SIECI BRAVAIS

Są tylko 32 grupy punktowe, które spełniają ten warunek,Można je pogrupować w 7 typów grup (spośród omówionych 12-tu), które spełniają powyższe własnościS 2 , C 2h ,D 2h ,D 3d ,D 4h , D 6h , O hnazywają się holoedrami (sieci)z każdym holoedrem związanych jest kilka grup punktowych (zwszystkich 32), podgrup holoedru, np.:z O h : T, T d , T h , O, O h , {e} ;dla każdej z nich można skonstruować grupę wektorową J i siećBravais (dla której ta grupa punktowa będzie grupą symetrii sieci)ale można skonstruować więcej niż jedną J, tzn. różne sieci Bravaisdef.zbiór grup wektorowych (sieci Bravais) posiadających tę samągrupę symetrii nazywa się układem krystalograficznymistnieje 7 układów; ich nazwy (odpowiednio):• trójskośny T• jednoskośny M• rombowy lub ortogonalny O• romboedryczny lub trygonalny R• tetragonalny lub kwadratowy Q• heksagonalny H• kubiczny lub regularny KTypy siecidef:dwie grupy wektorowe należące do jednego układu są tego samegotypu jeśli można otrzymać jedną z drugiej za pomocą ciągłegoprzekształcenia wektorów bazowych

dany układ może zawierać kilka typów sieci(jest 14 różnych typów)… wróćmy na chwilę do przykładów 2D…nie można przekształcić w sposób ciągły wektorów bazowychsieci prostokątnej centrowanej w prostokątną bez utraty symetriisieci (po drodze)….Układy krystalograficzne i sieci Bravais1. układ trójskośny , (odp. grupa punktowa S 2 zawiera tylko { e, i } )jeden typ – dowolne a 1 , a 2 , a 32. układ jednoskośny

2 typy: - prosty a 3 ⊥ a 1 i a 3 ⊥ a 2 (a 1 i a 2 w płaszczyźnie);- z centrowanymi podstawamicentrowany na podstawach3. układ ortogonalny4 typy (prosty, centr.podst., obj.centr., pow.centr.)4. układ tetragonalny,

2 typy: - prosty: a 1 ⊥ a 2 ⊥ a 3 ⊥ a 1 , |a 1 |=|a 2 |- objętościowo centrowany5. układ regularny3 typy:prostypowierzchniowo centrowany fcckom. W-Sobjętościowo centrowany bcc

kom W-S6. układ heksagonalnyjeden typ – prostywektory bazowe(a, 0, 0), (a/2, a√3/2, 0), (0, 0, c)

7. układ romboedryczny1 typ prosty (podobnie do trójskośnego, ale długościwektorów bazowych równe)Wybrane sieci z bazą• sieć heksagonalna gęsto upakowana, hcp(dwie przenikające się sieci heksagonalne)• sieć diamentu (lub blendy cynkowej - siarczku cynku - ZnS)

• struktura chlorku sodu• struktura chlorku cezu• struktura wurcytu (wurtzite)np. ZnO, dwie przenikające się sieci hcpkażdy atom ma 4-ech innych sąsiadów

• struktura perowskitu, np. CaTiO 3Ca – sieć egularnaO - położenia fccTi - położenie centralneKlasy krystalograficznew sieciach złożonych (z bazą) – sieć Bravais nie definiuje wszystkichpunktów równoważnych kryształu i symetria sieci krystalicznej może byćniższa niż symetria sieci Bravaisnp. nie wszystkie sieci krystaliczne zawierają inwersjędef.Kierunki równoważne w krysztaletakie, wzdłuż których wszystkie własności fizyczne kryształu sąjednakowe,np. zawierają jednakowe sekwencje punktów równoważnychprzekształcenia r grupy punktowej Bravais G, musząprzenosić kierunki w krysztale w równoważne sobie ale mogą nieprzenosić punktów w punkty równoważnezatem,dla sieci złożonych, do pełnej identyfikacji symetrii kryształu,trzeba do grupy punktowej dodać pewną nietrywialną(ułamkową = niesieciową) translację o wektort α(w ogólności różne dla różnych elementów grupy punktowej)

np.dla fcc bez bazy – istnieje punkt, w którym przecinają sięwszystkie osie i płaszczyzny;aledla fcc z bazą dwuatomową (diament) taka sytuacja nie zachodzi(oś C 4 nie może być umieszczone tak jak dla fcc bez bazy)żeby przekształcenie przenosiło nie tylko kierunki wrównoważne, ale też wszystkie punkty w równoważne może byćpotrzebne istnienie w grupie symetrii kryształu, G, przekształceńg=tα(osie śrubowe, płaszczyzny poślizgu)rnp. dla TiO 2 (dwutlenek tytanu), sieć Bravais jest regularnaobjętościowo centrowana; dla takiej sieci istnieje w grupiepunktowej oper. C 4 , ale r =C 4 (w z) nie przeprowadza kryształu wsiebie;dla t α = (1/2, -1/2, 1/2) , t α r przeprowadza punkty w równoważne

plus obrót o 90 o przenosi sieć w siebiepostać wektorów translacji nietrywialnych (nieprymitywnych) zależyod punktu O grupy punktowej tzn. od wyboru układu współ.wektor t α podaje położenie każdego elementu „obrotowego” w komórceelementarnejZobaczmy, jak zmiana pocz. układu wsp. (czyli punktu stałego)wpływa na postać operacji grupy przestrzennej, czyli zapytajmyjaka operacja odpowiada operacji g=(R|a) gdy początek układuwspółrzędnych przeniesiemy z O do O’ :pewne przekształcenie (R|a) O przenosi P do P x (pocz. ukł. w O)P - wskazywany jest przez rJak zapisać tę samą operację w układzie z pocz. w O’ ?Czyli jak zapisać operację, która r’ przenosi w ρ’ ?

Działając na r’ (na punkt P) translacją (E|r 0 ) otrzymujemy punkt,który względem O’ ma współ. (E|r 0 ) r’dokonując operacji (R|a), ale zdef. przez punkt O’(R|a) O’ (E|r 0 )r’ = (E|r 0 )ρ’korzystając ze znanego nam ogólnego wzoru( r1| a1)(r2| a2)= ( rr1 2| a1+ r1a2)pamiętając, że r 0-1 = -r0 , dostajemy:−1ρ ' = ( E | r0 ) ( R | a)O'( E | r0) r'= ( R | a + Rr0− r0)O'r'zatem jeśli przeniesiemy środek współrzędnych (p. O) tooperacji ( R | a)O odpowiada R | a + Rr0 − r0)'(Omożna pokazać, że tak zdefiniowane operacje zachowują składaniegrupowe;jeśli podstawimy R=E to widać, że sieć nowej grupy przestrzennejjest taka sama; (bo a jest wektorem translacji sieci)NATOMIAST -translacje nieprymitywne, zawarte w grupie przestrzennej, mogąulegać zmianie przy przenoszeniu O -> O’ ;w grupie zawierającej translacje nietrywiane, ogólny element ma( R | t + )t npostać:α Opo przesunięciu O -> O’ , w nowej grupie

( R | tα+ tn+ Rr0 − r0)O'= ( R | tα+ tn)O'Może się zdarzyć, że odpowiedni wybór O’ da t α’ = 0 dla każdegoelementu obrotowego RTaką grupę nazywamy symorficzną• przykład: płaska sieć kwadratowa ze specyficzną baządwuatomową (dwa takie same atomy w bazie) …ćwiczenia…• płaska sieć grafenu (bo sieć rombowa z bazą ma taką samąsymetrię jak jednoatomowa sieć heksagonalna)…dla sieci NaCl grupa jest symorficzna, choć jest to sieć fcc z baządwuatomową,dla sieci diamentu grupa jest niesymorficzna (też fcc z bazą dwuatomową)dla sieci TiO 2 grupa jest niesymorficzna