87_knyha-1-131

Î.². Ãëîá³í, Î.². Áóêîâñüêà,
Ä.Â. Âàñèëüºâà, ².À. ѳëüâåñòðîâà
Підручник для 9 класу
загальноосвітніх навчальних закладів

Шановні учні!
Цей підручник допоможе вам опанувати курс алгебри у 9 класі. У кожному
параграфі є теоретичний і задачний матеріал.
Підготовку до кожного уроку розпочніть з прочитання теоретичного
матеріалу і вивчення основного з нього. Жирним шрифтом виділено означення
та важливі математичні твердження. Їх треба пам’ятати і вміти застосовувати.
Зверніть увагу на велику кількість зразків виконання вправ.
Схожі завдання траплятимуться і в задачному матеріалі. Щоб перевірити
себе, дайте відповіді на запитання рубрики «Узагальнюйте міркуючи» ( )
і лише після цього розпочніть виконання домашнього завдання, номери
вправ до якого виділено червоним кольором. Кожний з вас знайде
посильні для себе завдання, оскільки підручник містить вправи трьох
рівнів складності.
Якщо ви хочете дізнатися факти, про які, можливо, раніше не
здогадувались, і побачити, як математика допомагає нам у житті,
розв’яжіть задачі з рубрики «Світ навколо нас» ( ). Матеріал з рубрики
«Дізнайтеся більше» розширить ваші знання з алгебри.
А щоб розвивати своє логічне мислення, нестандартний хід думок
та проявляти творчість, ми пропонуємо вам задачі з рубрики
«Мисліть творчо, логічно, системно» ( ).
У рубриці «Математика без кордонів» ( ) умову задач подано англійською
мовою. Перекладіть їх на українську, а потім розв’яжіть. І на
уроках математики можна покращувати свої знання з англійської мови!
Щоб підготуватися до контрольної роботи, розв’яжіть напередодні
«Орієнтовні завдання для тематичної контрольної роботи». А пригадати
матеріал, вивчений раніше, допоможуть «Тестові завдання на повторення».
Шановні вчителі!
Перед вами підручник з алгебри, що відповідає новій навчальній програмі
для загальноосвітніх навчальних закладів, зміст якого спрямовано
на розвиток мислення, його критичності та логічності.
У підручнику до багатьох задач запропоновано альтернативні способи
розв’язання. Це сприяє розвитку в учнів креативності мислення та прагнення
пошуку раціональних шляхів розв’язування завдань.
Навчальні тексти і система задач сприятимуть формуванню в учнів
ключових та математичної компетентностей. Одне з основних завдань
підручника – формування предметних компетентностей, сутнісний опис
яких подається у вимогах державного стандарту і навчальній програмі з
математики. Підручник також орієнтовано на вироблення ключових компетентностей,
зокрема загальнонавчальної (уміє вчитися), комунікативної
(правильно формулює і висловлює судження, аргументовано дискутує),
загальнокультурної (логічно міркує, цілеспрямований, має розвинені увагу,
пам’ять, інтуїцію, критичне і творче мислення).
3

4
Підручник включає завдання трьох рівнів складності, що дозволить
кожному учню підвищувати свою математичну компетентність, а вчителям
допоможе розвивати та активізувати пізнавальні можливості школярів.
До кожного розділу пропонуються завдання для тематичного оцінювання
та на повторення. Такий підхід дає змогу вчителю звернути увагу
учнів на цілісність курсу математики. Розширенню загальної ерудиції
восьмикласників сприятиме ознайомлення з історичними фактами та висловлюваннями
відомих учених-математиків.
Допоможе у роботі вчителя й рубрика «Мисліть творчо, логічно, системно»,
вправи якої дають змогу врахувати індивідуальні можливісті засвоєння
навчального матеріалу учнями та дозволяють підготувати майбутніх
учасників математичних олімпіад.
Зверніть увагу учнів на рубрику «Математика без кордонів». Завдання
із цієї рубрики дають змогу покращити знання англійської мови – мови
міжнародного спілкування. Пропонуючи завдання з рубрики «Світ навколо
нас», ви зможете ознайомити учнів з відомостями українознавчого
характеру.
Шановні батьки!
Ваші діти – учні 9 класу – це підлітки, з якими часто буває непросто.
Ви маєте допомогти своїй дитині стати дорослою людиною, навчити її
наполегливо вчитися і протистояти труднощам. Уміння вирішувати проблеми
допомагає підлітку сформуватися як особистості.
У ваших руках підручник, у якому відтворено вимоги сучасної освіти:
наявність прикладного й українознавчого задачного матеріалу, завдань до
тематичного контролю, за допомогою яких діти самостійно можуть підготуватися
до контрольної роботи і оцінити рівень своїх знань. У підручнику
є англомовний супровід термінології та задачі, умови яких подано
англійською мовою, що дозволить вашим дітям покращувати знання з
іноземної мови навіть на уроках математики. Теоретичний матеріал подано
у двох напрямках: здобуття математичної освіти та здобуття освіти за
допомогою математики. Ви разом з дитиною можете обрати шлях, яким
рухатиметеся за цим підручником.
Подумайте, чим буде займатися ваша дитина в години, вільні від навчання
й виконання домашніх завдань. Підліток повинен знати: часу на
неробство й нудьгу в нього немає. Підручник містить багато додаткового
матеріалу, тож ви легко зможете організувати за його допомогою роботу
дитини вдома.
Підтримуйте впевненість дітей у собі, у власних силах, у тому, що
навіть за певних недоліків (які є в кожного) у них є свої незаперечні
чесноти. Намагайтеся сформувати в дитини позицію впевненості: «Усе залежить
від мене. Причина невдач та успіхів у мені. Я можу домогтися
багато чого й усе змінити на краще, якщо зміню себе».
Автори

5
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ
НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ
ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Якщо люди відмовляються вірити в
простоту математики, то це тільки
тому, що вони не розуміють всю складність
життя
Джон фон Нейман
Джон фон Нейман (1903 — 1957) —
американський математик угорського походження,
який зробив значний внесок у
розвиток багатьох галузей математики та
інших наук, а також у справу створення
перших електронних обчислювальних машин
і розробку методів їх застосування.
У цьому розділі ви пригадаєте про:
— властивості степеня з цілим показником;
— ірраціональні числа і дійсні числа;
— арифметичний квадратний корінь та його властивості;
k
— графіки та властивості функцій y = , y = x 2 та y= x ;
x
— квадратні рівняння та способи їх розв’язування;
— теорему Вієта та її застосування;
— квадратний тричлен і способи його розкладання на лінійні множники.
Степінь
Українською
Арифметичний квадратний
корінь
Основні поняття розділу
International
(English)
power
principal square root
Математичною
6 3 , (–2) 0 ,
5 , x − 3
⎛2⎞
⎜
⎝
⎟
3⎠
Обернена пропорційність inverse proportionality
k
y = x
Квадратне рівняння quadratic equation ax 2 + bx + c = 0,
a ≠ 0
Квадратична функція quadratic function y = x 2
−5

6
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§1. Степінь із цілим показником.
k
Функція y = x
Ключові слова
степінь, основа степеня, показник
степеня
степінь із цілим показником
функція, графік функції
обернена пропорційність, гіпербола
Keywords
power, base, exponent
power with the integer exponent
function, graph of the function
inverse proportionality, hyperbola
Степінь із цілим показником
До цілих належать три види чисел: натуральні числа (їx називають
цілими додатними числами), їм протилежні (цілі від’ємні числа)
і число нуль. Тому для того, щоб дати означення степеня з цілим
показником розглядають три випадки.
1. Степінь із натуральним показником
Степенем числа а з натуральним показником n, більшим за 1, називають
добуток n множників, кожний з яких дорівнює а, і позначають
а n . Тобто, якщо n > 1, то а n = а · a · … · a (n множників).
Якщо n = 1, то а 1 = а.
Число а називають основою степеня, число n — показником степеня.
Знаходження степеня числа а називають піднесенням числа а до
степеня.
Приклад 1.
1) 1,2 1 = 1,2;
2) (–3) 3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27;
3) 0 4 = 0 · 0 · 0 · 0 = 0;
4) 1 5 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1;
5) (–1) 5 = (–1) · (–1) · (–1) · (–1) · (–1) = –1.
Зверніть увагу!
Якщо п — натуральне число, то 0 n = 0, 1 n = 1.
Якщо п — парне число, то (–1) n = 1.
Якщо п — непарне число, то (–1) n = –1.

2. Степінь із нульовим показником
Степінь будь-якого числа а, відмінного від 0, з нульовим показником
дорівнює 1. Тобто, якщо a ≠ 0, то a 0 = 1.
7
Приклад 2.
1) 4 0 = 1; 2) (–1,25) 0 = 1; 3)
⎛2⎞
⎜
⎝
⎟
5⎠
0
= 1 ; 4) –32,7 0 = –1.
3. Степінь із цілим від’ємним показником
Степінь будь-якого числа а, відмінного від 0, з показником (–n), де
n — натуральне число, дорівнює 1 .
n
a
Тобто, якщо a ≠ 0 і n – натуральне число, то а –n =
Зверніть увагу!
−n
⎛a⎞ ⎛b⎞
⎜ =
⎝
⎟ ⎜ ⎟
b⎠ ⎝a⎠
n
.
1 .
n
a
Приклад 3.
1) 4 –1 = 1 4 ; 3) (–3)–3 =
2)
−1
⎛3⎞
8 2
⎜ ⎟ = = 2 ; 4) (–1,25) –2 =
⎝8⎠
3 3
3 3
⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞
1
⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = − ;
⎝−3⎠ ⎝3⎠
27
−2 2 2
⎛ 5⎞ ⎛ 4⎞ ⎛4⎞
16
⎜− ⎟ = ⎜− ⎟ = ⎜ ⎟ = .
⎝ 4⎠ ⎝ 5⎠ ⎝5⎠
25
Зверніть увагу!
Вирази 0 0 і 0 –n , п — натуральне число, не мають
змісту.
Приклад 4. При яких значеннях змінної має зміст вираз:
1) (x – 2) 0 ; 2) (x 2 – 4) –7 ?
Розв’язання
1) Оскільки, за означенням степеня з нульовим показником, основа
степеня має бути відмінною від нуля, то заданий вираз має зміст,
якщо x – 2 ≠ 0, тобто при х ≠ 2.
2) Оскільки, за означенням степеня з цілим від’ємним показником,
основа степеня має бути відмінною від нуля, то заданий вираз
має зміст, якщо x 2 – 4 ≠ 0, тобто коли (x – 2)(x + 2) ≠ 0, отже, при
x ≠ 2 і x ≠ –2.
Відповідь: 1) при х ≠ 2; 2) при x ≠ 2 і x ≠ –2.

8
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Основні властивості степеня із цілим показником
1) a m · a n = a m + n ;
2) a m : a n = a m – n , a ≠ 0;
3) (a n ) m = a n · m ;
4) (ab) n = a n b n ;
5)
⎛a⎞
⎜
⎝
⎟
b⎠
n
a
=
b
n
n
, b ≠ 0.
Приклад 5.
1) 5 –12 · 5 10 = 5 –12 + 10 = 5 –2 1
=
25 ;
2) (–4) –4 : (–4) –10 = (–4) –4 –(–10) = (–4) 6 = 256;
3) (–(–0,5) –2 ) 3 3
−6
3 −2 −6 ⎛ 1⎞
6
= ( −1) ⋅( ( − 0,5)
) =−− ( 0,5) =−⎜− =−− ( 2)
=−64;
⎝
⎟
2⎠
4)
−2 2
⎛ 3⎞ ⎛ 7 ⎞
⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ = 0,49; 5) –3 2 · (–3) –2 =
⎝ 7⎠ ⎝10⎠
Приклад 6. Обчисліть значення виразу
Розв’язання
2
(( ) )
( )
2
⎛ 1⎞
1
−9⋅⎜− = −9⋅ = −1.
⎝
⎟
3⎠
9
−3 5 2
2 ⋅3 ⋅36
3 −2
427 ⋅ ⋅6
2
−3 5
−3 5 2 −3 5 4 4 9
2 ⋅3 ⋅36 2 ⋅3 ⋅ 2⋅3
2 ⋅3 ⋅2 ⋅3 2⋅3
2
= = = = 23 ⋅ = 29 ⋅ = 18.
3 −2 2 3 3 −2 2 9 −2 −2 7
427 ⋅ ⋅6 2 ⋅(3 ) ⋅ 2⋅3
2 ⋅3 ⋅2 ⋅3 3
Відповідь: 18.
2 −1
−
Приклад 7. Розв’яжіть рівняння ( − x + ) = −( )
Розв’язання
.
1 −1
5 0,2 1:0,025 .
−
−
Перетворимо праву частину рівняння: ( x ) 1
−
2 −1 ( ) 1 −1
− 5x
+ 0,2 = − 40 , тоді
2 1
2
2
− 5x
= − 45;
x = 9 , звідки x =± 3.
Відповідь: ± 3.
2 1 −1
− 5 + 0,2 = − 40 . Отже,
1 1 , 5 2
= − х + 5 = − 40;
−
− 5x
+ 0,2 −40
k
Функція y = , її графік і властивості
x
k
Функцію вигляду y = , де k – число, k ≠ 0, називають оберненою
x
пропорційністю.

9
Графік оберненої пропорційності називають гіперболою.
k
Властивості функції y= , де k≠0
x
Графік функції
у
у
k>0
k 0
x > 0
y < 0
x < 0
5. Монотонність спадає на кожному із
проміжків області визначення
6. Координатні чверті,
I i III
у якиx лежить графік
7. Симетрія графіка Відносно початку координат,
відносно
прямиx y=±
x
Усі дійсні числа крім
0
Усі дійсні числа крім
0
x = 0
y = 0
x < 0
x > 0
зростає на кожному
із проміжків області
визначення
II i IV
Відносно початку координат,
відносно
прямиx y=±
x
8−
2x
Приклад 7. 1) Побудуйте графік функції: y = .
x
3
− 4 x
Розв’язання
Областю визначення функції будуть всі значення аргументу х, що
задовольняють умову x 3 −4x≠ 0або x( x+ 2)( x−2) ≠ 0. А це є всі дійсні
2
1 Асимптотою графіка функції називають пряму, до якої графік як завгодно близько
наближається, але не перетинає її (таке означення в майбутньому буде уточнене).

10
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
числа, крім чисел 0, –2 і 2. Скоротимо
дріб, яким задано функцію:
2
( − х )
( )
2
8−
2x
24 2
= = − .
3 2
x − 4x −х 4 −х
х
2
Одержана функція у =− є
х
оберненою пропорційністю. Отже,
для того, щоб побудувати графік
заданої функції треба побудувати
2
графік функції у =− і «виколоти»
з нього точки з абсцисами
х
x=− 2 та x= 2, тобто точки з
координатами ( −2;1) та ( 2; − 1 ).
зобра-
8−
2x
Графік функції =
4
жено на малюнку 1.1
2
y
x
3
− x
Мал. 1.1
2) Побудуйте графік функції:
⎧ 6
⎪ − , якщо x ≤2,
y = ⎨ x
⎪
⎩1 − 2 x, якщо x>
2;
Розв’язання
Областю визначення функції є
всі дійсні числа, крім числа 0.
Для того, щоб побудувати графік
заданої функції, треба побудувати
графіки двох функцій, кожна з
яких визначається на заданому
Мал. 1.2
проміжку, а саме: проводимо уявну
пряму через точку (2;0) паралельно до осі ординат. Ліворуч від неї,
6
тобто при х≤2 будуємо графік оберненої пропорційності y =− , а праворуч,
при х>2 відповідно графік лінійної функції y= 1− 2 х.
Графік
x
заданої функції зображено на малюнку 1.2.

11
УЗАГАЛЬНЮЙТЕ МІРКУЮЧИ
1. Поясніть, як від степеня з додатним показником перейти до степеня
з від’ємним показником.
2. Назвіть властивості оберненої пропорційності. Обґрунтуйте симетричність
графіка оберненої пропорційності відносно прямих у = х
та у = –х.
3. Цілим чи дробовим, додатним чи від’ємним числом є значення
виразу:
−2 −3
3 0 −5
−4 − ⎛1⎞ ⎛ 1⎞
1) −3 ; 2) ( −0,25 ) ; 3) −⎜ ; 4) ( −103,2 ) ; 5) ( −π)
; 6) 1 − .
⎝
⎟ ⎜ ⎟
5⎠ ⎝ 2⎠
РОЗВ’ЯЖІТЬ САМОСТІЙНО
РІВЕНЬ (LEVEL) І
Завдання 4—13 мають по чотири варіанти відповіді (А—Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
−1
−
4. Обчисліть : ( 1 2 ) 1
− .
А 1 2
Б 2 В –2 Г −1
−5 −2
5. Спростіть вираз: 2 :( 2 ) 3
.
А 2 Б 1 2
В 1
Г
2 −10
1+ = − 2.
А –1,5 Б –3 В 1,5 Г 0,5
А A
6. Розв’яжіть рівняння: ( х) −1
7. Порівняйте вирази А та В , де ( ) 1 −1
A 2 , B 2
= B
Б порівняти не
можна
В A
1
8. Для яких значень змінної вираз ( 1) 0
−
= − = − .
> B
Г A<
B
x − + немає змісту?
А –1 Б 0 В 1 Г 0; –1
− 1 − 2 − 3
9. Розташуйте числа a= 0,3 ; b= 0,3 ; c= 0,3 у порядку спадання.
А c; a; b Б b; a; c В a; b; c Г c; b; a

12
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
А
4
0
7
0
−2
−
10. Виконайте дії ( ) ( )
1
1 4
Б 4 5
1,2 + 5:3 ⋅ 2 .
В 1 4
Г 3 4
11. Доберіть значення змінної, яке б задовольняло рівність
4 6
⋅ 2 = − 2 .
х − −
А –4 Б 4 В 1 Г – 1 4
4
12. Знайдіть значення аргументу, при якому значення функції
9
y =− дорівнює 6.
x
А 1,5 Б – 2 3
В –3 Г –1,5
13. В яких координатних чвертях лежить графік функції у =
А I, IV Б I, II В II, IV Г I, III
3
− ?
х
РІВЕНЬ (LEVEL) II
14. Обчисліть (Calculate):
1) –3 – 2 ; 3) 1 –2 · 3 –2 ; 5) (–5) 0 ; 7)
−1
2) (– 2) – 3 ⎛ 1⎞
; 4) ⎜2 ⎟ ; 6) (0,01) –2 ; 8)
⎝ 3 ⎠
⎛ 3⎞
⎜−
⎝
⎟
5⎠
−2
;
−3
⎛ 2⎞
⎜1 ⎟ .
⎝ 3 ⎠
15. Обчисліть (Calculate):
1) – 1 –123 ; 3) – 7 2 ; 5) (–0,5) –4 ; 7) (–3) –1 ; 9) –2p 0 ;
−3
0
−3
2) –2 –4 ⎛ 1⎞
⎛ 2 ⎞
; 4) ⎜−
⎝
⎟ ; 6) −
3⎠
⎜
⎝
⎟
13⎠ ; 8) ⎛ 2⎞
⎜−1 ⎟ ; 10) –1 –32 .
⎝ 3 ⎠
16. Порівняйте (Compare):
−86
−86
1) a =− 5 і b = ( − 5) ; 4)
−46
2) a = ( − 1,5) і
−5
3) a = 4 і
−47
b = ( − 1,3) ; 5)
−4
b = 5 ; 6)
−7
a = ( − 0,243) і
−10
a = (0,72) і
−78
a = 3 і
−9
b = ( − 0,243) ;
−11
b = (1,03) ;
117
b = 0,5 .
17. Спростіть вираз (Simlify the expression):
1) x –4 : x –5 ; 3) y 2016 · y –2016 ; 5) c –1 : c; 7) b 9 · b –14 : b –5 ;
2) x –8 : x 4 : x –12 ; 4) (c –5 ) 4 ; 6) (а 3 ) –10 ; 8) (–у –4 ) 5 .
18. Спростіть вираз (Simlify the expression):
1) a 3 · a –4 ; 3) y –4 : y 3 ; 5)
⎛ −6
( а )
⎝
−1
3
⎞
⎠
; 7) ( x
4 x −2
) 3
⋅ ;

13
2) x –7 · x 12 · x –6 ; 4) x 6 : x 11 ; 6) (–x –6 ) 3 4 −2
−
; 8) ( x : x ) 3
19. Виконайте дії і зведіть вираз до вигляду, що не містить степеня
з від’ємним показником:
1) (–1 –1 ) –4 ; 3) (–0,01 –3 ) –1 ; 5)
2) (2 –2 ) –3 ; 4)
−2 −2
⎛5⎞ ⎛5⎞
⎜ :
⎝
⎟ ⎜ ⎟
3⎠ ⎝2⎠
−3 −3
⎛ 1⎞ ⎛3⎞
⎜1 ⋅
⎝
⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠
; 7) ( 3,5)
− ⎛ ⎞
⋅ ⎜
⎝ ⎟
7⎠
6 2
; 6) (1,5) –3 : (0,5) –3 ; 8) (3 4 – 81) 0 .
20. Виконайте дії і зведіть вираз до вигляду, що не містить степеня
з від’ємним показником:
1) (5 –2 ) 2·5 3 ; 3) (5 –3 ) –4 : 5 10 ; 5) (2 –2 ) –7 : (2 –3 ) –5 ; 7) – 2 –4·(2 –2 ) –4 ;
2) (2 3 – 16) –4 ; 4)
− ⎛ ⎞
3 ⋅ ⎜
⎝ ⎟
3⎠
3 2
−4
21. Побудуйте графік функції
4
y =− . Використовуючи графік, зна-
x
йдіть:
1) y( − 2)
, y ( 0,5)
, y ( 4)
, ( 0)
y ;
; 6) (0,2) –4 · 5 –5 ; 8)
.
−7
−8 −6
⎛3⎞ ⎛ 1⎞
⎜ ⋅ 2
⎝
⎟ ⎜ ⎟
7⎠ ⎝ 3⎠
2) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 2; 4;
–8; –1;
3) значення аргументу, при яких значення функції є додатними;
22. Побудуйте графік функції
6
y = . Використовуючи графік, зна-
x
йдіть:
1) у(6), y( − 2)
, y( − 3)
, ( 0)
y ;
2) значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 1,5;
4; –2; –8;
3) значення аргументу, при яких значення функції є від’ємними.
РІВЕНЬ (LEVEL) III
;
.
23. Обчисліть (Calculate):
1)
−1
⎛ 1⎞
⎜1 + ( −2,3) −2
⎝
⎟
3⎠
⎛⎛
⎜⎜
⎝⎝
1⎞
⎟
3⎠
−2
0 −2
−1
2) − ⋅6 −( −9,7) ⋅( 0,5)
; 3)
⎞
⎟
⎠
0 −3
;
5
−
−3
( 3 ) ⋅( 3 )
( )
2 −4
−3
⎛ 1⎞
0,3 ⋅⎜3 ⎝
⎟ 3 ⎠
−4
.

14
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
24. Обчисліть (Calculate):
(
3 ) −
( 4
2 ⋅ 2 )
1)
10
−3
( 2 )
2)
4 −5
−1
⎛ 1⎞
⎜1 + ( −2,3) −3
⎝
⎟
5⎠
1
1
−
−
; 3)
⎛
− −1 −1
1−( 1− 2
⎞
) + ( 1 + (1+
2 ) )
0 −2
;
25. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1 1
1) 5x − 3 −
−1
−1
2x
+ 3
− = − ; 2) ( x − 5) = 0,25; 3)
−1
= 1;
3x
−5
26. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
( ) 1 1
x − −
− = −
1) 2 2 ;
− 1
= x 3)
2)9 x ;
⎝
1 1
x − −
1 −1
⎠
−
−
4) ( x ) 1
.
1 −2
4 + 2 = −2 .
1 1
x − −
(3 − 4) = 5 ; 4) (3 − 4) = 0,5 .
27. При яких значеннях змінної вираз немає змісту:
−
2
− ⋅ + ; 3) ( x 10x
25) 1
0 −
1) ( x 2) ( x 1) 1
2)
2 8
x −
( x 2 )
+ ; 4) ( 1 2) 0
+ + ; 5)
x + − ; 6)
−4
( x −2 − 1) ;
⎛x
− 3⎞
⎜
⎝
⎟
x + 1⎠
28. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the
expression):
1)
2 0
( x − 1) ; 2)
⎛ x −1⎞
⎜
⎝
⎟
x + 2⎠
−5
0
−
; 3) ( x 1 ( x 2) ) 2
+ − − ; 4)
0
?
3 0
( x + 4 x)
.
29. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
1−
x
1) y =
x
2
− ; 2) 2x
− 6
y = ; 3)
x x
2
− 3 x
=
x + 2
y
x
2 x x
( ) 0
+ 2 −1
; 4)
⎛ 1 ⎞
y= 2x− ⎜
⎝ ⎟
3x
− 2⎠
30. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function) :
1)
2⎛
х −1⎞
y = ⎜ х ⎝
⎟ х + 2⎠
2х
+ 4
2) y =
х
2
+ 2 х
0
2
⎛x
− 4⎞
; 3) y = 2 + ⎜ ;
2
⎝ x −1
⎟
⎠
4 y 1 2
=− + − х − 1 .
х
; 4) ( ) 0
31. Визначте графічно кількість розв’язків системи рівнянь:
⎧xy
=−2,
⎧xy
= 3,
1) ⎨ 2) ⎨
⎩x
+ y = 2;
⎩y
+ x = 0.
32. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:
⎧xy
= 4,
⎧xy
= 5,
1) ⎨ 2) ⎨
⎩x
+ 2y
= 6;
⎩2x−
y=
3.
0
−1
.

15
33. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
⎧ 2 ⎧ 4
⎪ − , якщо х ≤2,
⎪ − , якщо х < 4,
1) y = ⎨ x
2) y = ⎨ x
⎪
⎩2x− 2, якщо х>
2;
⎩ ⎪ 2 −x, якщо х≥4.
34. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
⎧2 x, якщо х≤−2,
⎧6 ⎪
⎪ , якщо x ≤− 2,
1) y = ⎨3 2) y = ⎨x
⎪ , якщо х >− 2;
⎩x
⎩ ⎪ x− 1, якщо x> −2.
СВІТ НАВКОЛО НАС
35. Художник Віктор Васнецов розписував
Володимирський собор у Києві.
За 10 років він разом із помічниками
розписав чотири тисячі квадратних
аршин внутрішньої поверхні
собору, зобразив 15 великих композицій
і 30 окремих фігур, не рахуючи
дрібних зображень. Які числа можна
віднести до точних, а які — до наближених?
МИСЛІТЬ ТВОРЧО, ЛОГІЧНО, СИСТЕМНО
36. Відомо, що р, р+2, р+16 – прості числа. Знайдіть усі такі числа.
37. У трьох посудинах налита вода. Якщо 1 води з першої посу-
2
дини перелити у другу, потім 1 3
води, що зібралась у другій, перелити
у третю, і 1 4
води з третьої перелити у першу, то в кожній
посудині виявиться по 6 літрів води. Скільки води було у кожній посудині
спочатку?
38. Напишіть есе на тему «Я і математика».
МАТЕМАТИКА БЕЗ КОРДОНІВ
MATHEMATICS WITHOUT BORDERS
39. One room measures 3,56m by 2,96m. The second room measures
4,52m by 3,73m. How much carpet does James need to cover both floors?

16
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§2. Раціональні вирази зі змінними
Раціональні рівняння
Ключові слова
дріб, чисельник, знаменник
додавання, віднімання,
множення, ділення
раціональне рівняння
область визначення рівняння
рівносильні рівняння
Keywords
fraction, numerator, denominator
addition, subtraction,
multiplication, division
rational equation
domain of the equation
equivalent equations
Раціональні вирази зі змінними
Вираз, який складено із чисел і змінних за допомогою дій додавання,
віднімання, множення, ділення або піднесення до степеня із
цілим показником, називають раціональним виразом.
−4
6a ⎛ x + 3 ⎞
Наприклад, вирази 2y+3; ;
2 2 ⎜ ⎟ є раціональними.
x − a ⎝2x
−1⎠
Раціональний вираз, який не містить ділення на вираз зі змінною,
називають цілим.
Наприклад, – 0,9р; 6а 2 – 3а – 2; 2 x − 3
ас ; п + 2т; – цілі вирази.
7,3
3
Одночлени і многочлени є цілими виразами.
Раціональний вираз, який містить ділення на вираз зі змінною, називають
дробовим виразом.
5
Наприклад, вирази
х − 1
, y+ 3 x−2
; є дробовими.
2
y − 4 y + 3
Дробові вирази ще називають дробами.
Числові значення змінних, при яких раціональний вираз має зміст
(тобто можна знайти відповідні числові значення виразу), називають
допустимими значеннями.
Усі допустимі значення змінних виразу називають областю допустимих
значень змінних або областю визначення виразу.

а −5
Наприклад, вираз
а 2
має зміст при всіх значеннях а, крім
− 4
а = – 2 та а = 2. Тому, областю визначення виразу будуть усі дійсні
числа, крім чисел –2 і 2.
Зверніть увагу!
1) Цілі раціональні вирази мають зміст при будь-яких значеннях
змінних, тому областю їх визначення є всі дійсні числа.
2) Існують вирази, область визначення яких не містить жодного
4х
числа, наприклад, .
2 2 2
5х −2х −3х
Умови, які накладаються під час знаходження області визначення
деяких раціональних виразів, наведені у наступній таблиці
17
Зверніть увагу!
Два дроби (два вирази) називають тотожно рівними, якщо їх відповідні
значення рівні між собою при всіх допустимих значеннях
змінної (змінних).
Заміну виразу тотожним йому виразом називають тотожним перетворенням
виразу.
Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник дробу на
області його визначення помножити або поділити на один і той самий
вираз, який тотожно не дорівнює нулю, то одержимо дріб тотожно
рівний заданому.

18
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Правила виконання дій з раціональними дробами
Дії з раціональними дробами виконують за тими самими правилами,
що й дії із числовими дробами.
Скорочення раціональних дробів. Скоротити раціональний дріб –
означає поділити його чисельник і знаменник на спільний множник.
Можливість такого скорочення зумовлена основною властивістю дробу.
Для того, щоб скоротити раціональний дріб, треба:
1) розкласти чисельник і знаменник дробу на множники;
2) поділити чисельник і знаменник дробу на їхні спільні множники
(якщо вони є);
3) якщо спільних множників немає, то скорочення дробу не можливе.
3 2
3x
− 6x
Приклад 1. Скоротіть дріб:
.
2 2
2xy
− 4y
Розв’язання
Розкладаємо чисельник і знаменник дробу на множники, далі виконуємо
скорочення. Отже,
= = , за умови, що
3 2 2 2
3x −6x 3 x ( x−2) 3x
2 2 2 2
2xy −4y 2 y ( x −2) 2y
х – 2 ≠ 0 і у ≠ 0.

2
x
2
y .
3
Відповідь:
2
3a
5b
Приклад 2. Виконайте дії: 1) + ; 2) 4 − 3 +
12
2 2
2
5xy
4xy
x+ 2 x−2 x − 4
;
2 3
4ab 5xy 2bсy
3)
2 2
15dcy
⋅ 8ab
⋅ 3axb
; 3x+ 6y 5x+
10y
4) : .
x 2 −y 2 x 2 − 2xy+
y
2
Розв’язання
3a 5b 3a⋅4y 5b⋅ 5x 12ay 25bx 12ay + 25bx
1) + = + = + =
, за
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
5xy 4xy 5xy⋅4y 4xy ⋅5x 20xy 20xy 20xy
умови, що ху ≠ 0;
4 3 12 4( х− 2) 3( х+
2) 12
2) − + = − + =
2
x+ 2 x− 2 x − 4 ( х+ 2)( х−2) ( х− 2)( х+ 2) ( х+ 2)( х−2)
4( х−2) − 3( x+ 2)
+ 12 4x−8−3x− 6+ 12 x−2 1
= = = =
2 2 2
, за умови, що
x − 4 x − 4 x − 4 x + 2
x ≠±2;
2 3 2 3 2 4 2
4ab 5xy 2bсy 4ab⋅5xy⋅2bсy abcxy b
3) ⋅ ⋅ = = = , за умови,
що abcdxy ≠
2 2 2 2 2 3 2
15dcy 8ab 3axb
15dcy ⋅8ab ⋅3axb 9a b y xcd 9d
0;
4)
2 2
( 3x+ 6y)( x − 2xy+
y )
3x+ 6y 5x+
10y
:
= =
2 2 2 2 2 2
x −y x − 2xy+ y x − y 5x+
10y
2
( )( )
( )( )( )
3 x+ 2y x−y 3 x−y
= =
5 x− y x+ y x+ 2y 5 x+
y
12ay
+ 25bx
Відповідь: 1) ; 2)
2 2
20xy
Приклад 3. Спростіть вираз:
( )( )
( )
,
( )
1 b ; 3)
x + 2 9 d ; 4) 3 x−
y
5( x+
y)
за умови, що x≠± y; x≠−2 y.
⎛ 2 2
⎛a + 3a− 10⎞ ⎞ ⎛a + 2a⎞
⋅
2
⎜⎜ ⎝a
+ 7a+
10
⎟
⎠ ⎟ ⎜
⎝ 2 − a
⎟
⎝
⎠ ⎠
.
2
3
6
Розв’язання
2
3
6 6 6
⎛ 2 2
⎛a + 3a− 10⎞ ⎞ ⎛a + 2a⎞ ⎛( a− 2)( a+ 5) ⎞ ⎛a( a+
2)
⎞
⋅ = ⋅ =
2
⎜⎜ a + 7a+ 10
⎟ ⎟ ⎜
2 − a
⎟ ⎜
⎝( a+ 5)( a+ 2)
⎟
⎠
⎜
⎝ a−2
⎟
⎝⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎠
⎠
6 6
6
( a−2) ⋅a ⋅ ( a+
2)
6
= a , при умові, що а ≠ ±2, а ≠ –5.
6 6
( a+ 2) ⋅( a−2)
Відповідь: а 6 , при умові, що а ≠ ±2, а ≠ –5.
.
19

20
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Приклад 4. Спростіть вираз a −3 b −2 a −1 a −1 b −1 a −1 b −1
− ⎛ + − ⎞
⋅ +
−2 −2 −2 −1 −1 −2 −1 −1
b + a
⎜
⎝a − b a a + b a
⎟
⎠ .
Розв’язання
Зробимо такі заміни a –1 = m, b –1 = n. Після заміни отримаємо звичайний
раціональний вираз, який спрощуємо враховуючи порядок виконання
арифметичних дій.
3 2
2 2
m − n m ⎛ m+ n m− n ⎞ mm ( − n)
⎛ m+ n m−n
⎞
⋅
2 2 ⎜ +
2 2 ⎟ = + =
2 2
n + m ⎝m − mn m + mn⎠ n + m
⎜
⎝mm ( − n) mm ( + n)
⎟
⎠
( ) ⎛( m+ n) + ( m−n)
( ) 2( )
( )
2 2 2 2
2 2 2 2
mm −n ⎞ mm − n n + m
=
2 2 ⎜
⎟ = ⋅ = 2.
2 2
n m mm ( n)( m n
2 2
+ ⎝ − + ) ⎠ n + m mm − n
Відповідь: 2, при умові, що а ≠ 0, b ≠ 0 і а ≠ b.
Раціональні рівняння
Рівняння f(x) = g(х), ліва і права частини якого є раціональними
виразами, називають раціональним.
Два рівняння f1( x) = g1( x)
та f2( x) = g2( x)
називають рівносильними ,
якщо вони мають одні й ті ж корені або обидва не мають коренів.
Наприклад, рівносильними є рівняння x 2 − 25 = 0 і x = 5 (обидва
мають одні й ті ж корені: –5 і 5). Рівняння x 3 1 x + 4 = − 9
не мають коренів, тому вони також є рівносильними. Рівняння
2
0
( x − 8) = ( x− 3)
і ( x 2 − 8)
= 1 не є рівносильними, оскільки перше рівняння
має єдиний корінь – число (–3), а друге рівняння має два корені:
–3 і 3.
− = − і ( )
Зверніть увагу!
Областю визначення рівняння f(x) = g(х) називають усі значення
змінної х, при яких мають зміст обидві частини рівняння.
Щоб розв’язати рівняння, його, як правило, намагаються замінити
рівносильним йому рівнянням, але простішим. Таку заміну рівняння
на рівносильне виконують не змінюючи області визначення, користуючись
такими властивостями рівнянь:
1. Якщо до обох частин рівняння f( x) = g( x)
додати один і той самий
вираз hx, ( ) який має зміст при усіх значеннях змінної з області
визначення даного рівняння, то отримаємо рівняння
fx ( ) + hx ( ) = gx ( ) + hx ( ) , рівносильне даному. Наприклад,
1) рівняння х 2 = 4 рівносильне рівнянню х 2 + 3х+ 8= 3х+ 12, їх
розв’язки числа 2 і −2.
2

2) рівняння х 2 = 4 не рівносильне рівнянню х 2 + х− 1= 4+ х− 1,
бо область визначення другого рівняння є всі значення змінної, що задовольняють
нерівність х ≥ 1. Коренем другого рівняння є лише число.
2. Якщо який-небудь доданок перенести з однієї частини рівняння
в другу, змінивши його знак на протилежний, то отримаємо рівняння,
рівносильне даному.
f x = g x помножити на один і той
3. Якщо обидві частини рівняння ( ) ( )
самий вираз hx, ( ) який має зміст і відмінний від нуля при усіх значеннях
змінної з області визначення даного рівняння, то отримаємо рівняння
fx ( ) ⋅ hx ( ) = gx ( ) ⋅ hx ( ) , рівносильне даному (див. приклад 3). Наприклад,
1) рівняння х 2 = 4 рівносильне рівнянню х 2 ( х 2 + 5) = 4( х
2 + 5) , бо
2
х + 5≠ 0 при всіх значеннях змінної;
2) рівняння х 2 = 4 не рівносильне рівнянню х 2 х− 5 = 4 х− 5 ,
бо друге рівняння має розв’язок х = 5, а числа 2 і −2 не його
розв’язком.
При розв’язуванні раціональних рівнянь, як правило, всі його члени
переносять у ліву частину, виконують спрощення і використовують
наступні умови рівності (не рівності) нулю добутку і частки многочленів:
1) добуток двох (або кількох) многочленів p(x) і q(x) дорівнює нулю,
якщо хоча б один із них дорівнює нулю на області визначення даного
рівняння. Корені рівняння виду p(x)q(x) = 0 знаходимо з умови:
p(x) = 0 або q(x) = 0;
2) добуток двох (або кількох) многочленів p(x) і q(x) не дорівнює
нулю, якщо жоден з них не дорівнює нулю;
3) частка двох многочленів p(x) і q(x) дорівнює нулю тоді і тільки
тоді, коли ділене p(x) дорівнює нулю, а дільник q(x) не дорівнює нулю,
звідки корені рівняння виду = 0 знаходимо з умови:
px ( )
qx ( )
p(x) = 0 і q(x) ≠ 0.
Наприклад, рівняння ( х+ 2) х− 3 = 0 має лише один розв’язок х = 3, бо
область визначення даного рівняння є всі дійсні числа з проміжка [ 3; ∞ ).
y + 3 3 21
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння: − =
.
y− 4 y+ 3 ( y+ 3)( y−4)
Розв’язання
Перенесемо вираз у правій частині рівняння в ліву, змінивши знак
y + 3 3 21
на протилежний: − − = 0. Зведемо дроби в лівій час-
y− 4 y+ 3 y+ 3 y−4
( )( )
21

22
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
( )
2
y+ − ( y− ) −
тині рівняння до спільного знаменника: =
( y+ 3)( y−4)
2
( y ) ( y )
виконаємо тотожні перетворення:
( y+ 3)( y−4)
2
у + 6у+ 9− 3у+ 12−21 = 0
( y+ 3)( y−4)
у
2
+ 3у
= 0 . Корені рівняння
знаходимо з умов: уу ( 3) 0
= 0
, ,
( y+ 3 )( y−4
) ( y+ 3 )( y−4
)
+ = і ( y 3)( y 4)
0.
3 3 4 21 0 . Далі
+ 3 −3 −4 −21 = 0 ,
уу ( + 3)
+ − ≠ Враxовуючи область
визначення рівняння y≠−3 i y≠ 4 , коренем рівняння є значення y = 0.
Відповідь: 0.
Зверніть увагу!
Якщо перетворення рівняння порушували рівносильність, тоді
важливим етапом процесу розв’язування рівнянь є перевірка знайдених
коренів на їх належність до області визначення початкового
рівняння або їх перевірка підстановкою у початкове рівняння.
Приклад 6. Розв’яжіть рівняння :
0 2
2 ⎛ x− 1⎞
x + 3x 3x−9
1) х + 2x+ ⎜ = 1; 2) + = 1;
⎝
⎟
2 2
x + 2⎠
x + 6x+ 9 x −9
2
3) x − x+ x− 4 = x− 4 + 20.
Розв’язання
1) За означенням степеня з нульовим показником область визначення
рівняння х + 2x+ ⎜ ⎟ = 1 буде визначатись умовою х −1 ≠ 0 .
0
2 ⎛ x −1⎞
⎝x
+ 2⎠
х + 2
Тому це будуть всі числа, крім чисел –2 і 1. За тим же означенням
0
⎛ x −1⎞
2
2
⎜ ⎟ = 1. Отримуємо рівняння х + 2x+ 1= 1 або х + 2x= 0. Його корені
х = –2 і х = 0. Значення х = –2 не належить області визначення,
⎝x
+ 2⎠
тому рівняння має один корінь х = 0.
Відповідь: 0.
2) Областю визначення рівняння x 2
+ 3 x 3 x −9 + =
2 2 1 є всі дійсні
x + 6x+ 9 x −9
числа, крім чисел –3 і 3.
Виконаємо тотожні перетворення у лівій частині рівняння, отримаємо:
2
x + 3x 3x−9 xx ( + 3)
3( x−3)
+ −
2 2 1 = 0, + −
2
1 = 0,
x + 6x+ 9 x − 9 ( x + 3)
( x− 3)( x+
3)
x 3 x+ 3 − ( х+
3) 0
+ − 1= 0, = 0, = 0.
x+ 3 x+ 3 x+ 3 x+
3
( ) ( )

Отже, розв’язками рівняння є всі дійсні числа крім х = –3 і х = 3
Відповідь: будь-яке число, крім –3 і 3.
2
2
3) Рівняння x − x+ x− 4 = x− 4+ 20 та x − x= 20 не є рівносильними,
тому знайдені корені необxідно перевірити. Дійсно рівняння
2
x −x− 20 = 0 має розв’язками числа 5 та (–4), але задовольняє виxідне
рівняння лише число 5.
Відповідь: 5.
23
УЗАГАЛЬНЮЙТЕ МІРКУЮЧИ
40. Що називають областю визначення рівняння?
41. Які два рівняння називають рівносильними?
Чи рівносильні рівняння:
2
1) 3x− 2= 16 і 4x= 24; 2) x =− 4 і x=− 2; 3) 2x− 8= 0 і x − 4x= 0?
42. В результаті деякого перетворення з рівняння (а) отримали
рівняння (б). Назвіть виконане перетворення. Чи є рівняння (а) і (б)
рівносильним?
2
2
xx+ 1 = 2 (а), x + x= 2 (б); 3) x = 4 (а), x = 4x
(б);
1) ( )
2) 4x
− 1= 0 (а), 4x
+ 6= 7 (б); 4) 2x + 3 = 8+
3
x −4 x −4
РОЗВ’ЯЖІТЬ САМОСТІЙНО
РІВЕНЬ (LEVEL) І
(а), 2x
= 8 (б).
Завдання 43—52 мають по чотири варіанти відповіді (А—Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
43. Виконайте ділення х :
х
18 3 .
А 6 Б 1 6
В. 0,5 Г х 6
А x
6
44. Виконайте множення
6
Б
x
2
2
9 2x
⋅ .
3
x 3
6
В
x
3
Г x
9
А
45. Виконайте додавання
4x
+ 6
Б
6x
+ 18
x + 3
2x
+ 18
4 х
+
6
4x+ 12 2x+ 6
.
В 2 Г 1

24
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
А
46. Виконайте віднімання
1
−
2
a + a
Б
4−
3a
a
2
+ a
3 3a
−1
−
2
a + 1 a + a
.
2−
3a
В
2
a + a
2 2
47. Виконайте множення a − b 3
⋅
a .
2
a + ab b−
a
1
Г aa ( + 1)
a−
b
3( a+
b)
А 3
Б
В
Г –3
3( b−
a)
a−
b
48. Виконайте ділення x 2
− 1 x 1
:
+ . 2
5x
x
5
А Б x −1
В xx ( − 1)
5x
Г
xx ( −1)
5x
5
x −1
4
49. Спростіть вираз x − 3 2 x + 1
+ .
x−2 2−x
А 1 Б x – 1 В 2 Г x + 2
x − 2
3 x x
50. Розв’яжіть рівняння x + = 4x+
. У відповідь запишіть
x−2 x− 2
кількість розв’язків.
А 1 Б 2 В 3 Г жодного
51. Доберіть пару рівносильних рівнянь:
А
Б
В
( x 2)( x 2
2
+ + 2)
= 0 (2 − 4) x = 0 x − 5 = 0
2
x − 4
x: x=
1
x −5
= 0
2
x − 25
x − 2
=
2 0
x − 25
Г
x = 4
xx ( − 2) = 4( x−2)
52. При яких значеннях змінної вираз x 2
⎛ − 4⎞
⎜
⎝ x + 1
⎟
⎠
немає змісту?
А таких значень Б –1 В ±2 Г ±2; –1
не існує
Завдання 53—54 на встановлення відповідності
53. Встановіть відповідність між твердженями 1—4 та виразами А—Д:
1. Вираз, що є раціональним та цілим А
b
b −7
2. Вираз, який не існує при b = 0 Б
b + 3
b −7
0

3. Вираз, що приймає значеня 0 при b = 0 В
4. Вираз, що приймає ціле від’ємне значення при b = 5 Г
Д
b + 3
7
b + 3
b
b − 3
1+
b
54. Встановіть відповідність між виразами 1—4 та їхніми значеннями
А—Д при х = 0,5:
1.
2
x − 9
3+
x
А 1,5
2. (х – 5) 2 + 5(2х – 5) Б –2,5
25
3.
4.
x
x
2
3
+ 1
− x+
1
3x− 6 x ⋅
8x x 2 − 4x+
4
В –0,25
Г 0,25
Д –1,5
РІВЕНЬ (LEVEL) II
55. Чи рівносильні рівняння (Are the equations equivalent)?
2
1) (3 − 3) x= 0 і x: x= 1 ; 4) x − 25 = 0 і x = 5 ;
2
4 2
2) x − 8x+ 16= 0 і 3x= 12; 5) x + 4x + 1= 0 і 2x− 1 + 1= 0 ;
3) x − 3 = 1 і x 2
− 9
2 = 1
2 2 2 2
; 6) x + = 3x+ і x = 3x?
x − 3 x − 9
x x
56. Знайдіть значення виразу (Find the value of the expression):
1) x 2 – 2x + 1 при x = 21; 4) |x – 2| – |x + 7| при x = – 2;
2) x 4 – 6x 2 y 2 + 9y 4 3
при x = 0, y = – 1; 5) a − b при a = b = – 1;
a 2 − 2
3) x 2
+ 2 x + 1
x+ y+
z
при x = – 1; 6)
при x = – 3, y = 2, z = 1.
2
x −1
x 2 + y 2 + z
2
57. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the
expression):
1) x 0 –3(x + 1) 0 ; 3) x − 4
2
0
π ; 5) 1−
x
2x
; 7)
2
9+
x
x − 4
;

26
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
3
2)
x
2
− 4
; 4) x + 4
x + 4
; 6) 2x
−7
; 8) x − 6
3
x − 9x
x + 8
.
58. Перетворіть на дріб вираз:
1) x − y x + y
b 15b−
25a
− 3) − ; 5) x 2 y 2 x 2
−4 −2
:
xy ;
3 2 2 3
xy xy
ab −5a 2 b 2 −25a
2 xy 3y
2
2
b 4a
y 3 y
2x+ 2y x −xy
2) − ; 4) − + ; 6)
⋅ .
2 2
2
2 2
2a −ab 2ab−b
y− 6 y+ 6 36 − y x − 2xy+
y 3x+
3y
59. Спростіть вираз (Simplify the expression):
3 4
a+ 1 a + b
x−3 3−y
1) − ; 3) − ; 5) b 3
+ 8 b −3
⋅
3 4 3 8
2 2
2 2
ab ab
xy −x xy −y
b −9 b − 2b+ 4
;
2
a b
2)
ab b
+ ; 4) 4 − 3 +
12
2
− b−
a x x x
2
+ 2 −2 − 4
; 6) x 2 x x 2
+ 4 + 4 4−
4 : .
2
16 − y 4 + y
60. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1) x 2
− 49 x −3 − 3
= 0 ; 2)
2 = 0 ; 3)
2x
+ 14
x − 6x
2
2
x − 3x
= 0 .
x −1 −2
61. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
x −7
x −2 −3
1) = 0
= 0 ; 3) x 2
− 4 x + 4
2 = 0 .
3x
− 21
х− 5 х+
1
x − 2x
РІВЕНЬ (LEVEL) III
; 2)
( )( )
62. Спростіть вирази (Simplify the expression):
2
⎛ x− 2y 1 x+
2y
⎞ ( x+
2y)
1) ⎜ − :
2 2 2 2⎟⋅
;
2
⎝x + 2xy x −4y ( 2y−
x)
⎠ 4y
2 3 2
⎛ a a ⎞ ⎛ a a ⎞
2) −
: −
2 2 2 2
⎝
⎜
a+ n a + n + 2an⎠ ⎟
⎝
⎜
a+
n a −n
⎠
⎟ ;
2
⎛ 2a 4a ⎞ ⎛ 2a
1 ⎞
3) ⎜ − :
2 2 2 2
2a b 4a 4ab b
⎟ ⎜ + ⎟ ;
⎝ + + + ⎠ ⎝ 4a − b b − 2a
⎠
2
a− 2 ⎛ a a + 4 2 ⎞
4)
: − −
2 2 2
4a + 16a+ 16 ⎝
⎜
2a
− 4 2a − 8 a + 2a⎠ ⎟ .
63. Спростіть вираз (Simplify the expression):
2
⎛ a b ⎞ ab ⎛x 1) ⎜ +
2 2 ⎟⋅
; 3)
− 1 x + 1⎞
4x
4
⎝b −ab a −ab⎠ ⎜ + :
+
2
a+
b ⎝
⎟
x+ 1 x−1⎠
x − 2x+ 1
;
⎛ x y ⎞ x+
y 4xy
⎛ 1 1 ⎞
2) ⎜ − :
2 2
⎝xy −y x −xy
⎟ ; 4) :
⎠ 4
2 2 2 2 2 2
xy y x
⎜ +
⎝y x x 2xy y
⎟ .
− − + + ⎠

27
64. Обчисліть значення виразу (Find the value of the expression):
x − 3
1)
, якщо х = 2,001;
2
x − 5x+ 6
2 2
9b + a 6ab
2) +
a−3b 3b− a
, якщо а = 2013, b 1
= 2 ; 3
4a ⎛a+ 2 a−2⎞
3) :
a 2 ⎜ − ⎟ , якщо а = –2013;
− 4 ⎝a− 2 a+
2⎠
2 3
4) a + 2 a+ 4 a 8
:
− , якщо а = 10.
2
3a
− 4 9a
−16
65. Доведіть, що значення виразу
2
⎛ 3−a 2 ⎞⎛
a −3a
1 ⎞
⎜ − +
⎝
2 3 2 2
a − 2a+ 1 1−
a
⎟⎜ ⎠⎝a + 3a + 3a+ 1 a + 2a+
1⎠
⎟
є додатним при всіх допустимих значеннях змінної.
66. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
2
2 4 x + 15
12 − x 3 6
1) − = ; 3) + = ;
2
2 2 2
x− 5 x+ 5 x − 25
x + 6x x −6x x −36
7 6 27 ( + 3y)
10 1 1
2) − = ; 4) + = .
2 2
3 2
y + 3y y − 3 9−y
x − x x − x x +1
67. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
3x+ 5 x 1
1) = −
6x+ 3 2x−1 4x 2 − 1
;
2)
3)
4)
9x
+ 12 1 1
= − ;
3 2
x − 64 x + 4x
+ 16 4 − x
x+ 2 x+
3 1
= + ;
3 2
8x + 1 8x − 4x+
2 4x
+ 2
2x− 1 8 1+
2x
− = .
2 2 2
14x + 7x 3 −12x 6x −3x
68. Спростіть вираз (Simplify the expression):
−1 −2
z + 4 z −16 2
1)
: −
−2 −1 −1 −1
z − 6z + 9 2z −6 z − 4
;
−1 −1 −2
⎛ 2b −3 b −1 ⎞ b −2
2) ⎜
−
:
−2 −1 −2 −1 −3 −1
b 4b 4 b 2b ⎟
.
⎝ − + − ⎠ b −4b
69. Спростіть вираз (Simplify the expression):
−1 −2
x + 2 x −4 3
1)
: −
−2 −1 −1 −1
x − 2x + 1 3x −3 x − 2
;

28
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
−1 −1 −1
⎛ x −8 x ⎞ x −20
2) ⎜
− :
−2 −1 −2 2
x 10x 25 x 25
⎟
.
⎝ − + − ⎠ −1
x −5
( )
70. Побудуйте множину точок (x; y) на координатній площині, координати
яких задовольняють умові:
1) x − 2 = 0 ; 3) x 2 y 2
−
= 0 ; 5) x 2
− x + 9
2
y + 1
x − 4
y
26 = 0 ;
−1
2)
x − 5 = 0 ; 4) x 2 y 2
− − x − y = 0 ; 6)
y −1
x+
y
2 2
x + 4x+ 4−у
у − х
= 0 .
71. Дано звичайний дріб, чисельник якого на 4 більший за знаменник.
Якщо чисельник цього дробу залишити без змін, а знаменник
збільшити на 8, то отримаємо дріб, сума якого з даним дробом дорівнює
2 . Знайдіть чисельник даного дробу.
1
4
72. Перші 20 км шляху велосипедист рухався зі швидкістю, яка
на 5 км/год більша за швидкість, з якою він долав останні 20 км. З
якою швидкістю проїхав велосипедист другу половину шляху, якщо
на весь шлях він витратив 3 год 20 хв?
73. Моторний човен проплив 30 км проти течії річки і повернувся
назад за 3,2 год. Знайдіть швидкість течії, якщо власна швидкість
човна дорівнює 20 км/год.
74. По двох колах з однаковими діаметрами рівномірно крутяться
дві точки. Одна з них здійснює повний оберт на 4 с швидше, ніж
друга, а тому встигає зробити за 20 с на 7 обертів більше, ніж друга
точка за 18 с. Скільки обертів за 1 год здійснює перша точка?
СВІТ НАВКОЛО НАС
75. Дохід однієї сім’ї у вересні: зарплата батька –
12 000 грн, зарплата мами – 7 000 грн. Обов’язкові
витрати: оренда квартири – 6 400 грн, комунальні
платежі – 2 200 грн, витрати на харчування – 2 300
грн, оплата харчування в дитячому садку їх сина –
500 грн, витрати на бензин – 1 500 грн, витрати на
одяг – 2 000 грн, медичні витрати – 500 грн, витрати
на розваги – 1 000 грн. Скільки грошей сім’я може
відкласти в цьому місяці на покупку нової квартири?
Складіть перелік усіх доходів та усіх витрат вашої сім’ї упродовж
останнього місяця. Порівняйте витрати вашої сім’ї з доходами.

29
МИСЛІТЬ ТВОРЧО, ЛОГІЧНО, СИСТЕМНО
76. Олена та Микола одночасно вийшли з дому до школи. У Олени
кожний крок коротший, ніж у Миколи на 20%, але вона робить на
19% більше кроків, ніж Микола. Хто з них прийде до школи раніше?
77. Складіть найбільше та найменше чотирицифрові числа з різними
цифрами, які діляться на 18.
78 Скільки потрібно використати доданків, кожний з яких дорівнює
а, щоб отримати в сумі а 4 ?
МАТЕМАТИКА БЕЗ КОРДОНІВ
MATHEMATICS WITHOUT BORDERS
79. What’s the Highest Greatest Common Factor of 36 and 84?
§3. Квадратні корені
Функції у = х 2 та у =
х
Ключові слова
квадратний корінь
square root
Keywords
арифметичний квадратний корінь
знак радикала, підкореневий
вираз
квадратична функція, парабола
графічний метод розв’язування
рівнянь
principal square root
radical sign, radicand
quadratic function, parabola
the graph method of equations’
solving
Квадратний корінь. Арифметичний квадратний корінь
Квадратним коренем з числа а називають число b, квадрат якого
дорівнює а, тобто b
2 = a.
Наприклад, квадратним коренем з числа 25 будуть числа 5 і –5
оскільки5 2 = 25і( − 5) 2 = 25.

30
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Зверніть увагу!
З додатного числа можна добути два квадратні корені, які є протилежними
числами.
Квадратний корінь з нуля дорівнює нулю.
Квадратного кореня з від’ємного числа не існує.
Арифметичним квадратним коренем з невід’ємного числа а називають
невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а, і позначають a .
2
Тобто ( а) = а, при умові, що а ≥ 0.
Наприклад, арифметичним квадратним коренем з числа 25 є тільки
одне число 5.
Властивості арифметичного квадратного кореня:
2
1) якщо a ≥ 0 , то ( a) = a;
2) якщо a ≥ 0 і b ≥ 0 , то a⋅ b = ab і навпаки ab = a ⋅ b ;
a a
3) якщо a ≥ 0 і b > 0 , то
b = b
і навпаки a a
= ;
b b
2
4) для будь-якого числа а справджується рівність a = а,
тобто
2
якщо a ≥ 0 , то a = а,
якщо a < 0 , то
2
a =−a;
5) справджується і таке твердження: якщо a ≥ 0 , то a= a 2 , якщо
a < 0 , то a=−
a 2 .
⎛
⎜
⎝
Приклад 1. Знайдіть значення виразу:
2 2
4
8
⎛ ⎞
1) ( 3− 10) − ( 10− 2)
; 3)( 3)
− ⎜ 2
⎝ ⎟
⎠ ;
2)5 20+ 2 45− 4 80 ; 4 )
( )
2 5 ⎞
+ ⎟⋅ 5+ 7 2−
7⎠
5−
2 .
Розв’язання
1) За властивістю 4 отримаємо:
2 2
( ) ( ) ( ) ( )
3− 10 − 10− 2 = 3− 10 − 10− 2 = 10−3 − 10− 2 = −1.
Відповідь: –1.
2) Отже, за властивістю 1 маємо:
4
8
⎛ ⎞
2 4
2
( 3)
− ⎜ 2
⎝ ⎟ =
⎠
( 3) − ( 2) = 3− ( 2)
= 3− 2=
1.

Відповідь: 1.
3) Використовуємо властивість 2, тоді :
5 20+ 2 45− 4 80 = 5 4⋅ 5+ 2 9⋅5−4 16⋅ 5 = 5⋅ 2 5+ 2⋅3 5−4⋅ 4 5 = 0.
Відповідь: 0.
4) Доцільно спочатку звільнитися від ірраціональності у знаменниках
дробів, а далі виконати перетворення:
⎛2( 5 7) 5( 2 7)
⎞
⎛ 2 5 ⎞
− +
⎜ + ⋅( 5− 2)
= ⎜
+ ⎟⋅( 5− 2)
=
⎝
⎟
5+ 7 2− 7⎠ ⎜ 5−7 2−7
⎝
⎟
⎠
= − 5+ 7 − 2− 7 ⋅ 5− 2 = − 5+ 2 ⋅ 5− 2 = −3.
( ) ( ) ( ) ( )
Відповідь: –3.
Приклад 2. Спростіть вираз:
⎛ a b ⎞ ab
⎜ + ⎟⋅
.
⎝b− ab a− ab⎠
b+
a
Розв’язання
Зробимо такі заміни:
2
2
a = x, x> 0, тоді a= x і b = y, y> 0, тоді b=
y .
⎛ a b ⎞ ab
Отже, ⎜ + ⎟⋅
=
⎝b− ab a− ab⎠
b+
a
2 2
⎛ x y ⎞ xy ⎛ x y ⎞ xy x − y xy
⎜ + ⋅ = + ⋅ = ⋅ =
2 2
⎝y −xy x −xy
⎟
⎠ y+ x
⎜
y y x x x y
⎟
⎝ − − ⎠ y+ x xy y− x y+
x
( − )( + )
( )
x y x y xy
= ⋅ = −1.
xy y− x y+
x
Відповідь: –1.
( ) ( ) ( )
Функція y = x 2 , її графік і властивості
Функцію вигляду y= x 2 називають квадратичною.
Графік квадратичної функції називають параболою
(мал. 3.1).
Парабола складається з двох віток, на які
її поділяє точка (0; 0). Цю точку називають
вершиною параболи.
Мал. 3.1
31

32
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Властивості функції y = x 2 :
1) Область визначення функції – всі дійсні числа.
2) Область значень – всі невід’ємні дійсні числа.
3) Значення функції дорівнює 0 при х = 0.
4) Графік функції симетричний відносно осі ординат, проходить
через початок координат та лежить у першій і другій координатних
чвертях (розташований у верхній півплощині).
5) Якщо х < 0 (вітка параболи, що лежить ліворуч), то більшому
значенню аргументу відповідає менше значення функції. У такому випадку
кажуть, що функція спадає.
6) Якщо х > 0 (вітка параболи, що лежить праворуч), то більшому
значенню аргументу відповідає більше значення функції. У такому
випадку кажуть, що функція зростає.
Функція y= x , її графік і властивості
Графіком функції y= x є вітка параболи (мал.3.2).
1) Область визначення функції – усі невід’ємні дійсні числа.
2) Область значень функції – усі невід’ємні дійсні числа.
3) Значення функції дорівнює 0 при x = 0.
Мал. 3.2
4) Графік функції «виходить» з початку
координат і лежить у першій координатній
чверті.
5) Більшому значенню аргументу відповідає
більше значення функції, тобто функція
зростає.
Приклад 3. Розв’яжіть графічно рівняння
x = 2x+ 3.
Розв’язання
2
Розв’язати рівняння графічно означає
знайти абсциси точок перетину графіків
функцій y= x 2 i y= 2x+ 3 (мал. 3.3). Як видно
з малюнка, графіки перетинаються у
Мал. 3.3

двох точках з абсцисами х = –1 та х = 3. Виконуємо перевірку коренів
підстановкою у виxідне рівняння.
Відповідь: –1; 3.
Зверніть увагу!
Корені рівняння, знайдені графічно, обов’язково слід перевірити
підстановкою у виxідне рівняння.
33
УЗАГАЛЬНЮЙТЕ МІРКУЮЧИ
80. Назвіть властивості арифметичного квадратного кореня.
81. Обґрунтуйте властивості арифметичного квадратного кореня.
82. Назвіть властивості функцій y= x 2 та y= х .
РОЗВ’ЯЖІТЬ САМОСТІЙНО
РІВЕНЬ (LEVEL) І
Завдання 83—94 мають по чотири варіанти відповіді (А—Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді.
83. Оберіть правильну рівність:
А − 25 = −5
Б 121 =± 11 В
9 3
4 = 2 Г
16 4
7 2
2 = 1
9 3
84. Якщо х = 7, у = 6, то значення х − 4y
дорівнює…
А 63 Б 5 В 5 Г 25
85. Між якими послідовними цілими числами міститься число 20 ?
А 3 і 4 Б 4 і 5 В 5 і 6 Г 2 і 3
86. Виконайте дію ( 3− 2 2)( 3+ 2 2)
.
А 1 Б –1 В –5 Г 5
10 2
87. Знайдіть значення виразу 2 ⋅ 3 .
А 96 Б 48 В 32 Г 192
88. Яке з рівнянь має корені?
А − x = 0 Б x = 2− 5 В x 4
2
= − Г ( − 5) = x
89. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу 24 3 .
А 12 3 Б 8 3 В 21 3 Г 8
2

34
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
2 2
90. Спростіть вираз ( − ) + ( − )
7 2 1 2 .
А 6 Б 8 В 6− 2 2 Г 8−
2 2
91. Чому дорівнює значення виразу ( 12 + 3) 2
?
А 15 Б 11 В 4 3 Г 15 + 6 3
92. Внесіть під знак кореня 3 5 .
А 30 Б 35 В 75 Г 45
93. Який із виразів має зміст хоча б при одному значенні змінної?
А а 2
− Б ( 4) х
2
− + В x 1 11
− − = ± Г ( 2−
5) х
94. Якщо b≤ 0, то 7 b b 2 = ...
А –7b 2 Б 7b 2 В 7b 3 Г –7b 3
РІВЕНЬ (LEVEL) II
95. Знайдіть значення виразу (Find the value of the expression):
1) 64 ; 3) 0,49 ; 5) 0,0004 ; 7) 256 ; 9) 1,21 ;
2) 0,0225 ; 4) 6400 ; 6)
4
25 ; 8) 7
1 ; 10)
9
1
6 4
.
96. Визначте, чи правильна рівність:
1) 36 = 6 ; 3) − 169 = − 13 ; 5) 0,25 =− 0,5 ; 7) 576 = 24 ;
2)
1
2 = 1,5; 4) 16 81 12
4 = ; 6) 2
8 4
( − 7) = − 7 ; 8) x = x .
97. Обчисліть (Calculate):
1) ( − 5 3) 2
; 2) ( 10 0,6 ) 2
; 3) 49 − 16 ; 4) ( ) 2
98. Обчисліть (Calculate):
−2 6,4 − 10 0,09 .
1) ( − 3 4) 2
; 2) 9⋅ 0,25; 3) 2 36− 3 4 ; 4) 6 + 100 .
99. Обчисліть (Calculate):
1) 3 8− 2 50+ 4 18 ; 2) 2 75 0,1 300 27
100. Обчисліть (Calculate):
1) 242 − 3 200 + 5 8 ; 2) 1 98 2 72 0,5 8
7 3
2 2
− − ; 3) ( 3 2) ( 2 3)
+ − .
− + ; 3) ( ) 24
81 + 1 .

35
101. Обчисліть (Calculate):
1) 2 9+ ( 2 5) 2
;
2) ( −2 6,4 ) 2
− 10 0,09 ;
2 2 2
3) ( 2 3) ( 4,5) 3( 2 2,5)
− − + − .
102 Розв’яжіть рівняння (Solve the equations):
1) 2 x = 0; 2) −x − 9= 0; 3) 3 5x
2 2
+ = ; 4) ( х )
103. Розв’яжіть рівняння (Solve the equations):
1) x = 4 ; 2) x + 8= 0; 3) x − 4 = 3 2 ; 4) x = 2 2− 3.
2
− − 1 = 0.
104. Перетворіть в добуток за умови, що змінні набувають додатних
значень:
1) х − 5 ; 2) 5− 10 ; 3) 2а+ 2 ав ; 4) а⋅ а+ 27 ; 5) х− 4 ху+ 4у.
105. Скоротіть дріб (Reduce):
2
x − 3
y − 2 2
1) ; 2)
; 3)
x + 3
y − 8
7 x − 3 3
49x
− 27
; 4) 6 − 6
6
106. Скоротіть дріб (Reduce):
10 − 15 14 − 2
1)
; 2)
; 3) x− 2 xy+
y ; 4) a 2
− 2 2 a + 2
.
2
5
21 − 6
x−
y
a − 2
107. Внесіть множник під знак кореня:
1) 3 5; 4) 2 y x , якщо y < 0 ;
2) x 6 , якщо x ≥ 0 ; 5) 10 7 ;
3) − 5 6 ; 6) − 5y p , якщо y < 0 .
108. Виконайте дії, використовуючи формули скороченого множення:
1) ( 3+ 2)( 3− 2)
; 4) ( )
2
+ − ; 7) ( 2 3) 2
a b 2 ab
.
+ ;
2) ( 11 − 2 3)( 11 + 2 3 );
5) ( 2 6+ 1)( 2 6− 1)
; 8) ( 6− 3 2) 2
;
3) ( 3+ 5) 2
− 60 ; 6) ( 1+ x)( 1− x+ x)
; 9) ( 2 a)( a 2 a 4)
− + + .
109. Позбавтесь від ірраціональності у знаменнику дробу (Get rid
of irrationality in a denominator):
1) 3 + 3
3
; 2)
4
3+ 1
; 3) 2
; 4)
5+
4
2x−
y
.
y−
2x

36
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
110. Get rid of irrationality in a denominator:
1) 2 + 3 2
4 2
; 2)
1
10 − 3
; 3) 10
49 − с
; 4) .
3−
2 2 7 + с
111. Спростіть вираз (Simplify the expression):
1)
x− 4 x+ 4 x+
4
−
; 2)
5 x − 10 5 x+
10
x + 3 1 − ; 3)
x − 1 x+
x
112. Спростіть вираз (Simplify the expression):
1)
b − 6 2 +
4 − b 2 b− b
; 2) z 15 z−
25 x
−
; 3)
xz −5x
z−
25x
РІВЕНЬ (LEVEL) III
113. Simplify the expression:
2
1) x − 8x+ 16 , 2) ( z + 4) − 16z
,
2
a−2 b b−5
ab
− .
a+
b a−
b
2 2 2
якщо x < 4 ; якщо z < 4 .
114. Simplify the expression:
2
x −12 y 4 y
−
x−16y 4 xy − x
2 2
1) 4y + 12y+ 9 , 3) y + 10y+ 25 − y − 8y+ 16 ,
якщо y

37
119. Спростіть вираз (Simplify the expression):
5 1 4 y + 18 2 a 5 4a+
9
1) + − ; 3) + − ;
y − 3 y+
3 y − 9 2 a+ 3 3−2
a 4a
− 9
2)
1− 2 x x+ 3 x x+
3
+ :
2 x 1 4x
−1
8 x 4
⎛a a+
b b ⎞
2 b
− − + .
⎝ a+ b ⎠
a+
b
+ − ; 4) ⎜
ab⎟
: ( a b )
120. Обчисліть (Calculate):
⎛ 2 3 15 ⎞
⎜ + + 3+
5
⎝
⎟
3−1 3−2 3−
3⎠
−
1) ( ) 1
; 2)
1 3 4
− − .
7− 6 6− 3 3+
7
СВІТ НАВКОЛО НАС
121. Недержавний пенсійний фонд пропонує щорічний приріст суми
вкладених коштів на 5%. До досягнення пенсійного віку Анні Миколаївні
залишилося три роки. Вона планує протягом цих 3 років щорічно
вкладати у пенсійний фонд по 5 000 грн. Розрахуйте загальну
суму пенсійних виплат фонду, яку вона отримає будучі на пенсії.
МИСЛІТЬ ТВОРЧО, ЛОГІЧНО, СИСТЕМНО
122. У дев’ятому класі навчаються 25 учнів. На дискотеці кожний
з них одержав три повітряні кульки: зелену, синю та жовту. Чи зможуть
вони так помінятися кульками, щоб у кожного всі три кульки
виявились одного кольору?
123. Для яких простих чисел p число p+1 також буде простим?
124. В басейн розмірами 20×50 м налили 10 000 000 літрів води.
Чи можна в ньому влаштувати змагання з плавання?
МАТЕМАТИКА БЕЗ КОРДОНІВ
MATHEMATICS WITHOUT BORDERS
125. The table shows rates of depreciation over a three year period
for three different motorbikes. Helen bought a B260 for 63000hrn three
years ago. How much is her motorbike worth now?
Model Depreciation over 3 years
A125 37%
B260 45%
F400 47%

38
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
§4. Квадратні рівняння.
Квадратний тричлен
Ключові слова
квадратне рівняння, коефіцієнти
дискримінант
формула коренів квадратного
рівняння
зведене квадратне рівняння,
формули Вієта
квадратний тричлен, розкладання
квадратного тричлена на
множники
Keywords
quadratic equation, coefficients
discriminant
quadratic formula
monic quadratic equations,
Vieta’s formulas
quadratic polynomial,
factorization of the quadratic
polynomial
Рівняння виду ах 2 + bx + c = 0 де x – змінна, a, b, c – довільні
числа, причому a ≠ 0 називають квадратним рівнянням.
Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння: a –
першим коефіцієнтом, b – другим коефіцієнтом, с – вільним членом.
Якщо хоча б один з коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то квадратне
рівняння називають неповним. Якщо всі коефіцієнти відмінні
від нуля, то квадратне рівняння називають повним.
Приклад 1. Розв’яжіть неповне рівняння:
2
1) 5x = 0;
2
2) 4x − 3x= 0;
2
3)3x + 4 = 0;
2
4)4x
− 5 = 0 .
Розв’язання
2
1) 5x = 0 ;
2
x = 0; x=
0.
2
2) 4x − 3x= 0; x( 4x− 3)
= 0; х= 0 або 4х− 3 = 0; x1 = 0, x2
= 0,75.
2 2 2 4
2
3) 3x + 4 = 0; 3x =− 4; х =− ; але x ≥ 0, отже, коренів немає .
3
2 2 5 5 5
4)4x − 5 = 0 ; x = ; x= ± = ± .
4 4 2
Відповідь: 1) 0; 2)0; 0,75; 3)коренів немає; 4) −
5 5
; .
2 2

Формула коренів квадратного рівняння
Для розв’язування повних квадратних рівнянь користуються фор-
− b±
b −4ac
мулою коренів квадратного рівняння x1,2
= .
2a
2
Вираз b − 4ac
називають дискримінантом квадратного рівняння і
позначають літерою D. Тоді формулу коренів квадратного рівняння
− b±
D
2
можна записати у такому вигляді: x 1,2
= , де D= b − 4ac.
2a
Від дискримінанта залежить кількість коренів квадратного рівняння:
− b+
D
1) якщо, то два корені: x 1
;
2a
x
=
2
2
−b−
D
= .
2a
2) якщо D = 0 , то один корінь (два однакових корені):
3) якщо D < 0 , то рівняння коренів немає.
b
x =− .
2a
Приклад 2. Розв’яжіть квадратне рівняння:
2 2 2 2
1) 3x −7x− 6 = 0; 2)3x + 4x+ 2= 0; 3)4x −3x− 2= 0; 4)25х − 20х+ 4 = 0.
Розв’язання
2
1) 3x
−7x− 6 = 0 .
1-й крок. Визначаємо значення коефіцієнтів даного квадратного
рівняння: a= 3; b= − 7; c= −6.
2-й крок. Знаходимо дискримінант:
2
( ) ( )
2 2
D= b − 4ac= −7 −4⋅3⋅ − 6 = 121= 11 .
− b±
D
3-й крок. Знаходимо корені рівняння за формулою x 1,2
= :
2a
7+ 11 7−11 2
x1 = = 3; x2
= = − .
6 6 3
2
2) 3x + 4x+ 2= 0, D= 16−4⋅3⋅ 2= − 8< 0. Рівняння коренів немає.
3)
x
1
2
4x −3x− 2= 0, D= 9+ 4⋅4⋅ 2=
41,
3+
41 3−
41
= , x2
= .
8
8
2 20
4) 25х − 20х+ 4 = 0, D= 400 −4⋅4⋅ 25 = 0, x = = 0,4.
50
2
Відповідь: 1) 3; − ; 2) коренів немає; 3) 3 + 41 , 3 − 41 ; 4) 0,4.
3
8 8
39

40
ПОВТОРЕННЯ І СИСТЕМАТИЗАЦІЯ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ ЗА КУРС АЛГЕБРИ 8-ГО КЛАСУ
Зведені квадратні рівняння. Теорема Вієта
Якщо перший коефіцієнт a квадратного рівняння дорівнює 1, то
рівняння називають зведеним і записують у вигляді x 2 + px+ q= 0 .
Замінивши у формулі коренів квадратного рівняння a на 1, b на p,
c на q, отримаємо формулу коренів зведеного квадратного рівняння:
x
1,2
− p± p −4q
= .
2
2
Приклад 3. Розв’яжіть зведене квадратне рівняння x
2 + x− 12 = 0 .
Розв’язання
За формулою коренів зведеного квадратного рівняння
2 2
− p± p −4q
− 1± 1 + 4⋅12 − 1±
7
x1,2
= = = , x
1
=− 4 , x
2
= 3
2 2 2
Відповідь: –4; 3.
Для зведеного квадратного рівняння існує залежність між його коренями
та коефіцієнтами, що виражається теоремою Вієта:
Якщо числа х 1 і х 2 є коренями зведеного квадратного рівняння
2
x + px+ q= 0, то їхній добуток дорівнює вільному члену, а сума дорівнює
другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком.
Тобто x1⋅ x2
= q і x 1
+ x 2
= − p .
Безпосередньо з теореми Вієта випливають два наступні наслідки.
Нехай x
1
та x
2
корені зведеного квадратного рівняння
2
x + px+ q= 0 , тоді:
1) якщо вільний член рівняння q > 0 , то його корені мають однакові
знаки, а саме – знаки, протилежні знаку другого коефіцієнта р;
2) якщо вільний член рівняння q < 0 , то його корені мають протилежні
знаки, причому знак більшого з них за модулем, протилежний
до знаку другого коефіцієнта р.
Приклад 4. Визначить знаки коренів рівняння:
2
1) x − 5x+ 6= 0; 3) x
2 −x− 12 = 0 ;
2
2) x + 6x+ 5= 0; 4) x
2 + 3x− 10= 0.
Розв’язання
2
1) x − 5x+ 6= 0. Оскільки вільний член q = 6 додатний, а другий
коефіцієнт p = – 5 від’ємний, то обидва корені додатні.
2
2) x + 6x+ 5= 0. Оскільки і вільний член q = 5, і другий коефіцієнт
p = 6 додатні, то обидва корені від’ємні.

2
3) x x 12
0 . Оскільки вільний член рівняння q= -12, то його корені мають
протилежні знаки, причому більший з них за модулем додатний, тому, що
другий коефіцієнт р = -1 від’ємний.
2
4) x 3x 10
0 . Оскільки вільний член рівняння q= -10, то його корені мають
протилежні знаки, причому більший з них за модулем від’ємний, тому, що
другий коефіцієнт р =3 додатний.
Якщо корені зведеного квадратного рівняння є цілими числами, то,
використовуючи теорему Вієта, їх можна знайти усно. Для цього треба
діяти у такій послідовності.
1) Підібрати пари цілиx чисел, добуток яких дорівнює вільному члену.
2) Серед пар вибрати ту, сума чисел якої дорівнює другому коефіцієнту
з протилежним знаком.
2
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння x x 12
0
Розв’язання
1) Підбираємо пари цілиx чисел, добуток якиx дорівнює (-12): (-1;12), (1;-
12), (-2;6), (2;-6), (-3;4),(3;-4).
2) Серед пар вибираємо ту, сума чисел якої дорівнює другому
коефіцієнту з протилежним знаком, тобто (-1). Пара (3;-4) задовольняє
вимогам.
Відповідь: -4; 3.
ДІЗНАЙТЕСЯ БІЛЬШЕ
Використовуючи теорему Вієта можна також знайти усно корені деяких
незведених (повних) квадратного рівнянь. Для цього треба діяти у такій
послідовності.
2
1. Ліву і праву частини квадратного рівняння ax bx c 0 помножити
2 2
2
на перший коефіцієнт: а a x аbx аc 0 або ( a x)
b(
аx)
аc 0 .
2
2. Зробити заміну ax = t і записати рівняння у вигляді t bt
аc 0 .
3. Розвязати усно отримане зведене квадратне рівняння.
41

4. Знайдені корені зведеного рівняння поділити на а.
Приклад 6. Розв’яжіть рівняння
1) 4x
2 9x 5
0
, 2)
Розв’язання
1) 4x
2 9x 5
0
.
3x
2 7x 6 0
.
2
а) Множимо обидві частини рівняння на 4: (4x)
9(4x)
20 0 .
2
б) Робимо заміну 4х = t і записуємо зведене квадратне рівняння t 9t
20 0.
в) Усно розв’язуємо отримане рівняння t 1 =-5, t 2 =-4.
Знайдені корені ділимо на 4: х 1
1, 25 , х 2 =-1.
Відповідь: -1,25; -1.
2) Множимо обидві частини рівняння на 3: 9x
2 21x
18 0, t 3x.
.Отже,
2
2
t 7t
18
0; t 1 =-2, t 2 =9; х
1
3 , х 2 = 3.
2
Відповідь:
3 ; 3.
Розглянемо ще декілька прикладів завдань, які можуть бути розв’язані за
допомогою теореми Вієта.
Приклад 7. Не обчислюючи корені x 1 і x 2 рівняння 2x
2 11x 13
0
3 3
1 x2
x2
x1
x
.
Розв'язання
, знайдіть
Дискримінант D 121
4
213
17 - додатне число. Отже, рівняння має корені.
Тому, ми можемо скористатися теоремою Вієта:
11
x 1 x2
;
2
13
x 1 x2
.
2
3 3
Перетворимо заданий вираз x x x так, щоб виділити вирази, що входять
1 2 2 x1
3 3
2 2
2 2
до теореми Вієта: x 1 x2
x2
x1
x1x2
x1
x2
x1x2
x1
x2
2
2x
x 2x
x x x
x x x x .
1 2 1 2 1 2 1 2 2
1
2
42

Підставляємо в останній вираз значення x1 x2
та x1 x2
, одержуємо, що
3
3 897
x
1
x2
x2
x1
112,125 .
8
Відповідь: 112 , 125 .
Приклад 8. При якому значенні а сума квадратів коренів рівняння
2
x a
1x
2a
0 дорівнює 9 ?
Розв'язання
Дане рівняння має корені якщо його дискримінант невід’ємний, тобто коли
a
1 2 8a
0. Якщо ця умова виконується, то згідно з теоремою Вієта
x1 x2
1
a ; x1 x2
2a
. Розглянемо суму квадратів коренів даного рівняння
2 2
2
2
2
x x x
x 2x
x 1
a 4a
a 2a
1. За умовою ця сума дорівнює 9,
1 2 1 2 1 2
2
2
тобто a 2a 1
9 або a 2a 8
0, звідки, a 4 ; a 2 . Перевіркою
1
встановлюємо, що умову задовольняє лише значення a 2 2 . Відповідь: 2.
2
Квадратний тричлен, його розкладання на лінійні множники
Многочлен вигляду
числа, називають квадратним тричленом.
ax
2 bx c , де x - змінна, a 0, b,
c - довільні
Значення змінної при якому значення квадратного тричлена дорівнює
нулю, називають коренем квадратного тричлена.
Якщо x 1 і x 2 - корені квадратного тричлена
ax
2 bx c , то його можна
2
розкласти на лінійні множники за формулою: ax bx c ax
x x
x
Якщо квадратний тричлен
ax
розкладають на множники за формулою
2
.
bx
c має тільки один корінь x 1 , то його
ax
2
2
bx c a( x x1)
;
Якщо квадратний тричлен не має коренів, то на множники його
розкласти не можна.
Наприклад,
2x
2 3x
9 2x
3x
1,5
x
32
x 3.
;
1
2
9x
2
1
6x
1
9
x
3
2
2
3x
1 .
43

Квадратний тричлен 4x 2 2x
1
на множники розкласти не можна, бо
його дискримінант від’ємний.
3x
Приклад 9. Спростіть вираз:
x
Розв'язання
2
2
5x
2
.
x 6
Розкладаємо чисельник і знаменник на множники:
1) 3x 2 5x 2 0,
x 1
1
3
, 2 2
1
x ;
3
x , 3 2 5 x 2 3 x x 2
2
2
2) x x 6
0, x 3, x 2 , x 6 x
3x
2
1
2
x .
Таким чином,
3x
x
2
2
5x
2
x 6
3
1
x x
2
3 3x
1
, 2
x
2x
3 x 3
x .
Відповідь:
3x
1
, x 2
.
x 3
Узагальнюйте міркуючи
126. Чи можна застосовувати формулу коренів квадратного рівняння до розв’язування
неповних квадратних рівнянь? Наведіть приклади.
127. Чи справджується теорема Вієта для квадратних рівнянь з від’ємним
дискримінантом?
128. Чи можна розкласти на множники квадратний тричлен, якщо його дискримінант
від’ємний або дорівнює нулю? Наведіть приклади.
129. З , ясуйте, які корені буде мати рівняння, для яких a b c 0 або a b c 0.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________________
Завдання 130 - 140 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
44

130. Яке з наведених рівнянь є квадратним?
А 5 – х 4 = х 2 Б х 2 = х 3 – 2 В 6 + х = 144+ х Г х 2 = 44
131. Визначте, яке з наведених рівнянь є рівносильними до рівняння
2
2
x1
2x 0
x
?
А. 3 2 2
2
2
x 5x 2 0 Б x 3x 2 0 В x 3x
2 0 Г x 3x
2 0
132. Які з чисел є коренями даного квадратного рівняння 4x 2 8x
0 ?
А 2; 0
Б 0 ; 2
В 4;
1
Г 4; 0
133. Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють – 4 та 6.
А х 2 + 2х – 24 =0 Б х 2 – 2х – 24 =0 В х 2 – 2х + 40 =0 Г х 2 – 24х + 2 =0
134 Добутком коренів квадратного рівняння х 2 – 2х – 4 = 0 є число…
А 1 Б -2 В 2 Г -4
135. Чому дорівнює сума коренів рівняння х 2 –2х–3=0?
А -2 Б -3 В 3 Г 2
136. Складіть зведене квадратне рівняння, коренями якого є два рівні корені,
що дорівнюють числу –2 .
А х 2 +2х=0 Б х 2 -4=0 В х 2 +4х+4=0 Г х 2 –4х+4=0
137.Умові задачі: «Одне число х, а друге на 3 більше, їхній добуток дорівнює
88» відповідає рівняння:
А х(х – 3) = 88 Б х + (х + 3) = 88 В х(х + 3) = 88 Г х – (х + 3) = 88
138. Умові задачі: «Площа прямокутника дорівнює 32 см 2 , сума суміжних
сторін — 12 см. Знайдіть сторони прямокутника» відповідає рівняння:
А х + 32 = х + 12 Б х(12 + х) = 32
32
В 12
х
139. Розкладіть на множники квадратний тричлен 3х 2 5х
2.
Г х(12 – х) = 32
А (3х-1)(2-х) Б (3х+1)(2-х) В (3х-1)(2+х) Г (3х+1)(х-2)
2
140. Скільки коренів має рівняння 4x
x 8
21
x 8
x ?
А два корені Б один корінь В жодного кореня Г три корені
Завдання 141 на встановлення відповідності
45

141. Установіть відповідність між заданими виразами (1-4) та виразами, що
їм тотожно дорівнюють (А-Д).
1
2
3
4
x
2 4
А
2 x
3
x 8
4 2x
x
2
1
х 2
Б 2 х
x 2
В х 2
2
4 4x
x
x
2 4x
4
Г
2 x
1
х 2
Д х 2
Рівень (Level) II ____________________________________________________
142. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння (Solve the incomplete quadratic
equations):
2
1) х 4
; 2) 3х 2 4x
; 3) 2t 2 4
; 4) 4х 2 5
0; 5) 8х 2 5x
0 .
143. Розв’яжіть неповні квадратні рівняння (Solve the incomplete quadratic
equations):
2
1) x 0,
2; 2)
4
25
х 2 ; 3) 2 2 50 0
х ; 4) 3х 2 12х
0 ; 5) х 2 3x
.
144. Розв’яжіть квадратне рівняння (Solve the quadratic equation):
2
1) x 2x 8 0; 2) 2x 2 6x 1
0; 3) 2x 2 x 5 0; 4) 3x 2 4x 9 0 .
145. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
1)
4 x
2
2
2
3x
2
3
; 3)
2
x 1
1
1
3 2
; 5)
2
2x
x
5
x
2
3x
3
;
2)
2 z 2 2
1
z
2x
; 4) 2 3 4
; 6)
7 2
5 7
146. Розв'яжіть рівняння (Solve the equation):
1) x 6 7
3x
x
2
2 2
x ; 3) y 4 961
4y
; 5) 4 3x
8
2) 5 2 3x
25
2
2
x
2
2x
3
x ;
x ; 4) 3x 5x
3 2x6x
5
2 ; 6) 1,5
3y 15 27
147. Solve the equation:
y .
.
46

1) 7 3 2
x 5 7x
32
x 4 5;
2х
2х
x ;
2
2
x 3) 2
x ; 4) x 3 x x xx
2
2
2
2) 2
3 ( x 3) x ( x 3)
148. Solve the equation:
x
( 2) (2 1)(2 1) 1 9.
2
2
1) x 12
0
x ;
3
x
2) 8x 12
0 ;
x
2 2
3) x 6 0
x ;
7
4) 2
2 x
x 6 0.
x
149. Solve the equation:
6 x
2 2
2
1) x 3 x 4 0; 2) 5x
0
x
2
x ; 3) 3 x 4 0
2
x ; 4) x 7x 12
0
150. Не обчислюючи коренів рівняння 3x
2 6x 5
0, знайдіть значення
1
виразів: 1) 1
1
x
2 2
x
2
; 2) x1 x2
x2
x1
; 3)
151. Розкладіть на множники (Factoring):
x1
x
2
; 4)
1
х2
x2
x1
х .
x .
1) 3х 3 – 9х 2 +6х; 2) у 3 + 4у 2 – 32у; 3) 12x 3 – 22x 2 – 20x; 4) 80my 2 – 12my – 8m.
152. Скоротіть дроби (Reduce the fractions):
1)
x
2
3x
21
4x
21
2y
2
3y
1
2)
2
1 y
; 3)
z
2
2
z 3z
4z
21
; 4)
2
12x
3
.
2
2x
9x
5
153. Скоротіть дроби (Reduce the fractions):
1)
3x
3x
2
2
2x
1
; 2)
4x
1
2y
y
2
2
7 y 6
3y
2
; 3)
2
2z
2z
12
; 4)
2
z z 6
3
x 8
.
2
2x
3x
2
154. Ділянку городу, що має форму прямокутника, одна сторона якого на 10 м
більша від другої, треба обгородити огорожею. Визначте довжину огорожі,
коли відомо, що площа ділянки дорівнює 1200 м 2 .
155. Периметр прямокутника 62 см. Знайдіть його сторони, коли площа
прямокутника 210 м 2 .
Рівень (Level) III ___________________________________________________
156. Розв'яжіть рівняння (Solve the equation):
47

1)
x 1 2 x 4 2x
2
; 2)
5 6 3
157. Розв'яжіть рівняння (Solve the equation):
1)
x
x
5
2 11x
12
x 2
2
3 10 3
158. Solve the equation:
; 2)
2
3x
4 2x
5x
1
5
x 7
2
2
x
2
2
( x 2)
1
5
5x
(5x
11)
6
3
4
2
.
2
;
2
2
1) x 6x
5 x 1
0; 2)
2
2
x x 6 x 3x
0.
159. Solve the equation:
2
2
2
2
1) x 5x
x 25 0 ; 2) x 4x
4 x 2x
0.
160. Solve the equation:
1) 4 13x
4 23x
4
x ;
2
2
3) 3x
2 x 3x
0
x ;
2
2) x 3x
4 x 3x
4; 2
2
4) 5 x 6 x 1
0
161. Solve the equation:
x 2
x 2
2
2
1) x 2x
7 0;
3)
2
x 7
2
x 7
2
2) 2x
35 ;
2
x 4) 2 3 2
x .
5x 3x 5 2x 1 2 5 2x
1 ;
x x x .
162. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
x 3
x 3
1) 2 2 5x
4 0;
2
x 3) x x 2
8
x 3
8
x 3
2
2) 5x
24 ;
2 2 19 ;
x x 2x
10 .
2
x 4) 2
163. Побудуйте графік функції (Plot the graph of the function):
2
x 4x
5
1) y ; 2) y
x 1
x
3
2
2
4x
3x
; 3)
x x
2
x 3x
4
y
.
2x
8
164. Складіть квадратне рівняння з першим коефіцієнтом 2, корені якого на 4
2
менші за відповідні корені рівняння x 3x 8 0.
165. Складіть квадратне рівняння з першим коефіцієнтом 5, корені якого на 2
2
більші за відповідні корені рівняння x 5x 7 0 .
166. Спростіть вираз (Simplify the expression):
48

1)
2x
x
2
2
3x
2 2x
:
2
2x
3 x
2
5x
2 x 2
3x
2 x 3
; 2)
x
x
2
2
7x
10 x
3x
10 2x
2
2
x 6 x 3
5x
2 2x
1
167. Дано звичайний дріб, знаменник якого на 4 більший за чисельник. Якщо
чисельник цього дробу збільшити на 5, а знаменник зменшити на 3, то
отримаємо дріб, сума якого з даним дробом дорівнює
даного дробу.
3
2 . Знайдіть чисельник
7
168. Радіус одного з двох кругів, які мають спільний центр, на 5 см більший
радіуса другого круга. Площа кільця, утвореного цими кругами, становить
1,25 площі меншого круга. Знайдіть радіуси кругів.
169. Довжина прямокутника на 2 м більше його ширини. Якщо ширину
збільшити на 3 м, а довжину на 8 м, то площа збільшиться у 3 рази. Знайдіть
сторони прямокутника.
170. На облицювання стіни витратили 504 плитки. Причому в кожному ряду
плиток було на 3 менше, ніж кількість рядів. Скільки було рядів?
.
Світ навколо нас
171. Національний дендрологічний парк «Софіївка», що заходиться в Україні на околиці
м. Умань, заснований в 1796р. графом Потоцьким, а закінчений і подарований своїй
дружині Софії у 1802р. Скільки років створювався парк? Скільки років пройшло з
заснування цього шедевру ландшафтного дизайну?
Мисліть творчо, логічно, системно
49

172. У деякому царстві живуть піддані чесні, які завжди говорять тільки правду, та
брехуни, які завжди брешуть. Якось зустрілись декілька підданих з цього царства, і
кожний сказав усім іншим: «Ви всі — брехуни». Скільки чесних підданих могло бути
серед тих, хто зустрілися?
173. Довжина хвоста крокодила дорівнює третині довжини крокодила. Голова крокодила
має довжину 93 см і дорівнює четвертій частині довжини крокодила без хвоста. Чому
дорівнює довжина крокодила?
174. Розв’яжіть ребус: 3 1xy z36
(x, y, z — цифри; abc означає число, записане
цифрами a, b, c в указаному порядку).
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
175. The quantity T is given by: T = (P - 7) 2 + . Find the value of T when P = 4, Q = -0,2,
R = 0,3.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи № 1
Тема. Повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу
алгебра 8 класу
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Скоротіть дріб
x
2
x 2
x 1
.
50

1
А
x 1
Б х+1 В х+2 Г x-2
2. Не обчислюючи коренів рівняння 2х
2 4х
1
0, знайдіть
1 1
х х
.
А 4 Б -4 В 1 Г -1
20
5
3. Обчисліть значення виразу .
12
4
5 25
А 5 Б 0 В 25 Г 1
4. Обчисліть значення виразу 100 49 .
А 70 Б 49 В 35 Г 17
1
2
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між виразом (1 – 3) та тотожно рівним йому
виразом (А Г) на області допустимих значень змінних
1.
2.
3.
x 36
6 x
2 А.
1
х 6
x 6
Б. 6 х
2
36 12x
x
x
2 В. х 6
12x
36
6 x
Г.
1
х
6
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
5 5 5 5
6. Порівняйте числа: і 10 .
5 5 5 5
64 8х
7. Розв’яжіть рівняння x графічно.
2
8x
х
51

Достатній рівень
8. Знайдіть чотири послідовні цілі числа, якщо відомо, що сума квадратів двох
менших чисел на 14 більша за суму двох більших чисел.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Чому дорівнює сума
2
2
25 y 15 y 2.
2
2
25 y 15 y
, якщо відомо, що різниця
52

РОЗДІЛ I. НЕРІВНОСТІ
У цьому розділі ви дізнаєтесь про:
Однією з характерних особливостей вищої математики є
та визначна роль, яку в ній відіграють нерівності
Р. Курант
(1888-1972)
німецький і американський математик,
педагог і науковий організатор
нерівності та їх властивості;
системи та сукупності нерівностей і методи їх розв’язування;
застосування нерівностей до розв’язування текстових задач;
— методи розв’язування завдань, що містять лінійні нерівності з
параметром.
Основні поняття теми
Українською International (English) Математичною
a менше за b a is less than b а < b
a більше за b a is greater than b а > b
Числова нерівність numerical inequality 4 –100
Лінійна нерівність linear inequality 2x
6
Система нерівностей
system of the
Сукупність нерівностей totality of the
Лінійна нерівність з
параметром
х 3 1,
inequalities 2x
1
3
inequalities
linear inequalitу with a
parameter
х
3 1,
2x
1
3
2
2
a
1x
a 2a
1
53

§5. Числові нерівності
Ключові слова
а більше за b
а менше за b
а менше або дорівнює b,
а більше або дорівнює b
числова нерівність
подвійна нерівність,
строга нерівність
нестрога нерівність
Keywords
a is less than b,
a is greater than b
a is less than or equal to b
a is greater than or equal tob
numerical inequality
double inequality (compound inequality)
strict inequality
unstrict inequality
Життя людини важко уявити без постійного порівнювання числових
значень різноманітних величин. Наприклад, результатів вимірювань зросту,
ваги, артеріального тиску, частоти пульсу, кількості віджимань, підтягувань
чи присідань, розмірів цін на товари та послуги, показників економічного
розвитку, даних соціологічних досліджень та багато іншого.
Результати таких порівнянь виражаються одним з трьох можливих
співвідношень: «а більше за b» ( a b ), «a менше за b» ( a b ) або «a дорівнює
b» ( a b ). При цьому, різниця a - b між числами а і b буде додатна, якщо a b ,
від’ємна, якщо
твердження самостійно).
a b або дорівнюватиме нулю, якщо a b (перевірте це
Тому зміст кожного з наведених
природно розкрити за допомогою такого означення:
Означення 1.
Українською
співвідношень між числами а і b
Математичною
Число а більше числа b, якщо різниця a - b додатна а > b якщо, a - b > 0
Число а менше числа b, якщо різниця a - b
від’ємна
а < b, якщо a - b < 0
54

Число а дорівнює числу b, якщо різниця a - b а = b, якщо a - b = 0
дорівнює нулю
Зверніть увагу!
Для того, щоб порівняти два числа, потрібно записати їхню різницю і
визначити її знак.
Приклад 1. Порівняйте числа а та b, якщо:
1) а – b = (–2,7) 3 ; 2) а – b = (–1) 6n 2
; 3) а – b =
3
Розв’язання
Скористаємось означенням.
7
1) Оскільки різниця а – b = (–2,7) 3 0, то за означенням а > b.
7
7
3
.
2
2 3 3 3
3) Оскільки різниця а – b =
0 , то за означенням
3 2 2 2
а = b.
Зверніть увагу!
Крім знаків > («більше») і < («менше») використовують й інші знаки
нерівності.
1. Знак ≥ — «більше або дорівнює» (або «не менше»). Запис a ≥ b
означає, що a > b або a = b.
2. Знак ≤ — «менше або дорівнює» (або «не більше»). Запис a ≤ b
означає, що a < b або a = b.
7
7
7
Означення 2. Два числових вирази, сполучені знаком нерівності (>, 3,14..
55

Нерівності виду
a b, a b називають строгими нерівностями, а
нерівності виду a b,
a b — нестрогими.
Числові нерівності, як і числові рівності, можуть бути правильними або
неправильними.
Наприклад, числові нерівності 2,5 < 10 ,
2 3
3 ≤ 2 , π > 3,14 , 7 ≥ 7 ,
1 1
7 ≤ 7 є правильними, а нерівності -5 > 0, 2 ≤ 3 , 7 > 7 , 7 < 7 є
неправильними.
Якщо нерівності a < b і b < c правильні, то їх можна записати у вигляді
подвійної нерівності a < b < c. Пари правильних нерівностей a ≤ b і b < c , a
< b і b ≤ c , a ≤ b і b ≤ c у вигляді подвійних нерівностей запишуться
відповідно так:
a b c , a b c і a b c .
Наприклад, запис 2 b 3 означає, що b 2 i b 3 (читається «b більше
за -2, але менше за 3»). Запис
a 1
b 3c
означає, що b a 1i
b 3c
(читається
«b не менше за а + 1, але менше за 3с).
Зверніть увагу!
Правильний запис подвійних нерівностей має вигляд a < b < c – від меншого
числа до більшого (запис a > b > c та
a c b є не правильними ).
Приклад 2. Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношення:
1) a < 2 і a >-1; 2) х > 3 і х ≤ 7; 3) m ≥ -2 0 і m ≤ 2 -1 .
Розв’язання
1) -1 < a < 2; 2) 3 < х ≤ 7; 3) -1 ≤ m ≤ 0,5.
Зверніть увагу!
56

Числові нерівності зручно ілюструвати на координатній прямій. При цьому
важливим є не відображення відстані між певними точками, а їx розміщення
одна відносно одної.
Зображуємо більше з двох чисел точкою, що лежить праворуч від точки, що
зображує менше число (менше з двох чисел точкою, що лежить ліворуч від
точки, що зображує більше число).
Приклад 3. Визначте, як розміщені на координатній прямій відносно одна
одної точки А(а) і В(b), якщо:
1) а – b = 2; 2) а – b = -0,45; 3) b – а = – 3 ; 4) b – а = 0.
Розв’язання
1) Оскільки а – b = 2 > 0, то за означенням, а > b. Тому точка А(а)
розташована праворуч від точки В(b).
2) а – b = -0,45 < 0 тому а < b. Точка А(а) розташована ліворуч від точки
В(b).
3) b – а = – 3 < 0, тому b < а . Точка А(а) розташована праворуч від точки
В(b).
4) b – а = 0 тому b = а. Точки А(а) і В(b) співпадають.
Доведення нерівностей на основі означення.
Приклад 4. Доведіть, що для будь-якого числа у нерівність:
( 6y
1)(
y 2) (3y
4)(2y
1)
є правильною. .
Доведення. Запишемо різницю лівої і правої частин нерівності і
визначимо її знак:
(6y
1)(
y 2) (3y
4)(2y
1),
6y
6y
2
11y
2 6y
2
11у
4
2
6 0.
у 12y
2 (6y
57
2
8у
3y
4)
Різниця є від’ємним числом, тому значення виразу, що стоїть у лівій

частині буде меншим за значення виразу , що стоїть у правій її частині.
Нерівність доведено.
a b
Приклад 5. Доведіть нерівність: ab,
якщо a 0 і b 0.
2
Доведення. Запишемо різницю лівої і правої частини нерівності і
визначимо її знак:
a b a b 2
ab
2
2
ab a 2 ab b
2
2
a b
0.
Різниця є невід’ємним числом для будь-яких невід’ємних чисел a і b,
a b
тому ab
2 або
коли a = b.
2
a b
ab
2 , причому рівність має місце лише у випадку,
Зверніть увагу!
a b
Нерівність ab,
a 0, b 0
2
арифметичним
a b
2
встановлює співвідношення між середнє
та середнім геометричним
ab (або середнім
пропорційним) чисел а і b. Її називають нерівністю Коші для двох
невід’ємних чисел.
Узагальнюйте міркуючи
172. Сформулюйте умови, при яких:
1) число х більше за число у; 2) число m менше за число n.
173. Наведіть приклади: правильної числової нерівності; неправильної числової
нерівності.
174. Відомо, що на числовій осі точка з координатою а лежить праворуч від точки з
координатою b. Як можна записати дане твердження за допомогою нерівності.
175. Продовжить твердження: якщо a b, b a, то…
58

Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 176 - 185 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
176. Cкільки цілиx чисел х, задовольняють нерівність 4,3
x 5,2 ?
А 9 Б 10 В 11 Г 12
177. Укажіть правильну числову нерівність.
А
10 8
Б
10 10
В
3 3
Г
5 2
178. Запишіть у вигляді подвійної нерівності співвідношення х >- 2 і х ≤ 5.
А 5 x 2
Б 2 x 5 В 2 x 5 Г 2 x 5
179. Запишіть у вигляді подвійної нерівності «х не менше за 3
2
, але не більше
за 4
3 ».
2 3
2 3
3 2
3 2
А x Б x В x Г x
3 4
3 4
4 3
4 3
180. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо: a b 2 6 64?
А а ліворуч в Б а праворуч в В співпадають Г встановити не
можливо
181. Порівняйте вирази А та В, де A a
3a
5 i B a
4 2
.
А A B
Б A B
В A B Г порівняти не
можливо
182. Укажіть кількість чисел що кратні 6, які задовольняють нерівність
123 х 141 .
А 3 Б 4 В 5 Г жодного
183. Укажіть вірне твердження.
А
2год 23хв
223хв
Б
5хв 3с
503c
В
3доби 70год 2
Г
56см
: 2см
м 1м28см
59

184. Знайдіть добуток всіх цілих чисел, які задовольняють нерівність.
13 x 12
А
-2378000
Б
2378000
В
0
Г
-23780000
5
2 2
185. Розташуйте числа x 2 ; y 5
; z 5 у порядку спадання.
А
z ; x;
y . Б x ; z;
y В y ; z;
x
Г x ; y;
z
Рівень (Level) II ___________________________________________________
186. Порівняйте величини (Compare the properties):
1) 24 хв і 0,3 год; 2) 0,75 доби і 8 годин; 3) 3 год і 250 хв; 4)7000с і 1,5год.
187. Порівняйте числа х і у, якщо відомо, що (Compare the numbers x and y, if
you know that):
1) x y 5; 3) x y 3,76 0 4; 5) x y 7
;
2) x y 2 5 32; 4) x y 4; 6) x 5 y z,
z 5
.
188. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо:
1) а – b = -2 2 ; 2) а – b = -1 -4 ; 3) b – а = 9 2 ; 4) b – а =1 23 -2 0 ?
189. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо:
1) а – b = 2 3 -3 2 ; 2) а – b =34 0 -1 34 ; 3) b – а = 4 5 ; 4) b – а = -2 -3 ?
190. Порівняйте числа (Compare the numbers):
1)
1 1
3,12
i 3 ; 2) 5 і 5, 3; 3) 133141 і 137 2 ; 4) 29 2 24 2 і 27 2 22 2 .
8 3
191. Порівняйте числа (Compare the numbers):
1)
5 4 131 133 6 6
і ; 2) і ; 3)
7 9 129 131
19 29
і ; 4) ,27 17, 27
1
192. Розташуйте в порядку зростання числа: 1 ; –1,2; 1,14;
3
193. Розташуйте в порядку спадання числа: –0,55;
60
17 і .
1
1 ; –1,5; 1,0(2).
8
1 1 1
; ; 0,16; ; 0,1(7).
3 6 7

194. Знайдіть суму всіх цілих чисел, які задовольняють нерівність (Find the
sum of all integer numbers, which satisfy the inequality):
1) 13 x 12; 3) 17 x 16 ; 5) 25 x 22 ;
2) 14,23 x 13; 4) 50 x 53; 6) 100 x 100 .
195. Відомо, що а < b, порівняйте числа:
1) а – 1 та b + 6; 2) а – 14 та b + 1; 3) b + 5 та а – 8.
196. Відомо, що а < b, порівняйте числа:
1) 5а та 5b + 1; 2) а – 14 та b + 1; 3) b + 5 та а – 8.
197. Ручка на 100% дорожча за зошит. На скільки відсотків зошит дешевший
за ручку?
198. В 9А класі учнів на 25% менше, ніж в 9Б. На скільки відсотків в 9Б класі
більше учнів, ніж в 9А?
199. Скільки існує натуральних чисел х, для яких виконується нерівність:
1) 1 x
1 ; 3) 3 x
4 ; 5) 1 x
1 ;
3 36 2 4 20 5 7 42 6
2) 3 x
4 ; 4) 1 x
1 ; 6) 2 x 1 ?
8 72 9 5 40 4 3
200. Напишіть три значення х, які задовольняють нерівність (Write three values
of the x, which satisfy the inequality):
1) 2 x 1; 2) 1 x 1 ; 3) 2 x 3 ; 4) 11 x 1.
3
8 7 5 5 12
201. Напишіть чотири значення х, які задовольняють нерівність (Write three
values of the x, which satisfy the inequality):
1) 1 x 1 ; 2) 8 9
8 9
x ; 3) x ; 4) 1 x 1 .
8 6 9 10
9 10 11 10
202. Збільшиться, чи зменшиться сума і на скільки, якщо:
4
1) один з доданків збільшити на 2 , а другий зменшити на 9
25 35 ;
2) один з доданків зменшити на
3) один з доданків зменшити на
5
4 6
, а другий збільшити на
3
2 11
, а другий зменшити на
203. Збільшиться, чи зменшиться різниця і на скільки, якщо:
1) зменшуване збільшити на
5
4 9
;
1
3 9
, а від’ємник збільшити на 11
12 ;
5
3 22
?
61

2) зменшуване збільшити на
3
2 , а від’ємник зменшити на 1
8 12 ;
3) зменшуване зменшити на 4
19
, а від’ємник збільшити на
15 20 ?
204. Доведіть нерівність (Prove the inequality):
1) 3(
x 1) x 4(2 x)
; 3) ( 6y 1)(
y 2) (3y
4)(2y
1)
;
2) x 5x
9 x
2 2
2
; 4) x 18x 90 0 .
205. Доведіть нерівність (Prove the inequality):
1) 4( x 2) ( x 3)
2 2
2x
; 3) 3( x 1)
2( x 3) 15x
7 ;
2) y 8 y 2 y
3 2
; 4) 4x 2 12x
10
0.
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
206. Порівняйте числа (Compare the numbers):
2012 2019 2121 414141
1) і ; 2) і .
2017 2024
3131 515151
207. Порівняйте числа (Compare the numbers):
38 11
2121 212121
1) та ; 2) і .
39 12
3131 313131
208. Порівняйте числа а і b, відмінні від 0, якщо:
1) 0,6 числа а дорівнює 8 числа b;
15
2) 3 4 числа а дорівнює 5 6
числа b;
3) 70% числа а дорівнює 5 числа b.
7
209. Порівняйте числа а і b, відмінні від 0, якщо:
4
1) 1 числа а дорівнює 140% числа b;
9
2) 35% числа а дорівнює 1 3
числа b;
3) 45% числа а дорівнює 1 числа b.
2
210. Знайдіть значення виразу та порівняйте його з нулем:
62

1)
2,5 3,25 : 0,5
3,24 : 1,8 18,9 0,05
; 2)
7 3
0,044 6
12 4
.
0,02 0,56 0,020,44
211. Знайдіть значення виразу та порівняйте його з нулем:
3 5 7
; 2) 2
9,7 1,6 : 0,9
8 6 12
1,2 2,5 1,2 4,5 7 1,8
1)
.
1,125 80 1,1 80
212. Щоб виконати норму за зміну, яка складає 120 деталей, робітник повинен
виготовляти у середньому 15 деталей за годину. З якою продуктивністю
повинен працювати робітник, щоб за зміну виготовити більше норми, якщо
відомо, що він почав роботу із запізненням на півгодини?
Світ навколо нас
213. На планеті Земля проживає приблизно 7 000 000 000
людей. Кожні 100 осіб за 1 годину видихають приблизно 1
кг вуглекислого газу. Яку площу повинен займати ліс, щоб у
процесі фотосинтезу, перетворити вуглекислий газ, що
видихають 7000 000 000 людей на кисень? За 1 год 1 га лісу
поглинає 2 кг вуглекислого газу.
Мисліть творчо, логічно, системно
214. Скільки існує натуральних чисел менших 100, які не діляться ні на 5, ні на 7?
215. Скільки різних семицифрових чисел, кратних 5, можна записати за допомогою цифр 0,
2,7?
216. У деякому місяці три п’ятниці припали на парні числа. Яким днем тижня було 15 число
цього місяця?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
217. The porridge and the ice-cream are mixed in the ratio 7:4. How much the porridge should
go with 10 bowls of the ice-cream?
63

§6. Властивості числових нерівностей
Ключові слова
Властивості нерівностей
Нерівності одного знаку
Нерівності протилежних знаків
Keywords
properties of the inequality
inequality with the same sign
inequality with the different sign
Розглянемо основні властивості числових нерівностей,
які часто
використовуються при розв’язуванні задач.
Українською
1. Якщо число а більше за число b, а число
Якщо
Математичною
a b і b c , то a c.
b більше за число с, то число а більше
за число с.
Якщо число а менше за число b, а число
Якщо
a b і b c , то a c.
b менше за число с, то число а менше за
число с.
Доведення. За умовою
a b і c
b , тому b 0
a і b c 0
. Різниці
додатні числа. Сума додатних чисел
a b і b c є число додатне, тому
b
b
c a c 0
a . Оскільки a c 0 , то за означенням число а
більше за число с, тобто
a c , що і треба було довести.
На координатній прямій точка В(b) знаходиться праворуч від точки С(с),
точка А(а) – праворуч від точки В(b). Отже, точка А(а) знаходиться
праворуч від точки С(с).
2. Якщо до обох частин правильної
нерівності додати або відняти одне й
Якщо
a b і с – будь-яке
дійсне число, то
64

те саме число, то отримаємо правильну
нерівність.
Доведення. За умовою
1) a c b c
;
2) a c b c
.
a b , тому різниця b 0.
довільне дійсне число. Запишемо різницю
1) a b a c c b a
c
b
c.
a Нехай с —
a b у такому вигляді:
Оскільки
a b 0 , то і
( a с)
( b с)
0. Отже, за означенням,
a c b c . Що і треба було
довести.
2) a b a c c b a
c
b
c.
Оскільки
a b 0 , то і
( a с)
( b с)
0. Отже, за означенням,
a c b c . Що і треба було
довести.
Наслідок. Якщо будь-який доданок перенести з однієї сторони правильної
нерівності в іншу, змінивши при цьому знак цього доданку на
протилежний, то отримаємо правильну нерівність.
Зверніть увагу!
Якщо до кожної частини правильної подвійної нерівності додати або
відняти одне й те саме число, то отримаємо правильну подвійну нерівність.
Математичною мовою ця властивість запишеться так:
Якщо
a b c і m — довільне дійсне число, то:
1) a m b m c m
; 2)
a m b m c m
3. Якщо обидві частини правильної
нерівності помножити або поділити на
одне й те саме додатне число, то
отримаємо правильну нерівність.
Доведення. За умовою
a b і 0
Якщо
1) bc ac ;
2)
a b .
c c
a b і c 0
, то:
c , тому a b
0 i c 0 тобто додатні
числа. Оскільки добуток таких чисел додатний, то bс
ac bc
0
a .
Оскільки остання різниця додатна, то, за означенням,
ac bc
, що і треба
65

було довести. Для доведення другої частини ділення на число с треба
замінити множенням на додатне число c
1 .
4. Якщо обидві частини правильної
нерівності помножити або поділити на
одне й те саме від’ємне число і змінити
знак нерівності на протилежний, то
отримаємо правильну нерівність.
Доведіть цю властивість самостійно
Зверніть увагу!
Якщо
Якщо
a b c і m > 0, то: 1) am bm cm
; 2)
a b c і m < 0, то: 1) сm bm am
; 2)
66
Якщо
1) bc
2)
a
m
c
m
a b і c 0
ac ;
a b
c c .
b
m
b
m
c
m
a
m
.
, то:
Наприклад, якщо 5 a 4,
то, виконавши відповідні арифметичні дії з
кожною частиною нерівності, отримаємо правильні числові нерівності:
1)
2 a 7 11.
2) 8 3 1
a ;
3) 20 4a 16 ;
4) 12 3a
15;
a
;
2
5) 2,5
2
a
.
2
6) 2 2, 5
Визначте самостійно, які дії виконувались у кожному з випадків 1) – 6).
5. Нерівності одного знаку можна почленно
додавати. При цьому отримуємо
нерівність того самого знаку.
Доведення. За умовою
a b і d
.
Якщо
a c b d .
Якщо
a c b d .
c , тому різниці b 0
a b і c d , то
a b і c d , то
a і c d 0
. Сума
додатних чисел додатна, тому ( a b)
(
с d)
a bc
d
( a c)
(
b
d)
0.
Оскільки остання різниця додатна, то, за означенням,
треба було довести.
Зверніть увагу!
a c b d
. Що і

Властивість 5 виконується також для трьох і більше нерівностей одного
знаку. Наприклад, якщо a < b, c < d і m < n, то a + c + m < b + d + n .
6. Нерівності одного знаку, в яких ліві та
праві частини - додатні числа, можна
почленно перемножати. При цьому
отримуємо нерівність того самого знаку.
Доведення. За умовою
a b , c d , b > 0, d > 0.
Якщо
a b і c d , а > 0,
b > 0, d > 0, то
Якщо
a c b d .
a b і c d , а > 0,
c > 0, d > 0, то
a c b d .
Помножимо обидві частини першої нерівності на с, а другої – на b. За
властивістю 3 отримуємо:
властивістю 1). Що і треба було довести.
Зверніть увагу!
ac bc і cb db . Отже, ac bd (за
Властивість 6 виконується також для трьох і більше нерівностей одного
знаку. Наприклад, якщо a < b, c < d і m < n і всі числа додатні, то
acm < bdn.
7. Нерівність, в якої ліва та права частини
додатні числа, можна почленно
підносити до степеню з натуральним
показником. При цьому отримуємо
нерівність того самого знаку.
Якщо
a b , а > 0,
b > 0, і n — натуральне
число, то
Якщо
n n
a b .
a b , а > 0,
b > 0, і n — натуральне
число, то
n n
a b .
Для доведення цієї властивості треба послідовно почленно перемножити
нерівність
a b на себе n разів. Виконайте це самостійно.
Зверніть увагу!
Якщо
a х b і c y d
, то:
1) a c x y b d ;
2) ac xy bd , якщо а, b, c, d – додатні числа.
67

Приклад 1 . Відомо, що 5 3
1)2a 3b ; 2)2
3b;
Розв’язання
a 3) a 3b
a і 4 5
2 .
b . Оцініть значення виразів:
1) Для оцінки виразу 2a 3b
першу нерівність помножимо на 2, а другу – на
3 і додамо отримані нерівності:
10
2a
6
12
3b
15
22 2a
3b
21.
2) Для оцінки виразу 2a 3b
першу нерівність помножимо на 2, а другу
на (-3) і додамо отримані нерівності:
10
2a
6
15
3b
12
25 2a
3b
18
.
3) У першому завданні було встановлено межі виразу, який стоїть під знаком
модуля: 22 2a
3b
21 . Враховуючи, що модуль числа завжди більше або
дорівнює нулю (властивість модуля), отримуємо остаточну відповідь:
0 2a
3b
22
.
6 x x 5
Приклад 2. Доведіть, що вираз
значень, якщо 2 4
Розв’язання
x .
1) Оскільки 2 x 4 , то 4 2
2) 7 x 5 1 тому 5 0
3) 0 x 2 6 означає, що 2 0
x 2
x , 2 6 8
набуває лише від’ємних
x . Отже 6 0
x . Отже добуток 6 x 5
0
x .
x .
x .
Таким чином, чисельник заданого дробу від’ємний, а знаменник додатний.
Тому вираз приймає від’ємне значення.
Відповідь: вираз має від’ємний знак.
Приклад 3. Знайдіть найбільше значення виразу xy , якщо відомо, що
3x 2y
12
.
Розв’язання
68

Перепишемо рівність 3x 2y
12
у вигляді
3 y x 6
2
. Помножимо ліву і
праву частину цієї рівності на х ≠ 0. Отримаємо
3 yx x 2 6 x .
2
Для
знаходження найбільшого значення виразу xy , виділимо у виразі
квадрат двочлена:
x
2
3
6x
2
3 2
2
3
x
4x (
x 4x
4) 4 x
2 6
3 2
2
2
2
.
3
x 2
6x
2
3
2
Оскільки перший доданок x 2 2 набуває лише недодатниx значень,
то значення виразу x
2 6
xy 3 2 2
буде найбільшим, коли перший доданок
дорівнює нулю. Отже, найбільше значення виразу дорівнює 6.
Відповідь: 6.
Узагальнюйте міркуючи
218. Сформулюйте властивості числових нерівностей.
219. Які дії можна виконувати з числовими нерівностями?
220. Розглянь малюнок і порівняйте а -n і b -n , якщо а > b>0 .
221. Чи є правильним твердження (Does the statement is
true):
1) якщо x y , то x y ; 3) якщо 0 x y , то x 2 xy
;
2) якщо y
x , то x y ; 4) якщо x y
, то
1 1
x y ?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 222-233 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
222. Відомо, що 2 a 6 . Оберіть правильну нерівність.
69

А 7 a 5 1
Б 7 a 5 1
В 1
a 5 7 Г 7 a 5 1
223. Відомо, що 2 a 6 . Оберіть правильну нерівність.
a
a
a
А 3 1
Б 1 3 В 1 3
2
2
2
224. Відомо, що 2 a 6 . Оберіть правильну нерівність.
a
Г 3 1
2
А 4 a 2 36 Б 0 a 2 36 В 0 a 2 4 Г 0 a
2 36
225. Відомо, що 3 a 4; 4 b 6 . Оберіть правильну нерівність.
А 3 a b 0 Б 7 a b 10
В 3 a b 10
Г 7 a b 2
226. Відомо, що 3 a 4; 4 b 6 . Оберіть правильну нерівність.
А 7 a b 10
Б 1 a b 2 В 1
a b 2 Г 9 a b 8
227. Відомо, що a 4;
b 5. Оберіть неправильну нерівність.
А a 2 16 Б b 8
228. Відомо, що x y
a В a b 9 Г ab 18
. Оберіть правильну нерівність.
А
2x 2y
Б x y
В x 3 y 3 Г
229. Відомо, що 2 6
x і 1 5
y . Оцініть xy .
А 6 xy 10 Б 3 xy 11 В 2 xy 15 Г 2 xy 30
230. Порівняйте числа х і у, якщо відомо, що x 4 y z,
z 4.
А
x y Б порівняти не
можна
В
1
x
x y
Г x y
231. Оцініть периметр рівностороннього трикутника зі стороною а см, де
3,4см
a 4,5см.
А
10,2см Р 12,
5см
Б
9,2см Р 13,
5см
В
10,2см Р 13,
5см
1
y
Г
13,5
м Р 10,
2см
232. Знайдіть найменше значення виразу х 2 2 3.
А -2. Б 2 В 3 Г -3
233. Знайдіть найбільше значення виразу 2 х 3 .
А 2 Б -2 В 3 Г -3
70

Рівень (Level) II _________________________________________________
234. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо:
1) а – b = – 7; 2) а – b = 30,6; 3) b – а = – 1,3; 4) b – а = 0?
2
2
235. Оцініть вирази a ; a , якщо (Evaluate the expressions a ; a , if):
1)
2 a 3; 2)4
a 6;
3)
4 a 3; 4)
4 a 5.
236. Відомо, що a b . Порівняйте значення виразів (You know that a b .
Compare the value of the expressions):
1) a 4 і 4
2) a 3 і 1
b ; 3) 0,3a
і 0,3b
; 5) 6 5
a і 6b 6;
b ; 4) 2a 4 і 0,2b 5; 6) – 7a – 3 i – 7b – 4.
237.Оцініть периметр рівностороннього трикутника зі стороною 3,5
a 8, 7.
238. Оцініть периметр ромба зі стороною 7 a 8.
239. Оцініть периметр трикутника із сторонами a,b,c, якщо 3 5
4 c 6 .
240. Відомо, що (You know that) 7 y 4. Оцініть (Evaluate):
a , 4 b 8 ,
1) 5y
; 2) 35 5y; 3) y 5 4 ; 4)
2
y .
241. Відомо, що (You know that) 2 5
1) x y; 2) x y ; 3) ху.
242. You know that 2 5
x і 1 y 3
x і 4 3
. Evaluate:
71
y . Оцініть (Evaluate):
1) ху; 2) x y ; 3) y x ; 4) y x .
243. Порівняйте (-1) 2n · (а -n - b -n ) з нулем, якщо а > b>0 і n N .
244. Чи правильно, що (Is it right that) :
1) якщо а < 2, то а 2 > 2а; 3) якщо а < –5, то а 2 > –5а;
2) якщо а < 2, то а 2 < 2а; 4) якщо -5 –5а?
245. Чи є правильним твердження (Is the statement is true):
2
x 6x
9
1) якщо x 4 , то 8x 32 0 ; 3) якщо x 5,
x 3, то 0 ;
x 5

2) якщо 0 x 3 , то x 3
xx 2 2 0 ; 4) якщо 4 5
246. Чи є правильним твердження (Is the statement is true):
1) якщо x 2
, то 10x 20 0 ; 3) якщо 7
2) якщо 4
x , то 4x 5 0
247. Доведіть, що якщо 5
248. Доведіть, що якщо 5
x ; 4) якщо 1 3
a і 4
a і 4
b , тоді 3a
4b
30.
b , тоді 3a
2b
7.
x , то 4 x 5 0
5 2x
x 3
x 4
x .
x , то 0
3 x x 2
x 5
x , то 0
249. Оцініть довжину бічної сторони b рівнобедреного трикутника з
основою а і периметром Р, якщо
10cм a 24см
і 34см P 50см
.
250. У трикутнику зі сторонами а , b та с, де 2,3см ≤ а ≤ 2,4см,
3,2 см ≤ b ≤ 3,3 см та 4,5 см ≤ с ≤ 4,6 см, поєднані середини сторін.
Оцініть периметр утвореного трикутника.
0
0
251. У трикутнику зробили виміри двох кутів, а саме 50 58
98 102
0
0
B . Укажіть межі величини кута С.
;
.
A і
Рівень (Level) ІІІ ___________________________________________
252. Відомо, що (You know that) 4 a 7
2
1) a 6a 10
; 2)
7
.
7 2a
. Оцініть (Evaluate):
253. Відомо, що (You know that) 6 y 3. Оцініть (Evaluate):
1) y 4 3; 2)
4y
6 .
3
2y
254. You know that 2 6
1) a 3b
2
2 ; 2) a 2
b
a і 3 b 5
3
; 3)
2 2
a 3b
. Evaluate:
; 4) 2a 3b
.
255. Оцініть значення х, якщо відомо, що у — будь-яке число та виконується
умова:
2
1) x y 4y
5 ; 2) x y 2 9 ; 3) x y 6 і y 5; 4) x y 4.
72

256. Оцініть значення х, якщо відомо, що у — будь-яке число та виконується
умова:
1) x y 8 і y 9 ; 2) x y 6 і y 2 ; 3) x y 3; 4) x y 2 і y 5.
257. Знайдіть найбільше значення виразу xy , якщо відомо, що (Find the
maximum value of the expression xy, if you know that):
1) x y 2 2) 2x3y 12 .
258. Біля будинку посаджені липи і берези, причому їхня загальна кількість
більше за 14. Якщо кількість лип збільшити вдвічі, а кількість берез на 18, то
берез стане більше. Якщо ж кількість берез збільшити вдвічі, не змінюючи
кількість лип, то лип все одно буде більше. Скільки лип і скільки берез було
посаджено?
259. Теплохід за течією річки від А до В йде а днів, а від В до А він йде b днів.
Плоти від А до В пливуть с днів. Якому числовому інтервалу належать
значення с, якщо 3 5
a та 7 b 9?
260. На кінцевій зупинці в трамвай сіли пасажири і половина їх зайняли місця
для сидіння. Скільки людей сіли на зупинці в трамвай, якщо після першої
зупинки число пасажирів збільшилось на 8% і відомо, що трамвай вміщує не
більше 70 людей?
Світ навколо нас
261. Добовий раціон дорослої людини повинен містити 3 20 частини білків, 3 10
вуглеводів. Виразіть ці складові у відсотках.
жирів і
11
20
73

Мисліть творчо, логічно, системно
262. У трьох сім’ях чоловіки на 3 роки старші від своїх дружин. Відомо, що Іван на 3 роки
молодший від Надії, Федору і Марії разом 56 років, а Степану і Олені – 50 років. Хто з
ким одружений?
4
4
263. Знайдіть дві останні цифри числа 4 ?
264. Дізнайтеся більше про принцип Діріхле. В чому він полягає. Складіть задачу, яка б
розв’язувалась за допомогою принципу Діріхле.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
265. The proportion of apple trees in my orchard is one in every four. If there are 32 trees in
the orchard, how many apple trees do I have?
§7. Числові множини. Числові проміжки
Ключові слова
множина, числова множина
переріз множин, об’єднання множин
числовий проміжок
об’єднання числових проміжків
переріз числових проміжків
Keywords
set, numerical set
intersection of the sets, union of the sets
numerical interval
union of the numerical intervals
intersection of the numerical intervals
Множина є одним з найважливіших понять сучасної математики.
Множину можна описати як сукупність (набір) деяких об’єктів, об’єднаних за
певною ознакою (властивістю). Наприклад, множина літер українського
алфавіту, множина учнів класу, множина коренів рівняння х 3 = 4х, множина
всіх парних натуральних чисел тощо.
Об’єкти, з яких складається множина, називають її елементами. Наприклад,
елементами множини літер українського алфавіту є літери, елементами
74

множини учнів класу є учні. Множини позначають великими літерами
латинського алфавіту, а елементи множин - маленькими.
Якщо а є елементом множини А, то це позначають так: a ∈ A і читають «а
належить множині А». Якщо елемент b не належить множині В, то це
позначають так: b ∉ B і читають «b не належить множині B». Наприклад, якщо
A є множиною всіх парних натуральних чисел, то 6 ∈ A, а 7 ∉ A.
Множину, яка не містить жодного елемента називають порожньою і
позначають так . Наприклад, порожньою є множина коренів рівняння
х 2 = - 1.
Задати множину можна двома основними способами.
Перший спосіб полягає в безпосередньому переліку елементів множини.
Наприклад, множину учнів даного класу задають списком у класному журналі;
множину коренів рівняння (х – 1)(х – 2)(х – 3) = 0 задають переліком її
елементів: А = {1; 2; 3}.
Для задання множини другим способом указують (описують) її
характеристичну властивість. Характеристична властивість множини – це
така властивість, яку має кожний елемент, що належить цій множині, і не має
жоден з елементів, що цій множині не належить.
Наприклад, у множині А непарних натуральних чисел кожний елемент х
цієї множини є непарним числом (характеристична властивість множини).
Тоді множину А можна записати так: A = {x | x – непарне число}. Ураховуючи,
що кожне непарне число х можна задати формулою x = 2n – 1, де n – будь-яке
натуральне число, то множину А можна записати і так:
A = {x|x = 2n – 1, n ∈ N}.
75

Множини можуть складатися з найрізноманітніших елементів : літер,
учнів, чисел, точок, фігур, предметів, рослин, тварин тощо. Якщо елементами
множини є числа, то таку множину називають числовою. Для деяких числових
множин введено спеціальні позначення.
Множину всіх натуральних чисел
позначають літерою N, множину всіх цілих чисел
– літерою Z, множину всіх раціональних чисел –
літерою Q, множину всіх дійсних чисел – літерою
R. Співвідношення між цими числовими
множинами наведене на діаграмі Ейлера-Венна (мал. 7.1) мал. 7.1
Множину всіх дійсних чисел х, що задовольняють нерівності a ≤ x ≤ b
або a < x < b, a < x ≤ b або a ≤ x < b, x < a або x > a, x a або x ≥ a та
x , називають числовим проміжком.
Зв'язок між числовими нерівностями та числовими проміжками
Зв'язок між числовими нерівностями та числовими проміжками наведені у
наступній таблиці 1.
Табл.1
Числова нерівність
Зображення на координатній
прямій
Позначення
a x b
[ a;
b]
а
a x b
( a;
b)
a x b
( a;
b]
а
а
b
b
b
a x b
a; b
x
x < a ( ;
a)
а x
x > a ( a;
)
x
x
x a
а
x
( ;
a]
76

а х a ;)
x
R ( ;
)
Зверніть увагу!
Якщо один або обидва кінці числового проміжку від а до b не належать
цьому проміжку, то на координатній прямій ці точки “виколюють”.
Приклад 1. Зобразіть на координатній прямій проміжок ( 3,5;2 ].
мал. 7.2
Означення. Перерізом числових множин А і В
називають множину С, яка складається з елементів, що
належать і множині А і множині В, позначають
C A B .
Перерізом двох числових проміжків називають їх
спільну частину (мал 7.3).
Приклад 2. Знайдіть множину С, якщо
1)
9;7,5 ,
B 1;8
А ; 2) А 1;0 , 2;4
C A B , де мал.7.3
В .
Розв’язання
1) Зобразимо проміжки на координатній прямій:
Отже, С= A B
9;7,5 1;8
= 1;7,5
.
мал. 7.4 Відповідь: 1;7,5 .
2)
x
Отже,
C A B 1;0 2;4
.
мал.7.5
Відповідь: немає розв’язків.
77

Приклад 3. Зобразіть на координатній площині переріз множин всі точки,
координати яких (х; y) задовольняють умови:
1) А ( x;
y)
| x 4 ;
B (
x;
y)
| y 2; 2) ( x;
y) | x 1 ;
B (
x;
y) | y 3
А .
Розв’язання
На малюнках 7.5 та 7.6 виконано зображення шуканого перерізу множин.
А
( x;
y) | x 4 ;
B (
x;
y) | y 2
А
( x;
y)
| x 1 ;
B (
x;
y)
| y 3
мал.7.7
мал.7.6
Означення. Об’єднанням числових множин А і В називають множину С,
яка складається з елементів, що належать хоча б одній з цих множин і
позначають
C A B (мал. 7.8).
Об’єднанням числових проміжків називається
множина, яка складається з чисел, які належать хоча б
одному з цих проміжків.
Приклад 4. Знайдіть множину С, якщо
1) А
9;7,5 ,
B
1;8 ; , 2) 1;0
Розв’язання
C A B
, де
А , В 2;4
. мал.7.8
1) Зобразимо проміжки на координатній прямій і знайдемо їх об’єднання:
Отже, С= A B = 9;8.
мал. 7.9 Відповідь: 9;8.
78

2)
мал.7.10
x
Отже, С=
A B = 1;0 2;4
.
Об’єднанням є два роз’єднані проміжки.
Відповідь: 1;0 2;4
.
Приклад 5. Зобразіть на координатній площині об’єднання множин A та В всі
точки, координати яких (х; y) задовольняють умови:
1) А ( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4; 2) ( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4
А .
Розв’язання
На малюнках 7.11 та 7.12 зображено шукане об’єднання множин.
А
( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4
А
( x;
y)
| x 2 ;
B (
x;
y)
| y 4
мал.7.11
мал.7.12
Узагальнюйте міркуючи
266. Назвіть числові проміжки зображені на малюнках:
X
X
X
X
X
X
267. Чи завжди переріз двох числових проміжків є числовий проміжок? Наведіть приклади.
А об’єднання?
79

Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І _____________________________________________________
Завдання 268-277 мають по чотири варіанти відповіді (А-Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
268. Доберіть правильну відповідність між проміжком, зображеними на
координатній прямій та числовою нерівністю.
А 1 Б 2 В 3 Г 4
269. Запишіть множину, що зображено на малюнку, за допомогою числової
нерівності.
А 1 x 4, 5 Б 1 x 4, 5 В 1 x 4, 5 Г 1 x 4, 5
270. Доберіть до нерівності 5 х 4 відповідний числовий проміжок.
А 5;4. Б 5;4
В 5;4
Г
5;4
271. Знайдіть суму цілих чисел, які належать проміжку 6;7,1 .
А 7 Б 13 В 12 Г 6
272. За допомогою координатної прямої, знайдіть найменше ціле число, що
належить перерізу проміжків
12,5; 4,2
і ,28; 13
80
4 .
А -12 Б 4 В 5 Г не існує
273. За допомогою координатної прямої, знайдіть найбільше ціле число, що
належить об’єднанню проміжків
10,8; 6,8
і ,5; 11
3 .
А 6 Б 7 В 10 Г 11
274. Знайдіть кількість елементів об’єднання множин А та В , якщо
А = x | x N, x 9, В = x | x N, x

А 5 Б 11 В 10 Г визначити не
276. Знайдіть: Z N .
можливо
А N Б Q В Z Г
277. Знайдіть: Z Q.
А N Б Q В Z Г
Рівень (Level) ІІ ____________________________________________________
278. Покажіть штриховкою на координатній прямій числові проміжки і
запишіть а) переріз проміжків; б) об’єднання проміжків.
1) 12;4
і 4,5;7 ; 4) ;1,8 і 1 ,8;; 7) ;3
і ;
3 ;
2) 5 ,4;
і 3;4; 5) 3 ;
і 3 ;; 8) 8,5;7,1 і ,7;
3) 5;8,8 і 5;9; 6) 4 ,3;
і ,4;
3 ; 9)(–∞; 9] і (–∞; 19].
5 ;
279. Покажіть за допомогою штриховки на координатній прямій об’єднання
та переріз проміжків:
1) [–4; 1] і [–2; 5]; 3) (–3; 3) і ( –7; 7); 5) (–∞; 8] і (9; ∞);
2) ;5
і 5 ;
; 4) 2 ;
і 2 ;
6) ;3
і ;
3 .
280.
Знайдіть суму та добуток цілих чисел, які належать проміжку (Find the
sum and the product of integer numbers, which belong to the interval):
1) 2;5
; 2) 4,1;
2; 3) 5;
3,7
; 4) 12,4;10,3
.
281. Find the sum and the product of integer numbers, which belong to the interval:
1) ,3
; 2) 5,3;3 ; 3) 8,2;8,3
; 4) 81,4;87,9
.
282. Зобразіть множину чисел, які задовольняють нерівність: а) на
координатній прямій; б) на координатній площині.
x ; 2) 3 x 5 ; 3) 1 x 7 ; 4) 2 x 0 ; 5) x 5 .
1) 4
283. Зобразіть множину чисел, які задовольняють нерівність: а) на
координатній прямій; б) на координатній площині.
x ; 2) 5 x 0 ; 3) 4 x 3 ; 4) x 4 ; 5) x 3.
1) 5
81

284. Зобразіть на координатній прямій проміжок і запишіть відповідну
нерівність (Show the interval on the coordinate line and write the inequality):
1) ;3
;4 6;0 ; 7) ;
5;5 ; 11) 2 ;;
; 3) ; 5)
2 ; 9)
2) 3;5
; 4) 2 ;; 6) 1;5 ; 8) 4;4; 10) ,5; 12) 4;5
.
285. Всі 32 учнів 9 класу вивчають або англійську, або німецьку, або обидві
мови. Скільки учнів цього класу вивчають обидві мови, якщо англійську
мову вивчають 20 учнів, а німецьку – 16?
286. У класі 33 учні. 20 з них займаються у математичному гуртку, 14 – у
фізичному, 7 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки учнів займаються і в
математичному і фізичному гуртках?
Рівень (Level) ІІІ_________________________________________
287. Дано А = {х| 1≤ х ≤ 6}; В = {х| – 1 ≤ х ≤ 3}; С = {х| 2 ≤ х ≤ 5}. Знайдіть:
1) А U В U С; 2) C (AB) ; 3) (A C) ( B C) ; 4) (A C) ( B C) .
288. Дано А = {х| х ≥ 3}; В = { х| х ≥ 2 або х ≤ – 2}; С = { х|– 4 ˂ х ˂ 4}.
Знайдіть:
1) А U В U С; 3) А U (В ∩ С); 5) А ∩ (С U В);
2) А ∩ В ∩ С; 4) (А U В) U (А ∩ В); 6) (А ∩ С) (В ∩ С).
289. Дано: А = [–8; 8) , B = (1; + ∞), C = ( – ∞; 3 ]. Знайдіть:
1) B (A C) ; 4) C (A B) ; 7) (A B) ( A C) ;
2) B (A C) ; 5) C (A B) ; 8) (A B) ( B C) .
290. Зобразіть на координатній площині об’єднання та переріз множин A та В
всі точки, координати яких (х; y) задовольняють умови:
1) А
2) А
3) А
(
x;
у)
| x 2;
B (
х;
у)
| y 3 ;
4) А (
x;
у)
| x 1 ;
B (
х;
y)
| y 3 ;
(
x;
у)
| x 2 ;
B (
х;
y)
| y 2 ;
5) А (
x;
у)
| x 2 ;
B (
х;
y)
| y 3 ;
(
x;
у)
| x 3 ;
B (
х;
y)
| y 1 ;
6) А (
x;
у)
| x 2;
B (
х;
y)
| y 0.
Світ навколо нас
82

291. Деякі речення в романах української письменницісюрреалістки
Емми Андієвської сягають кількох сторінок.
Якщо кількість сторінок, що займає одне речення,
збільшити вдвічі та помножити на різницю кількості
сторінок і 10, то отримаємо число в 10 разів більше, ніж
вихідна кількість сторінок, що займає речення. Скількох сторінок сягають речення цієї
письменниці?
Мисліть творчо, логічно, системно
292. Чи існує восьмицифрове число, у записі якого всі цифри різні, і яке ділиться на всі свої
цифри? Відповідь обґрунтуйте
293. Діана запалює свічки кожні 10 хвилин. Кожна свічка горить продовж 40 хв, а потім
згасає. Скільки свічок будуть горіти через 55 хв після того як Діана запалить першу свічку?
294. На 97 картках написали числа 1, 2, 3, ..., 97. Потім картки перемішуються,
розкладаються чистими сторонами догори і на чистих сторонах знову пишуть числа 1, 2,
3, ..., 97. Для кожної картки числа, які записані на ній, додаються і 97 отриманих сум
перемножуються. Доведіть, що отримане в результаті число є парним.
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
295. Round off 6448,95 to:
1) the nearest thousand; 3) 1 decimal place;
2) the nearest ten; 4) the nearest whole number.
83

Орієнтовні завдання контрольної роботи №2
Тема. Числові нерівності. Числові множини. Числові проміжки
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Оцініть значення виразу 2x
, якщо 4 3
А
x .
6;1 Б 8;
2
В 6;8
Г 8;
6
2. Відомо, що a 4
. Який знак має вираз 2a
8?
А додатній Б від’ємний В дорівнює
нулю
Г визначити
неможливо
3. Як розміщені на координатній прямій відносно одна одної точки А(а) і
В(b), якщо: b 2 6
2 6
a ?
А а ліворуч в Б а праворуч в В співпадають Г встановити не
можливо
4. За допомогою координатної прямої, знайдіть найменше ціле число, що
належить перерізу проміжків
10,5; 6,49
і ; 7,8
6 .
А -10 Б 6 В 7 Г не існує
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. А = {1; 3; 4; 6; 7}, В = {2; 4; 5; 8}. Над цими множинами виконали
операції. Встановіть відповідність між одержаними множинами (1 - 3) та
елементами, з яких вони складаються (А - Г):
1) А ∩ В; А) {4};
2) А U В; Б) {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8};
84

3) (А ∩ В) U В В) {2; 4; 5; 8};
Г) {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}.
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням.
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
6. Порівняйте вирази: b
3 2 i b
2b
4.
7. Відомо, що 3 4
a і 1 5
b . Оцініть значення виразу a 2b
3 .
Достатній рівень
8. Зобразіть на координатній площині переріз та об’єднання множин всі точки,
координати яких (х; y) задовольняють умови:
А
( x;
y)
| 2
x 1 ;
B (
x;
y)
| 2
y 3.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Для преміювання 12 переможців спортивних змагань купили футбольні
м’ячі по ціні 50 грн і волейбольні м’ячі по ціні 40 грн. Скільки волейбольних
м’ячів можна купити, щоб ціна всієї покупки не перевищувала 500 грн?
85

§8. Нерівності зі змінною. Лінійні нерівності
Ключові слова
нерівність зі змінною
розв’язки нерівності
рівносильні нерівності
властивості нерівностей зі змінною
лінійна нерівність
Keywords
inequality with the variable
solutions of the inequality
equivalent inequalities
properties of inequalities with the variable
linear inequality
Крім числових нерівностей, існують нерівності, які містять одну або
декілька змінних.
Задача. Маса будівельної плити 600 кг. Яку кількість таких плит можна
перевезти за один раз вантажівкою, вантажопідйомність якої 2 700кг.
Розв’язання
Нехай х - кількість плит, які може перевезти вантажівка за один раз. Тоді
маса цих плит 600∙х і вона не може перевищувати 2700 кг. Математичною
моделлю умови цієї задачі буде така нерівність: 600 ∙ х ≤ 2700. Ця
нерівність містить одну змінну.
Одну змінну містять, наприклад, і нерівності
x - 7 < 2x, 7x + 2 > 1 – x, |x| ≤ 0, 3x
2 4 5х
2
. Такі нерівності,
називають нерівностями з однією змінною.
У нерівності змінна може набувати різних числових значень. При одних
з них нерівність зі змінною перетворюється на правильну числову нерівність,
а при інших – на неправильну.
Означення. Значення змінної, яке перетворює нерівність з однією
змінною на правильну числову нерівність називають розв’язком цієї
нерівності.
Наприклад, значення х 3, х 0, х -3 є розв’язками нерівності 2x
1
8
, тому що кожне з них перетворює її на правильну числову нерівність. Дійсно,
2 ∙ 3 + 1 < 8, 2 ∙ 0 + 1 < 8, 2 ∙(- 3) + 1 < 8, є правильними числовими
86

нерівностями. А значення х 10 не є розв’язком цієї нерівності, оскільки 2 ∙
10 + 1 < 8 є неправильною числовою нерівністю.
Усі розв’язки нерівності утворюють множину її розв’язків.
Множиною розв’язків нерівності з однією змінною
переважно є
множина, яка складається з одного або кількох числових проміжків, може
також бути множиною, що містить один чи кілька чисел, а може бути і
порожньою множиною.
Наприклад:
1) множиною розв’язків нерівності 2х 0 – об’єднання проміжків (-∞;0) (0;∞)
оскільки |x| завжди приймає тільки невід’ємні значення;
2
3) множина розв’язків нерівності х 4
порожня (нерівність розв’язків
не має), бо квадрат будь-якого числа завжди є числом невід’ємним.
Означення. Дві нерівності називають рівносильними, якщо вони
мають одні й ті самі розв’язки, тобто якщо кожний розв’язок
першої
нерівності є розв’язком другої, а кожний розв’язок другої нерівності є
розв’язком першої. Нерівності, які не мають розв’язків, також вважають
рівносильними.
Розв’язати нерівність — означає знайти всі її розв’язки або довести, що
їх немає (тобто, знайти множину її розв’язків, або показати, що ця множина
порожня).
Розв'язують нерівність, замінюючи її рівносильними їй, але простішими.
При цьому користуються наступними властивостями нерівностей (порівняйте
ці властивості з властивостями рівнянь).
87

Властивості нерівностей зі змінною
Якщо який-небудь доданок перенести з
однієї частини нерівності в другу, змінивши
його знак на протилежний, то отримаємо
нерівність, рівносильну даній.
Наприклад:
х – 2 < 4 рівносильна х < 6, ( -2 перенесли в
праву частину нерівності, змінивши знак на
протилежний)
Якщо обидві частини нерівності помножити
або поділити на одне й те саме додатне число,
то отримаємо нерівність, рівносильну даній.
Наприклад:
6 18
x рівносильна 3
x ,
(обидві частини нерівності поділили на 6 > 0)
Якщо обидві частини нерівності помножити
або поділити на одне й те саме від'ємне
число і змінити знак нерівності на
протилежний, то отримаємо нерівність,
рівносильну даній.
Властивості рівнянь
Якщо який-небудь доданок
перенести з однієї частини
рівняння в другу, змінивши
його знак на протилежний, то
отримаємо рівняння,
рівносильне даному.
Якщо обидві частини рівняння
помножити або поділити на
одне й те саме відмінне від
нуля число, то отримаємо
рівняння, рівносильне даному.
Наприклад:
4x 12 рівносильна нерівності x 3
,
(обидві частини нерівності поділили на -4 < 0).
Завершимо тепер розв’язання задачі, сформульованої на початку параграфа.
Розв’яжемо нерівність 600 ∙ х 2700. Поділимо обидві частини нерівності на
600. Отримаємо: х 4,5. Розв’язком нерівності є всі числа з проміжку (-∞;
4,5), а розв’язками задачі є числа 1, 2, 3, 4.
Відповідь: 1, 2, 3, 4.
88

Означення. Нерівності вигляду
Лінійні нерівності
ax b , ax b , ax b , ax b , де а і
b — будь-які дійсні числа, а х — змінна, називають лінійними нерівностями
з однією змінною.
Розглянемо розв’язання лінійних нерівностей для різних значень а.
ax b
Якщо a 0 Якщо a 0
Якщо a 0
то
b
x то
a
b
x b 0
b 0
a
табл.1
Відповідь:
b
a
;
Відповідь:
b
;
a
0 x b 0 x b
Відповідь:
розв’язків
немає
Відповідь:
;
табл.2
ax b
Якщо a 0 Якщо a 0
Якщо a 0
то
b
x то
a
b
x b 0
b 0
a
Відповідь:
b
a
;
Відповідь:
b
;
a
0 x b 0 x b
Відповідь:
розв’язків
немає
Відповідь:
;
табл.3
ax b
Якщо a 0 Якщо a 0
Якщо a 0
89

то
b
x то
a
b
x b 0
b 0
a
Відповідь:
b
; a
Відповідь:
b
;
a
0 x b 0 x b
Відповідь:
розв’язків
немає
Відповідь:
;
Розв’язання лінійних нерівностей
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність: 1)
Розв’язання
ax b та ax b розгляньте самостійно.
3x 1 4 2х
; 2) 2 3 4x
2
x .
1) У праву частину нерівності перенесемо числа з протилежним знаком, а у
ліву ‒ доданки що містять змінну. Отримаємо: 3 2х
4 1
Відповідь: 5 ;
.
x , x 5.
2) Після перенесення доданків дістанемо рівносильну нерівність 3 2 4х 2х
звідки 2 5
x ; x 2, 5.
Відповідь: x 2, 5
.
Зверніть увагу!
,
Множини розв’язків нерівностей зручно записувати у вигляді числових
проміжків. Наприклад, множину всіх дійсних чисел, не більших за 2,5
Відповідь до прикладу 2) можна записати проміжком ;2,5
(«від мінус
нескінченності до 2,5 включно»).
Приклад 2. Туристи виїхали за течією річки на прогулянку моторним
човном і мають повернутися на базу не пізніше, ніж через 4 години.
Швидкість човна у стоячій воді дорівнює 12 км/год, а швидкість течії 2 км/год.
На яку відстань можуть від’їхати туристи щоб повернутися вчасно?
Розв’язання
90

Нехай найбільша відстань, на яку можуть від’їхати туристи, дорівнює х
км. Оскільки швидкість човна за течією 12 + 2 = 14( км/год), а проти течії
12 – 2 = 10 (км/год), то час руxу човна за течією
14 х год, а проти течії -
10
х
год. Вся погулянка буде тривати
х
14 10
х (год). Математичною моделлю умови
цієї задачі буде така нерівність: х х 4 . Розв’яжемо цю нерівність: зведемо
14 10
10х 14х
140
дроби до спільного знаменника: 4;
помножимо ліву і праву частину
нерівності на 140, отримаємо: 10х + 14х ≤560, 12 x ≤ 280; x ≤23 3
1 .
Відповідь: туристи можуть від’їхати на відстань, що не перевищує 23 3
1 км.
Приклад 3. Знайдіть область визначення виразу:
1)
4 5x
; 2) 3 2 3 2x1
2.
Розв’язання
1) Для виразу 4 5x
областю визначення є всі числа, що задовольняють умову
4 5x 0
.
Розв’яжемо цю нерівність: 5
4,
5x
4 ,
x x 0,8 .
Відповідь:
; 0,8 .
2) Для виразу 3 2 3 2 1
2
x областю визначення є всі числа, що
задовольняють умову 3 2 3 2 1
2 0.
3
x Розв’яжемо цю нерівність:
2 1
2x 2 1 0, 2x 2 1 3 2 1,
2х
3
( оскільки 2 1
х 1,5.
Відповідь: [-1,5;∞).
0),
91

Дізнайтеся більше!
Графічне розв’язування нерівностей
Щоб розв’язати нерівність f ( x)
g(
x)
графічно, треба:
1) в одній системі координат побудувати графіки функцій y f (x)
та
y g(x) ;
2) знайти абсциси точок перетину графіків цих функцій (при необхідності
зробити це точно, розв’яжіть рівняння f ( x)
g(
x)
3) визначити проміжки, на яких точки графіка функції y f (x), розташовані
нижче відповідних точок графіка функції y g(x)
y
(мал.8.1)
мал. 8.1
а
b
x
f ( x)
g(
x)
тобто
a x b
Приклад 1. Розв’яжіть графічно нерівність 0,5х ≤ –0,25х + 1,5.
1) Побудуємо в одній системі
координат графіки функцій
у = 0,5х та у = – 0,25х + 1,5 (мал.8.2).
2) Знайдемо абсцису точки їх перетину:
х = 2.
3) На проміжку (–∞; 2] точки графіка у
= 0,5х розташовані нижче
Мал.8.2
відповідних точок графіка у = –0,25х
+ 1,5.
Відповідь: (–∞; 2].
92

2
Приклад 2. Розв’яжіть графічно нерівність x 2x 3.
1) Перепишемо дану нерівність у вигляді
2
х 3 2х і побудуємо в одній системі
координат графіки функцій
2
y х та y 3 2х
(мал.8.3).
Мал.8.3
2) Знайдемо точку їх перетину: х 1 =-3,
х 2 =1.
3) На проміжку 3;1 точки графіка
у = 3 - 2х знаходяться вище відповідних
точок графіка у = х 2 .
Відповідь: 3;1 .
Приклад 3.
Мал.8.4
Розв’яжіть графічно нерівність
4 x
1
x
1) Будуємо два графіки: y i y x.
(мал.8.4)
2) Знаходимо точки їх перетину: х 1 =-2,
х 2 =2.
3) На проміжках ;0 2;
графіка
y
4
x
4
x
2 та точки
знаходяться нижче
відповідних точок графіка y x.
Відповідь. ;0 2;
2 .
Узагальнюйте міркуючи
296. Наведіть властивості нерівностей зі змінною, що використовуються при
розв’язуванні нерівностей.
1) З яких властивостей числових нерівностей вони випливають?
93

2) Які з них подібні, а які відмінні від відповідних властивостей рівнянь?
297. Обґрунтуйте рівносильність чи нерівносильність нерівностей:
1 1
1 1
1) –3х > 6 i x > –2; 2) 3х > –6 i x > –2; 3) x 5 i x 5; 4) x 4 i .
x 3 x 3
x 4
298. Наведіть нерівність зі змінною х:
1) яка не має жодного розв’язку; 3) розв’язком якої є тільки одне число (-3);
2) розв’язком якої є кожне дійсне число; 4) множиною розв’язків якої є проміжок (-∞; 4).
299. Скільки розв’язків може мати лінійна нерівність?
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І __________________________________________________
Завдання 300 - 311 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких тільки
один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
300. Укажіть множину розв’язків нерівності 0 х 6 ?
А множина
додатніх
дійсних чисел
Б множина
невідємних
дійсних чисел
В множина
дійсних чисел
Г
301. Укажіть найбільше ціле число, яке є розв’язком нерівності 2,1
y 0,2 4
А -3 Б -2 В -1 Г 0
1
t .
2
302. Розв’яжіть нерівність 4
А (-∞; -8) Б ( -8;∞) В (-2; ∞) Г (-∞; -2)
303. Оберіть нерівність розв’язками якої є всі дійсні числа:
х Б х 4 2 0 В 0 x 0
3
А 1
х 3
304. Укажіть нерівність, множина розв’язків якої порожня:
Г
x
x
2
2
4
4
1
2
А х 2 2 0 Б х 2 2 0 В х 2 2 0 Г х
2 2 0
305. Розв’яжіть нерівність 6x 12
x
9 .
94

А x 3
Б x 3
В x 3 Г x 3
306. Укажіть нерівність, рівносильну нерівності x < 3:
А x + 3 < 0 Б x − 3 > 0 В 2x 6
Г 2x
6
307. Знайдіть область визначення виразу 4 2х
.
А [-2;∞) Б (-∞;-2] В (-∞; ∞) Г
308. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є порожня множина?
А 3 0
х Б х 3 0 В 2 2 0
х Г х 3 0
309. Множиною розв’язків якої з наведених нерівностей є одне число?
А 5 0
х Б х 5 0 В 5 2 0
2
15 10x
310. Розв’яжіть нерівність 0 .
х Г х 5 0
А x 1, 5
Б x 1, 5
В x 1, 5 Г x 1, 5
311. На малюнку зображено графіки функцій y = f(x) та y = g(х), що визначені
на відрізку [-3;2]. Укажіть проміжки, на яких виконується умова f(x) g(x).
А Б В Г
[-3; -2]U[1; 2] [-3; -2] [1; 2] [ -2; 1]
Рівень II _______________________________________________________
312. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 2x 0; 3) 8z 1, 6; 5) 2 x 6
; 7) 21y 4 3;
5
2) x 1;
4) 0,2x 1,
2;
7
6) x 1;
8) 7x 1
13
.
8
8
313. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
95

7
1) 35
9
2
1
x ; 3) z 8 ; 5) t 2 ; 7) 9 5
3
3 3
5
2) x 6; 4) 2x 11; 6) 1,7
x 1,
69 ;
1
8) 12 t 2 .
314. Чи рівносильні нерівності (Are the inequalities equivalent)?
1) 3х ≤ 0 та
11 11
5x
x x
1
2
2
x ;
; 3) 2x + 3 > 0 та 2x + 3 + (x – 8) > x – 8;
5
2x
9 x
3
9 x
2) 2х > 3 та
2
2
1 1
; 4) 3x + 3 > 0 та 3x + 3 + > . x x
315. Зобразіть а) на координатній прямій та б) на координатній площині
множину чисел, які задовольняють нерівність:
1) x 3; 3) x 2 ; 5) x 6; 7) 1 x 6 ; 9) 4 x 3 ;
2) x 2, 5; 4) x 5; 6) x 5
; 8) 3 x 0 ; 10) 1,5
x 3, 5.
316. Зобразіть а) на координатній прямій та б) на координатній площині
множину чисел, які задовольняють умову:
1) x 4 ; 3) x 3, 5 ; 5) 2 x 4 ; 7) 1 x 7 ; 9) 2,5
x 9;
2) x 2
; 4) 0 x 5; 6) 1 x 2 ; 8) 2 x 2 ; 10) 0 x 4.
317. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 4(3x 2) 14
6(2x
1)
; 4) 2(3
4x ) 5x
3x
5
;
2) ( x 2)( x 2) ( x 4)
2 3x; 5) 6(1
x ) ( x 1)
7x
7 ;
3) 4(
x 1)
7 1
4( x 2)
; 6) 12x 2 (4x
2)(3x
1)
7x
8
.
318. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1)
( 9
2
2
x 1)(4x
1)
1
(6x
1) ; 3) (3 2) 0,5x
(3x
2)(3x
2) 4, 5
96
x ;
2
2) 0,2(1
5x ) x 1,
4; 4) (2x 1)(3x
1)
6x
6x
7 .
319. Функція задана формулою у = 0,5х + 1. При яких значеннях х: 1) у = 0;
2) у ˃ 0; 3) у ˂ 0? Побудуйте графік функції та проілюструйте свою відповідь
на графіку.
320. Функція задана формулою у = – 0,5х + 2. При яких значеннях х функція
набуває додатних та при яких від’ємних значень? Знайдіть відповідь двома
способами: 1) розв’язавши нерівність; 2) побудувавши графік.
321. На малюнку зображено графік функції у = f(x), визначеної на проміжку

[– 2;6]. За графіком знайдіть множину розв’язків нерівності f(x) 2 .
322. На малюнку зображено графік функції y = f(x), що визначена на проміжку
[ - 3; 4]. За графіком знайдіть множину розв’язків нерівності f(x)≥4.
323. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:
3x
2
4
2x
2
6
3x 1
2x
5 3
1) 2 ; 3) 6 ;
3x 2 5x
1
9 6
2) 1; 4)
1 x
2x
1
6 x 5
6
12
324. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
2 3x
2
2 3x
3
1) 1
x
2x
1
5 x
5 3
2) ;
2
2
; 3) x
6x
9
x
4x
4 0;
2x 1
2x
2
5 3
4) 2.
325. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
0
1) 0;
x 3
3
5 2
2) 0;
x
x 2
3) 0; 5)
3
3 27
4)
x 5
2
0; 7) x 2 3;
2
2
x
3 0; 6) x 4 0; 8) x
4 x 4 0.
.
326. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
2
10 5x
2 21x
7x
2
2x
1
4 x
1) 0 ; 3) 3
; 5) 2
;
97

x 1 0
4 12x
x 3 0
8 4x
2) 0 ; 4) 0
0
4 4x
; 6) 0.
х 2
327. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the expression):
1
1) 1 x ; 3) 2x
; 5) х 1 2
; 7) 3 х ; 9)
;
2
x 6x 9
1
x
2) 5 x ; 4) 2x 1; 6) 1 4x
; 8) ; 10) .
2 x
x 3
Рівень III _________________________________________________________
328. Розв’яжіть рівняння (Solve the equation):
2
1) x 3 x 1
0 ; 3) 9 x 1
0
2
2) x 2 x 1 0 ; 4) x x 2 0
2
x ; 5) 4x x 3 0
98
x ;
x ; 6) x x
2 x
329. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1
2
1) 2x 3x
4x
4 2х
4 1 1 0.
2
1
1
0
x 1
1
; 3) 3x 3x
2
0 3
3
2) ( x ) ( x 1)
2x
5
x
1
3x
6
2
x 9 x 1
x ; 4) 2x
.
x 3 x 2
330. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1
1)
x
23
x 1
5
1 1 1
x x 5 2
0 ; 3) 3x
4x
6x
8x
16
6x.
9x
5
2
3
3 5x
3
8x
2
4
2) 2;
3
331. Знайдіть множину розв’язків нерівності:
1)
2)
x 1
5 2( x 1)
11
x x ; 3)
9 4 12
2y
1
y 3y
12
y
4
6
y 1
2
2
0
2
;
x 6 2x 1 3 8x
x ;
3 7 21
3 7x
10
x 1
2
7 8x
2
; 4) 13 14 .
332. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 5 26(4
3x ) 0 ; 4) 4x 12
3 3 2
0 ;
2) 2 13(2 3x)
7(2 3x)
; 5) 6x 7 10 2 10x
21;

3) 3 10 6 3x 52
3 10; 6) 1 3 2 x 2 3
x .
333. Розв’яжіть нерівність графічно (Solve the inequality with the graph):
6
2
1) 5 x ; 3) x 2x 3; 5) x 6 x;
x
3
2
2) x 2 ; 4) x x 6;
6) x 12 x.
x
334. Розв’яжіть нерівність графічно (Solve the inequality with the graph):
2
1) x 4x 3 0;
8
3) x 2;
x
5) x 2 x ;
2) 15 x 2 2x
;
3
4) x 4 ;
x
Світ навколо нас
6) x x 6 0 .
335. У Вас є 10 000 ₴ та1000 $. Ви бажаєте проаналізувати ставки за депозитами, які
пропонують банки на українському ринку, і вибрати той банк, куди б Ви поклали свої
гроші. Проаналізуйте також рейтинги банків та лояльність клієнтів тощо. Зробіть
обґрунтований вибір.
Мисліть творчо, логічно, системно
336. Восьмеро друзів вирішили провести турнір з шахів так, щоб зіграли один з одним по
одній партії. Скільки партій буде зіграно?
337. Чи може число, в десятковому записі якого використано 100 одиниць та 100 двійок, а
решта цифр – нулі, бути точним квадратом?
338. Скільки різних добутків, кратних 10, можна утворити з чисел 2, 3, 5, 7, 9?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
339. Which one is bigger: the total area of orange or the total area
of red?
99

§9. Системи та сукупності лінійних нерівностей з однією змінною
Ключові слова
система лінійних нерівностей
розв’язок системи нерівностей
сукупність лінійних нерівностей
розв’язок сукупності нерівностей
Keywords
systems of the linear inequalitу,
solution of inequalities system
totality of the linear inequalitу
solution of inequalities totality
Системи лінійних нерівностей
1
Знайдемо область визначення виразу: 2 х .
х 3
Заданий вираз є сумо двох доданків. Тому областю його визначення
буде спільна частина областей визначення виразів, які до нього входять.
Область визначення виразу 2 х визначається нерівністю 2 – х 0, a
1
область визначення виразу ‒ нерівністю – х – 3> 0. Отже областю
х 3
1
визначення виразу 2 х буде множина спільних розв’язків
х 3
нерівностей 2 – х 0 тa – х – 3> 0.
Якщо треба знайти спільні розв'язки двох або декількох нерівностей з
однією змінною, то говорять, що треба розв'язати систему нерівностей.
Систему нерівностей записують за допомогою фігурної дужки.
Таким чином, для знаходження області визначення заданого виразу
треба розв'язати систему нерівностей 2 x 0,
x 3 0.
Означення. Розв'язком системи нерівностей з однією змінною
називають значення змінної, яке є розв'язком кожної з нерівностей системи.
100

Наприклад значення х = ‒ 4 є розв'язком системи 2 x 0,
x 3 0.
оскільки
перетворює кожну нерівність системи на правильну числову нерівність:
2
( 4)
0,
( 4)
3 0.
А значення х = 2 не є розв'язком цієї системи оскільки перетворює на
правильну числову нерівність тільки першу нерівність системи 2 2 0,
2 3 0.
Розв'язати систему нерівностей означає знайти всі її розв'язки або
показати, що їх немає.
Щоб розв’язати систему нерівностей з однією змінною, треба
розв’язати кожну нерівність системи окремо і знайти переріз множин їх
розв’язків.
Для того, щоб розв’язати систему нерівностей 2 x 0,
x 3 0.
розв’яжемо кожну нерівність окремо: x 2,
x 2,
x 3,
звідки x 3.
Зобразимо множину розв’язків кожної нерівності проміжком на
координатній прямій і знайдемо їх переріз:
мал. 9.1
Перерізом є проміжок (-∞; -3). Цей проміжок буде розв’язком системи
1
нерівностей, а отже, і областю визначення виразу 2 х
х 3 .
Приклад 1. Розв’яжіть систему нерівностей:
Розв’язання
101
3
4
x
2
21
x
x 3 17 x
6x
10,
Виконаємо рівносильні перетворення кожної нерівності системи,
отримаємо:
5 .

3
4
x
2
21
x
6x
10,
3x
6 2 2x
6x
10,
2
x,
x
x 3 17 x 5 , 4x
3 17 x 5, 5x
25, x
Зобразимо множину розв’язків кожної нерівності проміжками на
координатній прямій:
2,
5.
мал. 9.2
Перерізом цих проміжків є проміжок 2 ;5
, який є розв’язком системи
Відповідь:
2 ;5
.
Зверніть увагу!
Розв’язРозв’язок системи нерівностей можна записувати у вигляді числового
проміжку або нерівності чи подвійної нерівності. Наприклад, замість
проміжку (-∞; -3) у відповіді можна записати нерівність x 3
, а замість
проміжку 2 ;5
‒ подвійну нерівність
2 5
х
.
Приклад 2. Зобразіть на координатній площині всі точки, координати яких
(х; y) задовольняють умову
x 3,
y 2.
мал.9.3
Розв’язання
Побудуємо на координатній площині графіки
рівнянь
х = -3 і у = -2. Пряму x 3
зобразимо
суцільною лінією (бо нерівність x 3
нестрога і значення абсцис точок, що
належать цій прямій, будуть її
розв’язками). Пряму y 2
зобразимо
пунктирною лінією (бо нерівність y 2
строга і значення ординат точок, що
належать цій прямій не будуть її
102

розв’язками). Заштрихуємо півплощину
що знаходиться справа від прямої x 3
. Абсциси точок цієї півплощини
задовольняють умову 3
x .
Заштрихуємо півплощину, що
знаходиться під прямою y 2
.,
Ординати точок цієї півплощини
задовольняють умову y 2.
Зображенням точок, координати яких
задовольняють умову
x
3,
y
2,
буде
спільна частина (переріз)
заштрихованих півплощин (мал. 9.3).
Зверніть увагу!
Розв’язанням системи нерівностей можна замінити розв’язання подвійної
нерівності. Наприклад, розв’язання нерівності a х c можна замінити
розв’язанням системи нерівностей a х;
х c.
Розв’язання всіх інших видів подвійних нерівностей зводиться до
розв’язання систем нерівностей аналогічно.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 2х
4 3 5x
7
3х.
Розв’язання
Замінимо розв’язання заданої подвійної нерівності розв’язанням системи
нерівностей
2x
4 3 5x,
3 5x
7
3x;
103

7x
7,
2x
10,
x
1,
x
5.
Зобразимо множину розв’язків кожної нерівності
проміжками на координатній прямій
мал. 9.4
Переріз проміжків ‒ порожня множина. Це означає, що система нерівностей,
а отже і задана подвійна нерівність, розв’язків не має.
Відповідь: немає розв’язків.
Сукупності нерівностей з однією змінною
Якщо треба знайти значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з
двох або декількох нерівностей з однією змінною, то говорять, що треба
розв'язати сукупність нерівностей.
Сукупність нерівностей записують за допомогою квадратної дужки.
До розв’язання сукупності нерівностей зводиться, наприклад,
розв’язання нерівності |2x + 5| > 3.
Дійсно, для того, щоб виконувалась задана нерівність, вираз, що стоїть
під знаком модуля, має набувати значень або більших за 3, або менших за
- 3.
Таким чином, розв’язання нерівності |2x + 5| > 3 водиться до
розв’язання сукупності нерівностей
2x
5 3,
2x
5 3.
Означення. Розв'язком сукупності нерівностей з однією змінною
називають значення змінної, яке є розв'язком хоча б однієї з нерівностей
сукупності.
Розв’язати сукупність нерівностей означає знайти всі її розв’язки
або показати, що їх немає.
104

Для того, щоб розв’язати сукупність нерівностей з однією змінною,
треба розв’язати кожну нерівність окремо і знайти об’єднання множин їх
розв’язків.
Розв’яжемо сукупність нерівностей
2x
5 3,
2x
5 3.
Для цього розв’яжемо кожну нерівність сукупності окремо:
x
1,
x
4.
2x
2,
2x
8,
Множинною розв’язків першої нерівності сукупності буде проміжок
(-1; ∞), а другої ‒ проміжок (-∞; -4).
Множинною розв’язків сукупності нерівностей, а отже і нерівності
|2x + 5| > 3, буде об’єднання цих проміжків (-∞; -4)(-1; ∞) .
Приклад 4. Розв’яжіть сукупність нерівностей:
3х
1
2,
1)
2x
1
7;
4х
2 4 x,
2)
2x
1
x 7.
Розв’язання
1) Розв’яжемо кожну нерівність сукупності окремо і знайдемо
об’єднання множин отриманих розв’язків:
3х
1
2,
2x
1
7,
Відповідь:
; .
х
1,
x
4.
мал. 9.5
( ;1) [
4;
)
;
4х
2 4 x,
5х
2,
2)
2x
1
x 7,
x
8,
Відповідь: 8
; 0,4;
.
х
0,4,
x
8.
105
мал. 9.6
;
8
0,4;

Приклад 5. Зобразіть на координатній площині всі точки, координати яких
(х; y) задовольняють умову
мал.9.7
x
3,
y 2;
Розв’язання
Побудуємо на координатній
площині графіки рівнянь х = -3 і
у = -2. Пряму x 3
зобразимо
суцільною лінією, а пряму y 2
‒
пунктирною.
Заштрихуємо
півплощину, що знаходиться справа
від прямої x 3, абсциси всіх
точок якої задовольняють умову
x 3
. Заштрихуємо півплощину,
що знаходиться під прямою
y 2
, ординати всіх точок якої
задовольняють умову y 2.
Зображенням
точок, координати
яких задовольняють умову
x
3,
y 2;
буде об’єднання заштрихованих
півплощин (мал. 9.7).
Дізнайся більше!
Нерівності з однією змінною, що містять знак модуля
Розглянемо розв’язання нерівностей виду
деякі числа.
х а b або х а b
, де а і b
106

Пригадаємо, геометричний зміст вразу
х а : це відстань між точками а
та х на координатній прямій. Оскільки відстань між точками виражається невід’ємним
числом, то можемо зробити наступні висновки.
1. Якщо b 0.
а)
Для того, щоб розв’язати нерівність х а b треба на координатній
прямій знайти всі точки, віддалені від точки а на відстань менше за b
(мал. 9.8). З малюнка видно, що такими точками будуть точки, для яких
a-b

у свою чергу, рівносильна системі нерівностей
x a b,
x a b.
Таки чином
розв’язання нерівності
х а b
подвійної нерівності або системи нерівностей.
можна замінити розв’язанням записаних
Приклад 6. Розв’яжіть нерівність х 1 5.
Розв’язання
I cпосіб (геометричний) (на основі геометричного змісту модуля)
мал. 9.9
Для того, щоб розв’язати нерівність
х 1 5 треба на координатній прямій
знайти точки, віддалені від точки з координатою х=1 на відстань менше за
5 ( мал. 9.9 ). Такими точками будуть точки, що належать проміжку (–4; 6).
ІІ спосіб (аналітичний)
Розв’язання нерівністі х 1 5 замінимо розв’язанням системи
нерівностей
x 1
5,
x 1
5,
Відповідь: -4

Наведені умови можна записати у вигляді сукупності нерівностей
x
a b,
x
a b.
Таки чином розв’язання нерівності
х а
b
можна замінити розв’язанням
записаної сукупності нерівностей.
Приклад 7. Розв’яжіть нерівність: х 1 3.
Розв’язання.
I cпосіб (геометричний)
Представимо нерівність
х 1 3 у вигляді х ( 1)
3 .
Для того, щоб розв’язати нерівність х ( 1)
3 треба на координатній
прямій знайти всі точки, віддалені від точки -1 на відстань, не меншу за 3
(мал. 9.11). З малюнка видно, що такими точками будуть точки, для яких
координата х задовольняє умови x≤-4 або x≥2. Такими точками будуть
мал. 9. 11
ІІ спосіб (аналітичний)
точки, що належать об’єднанню
проміжків ;
4
2;
Замінимо розв’язання нерівністі х 1 3 розв’язанням сукупності
нерівностей
x
1
3,
x
1
3,
Відповідь: 4
2;
; .
x
2,
x 4.
Приклад 8. Розв’яжіть нерівності:
1) 4x 3 6
2x
; 2) 14x 2x
3; 3) x 2 5
x 3.
Розв’язання
109

1) Розв’язання нерівності 4x 3
62x
замінимо розв’язанням
сукупності нерівностей
4x
3 6 2x,
4x
3 2x
6,
x
1,5;
x 1,5.
мал. 9.12
Відповідь: ; 1,5
1,5;
.
2) Розв’язання нерівності 14x 2x
3
замінимо розв’язанням системи
1
1
4x
2x
3, x
, 1
нерівностей
3 x 2.
1
4x
2x
3, 3
x
2,
мал. 9.13
1
; 2
3
Відповідь:
1
;2 .
3
3) Розв’язання нерівності x 2 5
x 3
замінимо розв’язанням
сукупності нерівностей
x 2 5 x 3,
x 2 5 3 x,
x 2
x 2
x 2,
8 x,
x
2 x 2
x
2 x
2,
x
2 8 x,
0
x 4,
x
2 x 8, x
0,
x
5,
0
x 6,
x
0,
x
5.
Відповідь:
;5.
мал. 9.14
Узагальнюйте міркуючи
110

340. Яким сполучником української мови можна замінити знак: 1) системи; 2)
сукупності?
341. Яку треба виконати операцію над множинами розв’язків кожної з нерівностей при
розв’язуванні системи нерівностей
342. Яку треба виконати операцію над множинами розв’язків кожної з нерівностей при
розв’язуванні сукупності нерівностей?
343. Чи може множина розв’язків: 1) системи нерівностей; 2) сукупності нерівностей
містити тільки один елемент? Якщо так, то наведіть приклад такої системи та сукупності.
Розв’яжіть самостійно
Рівень (Level) І ______________________________________________
Завдання 344 – 351 мають по чотири варіанти відповіді (А – Г), з яких
тільки один є правильним. Оберіть правильний варіант відповіді
х 5,
344. Доберіть розв’язок системи нерівностей x
А 0 Б -6 В -7 Г -4,2
345. Доберіть розв’язок сукупності нерівностей
3.
х 5,
x 2.
А 0 Б 5 В 4 Г -6,7
2x
4,
346. Розв’яжіть систему нерівностей x
А немає Б будь-яке В х = - 2 Г х ≥ - 2
розв’язків дійсне число
347. Розв’яжіть сукупність нерівностей
2.
x 2,
x 2.
А немає Б будь- яке
розв’язків дійсне число
348. Розв’яжіть нерівність 4 2 3х 5 .
В х = - 2 Г х ≥ - 2
111

А 2 х 1
Б 1
х 2 В 2 х 1
Г 1 х 2
349. Розв’язком якої системи нерівностей є
проміжок (5; ∞)?
А х 4,
х 5.
Б х 4,
х 5.
В х 4;
х 5
Г х 4;
х 5
350. Розв’язком якої сукупності нерівностей є множина всіх дійсних чисел?
х
1;
А
х 3;
х
1;
Б
х 3;
х
1;
В
х 3;
х
1;
Г
х 3.
351. Довжини двох сторін трикутника дорівнюють а = 8см і b =5см. Яку
довжину може мати третя сторона с цього трикутника?
А 3 с 12 Б 0 с 13 В с 13 Г 3 с 13
Завдання 352 – 354 на встановлення відповідності
352. Встановіть відповідність між заданими нерівностями, системами,
сукупностями нерівностей (1 – 4) та множинами їх розв’язків (А – Д):
1) 3
х 2; А) 2;
1
2)
3)
4)
х 2,
;
х 1
х 3,
;
х 1
х 3,
.
х 1
112
;
Б) 3 ; 2
;
В) ; 1
;
Г) 2;
1
;
Д) ; 3.
353. Встановіть відповідність між заданими нерівностями, системами,
сукупностями нерівностей (1 – 4) та множинами їх розв’язків (А – Д):
1) 1
х 3; А) 1 ; 3;
2)
х 3,
Б)
; 3
3;
;
х 1;

3)
4)
3,
х 3;
х В) 1 ; 3
3,
х 3.
;
х Г) ;
3 ;
Д) ;
3 .
354. Встановіть відповідність між заданими на координатній площині
множинами точок (1 – 4) та їх описом математичною мовою (А – Д):
А Б В Г Д
х = 2 та у ≥ 2 у = 2 та х ≥ 2 у = –2 та |х|≤
2
х = –2 та
|у| ≤ 2
у = 2 та х > 2
Рівень (Level) II _________________________________________________
355. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) y 3,
y 2;
2) x 2,
x 2;
3) 2x
4,
x 2.
356. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
y
3,
1)
y 2;
x
2,
2)
x 2;
z 3,
3)
2z
9.
357. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
2
y
1
3,
1) 2)
x 2 2,
0,1x
3,7,
3
2y
8;
3)
10x
2,1.
4
x 6
x;
358. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) y 2,
3y
6;
2) z 3,
2z
9;
3) 5,8 x 3,2,
x 1,2.
113

359. Розв’яжіть сукупність або систему нерівностей (Solve the totality or
system of the inequalities):
1) x 2,
x 2;
y
5,
2)
y 7;
2y
6,
3)
6y
2;
360. Розв’яжіть подвійну нерівність:
4) y 1
3,
2y
8.
1) 0 1,2
x 4, 8; 3) 1 3x 0; 5) 1 1
0,2 1,
8
4
y ;
5
2) 2 1
361. Розв’яжіть
4) 12 2x 12;
подвійну
t ;
6) 3 3
1,2
3
t .
нерівність.
1) 1,2
y 1
3, 7 ; 2
2
3) 2 x 4 ; 5) 1 2
0
3
x ;
5
2) 8 3x 1
7 ; 4) 8 5x 3 2 ; 6) 2x 1 5x
1
2 4x
.
362. Розв’яжіть подвійну нерівність:
16 x
4
8 4x
3
2 x
2
3 2
x .
3
1) 1 1; 2) 1 0; 3) 1,5
2, 5; 4) 0 1
363. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
x
2,
12
6x
18,
2 x 5,
4,2 x 9,7,
1) 2)
2 x 1; 3)
x 4,2;
2 x 3,
4)
4 2x
8,
x 3;
6 2 x 4.
364. Розв’яжіть завдання (Solve the task).
1) При яких значеннях b значення двочлена 2b + 2 належать проміжку [–6; 6];
2) при яких значеннях у значення дробу
365. Розв’яжіть завдання.
3 2у
5
належать проміжку (–4; 2)?
1) При яких значеннях х значення виразу 3 2x
належить проміжку ( 3;7)
?
2) При яких значеннях х значення дробу
x 6
3
належить проміжку [ 6;0]
?
2
3) При яких значеннях х значення функції y x 6 належить проміжку
3
( 2;4] ?
4) При яких значеннях х значення функції y 0,4x
8
належить проміжку
[ 4;8) ?
114

366. Знайдіть цілі розв’язки системи нерівностей:
x x 1
,
1) 5
6
2) 1,3( x 2) 2,5x
8,6,
2(1
x)
5 14 3( x 5);
0,4(5 x)
3( x 1,6)
0,6.
367. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) 1
1
2x
2,
2) 0 1
3x
1,
3) 3 2x
3 1,
4) 1
3 5x
0,
3 5x
0; 3 4x
2; 1
4x
0;
4 2x
3.
368. Solve the system of the inequalities:
x 8
2,
4
1)
5 5x
4
3
1
x
1
;
2
3) ( x 2) 3( x 1)
3x
1,
2( x 1)
( x 4) 16;
2)
x x x x
3,5 ( x1,5) 6 4 x;
2
( 1) ( 10) 1 6 ,
4)
2x
3 4x
9
1,
6 9
3 4x
0,3 0,5.
6
369. Розв’яжіть систему нерівностей (Solve the system of the inequalities):
1) 2( x 1)
3( x 1)
6x,
6x
4 8 (2 x);
2)
2
x
7 x
2
xx
2 x
3
2
2
19.
;
3)
4)
52x
1 7x
2x
1 ,
x 2 31
x
7x;
3
6 1
2
8
x xx
4
3
x 1
x 3
3.
2 4
4,
370. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
x 2
3x
1
x 1
x 3
3 2
4x
10,
1) 2) , 2x
4,
3
4 2 4 3)
2x
4 4 3 x;
12
6 6x
10;
x x
9.
2 8
371. Розв’яжіть сукупність нерівностей (Solve the totality of the inequalities):
2
x 2x
1
1)
2 ,
3 4
8
6x
2( x 1);
2)
x 1
2 2x
1,
2 5
2
x
2
0;
3)
2
2x
1
x
,
6 15
2
x 1
0.
372. Опишіть математичною мовою множину точок координатної площини,
зображену на малюнку.
115

1)
5)
3)
4)
2)
6)
373. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the expression):
x 5
2 2
1) 1
х - 2 x ; 4) x x 6x 9 ; 7) ;
15 3x
1 x
2x
6
2) + ; 5) ; 8) x 1 x
5
;
2 x x 3 4 x
3) 2x 10 6 2x
; 6) х 2 ; 9) 3 x
10
2
х 7
x .
374. Знайдіть область визначення виразу (Find the domain of the expression):
0
x 8 x 4
1) 1
2х
x 4; 3) 4 0,2x
x 3; 5) ; 7) 3 x;
2
4 x x 5
x 4
x 4
2) ; 4) 1
0,5x
; 6) 5 2
2
x
x 3x
2
x 3
375. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) x 1(
x 2) 0 ; 3) 3x 4 0
2
1
; 8)
3 x
0
1
x x 1 .
x ; 5) 4x 2 0
x ;
2) x 25
x 0 ; 4) 3 x x
5 0 ; 6) 7 x
12
0
x .
Рівень (Level) III _________________________________________________
116

376. Знайдіть всі значення х, що задовольняють умову:
x
7,
5 x 1,
x 5,
2x 8 4 6 x,
x
1,
1)
1 x 6, 2)
3)
4 x 6,
x
4 5,
4)
6 x 9;
x
8,
6x
12,
x
10;
2 x 5;
5x1 2x10.
377. Знайдіть всі значення х, що задовольняють умову:
x
6,
x 1,
3 x 8,
1)
4 x 3,
x
3,
2) x
2,
3)
x 5;
x
5,
x
4;
x 5;
378. Знайдіть всі значення х, що задовольняють умову:
4)
x
1,
x
9,
0
x 1,
x
4.
4x
3 x 1,
1) 7x
2 6x
4,
7 2x
x 2;
3)
2x
4 4x
6,
2 3x
10
7x,
3 x 3;
2)
x
2 2 6x,
5x
3 7 2x,
5 x 0;
4)
2x
1
3 2 1
2x
,
3
2
3 2 x 5 2x
1 ,
1
2x
32x
1 .
379. Знайдіть найменше ціле значення змінної , що задовольняє систему
нерівностей:
1
6x
2x
1
5 4x
8 9 ,
8 2 2
1)
(2x
6)
2(2x
5) 4( x 5) 4 ;
3
5
6x
4x
7,
7
2)
8x
3
2x
25.
2
380. Знайдіть найбільше ціле значення змінної, що задовольняє систему
нерівностей:
x 2x
1
2 x x 1
3,
4 6 12 2
1)
2x
1
x 1
x ;
2 5
3x
1
3 x 2 5 3x
1
,
4 8 2
2)
4x
1
x 1
4 5x
3 .
18 12 9
381. Знайдіть кількість цілих значень змінної, що задовольняють систему
нерівностей:
117

1)
4(
x 2) 5( x 6) 5 x 2 ,
0,6(1
3x)
0,1 0,3(1
6x)
3x;
382. Знайдіть область визначення виразу і спростіть його:
1)
2)
6х
12
x 3
x
2
1
x 1
2 x ;
x 2
x 13
;
x 3
3)
x 2
4)
(4x
1)(3x
2) 3x(4x
4) 28,
2) x 2 2x
1
2 0.
6 3
x 5 4;
10x
25
x
4 4 x x 12.;
6) 3x
9 18 6x
4x.
5)
x
383. Знайдіть область визначення виразу і спростіть його:
2
1) x 4x
4 2 2x
1; 3) 3 x 2 2x
6 x ;
2
2) 6x x 9 3 5x
21 4x
3; 4) 12 3x x x 4 2x
1.
2
1
x ;
384. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 3 і y 2.
385. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 2 і y 4.
386. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 4 і y 2.
387. На координатній площині зобразіть множину всіх точок, координати
(х, у) яких одночасно задовольняють дві умови: x 2 і y 3.
388. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 7 4
х ; 3) 1 x 23; 5) 17 2
2) 5 6
x ;
x ; 4) 32 x 1; 6) 17 1
x .
389. Розв’яжіть нерівність (Solve the inequality):
1) 2 x 1
x 4 ;
2) 1 3x
2 x ;
3) 2 x 4 x 0;
4)3x x4 4 0 ;
5) 6x 3x1 2 0;
6) x 2x1 5 0 .
390. Знайдіть область визначення виразу (Find domain of the expression):
1) 7(4
7x)
2)
+ 2 3x 3 3
2x
(3x
1)
2x
4
2 3x
1
; 3) x 32
3 x 6 3 : x 5;
; 4) 3 5 x 3 5 2 x.
118

Світ навколо нас
391. Пам’ятники видатному українському поетові Тарасу Шевченку
встановлені в 1200 місцях по всьому світові, найвищим з яких
вважається монумент у місті Ковелі на Волині. Його висота
становить понад 7 м, а об’єм — приблизно 2,2м 3 . Знайдіть масу
бронзи, яка знадобилась для виготовлення цього пам’ятника.
Мисліть творчо, логічно, системно
392. За схемою складіть умову до задачі та розв’яжіть її.
393. Велосипедист їхав з міста до села зі швидкістю 15км/год, а повертався назад зі
швидкістю 10км/год. Знайдіть середню швидкість руху велосипедиста.
394. У змаганнях брали участь 50 стрільців. Перший влучив 60 разів, другий — 80, третій
— середнє арифметичне кількості попадань перших двох, четвертий — середнє
арифметичне кількості попадань перших трьох. Кожний наступний влучав у мішень таку
кількість разів, яка дорівнює середньому арифметичному попадань всіх попередніх.
Скільки попадань здійснив 48 стрілець?
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
395. Convert the following fractions to the decimals:
2
; 7 ; −1 4 ; 8 ; 2 160
; − 5 .
5 16 50 125 400 64
119

Дізнайся більше!
§10* Розв'язування лінійних нерівностей з параметром
Ключові слова
лінійна нерівність з параметром
Keywords
linear inequalitiу with a parameter
Розв'язування лінійних нерівностей з параметром розглянемо на
прикладі нерівності ax 3 2.
У цій нерівності х – змінна, а – параметр
(деяке число, від якого залежить множина розв’язків нерівності).
Розв’язати нерівність з параметром означає знайти розв’язки
нерівності (значення х) для кожного значення параметра а.
Розглянемо послідовність розв’язання нерівності ax 3 2.
1) Представимо нерівність у вигляді аx 5.
2) Розглянемо три випадки:
a = 0 a>0 a0, то x a
5
;
якщо a b; aх < b; aх ≥b; aх ≤ b.
2. Розглянути випадок, коли коефіцієнт перед змінною х дорівнює нулю
і зробити висновок щодо множини розв’язків нерівності в цьому випадку.
3. Розглянути випадок, коли коефіцієнт перед змінною х додатний.
Зробити висновок щодо множини розв’язків нерівності в цьому випадку.
4. Розглянути випадок, коли коефіцієнт перед змінною х від'ємний.
Зробити висновок щодо множини розв’язків нерівності.
120

5. Записати відповідь, враховуючи усі розглянуті випадки.
Приклад 1. При всіх значеннях параметра p розв’яжіть нерівність:
2
p
2 x p 3p
2.
Розв’язання
1 крок. Перепишемо нерівність у вигляді: p
2x
p
2 p 1.
2 крок. Якщо p 2 0 (тобто р = 2), то нерівність перетворюється на 0 x 0
Це правильна числова нерівність, тож розв’язком будуть всі дійсні
числа
3 крок. Якщо p 2 0 (тобто р > 2), то коефіцієнт перед змінною х додатній
і можна поділити ліву і праву частини нерівності на (р - 2) без зміни знаку
нерівності
p
2 p 1 .
x
; p 1
p 2
х .
4 крок. Якщо p 2 0 (тобто р < 2), то коефіцієнт перед змінною х
від’ємний і можна поділити обидві сторони нерівності на (р - 2), змінивши
при цьому знак нерівності на протилежний і отже
p
2 p 1 .
x
; х p 1.
p 2
5 крок. Відповідь: якщо p 2,
то розв’язками нерівності є всі дійсні числа;
якщо p 2,
то х p 1;
якщо p 2,
то х p 1.
Приклад 2. Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему
нерівностей: x 2 а,
x 2a
3.
Розв’язання
1. Якщо 2 а 2a
3, тобто а , то 2a
3 x 2 a.
1
3
1
3
,.
2. Якщо 2 а 2a
3, тобто а , то розв язків нерівність не має.
121

1
3
Відповідь: якщо а , то 2a
3 x 2 a;
якщо
а ,
3
1 ,.
то
розв
язків нерівність не має.
Приклад 3. При яких значеннях параметра а, розв’язки нерівності
2x 1 2a є розв’язками нерівності 4x 2a
1?
Розв’язання
Розв’яжемо кожну нерівність окремо, отримаємо:
для першої нерівності
2 1
x
a
2
, для другої
2 1
x
a .
4
Для того щоб,
розв’язки першої нерівності були розв’язками другої
2а
1
2а
1
нерівності необхідно виконання умови , тобто а 1,5 .
Відповідь: при а 1,5 .
2
4
Узагальнюйте міркуючи
396. Андрій, прочитавши теорію, перейшов до розв’язування нерівності ах < 5. Він
отримав відповідь: х < 5 . Ви з ним згодні?
a
397. При розв’язуванні нерівності а < x < –11 Марія прийшла до висновку, що
розв’язком є порожня множина. Для якого значення а її відповідь є правильною?
Запишіть повну відповідь до даної нерівності.
Розв’яжіть самостійно
Рівень II _____________________________________________________
122

398. Укажіть усі значення числа а при яких система нерівностей x
не має розв’язків.
399. При яких значеннях а система нерівностей має хоча б один
розв'язок?
х 4,
a.
1) х 3,
x a;
2) х 5,
x a;
3) х 7,
x a;
4) х а,
x 2;
5) х а,
x 3;
6) х 6,
x a.
400. При яких значеннях а система нерівностей не має розв’язків?
1) х 4,
x a;
2) х 2,
x a;
3) х 5,
x a;
4) х а,
x 2.
401. При яких значеннях параметра а система нерівностей має розв’язки?
1) x 4 0,
4x
2a;
2) 8x
16
0,
a 0,2x
0;
3) x 4,
ax 2;
4) x 1,
( a 1)
x 2;
5) 3( a x)
2 x,
8 x 6 2( x a);
6) 2( x a)
x,
4( x 1)
a 3x
6.
402. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність:
1) ax 2 ; 3) 3x
a 3
a ; 5) a 2x
a
2 2a
;
2) a 1x
0; 4) 4 2 2
a x a 16
; 6) 5
x
a 10a
25
a .
403. При яких значеннях параметра а розв’язком системи нерівностей
x
3,
ax
12
є проміжок: 1) ( ; 4)
; 2) 4;3; 3) ;3
; 4) ?
404. Для кожного значення параметра а розв’яжіть систему нерівностей:
1) x a 3,
2) x 4a
2,
x 2a
3; x 2 a;
3) x 6 3a,
4) x a,
5) x 2 a,
x 3a
2; x 2a
4; x 2a
3.
Рівень III ___________________________________________________
405. При яких значеннях параметра а нерівність не має розв’язків?
1) 1x
a 5
2
2
a ; 3) a 3ax
a 2 ; 5) 2ax
a 2
a ;
123

2
2) 9x
a 2
a ; 4) 9x
a 3
2
2
a ; 6) a
25x
3 a
406. При яких значеннях параметра а нерівність виконується при будьякому
значенні х?
2
2
1) a 4x
a 1; 3) 2ax
a 2
a ;
2
2
2
2) a 3ax
a
3; 4) 6a
9x
a 9
a .
407. При яких значеннях параметра а система нерівностей не має
розв’язків?
1) x 5 0,
2) 3x
6 0, 2x
8 0,
3)
x 1
a;
2x
1
a;
x 2;
a
2
4) 3 2x
1
a 1,
2a
x 12 4a?
408. При яких значеннях параметра а система x 4,
містить 6 цілих
x a 4
розв’язків?
.
409. При яких значеннях параметра а система x 6,
x 8 2a
містить 4 цілих
розв’язки?
410. При яких значеннях параметра а розв’язком системи нерівностей:
x
5a
4,
є відрізок довжиною 10?
x
1
8a
411. При яких значеннях параметра а розв’язком системи нерівностей:
7
2x
5 2a,
є відрізок довжиною 4?
2x
4 4a
412. Для кожного значення параметра а розв’яжіть нерівність:
1)
2
2
3ax 6a
; 3) a 3x
3
2a
a
2
; 5) a
2x
2a
a
;
2
2
2) a 2x
0; 4) a
1 x
a a ; 6) 1 ax
2 a a
413. Розв’яжіть нерівність при всіх значеннях параметра а:
( a 2) x a 3 4a
x 9 4a
1)
3
2
( a 1)
x a 1
x a 2 2a
6
2) .
4
3 6
2
10a
32
;
6
.
124

Світ навколо нас
414. Видатному поету і художнику Тарасу Шевченку встановлено 1384
пам’ятники у світі: 1256 в Україні та 128 за кордоном – у 35-ти державах.
Яку частину пам’ятників Шевченку встановлено в Україні? Відповідь
округліть до сотих.
Мисліть творчо, логічно, системно
415. Балко, Іванов та Семенко — робітники банку. Хтось з них — завідуючий, хтось —
касир, а хтось —контролер. Встановіть хто з них хто, якщо відомо, що касир не має ні
братів, ні сестер і найнижчий з усіх, а Семенко одружений на сестрі Балко і зростом
вищий за контролера.
416. Чи можна 27 телефонів з’єднати проводами так, щоб:
1) мати 6 телефонів, кожний з яких був би з’єднаний із трьома,
2) 7 телефонів, кожний з яких був би з’єднаний з п’ятьма,
3) 14 телефонів, кожний з яких був би з’єднаний із шістьма телефонами?
417. Користуючись діаграмою, придумайте умову до задачі та
розв’яжіть її .
Математика без кордонів
Mathematics Without Borders
418. Write down the first 15 square numbers.
Орієнтовні завдання до тематичної контрольної роботи №3
Тема. Лінійні нерівності. Системи лінійних нерівностей
Початковий рівень
125

Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
1. Оцініть значення виразу 2x 3y, якщо 3 2, 1 y 4
А 1;18
Б 18;
1
x .
В 18;1 Г 1
;18
2. Відомо, що a 6 . Яких значень може набувати вираз 12 2a
?
А лише
додатній
Б лише
від’ємний
В дорівнює
нулю
Г визначити
неможливо
3. Скільки розв’язків має рівняння x
23
x x 5 0?
А 0 Б 1 В 2 Г 3
4. Знайдіть область визначення виразу
А
1;4
4 x .
x 1
Б 1 ;4
В ; 1 4;
Г ;
1 4;
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного
рядка, позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений
буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між заданими системами та сукупностями
нерівностей (1 — 3) та множинами їх розв’язків (А — Г):
1
2
3
2,
х
1
х А Ø;
х Б
1 ; 2
2,
х
1
х В ;
1
2;
2,
х
2
Г 2
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
126

6. Знайдіть натуральні розв’язки нерівності
1
x
3
2
2
7. Розв’яжіть графічно нерівність: x 4x 5
0.
2x
7 7x
2
6 3
.
Достатній рівень
8. Доведіть, що при всі дійсниx значенняx x виконується нерівність
2
2
x 6x
y 4y
15
0.
Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Рибаки пропливли річкою 12 км, частину шляху - за течією,
частину - проти. Визначте, яку відстань пропливли рибаки за
течією, якщо відомо, що в дорозі вони були менш ніж 3 години.
Власна швидкість човна 5 км / год, швидкість течії 3 км / год.
Завдання на повторення
Початковий рівень
Завдання 1 4 мають по чотири варіанти відповіді, серед яких лише
ОДИН правильний. Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідь.
Завдання 1 4 оцінюються у 1 бал
3 2
1
1. Обчисліть значення виразу 8x 12x
6x
1
при x = . 6
7
А 36
Б
27
8
2. Обчисліть: 27 12 75:10
3
.
8
В - 27
41
Г 216
А 3 Б 5 3
В 10 Г 1
127

3. Задайте формулою функцію у від х, якщо у - сума грошей, що
залишилися у хлопчика, який мав 10 грн і купив х зошитів по 0,5 грн.
А Б В Г
у = 10 – 0,5х у = 10 + 0,5х у = 5х Інша відповідь
3
4. Спростіть вираз: 2
b
2 2 6a
2
2
a .
b
А Б В Г
Інша відповідь 9а 6 в 10 6
10
1 a
1 b
10
6
9 b
9 a
Середній рівень
Завдання 5 передбачає встановлення відповідності. До кожного рядка,
позначеного цифрою, доберіть один відповідний, позначений буквою.
Завдання 5 оцінюється у 1,5 бали
5. Установіть відповідність між областю визначення виразів (1 - 3) та
кількістю значень змінних при яких вирази не існують (А – Г):
Вираз
Кількість значень змінної
2
0
x 9
А.1
1.
x
2
1
1
2 2
x
x 1
1
5
x 2 x 8
2. x
3.
Б. 3
x В. 4
Г. 2
Завдання 6 9 розв’яжіть з повним поясненням
Завдання 6 8 оцінюються у 1,5 бали
х 2 х 14
2 х 5
6. Побудуйте графік функції: у : x
3х
3х
6х
х 2 6х
7. Розв’яжіть рівняння:
2 1x
1x
x 5 4x
x1 x 1
.
2
.
Достатній рівень
8. Знайдіть значення виразу:
2
11
8,6 4,5 4,5
3
2 3
5
8,12 3 7,75
: ( 2,695)
5 40
.
128

Високий рівень
Завдання 9 оцінюється у 2 бали
9. Потяг мав проїхати 300 км. Проїхавши 1 3
шляху, він зупинився на 1
год, а потім продовжив рух із швидкістю на 10 км/год меншою за
початкову. Знайдіть швидкість потяга до зупинки, якщо в пункт
призначення він прибув через 8 год після виїзду.
Сторінка історії
Необхідність порівнювати число предметів одного виду з числом
предметів іншого виду виникла із зародженням обміну продуктами праці. На
цьому етапі виникли поняття «більше», «менше», «стільки ж» або
«дорівнює» (ще без відповідних символів).
В «Основах» Евкліда (ІІІ ст. до н. е.) доведено
нерівність, яку тепер прийнято записувати так:
.
Тільки під а і b тоді розуміли не довільні додатні числа, а довжини
відрізків; доведення пропонувалось суто геометричне і без знаків нерівності.
Архімед (III ст. до н. e.) довів подвійну
нерівність , яку тепер записують так:
10 1
3 3
71 7
129

Існує теорія, що знаки „ ; ;
;
” походять від
знака рівності, який виник як прообраз
важільних терезів.
Порушення рівноваги терезів міняло
положення верхнього коромисла. Вістря
добутого знака нерівності „ ” направлялося в
бік меншого числа, бо в цьому напрямі
зменшувалася відстань між коромислом
терезів та їх основою.
Знаки «» вперше запровадив англійський математик Т. Гарріот у
1631p. Хоча знаки нерівності запропоновано пізніше від знаку рівності,
використовуватися вони почали раніше, оскільки друкували їх,
користуючись буквою V, а знаку рівності «=» на той час у типографії ще не
було.
Знаки нестрогих нерівностей запровадив у 1670 р. англійський
математик Дж. Валліс. Тільки риску він писав над знаком нерівності.
У звичайному для нас вигляді знаки «≤» і «≥» запропонував у 1734 р.
французький математик П. Бугер.
130