Teoria automatów

Alfabety i literyUkład logiczny opisywany jest przez wektory, których wartościreprezentowane są przez ciągi kombinacji zerojedynkowych.Zwiększenie stopnia abstrakcji modelu przez przypisanie nazwwystępującym wartościom wektorów; nazwy te sąniezależne od konkretnych reprezentacji.Zbiór nazw nazywamy alfabetem, nazwy – literami.Pojęcie alfabetu – podstawa definicji charakterystycznych dlateorii automatów, której wariantem szczegółowym jest teoriaukładów logicznych.

Automaty i ich stanyAutomaty pracują w dyskretnej skali czasowej –zmiany liter odbywają się w ściśle określonychchwilach czasowych.Podając na wejście automatu określoną sekwencjęliter, w pewnej (n-tej) chwili otrzymamy określonąliterę wyjściową:..., x n-3 , x n-2 , x n-1 , x n → y nNieskończenie wiele sekwencji liter wejściowychnawet dla skończonych liczności alfabetówwejściowych

Automaty i ich stany c.d.Sekwencje liter wejściowych tworzą historieautomatu, reprezentowane przez jego stanywewnętrzne.Skończony alfabet wewnętrzny reprezentujeskończoną liczbę wszystkich możliwych historiidanego automatu.Automat skończony – alfabety charakteryzującewejście, wyjście oraz stan wewnętrzny zawieraograniczoną liczbę liter.

Automat Mealy’egoUporządkowana piątka: A = < X, S, Y, δ, λ >, gdzie:X = {x 0 , x 1 , ..., x m-1 } – alfabet wejściowy,S = {s 0 , s 1 , ..., s l-1 } – alfabet wewnętrzny (zbiór stanów),Y = {y 0 , y 1 , ..., y n-1 } – alfabet wyjściowy,δ: → s k+1 – funkcja przejśćλ: → y k – funkcja wyjśćZakłada się ponadto, że dla funkcji przejść< x k , s k > ∈ D δ ⊂ X × Soraz analogicznie dla funkcji wyjść< x k , s k > ∈ D λ ⊂ X × S

Definiowanie automatu Mealy’egoDefinicja analityczna – podanie alfabetówwejściowego, wewnętrznego, wyjściowego, funkcjiprzejść oraz wyjśća b c a b cTablica przejść-wyjśćGraf automatuq r q s - - zr r - s z y -s - r - y z -

Automat Moore’aUporządkowana piątka: A = < X, S, Y, δ, λ >, gdzie:X = {x 0 , x 1 , ..., x m-1 } – alfabet wejściowy,S = {s 0 , s 1 , ..., s l-1 } – alfabet wewnętrzny (zbiór stanów),Y = {y 0 , y 1 , ..., y n-1 } – alfabet wyjściowy,δ: → s k+1 – funkcja przejśćλ: → y k – funkcja wyjść

Użyteczne definicje (2)Automat A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > w stanie s 1 pokrywaautomat A 2 = < X, S 2 , Y, δ 2 , λ 2 > w stanie s 2 (zapiss 1 ≥s 2 ), jeśli każde słowo odpowiednie dla s 2 jestodpowiednie dla s 1 i dla każdego takiego słowa końcowelitery wyjściowe obu automatów są są sobie równe:λ 2 (x, s 2 ) = λ 1 (x, s 1 )Automat A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > pokrywa automatA 2 = < X, S 2 , Y, δ 2 , λ 2 > (zapis A 1 ≥A 2 ), jeśli dla każdegostanu s 2 automatu A 2 istnieje przynajmniej jeden stan s 1automaty A 1 taki, że s 1 ≥s 2A1≥A2⇔Automat A 1 zawiera w sobie niejako funkcję automatu A 22∀s ∈S2s ∈S1∃1s1≥s2

Użyteczne definicje (3)Automat A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > w stanie s 1 jestnieodróżnialny od automatu A 2 = < X, S 2 , Y, δ 2 , λ 2 > wstanie s 2 (zapis s 1 ≡s 2 ), jeśli każde słowo odpowiednie dlas 2 jest odpowiednie dla s 1 i odwrotnie, przy czymkońcowe litery wyjściowe obu automatów są sobierówne.Graniczny (symetryczny) przypadek pokrywania.Automat A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > jest nieodróżnialny odautomatu A 2 = < X, S 2 , Y, δ 2 , λ 2 > (zapis A 1 ≡ A 2 ), jeżeliautomaty te wzajemnie się pokrywają.

Użyteczne definicje (4)Automat A R = < X, S R , Y, δ Ρ , λ Ρ > jest zredukowanym dlaautomatu A = < X, S, Y, δ, λ > jeżeli automat A R pokrywaautomat A i jednocześnie liczba stanów automatuzredukowanego nie jest większa od liczby stanówautomatu A.Dla danego automatu może istnieć wiele automatówzredukowanych, bądź może ich nie być wcale.Każdy automat jest zredukowanym dla samego siebie.W zbiorze automatów zredukowanych znajduje sięprzynajmniej jeden o najmniejszej możliwej liczbiestanów wewnętrznych.

Relacja niesprzeczności stanówRelacja niesprzeczności stanów automatu A = < X, S, Y, δ, λ >zbiór wszystkich takich par jego stanów , dla którychsłowo odpowiednie dla jednego ze stanów, jeśli jest równieżodpowiednie dla drugiego, generuje z tych stanówjednakowe litery końcowe:R ~ ={∈S: x||s 1 ∧x||s 2 →λ(x, s 2 ) = λ(x, s 1 )}.Stany niesprzeczne oznacza się s 1 ≈ s 2 .Dualnie definiuje się relację sprzeczności stanów – ma onamniejsze znaczenie i jest rzadziej używana.

Zbiory stanów niesprzecznychZbiorem stanów niesprzecznych Q nazywa się zbiór, któregodowolne dwa elementy tworzą parę stanów niesprzecznych.Maksymalnym zbiorem stanów niesprzecznych Q max jestzbiór, do którego dodanie jednego elementu powoduje utratęwłaściwości niesprzeczności stanów.Zbiór wszystkich dla danego elementu maksymalnych zbiorówstanów niesprzecznych nazywa się rodziną maksymalnychzbiorów stanów niesprzecznych i oznacza {Q max }.Pojęcie to odgrywa kluczową role w procesie poszukiwaniaautomatu minimalnego – automatu zredukowanego onajmniejszej możliwej liczbie stanów.

Relacja nieodróżnialności stanówRelacja nieodróżnialności R ≡ stanów automatuA = jest zbiór wszystkich takich par jegostanów , dla których słowo odpowiednie dlajednego z nich jest jednocześnie odpowiednim dladrugiego i odwrotnie, a wygenerowane z tych stanów literykońcowe są jednakowe:Para stanów nieodróżnialnych różni się co najwyżejoznaczeniem.

Zbiory stanów nieodróżnialnychZbiorem stanów nieodróżnialnych B nazywa się zbiór, któregodowolne dwa elementy tworzą parę stanównieodróżnialnych. Maksymalnym zbiorem stanównieodróżnialnych B max jest zbiór, do którego dodanie jednegoelementu powoduje utratę właściwości nieodróżnialnościstanów.Zbiór wszystkich dla danego elementu maksymalnych zbiorówstanów nieodróżnialnych nazywa się rodziną maksymalnychzbiorów stanów nieodróżnialnych i oznacza {B max }.Pojęcie to jest istotne w procesie poszukiwania automatuminimalnego dla automatu pierwotnego o dużej liczbiestanów.

Zamkniętość rodziny zbiorówstanów niesprzecznychDla określonej litery wejściowej, stany następnewyznaczone dla wszystkich stanów dowolnego zbiorumaksymalnego, są zawsze podzbiorem któregoś zezbiorów maksymalnych stanów niesprzecznychtworzących tę rodzinę.Zbiory rodziny {Q max } nie muszą być rozłączne; możesię zatem zdarzyć, że stany następne sąjednocześnie podzbiorami kilku różnych zbiorówmaksymalnych

Automaty ilorazoweAutomaty ilorazowe budowane są na rodzinachzbiorów stanów niesprzecznych. Najczęściejbuduje się je na rodzinie {Q max }, rzadziej na {B max }.Automat ilorazowy automatu pierwotnego Azbudowany dla rodziny {T j } oznacza się A/{T j }.Automatem minimalnym jest automat ilorazowy dlamaksymalnie zredukowanej rodziny {Q max }.Redukcja musi zachować pełne pokrycie stanówautomatu pierwotnego i warunek zamkniętości.Rodzinę taką oznacza się {P j }.

Rytm pracy automatówMinimalizacja liczby stanów zachowuje klasę typu automatów.W automacie Mealy’ego litera wyjściowa generowana jestprzed wejściem do stanu następnego, w automacieMoore’a z chwilą przejścia do nowego stanu.Nieokreśloność stanu następnego automatu Moore’a pociągaza sobą nieokreśloność litery wyjściowej; w automacieMealy’ego nie wpływa na literę wyjściową (generowanąprzed wypadnięciem z grafu).Relacje pokrywania, niesprzeczności i nieodróżnialności niemogą zachodzić między automatami dwóch różnych typów.

Podobieństwo automatówAutomaty: Moore’a A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > w stanie s 1i Mealy’ego A 2 = < X, S 2 , Y, δ 2 , λ 2 > w stanie s 2nazywa się podobnymi (zapis s 1 ≈ s 2 ), jeśli każde słowoodpowiednie dla s 2 jest odpowiednie dla s 1 i odwrotnie,przy czym końcowe litery wyjściowe obu automatów sąsobie równe.Automaty Moore’a A 1 i Mealy’ego A 2 nazywa siępodobnymi (zapis A 1 ≈ A 2 ), jeżeli dla każdego stanu s 1automatu A 1 istnieje przynajmniej jeden stan s 2 automatuA 2 taki, że w tych stanach automaty są podobne oraz dlakażdego stanu s 2 automatu A 2 istnieje przynajmniejjeden stan s 1 automatu A 1 taki, że w tych stanachautomaty są podobne.

Automat Mealy’ego podobny do automatu Moore’aDla automatu Moore’a A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > można znaleźćautomat podobny Mealy’ego A 2 = < X, S 2 , Y, δ 2 , λ 2 >, jeżelidla każdej litery wejściowej automatu Mealy’ego A 2 będziespełniona zależność:λ 2 (x,s) = λ 1 [δ(x,s)]Przykład:ab1 2 3 y2 4 5 z3 1 2 -4 3 4 z5 5 1 y≈a b a b1 2 3 z -2 4 5 z y3 1 2 y z4 3 4 - z5 5 1 y y

Automat Moore’a podobny do Mealy’egoDla każdej pary automatuMealy’ego A 1 = < X, S 1 , Y, δ 1 , λ 1 > wprowadzamy nazwęstanu wewnętrznego automaty Moore’a A 2 =,co oznaczmy symbolem:s 2i = δ 1 (x,s 1j ) / λ 1 (x,s 1j ), przy czym λ 1 (s 2i ) = λ 1 (x,s 1j ).Zbiór tych nazw tworzy alfabet wewnętrzny S 2 automatu A 2 .Korzystając z wierszy automatu Mealy’ego podobny automatMoore’a tworzymy w następujący sposób:- wybieramy wiersz odpowiadający stanowi następnemu zdaną nazwą stanu wewnętrznego automatu Moore’a,- dla tego wiersza stany następne określamy według tablicyMealy’ego, stosując nazwy stanów automatu Moore’apoprzednio wyznaczone.Na koniec minimalizujemy i porządkujemy otrzymany automat.

Przykłada b a b1 4 3 y z2 2 1 z y3 2 3 z z4 4 1 y ya b1 4/y A 3/z B2 2/z C 1/y D3 2/z C 3/z B4 4/y A 1/y Da bA A D yB C B zC C D zD A B y