g_epan

6 Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα
ºóåò ÓõíáñôÞóåéò
Δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες, όταν:
• έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α , και
• για κάθε x A ισχύει f(x) g(x) .
Óýíèåóç óõíáñôÞóåùí
Έστω Α , Β τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f , g αντίστοιχα.
Η συνάρτηση g f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α
1
{xA / f(x) B} .
ÓõíÜñôçóç 1 – 1
Έστω μία συνάρτηση f:Α και x 1
, x 2
οποιαδήποτε στοιχεία του Α.
• Η f λέγεται συνάρτηση 1 – 1, όταν ισχύει η συνεπαγωγή:
x1 x2 f(x 1) f(x 2)
• Η f είναι συνάρτηση 1 – 1, αν και μόνο αν ισχύει η συνεπαγωγή:
Áíôßóôñïöç ÓõíÜñôçóç
f(x 1) f(x 2) x1x2
• Αν μία συνάρτηση f είναι 1 – 1 , τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση
• Η
1
f .
1
f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f(A) της f .
• Η
1
f έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f .
Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και
συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x, που διχοτομεί τις γωνίες
xOy ˆ
.
1
f είναι
xOy ˆ και

Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα 7
1. Δίνονται οι συναρτήσεις:
f(x) 1 lnx και
e
g(x) ln x
α. Να εξετάσετε αν οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.
β. Αν
x
h(x) e 2 , να βρείτε τη συνάρτηση f h .
γ. Αν για μία συνάρτηση φ :(0, )
ισχύει
x
x
φ(e ) x e 2
, x
να βρείτε τη συνάρτηση φ .
Λύση
α. Οι συναρτήσεις f και g έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α (0, ).
Για κάθε x A είναι
e
g(x) ln lnelnx 1lnx
x
f(x)
Άρα οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες.
β. Η συνάρτηση h έχει πεδίο ορισμού όλο το και η f h το σύνολο
Είναι
x
Α {x
και h(x) A}
h(x) A e 2 0 e 2
x ln 2
Άρα Α (ln2, ) .
x
Για κάθε x A , έχουμε (f h)(x) fh(x) 1ln(e 2)
.
x
γ. Έχουμε
Θέτουμε
x
x
φ(e ) xe 2 , x .
x
e y x lny , y 0.
Επομένως φ(y) ln y y 2 , y 0.
Άρα φ(x) ln x x 2 , x 0 .

8 Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα
x
4
2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) .
x 1
α. Να δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1 – 1.
Λύση
1
β. Να βρείτε την f .
γ. Να βρείτε τα κοινά σημεία των C
f
και C 1 με τον άξονα συμμετρίας τους.
α. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο A 1
Έστω x,x 1 2
A. Είναι
x1
4 x2
4
f(x 1) f(x 2)
x 1 x 1
1 2
f
.
(x14)(x2 1) (x11)(x2
4)
x1x2 x14x2 4x1x2 4x1x2
4
3x1 3x2
x1 x2
Άρα η f είναι συνάρτηση 1 1.
β. Επειδή η f είναι συνάρτηση 1 – 1, αντιστρέφεται.
Για κάθε x A έχουμε
x
4
f(x) y y x4 y(x1) x4xyy
x1
xy x 4 y (y 1)x 4 y
4
y
x , y1
y1
Οπότε
1 4
y
f (y) , y
1 . Άρα
y1
1 4
x
f (x) , x 1
x1
.
γ. Ο άξονας συμμετρίας των C f και C 1 είναι η ευθεία ε :y x .
• Τα κοινά σημεία της
f
C
f
και της ε έχουν τετμημένες τις λύσεις της εξίσωσης
x
4
2
f(x) x x x4x(x1) x4x x
x1
2
x 4 x 4 x 2
Οπότε, τα κοινά σημεία της C f και της ευθείας ε είναι τα:
A(2, 2) και B( 2, 2)
• Τα κοινά σημεία της C
f 1 και της ευθείας ε είναι τα ίδια με τα κοινά
σημεία της C και της ε .
f
Οπότε είναι τα σημεία: A(2, 2) και B( 2, 2) .

Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα 9
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ . Αν x,x 1 2
Δ
, τότε:
f Δ
• f(x
1) f(x
2) x1 x2
•
f Δ
f(x ) f(x ) x x
1 2 1 2
3. Δίνεται η συνάρτηση
3 2
f(x) x x x 3 .
α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
β. Να συγκρίνετε τις τιμές f(π) και f(3) .
γ. Να λύσετε την ανίσωση
2
f(x ) f(2 x) .
δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη C f
και τους άξονες xx και yy .
Λύση
2
α. Η f έχει πεδίο ορισμού όλο το . Είναι f(x) 3x 2x 1, x .
2
Το τριώνυμο 3x 2x 1 έχει α 3 0 και Δ 8 0, οπότε f(x) 0 , για
κάθε x . Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
β. Είναι π 3 και f , οπότε f(π) f(3) . Άρα f(π) f(3) .
γ. Έχουμε
2 f 2 2
f(x ) f(2x) x 2x x x20
, (1) .
2
Το τριώνυμο x x 2 έχει α 1 0 , Δ 9 και ρίζες τις
x1
2 και x2
1 . Άρα η (1) x ( 2, 1) .
δ. Το ένα άκρο ολοκλήρωσης είναι το 0 (από τον άξονα yy ) . Το άλλο άκρο
ολοκλήρωσης είναι ρίζα της f . Είναι f(1) 0 , οπότε το 1 είναι ρίζα της f .
Επειδή, επιπλέον, η f είναι γνησίως αύξουσα το 1 είναι μοναδική ρίζα της f .
Επομένως τα άκρα ολοκλήρωσης είναι τα: 0 και 1 .
Η f είναι συνεχής στο [0, 1] και για κάθε x [0,1] , έχουμε
Άρα
f
x1 f(x) f(1) 0
1 1 1 1
3 2
Ε |f(x)|dx f(x) dx f(x)dx x x x 3 dx
0 0 0 0
4 3 2
1
x x x 1 1 1 23
3x 3 1 0
4 3 2
4 3 2
12
0

10 Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα
4. Δίνεται η συνάρτηση
3
f(x) x x 3 .
α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
2
β. Να λύσετε την ανίσωση x
2
x 1 .
γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f .
δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση
3
x x 2019 έχει μοναδική ρίζα.
Λύση
α. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α .
2 2
Είναι f (x) 3x 1 (3x 1) 0 , για κάθε x .
Οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα.
β. Έχουμε
2
2
x 1
2 3
x 2 x(x 1) 2 x x
f
3 3
x x 2 0 x x 3 1
f(x) f(1)
x 1
Άρα x ( , 1) .
γ. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, έχουμε
f (A) f ( , ) lim f (x) , lim f (x)
x
x
Είναι
lim f (x) lim ( x ) και
x
x
3
lim f (x) lim ( x ) .
x
x
3
Άρα f (A) ( , )
.
δ. Έχουμε
3 3
x x 2019 x x 2019
3
x x 3 2022
f (x) 2022 (1)
Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, η εξίσωση (1) έχει, το πολύ, μία ρίζα.
Αφού 2022 f (A) η εξίσωση (1) έχει, τουλάχιστον, μία ρίζα.
Άρα η εξίσωση (1) έχει, ακριβώς μία ρίζα.