2. višedijelni tlačni elementi

2. VIŠEDIJELNI TLAČNI ELEMENTI2.1. Definicija višedijelnog tlačnog elementa2.2. Temeljni principi2.3. Podjela višedijelnih elemenata2.4. Pojam zamjenskog elementa2.5. Pojam ˝posmično krutog˝ i ˝posmično mekanog˝ elementa kod problemaizvijanja2.6. Eulerova kritična sila izvijanja sa i bez utjecaja posmičnih deformacija2.6.1 Element izložen savijanju sa i bez utjecaja posmičnih deformacija2.6.2 Element izložen savijanju I tlačnoj sili uz utjecaj posmičnih deformacija2.7. Posmična krutost S v2.8. Dimenzioniranje višedijelnih tlačnih elemenata2.9. Višedijelni tlačni elementi s dijagonalnim elementima ispune2.10. Višedijelni elementi s paralelnim elementima ispune2.11. Višedijelni elementi međusobno približeni tako da su direktno međusobnospojeni2.12. Elementi od dva kutnika spojeni naizmjeničnim vezicama2.13. Preporuke za konstruktivnu izvedbu47

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2.1. DEFINICIJA VIŠEDIJELNOG TLAČNOG ELEMENTAVišedijelni ili složeni pritisnuti elementi su oni koji se sastoje od dva ili višejednodijelnih elemenata međusobno spojenih pomoću elemenata ispune, kako jeprikazano na sl. 2.1.Sl. 2.1. Višedijelni tlačni elementiU odnosu na elemente jednodijelnog presjeka, višedijelne elemente karakterizirajumaterijalna i nematerijalna os. Elementi ispune postavljaju se okomito nanematerijalnu os. Kod problema izvijanja elemenata između jednodijelnih ivišedijelnih postoji suštinska razlika.I. Izvijanje jednodijelnog elementa (Sl. 2.2.)Sl. 2.2. Jednodijelni elementB. Peroš 48

2. Višedijelni tlačni elementi MK IZa izvijanje okomito na promatranu os postoji uvijek aktivna površina presjeka kojamože preuzeti posmične napone (utjecaj poprečnih sila je zanemariv).II. Izvijanje višedijelnog elementa (Sl. 2.3.)Sl. 2.3. Višedijelni elementZa izvijanje okomito na materijalnu os y-y nema problema i isto je kao izvijanjejednodijelnih elemenata. Međutim za izvijanje okomito na nematerijalnu os z-z to sene može reći jer u tom smjeru ne postoji presjek koji u potpunosti može preuzetiposmične napone i zato se moraju uzeti u obzir deformacije uslijed posmičnihnapona.B. Peroš 49

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2.2. TEMELJNI PRINCIPIZa osiguranje nosivosti višedijelnog elementa potrebno je ostvariti vezu između dvaili više jednodijelna elementa pomoću elemenata ispune. Na temelju sl. 2.4. mogu seuočiti sljedeće činjeniceSl.2.4.a) Ostvarivanje spoja između jednodijelnog elementa i elementa ispune sjednim vijkom je nedjelotvorno jer se elementi ispune kod izvijanja nisuaktivirali (Sl. 2.4.b)b) Aktiviranjem elemenata ispune pri izvijanju u njima se javljaju deformacijeusljed savijanja i posmika (Sl. 2.4.c)c) Da se vide naprezanja u elementima ispune u uzdužnom se smjeruelementi prerežu. Najveći pomaci između dijelova elementa ispune su nakrajevima elementa (Sl. 2.4.d)d) Ukoliko se pretpostavi da za izvijeni oblik elementa vrijedi:Wπxl( x) e ⋅ sin−=0e0moment savijanja dat je izrazom:inicijalna deformacija u sredini elementaπ= −EI⋅w′′− EIlM22πx⋅ sinlkako se vidi na sl. 2.4.eB. Peroš 50

2. Višedijelni tlačni elementi MK Ie) Dijagram poprečnih sila ima oblik cosinusoide (Sl. 2.4.f)π π= ⋅M= EIl lV33πx⋅cosl2.3. PODJELA VIŠEDIJELNIH ELEMENATASl. 2.5. Višedijelni elementi s dijagonalnim elementima ispuneSl. 2.6. Višedijelni elementi s paralelnim elementima ispuneB. Peroš 51

2. Višedijelni tlačni elementi MK ISl. 2.7. Višedijelni elementi međusobno približeni tako da su direktno međusobno spojeni.Sl. 2.8 Elementi od dva kutnika spojeni naizmjeničnim vezicamaB. Peroš 52

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2.4. POJAM ZAMJENSKOG ELEMENTAProračun nosivosti višedijelnog elementa svodi se na proračun nosivostipunostijenog elementa uzimajući u obzir kod izvijanja deformacije uslijed posmičnihnapona. Dakle, dimenzioniranje višedijelnog elementa provodi se na ˝posmičnomekanom˝ punostijenom elementu koji se naziva računski zamjenski element.Određivanje reznih sila na računskom elementu provodi se prema teoriji II. Reda tj.ravnoteža elementa promatra se na deformiranom statičkom sustavu (Sl. 2.9.)Sl. 2.9. Računski zamjenski elementOblik izvijene linije računskog zamjenskog elementa može se napisati u sljedećemobliku:l πxlW( x) = ⋅ sin za x = W( x)= e0 =500 l2l500lDakle početna imperfekcija u sredini elementa iznosi e0=500l1000(geometrijska imperfekcija)l1000(strukturalna imperfekcija)B. Peroš 53

2. Višedijelni tlačni elementi MK IRezne sile prema teoriji I. redaM′zπxl( x) = N⋅e0⋅ sin x = M′z( x) max= N⋅e0π πxV′z( x) = N⋅e0⋅ ⋅ cos x = 0 V′z( x)max= ± N⋅e0l ll2V′z( x)maxM= ±Budući da se ravnoteža zamjenskog elementa promatra na deformiranom sustavu,prema teoriji II. reda mogu se rezne sile napisati na sljedeći način:M ′′z( x)11max= N ⋅ e0⋅α =NN1−1−NNcrα - faktor povećanja momenta radi teorije II. redacrNcr- Eulerova idealna kritična sila izvijanja uzimajući u obzir karakteristike˝posmično mekanog˝ elementa (kasnije oznakaKonačno vrijediM ′( x) = M′( x) ⋅ α = N⋅e ⋅ α′z max z max0Ncr, v)z( x)lπ⋅l⋅ πV′z( x)maxM′′z= +( x)lmax⋅ πB. Peroš 54

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2.5. POJAM ˝POSMIČNO KRUTOG˝ I ˝POSMIČNO MEKANOG˝ELEMENTA KOD PROBLEMA IZVIJANJAHrbat poprečnog presjeka nekog elementa može biti kompletan (punostijeni profil) iliraščlanjen (višedijelni profil). Obzirom na tu činjenicu mogu se odrediti odgovarajućeidealne Eulerove kritične sile izvijanja.A) Posmično krut pri izvijanjuSl. 2.10. Eulerova kritična sila (jednodijelni element)Ncr,M- Eulerova kritična sila bez utjecaja posmičnih deformacija pri izvijanju elementaB. Peroš 55

2. Višedijelni tlačni elementi MK IB) Posmično mekan pri izvijanjuSl. 2.11. Eulerova kritična sila (višedijelni element)Ncr,V- Eulerova kritična sila s utjecajem posmičnih deformacija pri izvijanju elementaNcr,Vovisi od sljedećih veličina:E- modula elastičnostiG- modula posmikaI- dužine elementaI z - momenta tromosti oko osi z-zA V - aktivne površine pri djelovanju posmika (poprečne sile)Oba granična stanja za Eulerovu kritičnu silu A) i B) mogu se prikazati interakcijskimdijagramom na sl. 2.12.Sl.2.12. Interakcija N cr,M i N cr,VB. Peroš 56

2. Višedijelni tlačni elementi MK INcrNcrKako se vidi na sl. 2.12. vrijedi + = 1N Ncr,Mcr,Vtj.Ncr1 1= = ⋅Ncr,M(2.1)1 1 Ncr,M+ 1+N N Ncr,Mcr,Vcr,VPostavlja se pitanje određivanja N cr,V =?. Kod toga se polazi od razmatranja koje setemelji na prikazu na sl. 2.13.Sl.2.13. Posmična krutostUkoliko na element dužine 1 djeluje poprečna sila vrijedi:τ Vγ = =G G ⋅A Vtj.V = G⋅AV⋅ γV - poprečna silaG - modul posmikaA - aktivna površina pri djelovanju poprečne sileγ - kut zaokreta elementaSvaka poprečna sila koja izaziva kut zaokreta elementa γ = 1 naziva se posmičnakrutost S V .V G⋅A ⋅ γ za γ = 1 vrijedi V=S=VPrema tome može se napisatiS= G⋅VA VVB. Peroš 57

2. Višedijelni tlačni elementi MK IBudući da su spojevi elemenata ˝kruti na izduženje˝ tj. EA = ∞ , izvijanje ovisi samood transverzalnog pomaka i vitkosti opruge C jediničnog elementa.za∆ = 1 ⇒ C=SVte slijediC = G⋅A VIz uvjeta ravnoteže prema sl. 2.13. slijedi:Ncr ,V= ∆ − C ⋅ ∆ ⋅1=0 ⇒ Ncr,V= Ctj. vrijediNcr,V= G ⋅ AVDalje slijedi:Ncr1=N1+Ncr,Mcr,V⋅Ncr,M⎫⎪⎬⎪⎪⎭Ncr,M=2π EJz2lNcr,V= G ⋅ AV2π EJzNcr=(2.2)22⎛π EJz ⎞l ⎜⎟1+2⎝ l ⋅G⋅AV ⎠Sada se može vrijednost N cr uvrstiti u vrijednost za vitkost ˝posmično mekanog˝elementaI i= β ⋅I2π EJzβ = 1+(2.3)2l ⋅G⋅AVlβ ⋅IE ⋅ AE ⋅ Ai2 22 2λid= = = λZ+ π = λZ+ π(2.4)IZIZG⋅AVSVB. Peroš 58

2. Višedijelni tlačni elementi MK INačin uvođenja N cr posmično mekanog elementa u vrijednost vitkosti ( λidealno)usvojen u starim propisima ( DIN 4114).2.6. EULEROVA KRITIČNA SILA IZVIJANJA SA I BEZ UTJECAJAPOSMIČNIH DEFORMACIJA2.6.1. Element izložen savijanju i tlačnoj sili bez utjecaja posmičnih deformacijaSl. 2.14. Promatrani elementM = M0 + N⋅w (ravnoteža)M = −EJ⋅w ′′ (uvjet za materijal)N Mw′ + ⋅ w + 0= 0EJ EJ(2.5)2 NAko se uvede α = i M(x) moment prema teoriji I. reda dobiva se :EJ2 M ( x)w′′+ α ⋅ w + = 0EJ(2.6)Rješenje diferencijalne jednadžbe (2.6.) glasi:w = C1 1 1 1⋅ sin αx+ C2⋅ cosαx− M2 x 4 xN α α α6IIIVVI( x) − ⋅ M + ⋅ M − ⋅ M ...1 x+Konstante integracije C 1 i C 2 odrede se iz rubnih uvjeta.B. Peroš 59

2. Višedijelni tlačni elementi MK IU slučaju samo uzdužne tlačne sile prema sl. 2.15.Sl. 2.15.Izraz (2.6.) ukoliko nema poprečnog opterećenja glasi:22 Nw ′ + α w = 0 α =(2.7)EJRješenje diferencijalne jednadžbe (7) glasi:Iz rubnih uvjeta dobiva se za:( x = 0) =→ C 0w2 =( x = l) =→ C sin l 0w α1=w1 2α= C ⋅ sinαx+ C ⋅cosx(2.8)Dakle uvjet izvijanja je C 1⋅ sinαl= 0 tako da postoje dva rješenja:- trivijalno rješenje C 1= 0- netrivijalno rješenjen ⋅πsin αl= 0 → α =l2α2 2n ⋅π= (2.9)2lUkoliko se izjednače izrazi za α (2.7.) i (2.9.) slijedi:2 2n ⋅ π ⋅EJN = , a uz najmanju vlastitu vrijednost n=1 dobiva se Eulerova kritična sila2lza promatrani slučaj:Ncr , M2π EJ= (2.10)2lB. Peroš 60

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2.6.2. Element izložen savijanju i tlačnoj sili uz utjecaj posmičnih deformacijaSl. 2.16. Promatrani elementUkupna ordinata elastične linijeM M′′w′ = w′′M+ w′′V= − +(2.11)EJ G ⋅ AVUkoliko se uvrstiM = M0 + N⋅w i p0= −M′0izraz (2.11) glasi:NM0p0w′ +⋅ w ++= 0 (2.12)⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞ ⎛ N ⎞EJ⎜1−EJ 1G AV1G A⎟⎜ −⋅VG A⎟⎜ −VG A⎟⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅ ⎠ ⎝ ⋅V ⎠Ako se uvedu oznake:1γ =N1−G⋅AVN< G⋅AVdobiva se:2 γM0γp0w′ + γα w + + = 0(2.13)EJ G⋅AVZaN → GAVslijedi γ → ∞ što znači da element izložen savijanju postaje nestabilanuslijed čistog posmika. Ukoliko se promatra element izložen tlačnoj sili N bezpoprečnog opterećenja izraz (2.13.) može se napisati u obliku:w′′+ γα2w = 0 (2.14)B. Peroš 61

2. Višedijelni tlačni elementi MK IRješenjem izraza (2.14.) slično kao u točki 2.6.1. dobiva se:2π EJNcr,V=(2.15)22⎛ π EJ ⎞l ⎜ ⎟1+2⎝ l GAV ⎠2.7. POSMIČNA KRUTOST S VSvaka poprečna sila V koja izaziva kut zaokreta elementa γ = 1 naziva se posmičnakrutost S V . Kako je objašnjeno u točki 2.5. izraz za S V glasi:S= G⋅S V -posmična krutostVA VIzraz S V ovisi od elemenata ispune.G -modul posmikaA V -aktivna površina kod djelovanja posmikaPrimjer određivanja S V za višedijelni element s paralelnim elementima ispune (Sl.2.17.)Sl. 2.17. Višedijelni element s paralelnim elementima ispuneUvažavajući oznake na sl. 2.17. može se napisati∆γ= tako da je određivanje kutaaγpotrebno izračunati horizontalni pomakl∫ ∫i k i k0 0l∆ = m ⋅m ⋅ ds+ V ⋅V ⋅ ds=∆ 1+∆ 2+∆3∆ 1 -udio savijanja pojaseva∆ 2 -udio savijanja elemenata ispune∆ 3 -udio poprečne sileB. Peroš 62

2. Višedijelni tlačni elementi MK I∆⎛2⎜a ab a∆ = a ⋅V⋅ + +⎝ 24EJp12EJib ⋅ G ⋅ A∆γ =a⎛2⎞= ⋅ ⎜a ab aγ V + + ⎟⎝ 24EJp12EJib ⋅ G ⋅ AiV⎠iV⎞⎟⎠Može se napisati zaγ= 1 V =Sv⎛2a ab a1= Sv⋅ + +⎜⎝24 ⋅E ⋅J 12⋅E ⋅J b ⋅G⋅Ap i i,v⎞⎟⎠Sv= G⋅Av21 1 a ab a= = + +Sv G⋅Av 24⋅E⋅Jp 12⋅E⋅Jib⋅G⋅Ai,vB. Peroš 63

2. Višedijelni tlačni elementi MK IPrema izrazu (2.4) može se za idealnu vitkost λidnapisati:λid=2 2λ + πEAG ⋅ AV=⎛22 2+ ⎜aλ π EA⎝ 24EJpab+12EJia+b ⋅ G ⋅ Ai,V⎞⎟⎠λid=22 πλ + ⋅24AJp⋅ a2⎛2 a ⋅ b ⋅ A E a+ π ⎜+⎝ 12JiG bAAi V,⎞⎟⎠Isti se postupak može primijeniti za određivanje S v za višedijelni element srešetkastim elementima ispune.Sl. 2.18. Višedijelni element s rešetkastim elementima ispuneU tom slučaju ukupni horizontalni pomak ∆ iznosi:ds 1 a 1∆= ∑S⋅S⋅ = V⋅ ⋅ ⋅2EA sin α cosαEAdγ=∆a∆ 1 a 1= V ⋅2 ⋅ ⋅ γ = 1 V = Sa sin α cosαEAdv⎛ 1 a 1 ⎞Sv ⎜ ⋅ ⋅ ⎟ = 12⎝sin α cosαEAd⎠B. Peroš 64

2. Višedijelni tlačni elementi MK I31 1 1 d= = =S G⋅A E⋅A ⋅sin α⋅cosα E⋅A ⋅a⋅b2 2v v d dE⋅A A d32 2 2 2λid= λ +π ⋅ = λ +π ⋅ ⋅ A = ⋅2G⋅AvAda⋅b2 Ap2.8. DIMENZIONIRANJE VIŠEDIJELNIH TLAČNIH ELEMENATADimenzioniranje višedijelnih tlačnih elemenata provodi se prema istom pristupukakav je predviđen za centrično opterećene elemente u punostijenoj (jednodijelnoj)izvedbi. Osnovna filozofija temelji se na rješavanju problema nosivosti “industrijskih”tj. nesavršenih elemenata. Kod toga se u obzir uzimaju geometrijske i strukturalneimperfekcije izražene ekvivalentnom geometrijskom imperfekcijom (Sl. 2.19).e0-ekvivalentna geometrijskaimperfekcijal− gemetrijska imperfekcija1000l− strukturalnaimperfekcija1000Sl. 2.19. Ekvivalentna geometrijska imperfekcija na zamjenskom elementuDimenzioniranje se provodi na zamjenskom jednodijelnom posmično mekanomelementu. Podloge za dimenzioniranje višedijelnih elemenata uzete su na temeljueksperimentalnih ispitivanja. Obično se razlikuju dva postupka dimenzioniranjavišedijelnih elemenata.I. POSTUPAKUtjecaj posmičnih deformacija uzima se pri određivanju Eulerove kritične sile N cr,vpomoću vrijednosti posmične krutosti S v . Odredi se za nematerijalnu os z-z tzv.idealna vitkost λ idealnokako je prikazano u točki 2.7.B. Peroš 65

2. Višedijelni tlačni elementi MK III. POSTUPAKTemelji se na činjenici koja proizlazi iz pokusa: Granična nosivost višedijelnogelementa dostignuta je onda kada je dosegnuta nosivost najopterećenijegsamostalnog elementa (jednodijelnog elementa ili elementa ispune).U suvremenoj regulativi usvojen je ovaj drugi postupak, i svi daljnji izrazi u skladu sus dokumentom suvremenih propisa za čelične konstrukcije EUROCODE 3.2.9. VIŠEDIJELNI ELEMENTI S DIJAGONALNIM ELEMENTIMAISPUNESl. 2.20. Skice za dimenzioniranjeMoment u sredini elementa prema teoriji II. redaMz,sNSd ⋅eo NSd ⋅eo= =N N1 − 1N− N− N SSd Sd Sdcr,v cr vMoment tromosti poprečnog presjekaJ2= 0,5⋅h⋅ Az,eff 0 fAf- površina jednog profilah0- razmak između težišta profilaB. Peroš 66

2. Višedijelni tlačni elementi MK IInicijalna imperfekcija (geometrijska + strukturalna) u sredini elementae0l=500Eulerova kritična sila za jedan profilNπ EJ2z,effcr=2lPosmična krutost S v za različite sustave dana je na sl. 2.21.SnEA ⋅ ⋅ ⋅ah⋅=2⋅ddv 320SnEA ⋅ ⋅ ⋅ah⋅=ddv 320S2nEA ⋅ ⋅d⋅ah⋅0=3⎛ A ⋅ ⎞dh0d ⋅ ⎜1+3 ⎟⎝ Av⋅ d ⎠v 3Sl. 2.21. Posmična krutost S v za različite statičke sustaven - broj poljaA d - površina poprečnog presjeka elementa ispune (dijagonale)Ukupna sila u sredini ⎛ l ⎞⎜x= ⎟⎝ 2 ⎠u jednom profilu:Nf.sdM= 0,5⋅ Nsd+hz.s0Poprečna sila na krajevima (x=0, x=l)Vs=π⋅Mlz.sB. Peroš 67

2. Višedijelni tlačni elementi MK ISila u dijagonalnom elementuNdVs⋅ d=nh ⋅0Duljine izvijanja se odrede prema sl. 2.22.,l f = 1.52a l f = 1.28a l f = aSl. 2.22. Duljine izvijanja2.10. VIŠEDIJELNI ELEMENTI S PARALELNIM ELEMENTIMAISPUNESl. 2.23. Skice za dimenzioniranjeB. Peroš 68

2. Višedijelni tlačni elementi MK IStatički sustav:Sl. 2.24. Statički sustav i rezne sileUvjet ravnoteže:Vs h0⋅a−T⋅ = 02 2Vs⋅aT =h0Moment u sredini elementa prema teoriji II. reda:Mz,sN⋅ esd 0= ⎛ NsdNsd⎞⎜1−−⎝ Ncr Sv⎟⎠Moment tromosti poprečnog presjekaJ = 0,5⋅h ⋅ A + 2⋅µ⋅J2eff 0 f fpri čemu je:B. Peroš 69

2. Višedijelni tlačni elementi MK Igdje je:A f - površina poprečnog presjeka jednog elementaJ f - moment tromosti poprečnog presjeka jednog elementah 0 - razmak između težišta elemenatai0⎡ J ⎤1= ⎢0,5⋅⎥⎣ Af ⎦12J 1 je vrijednost J eff sa µ= 1J = 0,5⋅h ⋅ A + 2⋅J2eff 0 f fZa najopterećeniji jednodijelni element prema sl. 2.25. vrijedi:⎛1Nf,sd = 0,5⋅ ⎜Nsd + Ms ⋅h0 ⋅Af⋅⎝Jeff⎞⎟⎠J bMsMz ,s= (moment oko osi z-z u sredinielementa)J fe0l=500N2π ⋅E⋅J=lcr 2effN f, SdN f, SdSl. 2.25. Određivanje N f,sdOdređivanje posmične krutosti S vUkoliko se kod proračuna S v ne uzima u obzir fleksijsko djelovanje horizontalnihelemenata ispune ovi elementi moraju zadovoljiti uvjet:n⋅Jh0bJf≥10⋅aB. Peroš 70

2. Višedijelni tlačni elementi MK IJ b - moment tromosti poprečnog presjeka elementa ispuneJ f - moment tromosti poprečnog presjeka jednodijelnog elementah 0 - razmak između težišta jednodijelnih elemenataa - vertikalni razmak između elemenata ispunen - broj ravnina u kojima su smješteni elementi ispuneUkoliko je uvjet zadovoljen S v se dobije prema:S22⋅π ⋅E⋅Jfv=2aUkoliko gornji uvjet nije zadovoljen mora se uzeti u obzir fleksijsko djelovanjeelemenata ispune i S v se dobije prema:Sv24 ⋅E ⋅Jf=2⎛ 2⋅Jfh ⎞0a ⋅ ⎜1+ ⋅ ⎟⎝ n ⋅ Jb a ⎠uz ograničenjeS22⋅ π ⋅Ev≤2a⋅JfDužina izvijanja jednodijelnog elementa iznosi l f =a. Dimenzioniranje elemenataispune potrebno je provesti obzirom na momente savijanja i poprečnu silu. Vrijednostpoprečne sile iznosi:Vsπ⋅Mls= M s - moment savijanja u sredini elementa2.11. VIŠEDIJELNI ELEMENTI MEĐUSOBNO PRIBLIŽENI TAKO DASU DIREKTNO SPOJENITakovi višedijelni elementi moraju biti međusobno spojeni na razmacima koji nisuveći od 15 i min (Sl. 2.26.)Sl. 2.26. Razmak spojeva približenih elemenataB. Peroš 71

2. Višedijelni tlačni elementi MK ISpojna sredstva (vijci ili matice) moraju biti dimenzionirana tako da mogu preuzetipoprečnu silu V s . Ova se sila može uzeti na dva načina:a) Vs = 2,5%Nsdπ⋅Msb) Vs=LPodužni posmik za svaki spoj može se uzeti sa vrijednošću:a⋅ ⋅ a - razmak spojnih sredstava u uzdužnom smjeru0,25 Vsimin2.12. ELEMENTI OD DVA KUTNIKA SPOJENI NAIZMJENIČNIMVEZICAMASl. 2.27. Elementi sastavljeni od dva kutnikaDimenzioniranje ovako složenih višedijelnih elemenata može se provesti oko osi y-ykao za jedan kutnik pod uvjetom da su dužine izvijanja u dvije okomite ravnine y-y iz-z jednake. Pri tome razmak spojnih sredstava nije veći od 70i min gdje je i minminimalni radijus tromosti jednog kutnika. U slučaju kutnika nejednolikih krakovamože se usvojiti da je:iyi1,15= 0i 0 - minimalni radijus tromosti složenog elementaa≤70⋅ i min(liy= liz) -dimenzioniranje kao jedan kutnika > 70⋅ i min-dimenzioniranje kao višedijelni elementB. Peroš 72

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2.13. PREPORUKE ZA KONSTRUKTIVNU IZVEDBUPreporuča seNe preporuča seB. Peroš 73

2. Višedijelni tlačni elementi MK IPRIMJER 1.1. Statički sustavPojasevi 2 240Dijagonalna ispunaAf= 42,3cmI = 248cm ( = I )4f 1−1W = 39,6cm ( = W3f 1−1i = 2,42cm ( = i )f 1−1a = 88cm2)Ad= 3,08 cmd=52cm2Ostali zadani podaciNSd= 1295kN Fe 360h0= 24,54cm l= 5m n = 22. Nosivost višedijelnog tlačnog elementa oko materijalne osi y-yl = l=500cmili500λ= = = 54i 9,22λ 54linija cλ= = = 0,58 ⎯⎯⎯→χ = 0,7854λ 93,91(2 )B. Peroš 74

2. Višedijelni tlačni elementi MK Iχ⋅A ⋅f 0,7854 ⋅ 42,3 ⋅23,5f yNb.Rd= 2⋅ = 2⋅ = 1420kγM11,1NSd< N1295kNb.Rd< 1420kN (zadovoljava)N3. Nosivost višedijelnog tlačnog elementa oko nematerijalne osi z-zI = 0,5 ⋅h ⋅ A = 0,5 ⋅24,54 ⋅ 42,3 = 12737cm2 2Z.eff 0 f- moment u sredini elementa po teoriji II. redaMeNSN⋅ eSd 0′′zs= ⎛ NSdNSd⎞0⎜1−−⎝ NCR SV⎟⎠l 500= = = 1cm500 500π ⋅EI ⋅ 3,14 ⋅21000 ⋅12737= = = 10560kNl 500nEA ⋅ ⋅ ⋅ah ⋅ 2 ⋅21000 ⋅3,08 ⋅88 ⋅24,54= = = 24378kN2d 2 ⋅ 522 2Z.effCR 2 22 2d 0V 3 31295 ⋅1M′′ zs= = 1571kNcm⎛ 1295 1295 ⎞⎜1−− 10560 24378⎟⎝⎠- sila u najopterećenijem dijelu pojasa (l/2)M 1571zsNf= 0,5⋅ NSd+ = 0,5⋅ 1295 + = 712kNh024,54- otpornost na izvijanje najopterećenijeg dijela pojasal = a = 88cmili88λ= = = 36i 2,42λ 36λ= = = 0,383λ 93,914B. Peroš 75

2. Višedijelni tlačni elementi MK IMjerodavna linija cλ= 0,3 →χ= 0,9491λ= 0,4 →χ= 0,8973λ= 0,38 →χ= 0,9039χ⋅A ⋅f 0,9039 ⋅42,3 ⋅23,5f yNb.Rd= = = 8γM11,1N< Nf b.Rd712kNSila u dijagonali< 817kN (zadovoljava)17kNVsπ⋅M 3,14 ⋅1571l 500zs= = =9,9kN (max. poprečna sila)V ⋅ d 9,9 ⋅ 52sNd= = = 1nh ⋅0224,54 ⋅Otpornost dijagonale na izvijanjeli= d=52cmKlasifikacija presjekah 15t < 40 10 150,5kN4 = < ( 40 × 40 × 4 )nema redukcije površine poprečnog presjeka - čitava površina je djelotvornai v = i minB. Peroš 76

2. Višedijelni tlačni elementi MK I- izvijanje oko osi v-vd 52λ= = = 67i 0,78minλ 67λ= = = 0,71λ 93,91λ= 0,35 + 0,70 ⋅λ= 0,35 + 0,70 ⋅ 0,71 = 0,8470- izvijanje oko osi y-yd 52λ= = = 43i 1,21yλ 43λ= = = 0,46λ 93,91λ = 0,50 + 0,70 ⋅λ = 0,50 + 0,70 ⋅ 0,46 = 0,8204effmjerodavno izvijanje oko osi v-vMjerodavna linija cλ= 0,8 →χ= 0,6622λ= 0,9 →χ= 0,5998λ= 0,847 →χ= 0,6329χ⋅A ⋅f 0,6329 ⋅3,08 ⋅23,5f yNb.Rd= = = 4γM11,1N< Nd b.Rd1,6kN10,5kN< 41,6kN (zadovoljava)B. Peroš 77

2. Višedijelni tlačni elementi MK IPRIMJER 2. Višedijelni element sa paralelnim elementima ispunePojasevi 2 200 b = 16cmAf= 32,2cmI = 148cm = I2( − )3( − )( )4f 1 1W = 27,0cm = Wf 1 1i = 2,14cm = if 1−13Wpl.1 −1= 51,8cm a = 100cmOstali zadani podaci: N = 950kNFe 360Sdh0= 20cm l=6ma) Nosivost višedijelnog elemenata oko materijalne osi y-yl = l = 600cmili600λ= = = 78i 7,7λ 78λ= = = 0,83λ 93,91B. Peroš 78

2. Višedijelni tlačni elementi MK I- mjerodavna je linija cλ= 0,8 →χ= 0,6622λ= 0,9 →χ= 0,5998λ= 0,83 →χ= 0,6429χ⋅A ⋅f 0,6429 ⋅32,2 ⋅23,5= ⋅ = ⋅ =f yNb.Rd2 2 885kγM11,1NNSd< Nb.Rd950 kN< 885kNprofil ne zadovoljava - potrebno je izabrati veći profilb) Nosivost višedijelnog elemenata oko nematerijalne osi z-z2I = 0,5⋅h ⋅ A + 2⋅I⋅ µzeff 0 f fliiλ= i 0- polumjer tromosti pomoćne veličine01⎛ ⎞2I1i0= ⎜0,5⋅⎟I1 = Izeff(za µ = 1)⎝ Af ⎠I = 0,5 ⋅h ⋅ A + 2 ⋅ I = 0,5 ⋅20 ⋅ 32,2 + 2 ⋅ 148 = 6736cm2 2zeff 0 f f1 1⎛ 2I ⎞ 21 ⎛ 6736 ⎞c0= ⎜0,5 ⋅ ⎟ = 0,5 ⋅ = 10,23A⎜f32,2⎟⎝ ⎠⎝⎠l 600i 10,23iλ= = = < ⇒ µ=059 75 1I = I = 6736cmzeff 14- sila u pojasu u polovici dužine elementa⎛ M ⋅h ⋅ANf.Sd= 0,5⋅ ⎜NSd+⎝ Ieffzs 0 f⎞⎟⎠NSd ⋅ e0l 600Mzs= ; eo= = =1,2cm⎛ N ⎞SdN 500 500Sd⎜1−− ⎟⎝ NCR Sv ⎠B. Peroš 79

2. Višedijelni tlačni elementi MK I2 2π ⋅EI ⋅zeff 3,14 ⋅21000 ⋅6736NCR = = = 3878kN2l 6002 224 ⋅E ⋅If2⋅π ⋅E ⋅If2 ⋅3,14 ⋅21000 ⋅148Sv = = = = 6133kN2 2 2a a 100provjera da li se S v može računati prema gornjem izrazunI ⋅h0bIf≤10⋅aIn116 ⋅= 1233116 ⋅2 ⋅12 148≥10⋅20 100- uvjet nije zadovoljen - treba računati prema proširenom izrazuN ⋅ e 950 ⋅1,2= = =Sd 0Mzs1⎛ N950 950SdN ⎞ ⎛ ⎞Sd1− − ⎜1−− ⎟⎜⎝NCRSv⎟⎠⎝3878 6135 ⎠899kN=⎛⋅M+⋅h ⋅A ⎞=⎛⋅1899 ⋅20 ⋅32,2⎞+ =⎝⎠zs 0 fNf.Sd0,5 ⎜NSd⎟ 0,5 950 566kNI⎜eff6736⎟⎝⎠- otpornost najopterećenijeg dijela pojasal = a = 100cmil 100i 2,14iλ= = =f147λ 47λ= = = 0,50λ 93,9- mjerodavna je linija cλ= 0,5 →χ= 0,843χ⋅A ⋅f 0,843⋅32,2⋅23,5f yNb.Rd= = = 5γM11,1Nf.Sd< Nb.Rd80kN566kN < 580kN(zadovoljava)B. Peroš 80

2. Višedijelni tlačni elementi MK I- momenti i poprečne sile uslijed ispune trajanja poljaπ⋅M 3,14 ⋅1899= = = ,95kNl 600zsVs9Krajnje poljeNN 950475kN2 2V ⋅ a 9,95 ⋅100= = = 49kNcm4 4Sdp= = =sMp2- otpornost pojasa na nivou poprečnog presjeka (utvrđeno je da presjek spada uklasu 1)- otpornost na tlakA ⋅ f 32,2 ⋅ 23,5f yNC.Rd= Npl.Rd= = = 688kγMo1,1Uvjet: Np ≤ NC.RdN475kN < 688kN(zadovoljava)- otpornost na savijanjeW ⋅ −f 51,8 ⋅ 23,5pl.1 1 yMC.Rd= Mpl.Rd= = = 1107kNcmγMo1,1Uvjet: Mp ≤ MC.Rd249kNcm< 1107kNcm(zadovoljava)Interakcija M - N u kritičnom presjeku (konzervativna formula)NNSdpl.RdMMSd+ ≤pl.Rd1475 249+ = 0,69 + 0,22 = 0,92 ≤1688 1107- interakcija zadovoljavaNosivost lima ispuneV ⋅ a 9,95 ⋅100⎫= = = 0kN⎪⎬V ⋅ a 9,95 ⋅10098kNcm⎪l 20⎪⎭sVL5h020sML= = = 4za 2 limaB. Peroš 81

2. Višedijelni tlačni elementi MK I- otpornost prema teoriji plastičnostiA⋅ f 116 ⋅ ⋅23,5= = =yNpl.Rd3γMo1,142kNMpl.Rd2 2Wpl.y ⋅fy bh ⋅fy116 ⋅ ⋅23,5= = = = 1367 kNcmγ 4⋅γ 4⋅1,1MoMoA⋅f 16 ⋅1⋅23,5yVpl.Rd= = = 2- za 1 lim3⋅γ3⋅1,1MoLVSd.L25kN Vpl.RdMNLSd.L= = =

2. Višedijelni tlačni elementi MK IPoprečni presjek (a)- razmak vezica je a = 1070mm- geometrijske karakteristike za 1 kutnikAeIiyyfymin= 11,5cm= 2,13cm= 58,9cm= 2,26cmi = i = 1,46cmv42ad 1) Klasifikacija poprečnog presjekaUvjet:h 15t ≤ b+ h ≤ 11,52th=75mmb = 75mmt = 8mmh 75= ≈ 9

2. Višedijelni tlačni elementi MK I- mjerodavna je linija cλ= 1,753 →χ= 0,2454χ⋅A ⋅f 0,2454 ⋅11,5 ⋅23,5= ⋅ = ⋅ =f yNb.Rd2 2 121kγM11,1NNSd< Nb.Rd115kN< 121kN (zadovoljava)ad 3) Provjera oko nematerijalne osi (izvijanje okomito na ravninu rešetke).Budući da je dijagonala štap složenog (višedijelnog) presjeka od elemenatameđusobno približenih, provjera se provodi prema točki 2.11.Uvjet: a 22 (važi točka 2.10.)- nije zadovoljen (važi točka 2.10.)Dakle višedijelni element se dimenzionira prema pravilima za elemente sa paralelnimelementima ispune (točka 2.10.)I = 0,5⋅h ⋅ A + 2⋅µ⋅I2eff 0 f fh0= 2⋅ 2,13+ 1,2=5,46cmAf= 11,5cm2I = I = 58,9cmfy4I = I ( za µ= 1)eff 1I = 0,5⋅h ⋅ A + 2⋅ I = 0,5⋅5,46 ⋅ 11,5+ 2⋅ 58,9 = 289cm2 2eff 0 f f41 1⎛ 2I ⎞ 21 ⎛ 289 ⎞i0= ⎜0,5⋅ ⎟ = 0,5⋅ = 3,55cA⎜f11,5⎟⎝ ⎠⎝⎠l 372iλy= = =i03,55105mza 75

2. Višedijelni tlačni elementi MK II = 0,5 ⋅h ⋅ A + 2 ⋅µ⋅ I = 0,5 ⋅5,46 ⋅ 11,5 + 2 ⋅0,60 ⋅ 58,9 = 242cm2 2eff 0 f f4Sila u najopterećenijem dijelu pojasa⎛ l ⎞⎜x=2⎟⎝ ⎠Moment u l 2prema teoriji II. reda:MzsN⋅ eSd 0= ⎛ NSdNSd⎞⎜1−−⎝ NCR Sv⎟⎠l 372e0= = = 0,74cm500 5002 2π ⋅EI ⋅z.eff3,14 ⋅21000 ⋅242NCR = = = 362kN2 2l 3722 22⋅π ⋅E⋅If2⋅3,14 ⋅21000 ⋅58,9Sv = = = 2133kN2 2a 107nI ⋅bIf(Pretpostavka - zadovoljen uvjet ≤ 10 ⋅ )h aN ⋅ e 115 ⋅0,74Sd 0Mzs= = = 1⎛ N115 115SdN ⎞ ⎛ ⎞Sd1− − ⎜1−− ⎟⎜⎝NCRSv⎟⎠⎝0362 2133 ⎠36kNcm=⎛⋅M+⋅h ⋅A ⎞=⎛⋅136 ⋅5,46 ⋅11,5⎞+ =⎝⎠zs 0 fNf.Sd0,5 ⎜NSd⎟ 0,5 115 75kNI⎜eff242⎟⎝⎠Otpornost na izvijanje najopterećenijeg dijela pojasali= a = 107cmi = i = 1,46cmminvl 107iλv= = =iv1,46λ73vλv= = =λ193,973- mjerodavna je linija c0,78λ= 0,78 →χ= 0,6744B. Peroš 85

2. Višedijelni tlačni elementi MK Iχ⋅A ⋅f 0,6744 ⋅11,5 ⋅23,5= = =f yNb.Rd1γM11,1Nf.Sd< Nb.Rd66kN75 kN < 166kN (zadovoljava)Rekapitulacija iskorištenosti- materijalna os y-yNSd115= = 0,95N 121b.Rd- nematerijalna os z-zNf.Sd75= = 0,45N 166b.RdPoprečni presjek (b)- razmak vezica a = 640mm- geometrijske karakteristike za jedan kutnikAeeIIIiiyzvyzfyzmin= 11,2cmv4442= 3,23cm= 1,51cm= 113cm= 37,6cm= 21,6cm= 3,17cm= 1,84cmi = i = 1,39cmB. Peroš 86

2. Višedijelni tlačni elementi MK Iad 1) Klasifikacija poprečnog presjekaUvjet:h 15t ≤ b+ h ≤ 11,52th 100= ≈ 14,3 < 15t 8b + h 65 + 100= ≈ 11,8 > 11,52t 2⋅8(Klasa 4, redukcija poprečnog presjeka)ψ= 1 - cijeli je presjek u tlakuλ =pbtw28,4 ⋅ε⋅ K σψ= 1 → K = 0,43ε= 1b = h=10,0cmtw= 0,7cmσb 10t 0,728,4 ⋅ε⋅ K 28,4 ⋅1⋅0,43wλp= = = >σ( ) ( )0,7671 0,67301 1ρ= λ −0,22 ⋅ = 0,7671−0,22 ⋅ = 0,93p 2 2λp0,7671beff=ρ⋅ h = 0,93 ⋅ 10,0 = 9,3cmB. Peroš 87

2. Višedijelni tlačni elementi MK IA = A −∆ A = 11,2 −(10 −9,3) ⋅ 0,7 = 10,71effza dva kutnika:efffA = 210,71 ⋅ = 21,42cmPomak težišta za jedan kutnik211,2 3,23 0,7 0,7 9,65e ′⋅ − ⋅ ⋅y= = 2,94cm10,7111,2 1,51 0,7 0,7 0,35e ′⋅ − ⋅ ⋅z= = 1,56cm10,712(′∆A 2) ( )I = I + A ⋅ e −e − I +∆A⋅6,71IIeff.y y f y y yeff.yeff.z= 92cm432 ⎛0,7 ⋅ 0,72⎞Ieff.z= 37,6 + 11,2 ⋅( 1,51−1,56)− ⎜ + 0,7⋅0,7⋅1,21⎟⎝ 12⎠= 36,7cm4Ieff.y92ieff.y= = = 2,93cmA 10,71effB. Peroš 88

2. Višedijelni tlačni elementi MK II 36,7= = = ,85cmeff.zieff.z1Aeff10,71Ieff.v= 21,4cm4Ieff.u= 111,6cm4ad 2) Provjera oko materijalne osi (izvijanje u ravnini rešetke)li= L = 372cmza klasu 4l 372iλy= = =iy3,171117λy117λy= = = 1, 246λ 93,91 11 2 2yA2eff10,71A ⎜ ⎟1A⎜f11,5⎟λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞λy= ⋅β = 1, 246 ⋅ = 1, 246 ⋅ = 1, 222λ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠- mjerodavna je linija cλv= 1,222 → χ = 0,4239χ⋅A ⋅f 0,4239 ⋅10,71⋅23,5eff yNb.Rd= 2⋅ = 2⋅ = 194kγM11,1NNSd< Nb.Rd115kN< 194kN (zadovoljava)ad 3) Provjera oko nematerijalne osi (izvijanje okomito na ravninu rešetke)Uvjet:a 20,8 (nije zadovoljen gornji uvjet pa se dimenzioniranje vrši kao zavišedijelne elemente sa paralelnim elementima ispune)B. Peroš 89

2. Višedijelni tlačni elementi MK Ih0= 2 ⋅ 1, 56 + 1, 2 = 4, 32 cmI = 0,5⋅h ⋅ A + 2⋅µ⋅I2eff 0 f fUvrštavaju se efektivne vrijednosti poprečnog presjekah0= 4,32cmA = A = 10,71cmfeff2I = I = 36,7cmfeff.z4liλ=i0i⎛ 1= ⎜0,5⋅I⋅⎝ Af0 1⎞⎟⎠12I = 0,5 ⋅h ⋅ A + 2 ⋅ I = 0,5 ⋅4,32 ⋅ 10,71+ 2 ⋅ 36,7 = 173cm2 2eff 0 f f41 12 2⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞i0 = ⎜0,5⋅I1⋅ ⎟ = 0,5⋅173⋅ = 2,84cmA⎜f10,71⎟⎝ ⎠ ⎝⎠l 372i 2,84iλ= = = → <

2. Višedijelni tlačni elementi MK IMzsN⋅ eSd 0= ⎛ NSdNSd⎞⎜1−−⎝ NCR Sv⎟⎠l 372e0= = = 0,74cm500 5002 2π ⋅EI ⋅z.eff3,14 ⋅21000 ⋅119NCR = = = 178kN2 2l 3722 22⋅π ⋅E⋅If2⋅3,14 ⋅21000 ⋅36,7Sv = = = 3714kN2 2a 64NSd ⋅ e0115 ⋅0,74Mz,s= = = 265kN⎛ N ⎞ ⎛ ⎞SdN 115 115Sd⎜1− − ⎟ ⎜1−− ⎟⎝ NCRSv⎠ ⎝ 178 3714 ⎠=⎛⋅M+⋅h ⋅A ⎞=⎛⋅265 ⋅4,32 ⋅10,71⎞+ =⎝⎠zs 0 fNf.Sd0,5 ⎜NSd⎟ 0,5 115 109kNI⎜eff119⎟⎝⎠Otpornost najopterećenijeg elementa pojasa na izvijanjeli= a = 64cmi = i = 1,39cmminza klasu 4vl 64iλv= = =iv1,39λ46vλv= = =λ193,9460,491 11λ ⎛ ⎞2 ⎛ ⎞2vAeff10,712λv= ⋅βA= 0,49 ⋅ ⎜ ⎟ = 0,49 ⋅ ⎜ ⎟ = 0,4795λ1 ⎝ Af⎠ ⎝ 11,2 ⎠- mjerodavna je linija cλv= 0,4795 → χ = 0,8541χ⋅A ⋅f 0,8541⋅10,71⋅23,5eff yNb.Rd= = = 1γM11,1Nf.Sd< Nb.Rd109kN< 195kN (zadovoljava)95kNB. Peroš 91

2. Višedijelni tlačni elementi MK IRekapitulacija iskorištenosti- materijalna os y-yNSd115= = 0,59N 194b.Rd- nematerijalna os z-zNf.Sd109= = 0,56N 195b.RdPoprečni presjek (c)- razmak vezica a = 640mm- geometrijske karakteristike za jedan kutnikAIuyfmin= 9,4cm= 17,6cmi = 2,67cm=ii = i = 1,39cmv24ad 1) Klasifikacija poprečnog presjekauUvjet:h 15t ≤ b+ h ≤ 11,52th 70= = 10 < 15t 7b + h 70 + 70= ≈ 10 < 11,52t 2 ⋅ 7(Klasa 3 ,uvjeti su zadovoljeni, nema redukcije poprečnog presjeka)B. Peroš 92

2. Višedijelni tlačni elementi MK Iad 2) Provjera oko materijalne osi (izvijanje u ravnini rešetke)l = l = 372cmixiyUvjet (točka 2.12.)a < 70 ⋅ imin= 70 ⋅ 1,37 = 96cm64cm < 96cmBudući da je gornji uvjet zadovoljen dimenzioniranje se može provesti kao za jedankutnik ( l = l mora također biti).ixiyliy372λy= = = 139i 2,67yλy139λy= = = 1, 484λ 93,9- mjerodavna je linija c1λy= 1,484 →χ = 0,3201χ⋅A ⋅f 0,3201⋅9,4 ⋅23,5eff yNb.Rd= 2⋅ = 2⋅ = 129kγM11,1NNSd< Nb.Rd115kN< 129kN (zadovoljava)ad 3) Provjera oko nematerijalne osi (izvijanje okomito na ravninu rešetke)( ) 2 ⎤4Iz= ⎡17,6 + 9,4 ⋅ 2,79 + 0,6 ⋅ 2 = 251cm⎣⎦I 251zi = z32⋅A = f2⋅9,4=,66cmB. Peroš 93

2. Višedijelni tlačni elementi MK Il 372izλz= = =iz2,66λ102zλz= = =λ193,9- mjerodavna je linija c1021, 08λz= 1,08 → χ = 0,4933χ⋅Aeff⋅fy0,4933 ⋅9,4 ⋅23,5Nb.Rd= 2⋅ = 2⋅ = 198kNγ1,1M1NSd< Nb.Rd115kN< 198kN (zadovoljava)Rekapitulacija iskorištenosti- materijalna os y-yNSd115= = 0,89N 129b.Rd- nematerijalna os z-zNf.Sd115= = 0,58N 198b.RdB. Peroš 94