Modelo didáctico para el perfeccionamiento del proceso de ...

Universidad de Holguín "Oscar Lucero Moya"
MODELO DIDÁCTICO PARA EL
PERFECCIONAMIENTO DEL PROCESO
DE ENSEÑANZA ...
Carlos Wilson Lizarazo Gómez
La Habana, 2012

Tesis de Doctorado
Registro No.: 2012-277
(Comisión Nacional de Grado Científico de la República de Cuba).

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(cc) Carlos Wilson Lizarazo Gómez, 2012.
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UNIVERSIDAD DE HOLGUIN
“OSCAR LUCERO MOYA”
CUBA
CENTRO DE ESTUDIOS DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR
MODELO DIDÁCTICO PARA EL PERFECCIONAMIENTO DEL PROCESO DE ENSEÑANZA
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN LAS CARRERAS DE INGENIERÍA
Tesis en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas
Autor: M.Sc. Carlos Wilson Lizarazo Gómez
Tutor: Dr.C. Mauro Misael García Pupo
Holguín
2011
ii

AGRADECIMIENTOS
Al Dr. Mauro, más que un asesor, lo considero mi padre espiritual, por sus sabias orientaciones y
firmeza en decirme las cosas, sin su apoyo, imposible lograr esta meta.
Al equipo de asesores y directores de tesis del proyecto de la Universidad de Holguín con la
Universidad Autónoma del Caribe. En especial, a la Dra. Rita. De hecho a la Revolución Cubana, por
el apoyo incondicional a través de estos investigadores en el desarrollo de este trabajo.
A todo los que creyeron que a pesar de las dificultades y tropiezos podía alcanzar esta meta,
especialmente a Madigan Lara.
iii

DEDICATORIA
Dedico este trabajo de investigación doctoral a:
Dios, fundamental en todas las etapas de mi vida.
A mis padres: Eloisa Gómez y Saúl Lizarazo (Q.E.P.D.).
A mi hermano Milton Lizarazo (Q.E.P.D.).
A mis hijos: Carel, Carlitos y Milton.
A mis hermanos: Luz Mar, Ariosto, Néstor, Alba y Belcy.
iv

SÍNTESIS
El problema científico de esta investigación se define: ¿Cómo potenciar el proceso de
enseñanza aprendizaje de la Geometría de los estudiantes de ingeniería? En la búsqueda
para la justificación de este problema se evidencia una contradicción entre los contenidos de
geometría que deben poseer los alumnos y sus resultados en los exámenes parciales. Al
profundizar en el objeto de investigación pudo ser revelada entre la comprensión de problemas de la
geometría sintética, y el resultado de los mismos que se constituye en la contradicción fundamental
o interna. Esto permitió determinar su inmersión como el proceso de enseñanza aprendizaje de la
Geometría en carreras de ingeniería como el objeto de investigación.
La actualidad del problema radica en que, su solución se inserta en el perfeccionamiento que se lleva
a cabo en las universidades, a partir de garantizar la contextualización del proceso de enseñanza
aprendizaje de las matemáticas, en particular de la Geometría, con el uso de medios informáticos,
dada su aplicabilidad en al campo laboral del futuro ingeniero.
Es por ellos que se propone como objetivo la elaboración de un modelo didáctico que contemple la
utilización de un software dinámico, y un procedimiento para su introducción a la práctica, que
contribuya al perfeccionamiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría de los
estudiantes de ingeniería. Ambos aspectos se constituyen en los aportes teórico y práctico
respectivamente.
v

INDICE PÁGINA
INTRODUCCIÓN ..........................................................................................................................................1
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA
GEOMETRÍA EN INGENIERÍA ................................................................................................................. 10
1.1 Fundamentos teóricos del uso de software dinámico en el proceso de enseñanza aprendizaje
de la matemática desde la perspectiva de las ciencias. .......................................................................10
1.1.1 Pedagogía en el contexto matemático. ....................................................................................18
1.2 Resolución de problemas geométricos mediante el uso de software dinámico. ..........................24
1.2.1 Los procedimientos heurísticos en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría. 25
1.2.2 Etapas en los procedimientos heurísticos para resolver problemas. .....................................26
1.2.3 Características fundamentales del software dinámico. ...........................................................31
1.2.4 Algunas consideraciones epistemológicas, psicológicas y didácticas de los recursos
informáticos en la enseñanza aprendizaje de la geometría. ............................................................32
1.2.5 Matemáticas y cognición: una visión clásica e informática. ....................................................33
1.3 Elementos que caracterizan la conjetura operacional. .................................................................37
1.3.1 En cuanto a la teoría del desarrollo mental y problemas de la educación. ............................39
1.3.2 Fluidez asociativa y figurativa. ..................................................................................................40
1.3.3 Mediación instrumental como herramienta didáctica. .............................................................46
1.3.4 Indicador de efectividad. ...........................................................................................................47
Conclusiones del capítulo 1. ...................................................................................................................47
CAPÍTULO 2. MODELO DIDÁCTICO DE CONJETURA OPERACIONAL PARA LA ENSEÑANZA
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN ESTUDIANTES DE INGENIERÍA ....................................... 50
2.1 Diagnóstico de la enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería mediante
software dinámico. ..................................................................................................................................50
2.2 Diseño del modelo didáctico de conjetura operacional a partir de la relación que hay entre el
software dinámico y la génesis instrumental. ........................................................................................55
2.3 Estructura formal del modelo didáctico conjetura operacional. .....................................................60
2.3.1 Premisas. ...................................................................................................................................60
2.3.2 Elementos dinamizadores........................................................................................................62
2.3.3 Fases del Modelo. ....................................................................................................................63
2.4 Procedimiento para la implementación y evaluación del modelo en la práctica............................78
2.4.1 Condiciones iníciales. ...............................................................................................................81
2.4.2 Análisis externo ........................................................................................................................82
2.4.3 Escenarios. ...............................................................................................................................83
2.4.4 Direcciones estratégicas. .........................................................................................................83
2.4.5 Socialización del modelo didáctico conjetura operacional. ....................................................84
2.4.6 Diseño del procedimiento de conjetura operacional con su indicador de efectividad. ........86
2.4.7 Aplicación del indicador de efectividad. ...................................................................................88
2.4.8 Organización de las actividades a desarrollar. .......................................................................89
2.5 Indicaciones metodológicas contenidas en el procedimiento. ........................................................89
Conclusiones del capítulo 2. ...................................................................................................................90
CAPÍTULO 3. VALORACIÓN DE LA APLICACIÓN PARCIAL DEL PROCEDIMIENTO ..................... 92
3.1 Valoración a través del criterio de expertos del modelo didáctico para favorecer el proceso
enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería. ....................................................92
3.2 Valoración de los resultados obtenidos en la implementación práctica del modelo didáctico. .....98
vi

3.2.1 Participantes en la investigación. .............................................................................................99
3.2.2 Sesiones de trabajo.................................................................................................................100
3.2.3 Aspectos relevantes de la instrumentación práctica. ............................................................101
3.2.4 Actividades como soporte del procedimiento de conjetura operacional en la caracterización
de variables. ......................................................................................................................................102
3.2.5 Preguntas que orientaron la investigación. ............................................................................114
3.3 Limitaciones del estudio. ................................................................................................................115
3.4 Evaluación del modelo didáctico en la web por alumnos de ingeniería que cursaron geometría
con el autor. ...........................................................................................................................................115
Conclusiones del capítulo 3. .................................................................................................................116
CONCLUSIONES .................................................................................................................................... 118
RECOMENDACIONES ........................................................................................................................... 120
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................................................... 121
ANEXOS .................................................................................................................................................. 147
Anexo 1. Topic study group 19 y 22. ....................................................................................................147
Anexo 2. Dirección de calidad y proyectos académicos. ....................................................................148
Anexo 3. Participación del autor en eventos científicos internacionales relacionados con el tema de
investigación. .........................................................................................................................................149
Anexo 4. Encuesta a egresados de las carreras de ingeniería de la Universidad del Norte. ...........150
Anexo 5. Prueba diagnóstico en la caracterización de variables. ......................................................151
Anexo 6. Planes de estudio y programa de geometría de las carreras de ingeniería. ......................152
Anexo 7. Encuesta aplicada a los docentes que dictan la asignatura de geometría en carreras de
Ingeniería Universidad del Norte. .........................................................................................................159
Anexo 8. Encuesta diagnóstico realizado a estudiantes de séptimo semestre de Ingeniería de la
Universidad del Norte año 2007. ..........................................................................................................160
Anexo 9. Encuesta a los expertos para determinar la concordancia de los aspectos que se someten
a su consideración. ...............................................................................................................................161
Anexo 10. Determinación del coeficiente de competencia de los posibles expertos. .......................163
Anexo 11. Actividades que permitieron caracterizar las variables para poner en práctica el
procedimiento. .......................................................................................................................................164
Anexo 12. Tabla de frecuencias absolutas acumuladas. ....................................................................174
Anexo 13. Distribución de frecuencias relativas acumuladas. ...........................................................175
Anexo 14. Tabla de determinación de los puntos de corte. ................................................................176
vii

INTRODUCCIÓN
El uso de herramientas de informática educativa y otros recursos tecnológicos en la escuela se ha
convertido en un gran aliado para el desarrollo de habilidades y destrezas en los estudiantes;
transformándose las mismas en recursos de apoyo para la enseñanza aprendizaje de la matemática.
Estudios recientes muestran que no se logra un acceso pleno de todos los docentes a este cambio;
muchos de ellos se mantienen aún con el sólo uso de la tiza y el pizarrón (Lizarazo, C. 2005, p. 32)
Así, en los últimos años se han realizado investigaciones concernientes al uso de las herramientas
tecnológicas en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Es por ello, que la investigación
relacionada con las nuevas tecnologías, es un germen que progresa continuamente, en todos los
pueblos y latitudes del planeta. Por esta razón, en este trabajo de investigación, se propone como un
factor con el cual este autor está altamente motivado: hacer una descripción fundamentada de los
presupuestos teóricos relacionados con el tema de investigación; es decir, hacer un análisis riguroso
respecto a los últimos avances de investigación relacionados con el tema de interés en este estudio, y
puntualizar en la didáctica de la geometría relacionada con las carreras de ingeniería.
Guin y Trouche (1999) mencionan, en forma resumida, que el uso de herramientas tecnológicas: “le da
a los alumnos la oportunidad de solidificar y ampliar sus conocimientos matemáticos […] y pueden
estimular el aprendizaje de las matemáticas en los estudiantes” 1 . En este orden, Laborde, C., (2008) 2 ,
Leung, A., (2008) 3 , García, M., Rojano, T., et al (2008) 4 aportan a las didácticas de las matemáticas el
uso de los recursos informáticos, aspectos epistemológicos y cognitivos; además, incluyen una teoría
conocida en la disciplina como mediación instrumental, relacionada con el recurso tecnológico y el
nivel cognitivo del individuo, el cual teóricamente aporta información importante para el trabajo de
1Guin, y Trouche, L. (1999): The Complex Process of Converting Tools loto Mathematical Instruments: The Case of
Calculators. International Journal of Computers For Mathematical Learning, 3, p.195.
2 Laborde, C., (2008): Deductive reasoning and instrumental genesis of the drag mode in dynamic geometry. Soury-
Lavergne University Joseph Fourier, France.
3 Leung, A., (2008): Develop a learning and teaching unit in the Cabri 3D environment about concepts of 3-D figures in
Hongkong Secondary Mathematics Curriculum. Or Anthony, Education Bureau, Government of the Hong Kong SAR.
4 García, M., Rojano, T., et al (2008): Computer Algebra Systems: A teacher centered study on the cognitive,
epistemological and didactic dimensions. CINVESTAV, México.
1

investigación. Chamblee, G., y Slough, S., (2002) 5 mencionan que algunos profesores se intimidan por
los cambios que traen consigo la incorporación de herramientas tecnológicas en el salón de clases,
(Citado en Lizarazo, C., 2005, p. 22). En la revisión bibliográfica se encontraron aportes que hacen
referencia a la formulación de tareas cuyo proceso de solución se dirige a la zona del desarrollo
próximo (ZDP); es decir, el paso del estado inicial al estado final, lo cual implica que el alumno
experimente un desarrollo cognitivo, aspectos teóricos conceptuales planteados por Vygotsky.
Así, investigar y documentar los procesos cognitivos que muestran los estudiantes mientras resuelven
problemas o actividades con apoyo de la tecnología, como el software dinámico, resulta una tarea que
puede ayudar a identificar y analizar las ventajas y/o desventajas que el uso de dichas herramientas
representa en el aprendizaje de la Geometría, interés del autor en la investigación.
Santos y Moreno (2001) resaltan que “el uso sistemático de la tecnología con el tiempo se va
convirtiendo en herramienta poderosa para que los estudiantes le den sentido a la información, que
realicen conjeturas y que examinen diferentes estrategias en la resolución de problemas” 6 . En
particular, interesa analizar el tipo de representaciones, las conjeturas y argumentos que utilizan los
estudiantes durante el desarrollo de las actividades. Páez, C., (2004), hace referencia a algunos
resultados de investigaciones que resaltan aspectos relacionados con el uso de tecnologías en la
disciplina, de manera particular trabaja con un software en específico para la resolución de problemas,
el planteamiento y formulación de conjeturas en un ambiente dinámico y; por último, algunas funciones
y/o fines de la prueba matemática actualmente.
Se discutió en el ICME11 (11th International Congress on Mathematical Education) celebrado en
Monterrey México en el año 2008, que la incorporación de nuevas tecnologías en la resolución de
5 Chamblee, G., y Slough, S., (2002): Implementing Technology in secondary science and mathematics classrooms: Is
implementation process the same for both disciplines? Journal of Computer in Mathematics and Science Teaching, 21 (1),
3-15.
6 Santos, M. y Moreno, L, (2001): Proceso de Transformación del Uso de Tecnología en Herramientas para Solucionar
Problemas de Matemáticas por los Estudiantes. Seminario Nacional de Formación de Docentes: Uso de Herramientas
Tecnológicas en el Aula de Matemáticas. Colombia: Ministerio de Educación Nacional, No 1. p.10.
2

problemas geométricos, requiere de una amplia investigación acerca de los diferentes usos en los
procesos de aprendizaje de los estudiantes. (Ver Topic Study Group 19 y 22 Anexo 1). En este
sentido, “los resultados producidos por las computadoras y sus aplicaciones están cambiando
profundamente la forma de desarrollar las matemáticas, la forma de enseñarlas, así como la forma de
aprenderlas” 7 . Sin embargo, los avances logrados, con la incorporación de los recursos tecnológicos
en la enseñanza de las matemáticas, así como en la preparación alcanzada por estudiantes y
docentes en su utilización, permitió tener una mejor visión en el proceso de investigación relacionado
con el perfeccionamiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría en carreras de
ingeniería. De lo anterior se concluye que falta una mejor utilización didáctica de estos recursos
tecnológicos, que favorezcan la enseñanza aprendizaje de la Geometría en carreras de ingeniería; en
particular, y de las matemáticas en general, aprovechar las relaciones existentes entre los contenidos
de la Geometría; así como las potencialidades didácticas que tiene el software dinámico para
aplicarlos en situaciones concretas, y de esta manera contribuir a mejorar la enseñanza aprendizaje de
la Geometría en carreras no matemáticas, como aspecto novedoso en el estudio.
La información suministrada en la consulta bibliográfica relacionada con el tema de interés detectada
en la investigación preliminar, se tratan de superar a través de: a) La revisión de diversos documentos,
entre ellos informes de tesis, proyectos de investigaciones inspecciones y entrenamientos
metodológicos que contemple charlas, foros y mesas redondas relacionadas con el tema de estudio. b)
El análisis de los resultados de las sistematizaciones realizadas por los diferentes niveles de dirección
entre ellas Dirección de Calidad y Proyectos Académicos (ver Anexo 2).c) El accionar individual de
este investigador, por más de varios años, con el objetivo de favorecer el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Geometría en las carreras de ingeniería a través del software dinámico Cabri, que
incluyó observaciones de clases, participación en eventos científicos tales como, ICME 8, ICME 9 e
7Stewart, I. (1990): Change. in L. Steen (Ed) On the Shoulders of Giants. New Approaches Numeracy, Washington, DC,
USA: NationalAcademy Press. p. 180.
3

ICME11, y la participación en los tres congresos iberoamericanos (ver Anexo 3) de Cabri-Géometré
entre otros eventos nacionales e internacionales. Además, se revisaron resultados de eventos tales
como: XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática (XIII CIAEM 2011) y el Congreso
Colombiano de Matemáticas (XVIII CCM) de junio y julio en el 2011 respectivamente.
El diagnóstico se completó con la aplicación de instrumentos, consistentes en encuestas a
estudiantes y egresados. En estas encuestas se indagaron aspectos sobre el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Geometría en los programas de ingeniería de la Universidad del Norte de
Barranquilla Colombia. El anexo 4, es una encuesta a egresados de las carreras de ingeniería y el
anexo 5, es una prueba que se aplicó a un grupo de 24 estudiantes que recibieron contenidos de
geometría. Esta última permitió identificar las variables que caracterizan las condiciones iníciales Ci
tales como: número de respuestas correctas (X), números de conceptos correctamente manejados (Y),
número de respuestas con software dinámico (Z) y número de conceptos que manejan mediante el
uso de software dinámico (Q). El número de respuestas a los interrogantes del cuestionario Ci
(Condiciones iníciales) por ítems según calificación obtenida se muestra en la tabla 1. La primera
columna contiene la calificación del total de respuestas correctas e incorrectas, la segunda muestra el
total de las respuestas de las cuatro variables, la tercera el número de respuestas (X), la cuarta el
número de conceptos (Y), la quinta el número de respuesta con software (Q) y la sexta columna el
número de conceptos con software.
Tabla 1. Caracterización de variables en condiciones iníciales
Íitems del examen
Calificación Total: (X):Número de (Y):Número (Z):Número (Q):Número
variables respuestas de conceptos de R con S de C. con S
Total 1056 312 216 312 216
Correctas 122 63 26 33 0
Incorrectas 934 249 190 279 216
En los anexos citados anteriormente, se diagnostica el conocimiento de la asignatura y uso del
software dinámico por parte de los estudiantes de las carreras de ingeniería. Según los resultados
sistematizados en la tabla 1, los estudiantes manifiestan insuficiencias vinculadas con:
4

Una pobre motivación por el aprendizaje de la Geometría, cuándo recurren a las técnicas
tradicionales, e incluso muestran insuficiencias en los conceptos básicos de la geometría plana.
Muchos estudiantes desconocen la existencia de la geometría dinámica como herramienta
didáctica para la enseñanza aprendizaje de la asignatura. Las herramientas informáticas con que
se cuenta en la actualidad sin duda suponen una excelente ayuda para los docentes. Por ejemplo,
permiten ilustrar gráficamente la variación del comportamiento de algún objeto geométrico cuando
se recorren los valores de cierto parámetro - algo que siempre acaba en un dibujo ininteligible
cuando el profesor trata de hacerlo en la pizarra - (Morante y Vallejo, 2011).
Poco interés en la comunicación (oral, escrita y gráfica) al incorporarse, en equipos de trabajo
propios de la actividad ingenieril.
Insuficiencias en el manejo de recursos tecnológicos que permitan visualizar, el objeto geométrico
desde una perspectiva lógica y consistente en la construcción y justificación de conjeturas.
El análisis del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría que se realiza en las carreras de
ingeniería, para la búsqueda y valoración de las causas de tales insuficiencias. Es decir, se evidencia
una contradicción en su fase externa entre los contenidos de geometría que deben poseer los
alumnos y sus resultados en los exámenes parciales.
Lo anterior permitió determinar el problema científico de investigación siguiente: ¿Cómo potenciarel
proceso de enseñanza aprendizaje dela Geometría de los estudiantes de ingeniería?
La actualidad del problema radica en que su solución se inserta en el perfeccionamiento que se lleva
en algunaslas universidades de Colombia, y otros países; uno de ellos, es que sin garantizar la
contextualización del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría, se hacen cambios
arbitrarios en los programas de estudios. Por esta razón, es importante presentar proyectos que
dinamicen las actividades y su reproducción en medios tecnológicos, específicamente, la utilización de
5

software dinámico como recursos de activación del aprendizaje de la matemática, concretamente de la
geometría, en carreras de ciencias técnicas.
A partir del problema el objeto de investigación se identifica como el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Geometría en carreras de ingeniería.
El presente trabajo de investigación se rige a partir del siguiente objetivo: Elaborar un modelo
didáctico que contemple la utilización de un software dinámico, y un procedimiento para su
introducción a la práctica, que contribuya al perfeccionamiento del proceso de enseñanza aprendizaje
de la Geometría de los estudiantes de ingeniería. Este objetivo direcciona el campo de acción, como:
El uso de software dinámico por los estudiantes de ingeniería en el proceso de enseñanza aprendizaje
de la Geometría.
Para guiar el proceso de investigación, se propone como hipótesis: Un modelo didáctico de conjetura
operacional, sustentado en la contradicción interna entre la comprensión de problemas de la
geometría sintética, y el resultado de los mismos mediado porun procedimiento para su
implementación en la práctica, el cual, tiene sus correspondientes indicaciones metodológicas para la
solución de problemas con software dinámico, debe contribuir al perfeccionamiento del proceso
enseñanza aprendizaje de la Geometría delos estudiantes de ingeniería.
Para cumplir con el objetivo y dar respuesta a la anterior hipótesis se definen las tareas de
investigación siguientes:
1. Sistematizar los fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría en
carreras de ingeniería.
2. Fundamentar el uso de software dinámico como herramienta didáctica en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la Geometría en carreras de ingeniería.
3. Diseñar un modelo didáctico dirigido a perfeccionar el proceso de enseñanza aprendizaje de la
Geometría en las carreras de ingeniería.
6

4. Elaborar un procedimiento que permita la introducción en la práctica del modelo con su respectivo
indicador de efectividad.
5. Implementar un laboratorio de matemáticas debidamente equipado con software de geometría
dinámica, para que los estudiantes interactúen.
6. Someter al criterio de expertos el modelo didáctico y el procedimiento para determinar su
factibilidad.
7. Implementar parcialmente en la práctica la propuesta para valorar su efectividad.
Metodología: La investigación se fundamenta en la dialéctica materialista y toma elementos de los
paradigmas cuantitativos y cualitativos, y se triangulan los resultados, concepciones y fuentes.
Métodos teóricos: El análisis y crítica de fuentes, fundamentado en los métodos del pensamiento
lógico y en su interrelación, tomados como procedimientos: análisis-síntesis, inducción-deducción y lo
histórico-lógico; para analizar la multiplicidad de fuentes utilizadas en esta investigación, como vía para
la valoración de hechos, ideas, tendencias y concepciones. Método hermenéutico, en estudio
interpretativo de la pluralidad de conceptos, categorías, proyecciones textuales y parlamentos
esgrimidos en torno al tema de investigación; y en la reconstrucción y crítica de fuentes. Se recurre
además a la propensión del enfoque de la hermenéutica dialéctica en pos del desarrollo de la
contradicción. La modelación y el método sistémico - estructural, en la elaboración del modelo
didáctico, y el procedimiento cuyas partes se encuentran en estrecha interrelación.
Métodos empíricos: Observación participante, del proceso de enseñanza aprendizaje de la
Geometría, en los programas de ingenieríaspara constatar el uso de software dinámico y sus
resultados. Enfoque de observación como parte del accionar del investigador a lo largo de los cinco
años de la investigación y que es un valioso auxiliar en el diagnóstico y la validación de la tesis.
Intervención para el favorecimiento del aprendizaje de la Geometría, para valorar la efectividad de
la propuesta. Sobre todo si se tiene presente que el enfoque de investigación–acción, en el proceso de
7

aplicación parcial en la práctica del modelo, permite involucrar a los participantes en su propia
transformación. Entrevistas a estudiantes para obtener información del estado actual del problema
con un amplio número de participantes, en el proceso. El criterio de expertos, a través del método
Delphi, para determinar la pertinencia del modelo didáctico y su procedimiento. Se utiliza también la
revisión de documentos.
El aporte teórico de la tesis lo constituye un modelo didáctico de “conjetura operacional” para el
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en ingeniería. El aporte práctico es un
procedimiento heurístico para el desarrollo de conjeturas a partir del uso de un software dinámico en la
enseñanza aprendizaje de la geometría en ingeniería.
La concepción de un modelo didáctico que se sustenta en la contradicción entre la comprensión de
problemas de la geometría sintética, y el resultado de los mismos permitió, a través de la génesis
instrumental, establecer factores mediadores que pueden acelerar la solución de la misma. Es decir,
en el replanteo del concepto de la génesis instrumental, se revelan relaciones de esencia que se
establecen entre los diferentes subsistemas del modelo. Las mismas están dadas por: 1) La relación
coherente entre la comprensión de problemas de la geometría sintética y sus resultados mediados por
un procedimiento de conjetura operacional sustentado en software dinámico que se constituye en una
vía de perfeccionamiento del proceso enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de
ingenieras. 2) La génesis instrumental es una relación que concretiza la, asociación de las condiciones
iniciales con el proceso de instrumentalización y las condiciones finales con el proceso de
instrumentación. 3) La relación sistémica entre motivación profesional, fluidez asociativa, fluidez
figurativa, flexibilidad y mediación instrumental se constituyen en elementos mediadores que facilitan el
desarrollo de la génesis instrumental.
Es por ello que la novedad de la tesis está en el diseño de un modelo didáctico dirigido a perfeccionar
el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería, tal que, los
8

elementos que lo conforman, apuntan más allá de la teoría de resolución de problemas de Polya y
otros autores. Dentro de esta concepción, la conjetura operacional se constituye en una expresión
dinámica y flexible para elevar la calidad en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría
cuando el alumno logra pasar de la instrumentalización al proceso de instrumentación.
Estructura de la tesis: La tesis está estructurada en: introducción, tres capítulos, conclusiones,
recomendaciones, referencias bibliográficas y anexos. El primer capítulo: Fundamentos del proceso
de enseñanza aprendizaje de la Geometría en ingeniería, está estructurado en tres epígrafes
dedicados a la fundamentación epistémica de la investigación; el primero aborda la fundamentación
teórica de la tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática desde la
perspectiva de las ciencias, el segundo trata la resolución de problemas geométricos mediante el uso
de software dinámico y el tercer epígrafe hace referencia a los elementos que caracterizan una
conjetura operacional. El segundo capítulo denominado: Modelo didáctico para la enseñanza
aprendizaje de la Geometría de los estudiantes de ingeniería, recoge los aportes esenciales de la
tesis en tres epígrafes. El primero es un momento del diagnóstico, en este se analiza la caracterización
de variables en condiciones iníciales, el segundo recoge el diseño del modelo a partir de la relación
que hay entre el software dinámico y la génesis instrumental; es decir, las condiciones finales con el
proceso de instrumentación y el tercero está dedicado al procedimiento heurístico, la salida práctica
de dicho modelo.
El tercer capítulo: Resultados de la valoración del modelo didáctico y la puesta en práctica del
procedimiento está estructurado en dos epígrafes; el primero se ocupa de la determinación de la
factibilidad del modelo y el procedimiento por medio del criterio de experto, el segundo está dirigido a
la valoración de la propuesta a partir de su instrumentación parcial en la práctica.
9

CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEDE LA
GEOMETRÍA EN INGENIERÍA
Este capítulo inicia con la fundamentación teórica del uso de software dinámico en el proceso de
enseñanza.-aprendizaje de la geometría, en él se describe la importancia de los recursos informáticos.
Además, se analizan los aportes teóricos de investigadores reconocidos en la disciplina; los cuales
permiten orientar y valorar esta investigación a través de la resolución de problemas de la geometría
en ingeniería, la valoración del proceso con una visión epistemológica, sicológica y didáctica, que
conlleva a potenciar el proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes de ingeniería mediante el
uso de software dinámico.
1.1 Fundamentos teóricos del uso de software dinámico en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática desde la perspectiva de las ciencias.
Entrar a discutir científicamente los procesos de enseñanza aprendizaje de la matemática, es entrar
sin lugar a dudas hacer parte de una de las disciplinas más polémicas en la literatura científica, debido
a los diferentes enfoques con que se manejan los programas curriculares y los métodos que cada
sistema imparte. Las posibilidades que brindan las nuevas tecnologías como herramienta didáctica,
son de igual importancia frente a otras herramientas didácticas que hoy se conocen, y es necesario
aprovechar todas sus potencialidades para formar seres humanos más capaces y más competitivos en
un mundo globalizado. Lo importante no es la tecnología como un fin en sí mismo, sino lo que los
maestros puedan hacer del elemento tecnológico para humanizarla (Gómez, S. 2003).
Tiene gran sentido cuando se dice que una acción didáctica, a través de un medio, debe ser capaz de
promover y acompañar el aprendizaje de los interlocutores; si promueve en los alumnos la tarea de
10

construir y de apropiarse del mundo y de sí mismos, se habla entonces de mediación pedagógica;
pero hay que tener en cuenta que ninguna tecnología es mágica y que la mediación pedagógica es
tarea directa del educador (García, M. 2005).
En la historia de la geometría, se ha analizado el proceso de enseñanza aprendizaje de manera
tradicional, desde la época cuando Eratóstenes midió el radio de la tierra con una estaca, se tenía la
creencia que los contenidos geométricos no podían sobrepasar los límites de una regla, un papel y un
lápiz; lo cual, ha sido posiblemente, una de las principales causas de los malos resultados en esta
asignatura, y por tanto de la comprensión de la realidad como una totalidad.
La situación anterior obligó consultar detenidamente en las fuentes bibliográficas, la problemática de la
enseñanza de la geometría desde lo básico hasta el nivel superior principalmente en las carreras de
ingeniería a partir del uso del software dinámico. Las investigaciones recientes discutidas en los
congresos mundiales de educación matemática tales como el ICME 11 8 , el PME 9 los RELME 10 y otros,
permiten comprometer al docente cada vez más con una práctica educativa coherente y permisible en
el dominio de los contenidos por parte de los alumnos. Sin embargo, al analizar detenidamente cada
uno de estos aportes, se encontró que no existe una investigación que registre resultados específicos
en la enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras técnicas. Los estudios recientes destacan, el
uso de técnicas avanzadas tales como las calculadoras gráficas, en ellas no solamente se logra
ampliar y solidificar el conocimiento, sino que permite plantear preguntas como la siguiente: ¿Cómo
influye la tecnología en el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas? Para tratar de
responder esta pregunta se consultaron varios trabajos relacionados con diversas tecnologías,
enfocados con este complejo proceso. Por ejemplo, (Kieran y Guzmán, 2003) afirman que “en la
investigación sobre el uso de tecnología en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas se está
811th International Congress on Mathematical Education
9 International Group For the Psychology of Mathematics Education
10 Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa
11

ealizando de dos distintas maneras: la primera está relacionada con el diseño de actividades, y la
segunda, con el desarrollo de éstas” 11 , lo que permite comprometer al docente a mejorar su práctica
educativa, y ser más responsable de los malos resultados que se registran en matemáticas; en
Colombia, el ICFES (Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación Superior) muestra que el
70% de los alumnos de ingeniería en el 2008, registran en los ECAES (Exámenes de Calidad de la
Educación Superior) un bajo rendimiento en el área de matemáticas.
Experiencias de investigaciones obtenidas directamente por el autor de esta tesis, en el Centro de
Investigaciones y Estudios Avanzados (CINVESTAV) del Instituto Politécnico Nacional de México
(IPN), puntualizan que cualquier tipo de software diseñado para mejorar los procesos de enseñanza
aprendizaje de la matemática, benefician tanto al maestro como al alumno. La comprensión; por
ejemplo de un teorema, la interpretación de los conceptos geométricos a través de los recursos
informáticos; es decir, la contextualización de lo visual con lo abstracto.
Por otra parte, (Verillon y Rabardel, 1995) estiman crucial que “los profesores comprendan el diseño
de actividades y contribuyan al florecimiento de esa sinergia entre el alumno y tecnología” 12 .En
Colombia el Ministerio de Educación Nacional reunió algunas universidades prestigiosas del país para
hacer un estudio con los docentes investigadores, sobre la incorporación de “las TI-92” 13 , en el plan de
estudios de matemáticas de las escuelas públicas y privadas. El proyecto motivó a directivos y
docentes e incluso aquellos que siempre han criticado la pedagogía de las matemáticas con o sin
tecnología; claro está, el valor económico del proyecto los hizo reflexionar. Sin embargo, el proyecto
fracasó por falta de recursos y en algunas instituciones quedaron una cantidad de calculadoras sin
utilizar.
11 Kieran, C. y Guzman, J. (2003): The Spontaneous Emergent of Elementary Number-Theoretic Concepts and Techniques
in Interaction with Computing Technology. In Proceedings of the 2003 Joint Meeting of PME an PMENA, Neil A. Paterman,
Barbara J. Doughert and Joseph Zilliox (Eds)vol. 3, p. 148
12Verillon, p. y Rabardel, P. (1995): Cognition and artifacts: A contribution to the study of the thought in relation to
instrumented activity. European Journal of Psychology of education, X, p. 77
13 Calculadora gráfica Texas Instruments, modelo 92
12

El proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática tiene como objetivo que los alumnos adquieran
una concepción científica del mundo, una cultura integral y un pensamiento científico que los habitúe a
cuantificar, estimar, extraer regularidades, buscar relaciones, encontrar causas y vías de solución;
desde los hechos más simples hasta las más complejas representaciones teóricas y en consecuencia
los prepare para la vida, permitiéndoles enfrentar los problemas científicos, económicos, sociales y
tecnológicos del mundo actual. (MINED, 2004 a) 14 . En este orden de ideas (Álvarez de Z., C. 1999)
manifiesta que el sistema de conocimientos de una rama del saber, que se traslada como contenido al
proceso docente, es la dimensión del contenido que expresa la reproducción ideal, en forma de
lenguaje, de los objetos en movimiento y de las actividades de aquel con dichos objetos, y que se
adquieren en el contexto de la práctica y en la transformación objetiva del mundo por el hombre.
Desde la perspectiva y dimensiones que tienen los diferentes contenidos de la geometría; tales como,
la imaginación, la visualización y la graficación-proyección, por solo mencionar tres, ponen en
evidencia la necesidad de que esta rama de las matemáticas forme parte del sistema de conocimientos
que las diferentes carreras necesitan para el desarrollo de estas capacidades; en definitiva, son las
carreras de ingeniería las que en cualquiera de sus ramas las necesitan.
Los estudios recientes en Cuba, México, Francia, España, Japón entre otros países, apuntan a que el
uso de herramientas tecnológicas es importante en el proceso de enseñanza aprendizaje de las
matemáticas. Varias compañías promotoras de nuevas tecnologías explican que en éstas se pueden
analizar interacciones entre alumnos y maestros, cuando son utilizadas; por ejemplo: de la calculadora
a la computadora para interpretar por medio de una gráfica el concepto de la primera y segunda
derivada en el cálculo diferencial; o en la enseñanza de la geometría plana. Es decir, cuando se trata
de interpretar la ecuación de una cónica generada por la traza o lugar geométrico a través de un punto
de intersección de dos rectas, y otro que se mueve a lo largo de la mediatriz del segmento AB
14 MINED, (2004 a): Programa de Matemática para la secundaria seleccionadas, p. 4.
13

mediante el uso de software dinámico. En este sentido el Ministerio de Educación de Colombia a
través de la ley general de educación (Ley 115/94) establece “la ampliación y profundización en el
pensamiento lógico analítico, para la interpretación y solución de problemas matemáticos, mediante el
uso de las nuevas tecnologías. Los cambios recientes en el currículo de matemáticas, reconocen la
importancia de las nuevas tecnologías en el aprendizaje de los alumnos, éstos estudios enfatizan
sobre la utilización de software inteligentes por que “tienden a mejorar el proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática” 15 , cabe preguntar, como interés de esta tesis, la importancia de enseñar
geometría con software dinámico, no obstante el conocimiento geométrico es un componente
matemático que ocupa un lugar fundamental en los currículos escolares por su aporte en la formación
integral del individuo; no sólo se considera como una herramienta necesaria para describir el espacio
circundante, comprenderlo e interactuar en él, sino que, como disciplina científica, descansa sobre
importantes procesos de formalización que son ejemplo de rigor, abstracción y generalización.
Se han identificado dimensiones, que en estrecha vinculación unas con otras y vinculadas también con
los otros campos: como el de las matemáticas, en particular la aritmética, la pedagogía y la tecnología,
aportan elementos para el logro de dicha formación (Mammana y Villani, 1998). La toma de conciencia
de esta integración, en la última década, se debe probablemente al cambio de la matemática en sí
misma, que ha comenzado a verse más como una actividad humana que como una teoría formal de la
enseñanza aprendizaje de la disciplina a nivel escolar (Neubran, 1998).
Hoy en día se reconoce la necesidad de fomentar el aprendizaje activo, disminuir las separaciones
tradicionales entre las diversas asignaturas del currículo y establecer conexiones de la matemática con
otras ciencias por medio de software inteligentes. En los últimos años se han realizado investigaciones
concernientes al “uso de las herramientas tecnológicas en la enseñanza aprendizaje de las
15Lizarazo, C. (2005) El papel de la calculadora TI-92 en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales:
estudio con alumnos de nivel medio superior. Revista de Ciencias Básicas Bolivarianas ISSN 1657-7450 Barranquilla
Colombia No. 6. p.8
14

matemáticas (Mariotti 2003); (Verillon y Rabardel, 1995); (Guzmán y Kieran, 2002), (Kieran y Guzmán,
2003); (Artigue, 2001); (Guin y Trouche, 1999); (Santos y Espinosa, 2002); (Lagrange, 2003); y
otros” 16 . Por otra parte (Yackel y Cobb, 1999) indican que: “Cuando los alumnos presentan
explicaciones y argumentos de matemáticas a través de las computadoras, su propósito es describir y
aclarar a los demás lo que piensan, es convencer a los otros compañeros de la conveniencia de su
método de solución, y no el de establecer la veracidad de una nueva exactitud matemática” 17 .Sin
embargo, (Horgan, 1993), afirma que “la comunidad matemática considera a las computadoras como
invasoras, intrusas en el campo de la enseñanza aprendizaje de las ciencias exactas” 18 . Sin lugar a
dudas, este tipo de opiniones afecta directamente las investigaciones relacionadas con el uso de
tecnología en clases de matemáticas para alumnos de cualquier nivel educativo, se respeta su punto
de vista, pero no se comparte en la disciplina.
La propuesta de los estándares del NCTM 19 (2000) enuncia varios procesos del quehacer matemático
como ejes de la propuesta curricular, para que los docentes la consideren y les permita mejorar los
procesos de aprendizaje en los alumnos de nivel superior. En este orden de ideas, hace más de dos
décadas, en América Latina, la enseñanza aprendizaje de la matemática aún basaba sus actividades
en sólo dos prácticas: la oral y la escrita; más aún, la actividad oral parecía ser un don del maestro y
de los alumnos más “destacados”; los demás quedaban marginados de lo que pudieran expresar y
entender del lenguaje escrito. No se pretende, de ninguna manera, rezagar, ni minimizar esta práctica,
aunque algunos docentes de matemática se resisten aceptar la incorporación de las nuevas
tecnologías en sus prácticas educativas, justifican que es “perder tiempo”, e incluso afirman que los
recursos informáticos no resuelven el problema por si solos (lo cual es cierto, pero que no justifica su
16 Lizarazo, C. (2005): El papel de la calculadora TI-92 en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales:
estudio con alumnos de nivel medio superior. Revista de Ciencias Básicas Bolivarianas ISSN 1657-7450, Barranquilla,
Colombia No. 6, p. 13.
17 Yakel y Cobb (1999): Proof as Explanation in Geometry. Focus on Learning Problems in Mathematics, 20(2), p.13.
18 Horgan, J. (1993): The death of proof. Scientific American 269, p. 47.
19National Council of Teacher of Mathematics.
15

no utilización). Si estos maestros pensaran en “la gran conquista que constituye para la educación y de
hecho para la humanidad, es su acceso a la oralidad y a la escritura como medios de reflexión,
discusión y construcción de ideas; más bien se pretende incorporar el nuevo papel de estas prácticas
intelectuales, cuando las calculadoras, los software educativos y el uso del Internet entran en la
práctica educativa” 20 .
La situación anterior refleja que, en la bibliografía consultada, existen varios caminos para identificar
aspectos importantes, relacionados con el objetivo de investigación que permiten puntualizar o variar
la información, lo que obliga a que se analice la problemática de la enseñanza de la matemática a
partir de las distintas asignaturas que la componen, tales como: geometría plana, geometría analítica,
estudio del cálculo en una y varias variables, ecuaciones diferenciales y otras; para luego
interrelacionarlas, por esta razón, el software y otros recursos tecnológicos como la TI-92 Plus Voyage,
le permite al docente, por ejemplo, explicar la intersección de dos o más funciones en R 3 , y en su
orden, la comprensión del problema por parte del alumno.
Por lo tanto, para explicar la esencia didáctica del uso de software dinámico en la enseñanza
aprendizaje de la geometría en alumnos de ingeniería, interés de esta investigación, se asumen los
constructos teóricos sobre didáctica de Carlos Álvarez de Zayas. En su obra, la escuela en la vida
Álvarez de Zayas se refiere a la relación entre los componentes teóricos y prácticos del proceso de
enseñanza aprendizaje como objeto de estudio de la didáctica, expone que “la didáctica es la ciencia
que estudia como objeto el proceso docente-educativo dirigido a resolver la problemática que se
plantea a la escuela: la preparación del hombre para la vida, pero de un modo sistémico y eficiente” 21 .
Así mismo, determina la existencia de componentes y leyes como categorías esenciales del proceso:
“la sociedad gesta las instituciones docentes con el fin de resolver un problema de enorme
20 Lizarazo, C. (2005): Exploraciones de los alumnos de nivel medio superior mediante el uso de la calculadora TI-92 en la
solución de sistemas de ecuaciones de 2x2. Tesis de maestría publicada por el Cinvestav de México, p. 7.
21Álvarez de Z., C.(1999): La Escuela en la Vida, Edit. Pueblo y Educación, 3ra Edición, Ciudad de la Habana-Cuba, p.10.
16

trascendencia, problema este que se denomina encargo social y que consiste en la necesidad de
preparar a los ciudadanos de esa sociedad, tanto en su pensamiento (el desarrollo), como en sus
sentimientos (la educación), junto con la preparación inmediata para su actividad laboral (la
instrucción), en correspondencia con los valores más importantes de la misma.” 22
Lo anterior permite resolver o mejorar la problemática inicial, dinamizado todo el proceso por “las leyes
de la didáctica como esencia de su transformación y desarrollo, así como el cumplimiento de la
relación dialéctica problema-objetivo, donde el objetivo es el modelo pedagógico del encargo social,
mediado a través del proceso docente-educativo, como su objeto -para preparar al ingeniero para la
vida-, y la relación dialéctica objetivo-contenido, donde la organización del proceso en el/los curso(s)
de geometría se hará en correspondencia con los problemas del contexto -el alumno debe saber
resolver problemas del contexto- mediado a través de un software” 23
El proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, particularmente para el alumno de ingeniería,
ha sido estudiado por algunos autores, entre los consultados, resaltan (Kieran, C y Guzmán, J. 2003);
(Álvarez, I.1995); (García, G.1996); (Páez, C. y Santos, M. 2003) y (Torres, P. 1996). Estos autores
reiteran como tendencias negativas: (a) “Falta de motivación por el estudio de la matemática” 24 y “Poca
significatividad del conocimiento integrador entre el uso de software y el uso de papel y lápiz en la
resolución de problemas por los alumnos, pues no entienden de dónde salen las fórmulas, ecuaciones
o proposiciones, enfatizan en un conocimiento memorístico” 25 . (b) “Tendencia a encontrar una
respuesta inmediata, sin un análisis previo del problema. Prevalece la ansiedad de aplicar a toda costa
fórmulas matemáticas aprendidas mecánicamente para llegar a una respuesta sin fundamento
22Álvarez de Z., C. (1999): La Escuela en la Vida, Edit. Pueblo y Educación, 3ra Edición, Ciudad de la Habana-Cuba, p. 80.
23Aroca, R. (2008): Gestión didáctica para favorecer el desarrollo de productos informáticos inteligentes. Tesis para la
opción al grado científico de doctor en ciencias pedagógicas, Universidad de Holguín, Cuba, p. 46.
24 Lizarazo, C. (2005): El papel de la calculadora TI-92 en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales:
estudio con alumnos de nivel medio superior. Revista de Ciencias Básicas Bolivarianas ISSN 1657-7450, Barranquilla,
Colombia, No. 6, p. 14.
25 Páez, C. y Santos, M. (2004): Formas de razonamientos que exhiben los estudiantes en la construcción de conjeturas
mediante el uso de Skeapead. Tesis de maestría no publicada. p. 34.
17

analítico” 26 . (c) “Insuficiencias en la búsqueda de relaciones, es decir, encontrar patrones que
relacionen el problema con otros y en este sentido encontrar la solución” 27 . (d) Poco desarrollo de
habilidades; los alumnos trabajan en las clases prácticas sin un profundo razonamiento y análisis del
problema,no existe en el desarrollo de la actividad sinergia entre alumno, profesor y recurso
tecnológico, lo que arroja como resultado soluciones fuera de contexto 28 .Estas tendencias demuestran
que, la enseñanza de la matemática, es una de las que con frecuencia, presenta mayores dificultades
dentro del proceso de enseñanza aprendizaje en la educación media, la cual, repercute negativamente
en la educación superior. Además, todo esto se evidencia en los debates realizados en diferentes
congresos, simposios, reuniones sobre el tema, entre los que se destacan: (a) el ICME (International
Congress on Mathematics Education), (b) Simposio Iberoamericano de Enseñanza de la Matemática,
(c) RELME (Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa), (e) IBEROCABRI (Congreso
Iberoamericano de Cabri) a los que se unen los diferentes eventos desarrollados en el país auspiciado
por Colciencias y la Sociedad Colombiana de Matemáticas e Ingeniería.
1.1.1 Pedagogía en el contexto matemático.
¨La preparación de los ciudadanos de un país es una de las necesidades más importantes a satisfacer
en cualquier sociedad, lo que se convierte en un problema esencial de la misma. Una nación moderna
requiere que todos sus miembros posean un cierto nivel cultural que le posibilite desarrollar una labor
eficiente. Un país desarrollado, o que aspire a serlo, tiene que plantearse el objetivo de que todos sus
miembros estén preparados para ejecutar un determinado papel, entre las múltiples funciones que se
llevan a cabo en el seno de dicha sociedad. Aquel país en el que todos sus ciudadanos ejecutan sus
labores a un nivel de excelencia es una nación preparada y puede ocupar un lugar de vanguardia en el
26 Lizarazo, C. (2005): El papel de la calculadora TI-92 en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales:
estudio con alumnos de nivel medio superior. Rev. de Ciencias Básicas Bolivarianas ISSN 1657-7450 Barranquilla
Colombia No. 6. p.11.
27Santos, M. (1998): Instructional qualities of a successful mathematical problem solving class. International Journal of
Mathematical in Science and Technology, p. 631.
28Torres, P. (1997): La Enseñanza Problémica de la Matemática: Una Concepción Vigotskiana en la Educación Matemática.
ISP “Enrique José Varona”, La Habana.
18

concierto universal de los estados. Una sociedad está preparada cuando todos o la mayoría de sus
ciudadanos lo están; un individuo está preparado cuando puede enfrentarse a los problemas que se le
presentan en su puesto de trabajo y los resuelve. De ese modo el concepto preparación expresa el
problema, punto de partida de la ciencia pedagógica, y categoría de la misma¨ 29
Por otra parte, el tema de la enseñanza aprendizaje de la matemática, también es objeto de análisis
para el avance de un país; en diferentes publicaciones, entre las que se destacan: Revista ZDM
(Zentralblatt für Didaktik der Mathematik). Revista Enseñanza de las Ciencias, Revista Iberoamericana
de Educación Matemática, entre otras; así como, en diferentes páginas Web dedicadas al tema,
publican las dificultades que los alumnos presentan cuando abordan un problema que requiere de
cierto análisis.
Según Bishop, A. (1988) y otros, manifiestan; por ejemplo: los índices de rechazo por aprender
matemáticas en lugar de disminuir aumentan; la situación obliga a buscar alternativas que propicien
cambios en el proceso de enseñanza aprendizaje y permitan mejorar la formación integral de los
alumnos.
En los trabajos de (Artigue, M. 1990) y (Torres, P.1997) aparecen caracterizadas las principales
tendencias existentes en la enseñanza de la matemática en las que se involucra la enseñanza
aprendizaje de la geometría que a continuación se analizan críticamente desde una perspectiva
psicológica:
El operacionalismo, basado en el constructivismo de Piaget y en la psicología cognoscitiva, provoca un
mayor activismo del alumno en el proceso, así como una mejor motivación. La obra de Vigotsky
consistente en la noción de ¨Zona de Desarrollo Próximo¨ (ZDP) que expresa la relación interna entre
la enseñanza y el desarrollo. Este concepto, en su versión clásica, se caracteriza por la necesidad de
29
Álvarez de Z, C. (1995): La Pedagogía como ciencia o Epistemología de la Educación. Edit. Pueblo y Educación, 3ra
Edición, Ciudad de la Habana-Cuba, p.6.
19

una relación asimétrica alumno-experto como génesis (en el primero) de los procesos psicológicos
superiores; y también por la aparición de una potencialidad, como emergente de esta relación.
Junto a la interpretación clásica, actualmente se han dado otras dos interpretaciones de la ZDP (véase
Cruz, 2002). En una se parte de los conceptos científicos, y se explora el camino de unos a otros; en la
otra se identifica la diferencia entre sujeto individual y sujeto colectivo, y la posibilidad de crear nuevas
extensiones a la cultura. Las tres formas son aceptables, pero aún requieren una mayor precisión
conceptual y metodológica. Por ejemplo, para poder comprender profundamente la categoría de ZDP
hay que relacionarla, de manera plena e integrada, con el concepto de ¨Situación Social de
Desarrollo¨ 30 . La separación de este par dialéctico conduce a una interpretación abstracta y limitada de
la ZDP, pues se pierde de vista el complejo sistema de influencias y autoinfluencias que actúan sobre
el alumno antes y después de la clase Fariñas, G. (1999). A juicio del autor, para que estas
autoinfluencias permanezcan intactas antes y después, se propone una nueva teoría que supera el
complejo sistema y actúa como Indicador de ¨Efectividad de la Conjetura Operacional¨ (IECO), se
define como una medida de concepto abstracto relacionado con la calidad del proceso enseñanza
aprendizaje de la geometría desarrollado a través de un procedimiento medible de 0 a 1; el cual,
justifica el aporte epistemológico de esta tesis y que se detalla en el capítulo 2.
El aprendizaje por descubrimiento trata de que el alumno descubra el conocimiento, en vez de recibirlo
ya elaborado por el profesor, como ocurre normalmente en la escuela tradicionalista. “Las teorías del
procesamiento de la información plantean la posibilidad real de acceder a nuevos conocimientos y de
favorecer la resolución de problemas a partir de una estructuración adecuada de los esquemas
cognitivos que se poseen. Las mismas enfatizan la creación de estructuras mentales de conocimiento
alejadas de la esfera afectiva y demandan una amplia preparación psicológica por parte de los
30Yaque, E. (2004): La categoría situación social del desarrollo y sus derivaciones. Instituto Europeo de Posgrado.
20

profesores” 31 .
La enseñanza de la matemática mediante la solución de problemas que, como su nombre indica, se
basa en resolver problemas que exigen una buena preparación y motivación de los estudiantes;
además, un profundo conocimiento del maestro en cuanto a los referentes teóricos creadores de esta
disciplina y que se explicará en el próximo epígrafe.
En Cuba los trabajos de investigadores reconocidos en la didáctica de la matemática tales como:
Rebollar, A., Ferrer, M., Bless, V., y otros (2010) proponen que la escuela tiene la tarea de preparar a
niños y jóvenes para enfrentar la resolución de problemas como un objetivo instructivo y formativo, en
el afán de alcanzar una formación integral para el desempeño en su vida laboral y social. Además,
estos autores afirman que en el proceso de enseñanza aprendizaje la resolución de problemas y
ejercicios se sigue considerando, esencialmente en la escuela cubana, como un medio de fijación al
ubicar el contenido de un tema como medio de motivación de forma aislada.
En la última década se han realizado numerosas investigaciones que demuestran sus potencialidades
como medio para el aprendizaje, para dirigir el pensamiento y conformar un modo de actuación
generalizado en el alumno. Sin embargo, no se percibe directamente que los alumnos a través de la
resolución de problemas y los ejercicios apoyados por un recurso informático, logren la
conceptualización del problema sin haber recibido instrucciones previas.
Las experiencias realizadas durante dos décadas en la búsqueda de alternativas para estimular
niveles superiores en el aprendizaje desde una concepción didáctica que sitúe el planteamiento y
resolución de problemas como el principal medio, se sintetiza en los fundamentos teóricos y prácticos
de la enseñanza basada en problemas y ejercicios, que se ha construido y validado en la educación
secundaria básica y se extiende a la formación inicial de los profesores. Los principios en que se
31Resnick, L. y Ford, W. (1998): La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos. Temas de educación.
Ed. Paidos, 1ª Edición, p. 233.
21

sustenta la concepción didáctica, mostrados a partir de la descripción de las experiencias permiten
comprender según éstos autores sus potencialidades para favorecer los aprendizajes y avanzar en la
aplicación consecuente de las nuevas tecnologías en la implementación de los resultados, lo que abre
nuevos problemas a la investigación pedagógica. Cabe resaltar el reconocimiento de los
investigadores cubanos en la disciplina, quienes manifiestan que la escuela no logra satisfacer de
forma óptima tales exigencias, si es importante incorporar los recursos tecnológicos en el aula de
clases, y coinciden hoy como centro de interés en la mayoría de los eventos y foros internacionales, lo
que ha mantenido la búsqueda de alternativas para estructurar el proceso de enseñanza aprendizaje
de tal forma que resolver problemas sea objeto de enseñanza y objeto de aprendizaje, que al
sistematizarlo teóricamente conduce a la necesidad de construir una concepción didáctica. Para lograr
una nueva concepción didáctica que tenga como premisas la ejercitación, la profundización,
sistematización y aplicación que propicien la asimilación de los conocimientos y las habilidades, es
importante integrarlas en conjunto; desde una situación de aprendizaje de partida, cuyo objetivo es la
resolución de problemas. Por esta razón, la estructura del proceso de enseñanza aprendizaje
presupone que el alumno se enfrente a un sistema de problemas prácticos que estimulen la actividad
de aprendizaje a partir de las diferentes tareas cognoscitivas que de él se derivan.
Para Ferrer, M., Cruz, M., y otros (2002) el aprendizaje es estimulado desde el planteamiento y
solución de un sistema de problemas relacionados con la vida práctica y la construcción de conceptos,
procedimientos, propiedades, relaciones metacognitivas, hechos y fenómenos. Ellos proponen la
necesidad de que la actividad de resolución de problemas se convierta en un poderoso instrumento
para producir un cambio educativo en la dirección del proceso de enseñanza aprendizaje de las
ciencias; lo que significa entonces que se analice cómo debe manifestarse en la actuación de los
profesores y de los alumnos en cada uno de los escenarios, especialmente en la clase de
matemáticas. Además según estos autores: constituye un reto para la escuela cubana actual la
22

úsqueda y validación de modelos didácticos, variantes, alternativas que orienten al personal docente
y dirigente en formas diferentes de desarrollar el proceso, al incorporar los nuevos recursos o medios
de enseñanza que las tecnologías de la información y las comunicaciones brindan a la educación.
En el fondo, el problema educativo reside en cómo se construye el significado matemático, los medios
computacionales estimulan la dialéctica entre el proceso de dar sentido a las prácticas cotidianas
mediante la organización y la matematización, por una parte y la comprensión de situaciones
matemáticas mediante el recurso de darles sentido importándolas de una práctica extra–matemática
por la otra. Un medio informático permite generar una especie de realidad (virtual) matemática.
“trabajar en un medio computacional permite comprender cómo los recursos de ese medio estructuran
la exploración y cómo los recursos expresivos del medio favorecen la sistematización (Noss y
Hoyles)” 32 . Un medio computacional es un dominio de abstracción: allí el estudiante puede expresar la
generalidad matemática pero en dependencia del medio, aunque sus expresiones apuntan más allá;
hacia las descripciones abstractas de las estructuras matemáticas. Se hace posible explorar ideas
dentro de ámbitos particulares, concretos y manipulables pero que contienen la semilla de lo general,
lo abstracto y lo virtual. Los alumnos son capaces de articular los resultados de sus exploraciones de
manera tal que éstos puedan ser llevados más allá del medio computacional o puedan dar lugar a
nuevas versiones de un resultado que hacen clara la visibilidad del medio informático.
Se presenta ahora un ejemplo de ello: el caso de las funciones continúas sin derivadas. La serie de
potencias, F(x)= ∑ (2/3) n cos (9 n πx) define una función continua sin derivadas, este es un resultado
clásico de Weierstrass. Al graficar los polinomios correspondientes (y variar n entre 0 y 5, después
entre 0 y 7 y así sucesivamente) el alumno empieza a descubrir el grado de complejidad de la función,
aunque sea sólo desde un punto de vista visual al apreciar cómo se grafica sobre la pantalla de su
instrumento informático.
32 Noss, R. y Hoyles, C. (1996): Windows on Mathematical Meanings.Holanda: Kluwer.
23

En los comienzos del siglo actual, la inquietud por esclarecer las dudas sobre la naturaleza
epistemológica de las matemáticas propició dos grandes intentos de rehacer los fundamentos de la
misma en su modelo euclídeo, el "logicista" de Russell, y el "formalista" de Hilbert (citado en Moreno,
L. y Waldegg, G. 2001, p. 47) 33 estos modelos, junto al "intuicionismo" de Brouwer, trataron de
rescatar parte de las teorías clásicas para darles su propia justificación (citado en Bishop 1994, pp. 15-
18).
Sin embargo, las matemáticas, en lugar de seguir buscando su afirmación en el supuesto modelo
perfecto (euclídeo) de la ciencia por excelencia, aceptó como más plausible el enfoque empirista de
Popper. (Citado en Lakatos, 1981, p. 76) que no era otra cosa, que la caracterización epistemológica
de las matemáticas en evolución, desde una teoría euclídea hacia una teoría empírica, o cuasi-
empírica, pero a través de los neoempirismos de Russell, Quine, Carnap, y fundamentalmente de
Popper (Citado en Lakatos, 1981, p.76), con lo que se llega casi a desterrar el modelo euclídeo y a
enunciar que "bajo la influencia de la crítica moderna de sus fundamentos, la matemática había
perdido ya gran parte de su certeza absoluta y que en el futuro, debido a la aparición de nuevos
axiomas de la teoría de conjuntos, sería cada vez más falible" (Gödel, 1944, p.213; citado en Lakatos
1981, p.45) 34 .
1.2 Resolución de problemas geométricos mediante el uso de software dinámico.
Dentro de este contexto, deben destacarse las investigaciones sobre la formulación y elaboración de
problemas, Polya (1965) 35 , como fundador de esta disciplina, en el campo de Educación Matemática,
propone que la resolución de problemas, se basa en la heurística, según el autor, […] es: “la ciencia
que trata de comprender el método que conduce a la solución de problemas complejos no típicos para
los cuales no existe un método de solución (algoritmo o semialgoritmo, el paréntesis es del autor), en
33 Moreno, L. y Waldegg, G. (2001): Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas en carreras de ingeniería.
Centro de Investigación y Estudios Avanzados, México, pp. 43-67.
34Lakatos, I. (1981): Matemáticas, ciencia y epistemología. Madrid: Alianza Universidad. p. 45.
35 Polya, G. (1965): Cómo Plantear y Resolver Problemas. Trillas reimpresión 2002, México. pp.101-102.
24

particular las operaciones mentales útiles para este proceso¨.
1.2.1 Los procedimientos heurísticos en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría.
Según Campistrous, L. y C. Rizo (2009) 36 “un procedimiento es la acción de proceder o el método de
ejecutar algunas cosas. Se trata de una serie común de pasos definidos, que permiten realizar un
trabajo de forma correcta”. La teoría de la computación utiliza la noción de procedimiento efectivo, una
secuencia de pasos repetible y determinista. Esto quiere decir que, para los mismos conjuntos de
valores de salida, siempre se obtendrán los mismos conjuntos de valores de entrada. Cabe destacar
que todos los algoritmos son procedimientos efectivos, aunque no todos los procedimientos efectivos
son algoritmos. Al respecto Labarrere plantea que:
“La solución de un problema no debe verse como un momento final, sino como todo un complejo
proceso de búsqueda, encuentros, avances y retrocesos en el trabajo mental. Este complejo proceso
de trabajo mental se materializa en el análisis de la situación ante la cual uno se halla: en la
elaboración de hipótesis y la formulación de conjeturas; en el descubrimiento y selección de
posibilidades; en la previsión y puesta en práctica de procedimientos de solución.” (Labarrere, A. F.
1996, p. 86) 37
Por otra parte, el concepto de procedimiento también permite nombrar a una subrutina o un
subprograma. El procedimiento presenta un subalgoritmo que forma parte del algoritmo principal, el
cual, por su parte, permite resolver una tarea específica (Cruz, M. y Álvarez, S. 2002) 38 . Con el tiempo,
la idea de subrutina ha ido cambiando, al igual que su uso. Una de sus derivaciones ha sido el
surgimiento de los métodos, que son los subprogramas que permiten el manejo de los objetos bajo el
paradigma de la programación orientada a objetos.
36Campistrous, L. y C. Rizo (2009): Aprender a resolver problemas aritméticos. En Memorias de la 8. Reunión
Centroamericana y del Caribe sobre Formación.
37Labarrere, A. F. (1996): Pensamiento. Análisis y autorregulación de la actividad cognoscitiva de los alumnos. Editorial
Pueblo y Educación, La Habana.
38Cruz, M. y Álvarez, S. (2002): La formulación de problemas para la enseñanza de la Matemática. En: Actas del II
Congreso “Didáctica de las Ciencias.” MINED – Organización de Estados Iberoamericanos, La Habana.
25

Cuando no se sabe cómo resolver un problema, es necesario crear un plan de acción mental
(algoritmo o semialgoritmo) por medio de la heurística, que permita manejar la situación a través de la
complejidad de éste y que conduzca a su solución de la forma más fácil y rápida posible. Si se logra,
no sólo se ha solucionado dicho problema en particular, sino en general todos los problemas del
mismo tipo. Como ya se dijo, la heurística tiene el menor rango de determinación y confiabilidad de
llegar a un resultado, pero a cambio su masividad es de mayor rango, lo que le permite una aplicación
más amplia, una mayor universalidad en la solución de problemas; su finalidad es obtener en principio
un semialgoritmo, o idealmente un algoritmo, que permita manejar todas las posibles variantes o
elementos de solución en un tiempo relativamente corto.
Las reglas son tal que nos permiten pasar de sus reglas generales a lo particular de cualquier
problema, por esto a la heurística se llamó el método de los métodos.
Polya establece que: tener un problema significa “buscar, conscientemente, alguna acción apropiada
para lograr una meta claramente concebida, pero no inmediata de alcanzar (citado en Santos, 1997, p.
29)” 39 Esta caracterización identifica tres componentes de un problema:
1. Estar consciente de una dificultad.
2. Tener deseos de resolverlo.
3. La no existencia de un camino inmediato para resolverlo.
1.2.2 Etapas en los procedimientos heurísticos para resolver problemas.
Polya (1965) 40 desarrolló un trabajo en tomo a la resolución de problemas matemáticos en el que
identifica cuatro etapas fundamentales; en las mismas, juegan un papel importante el uso de métodos
39 Santos, M. (1997): Principios y Métodos de la Resolución de Problemas en el Aprendizaje de las Matemáticas. Grupo
Editorial Iberoamericana, segunda Edición, México.
40Polya, G. (1965): How to solve it? Princeton University Press (Traducción: Cómo plantear y resolver problemas, de Julián
Zugazagoitia Ed. Trillas. México).
26

heurísticos como por ejemplo, “descomponer el problema en subproblemas, resolver problemas más
simples que reflejen algunos aspectos de la tarea principal y usar diagramas, entre otros”.
En el inicio del proceso de solución de un problema se tiene una concepción incompleta de dicha
tarea, la visión será diferente cuando se avanza un poco y cambia, nuevamente, cuando se esté cerca
de encontrar su solución.
Fase 1: Comprensión del problema o principios Heurísticos (PH): En muchas ocasiones los
alumnos cometen el error de trabajar en la resolución de un problema para contestar una pregunta que
no comprenden, es de temerse lo peor si comienzan a realizar cálculos o construcciones sin haber
entendido el problema. Es en esta etapa que se encuentran las estrategias que ayudan a representar y
comprender las condiciones del problema.
Algunas preguntas que se pueden presentar en la fase de comprensión del problema y que ayudan a
que los estudiantes puedan separar las principales partes del problema, la incógnita, los datos y la
condición son, por ejemplo: ¿cuál es la incógnita?; ¿cuáles son los datos?; ¿cuál es la condición?, ¿es
la condición suficiente para determinar la incógnita?, ¿es insuficiente?, ¿redundante?, ¿contradictoria?
Como parte de otras heurísticas importantes presentes en esta fase, Cruz, M. (2006) 41 recomienda
que los estudiantes deban considerar “las principales partes del problema bajo diversos ángulos y
repetidas veces”. Este mismo autor en su estrategia metacognitiva, dirigida a favorecer el proceso de
formulación de problemas matemáticos, aplicable a la práctica escolar y en especial del profesorado
en formación, pretende mostrar la capacidad de análisis que tiene el alumno para entender y tratar de
darle solución a determinado problema a partir de la concepción de un plan.
Fase 2: Concepción de un plan o reglas heurísticas (RH): Poner en pie un plan y concebir la idea
de la solución no tiene nada de fácil. En este proceso de la elaboración de un plan para resolver un
41Cruz, M. (2006): La enseñanza de la Matemática a través de la Resolución de Problemas. Tomo 1. La Habana:
Educación Cubana.
27

problema se ponen en juego los conocimientos adquiridos, los hábitos de pensamiento y la disposición
que muestren los alumnos. Esta fase se considera como la etapa esencial en el proceso de solución
de un problema.
Fase 3: Ejecución del plan o estrategias heurísticas (EH): Llevar a cabo el plan es mucho más fácil
que su elaboración; principalmente, lo que se requiere en la fase es traducir las ideas y estrategias en
una serie de operaciones matemáticas.
“Se considera en la didáctica de la matemática, el estudio de las reglas y los métodos por
descubrimiento, además, la heurística tiene en cuenta tanto el trasfondo lógico como psicológico, en
este contexto se produce un volumen de analogía e inducciones matemáticas, aunque Polya demostró
como las analogías pueden proporcionar una fuente fértil de nuevos problemas y permitir el
desempeño en la resolución de problemas” 42 .
El razonamiento analógico representa un papel significativo en la construcción de ideas por los
alumnos, durante la solución de problemas. Además, Polya realiza un análisis profundo sobre dos
temas fundamentales, explorados por él durante toda su carrera: la estructura de la matemática y la
naturaleza del descubrimiento matemático (Citado en Cruz, M. 2006, p. 25), en consecuencia, Cruz,
M., (2006), realizó un exhaustivo análisis histórico-lógico de las investigaciones relacionadas con la
didáctica de la matemática, su trabajo y aporte investigativo está relacionado con la resolución de
problemas metacognitivos, en la enseñanza-aprendizaje de la matemática en Cuba. Su aporte a las
ciencias en el campo de la didáctica de la matemática, se basa en la construcción y solución de
problemas, a partir de un patrón conocido. Su método es novedoso por que recoge los constructos
teóricos de cognitivos y didactas, y los adapta para solucionar problemas mediante la metacognición,
pero no se aprecia explícitamente el paso cuando los alumnos pasan de la conjetura a la prueba
matemática.
42 Polya, G. (1965):Cómo Plantear y Resolver Problemas. Trillas reimpresión 2002, México.Pp.101-102.
28

Kilpatrick, (1984a) ratifica, que el planteamiento del problema, es un elemento importante y funciona
como el corazón de la actividad matemática 43 .
Los aportes anteriores son importantes en el campo de la didáctica de la matemática, por que facilitan
algunos elementos para construir conjeturas mediante la inclusión de un recurso tecnológico como
software dinámico, pero no muestran como se logra el paso de la instrumentalización a la
instrumentación.
Por conjetura (del latín coniectūra) se entiende el juicio que se forma (moral, ético o matemático) de
las cosas o sucesos por indicios y observaciones. En la matemática, el concepto de conjetura se
refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no ha sido probada ni refutada hasta la fecha.
Una vez se demuestra la veracidad de una conjetura, esta pasa a ser considerada un teorema de
pleno derecho y puede utilizarse como tal para construir otras demostraciones formales.
Santos, (1998) menciona que durante “la exploración de problemas matemáticos es cuando salen a
flote las conjeturas de los alumnos, las cuales provocan que ellos utilicen diversas estrategias que le
permitan justificarlas o validarlas y de esta manera, se logre la relación entre alumno–profesor (Citado
Lizarazo, 2005, p.6)” 44 .
El autor en su libro “la creatividad en la resolución de problema’ 45 manifiesta que aprender a resolver
problemas de cualquier tipo, tanto académico como de la vida diaria, requieren de un análisis y un
orden en la solución, resolver problemas, es una parte fundamental de todo ser humano, es una
actividad con la que ha creado una cultura que le permite librarse hasta cierto punto de los
determinismos naturales. Según Schoenfeld (1985) en la resolución de problemas: “el alumno debe
43Kilpatrick, J. (1987a): Is teaching? George Pólya´s view on the training of mathematics teacher. In F. R. Curcio (Ed):
Teaching and learning A problem- solving focus, pp. 80-96. National Council of Teachers of Mathematics, Reston, V. A.
44Lizarazo, C., (2005): Exploraciones de los alumnos de nivel medio superior mediante el uso de la TI-92 en la solución de
sistemas de ecuaciones lineales y no lineales de 2x2. Tesis de maestría publicada. Departamento de Matemática
Educativa, Cinvestav IPN México: p. 6.
45 Lizarazo, C., (2008): La creatividad en la resolución de problemas, libro de física clásica, ISBN 958-96001Editorial
Autores Barranquilla Colombia.
29

tener dominio de recursos informáticos, manejo de las estrategias heurísticas y metacognitivas y, al
sistema de creencias que tenga sobre las matemáticas” 46 . La resolución de problemas tiene que ver
con el algoritmo del pensamiento, es un concepto tomado de las matemáticas y que consiste en una
serie de pasos elementales (actos físicos y/o mentales). Por ejemplo, el algoritmo para encontrar el
máximo común denominador de dos números naturales, no es lineal, (Ver figura 1):
2. Restar el primer número del segundo y
considerar el resultado como otro número.
1. Ver si el segundo número es menor que el primero.
SI No
3. Ver si ambos números son iguales.
Si No
5. Finalizar: El primero de los números es el que se
busca como máximo común denominador.
Figura 1: Algoritmo para encontrar el máximo común denominador de dos números naturales.
En la resolución de problemas los software dinámicos se fundamentan en los sistemas de
representación que ofrecen estas tecnologías: son dinámicos y tienen la posibilidad de establecer una
mejor correspondencia entre el universo visual y el numérico (López, 2003). Aunque este tipo de
análisis no proporciona una base adecuada que permita contribuir al perfeccionamiento del proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería, si hay relación directa con los
aspectos metodológicos y didácticos entre los métodos tradicionales (lápiz y papel) con los recursos
tecnológicos; si es posible considerar tal afirmación, como argumento, para impulsar la investigación
46 Schoenfeld, A. (1985): Mathematical Problem Solving. Academic Press, San Diego, CA, USA.
30
4. Restar el segundo número del primero y
considerar el resultado como el primer número.

en la sistematización de la información. Ahora para ser más precisos con el tema en discusión, es
interesante cuestionar:¿qué es un software de geometría dinámica y qué papel cumple en la
resolución de problemas?
A primera vista, un programa de geometría dinámica es un editor gráfico que da la posibilidad de
dibujar diagramas geométricos en la pantalla del computador. Sin embargo, en realidad es más que un
simple editor en el que el usuario puede tomar con el ratón un elemento del diagrama y arrastrarlo en
la pantalla: el diagrama se redibuja de manera continua, tal que conserve intactas las relaciones
geométricas que hayan sido declaradas en su construcción, así como todas las propiedades
geométricas implícitas en ella.
1.2.3 Características fundamentales del software dinámico.
Las principales características del software dinámico son:
1) La capacidad de arrastre de las figuras construidas, que favorece la búsqueda de rasgos que
permanecen inalterables durante la deformación.
2) La diferencia fundamental entre un entorno de papel y lápiz y un entorno de geometría dinámica
es precisamente el dinamismo.
3) Las construcciones que se hacen con el software son dinámicas, las figuras en la pantalla
adquieren una temporalidad: ya que no son estáticas, sino móviles, y por lo tanto sus propiedades
deberán estar presentes en todas las posibles posiciones que tomen en la pantalla.
Actualmente existe un interés creciente por retomar los contenidos de la geometría en todos los
niveles educativos. Por esta razón es necesario hacer estudios de investigación, que conduzcan a
mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje de la misma en el nivel superior, especialmente en
ingeniería, donde se muestre la importancia que tiene la utilización del software dinámico en la
formulación, construcción y justificación de conjeturas. En este trabajo de investigación se hace
referencia a un procedimiento heurístico mediante software dinámico para el perfeccionamiento de la
31

enseñanza aprendizaje de la geometría en ingeniería; el cual, se fortalece por un indicador de
efectividad sustentado en las desviaciones que registran las condiciones finales con respecto a las
iníciales, tales condiciones se originan por la caracterización de variables en un diagnóstico inicial y
final.
1.2.4 Algunas consideraciones epistemológicas, psicológicas y didácticas de los recursos
informáticos en la enseñanza aprendizaje de la geometría.
Las siguientes consideraciones epistemológicas permiten centrar la posición del autor sobre el
conocimiento matemático y su papel en el sistema escolar con respecto a la enseñanza de la
geometría, si se puede afirmar que las matemáticas han evolucionado desde el ideal euclídeo
(geometría de Euclides) al empírico, es porque su metodología y objetivos han cambiado
paulatinamente; debido, entre otros, a la existencia de los recursos informáticos en las aulas de clases.
Kaput (1992) afirma que “el uso de recursos informáticos, en actividades de aprendizaje de la
geometría, reta a los alumnos a ir más allá de la aplicación de fórmulas y procedimientos rígidos que,
generalmente, propician la monotonía” 47 .
Las valoraciones realizadas y las exigencias didácticas, al no encontrar una definición clara de la
categoría recursos informáticos en la literatura científica, Escalona, M. (2007) propone el siguiente
concepto: […] “Por recursos informáticos se entiende, el conjunto de software, que permitan procesar,
manipular, almacenar, transmitir, visualizar e interactuar con diferentes informaciones relacionadas con
contenidos de las asignaturas de una o diferentes áreas del conocimiento; así como al hardware que
los soporta” 48 . Esta concepción aunque es bastante acertada en cuanto a la inclusión de verbos en
infinitivo, ya que relaciona lo que se puede hacer con los recursos informáticos, pero no explica cómo
47 Kaput, J. (1996): Computer – Learning Environment in Mathematical En Bishop, A. J. et al, International Handbook of
Mathematical Education,.Macmillan. New York, USA: 515-556.
48 Escalona R., M. (2007): El uso de recursos informáticos para favorecer la integración de contenidos en el área de
ciencias exactas del preuniversitario. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas,
Instituto Superior Pedagógico José de la Luz y Caballero, Holguín, p. 27.
32

se pueden incorporar en la actividad práctica, y más cuando se usa la tecnología en carreras que
requieren de unas bases instrumentales bien definidas, como es el caso entre lo cognitivo y lo
instrumental. Tal como postulan Wittgenstein y Toulmin. Así Toulmin aconseja "reorientar la atención
desde la acumulación de proposiciones verdaderas y sistemas proposicionales, hacia el desarrollo de
conceptos y procedimientos explicativos progresivamente más potentes.” 49 .
Es necesario poner de manifiesto que existen numerosos autores, dentro del área de didáctica de las
matemáticas, que están trabajando sobre una epistemología antropológica, entre ellos se puede citar a
D´Ambrosio, Bishop, Oliveras, Gerdes, y muchos más. Algunos de ellosal tratar de transmitir la
importancia de las ideas, las elaboran con expresiones occidentales que tienen de ellas, “desde el
principio se ha diferenciado, entre las matemáticas que son implícitas y las que son explícitas, y entre
los conceptos occidentales que son usados para describir o explicar conceptos atribuidos a la gente de
otras Culturas." 50
Ante la falta de literatura y/o de otros autores que hubieran tocado en forma particular a lo que se ha
ocurrido llamar "Etnogeometría" y al considerar que la idea tiene asidero, tanto implícita como
explícitamente. Es conveniente crear, el concepto semánticamente, con la conjunción de
Etno+Etnología+Geometría = Ethnogeometría. Como el "Estudio y conocimiento de la Geometría bajo
el aspecto cultural de los pueblos comparando sus afinidades de antropología cultural o social y de los
lazos de civilización que los caracteriza".
1.2.5 Matemáticas y cognición: una visión clásica e informática.
La enseñanza tradicional induce en los alumnos, la idea de que las matemáticas están referidas a un
conjunto de expresiones simbólicas desprovistas de conexión con cualquier fragmento de su
conocimiento. Esta idea es la consecuencia natural de es que el conocimiento matemático se reduce a
49 Moreno, L. y Waldegg, G. (2001): Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas en carreras de ingeniería.
Centro de Investigación y Estudios Avanzados, México, pp. 43-67.
50 Asher, M. (1998): Mathematics of the Incas. Dover Publications Inc. New York.
33

un conjunto de destrezas para manipular símbolos que; a su vez, permiten la transformación de una
expresión simbólica en otra, y eso es todo. Desde luego, esta es una concepción muy pobre de las
matemáticas, que hay que modificar a través de los procesos educativos.
La enseñanza de las matemáticas plantea un problema delicado: ¿Cómo tratar con la naturaleza
descontextualizada de las proposiciones matemáticas que forman parte de una cultura matemática
universal y, al mismo tiempo, con la necesidad de admitir que el conocimiento que un alumno
construye, produce, asimila, se da siempre mediado por un contexto? La respuesta se vincula de
modo íntimo (Duval, 1998) con la evolución de los sistemas semióticos de representación que se
hayan tratado.
Por otra parte en la introducción de sus fundamentos de la geometría (1899) (citado en Moreno, L. y
Waldegg, G. 2001, p. 45): Hilbert fue muy claro al decir que el significado de los puntos, de las líneas
y de los planos es algo que está determinado por las relaciones que se pueden establecer entre ellos.
De esta manera, los postulados de la geometría pueden interpretarse como definiciones implícitas de
los objetos geométricos. Este punto de vista ha tenido, y sigue teniendo, un éxito enorme en el
desarrollo de las matemáticas.
Desde el punto de vista educativo, las dificultades surgen cuando se identifica ese propósito de la
matemática, con un principio didáctico; es decir, se confunde la matemática del matemático con las
matemáticas escolares. Este es el caso del arrastre de una recta, de un círculo, del vértice de un
triángulo, de un punto libre en un segmento, etc.
Se puede enseñar al alumno el funcionamiento de los comandos de un entorno computacional
mediante ejercicios. Si la tarea le lleva a geometrizar un fenómeno y explorar las propiedades y
hechos de su construcción, ¿podrá construir conjeturas, así como las correspondientes pruebas o
contraejemplos? (Laborde, C., 1996). Cuándo el estudiante explora un objeto geométrico o un
34

fenómeno mediante un entorno computacional que él no ha construido, ¿qué tan concretos o virtuales
son los objetos que manipula?, ¿la percepción del sujeto es completa?
En la VIII Conferencia Iberoamericana de Educación, la declaración de ZeichnerI, K., (2007). Plantea
“la Educación es el ámbito donde se concreta la transformación de la información en conocimiento y,
por ello, debe ocupar un primer plano en las prioridades políticas de los países iberoamericanos”.
Se discutió que Piaget fue mal interpretado, pues él mismo era enemigo de la enseñanza
compartimentada en asignaturas, fragmentación que achacaba a los prejuicios positivos y que va en
contra de las peculiaridades cognitivas del alumnado, cuya visión innata – subraya el pedagogo- es
interdisciplinar, y su aprendizaje lo es por descubrimiento 51 . En este caso se hace necesario
profundizar en el proceso cuando se ejecuta en la escuela, dirigido por el profesor y con la
participación activa y consciente de los alumnos (Zilberstein y Silvestre, 1999).
Entre los trabajos realizados para utilizar los recursos informáticos en el proceso de enseñanza
aprendizaje según estas consideraciones se tiene el de Legañoa, 1999 (citado en Escalona p. 21).
Éste considera que para lograr la eficacia de la computadora como medio de enseñanza, el proceso
docente educativo debe considerarse como un sistema; donde en la relación de los medios de
enseñanza con las restantes categorías, contenida en la segunda ley de la didáctica (Álvarez, 1995),
se subordinan los medios a los métodos. Sin embargo, considera que entre estos no debe existir una
relación de subordinación, sino que debe ser una relación dialéctica. Este hecho que limita la
utilización de las potencialidades de los recursos informáticos, pues los materiales a utilizar deben
estar centrados sólo en las características del nivel de asimilación del alumno; además, todos los
alumnos no transitan a la vez por el mismo nivel, por lo que se hace necesaria la utilización de
demasiados materiales informáticos para lograr una efectividad en el proceso.
51 Piaget, J., (1975): A dónde va la educación, Barcelona, Teide.
35

(Guétmanova, A.; Panov, M. y Petrov, V. 1991) consideran los métodos y medios de enseñanza como
una condición didáctica que permita valorar el proceso de enseñanza aprendizaje pero no relacionan
la mediación instrumental como tal. En el caso de la geometría en carreras técnicas; es decir, la
relación cognitiva con lo instrumental es lo que hace asequible dicho proceso para construir
conjeturas. Conviene mencionar los estudios recientes en esta temática y el enfoque de la geometría
como: una ciencia del espacio y la forma que tiene una larga historia siempre ligada a las actividades
humanas, sociales, culturales, científicas y tecnológicas. Esta puede ser vista como una ciencia que
modela la realidad espacial, como un excelente ejemplo de sistema formal o como un conjunto de
teorías estrechamente conectadas que cambia y evoluciona con el transcurrir del tiempo. Todo esto
depende del marco referencial que se contemple.
Las interacciones cognitivas en el aprendizaje escolar. Las teorías seminales de Piaget y Vygotsky
han dado lugar a una serie de variantes teóricas, y clásicas, que buscan resolver las insuficiencias de
los acercamientos iníciales para explicar, sobre todo, los procesos escolares.
La influencia benéfica de las interacciones sociales para las adquisiciones cognitivas ha sido
demostrada experimentalmente por las corrientes de la psicología social del desarrollo cognitivo; el
aporte principal de este punto de vista, es haber puesto en primer plano el papel que tiene el conflicto
cognitivo para la construcción del conocimiento.
Los recursos didácticos y la formación docente. La formación de los maestros de matemáticas no
es todo lo completa que fuera necesaria en cuanto a las habilidades y destrezas necesarias para un
uso adecuado de las nuevas tecnologías como un medio de enseñanza aprendizaje. Por otra parte las
dificultades que tienen los aprendices también agobian a los maestros cuando reciclan sus propios
saberes. Las tareas didácticas para la enseñanza, se planean y se ejecutan con una lógica diferente a
la que existe en la contraparte, cuando se aprende. El reconocimiento del papel que tiene esa otra
figura, que está presente en la actividad del aula, es necesario. La vivencia de este rol con toda la
36

complejidad que lo define es uno de los aprendizajes más significativos que pueden tener los maestros
en una sesión de didáctica Moll, L. (1993) 52
1.3Elementos que caracterizan la conjetura operacional.
En este epígrafe se muestran algunos elementos importantes que caracterizan una conjetura
operacional desde una perspectiva didáctica en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría.
En los últimos cinco años, se han hecho investigaciones relacionadas con la construcción y
justificación de conjeturas mediante el uso de recursos informáticos parte fundamental en este estudio,
en donde se muestra que un artefacto es una herramienta que sólo se vuelve un instrumento
significativo después de tal proceso. La idea crucial de (Verillon, y Rabardel, 1995) en los procesos de
instrumentación es que, el alumno construye sus esquemas mentales, en esos esquemas mentales los
componentes técnicos y conceptuales se relacionan entre sí; es decir, hay una sinergia entre lo
cognitivo y lo instrumental.
En cuanto al proceso de “mediación instrumental” se retoman algunas ideas escritas en los epígrafes
anteriores, la distinción de los términos artefacto e instrumento permite el hecho de que un instrumento
no existe por sí mismo, sino únicamente respecto a su uso por un individuo. Más aún, un instrumento
no es una estructura permanente sino más bien una evolución (Mariotti, 2003, p. 707). Por esta razón,
el proceso de génesis instrumental es complejo y debe ser estudiado con mucho cuidado e interpretar
bien los términos expuestos por los investigadores en educación matemática. De la misma manera,
se piensa que la relación software dinámico - alumno puede transformarse hasta convertirse en una
sola entidad que integra lo cognitivo con lo instrumental.
(Guin and Trouche, 1999, p. 198). La génesis como mediadora cognitiva en el aprendizaje
puedeser analizada de diferentes maneras: la tesis de Vygotsky significa sobre todo que las
capacidades de aprendizaje no deben ser confundidas con el nivel cognitivo que se tiene en un
52Moll, L. (2010): Vigotsky y la educación. Buenos Aires: Aique.
37

momento dado; en un dominio cualquiera, existe un espacio potencial de progreso en el que las
capacidades individuales pueden ser sobrepasadas si se reúnen ciertas condiciones de su inteligencia.
Piaget considera que la inteligencia se desarrolla en etapas evolutivas, donde el individuo pasa por
distintas forma de aprender, cada vez más adecuadas, esta teoría descubre los estadios de desarrollo
cognitivo desde la infancia hasta la adolescencia, es imposible pretender que el individuo desarrolle la
etapa de operaciones concretas, si aún no ha desarrollado, adecuadamente la etapa pre-operacional.
Por esta razón, el alumno debe adquirir el conocimiento necesario, que le permita observar, analizar, y
comprender la solución de un problema en cualquier disciplina; el aprendizaje, mirado como un
proceso que requiere de tiempo, es indispensable que el individuo pase por todas las etapas del
desarrollo del pensamiento.
Por otra parte, Bruner, J. (1990) considera que el niño comprende cuando ha interiorizado algunos
instrumentos culturales como lo es el “lenguaje”; debido a que este permite que pueda llegar a
representar y transformar las experiencias de su entorno. En la teoría del aprendizaje significativo
Ausubel, N., (1983) explica como el ser humano aprende, para que su aprendizaje sea significativo, es
decir, aquel aprendizaje que depende de la estructura cognitiva previa, que al ser relacionada con una
información nueva a través de un proceso de reestructuración, se llega a un conocimiento significativo.
Ausubel en el orden de Piaget opina que “el proceso de cognición es evolutivo, es decir, (basado en
representación a concepto y de concepto a proposiciones)”. 53
El aprendizaje mecánico 54 se produce sin interactuar con posconocimientos previos del alumno, sino
que se hace un proceso arbitrario donde no asimila completamente el concepto, no encuentra sentido
al tema que aborda, es difícil potencializar un aprendizaje significativo.
53 Ausubel, N. (1983): Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS México.
54 Pozo, J. (1920): Teorías cognitivas de aprendizajes. Edit. Morata 3º edición. Madrid. P. 210.
38

En cuanto a la teoría conceptual Vergnaud considera que “el individuo posee esquemas mentales, es
decir, conceptos previos y preconceptos que gracias a una construcción activa, puede lograr un
aprendizaje más rápido y eficaz” 55 .
1.3.1 En cuanto a la teoría del desarrollo mental y problemas de la educación.
Si hubiese que definir el carácter específico de la teoría de Vygotsky mediante una serie de palabras y
formulas claves, habría que mencionar sin falta por lo menos las siguientes: carácter social del
hombre, interacción social, signo e instrumento, cultura, historia y funciones mentales superiores. Si
hubiese que ensamblar esta palabras y formulas claves en una expresión única, podría decirse que la
teoría de Vygotsky es una “teoría socio-histórico-cultural del desarrollo de las funciones mentales
superiores”, aunque esta teoría suele más bien ser conocida con el nombre de “teoría histórico-
cultural” 56 .
Para Vygotsky el ser humano se caracteriza por una sociabilidad primaria. Henri Wallon expresa la
misma idea de modo más categórico: “El (individuo) es genéticamente social” 57 . En la época de
Vygotsky este principio no pasaba de ser un postulado, una hipótesis puramente teórica; en la
actualidad puede afirmarse que la tesis de una sociabilidad primaria y, en parte, genéticamente
determinada, posee casi el estatuto de un hecho científico establecido como resultado de la
convergencia de dos corrientes de investigación. Por un lado, las investigaciones biológicas, como las
relativas al papel que desempeña la sociabilidad en la antropogénesis o las que atañen al desarrollo
morfofuncional del niño de pecho (existen, por ejemplo, pruebas cada vez más abundantes de que las
zonas cerebrales que rigen las funciones sociales, tales como la percepción del rostro o de la voz
humana, experimentan una maduración precoz y acelerada); por otro lado, las recientes
55 Vergnaud, G., (1998): A comprehensive theory of representation for mathematical Behavior, 17(2), pp. 167-181.
56 Vygotsky, L.S. (1956): Izbranie psiholgicestie issledovanija [Investigación en psicología]. Moscú, APN RSFSR.
57 Wallon, H. (1959): Le rôle d'autrui et conscience de soi [Papel del otro y conciencia de sí], en Enfance, Evry, nº especial,
págs. 279-86.
39

investigaciones empíricas sobre el desarrollo social de la primera infancia demuestran ampliamente la
tesis de una sociabilidad primaria y precoz (Bowlby, 1971; Schaffer, 1971; Zazzo, 1974 y 1986;
Thomas, 1979; Lambe y Scherrod, 1981; Tronick, 1982; Lewis y Rosenblum, 1974; Lissina, 1986 et
al.). Los análisis teóricos llevaron a Vygotsky a defender tesis bastantes visionarias sobre la
sociabilidad precoz del niño y a deducir de ellas las consecuencias respecto de la teoría del desarrollo
del niño.
Vygotsky (1982-1984, Vol. IV, pág. 281) escribía en 1932): “Por mediación de los demás, por
mediación del adulto, el niño se entrega a sus actividades. Todo absolutamente en el comportamiento
del niño está fundido, arraigado en lo social.” Y prosigue: “de este modo, las relaciones del niño con la
realidad son, desde el comienzo, relaciones sociales. En este sentido, podría decirse del niño de
pecho que es un ser social en el más alto grado.”
1.3.2 Fluidez asociativa y figurativa.
Según (Daudinot, I. 2003): Las definiciones de la fluidez del pensamiento que se encuentran en la
literatura están dadas fuera del contexto del aprendizaje de una asignatura en particular, lo que limita
su utilización práctica, pues no relaciona sus determinantes con las peculiaridades de la actividad
cognoscitiva de una asignatura en específico, con sus métodos y las características de su objeto de
estudio. A continuación se citan algunas de ella:
Logan, L. M. y Logan, V. G. (1980), plantean que fluidez es "la capacidad para pensar en un gran
número de ideas o soluciones posibles” (Córdova Ll, 1992, p. 56).
Olea (1993), asume que fluidez es "la habilidad para producir un número elevado de respuestas en
un tiempo determinado a partir de estímulos verbales o figurativos” (Córdova Ll, 1992, p. 56).
Campos, A. (1994), considera que “se expresa en la cantidad, en el número de ideas o
producciones que el sujeto puede generar o utilizar en un contexto determinado” (Córdova Ll, 1992,
p. 56).
40

Resulta significativa la diferencia que se establece entre las definiciones de Logan y Campos respecto
a la de Olea: es, en esta última, donde únicamente se encuentra una acotación para el tiempo en el
que la persona debe lograr la producción referida.
El aspecto temporal resulta, para muchos autores fundamental; al tratar de definir esta particularidad
del pensamiento. Si la persona produce muchas ideas pero tarda mucho tiempo en ello, no es posible
hablar (según Olea) de fluidez del pensar. Se puede decir, en este caso, que la producción se debe
más a un proceso de análisis de la situación que a una evocación productiva. Definir el tiempo para el
cual se asume que la producción es resultado de la fluidez es un aspecto en el que no existe
consenso. Algunos investigadores como Olea realizaron sus investigaciones con un tiempo para
efectuar la tarea no más de diez minutos. Mantener esta postura implica no haber entendido la esencia
de la fluidez y su diferencia con otra particularidad del pensamiento, muy cercana a ella como la
rapidez del pensar. Según lo obtenido en investigaciones realizadas, ser fluido significa producir ideas
en cadena, en avalancha, ser rápido implica producirlas en un breve espacio de tiempo. Se debe tener
en cuenta que según lo anterior el fluir de las ideas, puede ser más o menos rápida. Una persona
puede ser fluida pero de pensamiento no muy rápido o fluida de pensamiento rápido (Zaldívar, M.,
1998, p. 37).
Si se asume que la producción debe ser en un pequeño intervalo de tiempo se estará confundiendo la
fluidez con la rapidez que es otra particularidad del proceso del pensamiento, relacionada con el tipo
de actividad nerviosa superior.
El autor asume, que la fluidez es parte integral de la actividad, es decir, depende de que tan bien esté
elaborada la tarea, para que el individuo fluya positiva o negativamente respecto a la solución de un
problema. Por ejemplo, en la construcción de un objeto geométrico, no es suficiente conocer los
elementos que hacen parte del objeto, sino los pasos y recursos cognitivos para construirlo mediado
por un instrumento, tal como se observa en la (figura 2).
41

Figura 2: Fluidez figurativa Cabri-instrumental
Se han definido muchos tipos de fluidez., tales como fluidez ideativa, fluidez figurativa, fluidez
asociativa, verbal y de expresión (Genovard, R., y Castello, T, 1990, p. 31). El criterio asumido para
definirlas es el carácter, el tipo de resultado de la actividad y que en este sentido son muchas las
dimensiones de fluidez de las que puede hablarse, en definitiva hay varios tipos de fluidez como
posibles tipos de respuestas en contextos diferentes (Daudinot). Las cantidades de tipos de
respuestas continuadas dentro del contexto de la geometría, devendrán en esta investigación como
elemento mediador que relaciona la fluidez del pensamiento, y estará condicionada, por el dominio del
alumno en el objeto de la matemática.
En ocasiones se hace referencia a la fluidez como la evocación sin hacer referencia a un contenido
concreto. Desde esta posición, se aprecia que una persona puede ser fluida con independencia de sus
conocimientos, de modo que la fluidez proviene de una cualidad general del intelecto que matiza toda
la actividad cognitiva. Uno de los fundamentos que sostienen esta posición está determinado porque
se aplican instrumentos para medir las manifestaciones de esta cualidad sobre experiencias y
conocimientos generales del sujeto, o sea, no referido a una ciencia en específico. Esta postura, que
resulta beneficiosa para abordar ciertos problemas de investigación, puede no serlo para otros. Si lo
que se desea es determinar las manifestaciones de esta cualidad del pensamiento dentro del contexto
de una asignatura en específico, es imposible no tomar en cuenta como aspecto condicionado de las
42

manifestaciones fluidas, ‘’el nivel de conocimientos que tiene el estudiante de esa asignatura referidos
a la tarea en concreto (Zaldívar,2001, p. 44)’’ 58 .
En la fluidez asociativa, otra forma de manifestación de la fluidez, las relaciones semánticas son lo
más importante. Las relaciones pueden estimularse no sólo mediante impulsos que exijan
asociaciones entre palabras y conceptos, sino también mediante la observación de hechos y sucesos.
Los estímulos pueden ser de diversos tipos que exijan establecimiento de sinónimos, opuestos,
analogías, similitudes, metáforas, problemas de semejanza y congruencia entre otros.
El otro factor es la fluidez figurativa en la que los productos revisten la forma de unidades que habrá
que considerar de forma aislada, o lo que es lo mismo, el estímulo siempre será una figura básica a la
cual habrá que agregarle o sustraerle elementos para originar otras figuras, en el caso de visualizar el
objeto matemático a través de una figura. En consecuencia, se asume como definición de fluidez del
pensamiento: aquella particularidad del proceso del pensamiento que posibilita el empleo de los
recursos cognitivos para producir múltiples respuestas de manera continuada en la planeación,
ejecución y control de la actividad y sus resultados. Para definir la fluidez del pensamiento se debe
tener en cuenta sus diferencias y semejanzas con la rapidez, dado que en ocasiones el modo de
entenderla hace que en el proceso de experimentación (medición) se cometan errores tendientes a
identificarla.
La fluidez del pensamiento no debe asumirse como una particularidad del pensamiento independiente
de sus contenidos concretos. Se es fluido si se tienen conocimientos acerca del tema que se examina
y si hay posibilidad de realizar evocaciones de manera continuada. Ambas condiciones resultan
necesarias para la manifestación de una fluidez del pensamiento suficiente.
58 Zaldívar C., M. y Pérez F., A. (1997): Pruebas para caracterizar el desarrollo del pensamiento del escolar mediante el
aprendizaje de la Física. En: Libro Resumen Pedagogía ’97, Ciudad de La Habana.
43

La creatividad visual implica en el plano de la enseñanza aprendizaje de la matemática, conducir la
comprensión del alumno de manera teórica y reflexiva, orientada hacia la construcción y justificación
de la conjetura, se debe tender a lograr que el análisis y la solución de un problema sean parte de un
mismo proceso y no de acontecimientos separados. Investigadores en este campo proponen que la
orientación y la comunicación es un conjunto de operaciones que el docente deberá señalar en forma
ordenada y con etapas bien definidas para ofrecer un método orientador:
La primera de estas etapas es la conceptualización del significado (análisis semiótico), sobre este
tema hay varias teorías referenciales y analíticas del significado; el análisis del significado de los
objetosmatemáticos está estrechamente relacionado con el problema de las representaciones
externas e internas de dichos objetos, la relación de significación se suele describir como una relación
ternaria, analizable en tres relaciones binarias, dos directas y una indirecta como se presenta en el
siguiente esquema, llamado triángulo básico de Ogden y Richards (1923) (ver figura 3).
Figura 3: Triángulo básico de Ogden y Richard
Por ejemplo, A es la palabra 'mesa', C es una mesa particular a la cual se refiere y B es el concepto de
mesa, algo existente en la mente. La relación entre A y C es indirecta por medio del concepto de
mesa. Si se considera que existe un concepto matemático C en algún mundo platónico, el concepto C
es el referente, A el significante matemático (palabra o símbolo) y B el concepto matemático individual
del sujeto.
La segunda etapa se refiere a la forma de detectar las condiciones de recepción del mensaje, al tener
en cuenta el marco cultural del receptor.
44

La tercera es la selección de los elementos pertinentes del lenguaje visual, y la semantización para
implementar el mensaje.
La cuarta es instrumental, trata que todas las consideraciones que merecen las características
tecnológicas de los medios de transmisión y circulación del mensaje permitan la construcción de la
conjetura al tratarse de un problema matemático.
Este análisis ternario del proceso de significación plantea muchas cuestiones, en particular cuando se
ponen en juego "objetos matemáticos", para los que no existe un acuerdo en las ciencias cognitivas.
Por ejemplo, ¿cuál es el estatus psicológico u ontológico del concepto B. ¿El referente C, es un
referente particular, es una clase de objetos, o más bien un representante de esta clase? El objeto C
genera una imagen mental C'. ¿Qué relación hay entre el concepto B y la imagen mental C'?
Como describe Font (2000b), la opción epistemológica "representacionalista", presupone que la mente
de las personas produce procesos mentales y que los objetos externos a las personas generan
representaciones mentales internas. La opción representacionalista presupone que tanto el referente
como el significante tienen un equivalente en la mente del sujeto que los utiliza. Con este postulado, a
los objetos A (significante) y C (referente) se les asocia otros objetos A' y C', que junto a B (referencia
conceptual individual) se consideran como representaciones mentales. A es una representación
externa de C, mientras que C se considera un objeto exterior al sujeto. En esta opción
representacionalista del conocimiento, la mente se considera como un espejo en el que se reflejan los
objetos del mundo exterior.
La problemática del significado nos lleva a la compleja cuestión: ¿cuál es la naturaleza del significatum
del concepto?, o más general, ¿cuál es la naturaleza de los objetos matemáticos? En matemáticas, los
distintos tipos de definiciones que se utilizan (por abstracción, inducción completa, etc.) describen con
precisión las notas características de sus objetos: un concepto matemático viene dado por sus
atributos y por las relaciones existentes entre los mismos. Pero en el campo de la psicología cognitiva,
45

interesada por los procesos de formación de los conceptos, la concepción según la cual no existen
atributos necesarios y suficientes que determinen completamente la estructura interna de los
conceptos ha adquirido una posición dominante.
(Hitt, 1996) afirma que el recursos informático, en muchos casos, “permite visualizar el error, y así se
logra mejor aproximación en la resolución de un problema” (citado en Lizarazo, 2005, p. 42).
Adicionalmente (Hitt, 1996), argumenta en cuanto a la importancia que tienen los recursos informáticos
en “La visualización de los conceptos matemáticos no es una actividad cognitiva trivial, visualizar no es
lo mismo que ver” 59 . En el contexto de esta tesis, visualizar es la habilidad para crear imágenes
mentales que el individuo pueda manipular en su mente, y así mismo, manifiesta diferentes
representaciones del concepto en cuanto al uso de papel y lápiz o los recursos informáticos para
expresar la idea matemática en cuestión. Los procesos del pensamiento matemático tales como:
mediación instrumental, construcción, argumentación entre otros, son elementos fundamentales que
permiten construir conjeturas, mediante la incorporación de los recursos informáticos, tales como el
software dinámico desde una perspectiva geométrica medible a través de un indicador de efectividad.
1.3.3 Mediación instrumental como herramienta didáctica.
La especie humana elabora herramientas con propósitos deliberados. Mediante la producción de
herramientas se ha alterado la estructura cognitiva y adquirido, por así decirlo, nuevos órganos para la
adaptación al mundo exterior. En la actualidad, las teorías de la cognición de mayor impacto en los
contextos educativos, han reconocido la pertinencia del principio de mediación instrumental que se
puede expresar de la siguiente manera: todo acto cognitivo está mediado por un instrumento que
puede ser material o simbólico. En este principio convergen tanto la naturaleza mediada de la
59 Hitt, F. (1996):Educación Matemática y uso de herramientas tecnológicas. En M. Santos y E. Sánchez (Eds). Perspectiva
en Educación Matemática, Grupo Editorial Iberoamérica, México, p. 25.
46

actividad cognitiva, como la inevitabilidad de los recursos representacionales para el desarrollo de la
cognición; no hay actividad cognitiva al margen de la actividad representacional (White, R. 1999).
1.3.4 Indicador de efectividad.
Según Mattos, R. (2010) 60 un indicador de efectividad es una medida que permite en las didácticas de
las ciencias, caracterizar variables a partir de condiciones iníciales, si se introduce un dispositivo
didáctico se logra conocer los efectos positivos o desfavorables caracterizados en las condiciones
finales. En este trabajo se tomó como dispositivo informático y didáctico el software dinámico Cabrí
Geometry; desde un punto de vista general, la efectividad de un indicador hace referencia a la medida
en que éstos miden lo que deben medir. A este respecto, son múltiples las variantes de validez que
pueden contrastarse. En concreto, en este trabajo se analizan cuatro variables caracterizadas en el
diagnóstico inicial, y que a partir del software dinámico como mediador instrumental permitió conocer
la caracterización de estas variables en condiciones finales. De acuerdo a George y Mallery (2005), la
efectividad se relaciona con el hecho de que el instrumento de medición produzca los mismos
resultados cada vez que sea administrado a las mismas personas y en las mismas circunstancias.
Conclusiones del capítulo 1.
Los fundamentos teóricos analizados proporcionan los elementos científicos fundamentales que
sustentan al sistema problema-objeto-objetivos y campo de acción, que permite un acceso natural al
diseño de esta investigación, basados en investigaciones hechas por reconocidos autores en la
disciplina y el propio autor de esta tesis. Se desprende la necesidad de una visión, epistémica,
psicológica y didáctica integradora sustentada en un procedimiento heurístico con su respectivo
indicador de efectividad, éste a su vez permite establecer un criterio acerca de la construcción y
60 Mattos, R. (2010) Diseños estadísticos en didáctica de la matemática para caracterizar variables Perspectiva en
Educación Matemática, Grupo Editorial Iberoamérica, México, p. 34
47

justificación de la conjetura operacional, cuando se trabaja en el aula con recursos informáticos; tales
como el software dinámico, elemento importante para caracterizar las variables en las condiciones
finales.
Este capítulo garantiza la plataforma teórica que requiere un modelo didáctico de conjetura
operacional, a partir de los conceptos de recursos informáticos, tales como el uso de software
dinámico en los procesos de enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería. La
resolución de problemas, los conceptos de fluidez, indicador de efectividad y mediación instrumental,
sirven de base para determinar las categorías esenciales en la investigación, en lo referente a lo
psicológico se asume en enfoque histórico cultural de Vygotsky. Se tienen en cuenta del
constructivismo de Piaget, por razones obvias como en los capítulos posteriores, solo aquellos
aspectos relativos al operacionalismo. En las Ciencias Pedagógicas se tiene en cuenta: categorías
pedagógicas fundamentales de Álvarez de Zayas, C., Fuentes, H. ,Concepción, R. y Rodríguez, F.
Por otra parte el conocimiento geométrico es un componente matemático que ocupa un lugar
importante en los programas y planes de estudios por su aporte a la formación del individuo, por esta
razón es importante detallar detenidamente cada uno de los componentes que hacen parte de este
conocimiento y a su vez enfocarlos con el uso del software en carreras afines con la ingeniería, tema
central de esta investigación.
48

CAPÍTULO 2. MODELO DIDÁCTICO DE CONJETURA OPERACIONAL PARA LA ENSEÑANZA
APRENDIZAJE DE LA GEOMETRÍA EN ESTUDIANTES DE INGENIERÍA
En el capítulo se muestra un diagnóstico del estado actual del proceso de enseñanza aprendizaje de la
geometría en carreras de ingeniería, se presenta un modelo didáctico que se ha denominado “de
conjetura operacional” sustentado en el software dinámico y que permite superar las insuficiencias
encontradas en las condiciones iníciales. En el mismo se tiene presente las relaciones que se
establecen entre la génesis instrumental, así como las potencialidades didácticas del software
dinámico utilizadas como elementos mediadores. Dicho modelo está acompañado por un
procedimiento heurístico que permite su salida a la práctica mediante un indicador de efectividad.
2.1 Diagnóstico de la enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería
mediante software dinámico.
En la realización del presente diagnóstico se escogió el distrito “de Barranquilla, Colombia”, el cual
cuenta con siete universidades privadas reconocidas y la Universidad del Atlántico de carácter oficial.
Para el diagnóstico se tomó la Universidad del Norte, por ser uno de los centros donde trabaja el autor,
y se seleccionaron aleatoriamente un grupo de alumnos que cursan geometría en diferentes carreras
de ingeniería (ver Anexo 5), la muestra coincidió con la caracterización de las dos últimas variables
dadas en condiciones iniciales por los egresados que fueron encuestados. Es decir, el número de
respuestas y conceptos geométricos mediante el uso de cualquier recurso informático es solo del 5%.
Este bajo porcentaje coincide con los planes de estudio y parcelación de geometría de las carreras de
ingeniería (ver Anexo 6), la prueba que se aplicó en el diagnostico inicial, tuvo como propósito
caracterizar cuatro variables relacionadas con (X): número de respuestas correctas, (Y): número de
conceptos correctos, (Z): número de respuestas correctas con software dinámico y finalmente (Q):
número de conceptos con software dinámico.
50

Al grupo seleccionado aleatoriamente, se les aplicó una prueba con sus correspondientes indicaciones
metodológicas, quienes respondieron a cada uno de los interrogantes planteados en forma individual.
La idea de este diagnóstico inicial, fue conocer en qué condiciones se encontraban los alumnos que
cursaban por primera vez la asignatura de geometría, y otros que la iban a cursar por segunda vez;
para ello fue necesario caracterizar cuatro variables en condiciones iníciales. La tabla 1 presentada en
la página 5 de la introducción, muestra un porcentaje del 11% del número de respuestas correctas con
software dinámico; es decir, de las 312 respuestas 33 son correctas y 279 incorrectas, el 89% de los
alumnos evaluados coincidían en afirmar que no conocían ningún tipo de software para dar respuesta
a los interrogantes, como se muestra en la (figura 4):
Figura 4: Descripción de procedimientos en condiciones iniciales.
La encuesta aplicada, a los alumnos de séptimo semestre de las carreras de ingeniería, para
determinar el uso de software dinámico en el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje de la
geometría, coincidió en un alto porcentaje de frustración en la asimilación de los contenidos. La mayor
parte de ellos recurrieron al abandono o cancelación directa de la asignatura, debido a que la
universidad ‘’brinda al alumno la oportunidad”, de cancelar asignaturas antes de presentar el tercer
parcial. Como docente de geometría de la universidad, vinculado a la planta docente en el año 2006,
se observó que el 80% de los alumnos de primer semestre de las carreras de ingeniería cancelaban
geometría en el segundo corte, por esta razón fue necesario, indagar aspectos relacionados con: plan
de estudios(ver Anexo 6), para analizar las asignaturas que eran prerrequisitos de geometría, las tesis
de grado de los egresados en las carreras de ingeniería y una encuesta sobre el impacto del software
dinámico en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría aplicada a los docentes de la
facultad de ciencias básicas (ver Anexo 7). Las respuestas coincidieron con las respuestas dada por
51

los alumnos en cuanto a la poca utilización de los recursos informáticos en las clases de matemática,
principalmente en geometría.
En el plan de estudios de las carreras de ingeniería de la Universidad del Norte, se observó que el uso
de las nuevas tecnologías en el proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática es limitado,
hasta tal punto que hay docentes de matemáticos, que a pesar de existir un laboratorio de
matemáticas, están en contra de utilizar los recursos informáticos como una herramienta alternativa
para apoyar y mejorar los resultados de este curso. Esta apatía se debe en gran parte a que algunos
docentes desconocen la existencia de software educativo, y aunque los conocen se abstienen de
emplearlos. Los que asumen esta posición enfatizan que los “recursos informáticos son una pérdida de
tiempo”, le dan más importancia al desarrollo algorítmico mediante utilización de fórmulas, que a la
representación gráfica y dinámica del problema, tal como se aprecia en la parcelación de geometría en
las carreras de ingeniería de la institución y los resultados de las encuestas dada por los alumnos de
séptimo semestre de ingeniería (ver Anexo 8). Por esta razón, la tecnología no se incluye en los
contenidos programáticos de esta asignatura; según propuestas planteadas por las directivas. En un
futuro, la geometría, será una electiva más en todas las carreras de ingeniería; es decir, es opcional
para los alumnos de ingeniería.
Con respecto al índice de inscripción de proyectos de grado en ingeniería relacionados con el uso de
software dinámico hay pocos. El mayor número de egresados, hicieron su trabajo de grado en la parte
laboral y empresarial, lo que permitió concluir que:
1) El ingeniero egresado de la Universidad del Norte, está preparado para hacer parte de la planta de
personal de las compañías existentes en Colombia, tales como el SERREJON, MONOMEROS
COLOMBO VENEZOLANO, entre otras. La mayor parte de los alumnos de décimo semestre, hacen
sus prácticas en estas compañías durante un año, el 60% de los ingenieros son contratados por estas
compañías, el 30% de los egresados se dedican en asesorar y administrar empresas de equipos y
52

maquinarias pesadas, en algunos casos el 10%, se desempeña como docente en instituciones
educativas de carácter formal e informal y manifiestan poco interés que en sus trabajos de tesis se
incluyan las tecnologías del software dinámico, y de esta manera mejorar el proceso de enseñanza
aprendizaje de la matemática en ingeniería (ver Anexo 4).
2) El retiro de las asignaturas afines con la matemática, permite que la mayor parte de los alumnos
de último semestre de ingeniería, no terminen con éxito todas las asignaturas en el tiempo estipulado,
y en algunos casos lo hacen aquellos alumnos que fueron becados por su rendimiento académico.
Se llevó a cabo una encuesta (ver Anexo 8) a la población total de séptimo semestre del programa de
ingeniería en el primer semestre del año 2007 –en total 80 alumnos-, próximos a definir su trabajo de
grado con las siguientes conclusiones:
a) El 80% a pesar de conocer los software, no saben utilizarlos en su trabajo de grado.
b) El 90% desconoce la existencia de las líneas de investigación relacionadas con los recursos
informáticos en los proceso de enseñanza aprendizaje de la matemática, lo que repercute
negativamente cualquier criterio a tener en cuenta para su trabajo de grado.
Se puede inferir que, en términos generales, los alumnos a pesar de conocer el software dinámico, no
saben cómo funciona cada una de las ventanas y comandos incorporados en cada programa para la
resolución de problemas matemáticos, porque:
1) No existe un enfoque interdisciplinario de los contenidos de geometría con la génesis instrumental
mediante el uso de software dinámico en la construcción de conjeturas.
2) El currículo del programa no se actualiza en correspondencia con los cambios tecnológicos y las
competencias que en este campo le exigen al egresado, por el contrario tiende a desaparecer
asignaturas afines con la matemática, con el fin de suprimir costos.
53

3) ¨La educación en Colombia, principalmente en las escuelas públicas es pésima y por supuesto,
este aspecto negativo repercute en el bajo rendimiento de los alumnos de nivel superior. Aunque
el MEN (Ministerio de Educación Nacional) promueva políticas para mejorar la educación, sucede
lo contrario en las aulas escolares” (Santos, J. 2010) 61
4) Por otra parte la incorporación de cualquier tipo de software, para estudiar cálculo, ecuaciones
diferenciales, álgebra lineal, geometría entre otras asignaturas de ingeniería, les es indiferente, en
casos muy extremos algunos profesores aceptan que los alumnos reciban clases de matemáticas
en el laboratorio o manipulen calculadoras gráficas.
5) El alumno no logra conectar los contenidos de la matemática con su perfil profesional, por lo tanto
no se motivan para hacer un trabajo que garantice un desempeño justo y coherente.
6) No se divulga suficientemente el uso de herramientas tecnológicas como una competencia
alternativa para el futuro ingeniero, porque no hay aceptación del docente con este tipo de recurso,
ni la institución se lo exige.
7) No existe un procedimiento heurístico elaborado por los docentes, que motive al alumno en la
solución de problemas, por lo cual no se desarrollan estrategias didácticas mediante software
dinámico que ayuden a mejorar el índice de reprobados en geometría.
Las anteriores afirmaciones encontradas a partir de las encuestas y pruebas realizadas a docentes,
alumnos y egresados de las carreras de ingeniería, fue lo que motivó al autor cumplir con el objetivo, y
responder a la pregunta científica, mediante la construcción de un modelo didáctico que sustenta a un
procedimiento heurístico. En este modelo se argumentan unas categorías teóricas, que fortalecen sus
elementos, como parte de la conjetura operacional. Además, se introduce un indicador de efectividad
que permitió medir un aumento del 20% del total de respuestas correctas, una vez que se implementó
el software dinámico Cabrí.
61 Santos, J. (2010): Informe presidencial sobre la calidad de la educación en Colombia según exámenes
internacionales.Revista premio compartir al maestro MEN. Bogotá diciembre 12.
54

2.2 Diseño del modelo didáctico de conjetura operacional a partir de la relación que hay entre
el software dinámico y la génesis instrumental.
Al consultar, las distintas fuentes bibliográficas que relacionan la enseñanza-aprendizaje de la
geometría con tecnología, no se encontró un trabajo específico, que incorpore el uso de software
dinámico en carreras de ingenierías. La experiencia docente, la dirección de un grupo de investigación
en didáctica de la matemática con tecnología categorizado por COLCIENCIAS (Corporación
Colombiana de Ciencia y Tecnología), y la participación activa del autor en los diferentes congresos
nacionales e internacionales (ver Anexo 3) comprometidos con la disciplina, generó interés para hacer
este trabajo de investigación relacionado con el diseño del modelo y el procedimiento heurístico con su
respectivo indicador de efectividad.
Es necesario comenzar este epígrafe con la siguiente interrogación ¿Qué se entiende por modelo de
forma general?
Diferentes estudios de reconocidos expertos en la disciplina revelan una gran cantidad de rasgos así
como una amplia tipología relacionados con la explicación de un modelo didáctico. Sin lugar a dudas,
los trabajos de investigación deben ser coherentes y precisos con el tema de estudio, y en este
sentido, es necesario fundamentar qué posición se debe tomar al respecto.
Los estudios realizados muestran, en su mayoría, que entre los rasgos más importantes de los
modelos están aquellos que los relacionan con una teoría, e incluso la representación de un objeto,
proceso o fenómeno; su carácter de sistema y su objetivo de predicción. Son estos los rasgos que le
permiten representar teóricamente lo más exactamente posible a la realidad que pretenden
transformar y vincular con un tema de investigación.
Aunque existan gran variedad de modelos, que parezcan coherentes y explícitos a simple vista, hay
casos donde se contradicen entre sí. Sin embargo, se considera pertinente la siguiente afirmación:
“por modelo se entiende un sistema concebido mentalmente o realizado de forma material, que,
55

eflejado o al reproducir el objeto de investigación, es capaz de sustituirlo de modo que su estudio nos
dé nueva información sobre dicho objeto” 62 .
Representar una realidad, a través de un modelo didáctico, exige una amplia preparación del docente,
que a través del diseño de la actividad logra conectar los contenidos y recursos en el proceso
enseñanza aprendizaje, en este caso de la geometría. Otros puntos de vista apuntan a la formación
integral del alumno. Es decir, a pesar de existir una intención en los modelos para mejorar los
procesos, difieren en el concepto unificado. “Un modelo didáctico es una concepción sistemática que,
en el plano de la enseñanza-aprendizaje, estructuran una determinada práctica dentro del proceso
docente educativo, para incidir en la formación integral de la personalidad del alumno” (Sigarreta, p. 78
Citado en Escalona, p. 66) 63
Rodríguez, G. Juana, M. et al. (2002) coherentemente, coinciden que los modelos didácticos, se basan
en la “construcción teórico formal que basada en supuestos científicos e ideológicos pretende
interpretar la realidad escolar y dirigirla hacia determinados fines educativos” 64 .
Según Cruz, M. (2010) asume que “el modelo didáctico es una abstracción del objeto de
investigación, mediante el cual, se identifican los componentes y relaciones que son esenciales” 65 ,
como pedagogo de las ciencias exactas y manifiesta que la matemática es una actividad humana y por
tanto el alumno la aprende en un proceso continuo en la formulación de hipótesis y resolución de
problemas; esta es la posición epistémica que no rechaza el corpus de conocimiento como parte de
esta ciencia, sino que involucra la abstracción del proceso como un medio didáctico.
62 Miller, J. (1998): The psychology mathematical. Princeton the University Press, Princeton.
63Escalona R., M. (2007): El uso de recursos informáticos para favorecer la integración de contenidos en el área de ciencias
exactas del preuniversitario. Tesis presentada en opción al grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas. Instituto
Superior Pedagógico José de la Luz y Caballero, Holguín:15-27.
64Rodríguez, M. Juana, M. et al. (1996): Perspectivas teórico educativas en la formación de maestros: Revista
interuniversitaria de formación del profesorado, 27, 141-147.
65Cruz, M. (2010): Definición de modelo didáctico; Holguín, Cuba.
56

La primera definición tiene relación directa entre el modelo y la realidad, se aprecia una organización
de la actividad; pero se queda en que esta representación sólo permite evaluar la misma concepción
teórica. La segunda definición, se va más allá de la estructuración práctica, pues considera la meta
para ser alcanzada. Otros autores especifican, que “el modelo didáctico va dirigido a un determinado
fin, en términos generales, las definiciones anteriores permiten asumir que ningún conocimiento es
absoluto en el tiempo, sino relativo de acuerdo a su momento histórico” 66 .
Los modelos didácticos están estrechamente vinculados con el proceso de enseñanza aprendizaje de
las Ciencias Pedagógicas, cada uno con cierto interés particular en las respectivas modalidades del
investigador, por ejemplo, el autor asume una posición de modelo didáctico que tenga coherencia y
fundamento con la enseñanza-aprendizaje de la matemática, particularmente con la geometría en
carreras de ingeniería, por lo que una vez más se asume que: ¨Un modelo didáctico es una
abstracción del proceso de enseñanza-aprendizaje que se ajusta a cualquier tipo de ciencia, que
acepta los marcos referenciales de la didáctica y la pedagogía o parte de este, que fundamentado
teóricamente permite interpretarlo y establecer nuevas relaciones en función de lograr perfeccionar
dicho proceso¨.
A lo largo del último siglo han sido varias las corrientes y los modelos teóricos que han aportado sus
descubrimientos e investigaciones para explicar el fenómeno del cambio en el individuo desde la
didáctica general, la psicología y la didáctica de la matemática. En general cada uno de estos modelos
tiene sus propias explicaciones, a veces contradictorias a las que se presentan desde otras teorías.
Esa diversidad de paradigmas explicativos enriquece la comprensión del fenómeno en desarrollo y
permite comprender y ajustar las ideas de conjetura operacional. Como más significativos entre estos
modelos es necesario citar el psicoanálisis, la psicología genética de Piaget, el modelo socio-cultural
66Jiménez, B. (1989): Modelos didácticos para la innovación educativa. Barcelona: PPU.
57

de Vygotsky, las teorías del aprendizaje, el modelo del procesamiento de la información, y más
recientemente, el modelo etnológico.
Según Erickson, E. (2007) 67 hay una serie de tareas implícitas en el desarrollo del ser humano, propias
de las sucesivas etapas. Estas tareas son, en gran parte, impuestas por la sociedad y la cultura. A
través del proceso de socialización, el cumplir estas tareas llega a convertirse en una aspiración del
propio individuo, marcando definitivamente su proceder en determinados momentos de su vida.
Al considerar los argumentos que apuntan directamente sobre modelos y en especial los didácticos, se
pasa a la explicación del Modelo Didáctico de Conjetura Operacional que permite sintetizar los
fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría como antecedentes y/o
estado del arte son analizados y criticados científicamente en el capítulo 1. El mismo está dirigido a los
estudiantes de ingeniería y presenta las dimensiones teóricas que deben considerarse en el proceso
de enseñanza aprendizaje de la geometría para que mediante el uso de software dinámico y a través
de la génesis instrumental medien como los elementos que van a crear las condiciones que permitan
la generación de conjeturas.
El modelo consta de cinco momentos fundamentales interrelacionados entre sí: fundamentos teóricos
del proceso de enseñanza aprendizaje de la Geometría comoprimer momento, en el segundo
momento se encuentra el diagnóstico que incluye al software dinámico en las condiciones iniciales y
finales; el tercer momento se relaciona directamente con el segundo, pues la génesis instrumental
vincula al software dinámico en sus dos procesos: la instrumentalización permite explorar cada
comando del software con los conocimientos previos del estudiante, mientras que en el proceso de
instrumentación tiene que ver con la aplicación práctica del comando en la solución de un problema.
Los elementos mediadores constituyen el cuarto momento, los cuales son factores que integran la
conjetura operacional o modelo didáctico y la instrumentación en la práctica como el quinto momento.
67 Ericsson, E. (2008): Identidad, Juventud y Crisis. Ed. Paidos, Buenos Aires. 54-62.
58

La conjetura operacional surge a partir de la integración de elementos sistematizados en la
fundamentación teórica, en los que descansa la resolución de problema como soporte didáctico y
metodológico, la mediación instrumental hace parte de los niveles cognitivos de aprendizaje a través
de los recursos informáticos, en este caso el software dinámico.
Al hablar de condiciones iníciales y finales, en ambos subyace el resultado de un diagnóstico que
involucra el uso del software dinámico, formado por dos categorías, las condiciones iníciales antes de
aplicar software, las cuales permiten caracterizar cuatro variables para valorar el conocimiento de los
estudiantes respecto a la geometría y las condiciones finales después de aplicar el software que a
través del indicador de efectividad garantizó el aumento del 20% del total de respuestas correctas en
la compresión de problemas geométricos. El principio de mediación instrumental, motivación
profesional, la flexibilidad, fluidez asociativa y fluidez figurativa, son los factores que integran la
conjetura operacional para darle sentido y solución al problema. El modelo relaciona directamente a
los estudiantes de ingeniería de la Universidad del Norte de Barranquilla Colombia y presenta los
referentes teóricos, que favorecen el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría a través de
un IECO (Indicador de Efectividad de la Conjetura Operacional) sin precedente en estudios anteriores.
El IECO integrado con el procedimiento heurístico, constituyen la parte final del modelo; es decir, la
implementación práctica.
Se entiende por referentes teóricos los fundamentos científicos que sustentan este modelo, creados a
partir de la propia contradicción que genera el problema, sobre la base del estudio epistemológico
del objeto y del campo de acción de esta investigación; así como del proceso de diagnóstico, que en
ella se realiza. Los fundamentos teóricos son resultado de profundas reflexiones y su concepción se
presenta en la relación dialéctica de la teoría con la práctica. Los estudios realizados en los epígrafes
anteriores están dirigidos a crear las condiciones para determinar estos referentes, los cuales son los
siguientes:
59

El enfoque sistémico del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de
ingeniería.
La integración del software dinámico con la teoría de la génesis instrumental como base del
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería.
La utilización de métodos y procedimientos que estimulen el desarrollo del pensamiento científico y
la solución de problemas y situaciones de la realidad a través del uso de los recursos informáticos
como mediadores.
La relación de los recursos informáticos con los componentes de la didáctica.
2.3 Estructura formal del modelo didáctico conjetura operacional.
La estructura formal del modelo didáctico incluye: premisas, elementos dinamizadores y fases.
2.3.1 Premisas.
En el contexto de esta investigación se entiende por premisa los fundamentos teóricos sistematizados
en los epígrafes anteriores que sirven de base al modelo. Las premisas son: los referentes teóricos en
el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría desde la perspectiva de las ciencias y la
resolución de problemas geométricos mediante el uso de software dinámico, las que en el contexto de
esta investigación se constituyen en los fundamentos teóricos sistematizados en el capítulo anterior y
que sirven de base al modelo; aunque estos temas han sido tratados en el primer capítulo y de forma
general en los demás, su condición de premisas obliga a un resumen teórico de los mismos:
a) Referentes teóricos en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría desde la
perspectiva de las ciencias.
Se entiende por referentes teóricos los fundamentos científicos que sustentan este modelo,
creados a partir de la propia contradicción que genera el problema, y sobre la base del
estudio epistemológico del objeto y del campo de acción de esta investigación; así como del
60

proceso de diagnóstico, que en ella se realizó, los referentes teóricos son resultado de profundas
reflexiones y su concepción se presenta en la relación dialéctica de la teoría con la práctica; Los
estudios realizados en los epígrafes anteriores están dirigidos a crear las condiciones para
determinar estos referentes, los cuales son los siguientes:
El uso de software dinámico en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría desde la
perspectiva de las ciencias.
Resolución de problemas geométricos mediante el uso de software dinámico.
Elementos que caracterizan una conjetura operacional
La utilización de medios y procedimientos que estimulen el desarrollo del pensamiento
científico y la solución de problemas y situaciones de la realidad a través del uso software
dinámico y la génesis instrumental, teoría que refuerza a los elementos mediadores.
A continuación se explica cómo funcionan estos referentes teóricos en el contexto del modelo.
El uso de software dinámico en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría desde la
perspectiva de las ciencias e integrar el mismo, con enfoques unilaterales, en los contenidos
programáticos de geometría resultan en extremo peligrosos. Debe existir un balance entre contenido
con los medios de enseñanza y los fenómenos y procesos objetos de estudio puesto, cuestión esta
que pudiera descuidarse. En el modelo se refrenda la asunción de un enfoque multilateral de estos
criterios que propugna que las relaciones que se realicen en el marco de las actividades que se
programen para los alumnos y de la organización, deben ser de carácter epistémico y reflejar la
esencia y reciprocidad de los contenidos. El software dinámico a través del principio de génesis
instrumental tomado como parte del modelo, potencia el proceso de enseñanza aprendizaje de la
geometría la cual está dirigida a favorecer el enfoque sistémico a partir de los elementos mediadores.
Considerar la resolución de problemas mediante el uso de software dinámico como referente teórico,
en el desarrollo del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, significa un cambio en la
61

forma de pensar frente a todas las problemáticas del conocimiento, presupone un cuadro explicativo
de la realidad en su conjunto, sustentado en el establecimiento de nexos comunes, relaciones nuevas,
generadoras de nuevos procedimientos lógicos, que garanticen la búsqueda integrada de información
al abordar un contenido determinado mediante la misma conjetura operacional, lo que hace diferente
el proceso de enseñanza. La concepción de la resolución de problemas, como referente teórico del
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, dinamiza las relaciones que se pueden establecer
entre las diferentes disciplinas del área y de estas con los recursos tecnológicos en la solución de
problemas propios de la enseñanza, y se contextualiza de la misma manera en que se comprende la
esencia de cada contenido estudiado en un marco más integrador, por lo que a su vez se convierte en
un elemento esencial que compromete e involucra a los sujetos en la apropiación activa de
conocimientos, valores, hábitos y formas de actuar en la construcción y justificación de conjeturas.
2.3.2 Elementos dinamizadores.
En el modelo didáctico propuesto se entienden como elementos dinamizadores los componentes
teóricos que parten de la sistematización de los contenidos científicos existentes, enriquecidos o
creados por el autor, que mueven el modelo y constituyen elementos transversales. Dichos elementos
transversalesson los siguientes: la mediación y la motivación como vías para acercar a los alumnos a
mejorar su aprendizaje de la geometría.
a) Mediación: este elemento transversal permitió en el proceso de investigación, mediar en el
conocimiento de los alumnos, una vez que interactuaron con el software dinámico para resolver
las dificultades presentadas en el diagnóstico inicial; es decir, el aporte científico estuvo presente
en el acto cognitivo mediado por el software dinámico.
b) Motivación: como tendencia orientadora de la personalidad debe expresarse en el alumno a
través del conocimiento de los conceptos básicos de la geometría, de su objetivo como
62

profesional, de su responsabilidad en la solución de problemas sociales, su área de investigación,
así como el de establecer un vínculo afectivo con la tecnología.
La transversalidad en el contexto del modelo supera ampliamente el límite de la enseñanza
aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería, al incluir la flexibilidad, la fluidez figurativa y
asociativa en la construcción y justificación de conjeturas mediante el uso de software dinámico en la
resolución de problemas geométricos.
2.3.3 Fases del Modelo.
Una vez descritas y resumidas las premisas y los elementos dinamizadores, se realizó la valoración de
las distintas fases que conforman el modelo, el cual, se dividen en cinco, la primera fase incluye los
fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, un momento esencial en
la construcción del modelo didáctico es la determinación de la fase interna de la contradicción. A este
nivel se pudo llegar como culminación del proceso ya iniciado en el diseño con la contradicción
externa, a partir de la cual se pudo penetrar en niveles esenciales, gracias al estudio epistémico y al
diagnóstico realizado, la contradicción interna se determinó entre la comprensión de problemas de la
geometría y la respuesta de los mismos; la segunda fase contiene el diagnóstico que emerge de la
caracterización de variables que fueron valoradas analítica y cuantitativamente en el diagnóstico inicial
y final, la tercera fase corresponde al proceso de resolución de la contradicción, se logra en el
desenvolvimiento del software a través de la génesis instrumental, en la cual se hace presente el
elemento mediador que dinamiza el proceso y permite transformarla y así elevar la misma a un plano
superior, tendiente a la solución del problema lo que la convierte en una alternativa de validación de la
hipótesis planteada, la cuarta fase corresponde a los elementos mediadores: la mediación
instrumental, motivación profesional, el principio de flexibilidad, fluidez asociativa y fluidez figurativa.
Estos elementos asocian la categoría de visualización y el dinamismo del objeto geométrico para
plantear, organizar y validar matemáticamente una conjetura. Finalmente la concreción en la práctica
63

es la que dinamiza el modelo través de un procedimiento con las indicaciones correspondientes, dadas
a través de un conjunto de actividades elaboradas con objetivos, indicaciones generales, etapas,
acciones y/o preguntas que en síntesis, son los elementos necesarios del procedimiento heurístico
para la construcción de la conjetura operacional, validado por el IECO (Indicador de Efectividad de la
Conjetura Operacional)
Primera fase: fundamentos epistemológicos, psicológicos y pedagógicos, permiten revelar las
contradicciones fuera del modelo, las mismas se revelaron en el estudio diagnóstico, que constituye el
segundo momento del modelo, el cual se inició desde el diseño, que permitió conocer el estado actual
del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería de la Universidad del
Norte y continúa valorando los cambios que favorecen la potenciación de la contradicción como medio
de desarrollo. Un momento esencial en la construcción del modelo didáctico es la determinación de la
fase interna de la contradicción, a este nivel se pudo llegar como culminación del proceso ya iniciado
en el diseño con la contradicción en su fase externa, a partir de la cual se pudo penetrar en niveles
esenciales, gracias al estudio epistémico y al diagnóstico realizado en condiciones iníciales y finales.
Dicha fase interna se determinó entre las relaciones de los procesos de enseñanza aprendizaje de la
geometría con papel y lápiz y el uso de software dinámico. En otras palabras, las relaciones en
ambientes de papel y lápiz son externos y formales, lo que no favorece la conceptualización de los
mismos en ambiente dinámico; lo cual, impide la formación de un cuadro multilateral de los fenómenos
y procesos propios de la geometría. Determinada la contradicción interna se puede pasar a un
momento esencial, que contiene la solución teórica de la contradicción y su potenciación generadora
del desarrollo; el cual se denominó resolución, en las que estuvo presente la teoría de la génesis
sustentada en el software dinámico.
Segunda fase: diagnóstico que emerge de la caracterización de variables en condiciones iníciales y
condiciones finales,en esta fase se detectan las insuficiencias de los alumnos en cuanto a
64

conocimientos básicos de la geometría, su realización y análisis permitió conocer el estado actual de la
situación existente respecto al interés de los alumnos de ingeniería por la incorporación de recursos
informáticos en las clases de geometría y continúa valorando los cambios que favorecen la
potenciación de la contradicción como medio de desarrollo. El diagnóstico considera, además, los
cambios curriculares con respecto a los contenidos de geometría e invita a incluir en los planes de
estudio el uso de cualquier software para favorecer el proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática en general.
Durante el transcurso de su formación, el alumno de ingeniería se prepara para presentar su proyecto
de grado que incluya recursos tecnológicos en la recolección de datos, pero se limita al uso de
recursos tradicionales y no transciende al desarrollo de un software que le permita desarrollar sus
competencias en su carrera profesional.
En esta investigación la contradicción en su fase interna se manifiesta entre la comprensión de
problemas de la geometría sintética y los resultados de los mismos dentro del proceso de enseñanza-
aprendizaje de la geometría. Los planes de estudio académicos de la Universidad del Norte favorecen
la programación convencional y minimizan o no contemplan los contenidos de la geometría dinámica.
Esta situación se refleja, entre otras, en la pobre bibliografía, falta de publicaciones en esta línea, poca
credibilidad de los docentes para impartir sus clases de matemáticas en los laboratorios existentes.
Esto conlleva a que en los alumnos no se forme una necesidad de apropiarse de un recurso
tecnológico que le permita superar algunas deficiencias conceptuales en geometría y cuando se le
habla del software dinámico no le resulta significativa, porque no sabe qué es ni para qué sirve. Por lo
anterior, ante tal desconocimiento de los recursos tecnológicos en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría, el alumno no tiene motivos para construir y justificar sus conjeturas con
software dinámico. Pero, según el planteamiento de esta investigación, en la medida que este tenga
65

acceso a los recursos informáticos, a través de un proceso dinámico y flexible, y pueda experimentar y
justificar sus conjeturas, debe ocurrir un cambio de mentalidad en los futuros ingenieros.
Tercera fase: el desenvolvimiento del software dinámico a través de la génesis instrumental y el
proceso de resolución de la contradicción, en la cual se hace presente el elemento mediador que
dinamiza el proceso y permite transformarla y así elevar la misma a un plano superior, tendiente a la
solución del problema lo que la convierte en una alternativa de validación de la hipótesis planteada. En
esta investigación este elemento se concibe en base a una serie de situaciones de enseñanza
aprendizaje, con motivación hacia la geometría en carreras de ingeniería que hacen parte esencial de
unos factores que integran la conjetura operacional. Estos factores como expresión dinámica y flexible
del proceso de enseñanza-aprendizaje de la geometría, permiten superar los estrechos límites en que
ha sido concebida y reducida la formación del ingeniero, en cuanto al uso de software dinámico, y
lograr una condición superior de flexibilidad y fluidez en la resolución de problemas. El análisis de los
requerimientos anteriores permite identificar las necesidades de formación, en cuanto a los contenidos
que deben apropiarse los alumnos sobre el uso de software dinámico para el perfeccionamiento del
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería
Guin y Trouche (1999) mencionan que la Génesis Instrumentales la conversión de un artefacto en un
instrumento es un proceso complejo (no es un acto), que depende de las características del artefacto
(sus restricciones y funcionalidades) y de la actividad del sujeto, sus conocimientos y métodos previos
de trabajo;detrás de las dificultades de los profesores y de las deficiencias de uso de los alumnos, está
un importante proceso cognitivo-didáctico. La transformación de una herramienta técnica en un
instrumento para el trabajo matemático, de la observación, constatación y análisis preliminar de todos
estos fenómenos didácticos, se desprende la necesidad de arribar a un entendimiento más profundo
del papel que juegan los instrumentos.
66

Figura 6: Representación gráfica de la génesis
La diferencia entre artefacto e instrumento, un artefacto es un objeto material o abstracto, destinado a
dar sustento a la actividad del hombre en la ejecución de un cierto tipo de tarea; un instrumento es lo
que un sujeto construye a partir del artefacto.
Componentes de la génesis: el proceso de instrumentalización, aquí el alumno tiene la oportunidad
de explorar las potencialidades del software, recurrir al arrastre para dinamizar e interpretar figuras
geométricas con procedimientos algorítmicos en la resolución de un problema, los expertos afirman
que cuando el alumno logra relacionar un problema geométrico con las potencialidades del artefacto,
adaptarlo con su nivel cognitivo y cognoscitivo ha pasado al proceso de instrumentación el cual, se
encuentra estrechamente relacionado con su conducta. Los dos componentes que hacen parte del
sistema complejo de la génesis instrumental relacionan directamente los elementos mediadores que
proporcionan los factores que hacen posible la construcción de la conjetura operacional.
Según White, R. (1999) la mediación instrumental de los recursos informáticos, se entiende por el acto
cognitivo mediado por el instrumento material o simbólico, en este caso el principio de mediación lo
originó Cabrí; el diseño de actividades donde el alumno actuó, participó, construyó y descubrió el
conocimiento mediante su interacción con el software dinámico; favoreció su aprendizaje a través del
trabajo tanto individual como en grupo. La función principal de este elemento es favorecer al alumno a
descubrir las principales relaciones, que se dan cuando resuelven un problema a través del
instrumento y compara el concepto solución con papel y lápiz.
Para concluir la tercera fase del modelo con la mediación instrumental y los resultados sistematizados
mediante el uso de software dinámico, por cada uno de los alumnos, fue necesario indagar aspectos
67

elacionados con el principio de flexibilidad planteado por Soto; R. (2008). Dicho principio facilita o
sirve de puente entre alumno y profesor para escuchar e interpretar una idea que se quiere mostrar; se
cumple con este principio cuando al resultado geométrico con el instrumento que se quiere mostrar;
tiene como finalidad explicar los resultados presentados por cada alumno en las secciones de trabajo,
los cuales fueron vinculado con el convencimiento y la explicación de la pertinencia de algunos de
ellos; así, el planteamiento de conjeturas y los argumentos mediante el recurso técnico, deben apuntar
a mejorar el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría.
Para García, A. (2007) la motivación profesionales el enfoque investigativo cooperativo, permite
motivar a los estudiantes, para que asuman una actitud responsable y coherente con su formación
profesional, y de esta manera el futuro ingeniero se comprometa activamente en el proceso de
enseñanza aprendizaje de las matemáticas mediante el uso de los recursos informáticos. De esta
forma adquieran un aprendizaje cooperativo y significativo en cada una de las etapas de su formación
profesional; además, adquieran un compromiso con la sociedad que les permita desempeñarse activa
y productivamente.
Según Daudinot, I. (2003) la fluidez asociativa, otra forma de manifestación de la fluidez, las relaciones
semánticas son lo más importante, las relaciones pueden estimularse no solo mediante impulsos que
exijan asociaciones entre palabras y conceptos; sino también mediante la observación de hechos y
sucesos, los estímulos pueden ser de diversos tipos que exijan establecimiento de sinónimos,
opuestos, analogías, similitudes, metáforas, problemas de semejanza y congruencia entre otros
problemas de la geometría que fueron tenidos en cuenta en cada una de las actividades desarrolladas
a lo largo del estudio.
Daudinot hace mención de la fluidez figurativa, en la que los productos revisten la forma de unidades
que habrá que considerar de forma aislada, el estímulo siempre será una figura básica que le permita
al estudiante visualizar el problema, se debe agregar o sustraer elementos para originar otras figuras,
68

es lo que llaman los expertos encontrar patrones. Es decir, el caso de visualizar el objeto matemático a
través de una figura y lograr relacionar la figura a través de otro problema.
El proceso de solución de la contradicción interna, hace parte del esquema dialéctico de la génesis
instrumental mostrado en la figura 6, no quiere decir que ella desaparezca, es precisamente el cambio
de cualidad para darle forma permanente y presentarla como caracterizadora de nuevos objetos de
estudio o al menos del campo de acción; es decir, son los elementos mediadores que dinamizan el
proceso y permiten transformarla y así elevar la misma a un plano superior, tendiente a la solución del
problema lo que la convierte en una alternativa de validación de la hipótesis planteada.
En este trabajo, el elemento se concibe con base a una serie de situaciones de enseñanza aprendizaje
de la geometría, mediante el uso de software dinámico que hacen parte esencial de un proceso de
construcción, búsqueda de conjeturas y comprobación. Esta construcción como expresión dinámica y
flexible del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras técnicas, permite superar
los estrechos límites en que ha sido concebida y reducida la formación del ingeniero, en cuanto al
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría por métodos de lápiz y papel. Además, logra una
condición superior capaz de ofrecer el sustento necesario para motivar el aprendizaje, mediante un
procedimiento heurístico de Polya, G. (1965) que se basa en un plan o método para resolver
problemas de la geometría y que en este orden Polya menciona:
Comprender el problema, significa encontrar una o varias salidas para dar solución desde una
perspectiva flexible y didáctica a través de la identificación de hipótesis.
1) Determinar los datos, incógnitas y condiciones, son los elementos esenciales para aplicar los
recursos en la búsqueda de la solución o soluciones.
2) Relacionar los datos con las incógnitas mediante las restricciones y/o condiciones, permiten no
solamente resolver el problema, sino encontrar posibles caminos que resuelven otros problemas.
69

3) Resolver el sistema de relaciones establecidas en el paso anterior hace parte de un proceso de
construcción que facilita el perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la geometría
mediante el uso de software dinámico en alumnos de ingeniería.
La comprobación con lápiz y papel, los procesos de enseñanza aprendizaje de toda ciencia, se apoya
principalmente en el primer recurso tecnológico de lápiz y papel, por esta razón, este trabajo de
investigación busca integrar los elementos del software (ventanas, comandos, entre otros) con los
recursos tecnológicos tradicionales. El estudio se apoya en resultados de investigaciones recientes,
donde se analiza el concepto solución que muestran los alumnos, cuando llegan al resultado de un
problema con las nuevas tecnologías y se compara tal razonamiento mediante el uso de papel y lápiz.
Es importante resaltar, que interpretar y comparar un resultado con las dos herramientas, exige de una
preparación conceptual, para que los alumnos pasen de lo abstracto a lo concreto; aunque se
tornadifícil, el alumno lo supera.
Los fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, constituyen la
razón, por el cual, el autor asumió, para hacer el diagnóstico, y en este sentido resolver la
contradicción interna basada en la comprensión de los problemas de la geometría y el resultados de
los mismos; para que se diera esta situación científica, y tomara forma de una conjetura operacional,
fue necesario incluir una categoría relacionada con la génesis instrumental, la cual, contiene dos
procesos: Instrumentalización, cuando el alumno explora los elementos que contiene el instrumento,
pero no logra conectarlos con su nivel cognitivo. En este componente el software dinámico es un
artefacto u objeto material, destinado a dar sustento a la actividad del alumno en la ejecución de un
cierto tipo de tarea; un instrumento es lo que un sujeto construye a partir del artefacto; es decir, es el
proceso de instrumentación relacionado con la conducta del alumno, hay sinergia entre tecnología,
maestro y alumno en la solución de un problema, cuando existe la mediación instrumental, por lo tanto
70

la génesis instrumental, permiten integrar los cinco elementos mediadores, que actúan como factores
integradores.
Los elementos mediadores actúan en conjunto para generar la conjetura operacional, desde el
momento que el software dinámico potencia las variables caracterizadas en condiciones iníciales y la
relacionan con la génesis instrumental, ésta a su vez dinamiza o acciona la conjetura con la mediación
instrumental, puesto que se genera un acto cognitivo mediado por el software, éste a su vez es
flexible, el alumno interactúa con el software, argumenta, pregunta y justifica sus conjeturas con la
asesoría del profesor. En síntesis, la mediación instrumental está relacionada con el diseño de
actividades; de modo que se favorezca su aprendizaje y desarrolle un pensamiento crítico y creativo a
través del trabajo tanto individual como en grupo. La motivación profesional, el enfoque
investigativo-cooperativo, permite motivar a los alumnos, para que asuman una actitud responsable y
coherente con su formación profesional, comprometidos activamente en el proceso de enseñanza
aprendizaje de las matemáticas mediante software dinámico. La flexibilidad, es un elemento
permisible dentro del contexto de construcción y justificación de conjeturas, a través de éste el alumno
tiene la oportunidad de interactuar, no solo con el software, sino con el profesor y compañeros en la
posible solución del problema. En la fluidez asociativa, las relaciones pueden estimularse no solo
mediante impulsos que exijan asociaciones entre palabras y conceptos, sino también mediante la
observación de hechos y sucesos. Finalmente la fluidez figurativa, es la representación gráfica o
figura básica en la solución del problema, integrado todos estos elementos descritos, fortalecen sin
lugar a dudas el modelo que a continuación se muestra en la figura 7:
La cuarta fase constituye la implementación del modelo en la práctico. Para ello se aporta un
procedimiento de conjetura operacional que se explica en este mismo capítulo.
71

FUNDAMENTOS TEÓRICOS DEL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA GEOMETRIA
Condiciones iniciales
antes de aplicar el
software dinámico
Instrumentalización
Mediación instrumental. Todo
acto cognitivo está mediado
por el instrumento
Fluidez figurativa. El
estudiante visualiza
DIAGNÓSTICO
Estado de la enseñanza
aprendizaje de la geometría
Génesis instrumental Instrumentación
Elementos Mediadores
FACTORES QUE
INTEGRANLA
CONJETURA
OPERACIONAL PARA
ESTUDIANTES DE
INGENIERIA
Fluidez asociativa, asociación
del concepto
Figura 7: Representación gráfica del modelo didáctico Conjetura Operacional.
Relaciones que se dan entre los componentes del modelo.
Desde la didáctica general de cualquier materia significa, en palabras de Freudenthal (2001, p 45) 68 , la
organización de los procesos de enseñanza-aprendizaje relevantes para tal materia. Los didactas son
68Freudenthal, H. (1991): Revisiting Mathematics Education. Kluwer Academic Publishers.
72
Motivación profesional
para el futuro ingeniero
IMPLEMENTACIÓN PRÁCTICA
Condiciones finales
después de aplicar el
software dinámico
Flexibilidad en la enseñanza
aprendizaje de la geometría

organizadores, desarrolladores de educación, autores de libros de texto, profesores de toda clase,
incluso los estudiantes que organizan su propio aprendizaje individual o grupal. Para Brousseau, G.
(2008) 69 , la didáctica es la ciencia que se interesa por la producción y comunicación del conocimiento.
Saber qué es lo que se está produciendo en una situación de enseñanza es el objetivo de la didáctica,
desde el punto de vista de la psicología y la didáctica de la matemática, se analiza lo que plantea
Steiner (2005) 70 la complejidad de los problemas planteados en la didáctica de las matemáticas
produce dos reacciones extremas. En la primera están los que afirman que la didáctica de la
matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por lo tanto, la
enseñanza de la matemática es esencialmente un arte. En la segunda postura se encuentran aquellos
que piensan que es posible la existencia de la didáctica como ciencia y reducen la complejidad de los
problemas, seleccionando sólo un aspecto parcial al que atribuyen un peso especial dentro del
conjunto, dando lugar a diferentes definiciones y visiones de la misma. Steiner considera que la
didáctica de la matemática debe tender hacia lo que Piaget denominó transdisciplinariedad lo que
situaría a las investigaciones e innovaciones en didáctica dentro de las interacciones entre las
múltiples disciplinas, (psicología, pedagogía, sociología entre otras sin olvidar a la propia matemática
como disciplina científica) que permiten avanzar en el conocimiento de los problemas planteados.
El enfoque sistémico del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, en carreras de
ingeniería, es parte fundamental de los componentes del modelo que contempla los argumentos
científicos desde la didáctica general, la psicología y la didáctica de la matemática, porque permitió
analizar y argumentar sobre los estudios que relacionan y comprometen directamente el proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de ingeniería de la Universidad del Norte de la
ciudad de Barranquilla; además, compromete a profesores y estudiantes, en la integración del software
dinámico con la teoría de la génesis instrumental, el estudiante durante el desarrollo de la asignatura,
69Brousseau, G. (2008): Fondements et méthodes de la didactique des mathématiques. Recherches en Didactique des
Mathématiques, 7 (2), 33-115.
70Steiner, H.G. (2005):Theory of Mathematics Education: an introduction. For the learning of mathematics, 5 (2), pp. 11-17.
73

no solo reconoce los elementos del software, sino que los aplica en la construcción y justificación de
una conjetura geométrica, se dice entonces que ha pasado de la instrumentalización a la
instrumentación, tal como se observa con el método exhaustivo, aquí consideran las áreas medidas
como expansiones, de tal manera que van cubriendo más y más el área requerida (ver Figura 8)
Figura 8: Paso de la instrumentalización a la instrumentación.
De la dinámica que se da en el modelo se revelan un conjunto de relaciones que se resumen a
continuación:
1. La relación coherente entre la comprensión de problemas de la geometría sintética y sus
resultados mediados por un procedimiento de conjetura operacional sustentado en software
dinámico se constituye en una vía de perfeccionamiento del proceso enseñanza aprendizaje de la
geometría en las carreras de ingenieras.
2. La génesis instrumental es una relación que concretiza la, asociación de las condiciones iniciales
con el proceso de instrumentalización y las condiciones finales con el proceso de instrumentación.
3. La relación sistémica entre motivación profesional, fluidez asociativa, fluidez figurativa, flexibilidad
y mediación instrumental se constituyen en elementos mediadores que facilitan el desarrollo de la
génesis instrumental.
Las relaciones que constituyen la esencia de este modelo, lo caracterizan y lo tipifican por su
operacionalidad y sinergia en cada uno de los momentos que lo integran. Dichas relaciones presentan
74

niveles cada vez más profundos de esencialidad, el desenvolvimiento de las contradicciones reveladas
en los fundamentos epistemológicos, psicológicos y pedagógicos, permitieron crear la relación de los
recursos informáticos con los componentes de la didácticapara caracterizar las variables esenciales
antes y después de utilizar software dinámico en la resolución de problemas.
Al hablar de condiciones iníciales y finales, en ambos subyace el resultado de un diagnóstico, que tuvo
como fin hacer que el estudiante pasara de la instrumentalización al proceso de instrumentación, una
vez que se apropió de éstos conceptos logró relacionarlos con los elementos del software mediante el
ensayo y error. La mayor dificultad mostrada por los estudiantes, para relacionar los conceptos básicos
con el software, fue cuando se les preguntó que describieran el lugar geométrico de un punto respecto
a otro que se mueve. Para ellos activar los comandos 7 y 8 del software dinámico, resultó una tarea
interesante cuando activaron traza y animación, no fue tarea fácil; sin embargo, lograron accionar los
elementos dinamizadores en el cuarto momento para darle forma a un nuevo modelo didáctico o
conjetura operacional a través de la génesis instrumental.
Los cinco elementos mediadores se relacionan implícitamente para constituir las condiciones finales
en la caracterización una vez más de las variables establecidas. La segunda relación se presenta
entre la génesis instrumental como mediadora cognitiva argumento planteado por Guin y Trouche
(1999) y el software dinámico como instrumento que media el proceso de aprendizaje, estas dos
categorías se unen con los elementos que la conforman; es decir, la instrumentalización y la
instrumentación para que emerja la teoría de conjetura operacional con todas las fases que la
conforman, y de esta manera proponer una tercera relación presente en el enfrentamiento entre los
elementos mediadores con la génesis instrumental, desde el principio de mediación instrumental
planteado por (White, R. 1999).La investigación de los problemas vinculados a la motivación
profesional y su orientación fue iniciada en Cuba hace ya algunos años por González, S. (1976) 71 y
71González, S. (1976): Criterios y métodos para el estudio de la motivación. La Habana: Universidad de la Habana; p. 104.
75

González, R. (1983) 72 y continuada hasta el presente por diferentes investigadores. El autor de esta
investigación se adscribe a la definición dada por García, A. (2007) 73 donde plantea que motivación
profesional: “es una formación psicológica que bajo las influencias de los factores sociales se sustenta
en motivos intrínsecos y extrínsecos, determinada por objetivos futuros importantes del individuo
relacionados con una profesión, forma parte de los aspectos esenciales que determinan su actitud
general”, el factor de flexibilidad dado por Soto; R. (2008) 74 , fluidez figurativa y asociativa (Daudinot, I.
2003) se relacionan en cuatro etapas:
En la figura 7 se presenta la práctica como criterio de la verdad y fuente de perfección y
enriquecimiento de la teoría, aunque se encuentra en los límites del modelo; sin embargo, el modelo
presentado en esta tesis, es un sistema constituido por cuatro fases: la primera fase se deriva de los
fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría que soportan este
estudio y que involucra el uso de software dinámico en la resolución de problemas geométricos, a
partir del cual se buscan niveles, cada vez más esenciales, de dicha aplicación. La segunda fase
contempla el diagnóstico que emerge de la caracterización de cuatro variables establecidas en las
condiciones iníciales, y que se mantienen durante el proceso de implementación del software dinámico
para conocer las condiciones finales, la tercera fase permite conocer el desenvolvimiento del uso del
software a través de la génesis instrumental como vía de solución de la contradicción interna, la
cuarta fase son los elementos mediadores que integran la conjetura operacional. La concreción
práctica, se rige por un procedimiento heurístico con su respectivo indicador de efectividad que
garantiza el nivel de aprovechamiento de los estudiantes con software dinámico, cabe señalar que el
procedimiento heurístico presenta las correspondientes indicaciones metodológicas de cómo aplicar y
desarrollar las actividades con software, las cuales contienen objetivos, indicaciones generales,
72González, R. (1986): Psicología. Principios y categorías. La Habana: Editorial Ciencias Sociales; p. 122.
73 García, A. (2007): Estrategia escolar para la reafirmación profesional del Bachiller Técnico en Agronomía en formación.
La Habana: Editorial Ciencias Sociales; 1989. p. 76.
74 Soto, R. (2008): Propuesta para un modelo curricular flexible. Universidad Autónoma de Baja California. Pp. 45-56.
76

etapas, acciones y preguntas.
A fin de argumentar la naturaleza sistémica del objeto estudiado, fue conveniente seguir los criterios
del enfoque de sistema, particularmente la sinergia que es la propiedad de alcanzar cualidades que
son resultado de la integración de los procesos y no presentes en los mismos por separados, que en el
sistema elaborado. En el modelo propuesto la sinergia se presenta en la relación armónica de
componentes y relaciones presentes en los cinco subsistemas, las características que emergen en el
modelo se explican desde la teoría de la génesis instrumental. Los componentes mediación
instrumental y motivación profesional entran en interacción desequilibrando el sistema, es decir, la
mediación instrumental como acto cognitivo mediado por un instrumento material o simbólico posibilita
mayores niveles de comprensión del objeto matemático; lo cual propicia un mejor desarrollo de la
motivación profesional, al ver las nuevas características del mismo, esta situación es lo que se
denomina la entropía del sistema.
El factor de flexibilidad, la fluidez asociativa y la fluidez figurativa están presentes en la construcción de
la conjetura; es decir, se logra la estabilidad del sistema, pues la primera tiene la facultad de asociar
un conjunto de elementos con el objeto matemático modelado con software dinámico, de esta manera
se muestran muchas más características de dicho objeto, que cuando se representan con lápiz y
papel; mientras que la segunda, a partir de lo anterior, producto de los elementos que le facilita el
instrumento llega a niveles más profundos en la comprensión de la situación presentada, lo cual le
devuelve la estabilidad o el equilibrio al sistema, conocido como la homeostasis del sistema. Esta
interrelación entre la entropía y la homeostasis del sistema, es decir, la interrelación entre los
componentes que desequilibran al sistema con los que le dan equilibrio, propician el auto desarrollo
del mismo, conocido como la autopoiesis del sistema. Como se muestra, estos componentes tienen
una misma naturaleza y en su interrelación provocan el desarrollo del sistema, el cual está relacionado
con otros sistemas de orden superior o inferior, lo que se constituye en la recursividad del mismo.
77

La utilización de métodos y procedimientos que estimulen el desarrollo del pensamiento científico y la
solución de problemas y situaciones de la realidad a través del uso software dinámico y la génesis
instrumental como mediadores, constituyen la pieza fundamental en el proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría, debe situarse en primer plano el desarrollo de métodos y procedimientos
que activen el pensamiento, que conviertan la actividad de aprender, de la búsqueda del nuevo
conocimiento en algo placentero, estimulante y motivador; de esta forma el que aprende se convierte
en elemento activo de su propia transformación, a la vez que desaparece el aprendizaje memorístico y
su lugar es ocupado por un aprendizaje creativo e innovador.
2.4 Procedimiento para la implementación y evaluación del modelo en la práctica.
El procedimiento fue la forma escogida por el investigador para la implementación y evaluación del
modelo en la práctica; además, permitió la organización de las actividades a desarrollar en
dependencia de las características del entorno en que se aplicó.
He aquí algunas concepciones epistemológicas que definen los procedimientos heurísticos y que
permiten identificar algunas pautas, para evaluar el modelo didáctico. Según Müller,H. (2002): ¨Los
procedimientos heurísticos son formas de trabajo y de pensamiento que apoyan la realización
consciente de actividades mentales exigentes¨. Los procedimientos heurísticos como método científico
pueden dividirse en principios, reglas y estrategias.
Principios Heurísticos: constituyen sugerencias para encontrar (directamente) la idea de solución;
posibilita determinar, por tanto, a la vez, los medios y la vía de solución, dentro de estos principios
se destacan la analogía y la reducción.
Reglas Heurísticas: actúan como impulsos generales dentro del proceso de búsqueda y ayudan a
encontrar, especialmente, los medios para resolver los problemas, las reglas heurísticas que más
se emplean son:
78

Separar lo dado de lo buscado.
Confeccionar figuras de análisis: esquemas, tablas, mapas, etc.
Representar magnitudes dadas y buscadas con variables.
Determinar si se tienen fórmulas adecuadas.
Utilizar números (estructuras más simples) en lugar de datos.
Reformular el problema.
Estrategias Heurísticas: se comportan como recursos organizativos del proceso de resolución,
que contribuyen especialmente a determinar la vía de solución del problema abordado, existen dos
estrategias:
1. El trabajo hacia adelante: se parte de lo dado para realizar las reflexiones que han de conducir
a la solución del problema.
2. El trabajo hacia atrás: se examina primeramente lo que se busca y, se apoya de los
conocimientos que se tienen, se analizan posibles resultados intermedios de lo que se puede
deducir lo buscado, hasta llegar a lo que se quiere.
Por estrategia, entre otras definiciones, se entiende “un sistema dinámico y flexible de actividades que
se ejecuta de manera gradual y escalonada, permite una evolución sistemática en la que intervienen
de forma activa todos los participantes se hace énfasis, no solo en los resultados sino también, en el
desarrollo procesal” (Márquez, 1999, p. 23 citado por Sánchez, 2004). La misma está integrada por un
conjunto de elementos entre los que aparecen: objetivo, análisis estratégico, misión, visión, grupos
implicados, escenarios y direcciones estratégicas.
El objetivo de la estrategia como parte del procedimiento, es la aplicación de la conjetura operacional
o modelo didáctico en la práctica, para perfeccionar el proceso de enseñanza aprendizaje de la
geometría en carreras de ingeniería a partir de la utilización de software dinámico como parte
fundamental de los elementos mediadores, para el cumplimiento del objetivo es necesario integran
79

cada una de las fases del modelo y las funciones que cumplen en la aplicación del procedimiento, por
lo que se realiza un análisis estratégico mediante el indicador de efectividad que permite
determinar las condiciones iníciales y finales en el diagnóstico a través de la ecuación IECO =
C
X
C
Y C
Z
C
4
Q
, esta ecuación garantiza el aumento porcentual del total de
respuestas correctas a partir de la caracterización de las variables establecidas en las dos condiciones
dadas. X C X : es la desviación entre las condiciones finales con respecto a las condiciones iníciales
del conjunto de población observada, en este caso X C X = C XF C XI , indica la desviación existente
entre el número de respuestas correctas dadas en condiciones finales, menos el número de
respuestas correctas en condiciones iníciales, y así sucesivamente para cada una de las tres variables
restantes Y C Y = CYF C YI ; Z C Z = CZF C CZI y C Q = QF QI C C C .
El procedimiento heurístico incluye un conjunto de actividades con sus correspondientes indicaciones
metodológicas que indican objetivos, indicaciones generales, etapas, acciones y preguntas, este
procedimiento permite mostrar por etapas la génesis instrumental mediante el uso de software
dinámico. La concreción es el límite del modelo, pero esto no significa que no forme parte integral del
mismo, precisamente esta parte trata de operar los elementos que van a mediar de forma directa para
acelerar la dinámica de la contradicción esencial; como se conoce, una contradicción es un proceso de
naturaleza dialéctica complejo, generado a partir de las diferencias existentes en un objeto de estudio
que limitan su desarrollo.
Durante la formación académica, los alumnos de ingeniería de la Universidad del Norte, a pesar de
tener una diversidad de asignaturas, que favorecen los contenidos de asignaturas relacionadas con las
matemáticas, no existe en el plan curricular, elementos que permitan, establecer relación directa entre
contenido y software. A finales del 2006, la Universidad del Norte, a través del departamento de
postgrados, promueve una maestría, que enfatiza lo cognitivo con los recursos tecnológicos, y en este
80

sentido, docentes y egresados de las carreras de ingeniería cursan estudios de maestría, cuyo tema
central de investigación se fundamenta en la incorporación de las nuevas tecnologías, tales como uso
de la calculadora TI-92 plus y el uso de software en los procesos de enseñanza aprendizaje de la
matemática, línea de investigación que sigue el autor.
2.4.1 Condiciones iníciales.
Fortalezas:
Interés por parte del autor y alumnos de ingeniería por su superación científica técnica y por el
uso de los recursos informáticos en clases de geometría.
La mayoría de los profesores del área tienen una preparación competitiva en cuanto a
conocimiento y disponibilidad en el campo investigativo.
Los alumnos se sienten motivados por la utilización de los recursos informáticos en el laboratorio
de matemáticas, de esta manera contribuye para su formación.
Las potencialidades didácticas de los recursos informáticos principalmente cabrí en la solución de
problemas.
Se rompe de una u otra forma el esquema de enseñanza aprendizaje tradicional de la geometría
y se miden variables que permiten detectar las dificultades mostradas por los alumnos para
resolver problemas.
Debilidades:
Aún es insuficiente el uso de recursos tecnológicos en las universidades.
Los profesores, a pesar de tener una excelente preparación en cuanto a conocimiento
matemático, no tienen una preparación pedagógica que les permitan cambiar su práctica
educativa.
No hay interés por parte de profesores y alumnos en capacitarse para utilizar los recursos
tecnológicos en clases de matemática.
81

2.4.2 Análisis externo
Oportunidades:
Política favorable del Ministerio de Educación Nacional decreto Ley 115 de 1994 hacia el empleo
de las tecnologías de la información y las comunicaciones en todos los niveles de educación.
La utilización adecuada de los recursos informáticos en la educación es un tema de gran interés
en la actualidad, reflejado en los eventos científicos nacionales e internaciones relacionados con
el tema de investigación.
El desarrollo de las maestrías en ciencias de la educación e informática educativa.
Adecuada preparación y superación de los técnicos de laboratorios a través del SENA (Servicio
Nacional de Aprendizaje) para impulsar el manejo de software educativo.
Amenazas:
Insuficiente infraestructura tecnológica dentro y fuera de los centros educativos, así como rápido
envejecimiento del equipamiento tecnológico.
No hay acceso aún, a una red que permita la comunicación directa entre los diferentes centros y
de estos con bases de datos científicas que permita el intercambio y publicación de nuevos
conocimientos.
Insuficiente nivel de preparación sobre el tema del personal encargado de la preparación
metodológica, lo que repercute a su vez, en la preparación del personal docente de los centros
educativos.
Las diferentes entidades y organismos de la localidad no planifican con sistematicidad actividades
conjuntas con profesores y alumnos para desarrollar trabajos investigativos en la solución de los
principales problemas que afectan el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría a través
de la utilización de software dinámico.
Luego de la realización de este análisis se pasa a un elemento imprescindible de todo procedimiento
Misión: proporcionar a los alumnos de las carreras de ingeniería, un modelo didáctico de conjetura
82

operacional que los oriente y guíe sobre cómo lograr la solución de un problema de tipo geométrico en
un contexto dinámico, flexible y orientado a su formación ingenieril mediante la utilización de software
dinámico como elementos mediadores del proceso, y en este sentido favorecer el enriquecimiento
cognoscitivo y formativo del futuro ingeniero.
Visión: los profesores de ingeniería aprovechan las potencialidades didácticas de los software
dinámicos, en los que se evidencian las relaciones existentes entre el proceso de instrumentalización e
instrumentación por medio de la correcta utilización del artefacto como fortaleza de los elementos
mediadores. Esto permite lograr un mejor aprovechamiento de estos recursos en el proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría; aspecto que soluciona una problemática del proceso de
enseñanza aprendizaje de esta asignatura.
Grupos implicados están conformados por entidades tales como el ICFES (Instituto Colombiano para
el Fomento de la Educación Superior), funcionarios y especialistas responsabilizados con la dirección
del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería, los jefes de
departamentos y profesores de ingeniería y demás participantes en el proceso, alumnos monitores y
técnicos de laboratorio de la Universidad del Norte.
2.4.3 Escenarios.
Consolidación de la transformación educacional colombiana a partir de la incorporación de
distintas tecnologías en el desarrollo de los procesos de enseñanza aprendizaje de la geometría
La educación en la Universidad del Norte avanza en la preparación integral de los profesores al
tener que impartir las asignaturas por área de conocimientos, tales como geometría y cálculo con
geometría analítica.
2.4.4 Direcciones estratégicas.
Preparación de los profesores: tiene como objetivo la preparación de los profesores de ciencias
básicas, que imparten cátedra en las distintas carreras de ingeniería de la Universidad del Norte,
83

impulsados por los jefes y decanos de cada departamento, les facilitan becas, para que viajen al
exterior a cursar estudios de maestría o doctorado en las diferentes áreas de ingeniería; además, los
docentes asisten los sábados a un curso impartido por el autor con miras de superar algunos
problemas de aprendizaje que inciden en el rendimiento de los alumnos, a partir de las potencialidades
que brindan los recursos informáticos como elementos mediadores del proceso.
Capacitación tecnológica: se refiere a la necesidad de ponerse al día en lo relativo al uso y
conocimiento de los sistemas operativos, sistemas de aplicación, lenguajes de programación, etcétera;
con sus nuevas versiones y actualizaciones. Para ello se pueden apoyar en el departamento de
ingeniería de sistemas y el departamento de investigación informática de la universidad, así como los
cursos de capacitación que ofrece el Departamento Administrativo de Ciencia, Tecnología e
Innovación – COLCIENCIAS. También deben estar al tanto de los eventos relacionados con el tema
que se desarrollan nacional e internacionalmente.
2.4.5 Socialización del modelo didáctico conjetura operacional.
En esta acción es donde se presenta el modelo al colectivo de profesores del área de matemáticas
que imparte sus conocimientos en las distintas carreras de ingeniería de la Universidad del Norte,
donde se va a instrumentar. Aspecto de vital importancia para el logro exitoso de los resultados
esperados, pues para ello se necesita del dominio de los fundamentos teóricos que lo sustentan así
como del conocimiento pleno de cada una de sus momentos. Se requiere además del apoyo de los
restantes factores del centro donde se aplica el procedimiento, esta acción se materializa a través de:
Valoración del modelo y vías de instrumentación con el consejo de dirección.
Análisis con los profesores de matemáticas de sus fundamentos, momentos y acciones.
Selección y preparación de los alumnos que instrumentarán el procedimiento.
Explicación a los alumnos que serán objeto de estudio de las principales características del
modelo didáctico conjetura operacional.
84

Realización de compromisos por parte de profesores y alumnos sobre la ejecución de las
diferentes actividades del procedimiento.
Durante la socialización del modelo se obtienen señalamientos, recomendaciones y valiosos criterios,
por parte de los profesores de la universidad, lo que permite el perfeccionamiento de los momentos y
acciones del mismo, en este orden, los alumnos encargados de llevar a cabo la instrumentación del
Modelo Didáctico de Conjetura Operacional a través del procedimiento, se sienten más seguros luego
de comprender las relaciones existentes entre los momentos, así como conocer los principales
componentes que conforman al mismo.
La formación de los estudiantes: tiene como objetivo contribuir a la solidez del conocimiento de los
alumnos de ingeniería en la asignatura de geometría, no sólo referido a saber utilizar el software
dinámico en la solución de problemas sino a su comprensión; lo cual será favorecido por la utilización
eficiente de las dos componentes que constituyen la génesis instrumental. Las acciones contenidas en
esta dirección son: propuesta de tareas para contribuir al desarrollo y solidez del conocimiento de los
alumnos de ingeniería a partir de la utilización de software dinámico enmarcada en los siguientes
aspectos:
La orientación y ejecución de investigaciones que permitan la aplicación de software dinámico,
tales como Cabri Geometry, Geogebra, the Geometer’s Sketchpad et al. en sus clases de
geometría, hará del ingeniero un profesional crítico y reflexivo en cuanto a la construcción de
conjeturas.
Realización de actividades, en el laboratorio de matemáticas, con el objetivo de que los alumnos
interactúen con el software dinámico disponible relacionados con los contenidos de geometría.
El conjunto de etapas explicados anteriormente, justifica que un procedimiento, entre otras
definiciones, se entiende por las maneras de actuar para conseguir un fin; conjunto de acciones
85

ordenadas y finalizadas dirigidas a la consecución de una meta. Los procedimientos se pueden dividir
en dos tipos:
Procedimientos algorítmicos: la sucesión de acciones que hay que realizar se halla completamente prefijada
y una cuidadosa y correcta ejecución siempre lleva a una solución segura del problema; como por ejemplo,
calcular la integral
Sen S x
dx
por el método de series.
x
Procedimientos heurísticos: La sucesión de acciones tienen un cierto grado de variabilidad y su ejecución no
garantiza la consecución de un resultado óptimo como por ejemplo, planificar una entrevista mediante el método
descriptivo; sin embargo, para garantizar la efectividad de los resultados se procede a la elaboración y
organización de las actividades a desarrollar. Se puede asegurar que el propio proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría mediante el software dinámico tiene una dimensión eminentemente heurística.
2.4.6 Diseño del procedimiento de conjetura operacional con su indicador de efectividad.
El procedimiento y su respectivo indicador de efectividad es la forma escogida por el investigador para
la instrumentación y evaluación del modelo en la práctica; en el mismo se sustentan los cinco factores
mediadores, los cuales, justifican cada una de las cinco etapas en las que se va a operacionalizar el
procedimiento: construcción de los elementos básicos, movimientos de elementos para una búsqueda,
generación de variantes para la construcción de lugares o figuras geométricas, conjeturas de los o del
resultado geométrico y finalmente la comprobación con lápiz y papel, que en conjunto permiten la
organización de las actividades a desarrollar en dependencia de las características del entorno en que
se aplique. El objetivo del procedimiento es aplicar en la práctica el modelo para favorecer el proceso
de enseñanza aprendizaje de la geometría en alumnos de ingeniería a través del uso de software
dinámico cuya esencia se determina por el siguiente esquema:
86

Ci: Condiciones Iniciales
Figura 9:Esquema para caracterizar condiciones iníciales y finales en el diagnóstico
Se caracteriza Ci (condiciones iníciales) y Cf (condiciones finales) con una muestra de N = 24
alumnos, en las que se identifican las variables;
1. Número de respuestas correctas (X): para x1,. . ., x24; Xi N
2. Número de conceptos correctamente manejados (Y): para y1,. . ., y24; Yi N
3. Número de respuestas con software dinámico (Z): para z1,. . ., z24; Zi N
4. Número de conceptos que manejan mediante el uso de software dinámico (Q): para q1,. . .,
q24; Q N . Elegidas cada una de las variables, se sistematiza el total de las respuestas
correctas e incorrectas en cada una de las columnas que aparecen en la tabla del anexo 5, y
que fueron presentadas en la página 4 de la introducción.
Las actividades para caracterizar variables en condiciones iníciales, se elaboraron con base en los
fundamentos básicos de la geometría euclidiana, como se muestra a continuación:
Actividad 1: fundamentos de geometría.
Alumno No._______
Objetivo de la actividad: identificar cada una de las variables que caracterizan las condiciones
iníciales Ci, dadas por los alumnos que cursan la asignatura de geometría en las carreras de
ingeniería de la Universidad del Norte.
Instrucciones generales: apreciado alumno, con base en tu conocimiento y el apoyo de software
dinámico analice y responda cada una de las preguntas que se generan en los problemas que a
continuación se muestran:
Software Dinámico
SD
87
Cf: Condiciones Finales

Si el desplazamiento de la cuerda BC figura 9, se mantiene perpendicular al diámetro AD.
1. ¿Cambia el área del ABC AB ? Justifique su respuesta con papel y lápiz y luego compare su
justificación con software dinámico. Siga esta dinámica en todas sus respuestas
Figura 10: Construcciones básicas.
2. ¿Qué clase de triángulo es el ABC AB ? Justifique su respuesta.
3. ¿Diga cuál es la altura del ABC AB y por qué? Justifique su respuesta
4. ¿Si la altura del ABC AB aumenta ¿el área del ABC AB también aumenta? Justifique su respuesta
5. Si el área del ABC AB varía ¿Cuándo se obtiene su máxima área? Justifique su respuesta.
Con la información suministrada por los alumnos, se procede a sistematizar las variables mediante la
aplicación del IECO (Indicador de Efectividad de la Conjetura Operacional).
En total se diseñaron aplicaron once actividades diferentes y cuyos diseños pueden apreciarse en el
Anexo 11.
2.4.7 Aplicación del indicador de efectividad.
Después de caracterizar el total de las variables establecidas en condiciones iníciales y finales en las
dos pruebas resuelta por los alumnos, se aplica la formula descrita en la página 70:
IECO =
C
C
C
C
X
Y
4
Z
Q
=
C C C Ciy C C C C C
fx
88
ix
fy
4
fz
iz
fq
iq
, esta
ecuación garantiza, si la implementación del software dinámico, mejora o desestabiliza el rendimiento
de los alumnos en cuanto al proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, la desviación de cada
una de las variables se suman, y el resultado es un porcentaje que indica la efectividad de la conjetura,
A
B P
D
C

tal como se explicará numéricamente en los resultados de la práctica del procedimiento para la
validación del modelo didáctico en el capítulo 3.
2.4.8 Organización de las actividades a desarrollar.
En el orden conceptual las actividades que desarrollaron los alumnos, se concibieron y organizaron en
construcciones básicas, construcciones para generar el lugar geométrico de un punto que se mueve a
partir de una trayectoria o traza activando el punto, además, se explica cómo están caracterizadas y
organizadas cada grupo de tareas, lo que permite establecer el nivel de complejidad que el alumno de
ingeniería asume para justificar y construir conjeturas, y en este sentido perfeccionar el proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría mediante el uso de software dinámico. Los procedimientos
heurísticos esenciales, para analizar si las preguntas corresponden a (PH) principios heurísticos, (RH)
reglas heurísticas o (EH) estrategias heurísticas, las que se identificaron como recursos o medios
heurísticos del procedimiento y relacionados directamente con las preguntas orientadoras.
2.5 Indicaciones metodológicas contenidas en el procedimiento.
La tabla 3 distribuida en cuatro columnas, muestra las respectivas indicaciones metodológicas que
permite el accionar pedagógico del procedimiento, en esta se describen las etapas, acciones,
preguntas orientadoras para la generación de conjeturas y los recursos heurísticos desarrollados a lo
largo del procedimiento.
Etapas de
generación
de conjeturas
Construcción
de los
elementos
básicos
Tabla 2. Indicaciones metodológicas del procedimiento.
Acciones para la
generación de
conjeturas
Partir de la construcción
de elementos básicos
Determinar qué figuras o
elementos se puede
generar.
Identificar la necesidad de
cada elemento básico.
Preguntas orientadoras para
la generación de conjeturas
1. ¿Qué elementos deben
conformar la figura o lugar
geométrico?
2. ¿Cómo puedo representar
la figura o lugar geométrico
deseado?
3. ¿Son necesarios y
suficientes los elementos
básicos utilizados?
89
Recursos o medios
heurísticos utilizados
PH: Se relaciona con los
elementos de la figura
RH: Se fundamenta con la
representación de la figura para
analizarla

Movimientos
de elementos
para una
búsqueda
Generación de
variantes de
lugares o
figuras
Conjetura de
los o del
resultado
geométrico
Comprobación
con lápiz y
papel
Identificar las relaciones
de influencia entre los
elementos básicos
construidos
Mover coherentemente
cada componente básico.
Identificar la pertinencia
de cada elemento básico.
Identificar las acciones
que se pueden realizar
con cada elemento básico
Determinar y buscar todas
las variantes que pueden
generarse
Determinar las posibles
figuras o lugares
geométricos
Determinar la figura de
forma manual
Conclusiones del capítulo 2.
1. ¿Cómo se relacionan entre
si los componentes del
sistema?
2. ¿Qué posibles movimientos
se pudieran realizar?
3. ¿Es pertinente cada
elemento básico construido?
1. ¿Con qué movimientos se
pueden generar figuras y
lugares geométricos?
2. ¿Se han identificado todas
las variantes?
1. ¿Qué parte de la figura o
lugar geométrico está
sustentada por los elementos
básicos iníciales?
2. ¿Se puede lograr, con otros
elementos básicos nuevas
conjeturas?
1. ¿Qué nivel de coincidencia
da lugar a la comprobación?
2. ¿Qué diferencia la forma
estática del procedimiento
convencional con la forma
dinámica empleada?
90
EH: Consiste en identificar los
elementos básicos construidos y
observar el comportamiento a
través del software
EH: hace parte de la estrategia
los movimiento de los objetos
matemáticos
EH: Ejecución de un plan para la
posible solución
PH: Comparar los movimientos
de la figura mediante el uso de
software en la construcción de
lugares geométricos.
RH: Comprende el problema
para sustentarlo con base en los
elementos básicos iníciales.
PH: Relaciona el problema con
otros problemas.
EH: análisis del concepto
solución mediante el uso de lápiz
y papel y el uso de software
dinámico
El análisis epistemológico del primer capítulo, el diagnóstico permanente, las indicaciones
metodológicas del procedimiento y la experiencia del autor, permitió diseñar el modelo propuesto; el
cual está dirigido a favorecer la enseñanza aprendizaje de la geometría en alumnos de ingeniería de
la Universidad del Norte; este modelo didáctico de conjetura operacional, y el procedimiento heurístico
mediante el uso de software dinámico validado cuantitativamente por el indicador de efectividad,
permitió mostrar una forma diferente de enseñar geometría. Tanto el modelo como el procedimiento
tienen como génesis la solución de la contradicción entre la comprensión de los problemas de la
geometría sintética y la respuesta de los mismos.

En cuanto a los elementos mediadores se constituyen en un conjunto mínimo de factores, que
además de su rol central en el modelo didáctico presentado, permitieron sustentarse en un
procedimiento para poder ser aplicados en la práctica.
A pesar de existir varios trabajos de investigación en esta disciplina, hay muy pocos en este campo de
acción particular. La incorporación de software dinámico como recurso emergente en las clases de
matemática, específicamente en la asignatura de geometría impartida en las carreras de ingeniería en
Colombia. Como tal, la investigación toma como referente los planes y parcelaciones de estudio de las
carreras técnicas que hay en la Universidad del Norte (ver Anexo 6), para hacer el respectivo análisis
del problema de investigación, el cual, se apoya en un modelo didáctico fundamentado en aspectos
epistemológicos, sicológicos y didácticos; así como de la génesis instrumental que permitieron
argumentar los elementos mediadores como sustento del procedimiento heurístico para su aplicación
en la práctica.
91

CAPÍTULO 3. VALORACIÓN DE LA APLICACIÓN PARCIAL DEL PROCEDIMIENTO
En este capítulo se muestran los resultados de la valoración realizada por un grupo de especialistas
sobre el modelo didáctico y el procedimiento propuesto, mediante la aplicación del método criterio de
expertos. Así mismo, se realiza un análisis de la aplicación parcial del procedimiento heurístico
mediante el IECO Indicador de Efectividad de la Conjetura Operacional, en el cual no solo aparecen
los resultados numéricos de su aplicación en condiciones iníciales y finales, sino que se ofrece una
valoración cualitativa del desarrollo de las actividades realizadas durante toda la experiencia, con
algunas sugerencias y recomendaciones.
3.1 Valoración a través del criterio de expertos del modelo didáctico para favorecer el proceso
enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería.
Se presenta a continuación los resultados de expertos consultados sobre el modelo, en detalle se hace
una descripción del juicio intuitivo emitido por cada uno de ellos, para así tener un consenso de
opiniones, también se detalla la valoración de la instrumentación puesta en práctica. El método de
criterio de expertos, consiste en la utilización sistemática del juicio intuitivo de un grupo de expertos
para obtener un consenso de opiniones informadas (Rodríguez y Concepción, 2004).
Para sacar adelante la valoración tanto del modelo, como del procedimiento conjetura operacional
mediante el uso de software dinámico en la enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de
ingeniería, primeramente se realizó la encuesta (ver Anexo 9) para la selección de los expertos, la
misma se aplicó a 30 profesionales para decidir los expertos a partir del coeficiente de competencia
(ver Anexo 10), de los profesionales encuestados. De ellos, fueron seleccionados 27 de los cuales 24
tienen coeficiente de competencia alto y 3 tienen coeficiente de competencia medio.
92

Esta selección de expertos fueron tomados en cuenta, ya que el coeficiente de competencia medio de
esta población es alto (0,82). Los mismos imparten cátedra en las diferentes carreras de ingeniería de
la Universidad del Norte de Barranquilla Colombia; se caracterizan por tener de 10 a 45 años de
experiencia como promedio en la docencia y/o la investigación. Además, el autor valoró esta
experiencia a partir de la producción intelectual de cada participante y su participación en eventos
científicos con relación al tema de tesis. De los expertos seleccionados 17 son doctores y 10 ostentan
título de máster, algunos con títulos de ingeniería. El alto nivel académico de los docentes se debe en
parte a que la Universidad del Norte tiene convenios académicos con universidades de Alemania,
México, España, Estados Unidos entre otros países, lo que repercute un alto número de doctores
egresados.
El procedimiento para consensuar criterio de expertos se realizó en dos fases de trabajo, las cuales les
permitieron emitir sus criterios y valoraciones con base al modelo. Cada experto, de manera individual,
se pronunció con respecto a los referentes puntos; de esta forma se pudo determinar la concordancia
de los aspectos que se sometieron a consideración (ver Anexo 9). En dicha encuesta; ellos emitieron
sugerencias que permitió perfeccionar la propuesta, como se muestra en la tabla 4.
Para someter la propuesta a consideración de los expertos se elaboró una tabla que contiene las fases
y componentes del modelo didáctico para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza aprendizaje
de la geometría en carreras de ingeniería. En la tabla 3 los expertos debían marcar en una escala de
cinco categorías, la calificación que consideraban tenía cada aspecto, las categorías evaluativas
empleadas fueron: muy adecuado (MA), bastante adecuado (BA), adecuado (A), poco adecuado (PA)
y no adecuado (NA).
Los argumentos expuestos por los expertos con relación a los interrogantes planteados en la
encuesta, concuerdan en las siguientes consideraciones:
93

Tabla 3. Argumentos expuestos por los expertos con relación a los interrogantes planteados
Modelo didáctico para el perfeccionamiento del proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería
FASES COMPONENTES
Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
Quinta
Fundamentos teóricos del proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría
Diagnóstico que emerge de la
caracterización de variables
Desenvolvimiento del software
dinámico a través de la génesis
instrumental (resolución)
Elementos mediadores
transversales
Factores que integran la
conjetura operacional
Concreción en la práctica:
Condiciones iníciales
antes de aplicar software
dinámico
Condiciones finales
después de aplicar
software
Proceso de
Instrumentalización
Proceso de
instrumentación
Procedimiento conjetura operacional a través del IECO
94
MA BA A PA NA
SI - - - -
- SI - - -
SI - - - -
- SI - - -
Si - - - -
Mediación instrumental - SI - - -
Motivación profesional Si - - - -
Flexibilidad Si - - - -
Fluidez asociativa - SI - - -
Fluidez figurativa SI - - - -
Si - - - -
Como se aprecia en la tabla anterior, se observa la valoración de la consulta a los expertos
encuestados, en la cual fue sometido a su criterio los componentes del modelo didáctico para
perfeccionamiento proceso enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería, y se
obtiene como resultado:
Que los componentes de la primera fase son considerados por los expertos como muy aceptables

Que todos los componentes de la segunda fase son considerados por los expertos como bastante
aceptable
Para la tercera fase se aprecia lo siguiente:
En la formación e implementación del software, la necesidad de incluir el software dinámico es
calificada como bastante aceptable y en la otra alternativa como muy aceptable.
Para el caso de la génesis instrumental, la creatividad en la instrumentalización e
instrumentación es muy aceptable.
En cuanto a los elementos mediadores la orientación investigativa acorde con la mediación
instrumental es evaluado como muy aceptable y la relación entre mediación y motivación como
bastante aceptable.
Para los dos restantes factores que integran la conjetura operacional con su indicador de
efectividad concuerdan en que los mismos son muy aceptables.
La cuarta fase es catalogada en los resultados cuantitativos como muy aceptable (ver Anexos
12,13 y 14), los cuales registran las distribuciones de frecuencia absoluta y relativa acumuladas,
con los respectivos puntos de corte.
Lo explicado hasta el momento en lo referente a la valoración cuantitativa de la consulta realizada
permite llegar a la conclusión general de que los expertos concuerdan en que todos los aspectos
consultados son pertinentes en el modelo propuesto.
En la valoración cualitativa dada por los expertos, referente al modelo didáctico para el
perfeccionamiento del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería en
cuanto a las fases y componentes del modelo que deberían ser incluidas o eliminadas, modificados u
otros aspectos que los mismos consideran de importancia para tener en cuenta en el modelo se tiene:
95

Tabla 4. Observaciones cualitativas de la consulta a los expertos
Recomendación del experto Observación del autor compartida con el experto
1. En la segunda fase comparar los
resultados obtenidos antes de utilizar
el software dinámico con los
resultados obtenidos después de
implementarlo
2. Proponer la mediación instrumental y
la motivación profesional como
elementos mediadores transversales
3. Incluir el software dinámico en los
contenidos programáticos
4. Incluir en la cuarta fase el elemento
de flexibilidad
5. Resaltar este tipo de procedimientos
heurísticos
6. El IECO como soporte del
procedimiento heurístico
7. Divulgar y poner en práctica la
investigación
La recomendación es esencial para destacar los avances en
cuanto al proceso de enseñanza aprendizaje de la
geometría, mediante un indicador de efectividad planteado
por el autor.
En esta investigación la mediación instrumental a través de
cabrí, cumple un factor importante como mediador entre lo
cognitivo y lo instrumental, esto se logra a partir de la
motivación entre recurso, alumno y profesor
En cuanto a la inclusión de incorporar los recursos
informáticos en los planes de estudio, la Universidad del
Norte e insiste en la incorporación de algún recurso
informático en los planes de estudio para superar el bajo
rendimiento de los alumnos en matemáticas
El autor considera que el principio de flexibilidad, permite
integrar y dinamizar los dos elementos trasversales con la
fluidez figurativa y asociativa como factores importantes de
la conjetura operacional
El autor está de acuerdo que el modelo didáctico, a pesar
que fue diseñado para el perfeccionamiento del proceso de
enseñanza aprendizaje de la geometría en carreras
técnicas, también puede funcionar en otras asignaturas de
matemáticas.
Se entiende que esta es una recomendación a nivel
académico que pone de manifiesto el indicador de
efectividad de la conjetura operacional al poner en práctica
el procedimiento
Desde que se empezó la investigación, las directivas
mostraron interés en apoyar el proyecto.
Luego de la primera fase, con motivo a las sugerencias efectuadas por los expertos, se reestructuraron
algunos elementos del modelo y se consideró la función y la relación de cada uno de los momentos
que conforman el modelo conjetura operacional y así se pudo lograr un mejor consenso de lo que se
pretendía aplicar, tal como se observa en la tabla 5.
96

Tabla 5. Tabla de resultados de los valores absolutos de la encuesta aplicada a los expertos
VALORACIÓN CUANTITATIVA DEL MODELO DIDACTICO
Modelo didáctico mediante software dinámico para el
perfeccionamiento de la enseñanza-aprendizaje de la geometría
en Ingeniería
FASES COMPONENTES
Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
Fundamentos teóricos del proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría
Diagnóstico que emerge
de la caracterización de
variables
Desenvolvimiento del
software dinámico a
través de la génesis
instrumental (resolución)
Elementos mediadores
transversales
Factores para la
conjetura operacional
como elementos
mediadores
Condiciones iníciales antes
de aplicar software dinámico
Condiciones finales después
de aplicar software
Proceso de
Instrumentalización
Quinta Concreción en la práctica:
Procedimiento conjetura operacional a través del IECO
97
MA BA A PA NA
10 16 1 0 0
9 11 1 0 0
15 14 4 0 0
18 7 2 0 0
Proceso de instrumentación 14 11 2 0 0
Mediación instrumental 10 17 0 0 0
Motivación profesional 17 9 1 0 0
Flexibilidad 20 7 0 0 0
Fluidez asociativa 16 10 1 0 0
Fluidez figurativa 20 7 4 0 0
18 9 0 0 0
Los resultados cuantitativos de la encuesta aplicada a los expertos, arrojan aspectos favorables en
cuanto a fases que conforman el modelo, así como lo relativo al procedimiento e indicador de
efectividad lo valoran de muy adecuado (MA) o bastante adecuado (BA). Entre los aspectos que con
mayor frecuencia se observan, está la flexibilidad, la fluidez figurativa, seguido del proceso de
instrumentalización y la concreción práctica a través del indicador de efectividad en sus dos
condiciones y así sucesivamente los demás aspectos presentes en el modelo.
Entre las consideraciones sugeridas por los especialistas que se tuvieron en cuenta para mejorar el

procedimiento se encuentra: (a) Argumentar y profundizar en los fundamentos del modelo,
principalmente aquellos que permitan fortalecer los contenidos de otras asignaturas con los contenidos
de la geometría. (b) Considerar la génesis instrumental como un momento del modelo. (c) Proponer
actividades, que evidencien la construcción y justificación de las conjeturas, con las relaciones entre
las categorías propuestas. (d) Resaltar estadísticamente el indicador de efectividad para conocer el
impacto del software dinámico en la caracterización de variables dadas en las dos condiciones del
diagnóstico.
En la consulta realizada, se observa un consenso de los expertos sobre el procedimiento heurístico
para favorecer la formulación y justificación de conjeturas dada por los alumnos, por esta razón fue
necesario plantear actividades que involucran al software dinámico en la solución del problema y
comparar la solución con lápiz y papel en la caracterización de variables (ver Anexo 11).
Al analizar y comparar los límites de categorías de cada uno de los ítems que se encomendaron, las
que más destacan los expertos son: muy adecuado y bastante adecuado; se obtiene como
sugerencia, integrar más el procedimiento heurístico con asignaturas afines con la geometría, tales
como la aplicación de la misma en la enseñanza aprendizaje del cálculo, ecuaciones diferenciales,
etc.Es decir, para lograr en este sentido una expresión gráfica que integre la conjetura operacional
mediante software dinámico con los componentes didácticos y sus relaciones para que signifiquen las
dimensiones de este proceso, además de alcanzar una mejor comprensión y nivel de síntesis del
modelo conjetura operacional.
3.2 Valoración de los resultados obtenidos en la implementación práctica del modelo didáctico.
Con el propósito de ofrecer una información detallada de la implementación del modelo didáctico
conjetura operacional se brinda una valoración cualitativa y cuantitativa del desarrollo del proceso
durante su aplicación. En el mismo aparecen los principales resultados obtenidos en el desarrollo de la
experiencia. Además, se describe el procedimiento empleado en la investigación a través del indicador
98

de efectividad y se detallan las características principales de los alumnos que participaron en el
estudio así como se indican los pasos metodológicos de cada actividad que se desarrolló.
3.2.1 Participantes en la investigación.
En la investigación participaron veinte cuatro alumnos, ocho mujeres y dieciséis hombres (con edades
entre dieciséis y treinta años); los alumnos cursaban segundo semestre en ingeniería en la
Universidad del Norte de Barranquilla, Colombia. Los participantes del estudio fueron, en su mayoría,
alumnos que aprobaron su semestre anterior con calificación mínima en el curso de matemáticas (sus
calificaciones promediaron 3.3 en el curso “Algebra y Trigonometría”).
Antes del desarrollo de este estudio algunos alumnos no conocían algún tipo de software dinámico,
aunque algunos habían interactuado con un software distinto a lo exigido, otros conocían Cabrí; así,
fue posible iniciar las primeras sesiones de trabajo relacionadas con las herramientas básicas de
construcción, los alumnos se familiarizaron con los comandos del software, les resultó interesante
recurrir al “arrastre” de puntos, realizar cálculo de medidas con la calculadora del software y efectuar
ensambles de construcciones básicas. Esto les permitió expresar consideraciones como estas:
Figura 11: Descripción de procedimiento con software dinámico.
Los escritos presentados por los alumnos, permitieron considerar que el software dinámico les brinda
no solo la oportunidad de dinamizar el problema, sino que les abre la posibilidad de acercarse a la
99

definición precisa después de varios intentos “B-C tiene que mantenerse perpendicular a A-D, por lo
que solo se puede subir y bajar”. Además, cabe resaltar que el software dinámico, le facilita otros
elementos pedagógicos que a simple vista, con papel y lápiz, se le dificulta describir; por ejemplo en la
invariabilidad del área del triángulo afirman que: “el área se mantiene igual porque la base y la altura
son directamente proporcionales, la base disminuye pero la altura aumenta de allí que la altura se
mantiene en igual proporción”. Los alumnos describen la conjetura de la compensación, lo que
aumenta en la altura disminuye en la base. Aunque no dan la respuesta acertada, si hay unas
categorías y leyes que constituyen el principio del conocimiento.
Para Concepción M. R. y Rodríguez, F. (2004) 75 la didáctica como ciencia, además de tener delimitado
su objeto de estudio: el proceso de enseñanza aprendizaje, tiene un sistema de categorías y leyes que
constituyen el fundamento teórico metodológico para instruir y educar, construido con base en la
investigación científica pedagógica, el cual se nutre además, de las ciencias como la Pedagogía,
Psicología, Filosofía, Lógica, y de la naturaleza de las ciencias concretas que se estudian en la
escuela que enriquecen y singularizan a las mismas.
3.2.2 Sesiones de trabajo.
El estudio comprendió ocho sesiones de trabajo, dichas sesiones se realizaron los sábados con un
promedio de 3.5 horas por sesión (se dio receso intermedio de veinte minutos, aproximadamente). La
investigación se realizó en un laboratorio equipado con una pizarra y 20 computadoras con software
dinámico instalado; además, se dispuso de un proyector de imagen de computador para la
presentación de resultados obtenidos por los alumnos y un tablero electrónico.
En las tres primeras sesiones y en la última, los alumnos trabajaron de manera individual y cada uno
utilizó una computadora durante el desarrollo de las actividades, se grabó individualmente cada
75 Concepción M. R. Y Rodríguez, F.( 2004): Metodología de la Experiencia Pedagógica de Avanzada. En Revista CITMA.
Holguín.
100

esultado y se entregó un reporte escrito por cada experiencia. En las otras sesiones tuvieron la
oportunidad de integrarse en equipos de trabajo de 2 a 3 alumnos, con el fin de lograr intercambio de
ideas y generar discusiones en sus conjeturas.
El rol del maestro fue guiar y orientar cada una de las actividades establecidas; es decir, realizó
preguntas que orientaron a los alumnos en el desarrollo de cada tarea, enfatizó sobre algunas ideas
de manera que fueran objeto de discusión, orientó a los alumnos en el manejo de Cabrí para aquellos
que no conocían el software dinámico, aunque esto no limitó trabajar con otro software.
3.2.3 Aspectos relevantes de la instrumentación práctica.
En el estudio se tenía como objetivo documentar el tipo razonamiento que utilizan los alumnos al
trabajar un conjunto de actividades con software dinámico. Resulta importante establecer las
reflexiones que utilizan ellos, cuando se encuentran en ambientes de resolución de problema, donde
pudieron describir el tipo de representaciones, identificar elementos que permitan caracterizar el papel
del software. Además, los alumnos tuvieron la oportunidad de descubrir relaciones, plantear
conjeturas, generalizar resultados y justificar sus soluciones con base en argumentos obtenidos
producto de la instrumentación práctica. Por todo lo anterior resulta importante la aplicación del
procedimiento para quienes desean incorporar este tipo de herramientas en sus ambientes de
instrucción.
En el estudio se desarrollaron una serie de actividades que estaban dirigidas para que los distintos
grupos utilizaran el software dinámico y siguieran las instrucciones respectivas en cada tarea, como se
muestra en la siguiente actividad y que permitió hacer las respectivas caracterizaciones de variables
en condiciones iníciales:
101

3.2.4 Actividades como soporte del procedimiento de conjetura operacional en la
caracterización de variables.
Se argumenta y ejemplifica a continuación las bases sobre las cuales se construyeron las diferentes
etapas con sus correspondientes acciones y preguntas en la caracterización de variables mediante el
indicador de efectividad.
Etapa 1: construcción de lugares geométricos
Acciones: a partir de la construcción de elementos básicos
Preguntas: ¿qué elementos deben conformar la figura o lugar geométrico?
Fundamentación: se pretende en esta tarea que el alumno se familiarice con los comandos y
ventanas que constituyen el software y de esta manera relacione los elementos básicos que
conforman la figura o lugar geométrico, he aquí la mediación instrumental entre lo cognitivo y lo
instrumental. Se relaciona también con la fluidez figurativa y asociativa en su nivel cognitivo, a partir de
su búsqueda permite establecer relaciones para una posible conjetura, lo que constituye el quinto
elemento mediador, la flexibilidad. Todos los elementos mediadores integrados con el software hacen
del procedimiento una acción práctica potencialmente exitosa.
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software a partir de las
construcciones básicas y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes
planteadas.
Materiales: un aula virtual, dotada con 30 computadores, cada uno con el software dinámico instalado,
un tablero electrónico conectado a un video beam y otro tradicional, apuntes de clase, sistema de
video, el libro guía y libreta de apuntes e Internet.
Indicaciones metodológicas. Se presenta la siguiente actividad: Los alumnos pueden iniciar con la
construcción de un segmento AB e identificar su punto medio M (ver Figura 12), pueden trazar la
mediatriz n del segmento AB (la mediatriz n es la línea recta perpendicular al segmento AB y que
contiene su punto medio M). La tarea ha iniciado con un trazo sencillo; al considerar la construcción
102

que se muestra en la figura 12, se pueden identificar algunas ideas importantes como por ejemplo, la
igualdad de los segmentos AM y MB y el valor de 90° para las medidas de los ángulos formados por n
y el segmento AB, ideas que los alumnos pueden reconocer y examinar a partir del empleo de
software dinámico, como por ejemplo la medición de algunas partes de la configuración y la búsqueda
de relaciones.
Figura 12: Mediatriz del segmento AB
Preguntas: Los alumnos consideraron el triángulo que se forma al unir un punto C de la recta n con
los puntos A y B, respectivamente. Dado que C se puede mover a lo largo de n (ver Figura 13), los
alumnos pueden preguntarse acerca de las propiedades invariantes del triángulo ABC, por ejemplo,
¿cuál es la relación entre las medidas de los segmentos AC y BC? o ¿cómo se relacionan las medidas
de los ángulos CAB y CBA?
Figura 13: triángulo isósceles.
Al calcular las medidas de los lados y ángulos internos del triángulo ABC, los alumnos pueden
identificar algunas propiedades invariantes de la construcción, por ejemplo, al medir los segmentos AC
y BC y mover el punto C observaron que estas medidas son siempre iguales, o bien, al medir los
ángulos CAB y CBA y mover el punto C percibieron que estos ángulos son congruentes; es decir, que
103

el triángulo ABC es un triángulo isósceles (ver Figura 14); con estos datos plantearon alguna conjetura
que los llevó al
Primer resultado de construcción y justificación de conjetura: triángulo isósceles
Figura 14: triangulo isósceles en varias posiciones de C
Convencidos de la validez de dicha conjetura (convencimiento obtenido por propiedades invariantes en
las medidas calculadas), una vez más los alumnos plantearon la pregunta ¿por qué la conjetura es
válida? (Furinghetti y Paola, 2003, p. 402); es decir, los alumnos pueden justificar la igualdad de los
segmentos AC y BC al utilizar argumentos formales que contemplen aspectos relacionados con
congruencia de triángulos.
Procedimientos heurísticos esenciales: este paso es importante, puesto que hace parte de la
fundamentación que tiene ver con la mediación instrumental, la fluidez figurativa, asociativa, flexibilidad
y con la prueba de la conjetura; al considerar los triángulos AMC y BMC (ver Figura 15) los alumnos
justificaron la congruencia entre los lados AC y BC ya que, con base en dichos triángulos, se puede
deducir que (a) los segmentos MA y MB son de igual medida (M es el punto medio de AB), (b) las
medidas de los ángulos AMC y BMC son de 90° (n es perpendicular al segmento AB por el punto M) y
c) ambos triángulos rectángulos comparten el cateto MC.
104

Figura 15: triángulos rectángulos congruentes.
Por las tres consideraciones anteriores y al aplicar el criterio de congruencia lado-ángulo-lado los
alumnos pueden concluir que, AMC = BMC y confirmar el resultado. La construcción de dichos
argumentos se fortalece cuando trabajan con Sketchpad o Cabri, en éstas se tiene en cuenta las
propiedades que están detrás de los trazos; además, con la ayuda de software los alumnos pueden,
fácilmente, asignar medidas a los segmentos o ángulos y observar sus respectivos comportamientos al
mover, en este caso, el punto C a lo largo de la recta n. Así, exploran o examinan la construcción,
asignan medidas (segmentos, ángulos), observan invariantes, plantean una conjetura y,
eventualmente, formulan una demostración. En este caso, los alumnos plantearon la conjetura y, en
algún momento, demostraron que el triángulo ABC es un triángulo isósceles para cualquier posición de
C sobre n. Al considerar la misma construcción los alumnos pueden investigar otras relaciones o
propiedades de las figuras.
Segundo resultado triángulo equilátero: al mover C los alumnos observan que hay posiciones de
dicho punto sobre la recta n para las que se cumple que el triángulo formado, además de ser triángulo
isósceles, es un triángulo equilátero (tres lados congruentes), con base en las medidas calculadas,
movieron el punto C hasta que las medidas de los lados y de los ángulos sean iguales,
respectivamente; así, responden la pregunta ¿dónde ubicar el punto C para que el triángulo ABC sea
un triángulo equilátero? Al unir los extremos del segmento AB con cualquiera de los puntos de
intersección entre la recta n y la circunferencia de centro B y radio BA, se obtiene un triángulo
equilátero. Para ubicar la posición del punto C, los alumnos construyeron una circunferencia de centro
B y radio BA, como se muestra en la Figura 16; con esta construcción se obtiene, dos puntos de
intersección, C’ y C”, entre la línea n y la circunferencia de centro B. trazaron los segmentos AC’, BC’,
105

AC” y BC”, al calcular las medidas de estos segmentos comprobaron que son iguales a la medida del
segmentos AB.
Figura 16: triángulos equiláteros.
Justificación o prueba de la conjetura: Los alumnos justificaron la conjetura con el siguiente
argumento, que el triangulo ABC’ que se muestra en la figura 15 es un triángulo equilátero, los lados
AC’ y BC’ son congruentes ya que todo triangulo ABC’, con C sobre n, es un triangulo isósceles,
también se tiene que los lados BA y BC’ son congruentes debido a que ambos segmentos
corresponden a radios de una misma circunferencia. El éxito en la construcción del triangulo equilátero
puede motivar a los alumnos a preguntarse si existe otra clase de triángulos isósceles que se puedan
formar en la configuración.
Tercer resultado triángulo rectángulo: los alumnos observaron que la medida del ángulo ACB toma
valores cercanos a 90°; es decir, que existen medidas para este ángulo que son menores de 90° y
también existen valores mayores de 90°, lo que implica la existencia de un ángulo recto en la
construcción; una forma en que los alumnos hallaron los puntos sobre la recta n para los que el
triángulo formado sea un triángulo rectángulo, fue trazar la circunferencia que tiene como centro el
punto M y como radio la mitad del segmento AB (los puntos A y B pertenecen a esta circunferencia
porque el segmento AB es diámetro de dicho círculo, ver Figura 17.
106

Figura 17: triángulos rectángulos.
El software dinámico, además de ser un recurso importante en tareas como las mostradas
anteriormente, facilita el desarrollo de actividades que contemplen la generación de lugares
geométricos. Con relación al descubrimiento de nuevas propiedades, los alumnos volvieron a la
construcción inicial (Figura 9) y, con base en los trazos que ahí se presentan, se cuestionaron acerca
de algunas rectas notables del triángulo isósceles. Al considerar el triángulo ABC (ver Figura 18), los
alumnos determinaron el punto de intersección P entre el rayo bisector del ángulo BAC y la mediatriz
del lado BC (recta que pasa por el punto medio del lado BC y es perpendicular a dicho lado).
Figura 18: intersección entre el rayo bisector del ángulo BAC y la mediatriz del lado BC.
Los alumnos se preguntan acerca de las propiedades o características de P, al mover C a lo largo de
n, P describe un movimiento que puede ser el centro de atención de los alumnos; una tarea que puede
ser interesante para los alumnos es la descripción de la trayectoria de P. Es posible que mencionen
que la trayectoria de P es en forma de una parábola, o bien, que indiquen que dicha trayectoria
describe parte de una hipérbola. Fue necesario propiciar un ambiente en el que los alumnos
justificaran sus observaciones ya que de esta manera tienen la facilidad de buscar evidencias que les
convenza y que convenzan a los demás, aspecto importante de la argumentación en el quehacer
matemático (Godino y Recio, 2001, p. 41)
107

Observación: la búsqueda de una ecuación del lugar geométrico con software dinámico descrito por
la trayectoria que deja P al mover C sobre n (Figura 19), despertó en los alumnos el interés en obtener
dicha ecuación y su validez mediante el uso de lápiz y papel.
Figura 19: lugar geométrico de P cuando C se desplaza sobre n.
Los alumnos utilizaron software dinámico para explorar o analizar la construcción que se ha realizado,
así como la herramienta que permite la generación de cónicas por cinco puntos arbitrarios; obtuvieron
trazos que les ayudó plantear alguna conjetura relacionada con el lugar geométrico de P y en este
orden la ecuación del lugar geométrico.
La investigación empírica producida en un ambiente dinámico de geometría contiene objetos y
transformaciones sobre los objetos; preferiblemente, las investigaciones deben estimular a los
alumnos a observar y describir un patrón y, además, explorar ese patrón para determinar una
generalización. (Pence, 1999, p. 430) Asociaron una cónica al lugar geométrico 76 . Al trazar la cónica
que se genera con cinco puntos arbitrarios pertenecientes al lugar geométrico de P, los alumnos
pueden justificar, con un claro contra ejemplo, que dicho lugar geométrico no corresponde ni a una
parábola ni a una hipérbola y que, en general, no corresponde a alguna cónica. En la Figura20 se
presenta una cónica generada con cinco puntos que pertenecen al lugar geométrico en discusión; se
puede apreciar que dicha cónica, a la que pertenecen los puntos
Q
1 , , , y no contiene (o
76
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos tales que satisfacen una propiedad y que solo estos puntos son los que la
cumplen.
108
Q Q Q 2 3 Q4 5

no coincide) con el lugar geométrico de P. El hecho que los trazos de la cónica de los cinco puntos y
del lugar geométrico de P no quedan encimados, presenta a los alumnos evidencia suficiente que les
permite tomar la decisión de no buscar argumentos que justifiquen que el lugar geométrico de P
corresponde a alguna cónica. Así, el software permite que se tomen decisiones relevantes antes de
intentar probar algún resultado; En este sentido, de ViUiers (1999) menciona que "en los procesos de
justificación deductiva, un papel importante lo ocupa la búsqueda de contraejemplos, principalmente
los que resultan empíricamente, ya que logran el convencimiento del fallo de la conjetura" (p. 4, letra
negrita agregada).
Figura20: cónica generada por cinco puntos del lugar geométrico de P.
En el caso anterior (intersección entre una bisectrizy una mediatriz) no generó algún tipo de cónica.
Sin embargo, los alumnos consideraron otras rectas relacionadas con la construcción del triángulo y,
de esta manera, explorar y analizar propiedades o características que se presenten. Por ejemplo, los
alumnos se preguntaron: ¿qué sucede al considerar otro tipo de rectas?, ¿se puede generar otro tipo
de lugares geométricos?, ¿existe alguna cónica al realizar otras construcciones?
Generación de una hipérbola:Los alumnos consideran la recta m (ver Figura 21) que contiene los
puntos medios de los lados BC y AB(N Y M, respectivamente) y, además, consideran la altura h del
triángulo ABC con respecto al lado BC. Al obtener el punto de intersección R entre las rectas h y m,
109

Figura 21: lugar geométrico de R cuando C se mueve sobre n.
determinan el lugar geométrico de R cuando C se mueve sobre n-en adelante lugar geométrico de R.
La trayectoria que sigue R al desplazarse C puede ser descrita por los alumnos como una hipérbola
ya que el lugar geométrico de R parece dicha cónica; esta conjetura la pueden comprobar generando
una cónica por cinco puntos que pertenezcan al lugar geométrico de R y observar que el lugar
geométrico coincide con la cónica. Con el planteamiento de la conjetura “el lugar geométrico generado
por R corresponde efectivamente a una hipérbola” y al tener la evidencia empírica de la validez de su
conjetura, los alumnos cuestionaron acerca de los elementos que están involucrados con dicha cónica.
Como se observa en esta actividad, los alumnos cada vez más se interesaban (motivación) en
explorar los elementos del software (mediación) para justificar la supuesta conjetura observada en la
figura (fluidez) y lograr dar una explicación matemática (flexibilidad) mediante lápiz y papel.
Caracterización de variables en condiciones iníciales: descrita todas las etapas de la actividad se
diagnosticó el conocimiento de los alumnos, a través de una prueba que permitió medir el número de
respuestas por alumno, el número de conceptos correctamente manejados, el número de respuestas
correctas con software dinámico y finalmente el número de conceptos con software, cada uno de estos
aciertos estaba representado por una variable (ver tabla 1 en la introducción)
El número de respuestas incorrectas, supera al número de respuestas correctas en cada una de las variables
establecidas, la razón se debe en gran parte que los alumnos no tienen claras las definiciones básicas y
conceptos de la geometría que se enseña en el bachillerato, esto repercute que el número de conceptos con
software dinámico es de cero, como se aprecia en las siguientes descripciones:
110

Figura 22:descripción de procedimiento en condiciones iniciales 77
Para caracterizar estas variables fue necesario indagar sobre los presupuestos teóricos relacionados
con la didáctica resumidos en el primer capítulo, aquí se reconocen los aportes de reconocidos
investigadores en la disciplina, se asume una actitud crítica para establecer los aspectos que se
pretenden perfeccionar en el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, principalmente en
las concepciones didácticas y epistémicas de la ciencia; en el mismo orden, las respuestas dada por
los profesores, egresados y alumnos de otros semestres en las encuestas, permitieron fundamentar
aún más esta fase. El aspecto cognitivo tiene que ver con el análisis del concepto solución a partir del
uso de la tecnología tradicional y la tecnología actual; lo pedagógico infiere en considerar esta
“apropiación” o “reproducción cognitiva” en tipos especiales de actividad que se desarrollan a través de
la enseñanza y la educación, como formas universales del desarrollo cognitivo del alumno descrito a
continuación:
Etapa 2:movimientos de elementos para una búsqueda.
Acciones: identificar las relaciones de influencia entre los elementos básicos construidos
Preguntas: ¿son necesarios y suficientes los elementos básicos utilizados?
Fundamentación: en esta actividad el alumno establece relaciones con los diferentes comandos del
software para corroborar si los elementos básicos utilizados son suficientes en la construcción de la
conjetura.
Objetivo: establecer si los elementos básicos utilizados son suficientes en la resolución de problemas
77 Las notas son inéditas y por ello pueden tener errores de redacción y ortografía.
111

Materiales: una aula virtual, dotada con 30 computadores, cada uno con el software dinámico
instalado, un tablero electrónico conectado a un video-beam y otro tradicional, apuntes de clase,
sistema de video, el libro guía y libreta de apuntes e Internet. Indicaciones metodológicas.
Contenido: dada la medida del semiperímetro de un rectángulo, determinar cuáles son las
dimensiones del rectángulo (de todos los que se pueden construir con tal semiperímetro) de mayor
área.
Figura 23: varias representaciones para determinar dimensiones de un rectángulo.
En la Figura 23 el segmento AB representa el semiperímetro del rectángulo DEFG; además, en dicha
figura se indican el área y el perímetro del rectángulo. Las dimensiones del rectángulo DEFG
dependen de las longitudes de los segmentos AC y CB (ya que, por construcción, AC y BC
representan las medidas de los lados del rectángulo DEFG, para así lograr que su perímetro sea fijo),
al mover el punto C a lo largo del segmento AB, las dimensiones del polígono cambian
dinámicamente.
Exploración. Otra manera de utilizar la computadora como herramienta es la exploración. Meza
(2001) menciona que con el uso de software apropiado; como por ejemplo: un software dinámico de
geometría), los estudiantes tienen oportunidad de explorar para verificar o para descubrir.
El uso de software dinámico en el proceso de resolución de problemas constituye un componente
importante para el aprendizaje de las matemáticas ya que los alumnos realizaron imágenes dinámicas
112

que les permitió plantear conjeturas y, además, buscar aspectos invariantes que validaron los
argumentos en la explicación de sus resultados caracterizados en condiciones finales.
Caracterización de variables establecidas en condiciones finales: esta fase incluye el diagnóstico
permanente; es decir, está presente en todas las fases del modelo, su realización y análisis permitió
conocer el estado actual de la situación existente respecto al interés de los alumnos de ingeniería para
mejorar en cuanto al conocimiento de algunos conceptos básicos de la geometría, al considerar que el
uso de software dinámico, puede servir como un aliado en las clases de matemática, se valora la
comprensión de los problemas de la geometría, lo que favorecen aspectos de la contradicción con las
potencialidades para aplicarlos en situaciones concretas tal como se muestra en la tabla 6.
Tabla 6. Caracterización de variables establecidas en condiciones finales
Items del examen
Calificación
Total: (X):Número (Y):Número (Z):Número (Q):Número
variables de respuestas de conceptos de R con S de C. con S
Total 1056 312 216 312 216
Correctas 879 240 =77% 184 = 85% 285 = 91% 170= 79%
Incorrectas 177 72 = 23% 32 = 15% 27 = 9% 46= 21%
La caracterización de variables establecidas en condiciones finales presenta seis columnas que
contiene la caracterización porcentual de cada una de las variables que fueron medidas después de
haber incluido el software dinámico en las clases de geometría durante 20 secciones de trabajo. En la
columna tres se observa un rendimiento del 57% comparado con el número de respuestas correctas
dadas en condiciones iníciales (ver tabla 1); es decir, de las 63 respuesta correctas dadas por los 24
alumnos en condiciones iniciales aumento en 240 respuestas correctas en condiciones finales, y así
sucesivamente el rendimiento se observa en la columna que contiene la variable establecida; la
columna seis muestra un rendimiento de 0% a 79%, permite asegurar el proceso de instrumentación
en condiciones finales. Aquí los alumnos relacionan los conceptos básicos de la geometría con los
elementos que contiene el software para plantear y argumentar sus conjeturas como se indica en las
siguientes descripciones:
113

Figura 24: Descripción de procedimiento en condiciones finales 78
3.2.5 Preguntas que orientaron la investigación.
1) ¿Qué aspectos del quehacer matemático se favorecen cuando los alumnos emplean,
sistemáticamente, el software dinámico en sus experiencias de aprendizaje? particularmente,
¿qué tipo de conjeturas formulan ellos, al trabajar actividades de resolución de problemas cuando
emplean, sistemáticamente, el software dinámico? Dentro de los aspectos del quehacer
matemático que se favorecieron con el uso sistemático del software dinámico se encuentran: í) la
investigación en configuraciones, en la mayoría de las actividades los grupos buscaron
relaciones; ii) el trabajo con casos particulares, al menos dos participantes tuvieron esta tendencia
al resolver los problemas planteados y otros, ocasionalmente, intentaron resolver problemas a
78 Las notas son inéditas y por ello pueden tener errores de redacción y ortografía.
114

partir de casos específicos; iii) la búsqueda de contraejemplos que en varias ocasiones utilizaron
los alumnos para descartar conjeturas y iv) argumentos que permitan justificar y comunicar
resultados.
2) ¿Cuál es el proceso que muestran los alumnos al convertir el artefacto “software” en una
herramienta matemática de trabajo? Con el uso sistemático del software dinámico los alumnos
pudieron llevar a cabo ideas que sólo era posible desarrollar en este tipo de ambientes; un claro
ejemplo es el procedimiento realizado por el estudiante “A” en la Actividad 4 (ver Anexo 11) para
verificar que dos segmentos son paralelos, solución en la que se contemplan ideas relacionadas
con rectas paralelas y que media con el instrumento.
3.3 Limitaciones del estudio.
No pueden dejarse de lado alguno, limitaciones presentes en la aplicación del procedimiento, cuando
se plantea un conjunto de problemas para que sean resueltas con software dinámico. Por ejemplo,
algunos sólo se restringieron a realizar justificaciones con base en medidas calculadas y no buscaron
otro tipo de argumentos que involucraran resultados matemáticos conocidos; es decir, dado el grado
de convencimiento que obtuvieron los alumnos, daban por cierto que lo encontrado era válido sin
ningún argumento matemático, dejaron de lado la búsqueda de aspectos relevantes en distintas
configuraciones.
3.4 Evaluación del modelo didáctico en la web por alumnos de ingeniería que cursaron
geometría con el autor.
La búsqueda de viabilidad de los resultados de esta investigación, se dividió en dos momentos. En
primer lugar se aplicó el método criterio de experto para buscar criterios consensuados sobre la
pertinencia de los aportes-teórico práctico, este método no se basó en indicadores sino en la
descripción de componentes concretos para ser evaluados en una escala cualitativa ordinal. En
segundo lugar se desarrolló una introducción parcial de estos resultados en las carreras de ingeniería
de la Universidad del Norte. Para observar el cambio se aplicaron dos pruebas pedagógicas, una de
115

entrada para observar el nivel de conocimiento de los alumnos en condiciones iníciales, y una de
salida para conocer los resultados durante la implementación del software dinámico mediante el
indicador de efectividad. Además, se solicitó a la dirección de calidad y proyectos académicos de la
universidad la evaluación del modelo, y para ello la vicerrectoría académica incluyó un conjunto de
indicadores, mucho de ellos tenían relación directa con la conjetura operacional (ver Anexo 2). Por
tanto el análisis de la viabilidad no solo incluyó aspectos cuantitativos medibles, sino también aspectos
cualitativos, que integrados, permitieron ver de una forma más rica la génesis instrumental, tomando
como eje la conjetura operacional.
Como se nota en los planes de estudio de geometría para carreras de ingeniería (ver Anexo 6), los
medios que proponen los docentes son: tablero 79 , marcadores, bibliografía, el catálogo WEB de la
asignatura, fotocopias de ejercicios propuestos para el trabajo independiente; es decir, no proponen un
medio informático. Es por esta razón, cuando se aplicó el modelo didáctico a los tres grupos de
geometría de las diferentes carreras de ingeniería lo evaluaron como novedoso en los siguientes
registros: conocimiento de la materia (excelente); calidad de las explicaciones (excelente); estrategias
estimulantes (excelente); aclaración de dudas e inquietudes (excelente); Niveles de exigencia de las
evaluaciones (excelente) y entre todos los aspectos evaluados, el que más impactó fue el que estuvo
relacionado con el software dinámico, los alumnos lo evaluaron con un promedio de 4.8 en escala de 0
a 5, esto garantiza la confiabilidad del modelo.
Conclusiones del capítulo 3.
La aplicación del método criterio de expertos incidió significativamente en el perfeccionamiento de los
elementos que conforman la estructura y contenidos del modelo didáctico y el procedimiento conjetura
operacional a través del indicador de efectividad, también permitió determinar la pertinencia y
operatividad de los mismos lo cual queda evidenciado en los anexos 2, 5 y 9.
79 Pizarra, cuando en lugar de marcadores se utilizan tizas de yeso. (N. del A.)
116

La práctica evidenció que al mostrar una serie de actividades que involucran el uso de software
dinámico para el perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la geometría en ingeniería, se
logra el paso del proceso de instrumentalización al proceso de instrumentación, prioridad fundamental
de esta investigación, que según referentes teóricos es la mediación instrumental o génesis
instrumental. Además, se pudo mostrar, a través de las diferentes actividades que se fueron
ejemplificando, cómo los elementos mediadores del modelo didáctico le dan pertinencia y validez al
procedimiento objeto de esta investigación.
Se logró prestar atención a las tendencias que muestran los alumnos cuando usan software dinámico
en la búsqueda de argumentos que les permita conjeturar o justificar resultados, sin estar atados a
procedimientos algorítmicos en forma mecánica.
Se logró propiciar el trabajo en parejas que permitió a los alumnos: (1) tengan con quien discutir sus
ideas, (2) refuten resultados, (3) defiendan procedimientos de construcción, (4) busquen argumentos
que les permita explicarse ante otras personas y (5) tengan distintas visiones o puntos de vista de
determinada tarea, Para este procedimiento se introdujo un indicador de efectividad, que
estadísticamente muestra el grado de confiabilidad del modelo didáctico que lo soporta y que a través
de un conjunto de actividades con sus indicaciones metodológicas se constituyen en una de las partes
fundamentales para la concreción práctica de la conjetura operacional como tema central de esta
investigación.
117

CONCLUSIONES
Las nuevas tecnologías, como el software, la calculadora gráfica con capacidad de procesamiento
simbólico-algebraico, el uso del Internet, son recursos fundamentales que no deben pasar inadvertidos
en los programas de estudios de las instituciones educativas de todos los niveles de la educación; por
esta razón fue necesario valorar las tendencias históricas del proceso de enseñanza aprendizaje de la
geometría en Colombia, a través de la resolución de problemas, en los estudiantes de ingeniería y de
otras carreras análogas, como matemática y las licenciatura de cada una de las ciencias básicas,
obliga a una permanente actualización y una estrecha interrelación entre los contenidos de las
diversas disciplinas.
Lo anterior conlleva a una continua transposición didáctica desde las teorías y enfoques de
fundamentar software dinámico hacia su implementación en la práctica mediante la construcción y
solución de problemas de carácter geométrico.
No se trata solo de resolver problemas de manera tradicional, basados en la memoria y los algoritmos
existentes desde la antigüedad, sino que es más que una simple recomendación de incorporar las
nuevas tecnologías en el aula a partir Implementar un laboratorio de matemáticas debidamente
equipado, para que los alumnos, tuvieran oportunidad de interactuar con el software dinámico durante
elproceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, y de esta manera conocer las condiciones
finales. Es decir, se constituye en una obligación social generacional.
Todo lo anterior justifica con creces, que ejercicios científicos como el que se acaba de mostrar en el
campo de acción del proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, deben ir más allá de la
herencia de Euclides y las curiosidades de Eratóstenes. Fue necesario Diseñar un modelo didáctico
dirigido a perfeccionar el proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría en las carreras de
ingeniería, tal que, los elementos que lo conformen, apunten más allá de la teoría de resolución de
problemas de Polya y otros autores. Dentro de esta concepción, la conjetura operacional se constituye
118

en una expresión dinámica y flexible para elevar la calidad en el proceso de enseñanza aprendizaje de
la geometría cuando el alumno logra pasar de la instrumentalización al proceso de instrumentación.
Tal sinergia se logró, en el momento que los elementos mediadores transversales como la mediación
instrumental y la motivación profesional se integran con fluidez y flexibilidad como factores del modelo,
la dinámica de estos elementos funcionan a través de un procedimiento que permitió la introducción en
la práctica con su respectivo indicador de efectividad.
El indicador de efectividad permitió caracterizar y medir las variables en cada una de las actividades
propuestas, para tal efecto fue necesario tener en cuenta lo siguiente: comprensión del problema o
principio heurístico, concepción de un plan o reglas heurísticas apoyadas en una idea de solución. El
procedimiento logró, además, que el modelo didáctico, a través de las etapas, acciones y preguntas,
introducir en la práctica no como un todo perfecto, sino como una herramienta dispuesta a ajustar las
diversas fases y componentes en una búsqueda para su perfeccionamiento. De ahí, su declarado
carácter dinámico.
El análisis epistemológico contenido en el primer capítulo, el diagnóstico permanente y la experiencia
del autor, permitió diseñar el modelo didáctico de conjetura operacional, mediante el uso de software
dinámico para el perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la geometría de estudiantes de
ingeniería. Este modelo presenta como centro la definición y resolución de la contradicción en su fase
interna, la cual se sustenta entre la comprensión de problemas de la geometría sintética, y la
respuesta de los mismos. A través de su valoración por expertos se pudo determinar la pertinencia y
operatividad, tanto del modelo como del procedimiento. Por todo lo anteriormente expuesto se
considera que los objetivos propuestos se cumplen y por tanto la hipótesis de trabajo que guió este
trabajo es válida.
119

RECOMENDACIONES
Generalizar el modelo didáctico y el procedimiento de implementación práctica, para que sea de
utilidad no solo a las nuevas generaciones de ingeniería, sino para los docentes de matemáticas,
fundamentalmente noveles.
Proponer el modelo didáctico y el procedimiento heurístico de conjetura operacional a las
instituciones de educación superior y entidades que estén interesados en la capacitación de sus
docentes en esta disciplina
Extender esta investigación a la comunidad estudiantil de otras carreras que requieran de un amplio
conocimiento de la matemática asistida por medios informáticos.
Proponer nuevos temas que deban cerrar los aspectos relativos al diseño curricular para el
perfeccionamiento del plan de estudios de las carreras de ingeniería que revierta la situación de
insuficiencias en el proceso de enseñanza aprendizaje en otras ramas y/o temáticas de las
matemáticas.
120

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269. Wittgenstin, L. (1980): Tractatus Lógico-Philosophicus. Madrid: Alianza Universidad.
270. Wittgenstin, L. (1981): Investigaciones filosóficas. Barcelona: Crítica.
271. Wolfram, S. (1996): The Mathematica Book. Cambridge Universito Press, Tercera Edición.
Cambridge, England.
143

272. Yakel y Cobb (1999): Proof as Explanation in Geometry. Focus on Learning Problems in
Mathematics, 20(2), p.13.
273. Yaque, E. (2004) La categoría situación social del desarrollo y sus derivaciones; Instituto Europeo de posgrado.
274. Zaldívar C., M. y Pérez F., A. (1997): Pruebas para caracterizar el desarrollo del pensamiento del
escolar mediante el aprendizaje de la Física. En: Libro Resumen Pedagogía ’97, Ciudad de La
Habana.
275. Zangeneh, B., Hollebrands, K., y Kuzniak, A., (2008): Research and development in the teaching
and learning of geometry in engineering. International Congress on Mathematical Education,
Monterrey México. Final Program, p. 60.
276. Zazzo, R. (1974) :L’attachement [El apego]. Neuchâtel/París, Delachaux & Niestlé.(ed.) (1986) :
La première année de la vie [El primer año de vida]. París, Presses Universitaires de
France.Thoman, E.
277. Zeichner, K., (2010): Enseñanza Reflexiva y Experiencias del Aula en la Formación del
Profesorado. Revista de Educación, 282, pp. 161-189.
278. Zilbertein, J. y Silvestre, M. (2009): Hacia una didáctica desarrolladora. Editorial Pueblo y
Educación. La Habana.
CONSULTAS INTERNET
La siguiente es una página con actividades para hacer con Cabri, y además para bajar el software,
junto con una serie de directivas para el manejo del applet Cabri II.
1. ACOFI. 144ro.acofi.edu.co. [consultado: 6 julio. 2005].
2. http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/enlaces/CabriII.htm . [consultado: 6 julio. 2005].
3. http://platea.cnice.mecd.es/~jmigue1/ . [consultado: 6 julio. 2006].
4. http://mimosa.cnice.mecd.es/clobo/geoweb/indice.htm . [consultado: 10 julio. 2005].
144

5. Página con actividades para realizar con Cabri y con calculadoras.
http://www.terra.es/personal/joseantm/. [consultado: 10 julio. 2005].
6. Página con trabajos de C. Laborde en castellano para enseñar ecuaciones diferenciales con Cabri
II http://www.cabri.com/es/publicaciones-cabri. . [consultado: 5 Marzo. 2007].
7. AFI.http://www.puc.cl/dara/145rofess145/pregrado/nuestrosalu.html. [Consultado: 9 oct. 2006]
8. .http://es.wikipedia.org/wiki/Computación_evolutiva/. [Consultado: 15 Mar. 2006].
9. http://tsg.icme11.org/tsg/show/13[Consultado: 25 Feb. 2008].
10. Andrade Sosa, Hugo y Navas Garnica, Ximena. La informática y el cambio en la educación: Una
propuesta ilustrada con ambientes de modelado y simulación con dinámica de sistemas. Proyecto
MAC.
http://dinamicasistemas.mty.itesm.mx/congreso/ponencias_pdf/14.La_informatica_el_cambio_en_la
_educacion.pdf. [Consultado: 18 Sep. 2005].
11. Aprendizaje colaborativo. Las estrategias y técnicas didácticas en el rediseño, 2002.
http://www.sistema.itsm.mx./va/dide/inf-doc/. [consultado: 20 Abr. 2007].
12. Beltrán, Elsa. Cartilla para docentes en formación. www.pequenoscienfiticos.org. . [consultado: 8
julio. 2006].
13. Bergin, Joseph. Why Procedural is the Wrong First Paradigm is OOP is the Goal. ftp://titan/
Universidad de Holguín. [consultado: 17 feb. 2004].
14. Buela, Gualberto. Sistema de habilitación Nacional: Procesos y
criteriosdeevaluación.http://www.aneca.es/actividades/docs/eventos/almu04_gualberto .ppt
[consultado: 12 dic. 2006].
145

15. Consejo Nacional de Acreditación. Estadísticas de Acreditación 2005.
http://www.cna.gov.co/cont/acr_alt_cal/index.htm. [consultado: 10 feb. 2007].
16. Desarrollo Histórico Según [Jackson 86]. http://www.fortunecity.com/skyscraper/
chaos/279/historia/historia2.html.[consultado: 12 dic. 2007].
17. http://1tsn.mathstore.ac.uk/came/events/freudenthal/theme1.html.[Consultado 20 de mayo de
2004].
18. Baertsoen y Vanmaele, (1995) http//formación profesional del ingeniero mecánico/theme1.html.
146

Anexo 1.Topic study group 19 y 22.
ANEXOS
147

Anexo 2. Dirección de calidad y proyectos académicos.
148

Anexo 3. Participación del autor en eventos científicos internacionales relacionados con el tema
de investigación.
149

Anexo 4. Encuesta a egresados de las carreras de ingeniería de la Universidad del Norte.
Compañero (a) esta encuesta, dirigida por las carreras de Ingeniería de la Universidad del Norte, tiene el
objetivo de obtener información sobre determinados aspectos relacionados con la cátedra de geometría recibida
por usted en su formación como ingeniero.
En aras de realizar un diagnóstico profundo que sirva de base para el posterior análisis, es necesaria su valiosa
cooperación. La información que nos facilite es anónima y, de esta forma, reflejará los problemas reales que
afronta al respecto.
Finalmente queremos agradecerle su disposición a colaborar con este empeño, el cual puede ayudar a
solucionar los problemas que más afectan a los estudiantes de la carrera de ingeniería en torno a la asignatura
de geometría.
Instrucciones
Al responder este cuestionario debe tener en cuenta lo siguiente:
Lea detenidamente cada pregunta antes de contestarla, así como sus posibles respuestas.
Cuestionario
1 Año de graduación:__________2 Carrera que culminó:___________3 Empresa en la que labora:
______________4 Sector al que pertenece: ________________5 Sexo: M______F______
6 Cuál era su actitud hacia la carrera que estudio.
a) Muy motivado_______b) Motivado_______c) Indiferente______d) Rechazo_________
A continuación encontrarás preguntas relacionadas con el uso de recursos informáticos en las clases de
Matemáticas en particular con las clases de geometría, siente una posición relacionada con los medios
informáticos en las carreras de ingeniería (trate de sintetizar)
7 ¿En sus clases de matemáticas durante su carrera como ingeniero, utilizó asistentes informáticos como
recursos de activación del aprendizaje de la Matemática, concretamente de la Geometría?
8 ¿Durante su formación profesional, se enteró que existe un laboratorio de matemáticas que puede ser
utilizado por los docentes para desarrollar clases afines con la matemática?.
9 ¿En la elaboración de su proyecto de grado, pensó alguna vez trabajar con su tutor un problema relacionado
con su carrera, en la cual, incorporara el uso de software dinámico?
10 ¿Alguna vez retiró alguna asignatura relacionada con la matemática? Diga, cual (es) y ¿por qué?
150

Anexo 5. Prueba diagnóstico en la caracterización de variables.
La primera parte contiene el software dinámico formado por dos categorías, las condiciones iníciales antes
de aplicar software que permiten caracterizar cuatro variables y las condiciones finales después de aplicar el
software que a través del indicador de efectividad garantizó el aumento del 20% del total de preguntas
correctas. En la columna de la izquierda de la tabla 1, aparecen algunos valores numéricos para el radio de la
22
circunferencia y lados del triángulo, para facilitar las cuentas considérese el valor de = . En las dos
7
columnas siguientes describa el procedimiento con papel y lápiz, después descríbalo con software dinámico.
Valores numéricos
Para r y lados del ABC AB
20
Si r = y
3
=
22
¿Cuál es el área y el
7
perímetro
figura 2.
de la circunferencia
Si AB= AC = 5cms y BC= 4 cms
¿Cuál es el área y el perímetro del
ABC AB ?
Proponga una conjetura para
encontrar el área de la región que
está fuera del ABC AB
Descripción del
procedimiento con
papel y lápiz
151
Descripción del
procedimiento con
Software dinámico
Resultados
Obtenidos

UNIVERSIDAD DEL NORTE
Anexo 6. Planes de estudio y programa de geometría de las carreras de ingeniería.
Plan de Estudios
1. Identificación del curso
División: Area de Ciencias Básicas
Departamento: Matemáticas y Física
INGENIERÍA MECANICA
1SEMESTRE 2 SEMESTRE 3SEMESTRE 4 SEMESTRE 5 SEMESTRE 6 SEMESTRE 7 SEMESTRE 8 SEMESTRE 9SEMESTRE 10 SEMESTRE
Algebra y Trig
Geometría
Química Gral
Comp y Prod Text
Int.Ing Mecán.
Elec Const y Dem
Electiva Cienc Soc
I
Idiomas I
Cálc.Diferenc.
Algebra Lineal
Física I
Lab Física I
Expr.Gráfica
IdiomasII
Cálc.Integral
Física II
Lab Física II
Estática
Mat. de Ingen.
Idiomas III
Cálc.Vctorial
Ec Diferenc.
Física III
Lab Física III
Elec MS &
Diseño I
Electiva
Soc II
Idiomas IV
Cienc
Termodi. I
Dinámica
Resist Materi.
Elctr y Elctrón.
Idiomas V
INGENIERÍA INDUSTRIAL
Termodi. II Transf de Calor
Algorit y Prog. Mec Fluidos
Etica Profesional Análisis Estad
Idiomas VI Transf de Calor
Procesos
Fabricación
Idiomas VII
Programa o Parcelación de Geometría
152
Inst. y Control
Turbomáqinas
Diseño Mec.
Elec Ingenie I
Form y Eval de
Proy
Etica Profes.
Elect H. y Filos
Idiomas VIII
Elem
Termofluidos I
Elec MS &
Diseño II
Elec Ingen. II
Elect.n Gestión
Elem
Global I
Form
Elem
Termfluidos II
Elem MS &
Diseño III
Proy de Grado I
Proy
Tecnológ
Inn
Elem
Global II
Form
1SEMESTRE 2 SEMESTRE 3SEMESTRE 4 SEMESTRE 5 SEMESTRE 6 SEMESTRE 7 SEMESTRE 8 SEMESTRE 9SEMESTRE 10 SEMESTRE
Geometria
Int A La Ing.
Industrial
Exp.Gráfica
Electiva De Raz.
Cuantit.
Comp.Com..I
Idiomas I
Cálculo 2
Física Mecánica
Alg.y Progr.1
Electiva de
Ciencia y Tecn.
Comp. Com. 2
Idiomas II
Cálculo 3
Algebra Lineal
Física Cal Ond
Estatica
Cienc.de Los
Materiales
Estr.de Oper.
Idiomas III
Ec.Diferenc.
Física Elect.
Termodin.
Proc.de Fabr.
Elec.de Human.
Idiomas IV
Est.del Trabajo
Sis.de Costos
Prod.
Aná.de Datos en
Ing. 1
Sol.Computac.
Elect.Básica
Discip.
Idiomas V
Dis.de is.Prod.
Inv.de Oper.I
Aná.de Datos
en Ingeniería 2
Ing.Económica
Electi.de Ética
Electi.de Filos
Idiomas VI
INGENIERÍA ELÉCTRICA
Plan.Progr.Cont.
Prod.
Inv.de Operac II
Cont.y gest
integ. calidad
Aná.y eval.de
proy.de inv.
Elect. de
emprend.
Idiomas VII
Logísti.y distrib.
Simulación
Seg.y gest.amb.
Ana.de mod.de
gest.del tal.hum.
Idiomas VIII
Elect.econadm
va
Elect.gestión de
oper.
Elect.mét. Cuant.
Form. comp.
libre 1
Proy.final
Electiv.de
estudios del
caribe
Elect de historia
Form. comp.
libre 2
1SEMESTRE 2 SEMESTRE 3SEMESTRE 4 SEMESTRE 5 SEMESTRE 6 SEMESTRE 7 SEMESTRE 8 SEMESTRE 9SEMESTRE 10 SEMESTRE
Geometria
Int.a la ing. eléct
Exp. grafica
Elect en
razon.cuanti.
Elec.en comp.com I
idiomas I
Calculo II
Fisica mecanica
Algorit.y prog. 1
Elect.en ciencia
y tecn.
idiomas II
Calculo III
Física electrici.
Ec. Diferen.
Elect.en
cienc.soc.
Elect. historia
idiomas III
Teo.electromag.
Fisica
ondas
calor y
Circuito i
Elect.bás.discip.
Estudio del
carib
e
Idiomas IV
Ana.de datos en
ing. I
Soluc.comp.de
prob.ing. i
Termodinam.
Electronica i
Circuitos ii
Ex. comp..I
Idioma V
Inst. eléctricas
Máq.eléctrica 1
Lógica digital
Med.e instrum.
Mod de sistem.
Idioma VI
Elem. de sist. de
potencia
Maq.electric. 2
Control autom.
Elect. de ética
Electiva de
filosofia
Idioma VII
Aná.de sist.de
potencia
Subest. Elect.
Protec.eléctric.2
Electron. de
potencia
Elect. en gestión
Idioma VIII
Elect.profes. 1
Form.complem.
libre I
Elect.profes. 2
Elect.emprend.
Examen
compreh.II
Proyecto final
Form.complem.
libre II
Elect.profes. 3
Elect.de
humanidades

Nombre del curso: GEOMETRIA
Código del curso: MAT 0090
Requisitos: Estar matriculado en el curso
Co – requisitos No Tiene
Número de créditos del curso: 3
TIPO DE CRÉDITO:
Obligatorio
Parcialmente libre
Libre
UBICACIÓN DEL CURSO EN LA ESTRUCTURA CURRICULAR DEL PROGRMA
Básico
Básico profesional
Profesional
NOMBRE DEL PROGRAMA : GEOMETRÍA
INGENIERIAS: Mecánica, Industrial y Eléctrica
No. De semanas: 16
Intensidad horaria por semana: 3 Horas
No. De horas teóricas por semanas: 1 Hora
No. De horas por semana de trabajo independiente del estudiante: 3
Nombre del profesor (es) y direcciones del correo electrónico:
Fabian Arias :farias@uninorte.edu.co
Lilibeth Castro:licastro@uninorte.edu.co
Javier de la Cruz :jdelacruz@uninorte.edu.co
Ubicación del profesor (es)(Oficinas)DPTO. DE MATEMÁTICAS, FÍSICA Y ESTADÍSTICA ( Sede campestre )
Horario de atención: Acordado con los profesores
2. Descripción de la asignatura
En este curso se estudian elementos de la Lógica, las proposiciones, las definiciones, postulados y teoremas de la
Geometría Euclidiana plana y del espacio, los tipos de razonamiento: inductivo y deductivo. Se abordan la congruencia y
semejanza de triángulos y polígonos, el área y perímetro de regiones planas, el volumen de sólidos y la Geometría
Analítica Bidimensional líneas rectas y de las cónicas.
3. Justificación
153

El estudio de la Geometría incluye en la actualidad diversidad de aspectos relevantes para la formación
profesional del futuro ingeniero. Se constituye en punto de encuentro entre las matemáticas como una teoría y
las matemáticas como fuente de modelos, como una manera de pensar y entender, como una teoría formal,
como un ejemplo paradigmático para la enseñanza del razonamiento deductivo, como una herramienta en
aplicaciones, tanto tradicionales como innovadoras que incluyen por ejemplo, gráficas elaboradas con regla y
compás, procesamiento y manipulación de imágenes, reconocimiento de patrones etc. El estudio de la
Geometría, ayudará al estudiante a fortalecer sus capacidades de análisis, síntesis y a formular las hipótesis
que pueda verificar mediante los procesos inductivos y/o deductivos propios de esta asignatura
4. Objetivo general OG
A través de esta asignatura se pretende que el estudiante desarrolle habilidades básicas de pensamiento:
visuales, verbales, gráficas, lógicas y de aplicación para usar argumentos geométricos que le permitan resolver
y formular problemas en contextos matemáticos y en otras ciencias.
5. Objetivos específicos OE
Componente de la Competencia
No.
Descripción del objetivo específico OE
Saber Ser
1 Fomentar la responsabilidad, ética y tolerancia en el estudiante, a través de la asignación de trabajos
individuales y de grupo
2 Saber Conocer Identificar reglas, definiciones, postulados y teoremas relativos a objetos y hechos
geométricos y los aplica en deducciones formales.
3 Visualizar representaciones geométricas (modelos) o contra ejemplos involucrados en los datos de un sistema
matemático deductivo dado.
4 Reconoce las condiciones de congruencia y semejanza de triángulos y polígonos
5 Saber Hacer Utilizar el razonamiento deductivo para verificar una conclusión, juzgar la validez de un
argumento y construir argumentos válidos de enunciados matemáticos.
6 Utilizar el razonamiento inductivo para reconocer patrones y formular conjeturas.
7 Utilizar el razonamiento espacial y proporcional para resolver problemas
6. Contenido
154

UNIDADES TEMAS
UNIDAD N° 1: INTRODUCCIÓN A LA Proposiciones y sus clasificaciones.
LOGICA
Conectivos lógicos y Tablas de verdad
Esquemas de razonamiento.
5 HORAS
Análisis de la implicación e implicaciones derivadas de una
condicional
El método axiomático
Postulados y definiciones básicas
Métodos de demostración
Conjuntos y operaciones entre conjuntos
UNIDAD N° 2 : PARALELISMO Y Rectas paralelas. Postulado de las rectas paralelas.
PERPENDICULARIDAD
Teoremas sobre paralelismo y perpendicularidad.
Ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos o
4 HORAS
perpendiculares
UNIDAD N° 3 : GEOMETRIA DEL Congruencia de polígonos
TRIANGULO: CONGRUENCIA Y Congruencia de triángulos
SEMEJANZA
Postulados de la congruencia de triángulos.
Prueba de congruencia utilizando teoremas.
Teorema de la congruencia LAA
10 HORAS
Congruencia en triángulos rectángulos
Teorema de Pitágoras. Triángulos especiales.
Razones y Proporciones. Propiedades.
Polígonos semejantes
Semejanza de triángulos
Teorema Fundamental de la Proporcionalidad.
Triángulos semejantes y postulados AAA
Teorema de la semejanza AA.
UNIDAD N° 4: COORDENADAS Sistema de coordenadas rectangulares.
RECTANGULARES.
Distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento
Ecuaciones en dos variables. Gráficas
Pendiente de una recta
LA LÍNEA RECTA
4 HORAS
Ecuaciones de una recta
Rectas paralelas y perpendiculares
Distancia de un punto a una recta
UNIDAD N°5: CUADRILATEROS, AREA Cuadriláteros. Propiedades básicas.
Y PERIMETRO
Paralelogramos, rectángulos, rombos, cuadrados y trapecios.
Área y superficie. Postulados del área.
Área de: cuadrado, paralelogramo, triángulo, trapecio y
8 HORAS
polígono regular.
UNIDAD N° 6: VOLUMEN DE SÓLIDOS
5 HORAS
Poliedros, pirámides y prismas.
Área y volumen de prismas y pirámides.
Área y volumen del cilindro, del cono y de la esfera.
UNIDAD N° 7 : LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia. Elementos de una circunferencia.
155

4 HORAS
Círculo y área del círculo.
Ecuaciones de la circunferencia con centro en el origen yen
cualquier punto (h,k)
Ecuación general de la circunferencia
Teoremas básicos sobre la circunferencia.
Problemas sobre rectas tangentes a una circunferencia
UNIDAD N° 8: CÓNICAS
Definición de sección cónica y excentricidad.
La parábola. Ecuaciones.
8 HORAS
La elipse. Ecuaciones.
La hipérbola. Ecuaciones.
7. Resultados de aprendizaje RA y Evidencias
No. Del OE
Descripción del Resultado de Aprendizaje RA
Descripción de la Evidencia
1. Trabaja en distintos grupos
adecuadamente y es tolerante ante las
opiniones de sus compañeros. En los
trabajos individuales trabaja a conciencia
2. Utiliza reglas de inferencia lógicas,
definiciones, teoremas y postulados de la
geometría euclidiana para demostrar nuevos
teoremas, para obtener una deducción de
situaciones reales o matemáticas.
3. Identifica las condiciones de congruencia y
semejanza de triángulos y polígonos y las
aplica en las demostraciones relacionadas y
en la resolución de problemas.
4. Resuelve problemas de áreas y volúmenes
de figuras planas y de sólidos geométricos
El estudiante es capaz de trabajar en los grupos y hace entrega
por escrito y sustentada de las actividades que le asigne el
profesor.
En el desarrollo de los exámenes individuales trabaja por
esfuerzo propio
A partir de situaciones dadas es capaz de realizar deducciones
formales de hechos geométricos.
El estudiante realiza deducciones formales empleando
postulados y teoremas y resuelve problemas de la geometría del
triangulo
A partir de problemas propuestos de área y volumen aplica
estrategias de resolución de problemas para determinar áreas y
volúmenes
156

5. Analiza las relaciones entre las
expresiones algebraicas y las graficas de
ecuaciones asociadas a la línea recta y a las
cónicas
A partir de ecuaciones de líneas rectas, circunferencias,
parábolas, elipses e hipérbolas construye las graficas
cartesianas correspondientes.
6 En una evaluación por escrita de 5 problemas en la cual la
variable a despejar es un exponente demuestra aplicar las
propiedades de los logaritmos
7. Representa en forma concreta, grafica y
algebraica la línea recta, la circunferencia, la
parábola, la elipse y la hipérbola
8. Opciones Metodologías-Actividades pedagógicas
A partir de condiciones geométricas dadas el alumno es capaz
de establecer ecuaciones de líneas rectas, circunferencias,
parábolas, elipses e hipérbolas y representarlas gráficamente
en el plano cartesiano.
El curso se desarrollará a partir de ejemplos y de consideraciones intuitivas de las diferentes temáticas para
lograr un aprendizaje significativo, teniendo en cuenta que los estudiantes de este curso serán usuarios de las
matemáticas y no propiamente futuros matemáticos. Se trata que a partir del tratamiento a partir de soluciones
de problemas de situaciones de la vida práctica surja de manera natural la formalización de los conceptos que
se pretenden abordar en este curso.
Para el desarrollo de esta propuesta metodológica se seguirá el siguiente proceso.
El alumno debe leer previamente el tema a manejar por el profesor
Discusión en clase a partir de la formulación de preguntas que estimulen la participación de los alumnos
Programación de problemas, talleres en clase y evaluación de los mismos
Asignación de material complementario en español e inglés, a través del catalogo Web de la asignatura.
Utilización de lápiz y papel y el texto guía
9. Medios
Básicamente se utilizará:
Tablero, marcadores, bibliografía propuesta
El catálogo WEB de la asignatura
Fotocopias de ejercicios propuestos para el trabajo independiente
Libro guía
10. Evaluación
157

Se realizarán tres exámenes parciales y un examen final. Control de lecturas, talleres que se describen en la
siguiente tabla: Evaluaciones Parciales, Periodo, Porcentaje
Primer Parcial: Se realizará en la cuarta semana de clases. 25%
Segundo Parcial: Se realizará en la octava semana de clases 25%
Tercer Parcial: Se realizará en la duodécima semana de clase. 25%
Examen Final: Lo dispone la Universidad 25%
5. Bibliografía Básica
BARRAZA, B; ROBINSON, J; TORRES, J. Geometría Plana. Notas de clase Ediciones Uninorte. Barranquilla.
12. Bibliografía Complementaria
CLEMENS; S: O’DAFFER; COONEY. Geometría con aplicaciones y solución de problemas. Mexico: Addison
Wesley. 1989.
LEITHOLD, L. Álgebra y Trigonometría con Geometría Analítica. México. Harla. 1994
BALDOR, A. Geometría plana y del espacio y trigonometría. Guatemala: Cultural Centroamericana. 1967.
MOISE-DOWNS. Geometría moderna. México: Adición Desleí. 1980.
BARNETT, D. Geometría. Mexico: MC Graw Hill, Colección Schaum, 2ª edición. 1991.
ALLENDOERFER Y OAKLEY. Fundamentos de matemáticas universitarias. Mexico: Mc Graw Hill. 1995.
OTEYSA, E; LAM, E; GOMEZ, A; RAMÍREZ, A ; HERNÁNDEZ, C. Geometría Analítica. México. Prentice Hall.
1994
158

Anexo 7. Encuesta aplicada a los docentes que dictan la asignatura de geometría en carreras de
Ingeniería Universidad del Norte.
Respetado (a) colega, el objetivo de esta encuesta es indagar algunos aspectos relacionados con el proceso de
enseñanza-aprendizaje de la geometría en cursos de ingeniería bajo su responsabilidad, por ello la información
que usted suministre es importante para analizar las causas por las cuales los estudiantes abandonan o
cancelan esta asignatura
En aras de realizar un diagnóstico profundo que sirva de base para el posterior análisis, es necesaria su valiosa
cooperación. La información que nos facilite es anónima y, de esta forma, reflejará los problemas reales que
afronta al respecto.
Finalmente queremos agradecerle su disposición a colaborar con este empeño, el cual puede ayudar a
solucionar los problemas que más afectan a los estudiantes de la carrera de ingeniería en torno a la asignatura
de geometría.
Instrucciones
Al responder este cuestionario debe tener en cuenta lo siguiente:Lea detenidamente cada pregunta antes de
contestarla, así como sus posibles respuestas.
Cuestionario
1 Formación académica: ____________2 Postgrado que terminó: _____________
3: Instituciones donde trabaja:________________4 Sector al que pertenece: ______________
5 Sexo: M______F______
6 Cuál era su actitud hacia la carrera que estudio: Muy motivado____Motivado___Indiferente___
Rechazo_________
A continuación encontrarás preguntas relacionadas con el uso de recursos informáticos en las clases de
Matemáticas en particular con las clases de geometría que usted imparte, siente una posición relacionada con
los medios informáticos en las carreras de ingeniería respecto al proceso de enseñanza aprendizaje de la
matemática (trate de sintetizar)
7 ¿En sus clases de matemáticas, utiliza asistentes informáticos como recursos de activación del proceso de
enseñanza-aprendizaje, concretamente de la Geometría?
8 ¿En sus clases de geometría, utiliza el laboratorio de matemáticas como lugar para discutir con sus
estudiantes algunos procedimientos geométricos resueltos con papel y lápiz?
9 ¿Qué opina con respecto al uso de software dinámico, en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la
geometría?
10 ¿Qué ventajas o limitaciones ofrece a los alumnos el empleo de herramientas tecnológicas en el aprendizaje
de las matemáticas, particularmente la geometría en carreras técnicas?
11¿Cuáles son las causas por el cual, los alumnos de ingeniería cancelan la asignatura de geometría? Diga,
cual (es) y ¿por qué?
159

Anexo 8. Encuesta diagnóstico realizado a estudiantes de séptimo semestre de Ingeniería de la
Universidad del Norte año 2007.
IDENTIFICACION.
Fecha: _____________________________________________________________
Programa: __________________________________________________________
Semestre: _________
Grupo: ____________
B. ASPECTOS GENERALES.
El objetivo de esta encuesta es realizar un diagnóstico acerca del nivel de interés que presentan los estudiantes
de Ingeniería cuando usan cualquier tipo de software dinámico en la enseñanza aprendizaje de la geometría.
¿Conoce algún tipo de software que favorezca el proceso enseñanza aprendizaje de la geometría?:
o Si ¿Cuál?:____________________________________________________
o No
2. Con referencia en el plan de estudios de la carrera de Ingeniería que está cursando usted actualmente
indique ¿En qué semestre se imparte la asignatura de geometría?
Octavo
Séptimo
Sexto
Otro. ¿Cuál?:________________________
3. ¿Está de acuerdo que los docentes impartan sus clases en el laboratorio de matemáticas, de tal forma, que
los recursos tecnológicos permitan dinamizar, visualizar y conjeturar en la resolución de problemas?.
Muy Alto (Muy importante y necesario)
Alto (Importante)
Medio (Necesario)
Bajo (Poco importante)
No le afecta. (NO es importante, NO es necesario)
4. ¿Tiene usted conocimiento de la existencia de recursos informáticos, como proyectos de investigación en los
procesos de enseñanza aprendizaje de la matemática en su facultad?
o Si
o No
5. ¿Está interesado en asistir a un sábado del docente al laboratorio de matemáticas sobre la
utilización del software dinámico en la enseñanza aprendizaje de la matemática?
Muy Alto (Muy importante y necesario)
Alto (Importante)
Medio (Necesario)
Bajo (Poco importante)
No le afecta. (NO es importante, NO es necesario)
160

Nombre y Apellidos (Opcional):_______________________________________________________
Anexo 9. Encuesta a los expertos para determinar la concordancia de los aspectos que se
someten a su consideración.
Nombre y apellidos: ______________________________________________.
Institución a la que pertenece: _____________________________________.
Cargo actual: __________________________________________________.
Calificación profesional, grado científico o académico:
Profesor: _____.Licenciado: _____.Especialista: _____.Máster: _____.Doctor: _____.
Años de experiencia en el cargo: ________________.
Años de experiencia docente y/o en la investigación: ________________.
Como parte del tema de tesis de Doctorado en Ciencias Pedagógicas se está elaborando un modelo didáctico
para favorecer mediante un procedimiento para el perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la
geometría en Ingeniería.
Se anexa a esta encuesta dicha propuesta la cual deseo que usted consulte, ya que se requiere su opinión con
relación a:
Grado de relevancia de las fases y componentes del modelo didáctico, mediante software dinámico, para el
perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la geometría en Ingeniería Mecánica. Así como las del
procedimiento conjetura operacional.
Sugerencias de cambios de denominación de las fases y componentes propuestos, cuyo grado de
relevancia, se somete a su consideración.
Indicaciones: a continuación se le presenta el procedimiento heurístico mediante software dinámico para el
perfeccionamiento de la enseñanza aprendizaje de la geometría en Ingeniería.
Una tabla que contiene las fases y componentes del modelo didáctico Conjetura operacional. A la derecha
aparece la escala:
Modelo didáctico para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería
FASES COMPONENTES
Primera
Segunda
Tercera
Fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje
de la geometría.
Diagnóstico que emerge de la
caracterización de variables.
Desenvolvimiento del software
dinámico a través de la génesis
instrumental (resolución)
Condiciones iníciales antes
de aplicar software
dinámico.
Condiciones finales
después de aplicar
software.
Proceso de
Instrumentalización.
Proceso de
instrumentación..
161
MA BA A PA NA

Modelo didáctico para el perfeccionamiento del proceso de enseñanza
aprendizaje de la geometría en carreras de ingeniería
FASES COMPONENTES
Cuarta
QUINTA
Elementos mediadores
transversales
Factores que integran la conjetura
operacional
Mediación instrumental
Motivación profesional
Flexibilidad
Fluidez asociativa
Fluidez figurativa
Concreción en la práctica:
Procedimiento conjetura operacional a través del IECO
162
MA BA A PA NA
MA: Muy adecuado. BA: Bastante adecuado. A: Adecuado. PA: Poco adecuado NA: No adecuado.
Marque con una cruz (X) en la celda que corresponda con el grado de relevancia que usted considere en
cada fase y componente de la propuesta del modelo didáctico conjetura operacional. Se le agradece de
antemano el esfuerzo para responder, con la mayor fidelidad posible a su manera de pensar la presente
encuesta.
Escriba a continuación que fase o componente considera que deben ser incluidos o eliminados en
esta propuesta:
Fase o componente que se proponen ser
incluidos
Fase o componente que se proponen ser eliminados
Señale a continuación, si considera que el nombre de alguno de las fases o componentes del
procedimiento, debe ser cambiada:
La fase o componente aparece como La fase o componente debe ser cambiado por
Otra sugerencia que usted desee hacer sobre la propuesta del modelo y/o procedimiento para favorecer el
proceso de enseñanza aprendizaje de la geometría, a través del uso de software dinámico y que estamos
sometiendo a su consideración.

Anexo 10. Determinación del coeficiente de competencia de los posibles expertos.
No Determinación del Coeficiente de
Competencia
163
-------- Bajo
-------- Medio
-------- Alto
Ka K Categorías
1 1 0.8 0.9 Alto
2 0.9 0.9 0.9 Alto
3 0.8 1 0.9 Alto
4 0,8 1 0.9 Alto
5 0.9 0.9 0,9 Alto
6 1 0,8 0,9 Alto
7 0,9 0,9 0,9 Alto
8 0,9 0,9 0,9 Alto
9 0,8 0,9 0,85 Alto
10 0,8 0.9 0,85 Alto
11 0,8 0,9 0,85 Alto
12 0,8 0,9 0,85 Alto
13 0,8 0,8 0,8 Alto
14 0,8 0,8 0,8 Alto
15 0,7 0,9 0,8 Alto
16 0,8 1 0,8 Alto
17 0,8 1 0,8 Alto
18 0,7 0,9 0,8 Alto
19 0,8 0,8 0,8 Alto
20 0,8 0,8 0,8 Alto
21 0,8 0,8 0,8 Alto
22 0,8 0,8 0,8 Alto
23 0,8 0,8 0,8 Alto
24 0,8 0,6 0,7 Medio
25 0,7 0.7 0,7 Medio
26 0,7 0,7 0,7 Medio
27 0,9 0,5 0,7 Medio
28 0,2 0,5 0,35 Bajo
29 0,3 0,6 0,45 Bajo

Anexo 11. Actividades que permitieron caracterizar las variables para poner en práctica el
procedimiento.
ACTIVIDAD 1
CONSTRUCCIONES BÁSICAS
Nombre : ____________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software a partir de las construcciones
básicas y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que analice y conjeture en cada una de las preguntas
que se generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Etapas de generación de conjeturas.
En esta tarea el estudiante recurre a la mediación instrumental como primera etapa de la conjetura
operacional utiliza su estructura cognitiva para adaptarlo al mundo exterior, es decir los comandos del software.
Acciones para la generación de conjeturas
1. Abre el programa de software dinámico.
2. Construye un segmento AB y determina su punto medio M.
3. Traza el círculo de centro M y radio MA.
4. Construye la recta que sea perpendicular al segmento AB y que contenga, el punto M.
5. Determina los puntos de intersección de esta recta con la circunferencia, sean C y D esos puntos de
intersección.
6. Construye el cuadrilátero ADBC y oculta la recta, el punto M y el segmento AB.
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas
7. ¿Describa el procedimiento anterior mediante el uso de papel y lápiz? ¿Qué relación existe en los dos
procedimientos?
8. Determina la medida de cada uno de los lados y de los ángulos del cuadrilátero ADBC.
9. Mueve los puntos A y/o B, ¿qué otras características puedes agregar a las presentadas en el punto 7?
10. Salve el archivo (“File” “Save”) con el nombre "0305a" en la carpeta "00Wilson" del directorio "C". Abre
una nueva ventana ("File", "New Sketch").
Procedimientos heurísticos esenciales.
164

Para que el estudiante lleve a cabo cada uno de los pasos descritos en esta actividad, debe comprender el
problema, es decir, el principio heurístico, en este sentido se tiene la idea de la solución o reglas heurísticas
y finalmente se lleva a cabo el plan correspondiente a la estrategia heurística.
ACTIVIDAD 2
CONSTRUCCIÓN DE CUADRADO
Nombre:______________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software que permita la construcción de un
cuadrado y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que analice y conjeture en cada una de las preguntas
que se generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Etapas de generación de conjeturas.
El elemento mediador mediación instrumental, como primera etapa de la conjetura operacional utiliza su
estructura cognitiva para adaptarlo al mundo exterior, es decir, los comandos del software, también recurre a la
observación de hechos o fluidez asociativa, en el desarrollo de todas las actividades, lo que permite un
estímulo representado en una figura básica o fluidez figurativa, estas etapas se repiten en cada una de las 16
actividades
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Construye un segmento AB.
2. Construye una recta perpendicular al segmento que pase por el punto A.
3. Traza el círculo con centro en A y radio AB.
4. Determina un punto de intersección de este círculo con la recta perpendicular al segmento, sea Cese punto.
5. Traza una perpendicular por Bal segmento AB.
6. Construye una paralela al segmento ABque pase por C, sea Del punto de intersección de las dos últimas
rectas trazadas.
7. Oculta las tres líneas rectas y la circunferencia.
8. Construye el cuadrado ABDC.
9. Salve el archivo con el nombre "0305b" en la carpeta "00Wilson" del directorio "C".
165

Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
10. ¿Qué argumentos darías para justificar que la construcción corresponde a la de un cuadrado? ¿Describa
el procedimiento anterior mediante el uso de papel y lápiz? ¿Qué relación existe en los dos procedimientos?
Procedimientos heurísticos esenciales.
En esta actividad los procedimiento heurísticos son: (PH) procedimientos heurísticos, en este sentido se tiene
la idea de la solución o (RH)reglas heurísticas y finalmente se lleva a cabo el plan correspondiente o la
(EH)estrategia heurística.
ACTIVIDAD 3
TRIÁNGULOS
Nombre:_____________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software que permita la construcción de
triángulos y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Construye un triángulo, sean A, B y Csus vértices.
2. Determina la medida de cada uno de los ángulos del triángulo y la suma de estas medidas.
Mueve los vértices del triángulo,
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
¿Qué puedes observar en la suma de las medidas de los ángulos? Establecer una relación matemática que te
permita justificar tu conjetura con papel y lápiz?
3. Construye las alturas de los lados del triángulo, sea Oel punto de intersección de dos de estas alturas.
4. ¿Qué observa en esta construcción? Mueve los vértices del triángulo para verificar tu conjetura.
5. Construye las medianas del triángulo y determina el punto de intersección de dos de estas.
6. ¿Qué observa en tu construcción? Mueve los vértices del triángulo para comprobar las características
observadas. hacer una descripción de lo anterior mediante el uso de la tecnología tradicional.
Actividad 4
166

Construcción de la recta tangente a una circunferencia
Nombre:_____________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para construir la recta tangente a
una circunferencia y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Construye una circunferencia con centro en O.
2. Sea B cualquier punto sobre la circunferencia.
3. Traza una línea recta que pase por By que sea tangente a la circunferencia. Sea m dicha línea recta.
4. Justifica
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
5. ¿Justifique por qué mes tangente a la circunferencia en el punto B?.Argumente su conjetura
matemáticamente
6. Mueve el punto B, ¿continúa la recta m tangente a la circunferencia?. ¿Por qué?
7. En general, ¿cuál es la característica principal de una línea recta que es tangente a una circunferencia en
un punto P?
8. Si tu construcción anterior no representa una recta tangente a una circunferencia en el punto B(para todas
las modificaciones que se le hagan a la circunferencia y/o al punto B), realiza otra construcción en la que se
cumpla que la recta siempre sea tangente a la circunferencia en el punto B
Actividad 5
Construcción de cuadrado dado su diagonal
Nombre:______________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para construir un cuadrado dado su
diagonal y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
167

Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
1. Dado un segmento CD, indica ¿cómo construir un cuadrado cuya diagonal sea este segmento? (.)
¿Bajo que condiciones teóricas se logra tal construcción?.Justifique y valide matemáticamente tu conjetura
Sugerencia: supón que tienes resuelto el problema, es decir, realiza la construcción de un cuadrado y observa
las propiedades que cumple su diagonal.
2. ¿Qué pasa con la figura si mueves Cy/o D ¿Continúa siendo la construcción un cuadrado de diagonal
CD? Argumenta o explica ¿por qué?
Actividad 6
Cuadrilátero (Puntos medios)
Nombre:______________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para encontrar los puntos medios de
un cuadriláteroy describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Construye un cuadrilátero cualquiera, sean A, B, C y D sus vértices.
2. Dibuja el polígono que se forma al unir los puntos medios de cada uno de los lados del cuadrilátero
ABCD, sea EFGH ese polígono.
3. Mueve los puntos A, B, C y/o D para formar cuadriláteros convexos y no convexos (o cóncavos). Observa
y escribe los movimientos de la figura que se mantienen invariantes y los aspectos que cambian. Con base en
esas observaciones plantea alguna conjetura.
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
4. ¿Siempre se cumple tu conjetura? Si no, ¿puedes cambiar tu conjetura?.¿Cómo puedes justificar la
conjetura que obtuviste?. ¿Puedes hacer una descripción del procedimiento anterior mediante tecnología
tradicional?
168

5. En tus argumentos para justificar tu conjetura, ¿cuáles son las ideas más relevantes?
Actividad 7
Lugares geométricos
Nombre:_________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para encontrar lugares geométricos
que se derivan a partir de elementos constitutivos en una construcción geométrica y describir cada una de las
conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. En"Custom Toof” selecciona "Sliders" + "Integer horizontal” y crea dos segmentos de longitud variable.
2. Varía cada uno de estos segmentos de manera que sus valores sean de 5 y 4unidades, respectivamente.
3. Sea B un punto cualquiera que no esté relacionado con los segmentos anteriores.
4. Construye un círculo con centro en B y radio "segmento de longitud 4", sea A un punto sobre esta
circunferencia.
5. Construye un círculo con centro en B y radio "segmento de longitud 5", sea C un punto sobre esta
circunferencia.
6. Construye el triángulo ABC y oculta los dos círculos.
7. Mueve el punto que modifica la longitud del segmento de 4 unidades de manera que su medida sea de 5
unidades.
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
8. ¿Qué características presenta el triángulo ABC? Hacer una descripción de lo anterior mediante el uso de
papel y lápiz
9. Mueve los puntos Ay/o C y menciona ¿qué características siguen presentes en cada una de las
modificaciones que se realizan en el triángulo?. ¿Por qué?
10. Plantea una conjetura relacionada con los triángulos que se forman. ¿Qué argumentos darías para justificar
tu conjetura?
169

11. Determina la medida de cada uno de los lados y de cada uno de los ángulos del triángulo ABC. ¿Estas
medidas te ayudan a comprobar tu conjetura? ¿Por qué?
12. Determina el área del triángulo ABC, para ,ello puedes seleccionar los tres vértices (A, B y C) y luego
"Construct + "Triangle Interior"y, por último, selecciona el triángulo interior, "Measure" + "Área".
13. Observa que al mover el punto C varían: la medida de cada uno de los ángulos del triángulo, el área del
mismo y el valor del lado AC(los otros dos lados se mantienen invariantes). ¿Cuál es el valor del lado AC para
el que se logra que el triángulo posea mayor área?.¿Cuál es el valor de dicha área?.¿Qué características
presenta el triángulo de mayor área?
14. Selecciona, en este estricto orden, los valores "medida del segmento AC” y "área del triángulo ABC”;
realiza la gráfica del par ordenado seleccionado ("Graph" + "Plot As (x, y)") y oculta la cuadrícula.
15. Determina el lugar geométrico del punto graficado cuando se mueve el vértice C(o el vértice A), para esto,
selecciona el punto graficado y el vértice C(o el vértice A) y elige "Construct" + "Locus". Mueve el origen del
sistema de coordenadas de manera que se logre observar toda la gráfica.
16. Mueve el vértice C (o el vértice A) y explica ¿qué relación existe entre esta gráfica y tus respuestas a las
preguntas del inciso [13]?
17. Oculta la gráfica realizada y el par ordenado graficado.
18. [Construcción de la altura sobre el lado AC].Construye la recta que pasa por Cy por A. Traza la
perpendicular a esta recta que contiene el punto B. Sea Del punto de intersección de estas dos rectas. Oculta
las dos rectas. Construye el segmento BDy determina su longitud.
19. Muevauno de los segmentos de 5 unidades de manera que su nuevo valor sea igual a 4unidades.
20. Selecciona, en este estricto orden, los valores "medida de la altura DB"y "área del triángulo ABC” y
realiza la gráfica del par ordenado seleccionado.
21. Determina el lugar geométrico del punto graneado cuando se mueve el vértice C(o el vértice A).
22. Mueve C y/o A e indica el valor de la altura BD para la que el triángulo ABC posee área máxima; ¿qué
clase de triángulo es el de área máxima? . ¿Qué interpretación le das a la gráfica realizada?
Procedimientos heurísticos
En esta actividad los procedimiento heurísticos que sobre salen son: (PH) procedimientos heurísticos, en este
sentido se tiene la idea de la solución o (RH)reglas heurísticas y finalmente se lleva a cabo el plan
correspondiente o la (EH)estrategia heurística.
Actividad 8
170

Círculo tangente a dos rectas
Nombre: _____________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para encontrar círculos tangentes a
dos rectas y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Sea Pel punto de intersección de dos rectas l y m.
2. Sea Qun punto sobre la recta l.
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
3. Indica ¿cómo construir una circunferencia que sea tangente a l en el punto Q y que también sea
tangente a la recta m?
Actividad 9
Ángulos en una circunferencia
Nombre: _____________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para encontrar ángulos inscritos en
una circunferencia y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Dada una circunferencia cualquiera, inscribir un cuadrilátero cuyos vértices sean A, B, C y D,
respectivamente.
2. Determina la suma de los ángulos opuestos del cuadrilátero inscrito en el círculo.
3. Plantea alguna conjetura relacionada con la suma de las medidas de un ángulo interno y su
correspondiente ángulo opuesto de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia.
171

Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
4. ¿Qué argumentos darías para explicar tu conjetura?.describa lo anterior mediante argumentos
matemáticos
.Actividad 10
Tangentes a una circunferencia
Nombre: _____________________________________________________________________________
Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales del software para encontrar tangentes a una
circunferencia y describir cada una de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
Dada la siguiente figura en la que AC y BC son segmentos tangentes a la circunferencia en los puntos A y B,
respectivamente. Demuestra que los segmentos AC y BC son congruentes.
Actividad 11
Diagonales de un rectángulo
Nombre: __
172

Objetivo: conocer los comandos y elementos fundamentales para construir un rectángulo y describir cada una
de las conjeturas que surjan de las interrogantes planteadas.
Instrucciones generales.
Apreciado joven estudiante la actividad fue diseñada para que conjeture en cada una de las preguntas que se
generan a partir de los pasos que sigue en la resolución del problema. Compara la solución encontrada
mediante el uso de software dinámico con la tecnología tradicional (Papel y lápiz)
Acciones para la generación de conjeturas.
1. Por un punto cualquiera sobre una de las diagonales de un rectángulo se trazan rectas paralelas (o
perpendiculares) a cada uno de los lados de dicho rectángulo.
2. Determina una conjetura con relación a las áreas de los rectángulos EFDH y EGBI.
Preguntas orientadoras para la generación de conjeturas.
3. ¿Qué argumentos te ayudan a justificar la conjetura planteada en el inciso anterior?.hacer un procedimiento
matemático para justificar tu procedimiento descrito con el software dinámico
173

Anexo 12. Tabla de frecuencias absolutas acumuladas.
VALORACIÓN CUANTITATIVA DEL MODELO DIDACTICO
Modelo didáctico mediante software dinámico para el
perfeccionamiento de la enseñanza-aprendizaje de la geometría en
Ingeniería
FASES COMPONENTES
Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
Fundamentos teóricos del proceso de enseñanza
aprendizaje de la Geometría.
Diagnóstico que emerge de
la caracterización de
variables
Desenvolvimiento del
software dinámico a través
de la génesis instrumental
(resolución)
Elementos mediadores
transversales
Factores para la conjetura
operacional como
elementos mediadores
Condiciones iníciales antes
de aplicar software
dinámico
Condiciones finales
después de aplicar software
Proceso de
Instrumentalización
Proceso de instrumentación
Quinta Concreción en la práctica:
Procedimiento conjetura operacional a través del IECO
174
MA BA A PA NA
10 26 27 27 27
15 26 27 27 27
9 23 27 27 27
18 25 27 27 27
14 25 25 27 27
Mediación instrumental 10 26 26 27 27
Motivación profesional 10 27 27 27 27
Flexibilidad 17 26 27 27 27
Fluidez asociativa 20 27 27 27 27
Fluidez figurativa 16 26 27 27 27
9 23 27 27 27

Anexo 13.Distribución de frecuencias relativas acumuladas.
VALORACIÓN CUANTITATIVA DEL MODELO DIDACTICO
Modelo didáctico mediante software dinámico para el perfeccionamiento
de la enseñanza-aprendizaje de la geometría en Ingeniería
FASES COMPONENTES
Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
Fundamentos teóricos del proceso de enseñanza aprendizaje de
la Geometría.
Diagnóstico que emerge de
la caracterización de
variables
Desenvolvimiento del
software dinámico a través
de la génesis instrumental
(resolución)
Elementos mediadores
transversales
Factores para la conjetura
operacional como
elementos mediadores
Quinta Concreción en la práctica:
Condiciones iníciales antes de
aplicar software dinámico
175
MA BA A PA NA
0.37 0.96 1 1 1
0.56 0.96 1 1 1
Condiciones finales después de
aplicar software 0.33 0.85 1 1 1
Proceso de Instrumentalización 0.67 0.93 1 1 1
Proceso de instrumentación
Procedimiento conjetura operacional a través del IECO
0.52 0.93 1 1 1
Mediación instrumental 0.37 0.96 1 1 1
Motivación profesional 0.37 1 1 1 1
Flexibilidad 0.59 0.96 1 1 1
Fluidez asociativa 0.33 0.85 1 1 1
Fluidez figurativa 0.74 1 1 1 1
0.67 1 1 1 1

Anexo 14. Tabla de determinación de los puntos de corte.
FUNCIÓN INVERSA DE LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL Y DETERMINACIÓN DE LOS PUNTOS
DE CORTE O LÍMITES
Fases COMPONENTES
Primera
Segunda
Tercera
Cuarta
Quinta
Fundamentos teóricos del proceso de
enseñanza aprendizaje de la
Geometría.
Diagnóstico que
emerge de la
caracterización de
variables
Desenvolvimiento
del software
dinámico a través de
la génesis
instrumental
(resolución)
Elementos
mediadores
transversales
Factores para la
conjetura
operacional como
elementos
mediadores
Condiciones
iníciales antes
de aplicar
software
dinámico
Condiciones
finales después
de aplicar
software dinam.
Proceso de
Instrumentalización
Proceso de
instrumentación
Mediación
instrumental
Motivación
profesional
Procedimiento conjetura operacional.
Concreción en la práctica:
MA BA A PA NA Sum Promed.
(Prm)
176
N-
Prm
0.33 1.75 4.09 4.09 4.09 13.69 2.74 0.18
0.15 1.75 4.09 4.09 4.09 14.17 2.83 0.09
-0.44 1.04 4.09 4.09 4.09 12.87 2.57 0.35
0.44 1.48 4.09 4.09 4.09 14.19 2.84 0.08
0.05 1.48 4.09 4.09 4.09 13.80 2.76 0.16
0.64 4.09 4.09 4.09 4.09 17.00 3.40 -0.48
0.23 1.75 4.09 4.09 4.09 14.26 2.85 0.07
Flexibilidad 0.31 1.75 4.09 4.09 4.09 14.33 2.87 0.05
Fluidez -0.44 1.04 4.09 4.09 4.09 12.87 2.57 0.35
Fluidez figurativa 0.74 4.09 4.09 4.09 4.09 17.10 3.42 -0.5
0.44 4.09 4.09 4.09 4.09 16.80 3.36 -0.36
SUMA 1.79 24.31 44.99 44.99 44.99 161.08 32.21 /////////
PUNTOS DE CORTE O LÍMITES 0.16 2.21 4.09 4.09 4.09 14.64 11 = 2.92
PROMEDIO DE PROMEDIOS = N ///////// ///////// ///////// ///////// ///////// 5 = 2.92 //////////