Actividades complementarias - Amolasmates

1. TVM f [ ]
2. a)
( )
f(2) − f(0)
0− −4
0,2 = = = 2
2−0 2
[ ]
2 2
( a+ h) −4 −( a −4)
TVM f a, a + h = = h + 2a
h
b)
c)
3
(1 −+ h)
+ 1 2
TVI( − 1) = lim = lim( h − 3h + 3) = 3
h→0 h h→0
h − 2
− 2
−
−1
TVI(
− 2) = lim h 1 = lim = 1
h→0 h h→0
h−1
4+ h −2
1 1
TVI(2)
= lim = lim
=
h→0 h h→0
4+ h + 2 4
3. a) tg α= m = f '(1) = 3 α= 71º 33' 54 ''
Ecuación de la tangente y − 1= 3( x −1)
= −
−2
=
( − 1+ 3)
1
=− α= 153º 26’ 6’’
2
1
Ecuación de la tangente: y − 1 = − ( x + 1)
2
b) m f '( 1)
2
4. a) ( )
f + g '( − 1) = f '( − 1) + g '( − 1) = −1
b) ( fg )'(2 ) = f '(2) g(2) + f (2) g '(2) =
= 4( − 1) + 3·0= − 4
'
f f '(2) g(2) − f(2) g'(2)
c) (2) = = −4
g g(2)
[ ] 2
d) ( f g) '(2) = f '( g(2)) g'(2) = f '( − 1) g '(2) = 0
e) ( gf) '(2) = g'( f(2)) f '(2) = g'( − 1) f '(2) = −12
5. Para que sea continua en x = 0 ,
lim f( x) = lim f( x) = f(0) 1 = b
− +
x→0 x→0
Para que sea derivable en x = 0, las derivadas
laterales deben coincidir:
− +
f '(0 ) = f '(0 ) 0 = a
f( x)
= {
3
x + 1 si x ≤ 0
1 si x > 0
−1
1
6. f '( x) = , g'( x) = , h'( x) = 2x
2
2x 2 x + 1
1 2
( g h)'(2) = g' h(2) h '(2) = ·4 =
2 5 5
a) [ ]
1
( h g f) '(1) = h' g f(1) g' f(1) f '(1) = −
2
b) ( ) ( )
1
( f h g)'(4) = f ' h g(4) h' g(4) · g '(4) =−
50
c) ( ) ( )
d) ( gf h)'(
x)
=
− 2
2x 1+ 2x
2 2
Soluciones propuesta A
42
Actividades complementarias
7. fc ( ) =−9 c + c− 11= −9 c = 1
f '( x) = 3x + 1 f '(1) = 4
Actividades complementarias
2
(
−1
) ( ) =
−1 −1
f ' ( f ( x) ) · ( f ) '( x)
= 1
−1
( f ) ( 9)
−1
f ' ( f ( −9)
)
3
f f x x . Derivando:
1 1 1
− = = =
f '(1) 4
8. a) a'( x) = sen2x
d)
b) b'( x)
=
c)
2
1−4x −
=
− 2
2arccosx
c'( x)
1 x
9. a) =− tg x
a'( x)
x
2
d'( x)
=
−2x
1
− 4
x
e) e'( x) = 2 sec (2 x )
−2 2 2
f) f '( x)
= sec 2
x x
e) e'( x) = e ( x + 1)
cos x
b) b'( x) = −lnx⋅ sen x f) f '( x ) = 1
x
c) c'( x) =− (1+ ln x)sen( xln x)
2x
x 2
d) d'( x) = 2e
g) g'( x) = 2 ( ln2· x + 2x
)
10. a) v
1 1
h) hx ( ) = ln = − ln x
=−
x 2
1
h'( x)
2x
m
s(4) −s(1) 47 −2
= = = 15 ms
4−1 3
b) v = s'(2)
= 6⋅ 2 = 12 ms
i
−1
x
−1
dx
11. y = ln x dy = , f( x + dx) ≈ f( x) + dy
x
12.
1
ln(54) ≈ ln(50) + ·4 = 3,912 + 0,08 = 3,992
50
Er =
3,992 − 3,98898
3,98898
= 0,0756%
1
ln(46) ≈ ln(50) + ( − 4) = 3,912 − 0,08 = 3,832
50
3,832 − 3,82864
Er = ·100 = 0,0877%
3,82864
1
ln(40) ≈ ln(50) + ·( − 10) = 3,912 − 0,2 = 3,712
50
3,872 − 3,68888
Er = ·100 = 4,96%
3,68888
cuanto más lejos de x = 50, mayor es el error.
4 3
2
V = π r , dV = 4 π r dr
3
ΔV ≈ dV = 4π 2 ·0,03 =
1,508 m
2 3
2

1. TVM f [ ]
2. a)
( )
Soluciones propuesta B
( )
f(1) −f( −3)
1− −27
− 3,1 = = = 7
1− −3
4
3 3
( a+ h) −a
TVM f [ a, a + h] = = h + 3ha+ 3a
h
2
(3 + h)
−1−8 h→0 h→0
2 2
TVI(3) = lim = lim( h + 6) = 6
h
− 2+ h −1 3
−
1 1
b) ( 2) lim 2 h 2 −
TVI − = − + = lim =
h→0 h h→0
2 h−2
4
( )
1+ h −1
1 1
c) TVI(1)
= lim = lim =
h→0 h h→0
1+ h + 1 2
3. a) m = f '(2) = 3 = tgα α= 71º 33' 54''
b)
1
Ecuación de la normal: y − 8 = − ( x −2)
3
0
m = f '(0) = = 0 = tgα = 0 α= 0º
2
0 + 1
La tangente es horizontal y la normal es la
recta vertical x = 0.
4. a) ( )
3 5
f + g '(1) = f '(1) + g '(1) = 2 + − =
4 4
b) ( ) = + = 11
c)
fg '( 2 ) f'(2) g(2) f(2) g '(2)
'
f f '(2) g(2) − f(2) g'(2)
13
(2) = =
g g
3
[ ] 2
(2)
2
d) ( f g) '(2) = f '( g(2))· g'(2) = f '(1) g '(2) = −
3
e) ( gf) '(2) = g'( f(2)) f '(2) = g'(1) f '(2) = −3
5. Si x ≠ 1, f es derivable al estar definida por
polinomios. Para que sea continua en x = 1:
lim f( x) = lim f( x) = f(1)
6.
− +
x→1 x→1
a+ b− 1= 2b−2 a = b−1
Para que sea derivable en x = 1, las derivadas
laterales deben coincidir:
− +
f '(1 ) = f '(1 ) 2a+ b = 2b 2a− b = 0
Y de aquí: { − = − a b 1
a = 1, b = 2
2a− b = 0
−1
c
f ( c) = ln 4 c· e = ln 4 c = ln2
−1 ( f ) x
x
e x
−1
( f )
( −1
) ( ) =
'( ) = (1 + ) '(ln 2) = 2(1+ ln 2)
f f x x. Derivando la función
compuesta:
−1
( )
f '( f( x)) f '( x) = 1 f '(ln4) =
=
1
=
'( (ln 4))
1 1
=
'(ln2) 2(1+ ln 2)
−1 −1
( f ) f ( f )
Actividades complementarias
3
43
1
Ec. tangente : y − ln 2 = ( x −ln4)
2(1+ ln 2)
7. a) a'( x) =−sen2x
c) c'( x) = 2cos(2 x )
b) b'( x)
=
2x
1
− 4
x
d)
1 1 −1
e) e'( x)
=− · =
2 2 2
x 1 x + 1
1+
x
d'( x) = 2 tg x sec x
−2 1 −1
f) f '( x)
= ·
=
( 1+ x) 1−x 1+
x
1+
1+ x
2
8. a) '( ) = 2ln5· 5 x
a x e)
9.
2 2 2
1
e'( x)
=
2 x 1 x
x
b) b'( x) = x· e f) = 1
f '( x)
2x
c) c'( x ) = 1 g)
x 2
d) d'( x) = 3 x ( x ln3 + 3)
1
2
2
( + ) 2
− 2x+ 3 1
g'( x)
= ·
ln10
2 ( x − 3x)
h) hx ( ) = [ ln(1−sen x) − ln(1+ sen x)
]
1 − cosx cosx 1
h'( x)
=
2 −
1 sen x 1 sen x = −
− + cos x
2 2
−3x −6xy
3x + 6xy + 3x y'+ 2yy' = 0 y'
=
2
3x + 2y
− − = − 9
9
f '( 2, 2) . Ecuación: y + 2 = − ( x + 2)
2
2
1
10. a) ln f( x) = ln(5 −4 x)
x
f '( x)
1 −4
=− ln(5 − 4 x)
+
2 f( x) x
x(5−4 x)
1 −4
f '( x) = x 5 −4x − ln(5 − 4 x)
+
2
−
x
x(5 4 x)
b) ln gx ( ) = 2x⋅ ln(3x + 1)
2x
6x
g'( x) = (3x+ 1) 2ln(3x + 1) +
3x+ 1
−
11. a) =
+ 2
39
dy dx
( x 5)
dx = Aωcos( ω t +φ ) dt
b) 0
12. f(3 + dx) = f(3) +Δy ≈ f(3) + dy
4 2
dy = (5x −12x−3) dx ; dy(3) = 294dx
5 3
f (3,001) = 3,001 −4·3,001 −3·3,001 ≈
≈ f(3) + dy
= 126 + 294·0,001 = 126,294
2