KOLIKO PLANETOV JE V NAÅ I GALAKSIJI? - F9

KOLIKO PLANETOV JE V NAŠI GALAKSIJI?avtor: Matej Ulčarmentorica: doc. dr. Andreja Gomboc28. maj 2012PovzetekSeminar prikaže in povzame rezultate projekta PLANET 2002-2007, kjerso s pomočjo metode gravitacijskega mikrolečenja določili število planetovv naši galaksiji. Omenjena metoda je v seminarju tudi grobo opisana, nipa razložen vzrok samega lečenja, oziroma uklona svetlobe v gravitacijskempolju, ki izhaja iz splošne teorije relativnosti.1

1 UvodV našem osončju je bil zadnji osmi planet Neptun odkrit leta 1864. Pred 20 letipa so začeli odkrivati tudi prve planete izven našega osončja. Kljub temu, da opazovanjapotekajo ves čas in vsako leto odkrijejo mnogo novih planetov, verjetnonikoli ne bomo odkrili prav vseh. Koliko jih pravzaprav je? In kako lahko ocenimonjihovo število na podlagi novejših metod opazovanja?2 ZgodovinaKot prvo odkritje planeta izven našega osončja veljata planeta okrog pulzarja PSR1257+ 12, ki sta ju odkrila astronoma Aleksander Wolszczan in Dale Frail leta 1992. [1]Planeta imata približno 3 mase Zemlje in krožita na razdalji manj kot pol oddaljenostiZemlje od Sonca. Leta 1995 je sledilo prvo odkritje planeta okrog zvezdeglavne veje. Planet naj bi bil velikosti Jupitra in krožil okrog svoje zvezde bližjekot kroži Merkur okrog Sonca. [2]V naslednjih letih je sledila še vrsta drugih planetov. Do danes so jih odkriliže 763. [3] Večino teh z metodo merjenja radialne hitrosti zvezde. Pomembnametoda je tudi opazovanje prehoda planeta. V primeru, da planet prečka zvezdo sesvetlobni tok zvezde takrat za majhen delež zmanjša. Obe omenjeni metodi zaznatapredvsem velike, masivne planete, ki krožijo blizu zvezde. Nista pa primerni zaodkrivanje manjših in predvsem bolj oddaljenih planetov. Raziskave s tema dvemametodama so pokazale, da naj bi med 17% in 30% Soncu podobnih zvezd imeloplanete. [4]V zadnjih letih pa se vse bolj uveljavlja tudi metoda gravitacijskega mikrolečenja.V nasprotju z ostalima metodama, je metoda mikrolečenja primerna predvsem zaodkrivanje planetov, ki krožijo na večjih razdaljah okrog svojih zvezd.3 Gravitacijsko mikrolečenjeGravitacijsko lečenje je pojav, pri katerem se pot svetlobnega žarka v močnemgravitacijskem polju ukrivi. Izvor gravitacijskega polja, običajno zvezda ali galaksija,pri tem deluje podobno kot optična leča. Pri gravitacijskem lečenju se kotnavelikost slike ne ohranja, niti ni povečava v vseh smereh enaka, ohranja pa sepovršinska svetlost.Ker so fotoni delci brez mase, po Newtonovi mehaniki na njih ne deluje gravitacijskasila, kljub temu pa se njihova smer spremeni pod vplivom gravitacije.To razloži splošna teorija relativnosti. Denimo, da je α kot odklona svetlobe. Posplošni teoriji relativnosti je odvisen od mase leče in oddaljenosti od leče.α = 4GMrc 2 (1)2

Slika 1: Geometrija lečenja. L je razdalja med izvorom in sliko projicirano naravnino izvora, δ pripadajoča kotna razdalja, α kot odklona, ϑ in β prikazujeta naravnino leče projicirana položaja slike in izvora, b pa velikost leče. [5]Kot je označeno na sliki 1, lahko razdaljo izvora od slike izvora zapišemo kotL = D S tg(δ) = (D S − D L )tg(α) (2)V približku majhnih kotov velja tg(δ) = δ in tg(α) = α, torej velja zvezaRazpišemo enačbo za kot β:δ = α D S − D LD S(3)β = ϑ − δ = ϑ − D S − D Lα = ϑ − D S − D L 4GMD SD S bc 2 (4)Iz skice je b = D L tg(ϑ), vpeljemo dve novi količini:reducirano razdaljo Dr−1 = D −1L− D−1 Sin Schwarzschieldov radij R sch = 2GM .c 2Karakteristično velikost leče označuje Einsteinov obroč, katerega kotna velikostje enaka√2Rschϑ E =(5)D rRadij Einsteinovega obroča pa je enak√ √GMDM DR E = 2c 2 = 4, 03a.e.(6)2kpc3M S

Pri čemer M označuje maso leče, M S maso Sonca, G gravitacijsko konstanto,c hitrost svetlobe in D reducirano razdaljo, kotD −1 = D −1LS + D−1 L(7)kjer sta D LS in D L razdalji med izvorom svetlobe in lečo, oz. lečo in opazovalcem.[8]Izrazimo kot beta z novimi količinami:β = ϑ − ϑ E 2ϑβ= ϑ − ϑ Eϑ E ϑ E ϑVpeljemo brezdimenzijski spremenljivki u = βϑ Ein y = ϑEnačbo (9) zapišemo kot u = y − 1 y, iz česar slediϑ E.(8)(9)Kvadratna enačba ima dve rešitvi, obe sta realni [9]:y 2 − uy − 1 = 0 (10)y = ± 1 2√(u 2 + 4) ± u (11)Gravitacijsko mikročenje je podvrsta gravitacijskega lečenja, kjer je razdaljamed izvorom svetlobe in lečo, oz. lečo in opazovalcem mnogo večja od velikostileče. Če bi bila velikost slike dovolj velika, kakršna je pri lečenju galaksij, oz.drugih oddaljenih objektov na galaksijah, bi lahko opazovali popačenja slike. Tupa je kotna velikost slike zelo majhna, običajno manjša ali primerljiva z ločljivostjoteleskopov. Tako je edina spremenljivka, ki jo lahko opazujemo, celotna količinasvetlobnega toka v odvisnosti od časa. Ta je zaradi ohranitve površinske svetlostikar sorazmerna z velikostjo slike.Zapišemo kotni velikosti slike in izvora v sferičnih koordinatah:dΩ = dS 1D 2 L= D2 L ϑdϑdϕD 2 L= ϑdϑdϕ (12)dΩ 0 = dS 0DS2 = βdβdϕ (13)kjer sta dS 1 in dS 0 velikosti slike oz. izvora, kot ϕ pa je kot v ravnini pravokotnina ravnino opazovalca in na ravnino papirja.Definiramo povečavo, kot razmerje kotnih velikosti [9]:A = dΩ = ϑdϑ ∣ ∣∣∣dΩ 0 βdβ = ydyudu∣ (14)4

Vstavimo izraz za y (11) v enačbo (14) in dobimoA ± (u) = 1 [ u 2 ]+ 22 u √ u 2 + 4 ± 1Enačba povečave je vsota A + in A − :(15)A = u2 + 2u √ u 2 + 4Odvisnost u od časa t, je očitna iz slike 2 z uporabo Pitagorovega izreka ob predpostavki,da je projicirana relativna hitrost med lečo in izvorom svetlobe konstantna.√u =(16)u 2 min + ( t − t0t ′ ) 2(17)u označuje odmaknjenost leče od linije opazovalec-izvor v enotah radija Einsteinovegaobroča. t 0 je čas ob katerem je povečava največja, t’ pa je čas trajanja prečkanjapremera Einsteinovega obroča [8].Slika 2: ravnina leče kot jo vidi opazovalec. Izvor se navidezno giblje od leveproti desni, u(t) je projekcija razdalje med izvorom in lečo, u min pa minimalnaprojekcija razdalje med njima.3.1 Zvezda s planetomEnačba (16) popolnoma opiše povečavo lečenja za eno lečo. V primeru, da seplanet nahaja v bližini zvezde, to ni več enostavna leča ampak sistem dveh leč.Pri tem planet še dodatno ojača povečavo kar vidimo kot dodaten ozek vrh, viden5

Slika 3: Lečenje galaksije: vidno je popačenje slike v obliki obroča, ki je karEinsteinov obroč. [6]na sliki 4(a) Zato pri odkrivanju planetov z metodo gravitacijskega mikrolečenjaopazujemo odstope od svetlobne krivulje, ki jo opisuje enačba (16), kjer je dogovorjeno,da mora izmerjena svetlobna krivulja odstopati vsaj za 4% od teoretičnekrivulje za enojno lečo, da je potrjen obstoj planeta (sistem dveh leč).3.2 Prednosti in slabosti metodeOstale metode odkrivanja ekstrasolarnih planetov so omejene na planete, ki so dovoljblizu zvezde okrog katere krožijo. Bistvena prednost metode gravitacijskegamikrolečenja je ta, da lahko zaznamo planete, ki se nahajajo tudi daleč stran odzvezde. Območje v katerem je metoda najbolj občutljiva pa je nekje med 0,5 in 10astronomskih enot (a.e.) 1 .Metoda gravitacijskega mikrolečenja je tudi najbolj primerna metoda za odkrivanjeplanetov z majhno maso. Z ostalimi metodami so odkrili predvsem velikein masivne planete z masami nekaj mas Jupitra. Z metodo gravitacijskegamikrolečenja pa so bili odkriti tudi manj masivni planeti, le nekajkrat masivnejšiod Zemlje. Teoretični model pravi, da je verjetnost, da bi s to metodo odkrili planetz maso Zemlje, 2%. Obenem pa je prav tako, oziroma še lažje, zaznati planete zveliko maso.1 Ena astronomska enota ustreza povprečni razdalji med Zemljo in Soncem.6

Slika 4: (a) Območje Einsteinovega obroča okrog zvezde-leče, kjer poteka lečenjein območje (pravokotnik), kjer svetlobna krivulja odstopa vsaj za 5% od tiste zaeno lečo, sklepamo, da se tam nahaja planet. Vir svetlobe se giblje z leve protidesni in sveti proti nam; (b) svetlobna krivulja kot povečava v odvisnosti od časa,prispevek planeta je viden kot ostra špica. [7]Glavna in največja slabost metode gravitacijskega lečenja pa je v sami naravivesolja. Razdalje med zvezdami so ogromne, zato je verjetnost za navidezno poravnavozelo majhna. Tako je verjetnost, da zvezda "doživi"pojav mikrolečenjamanjša od 10 −6 .4 OpazovanjaOpazovanje poteka v dveh stopnjah. V prvi stopnji projekti, kot je OGLE (OpticalGravitational Lensing Experiment), pregledajo milijone zvezd vsako noč, da binašli vse oz. čim več zvezd, pri katerih bi prišlo do mikrolečenja. V drugi stopnji7

pa potem projekti kot je PLANET (Probing Lensing Anomalies Network) izbranekandidate za mikrolečenje pogosto opazujejo in iščejo morebitne kratko-časovneanomalije, kar bi pomenilo prisotnost planeta v bližini zvezde.Ker je verjetnost za mikrolečenje tako majhna, ni smiselno iskati čim večposameznih planetov. Načrt je imeti homogeno opazovalno strategijo, da se lažjedoloči učinkovitost detekcije za različne parametre in nato s pomočjo teoretičnegamodela določiti dejansko število planetov v naši galaksiji. Te zahteve so bile izpolnjenes projektoma OGLE in PLANET med letoma 2002 in 2007. Kljub temu, daso odkrili kar nekaj planetov, jih je samo del združljiv z opazovalno strategijo.Slika 5: Občutljivost metode (modro, temnejša barva pomeni večjo občutljivost,številke na krivuljah predstavljajo pričakovano število zaznanih planetov) v odvisnostiod mase planeta v enotah mase Zemlje (ordinata) in v odvisnosti od velikepolosi orbite planeta v a.e. (abscisa). Bele točke označujejo zaznane in uporabljene3 planete, rdeče točke preostala odkritja. Črke predstavljajo planete našega osončja,za primerjavo (E – Zemlja, U – Uran, N – Neptun, S – Saturn, J – Jupiter). [4]Tako ostanejo trije planeti, označeni tudi na sliki 5:1. OGLE 2005-BLG-071Lb, planet podoben Jupitru z maso 3,8 mas Jupitra, kise nahaja na razdalji 3,6 a.e. od zvezde.2. OGLE 2007-BLG-349Lb, planet podoben Neptunu z maso 0,2 mase Jupitra,ki se nahaja na razdalji 3 a.e. od zvezde.8

3. OGLE 2005-BLG-390Lb, tako imenovana super Zemlja, planet z maso 5,5mas Zemlje, ki se nahaja na razdalji 2,6 a.e. od zvezde.Že na tej stopnji lahko sklepamo, da je planetov z majhno maso več kot planetovz veliko maso, saj je bilo prvih odkritih več, obenem pa vemo, da je metodabolj občutljiva pri planetih z veliko maso. Torej so kvalitativno gledano manj masivniplaneti bolj pogosti kot bolj masivni. Za kvantitativno oceno pa si je potrebnopomagati s teoretičnim modelom metode gravitacijskega mikrolečenja.5 Teoretični modelZa izračun učinkovitosti detekcij za PLANET med letoma 2002 in 2007 so uporabilikatalog dogodkov mikrolečenja brez anomalij, to je mikrolečenja z eno samolečo. Za vsako posamezno svetlobno krivuljo je definirana učinkovitost detekcijeɛ(log a, log M) kot verjetnost, da bi zaznali anomalijo, če ima zvezda en planet zmaso M na razdalji a. Učinkovitost raziskave S(log a, log M) je potem vsota vsehɛ. Predstavlja pričakovano število planetov, ki bi jih zaznali, če bi vse zvezde-lečeimele en planet z maso M na razdalji a. [4]Da dobimo dejansko pogostost eksoplanetov v naši galaksiji iz raziskave postopamosledeče. Najprej definiramo masno funkcijo planetov kotf(log a, log M) =dNd(log a) d(log M)(18)kjer je N povprečno število planetov na zvezdo. Masno funkcijo nato pomnožimoz učinkovitostjo in integriramo. Dobimo pričakovano število detekcij:∫E(f) = f(log a, log M)S(log a, log m)d(log a)d(log M) (19)Za k (delnih) detekcij model [4] predvideva Poissonovo porazdelitev.P (k|E) = e−E E kk!(20)Dobljena občutljivost detekcije se razteza čez približno 3 velikostne rede pomasi (med 5 masami Zemlje in 10 masami Jupitra, kar je 3178 mas Zemlje), ampakmanj kot en velikostni red in pol po oddaljenosti od zvezde (med 0,5 in 10a.e.). V modelu [4] so privzeli, da je porazdelitev občutljivosti po log a približnokonstantna. Osredotočimo se torej na odvisnost od mase.Za odvisnost masne funkcije f od mase, privzamemo model, da v prvem reduvelja potenčna odvisnot.f = f 0( MM 0) α(21)Pri tem je M 0 neka fiksna določena masa, α (strmina premice na grafu 6(a)in f 0(normalizacijski faktor) pa sta parametra, ki ju je potrebno določiti iz podtatkovopazovanj.9

Slika 6: (a) Rdeča premica predstavlja masno funkcijo, črtkano je mediana funkcijef in sivo 68% interval zaupanja okrog mediane , normalizacija f 0 in naklon α izformule (21) označena modro, z zeleno masna funkcija planetov z metodo merjenjaradialne hitrosti zvezde; (b) Občutljivost metode v odvisnosti od mase, vbistvu slika 4 integrirana po log(a); (c) Detekcije k, z rdečo vsota verjetnostnihporazdelitev mas za vse 3 preučevane planete. [4]6 RezultatiNa podlagi omejitev iz teh treh planetov raziskave PLANET in ostalih raziskavpred tem, so eksperimentalno določili parametra α in f 0 . Pri tem se podatkinanašajo na 10 zaznanih planetov. Dobljena vrednost za strmino krivulje je takoα = −0, 68 ± 0, 2 in ocena za normalizacijski faktor f 0 = 0, 36 ± 0, 15. Za masoM 0 je bila izbrana masa Saturna, ki je enaka 95 masam Zemlje. Tako je dobljenaformula za masno funkcijo f enaka:Predstavljena je z rdečo barvo na sliki 6(a).f = 10 −0,62±0,22 ( MM sat) −0,73±0,17(22)10

Mikrolečenje nam tako poda popolno masno funkcijo za hladne planete v oddaljenostimed 0,5 in 10 astronomskih enot. Meritve potrjujejo, da so planeti zmajhno maso zelo pogosti in da pogostost planetov narašča s padajočo maso. Torejje planetov z majhno maso več kot planetov z veliko maso. Ravno obratno torej,kot če bi sklepali samo na podlagi pred tem odkritih planetov. To se sklada tudis predvidevanji akrecijske teorije, ki pravi, da so planeti nastali z zbiranjem maseokrog majhnega kondenzacijskega jedra.Prve študije mikrolečenja o pogostosti hladnih plinskih orjakov so pokazale, daima manj kot 33% rdečih pritlikavk planet tipa Jupiter na razdalji med 1,5 in 4 a.e.Nekatere raziskave predvidevajo tudi manjše verjetnosti, okrog 18%. Te limiteso približno primerljive z meritvami PLANET 2002-2007, ki ocenjujejo 5% ±2% planetov z maso med maso Saturna in 10 masami Jupitra na enaki orbitalnioddaljenosti.Najnovejši projekti preučujejo na širšem območju, to je kot že omenjeno prejna 0,5—10 a.e. Najnovejši rezultati projekta PLANET 2002-2007 kažejo, da lahkopričakujemo, da bo na tem intervalu oddaljenosti povprečno 17% +6%−9%zvezd imeloplanet z maso med 0,3 mase Jupitra in 10 masami Jupitra. Manj masivnih planetov,podobnih Neptunu, je mnogo več. Povprečno 52% +22%−29%zvezd ima planet z masomed 10 in 30 masami Zemlje. Znotraj celotnega preučevanega območja (med 0,5a.e. in 10 a.e. ter med 5 masami Zemlje in 10 masami Jupitra) lahko pričakujemopovprečno okrog vsake zvezde 1, 6 +0,72−0,89 planeta. [4] Zaključimo lahko, da planetiniso redki ali izjema, ampak praviloma okrog vsake zvezde v naši galaksiji kroživsaj en, če ne več planetov.11

Literatura[1] A. Wolszczan in D. A. Frail. A planetary system around the millisecond pulsarPSR1257 + 12, Nature 355, 145 – 147 (1992)[2] M. Mayor in D. Queloz. A Jupiter-mass companion to a solar-type star, Nature378, 355 – 359 (1995)[3] http://www.exoplanet.eu/catalog.php, dostopano 7. 5. 2012[4] A. Cassan, et al. One or more bound planets per Milky Way star from microlensingobservations, Nature 481, 167 - 169 (2012).[5] http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gravity_lens_geometry_sl.png, dostopano 8. 5. 2012[6] http://apod.nasa.gov/apod/image/1112/lensshoe_hubble_3235.jpg, dostopano 8. 5. 2012[7] A. Gould in A. Loeb. Discovering planetary systems through gravitational microlenses,Astrophys. J. 396, 104 – 114 (1992).[8] D. P. Bennett in S. H. Rhie. Detecting Earth-Mass Planets with GravitationalMicrolensing, Astrophys. J. 472, 660 – 664 (1996).[9] M. Vaupotič. Diplomska naloga: Metoda gravitacijskega mikrolečenja priiskanju eksoplanetov (2011)12