Views
7 months ago

g_epan

Α Ομάδα: 1

Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα 9 Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σ’ ένα διάστημα Δ . Αν x,x 1 2 Δ , τότε: f Δ • f(x 1) f(x 2) x1 x2 • f Δ f(x ) f(x ) x x 1 2 1 2 3. Δίνεται η συνάρτηση 3 2 f(x) x x x 3 . α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. β. Να συγκρίνετε τις τιμές f(π) και f(3) . γ. Να λύσετε την ανίσωση 2 f(x ) f(2 x) . δ. Να υπολογίσετε το εμβαδόν Ε του χωρίου που περικλείεται από τη C f και τους άξονες xx και yy . Λύση 2 α. Η f έχει πεδίο ορισμού όλο το . Είναι f(x) 3x 2x 1, x . 2 Το τριώνυμο 3x 2x 1 έχει α 3 0 και Δ 8 0, οπότε f(x) 0 , για κάθε x . Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. β. Είναι π 3 και f , οπότε f(π) f(3) . Άρα f(π) f(3) . γ. Έχουμε 2 f 2 2 f(x ) f(2x) x 2x x x20 , (1) . 2 Το τριώνυμο x x 2 έχει α 1 0 , Δ 9 και ρίζες τις x1 2 και x2 1 . Άρα η (1) x ( 2, 1) . δ. Το ένα άκρο ολοκλήρωσης είναι το 0 (από τον άξονα yy ) . Το άλλο άκρο ολοκλήρωσης είναι ρίζα της f . Είναι f(1) 0 , οπότε το 1 είναι ρίζα της f . Επειδή, επιπλέον, η f είναι γνησίως αύξουσα το 1 είναι μοναδική ρίζα της f . Επομένως τα άκρα ολοκλήρωσης είναι τα: 0 και 1 . Η f είναι συνεχής στο [0, 1] και για κάθε x [0,1] , έχουμε Άρα f x1 f(x) f(1) 0 1 1 1 1 3 2 Ε |f(x)|dx f(x) dx f(x)dx x x x 3 dx 0 0 0 0 4 3 2 1 x x x 1 1 1 23 3x 3 1 0 4 3 2 4 3 2 12 0

10 Α Ομάδα: 1 Συναρτήσεις – Μονοτονία – Κυρτότητα 4. Δίνεται η συνάρτηση 3 f(x) x x 3 . α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. 2 β. Να λύσετε την ανίσωση x 2 x 1 . γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της f . δ. Να δείξετε ότι η εξίσωση 3 x x 2019 έχει μοναδική ρίζα. Λύση α. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το σύνολο Α . 2 2 Είναι f (x) 3x 1 (3x 1) 0 , για κάθε x . Οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. β. Έχουμε 2 2 x 1 2 3 x 2 x(x 1) 2 x x f 3 3 x x 2 0 x x 3 1 f(x) f(1) x 1 Άρα x ( , 1) . γ. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα, έχουμε f (A) f ( , ) lim f (x) , lim f (x) x x Είναι lim f (x) lim ( x ) και x x 3 lim f (x) lim ( x ) . x x 3 Άρα f (A) ( , ) . δ. Έχουμε 3 3 x x 2019 x x 2019 3 x x 3 2022 f (x) 2022 (1) Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, η εξίσωση (1) έχει, το πολύ, μία ρίζα. Αφού 2022 f (A) η εξίσωση (1) έχει, τουλάχιστον, μία ρίζα. Άρα η εξίσωση (1) έχει, ακριβώς μία ρίζα.