A-grupa: 1. a) Koliko djelitelja ima 81000? b) Nadi broj koji je djeljiv ...

A-grupa:1. a) Koliko djelitelja ima 81000?b) Nadi broj koji je djeljiv s 2 i 9, i ima točno 14 djelitelja.2. Koliki je zbroj svih troznamenkastih prirodnih brojevakoji su djeljivi s 2 ili 7?3. Izračunaj: a) 100 + 102 + ... + 998 =?; b) ∑ 30i=1 (i2 − 15i − 10) =?4. Odredi znamenku x u broju 34x702 ako je on djeljiv s 3.5. Decimalan broj 2.01˙242˙1 zapiši kao razlomak, i odredi znamenkuna 2010. decimalnom mjestu.6. Izračunaj:12 − 1 312 + 1 3:13 − 1 413 + 1 4· ( 1 3 + 1 12 );7. Izračunaj:43 · 7 + 47 · 11 + ... + 4199 · 203 .8. S koliko postotnom kiselinom treba miješati 6 l 48%-tnekiseline da bi se dobilo 10 l 70%-tne kiseline?9. Ako je S n = 1 − 2 + 3 − . . . + (−1) n+1 · n, za ∀n ∈ N.Ispiši nekloliko prvih suma, zatim pokušaj zaključiti koliko jeS 2010 + S 2011 , i na koncu poopći relaciju.1

B-grupa:1. a) Koliko djelitelja ima 72900?b) Nadi broj koji je djeljiv s 3 i 4, i ima točno 14 djelitelja.2. Koliki je zbroj svih troznamenkastih prirodnih brojevakoji su djeljivi s 3 ili 7?3. Izračunaj: a) 101 + 103 + ... + 999 =?;b) ∑ 30i=1 (i2 − 10i − 8) =?4. Odredi znamenku x u broju 30514x70 ako je on djeljiv s 11.5. Decimalan broj 2.050˙044˙1 zapiši kao razlomak, i odredi znamenkuna 2010. decimalnom mjestu.6. Izračunaj:12(+ 1 31+ 1 3 4+12 − 1 313 − 1 4) : (3 + 1 3 ) · 12 52 + 1 3.7. Izračunaj:34 · 7 + 37 · 10 + ... + 382 · 85 .8. Koliko litara slatke vode treba dodati na 3000 l slane vode izJadranskog mora saliniteta 38 % da se dobije voda saliniteta 20 %?9. Ako je S n = 1 − 2 + 3 − . . . + (−1) n+1 · n, za ∀n ∈ N.Ispiši nekloliko prvih suma, zatim pokušaj zaključiti koliko jeS 2009 + S 2010 , i na koncu poopći relaciju.2

Rješenja A grupa:1.a) Kanonski zapis prirodnog broja n = p α 11 · p α 22 · ... · p α kk ;a p 1 , p 2 , ..., p k su prosti brojevi ( u testu je bila najčešća pogreškane razumijevanje da su to prosti brojevi).Rastavimo 81000 na kanonski zapis, 81000 = 2 3 · 3 4 · 5 3 .Broj dijelitelja izračunamo primjenom formuleD(n) = (α 1 + 1) · (α 2 + 1) · ... · (α k + 1), D(81000) = 4 · 5 · 4 = 80.1.b) Budući da je 14 = 2 · 7 = (α 1 + 1) · (α 2 + 1)⇒α 1 + 1 = 2⇒α 1 = 1⇒p 1 = 2 jer je 9 = 3 2 , no to je drugi kandidat samo muiz jednadžbe α 2 + 1 = 7⇒α 2 = 6 odredimo s kojom potencijom jefaktor u traženom broju. Dakle, traženi broj je 2 · 3 6 = 1458.2. Ozanačimo s T zbroj svih troznamenkastih brojeva djeljivih s 3:T = 102+105+· · ·+999 = 3·(34+35+· · ·+333) = 3·( 333·334 − 33·34 ) =2 23 · 55050 = 165150.Označimo sa S zbroj svih troznamenkastih brojeva djeljivih sa 7:S = 105+112+· · ·+994 = 7·(15+16+· · ·+142) = 7·( 142·143 − 14·15 ) =2 27 · 10048 = 70336.( Sada treba uočiti da se u zbroju T+S po dva puta pojavljuju pribrojnicidjeljivi sa 21 (formula uključivanja i isključivanja) dakle zatočan odgovor treba odbiti višak pribrojnika, tj. zbroj djeljivih s 21kojega označimo sa Š = 105+126+· · ·+987 = 21·(5+6+· · ·+47) =21 · ( 47·48 − 5·6)= 1113.2 2Konačno je traženi zbroj D + T − Š = 165150 + 70336 − 1113 =234373.U zadatku je trebalo primjeniti formulu za zbroj prvih n prirodnihbrojeva 1 + 2 + · · · + n = n·(n+1) .23.a) 100+102+...+998 = 2·(50+51 · · ·+499) = 2·( 499·500 − 49·50 ) =2 2123525. (Takoder se suma može izračunati pomoću formule za zbrojparnih brojeva.)3

3.b) ∑ 30i=1 (i2 − 15i − 10) = ∑ 30i=1 i2 − 15 · ∑30i=1i − 15 · 30 =(1 2 + 2 2 + · · · + 30 2 ) − 15 · (1 + 2 + · · · + 30) − 450 = 3580.U računanju su korištene formule:n∑i 2 = 1 2 + 2 2 + · · · + n 2 =i=1n∑i = 1 + 2 + · · · + n =i=1n∑λ = n · λ.i=1n(n + 1)(2n + 1),6n(n + 1),24. Primjenimo kriterij djeljivosti s brojem 3:3|a n a n−1 ...a 1 a 0 ⇔ 3|(a n + a n−1 + ... + a 1 + a 0 ).Dakle dobiva se jednadžba 3+4+x+7+0+2 = 3k ⇒ (16+x = 3k),budući da je x znamenka iskušaju se svi kandidati od 0 do 9 i dobijese skup rješenja {2, 5, 8}.5. Označimo x = 2.01˙242˙1 ⇒100·x = 201 + 0.˙242˙1 ⇒100 · x = 201 + 24219999 ⇒ x = 223580111100 ⇒ x = 111795555 .Zbog periodičnost decimalnog broja , duljina perioda je 4, možemoodrediti znamenku na 2010. mjestu. Budući da peridičnost počinjeod 3. decimalnog mjesta oduzmemo 2 od 2010 i dijelimo s 4, ostatakje 0, a njoj je pridružena 4. po redu od ponavljajućih znamenaka,tj. 1.6. Rješavamo razlomak:12 − 1 312 + 1 3:13 − 1 413 + 1 4· ( 1 3 + 1 12 ) = 1656:112712·512 = 7 12 .4

7. Svaki od pribrojnika rastavimo i tada se svi pribrojnici osimprvoga i posljednjega pokrate:43 · 7 + 47 · 11 + ... + 4199 · 203 =7 − 33 · 7 + 11 − 7 203 − 199+ ... +7 · 11 199 · 203 =13 − 1 7 + 1 7 − ... + 1199 − 1203 = 1 3 − 1203 = 200609 .8. Ovo je zadatak s računom smjese od dvije komponente i trebauočiti da se traži postotak druge komponente, a sve ostalo je zadano.x 1 = 6 l, p 1 = 48%, x 1 + x 2 = 10 l ⇒ x 2 = 4 l, i p = 70%.Iz jednadžbe smjese p 1 · x 1 + p 2 · x 2 = p · (x 1 + x 2 ), izračunamop 2 = p · (x 1 + x 2 ) − p 1 · x 1x 2= 103%.Nažalost dobiveni rezultat od preko sto posto pokazuje da je uz zadaneuvjete nemoguće dobiti traženu kiselinu.9.U zadanu relaciju S n = 1 − 2 + 3 − . . . + (−1) n+1 · n, uvrštavamo:n = 1 ⇒ S 1 = (−1) 2 · 1 = 1,n = 2 ⇒ S 2 = (−1) 2 · 1 + (−1) 3 · 2 = 1 − 2 = −1,n = 3 ⇒ S 3 = (−1) 2 · 1 + (−1) 3 · 2 + (−1) 4 · 3 = 1 − 2 + 3 = 2,n = 4 ⇒ S 4 = (−1) 2 · 1 + (−1) 3 · 2 + (−1) 4 · 3 + (−1) 5 · 4 = −2,.S 2k−1 = k,S 2k = −k, za ∀k ∈ N.Dakle iz dobivenih relacija slijedi: S 2010 +S 2011 = 1005−1006 = −1.5

A-grupa:1. Izračunaj:a) (2x − 5) 3 − 2x · (2x + 3) 2 − (2 − 7x) · (2 + 7x);b) (2x − 5xy + 3y) 2 .2. Rastavi na faktore:a) 625a 4 − 1;b) 1258 a6 b 3 − 11000 c9 ;c) 9x 2 y 2 − 30xyz + 25z 2 ;d) 3x 4 y 2 + 9x 3 y 2 + 9xy 2 + 3y 2 ;e) x 2 + 3x − 28.3. Prva, treća i peta znamenka šesteroznamenkastog broja medusobnosu jednake, a druga, četvrta i šesta takoder. Dokaži da je takav brojdjeljiv sa 7.4 ∗ . Izračunaj S :S = (x−1) 6 +6(x−1) 5 +15(x−1) 4 +20(x−1) 3 +15(x−1) 2 +6(x−1)+1.6

B-grupa:1. Izračunaj:a) (3x + 2) 3 − 3x · (3x − 11) 2 − (22 − 5x) · (22 + 5x);b) (2x 2 − 5xy + y 2 ) 2 .2. Rastavi na faktore:a) 256a 4 − 625b 4 ;b) 27 8 a6 b 3 + 64125 c9 ;c) 36x 2 y 2 − 60xyz + 25z 2 ;d) 4x 4 y 2 z − 12x 3 y 2 z + 12xy 2 z − 4y 2 z;e) x 2 − 3x − 28.3. Četveroznamenkasti broj kojemu je prva znamenka jednaka četvrtoj,a druga trećoj nužno je djeljiv sa 11. Dokaži.4 ∗ . Izračunaj S :S = (x+1) 6 −6(x+1) 5 +15(x+1) 4 −20(x+1) 3 +15(x+1) 2 −6(x+1)+1.7

A grupa1. Izračunaj:(a)) 2 (z−xyx−y +a − z−xyx−y) (·a + z−xyx−y);b) ( a+ ) ( 1a+2 a 2 −4 · a+1+ ) ( 2a+5a−1 1−a : 1− 12 a+1 2a);xc) 1 + .1+ x1+1−xx2. Odredi najveću i najmanju visinu trokuta kojemu su zadane duljinestranica : a=29, b=25, c=6.3. Dokaži ako je zbroj dvaju troznamenkastih brojeva djeljiv sa 37onda je sa 37 djeljiv i šesteroznamenkasti broj koji se dobije tako dase jednom od tih brojeva pripiše drugi.4. Rastavi na faktore:a) 16a 4 − 1;b)64125 a3 b 3 + 1 27 c9 ;c) x 5 + x + 1;d) 4x 4 y 2 z − 12x 3 y 2 z + 12xy 2 z − 4xy 2 z;e) x 2 − x − 110.8

B grupa1. Izračunaj:a)1(x−y)(y−z) + 1(y−z)(z−x) + 1(x−z)(y−x) ;(b)xx+1 − x2x 2 +2x+1): ( x− ) 1x 2 −1 x+1 · x+1; xc)1+1−31+1+x1−3x1−3 1+x1−3x1+1+x1−3x1−3 1+x1−3x.2. Odredi najveću i najmanju visinu trokuta kojemu su zadane duljinestranica : a=27, b=36, c=45.3. Prva i treća znamenka četveroznamenkastog prirodnog broja sujednake, a druga i četvrta takoder.Dokaži, ako od tog broja oduzmeš broj koji se dobije kada se znamenkepolaznog broja napišu u obrnutom redoslijedu, da je takodobivena razlika djeljiva sa 9 i sa 101.4. Rastavi na faktore:a) x 4 y 4 − 0.0001;b)64125 x3 y 3 − 1 8 z6 ;c) x 5 + x + 1;d) 3x 4 y 2 z + 9x 3 y 2 z + 9xy 2 z + 3xy 2 z;e) x 2 + x − 132.9

A grupa1. Izračunaj duljinu odsječka kojega na osi x odsjeca graf funkcijef(ẋ) = ||x − 3| − 2|, i površinu koju on zatvara s osi x.2. Koordinate vrhova trokuta ABC: A(-1,2); B(1,-2) i C(3,4).Izračunaj:a) Opseg i površinu trokuta,b) jednadžbu: stranice BC, težišnice kroz vrh A,simetrale od BC i vsine na BC,c) površinu opisane kružnice trokutu ABC,d) koordinate točaka koje BC 4dijele na 5 jednakih dijelova.3. Riješi nejednadžbe:a)|x − 3| > 1, b)| − 2x + 5| ≤ 4,c) ||x − 3| − 2| ≤ 1,4. Riješi sustav (grafički): |x − 1| + |y − 5| = 1, y = 5 + |x − 1|.10

B grupa1. Izračunaj duljinu odsječka kojega na osi x odsjeca graf funkcijef(ẋ) = | − |x − 3| + 2|, i površinu koju on zatvara s osi x.2. Koordinate vrhova trokuta ABC: A(1,3); B(4,-1) i C(-3,0).Izračunaj:a) Opseg i površinu trokuta,b) jednadžbu: stranice BC, težišnice kroz vrh A,simetrale od BC i vsine na BC,c) površinu opisane kružnice trokutu ABC,d) koordinate točaka koje BC dijele na 7 jednakih dijelova.3. Riješi nejednadžbe:a)|x − 3| > 1, b)| − 2x + 5| ≤ 4,c) | − |x − 3| + 2| ≤ 1,4. Riješi sustav (grafički): |x + y| = 1, |x| + |y| = 1.11

Izračunaj:1) A)3 √6−√3− 1 √7−√6+ 4 √7+√3, iB)1 √6−√5− 3 √5+√2− 4 √6+√2;2) A) 6√ √3 −√2 ·3 √ 5 + 2 √ 6, iB) 6√ √ √ √ 33 + 5 · 8 − 2 √ 15;3) A) 4√ √32 3√ √4 + 4 64 3 1− 3 3√ 2 4√ 2, i2√ √ √B) 5√48 3 2+ 32 3 9− 11 3√ 12 √ 8;3 44) A)32 0.21024 0.1 + 9 −0.5 + 0.25 − 3 2 , iB) 32−0.21024 0.1 + 9 1.5 + 0.25 3 2 ;5) A) ( a 4 1 b 1 4 −b 21 ) −4 , ia 2 1 −a 1 4 b 1 4B)x 1 2 +1x+x 1 2 +1 : 1x 3 2 −1 . 12