Actividades complementarias - Amolasmates

1. TVM f [ ]
2. a)
( )
Soluciones propuesta B
( )
f(1) −f( −3)
1− −27
− 3,1 = = = 7
1− −3
4
3 3
( a+ h) −a
TVM f [ a, a + h] = = h + 3ha+ 3a
h
2
(3 + h)
−1−8 h→0 h→0
2 2
TVI(3) = lim = lim( h + 6) = 6
h
− 2+ h −1 3
−
1 1
b) ( 2) lim 2 h 2 −
TVI − = − + = lim =
h→0 h h→0
2 h−2
4
( )
1+ h −1
1 1
c) TVI(1)
= lim = lim =
h→0 h h→0
1+ h + 1 2
3. a) m = f '(2) = 3 = tgα α= 71º 33' 54''
b)
1
Ecuación de la normal: y − 8 = − ( x −2)
3
0
m = f '(0) = = 0 = tgα = 0 α= 0º
2
0 + 1
La tangente es horizontal y la normal es la
recta vertical x = 0.
4. a) ( )
3 5
f + g '(1) = f '(1) + g '(1) = 2 + − =
4 4
b) ( ) = + = 11
c)
fg '( 2 ) f'(2) g(2) f(2) g '(2)
'
f f '(2) g(2) − f(2) g'(2)
13
(2) = =
g g
3
[ ] 2
(2)
2
d) ( f g) '(2) = f '( g(2))· g'(2) = f '(1) g '(2) = −
3
e) ( gf) '(2) = g'( f(2)) f '(2) = g'(1) f '(2) = −3
5. Si x ≠ 1, f es derivable al estar definida por
polinomios. Para que sea continua en x = 1:
lim f( x) = lim f( x) = f(1)
6.
− +
x→1 x→1
a+ b− 1= 2b−2 a = b−1
Para que sea derivable en x = 1, las derivadas
laterales deben coincidir:
− +
f '(1 ) = f '(1 ) 2a+ b = 2b 2a− b = 0
Y de aquí: { − = − a b 1
a = 1, b = 2
2a− b = 0
−1
c
f ( c) = ln 4 c· e = ln 4 c = ln2
−1 ( f ) x
x
e x
−1
( f )
( −1
) ( ) =
'( ) = (1 + ) '(ln 2) = 2(1+ ln 2)
f f x x. Derivando la función
compuesta:
−1
( )
f '( f( x)) f '( x) = 1 f '(ln4) =
=
1
=
'( (ln 4))
1 1
=
'(ln2) 2(1+ ln 2)
−1 −1
( f ) f ( f )
Actividades complementarias
3
43
1
Ec. tangente : y − ln 2 = ( x −ln4)
2(1+ ln 2)
7. a) a'( x) =−sen2x
c) c'( x) = 2cos(2 x )
b) b'( x)
=
2x
1
− 4
x
d)
1 1 −1
e) e'( x)
=− · =
2 2 2
x 1 x + 1
1+
x
d'( x) = 2 tg x sec x
−2 1 −1
f) f '( x)
= ·
=
( 1+ x) 1−x 1+
x
1+
1+ x
2
8. a) '( ) = 2ln5· 5 x
a x e)
9.
2 2 2
1
e'( x)
=
2 x 1 x
x
b) b'( x) = x· e f) = 1
f '( x)
2x
c) c'( x ) = 1 g)
x 2
d) d'( x) = 3 x ( x ln3 + 3)
1
2
2
( + ) 2
− 2x+ 3 1
g'( x)
= ·
ln10
2 ( x − 3x)
h) hx ( ) = [ ln(1−sen x) − ln(1+ sen x)
]
1 − cosx cosx 1
h'( x)
=
2 −
1 sen x 1 sen x = −
− + cos x
2 2
−3x −6xy
3x + 6xy + 3x y'+ 2yy' = 0 y'
=
2
3x + 2y
− − = − 9
9
f '( 2, 2) . Ecuación: y + 2 = − ( x + 2)
2
2
1
10. a) ln f( x) = ln(5 −4 x)
x
f '( x)
1 −4
=− ln(5 − 4 x)
+
2 f( x) x
x(5−4 x)
1 −4
f '( x) = x 5 −4x − ln(5 − 4 x)
+
2
−
x
x(5 4 x)
b) ln gx ( ) = 2x⋅ ln(3x + 1)
2x
6x
g'( x) = (3x+ 1) 2ln(3x + 1) +
3x+ 1
−
11. a) =
+ 2
39
dy dx
( x 5)
dx = Aωcos( ω t +φ ) dt
b) 0
12. f(3 + dx) = f(3) +Δy ≈ f(3) + dy
4 2
dy = (5x −12x−3) dx ; dy(3) = 294dx
5 3
f (3,001) = 3,001 −4·3,001 −3·3,001 ≈
≈ f(3) + dy
= 126 + 294·0,001 = 126,294
2