P4 LOGICKÉ OBVODY

P4 LOGICKÉ OBVODYI. Kombinační Logické obvody

I. a) Základy logiky

Zákony Booleovy algebry1. Komutativní zákon duální formaa + b = b + aa . b = b . a2. Asociativní zákon(a + b) + c = a + (b + c) (a . b) . c = a . (b . c)3. Zákon idempotencea + a = aa . a = a4. Zákon absorpcea + (a . b) = aa . (a + b ) = a5. Zákon agresivnosti nuly a jedničkya . 0 = 0 a + 1 = 1

Zákon neutrálnosti nuly a jedničkya + 0 = aa . 1 = aDistributivní zákona . (b + c) = (a . b) + (a . c) a + (b . c) = (a + b) . (a + c)Zákon sporu a vyloučeného třetíhoa . a = 0a + a = 1. a = 0aZákon involuce neboli dvojí negacea + a = 1a = aZákon absorpce negacea + a. b = a + ba.( a + b) = a.bDe Morganovy zákonya + b + c + ... + z = a . b . c ...za . b . c .... z = a + b + c + ... +z

Shannonův expanzní teorém - rozklad logické funkceI. verze součtová :F(x 1, x 2, … , x n) = x 1.F(1, x 2, … , x n) + . F(0, x 2, … , x n)II. verze součinová :F(x 1, x 2, … , x n) = [x 1+F(0, x 2, … , x n)] . [ + F(1, x 2, … , x n)]x 1x 1D U A L I T A F U N K C ÍF D(x 1, x 2, x 3, … , x n, 0 , 1 , + , .) = F(x 1, x 2, x 3, … , x n, 1 , 0 , . , + )

Základní logické funkce

Schematické značky logických členů

Funkce majorityFunkce majority je souměrná logická funkce, která nabývájedničkové hodnoty tehdy, když většina vstupních logickýchproměnných nabývá logické hodnoty jedna.Př.: Majorita ze tří je rovna jedné právě když 2 nebo 3 logickévstupní proměnné nabývají jedničkovou hodnotu.Označíme ji následovně: M 3 (x , y , z )nebo x # y # znebo ji můžeme zapsat jako logickou funkci tří proměnných:M 3 (x , y , z) = x yz + x yz + xyz + xyz a tu je možnérealizovat : 1 log. členem OR - čtyřvstupovým a4 log. členy AND – třívstupovými a3 log. členy NOT – invertoryTedy bylo by zapotřebí celkem 8 logických členů(prvků)

Můžeme ale udělat úpravu – vytkneme z posledních čl. xyM 3 = x yz + x yz + xyz + xyz = x yz + x yz + xy ( z + z)= x yz + x yz + xy= 1Tuto upravenou funkci můžeme realizovat1 x OR – třívstupový2 x AND – třívstupový1 x AND – dvouvstupový2 x NOT – invertoryTedy celkem by bylo třeba 6 logických členů!A posléze můžeme udělat další úpravu pokud rozšíříme funkci nabázi zákona idempotence : xyz = xyz + xyz + xyz - pakM 3 = x yz + x yz + xyz + xyz =x yz + x yz + xy ( z + z)= ( x + x)yz + ( y + y)xz + xy(z + z)= xy + xz + yz

Nyní již budeme realizovat majoritní funkci se 4 logickými členy:1 x OR – třívstupový3 x AND – dvouvstupový Pozn: Invertory nepotřebujeme!Zápis logické funkce pravdivostní tabulkou amapou

Zobrazení do mapy :

Mapy pro 3 a 4 proměnné :

Poznámka: Jedna jedničková hodnota zadané logické funkce můžebýt pokývána libovolněkrát, ale musí být splněna zmíněnákriteria minimality.Příklad Karnaughovy mapy pro 5 proměnných: použit Grayův kód

Normální formy logických funkcía) Úplná normální disjunktní forma (úndf) - součtováV úplné normální formě je každá jedničková hodnota zadanélogické funkce „pokrývána“ jedním termem resp. implikantem.Takový součinový term obsahuje všechny proměnné zadanélogické funkce jako přímé nebo negované (minterm).Na příklad u zmíněné majority ze tří (funkce je dána třemiproměnnými) jsou implikanty délky 3 – tj. xyz , xyz , x yz , x yzPrvotní popis majoritní funkce ze 3 je zapsán úplnou normálníformou.b) Úpná normální konjunktní forma (únkf) - součinováKonjunktní forma pokrývá nulové hodnoty zadané logické funkcesvými součtovými termy – např. ( x + y + z).(x + y + z).... (maxtermy –obsahuje opět všechny proměnné)., atd.

c) Minimální normální disjunktní forma (mndf)Minimální normální disjunktní forma (mndf) obsahuje nejmenšímožný počet nejkratších implikantů(součinových termů), tj. přímýchimplikantů. Kriteria minimality tedy jsou:1) má minimální délku formy (tj. počet přímých implikantů)2) má minimální délku implikantů(tj. s min.počtem prom.)3) eventuelně obsahuje minimální počet negacíMinializace pomocí mapy:Pokrýváním jedničkových stavů zadané logické funkce vytvořímenejmenší počet co největších smyček! Řešení nemusí být jediné. Ukázkaviz Karnaughova mapa pro 4 proměnné v předchozím slajdu – řešení jsoudvě :1. F 1 (a,b,c,d) =2. F 2 (a.b.c.d) =ac + abc + bcd +ac+ abc + bcd +abdbcd

Příklad na tabulku pokrytíJe daná následující logická funkce 4 proměnnýchÚplná množina přímých implikantů {PI}:{PI} = {c.d , a.d , b.c , a.c , a.b.d , b.c.d , a.b.c}

Nejvýhodnějším řešení je první funkce - doplňující implikant mádélku 2 (dvě proměnné) :

Realizace log. funkce s členy NAND (NOR)

Další aplikace logických obvodů s členy NAND

Realizace kaskády NAND :Náhrada NAND

Realizace součtové formy s NAND členy

Návrh kombinačních obvodů s členy NANDVýchozí podmínky: - minimální forma logické funkce - jsou dané typylogických členů, resp. se volí pro danou technologii- je daná rychlost logického---------------------------------------------------------------------------------------------- požaduje se snadná diagnostika a oživování- bere se ohled na konstrukční řešeníI. OBECNÁ a KLASICKÁ STRUKTURA AND – ORUvažujme realizaci dané logické v minimálním tvaru:F 3 (a, b, c, d) = a . b + a . d + a . b . d + a . c . d +a . b . cTuto minimální součtové funkci (mndf) můžeme zakreslit ve struktuřeAND - OR

Úprava minimální logické funkce pro realizaci s členyNANDPoužijeme zákona dvojí negace (involuce) aDe Morganových pravidelF 3 (a, b, c, d) = a . b + a . d + a . b . d + a . c . d +F 3 (a, b, c, d) = a . b + a . d + a . b . d + a . c . d +a . b . ca . b . c(a, F 3b,c, d)=(a.b). (a . d). (a . b . d). (a . c . d). (a . b . c)Z této úpravy lze již snadno nakreslit schéma se členy NAND neboťkaždé závorce odpovídá logický člen NAND a negace celého výrazuodpovídá pětivstupovému NAND výstupnímu

Výsledné schéma se členy NAND max. třívstupovými- bylo třeba nahradit výstupní log, člen pětivstupovýÚprava logické funkceF 3 (a, b, c, d) = a . b + a . d + a . b . d + a . c . d +a . b . cFunkci rozdělíme na 2 větveF 3 (a, b, c, d) = a . b . a . d . a . b . d +a . c . d. a . b . cDalší úpravaF 3 (a, b, c, d) =a . b.a . d.a . b . d. a . c . d.a . b . c1. větev 2. větev

Upravené schéma – s 2 a 3 vstupovými log. členyProdloužení větví znamená delší reakce na výstupech!!

Příklad sčítačky :