3. Matematicki pristup - Katedra

Katedra za strojarsku automatikuIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 1Katedra za strojarsku automatikuDiferencijalne jednadžbeOBIČNEPARCIJALNEjedna nezavisna varijabla,vrijeme topisuju preraspodjelu energijesustavi s usredotočenim parametrimadvije ili više nezavisnih varijabli,vrijeme t, X, Y, Zopisuju širenje energijesustavi s raspodijeljenim parametrimapotrebno poznavati rubne uvjetepotrebno poznavati početne uvjetep p jIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 2

Katedra za strojarsku automatikuObična linearna DJ s konstantnim koeficijentiman n1m m1d x i(t) i iu u un n d x (t) dx (t)d x (t) d x (t) dx (t)n1 n1 1 0 i m m m1 m1 1 0 ua a ... a a x (t) b b ... b b x (t)dt dt dtdt dtdtx ix ua n ...a 0b m …b 0= izlazna veličina - odziv= pobuda= konstantni t parametri sustava= konstantni parametri pobudeRealni tehnički sustavm < nx u =0 autonomni sustav homogena DJ (P.U. (PU 0)x u 0 neautonomni sustav nehomogena DJZapis derivacije2dxdt2 x x'' x(2)Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 3Katedra za strojarsku automatikuSvojstvaLinearnost (superpozicija) x u(t) x i(t)ax (t) () ax () (t)uiax (t) bx (t) ax (t) bx (t) u1 u2 i1 i2Vremenska invarijantnost x u (t ) x i(t )Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 4

Katedra za strojarsku automatikuOpis dinamike sustavaTemeljni zakoni=fizike + Fenomenološkejednadžbezakon o održanju masezakon o održanju energijezakon o održanju impulsamehanika elektrotehnika termodinamika Newtonov zakontrenje krutost opruge protjecanje tekućinekroz ventil … Ohmov zakon Kirchoffov zakon Struja krozkondenzator ... Fourierov zakon prijenosa topline Newtonov zakon prijelaza topline Jednadžba džb stanja ...Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 5Katedra za strojarsku automatikuPrimjer RC sustav – punjenje kondenzatoraII Kirchoffov zakon = zakon o održanju energijei CREMS RU(t) () u uuCU 0u CCCuR RiduiC dtdu CRC uCU(t)dtIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 6

Katedra za strojarsku automatikuPrimjerMehanički MDS sustavf(t)MSDx(t)zakon o održanju energije ravnoteža silaW W W WM D S f f dx f dx f dx f dxM M D D S S dx dx dx dxM D SZa kruto tijelo2dx dxM D Sx f(t)2dt dtIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 7Katedra za strojarsku automatikuInformacija oInformacija ostabilnosti sistematočnosti sistemaHomogeno rješenjex u (t) = 0+Nehomogeno rješenjex u (t) ≠ 0Klasično rješenje linearne diferencijalne jednadžbeegzaktne analitičke metodenumeričke metodeanalogne metodeIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 8

Katedra za strojarsku automatikuPrimjerKlasično rješenje MDS sustava1. Homogeno rješenje sustava – komplementarna funkcija2dx dxM D Sx 0dt 2 dt2t dxKFt d xKF2 tKF , , 2x Ke , K e , K edtdtx KFx 0t 2Ke M D S 0t2 D D S1,2 22M 4M M1t2tKF 1 2korijeni sustavax K e K ekonstante integracijeinformacija o stabilnostisistema itIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 9Katedra za strojarsku automatiku2. Nehomogeno rješenje sustava – partikularni integral2dx dxM D Sx f(t)2dt dtf(t) F 0x PIFS02dx d x 02dt dtxPIF0St3. Ukupno rješenje linearnog sustavaFx x x K e K e S1t 2t 0KF PI 1 2Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 10

Katedra za strojarsku automatikuKonstante t integracije ij :Početni č uvjeti: t =0 x =0 i dx/dt =01t 2t F0 F0x K1e K2e K1K2 0SSt0dxdt1t2t1 1 2 2t01 1 2 2Ke Ke K K 0KFS F S 0 2 0 11 K21 2 1 2Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 11Katedra za strojarsku automatikuOpće rješenje linearne diferencijalne jednadžben n1d x i(t) d x i(t) dx i(t)n n n1 n11 0 ia a ... a a x (t) 0dtdtdtt ndx(t) in tnx(t) i Ke , Kedtn n1n n1 1 0a a ... a a 0karakteristična jednadžbaa n( 1)( 2)...( n) 01, 2, ... nkorijeni karakteristične jednadžberealni i različiti1t 2t nti KF 1 2 nx K e K e ... K erealni i višestrukit t n1 ti KF 1 2 nx K e K te ... Kt ekompleksni 1,2 jtx Ke sin( t )iKFIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 12

Katedra za strojarsku automatikuKontinuirane(x )idx idt2cos x i2NelinearnostiNekontinuiranex 1x ilog(x i)x 2Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 13Katedra za strojarsku automatikuPrimjeridx f(sin(x))( fizikalno ik njihalo 2dt brzina istjecanja iz otvorenog spremnika v 2gh2 gubitak tlaka pri strujanju fluida toplinski tijek zračenja2p f(v ) 0 AT4 jednadžba stanja plina pV mRTpravilo: NE vrijedi princip i superpozicijeijIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 14

Katedra za strojarsku automatikuPrimjerf D , xmala brzina laminarno strujanje j fD Dx velika brzina turbulentno strujanjefD Dx2PrimjerrealnofDD(t)x 2f Sx“tvrda” opruga“meka” oprugaxf S x S ...3S 1 3 3!3xfS S1x S 3 ...3!32xMx D(t)xS1x S3 f(t)3!Industrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 15Katedra za strojarsku automatikuPrimjeristjecanje tekućine ć iz otvorene posude v 2gHradna točka Q (H = 1 m)vgv v0 h 2gH h 4.429 2.21hHH2HHvQhIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 16

Katedra za strojarsku automatikuIndustrijsko inženjerstvo i menadžment Osnove automatizacije - PI Matematički pristup - 17