Algebra

ZÁKLADYUNIVERZÁLNÍALGEBRY 

1.OperaceaΩ-algebry 

Úvod.Vprůběhupřednáškyzalgebryjsmestudovaliřadualgebraických 

struktur:grupoidy,pologrupy,grupy,komutativnígrupy,okruhy,oboryintegrity, 

tělesa,polosvazy,svazy,Booleovyalgebry.Přizkoumánítěchtostruktursečasto 

některé pojmy a úvahy opakovaly,napříkladve všech případech jsme hovořili 

ohomomorfismechavždyplatilo,žesloženímhomomorfismůopětdostanemehomomorfismus.Definovalijsmepodobjekty(věnovalijsmesehlavněpodgrupám, 

podokruhům,podtělesůmapodsvazům)avždyplatilo,žeprůnikemlibovolného 

neprázdnéhosystémupodobjektůjeopětpodobjekt.Tonámumožnilodefinovat 

podobjektgenerovanýpodmnožinou,vevšechpřípadechbylydefinicevpodstatě 

stejné.Vpřípaděgrupoidů,grup,okruhůasvazůjsmesidefinovalisoučindvou 

takovýchstruktur,kterýmbylastejnástrukturanakartézskémsoučinu.Cílem 

univerzálníalgebryjeprávětytospolečnérysypostihnoutapopsatzjednotícího 

hlediska. 

Budemetedypopisovatmnožinyspolusněkolikaoperaceminanich.Aždosudjsmeoperacínamnožiněmělinamyslizobrazení¢,avšakbudeme 

potřebovattutodefinicipozměnit.Vždyťkromětěchtooperací,kterýmvnásledujícímtextubudemeříkatbinárníoperace,jsmesesetkaliisezobrazeními, 

kdybylkaždémuprvkumnožinypevněpřiřazendalšíprvek:napříkladpřiřazení 

inverzníhoprvkuvgrupě,opačnéhoprvkuvokruhu,čikomplementuvBooleově 

algebře.Totozobrazeníbudemenazývatunárníoperacenamnožině. 

Někdynašestrukturaobsahovalanějakévýznačnéprvky,setkalijsmesenapříkladsneutrálnímprvkemvgrupě,snulouajedničkouvokruhu,snejmenšíma 

největšímprvkemBooleovyalgebry.Tomutovýběrujednohoprvkuzmnožiny 

budemeříkatnulárníoperacena.Mátourčitoulogiku:jdetotižvždyozobrazenízjistékartézskémocninymnožinydomnožiny.Označímepropřirozené 

čísloÒsymbolemÒkartézskýsoučinÒkopiímnožiny,tedyÒjemnožina 

všechuspořádanýchÒ-ticprvkůmnožiny.Jistělzepakztotožnits1 (množinouvšechuspořádaných1-ticprvkůmnožiny).Cobyvšakmělobýt0 

?Jaksi 

představitmnožinuvšech0-ticprvkůmnožiny?Podobnějakonultoumocninou 

nenulovéhočíslarozumímečíslo1,kteréjeneutrálnívzhledemknásobení,nultou 

kartézskoumocninounějakémnožinyjetřebarozumětmnožinu,kterákartézským 

vynásobenímpřílišnezměnínásobenoumnožinu.Vhodnoumnožinoubudenějaká 

jednoprvková:tatotižkartézskýmsoučinemnezměnípočetprvkůnásobenémnožiny(přesněji:je-lijednoprvkovámnožina,existujepřirozenědefinovanábijekce 

¢prokaždoumnožinu).Uvědomtesi,žetoodpovídáiobvyklédefinici:propřirozenéčísloÒjeÒmnožinavšechuspořádanýchÒ-ticprvkůmnožiny 

.UspořádanouÒ-ticiprvkůmnožinylzedefinovatnapříkladjakozobrazení 

množiny1Òdomnožiny.AnalogiítétokonstrukceproÒ=0jetedy 

chápat0 jakomnožinuvšech uspořádaných 0-ticprvkůmnožiny,přičemž 

uspořádaná0-ticeprvkůmnožinyjezobrazeníprázdnémnožinydomnožiny 

.Takovézobrazeníjevždyjedno(aťužjemnožinaprázdnánebone),totiž 

1

prázdnézobrazení.Prolibovolnoumnožinubudemeprotosymbolem0 rozumětjednoprvkovoumnožinu;jevhodnésipředstavovat,žetímtojedinýmprvkem 

našíjednoprvkovémnožinyjeprázdnámnožina,tedyže0 =.Paktedyvýběr 

prvkujezobrazení0. 

Definice.Nechťjemnožina,Ònezápornéceléčíslo.PakÒ-árníoperacína 

množiněrozumímezobrazeníÒ. 

Poznámka.Místo2-árníoperacebudemetedyříkatbinárníoperace,místo 

1-árníbudemeříkatunární.ČísluÒzdefiniceříkámearitadotyčnéoperace.Při 

popisukonkrétníoperacejsmevždyoperacioznačovalinějakýmsymbolem,užívalijsme+,¡,,probinárníoperace, 

, 1 ,¼prounárníoperace,0,1pro 

nulárníoperace.Těmtosymbolůmbudemeříkatoperačnísymboly;jepodstatné, 

žeukaždéhosymbolujedánaaritaoperace,kterousymbolizuje. 

Definice.MnožinaΩspolusezobrazením: ΩN0senazývátyp. 

PrvkymnožinyΩsenazývajíoperačnísymboly.Pro¾Ωse()nazýváarita 

symbolu.Operačnísymbol,jehožaritajeÒ,senazýváÒ-ární. 

Definice.UniverzálníalgebratypuΩ(nebolistručněΩ-algebra)jemnožina 

,nanížjeprokaždýÒ-árníoperačnísymbolz¾ΩdefinovánaÒ-árníoperace 

:Ò.Prolibovolné1Ò¾značíme(1Ò)hodnotu 

operacenauspořádanéÒ-tici(1Ò). 

Poznámka.Vpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu¾ΩjeÒ=0,tedy 

0 =anulárníoperacíjetedyzobrazení:.Zadattakovéto 

zobrazeníjetotéžjakovybratpevnějedenprvek()¾.Prozjednodušení 

označeníbudemevdalšímtextutentopevněvybranýprvekznačitjednoduše 

místo(). 

Poznámka.Obsahuje-litypΩalespoňjedennulárníoperačnísymbol,pakje 

každáΩ-algebraneprázdná. 

Příklady. 

1.Proprázdnýtyp,tj.Ω=,jeuniverzálníalgebroutypuΩlibovolnámnožina. 

2.Grupoidjemnožinasjednoubinárníoperací,jetotedyuniverzálníalgebra 

typu,kterýmájedenbinárníoperačnísymbol¡. 

3.Grupajeuniverzálníalgebratypu¡ 11. 

4.Okruhjeuniverzálníalgebratypu+¡ 01. 

5.Svazjeuniverzálníalgebratypu. 

6.Booleovaalgebrajeuniverzálníalgebratypu¼01. 

7.VektorovýprostornadtělesemÌjeuniverzálníalgebratypu+ 0Ì 

(prokaždýprvektělesaØ¾Ìmámeunárníoperačnísymbolproskalární 

násobek,cožjeunárníoperacenamnožiněvektorů:Ø(Ú)=ØÚ). 

Poznámka.Vpředchozíchdefinicíchjeurčitánepřesnost,správněbychom 

mělimístoouniverzálníalgebřemluvitouniverzálníalgebřesnosnoumnožinou.Vždyťkupříkladunajednéatéženosnémnožiněmůžememítdefinovány 

různégrupoidy,tedyto,okterýjdegrupoid,neníurčenopouzenosnoumnožinou,aleioperacínaní.Protožetovšakvždyzkontextubudepatrné,můžemesi 

snadtoutonepřesnostíusnadnitvyjadřování:budemehovořitoΩ-algebřenebo 

onosnémnožině. 

2

Příklad. NechťΩjelibovolnýtyp,=jednoprvkovámnožina.Pak 

existujejedinýzpůsob,jaknanosnémnožinědefinovatΩ-algebru.Prolibovolný 

Ò-árníoperačnísymbol¾Ωjehodnotaoperacena(jedinéexistující)Ò-tici 

()rovna(jedinémožné)hodnotě. 

2.Podalgebryahomomorfismy 

Definice.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Àpodmnožina.Řekneme,žeÀjepodalgebraΩ-algebry,jestližeprokaždýÒ-árníoperačnísymbol 

¾Ωaprokaždé1Ò¾Àplatí(1Ò)¾À. 

Poznámka.Vpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu¾ΩjeÒ=0,tedy 

0 =.Obraztohotojedinéhoprvkujsmesedohodliznačitstručněmísto 

(možnápřesnějšího)označení().Podmínkuzdefinicejetedytřebachápatve 

smyslu¾À. 

Poznámka.Obsahuje-litypΩalespoňjedennulárníoperačnísymbol,pakje 

každápodalgebralibovolnéΩ-algebryneprázdná. 

Příklady.Vjednotlivýchpřípadechpříkladuuniverzálníchalgeberzpředchozíkapitolydostávámetytopodalgebry:1.Podmnožinamnožiny.2.Podgrupoid 

grupoidu.3.Podgrupagrupy.4.Podokruhokruhu.5.Podsvazsvazu.6.Booleova 

podalgebraBooleovyalgebry.7.Vektorovýpodprostorvektorovéhoprostoru. 

Poznámka.Následujícívětujsmevjednotlivýchkontextechdokazovaliněkolikrát. 

Věta2.1.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Áneprázdnámnožina.Pro 

každé¾ÁnechťjedánapodalgebraÀalgebry.PakjejichprůnikÌ¾ÁÀ 

jepodalgebraΩ-algebry. 

Důkaz.ZvolmelibovolněÒ-árníoperačnísymbol¾Ωaprvky1Ò¾ 

Ì¾ÁÀ.Pakprokaždé¾Áplatí1Ò¾À.ProtožeÀjepodalgebra 

Ω-algebry,platí(1Ò)¾À.Toovšemznamená,že(1Ò)¾ 

Ì¾ÁÀ,cožsemělodokázat. 

Důsledek.Obsahuje-litypΩalespoňjedennulárníoperačnísymbol,pakje 

průniklibovolnéhoneprázdnéhosystémupodalgeberdanéalgebryneprázdný. 

Důkaz.Vtomtopřípaděneníprázdnámnožinapodalgebrou. 

Důsledek.NechťÈjemnožinavšechpodalgeberdanéuniverzálníalgebry 

typuΩ.Pakplatí:(È)jeúplnýsvaz. 

Důkaz.Protožeuspořádanámnožina(È)mánejvětšíprvek(jejímcelá 

algebrajakosvápodalgebra),dlepříslušnévětyoúplnýchsvazechstačíověřit, 

žetéžlibovolnáneprázdnápodmnožinaÅÈmávuspořádanémnožině(È) 

infimum.TímtoinfimemjemnožinovýprůnikÌÀ¾ÅÀ,kterýdlepředchozívěty 

jeskutečněprvkemmnožinyÈ. 

Poznámka.Předchozívěta2.1námumožňujedefinovatpodalgebrugenerovanoumnožinou. 

Definice.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Åpodmnožinanosné 

množiny.PrůnikvšechpodalgeberΩ-algebry,kteréobsahujíÅjakosvoupodmnožinu,značímeÅanazývámepodalgebrouΩ-algebrygenerovanoumnožinouÅ. 

3

Poznámka.Díkytomu,žealespoňjednapodalgebraΩ-algebryobsahující 

množinuÅexistuje(jejíjistěceláΩ-algebra),podlevěty2.1jezmíněným 

průnikemÅskutečněpodalgebraΩ-algebry.Zřejmějetozevšechpodalgeber 

Ω-algebryobsahujícíchmnožinuÅtanejmenší(vzhledemkmnožinovéinkluzi). 

Příklady.Vjednotlivýchpřípadechpříkladuuniverzálníchalgeberzpředchozíkapitolydostávámetytopodalgebrygenerovanémnožinou: 

1.VpřípaděΩ-algebryprázdnéhotypuΩ=jekaždápodmnožinamnožiny 

podalgebrou,protovtomtopřípaděprolibovolnéÅjepodalgebrou 

Ω-algebrygenerovanoumnožinouÅsamamnožinaÅ. 

2.Podgrupoidgrupoidugenerovanýmnožinou.Tentopojemjsmevpřednášce 

nezaváděli. 

3.PodgrupaÅgrupygenerovanámnožinouÅ. 

4.PodokruhÅokruhugenerovanýmnožinouÅ. 

5.Podsvazsvazugenerovánýmnožinou(nezavádělijsme). 

6.BooleovapodalgebraBooleovyalgebrygenerovanámnožinou(téžjsmenezaváděli). 

7.Vektorovýpodprostorvektorovéhoprostorugenerovanýmnožinouvektorů, 

cožjejedenznejdůležitějšíchpojmůlineárníalgebry. 

Poznámka. Díkytomu,žepodalgebraΩ-algebryjepodmnožinauzavřená 

navšechnyoperacepříslušnéoperačnímsymbolůmtypuΩ,lzetytooperacezúžit 

napodalgebru.ProtokaždápodalgebrajesamaΩ-algebrou.Uvědomtesi,žetuto 

úvahujsmeprovádělivprůběhupřednáškyněkolikrátvrůznýchkontextech. 

Poznámka. Nyní budeme definovat homomorfismus Ω-algeber.Dá se asi 

čekat,žetobude takovézobrazení nosných množin,kterépro každouoperaci 

splnínásledujícípodmínku:jestližezobrazímevýsledekoperace,musímedostat 

totéž,jakokdyžzobrazímekaždýoperandzvlášťaoperaciprovedemeažvedruhé 

algebře. 

Definice.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³: 

(³(1)³(Ò))=³((1Ò)) 

zobrazení.Řekneme,že³jehomomorfismusΩ-algeber,jestližeprokaždýoperační 

symbol¾ΩarityÒakaždéprvky1Ò¾platí 

Poznámka. Pronulárníoperačnísymbolpředchozípodmínkasamozřejmě 

znamená³()=. 

Poznámka. JestližejeΩ-algebraprázdná(vtomtopřípadětedytypΩ 

nemůžeobsahovatžádnýnulárníoperačnísymbol),pakprolibovolnouΩ-algebru 

existujejediný Ω-algeber,totižprázdné zobrazení. 

JestliženaopakΩ-algebrajeprázdná,pakhomomorfismusΩ-algeber 

existujepouzevpřípadě,kdyiΩ-algebrajeprázdná. 

Příklady. Porovnejmevjednotlivýchpřípadechpředchozíchpříkladůtuto 

definicisdefinicemiuváděnýmidříveprojednotlivéspeciálnípřípadyuniverzálních 

algeber: 

1.VpřípaděΩ-algeberprázdnéhotypuΩ=jekaždézobrazeníhomomorfismem. 

4

2.Progrupoidyjetatodefinicetotožnásobvykloudefinicíhomomorfismugrupoidů. 

3.Progrupybylhomomorfismusdefinovánstejnějakoprogrupoidy,tedyvdefinicibylovyžadováno,abyzachovávalsoučin.Právěuvedenádefinicepro 

případgrupvyžaduje,abyhomomorfismuszachovávaltéžinverzníprvkya 

zobrazilneutrálníprvekgrupynaneutrálníprvekgrupy.Jeasijasné, 

pročtytopožadavkynebylyobsaženyvdefinicihomomorfismugrup:jakjsme 

sidokazovali,tojsoupouhédůsledkytoho,žehomomorfismusgrupzachovává 

součin. 

4.Prookruhyjsmevdefinicihomomorfismuvyžadovali,abyzachovávalsčítání, 

násobeníapřevádělnasebejedničkyokruhů.Jakodůsledekjsmedostalidalší 

podmínkyzprávěprovedenéobecnédefinice,týkajícíseopačnýchprvkůa 

nulokruhů. 

5.Vpřípaděsvazůobědefinicesplývají:vyžadujese,abyhomomorfismuszachovávala. 

6.VpřípaděBooleovýchalgeberjsmepožadovali,abyhomomorfismuszachovával,,0a1.Jakodůsledekjsmepakobdrželi,žeužnutněmusízachovávat 

téžkomplementy,protonebylonutnékomplementyzahrnoutdodefinicehomomorfismuBooleovýchalgeber. 

7.Vpřípaděvektorovýchprostorůodpovídáhomomorfismulineárnízobrazení. 

Poznámka.Následujícídvěvětyprojednotlivéspeciálnípřípadyuniverzálníchalgeberznámezpřednášky:složenímdvouhomomorfismůopětdostaneme 

homomorfismus,homomorfnímobrazemgrupy(grupoidu,okruhu,atd.)jepodgrupa(podgrupoid,podokruh,atd.). 

Věta2.2.Nechť,,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³: 

³((1Ò))=(³(1)³(Ò)) 

a:homomorfismyΩ-algeber.PakjetéžsloženíÆ³homomorfismus 

Ω-algeber. 

Důkaz.Protožeje³homomorfismusΩ-algeber,prokaždýoperačnísymbol 

((³(1)³(Ò)))=((³(1))(³(Ò))) 

¾ΩarityÒakaždéprvky1Ò¾platí 

ProtožejetéžhomomorfismusΩ-algeber,platí 

Dohromadytedy 

(Æ³)((1Ò))=(³((1Ò)))= 

=((Æ³)(1)(Æ³)(Ò)) =((³(1)³(Ò)))= =((³(1))(³(Ò)))= 

cožjsmemělidokázat. 

homomorfismusΩ-algeber.PakobrazΩ-algebryvhomomorfismu³ 

Věta2.3.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³: 

³()=³();¾ 

5

(1Ò)=(³(1)³(Ò))=³((1Ò))¾³() 

jepodalgebraΩ-algebry. 

Důkaz.Zvolmelibovolněoperačnísymbol¾ΩarityÒ.Pakprokaždéprvky 


zobrazení.Řekneme,že³jeizomorfismusΩ-algeber,jestližeje³bijektivníhomomorfismusΩ-algeber.Řekneme,žeΩ-algebryajsouizomorfní,jestližeexistuje 

nějakýizomorfismusΩ-algeber. 

1Ò¾³()existují1Ò¾tak,že³(1)=1,,³(Ò)=Ò. 

Zdefinicehomomorfismuplyne 

Poznámka.Následujícívětaformulujeočekávanouvlastnostvztahubýtizomorfní:jereflexivní,symetrickýatranzitivní. 

Věta2.4.Nechť,,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ.Pakplatí: 

¯jeizomorfnís; 

¯je-liizomorfnís,pakjetéžizomorfnís; 

¯jestližejeizomorfnísajeizomorfnís,pakjetéžizomorfnís. 

Důkaz.Tojesnadné,dokažtesisamijakocvičení. 

Poznámka.Jejasné,žedvěΩ-algebryjsouizomorfní,právěkdyžlzejednu 

dostatzedruhépřejmenovánímprvků.ProtoizomorfníΩ-algebrymajívšechny 

algebraickévlastnostistejné. 

3.Součiny 

Poznámka. Podobnějakojsmedefinovalisoučingrupnebosvazů,lzedefinovatsoučinlibovolnýchdvouΩ-algeber.Prokaždýoperačnísymbolbudeme 

definovatoperacinamnožiněvšechuspořádanýchdvojicposložkách. 

Definice.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ.Nakartézském 

součinu¢definujemenovouuniverzálníalgebrutypuΩ,kterounazvemesoučinemΩ-algebera.Prokaždýoperačnísymbol¾ΩarityÒakaždéprvky 

Poznámka.Předchozípodmínkavpřípaděnulárníhooperačníhosymbolu 

¢((11)(ÒÒ))=((1Ò)(1Ò)) 1Ò¾,1Ò¾klademe 

pochopitelněznamená¢=(). 

Poznámka.Vzpomeňtesi,žeusoučinugrupjsmepracovalisprojekcemize 

součinudopůvodníchgrup,cožbylysurjektivníhomomorfismy.Stejnousituaci 

mámeinyníobecněproΩ-algebry.ProtoževšakΩ-algebrymohoubýtiprázdné, 

nemusíbýtobecněprojekcezesoučinusurjektivní. 

Definice.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,¢součin 

těchtoΩ-algeber.Definujmeprojekce1:¢,2:¢zesoučinu 

¢předpisem:prokaždé¾,¾klademe1(())=,2(())=. 

6

1Ò¾.Platí 

1 ¢((11)(ÒÒ))¡=1 

Zcelaanalogickysedokáže,žeprojekce2jehomomorfismusΩ-algeber. 

Věta3.2.Nechť,,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³:, 

:homomorfismy Ω-algeber.Pak existuje jedinýhomomorfismus Ω- 

algeber:¢svlastností1Æ=³,2Æ=,kde1:¢, 

2:¢jsouprojekcezesoučinu¢. 

Důkaz.Jezřejmé,žepodmínky1Æ=³,2Æ=platíprávětehdy, 

(³(1)³(Ò))((1)(Ò))¡ 

kdyždefinujeme:¢následujícímpředpisem:prokaždé¾klademe 

()=(³()()).Ověřme,žejetohomomorfismusΩ-algeber.Zvolmelibovolně 

operačnísymbol¾ΩarityÒaprvky1Ò¾,pakplatí 

¢((1)(Ò))=¢((³(1)(1))(³(Ò)(Ò)))= 

= 

=((1Ò)) 

Nynívyužijemetoho,že³:,:jsouhomomorfismyΩ-algeber: 

³((1Ò))((1Ò))¡= 

(³(1)³(Ò))((1)(Ò))¡= 

= 

cožsemělodokázat. 

Poznámka. NynímůžemezobecnitsoučinΩ-algebertakto:místosoučinu 

dvouΩ-algeberbudemedefinovatsoučinlibovolnéhopočtuΩ-algeber.Nejprve 

¾Á=Ò:Á¾Á;¾Á:()¾Ó 

potřebujemezobecnitdefinicikartézskéhosoučinumnožin. 

Definice.JestližeprolibovolnýprvekmnožinyÁjedánamnožina,pak 

kartézskýmsoučinemmnožinrozumímemnožinuvšechzobrazenízmnožiny 

Átakových,že()¾prokaždé¾Á: 

Věta3.1.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,¢součin 

těchtoΩ-algeber.Pakoběprojekce1,2jsouhomomorfismyΩ-algeber. 

Důkaz.Ukažme,žeprojekce1jehomomorfismusΩ-algeber.Zatímúčelemzvolmelibovolněoperačnísymbol¾ΩarityÒaprvky1Ò¾, 

=(1((11))1((ÒÒ))) ((1Ò)(1Ò))¡= =(1Ò)= 

Pro libovolné¾Ádefinujeme-tou projekciz kartézského součinu= 

É¾Átakto::jeurčenopředpisem()=()prokaždé¾. 

Poznámka.Promyslemesi,coznamenápředchozídefinicevespeciálnímpřípadě,kdyindexovámnožinaÁjeprázdná.Pakpřestoževlastněžádnoumnožinu 

nemáme,jsmeoprávněnimluvitosoučinu:dledefinicejesoučinemÉ¾ 

7

množinavšechzobrazení:Ë¾.ProtožeË¾Ájemnožinavšech 

prvkůÜ,prokteréexistuje¾Átak,žeÜ¾,jezřejměË¾=.Ovšem 

zobrazení:jejediné,totižprázdnézobrazení.ProtomnožinaÉ¾je 

1¢2=();¾1¾2 

jednoprvková;jejímjedinýmprvkemjeprázdnézobrazení. 

Poznámka.Uvědomtesi,žeproÁ=12předchozídefinicesplývásobvyklou:podkartézskýmsoučinemmnožin1,2rozumímemnožinuuspořádanýchdvojic 

Ovšemzadatuspořádanoudvojici()nenínicjinéhonežpevnězvolit¾1, 

¾2,cožznamenáprávětolikjakodefinovatzobrazení:1212 

svlastností(1)¾1,(2)¾2:položíme(1)=,(2)=.Protonásledující 

definicesoučinulibovolnéhopočtuΩ-algeberzobecňujepředchozídefinicisoučinu 

dvouΩ-algeber. 

Definice.NechťΩjetyp.NechťprolibovolnýprvekmnožinyÁjedána 

univerzálníalgebratypuΩ.SoučinemtěchtoΩ-algeberrozumímenovouΩalgebrudefinovanounakartézskémsoučinu=É¾Átakto:prokaždýoperační 

symbol¾ΩarityÒakaždéprvky1Ò¾,klademe(1Ò)=, 

kde¾jeurčenopodmínkou()=(1()Ò())prokaždé¾Á. 

Poznámka.Vespeciálnímpřípadě,kdyindexovámnožinaÁjeprázdná,je 

součinemΩ-algebranajednoprvkovémnožině,jejímžjedinýmprvkemjeprázdné 

zobrazení.TatoΩ-algebrajejediná,neboťnajednoprvkovémnožiněprolibovolné 

nezápornéceléčísloÒexistujejenjednaÒ-árníoperace(vizpoznámkunakonci 

prvníkapitoly).Docházítedyksituaci,kterásemůžezdátnaprvnípohledparadoxní:ačkolinemámežádnouΩ-algebru,jakosoučindostávámejednoprvkovou 

Ω-algebru.Tedynaprostozničehojsmenajednoudostaliinformaciotom,jak 

vypadáΩ.Aletosedásnadnovysvětlit:součinÉjesoučinΩ-algeber,lzejej 

aplikovatpouzenaΩ-algebryprourčitéΩ.Informaceotom,jaktotoΩvypadá,je 

tedyuloženavtom,ojakýsoučinÉsejedná.Pokudbychomchtělibýtnaprosto 

přesní,mělibychomtotoΩnějakvsymboluÉvyznačit,abychomjednotlivésoučinyodsebeodlišili.JenženějakýindexÉΩ 

byjenzbytečněkomplikovalzápis, 

stačí,ževíme,žesoučinÉjeprodanéΩ.Vyplýváodtudito,cosnadbylojasné 

užodzačátku:součinjsmedefinovalijenprouniverzálníalgebrytéhožtypu. 

Poznámka.Pronulárníoperačnísymbol¾Ωpodmínkavpředchozídefinicisamozřejměznamená=,kde¾jeurčenopodmínkou()=. 

Věta3.3.NechťprolibovolnýprvekmnožinyÁjedánauniverzálníalgebra 

danéhotypuΩ,nechť=É¾Ájejejichsoučin.Pakplatí 

¯Prokaždé¾Áje-táprojekce:homomorfismusΩ-algeber. 

¯NechťjeuniverzálníalgebratéhožtypuΩ,aprokaždé¾Ánechťjedán 

homomorfismusΩ-algeber³:.Pakexistujejedinýhomomorfismus 

Ω-algeber³:takový,žeÆ³=³prokaždé¾Á. 

Důkaz. Postupujemenaprostostejnějakopřidůkazechvět3.1a3.2pro 

součindvouΩ-algeber,odlišnostjepouzeformální.Dokažmenejdříveprvnítvrzení. 

Zvolmelibovolně¾Áa ukažme, že projekceje homomorfismus Ω- 

algeber.Zatímúčelemzvolmelibovolněoperačnísymbol¾ΩarityÒaprvky 

8

=((1)(Ò)) 

1Ò¾.Označme=(1Ò).Přímozdefiniceplyne 

((1Ò))=()=()=(1()Ò())= 

()=()=(³())=(Æ³)()=³() 


Dokažmenynídruhétvrzení.Jezřejmé,žepodmínkaÆ³=³prokaždé 

¾Áplatíprávětehdy,kdyždefinujeme³:následujícímpředpisem.Pro 

každé¾klademe³()=,kde¾jeurčenopodmínkou:prolibovolné 

¾Áplatí 

=(³(1)³(Ò)),podledefinicesoučinuΩ-algeberpakprokaždé¾Á 

Pro³()¾tedy platí:pro každé¾Áje (³())() =³(). Ověřme, že 

taktodefinované zobrazení³:jehomomorfismus Ω-algeber. Zvolme 

=³((1Ò)) 

libovolně operační symbol¾Ω arityÒaprvky1Ò¾. Označme 

platí 

³((1Ò))= 

()=((³(1))()(³(Ò))())=(³(1)³(Ò))= 

³((1Ò))¡() 

neboť³:jehomomorfismusΩ-algeber.Ovšem 

³((1Ò))¡= 

Toznamená,žea³((1Ò))jsou(jakožtoprvkykartézskéhosoučinu) 

zobrazenísestejnýmdefiničnímoborem,oboremhodnotipředpisem,protoplatí 

=³((1Ò)),tj.(³(1)³(Ò))=³((1Ò)),cožsemělo 

dokázat. 

4.Kongruenceafaktorovéalgebry 

Poznámka. V této kapitolezobecníme pojmy faktorgrupa a faktorokruh 

napřípadlibovolnéΩ-algebry.Nepodařísenámvšaknaléztpojemodpovídající 

pojmůmnormálnípodgrupagrupyaideálokruhu.Uvědommesi,jakjsmepojem 

normálnípodgrupadostali:přifaktorizacigrupynebylonutnésipamatovatcelý 

rozkladnosnémnožinyužívanýkfaktorizaci,stačilosipamatovattutřídu,která 

obsahovalaneutrálníprvekgrupy.Celýrozkladjsmetotižbylischopnizeznalosti 

tétojedinétřídyjednoznačněurčit,neboťtatotřídabylanormálnípodgrupacelé 

grupyazmíněnýrozkladbylrozkladempříslušnýmtétopodgrupě.Tatosituacese 

pakopakovalaivpřípaděokruhů,vždyťkaždýokruh(zapomeneme-linaoperaci 

násobení)jekomutativnígrupa.ToalesamozřejměneplatíprolibovolnéΩ-algebry. 

ProtopřifaktorizaciΩ-algebernevystačímejensezadánímnějakévhodnépodmnožinynosnémnožiny(jakožtojednétřídyrozkladu),alebudevždytřebazadat 

rozkladcelý.Rozkladsamozřejmělzezadatpomocíjemuodpovídajícíekvivalence. 

9

11ÒÒ=µ(1Ò)(1Ò) 

Definice.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,nechťjerelaceekvivalence 

nanosnémnožině.Řekneme,žejekongruencenaΩ-algebře,jestližepro 

každýÒ-árníoperačnísymbol¾Ωaprokaždé1Ò1Ò¾platí 

Poznámka.NásledujícívětapopisujevztahmezihomomorfismyΩ-algeber 

akongruenceminaΩ-algebrách:každýhomomorfismuszadávákongruenci.Pozdějidokážeme,žeinaopakkaždákongruencevznikátímtozpůsobemzvhodného 

homomorfismu. 

Věta4.1.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³:homomorfismusΩ-algeber.Pakrelacenanosnémnožinědefinovanápředpisem: 

prokaždé¾platí 

(*) ´µ³()=³() 

jekongruencenaΩ-algebře. 

Důkaz.Zřejmějeekvivalencípříslušnouzobrazení³.Stačítedyukázat,že 

=³((1Ò)) 

splňujeimplikacivdefinicikongruence.ZvolmelibovolněÒ-árníoperačnísymbol 

¾Ωaprvky1Ò1Ò¾tak,že11,,ÒÒ.Odtudplyne 

³(1)=³(1),,³(Ò)=³(Ò).Pakovšemzdefinicehomomorfismu 

³((1Ò))=(³(1)³(Ò))=(³(1)³(Ò))= 

cožznamenádokazované(1Ò)(1Ò). 


homomorfismusΩ-algeber.KongruencenaΩ-algebředefinovanápředpisem 

(*)předchozívětysenazývájádrohomomorfismu³. 

Poznámka.Narozdílodjádrahomomorfismugrup,cožbylanormálnípodgrupagrupy,ajádrahomomorfismuokruhů,cožbylideálokruhu,nenítedy 

jádrohomomorfismuΩ-algeberpodmnožinanosnémnožiny,aleekvivalencena 

nosnémnožině.Jetodánotím,že(jakjsmejižzmiňovalivúvodnípoznámce 

tétokapitoly)vobecnémpřípaděΩ-algebernenímožnécharakterizovatcelýrozklad(atedycelouekvivalenci)pouzejedinoujehotřídou. 

Poznámka.VnásledujícídefinicikdanéΩ-algebřeadanékongruencinaní 

sestrojímefaktorovouΩ-algebruzpůsobemznámýmzfaktorizacegrupaokruhů: 

narozkladupříslušném(vždyťjeekvivalencenanosnémnožině)zavedeme 

operacepomocíreprezentantů.Jakoobvyklepakbudepotřebaověřitkorektnost 

tétodefinice,tj.dokázat,žeprovedenákonstrukcenezáležínanašílibovůlipři 

volběreprezentantů. 

Definice.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,nechťjekongruencena 

Ω-algebře.OznačmeÊ=rozkladpříslušný.ProkaždýÒ-árníoperační 

symbol¾ΩdefinujmeÒ-árníoperacinaÊtakto:prokaždé1Ò¾Ê 

zvolme1¾1,,Ò¾ÒadefinujmeÊ(1Ò)tím,žejetotřída 

10

obsahujícíprvek(1Ò).MnožinaÊspolusprávězavedenýmioperacemi 

senazýváfaktorováalgebraΩ-algebrypodlekongruence,značíse. 

Věta4.2.Předchozídefinicejekorektní. 

Důkaz.Jetřebaověřitnezávislostnavolběreprezentantů.Zachovejmeveškeréoznačenízdefiniceazvolmeještědalšíreprezentanty:nechťtéž1¾1,, 

Ò¾Ò.Ovšempatřitdostejnétřídyrozkladuznamenábýtekvivalentní,tedy 

platí11,,ÒÒ.Zdefinicekongruencepakdostáváme(1Ò) 

(1Ò),cožznamená,že(1Ò)a(1Ò)patřídostejnétřídy 

rozkladu,totiždotřídyÊ(1Ò). 

Příklad.Příkladfaktorgrupyafaktorokruhujeznámý.Ukažmesiprotoněco, 

cojsmevpřednášcezalgebrynedělali.Univerzálníalgebranámdávánávod,jak 

faktorizovatsvazy.Nechť(Ë)jesvaz.Kongruencenaněmjeekvivalence 

namnožiněËsplňující:prokaždé¾Ëtakové,žea,platí 

.Pakzobrazení:určenépředpisem¾()prolibovolné¾ 

a.Je-likongruencenasvazu(Ë),pakfaktorsvazje 

svaz,jehožnosnámnožinajerozkladËaoperacenaníjsoudefinoványpomocí 

reprezentantů:proÌÊ¾Ëzvolíme¾Ì,¾ÊadefinujemeÌÊjakotřídu 

obsahujícíaÌÊjakotříduobsahující. 

Věta4.3.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,kongruencenaΩ-algebře 

(tedy()jetřídaobsahujícíprvek)jesurjektivníhomomorfismusΩ-algeber. 

Důkaz. Zobrazeníjesurjekce,neboťkaždátřídarozkladu¾je 

neprázdná,existujetedy¾,prokterésamozřejměplatí()=.Ukažme,že 

jehomomorfismusΩ-algeber.ZvolmelibovolněÒ-árníoperačnísymbol¾Ωa 

prvky1Ò¾.Označme1=(1),,Ò=(Ò).Paktedy1¾1, 

,Ò¾Òa(1Ò)jeurčenotím,žeobsahujeprvek(1Ò), 

tj. 

((1Ò))=(1Ò)=((1)(Ò)) 

Důkaz.NechťjelibovolnákongruencenaΩ-algebře.Nechť: 


Definice.SurjektivníhomomorfismusΩ-algeber:konstruovaný 

vpředchozívětěsenazýváprojekceΩ-algebrynafaktorovoualgebru. 

Důsledek.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ.Platí,žekaždákongruence 

naΩ-algebřejejádremvhodnéhohomomorfismuΩ-algebervycházejícíhozΩalgebry. 

projekce Ω-algebryna faktorovoualgebru. Tvrzení bude dokázáno, 

ověříme-li,žejádremje.Označmejádro.Podledefinicejádrahomomorfismuprolibovolné¾platíprávětehdy,když()=(),což 

podledefiniceprojekceznamená,žeapatřídotéžetřídyrozkladu,neboli 

. 

Definice.Nechťjemnožina,aekvivalencenamnožině.Řekneme, 

žeekvivalencejemenšíneborovnaekvivalenci,jestližeprokaždé¾ 

=µ 

platíimplikace 

Poznámka.Protožedledefinicejeekvivalencenamnožiněrelacínamnožině,tedypodmnožinoukartézskéhosoučinu¢,přičemžnapříklad 

11

jestručnějšíapřehlednějšízápisfaktu()¾,znamenáimplikacezpředchozí 

definicevlastněmnožinovouinkluzi.Nemuselijsmetedyproekvivalencepojemmenšívůbeczavádět,důvodembylajensnahaosnadnějšíporozuměnítextu. 

Plyneodtud,žetatorelacejeuspořádánímnamnožiněvšechekvivalencínamnožině.Nejmenšíprvektétouspořádanémnožinyjeekvivalence=(dvaprvkyjsou 

ekvivalentní,právěkdyžjsoustejné),největšímprvkemjeekvivalence¢,vníž 

každédvaprvkymnožinyjsouekvivalentní(tedyjíodpovídajícírozkladmá–v 

případě=–jedinoutřídurozkladu,totižceloumnožinu).Uvažmelibovolnouneprázdnoumnožinuekvivalencínamnožině.Průnikemvšechekvivalencí 

¾jetedyrelacenamnožině,prokterouplatí:prolibovolné¾je 

právětehdy,kdyžprokaždé¾platí.Snadnoseověří,žerelace 

jetéžekvivalencínamnožině(promysletesidůkazsami,jeopravdusnadný). 

Odvodilijsme,žemnožinavšechekvivalencínamnožiněuspořádanáinkluzíje 

úplnýsvaz.RovněžmnožinavšechkongruencínadanéΩ-algebřěuspořádaná 

inkluzítvoříúplnýsvaz,jakplyneznásledujícívěty,uvědomíte-lisi,žerelace 

¢jevždykongruencínaΩ-algebřě. 

Věta 4.4. Nechťje univerzální algebra typu Ω,Ãneprázdná množina 

kongruencínaΩ-algebře.NechťrelacenamnožinějeprůnikemvšechkongruencízmnožinyÃ,tj.prolibovolné¾klademeprávětehdy,když 

prokaždé¾Ãje. 

¯PakrelacejekongruencínaΩ-algebře. 

¯UvažmesoučinΩ-algeber=É¾Ã.Prokaždé¾Ãoznačme: 

projekcizesoučinua:projekciΩ-algebryna 

faktorovoualgebru.Podlevěty3.3existujejedinýhomomorfismusΩalgeber³:takový,žeÆ³=.Pakplatí:jádremhomomorfismu 

³jekongruence. 

Důkaz.Prvnítvrzeníjedůsledkemdruhého,neboťpodlevěty4.1jejádro 

libovolnéhohomomorfismukongruencí.Označme³jádrohomomorfismu³.Pro 

libovolné¾platí³právětehdy,když³()=³(),cožpodledefinice 

součinuΩ-algebernastaneprávětehdy,kdyžprokaždé¾Ãplatí(³())= 

(³()),cožvzhledemkÆ³=znamenáprávě()=(),neboli 

.Dokázalijsme,žeprolibovolné¾platí³právětehdy,kdyžpro 

každé¾Ãje,cožvšakpodledefinicerelacenastane,právěkdyž. 

Větajedokázána. 

Poznámka. Následujícívětajezobecněnímvět,kteréjsmesiuvádělipro 

faktorgrupyafaktorokruhy. 

Věta4.5.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³: 

homomorfismusΩ-algebersjádrem.NechťjelibovolnákongruencenaΩalgebřemenšíneborovnakongruenci.Označme:projekciΩalgebrynafaktorovoualgebru.Pakplatí 

¯Existujejedinézobrazení ˜³:takové,že ˜³Æ=³. 

¯Totozobrazení ˜³jehomomorfismusΩ-algeber. 

¯Homomorfismus ˜³jesurjektivní,právěkdyžhomomorfismus³jesurjektivní. 

¯Homomorfismus˜³jeinjektivní,právěkdyžjsouoběkongruenceastejné 

(tj.=). 

Důkaz.Konstruujmezobrazení ˜³:tak,aby ˜³Æ=³.Zvolme 

12

libovolně¾.Protožejetřídarozkladu,jeneprázdná,atedyexistuje 

¾.Podledefinicepak()=.Pakzpodmínky˜³Æ=³plyne˜³()= 

˜³(()) = (˜³Æ)() =³().Toovšemznamená,žepokudnějakézobrazení 

˜³:splňující˜³Æ=³existuje,jejediné.Definujmetedy˜³: 

tímtojedinýmzpůsobem:prolibovolné¾tedyzvolíme¾aklademe 

˜³()=³().Jealetřebaověřitkorektnosttétodefinice,nebolinezávislostna 

volbě¾.Mějmedalší¾,pakobaprvky,ležívtéžetříděrozkladu 

,odkud.Protožekongruencejemenšíneborovnakongruenci, 

plyneodtud.Ovšemjejádremhomomorfismu³,protoposledníznamená 

³()=³().Jetedyskutečnědefinicezobrazení ˜³korektní. 

Dokažmenyní,žezobrazení ˜³jehomomorfismusΩ-algeber.Zatímúčelem 

zvolmelibovolněoperačnísymbol¾ΩarityÒaprvky1Ò¾. 

Zvolmelibovolně1Ò¾tak,že(1)=1,,(Ò)=Ò.Protože 

˜³ (1Ò)¡=˜³ 

a³jsouhomomorfismyΩ-algeber,platí 

((1)(Ò))¡= ((1Ò))¡= =(˜³Æ)((1Ò))= 

=(˜³(1)˜³(Ò)) 

=³((1Ò))= =(³(1)³(Ò))= =((˜³Æ)(1)(˜³Æ)(Ò))= =(˜³((1))˜³((Ò)))= 

cožjsmemělidokázat. 

Jestližejehomomorfismus³surjektivní,pakprokaždé¾existuje¾ 

tak,že=³()=(˜³Æ)()= ˜³(()),cožznamená,žehomomorfismus ˜³je 

surjektivní.Je-linaopakhomomorfismus ˜³surjektivní,paktéž³jakožtosložení 

dvousurjekcíjesurjektivní(dokažtesisami). 

Předpokládejme,že=,aukažme,žehomomorfismus ˜³jeinjektivní. 

Nechť12¾jsoulibovolnéprvkysplňující ˜³(1)=˜³(2).Zvolmelibovolně12¾tak,že(1)=1,(2)=2.Pakplatí 

=˜³(2)=˜³((2))=(˜³Æ)(2)=³(2) 

³(1)=(˜³Æ)(1)=˜³((1))=˜³(1)= 

odkudzdefinicejádrahomomorfismuplyne12,aproto12,cožznamená, 

žeprvky1a2ležívtéžetříděrozkladu,kterouje1=2. 

Předpokládejmenaopak,žehomomorfismus ˜³jeinjektivní.Stačíověřit,že 

kongruencejemenšíneborovnakongruenci,neboťopačnounerovnostmáme 

vpředpokladechvěty.Nechťtedyjsou¾takové,že.Pakzdefinice 

jádrahomomorfismuplyne³()=³(),tedy ˜³(())= ˜³(()).Protožepředpokládáme,že 

˜³jeinjektivníhomomorfismus,plyneodtud()=().Podle 

definiceprojekcenafaktorovoualgebrutoznamená,žealežívtéžetřídě 

rozkladu,tedy.Důkazvětyjeskončen. 

13

homomorfismusΩ-algebersjádrem.PakobrazΩ-algebryvhomomorfismu³ 

Důsledek.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytéhožtypuΩ,³: 

³()=³();¾ 

jeΩ-algebraizomorfnísfaktorovoualgebrou. 

Důkaz. Stačíužítpředchozí větupro=auvědomitsi,že³() = 

(˜³Æ)()=˜³(),neboťprojekcejesurjektivní. 

5.Termy 

Poznámka.Vnásledujícíkapitolebudemechtítdefinovatrovnosti.Příklademtěchtorovnostíjsoukomutativní,asociativní,distributivní,absorpčníadalší 

identity,sekterýmijsmesesetkali.Jdevždyorovnostmezidvěmavýrazy,které 

obsahujínějaképroměnnéspolusvázanéoperacemi.Tytovýrazynazývámetermy. 

Potřebujemenynípřesnětytotermydefinovat.Jedinácestajedefinovatjeinduktivně,tedyříci,žetermjeněco,colzeurčitýmipravidlyzískatznejjednodušších 

termů.Představmesiprourčitostnějakékonkrétnírovnosti,napříkladnásledující 

rovnostiplatnévBooleovýchalgebráchÜÜ¼=1,ÜÜ=Ü.Vidíme,žezdenejjednoduššímitermyjsounulárníoperace1aproměnnáÜ.Znichsepakkonstruují 

složitějšítermyÜ¼,ÜÜ,ÜÜ¼.Obecněnevystačímesjedinouproměnnou(vzpomeňtesinarovnostipopisujícíkomutativníneboasociativnízákon).Nadruhou 

stranujejasné,ževždymámevrovnostijenkonečněmnohoproměnných.Proto 

budestačitpracovatsnásledujícímiproměnnýmiÜ1Ü2Ü3 

Definice.NechťΩjetyp.TermemtypuΩnazvemeprávětakovývýraz,který 

lzezkonstruovatkonečněmnohaaplikaceminásledujícíchpravidel: 

¯ProlibovolnépřirozenéčísloÒjeproměnnáÜÒtermtypuΩ. 

¯Prolibovolnýnulárníoperačnísymbol¾ΩjetermtypuΩ. 

¯ProlibovolnépřirozenéčísloÒ,libovolnýÒ-árníoperačnísymbol¾Ωa 

libovolnétermyØ1,,ØÒtypuΩjevýraz(Ø1ØÒ)termtypuΩ. 

Poznámka.Pokudbymělněkdopocit,žepřesveškerousnahuopřesnostje 

předchozídefinicestejněnepřesná,neboťužívánedefinovanýpojemvýraz,může 

sipředchozídefiniciopravittím,žemístoovýrazechbudemluvitokonečnýchposloupnostechsymbolůzabecedy,kteráseskládázmnožinyproměnných,množiny 

Ω,kulatýchzávorekačárky,tedyoslovechnadtoutoabecedou.Poznamenejme 

též,žestriktněpodledefinicenapříkladÜÜ¼termnení,správněbychomjejtotiž 

mělipsátvetvaru(Ü1¼(Ü1)).Jejasné,žeposlednízápisnapřehlednostinepřidal, 

protonebudemeužívatdogmatickyjenzápisytermůpovolenépředchozídefinicí. 

Nadruhoustranujenezbytné,abychomvždyvěděli,jakterm,kterýužíváme,má 

dletétodefinicevypadat. 

Definice.Řekneme,žetermØtypuΩjeÒ-ární,jestližesepřijehokonstrukci 

nevyužiložádnéproměnnéÜÑproÑÒ. 

Příklad.TermÜ2jebinární,ovšemjetéž3-árníataké4-árníatd.Nenívšak 

unární,přestoževněmvystupujejenjednaproměnná. 

Příklad.NulárnítermtypuΩjeterm,přijehožkonstrukcisenepoužilažádná 

proměnná,byltedyvytvořenjenpomocídruhéhoatřetíhopravidlazdefinice 

14

termu.Jejasné,žetakovétermyexistujíjenprotypyobsahujícíalespoňjeden 

nulárníoperačnísymbol. 

Poznámka.Jevcelkupatrné,žekaždýÒ-árnítermØtypuΩnámvlibovolné 

Ω-algebřezadáváÒ-árníoperaci.Chceme-litentojasnýfaktdefinovatpřesně,je 

nutnéužítopětinduktivnídefinici. 

Definice.NechťØjeÒ-árnítermtypuΩ.Nechťjeuniverzálníalgebratypu 

Ω.DefinujemeÒ-árníoperaciØurčenoutermemØnaΩ-algebřenásledujícím 

způsobem.Nechť1Ò¾jsoulibovolnéprvky. 

¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakoperacíurčenoutermemØje-táprojekce 

zkartézskéhosoučinu,tj.proØ=ÜklademeØ(1Ò)=. 

¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pakoperacíurčenoutermem 

ØjeoperacenaΩ-algebřepříslušná symbolu,tj.proØ=klademe 

Ø(1Ò)=. 

¯Je-litermØsloženpomocí-árníhooperačníhosymbolu¾Ω,kde1, 

ztermůØ1,,ØtypuΩ,pakoperaciØurčenoutermemØdefinujeme 

takto:jejíhodnotavÒ-tici(1Ò)jehodnotaoperacenaΩ-algebře 

příslušnésymboluv-tici((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))hodnotoperacípříslušnýchtermůmØ1,,ØvÒ-tici(1Ò),tj.proØ= 

(Ø1ØÒ)klademe 

Ø(1Ò)=((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò)) 

Poznámka.ProtoželibovolnýÒ-árnítermtypuΩlzepovažovattéžzaÑárnítermtypuΩprolibovolnéÑÒ,dopustilijsmesevpředchozídefinicijisté 

nepřesnosti:stejným symbolemØoznačujeme různéoperace!Je-linejmenší 

takové,žetermØje-ární,pakØznačíÒ-árníoperacinaΩ-algebřeprokaždé 

nezápornéceléčísloÒ.Ukažmetonanásledujícímpříkladu. 

Příklad.Předpokládejme,žeΩobsahujebinárníoperačnísymbol+.Jestliže 

napříkladpovažujemetermÜ1+Ü2zabinární,pakpodlepředchozídefiniceplatí 

(Ü1+Ü2)(12)=1+2,pokudtentotermvšakpovažujemeza3-ární,pak 

(Ü1+Ü2)(123)=1+2.Obecně,prolibovolnéÒ2,je-litermÜ1+Ü2 

považovánzaÒ-ární,pak(Ü1+Ü2)(1Ò)=1+2. 

Ø(1Ò)=Ø(1Ñ) 

Poznámka.Vpředchozímpříkladějsmeviděli,ženepřesnost,kterésedopouštíme,nenínijakfatální.Dokážemetovnásledujícívětě. 

Věta5.1.NechťØjeÒ-árnítermtypuΩ,nechťpřirozenéčísloÑÒ.Pak 

prolibovolnouuniverzálníalgebrutypuΩalibovolné1Ñ¾platí 

kdesymbolemØrozumímevlevoÒ-árníoperaciurčenoutermemØna,kdežto 

vpravoÑ-árníoperaciurčenoutermemØna. 

Důkaz.DůkazpovedemeindukcívzhledemktermuØpodledefinicetermu. 

Prvníkroktétoindukcespočívávtom,žetvrzenídokážemeprotermy,kteréjsou 

proměnnounebonulárnímoperačnímsymbolem.Vedruhémkrokupředpokládáme,žetermØjepomocínějakéhooperačníhosymbolusloženzjinýchtermůa 

žeprotytotermybylotvrzeníjiždokázáno,adokážemetvrzeníprotermØ. 

15

(Ü)(1Ò)==(Ü)(1Ñ) (1Ò)==(1Ñ) 

¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakÒ,neboťØjeÒ-árníterm.Platí 

¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pak 

(Ø)(1Ò)=(Ø)(1Ñ) 

¯Předpokládejme,žejetermØsloženpomocí-árníhooperačníhosymbolu 

¾Ω,kde1,ztermůØ1,,ØtypuΩ,prokteréjižbylotvrzení 

dokázáno,tedyprokaždé=1platí 

=Ø(1Ñ) 

Pakplatí 

Ø(1Ò)=((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))= 

=((Ø1)(1Ñ)(Ø)(1Ñ))= 


Příklad.NechťΩ=¡,kde¡jebinárníoperačnísymbol,nechťjeuniverzálníalgebratypuΩ(tedygrupoid).UvažmetermÜ1¡Ü2.Pakdlepředchozí 

definicetentotermurčujebinárníoperaci 

(Ü1¡Ü2)(12)=(Ü1)(12)¡(Ü2)(12)=1¡2 

Podobně 

(Ü2¡Ü1)(12)=(Ü2)(12)¡(Ü1)(12)=2¡1 

NaivnělzetedyoperacipříslušnoutermuØpopsattakto:zaproměnnouÜdosadímeprvekaprovedemevšechnyoperacetermuØ. 

Příklad.UvažmetypΩ=¼01,kdeoperačnísymbolyajsou 

)(Ü¼1 

binární,symbol¼jeunárníasymboly0,1jsounulární.Nechťjeuniverzální 

algebratypuΩ(příklademtakovéΩ-algebryjelibovolnáBooleovaalgebra,ovšem 

nekaždáΩ-algebrajeBooleovaalgebra,jejíjenta,vnížplatípodmínkykladené 

naBooleovyalgebry,tj.asociativita,komutativita,idempotentnostobouoperací, 

absorpčníadistributivnízákony,identityspojenésnejmenšímanejvětšímprvkem, 

identityprokomplement–viznásledujícíkapitolu).Uvažmeterm(Ü1Ü¼2 

1((Ü2)(12))¼¡ 

Ü2),pakhodnotaoperacenaurčenétímtotermemvuspořádanédvojiciprvků 

12¾je 

)(¼12) ((Ü1Ü¼2 (Ü¼1)(12)(Ü2)(12)¡= 

= ((Ü1)(12))¼2¡= 

=(1¼2 

cožjevpřípaděBooleovyalgebryhodnotaoperacesčítánínaodpovídajícímBo- 

)(Ü¼1Ü2))(12)=(Ü1Ü¼2 )(12)(Ü¼1Ü2)(12)= 

= (Ü1)(12)(Ü¼2)(12)¡ 

=(1Ò) 

oleověokruhu. 

Příklad.UvažmelibovolnýtypΩobsahujícíÒ-árníoperačnísymbol,aterm 

(Ü1ÜÒ).PakprolibovolnouΩ-algebrualibovolné1Ò¾platí 

((Ü1ÜÒ))(1Ò)=((Ü1)(1Ò)(ÜÒ)(1Ò))= 

atedy((Ü1ÜÒ))=. 

16

Poznámka. Právědefinovanéoperaceurčenétermyumožňujízformulovat 

následujícíobecnouvětuotom,jakvypadápodalgebraΩ-algebrygenerovanápodmnožinou.Sespeciálnímipřípadytétovětyjsmesejižněkolikrátsetkali,například 

propodgrupugrupygenerovanoumnožinou,neboprovektorovýpodprostorvektorovéhoprostorugenerovanýdanoumnožinouvektorů. 

Věta5.2.NechťjeuniverzálníalgebratypuΩ,Åpodmnožinanosnémnožiny.PakpodalgebraÅΩ-algebrygenerovanámnožinouÅjetvaru 

Å=Ø(1Ò);Ò¾ZÒ0ØjeÒ-árnítermtypuΩ1Ò¾Å 

Důkaz. OznačmeÆmnožinu na pravé straně uvedené rovnosti. Nejprve 

dokážemeÅÆ, a totak,že ukážeme, žeÆje podalgebra Ω-algebry 

obsahující množinuÅ. Pro inkluziÅÆstačí vzítÒ=1 a unární term 

Ü1,neboťprolibovolné¾Åje(Ü1)()=.Dokažmetedy,žeÆjepodalgebraΩ-algebry.Zvolmelibovolně-árníoperačnísymbol¾Ωalibovolnýchprvků1¾Æaukažme,že(1)¾Æ.Ovšemprokaždé 

=1existujeÒ-árnítermØtypuΩaÒprvků1Ò¾Åtak, 

že=(Ø)(1Ò).Potřebujemeprvky1získatjakohodnoty 

aproto(1)=((Ø¼1Ø¼))(111Ò11Ò) 

=(Ø)(1Ò)=(Ø¼)(111Ò11Ò) 

TojealedledefinicemnožinyÆprvekÆ,cožsemělodokázat. 

Ò1+¡¡¡+Ò 

operacípříslušnýchnějakýmtermůmtypuΩnastejnéÒ-ticiprvkůmnožinyÅ. 

ProtopoložmeÒ=Ò1+¡¡¡+ÒauvažmeÒ-tici(111Ò11Ò) 

vzniklouposkládánímzmíněnýchÒ-ticzasebe.OznačmeØ¼term,kterývznikne 

ztermuØtím,žeseindexyvšechproměnnýchvněmpoužitýchzvětšíočíslo 

1(tedyspeciálněØ¼1=Ø1).Platítedyprokaždé=1 

DokažmenyníinkluziÅÆ,atotak,žeukážeme,žeprvkymnožinyÆ 

ležívkaždépodalgebřeΩ-algebryobsahujícímnožinuÅ.Dledefinicemnožiny 

Æje její libovolnýprvek tvaruØ(1Ò),kdeØjeÒ-ární termtypuΩa 

1Ò¾Å.NechťÀjelibovolnápodalgebraΩ-algebryobsahujícímnožinu 

Åaukažmeindukcípodledefinicetermu,žeØ(1Ò)¾À. 

¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakØ(1Ò)=¾ÅÀ. 

¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pakpodledefinicepodalgebry 

Ø(1Ò)=¾À. 


=(1)¾À 

dledefinicepodalgebry. 


¾Ω,kde1,ztermůØ1,,ØtypuΩ,prokteréjižbylotvrzení 

dokázáno,tedyprokaždé=1platí=(Ø)(1Ò)¾À.Pak 

platíØ(1Ò)=((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))= 

17

6.Variety 

Definice.NechťØ1,Ø2jsoutermytypuΩ.VýrazØ1=Ø2nazývámerovností 

typuΩ. 

Příklad.NechťΩ=¡,kde¡jebinárníoperačnísymbol,pakrovnostítypu 

ΩjenapříkladrovnostÜ1¡Ü2=Ü2¡Ü1.Tatorovnostpsánanaprostoformálněje 

tvaru¡(Ü1Ü2)=¡(Ü2Ü1),alejejasné,ženenítřebasizbytečněkomplikovatživot 

přehnanousnahoupoformálnosti,podstatnéjeto,ževíme,jakformálněrovnost 

vypadá,ajsmeschopnivpřípaděpotřebyjisprávněformálněpřepsat. 

Příklad.UvažmetypΩ=¡ 11,kdeoperačnísymbol¡jebinární,symbol 

Ü1¡Ü 

1 

1 =1,atd. 

1 jeunárníasymbol1jenulární.Příkladyrovnostíjsou(Ü1¡Ü2)¡Ü3=Ü1¡(Ü2¡Ü3), 

Definice.NechťØ1aØ2jsoutermytypuΩ,nechťjeuniverzálníalgebra 

typuΩ.NechťÒaÑjsounejmenšípřirozenáčíslataková,žeØ1jeÒ-árníaØ2je 

Ñ-árníterm.Označme=maxÒÑ.Řekneme,žerovnostØ1=Ø2platívΩalgebře,jestližetermyØ1,Ø2určujístejnou-árníoperacinaΩ-algebře,tj. 

prokaždéprvky1¾platí(Ø1)(1)=(Ø2)(1). 

Poznámka.Podlevěty5.1platí,žepokudtermyØ1aØ2zpředchozídefinice 

určujístejnou-árníoperacina,takprolibovolnépřirozenéčísloÐtyto 

termyurčujístejnouÐ-árníoperacina.Protovpředchozídefinicijsmemísto 

=maxÒÑmohlivzítlibovolnépřirozenéčíslomaxÒÑ. 

Příklad. NechťØ1 =Ø2 jelibovolnárovnosttypuΩ.PakvlibovolnéjednoprvkovéuniverzálníalgebřetypuΩplatírovnostØ1 

=Ø2.Jestližeexistuje 

prázdnáΩ-algebra(tj.jestližetypΩnemážádnýnulárníoperačnísymbol),pakv 

tétoprázdnéalgebřerovnostØ1=Ø2taképlatí. 

Příklad.NechťΩ=¡,kde¡jebinárníoperačnísymbol,pakrovnostÜ1¡Ü2= 

Ü2¡Ü1platívΩ-algebře,právěkdyžjekomutativnígrupoid. 

Definice.LibovolnoumnožinurovnostítypuΩnazývámeteoriítypuΩ. 

Definice. NechťÌjeteorietypuΩ.TříduvšechΩ-algeber,vnichžplatí 

všechnyrovnostiteorieÌ,nazývámevarietouΩ-algeberurčenouteoriíÌ. 

Příklad.NechťÌjelibovolnáteorietypuΩ.Pakplatí,ževevarietěurčené 

teoriíÌležívšechnyjednoprvkovéΩ-algebry.JestližetypΩnemážádnýnulární 

operačnísymbol,pakvevarietěurčenéteoriíÌležítaképrázdnáΩ-algebra. 

Poznámka.Všimnětesi,ževpředchozídefinicihovořímeotříděvšechΩalgeber,nikoliomnožiněvšechΩ-algeber.NelzetotižhovořitomnožiněvšechΩalgeberstejnějakonelzehovořitomnožiněvšechmnožin.Důvodemjsouparadoxy 

naivníteoriemnožin(pokudbyexistovalamnožinavšechmnožin,existovalaby 

imnožinaÅvšechtěchmnožin,kterénejsousvýmprvkem;pakobapřípady 

Å¾ÅiÅ¾Åvedoukesporu). 

Poznámkaproty,kteříznajípredikátovoulogiku.UvažímepredikátovoulogikuvjazycesoperačnímisymbolyzΩ.PakprolibovolnéÒ-árnítermyje 

rovnostØ1=Ø2atomickouformulípredikátovélogiky,znížpřidánímkvantifikátorů 

utvořímeuzavřenouformuli(tj.sentenci)(Ü1)(ÜÒ)(Ø1=Ø2).Provedeme-lito 

18

sevšemirovnostminějakéteorieÌtypuΩ,získámetakmnožinuuzavřenýchformulí,tedyteoriipredikátovélogiky.VarietaurčenáteoriíÌjepakprávětřída 

všechmodelůtaktovznikléteoriepredikátovélogiky. 

Ü1určujevarietuvšechkomutativníchgrupoidů,teorie(Ü1¡Ü2)¡Ü3=Ü1¡(Ü2¡Ü3) 

Příklad.NechťΩ=¡,kde¡jebinárníoperačnísymbol.TeorieÜ1¡Ü2=Ü2¡ 

Ü1¡Ü2=Ü2¡Ü1(Ü1¡Ü2)¡Ü3=Ü1¡(Ü2¡Ü3)Ü1¡Ü1=Ü1 

určujevarietuvšechpologrup,teorie 

určujevarietuvšechpolosvazů.Naprotitomutříduvšechgrupnedostanemejako 

varietu¡-algeberurčenounějakouteoriítypu¡:nevímetotiž,jakzapsatpodmínkuproexistencineutrálníhoprvkunějakýmirovnostmi(tatopodmínkaobsahujeexistenčníkvantifikátor,kdežtomymůžemezapsatjenpodmínkysevšeobecnýmikvantifikátory). 

Příklad.UvažmetypΩ=¡ 11,kdeoperačnísymbol¡jebinární,symbol 

1 jeunárníasymbol1jenulární.Teorie 

=1(Ü1) 

1¡Ü1=1 

(Ü1¡Ü2)¡Ü3=Ü1¡(Ü2¡Ü3)Ü1¡1=Ü11¡Ü1=Ü1Ü1¡(Ü1) 1 

určujevarietuvšechgrup,přidánímdalšírovnostiÜ1¡Ü2=Ü2¡Ü1získámeteorii 

určujícívarietuvšechkomutativníchgrup.Tatovarietajesamozřejmětéžvarietou 

určenouteorií 

Příklad.UvažmetypΩ=+¡ 

=1 (Ü1¡Ü2)¡Ü3=Ü1¡(Ü2¡Ü3)Ü1¡Ü2=Ü2¡Ü1Ü1¡1=Ü1Ü1¡(Ü1) 1 

01,kdeoperačnísymboly+a¡jsou 

(Ü1+Ü2)+Ü3=Ü1+(Ü2+Ü3)Ü1+Ü2=Ü2+Ü1Ü1+0=Ü1 

binární,symbol jeunárníasymboly0,1jsounulární.Varietavšechokruhůje 

varietaΩ-algeberurčenánásledujícíteoriítypuΩ: 

Ü1+( 

Ü1¡(Ü2+Ü3)=(Ü1¡Ü2)+(Ü1¡Ü3)(Ü1+Ü2)¡Ü3=(Ü1¡Ü3)+(Ü2¡Ü3) 

Ü1)=0(Ü1¡Ü2)¡Ü3=Ü1¡(Ü2¡Ü3)Ü1¡1=Ü11¡Ü1=Ü1 

Neníjasné,jakzachytitpodmínkyoboruintegrityatělesa.Pozdějiuvidíme,že 

Ì=Ü1Ü2=Ü2Ü1(Ü1Ü2)Ü3=Ü1(Ü2Ü3)Ü1Ü1=Ü1 

anitříduvšechoborůintegrityanitříduvšechtělesnemůžemedostatjakovarietu 

univerzálníchalgeber. 

Ü1Ü2=Ü2Ü1(Ü1Ü2)Ü3=Ü1(Ü2Ü3)Ü1Ü1=Ü1 

Příklad.UvažmetypΩ=,kdeobaoperačnísymbolyjsoubinární. 

(Ü1Ü2)Ü1=Ü1(Ü1Ü2)Ü1=Ü1 

PakvarietavšechsvazůjeurčenánásledujícíteoriíÌtypuΩ: 

Teorie 

Ì1=ÌÜ1(Ü2Ü3)=(Ü1Ü2)(Ü1Ü3) 

19

Ì2=Ì(Ü1Ü2)(Ü1Ü3)=Ü1(Ü2(Ü1Ü3)) 

určujevarietuvšechdistributivníchsvazů,teorie 

určujevarietuvšechmodulárníchsvazů. 

Příklad.UvažmetypΩ=¼01,kdeoperačnísymbolyajsou 

binární,symbol¼jeunárníasymboly0,1jsounulární.NechťÌ1jeteoriezpředchozíhopříkladu.Pakteorie 

Ì1Ü10=0Ü11=1Ü1(Ü1)¼=1Ü1(Ü1)¼=0 

určujevarietuvšechBooleovýchalgeber. 

Příklad. Připomeňmedefinicivektorovéhoprostorunadtělesem(Ê+¡). 

Provětšísrozumitelnostodlišímeoperacisčítánívektorůodsčítánívtělesea 

budemejiznačit¨.Podobně©ÙbudeopačnývektorkvektoruÙ.Odlišímetaké 

násobenívektorůskaláryodnásobenívtěleseabudemejejznačit¬.Vektorový 

prostornadtělesem(Ê+¡)jekomutativnígrupa(Î¨)azobrazení¬:Ê¢Î 

ÎsplňujícíprokaždéÙÚ¾ÎakaždéÖ×¾Ê 

1¬Ù=Ù 

Ö¬(Ù¨Ú)=(Ö¬Ù)¨(Ö¬Ú) (Ö+×)¬Ù=(Ö¬Ù)¨(×¬Ù) (Ö¡×)¬Ù=Ö¬(×¬Ù) 

Ì=(Ü1¨Ü2)¨Ü3=Ü1¨(Ü2¨Ü3)Ü1¨Ü2=Ü2¨Ü1Ü1¨Ó=Ü1Ü1¨(©Ü1)=Ó 

Popišmenyní tříduvšech vektorovýchprostorůjakovarietuurčenou vhodnou 

teorií.UvažmetypΩ=¨©ÓÊ,kdeoperačnísymbol¨jebinární,symbol 

©jeunární,symbolÓjenulárníaprokaždéÖ¾ÊjeÖunárníoperačnísymbol. 

UvažmenásledujícíteoriiÌtypuΩ: 

Tatoteorie(uvažovanájakoteorietypu¨©Ó)určujevarietuvšechkomutativníchgrup.Přidámeknízbyléčtyřiaxiomyvektorovýchprostorů.Čtvrtýaxiom 

(Ö+×)(Ü1)=Ö(Ü1)¨×(Ü1)(Ö¡×)(Ü1)=Ö(×(Ü1)) 

1¬Ù=Ùjenejsnadnější:1¾Êjeunárníoperačnísymbol,tedyodpovídajícírovnostíjerovnost1(Ü1)=Ü1.ProdruhýatřetíaxiomuvážímelibovolnéÖ×¾Ê. 

Tojsouunárníoperačnísymboly.AlepaktéžÖ+×aÖ¡×jsouprvkyÊ,atedy 

unárníoperačnísymboly.DostávámenásledujícírovnostitypuΩ: 

Ì1(Ü1)=Ü1 

PrvníaxiomprolibovolnéÖ¾ÊdávárovnostÖ(Ü1¨Ü2)=Ö(Ü1)¨Ö(Ü2).Celkem 

Ö¾Ê ×¾Ê(Ö+×)(Ü1)=Ö(Ü1)¨×(Ü1)(Ö¡×)(Ü1)=Ö(×(Ü1)) Ö¾ÊÖ(Ü1¨Ü2)=Ö(Ü1)¨Ö(Ü2) 

tedydostávámeteorii 

20

Tatoteorieurčujevarietuvšechvektorovýchprostorů. 

Věta6.1.NechťÌjeteorietypuΩ,ÎvarietaΩ-algeberurčenáteoriíÌ.Pak 

prokaždouΩ-algebru¾ÎakaždoupodalgebruΩ-algebryplatí¾Î. 

Poznámka.Následujícívětulzestručnězformulovattakto:varietyjsouuzavřenénapodalgebryalgeber. 

Důkaz. UvažmelibovolnourovnostØ1 =Ø2 zteorieÌ. Protože¾Î, 

platítatorovnostvΩ-algebře.OvšemzřejměprokaždýÒ-árnítermØtypuΩ 

alibovolné1Ò¾platíØ(1Ò)=Ø(1Ò).Protorovnost 

Ø1=Ø2platíivΩ-algebře.Dokázalijsme,žekaždárovnostteorieÌplatív 

Ω-algebřeatedy¾Î. 

Poznámka.Následujícívětaukazuje,žedefiničnívlastnosthomomorfismu 

platínejenprovšechnyoperačnísymbolytypuΩ,aledokonceprolibovolnétermy 

typuΩ. 

Věta6.2.Nechť,jsouuniverzálníalgebrytypuΩ,³:homomorfismusΩ-algeber.PakprolibovolnýÒ-árnítermØtypuΩalibovolné1Ò¾ 

Ø(³(1)³(Ò))=³(Ø(1Ò)) 

platí 

Důkaz.VětudokážemeindukcívzhledemktermuØ. 

¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakØiØjsou-téprojekce,atedy 

³(Ø(1Ò))=³()=Ø(³(1)³(Ò)) 

podobněØ(1Ò)=((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò)) 

=((Ø1)(³(1)³(Ò))(Ø)(³(1)³(Ò))) Ø(³(1)³(Ò))= 

¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pakØ(1Ò) =, 

Ø(³(1)³(Ò))=.Ovšem³()=podledefinicehomomorfismu. 


¾Ω, kde1, z termůØ1,,Øtypu Ω, pro které již bylo tvrzenídokázáno,tedyprokaždé=1platí(Ø)(³(1)³(Ò))= 

³((Ø)(1Ò)).Podledefiniceoperaceurčenétermemplatí 

Podledefinicehomomorfismuaindukčníhopředpokladuplatí 

=Ø(³(1)³(Ò)) 

³(Ø(1Ò))=³(((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò)))= 

=(³((Ø1)(1Ò))³((Ø)(1Ò)))= 

=((Ø1)(³(1)³(Ò))(Ø)(³(1)³(Ò)))= 



21

Poznámka.Následujícívětulzestručnězformulovattakto:varietyjsouuzavřenénaobrazyalgebervhomomorfismech.Podledůsledkuvěty4.5toznamená, 

ževarietyjsouuzavřenénafaktoralgebry.Skonkrétnímipřípadytohototvrzení 

jsmesetedysetkalijiždříve:faktorizací(komutativní)grupyjsmedostali(komutativní)grupu,faktorizací(komutativního)okruhujsmedostali(komutativní) 

okruh. 

Věta6.3. NechťÌjeteorietypuΩ,ÎvarietaΩ-algeberurčenáteoriíÌ. 

Nechť,jsouΩ-algebry,³:surjektivníhomomorfismusΩ-algeber.Pak 

(Ø1)(1Ò)=(Ø2)(1Ò) 

platí:je-li¾Î,paktéž¾Î. 

Důkaz.UvažmelibovolnourovnostØ1=Ø2zteorieÌ.Protože¾Î,platí 

tatorovnostvΩ-algebře.NechťÒjetakové,žeobatermyØ1,Ø2jsouÒ-ární.Je 

třebaověřit,žeprolibovolné1Ò¾platí 

=³((Ø2)(1Ò))=(Ø2)(³(1)³(Ò))=(Ø2)(1Ò) 

Protožeje³surjekce,existují1Ò¾tak,že1=³(1),,Ò=³(Ò). 

Pakzpředchozívětyatoho,žerovnostØ1=Ø2platívΩ-algebře,dostáváme 

(Ø1)(1Ò)=(Ø1)(³(1)³(Ò))=³((Ø1)(1Ò))= 

Dokázalijsme,žekaždárovnostteorieÌplatívΩ-algebřeatedy¾Î. 

Poznámka.Následujícívětaukazuje,žepodmínka,kteroubylydefinovány 

operacenasoučinuΩ-algeber,platínejenprovšechnyoperačnísymbolytypuΩ, 

aledokonceprolibovolnétermytypuΩ. 

Věta6.4.NechťΩjetyp.NechťprolibovolnýprvekmnožinyÁjedánauniverzálníalgebratypuΩ.OznačmesoučintěchtoΩ-algeber,tj.=É¾Á. 

Uvažme libovolnýÒ-árnítermØtypu Ω a libovolné1Ò¾. Označme 

=Ø(1Ò).Pakprokaždé¾Áplatí()=Ø(1()Ò()). 

Důkaz.VětudokážemeindukcívzhledemktermuØ. 

¯Je-litermemØproměnnáÜ,pakØiØjsou-téprojekce,atedy= 

Ø(1Ò)=aØ(1()Ò())=()=(). 

¯Je-litermemØnulárníoperačnísymbol¾Ω,pakdledefinicesoučinuΩalgeberplatí=,kde¾jeurčenopodmínkou()=,cožje 

dokazovanétvrzení. 


¾Ω,kde1,ztermůØ1,,ØtypuΩ,prokteréjižbylotvrzenídokázáno.Nejprvezformulujmetentoindukčnípředpoklad.Prokaždé=1 

označme=(Ø)(1Ò).Předpokládámetedy,žeØ=(Ø1Ø)aže 

prokaždé¾Áaprokaždé=1platí()=(Ø)(1()Ò()). 

Podledefiniceoperaceurčenétermemplatí 

Ø(1()Ò())= 

=((Ø1)(1()Ò())(Ø)(1()Ò()))= 

=(1()Ò()) 

22

ataké 

=(1Ò) =Ø(1Ò)= =((Ø1)(1Ò)(Ø)(1Ò))= 

atedypodledefiniceoperacínasoučinuΩ-algeberprokaždé¾Áplatí()= 

(1()Ò()).Ovšemvýšejsmeodvodili,že(1()Ò())= 

Ø(1()Ò()). 


Poznámka.Následujícívětulzestručnězformulovattakto:varietyjsouuzavřenénalibovolnésoučinyalgeber. 

Věta6.5. NechťÌjeteorietypuΩ,ÎvarietaΩ-algeberurčenáteoriíÌ. 

NechťprolibovolnýprvekmnožinyÁjedánauniverzálníalgebratypuΩ. 

OznačmesoučintěchtoΩ-algeber,tj.=É¾Á.Pakplatí:jestližeprokaždé 

(Ø1)(1Ò)=(Ø2)(1Ò) 

¾Áje¾Î,paktéž¾Î. 

Důkaz. UvažmelibovolnourovnostØ1=Ø2zteorieÌ.Protožeprokaždé 

¾Áje¾Î,platítatorovnostvΩ-algebře.NechťÒjetakové,žeobatermy 

Ø1,Ø2jsouÒ-ární.Jetřebaověřit,žeprolibovolné1Ò¾platí 

Označme1=(Ø1)(1Ò)a2=(Ø2)(1Ò).Našímcílemjedokázat,že1=2.Podledefinicesoučinumnožinjsou1a2zobrazenísestejným 

definičnímoboremioboremhodnot.Jetřebaověřit,žemajítéžstejnýpředpis,tj. 

žeprokaždé¾Áplatí1()=2().Zpředchozívětyplyne,žeprokaždé¾Á 

(Ø1)(1()Ò())=(Ø2)(1()Ò()) 

platí1()=(Ø1)(1()Ò())a2()=(Ø2)(1()Ò()).Protože 

rovnostØ1=Ø2platívΩ-algebře,je 

atedytéž1()=2(),cožjsmechtělidokázat.Dokázalijsme,žekaždárovnost 

teorieÌplatívΩ-algebřeatedy¾Î. 

Příklad.Nyníjsmeschopnidokázatslíbenétvrzení,žeanitříduvšechoborů 

integrityanitříduvšechtělesnemůžemedostatjakovarietuuniverzálníchalgeber 

typu+¡ 01.Podlepředchozívětyktomustačínajítdvětělesa,jejichžsoučinemnenítěleso,advaoboryintegrity,jejichžsoučinemneníoborintegrity.Hledání 

takovýchtělesjesnadné:platídokonce,žesoučinlibovolnýchdvoutěles(kterájsou 

samozřejměioboryintegrity)neníoboremintegrity(atedyanitělesem).Vkaždém 

takovémsoučinutotižmámedělitelenuly,neboťplatí(01)¡(10)=(00).(PokudVámnenítentoobecnýpříkladjasný,uvažtedvěkopietělesaodvouprvcích 

–okruhuzbytkovýchtřídmodulo2–avypištesivšechnyčtyřiprvkyasestavte 

tabulkuprooperacinásobení.) 

Příklad. Třídavšechsvazů,kteréjsouřetězci(tj.lineárněuspořádanými 

množinami)netvořívarietuuniverzálníchalgebertypu,neboťsoučinem 

dvoudvouprvkovýchsvazů,kteréjsouřetězci,ječtyřprvkovýsvaz,kterýnení 

řetězec. 

23

Příklad. Třídavšechgrupnetvořívarietuuniverzálníchalgebertypu¡, 

neboťtatotřídaneníuzavřenanapodalgebry(existujípodgrupoidygrup,které 

nejsougrupami).Přestojsmedostalitříduvšechgrupjakovarietuuniverzálních 

algebertypu¡ 11.Rozšířenímtypujsmetotiždosáhlitoho,žezmíněnépodgrupoidyužnebylypodalgebrami¡ 

11-algeber.Nabízísetedyotázka,zda 

ivpřípadětřídyvšechtělesnebotřídyvšechoborůintegritypřidánímdalších 

operačníchsymbolůktypu+¡ 01nedostanemevarietuΩ-algeber.Zdeje 

všaksituaceodlišná:tytotřídynejsouuzavřenénasoučinasoučinsepřidáním 

dalšíchoperačníchsymbolůnezmění(přibudoupouzedalšíoperacenatéženosné 

množiněsoučinu).Dostalijsmetedy,žeanitřídavšechtělesanitřídavšechoborů 

integritynetvořívarietuΩ-algeberprožádnéΩ+¡ 01.Podobnětřída 

všechřetězcůnetvořívarietuΩ-algeberprožádnéΩ. 

Poznámka.NásledujícívětazavršípopisvarietΩ-algeber.Charakterizuje, 

kterétřídyΩ-algeberjsouvarietami,tj.kterétřídyjemožnécharakterizovatnějakoumnožinourovností.Vtutochvílijsmevšakschopnidůkazjednohosměru 

pouzenaznačit.Kompletnídůkazčtenářnalezneažvosmékapitole. 

Věta6.6.(Birkhoff)NechťΩjetyp.TřídaΩ-algeberjevarieta,právěkdyž 

splňujevšechnytřinásledujícípodmínky: 

¯jeuzavřenánapodalgebryalgeber; 

¯jeuzavřenánaobrazyalgebervhomomorfismech; 

¯jeuzavřenánalibovolnésoučinyalgeber. 

Důkaz. Jižjsmedokázalivevětách6.1,6.3a6.5,želibovolnávarietaΩalgebervšechnytřiuvedenépodmínkysplňuje.Důkazopačnéimplikacepřesahuje 

možnostitétokapitoly,protojennaznačíme,jakbudevedenvkapitole8.Nechť 

ÎjetřídaΩ-algebersplňujícívšechnytřiuvedenépodmínky.OznačmeÌmnožinu 

všechrovnostítypuΩ,kteréplatívevšechΩ-algebráchztřídyÎ(uvědomtesi,že 

Ìjevždynekonečnámnožina).OznačmeÏvarietuΩ-algeberurčenouteoriíÌ. 

Jetřebadokázat,žeÎ=Ï.ZdefiniceÌjejasné,žeplatíinkluzeÎÏ.Celá 

obtížnostdůkazuvětyspočívávdůkazuinkluzeÏÎ.Jetotižnutnéukázat, 

želibovolnouΩ-algebru¾Ïlzevytvořitpomocítvořenípodalgeber,součinů 

aobrazůvhomomorfismechzΩ-algeberztřídyÎ.Tovšakukážemeažnakonci 

kapitoly8. 

7.Volnéalgebrysnejvýšespočetnoumnožinougenerátorů 

Definice. Nechť Ω jetyp. Označme(Ω)množinu všech termů typuΩ. 

NatétomnožinědefinujemeΩ-algebrunásledujícímzpůsobem.ProlibovolnýÒárníoperačnísymbol¾ΩdefinujemeÒ-árníoperaci(Ω)naΩ-algebře(Ω) 

příslušnouoperačnímusymbolutakto:prolibovolnétermyØ1,,ØÒ¾(Ω)je 

(Ω)(Ø1ØÒ)=(Ø1ØÒ). 

Poznámka. Všimnětesi,jaksepočítajíhodnotyoperacívprávěpopsané 

Ω-algebře.Strochounadsázkysedáříci,žesevlastněnepočítají.Termysedo 

operačníhosymbolupouzedosadí,čímžvzniknenovýterm(viztřetíboddefinice 

termu),atojevýsledek.Znamenáto,žekaždýprvekmnožiny(Ω),kterýnení 

proměnnou,jehodnotouprávějednéoperacenajednoznačněurčenýchoperandech, 

24

jejejtotižmožnézískatjedinětak,jakbylsestrojendledefinicetermu.Proto 

vtéto Ω-algebřeplatíjentriviálnírovnosti (tj.takové,kdena oboustranách 

stojístejný term).ProtožetatoΩ-algebranení svázána žádnými netriviálními 

rovnostmi,nazývásevolná(vizdefinicinásledujícípovětě7.1). 

Věta 7.1. OznačmeÈmnožinu všech proměnných:È=Ü1Ü2a 

uvažmepodalgebruÈgenerovanouvalgebře(Ω)množinouÈ.PakplatíÈ= 

(Ω). 

Důkaz.Stačíukázatinkluzi(Ω)È,tedydokázat,žekaždýtermØtypu 

ΩpatřídoÈ.Tojealesnadnéindukcívzhledemkdefinicitermu:proměnné 

ležívÈ,pronulárnísymboltypuΩplatí=(Ω),cožjeprveklibovolné 

podalgebry.Konečněproterm(Ø1ØÒ)vzniklýzÒ-árníhosymbolu¾Ωa 

termůØ1ØÒpatřícíchdleindukčníhopředpokladudoÈje(Ø1ØÒ)= 

(Ω)(Ø1ØÒ)¾Èdledefinicepodalgebry. 

Definice.Ω-algebra(Ω)zpředchozídefinicesenazývávolnáalgebratypu 

ΩgenerovanámnožinouÜ1Ü2. 

Definice.NechťΩjetyp,Önezápornéceléčíslo.OznačmeÖ(Ω)množinu 

všechÖ-árníchtermůtypuΩ. 

Příklad.JestližetypΩneobsahuježádnýnulárníoperačnísymbol,pakplatí 

2(Ω)=Ü1Ü¼1Ü¼¼ 1(Ω)=Ü1Ü¼1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼ 1 1Ü2Ü¼2Ü¼¼ 2Ü¼¼¼ 2 

0(Ω)=. 

Příklad.UvažmetypΩ=¼,kde¼jeunárnísymbol.PakΩ-algebramijsou 

množinyspolusezobrazením¼:.Pakplatí 

Příklad.UvažmetypΩ=¼1,kde¼jeunárnísymbola1nulárnísymbol. 

VolnáalgebratypuΩgenerovanáprázdnoumnožinoujepakΩ-algebra0(Ω)= 

11¼1¼¼1¼¼¼.Tojsouvlastněpřirozenáčísla.Přikonstrukcipřirozenýchčísel 

nemůžemedefinovatpřirozenáčíslajakotutovolnouΩ-algebru,neboťjsmevtomto 

textumnohokrátexistencipřirozenýchčíselvyužili.Jealemožnétutostrukturu 

popsatnásledujícívlastností:jetomnožinaÆspolusezobrazením¼:ÆÆ, 

kteréjeinjektivníanenísurjektivní,asplňujenásledujícípodmínku:neexistuje 

žádnávlastnípodmnožinaÅÆ,kterábyprokaždéÑ¾ÅobsahovalatéžÑ¼ 

akterábytakéobsahovalanějakýprvekÒ,kterýnelzevyjádřitvetvaruÒ=Ö¼ 

prožádnéÖ¾Æ.MnožinuÆazobrazení¼:ÆÆ,kterésplňujíprávěpopsanou 

podmínku,lzevzítvaxiomatickékonstrukcipřirozenýchčíselzajejichdefinici. 

Věta7.2.ProlibovolnénezápornéceléčísloÖjemnožinaÖ(Ω)podalgebra 

Ω-algebry(Ω)generovanámnožinouÖproměnnýchÜ1ÜÖ,tj.Ö(Ω) = 

Ü1ÜÖ. 

Důkaz.InkluziÖ(Ω)Ü1ÜÖdokážemestejnějakopředchozívětu. 

Opačnáplyneztoho,žeÖ(Ω)jepodalgebraΩ-algebry(Ω)obsahujícímnožinu 

proměnnýchÜ1ÜÖ:dosazenímÖ-árníchtermůdolibovolnéhooperačního 

symbolutotižzřejmědostanemeopětÖ-árníterm,atedyÖ(Ω)jeskutečněpodalgebra. 

Definice.Ω-algebraÖ(Ω)senazývávolnáalgebratypuΩgenerovanámnožinouÜ1ÜÖ. 

25

Poznámka. Následujícívětapopisujepodmínku,kteroulzevolnéalgebry 

charakterizovat.AťsivjakékoliΩ-algebřezvolímejakkoliobrazprokaždýgenerátor,vždyjemožnédoplnittotopřiřazenídohomomorfismu,atojediným 

způsobem.(Avšakto,žetatopodmínkajeskutečněcharakterizační,tj.určuje 

volnoualgebrujednoznačněažnaizomorfismus,dokážemeažvevětě8.5.) 

Věta7.3. NechťjeΩ-algebra,123libovolnápevnězvolenáposloupnostprvkůz.PakexistujejedinýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω) 

splňujícípodmínku³(ÜÑ)=ÑprovšechnapřirozenáčíslaÑ.Přitomprotento 

homomorfismusplatí:prolibovolný-árnítermØ¾(Ω)je³(Ø)=Ø(1), 

³((Ω)(Ø1ØÒ))=³((Ø1ØÒ))=((Ø1ØÒ))(1) 

kdeØjeoperaceurčenátermemØvΩ-algebře. 

Důkaz.Ukažmenejprve,žetaktodefinovanézobrazeníjehomomorfismus. 

Nechť¾ΩjelibovolnýÒ-árníoperačnísymbol,Ø1ØÒ¾(Ω)libovolné 

-árnítermy.Platítedy 

=(³(Ø1)³(ØÒ)) 

Dledefiniceoperaceurčenétermemje 

((Ø1ØÒ))(1)=((Ø1)(1)(ØÒ)(1))= 

atedy³jehomomorfismus.Ukažmeindukcívzhledemkdefinicitermu,žetento 

homomorfismusjejediný: 

¯je-liØ=ÜÑ,pak³(ÜÑ)=Ñ=(ÜÑ)(1); 

¯je-liØnulárníoperačnísymbol,pakzdefinicehomomorfismu³(Ø)=Ø; 

¯nechťtedy-árnítermØ=(Ø1ØÒ)jesloženpomocíÒ-árníhooperačního 

symbolu,kdeÒ1,ztermůØ1ØÒ¾(Ω),prokteréplatíindukční 

=((Ø1ØÒ))(1) 

předpoklad,tj.prokaždé=1Òje³(Ø)=(Ø)(1).Pakzdefinicehomomorfismu 

³(Ø)=³((Ø1ØÒ))=³((Ω)(Ø1ØÒ))= =(³(Ø1)³(ØÒ))=((Ø1)(1)(ØÒ)(1))= 


Věta 7.4. Nechť Ω je typ,Önezápornécelé číslo.NechťjeΩ-algebra, 

1Ölibovolnépevnězvolenéprvkyz.Pakexistujejedinýhomomorfismus 

Ω-algeber³:Ö(Ω)splňujícípodmínku³(ÜÑ) =ÑprovšechnaÑ= 

1Ö.Přitomprotentohomomorfismusplatí:prolibovolnýtermØ¾Ö(Ω)je 

³(Ø)=Ø(1Ö),kdeØjeoperaceurčenátermemØvΩ-algebře. 

Důkaz.Tutovětulzedokázatstejnějakopředchozívětu7.3. 

Poznámka. PředchozívětatedyproÖ=0tvrdí,žeΩ-algebra0(Ω)má 

následujícívlastnost:prokaždouΩ-algebruexistujeprávějedenhomomorfismus 

Ω-algeber³:0(Ω). 

Poznámka. NašímdalšímcílemjenaléztvolnéΩ-algebryvkaždévarietě 

Ω-algeber.VolnéΩ-algebry(Ω)aÖ(Ω)totižsplňujípouzetriviálnírovnosti, 

26

Definice.NechťÎjevarietaΩ-algeber.Namnožině(Ω)všechtermůtypu 

ΩdefinujemerelaciÎtakto:prolibovolnétermyØ1Ø2¾(Ω)klademeØ1ÎØ2 

právětehdy,kdyžlibovolnáΩ-algebrazvarietyÎsplňujerovnostØ1=Ø2. 

Poznámka. NechťØ1,Ø2 jsouÒ-árnítermytypuΩ.PakjetedyØ1ÎØ2 

právětehdy,kdyžnalibovolnéΩ-algebřezvarietyÎobatermyØ1,Ø2určují 

stejnouÒ-árníoperaci,tj.prolibovolné1Ò¾platí(Ø1)(1Ò)= 

(Ø2)(1Ò). 

Věta7.5.ProlibovolnouvarietuΩ-algeberÎjerelaceÎkongruencína 

Ω-algebře(Ω). 

ležíprotojenvevarietěvšechΩ-algeber.BudemetedyprodanouteoriiÌtypuΩ 

konstruovatΩ-algebru,vnížplatívšechnyrovnostiteorieÌavšechnydůsledky 

těchtorovností,aležádnárovnost,kteránenídůsledkemrovnostíteorieÌ,už 

vkonstruovanéalgebřeplatitnebude.Otázkaje,jaktakovédůsledkypopsat.Asi 

prvnícesta, kteráčlověkanapadne, jepokusitsepopisovatnějaká odvozovací 

pravidla,jakzrovnostíteorieÌodvoditdalšírovnosti.Myalepoužijemejinou 

cestu:důsledkemrovnostíteorieÌjsouprávětyrovnosti,kteréplatívkaždéΩalgebřezvarietyurčenéteoriíÌ. 

Důkaz.Zpředchozípoznámkysesnadnovidí,žeÎjeekvivalencenamnožině(Ω).Dokažme,žejdeokongruenci.ZatímúčelemzvolmelibovolněÒ-ární 

operačnísymbol¾ΩatermyØ1ØÒ×1×Ò¾(Ω)takové,žeØ1Î×1, 

,ØÒÎ×Ò.Dokážeme,žepotomtaké(Ø1ØÒ)Î(×1×Ò).ZvolmelibovolněΩ-algebruzvarietyÎ.Platítedy(Ø1)=(×1),,(ØÒ)=(×Ò). 

Nechťpřirozenéčíslojetakové,ževšechnyzdevystupujícítermyjsou-ární. 

=((×1×Ò))(1) 

Pakprolibovolné1¾platí 

((Ø1ØÒ))(1)=((Ø1)(1)(ØÒ)(1))= 

=((×1)(1)(×Ò)(1))= 


Poznámka.MůžemetedyhovořitofaktorovéalgebřeΩ-algebry(Ω)podle 

kongruenceÎ.TutofaktorovouΩ-algebrubudemeznačit(Î)=(Ω)Î. 

Poznámka.Uvědomtesi,ženehrozínebezpečízáměny(Ω)a(Î)ikdybychomoznačilitypjinýmpísmenemnežΩavarietujinýmpísmenemnežÎ. 

Libovolnýtypjepřecemnožina,kdežtolibovolnávarietajevlastnítřída. 

Věta 7.6. Pro libovolnou varietuΩ-algeberÎje Ω-algebra(Î) prvkem 

varietyÎ. 

(Ø)(Î)(Ú1Ú)=(Ø)(Î)((×1)(×))=((Ø)(Ω)(×1×)) 

27 

Důkaz.NechťÌjeteorieurčujícívarietuÎ,nechťØ1=Ø2jelibovolnárovnost 

tétoteorie.Nechťjepřirozenéčíslotakové,žeobatermyØ1aØ2jsou-ární.Je 

tedytřebaověřit,žeprolibovolnéÚ1Ú¾(Î)platí(Ø1)(Î)(Ú1Ú)= 

(Ø2)(Î)(Ú1Ú).Označme:(Ω)(Î)projekcinafaktorovoualgebru. 

Podlevěty4.3jesurjektivníhomomorfismus.Prokaždé=1zvolmeterm 

×¾(Ω)tak,že(×)=Ú.Podlevěty6.2pro=12platí

(Ø1)(Ω)(×1×)=(Ø2)(Ω)(×1×) 

Mámetedydokázat,že((Ø1)(Ω)(×1×))=((Ø2)(Ω)(×1×)),cožje 

ekvivalentnístvrzením(Ø1)(Ω)(×1×)Î(Ø2)(Ω)(×1×).Tobudedokázáno,pokudlibovolnáΩ-algebrazvarietyÎsplňujerovnost 

((Ø1)(Ω)(×1×))(1Ñ)=((Ø2)(Ω)(×1×))(1Ñ) 

NechťÑjepřirozenéčíslotakové,ževšechnytermy×1×jsouÑ-ární.Máme 

tedyukázat,žeprolibovolnouΩ-algebruzvarietyÎaprolibovolnéjejíprvky 

1Ñ¾platí 

((Ø)(Ω)(×1×))(1Ñ)=³((Ø)(Ω)(×1×)) 

Doplňmenějak1ÑdonekonečnéposloupnostiprvkůzΩ-algebry,napříkladtakto:prokaždéÒÑklademeÒ=1.Podlevěty7.3existujehomomorfismusΩ-algeber³:(Ω)takový,žeprolibovolnýÐ-árnítermØ¾(Ω)je 

³(Ø)=Ø(1Ð).Pro=12tedyplatí 

³((Ø)(Ω)(×1×))=(Ø)(³(×1)³(×)) 

Ovšempodlevěty6.2je 

(Ø1)(³(×1)³(×))=(Ø2)(³(×1)³(×)) 

Mámetedyukázat,že 

toaleplyneztoho,žeØ1=Ø2jerovnostzteorieurčujícívarietuÎ,dokterépatří 

Ω-algebra. 

Poznámka.Ukážeme,žefaktorováalgebra(Î)=(Ω)Îzpředchozí 

větysplňujecharakterizačnípodmínkuvolnéalgebry. 

Věta7.7. NechťÎjelibovolnávarietaΩ-algeber,(Î)=(Ω)ÎfaktorováΩ-algebrazvěty7.6,:(Ω)(Î)projekcenafaktorovoualgebru. 

Nechťjelibovolná Ω-algebrazvarietyÎ,123libovolná pevnězvolenáposloupnostprvkůz.Pakexistujejedinýhomomorfismus 

Ω-algeber: 

(Î)splňujícípodmínku((ÜÑ))=ÑprovšechnapřirozenáčíslaÑ. 

Přitomprotentohomomorfismus platí:prolibovolný-árnítermØ¾(Ω)je 

Důkaz.Podlevěty7.3existujejedinýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω) 

((Ø))=Ø(1),kdeØjeoperaceurčenátermemØvΩ-algebře. 

³(Ø1)=(Ø1)(1Ò)=(Ø2)(1Ò)=³(Ø2) 

splňujícípodmínku³(ÜÑ)=ÑprovšechnapřirozenáčíslaÑ.Přitompro 

libovolný-árnítermØ¾(Ω)je³(Ø)=Ø(1).Označmejádrohomomorfismu³.UvažmelibovolnéÒ-árnítermyØ1,Ø2takové,žeØ1ÎØ2.Podle 

definicekongruenceÎjerovnostØ1=Ø2splněnavΩ-algebře,aprotoplatí 

atedyØ1Ø2.Ukázalijsme,žekongruenceÎjemenšíneborovnakongruenci 

.Protopodlevěty4.5existujejedinýhomomorfismus:(Î)splňující 

28

Æ=³.ProtentohomomorfismustedyprovšechnapřirozenáčíslaÑplatíÑ= 

³(ÜÑ)=(Æ)(ÜÑ)=((ÜÑ)).Podobněprolibovolný-árnítermØ¾(Ω) 

jeØ(1)=³(Ø)=(Æ)(Ø)=((Ø)).Zbývádokázatjednoznačnost 

homomorfismusplňujícíhopodmínku((ÜÑ))=Ñ.Předpokládejme,žetéž 

prohomomorfismusΩ-algeber:(Î)jesplněnapodmínka((ÜÑ))=Ñ 

provšechnapřirozenáčíslaÑ.PakprohomomorfismusÆ:(Ω)platí 

(Æ)(ÜÑ)=Ñ,atedypodlevěty7.3jeÆ=³.Podlevěty4.5odtudplyne 

=. 

Definice. Faktorováalgebra(Î)=(Ω)Îzvět7.6a7.7senazývá 

volnáalgebravarietyÎtypuΩgenerovanámnožinouÜ1Ü2. 

Definice.Nechť(Î)=(Ω)ÎjevolnáalgebravarietyÎtypuΩgenerovanámnožinouÜ1Ü2,:(Ω)(Î)projekcenafaktorovoualgebru. 

ProlibovolnénezápornéceléčísloÖoznačmeÖ(Î)obrazpodalgebryÖ(Ω)vhomomorfismu,tj.Ö(Î)=(Ö(Ω)).TutoΩ-algebruÖ(Î)nazývámevolnou 

algebrouvarietyÎtypuΩgenerovanoumnožinouÜ1ÜÖ. 

Poznámka. Podlevěty2.3jeÖ(Î)podalgebrouΩ-algebry(Î),podle 

vět6.1a7.6patříalgebraÖ(Î)dovarietyÎ.Vnásledujícívětěukážeme,že 

takésplňujecharakterizačnípodmínkuvolnéalgebry(atedynázev,kterýdostala 

vpředchozídefinici,jeoprávněný).Zúženímprojekce:(Ω)(Î)dostáváme 

dledefiniceÖ(Î)surjektivníhomomorfismusÖ(Ω)Ö(Î),kterýbudemepro 

jednoduchostoznačovatopětanazývatprojekcí. 

Věta 7.8. NechťÎjelibovolnávarietaΩ-algeber,Önezápornéceléčíslo, 

Ö(Î) varietyÎtypu Ω generovaná 

Ö(Ω)Ö(Î)projekce.NechťjelibovolnáΩ-algebrazvarietyÎ,1Ö¾ 

množinouÜ1ÜÖ,: 

libovolnépevnězvolenéprvky.PakexistujejedinýhomomorfismusΩ-algeber 

:Ö(Î)splňujícípodmínku((ÜÑ))=ÑprovšechnaÑ=1Ö. 

Přitomprotentohomomorfismusplatí:prolibovolnýtermØ¾Ö(Ω)je((Ø))= 

Ø(1Ö),kdeØjeoperaceurčenátermemØvΩ-algebře. 

Důkaz.Tutovětulzedokázatstejnějakovětu7.7(jenmístokongruenceÎ 

na(Ω)užívámezúženíkongruenceÎnapodalgebruÖ(Ω),tj.průnikrelací 

ÎaÖ(Ω)¢Ö(Ω),nebolijádroprojekce:Ö(Ω)Ö(Î)). 

Příklad.UvažmeopěttypΩ=¼,kde¼jeunárnísymbol.Připomeňme,že 

0(Ω)= 

NechťÎjevarietaurčenáteoriíÌ=Ü1=Ü¼¼ 

2(Ω)=Ü1Ü¼1Ü¼¼ 1(Ω)=Ü1Ü¼1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼ 1 1Ü2Ü¼2Ü¼¼ 2Ü¼¼¼ 2 

Ü1ÎÜ¼¼ 1ÎÜ¼¼¼¼ 1Î 

1.Pakplatí 

1(Î)=¨Ü1Ü¼¼ Ü¼1ÎÜ¼¼¼ 1Ü¼¼¼¼ 1ÎÜ¼¼¼¼¼ 1Ü¼1Ü¼¼¼ 1Î 1Ü¼¼¼¼¼ 1© 

a 

Jetedy 

29

VtétoΩ-algebřesepočítátakto: 

Ü1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼¼ 

1¼=Ü¼1Ü¼¼¼ 

1Ü¼¼¼¼¼ 

1 

Ü¼1Ü¼¼¼ 

1Ü¼¼¼¼¼ 

1¼=Ü1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼¼ 

1 

Podobně 

2(Î)=¨Ü1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼¼ 

1Ü¼1Ü¼¼¼ 

1Ü¼¼¼¼¼ 

1 

Ü2Ü¼¼ 

2Ü¼¼¼¼ 

2Ü¼2Ü¼¼¼ 

2Ü¼¼¼¼¼ 

2© 

UvažmenynívarietuÏurčenouteoriíÜ¼1 =Ü¼¼ 

1(Ï)=¨Ü1Ü¼1Ü¼¼1.Platí 

1Ü¼¼¼ 

1© 

přičemžvtétoΩ-algebřesepočítátakto: 

Ü1¼=Ü¼1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼ 

1¼=Ü¼1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼ 

1 

Promysletesisami,žeprovarietuÍurčenouteoriíÜ¼1 =Ü¼¼¼ 

1platí 

1(Í)=¨Ü1Ü¼1Ü¼¼¼ 

1Ü¼¼¼¼¼ 

1Ü¼¼ 

1Ü¼¼¼¼ 

1© 

aurčete,jaksevtétoΩ-algebřepočítá. 

8.Volnéalgebryslibovolnoumnožinougenerátorů 

Poznámka.Jakužnapovídánázev,tatokapitolapojednáváoobecnějšísituacinežkapitolapředchozí.Jetedyotázka,pročjsemvlastněpředchozíkapitolu 

dotextuzařadil.Mohljsemihnedzačítstoutokapitolouavýsledkypředchozíkapitolyzískatjakodůsledkyvýsledkůkapitolytéto.Opravdubytotakbylomožné 

udělat.Důvodemprotentopostupbylavšaksnahaoconejvětšímožnousrozumitelnost.Protožebudemenynípracovatslibovolnou(tedyinespočetnou)množinou 

generátorů,budemepotřebovatzobecnitdefinicitermu:budemenynídefinovat 

termytypuΩnadmnožinou,přičemžpřipustíme,žetermemjelibovolnýprvek 

množiny. 

Definice. NechťΩjetyp,množina.TermemtypuΩnadmnožinou 

nazvemeprávětakovývýraz,kterýlzezkonstruovatkonečněmnohaaplikacemi 

následujícíchpravidel: 

¯ProlibovolnýprvekÜ¾jeÜtermtypuΩnadmnožinou. 

¯Prolibovolnýnulárníoperačnísymbol¾ΩjetermtypuΩnadmnožinou 

. 

¯ProlibovolnépřirozenéčísloÒ,libovolnýÒ-árníoperačnísymbol¾Ωa 

libovolnétermyØ1,,ØÒtypuΩnadmnožinoujevýraz(Ø1ØÒ) 

termtypuΩnadmnožinou. 

MnožinuvšechtermůtypuΩnadmnožinoubudemeznačit(Ω). 

30

Poznámka.TermytypuΩ,kteréjsmeužívalidosud,jsoutedytermytypu 

ΩnadmnožinouÜ1Ü2. 

Definice.NechťΩjetyp,množina.Namnožině(Ω)definujemevolnou 

algebrutypuΩgenerovanoumnožinounásledujícímzpůsobem.ProlibovolnýÒárníoperačnísymbol¾ΩdefinujemeÒ-árníoperaci(Ω)naΩ-algebře(Ω) 

příslušnouoperačnímusymbolutakto:prolibovolnétermyØ1,,ØÒ¾(Ω) 

je(Ω)(Ø1ØÒ)=(Ø1ØÒ). 

Poznámka.OprávněnostnázvuΩ-algebry(Ω)prokážívěty8.1a8.2. 

Důkaz.Definujmezobrazení³:(Ω)indukcívzhledemkdefinici 

termunadmnožinou. 

¯ProlibovolnýprvekÜ¾klademe³(Ü)=(Ü). 

¯Abyzobrazení³:(Ω)mohlobýthomomorfismusΩ-algeber,jetřeba 

prolibovolnýnulárníoperačnísymbol¾Ωpoložit³()=. 

¯ProlibovolnépřirozenéčísloÒuvažmenynítermØ=(Ø1ØÒ)typuΩnad 

=(³(Ø1)³(ØÒ)) 

množinou,kterývzniklzÒ-árníhooperačníhosymbolu¾ΩatermůØ1, 

,ØÒtypuΩnadmnožinou.Abyzobrazení³:(Ω)mohlobýt 

homomorfismusΩ-algeber,jetřeba,aby 

³(Ø)=³((Ø1ØÒ))=³((Ω)(Ø1ØÒ))= 

Klademeproto³(Ø)=(³(Ø1)³(ØÒ)). 

Jezřejmé,žeproprávězkonstruovanézobrazení³platí³(Ü)=(Ü)pro 

všechnyprvkyÜ¾,ažejetojedinézobrazenístoutovlastností,kteréby 

mohlobýthomomorfismusΩ-algeber.Nadruhoustranulzesnadnodokázat,že 

³skutečněhomomorfismemΩ-algeberje.Uvědomtesi,žetojsmezajistiliprávě 

definicemivedruhématřetímboduindukce. 

Příklady.Ω-algebru(Ω)zkapitoly7dostanemevpředchozídefinicipro 

množinu=Ü1Ü2,prolibovolnénezápornéceléčísloÖdostanemeΩalgebruÖ(Ω)zkapitoly7vpředchozídefinicipromnožinu=Ü1ÜÖ. 

Věta8.1.NechťΩjetyp,množina.Uvažmepodalgebrugenerovanou 

valgebře(Ω)množinou.Pakplatí=(Ω). 

Důkaz.Tatovětasedokážestejnějakověta7.1. 

libovolnézobrazení.PakexistujejedinýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω) 

Věta8.2.NechťΩjetyp,množina.NechťjeΩ-algebra,: 

splňujícípodmínku³(Ü)=(Ü)provšechnyprvkyÜ¾. 

Poznámka.ProtoženašímcílemjedůkazBirkhoffovyvěty,nebudemekongruenciÎnaΩ-algebře(Ω)definovatpouzeprovarietuÎtypuΩ,alezdánlivě 

obecněji:prolibovolnoutzv.uzavřenoutříduΩ-algeberdlenásledujícídefinice. 

Slovozdánlivějevpředchozívětěuvedenoproto,žedleBirkhoffovyvětystejně 

nicobecnějšíhonakonecnedostaneme,ukážesetotiž,žekaždáuzavřenátřídaΩalgeberjevarietouΩ-algeber. 

Definice.NechťÎjetřídaΩ-algeber.OtříděÎřekneme,žejeuzavřená, 

právěkdyžsplňujenásledujícítřipodmínkyzBirkhoffovyvěty: 

¯Îjeuzavřenánapodalgebryalgeber; 

31

¯Îjeuzavřenánaobrazyalgebervhomomorfismech; 

¯Îjeuzavřenánalibovolnésoučinyalgeber. 

Poznámka.Snadnojevidět,žezedruhépodmínkyplyne,žeuzavřenátřída 

Ω-algeberskaždouΩ-algebrouobsahujeivšechnyΩ-algebryizomorfnís. 

Definice.NechťΩjetyp,množina.ProlibovolnouuzavřenoutříduΩalgeberÎdefinujemerelaciÎnaΩ-algebře(Ω)takto:prolibovolnéØ1Ø2¾ 

(Ω)klademeØ1ÎØ2právětehdy,kdyžprokaždoukongruencinaΩ-algebře 

(Ω)takovou,že(Ω)patřídotřídyÎ,platíØ1Ø2. 

Poznámka. Ekvivalentnělzeříci,žeÎjeprůnikemvšechkongruencí 

naΩ-algebře(Ω)takových,že(Ω)patřídotřídyÎ.Uvědomtesi,že 

skutečněmůžemeotomtoprůnikumluvit:všechnyrelacenadanémnožinětvoří 

množinu(tedynevlastnítřídu),prototvořímnožinuivšechnykongruencenadané 

Ω-algebře.OznačmeÃmnožinuvšechtěchkongruencínaΩ-algebře(Ω),pro 

kteréfaktoralgebra(Ω)patřídotřídyÎ.LibovolnáuzavřenátřídaΩ-algeber 

musíobsahovatkartézskýsoučinprázdnémnožinyΩ-algeber,cožjejednoprvková 

algebra(vizpoznámkuzadefinicísoučinulibovolnéhopočtuΩ-algeber).Proto 

zuzavřenostinahomomorfníobrazydostáváme,želibovolnáuzavřenátřídaΩalgeberobsahujevšechnyjednoprvkovéΩ-algebry.Odtudplyne,žemnožinaÃje 

neprázdná,neboťobsahujekongruenci(Ω)¢(Ω),vnížjsoulibovolnédva 

prvkyekvivalentní,atedypříslušnáfaktoralgebrajejednoprvková. 

Poznámka. Ukážeme,žeprávěprovedenádefinicerelaceÎjevpřípadě 

=Ü1Ü2ekvivalentní(ikdyžtotakmožnánaprvnípohlednevypadá) 

sdefinicíkongruenceÎnaΩ-algebře(Ω)uvedenouvkapitole7.TamjsmekongruenciÎdefinovalipodmínkou:prolibovolnétermyØ1Ø2¾(Ω)jeØ1ÎØ2 

právětehdy,kdyžlibovolnáΩ-algebraztřídyÎ(vsedmékapitolejíbylavarietaÎ)splňujerovnostØ1 

=Ø2.Tatopodmínkadledefiniceznamená(jestliže 

termyØ1,Ø2jsou-ární),žeprolibovolnouΩ-algebruzvarietyÎalibovolné 

prvky1¾platí(Ø1)(1)=(Ø2)(1).Podlevěty7.3 

jeposlední podmínkaekvivalentnísnásledující podmínkou:pro libovolnouΩalgebruzvarietyÎalibovolnýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω)platí 

³(Ø1)=³(Ø2).ProtožeprokaždýhomomorfismusΩ-algeber³je³((Ω))podalgebrouΩ-algebryaprotožetřídaÎjeuzavřenánapodalgebry,stačísevposlední 

podmínceomezitjennasurjektivníhomomorfismy.Navíc,označíme-lijádrohomomorfismu³,platí³(Ø1)=³(Ø2)právětehdy,kdyžØ1Ø2.Vpřípadě,kdyje 

homomorfismus³surjektivní,jepodledůsledkuvěty4.5Ω-algebraizomorfní 

sfaktoralgebrou(Ω),aztoho,žepatřídotřídyÎ,plyne,žetéž(Ω) 

patřídotřídyÎ.Dostalijsmetedy:prolibovolnétermyØ1Ø2¾(Ω)jeØ1ÎØ2 

právětehdy,kdyžprolibovolnoukongruencinaΩ-algebře(Ω)takovou,že 

faktoralgebra(Ω)patřídotřídyÎ,platíØ1Ø2.Tojealeprávěpředchozí 

definice. 

Věta8.3.NechťΩjetyp,množina.NechťÎjeuzavřenátřídaΩ-algeber. 

Pakplatí: 

¯RelaceÎjekongruencínaΩ-algebře(Ω). 

¯Faktorováalgebra(Î)=(Ω)ÎΩ-algebry(Ω)podlekongruence 

ÎpatřídotřídyÎ. 

Důkaz.Víme,žeÎjeprůnikemneprázdnémnožinyÃvšechkongruencí 

32

naΩ-algebře(Ω)takových,že(Ω)patřídoÎ.Prvnítvrzenítedyplynez 

prvníhotvrzenívěty4.4.Podledruhéhotvrzenívěty4.4existujehomomorfismus 

Ω-algeber³:(Ω)É¾Ã(Ω),jehožjádremjeprůnikvšechkongruencí 

¾Ã,tedykongruenceÎ.Podledůsledkuvěty4.5je(Î)=(Ω)Î 

izomorfníspodalgebrou³((Ω))Ω-algebryÉ¾Ã(Ω).TentosoučinΩalgeberzuzavřenétřídyÎpatřídoÎaopětzuzavřenostiÎplyne,žetakéjeho 

podalgebra³((Ω))patřídoÎ,atedydoÎpatříistoutoΩ-algebrouizomorfní 

Ω-algebra(Î),cožsemělodokázat. 

Definice.NechťΩjetyp,množina,ÎjeuzavřenátřídaΩ-algeber.Faktorováalgebra(Î)=(Ω)Îzvěty8.3senazývávolnáalgebratřídyÎ 

generovanámnožinou.Nechť:(Î)jezobrazeníurčenépodmínkou 

(Ü)=(Ü)provšechnyprvkyÜ¾,kde:(Ω)(Î)jeprojekce 

nafaktorovoualgebru.Pakzobrazenísenazývávnořenígenerátorůdovolné 

algebry(Î). 

Poznámka.PokudtřídaÎobsahujenějakouΩ-algebru,kteráneníjednoprvkováneboprázdná,lzesnadnoodvoditznásledujícívěty8.4,žezobrazeníje 

injektivní. 

Poznámka.Nyníukážeme,žeΩ-algebra(Î)zpředchozídefiniceskutečně 

splňujecharakterizačnípodmínkuvolnéalgebry. 

Věta8.4.NechťΩjetyp,množina.NechťÎjeuzavřenátřídaΩ-algeber, 

(Î)=(Ω)ÎvolnáalgebratřídyÎgenerovanámnožinou,: 

(Î)vnořenígenerátorůdovolnéalgebry(Î).NechťjelibovolnáΩ-algebra 

ztřídyÎa:libovolnézobrazení.Pakexistujejedinýhomomorfismus 

Ω-algeber:(Î)splňujícípodmínkuÆ=. 

Důkaz.Dokažmenejprveexistencihomomorfismu.Nechť:(Ω) 

(Î)jeprojekcenafaktorovoualgebru.Podlevěty8.2existujejedinýhomomorfismusΩ-algeber³:(Ω)splňujícípodmínku³(Ü)=(Ü)provšechny 

prvkyÜ¾.Protože³((Ω))jepodalgebraΩ-algebrypatřícídoÎ,zuzavřenostiÎplyne,žedoÎpatří³((Ω)).Označmejádrohomomorfismu³. 

Podledůsledkuvěty4.5je³((Ω))izomorfnís(Ω).Proto(Ω)patří 

doÎ,atedyjejednaztěchkongruencí,jejichžprůnikemjeÎ.JeprotokongruenceÎmenšíneborovnakongruenci.Protožejejádrohomomorfismu 

³:(Ω),(Î)=(Ω)Îa:(Ω)(Î)jeprojekcena 

faktorovoualgebru,podlevěty4.5existujejedinýhomomorfismusΩ-algeber ˜³: 

(Î)svlastností˜³Æ=³.Protožepak˜³((Ü))=˜³((Ü))=³(Ü)=(Ü) 

provšechnyprvkyÜ¾,platí ˜³Æ=,atedyje=˜³hledanýhomomorfismus.Dokažmenyní,žehomomorfismusjepodmínkouvětyurčenjednoznačně. 

NechťtedyhomomorfismusΩ-algeber¼:(Î)takésplňujepodmínku 

¼Æ=.Pak¼((Ü))=(Ü)provšechnyprvkyÜ¾a³¼=¼Æsplňuje 

podmínkuvěty8.2.Protožehomomorfismussplňujícítutopodmínkujejediný,dostáváme³¼=³.Tedy¼Æ=˜³Æ,zjednoznačnostizvěty4.5plyne¼=˜³=. 


Poznámka.Vnásledujícívětěukážeme,žepodmínkazpředchozívětyskutečněcharakterizujeΩ-algebru(Î),určujejitotižjednoznačněažnaizomorfismus. 

33

Věta8.5.NechťΩjetyp,množina.NechťÎjeuzavřenátřídaΩ-algeber, 

(Î)=(Ω)ÎvolnáalgebratřídyÎgenerovanámnožinou,: 

(Î)vnořenígenerátorůdovolnéalgebry(Î).NechťalgebraÍztřídyÎa 

zobrazení:Ísplňujínásledujícípodmínku:prolibovolnouΩ-algebru 

ztřídyÎalibovolnézobrazení:existujejedinýhomomorfismusΩalgeber:ÍsplňujícípodmínkuÆ=.Pakplatí:existujeizomorfismus 

Ω-algeber:Í(Î)takový,žeÆ=. 

Důkaz.ProtožeΩ-algebraÍsplňujepodmínkuvěty,proΩ-algebru(Î) 

azobrazení:(Î)existujehomomorfismusΩ-algeber:Í(Î) 

splňujícíÆ=.Jenjetřebaukázat,žejeizomorfismus.Naopak,podle 

věty8.4proΩ-algebruÍazobrazení:ÍexistujehomomorfismusΩalgeber:(Î)ÍsplňujícípodmínkuÆ=.Pakhomomorfismus 

Æ:(Î)(Î)splňujeÆÆ=Æ=.Rovněžidentitana 

(Î),tj.zobrazení(Î):(Î)(Î)splňující(Î)()=prokaždé 

¾(Î),jehomomorfismem,prokterýplatí(Î)Æ=.Protožedlevěty 

8.4(proΩ-algebru(Î)azobrazení:(Î))jetakovýhomomorfismus 

určenjednoznačně,platíÆ=(Î).Zcelaanalogickysedokáže,žeÆje 

identitanaÍ.Toaleznamená,žejeinverznízobrazeník,atedyjebijekce, 

cožjsmechtělidokázat. 

Poznámka. NyníjsmejižschopnidokázatBirkhoffovuvětu,kteroujsme 

uvedlijižjednoujakovětu6.6,alenedokončilijsmedůkazjednéimplikace. 

Věta8.6.(Birkhoff)NechťΩjetyp.TřídaΩ-algeberjevarieta,právěkdyž 

splňujevšechnytřinásledujícípodmínky: 

¯jeuzavřenánapodalgebryalgeber; 

¯jeuzavřenánaobrazyalgebervhomomorfismech; 

¯jeuzavřenánalibovolnésoučinyalgeber. 

Důkaz.Jednaimplikacebylajiždokázánavkapitole6.NechťÎjelibovolná 

uzavřenátřídaΩ-algeber.Ukážeme,žeÎjevarieta.OznačmeÌmnožinuvšech 

rovnostítypuΩ,kteréplatívevšechΩ-algebráchztřídyÎ.OznačmeÏvarietu 

Ω-algeberurčenouteoriíÌ.Jetřebadokázat,žeÎ=Ï.ZdefiniceÌjejasné,že 

platíinkluzeÎÏ.Ukážemenyní,žetakéÏÎ.ZvolmelibovolněΩ-algebru 

¾Ï.Větabudedokázána,ukážeme-li,že¾Î. 

Uvažmevolnoualgebru(Ï)=(Ω)ÏtřídyÏgenerovanoumnožinou, 

přičemž zavolímenosnou množinu Ω-algebry. Podlevěty 8.4, 

v níž za zobrazení:volíme identitu, existuje homomorfismus Ω- 

algeber³:(Ï)splňující podmínku³(Ü) =(Ü) =Üprovšechny 

prvkyÜ¾.Protože=,jezjevně³surjektivní.Mámetéžvolnoualgebru(Î)=(Ω)ÎtřídyÎgenerovanoustejnoumnožinou.Označme 

ÃÎ(resp.ÃÏ)množinuvšechkongruencínaΩ-algebře(Ω)takových,že 

(Ω)patřídotřídyÎ(resp.Ï).ZinkluzeÎÏplyneinkluzeÃÎÃÏ. 

ProtožeÎjeprůnikemvšechkongruencízmnožinyÃÎaÏjeprůnikemvšech 

kongruencízmnožinyÃÏ,plyneodtud,žeÏÎ.Budemehotovi,ukážeme-li 

takéopačnouinkluziÎÏ.PaktotižbudouoběkongruenceÏaÎstejné, 

aproto(Ï)=(Ω)Ï=(Ω)Î=(Î)budepatřitdotřídyÎ.Z 

uzavřenostitřídyÎpakdoÎbudepatřitihomomorfníobraz³((Ï))=, 

cožprávěpotřebujemedokázat. 

34

ZaměřmesetedynadůkazinkluzeÎÏ.NechťØ1Ø2¾(Ω)jsou 

libovolnétermytakové,žeØ1ÎØ2.Proprojekcinafaktoralgebru:(Ω) 

(Î)tedyplatí(Ø1) =(Ø2).Podledefinicetermunadmnožinoujepři 

tvorběkaždéhotermupoužitojenkonečněmnohoprvkůmnožiny.Označmesi 

Ü1ÜÒtyprvkymnožiny,kterébylypoužitypřitvorbětermůØ1aØ2;jsou 

tedyØ1aØ2přitomtooznačeníÒ-árnímitermytypuΩ,tj.Ø1Ø2¾Ò(Ω). 

Dokažmenejprve,žerovnostØ1=Ø2patřídoteorieÌ,tj.žeplatívevšech 

Ω-algebrách z třídyÎ. Zvolme libovolně Ω-algebruztřídyÎa její prvky 

1Ò¾aukažme,že(Ø1)(1Ò)=(Ø2)(1Ò).Uvažmezobrazení:takové,žeprokaždéÑ=1Òplatí(ÜÑ)=Ñapro 

všechnyostatníprvkyÜ¾různéodÜ1ÜÒdodefinujme(Ü)=1(vespeciálnímpřípaděÒ=0všechnyprvkymnožinyzobrazímenanějakýlibovolně 

zvolenýprvekzΩ-algebry).Označme:(Î)vnořenígenerátorůdo 

volnéalgebry(Î)třídyÎ.Podledefinicejetedy(Ü)=(Ü)provšechny 

prvkyÜ¾.Podlevěty8.4existujehomomorfismusΩ-algeber³:(Î) 

splňujícípodmínku³Æ=.Označme=³Æ,jetedy:(Ω)homomorfismus,přičemžprovšechnyprvkyÜ¾platí(Ü)=³((Ü))=³((Ü))= 

(Ü).OvšemÒ(Ω)jepodalgebraΩ-algebry(Ω),protomůžemeuvážithomomorfismus¼:Ò(Ω),kterýjezúženímhomomorfismu.Prokaždé 

Ñ=1Òplatí¼(ÜÑ)=(ÜÑ)=(ÜÑ)=Ñ.Zvěty7.4plyne,žehomomorfizmusvycházejícízvolnéalgebryÒ(Ω)jejednoznačněurčensvýmiobrazy 

=(Ø2)=¼(Ø2)=(Ø2)(1Ò) 

nagenerátorechÜ1ÜÒ,podlevěty7.4tedyprolibovolnýtermØ¾Ò(Ω)je 

¼(Ø)=Ø(1Ò).Připomeňme,že(Ø1)=(Ø2);celkemtedyplatí 

(Ø1)(1Ò)=¼(Ø1)=(Ø1)=³((Ø1))=³((Ø2))= 

atedyrovnostØ1=Ø2patřídoteorieÌ. 

Nechť:(Ω)(Ï)jeprojekcenafaktoralgebrua¼:Ò(Ω) 

(Ï)jejízúžení napodalgebruÒ(Ω).Podlevěty7.4jehomomorfismus¼ 

jednoznačněurčensvýmiobrazynagenerátorechaprokaždýtermØ¾Ò(Ω)tedy 

platí¼(Ø)=Ø(Ï)(¼(Ü1)¼(ÜÒ)).Ovšem(Ï)jeΩ-algebrazvarietyÏ 

=(Ø2)(Ï)(¼(Ü1)¼(ÜÒ))=¼(Ø2)=(Ø2) 

určenéteoriíÌ,rovnostØ1=Ø2,okteréjsmedokázali,žedoteorieÌpatří,tedy 

platíiv(Ï),odkudplyne 

(Ø1)=¼(Ø1)=(Ø1)(Ï)(¼(Ü1)¼(ÜÒ))= 

Toznamená,žeØ1ÏØ2,cožjsmeprávěpotřebovalidokázat. 

Poznámka.Vprůběhudůkazuvěty8.6jsmeodvodilidalšívlastnostvolné 

algebry,kterástojízazmínku.Všimnětesi,žeprokaždouvarietuÎtypuΩplatí: 

libovolnárovnosttypuΩplatívevolnéalgebře(Î)varietyÎprávětehdy,když 

tatorovnostplatívkaždéΩ-algebřevarietyÎ. 

35

Algebra

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?