均勻圓盤的圓周純滾動運動

均 勻 圓 盤 的 圓 周 純 滾 動 運 動蔡 尚 芳私 立 吳 鳳 技 術 學 院 電 機 工 程 系前 言在 重 力 下 , 若 剛 體 具 有 軸 對 稱 性 , 且以 軸 上 一 固 定 點 為 支 點 , 則 其 運 動 僅 可 能為 繞 此 支 點 的 轉 動 , 這 樣 的 問 題 是 剛 體 力學 中 轉 動 的 標 準 例 子 , 其 分 析 方 法 與 相 關討 論 , 在 一 般 力 學 教 科 書 中 (French, 1971,p.680;Goldstein, 1980, p.213;Landau &Lifshitz, 1976, p.112;Marion & Thornton,1995, p.445;Symon, 1971, p.454), 通 常 都會 詳 細 加 以 交 代 。 對 高 中 與 大 一 學 生 而言 , 只 要 能 掌 握 一 些 基 礎 數 學 知 識 , 如 微分 與 向 量 的 概 念 與 基 本 運 算 , 並 運 用 總 力學 能 必 須 守 恆 , 以 及 力 矩 必 等 於 角 動 量 時變 率 的 定 律 , 則 分 析 與 理 解 這 類 的 問 題 ,實 際 上 並 無 太 大 的 困 難 ( 蔡 尚 芳 ,2001)。如 果 沒 有 固 定 的 支 點 , 則 剛 體 的 運 動就 變 得 複 雜 許 多 , 因 為 除 了 轉 動 之 外 , 同時 還 有 整 體 的 移 動 必 須 考 慮 , 因 此 除 了 剛體 沿 斜 坡 或 水 平 直 線 的 滾 動 運 動 外(French, 1971, p.652 ; Symon, 1971,p.369), 一 般 高 中 與 大 一 普 通 物 理 教 材 中較 少 提 及 這 類 型 的 問 題 , 而 比 較 專 門 的 力學 教 科 書 , 有 些 會 提 及 這 類 問 題 , 但 通 常都 是 使 用 拉 格 朗 日 的 力 學 觀 點 (Meirovitch,1970, p.160), 就 高 中 與 大 一 學 生 而 言 , 並不 太 容 易 掌 握 。事 實 上 , 當 剛 體 沿 著 水 平 面 上 的 圓 形 路徑 運 動 時 , 如 果 採 用 適 當 的 分 析 方 式 , 則 就難 度 與 複 雜 度 而 言 , 與 上 述 有 固 定 支 點 的 剛體 運 動 , 基 本 上 並 無 太 大 的 不 同 。 本 文 即 以均 勻 圓 盤 與 圓 環 在 水 平 面 上 沿 著 圓 周 的 純滾 動 為 例 , 提 出 一 種 簡 單 的 分 析 方 法 , 說 明如 何 將 其 運 動 分 解 成 整 體 質 心 的 移 動 與 繞質 心 的 轉 動 , 並 採 用 適 當 的 參 考 坐 標 系 來 表達 與 轉 動 有 關 的 各 種 向 量 , 以 導 出 運 動 方 程式 , 進 而 求 得 運 動 的 一 些 基 本 特 性 。這 個 方 法 , 當 然 可 用 在 具 有 固 定 支 點的 剛 體 轉 動 問 題 上 , 也 可 加 以 推 廣 , 用 來處 理 圓 盤 與 圓 環 在 水 平 面 上 沿 著 任 一 指 定路 徑 的 運 動 , 但 本 文 中 只 以 圓 形 路 徑 為 例導 出 其 運 動 方 程 式 , 並 求 出 作 純 滾 動 運 動的 剛 體 圓 環 或 圓 盤 , 沿 著 直 線 或 圓 形 路 徑前 進 , 可 以 穩 定 的 保 持 傾 斜 角 而 不 致 倒 下的 最 低 速 率 。壹 、 一 般 剛 體 運 動 的 基 本 公 式考 慮 一 個 原 點 位 於 O 的 慣 性 坐 標 系xyz( 參 見 圖 1)。 若 將 剛 體 看 成 是 一 個 多 質點 系 統 , 並 設 其 第 i 個 質 點 的 質 量 為 m i ,位 置 向 量 為 r i , 速 度 為 v r i , 所 受 的 外 力 為f r i , 則 由 牛 頓 運 動 定 律 可 得ddtr r∑ mivi) = ∑ fiiir= F( (1)-34-

均 勻 圓 盤 的 圓 周 純 滾 動 運 動上 式 中 F r 為 作 用 於 剛 體 的 總 外 力 , 一般 包 括 正 向 支 撐 力 、 摩 擦 力 及 重 力 。若 此 剛 體 之 總 質 量 為 M, 質 心 C 的 位置 向 量 為 r c , 質 心 速 度 為 v r c , 則 依 定 義 可得r rM = ∑ m i , M c = ∑ mii ,iirM vc= ∑irm vii(2a)r r r如 以 相 對 於 質 心 之 位 移i′ =i −c 與r r r速 度 vi′ = vi− vc表 示 , 則 上 式 後 二 式 亦 可寫 成mir r i′ = 0 , miv ri′ = 0 (2b)∑i∑i而 由 (1) 與 (2a) 兩 式 可 得 質 心 運 動 之 加速 度 a rc 需 滿 足r d r rMac= ( Mvc) = F(3)dt力 矩 。r r= r c × F +τ ′(4a)r r rτ ′ = ∑ (r i′× f i )(4b)r上 式 中 τ ′i為 外 力 相 對 於 質 心 C 之 總剛 體 相 對 於 原 點 O 之 總 角 動 量 L r , 依其 定 義 與 (2a)、(2b) 兩 式 可 表 示 為r r r r r r rL = ∑(i × mivi) =c × Mvc+ ∑(i′×mivi′)rLir r= L c + L′ccci(5a)r r= × Mv(5b)r r rL ′ = ∑ (i′×mivi′)i上 式 中L rc(5c)為 剛 體 質 心 運 動 相 對 於 原點 O 之 總 角 動 量 , 而 L′ 則 為 剛 體 相 對 於 其質 心 C 之 總 角 動 量 。r由 (1) 與 (4a) 兩 式 可 得 總 角 動 量 的 時 變率 等 於 總 力 矩 τ r , 即rdL drr= ∑( r × = ∑ × =ri mivi) ( rifi) τ (6a)dt dtii將 (5a) 與 (4a) 兩 式 之 結 果 分 別 代 入 上以 原 點 O 為 參 考 點 時 , 剛 體 所 受 之 總力 矩 r τ , 等 於 各 外 力 f r i 對 此 點 之 力 矩 的 總r r r和 。 因i =c +i′, 故 得rτ = rr∑ × = ∑ × + ∑r( ri fi) ( rcfi) ( ri′×fi) =iii式 之 最 左 邊 與 最 右 邊 , 可 得r rdLcdL′r+ = rc× Fdt dt+τ ′(6b)但 由 (5b) 與 (3) 式 可 得 質 心 運 動 之 角 動量 的 時 變 率 為-35-

科 學 教 育 月 刊 第 298 期 中 華 民 國 九 十 六 年 五 月rdLcd r r r r= ( c × Mvc) =c × F (6c)dt dt將 (6b) 式 減 去 (6c) 式 可 得rdL′ r= τ ′(6d)dt(6a) 與 (6d) 兩 式 之 結 果 顯 示 , 不 論 以 原點 O 或 以 質 心 C 當 作 計 算 角 動 量 與 力 矩 的參 考 點 , 剛 體 之 總 角 動 量 的 時 變 率 都 等 於外 力 之 總 力 矩 。在 總 外 力 F r與 總 力 矩 r τ 作 用 下 ,(3)與 (6a) 式 分 別 給 出 總 動 量 Mvr 與 總 角 動 量L r 的 時 變 率 , 此 兩 式 為 分 析 剛 體 運 動 的 基本 公 式 。 以 上 的 討 論 顯 示 (6a) 式 可 用 (6c)與 (6d) 二 式 取 代 , 而 因 (6c) 式 其 實 只 是 (3)式 在 垂 直 於 r c 之 平 面 上 的 分 量 式 , 故 處 理剛 體 的 運 動 時 , 可 改 用 (3) 與 (6d) 式 即 可 ,本 文 以 下 即 採 用 此 一 分 析 方 式 。貳 、 主 軸 坐 標 系 之 轉 動 角 速 度本 文 有 時 為 簡 化 符 號 , 會 在 一 個 物 理量 的 符 號 上 冠 以 一 或 二 點 , 以 表 示 該 量 對時 間 的 一 次 或 二 次 微 分 , 例 如 & φ 與 & φ 分 別代 表 φ 對 時 間 t 之 一 次 與 二 次 微 分 。任 何 一 個 具 有 軸 對 稱 性 的 剛 體 , 繞 其質 心 C 的 轉 動 慣 量 具 有 三 個 互 相 垂 直 的 主軸 , 設 以 1、2、3 軸 稱 之 。 若 取 此 剛 體 的對 稱 軸 為 3 軸 , 並 令 1、3 兩 軸 與 鉛 直 之 z′軸 共 平 面 , 則 1、2、3 軸 形 成 一 右 手 制 正交 坐 標 系 ( 如 圖 2), 本 文 中 以 主 軸 坐 標 系 稱之 , 並 以 ê 1 、 ê 2、 ê 3 分 別 代 表 沿 坐 標 軸 方向 的 單 位 向 量 。 注 意 : 上 述 共 平 面 之 選 擇 ,一 般 剛 體 的 轉 動 運 動 並 不 一 定 適 用 , 但 任c何 剛 體 的 轉 動 慣 量 則 恆 有 三 個 互 相 垂 直 的主 軸 (Marion & Thornton, 1995, p.414;Symon, 1971, p.426)。在 dt 的 時 間 內 , 當 3 軸 隨 著 剛 體 的 轉動 , 致 其 在 xyz 坐 標 系 中 的 極 角 由 θ 變 為θ + dθ , 方 位 角 由 φ 變 為 φ dφ+ 時 , 由圖 2 可 看 出 各 坐 標 軸 單 位 向 量 的 變 化 為deˆde1 −dθ eˆ3 + cosθdφeˆ2ˆ2deˆ= (7a)= −dφˆ ρ= −dφ (sinθeˆ3 + cosθeˆ1)(7b)3 sinθ dφeˆ2 + dθeˆ1= (7c)將 上 式 除 以 dt 可 得 各 單 位 向 量 的 時變 率 為deˆdtdeˆdtdeˆdt&1 = −θeˆ3 + φ cosθe ˆ 2&= ( & θ e ˆ & θ × e (8a)&2 + φ cos eˆ3)ˆ12 = −φsinθeˆ3 −φcosθe ˆ 1&= ( − & φ sinθe ˆ & θ × e (8b)&3 = φ sinθeˆ2 + θ e ˆ 11 + φ cos eˆ3)ˆ2&-36-

均 勻 圓 盤 的 圓 周 純 滾 動 運 動= ( − & φ sinθe ˆ & θ × e (8c)1 + eˆ2 ) ˆ3若 定 義 一 向 量 Ω r 如 下 :Ω r= Ω eˆ+ Ω eˆ+ Ω1 1 2 2 3eˆ3Ω = − & φ sinθ , Ω = &2 θ ,1(9a)Ω = & φ cosθ(9b)3則 (8a)-(8c) 式 之 結 果 , 可 改 寫 為deˆdtdeˆdtdeˆdt1 = −Ω2eˆ3 + Ω3eˆ2 = Ω × e ˆ 12 = −Ω3eˆ1 + Ω1eˆ3 = Ω × e ˆ 23 = −Ω1eˆ2 + Ω2eˆ1 = Ω × e ˆ 3rrr(10a)(10b)(10c)由 (10a)-(10c) 式 可 看 出 主 軸 坐 標 系 之各 坐 標 軸 , 以 Ω r 為 瞬 時 角 速 度 , 繞 質 心 轉動 。參 、 軸 對 稱 剛 體 相 對 於 質 心 之 角 動量 與 其 時 變 率軸 對 稱 剛 體 轉 動 之 角 速 度 ω r 可 用 沿各 坐 標 軸 之 分 量 表 示 為rω = ω eˆ+ ω eˆ+1 1 2 2 ω3eˆ3(11a)由 於 剛 體 之 對 稱 軸 即 為 主 軸 坐 標 系之 3 軸 , 故 剛 體 轉 動 角 速 度 ω r 與 坐 標 系 3軸 轉 動 角 速 度 Ω v 沿 1 與 2 軸 之 分 量 相 同 ,即ω 1 = Ω 1 , ω 2 = Ω2(11b)若 以 質 心 為 參 考 點 , 剛 體 繞 其 主 軸1、2、3 的 轉 動 慣 量 分 別 為 I 1 、 I 2 、 I 3 ,r則 其 相 對 於 質 心 之 總 角 動 量 L′ 可 表 示 為rL ′ = L′eˆ+ L′eˆ+ L′e1 1 2 2 3ˆ3L 1′ = I1ω1, L 2′ = I 2ω2,3 3ω3(12a)L ′ = I(12b)由 (6d) 與 (12a) 式 可 得rdL′=dtdL1′eˆdtdL2′+ eˆdtdL3′+ eˆ)dt( 123deˆ1 deˆ2 deˆ3 r+ ( L 1′+ L2′+ L3′) = τ ′ (13a)dt dt dt若 利 用 (10a)-(10c) 式 與 (12b) 式 , 則 上式 之 分 量 可 寫 為dL1′+ ( −L2′Ω 3 + L3′Ωdt1 1 + −I2ω2Ω3+ 3ω3Ω2 )2)= I & ω ( I = τ ′ (13b)dL2′+ ( −L3′Ω1 + L1′Ωdt2 2 + −I3ω3Ω1+ 1ω1Ω3)3)= I & ω ( I = τ ′ (13c)dL3′+ ( −L1′Ω2 + L2′Ω1)dt= I & ω ) ′ (13d)3 3+ ( −I1ω 1Ω2+ I2ω2Ω1= τ3因 軸 對 稱 剛 體 之 轉 動 慣 量 I 1 = I 2, 故由 (11b) 式 可 知 (13d) 式 可 簡 化 為& ω ′I (13e)3 3 = τ 3肆 、 圓 盤 ( 或 圓 環 ) 於 水 平 面 上 的 圓周 運 動12-37-

科 學 教 育 月 刊 第 298 期 中 華 民 國 九 十 六 年 五 月設 均 勻 圓 盤 之 半 徑 為 r, 質 量 為 M,對 稱 軸 ( 即 3 軸 ) 之 極 角 為 θ , 方 位 角 為φ ( 如 圖 3)。 當 接 觸 點 B 於 xy 水 平 面 上 沿半 徑 為 R 的 圓 形 路 徑 前 進 時 , 此 圓 盤 的 質心 速 度 為 v r c , 繞 質 心 轉 動 之 角 速 度 為 r ω 。設 以 R r 代 表 由 O 至 B 之 徑 向 量 , 則 圓 盤 質心 C 之 位 置 向 量 可 表 示 為rc = Rr− rê 1= −R(sinθ eˆθ(14a)3 + cos eˆ1)− reˆ1若 將 上 式 先 對 時 間 微 分 一 次 與 兩 次後 , 再 將 (9b) 與 (10a)-(10c) 式 之 結 果 代 入 ,則 可 得 質 心 速 度 與 加 速 度 分 別 為ra crv c= − & φ ( R + r cosθ)ˆ2 e + r & θ eˆ3(14b)2 2= { r & θ + & φ ( R + r cosθ)cosθ}ˆe+ {2r& φθ&sinθ− && φ ( R + r cosθ)}ˆ e2+ { r && θ + & φ ( R + r cosθ)sinθ}ˆe312(14c)之 外 力 總 力 矩 為r r r r r rτ ′ = re1× FB= re1× ( Mac− Mg)2= −Mr{r && θ + & φ ( R + r cosθ)sinθ+ g cosθ}ˆe+ Mr{2r& φθ&sinθ− && φ ( R + r cosθ)}ˆ e(16)以 上 求 得 外 力 總 力 矩 之 方 式 , 只 要 接觸 點 的 運 動 路 徑 為 已 知 , 即 可 適 用 , 並 不僅 限 於 本 文 所 討 論 的 圓 形 路 徑 。若 圓 盤 做 純 滾 動 運 動 , 則 其 與 地 面 接觸 點 的 速 度 v r 須 為 零 , 即vrBB= vr +r ω × reˆ1 = 0c3(17a)將 (11a) 與 (14b) 式 之 結 果 , 代 入 上 式 ,可 得 圓 盤 沿 圓 周 做 純 滾 動 運 動 的 條 件 為− & φ ( R + r cosθ) eˆ2 + r & θ eˆ3 + r(ω3eˆ2 − ω2eˆ3)= 0(17b)而 將 (9b) 與 (11b) 式 之 結 果 代 入 上 式 ,則 得& φ( R + r cosθ) = rω(17c)32上 式 對 時 間 微 分 一 次 後 成 為& φ( R + r cosθ) − r & φθ&sinθ= r & ω (17d)利 用 (17c) 與 (17d) 式 ,(16) 式 可 改 寫 成rτ ′ = −Mr{( r && θ + rω&3φsinθ+ g cosθ) eˆ2+ r & φ & θ sin θ − & ω 3 ) eˆ} (18a)( 33若 作 用 於 B 點 之 外 力 為表 重 力 加 速 度 , 則 由 (3) 式 可 得rMacF r B, 並 以 g r 代r r= F + Mg(15)B利 用 上 式 與 (4b) 式 可 得 相 對 於 質 心 C故 得 力 矩 之 分 量 為rτ 1′ = τ ′ ⋅ eˆ1= 0(18b)r2τ 2′ = τ ′ ⋅ eˆ 2 = −Mr( && θ + ω &3φsinθ) − Mgr cosθ(18c)r2τ ′ = τ ′ ⋅ e ˆ = Mr ( & φθ&sinθ− &)(18d)3 3ω將 以 上 三 式 、 (9b) 與 (11b) 式 之 結 果 代-38-

均 勻 圓 盤 的 圓 周 純 滾 動 運 動入 (13b)-(13d) 式 可 得 如 下 之 圓 盤 運 動 方 程式 :I (&&φ sinθ+ 2 & θφ&cosθ= I ω & θ (19a)1 )22( I 1 + Mr )&θ+ ( I3+ Mr ) ω &3φsinθ2− I &1φsinθcosθ= −Mrgcosθ(19b)22( I Mr )ω&= Mr & φθ&sinθ3+ (19c)3使 用 與 本 節 相 同 的 方 式 , 可 將 以 上 所得 的 結 果 推 廣 , 證 明 剛 體 沿 任 意 水 平 路 徑的 純 滾 動 運 動 , 仍 然 適 用 以 上 三 式 , 此 與Meirovitch (1971, p.163) 是 一 致 的 。伍 、 圓 盤 ( 或 圓 環 ) 以 固 定 傾 斜 角 沿圓 周 做 純 滾 動 運 動不 變 , 即若 圓 盤 偏 離 鉛 直 面 之 傾 斜 角 α 固 定1θ θ = π + α=2310 ( 0 ≤ < π )& = & θ=3α2為 定 值 , 則 θ 0 , 代 入 (19a) 式 得& φ = 0, 顯 示 φ & 為 定 值 。 另 由 (19c) 式 得 此情 況 下 ω&3 = 0 , 即 ω 3 亦 為 定 值 , 故 (19b)式 簡 化 為( I + & & θ223 Mr ) ω3φsin θ 0 − I1φsin θ 0 cos= −Mrg cosθ 0(19d)以 下 分 兩 種 情 況 來 討 論 :θ21(1) 圓 盤 盤 面 鉛 直 , 亦 即 0 = π ( 或α = 0 )上 式 簡 化 成 為 & φ = 0, 即 φ 為 固 定 值 ,故 此 時 圓 盤 係 沿 直 線 做 純 滾 動 運 動 , 質 心速 率 v c 可 為 任 意 值 , 並 無 限 制 。01(2) 圓 盤 盤 面 傾 斜 , 亦 即 π θ < π ( 或10 α < 2π< )2< 0設 以 ρ 代 表 質 心 至 z 軸 之 距 離 ( 亦 即質 心 圓 周 運 動 的 半 徑 ), 即ρ = R + r cosθ 0(20a)則 由 純 滾 動 運 動 的 條 件 (17c) 式 得 質心 速 率 v c 為v c = ρ & φ = r(20b)ω 3故 (19d) 式 可 改 寫 成( I3+ Mr2vcvc)( )( ) cosα+ Ir ρ1vc( )ρ2sin α cosα= Mrg sinα(21a)經 整 理 後 即 得2 I 3 I1sinαv c (1 + + ) = gρtanα(21b)2Mr Mrρ於 上 式 中 代 入 圓 盤 之 轉 動 慣 量I 3 Mr = 2I則 得122= 可 得12 3 r sinαv c ( ) = gρtanα2 4ρ+ (21c)而 代 入 圓 環 之 轉 動 慣 量 I 3 = Mr = 2I12 r sinαv c (2 ) = gρtanα2ρ+ (21d)若 於 (21b) 式 中 令 I 3 與 I 1 為 零 , 亦 即 圓盤 只 滑 動 而 不 轉 動 , 則 得2v c = gρ tanα(21e)2-39-

科 學 教 育 月 刊 第 298 期 中 華 民 國 九 十 六 年 五 月此 結 果 一 如 預 期 , 與 彎 道 外 側 墊 高 至路 面 傾 斜 角 為 α 時 ( 如 圖 4), 視 汽 車 或 剛體 為 質 點 , 以 等 速 沿 半 徑 為 ρ 之 光 滑 圓 形彎 道 繞 行 的 公 式 相 同 (Crummett & Western,1994, p.132)。上 式 顯 示 ω 3 為 固 定 值 。 若 將 (22a) 式對 時 間 積 分 一 次 並 令 積 分 常 數 為 A, 可 得I & 1φ sinθ0= I3ω3ε+ A (22d)由 上 式 與 (22b) 式 消 去 φ & 可 得( I1+ Mr2)&ε + ( I3+ Mr2I) ω (3ω3ε+ A)I= Mrg ε sinθ 0 − cosθ) (22e)( 0以 B 代 表 上 式 中 之 常 數 項 , 即 令31陸 、 盤 面 傾 斜 角 固 定 時 , 圓 盤 ( 或 圓環 ) 沿 圓 周 做 純 滾 動 運 動 的 穩定 性以 下 僅 討 論 ρ >> r 的 情 形 以 簡 化 問題 。 由 (20b) 式 , 此 時 & φ 遠 小 於 ω 3 , 可 視之 為 一 階 微 小 量 。考 慮 圓 盤 在 極 角 θ 0 附 近 之 微 幅 變化 , 令θ θ + ε= 0 ( ε θ (24a)由 上 式 與 (20b) 式 可 得 此 情 況 下 質 心v c 3vc= ω r 必 須 大 於 一 臨 界 速 率 m> vm= r1I ( I332I Mgr sinθ+ Mr02)01v , 即(24b)若 改 以 圓 盤 之 傾 斜 角 α 表 示1( θ 0 = 2π + α ), 即I Mgr cosαv m = r=2I ( I + Mr )33gr cos31 α(24c)-40-

均 勻 圓 盤 的 圓 周 純 滾 動 運 動θ21(1) 0 = π ( 或 α = 0 )當 剛 體 為 圓 盤 時 , 上 式 成 為grv m = (24d)3由 以 上 ( 五 ) 之 (1) 的 討 論 , 此 時 圓 盤 係沿 直 線 做 純 滾 動 運 動 , 質 心 速 率 v c 的 大 小並 無 限 制 , 但 欲 穩 定 的 維 持 盤 面 與 地 面 保持 垂 直 ( α = 0 ), v c 不 能 低 於 上 式 所 給 之v m , 此 一 結 果 與 Meirovitch(1971, p.164)相 同 。11(2) π θ < π ( 或 0 < < π )2< 0rα2在 ρ >> 的 情 況 下 , 由 (21b) 式 知 圓盤 質 心 速 率 v c 可 近 似 為Mgρtanα2gρtanαv c ≅ r=(25)2I + Mr 33由 (25) 與 (24c) 兩 式 可 得vv2m2c2I1rcos α r cos α= ( ) = ( ) (26a)I ρ sinα2ρsinα3若 要 圓 盤 盤 面 穩 定 的 維 持 於 傾 斜 角α 附 近 , 則 須sinαcos2αv > vcr2ρm2, 此 時 由 上 式 可 得> (26b)由 於 上 式 左 邊 為 α 的 遞 增 函 數 , 故 盤面 要 穩 定 的 維 持 傾 斜 角 時 , 只 需 α 大 於 以下 之 最 小 角 α 即 可 :r(sin2ρ2mα −1)+ sinαmm= 0(26c)即sinα=mr1+( )ρr( )ρ2−1=r( )ρr1+( )ρ2r≅2ρ+ 1(26d)由 於 ρ >> r , 故 由 上 式 可 得α m ≅ r /( 2ρ)。 注 意 : 由 (25) 式 ,α 角 愈大 , 質 心 速 率 v c 亦 愈 大 , 此 時 盤 面 能 夠 維持 穩 定 之 傾 斜 角 的 道 理 , 與 對 稱 陀 螺 的 章動 現 象 相 似 ( 蔡 尚 芳 ,2001)。參 考 文 獻蔡 尚 芳 (2001): 由 牛 頓 力 學 看 對 稱 陀 螺 的運 動 。 科 學 教 育 月 刊 , 241(7) ,35-44。Crummett, W. P. & Western, A. B. (1994).University physics. Dubuque, IA:Wm. C. Brown Communications.French, A. B. (1971). Newtonian mechanics.New York: W.W. Norton &Company.Goldstein, H. (1980). Classical mechanics(2nd ed.). Reading, MA: Addison-Wesley Publishing Company.Landau, L. D. & Lifshitz, E. M. (1976).Mechanics (3rd ed.). Translation byJ. B. Sykes & J. S. Bell. Oxford:Pergamon Press.Marion, J. B. & Thornton, S. T. (1995).Classical dynamics of particles andsystems (4th ed.). Philadelphia:Saunders College Publishing.Meirovitch, L. (1970). Methods ofanalytical dynamics. New York:McGraw-Hill.Symon, K. R. (1971). Mechanics (3rd ed.).Reading, MA: Addison-WesleyPublishing Company.-41-