Actividades complementarias - Amolasmates

1. AF = AB+ BF = OG− OD = g −d
GE = GO + OE = − OG + OE = − g + e
FO = FE + EO = −OG− OE = −g−e
DM = DO + OG + GF + FM =
1 1
=− d + g + e+ d =− d + g + e
2 2
2.
3. a)
7 =α+ 2βα= 1
a =α b+βc − 6 = −2β β=
3
2 = 5α+ kβ
k
=−1
2 2 2
u =+ u· u = 1 + 2 + ( − 2) = 3
2 2 2
v =+ v· v = 6 + ( − 2) + (3) = 7
i
b) u× v = 1
j
2
k
− 2 = (2, −15, −14)
6 −2
3
u× v 4 + 225 + 196 425
c) senα=
= =
u v 3·7 21
d) α= arcsen
425
= 79º 1' 9,93''
21
e) v ' =
u⋅v
u
=
−4
3
4
=
3
4. a) u⋅ v = 0−λ − 2λ + 3 = 0λ= 1
5.
6.
b)
2
λ −2 3 λ
= 2
= = . Incompatible, ∃λ
−1 λ 1 3λ=−2
u× v ( −9,
6, 0) 1
x =± =± =± ( −3,
2, 0)
u× v 81+ 36 13
v
u
u – v
u + v
Las diagonales están representadas por los
vectores u+ v y u−v . Se halla su producto
escalar, teniendo en cuenta que u = v :
2 2
( u + v) ⋅( u − v) = u −u⋅ v + v ⋅u− v = 0 , por
tanto, son ortogonales.
Soluciones propuesta A
18
Actividades complementarias
7. a) u× x es ortogonal a u , y como u⋅ v = 3 ≠ 0 , no
puede existir ningún vector x que verifique la
igualdad.
b) Como u⋅ w = 0 , puede haber vectores
x = ( x, y, z)
que verifiquen la igualdad
u× x = w . Se resuelve la ecuación vectorial:
u× x = (2 z+ y, −x −z, y − 2 x)
= (5, −5, −5)
El sistema que se obtiene es compatible
indeterminado con solución:
( xyz , , ) = (5 −λ, 5−2 λ, λ), λ∈R
c) No tiene solución, porque vx es un vector con
la dirección de v , y u no tiene la misma
dirección que v .
3 3
d) v × u = ( − 3,3,3) = − (5, −5, −5) x =− .
5 5
v × w = u× v × w = −
( u⋅ w) v = 5 v = ( −25,10,15)
( u⋅ v) w = − 18 w = ( −36, 18, −18)
( u⋅w) v − ( u⋅ v) w = (11, −8,
33)
8. ( ) (5, 11, 1), ( ) (11, 8, 33)
9. a) u⋅ v = 0 − 4 + 2 + x = 0 x = 2
i
b) u× v = − 1
j
1
k
1 = (0,6, −6)
4 2 2
( u× v) × u =
i
0
j
6
k
− 6 = (12,6,6) = 3v
−1
1 1
10. a) Si es rectángulo en A, entonces AB ⋅ AC = 0
AB = ( −2, − 4, 4); AC = ( k −3,1, −1)
−2( k −3) −4− 4 = 0 k =− 1
b) Si es rectángulo en B, entonces BA ⋅ BC = 0
BA = (2, 4, − 4); BC = ( k −1, 5, −5)
2( k − 1) + 20 + 20 = 0 k =− 19
c) Si es rectángulo en C, entonces CA ⋅ CB = 0
CA = (3 −k, − 1,1); CB = (1 −k, −5, 5)
(3 −k)(1 − k) + 5 + 5 = 0 k − 4k + 13 = 0 ,
que no tiene solución real.
Actividades complementarias
2

1. Se denota el norte por i ,
el este por j y arriba por
2.
k. Entonces el vector de posición del minero es:
p =− 10k + 20i −15j − 5i + 5k + 5 2i + 5 2 j =
= 15 + 5 2 i + − 15 + 5 2 j −5k
.
( ) ( )
a) Aprox. 22,07 m al norte y 7,93 m al oeste.
b) A 5 m de profundidad.
c) p =+ p⋅ p = 5 23 ≈23,98
m.
1
α=
3
7
− = α+ kβ
6
a =α b+βc − 1= 5α−2β β=
7
2 =−4α+ 3β
11
k
=−
3
2 2 2
3. a) u =+ u⋅ u = ( − 2) + 1 + 0 = 5
v =+
v· v =
2 2 2
( − 1) + (1) + (3) = 11
b) u⋅ v = 2 + 1+ 0 = 3
c) cos α=
u⋅v
u v
=
3
5 11
3
α= arccos = 66º 8' 20''
55
u⋅v 3
d) u ' = =
v 11
u⋅v 3
e) v ' = =
u 5
4. a) No tiene solución, porque ux es un vector con
la dirección de u , y v no tiene la misma
dirección que u .
b) u⋅ x= w no tiene sentido, porque u⋅x es un
número real y no puede ser igual a un vector.
c) ( u + v) x= w [ ( − 1,2,1) + (2, − 1,3) ] x = (2,2,8)
(1,1, 4) x = (2,2,8) x = 2
d) v ⋅ x= 1 (2, −1,3) ⋅ ( x, y, z) = 12x− y + 3z = 1
Esta ecuación tiene infinitas soluciones que
pueden expresarse de la siguiente forma:
x = ( λ, − 1+ 2λ+ 3 μ, μ), λπ∈R ,
Soluciones propuesta B
Actividades complementarias
5. Los vectores de la base son:
i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1)
u⋅ i
cosα=
u i
u⋅j cosβ
=
u j
2+ 0+ 0
=
2 2 2 2 2 2
2 + 2 + 1 1 + 0 + 0
2 u⋅k 1
= , cos γ = =
3 u k 3
2
=
3
6.
2 2
u+ v + u− v = ( u+ v) ⋅ ( u+ v) + ( u−v) ⋅( u− v)
=
= u⋅ u + v ⋅ v + 2( u⋅ v) + u⋅ u + v ⋅v −2( u⋅ v)
=
2 2 2 2 2 2
= u + v + u + v = 2 u + 2 v
7. ( u + v + w) × ( u −v − w)
=
= 0− u× v − u× w + v × u−0− v × w + w× u− w× v − 0 =
=− 2( u× v) − 2( u× w) =− 2 ( u× ( v + w)
)
Si w =λ u + ( μ −1) v v + w = λ u +μv
, y resulta:
− 2
×
+ = − 2
× λ +μ =−2μ
×
19
( u ( v w) ) ( u ( u v) ) ( u v)
8.
i
u× v = 1
j
0
k
1 = ( −1, − 1, 1), v × w = ( −1,1, −1)
0 1 1
det
× , ,
−1 = 0
−1
1
1
1 = −1≠ 0
1 1 0
a) ( u v v w)
−1 b) det ( u× v, v × w, w)
= −1 −1
1
1
− 1 = −2≠ 0
1 1 0
9. a) u⋅ x = 0 ⇔ ( −1,1,1) ⋅ ( x, y, z) = 0− x+ y + z = 0
El conjunto es: { x = ( λ+μλμ , , ), λμ∈R , } .
b) a = ku + x ( − 3,0,3) = ( − k, k, k)
+ ( λ+μ, λ, μ)
− 3 = − k +λ+μ k
= 2
0 = k +λ λ=−2
3 k
= +μ μ
= 1
a = ( − 2,2,2) + ( −1, −2,1)
10. a) El volumen del paralelepípedo es:
2 x 3
2
V = a, b, c = 1 x 0 = x − 3x + 6 = 10
1 2 x
x1 =− 1, x2
= 4
b) Si fueran coplanarios, det( abc , , ) = 0 , que no
tiene soluciones reales. Luego no existe ningún
valor de x que cumpla esta condición.