g_epan

Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα 9
Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ . Αν x,x 1 2
Δ
, τότε:
f Δ
• f(x
1) f(x
2) x1 x2
•
f Δ
f(x ) f(x ) x x
1 2 1 2
3. Δίνεται η συνάρτηση
3 2
f(x) x x x 3 .
α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.
β. Να συγκρίνετε τις τιμές f(π) και f(3) .
γ. Να λύσετε την ανίσωση
2
f(x ) f(2 x) .
δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη C f
και τους άξονες xx και yy .
Λύση
2
α. Η f έχει πεδίο ορισμού όλο το . Είναι f(x) 3x 2x 1, x .
2
Το τριώνυμο 3x 2x 1 έχει α 3 0 και Δ 8 0, οπότε f(x) 0 , για
κάθε x . Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
β. Είναι π 3 και f , οπότε f(π) f(3) . Άρα f(π) f(3) .
γ. Έχουμε
2 f 2 2
f(x ) f(2x) x 2x x x20
, (1) .
2
Το τριώνυμο x x 2 έχει α 1 0 , Δ 9 και ρίζες τις
x1
2 και x2
1 . Άρα η (1) x ( 2, 1) .
δ. Το ένα άκρο ολοκλήρωσης είναι το 0 (από τον άξονα yy ) . Το άλλο άκρο
ολοκλήρωσης είναι ρίζα της f . Είναι f(1) 0 , οπότε το 1 είναι ρίζα της f .
Επειδή, επιπλέον, η f είναι γνησίως αύξουσα το 1 είναι μοναδική ρίζα της f .
Επομένως τα άκρα ολοκλήρωσης είναι τα: 0 και 1 .
Η f είναι συνεχής στο [0, 1] και για κάθε x [0,1] , έχουμε
Άρα
f
x1 f(x) f(1) 0
1 1 1 1
3 2
Ε |f(x)|dx f(x) dx f(x)dx x x x 3 dx
0 0 0 0
4 3 2
1
x x x 1 1 1 23
3x 3 1 0
4 3 2
4 3 2
12
0