Glosario Geometría Analítica

GLOSARIO DE GEOMETRIA ANALITICA
Parte de las matemáticas, que analiza las figuras geométricas utilizando métodos
algebraicos.
SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX’ y YY’
llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta horizontal se
llama eje de las X’s ó abscisas; la recta vertical se les llama eje de las Y’s u ordenadas.
CUADRANTE.
Se les llama cuadrantes a cada una de las cuatro regiones en que divide al plano, los ejes
coordenados, se enumeran en sentido contrario a las manecillas del reloj.
LOCALIZACIÓN DE PUNTOS
Un punto en un sistema de coordenadas, se localiza por medio de sus coordenadas
( x , y). se parte del origen, recorriendo primero la distancia “x” y luego la distancia “y” si
“x” es negativa se partirá hacia la izquierda, si es positiva se partirá hacia la derecha. Si la
“y” es negativa se seguirá hacha bajo, y si es positiva se seguirá hacia arriba.

Ejemplo 1. Grafica los puntos B (2 , 5) y G (-3 , -4)
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A) Segmento paralelo al eje de las “x” ; D = l X2 – X1 l = l X1 – X2 l
B) Segmento paralelo al eje de las “y” ; D = l Y2 - Y1 l = l Y1 - Y2 l
C) Segmento no importa su posición ;
d = ((x2 - x1)2 (y2-
y1)2
LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO QUE DIVIDE UN SEGMENTO, EN UNA RAZON DADA
Para determinar las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos
extremos son P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 se aplica el siguiente
procedimiento.
Teorema.
Las coordenadas de un punto P que divide a un segmento de recta cuyos extremos son
P1 ( x1, y1 ) y P2 ( x2, y2 ) en la razón r = P1P / PP2 son
x =
x1 + rx2
1 + r
y =
y1 + ry2
1 + r
Siendo r - 1

PUNTO MEDIO
Punto localizado en la mitad de un segmento, sus coordenadas se calculan con las
siguientes formulas.
X = ( X1 + X2 ) / 2 Y = ( Y1 + Y2) / 2
PENDIENTE Y ANGULO DE INCLINACIÓN
Pendiente es la inclinación de una recta, con respecto a la horizontal, ej. Las rampas para
discapacitados, techos, techos de dos aguas etc., se denota con la letra m
m = pendiente = elevación/ avance = (Y1 - Y2) / (X1 – X2 ) = ( Y2 - Y1) / ( X2 – X1) = tg α
El ángulo de inclinación, es el que forma la recta con la horizontal, y se mide en sentido
contrario a las manecillas del reloj. Se calcula con la pendiente y la función trigonométrica
de tangente.
Si el ángulo de inclinación < de 90 0 su m es +
Si el ángulo de inclinación > de 90 0 su m es -
Si el ángulo de inclinación = a 90 0 su m es ∞
Si el ángulo de inclinación = a 0 0 su m es 0
PENDIENTES DE RECTAS PARALELAS
Dos líneas rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
PENDIENTES DE RECTAS PERPENDICULARES
Dos líneas rectas son perpendiculares si: sus pendientes son reciprocas y de signo
contrario ó si el producto de ambas es igual a -1
(m1 )(m2) = -1 m1 = - 1/m2
ECUACIONES DE LA RECTA
Llamamos línea recta, al lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos
diferentes cualesquiera del lugar, el valor de la pendiente m, resulta siempre constante.
Ecuación general, representa a cualquier recta Ax + By + C = 0
ECUACIÓN PUNTO PENDIENTE
Es la recta que pasa por el punto P1 ( X1 , Y1 ) y tiene la pendiente m
Y - Y1 = m ( X - X1)

ECUACIÓN PENDIENTE ORDENADA EN EL ORIGEN
Recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b
y = mx + b
ECUACIÓN DE UNA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS (CARTESIANA)
La recta que pasa por los puntos P1 (x1 , y1) y P2 (x2 , y2 )
(y - y1 ) / (x – x1 ) = ( y2 - y1) / (x2 – x1)
ECUACIÓN SIMETRICA DE LA RECTA
Recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son respectivamente “a” y “b”
x/a + y/b = 1
ECUACIÓN NORMAL DE LA RECTA
x Cos w + y Sen w- p = 0
INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
Sean A1 X + B1 Y + C1 = 0 y A2 X + B2 Y + C2 = 0 dos rectas cualesquiera,
razonaremos así:
Si P (x , y) es el punto de intersección y pertenece a los dos rectas, sus coordenadas
satisfacen simultaneamente a ambas ecuaciones. Luego la coordenadas del punto P son
las soluciones del sistema formado por las ecuaciones de las rectas.
LAS CONICAS
Las cónicas son curvas que surgen al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Es
importante tener en cuenta que son líneas curvas y no superficies.
Las cónicas son:
Circunferencia. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano
paralelo a la base.
Elipse. Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano oblicuo.
Parábola.- Es la línea que se obtiene al cortar un cono recto con un plano paralelo
a una generatriz.
Hipérbola.- Es la línea que se observa al cortar un cono recto con un plano
perpendicular a la base del mismo.

CIRCUNFERENCIA
HIPERBOLA
Se llama circunferencia de centro O y radio r, al conjunto de puntos del plano que están a
una distancia igual a r del centro O
CIRCULO
Se llama círculo al conjunto de puntos de una circunferencia, más los puntos interiores a
la misma.
GRAFICA DE UNA CIRCUNFERENCIA
o r

Para determinar la gráfica y la ecuación algebraica que representa a una circunferencia,
es suficiente conocer su centro y su radio.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO EN EL ORIGEN (CANONICA)
r 2 = x 2 + y 2
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA CON CENTRO FUERA DEL ORIGEN
(ORDINARIA)
r 2 = ( x - h) 2 + (y - k) 2
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
x 2 + y 2 + Dx + Ey + F =0
DIAMETRO
Recta que une dos puntos de la circunferencia pasando por su centro.
RADIO
Recta que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ésta.
TANGENTE
Recta que toca a la circunferencia en un punto.
SECANTE
Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.
INTERSECCIÓN DE DOS CIRCUNFERENCIAS
Para determinar los puntos comunes a dos circunferencias dadas, basta observar que,
por pertenecer los puntos a las dos circunferencias, sus coordenadas deben de satisfacer
las ecuaciones de ambas. Las coordenadas de los puntos de intersección son, pues las
soluciones del sistema formado por las dos ecuaciones.
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA A PARTIR DE TRES CONDICIONES
Para hallar esta ecuación que cumple con tres condiciones dadas, se expresaran estas
analíticamente. Cada condición se traduce en una ecuación entre las coordenadas del
centro, el radio, y los datos ó bien entre los coeficientes en la forma general y los datos.se
llaga finalmente a un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que permite calcular
los parámetros.

PARABOLA
Es el conjunto de puntos en el plano que equidistan de una recta fija y un punto fijo que no
está en ella. La recta fija se llama directriz, y el punto fijo se llama foco.
ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
D
D´
v
ECUACIONES DE LA PARABOLA
L
R
F
VÉRTICE (V)
FOCO (F)
LADO RECTO (LR)
DIRECTRIZ (DD)
EJE DE SIMETRIÁ
DISTANCIA FOCAL (VF)
Caso I Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "x"
Ecuación de la parábola y 2 = 4ax y 2 = - 4ax
V ( 0 , 0 ) F ( a, o ) LR = 4a V ( 0 , 0 ) F (- a, o ) LR = 4a
Ecuación de la directriz x = -a x = a
Posición de la curva
a > 0 a < 0
X

Caso II Parábola con vértice en el origen y eje de simetría en las "y"
Ecuación de la parábola x 2 = 4ay x 2 = - 4ay
V( 0 , 0 ) F( o, a ) LR = 4a V( 0 , 0 ) F( o, - a ) LR = 4a
Ecuación de la directriz y = -a y = a
Posición de la curva
a > 0 a < 0
X
Y
Caso III Parábola con vértice en V(h,k) y eje de simetría paralelo a las "X"
Ecuación de la parábola (y-k) 2 = 4 a(x-h) (y-k) 2 = - 4a (x-h)
V( h , k ) F( h + a , k ) LR = 4a V( h , k ) F( h - a, k) LR = 4a
Ecuación de la directriz x = h – a
Y
Posición de la parábola
x = h + a
Y
k
a > 0 a < 0
X
k
h
Y
X
X

Caso IV Parábola con vértice en V ( h,k ) y eje simétrico paralelo a las Y
Ecuación de la parábola ( x - h ) 2 = 4a ( y - k ) ( x - h ) 2 = - 4a ( y - k )
V ( h, k ) F ( h , k + a ) LR = l 4a l V ( h, k ) F ( h , k - a ) LR = l 4a l
Directriz y = k – a Directriz y = k + a
Posición de la parábola
k
Y
a > 0 a < 0
ECUACION GENERAL DE LAS PARABOLAS QUE ABREN SUS RAMAS HACIA LA
DERECHA Ó IZQUIERDA.
y 2 + Dx + Ey + F = 0
ECUACION GENERAL DE LAS PARABOLAS QUE ABREN SUS RAMAS HACIA
ARRIBA Ó HACHA ABAJO
x 2 + Dx + Ey + F = 0
LONGUITUD DE LADO RECTO
Segmento perpendicular al eje focal que une dos puntos de la parábola, pasando por el
foco.
DIRECTRIZ
Segmento de recta perpendicular al eje encontrándose enfrente de la parábola y a la
misma distancia del vértice al foco.
ELIPSE
h
X h
k
Y
X

Lugar geométrico de un punto que se mueve en forma tal que la suma de las distancias
del punto a otros dos puntos fijos, sea una constante, los puntos fijos se llaman focos y la
constante se llama eje mayor.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE
V y V’ .- vértices
VV’ .- eje mayor = 2a de longitud
BB’ .- eje menor = 2b de longitud
LL’.- lados rectos
O’
P(x,y)
F(-c,0) F(c,0)
FF’ .- distancia focal = 2c de longitud
F y F’ .- focos
B y B’ .- covértices
EXCENTRICIDAD
B
L L
V’ V
F’ F
L’ L’
B’

Es el valor del cociente c/a, e indica la forma de la elipse. Para a de la longitud fija la
curva se achata a medida que c tiende a a ( c a ) y la curva tiende a convertirse en un
círculo de radio a a medida que c 0.
ECUACION DE LA ELIPSE (X)
ECUACION DE LA ELIPSE (Y)
ELIPSE X
( x – h ) 2 / a 2 + ( y – k ) 2 / b 2 = 1
C ( h, k )
ELIPSE Y
( x – h ) 2 / b 2 + ( y – k ) 2 / a 2 = 1
C ( h, k )
ECUACIÓN GENERAL
Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
HIPERBOLA
x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1
c ( 0 , 0)
x 2 /b 2 + y 2 /a 2 = 1
c (0, 0)

Lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que el valor absoluto de la
diferencia de las distancias a dos puntos fijos, es una constante.
ELEMENTOS DE LA HIPERBOLA
R1 Y R2 .- Asíntotas R1 R2
A’ y A .- vértices
A’A .- eje focal F’ A’ A F
F’ y F .- focos
F’F .- distancia focal
ECUACIONES DE LA HIPERBOLA
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1
x 2 /b 2 - y 2 /a 2 = 1
( x – h ) 2 / a 2 - ( y – k ) 2 / b 2 = 1

( y – k ) 2 / a 2 - ( x – h ) 2 / b 2 = 1