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第 5 章 关 系关 系 是 在 集 合 的 基 础 上 定 义 的 一 个 重 要 的 概 念 , 与 集 合 的 概 念 一 样 , 关 系 的 概 念 在 计 算机 科 学 中 也 是 最 基 本 的 。 它 主 要 反 映 元 素 之 间 的 联 系 和 性 质 , 在 计 算 机 科 学 中 有 重 要 的 意 义 ,如 有 限 自 动 机 和 形 式 语 言 , 编 译 程 序 设 计 , 信 息 检 索 , 数 据 结 构 以 及 算 法 分 析 和 程 序 设 计 的描 述 中 经 常 出 现 。本 章 主 要 介 绍 关 系 的 定 义 、 表 示 和 性 质 , 几 种 重 要 的 关 系 , 等 价 关 系 和 序 关 系 , 以 及 关系 的 闭 包 运 算 等 。5.1 关 系 及 其 表 示5.1.1 笛 卡 尔 积定 义 5.1 由 n 个 具 有 给 定 次 序 的 个 体 a 1 ,a 2 ,…,a n 组 成 的 序 列 , 叫 做 有 序 n 元 组(Ordered n-Type), 记 作 (a 1 ,a 2 ,…,a n )。 其 中 a i (i=1,2,…,n) 叫 做 该 有 序 n 元 组 的 第 i个 坐 标 (Coordinate)。有 序 n 元 组 与 前 面 所 讲 的 n 个 元 素 的 集 合 这 两 个 概 念 是 两 个 不 同 的 概 念 , 不 同 在 于 集 合中 这 n 个 元 素 是 无 序 的 , 而 在 有 序 n 元 组 中 , 必 须 对 这 n 个 元 素 指 定 一 个 次 序 。 因 此 对 任 意给 定 的 n 个 个 体 , 他 们 只 能 组 成 一 个 n 元 素 的 集 合 , 但 却 可 以 组 成 n! 个 不 同 的 有 序 n 元 组 。另 外 , 有 序 n 元 组 的 一 种 常 见 的 特 殊 情 形 是 n=2。 有 序 n 元 组 (a,b) 又 被 称 为 序 偶(Ordered Pair)。 序 偶 的 一 个 熟 悉 的 例 子 是 平 面 上 点 的 笛 卡 尔 坐 标 表 示 。 例 如 , 序 偶 (1,3),(2,4),(5,3) 等 均 表 示 平 面 上 不 同 的 点 。定 义 5.2 设 (a 1 ,a 2 ,…,a n ) 和 (b 1 ,b 2 ,…,b n ) 两 个 有 序 n 元 组 , 如 果 a i =b i (i=1,2,…,n),则 称 这 两 个 有 序 n 元 组 相 等 , 记 为 (a 1 ,a 2 ,…,a n )=(b 1 ,b 2 ,…,b n )。定 义 5.3 设 A 1 ,A 2 ,…,A n 是 任 意 集 合 , 则 称 集 合{(a 1 ,a 2 ,…,a n )|a i ∈A i ,i=1,2,…,n}为 集 合 A 1 ,A 2 ,…,A n 的 笛 卡 尔 积 (Cartesian Product), 记 为 A 1 ×A 2 ×…×A n 。例 5.1 设 A={a,b},B={1,2,3}, 求 A×B,B×A,A×A,B×B。解 A×B={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3)}B×A={(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}B×B={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}例 5.2 设 A=∅,B={1,2,3}, 求 A×B,B×A。解 A×B=∅×B=∅, B×A=B×∅=∅由 例 5.1 和 例 5.2 知 ,A×B 一 般 不 等 于 B×A, 空 集 合 与 任 何 集 合 的 笛 卡 尔 积 仍 为 空 集 合 。当 所 有 的 A i 都 相 同 且 等 于 A 时 , 则 A 1 ×A 2 ×…×A n 可 用 Aⁿ 表 示 。定 理 5.1 设 A,B 为 任 意 两 个 有 限 集 , 则|A×B|=|A|•|B|▊▊79

证 明 设 A={a 1 ,a 2 ,…,a n },B={b 1 ,b 2 ,…,b m }, 则 |A|=n,|B|=m。 由 于 A×B={(a i ,b j )|1≤i≤n,1≤j≤m}, 所 以 |A×B|=n•m=|A|•|B|。注 意 , 定 理 5.1 可 推 广 到 n 维 笛 卡 尔 积 的 领 域 。推 论 5.1 设 A 1 ,A 2 ,…,A n 为 任 意 n 个 有 限 集 , 则|A 1 ×A 2 ×…×A n |=|A 1 |•|A 2 |• … •|A n |定 理 5.2 设 A,B,C,D 为 任 意 四 个 非 空 集 合 , 则(1)A×B⊆C×D 当 且 仅 当 A⊆C,B⊆D;(2)A×B=C×D 当 且 仅 当 A=C,B=D。证 明 (1) 设 对 任 意 的 x∈A,y∈B, 则 (x,y)∈A×B; 由 于 A×B⊆C×D, 所 以 (x,y)∈C×D,从 而 x∈C,y∈D, 因 此 A⊆C,B⊆D。反 之 , 设 (x,y)∈A×B, 则 x∈A,y∈B, 由 于 A⊆C,B⊆D, 所 以 x∈C,y∈D, 从 而 (x,y)∈C×D,因 此 A×B⊆C×D。(2) 由 (1) 可 直 接 推 出 。定 理 5.3 设 A,B,C 为 任 意 三 个 集 合 , 则(1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)(2)(A∪B)×C=(A×C)∪(B×C)(3)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)(4)(A∩B)×C=(A×C)∩(B×C)(5)A×(B-C)=(A×B)-(A×C)(6)(A-B)×C=(A×C)-(B×C)证 明 只 证 明 (1), 其 余 留 作 练 习 。对 于 任 意 的 (x,y), 设(x,y)∈A×(B∪C)⇔x∈A∧y∈B∪C⇔x∈A∧(y∈B∨y∈C)⇔(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)⇔(x,y)∈A×B∨(x,y)∈A×C⇔(x,y)∈(A×B)∪(A×C)。所 以 A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)。例 5.3 设 A,B,C 和 D 是 任 意 的 集 合 , 试 问 下 列 等 式 是 否 成 立 ? 为 什 么 ?(1)(A∩B)×(C∩D)=(A×C)∩(B×D)(2)(A∪B)×(C∪D)=(A×C)∪(B×D)解 (1) 成 立 。 因 为 对 于 任 意 的 (x,y), 设(x,y)∈(A∩B)×(C∩D)⇔x∈A∩B∧y∈C∩D⇔x∈A∧x∈B∧y∈C∧y∈D⇔(x,y)∈A×C∧(x,y)∈B×D⇔(x,y)∈(A×C)∩(B×D)▊▊▊▊(2) 不 成 立 。 举 一 反 例 如 下 : 设 A=D=∅,B=C={1}, 则 (A∪B)×(C∪D)=B×C={(1,1)},80

(A×C)∪(B×D)=∅∪∅=∅, 显 然 等 式 不 成 立 。▊5.1.2 关 系 的 基 本 概 念定 义 5.4 设 n∈I + ,A 1 ,A 2 ,…,A n 为 任 意 n 个 集 合 ,ρ⊆A 1 ×A 2 ×…×A n , 则(1) 称 ρ 为 A 1 ,A 2 ,…,A n 间 的 n 元 关 系 (n-Relation);(2) 若 n=2, 则 称 ρ 为 从 A 1 到 A 2 的 二 元 关 系 (Binary Relation);(3) 若 ρ=∅, 则 称 ρ 为 空 关 系 (Empty Relation);(4) 若 ρ=A 1 ×A 2 ×…×A n , 则 称 ρ 为 普 遍 关 系 (Total Relation);(5) 若 A 1 =A 2 =…=A n =A, 则 称 ρ 为 A 上 的 n 元 关 系 (n-Relation On A);(6) 若 ρ={(x,x)|x∈A}, 则 称 ρ 为 A 上 的 恒 等 关 系 (Identity Relation On A)。若 ρ 是 由 A 到 B 的 一 个 关 系 , 且 (a,b)∈ρ, 则 a 对 b 有 关 系 ρ, 记 作 aρb。注 意 , 由 关 系 的 定 义 知 , 关 系 也 是 集 合 。 因 而 , 集 合 的 各 种 运 算 对 关 系 也 适 用 , 可 以 直接 运 用 。 下 面 将 主 要 讨 论 二 元 关 系 。例 5.4 设 A={1,2,4,7,8},B={2,3,5,7}, 定 义 由 A 到 B 的 关 系 ρ={(a,b)|(a+b)/5 是整 数 }, 求 关 系 ρ。解 根 据 ρ 的 定 义 ,ρ 中 的 序 偶 (a,b) 应 满 足 如 下 三 个 条 件 :(1)a∈A;(2)b∈B;(3)a+b 能 被 5 整 除 , 于 是ρ={(2,3),(7,3),(8,2),(8,7)}。例 5.5 设 A={2,3,4,5,9,25}, 定 义 A 上 的 关 系 ρ, 对 于 任 意 的 a,b∈A, 当 且 仅 当 (a-b)²∈A 时 , 有 aρb, 试 问 ρ 由 哪 些 序 偶 组 成 ?解 根 据 ρ 的 定 义 ,ρ 中 的 序 偶 (a,b) 应 满 足 以 下 三 个 条 件 :(1)a∈A;(2)b∈B;(3)(a-b)²∈A。 因 此ρ={(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,5),(5,3),(4,9),(9,4)}。例 5.6 设 A={0,1,2}, 求 A 上 的 普 遍 关 系 UA 和 A 上 的 恒 等 关 系 IA。解 由 普 遍 关 系 和 恒 等 关 系 的 定 义 知U A =A×A={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2)},I A ={(0,0),(1,1),(2,2)}。定 义 5.5 设 ρ 是 从 集 合 A 到 B 的 关 系 , 令domρ={x|x∈A 且 有 y∈B 使 (x,y)∈ρ}ranρ={y|y∈B 且 有 x∈A 使 (x,y)∈ρ}则 称 domρ 为 ρ 的 定 义 域 (Domain);ranρ 为 ρ 的 值 域 (Range)。从 定 义 5.5 可 以 看 出 ,ρ 的 定 义 域 实 际 上 是 由 ρ 中 所 有 序 偶 的 第 一 坐 标 构 成 的 集 合 ,ρ 的值 域 是 由 ρ 中 所 有 序 偶 的 第 二 坐 标 构 成 的 集 合 。例 5.7 设 ρ1={(1,2),(2,4),(3,3)},ρ2={(1,3),(2,4),(4,2)}, 试 求 出 domρ 1 ,domρ 2 ,dom(ρ 1 ∪ρ 2 ),ranρ 1 ,ranρ 2 和 ran(ρ 1 ∩ρ 2 )。解 根 据 ρ 的 定 义 域 和 值 域 的 定 义 有domρ 1 ={1,2,3}, ranρ 1 ={2,3,4}domρ 2 ={1,2,4}, ranρ 2 ={2,3,4}又 因 为 ρ 1 ∪ρ 2 ={(1,2),(2,4),(3,3),(1,3),(4,2)}, ρ 1 ∩ρ 2 ={(2,4)}▊▊▊81

所 以 dom(ρ 1 ∪ρ 2 )={1,2,3,4}, ran(ρ 1 ∩ρ 2 )={4}。▊5.1.3 关 系 的 表 示 方 法关 系 的 表 示 方 法 有 三 种 : 集 合 表 示 法 , 关 系 矩 阵 和 关 系 图 。1. 集 合 表 示 法因 为 关 系 是 一 个 集 合 , 因 此 可 以 用 集 合 的 列 举 法 或 描 述 法 来 表 示 它 。 在 前 面 的 叙 述 中 ,已 经 多 次 采 用 了 这 两 种 方 法 。例 如 , 例 5.4 中 定 义 的 由 A 到 B 的 关 系 ρ={(a,b)|(a+b)/5 是 整 数 }, 用 的 就 是 描 述 法 ,而 例 5.7 中 定 义 的 关 系 ρ 1 ={(1,2),(2,4),(3,3)} 和 ρ 2 ={(1,3),(2,4),(4,2)}, 用 的 是 列 举 法 。2. 关 系 矩 阵定 义 5.6 设 m,n∈I + ,A={x 1 ,x 2 ,…,x m },B={y 1 ,y 2 ,…,y n },ρ 是 从 A 到 B 的 关 系 , 令⎡a11a12... a1n⎤⎢⎥⎢a21a22... a2nMρ=⎥⎢ ... ... ... ... ⎥⎢⎥⎣am1 am2... amn⎦1 若 (x i ,y i )∈ρ其 中 a ij =(1≤i≤m,1≤j≤n)0 否 则称 M ρ 为 ρ 的 关 系 矩 阵 (Relation Matrix)。例 5.8 设 A={2,3,4,5},B={6,7,8,9}, 由 A 到 B 的 关 系 ρ 定 义 为 ρ={(a,b)|a 与 b 互 素 }。试 写 出 ρ 的 关 系 矩 阵 M ρ 。解 由 定 义 ρ={(2,7),(2,9),(3,7),(3,8),(4,7),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9)},所 以 关 系 矩 阵⎡01 0 1⎤⎢ ⎥⎢0 1 1 0Mρ =⎥⎢01 0 1⎥⎢ ⎥⎣11 1 1⎦3. 关 系 图定 义 5.7 设 A 和 B 是 任 意 的 非 空 有 限 集 ,ρ 是 一 个 从 A 到 B 的 关 系 , 以 A∪B 中 的 每 个元 素 为 一 个 结 点 , 对 每 个 (x,y)∈ρ, 画 一 条 从 x 到 y 的 有 向 边 , 得 到 一 个 有 向 图 G ρ , 称 其 为ρ 的 关 系 图 (Relation Graph)。例 5.9 设 A={1,2,3,4},ρ={(1,1),(1,2),(2,3),(2,4),(4,2)}, 则 ρ 的 关 系 图 G ρ 如 图5.1 所 示 。124图 5.1 关 系 图3▊82

5.2 关 系 的 性 质对 于 一 个 集 合 A 上 的 关 系 ρ 往 往 可 以 显 出 许 多 有 用 的 性 质 , 下 面 将 列 出 一 些 最 基 本 的 性质 。定 义 5.8 设 ρ 为 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则(1) 若 对 所 有 的 a∈A, 有 (a,a)∈ρ, 则 称 ρ 为 自 反 关 系 (Reflexive Relation);(2) 若 对 所 有 的 a∈A, 有 (a,a)∉ρ, 则 称 ρ 为 反 自 反 关 系 (Antireflexive Relation);(3) 对 任 意 a,b∈A, 若 有 (a,b)∈ρ, 就 必 有 (b,a)∈ρ, 则 称 ρ 为 对 称 关 系 (SymmetricRelation);(4) 对 任 意 a,b∈A, 若 有 (a,b)∈ρ,(b,a)∈ρ, 就 必 有 a=b, 则 称 ρ 为 反 对 称 关 系(Antisymmetric Relation);(5) 对 任 意 a,b,c∈ A, 若 有 (a,b)∈ρ,(b,c)∈ρ, 就 必 有 (a,c)∈ρ, 则 称 ρ 为 传 递 关 系(Transitive Relation)。注 意 区 别 自 反 关 系 和 恒 等 关 系 , 一 个 集 合 A 上 的 恒 等 关 系 是 自 反 关 系 , 但 自 反 关 系 不 一定 是 恒 等 关 系 。另 外 , 反 对 称 关 系 的 定 义 也 可 等 价 地 叙 述 为 , 对 任 意 a,b∈A, 若 有 a≠b 且 (a,b)∈ρ,就 必 有 (b,a)∉ρ, 则 称 ρ 为 反 对 称 关 系 。例 5.10 设 A={a,b,c,d}(1) 判 断 下 列 关 系 是 否 为 自 反 关 系 或 反 自 反 关 系 ;ρ 1 ={(a,b),(b,c)}ρ 2 ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,a)}ρ 3 ={(a,a),(a,b),(d,d),(c,c),(b,b)}ρ 4 ={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d)}解 ρ 1 不 是 自 反 关 系 , 因 为 对 于 所 有 的 x∈A,(x,x) 均 不 在 ρ 1 中 ; 上 述 原 因 正 好 说 明 ρ 1是 反 自 反 关 系 。ρ 2 不 是 自 反 关 系 , 因 为 (d,d)∉ρ 2 ;ρ 2 也 不 是 反 自 反 关 系 , 因 为 (a,a),(b,b),(c,c)∈ ρ 2 。ρ 3 是 自 反 关 系 , 不 是 反 自 反 关 系 。ρ 4 是 自 反 关 系 , 不 是 反 自 反 关 系 。(2) 判 断 下 列 关 系 是 否 为 对 称 关 系 或 反 对 称 关 系 ;ρ 5 ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(c,b)}ρ 6 ={(a,a),(a,b),(b,c),(d,c)}ρ 7 ={(a,a),(c,b),(c,d),(d,c)}ρ 8 ={(b,b),(d,d)}解 ρ 5 是 对 称 关 系 , 但 不 是 反 对 称 关 系 , 因 为 a≠b, 但 (a,b) 和 (b,a) 均 出 现 在 ρ 5 中 ,同 样 b≠c, 但 (b,c) 和 (c,b) 均 出 现 在 ρ 5 中 。ρ 6 不 是 对 称 关 系 , 因 为 (a,b)∈ρ 6 , 但 (b,a)∉ρ 6 , 同 样 (b,c)∈ρ 6 , 但 (c,b)∉ρ 6 ,(d,c)∈ρ 6但 (c,d)∉ρ 6 ; 而 上 述 原 因 正 好 说 明 ρ 6 是 反 对 称 关 系 。ρ 7 不 是 对 称 关 系 , 因 为 (c,b)∈ρ 7 但 (b,c)∉ρ 7 ;ρ 7 也 不 是 反 对 称 关 系 , 因 为 c≠d, 但 (c,d)和 (d,c) 均 在 ρ 7 中 。ρ 8 既 是 对 称 关 系 , 也 是 反 对 称 关 系 。(3) 判 断 下 列 关 系 是 否 为 传 递 关 系 。ρ 9 ={(b,c),(c,c),(c,d),(b,d)}83

ρ 10 ={(b,c),(c,b),(b,b),(a,d)}ρ 11 ={(b,c),(d,a),(d,c)}解 ρ 9 是 传 递 关 系 。ρ 10 不 是 传 递 关 系 , 因 为 (c,b)∈ρ 10 ,(b,c)∈ρ 10 , 但 (c,c)∉ρ 10 。ρ 11 是 传 递 关 系 , 在 ρ 11 中 没 有 出 现 (x,y)∈ρ 11 同 时 (y,z)∈ρ 11 的 情 形 , 因 此 也 就 无 所 谓(x,z)∈ρ 11 的 要 求 。关 系 的 这 些 性 质 , 在 关 系 矩 阵 和 关 系 图 上 大 多 可 以 得 到 明 确 的 反 映 :若 关 系 ρ 是 自 反 的 , 则 关 系 矩 阵 的 主 对 角 线 上 的 元 素 全 为 1; 若 ρ 是 对 称 的 , 则 关 系 矩 阵关 于 主 对 角 线 对 称 ; 若 ρ 是 反 对 称 的 , 则 对 i≠j, 若 a ij =1, 则 a ji =0。若 关 系 ρ 是 自 反 的 , 则 ρ 的 关 系 图 中 的 每 一 个 结 点 引 出 一 个 单 边 环 ; 若 ρ 是 对 称 的 , 则 在其 关 系 图 中 , 对 每 一 由 结 点 a i 指 向 结 点 a j 的 边 , 必 有 一 相 反 方 向 的 边 ; 若 ρ 是 反 对 称 的 , 则在 其 图 中 , 任 何 两 个 不 同 的 节 点 间 最 多 只 有 一 条 边 , 而 不 会 同 时 有 两 条 相 反 方 向 的 边 ; 若 ρ是 传 递 的 , 则 若 有 由 结 点 a i 指 向 a k 的 边 , 且 又 有 由 结 点 a k 指 向 a j 的 边 , 就 必 有 一 条 由 结 点a i 指 向 a j 的 边 。▊5.3 关 系 的 运 算5.3.1 复 合 关 系定 义 5.9 设 ρ 1 为 从 集 合 A 到 集 合 B 的 关 系 , ρ 2 为 从 集 合 B 到 集 合 C 的 关 系 , 则 称 A到 C 的 关 系{(x,z)|x∈A, z∈C, 有 y∈B 使 (x,y)∈ρ 1 且 (y,z)∈ρ 2 }为 ρ 1 与 ρ 2 的 复 合 关 系 (Composite Relation), 记 为 ρ 1 o ρ 2 。 这 种 从 ρ 1 和 ρ 2 得 到 ρ 1 o ρ 2 的 运算 , 叫 做 关 系 的 复 合 运 算 (Composite Operation)。例 5.11 设 集 合 A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},C={0,1,2},ρ 1 是 从 A 到 B 的 关 系 ,ρ 2是 从 B 到 C 的 关 系 , 分 别 定 义 为 :ρ 1 ={(a,b)|a+b=6}, ρ 2 ={(b,c)|b-c=2},试 求 复 合 关 系 ρ 1 o ρ 2 和 ρ 2 o ρ 1 。解 由 题 意 知ρ 1 ={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2)}ρ 2 ={(2,0),(3,1),(4,2)}根 据 复 合 关 系 的 定 义ρ 1 o ρ 2 ={(2,2),(3,1),(4,0)}ρ 2 o ρ 1 ={(3,5),(4,4)}由 例 5.11 可 知 , 关 系 的 复 合 一 般 是 不 可 交 换 的 。定 理 5.4 设 A,B,C,D 为 任 意 四 个 集 合 ,ρ 1 是 从 A 到 B 的 关 系 ,ρ 2 和 ρ 3 是 从 B 到 C 的关 系 ,ρ 4 是 从 C 到 D 的 关 系 , 于 是 有 :(1) 若 ρ 2 ⊆ρ 3 , 则 ρ 1 o ρ 2 ⊆ρ 1 o ρ 3 ,ρ 2 o ρ 4 ⊆ρ 3 o ρ 4 ;(2) ρ 1 o (ρ 2 ∪ρ 3 ) = (ρ 1 o ρ 2 )∪(ρ 1 o ρ 3 );(3) (ρ 2 ∪ρ 3 ) o ρ 4 = (ρ 2 o ρ 4 )∪(ρ 3 o ρ 4 );▊84

(4) ρ 1 o (ρ 2 ∩ρ 3 )⊆(ρ 1 o ρ 2 )∩(ρ 1 o ρ 3 );(5) (ρ 2 ∩ρ 3 ) o ρ 4 ⊆(ρ 2 o ρ 4 )∩(ρ 3 o ρ 4 );(6) (ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 = ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 )。证 明 只 证 (1) 和 (6), 其 余 类 似 , 作 为 练 习 。(1) 任 取 (a,c)∈ρ 1 o ρ 2 , 则 必 有 b∈B, 使 得 (a,b)∈ρ 1 , 且 (b,c)∈ρ 2 。 但 ρ 2 ⊆ρ 3 , 所 以(b,c) ∈ρ 3 。 因 此 (a,c)∈ρ 1 o ρ 3 , 故 有 ρ 1 o ρ 2 ⊆ρ 1 o ρ 3 。同 理 可 证 ρ 2 o ρ 4 ⊆ρ 3 o ρ 4 ,(1) 得 证 。(6) 根 据 复 合 关 系 的 定 义 ,(ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 和 ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 ) 都 是 由 A 到 D 的 关 系 。任 取 (a,d)∈(ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 , 则 必 有 c∈C, 使 得 (a,c)∈ρ 1 o ρ 2 ,(c,d)∈ρ 4 ; 又 由 (a,c)∈ρ 1o ρ 2 , 必 有 b∈B, 使 得 (a,b)∈ρ 1 ,(b,c)∈ρ 2 。 由 (b,c)∈ρ 2 ,(c,d)∈ρ 4 , 可 得 (b,d)∈ρ 2 o ρ 4 ,于 是 由 (a,b)∈ρ 1 ,(b,d)∈ρ 2 o ρ 4 , 可 得 (a,d)∈ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 ), 故 有 (ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 ⊆ ρ 1 o (ρ 2o ρ 4 )。同 理 可 证 ρ 1 o (ρ 2 o ρ 4 )⊆(ρ 1 o ρ 2 ) o ρ 4 。由 以 上 两 方 面 就 得 证 (6)。由 定 理 5.4 的 (6) 可 知 , 关 系 的 复 合 运 算 满 足 结 合 律 。 推 广 到 n 个 关 系 的 情 况 有 如 下定 义 。定 义 5.10 设 ρ 1 ,ρ 2 ,…,ρ n 分 别 是 A 1 到 A 2 ,A 2 到 A 3 ,…,A n 到 A n+1 的 关 系 , 则 称 关 系{(x 1 ,x n+1 )|x 1 ∈A,x n+1 ∈A n+1 , 存 在 x 2 ∈A 2 ,…,x n ∈A n , 使 (x 1 ,x 2 )∈ρ 1 ,…,(x n ,x n+1 )∈ρ n }为 ρ 1 ,ρ 2 ,…,ρ n 的 复 合 , 记 为 ρ 1 o ρ 2 o…o ρ n ;当 A 1 =A 2 =…=A n+1 =A,ρ 1 =ρ 2 =…=ρ n =ρ 时 , 则 复 合 关 系 ρ 1 o ρ 2 o…o ρ n =ρ o ρ o…o ρ 称 为 ρ 的 n次 幂 (n-Power), 记 为 ρⁿ。例 5.12 设 A={1,2,3,4},A 上 的 关 系 ρ={(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 有ρ 2 ={(3,1),(4,2)}ρ 3 ={(4,1)}ρ 4 =∅定 义 5.11 设 A 为 任 意 集 合 ,ρ 为 A 上 的 任 意 二 元 关 系 , 则 有 :(1)ρ 0 是 A 上 的 恒 等 关 系 , 即 ρ 0 = I A ;(2)ρ n+1 = ρ o ρ n ,n∈N。定 理 5.5 设 m,n∈N,ρ 为 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则(1)ρ m o ρ n = ρ m+n(2)(ρ n ) m = ρ m·n为 了 研 究 复 合 关 系 的 关 系 矩 阵 , 我 们 首 先 介 绍 布 尔 运 算 , 布 尔 运 算 只 涉 及 数 字 0 和 1, 有 两个 运 算 符 “∨” 和 “∧”, 运 算 规 则 如 下 :0∨0=0, 0∨1=1, 1∨0=0, 1∨1=1;0∧0=0, 0∧1=0, 1∧0=0, 1∧1=1。然 后 用 布 尔 运 算 来 定 义 两 个 关 系 矩 阵 的 乘 积 运 算 “*” 如 下 :▊▊▊⎡a⎢⎢a⎢ ...⎢⎣am11211aaa1222...m2............aaa1n2n...mn⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎡b11b12... b1p⎤⎢⎥⎢b21b22... b2p* ⎥ =⎢ ... ... ... ... ⎥⎢⎥⎣bn1 bn2... bnp⎦⎡c11⎢⎢c21⎢ ...⎢⎣cm1ccc1222...m2............ccc1n2n...mp⎤⎥⎥⎥⎥⎦85

其 中cijn= ∨ ( a ∧ b ) 1≤i≤m,1≤j≤p=k 1ikkj从 而 可 得 如 下 定 理 。定 理 5.6 设 A,B,C 是 非 空 有 限 集 ,ρ 1 是 从 A 到 B 的 关 系 ,ρ 2 是 从 B 到 C 的 关 系 , 则M ρ1 o ρ 2= M ρ1 * M ρ2推 论 5.2 设 A 1 ,A 2 ,…,A n+1 是 有 限 集 合 ,ρ 1 ,ρ 2 ,…,ρ n 分 别 是 A 1 到 A 2 ,A 2 到 A 3 ,…,A n 到 A n+1的 关 系 , 它 们 的 关 系 矩 阵 分 别 为 M ρ1 ,M ρ2 ,…,M ρn , 则 有 :M ρ1 o ρ 2 o … o ρ n= M ρ1 * M ρ2 * … * M ρn推 论 5.3 ρ 是 集 合 A 上 的 关 系 ,Mρ 为 其 关 系 矩 阵 , 则 有M ρ n = (M ρ ) n对 于 集 合 A 上 的 二 元 关 系 ρ, 其 复 合 关 系 ρ n , 仍 是 A 上 的 二 元 关 系 。 我 们 可 以 用 如 下 的 方 法由 ρ 的 关 系 图 作 出 ρ n 的 关 系 图 。由 ρ 的 关 系 图 构 成 ρ n 的 关 系 图 的 步 骤 如 下 :(1) 对 ρ 的 关 系 图 ( 假 设 有 m 个 结 点 ) 中 每 个 结 点 a i (i=1,2,…,m), 找 出 从 a i 经 由 长为 n 的 路 能 够 到 达 的 结 点 a j ;(2) 连 接 a i a j 得 ρ n 的 一 条 边 ;(3) 前 两 步 得 到 的 所 有 边 组 成 ρ n 的 关 系 图 。▊▊▊5.3.2 逆 关 系定 义 5.12 设 ρ 是 从 集 合 A 到 B 的 关 系 , 则 如 下 从 B 到 A 的 关 系 :{(y,x)|y∈B,x∈A 且 (x,y)∈ρ}称 为 关 系 ρ 的 逆 关 系 (Inverse Relation), 记 为 ρ -1 , 这 种 从 ρ 得 到 ρ -1 的 运 算 , 叫 做 关 系 的逆 运 算 (Inverse Operation)。显 然 , 从 集 合 A 到 B 的 关 系 ρ 的 逆 关 系 是 将 ρ 中 每 一 个 序 偶 的 坐 标 顺 序 互 换 所 得 到 的 集合 。由 此 定 义 可 直 接 得 出 如 下 定 理 。定 理 5.7 设 A,B 为 非 空 有 限 集 ,ρ 是 从 A 到 B 的 关 系 , 则 有 :(1)M ρ -1 = M T ρ (M T ρ 为 M ρ 的 转 置 矩 阵 , 即 将 M ρ 中 的 行 和 列 互 换 )(2) 把 G ρ 的 每 条 有 向 边 反 向 , 就 得 到 ρ -1 的 关 系 图 G ρ -1。▊例 5.13 设 A={a,b,c},A 上 的 关 系 ρ={(a,a),(a,c),(b,a),(b,b),(c,a),(c,b)}, 试 求逆 关 系 ρ -1 。解 由 逆 关 系 的 定 义 知ρ -1 ={(a,a),(c,a),(a,b),(b,b),(a,c),(b,c)}▊定 理 5.8 设 ρ 和 ρ i (i=1,2,…) 都 是 从 集 合 A 到 集 合 B 的 二 元 关 系 , 则 有 :(1)(ρ -1 ) -1 =ρ;(2) 若 ρ 1 ⊆ρ 2 , 则 ρ 1-1⊆ρ 2-1;86

(3) 若 ρ 1 =ρ 2 , 则 ρ 1-1=ρ 2-1定 理 5.9 设 ρ 是 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则 有 :(1)ρ 是 自 反 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 自 反 的 ;(2)ρ 是 反 自 反 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 反 自 反 的 ;(3)ρ 是 对 称 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 对 称 的 ;(4)ρ 是 反 对 称 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 反 对 称 的 ;(5)ρ 是 传 递 的 , 当 且 仅 当 ρ -1 是 传 递 的 。证 明 只 证 (3), 其 余 留 作 练 习 。设 ρ 对 称 , 则 若 (a,b)∈ρ, 必 有 (b,a)∈ρ, 从 而 若 (b,a)∈ρ -1 , 必 有 (a,b)∈ρ -1 , 所 以 ρ -1是 对 称 的 。同 理 可 证 , 若 ρ -1 对 称 , 则 ρ 对 称 。由 以 上 两 方 面 知 (3) 得 证 。定 理 5.10 设 A,B,C 是 三 个 集 合 ,ρ 1 是 从 A 到 B 的 关 系 ,ρ 2 是 从 B 到 C 的 关 系 , 则 有 :(ρ 1 o ρ 2 ) -1 = ρ -1 2 o ρ -1 1证 明 任 取 (c,a)∈(ρ 1 o ρ 2 ) -1 , 其 中 c∈C,a∈A, 则 有 (a,c)∈ρ 1 o ρ 2 , 从 而 存 在 b∈B, 使得 (a,b)∈ρ 1 ,(b,c)∈ρ 2 , 因 此 , 存 在 b∈B 并 使 得 (c,b)∈ρ 2-1,(b,a)∈ρ 1-1, 所 以 (c,a)∈ρ -1 2o ρ 1-1, 即 得 (ρ 1 o ρ 2 ) -1 ⊆ ρ -1 2 o ρ 1-1。同 理 可 证 ρ -1 2 o ρ -1 1 ⊆ (ρ 1 o ρ 2 ) -1 。由 以 上 两 方 面 知 定 理 成 立 。推 论 5.4 设 n∈N,ρ 是 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则 (ρ n ) -1 =(ρ -1 ) n 。例 5.14 设 ρ 是 A 上 的 二 元 关 系 , 则 ρ 是 对 称 的 当 且 仅 当 ρ=ρ -1 。证 明 任 取 (x,y)∈ρ, 则 (y,x)∈ρ, 从 而 (x,y)∈ρ -1 , 所 以 ρ⊆ρ -1 。 反 之 , 任 取 (x,y)∈ρ -1 ,则 (y,x)∈ρ, 从 而 (x,y)∈ρ, 所 以 ρ -1 ⊆ρ。 因 此 ρ=ρ -1 。若 设 ρ=ρ -1 , 任 取 (x,y)∈ρ, 则 (y,x)∈ρ -1 , 但 ρ=ρ -1 , 所 以 (y,x)∈ρ, 因 此 ρ 对 称 。由 以 上 两 方 面 知 该 命 题 成 立 。▊▊▊▊▊5.3.3 关 系 的 闭 包定 义 5.13 设 ρ 为 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 如 果 A 上 的 二 元 关 系 ρ′ 满 足 :(1) ρ′ 是 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 的 ;(2) ρ⊆ρ′;(3) 若 A 上 的 二 元 关 系 ρ′′ 也 满 足 (1)(2), 则 ρ′⊆ρ′′ ;则 称 ρ′ 为 ρ 的 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 闭 包 (Closure), 记 为 r(ρ)(s(ρ),t(ρ))。从 定 义 可 以 看 出 ,ρ 的 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 闭 包 就 是 包 含 ρ 并 且 具 有 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 性质 的 最 小 关 系 。 显 然 , 若 ρ 已 经 是 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 的 , 那 么 ρ 的 自 反 ( 对 称 , 传 递 ) 就 是 它自 身 。 因 此 , 有 以 下 定 理 。定 理 5.11 设 ρ 是 A 上 的 二 元 关 系 , 则 :(1) ρ 是 自 反 的 , 当 且 仅 当 r(ρ)=ρ;(2) ρ 是 对 称 的 , 当 且 仅 当 s(ρ)=ρ;87

(3) ρ 是 传 递 的 , 当 且 仅 当 t(ρ)=ρ。证 明 只 证 (1), 其 余 留 作 练 习 。设 ρ 是 自 反 的 , 又 ρ⊆ρ, 且 任 何 包 含 ρ 的 自 反 关 系 ρ′′, 有 ρ⊆ρ′′, 所 以 ρ 满 足 自 反 闭 包 的 定义 , 即 r(ρ)=ρ。反 之 , 若 r(ρ)=ρ, 则 由 r(ρ) 的 定 义 知 ρ 是 自 反 的 。由 以 上 两 方 面 知 (1) 得 证 。定 理 5.12 设 ρ 是 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 则 :(1) r(ρ)=ρ∪I A ;(2) s(ρ)=ρ∪ρ -1 ;i(3) t( ρ)= U ρ = ρ∞i=1+定 理 5.12 给 的 计 算 公 式 ,r(ρ),s(ρ) 很 实 用 ,t(ρ) 有 待 改 进 , 这 就 是 下 面 的 定 理 。定 理 5.13 设 A 为 n 个 元 素 的 有 限 集 , ρ 为 A 上 的 二 元 关 系 , 则nt( ρ)= U ρi=1i例 5.15 设 A={a,b,c},A 上 的 二 元 关 系 ρ={(a,b),(b,c),(c,a)}, 求 r(ρ),s(ρ),t(ρ)。解 r(ρ)=ρ∪IA={(a,b),(b,c),(c,a)}∪{(a,a),(b,b),(c,c)}={(a,a),(a,b),(b,b),(b,c),(c,a),(c,c)}s(ρ)=ρ∪ρ -1 ={(a,b),(b,c),(c,a)}∪{(b,a),(c,b),(a,c)}={(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b)}为 求 t(ρ), 先 求 ρ 2 ,ρ 3 。ρ 2 ={(a,c),(b,a),(c,b)}ρ 3 ={(a,a),(b,b),(c,c)}所 以 t(ρ)=ρ∪ρ 2 ∪ρ 3={(a,b),(b,c),(c,a)}∪{(a,c),(b,a),(c,b)}∪{(a,a),(b,b),(c,c)}={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}▊▊▊5.4 等 价 关 系5.4.1 等 价 关 系 及 判 定定 义 5.14 设 ρ 是 集 合 A 上 的 二 元 关 系 , 若 ρ 是 自 反 , 对 称 和 传 递 的 , 则 称 ρ 为 等 价 关 系(Equivalent Relation)。在 我 们 日 常 生 活 和 学 习 中 , 就 有 一 些 等 价 关 系 的 例 子 , 如 :(1) 在 一 群 人 的 集 合 上 年 龄 相 等 的 关 系 是 等 价 关 系 , 而 朋 友 关 系 不 一 定 是 等 价 关 系 ,因 为 它 可 能 不 是 传 递 的 。(2) 命 题 公 式 间 的 逻 辑 等 值 关 系 是 等 价 关 系 。(3) 集 合 上 的 恒 等 关 系 和 普 遍 关 系 都 是 等 价 关 系 。(4) 在 同 一 平 面 上 直 线 之 间 的 平 行 关 系 , 三 角 形 之 间 的 相 似 关 系 都 是 等 价 关 系 。88

显 然 , 如 果 ρ 是 集 合 A 上 的 一 个 等 价 关 系 , 那 么 ρ 的 定 义 域 domρ 与 值 域 ranρ 都 是 A 自 身 。例 5.16 设 A={a,b,c,d,e},A 上 的 关 系ρ 1 ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)},ρ 2 ={(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e)},试 判 断 ρ 1 和 ρ 2 是 否 为 等 价 关 系 。解 ρ 1 是 等 价 关 系 , 因 为 它 满 足 自 反 性 , 对 称 性 和 传 递 性 。ρ 2 不 是 等 价 关 系 , 因 为 :1(a,a),(e,e)∉ρ 2 , 即 ρ 2 不 满 足 自 反 性 ;2(d,e)∈ρ 2 , 但(e,d)∉ρ 2 , 即 ρ 2 不 满 足 对 称 性 ;3(a,b)∈ρ 2 ,(b,a)∈ρ 2 , 但 (a,a)∉ρ 2 , 即 ρ 2 不 满 足 传 递 性 。当 然 , 以 上 三 条 原 因 中 只 要 具 备 任 何 一 条 就 可 判 断 ρ 2 不 是 等 价 关 系 。例 5.17 设 ρ 1 是 集 合 A 上 的 一 个 二 元 关 系 ,ρ 2 ={(a,b)∣ 存 在 c, 使 (a,c)∈ρ 1 且 (c,b)∈ρ 1 }, 证 明 若 ρ 1 是 一 个 等 价 关 系 , 则 ρ 2 也 是 一 个 等 价 关 系 。证 明 设 ρ 1 是 A 上 的 等 价 关 系 ,(1) 对 任 意 一 个 x∈A, 因 为 ρ 1 在 A 上 自 反 , 所 以 (x,x)∈ρ 1 。 由 ρ 2 的 定 义 ,(x,x)∈ρ 2 ,所 以 ρ 2 是 自 反 的 。(2) 对 任 意 x,y∈A, 若 (x,y)∈ρ 2 , 则 存 在 某 个 c∈A, 使 得 (x,c)∈ρ 1 且 (c,y)∈ρ 1 , 因 为ρ 1 是 对 称 , 故 有 (y,c)∈ρ 1 且 (c,x)∈ρ 1 , 由 ρ 2 的 定 义 , 可 知 (y,x)∈ρ 2 , 所 以 ρ 2 是 对 称 的 。(3) 对 任 意 x,y,z∈A, 若 (x,y)∈ρ 2 ,(y,z)∈ρ 2 , 则 必 存 在 某 个 c 1 ∈A, 使 (x,c 1 )∈ρ1,(c 1 ,y)∈ρ 1 。 由 ρ 1 的 传 递 性 , 可 知 (x,y)∈ρ 1 , 同 理 存 在 c 2 ∈A, 使 (y,c 2 )∈ρ 1 且 (c 2 ,z)∈ρ 1 , 由ρ 1 传 递 , 可 知 (y,z)∈ρ 1 。 再 由 ρ 2 的 定 义 , 得 (x,z)∈ρ 2 。 所 以 ρ 2 是 传 递 的 。由 以 上 (1)(2)(3) 可 知 ρ 2 是 一 个 等 价 关 系 。例 5.18 设 ρ 1 和 ρ 2 都 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 ,(1) 试 证 明 :ρ 1 ∩ρ 2 也 是 A 上 的 等 价 关 系 ;证 明 由 交 集 的 定 义 ρ 1 ∩ρ 2 ={(a,b)|(a,b)∈ρ 1 且 (a,b)∈ρ 2 }。对 任 意 一 个 a∈A, 因 为 ρ 1 和 ρ 2 都 是 自 反 的 , 所 以 有 (a,a)∈ρ 1 且 (a,a)∈ρ 2 , 因 而 有(a,a)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 故 ρ 1 ∩ρ 2 是 自 反 的 。对 任 意 a,b∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 则 有 (a,b)∈ρ 1 且 (a,b)∈ρ 2 , 由 ρ 1 和 ρ 2 的 对 称 性 有(b,a)∈ρ 1 且 (b,a)∈ρ 2 , 因 而 有 (b,a)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 故 ρ 1 ∩ρ 2 是 对 称 的 。对 任 意 a,b,c∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∩ρ 2 ,(b,c)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 则 有 (a,b)∈ρ 1 ,(b,c)∈ρ 1 ;(a,b)∈ρ 2 ,(b,c)∈ρ 2 。 由 ρ 1 和 ρ 2 的 传 递 性 有 (a,c)∈ρ 1 ,(a,c)∈ρ 2 , 因 而 有 (a,c)∈ρ 1 ∩ρ 2 , 故 ρ 1 ∩ρ 2 是传 递 的 。由 以 上 三 方 面 知 ρ 1 ∩ρ 2 是 A 上 的 等 价 关 系 。▊▊(2)ρ 1 ∪ρ 2 是 A 上 的 等 价 关 系 吗 ? 为 什 么 ?解 为 了 判 断 ρ 1 ∪ρ 2 是 否 为 A 上 的 等 价 关 系 , 我 们 试 图 来 证 明 它 的 自 反 性 , 对 称 性 和 传递 性 。由 并 集 的 定 义 ρ 1 ∪ρ 2 ={(a,b)|(a,b)∈ρ 1 或 (a,b)∈ρ 2 }对 任 意 一 个 a∈A, 因 为 ρ 1 是 自 反 的 , 所 以 有 (a,a)∈ρ 1 , 因 而 有 (a,a)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 故 ρ 1 ∪ρ 2是 自 反 的 。对 任 意 a,b∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 则 有 (a,b)∈ρ 1 或 (a,b)∈ρ 2 , 由 ρ 1 和 ρ 2 的 对 称 性 有(b,a)∈ρ 1 或 (b,a)∈ρ 2 , 因 而 有 (b,a)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 故 ρ 1 ∪ρ 2 是 对 称 的 。对 任 意 a,b,c∈A, 若 (a,b)∈ρ 1 ∪ρ 2 ,(b,c)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 则 有(a,b)∈ρ 1 或 (a,b)∈ρ 2 ;89

(b,c)∈ρ 1 或 (b,c)∈ρ 2 。因 为 (a,b) 和 (b,c) 不 一 定 同 时 属 于 ρ 1 , 也 不 一 定 同 时 属 于 ρ 2 , 所 以 我 们 无 法 推 出 (a,c)∈ρ 1或 (a,c)∈ρ 2 , 因 而 也 就 无 法 推 出 (a,c)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 这 说 明 ρ 1 ∪ρ 2 的 传 递 性 不 一 定 成 立 , 因 此 推不 出 ρ 1 ∪ρ 2 是 A 上 的 等 价 关 系 。举 反 例 如 下 : 设 A={1,2,3},A 上 的 关 系ρ 1 ={(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1)};ρ 2 ={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3),(3,2)}。显 然 ρ 1 和 ρ 2 均 是 等 价 关 系 。ρ 1 ∪ρ 2 ={(1,1),(2,2),(3,3),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)}。这 里 ρ 1 ∪ρ 2 是 自 反 , 对 称 的 , 但 因 为 (2,3)∈ρ 1 ∪ρ 2 且 (3,1)∈ρ 1 ∪ρ 2 , 而 (2,1)∉ρ 1 ∪ρ 2 , 所 以ρ 1 ∪ρ 2 不 是 传 递 的 。▊5.4.2 覆 盖 与 分 划定 义 5.15 设 A 是 一 个 非 空 集 合 ,π 是 满 足 下 列 条 件 的 集 合 :(1)π 中 元 素 是 A 的 非 空 子 集 ;(2)A 中 任 一 元 素 至 少 属 于 π 中 一 个 元 素 , 即 π 中 各 元 素 之 并 等 于 A。则 称 π 为 A 的 一 个 覆 盖 (Covering), 如 果 π 还 满 足 条 件 :(3)π 中 元 素 互 不 相 交 。则 称 π 为 A 的 一 个 分 划 (Partition),π 中 每 个 元 素 叫 做 A 的 一 个 分 划 块 (Block)。例 5.19 设 A={0,1,2,3,4},π 1 ={{0,1},{1,2},{2,3,4}},π 2 ={{0,1},{2,3},{4}}, 则π 1 是 A 的 一 个 覆 盖 但 不 是 分 划 ,π 2 既 是 A 的 一 个 覆 盖 , 也 是 A 的 一 个 分 划 。定 义 4.16 设 π 1 ={A 1 ,A 2 ,…,A m },π 2 ={B 1 ,B 2 ,…,B n } 都 是 集 合 A 的 分 划 , 如 果 对 每 个 A i均 有 一 个 B j 使 A i ⊆B j , 则 称 分 划 π 1 是 分 划 π 2 的 细 分 或 加 细 。例 5.20 设 A={a,b,c},π 1 ={{1},{2},{3}},π 2 ={{1},{2,3}},π 3 ={{1,2,3}}, 则 π 1 ,π 2 和 π 3 都 是 集 合 A 的 分 划 , 且 π 1 是 π 2 和 π 3 的 细 分 ,π 2 是 π 3 的 细 分 。▊▊5.4.3 等 价 类 与 商 集定 义 5.17 设 ρ 为 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 任 取 a∈A, 集 合 [a]ρ={x|x∈A,(a,x)∈ρ} 称 为 a形 成 的 ρ 的 等 价 类 (Equivalent Class), 有 时 也 简 记 为 [a]。由 定 义 知 ,[a] ρ 是 非 空 的 , 因 为 至 少 有 a∈[a] ρ 。例 5.21 设 A={a,b,c,d,e},A 上 的 关 系ρ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)},确 定 由 集 合 A 中 的 元 素 产 生 的 等 价 类 。解 对 于 元 素 a, 因 为 (a,a)∈ρ,(b,a)∈ρ, 所 以 a 产 生 的 等 价 类 [a] ρ ={a,b}。对 于 元 素 b, 因 为 (b,b)∈ρ,(a,b)∈ρ, 所 以 b 产 生 的 等 价 类 [b] ρ ={a,b}。类 似 地 ,[c] ρ ={c},[d] ρ ={e,d},[e] ρ ={e,d}。由 上 看 出 [a] ρ = [b] ρ , [d] ρ = [e] ρ , 这 说 明 不 同 的 元 素 可 能 产 生 的 等 价 类 是 相 同 的 。▊90

定 理 5.14 设 ρ 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 对 于 a,b∈A, 有 (a,b)∈ρ 当 且 仅 当 [a] ρ = [b] ρ 。证 明 设 [a] ρ = [b] ρ , 因 为 b∈[b] ρ , 故 b∈[a] ρ , 即 (a,b)∈ρ。反 之 , 若 (a,b)∈ρ, 设 c∈[a] ρ , 则 (a,c)∈ρ, 又 (a,b)∈ρ, 从 而 (b,a)∈ρ 所 以 (b,c)∈ρ,因 此 c∈[b] ρ , 即 [a] ρ ⊆ [b] ρ 。 同 理 , 可 得 [b] ρ ⊆ [a] ρ , 所 以 [a] ρ = [b] ρ 。由 以 上 两 方 面 知 定 理 成 立 。定 义 5.18 设 ρ 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 则 称 集 合 {[a] ρ |a∈A} 为 A 关 于 ρ 的 商 集(Quatient Set), 记 为 A/ρ, 商 集 的 基 数 称 为 等 价 关 系 ρ 的 秩 (Rank)。如 例 5.21 中 的 商 集 为 A/ρ={[a] ρ ,[b] ρ ,[c] ρ ,[d] ρ ,[e] ρ }={{a,b},{c},{d,e}}。定 理 5.15 设 ρ 是 集 合 A 上 的 等 价 关 系 , 则 A 关 于 ρ 的 商 集 A/ρ 是 A 的 一 个 分 划 , 称 为 A关 于 ρ 的 等 价 分 划 。证 明 由 商 集 , 分 划 以 及 等 价 关 系 的 定 义 可 证 。定 理 5.16 集 合 A 的 一 个 分 划 确 定 A 上 的 一 个 等 价 关 系 。证 明 设 π={S 1 ,S 2 ,…,S n } 是 集 合 A 的 一 个 分 划 , 定 义 A 上 的 关 系 ρ,(a,b)∈ρ 当 且 仅 当a,b 在 同 一 分 划 块 中 。 下 面 证 明 ρ 是 等 价 关 系 。(1) 由 于 a 与 a 在 同 一 分 划 块 中 , 故 有 (a,a)∈ρ, 即 ρ 是 自 反 的 。(2) 若 a,b 在 同 一 分 划 块 中 , 则 b 与 a 也 在 同 一 分 划 块 中 , 即 由 (a,b)∈ρ, 可 推 出(b,a)∈ρ, 所 以 ρ 是 对 称 的 。(3) 设 (a,b)(b,c)∈ρ, 则 a,b 在 同 一 分 划 块 中 ,b,c 在 同 一 分 划 块 中 , 又 因 为 S i ∩S j =∅(i≠j), 所 以 b 恰 属 于 一 个 分 划 块 , 故 a,c 在 同 一 分 划 块 中 , 即 (a,c)∈ρ, 所 以 ρ 是 传 递 的 。由 以 上 (1)(2)(3) 可 知 ρ 是 A 上 的 等 价 关 系 。例 5.22 设 A={a,b,c,d,e} 有 一 个 分 划 π={{a,b},{c},{d,e}}, 求 π 所 确 定 的 等 价 关 系 ρ。解 设 ρ 1 ={a,b}×{a,b}={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)},ρ 2 ={c}×{c}={(c,c)},ρ 3 ={d,e}×{d,e}={(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)}。所 以 ρ=ρ 1 ∪ρ 2 ∪ρ 3 ={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(c,c),(d,d),(d,e),(e,d),(e,e)}。例 5.23 设 A 是 由 4 个 元 素 组 成 的 集 合 , 试 问 在 A 上 可 以 定 义 多 少 个 不 同 的 等 价 关 系 ?解 如 果 直 接 考 虑 A 上 可 以 定 义 多 少 个 等 价 关 系 , 则 计 算 过 程 比 较 繁 琐 , 也 容 易 出 错 。根 据 定 理 4.16 可 知 集 合 A 上 的 等 价 关 系 与 分 划 存 在 一 一 对 应 的 关 系 , 因 此 此 题 可 转 化 为 考虑 A 上 有 多 少 个 不 同 的 分 划 。将 集 合 A 分 划 为 一 块 : 有 1 种 分 法 ;将 集 合 A 分 划 为 两 块 : 有 C 2 14/2+C 4种 分 法▊▊▊▊将 集 合 A 分 划 为 三 块 : 有 C2 4种 分 法将 集 合 A 分 划 为 四 块 : 有 1 种 分 法因 此 , 集 合 A 上 不 同 等 价 关 系 的 个 数 为1+C 2 4/2+C 1 4+C 2 4+1=15▊91

5.5 偏 序 关 系定 义 5.19 设 ρ 是 非 空 集 合 A 上 的 关 系 , 若 ρ 是 自 反 的 , 反 对 称 和 传 递 的 , 则 称 ρ 为 A 上的 偏 序 关 系 (Partial Order Relation)。A 与 ρ 合 在 一 起 称 为 偏 序 集 (Partial Order Set),记 作 。若 ρ 是 偏 序 关 系 , 常 记 为 , 读 作 “ 小 于 或 等 于 ”, 因 为 “ 小 于 或 等 于 ” 也是 一 种 偏 序 , 故 不 会 产 生 混 乱 。 所 以 ,ρ 是 偏 序 关 系 ,aρb 就 表 示 成 a≤b, 如 果 a≠b, 则 可以 表 示 成 a

例 5.27 设 A={a,b,c}, 集 合 A 的 幂 集 P(A) 上 的 “⊆ 关 系 ” 是 偏 序 关 系 , 其 哈 斯 图 如图 5.3 所 示 。▊定 义 5.22 设 为 偏 序 集 ,B⊆A,b∈B,(1) 若 ∀x(x∈B→b≤x) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 最 小 元 (Smallest Element)。(2) 若 ∀x(x∈B→x≤b) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 最 大 元 (Greatest Element)。(3) 若 ¬∃x(x∈B ∧ b≠x ∧ x≤b) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 极 小 元 (Minimal Element)。(4) 若 ¬∃x(x∈B ∧ b≠x ∧ b≤x) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 极 大 元 (Maximal Element)。例 5.28 偏 序 集 , 由 图 5.4 中 哈 斯 图 给 出 。(1)B 1 ={b,d,e,g}B 1 的 最 大 元 为 g;B 1 的 极 大 元 为 g;hB 1 的 最 小 元 为 b;fgB 1 的 极 小 元 也 为 b。(2)B 2 ={b,c,d,e,f,g}deB 2 无 最 大 元 和 最 小 元 ;B 2 的 极 大 元 是 f,g; 极 小 元 是 b,c。bc(3)B 3 ={a,c,d}aB 3 无 最 大 元 , 其 最 小 元 为 a;B 3 的 极 大 元 为 c,d; 极 小 元 为 a。图 5.4 例 5.28 哈 斯 图(4)B 4 ={d,e}B 4 无 最 大 元 , 也 无 最 小 元 ;B 4 的 极 大 元 是 d, e; 极 小 元 也 是 d, e。▊定 理 5.17 设 为 偏 序 集 ,B⊆A。(1) 若 b 为 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 , 则 b 为 B 的 极 大 ( 极 小 ) 元 。(2) 若 B 有 最 大 ( 最 小 ) 元 , 则 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 惟 一 。(3) 若 B 为 有 限 集 , 则 B 的 极 大 元 、 极 小 元 恒 存 在 。证 (1) 由 定 义 或 用 反 证 法 易 得 。(2) 设 b 1 ,b 2 为 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 , 那 么 b 1 ≤b 2 且 b 2 ≤b 1 。 由 ≤ 的 反 对 称 性 即 得 b 1 =b 2 。(3) 设 B={b 1 ,b 2 , …,b n }, 对 n 归 纳 。当 n=1 时 ,B 中 仅 有 一 个 元 素 , 它 既 是 极 大 元 , 也 是 极 小 元 。 当 n=2 时 , 设 B={ b 1 ,b 2 }。那 么 ,b 1 ≤b 2 时 b 1 为 极 小 元 ,b 2 为 极 大 元 ;b 2 ≤b 1 时 b 2 为 极 小 元 ,b 1 为 极 大 元 ;¬(b 1 ≤b 2 )且 ¬(b 2 ≤b 1 ) 时 ,b 1 ,b 2 同 为 极 大 元 , 也 同 为 极 小 元 。设 n=k 时 命 题 为 真 。 若 n=k+1,B={ b 1 ,b 2 , …,b k ,b k+1 }。 据 归 纳 假 设 ,{b 1 ,b 2 , …,b k }有 极 大 元 b i , 极 小 元 b j 。 又 据 归 纳 基 础 ,{b i ,b k+1 } 有 极 大 元 , 它 显 然 是 B 的 极 大 元 ;{b j ,b k+1 }有 极 小 元 , 它 显 然 是 B 的 极 小 元 。归 纳 完 成 ,(3) 得 证 。▊值 得 注 意 的 是 , 最 大 元 、 最 小 元 未 必 存 在 , 极 大 元 、 极 小 元 对 有 限 集 虽 必 存 在 , 但 却 未必 惟 一 。定 义 5.23 设 为 偏 序 集 ,B⊆A,b∈A,(1) 若 ∀x(x∈B→b≤x) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 下 界 (Lower Bound)。(2) 若 ∀x(x∈B→x≤b) 为 真 , 则 称 b 为 B 的 上 界 (Upper Bound)。93

(3) 若 b 是 一 下 界 且 对 每 一 个 B 的 下 界 b′ 有 b′≤b, 则 称 b 为 B 的 最 大 下 界 或 下 确 界(Great Lower Bound), 记 为 glb。(4) 若 b 是 一 上 界 且 对 每 一 个 B 的 上 界 b′ 有 b≤b′, 则 称 b 为 B 的 最 小 上 界 或 上 确 界(Least Upper Bound), 记 为 lub。例 5.29 同 例 5.28。(1) 当 B 1 ={b,c,d,e,g} 时 ,B1 有 上 界 g,h, 下 界 a; 最 小 上 界 g, 最 大 下 界 a。(2) 当 B 2 ={b,e,d,f} 时 ,B2 有 上 界 h, 下 界 b,a; 最 小 上 界 h, 最 大 下 界 b。例 5.30 图 4.5 中 的 哈 斯 图 表 示 一 偏 序 集 。 考 虑 集 合 B 1 ={h, i}, 它 有 上 界 j,k, 但无 最 小 上 界 ; 它 有 下 界 f,g, b, c, d, e, a, 但 没 有 最 大 下 界 。 当 B 2 ={b,c,d,e} 时 , 它 有上 界 h,i, j, k, 无 最 小 上 界 ; 它 没 有 下 界 和 最 大 下 界 。▊▊jkhifgb c d ea图 5.5 例 5.30 哈 斯 图▊定 理 5.18 设 为 偏 序 集 ,B⊆A。(1) 若 b 为 B 之 最 大 元 ( 最 小 元 ), 则 b 必 为 B 最 小 上 界 ( 最 大 下 界 )。(2) 若 b 为 B 之 上 ( 下 ) 界 , 且 b∈B, 则 b 必 为 B 的 最 大 ( 最 小 ) 元 。(3) 如 果 B 有 最 大 下 界 ( 最 小 上 界 ), 则 最 大 下 界 ( 最 小 上 界 ) 惟 一 。▊注 意 , 上 、 下 界 未 必 存 在 , 存 在 时 又 未 必 惟 一 。 即 使 在 有 上 界 、 下 界 时 , 最 小 上 界 和 最 大 下界 也 未 必 存 在 。定 义 5.24 设 为 有 序 集 ,B⊆A。(1) 若 B 中 任 何 两 个 元 素 都 是 可 比 的 , 即∀x∀y(x,y∈B→x≤y ∨ y≤x)则 称 B 为 A 上 的 链 ,|B| 称 为 链 的 长 度 。(2) 若 B 中 任 何 两 个 不 同 元 素 都 是 不 可 比 的 , 即∀x∀y(x,y∈B ∧ x≠y→ ¬(x≤y) ∧ ¬(y≤x))则 称 B 为 A 上 的 反 链 ,|B| 称 为 反 链 的 长 度 。例 5.31 图 5.5 的 哈 斯 图 中 有 链 {a, c, f, h, j},{a, d, g, h, j},{e, g, h, k}等 , 长 度 分 别 为 5,5,4。 有 反 链 {b, c, d, e},{f, g} 等 , 长 度 分 别 为 4,2。▊94

5.6 关 系 在 计 算 机 科 学 中 的 应 用5.6.1 关 系 在 关 系 数 据 库 中 的 应 用数 据 库 是 计 算 机 管 理 数 据 的 一 种 机 构 , 一 般 讲 它 由 两 部 分 组 成 , 一 部 分 是 供 存 入 数 据用 的 大 量 存 储 空 间 , 它 们 可 以 是 磁 盘 、 磁 带 、 光 盘 等 外 存 空 间 ; 另 一 部 分 是 管 理 数 据 库 中 数据 的 一 组 程 序 , 这 组 程 序 叫 数 据 库 管 理 系 统 , 简 称 DBMS。 用 户 可 通 过 数 据 管 理 系 统 所 提 供的 语 言 使 用 数 据 库 中 的 数 据 , 这 种 使 用 包 括 下 列 几 个 方 面 。(1) 数 据 的 检 索 : 从 数 据 库 中 取 出 满 足 一 定 条 件 的 数 据 ;(2) 数 据 的 插 入 : 将 一 些 数 据 存 储 到 数 据 库 中 供 以 后 使 用 ;(3) 数 据 的 修 改 : 修 改 数 据 库 中 指 定 的 数 据 ;(4) 数 据 的 删 除 : 删 除 数 据 库 中 指 定 的 数 据 。供 用 户 使 用 数 据 库 的 语 言 有 的 是 从 终 端 装 置 输 入 , 这 种 语 言 一 般 叫 终 端 查 询 语 言 , 简 称为 SQL; 有 的 可 附 属 于 某 些 宿 主 语 言 , 如 可 附 属 于 FORTRAN,COBOL 等 语 言 作 为 这 些 语 言 的 扩充 成 分 。数 据 库 内 的 数 据 一 般 都 按 一 定 格 式 组 织 与 存 放 , 数 据 库 中 数 据 的 基 本 组 织 模 式 如 下 :(1) 实 体 实 体 是 数 据 库 中 数 据 的 基 本 存 放 单 位 , 如 教 师 的 简 历 , 课 程 表 , 课 程 概 貌 ,合 同 执 行 情 况 , 物 资 代 销 情 况 等 均 是 实 体 , 数 据 库 内 实 体 是 一 个 整 体 , 他 内 部 的 数 据 相 互 间是 有 逻 辑 关 系 的 。(2) 属 性 实 体 都 有 一 些 性 质 , 这 些 性 质 叫 此 实 体 的 属 性 , 如 教 师 简 历 这 个 实 体 就 有姓 名 、 性 别 、 职 称 等 属 性 , 所 有 实 体 的 属 性 就 组 成 这 个 实 体 , 如 教 师 实 体 实 际 上 就 是 由 姓 名 、性 别 、 职 称 等 属 性 组 成 。(3) 属 性 域 实 体 的 每 个 属 性 的 表 现 形 式 都 是 统 一 的 , 如 姓 名 是 由 多 个 字 母 所 组 成 的字 , 性 别 为 {M,F} 中 之 一 (M 代 表 男 性 ,F 代 表 女 性 ), 职 称 是 由 多 个 字 母 所 组 成 的 字 , 对 每个 属 性 它 有 一 个 表 示 范 围 , 如 姓 名 这 个 属 性 的 表 示 范 围 是 多 个 由 26 个 字 母 所 组 成 的 集 合 中的 字 母 , 而 性 别 的 表 示 范 围 是 集 合 {M,F}, 职 称 的 表 示 范 围 是 由 不 同 领 域 的 职 称 枚 举 类 型 确定 的 ( 如 大 学 教 师 职 称 一 般 包 括 助 教 、 讲 师 、 副 教 授 、 教 授 ), 这 种 属 性 的 表 示 范 围 就 是 属性 域 , 每 个 属 性 都 有 一 个 属 性 域 。(4) 联 系 在 数 据 库 中 实 体 是 基 本 的 数 据 单 位 , 但 是 各 实 体 间 是 有 一 定 联 系 的 , 如 实体 学 生 与 课 程 之 间 有 联 系 , 这 个 联 系 是 学 生 修 读 课 程 , 教 师 也 是 实 体 , 而 教 师 与 学 生 、 课 程也 有 联 系 。 在 数 据 库 中 存 储 数 据 时 不 仅 要 存 放 实 体 的 数 据 , 而 且 还 有 存 放 联 系 的 数 据 , 如 上例 中 , 不 仅 要 存 放 有 教 师 、 学 生 、 课 程 的 实 体 , 而 且 还 要 存 放 学 生 修 读 何 种 课 程 的 情 况 及 教师 教 授 何 种 课 程 的 情 况 , 只 有 这 样 数 据 库 中 的 这 个 数 据 信 息 才 是 完 整 的 。数 据 库 信 息 操 作 所 需 要 的 时 间 依 赖 于 这 些 信 息 是 怎 样 存 储 的 。 插 入 和 删 除 记 录 , 更 新 记录 , 检 索 记 录 以 及 从 一 些 重 叠 的 数 据 库 中 组 合 记 录 的 操 作 , 在 一 个 大 型 数 据 库 中 每 天 要 执 行几 百 万 次 。 由 于 这 些 操 作 的 重 要 性 , 已 经 开 发 了 数 据 库 表 示 的 各 种 方 法 。 我 们 将 讨 论 其 中 的一 种 基 于 关 系 概 念 的 方 法 , 叫 做 关 系 数 据 模 型 。一 般 来 说 , 数 据 库 由 记 录 组 成 , 这 些 记 录 是 由 字 段 构 成 的 n 元 组 。 这 些 字 段 是 n 元 组 的数 据 项 。 例 如 , 学 生 记 录 的 数 据 库 可 以 由 包 含 学 生 的 姓 名 、 学 号 、 专 业 、 平 均 成 绩 的 字 段 构成 。 关 系 数 据 模 型 把 一 个 记 录 的 数 据 库 表 示 成 一 个 n 元 关 系 。在 这 里 以 目 前 应 用 最 广 泛 的 关 系 式 数 据 库 为 例 , 来 介 绍 集 合 的 应 用 。在 关 系 数 据 库 中 数 据 按 二 维 表 的 形 式 存 放 , 这 种 二 维 表 就 叫 关 系 , 数 据 库 中 的 实 体 与 联系 均 按 这 种 二 维 表 的 形 式 存 放 。95

二 维 表 的 形 式 如 表 5.1 所 示 , 它 包 括 有 行 和 列 。 一 张 二 维 表 可 有 m 行 n 列 , 二 维 表 的 每一 行 叫 元 组 , 它 代 表 一 个 完 整 的 数 据 。 一 个 元 组 有 n 个 分 量 , 因 此 这 个 元 组 又 叫 n 元 元 组 。二 维 表 的 每 一 列 表 示 数 据 的 分 量 。 这 种 二 维 表 叫 n 元 关 系 。二 维 表 的 形 式 如 表 5.1。表 5.1名 称 号 码 类 型 …… 价 格 数 量………………设 一 个 实 体 A 有 n 个 属 性 , 分 别 为 A 1 ,A 2 ,A 3 ,…,A n 它 可 表 示 如 下 :A(A 1 ,A 2 ,A 3 ,…,A n )这 个 实 体 可 以 允 许 存 放 m 个 数 据 , 此 时 这 个 实 体 可 用 一 个 关 系 表 示 之 , 亦 即 可 用 一 张 二维 表 表 示 之 , 这 张 二 维 表 的 每 一 列 是 一 个 属 性 , 二 维 表 的 每 一 行 可 存 放 实 体 中 的 一 个 数 据 ,这 个 表 示 实 体 的 二 维 表 如 表 5.2 所 示 。表 5.2 实 体 A 的 关 系A 1 A 2 A 3 …… A n-2 A n-1 A nm+1 行现 在 我 们 举 几 个 例 子 。例 5.32 设 有 实 体 T 表 示 教 师 概 貌 , 它 有 四 个 属 性 , 编 号 、 姓 名 、 年 龄 、 所 属 系 名 , 分别 可 用 T # ,TN,TA 及 TD 表 示 , 这 个 实 体 存 放 6 个 教 师 的 概 貌 , 它 们 可 用 下 列 关 系 ( 即 二 维 表 )表 示 , 如 表 5.3 所 示 。表 5.3 实 体 T 的 关 系T # TN TA TD000100020003000400050006ABACADAEAFAG253142554030CSMAMACSCSCS又 设 有 实 体 课 程 的 概 况 C, 它 有 三 个 属 性 : 课 程 号 、 课 程 名 、 任 课 教 师 编 号 , 它 们 分 别用 C # ,CN,T # 表 示 之 ( 我 们 假 定 每 个 教 师 可 以 教 授 多 门 课 程 ), 这 个 实 体 存 放 六 门 课 的 概 况 ,它 们 可 用 下 列 关 系 表 示 , 如 表 5.4 所 示 。表 5.4 实 体 C 的 关 系C # CN T #010203040506OSPLDBMLMCDS000200050006000500060004当 n 元 组 的 某 个 域 的 值 能 够 确 定 这 个 n 元 组 时 ,n 元 关 系 的 这 个 域 就 叫 做 主 键 码 , 这 就▊96

是 说 当 关 系 中 没 有 两 个 n 元 组 在 这 个 域 有 相 同 的 值 时 这 个 域 就 是 主 键 码 。由 于 常 常 要 对 数 据 库 增 加 或 删 除 记 录 。 因 而 一 个 域 是 主 键 码 的 性 质 将 随 时 间 而 改 变 。所 以 , 一 个 主 键 码 应 该 选 择 那 种 无 论 数 据 库 怎 样 改 变 都 能 够 继 续 存 在 的 。 用 数 据 库 的 内 涵 的主 键 码 就 可 以 做 到 这 一 点 , 它 包 含 了 在 表 示 这 个 数 据 库 的 n 元 关 系 中 所 有 可 能 含 有 的 n 元 组 。在 表 5.4 中 课 程 号 码 和 课 程 名 是 惟 一 的 , 因 此 课 程 号 域 和 课 程 名 域 都 可 以 做 主 键 码 , 但 教 师号 码 不 是 惟 一 的 , 因 此 该 域 不 能 做 主 键 码 。在 一 个 n 元 关 系 中 域 的 组 合 也 可 以 惟 一 的 标 志 n 元 组 。 当 一 组 域 的 值 确 定 了 一 个 关 系中 的 n 元 组 时 , 这 些 域 的 笛 卡 尔 积 就 叫 做 复 合 键 码 。因 为 主 键 码 和 复 合 键 码 用 于 惟 一 的 标 志 数 据 库 中 的 记 录 , 当 新 的 记 录 加 到 这 个 数 据 库时 键 码 要 保 持 有 效 性 是 非 常 重 要 的 。 因 此 , 应 该 做 检 测 以 保 证 在 这 个 或 这 些 相 应 的 字 段 中 每一 个 新 记 录 与 表 中 所 有 其 他 的 记 录 不 同 。 例 如 表 5.3 中 使 用 教 师 的 编 号 作 为 教 师 记 录 的 键 码是 有 意 义 的 , 因 为 没 有 两 个 教 师 有 相 同 的 编 号 。实 体 与 实 体 间 的 联 系 也 可 用 关 系 表 示 , 如 教 师 任 课 情 况 可 用 编 号 与 课 程 构 成 一 个 新 关系 TC, 它 刻 画 了 教 师 任 课 情 况 , 这 个 关 系 可 用 下 面 二 维 表 5.5 表 示 。有 时 , 在 关 系 所 表 示 的 联 系 中 还 可 以 附 加 一 些 数 据 , 如 关 系 TC 中 还 可 以 加 入 课 程 的 学时 CT, 这 时 可 在 原 关 系 中 增 加 一 个 属 性 CT 表 示 之 , 这 个 修 改 后 的 关 系 可 叫 TCT, 以 后 我 们常 用 这 种 修 改 后 的 TCT, 这 种 修 改 后 的 关 系 TCT 可 用 二 维 表 5.6 表 示 。表 5.5 联 系 TC 的 关 系表 5.6 修 改 后 的 关 系 TCTT #0001000100020002000200030004000400040005000500060007000700080008C #01020102030504050601050101020406T # C # CT000100010002000200020003000400040004000500050006000700070008000801020102030504050601050101020406365072726072363660605450721083654从 上 面 表 示 可 以 看 出 , 数 据 实 体 与 联 系 均 可 用 二 维 表 表 示 , 在 数 据 库 中 , 用 这 种 二 维表 构 造 数 据 的 模 型 就 叫 关 系 式 数 据 库 。用 户 使 用 关 系 式 数 据 库 就 是 对 一 些 二 维 表 进 行 检 索 、 插 入 、 修 改 和 删 除 等 操 作 , 关 系式 数 据 库 中 的 数 据 库 管 理 系 统 必 须 向 用 户 提 供 使 用 数 据 库 的 语 言 , 一 般 称 为 数 据 子 语 言 , 语言 目 前 是 以 关 系 代 数 或 谓 词 逻 辑 中 的 方 法 表 示 的 , 说 得 确 切 一 些 就 是 这 种 语 言 以 关 系 代 数 或谓 词 逻 辑 作 为 它 的 数 学 基 础 , 由 于 用 这 种 数 学 方 法 去 表 示 , 使 得 对 这 些 语 言 的 研 究 成 为 对 数与 谓 词 逻 辑 的 化 简 问 题 。 由 于 引 入 了 数 学 表 示 方 法 , 使 得 关 系 数 据 库 具 有 比 其 他 几 种 数 据 库较 为 优 越 的 条 件 。 正 因 为 如 此 , 关 系 数 据 库 近 些 年 来 得 到 了 迅 速 发 展 , 成 为 目 前 应 用 最 为 广97

泛 的 一 种 数 据 库 , 目 前 已 基 本 上 代 替 其 他 类 型 的 数 据 库 。 当 今 流 行 的 各 种 大 型 网 络 数 据 库 如Sybasc, Oracle, Informix, Foxpro 等 都 是 属 于 关 系 型 数 据 库 。 关 系 型 数 据 库 已 成 为 数 据库 中 最 有 实 用 价 值 和 理 论 价 值 的 数 据 库 。5.6.2 关 系 代 数 与 数 据 子 语 言由 前 面 我 们 知 道 , 关 系 数 据 库 的 数 据 子 语 言 , 基 本 操 作 对 象 是 二 维 表 , 它 的 基 本 操 作 时检 索 、 插 入 、 添 加 与 删 除 , 为 了 用 数 学 的 方 法 表 示 语 言 , 有 必 要 对 其 操 作 对 象 与 基 本 操 作 加以 研 究 , 并 将 其 抽 象 成 数 学 符 号 与 运 算 , 现 分 别 介 绍 如 下 。1. 二 维 表 与 n 元 有 序 组 的 集 合二 维 表 示 数 据 子 语 言 的 操 作 对 象 , 一 张 二 维 表 可 看 成 是 若 干 元 组 的 集 合 , 而 n 元 元 组 可视 为 一 个 n 元 有 序 组 , 因 此 一 张 二 维 表 可 看 成 是 n 元 有 序 组 的 集 合 , 故 我 们 说 , 数 据 子 语 言的 操 作 对 象 是 n 元 有 序 组 的 集 合 。2. 基 本 操 作 与 集 合 运 算数 据 子 语 言 的 操 作 对 象 是 集 合 , 而 对 其 对 象 操 作 可 视 为 对 集 合 的 运 算 , 下 面 对 检 索 与 集合 运 算 两 种 基 本 操 作 分 别 加 以 研 究 。表 5.7 满 足 TA>35 的 关 系先 考 虑 对 一 张 二 维 表 的 检 索 , 对 它 的 检 索 不 外 乎 选 择 表 中 满足 某 条 件 的 一 些 行 和 列 , 例如 表 5.7 表 示 的 二 维 表 TA, 要 求 年 龄 大 于 35 岁 的 教 师 的 编号 与 姓 名 , 这 种 检 索 操 作 的 结 果 还 是 一 张 二 维 表 , 这 张 二 维 表 有两 个 属 性 以 及 一 些 满 足 TA>35 的 行 。由 此 可 见 检 索 是 由 一 张 表 到 另 一 张 表 的 操 作 , 检 索 是 一 种 一元 运 算 , 即 一 个 集 合 通 过 此 运 算 而 得 到 另 一 个 集 合 , 因 此 定 义 两 种 一 元 检 索 运 算 , 一 个 叫 投影 , 另 一 个 叫 限 定 ( 选 择 )。定 义 5.25 设 有 n 元 关 系 R,A 为 {1,2,…,n} 上 的 一 个 k 元 素 序 列 i 1 ,i 2 ,…,i k 。 以 下 记 (x 1 ,…,x n ) 为 X,p i (x)=x i (i=1,2,…,n)。 那 么 关 系 R 在 A 上 的 投 影 , 表示 为 R[A], 确 定 为R[A]={(p i1 (X),…,p ik (X))|X∈R}这 种 运 算 叫 R 的 投 影 运 算 。所 以 投 影 运 算 是 从 二 维 表 选 择 一 些 指 定 的 列 而 组 成 的 新 表 , 下 面 看 两 个 例 子 。例 5.33 打 印 全 体 教 师 名 单 。解 对 表 5.3 我 们 将 要 求 写 为 :R[TN]例 5.34 打 印 所 有 课 程 号 和 课 程 名 。解 对 表 5.4 我 们 将 此 要 求 写 为 :R[C # ,CN]按 这 两 个 例 子 所 得 的 公 式 , 我 们 可 以 从 表 5.3 和 表 5.4 分 别 得 到 两 张 新 表 :R[TN],R[C # ,CN], 对 表 5.3 相 当 于 仅 有 教 师 名 一 列 , 对 表 5.4 相 当 于 仅 剩 下 课 程 号 与 课 程 名 两 列 。定 义 5.26 设 有 一 n 元 关 系 R,P 为 一 n 元 谓 词 公 式 , 那 么 关 系 R 在 P 上 的 限 定 , 表 示为 R[P], 确 定 为T #000300040005TNADAEAF▊▊98

R[P]={(x 1 ,…,x n )|(x 1 ,…,x n )∈R∧P(x 1 ,…,x n )}。这 种 运 算 叫 R 的 限 定 运 算 。例 5.35 从 数 据 库 取 出 所 有 重 量 大 于 100 克 的 轴 承 部 件 。解 可 以 将 此 要 求 写 为 :R[P], 其 中 谓 词 P 表 示 重 量 大 于 100 克 的 轴 承 部 件 。▊3. 数 据 子 语 言 与 关 系 代 数综 上 所 述 可 以 知 道 , 在 关 系 数 据 库 中 需 要 向 用 户 提 供 使 用 数 据 库 的 数 据 子 语 言 。 这 个 数据 子 语 言 可 以 允 许 用 户 对 数 据 库 进 行 检 索 、 插 入 、 修 改 及 删 除 操 作 。 这 种 数 据 子 语 言 相 当 于一 种 代 数 结 构 , 而 这 个 代 数 结 构 的 研 究 对 象 是 n 元 有 限 组 的 集 合 , 对 它 一 共 有 5 种 基 本 操 作 ,其 中 两 个 是 一 元 运 算 3 个 是 二 元 运 算 , 它 们 是 :投 影 运 算 :R[A]限 定 运 算 :R[P]笛 卡 尔 乘 积 :R×S并 运 算 :R∪S差 运 算 :R-S这 些 运 算 都 是 封 闭 的 。 因 此 它 们 构 成 了 一 个 代 数 , 称 此 代 数 为 关 系 代 数 。由 此 可 见 , 在 关 系 式 数 据 库 的 运 算 中 自 然 连 接 并 不 出 现 , 这 是 因 为 自 然 连 接 并 不 是 基 本运 算 符 , 它 可 以 由 其 他 运 算 符 生 成 。4. 数 据 子 语 言 的 优 化 与 关 系 代 数在 关 系 数 据 库 中 , 用 户 用 数 据 子 语 言 使 用 数 据 库 , 相 同 的 要 求 有 时 可 以 有 多 种 不 同 的 写法 , 而 不 同 的 写 法 在 计 算 机 内 执 行 时 刻 得 到 完 全 不 同 的 效 率 , 我 们 知 道 , 在 计 算 机 内 执 行 一个 笛 卡 尔 积 是 很 花 时 间 的 , 这 个 时 间 正 比 于 两 个 关 系 的 元 组 数 , 并 且 同 关 系 的 元 素 也 有 关 系 ,因 此 一 般 希 望 对 执 行 笛 卡 尔 乘 积 的 两 个 关 系 , 尽 量 让 其 先 作 投 影 运 算 与 限 定 运 算 , 这 样 可 使其 执 行 速 度 大 为 提 高 , 上 述 情 况 对 自 然 连 接 也 适 用 。 另 外 , 为 了 优 化 子 语 言 使 它 具 有 最 高 效率 , 我 们 也 可 用 关 系 代 数 等 价 公 式 的 转 换 来 实 现 。由 上 面 所 述 , 我 们 也 可 以 看 出 如 何 将 关 系 数 据 库 的 数 据 子 语 言 抽 象 成 关 系 代 数 , 又 如 何用 关 系 代 数 的 方 法 优 化 数 据 子 语 言 的 全 过 程 。5.6.3 等 价 关 系 在 计 算 机 科 学 中 的 应 用前 面 我 们 研 究 了 集 合 和 元 素 , 现 在 来 研 究 结 构 的 一 些 基 本 形 式 , 它 们 是 用 集 合 的 元 素 间的 关 系 表 示 的 。 关 系 这 一 概 念 对 计 算 机 科 学 的 理 论 和 应 用 都 是 非 常 重 要 的 , 复 合 的 数 据 结 构 ,如 陈 列 表 列 、 树 等 , 用 来 表 示 数 据 的 集 合 , 这 些 数 据 是 由 元 素 间 的 关 系 联 系 着 的 。 关 系 是 数学 模 型 的 一 部 分 , 它 常 常 在 数 据 结 构 内 隐 含 地 体 现 出 来 , 数 值 应 用 、 信 息 检 索 、 网 络 问 题 等就 是 关 系 的 应 用 领 域 , 这 些 领 域 中 关 系 作 为 描 述 问 题 的 一 部 分 而 解 决 问 题 , 因 而 关 系 的 运 算和 处 理 是 重 要 的 。 关 系 在 包 括 程 序 结 构 和 算 法 分 析 的 计 算 理 论 方 面 也 有 重 要 的 作 用 。定 义 5.27 设 π 1 ,π 2 是 A 的 任 意 两 个 分 划 , 则 π 1 ×π 2 =π 和 π 1 +π 2 =π 都 是 A 的 分 划 ,π 1 ×π 2和 π 1 +π 2 分 别 叫 做 分 划 的 “ 积 ” 与 “ 和 ”, 其 中π=π 1 ×π 2 , 满 足 :(1)π 细 分 π 1 和 π 2 ;(2) 若 另 有 π′ 细 分 π 1 和 π 2 , 则 π′ 细 分 π。99

π=π 1 +π 2 满 足 :(1)π 1 和 π 2 细 分 π;(2) 若 另 有 A 的 分 划 π′, 且 π 1 和 π 2 细 分 π′(π 为 能 被 π 1 和 π 2 细 分 的 最 细 的 划 分 )。例 5.36 在 信 息 检 索 系 统 中 , 根 据 一 个 主 码 , 可 以 把 全 体 文 献 划 分 成 两 块 , 如 主 码 是 “ 知识 工 程 ”, 则 文 献 将 根 据 它 来 分 类 。 假 定 可 以 用 10 个 主 码 , 指 定 一 个 主 码 , 则 可 确 定 文 献 集合 中 10 个 划 分 中 的 一 个 , 然 后 再 进 行 检 索 , 则 能 在 文 献 集 合 20 个 划 分 中 确 定 一 个 。 若 允 许使 用 一 个 连 接 词 AND, 则 可 得 到 一 个 积 划 分 π 1 ⊗π 2 ,π 1 ,π 2 是 分 别 由 二 主 码 确 定 的 划 分 。π 1 ⊗π 2中 的 一 块 相 应 于 文 献 子 集 合 。 若 使 用 一 个 连 接 词 OR, 则 不 会 得 到 一 个 和 划 分 π 1 ⊗π 2 中 的 一 块 ,而 只 是 划 分 的 积 中 一 些 块 的 并 集 。▊5.6.4 序 关 系 在 项 目 管 理 中 的 应 用假 设 一 个 项 目 由 20 个 任 务 构 成 , 某 些 任 务 只 能 在 其 他 任 务 结 束 之 后 完 成 。 怎 么 能 找 到 关于 这 些 任 务 的 顺 序 ? 对 这 个 问 题 可 利 用 拓 扑 排 序 来 解 决 。 为 了 构 造 该 问 题 的 求 解 模 型 , 我 们首 先 建 立 任 务 集 合 上 的 部 分 序 集 , 使 得 a≤b, 当 且 仅 当 a 和 b 是 任 务 且 直 到 a 结 束 后 b 才 能 开始 。 为 了 安 排 好 这 个 项 目 , 需 要 得 出 与 这 个 部 分 序 集 相 容 的 所 有 20 个 任 务 的 顺 序 。 下 面 通 过一 个 简 单 的 例 子 来 说 明 如 何 用 拓 扑 排 序 算 法 解 决 此 类 问 题 。例 5.37 一 个 计 算 机 公 司 开 发 的 项 目 需 要 完 成 7 个 任务 , 其 中 的 某 些 任 务 只 能 在 其 他 任 务 结 束 之 后 才 能 开 始 。 考D虑 如 下 建 立 任 务 上 的 部 分 序 , 如 果 任 务 Y 在 X 结 束 之 后 才 能G F开 始 , 则 任 务 X≤ 任 务 Y。 这 7 个 任 务 关 于 该 部 分 序 的 Hasse B图 见 图 5.6, 求 一 个 全 序 使 得 可 以 按 照 此 全 序 执 行 这 些 任 务以 完 成 这 个 项 目 。解 可 以 通 过 执 行 一 个 拓 扑 排 序 得 到 7 个 任 务 的 排 序 。排 序 的 步 骤 显 示 在 图 5.7。 其 中 此 排 序 的 结 果 A≤C≤B≤E≤F≤D≤G , 给 出 了 关 于 该 任 务 的 一 种 可 能 的 次 序 。A C图 5.6 关 于 7 个 任 务 的Hasse 图EDGFDGFDGFDGFDGFDGGBEBEBEEACC选 择 极 小 元素 AC B E F D G图 5.7 任 务 的 拓 扑 排 序▊小 结关 系 是 很 重 要 的 数 学 概 念 , 在 计 算 机 科 学 中 的 许 多 方 面 如 数 据 结 构 、 数 据 库 、 情 报 检 索 、100

算 法 分 析 等 都 有 很 多 应 用 。 本 章 主 要 讨 论 二 元 关 系 理 论 , 主 要 知 识 点 有 :1) 序 偶 、 有 序 n 元 组 、 笛 卡 尔 积 的 概 念 及 性 质 。2) 二 元 关 系 、n 元 关 系 的 概 念 、 表 示 方 法 ( 集 合 表 达 式 、 关 系 矩 阵 和 关 系 图 ) 及 求 解 ,关 系 的 定 义 域 和 值 域 的 概 念 。 关 系 的 矩 阵 表 示 为 关 系 的 计 算 机 处 理 带 来 了 许 多 方 便 , 也 是 许多 算 法 的 基 础 。3) 二 元 关 系 的 性 质 , 自 反 性 、 反 自 反 性 、 对 称 性 、 反 对 称 性 和 传 递 性 。 其 中 反 对 称 性和 传 递 性 的 定 义 较 为 抽 象 , 应 在 理 解 的 基 础 上 掌 握 。 掌 握 利 用 关 系 的 不 同 表 示 获 得 关 系 所 具有 的 性 质 的 方 法 。4) 关 系 的 运 算 及 性 质 。 关 系 的 基 本 运 算 就 是 集 合 的 基 本 运 算 , 即 交 、 并 、 差 、 补 、 对称 差 ; 关 系 的 定 义 域 和 值 域 ; 此 外 , 关 系 作 为 一 种 特 殊 的 集 合 , 还 有 复 合 运 算 、 逆 运 算 和 闭包 运 算 ( 即 自 反 闭 包 、 对 称 闭 包 、 传 递 闭 包 )。 其 中 关 系 的 复 合 运 算 和 逆 运 算 是 不 难 理 解 的 ,而 关 系 的 闭 包 运 算 , 其 实 就 是 向 给 定 的 关 系 ( 集 合 ) 中 添 加 最 少 的 元 素 ( 有 序 对 ) 而 使 其 具备 自 反 性 ( 自 反 闭 包 )、 对 称 性 ( 对 称 闭 包 ) 和 传 递 性 ( 传 递 闭 包 )。 同 时 闭 包 的 有 关 性 质 、Warshall 算 法 等 也 是 应 该 掌 握 的 。5) 集 合 覆 盖 与 划 分 的 概 念 。6) 等 价 关 系 是 一 个 满 足 自 反 性 、 对 称 性 和 传 递 性 的 二 元 关 系 , 是 非 常 重 要 的 二 元 关 系 。所 有 与 给 定 元 素 x 有 关 系 的 元 素 放 在 一 起 就 构 成 了 一 个 集 合 , 即 等 价 类 。 等 价 类 有 一 些 重 要的 性 质 ; 所 有 的 等 价 类 构 成 的 集 合 , 即 是 商 集 。 有 关 等 价 关 系 部 分 的 内 容 , 在 后 续 章 节 中 还会 用 到 , 需 熟 练 掌 握 。7) 偏 序 关 系 ≤ 是 一 种 具 备 自 反 性 、 反 对 称 性 和 传 递 性 的 二 元 关 系 , 而 称 为 偏 序集 。 偏 序 关 系 的 关 系 图 用 哈 斯 图 来 表 示 , 哈 斯 图 中 一 定 没 有 三 角 形 那 样 的 子 图 ; 一 般 地 , 哈斯 图 中 没 有 水 平 方 向 的 边 。 重 点 掌 握 利 用 哈 斯 图 判 断 元 素 覆 盖 关 系 的 方 法 , 如 最 小 元 、 最 大元 、 极 小 元 、 极 大 元 、 上 界 、 下 界 、 最 小 上 界 、 最 大 下 界 的 概 念 及 判 定 。 在 “ 抽 象 代 数 ” 中还 要 用 到 偏 序 集 、 最 小 上 界 和 最 大 下 界 等 概 念 。8) 关 系 在 计 算 机 科 学 中 的 应 用 。习 题1. 设 A={a,b}, 求 P(A)×A。2. 设 A,B,C,D 为 任 意 集 合 , 求 证 :(1) 若 C≠∅, A×C⊆B×C, 则 A⊆B;(2)(A×B)-(C×D)=((A-C)×B)∪(A×(B-D));(3)(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D)。3. 证 明 若 X×X=Y×Y, 则 X=Y。4. 证 明 若 X×Y=X×Z, 且 X≠∅, 则 Y=Z。5. 设 A,B 为 集 合 ,|A|= n, |B|=m。(1) 问 A 到 B 的 二 元 关 系 共 多 少 个 ?(2) 问 A 上 二 元 关 系 共 多 少 个 ?6. 列 出 下 列 二 元 关 系 的 所 有 元 素 :(1)A={0,1,2},B={0,2,4},R={(x,y)|x,y∈A∩B}(2)A={1,2,3,4,5},B={1,2},R={(x,y)|2≤x+y≤4 且 x∈A 且 y∈B}(3)A={1,2,3},B={-3,-2,-1,0,1},R={(x,y)||x|=|y| 且 x∈A 且 y∈B}7. 列 出 所 有 从 X={a,b,c} 到 Y={d} 的 关 系 。101

8. 设 A={0,1,2,3,4,5},B={1,2,3}, 用 列 举 法 描 述 下 列 关 系 , 并 作 出 它 们 的 关 系 图 及 关系 矩 阵 :(1)R 1 ={(x,y)|x∈A∩B∧y∈A∩B}(2)R 2 ={(x,y)|x∈A∧y∈B∧x=y 2 }(3)R 3 ={(x,y)|x∈A∧y∈A∧x+y=5}(4)R 4 ={(x,y)|x∈A∧y∈A∧∃k(x=k·y∧k∈N∧k

(1)r(R 1 ∪R 2 ) = r(R 1 )∪r(R 2 );(2)s(R 1 ∪R 2 ) = s(R 1 )∪s(R 2 );(3)t(R 1 ∪R 2 ) ⊇ t(R 1 )∪t(R 2 );(4) 对 t(R 1 ∪R 2 ) = t(R 1 )∪t(R 2 ) 举 出 反 例 。22. 设 R 为 集 合 A 上 的 反 对 称 关 系 , 则 t(R) 一 定 是 反 对 称 的 吗 ?23. 设 R 为 A 上 二 元 关 系 , 如 果 对 每 一 a∈A 均 有 b∈A 使 aRb, 则 称 R 为 连 续 的 。证 明 : 当 R 连 续 、 对 称 、 传 递 时 ,R 为 等 价 关 系 。24. 设 R 是 集 合 A 上 的 一 个 自 反 关 系 , 证 明 :R 是 等 价 关 系 当 且 仅 当 若 (a,b)∈R ∧ (a,c)∈R时 , 则 (b,c)∈R。25. 设 R 是 集 合 X 上 的 二 元 关 系 , 对 任 意 x i ,x j ,x k ∈X, 每 当 (x i ,x j )∈R ∧ (x j ,x k )∈R 时 ,必 有 (x k ,x i )∈R, 则 称 R 是 循 环 的 。 试 证 :R 是 等 价 关 系 , 当 且 仅 当 R 是 自 反 和 循 环 的 。26. 假 设 给 定 了 正 整 数 的 序 偶 集 合 A, 在 A 上 定 义 二 元 关 系 R 如 下 :((x,y),(u,v))∈R, 当且 仅 当 xv=yu, 证 明 R 是 一 个 等 价 关 系 。27. 令 C ={a+bi| a,b 为 实 数 ,a≠0}, 定 义 C 上 关 系 R:(a+bi)R(c+di) 当 且 仅 当 ac>0,证 明 R 为 等 价 关 系 。28. 设 R 为 A 上 二 元 关 系 , 且 dom(R)=A。 若 R o R -1 o R = R, 证 明 R o R -1 和 R -1 o R 都 是 A上 的 等 价 关 系 。29. 设 {A 1 ,A 2 ,…,A k } 是 集 合 A 的 一 个 划 分 , 我 们 定 义 A 上 的 一 个 二 元 关 系 R, 使 (a,b)∈R当 且 仅 当 a 和 b 在 这 个 划 分 的 同 一 块 中 。 证 明 R 是 等 价 关 系 。30. 设 A = {1,2,3,4,5,6},A 有 分 划π 1 = {{1,2,3},{4,5,6}}π 2 = {{1,2},{3,4},{5,6}}求 π 1 ,π 2 所 对 应 的 等 价 关 系 。31. 设 R,S 为 A 上 的 两 个 等 价 关 系 , 且 R ⊆ S。 定 义 A/R 上 的 关 系 R/S:([x],[y])∈R/S 当 且 仅 当 (x,y)∈S证 明 :R/S 为 A/R 上 的 等 价 关 系 。32. 图 5.8 为 一 偏 序 集 的 哈 斯 图 。(l) 下 列 命 题 哪 些 为 真 ?aRb,dRa, cRd, cRb, bRe, aRa, eRa;(2) 根 据 哈 斯 图 画 出 R 的 关 系 图 ;(3) 指 出 A 的 极 大 元 , 极 小 元 , 最 大 元 , 最 小 元 ;(4) 求 出 子 集 B 1 ={c,d,e},B 2 ={b,c,d },B 3 ={b,c,d,e} 的 上 界 , 下 界 , 上 确 界 , 下 确界 。abcde图 5.833. 画 出 集 合 S={1,2,3,4,5,6} 在 偏 序 关 系 “ 整 除 ” 下 的 哈 斯 图 , 并 讨 论 :(1) 写 出 {1,2,3,4,5,6} 的 极 大 元 , 极 小 元 , 最 大 元 , 最 小 元 。(2) 分 别 写 出 {2,3,6} 及 {2,3,5} 的 上 界 , 下 界 , 上 确 界 , 下 确 界 。103