad tulemusi.,2, t68