Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas - Amolasmates
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<strong>Ejercicios</strong> <strong>aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong>. <strong>Áreas</strong><br />
1. Hal<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> recta x + y = 10, el eje OX y <strong>la</strong>s or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> x = 2 y x = 8.<br />
2. Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l recinto limitado por <strong>la</strong> curva y = 9 − x 2 y el eje OX.<br />
3.Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).<br />
4. Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones y 2 = 4x e y = x 2 .<br />
5. Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> curva xy = 36, el eje OX y <strong>la</strong>s rectas: x = 6, x = 12.<br />
6.Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> curva y = 2(1 − x 2 ) y <strong>la</strong> recta y = −1.<br />
7. Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l recinto limitado por <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y = x 2 + 2 y <strong>la</strong> recta que pasa por los puntos<br />
(−1, 0) y (1, 4).<br />
8. Hal<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> recta , el eje <strong>de</strong> abscisas y <strong>la</strong>s or<strong>de</strong>nadas<br />
correspondientes a x = 0 y x = 4.<br />
9. Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> curva y = 6x 2 − 3x 3 y el eje <strong>de</strong> abscisas.<br />
10. Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no limitada por <strong>la</strong>s curvas y = ln x, y = 2 y los ejes<br />
coor<strong>de</strong>nados.<br />
11. Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no limitada por el círculo x 2 + y 2 = 9.<br />
12. Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> una elipse <strong>de</strong> semiejes a y b.<br />
13. Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no limitada por <strong>la</strong> curva: f(x) = |x 2 − 4x + 3| y el eje OX.<br />
14. Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> figura limitada por: y = x 2 , y = x, x = 0, x = 2<br />
15. Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l recinto p<strong>la</strong>no y limitado por <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y = 4x − x 2 y <strong>la</strong>s tangentes a <strong>la</strong> curva<br />
en los puntos <strong>de</strong> intersección con el eje OX.<br />
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Soluciones ejercicios <strong>aplicaciones</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> <strong>integral</strong>. <strong>Áreas</strong><br />
Hal<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> recta x + y = 10, el eje OX y <strong>la</strong>s or<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> x = 2 y x = 8.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l recinto limitado por <strong>la</strong> curva y = 9 − x 2 y el eje OX.<br />
En primer lugar hal<strong>la</strong>mos los puntos <strong>de</strong> corte con el eje OX para representar <strong>la</strong> curva y conocer los<br />
límites <strong>de</strong> integración.<br />
Como <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble <strong>de</strong>l área comprendida<br />
entre x = 0 y x = 3.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l triángulo <strong>de</strong> vértices A(3, 0), B(6, 3), C(8, 0).<br />
Ecuación <strong>de</strong> <strong>la</strong> recta que pasa por AB:<br />
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Ecuación <strong>de</strong> <strong>la</strong> recta que pasa por BC:<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong>s gráficas <strong>de</strong> <strong>la</strong>s funciones y 2 = 4x e y = x 2 .<br />
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Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> curva xy = 36, el eje OX y <strong>la</strong>s rectas: x = 6, x = 12.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> curva y = 2(1 − x 2 ) y <strong>la</strong> recta y = −1.<br />
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8<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l recinto limitado por <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y = x 2 + 2 y <strong>la</strong> recta que pasa por los puntos<br />
(−1, 0) y (1, 4).<br />
Hal<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> recta
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10<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área limitada por <strong>la</strong> curva y = 6x 2 − 3x 3 y el eje <strong>de</strong> abscisas.<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no limitada por <strong>la</strong>s curvas y = ln x, y = 2 y los ejes coor<strong>de</strong>nados.<br />
Calcu<strong>la</strong>mos el punto <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> <strong>la</strong> curva y <strong>la</strong> recta y = 2.<br />
El área es igual al área <strong>de</strong>l rectángulo OABC menos el área bajo <strong>la</strong> curva y = ln x.<br />
El área <strong>de</strong> rectángulo es base por altura.<br />
El área bajo <strong>la</strong> curva y = ln x es:<br />
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·Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no limitada por el círculo x 2 + y 2 = 9.<br />
El área <strong>de</strong>l círculo es cuatro veces el área encerrada en el primer cuadrante y los ejes <strong>de</strong><br />
coor<strong>de</strong>nadas.<br />
Hal<strong>la</strong>mos los nuevos límites <strong>de</strong> integración.<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> una elipse <strong>de</strong> semiejes a y b.<br />
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Por ser <strong>la</strong> elipse una curva simétrica, el área pedida será 4 veces el área encerrada en el primer<br />
cuadrante y los ejes <strong>de</strong> coor<strong>de</strong>nadas.<br />
Hal<strong>la</strong>mos los nuevos límites <strong>de</strong> integración.<br />
Calcu<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> región <strong>de</strong>l p<strong>la</strong>no limitada por <strong>la</strong> curva: f(x) = |x 2 − 4x + 3| y el eje OX.<br />
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Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong> <strong>la</strong> figura limitada por: y = x 2 , y = x, x = 0, x = 2<br />
Puntos <strong>de</strong> corte <strong>de</strong> <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y <strong>la</strong> recta y = x.<br />
De x = 0 a x = 1, <strong>la</strong> recta queda por encima <strong>de</strong> <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong>.<br />
De x = 1 a x = 2, <strong>la</strong> recta queda por <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong>.<br />
Hal<strong>la</strong>r el área <strong>de</strong>l recinto p<strong>la</strong>no y limitado por <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> y = 4x − x 2 y <strong>la</strong>s tangentes a <strong>la</strong> curva en<br />
los puntos <strong>de</strong> intersección con el eje OX.<br />
Puntos <strong>de</strong> intersección:<br />
Ecuación <strong>de</strong> <strong>la</strong> tangente a <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> en el punto (0, 0):<br />
Ecuación <strong>de</strong> <strong>la</strong> tangente a <strong>la</strong> parábo<strong>la</strong> en el punto (4, 0):<br />
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