Relaksacja punktowa i globalna - Fatcat - AGH

Relaksacja punktowa i globalna ∗11 kwietnia 2013Rozwiążemy równanie Poissona∇ 2 φ(x, y) = −ρ(x, y) (1)w dwóch wymiarach na pudle (x, y) ∈ [−60, 60] × [−60, 60] z krokiem ∆x =∆y = 1. Na brzegu kładziemy potencjał φ(x, y) równy 0 (uziemione metalowepudło). Gęstość ładunku jest równa:⎛ (√ ) ⎞(x ) 2 ( y) 22ρ(x, y) = exp ⎝− + − 3 ⎠ (2)6 6(indeks i dotyczy współrzędnej x, indeks j: y).Na starcie iteracji przyjmiemy zerowy potencjał φ(x, y) wszędzie. Zastosujemyprzepis iteracyjny: w pętli po i oraz j wyliczymy nową wartość potencjałuw punkcie (i, j)φ ij := (1 − ω)φ ij + ω φ (i+1)j + φ (i−1)j + φ i(j+1) + φ i(j−1) + ρ ij ∆x 2. (3)4Poniżej, przez ’jedną iterację’ rozumieć będziemy pełen obieg pętli po i oraz j.Zadanie 1: Punktowa podrelaksacja, relaksacja i nadrelaksacjaWzór (3) odpowiada:• punktowej podrelaksacji, gdy ω ∈ (0, 1),• punktowej relaksacji (metoda Gaussa-Seidla), gdy ω = 1,• punktowej nadrelaksacji, gdy ω ∈ (1, 2).Przedyskutować zbieżność funkcjonału∫ { [ (∂φ(x, ) 2 ( ) ]}21 y) ∂φ(x, y)a =+− ρ(x, y)φ(x, y) dxdy (4)2 ∂x∂y∗ Laboratorium z inżynierskich metod numerycznych, Wydział Fizyki i InformatykiStosowanej AGH 2012/2013. Bartłomiej Szafran (bszafran@agh.edu.pl), Elżbieta Wach(wach@fatcat.ftj.agh.edu.pl), Dariusz Żebrowski (zebrowski@fatcat.ftj.agh.edu.pl)1

w funkcji ω. Przy dyskretyzacji gradientu pod całką działania użyć symetrycznegoilorazu różnicowego pochodnej:∂φ(x, y)∂x= φ i+1,j − φ i−1,j2∆x(5)(analogicznie dla ∂φ(x,y)∂y).Uznajemy, że zbieżność została uzyskana jeśli a z iteracji na iterację przestajesię zmieniać w znaczący sposób (przyjąć wybraną przez siebie tolerancję).Należy znaleźć optymalną wartość ω, dla której zbieżność osiągana jestpo najmniejszej liczbie iteracji (30 punktów za udokumentowany rysunkamiwybór parametu ω: zależność całki a w poszczególnych iteracjach dlaróżnych ω). Narysować wykres potencjału - konturowy lub mapę (20 punktów).Zadanie 2: Odwrócenie równania Poissona Znamy potencjał (obliczyliśmygo w 1. zadaniu) i chcemy z niego wydobyć gęstość ładunku. Wyliczyć[ ∂ρ(x, y) = −∇ 2 2 ]φ(x, y)φ(x, y) = −∂x 2 + ∂2 φ(x, y)∂y 2 (6)(dyskretyzację drugiej pochodnej wykonujemy identycznie, jak w trakcie laboratoriumnr 6). Narysować przekrój odtworzonej w ten sposób gęstości dla x = 0:ρ(x = 0, y) i porównać z gęstością wprowadzoną do równania (3) (20 punktówza wykres z porównaniem).Zadanie 3: Relaksacja globalna Zbadać zbieżność relaksacji globalnej.Operujemy na dwóch tablicach (nowy i stary potencjał) i wykonujemy dwiepełne podwójne pętle po i oraz j. W pierwszej robimyφ ′ ij := (1 − ω)φ ij + ω φ (i+1)j + φ (i−1)j + φ i(j+1) + φ i(j−1) + ρ ij ∆x 2, (7)4a w drugiej przepisujemy tablicę:φ ij := φ ′ ij. (8)Dla ω = 1 powyższy przepis to relaksacja Jakobiego. Przedyskutować zbieżnośćprocesu iteracji globalnej w funkcji ω (dla jakich ω relaksacja globalnajest zbieżna? - za udokumentowany wykresem wniosek 20 pkt.). Znaleźćoptymalne ω. Porównać tempo zbieżności relaksacji globalnej z relaksacjąpunktową (dla każdej z metod przyjąć znalezione optymalne ω (10 pkt)) .2