[ ] rad - tud.ttu.ee

2. Pöördliikumine2.1 Ühtlase pöördliikumisega seotud mõistedVaatleme esmalt ühtlast pöördliikumist pöörleva ratta näitel, millel tähistame kaks punkti –punkt A kaugusel r 11ja punkt A2kaugusel r2pöörlemisteljest. Ratta pöörlemisel läbib punktilmselt pikema teepikkuse kui punkt , mille läbitud teepikkus olgu s .A2s2A11r 2v r 2s 2r 1v r 1s 1ϕOJärelikult pole erinevalt kulgliikumisest pöördliikumise korral mõtet rääkida teepikkusest,kuna erinevad keha punktid läbivad erinevad teepikkused. Jooniselt on näha, et läbitudteepikkused s on võrdelised kaugustega r pöörlemisteljest. Suhets1s2sϕ = = = , (2.1)r1r2rmis on kõigi punktide jaoks ühesugune, nimetatakse pöördenurgaks. Pöördenurga ühikuks onSI-s üks radiaan:[ ϕ ] = 1radkui selline nurk, mille kaarepikkus võrdub raadiusega. Täispööre sisaldab seega 2 π radiaani.Ühtlase liikumise korral ka nende punktide joonkiirusedsv = (2.2)ton seetõttu erinevad ja on seda suuremad, mida kaugemal paikneb vaadeldav punktpöörlemisteljest.Märgime siinkohal, et pöörleva keha punkti joonkiirus on alati risti sellest punktistpöörlemisteljeni tõmmatud lühima sirgega (vt. viimane joonis).1

Jagades pöörleva keha punkti joonkiiruse (2.2) tema kaugusega pöörlemisteljest, saamevalemit (2.1) arvesse võttes suurusev s ϕ= = ,r tr tmis on samuti kõigi punktide jaoks ühesugune, kuna nii liikumisaeg kui pöördenurk ei sõltupunkti kaugusest pöörlemisteljest. Nii defineerime ühtlase pöördliikumise korral suuruseϕω = (2.3)tkui pöördenurga ja selle läbimiseks kulunud aja jagatise. Seda nimetatakse nurkkiiruseks.Valemite (2.1) ja (2.2) põhjal seostub see joonkiirusega järgmise valemi kaudu:vω = . (2.4)rMitteühtlasel pöördliikumisel defineeritakse nurkkiirus kui pöördenurga tuletis aja järgi:ω = & ϕ . (2.5)Nurkkiiruse ühikuks on radiaan sekundis,rad[ ω ] = 1 .sPeale nurkkiiruse saab pöörlemist iseloomustada veel järgmiste suurustega. Esitekspöörlemissagedus, mis ühtlasel pöördliikumisel defineeritakseNν =(2.6)tkui ajaühikus sooritatud pöörete arv. Valemis (2.6) N ongi tehtud pöörete arv ja t sellekskulunud aeg. Mitteühtlasel pöördliikumiselν = N & . (2.7)Pöörlemissageduse ühik on üks jagatud sekundiga ehk herts:[] ν = s −1 = 1Hz.Et üks täispööre on 2 π radiaani, siis nurkkiirus ja pöörlemissagedus on seotud valemiga.ω = 2πν . (2.9)Veel iseloomustab pöörlemist periood T, mis on ühe täispöörde sooritamiseks kulunud aeg.Ilmselt kehtib1 2πT = = . (2.10)ν ωPerioodi ühikuks on sekund.2.2 Kiirendus ühtlasel pöördliikumiselValemi (1.4) põhjal on kiirendusvektor kiirusvektori tuletis aja järgi. Seega – kuikiirusvektor ajas muutub, esineb alati kiirendus. Vektori muutumine tähendab seda, et muutubkas vektori moodul, suund või mõlemad.Et pöörleva keha punkti kiirus muudab pidevalt suunda, siis ka ta kiirendus erineb nullist.Kiirenduse arvutamiseks vaatleme ratast, mis pöörleb ühtlaselt vastupäeva nurkkiirusegaω = const . Valime paigaloleva koordinaatteljestiku selliselt, et ta alguspunkt asukspöörlemisteljel ja z-telg oleks pöörlemistelje sihis. Siis ratta mingi punkti koordinaadid( x,y,z)kui tema kohavektori r vastavad komponendid avalduvad järgneva joonise põhjal:x = r cos ϕ , y = r sinϕ,z = 0 ,kus r kui kohavektori r moodul on selle punkti kaugus pöörlemisteljest. Et ühtlaselpöörlemisel valemit (2.4) arvestades saameϕ = ω t ,2

siis ratta punkti trajektoori võrrand esitub kujul⎧x= r cos( ωt)⎪⎨y= r sin( ωt). (2.11)⎪⎩z= 0yv r•r (t)ϕxSeega punkti kohavektor avaldubr r r( t)= r( i cos( ωt)+ j sin( ωt)).(2.12)Esmalt arvutame selle punkti kiirusvektori v r kui kohavektori esimese ajalise tuletise,kasutades liitfunktsiooni tuletise arvutamise eeskirja:rr rv( t)= r&r( t)= ω r( − i sin( ωt)+ j cos( ωt)). (2.13)Et vektori v r skalaarkorrutis vektoriga r võrdub nulliga (kontrollida iseseisvalt!), siis on katõestatud, et kiirusvektor on pöördliikumisel trajektoori raadiusega risti.Kiirusvektori tuletis aja järgi annab kiirendusvektori:r r r22 ra( t)= −rωi cos( ωt)+ j sin( ωt)= −ω. (2.14)( ) r2Et suurus ω on positiivne, siis viimasest valemist järeldub, et ühtlasel pöördliikumisel onpöörleva keha punkti kiirendus suunatud pöörlemistelje suunas. Kiirenduse moodul2r 2 va = a = ω r = . (2.15)rViimase tulemuse saamiseks kasutasime ka joon- ja nurkkiiruse seost, vt. valem (2.4).Valemiga (2.15) defineeritud kiirendust nimetatakse ka kesktõmbekiirenduseks ehknormaalkiirenduseks ja tähistatakse a n. Nimetus „normaalkiirendus” tuleb sellest, et see onsuunatud trajektoori normaali sihis.3

2.3 Mitteühtlane pöördliikumine. NurkkiirendusPunktis 2.1 käsitlesime ühtlase pöördliikumise erijuhtu, kui keha pöörleb konstantsenurkkiirusega. Mitteühtlasel pöördliikumisel lisandub nurkkiirusele nurkkiirenduse mõiste.Pöörleva keha nurkkiirenduseks nimetatakse nurkkiiruse tuletist aja järgi:dωε ( t)= = & ω(t). (2.16)dtNurkkiirenduse ühikuks on radiaan sekund ruudus:rad[] ε = 1 . s2Koos võrrandiga (2.5) moodustab (2.16) see pöördliikumise võrrandite süsteemi:⎧ω(t)= & ϕ(t)⎨ .(2.17)⎩ε( t)= & ω(t)Erijuhuna käsitleme veel ühtlaselt muutuvat pöördliikumist, kus ε = const . Siisliikumisvõrrandis, mis võimaldavad esialgset pöördenurka ϕ 0, esialgset nurkkiirust ω 0janurkkiirendust ε teades arvutata pöördenurga ja nurkkiiruse väärtused suvalisel ajahetkel t:2⎧εt⎪ϕ( t)= ϕ0+ ωt+⎨2 . (2.18)⎪⎩ω(t)= ω0+ εtKontrollida iseseisvalt, et võrranditest (2.18) ajalise tuletise võtmisel saame tõepoolestvõrrandid (2.17).Kõrvutades võrrandeid (2.18) ühtlaselt muutuva sirgjoonelise liikumise võrranditega2⎧at⎪s= s0+ v0t+⎨2 ,⎪⎩v= v0+ atsaame analoogiad sirgjoonelist liikumist ja pöördliikumist iseloomustavate suurustega:1. teepikkusele sirgjoonelisel liikumisel vastab pöördenurk kõverjoonelisel liikumisel,2. kiirusele vastab nurkkiirus,3. kiirendusele vastab nurkkiirendus.⎧s↔ ϕ⎪⎨v↔ ω . (2.19)⎪⎩a↔ εValemitest (2.4) ja (2.16) saame nurkkiirenduse jaoks avaldised ⎛ v ⎞ε = ⎜ ⎟ .dt ⎝ r ⎠Et jäiga keha pöörlemisel punkti kaugus pöörlemisteljest ei muutu, siis r = const ja me võimekirjutada1 dvε = ,r dt4

nurkkiirendus on joonkiiruse mooduli ajaline tuletis jagatud kaugusega pööremisteljest, misannab meile pöörleva keha punkti tangentsiaal- ehk puutujakiirenduse, mida tähistatakse a tja mis on suunatud kiiruse sihis:dva t= . (2.20)dtJärelikult – jäiga keha mitteühtlasel pöördliikumisel on selle keha punkti summaarnerkiirendusvektor a normaal- ja tangentsiaalkiirenduse vektoriaalne summa:r r ra = a t+ a n. (2.21)Kõverjoonelise liikumise korral on tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektorigaparalleelselt ja põhjustatud kiiruse mooduli muutumisest. Normaalkiirenduse vektor onsuunatud trajektoori kõverusraadiuse sihis, s.t. kiirusvektoriga risti, ja põhjustatud kiirusesuuna muutumisest.⎧rr dv⎪at|| v,at= = εrdt⎨2 . (2.22)⎪r r van⊥ v,an=⎩rKuna tangentsiaal- ja normaalkiirenduse vektorid on omavahel risti, siis summaarsekiirenduse moodul võrdub ruutjuurega tangentsiaal- ja normaalkiirenduse vektorite mooduliteruutude summast:a a t+ a n2 2= . (2.23)a r tv rra sa r nOJoonis kujutab summaarse kiirenduse määramist kiireneva ringliikumise korral. Aeglustuvaringliikumise korral oleks tangentsiaalkiirenduse vektor suunatud kiirusvektorile vastupidisessuunas.2.4 Pöördenurga, nurkkiiruse ja nurkkiirenduse vektorid.5

Sellest, et kulgliikumise põhjalikumaks iseloomustamiseks tuleb peale läbitud teepikkuseteada ka suunda, tuleneb kulgliikumist kirjeldavate suuruste – nihe, kiirus ja kiirendus –vektoriseloom. Samamoodi ei piisa ka pöörde täpsemaks kirjeldamiseks ainuüksipöördenurga teadmisest, tuleb teada ka pöörlemistelje asendit. Seega defineeritakseanaloogiliselt nihkevektorile kulgliikumise korral pöördenurga vektor pöördliikumise korral.Pöördenurga vektoriks ϕ r nimetatakse pöördliikumise korral niisugust vektorit, millemoodul võrdub läbitud pöördenurgaga ja mis on suunatud piki pöörlemistelge. Pöördenurgavektori suund määratakse kruvi reegliga – kui kruvi pöördliikumise suund ühtib kehapöörlemise suunaga, siis kruvi kulgliikumise suund ühtib pöördenurga vektori suunaga.v rϕ rr rϕ rr r•⊗v rKui vaatame pöörleva keha liikumist piki pöörlemistelge, siis kruvi reeglit kasutadesjäreldame, et vastupäeva ehk positiivses suunas pöörlemisel on pöördenurga vektor suunatudvaatlejast eemale, päripäeva ehk negatiivses suunas pöörlemisel vaatleja poole. Vektor v rkujutab mõlemal juhul pöörleva ratta välisserval asuva punkti joonkiirust, vektor r rraadiusvektorit.Samamoodi on vektoriseloom ka nurkkiirusel ja –kiirendusel.Nurkkiiruse vektoriks nimetatakse niisugust vektorit, mille moodul võrdub nurkkiirusegakui pöördenurga tuletisega aja järgi, suund ühtib pöördenurga vektoriga.Et kolm vektorit –r ω , v ja r – on omavahel risti ja nende moodulid on seotud valemigav = rω ,siis vektorkorrutise definitsiooni kasutades võime kirja panna nurkkiiruse ja joonkiirusevahelise seose vektorkujul:r r rv = ω ×. (2.24)Siit ajalist tuletist arvutades saaksime valemit (1.4) arvestades pöörleva keha punktikiirenduseks6

a = v&r= &rω ×r +r ω ×r & . (2.25)Võrrandi paremal pool on esimeses liidetavas nurkkiiruse vektori tuletis aja järgi. Nimetameselle nurkkiirenduse vektoriks.Nurkkiirenduse vektoriks r ε nimetatakse nurkkiiruse vektori ajalist tuletist. Tema moodulvõrdub nurkkiirenduse mooduliga, suund on piki pöörlemistelge. Kiireneva pöörlemise korralon ta suunatud nurkkiiruse vektori sihis, aeglustuva pöörlemise korral sellele vastu (ilmneanaloogia sirgjoonelise liikumise kiirenduse suunaga).rr dωε = . (2.26)dtVõrrandi (2.26) paremal pool teine liidetav sisaldab vektori r tuletist aja järgi, mis valemi(1.3) põhjal on pöörleva punkti kiirusvektor v r . Võtame veel arvesse valemit (2.24), siissaame pöörleva keha punkti kiirendusvektori jaoks järgmise avaldise:r r r r r ra = ε ×+ ω × ( ω ×) . (2.27)Esimene liidetav paremal pool on tingitud punkti kiirusvektori mooduli muutumisest, seegaon esimene liidetav tangentsiaalkiirendus. Teine liidetav on tingitud kiirusvektori suunamuutumisest, seega on teine liidetav normaalkiirendus.Märkus. Valem (2.27) kehtib ainult sellise liikumise korral, kui vaadeldava punkti kauguspöörlemisteljest ei muutu – s.t. vektori r r moodul ei muutu. Vastasel korral tuleb arvestada kapunkti kauguse muutumist pöörlemisteljest ja valemisse (2.27) tekivad seetõttu täiendavadliidetavad.Samuti tuleb rõhutada, et vektorkorrutises on tähtis tegurite järjekord. Tegurite järjekorramuutmisel muutub vektorkorrutise suund vastupidiseks!r r r rU × V = −V× U .7