zestaw pierwszy

Rys. 8:gdzie a i k s¡ staªe. Znale¹¢ i narysowa¢ tor, po których punkt si¦ porusza. Napisa¢ pr¦dko±¢ υi przyspieszenie a punktu jako funkcj¦ bezwzgl¦dnej warto±ci wektora wodz¡cego r punktu. Odp.Tor ruchu opisuje równanie hiperboli równoosiowej x 2 − y 2 = a 2 o wierzchoªkach ai oraz −aioraz asymptotach y = x i y = −x. Z równa« ruchu wynika, ze punkt porusza si¦ po krzywej,dla której x > 0 (rys. 8b). υ = kr oraz a = k 2 r, zatem warto±¢ pr¦dko±ci i przyspieszenia ro±nie,kiedy punkt oddala si¦ od wierzchoªka hiperboli.Zad. 3.31 Pr¦t o dªugo±ci AB porusza si¦ tak, »e jego punkty ko«cowe A i B ze±lizguj¡ si¦ poosiach x, y pewnego prostok¡tnego ukªadu wspóªrz¦dnych (rys. 9a). Wyznaczy¢ tor, jaki b¦dziezakre±laª przy tym ruchu dowolnie obrany punkt M pr¦ta. Odp. Punkt b¦dzie poruszaª si¦ poelipsie x2 + y2= 1 o póªosiach a i b le»¡cych wzdªu» osi x i y.a 2 b 2Rys. 9:Zad. 3.32 Zakªadaj¡c, »e koniec B pr¦ta z poprzedniego zadania porusza si¦ ruchem jednostajnymze staª¡ pr¦dko±ci¡ υ 0 , a w chwili pocz¡tkowej t = 0 pr¦t tworzy z prowadnic¡ k¡t ϕ 0 znale¹¢ruch punktu M oraz jego pr¦dko±¢.Odp. r M (t) = a lv M (t) = aυ 0l(ˆx −((l cos ϕ 0 + υ 0 t) ˆx +l cos ϕ 0 +υ 0 t√l 2 sin 2 ϕ 0 −2υ 0 lt cos ϕ 0 −υ 2 0 t2 ŷ√)l 2 sin 2 ϕ 0 − 2υ 0 lt cos ϕ 0 − υ0 2t2 ŷ ,), gdzie l = a + b jest dªugo±ci¡ pr¦ta.Zad. 3.33 Zakªadaj¡c, »e koniec B pr¦ta z poprzedniego zadania porusza si¦ ze staªym przyspieszeniema 0 > 0 znale¹¢ ruch punktu M. Przyj¡¢ x B (0) = d oraz ẋ B (0) = 0. Odp. r M (t) =(√ald + 1 2 a 0t 2) ( ) 2ˆx + b ll 2 − d + 1 2 a 0t 2 ŷ.15