Predavanje 3 - PBF

Ž. Kurtanjek MVP 2007 36 

INTERVAL POUZDANOSTI 

Ponavljanjem pokusa i primjenom određenih postupaka računanja dobivamo 

procjene pravih vrijednosti veličina. Na primjer, ponavljamo n-puta mjerenje pH i 

izračunamo srednju vrijednost, ili mjerimo koncentraciju supstrata i specifičnu brzinu 

rasta biomase i procjenjujemo kinetičke parametre (μ ,Ks) iz lineariziranog modela. 

Izračunate veličine su slučajne veličine koje imaju svoje odgovarajuće gustoće 

vjerojatnosti. Raspršenje, određeno standardnom devijacijom, tih procjena bitno ovisi 

o mjernoj pogrešci i broju ponavljanja pokusa (stupnjeva slobode). Svaka procjena 

prave vrijednosti odstupa od prave vrijednosti, dakle postoji pogreška procjene. 

Pogreška teoretski teži prema nuli povećanjem broja stupnjeva slobode (ponavljanjem 

mjerenja) ako u mjernom postupku nema sustavskih pogrešaka. 

Budući da su procjene pravih vrijednosti slučajne veličine, bitno je odrediti 

interval (područje) u kojem se nalazi prava vrijednost uz zadanu vjerojatnost. Za 

određivanje intervala ne možemo se poslužiti Gaussovom (normalnom) raspodjelom 

jer nam ona na osnovu ponavljanja pokusa n-puta nije poznata, a na rezultat bitno 

utječu pogreške procjene srednje vrijednosti i standardne devijacije iz eksperimenta s 

n ponavljanja pokusa. Upotrijebimo li srednju vrijednost i varijancu iz uzorka s n 

stupnjeva slobode umjesto matematičkog očekivanja i varijance populacije unosimo 

dodatnu pogrešku u proračun intervala u kojem se nalazi prava vrijednost. 

Egzaktan postupak određivanja intervala zasniva se na primjeni Studentove 

slučajne varijable ( ili t-varijable ) (Gosset 1905, Engleski matematičar koji je radio u 

pivovari na problemima određivanje kvalitete proizvoda i čiji radovi su objavljeni pod 

pseudonominom " Student "). Studentova varijabla definirana je izrazom: 

aˆ 

− E( 

a) 

t = (1) 

σ 

( aˆ 

) 

gdje je â procjena prave vrijednosti, odnosno matematičkog očekivanja E(a), a u 

nazivniku je σ ( â) 

standardna devijacija procjene. Definicija (1) varijable t formalno je 

jednaka definiciji standardne normalne varijable z samo što su umjesto parametara 

raspodjele u (1) uvrštene njihove procjene. Kako procjena veličine a zavisi broju 

ponavljanja pokusa n, odnosno stupnjeva slobode ν = n- np, to je raspodjela gustoće 

vjerojatnosti funkcija broja stupnjeva slobode. Teoretski se može pokazati da je 

raspodjela dana izrazom: 

gdje je: 

ρ 

( ν , ) 

⎛ ν + 1⎞ 

ν + 1 

Γ⎜ 

⎟ 2 

− 

1 2 ⎛ ⎞ 2 

⎝ ⎠ t 

t = ⋅ ⋅ ⎜ 

⎜1+ 

⎟ 

(2) 

π ⋅υ 

⎛ν 

⎞ 

Γ⎜ 

⎟ 

⎝ v ⎠ 

⎝ 2 ⎠ 

ν broj stupnjeva slobode 

t Studentova varijabla 

Γ Gama funkcija , Γ(1+x) = x Γ(x) , Γ (n+1) = n!


Raspodjele gustoće vjerojatnosti za različite vrijednosti broja stupnjeve slobode 

prikazana je na slici 1. 

0.4 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

ρ ( ν, t ) raspodjela gustoće gusto}e vjerojatnosti 

vjerojatnosti 

N(0,1) 

ν =50 

ν =10 

ν =3 

0 

ν =20 

-3 -1 1 3 

t t - - Studentova varijabla 

Slika 1. Prikazi rapodjela gustoće vjerojatnosti Studentove t varijable za broj 

stupnjeva slobode, ν =3, 10, 20, i50. Također je prikazana standardna 

Gaussova, normalana N(0,1), raspodjela 

Kada je broj ponavljanja pokusa dovoljno veliki, n = 50, raspodjela gustoće 

Studentove varijable se praktično ne razlikuje od normalne raspodjele N(0,1). 

Odnosno može se kazati da su pogreške procjene parametara populacije iz skupa s n = 

50 uzoraka zanemarive u odnosu na Gaussovu ili normalnu raspodjelu, odnosno: 

( >= 50) = z ρ( 

ν >= 50, 

t) 

= N( 

t z; 

0, 

1) 

t ν = 

(3) 

Za mali broj stupnjeva slobode (mali broj mjerenja ) krivulja gustoće je spljoštena, 

odnosno raspršenje je veće nego li što je za normalnu raspodjelu. 

Definicija (1) Studentove varijable zahtjeva da se za svaku veličinu a 

upotrijebi formula za procjenu i odredi standardna devijacija procjene. Na primjer, za 

model konstante, procjena prave vrijednosti je srednja vrijednost i standardna 

devijacija srednje vrijednosti je standardna pogreška. Dakle, za srednju vrijednost je tvarijabla: 

x − E( x) 

t = 

s( x) 

n 

(4)


Za linearan model potrebno je u definiciji (1) upotrijebiti formule za 

procijenjene parametre pravca, koeficijent smjera k ili odsječak na ordinati l, i zatim 

odrediti standardne devijacije za te procjene. 

Poznavanje gustoće vjerojatnosti studentove varijable omogućava određivanje 

intervala I, odnosno područja vrijednosti u kojem se nalazi matematičko očekivanje s 

zadanom vjerojatnošću. 

δ δ 

( ) 

interval I 

a 

Slika 2. Prikaz intervala pouzdanosti. 

Širina intervala I je određena vjerojatnošću da se E( a) 

nalazi u intervalu, ili 

odgovarajućom vjerojatnošću da se nalazi izvan tog intervala. Vjerojatnost da se 

E( a) 

nalazi izvan intervala I naziva se razina značajnosti (signifikantnosti) i označava 

se sa p = α, a vjerojatnost da se E( a) 

nalazi u intervalu I je p =1-α i naziva se 

koeficijentom pouzdanosti. Granice intervala su simetrične s lijeve i desne strane 

procjene â jer je gustoća vjerojatnosti simetrična funkcija, a uz to hipoteza o 

pripadanju prave vrijednosti intervalu podrazumijeva simetričan lijevi i desni rub 

intervala. Hipotezu je moguće i definirati tako da se ispita jednostrani interval za koji 

je prava vrijednost samo veća ili manja od neke zadane vrijednosti. Za simetričan 

interval vjerojatnosti su: 

p 

p 

( E( 

a) 

∈[ 

aˆ 

± δ ] ) = 1− 

α p( 

E( 

a) 

∉[ 

aˆ 

± δ ] ) 

α 

2 

( E( 

a) 

> aˆ 

+ δ ) = p( 

E( 

a) 

< aˆ 

−δ 

) 

α 

= 

2 

Smanjenjem vrijednosti razine značajnosti α povećava se vjerojatnost da se 

prava vrijednost, matematičko očekivanje E( a), 

nalazi u intervalu I. Granične točke 

intervala varijable t označavamo na lijevom rubu s oznakom t( α / 2 ) , a na desnom 

rubu s oznakom t( 1− α / 2) 

. Zbog simetričnosti gustoće vjerojatnosti je simetričan 

interval, tako da vrijedi jednakost -t( α / 2 ) = t( 1− α / 2) 

. Granične točke intervala 

nazivaju se kritičnim vrijednostima t-varijable i izračunavaju se iz nelinearne 

integralne jednadžbe: 

t( 

1−α 

/ 2) 

∫ 

ρ 

−t 

( α / 2) 

( ν , t) 

dt = 1− 

α 

a 

= α 

(5) 

(6)


0.4 

0.35 

0.3 

0.25 

0.2 

0.15 

0.1 

0.05 

0 

gusto}a gustoća vjerojatnosti 

−t 

( ν , 1−α/2 ) 

p = 1 - α 

ρ(ν,t) 

t ( ν , 1−α/2 ) 

-5 -3 -1 1 3 5 

p = α/2 

t-Studentova varijabla 

Slika 3. Prikaz definicije koeficijenta pouzdanosti (razine značajnosti). 

Interval u kojem se nalazi prava vrijednost, odnosno matematičko očekivanje E( a), 

određen je izrazom: 

[ aˆ 

± t( 

ν , α / 2) 

⋅ ( a) 

] 

E( a) 

∈ σ ˆ 

(7) 

koji za slučaj procjene iz srednje vrijednosti od n podataka glasi: 

⎡ 

s( 

x) 

⎤ 

E( 

x) 

∈ ⎢x 

± t( 

ν , α / 2) 

⋅ ⎥ (8) 

⎣ 

n ⎦


Tablica kritičnih vrijednosti studentove t(α/2) za broj stupnjeva 

slobode ν i razine značajnosti α. 

υ/α 0,2 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 

1 3, 078 6, 314 12,706 25, 452 63, 657 127, 32 636, 619 

2 1, 886 2, 920 4,303 6, 205 9, 925 14, 089 31, 598 

3 1, 638 2, 353 3,182 4,176 5, 841 7, 453 12, 941 

4 1, 533 2, 132 2,776 3,495 4, 604 5, 598 8, 610 

5 1, 476 2, 015 2,571 3,163 4, 032 4, 773 6, 859 

6 1, 440 1, 943 2,447 2,969 3, 707 4, 317 5, 959 

7 1, 415 1, 985 2,365 2,841 3, 499 4, 029 5, 409 

8 1, 397 1, 860 2,306 2,752 3, 355 3, 832 5, 041 

9 1, 383 1, 833 2,262 2,685 3, 250 3, 690 4, 781 

10 1, 372 1, 812 2, 228 2, 634 3, 169 3, 581 4, 587 

11 1, 363 1, 796 2, 201 2, 593 3, 106 3, 497 4, 437 

12 1, 356 1, 782 2, 179 2, 560 3, 055 3, 428 4, 418 

13 1, 350 1, 771 2, 160 2, 533 3, 012 3, 372 4, 221 

14 1, 345 1, 761 2, 145 2, 510 2, 977 3, 326 4, 140 

15 1, 341 1, 753 2, 131 2, 490 2, 947 3, 286 4, 073 

16 1, 337 1, 746 2, 120 2, 473 2, 921 3, 252 4, 015 

17 1, 333 1, 740 2, 110 2, 458 2, 898 3, 222 3, 965 

18 1, 330 1, 734 2, 101 2, 445 2, 878 3, 197 3, 922 

19 1, 328 1, 729 2, 093 2, 433 2, 861 3, 174 3, 883 

20 1, 325 1, 725 2, 086 2, 423 2, 845 3, 153 3, 850 

21 1, 323 1, 721 2, 080 2, 414 2, 831 3, 135 3, 819 

22 1, 321 1, 717 2, 074 2, 406 2, 819 3, 119 3, 792 

23 1, 319 1, 714 2, 069 2, 398 2, 807 3, 104 3, 767 

24 1, 318 1, 711 2, 064 2, 391 2, 797 3, 090 3, 745 

25 1, 316 1, 708 2, 060 2, 385 2, 787 3, 078 3, 725 

26 1, 315 1, 706 2, 056 2, 379 2, 779 3, 067 3, 707 

27 1, 314 1, 703 2, 052 2, 373 2, 771 3, 056 3, 690 

28 1, 313 1, 701 2, 048 2, 368 2, 763 3, 047 3, 674 

29 1, 311 1, 699 2, 045 2, 364 2, 756 3, 038 3, 659 

30 1, 310 1, 697 2, 042 2, 360 2, 750 3, 030 3, 646 

40 1, 303 1, 684 2, 021 2, 329 2, 704 2, 971 3, 551 

60 1, 296 1, 671 2, 000 2, 299 2, 660 2, 915 3, 460 

120 1, 289 1, 658 1, 980 2, 270 2, 617 2, 860 3, 373 

∞ 1,281 1,6448 1,9600 2,2414 2,5758 2,8070 3,2905 

Primjer: 

U određenom satu fermentacije uzeta su četiri uzorka za određivanje koncentracije 

biomase. Mjerenjem su dobivene slijedeće vrijednosti:


Zadatak: 

i 1 2 3 4 

xi(g.s.t. L -1 ) 3,5 3,21 3,61 3,47 

Odredite interval pouzdanosti za koncentraciju biomase s razinama značajnosti α = 

0,1 i α = 0,01 . 

Rješenje: 

Srednja vrijednost koncentracije je: 

( 3,5 + 3,21 + 3,61 + 3,47 ) / 4 = 3,4475 (g.s.t. L -1 ) 

prividne pogreške pojedinih mjerenja su: 0,0525 ; -0,2375 ; 0,1625 ; 0,0225 

broj stupnjeva slobode je υ = n-1 = 3 

varijanca je: 

s2 = ( 0,05252 + 0,23752 + 0,16252 + 0,02252 )/3 = 0,02869 

standardna devijacija je s = 0,1694 

s 

standardna pogreška je e 

= =0,1694/2 = 0,0847 (g.s.t. L -1 ) 

n 

Iz tablice za kritične vrijednosti varijable t očitamo vrijednosti t(α/2) za zadane 

vrijednosti razine signifikantnosti i broj stupnjeva slobode 3: 

za α = 0,1 i ν = 3 t = 2,353 ; za α = 0,01 i ν = 3 t = 5,841 

Odgovarajući intervali pouzdanosti su: 

za α = 0,1 3,4475 - 2,353 ⋅ 0,0847


METODA NAJMANJIH KVADRATA 

Procjena parametara modela 

Problem procjene parametara matematičkog modela je jedan od najčešćih 

zadataka svakog eksperimentalnog istraživanja. Parametri su sastavni dijelovi 

matematičkih modela sustava, kao što su mjerni sustavi, modeli tehnoloških procesa, 

modeli kakvoće proizvoda, ekonomski modeli, itd. 

Statističke metode procjene parametara mogu se podijeliti u tri osnovne 

skupine: 

1) metoda momenata 

2) metoda najvećeg izgleda ("maximum likelhood") 

3) metoda najmanjih kvadrata 

Jednostavan primjer je model sustava s jednom ulaznom x i izlaznom 

veličinom y, i više parametara θ i , i = 1,2,… p, koji možemo napisati u općem obliku: 

( x θ , θ , Λ ) 

y = f θ 

, 1 2 

Zadaća procjene parametara je odrediti procjene θ i 

ˆ pravih vrijednosti parametara θ i 

na osnovu uzorka s N mjerenja parova ulazne i izlazne veličine xi , yi , i = 1,2,…N. 

Prave vrijednosti parametara su konstante, a procjene parametara su slučajne veličine 

s pripadajućim raspodjelama gustoća vjerojatnosti. 

Metoda momenata: 

Procjena parametara dobije se rješavanjem p nelinearnih jednadžbi prvih p 

momenata. Moment p-tog stupnja za kontinuiranu slučajnu veličinu x definiran je 

izrazom: 

m 

p 

+∞ 

= ∫ 

−∞ 

x 

p 

p 

( x θ ) ⋅ dx 

⋅ ρ , 

Moment prvog stupnja je matematičko očekivanje a moment drugog stupnja je mjera 

varijance. Vrijednosti p-tog momenata izračunaju se iz uzorka pomoću izraza: 

m 

p 

1 

= ⋅ 

N 

∑ = i N 

i= 

1 

Parametri su rješenja skupa od p nelinearnih jednadžbi: 

+∞ 

k 

∫ x ⋅ ρ 

−∞ 

θ 

1 

N 

i= 

N 

∑ i 

i= 

1 

Metoda najvećeg izgleda ("maximum likelihood") 

x 

p 

i 

k 

( x, 

) ⋅ dx = ⋅ x k = 1, 

2, 

Λ p


Metoda se zasniva na hipotezi da se uzorak s N izmjerenih vrijednosti slučajne 

veličine ima najveću vjerojatnost (izgled) kao rezultat realizacije slučajnog procesa, 

odnosno dobije kao rezultat mjerenja. Za N nezavisnih pokusa ukupna vjerojatnost 

realizacije uzorka diskretne slučajne veličine x naziva se funkcijom izgleda L i 

definirana je izrazom: 

L 

∏ = i N 

i= 

1 

( θ ) = p( 

x ,θ ) 

Procjena parametara dobije se određivanjem maksimalne vrijednosti 

(maksimiziranjem) funkcije L: 

θ 

θ L max ˆ = 

Metoda najmanjih kvadrata ("least squares, LS") 

Parametri se procjenjuju minimizacijom varijance prividnih pogrešaka 

predikcija i eksperimentalnih vrijednosti slučajne veličine. Procjena varijance je 

definirana izrazom: 

s 

2 

1 

p −1 

i= 

N 

i 

( θ ) 

2 

( θ ) = ⋅ Δ = ⋅ ( y − f ( x , θ ) ) 

∑ 

i= 

1 

i 

1 

p −1 

2 

Procjena parametara dobije se minimizacijom funkcije varijance s ( θ ) 

2 

Za linearne modele funkcija ( θ ) 

ˆ θ = min s 

θ 

s je konkavna i minimum određuje se primjenom 

nužnog i dovoljnog uvjeta minimuma, odnosno rješavanjem linearnog sustava 

jednadžbi (normalne ili Gaussove jednadžbe): 

∂ 

s 

θ 

i 

2 

2 

i= 

N 

∑ 

( θ ) 

i= 

1 

( θ ) = 0 i = 1, 

2, 

Λ p 

Vrlo čest modeli nisu linearni i parametri se procjenjuju iteracijskim postupkom. 

Najpoznatiji je Marquardt-Levenberg algoritam koji se primjenjuje u računalnim 

sustavima WR Mathematica i Statistica. 

Za većinu problema mjerenja i procjene parametara vrijedi pretpostavka o 

normalnoj raspodjeli gustoće vjerojatnosti i sve tri metode procjene daju isti rezultat. 

Stoga se metoda najmanjih kvadrata najčešće primjenjuje u mnogobrojnim 

primjerima jednostavnih i složenih modela i mjerenja. 

Brojni primjeri mogu ilustrirati različite situacije primjene. Najjednostavniji 

slučaj je dan u Primjeru 1. gdje se model sastoji od konstante koju treba optimalno 

procijeniti na osnovu pokusa s ponavljanjem. 

i 

i 

2


Primjer 1. 

Pokus s N ponavljanja veličine u stacionarnom stanju (veličina se ne mijenja 

tijekom pokusa ). Na primjer, uzastopno mjerenje tlaka, koncentracije i viskoziteta u 

vremenskom intervalu kada se mjerene veličine bitno ne mijenjaju za vrijeme pokusa. 

x ( mjerena veli~ina ) model : x je konstanta 

kriterij : minimum varijance S 

2 

(x) 

procjena : x = 1 

N Σ x mjerena veličina 

prividna pogre{ka pogreška 

i 

najbolja procjena prave vrijednosti 

i ( redni broj mjerenja ) 

Model se sastoji od samo jednog parametra, konstante x, tako da je broj stupnjeva 

slobode jednak n-1, odnosno broj pokusa s ponavljanjem, n, umanjenim za broj 

parametara modela, 1. Varijanca je definirana izrazom (1): 

( ) 2 

n 

2 1 

s ( x) 

= ⋅∑ 

xi 

− x 

(1) 

n −1 

i= 

1 

Najbolja procjena u smislu maksimalne preciznosti procjene dobije se 

minimiziranjem varijance s obzirom na procjenjivani parametar x: 

najbolji x 

d 

dx 

s 

2 

2 

= mins 

( x) 

( x) 

= 0 

Problem minimizacije varijance možemo prikazati grafički (slika 1). Da bi u 

potpunosti objasnili smisao procjene i njezine pogreške, pretpostavimo da smo izvršili 

3 skupine pokusa pri čemu je u broj ponavljanja pokusa u pripadajućim skupinama 

N1, N2 i N3 ( na primjer broj ponavljanja pokusa u prvoj skupini je N1 = 7, u drugoj N2 

= 10, i N3 = 8. 

x 

(2)


Slika 1. Prikaz funkcija varijance za 3 skupine pokusa s ponavljanjima N1, N2 i N3. 

Nacrtamo li funkcije varijance (1) sa svaki od skupine pokusa dobit ćemo 

parabole kojima se položaj minimuma i vrijednost minimalne varijance razlikuju. 

Položaj svakog minimuma određuje najprecizniju procjenu prave vrijednosti veličine 

x. Budući da je u drugoj skupini bio najveći broj ponavljanja pokusa N2 = 10, možemo 

očekivati da je taj minimum najbolja najbliži pravoj vrijednosti. 

Određivanje minimuma za jednu skupinu pokusa sa N ponavljanja je vrlo 

jednostavan jer se radi o jedinstvenom minimumu, tako da je isčezavanje derivacije 

dovoljan i nužan uvjet minimuma. Deriviramo varijancu i izvodimo izraz za najbolju 

procjenu, a to je srednja vrijednost (3): 

d 

dx 

i= 

n 

i= 

n 

⎛ 1 

2 ⎞ 2 

⎜ ⋅∑ 

( xi 

− x) 

⎟ = ⋅ ( −1) 

⋅∑ 

( xi 

− x) 

= 0 

⎝ n −1 

i= 

1 ⎠ n −1 

i= 

1 

i= n 

i= n 

i= n 

1 

∑ x = n⋅ x = ∑ xi x = x = ⋅∑ 

xi 

n 

i= 

1 i= 

1 i= 

1 

Najbolja procjena x je također slučajna veličina, čije matematičko očekivanje E(x ) je 

prava vrijednost a standardna devijacija σ( x ) je standardna pogreška e. 

Primjer 2. 

σ 40 

2 (x) 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

2 

1 

3 

0 2.5 5 7.5 x 

x 10 12.5 15 

1 

x 2 3 

Slijedeći primjer je model linearne zavisnosti dviju veličina, izlazne y i ulazne 

x. Zadatak je da se procjeni najbolji model, najbolji pravac, koji određuje zavisnost 

izlazne veličine o ulaznoj. Eksperiment se sastoji od n ponavljanja pokusa s različitim 

vrijednostima ulazne veličine. Bitna pretpostavka je da se pokusi ponavljaju u 

stacionarnim uvjetima, tako da za vrijeme eksperimentiranja ne postoje promjene 

funkcionalne zavisnosti y(x). U svakom pokusu mjeri se par vrijednosti ( yi , xi ), gdje 

postoji pogreška mjerenja i za x kao i za y. 

Veliki je broj primjera u kojima se pretpostavlja linearna zavisnost dviju 

veličina, kao što su: zavisnost specifične topline hrane o masenom udjelu vode, 

viskoziteta suspenzije o koncentraciji mikroorganizama, ili električnog otpora vodiča 

o temperaturu. Linearna zavisnost dviju veličina je pretpostavka, koja se također mora 

verificirati na osnovu eksperimentalnih vrijednosti i statističkih testova. 

x 

(3)


izlazna 

izlazna 

veli~ina 

veličina 

y 

pogreška prividna ulazne pogre{ka veličine 

pogreška Δxi 

izlazne Δy 

veličine i 

Δyi 

najbolja procjena pravca 

ulazna ulazna veličina veli~ina x 

šum ulazne veličine ∆x šum izlazne veličine ∆y 

{um {um 

x y 

model: model y = : l y + = k l x + k +∆y x 

kriterij: kriterij min : min s S 

2 

( l ,k ) 

2 (l,k) 

Slika 2a. Grafički prikaz određivanja najbolje procjene pravca. 

y 

Slika 2b. Prikaz raspodjele gustoće vjerojatnosti pogrešaka zavisne veličine. 

Važna je pretpostavka o stacionarnosti raspodjele gustoće vjerojatnosti zavisne 

veličine y (slika 2b). Za svaki eksperiment u kojem se određuje par vrijednosti 

nezavisne i zavisne veličine (xi , yi) pogreška ∆i je slučajna veličina s Gaussovom 

raspodjelom koja ima matematičko očekivanje E(∆y) = 0 (mjerenja bez sustavskih i 

2 

2 

grubih pogrešaka) i konstantne varijance σ ( Δy ) = σ . Stvarna vrijednost varijance 

pogreške nije poznata, ali se procjenjuje iz eksperimentalnih podataka. 

Broj parametara modela je 2, parametri su l i k, tako da je broj stupnjeva 

slobode n-2. Varijanca je definirana s obzirom na zavisnu, odnosno izlaznu veličinu: 

Δy 

s 

2 

i 

eksperiment 

model 

= y − model(y ) = y − ( l + k ⋅ x ) 

1 

= ⋅ 

n − 2 

i 

N(0,σ 2 ) 

N(0,σ 2 ) 

N(0,σ 2 ) 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

Δ 

2 

i 

i 

1 

= ⋅ 

n − 2 

i 

pretpostavka: ∆x


Najbolja procjena pravih vrijednosti parametara (l,k) je ona za koju varijanca poprima 

najmanju vrijednost. Formule za izračunavanje parametara izvode se ih zahtjeva 

2 

s l, 

k s dvije varijable. 

minimuma funkcije ( ) 

Primjer 3. (nelinearan model ) 

Najčešće je model zavisnosti dviju veličina nelinearan, ali se može na jedan ili 

više načina linearizirati. Kao jedan od jednostavnih primjera može se navesti model 

specifične brzine rasta mikroorganizma o koncentraciji supstrata, ili analogno tome je 

Michaelis-Menten kinetika za enzimske reakcije. Izraz za brzinu rasta je: 

cs 

μ = μ ⋅ m 

K + c 

Na osnovi izmjerenih podataka o koncentracijama i odgovarajućim specifičnim 

brzinama rasta traži se najbolja procjena parametara, μ M maksimalne brzine i K s 

Monod-ove konstante. Budući da je model (6) nelinearan, transformacijom 

definiramo novi par ulazne i izlazne veličine koji daje linearanu zavisnost: 

specifi~na specifična brzina 

rasta biomase µ / μh( 1/h ) -1 

najbolja procjena 

specifi~ne brzine rasta 

specifične brzine rasta 

koncentracija supstrata ( s g/mol ) 

s 

s 

{um {um 

s μ 

model : μ = 

c s s μ = μ 

m m⋅ 

K K+ + s 

s c 

2 

kriterij : min S (μ 

m 

, K s ) 

Slika 3. Prikaz linerizacije Monod-ovog modela i procjene kinetičkih parametara. 

(6) 

1 1 Ks 

1 

= + ⋅ 

μ μ μ s (7) 

Zavisna veličina je recipročna specifična brzina rasta a ulazna veličina je recipročna 

koncentracija. Kinetički parametri procjenjuju se iz minimuma varijance koja je 

funkcija parametara: 

2 ⎛ 1 K s ⎞ 

najbolja procjena ( μ K = 

⎜ 

⎟ 

m , s ) min s , 

(8) 

⎝ μ m μ m ⎠ 

Primjer 4. (umjeravanje mjernog uređaja ) 

Za svaki postupak mjerenja je neophodno provesti baždarenje uređaja, ili 

kalibracija, umjeravanje. Kao primjer, na slici je prikazan postupak baždarenja 

m 

šum šum 

cs / mol L -1 

m 

s 

( μ 

) 

s , 

s 

m s K


instrumenta za mjerenje koncentracije biomase pomoću određivanja relativnog 

intenziteta zrake svjetlosti koja prolazi, uz atenuaciju, kroz suspenziju s biomasom. 

Najvažniji dio baždarenja je pravilna upotreba standarda ( uzorka, instrumenta ili 

metode) kojim se mjerena vrijednost određuje uz zanemarivu pogrešku u odnosu na 

pogreške određivanja mjernog signala. U ovom primjeru, mjerni signal je jakost struje 

fotoćelije na kaju pada atenuirana zraka svjetlosti. Mjerena veličina je koncentracija 

mikroorganizama ( broj stanica u 1 ml ) koja se određuje brojenjem. 

optička gustoća 

opti~ka gusto}a 

I 

najbolja procjena 

ba`darne baždarne krivulje 

koncentracija 

biomase 

x ( g/mol ) 

standardni 

postupak 

zanemariva 

( zanemariva 

pogreška 

pogre{ka 

standardnog standardnog postupka 

postupka ) 

model 

{um šum 

ulazna ulazna veličina veli~ina X x izlazna izlazna veličina veli~inayY 

koncentracija biomase 

opti~ka optička gustoća gusto}a 

A/D 

PC 

opti~ka optička 

gusto}a 

koncentracija 

Slika 4. Prikaz umjeravanja mjernog uređaja ("turbidometra") za on-line mjerenje 

koncentracije stanica određivanjem optičke gustoće svjetlosti. 

Ako se za određeno mjerno područje može uzeti da je baždarna karakteristika 

linearna, onda se primjenjuje postupak opisan u Primjeru 2, ili ako se radi o 

nelinearnoj karakteristici, onda primjenjujemo linearizaciju kao što je opisano u 

Primjeru 3. Kod baždarenja se varijanca isključivo definira s obzirom na mjerni 

signal, budući da je zanemariva pogreška za standardnu metodu. Prividna pogreška za 

i-to mjerenje je razlika: 

Varijanca je definirana s: 

2 1 

s = ⋅ 

n − 2 

i 

i 

( l + k x ) 

Δ = y − ⋅ 

(10) 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

Δ 

2 

i 

1 

= ⋅ 

n − 2 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

( y − l − k ⋅ x ) 

Izračunamo li kvadrat izraza u zagradi i nakon toga zbrojimo sve članove, dobili bi 

kvadratnu funkciju s dvije varijable. Prikazana u prostoru, na slici (5), funkcija ima 

jedan ekstrem koji je minimum varijance. Koordinate minimuma su najbolje procjene 

parametara ( l , k ). 

i 

i 

2 

gustoća 

(11)


k 

S 

2 

( k , l ) 

paraboloid 

S 

2 

= a + a k 

2 

o 1 

+ 

2 

a k l + 

3 

a 

2 

l 

minimum S 2 

( k , l ) 

najbolja procjena k,l 

Slika 5. Grafički prikaz zavisnosti varijance o parametrima l , k . 

Minimum odredimo iz zahtjeva da prve derivacije funkcije su jednake nuli. Budući da 

se radi o jedinstvenom ekstremu koji je minimum, taj zahtjev je onda istovremeno 

nužan i dovoljan. Derivacije su: 

za odsječak na ordinati 

∂ ⎛ 

⎜ 

∂ ⎝ 

1 

⋅ 

i= 

n 

∑ 

i= 

n 

2 

( y − l − k ⋅ x ) ⎟ = ⋅ ( − 2) 

⋅ ( y − l − k ⋅ x ) 

∑ 

i 

i 

l n − 2 i= 

1 

n − 2 

i= 

1 

za koeficijent smjera 

∂ ⎛ 

⎜ 

∂ ⎝ 

1 

⋅ 

i= 

n 

∑ 

⎞ 

⎠ 

1 

i= 

n 

2 

( y − l − k ⋅ x ) ⎟ = ⋅ ( − 2) 

⋅ ( y − l − k ⋅ x ) 

∑ 

i 

i 

k n − 2 i= 

1 

n − 2 

i= 

1 

⎞ 

⎠ 

1 

U jednadžbama (12,13) možemo svaki član podijeliti s zajedničkim faktorom, i zatim 

jednadžbe preurediti tako da su nepoznanice na lijevoj strani, a poznate vrijednosti na 

desnoj: 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

⎞ ⎛ 

1⎟⋅ 

l + ⎜ 

⎠ ⎝ 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

⎞ ⎛ 

xi 

⎟ ⋅ l + ⎜ 

⎠ ⎝ 

S 2 = a0 + a1· k 2 + a2 k · l + a3·l 2 

minimum S 2 

i= 

n 

∑ 

⎞ 

xi 

⎟ ⋅ k = 

⎠ 

i= 

1 

x 

2 

i 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

⎞ 

⎟ ⋅ k = 

⎠ 

y 

i= 

n 

∑ 

i= 

1 

i 

i 

i 

i 

l 

y ⋅ x 

Jednadžbe poprimaju mnogo jednostavniji oblik ako se svaka od njih podijeli s 

brojem mjerenja, odnosno ako se koeficijenti pišu kao srednje vrijednosti: 

l + x ⋅ k = y 

___ ___ (15) 

x ⋅ l + xx⋅ k = yx 

i 

i 

i 

⋅ x 

= 0 

i 

= 0 

(12) 

(13) 

(14)


Jednadžbe (15) se u literaturi nazivaju Gaussovim ili " normalnim " jednadžbama. Iz 

prve jednadžbe slijedi da jednadžba pravca mora prolaziti kroz točku čije su 

koordinate srednje vrijednosti nezavisne i zavisne varijable. Supstituiramo prvu 

jednadžbu u drugu i dobijemo koeficijent smjera: 

yx − y ⋅ x 

k = 

(16) 

x x − x ⋅ x 

a zatim iz prve jednadžbe izračunamo odsječak na ordinati: 

l = y − k ⋅ x 

(17) 

Isti rezultat (16) može se napisati pomoću oznake funkcije sume kvadrata SS 

("sum of squares"). Uobičajeno je pribrojnike funkcije SS pisati kao donji indeks, tako 

da funkcija SS ima definiciju: 

i n 

( a b) 

= SS = ∑ ( a − a ) ⋅ ( b − b ) 

= 

, 

SS a, 

b 

i 

i 

i=1 

Lagano je dokazati sljedeći identitet: = n ⋅ ( a ⋅ b − a ⋅ b ) 

Dokaz: 

S 

ab 

n 

n 

S ab 

∑( 

ai 

− a ) ⋅ ( bi 

− b ) = ∑ ai 

⋅ bi 

− b ⋅∑ 

ai 

− a ⋅ bi 

+ n ⋅ a ⋅ b = 

i= 

1 

i= 

1 

i= 

1 

i= 

1 

= n ⋅ ab − n ⋅ b ⋅ a − n ⋅ a ⋅ b + n ⋅ a ⋅ b = n ⋅ ( a ⋅b 

− a ⋅b 

) 

= ∑ 

Također je uobičajeno procjene označiti sa gornjim znakom ( ˆ , kapa) tako da izraz 

(16) ima novi kraći oblik: 

k ˆ = 

SS 

SS 

Procjene parametara k i l su slučajne veličine za koje se može pokazati da im 

je matematičko očekivanje jednako pravim vrijednostima parametara, dakle da su 

procjene nepristrane. Taj zaključak vrijedi samo onda ako su zaista u mjernom 

postupku eliminirane sistematske pogreške. Varijance parametara k i l ćemo odrediti 

naknadno u sklopu razmatranja intervala pouzdanosti. Također je interesantno pitanje 

efikasnosti izvedenih procjena, odnosno da li procjene najbrže konvergiraju pravim 

vrijednostima s obzirom na broj mjerenja n. 

XY 

XX 

n 

n


LINEARNI MODEL S VIŠE ULAZNIH VELIČINA 

Izvedeni izrazi (16,17) mogu se proširiti i na modele s više ulaznih veličina ili 

na modele koji su linearni a s više parametara. Dva karakteristična primjera su: 

statička karakteristika modela s jednom ulaznom i izlaznom veličinom ali opisanom 

polinomom m-tog stupnja, ili model sistema s dvije ulazne veličine koje imaju 

sinergističko djelovanje i s jednom izlaznom veličinom. Te slučajeve možemo 

prikazati slijedećim slikama: 

x y 

y=P (x) 

m 

T 

pH 

μ =μ (T,pH) 

Slika 6. Sustavski prikazi linearnih modela s više parametar. 

2 

m 

y = a0 

+ a1 

⋅ x + a2 

⋅ x + Λ am 

⋅ x μ = a0 

+ a1 

⋅T 

+ a2 

⋅ pH + a3 

⋅T 

⋅ pH (18) 

U primjeru za specifičnu brzinu rasta sinergističko djelovanje obje veličine je 

dano o obliku modela produkta temperature i pH, odnosno članom a3 ⋅T ⋅ pH . Oba 

modela se mogu opisati formalno na isti način kada se upotrijebe matrične i vektorske 

veličine. To ćemo pokazati na slijedeći način. Pretpostavimo da je za svaki od 

navedenih primjera provedeno n pokusa i da su rezultati prikazani na slijedeći način: 

prvi primjer : drugi primjer: 

2 

m 

yi = a0 

+ a1 

⋅ xi 

+ a2 

⋅ xi 

+ ..... am 

⋅ xi 

μi 

= a0 

+ a1 

⋅Ti 

+ a2 

⋅ pHi 

+ a3 

⋅Ti 

⋅ pHi 

i = 1,.... 

n i = 1,.... 

n 

ili, za svako mjerenje mogu se napisati slijedeće relacije: 

y 

y 

n 

n 

2 

n 

m 

m 

m 

m 

1 

y = a + a ⋅ x + a ⋅ x + ..... a ⋅ x 

1 

2 

0 

m 

2 

= a + a ⋅ x + a ⋅ x + .... a ⋅ x 

0 

m 

n 

= a + a ⋅ x + a ⋅ x + .... a ⋅ x 

0 

1 

1 

1 

1 

2 

2 

2 

2 

2 

1 

2 

2 

μ = a + a ⋅T 

+ a ⋅ pH + a ⋅T 

⋅ pH 

μ = a + a ⋅T 

+ a ⋅ pH + a ⋅T 

.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ... 

Napišimo navedene relacije u matričnom obliku: 

1 

2 

μ = a + a ⋅T 

+ a ⋅ pH + a ⋅T 

⋅ pH 

n 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

2 

n 

2 

2 

2 

1 

2 

n 

3 

3 

3 

1 

2 

n 

μ 

1 

n


⎛ y1 

⎞ ⎛ 1 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎜ y2 

⎟ ⎜ 1 

⎜ ⎟ = 

... 

⎜ 

⎜ ⎟ ⎜ 

..... 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎝ yn 

⎠ ⎝ 1 

x 

x 

1 

2 

..... 

x 

n 

..... 

...... 

....... 

..... 

m 

x ⎞ ⎛ a 1 0 ⎞ 

⎟ ⎜ ⎟ 

m 

x ⎟ ⎜ a 2 1 ⎟ 

⎟ ⋅ 

.... 

⎜..... 

⎟ 

⎟ ⎜ ⎟ 

m 

x ⎟ ⎜ ⎟ 

⎠ ⎝ a n m ⎠ 

⎛ μ1 

⎞ ⎛ 1 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎜ μ2 

⎟ ⎜ 1 

⎜ ⎟ = 

..... ⎜.... 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎜ ⎟ ⎜ 

⎝ μn 

⎠ ⎝ 1 

T 

T 

1 

2 

.... 

T 

n 

pH 

pH 

1 

2 

...... 

pH 

n 

T1 

⋅ pH1 

⎞ ⎛a0 

⎞ 

⎟ ⎜ ⎟ 

T1 

⋅ pH1 

⎟ ⎜ a1 

⎟ 

⎟ ⋅ 

.......... ⎜a 

⎟ 

2 ⎟ ⎜ ⎟ 

T ⋅ pH ⎟ ⎜ ⎟ 

n n ⎠ ⎝ a3 

⎠ 

(19) 

Oba sustava jednadžbi (19) možemo prikazati na jedinstveni način, ako produkt 

matrice X koja sadrži rezultate mjerenja ulaznih veličina i vektora parametara modela 

a izjednačimo s vektorom podataka izlazne veličine y: 

y = X ⋅ a 

(20) 

Sustav jednadžbi nije moguće riješiti tako da je jednakost zadovoljena, zato jer je broj 

jednadžbi n veći od broja nepoznanica m, n >> m. Za određenu vrijednost parametara 

možemo odrediti razliku između vektora izlazne veličine i vrijednosti dobivenih iz 

modela. Ta razlika je vektor prividnih pogrešaka: 

∆ = y − X ⋅ a 

(21) 

Varijancu odredimo skalarnim množenjem vektora prividnih pogrešaka: 

s 

2 

1 

= 

n 

s 

⋅ 

1 

n 

T 

T 

T 

( ∆) ⋅ ∆ = ⋅ ( y − X ⋅ a) 

⋅ ( y − X ⋅a) 

= ⋅ e ⋅ e 

s 

gdje je ns broj stupnjeva slobode, u prvom primjeru ns = n-m a u drugom je ns = n-4. 

Najbolja procjena parametara je ona koja minimizira varijancu (22). Kao i za slučaj 

pravca, i sada je nužan i dovoljan uvjet minimuma da su derivacije jednake nuli: 

∂ 2 

s = 

∂ a 

Izraz (22) deriviramo implicitno, kao derivaciju kvadrata funkcije: 

Izračunamo derivaciju i uvrstimo: 

0 

∂ 2 2 ⎛ ∂ e ⎞ 

s = ⋅ ⋅ e 

a n 

⎜ 

s a 

⎟ 

∂ ⎝ ∂ ⎠ 

T 

( y − X ⋅ ) = 0 

− X ⋅ a 

T 

U izrazu (25) izostavili smo konstantan faktor ns jer ne utječe na rezultat kada se 

derivacije izjednače s nulom. 

Nakon množenja dobije se: 

1 

n 

s 

(22) 

(23) 

(24) 

(25)


T 

T 

− X ⋅ y + X ⋅ X ⋅ a = 0 

Razdvojimo nepoznanice od poznatih podataka: 

X 

T 

(26) 

T 

⋅ X ⋅ a = X ⋅ y 

(27) 

Sustav linearnih jednadžbi (27) ima jednoznačno rješenje, pretpostavivši da matrica 

XTX nije singularna. Rješenje je najbolja (nepristrana i učinkovita) procjena pravih 

parametara modela: 

a = 

T −1 T 

( X ⋅ X ) ⋅ X ⋅ y 

Nepristranost procjene nismo dokazali, ali možemo prihvatiti pretpostavku da 

je osigurana eliminacijom grubih i sistematskih pogreška. Maksimalna učinkovitost 

(brzina konvergencije) procjene također nije dokazana, mogli bi to pokazati 

usporedbom konvergencije s ostalim mogućim metodama procjene. Rješenje (28) 

nalazi se u standardnim kompjutorskim programima za rad s tabelama ("work sheet") 

kao što su EXCEL, Wolfram Research Mathematica, Statistica. 

Matrica kovarijance parametara određena je produktom. 

(28) 

T 

C = X ⋅ X 

(29) 

Standardne devijacije procijenjenih paprametara proporcionalne su dijagonalnim 

elementima matrice kovarijance C i procijenjene standardne devijacije zavisne 

veličine y: 

( α i ) = σ ( y) ⋅ Cii 

≅ s( 

y) 

⋅ Cii 

σ ˆ (30)

Predavanje 3 - PBF

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?