Άλγεβρα & στοιχεία πιθανοτήτων: για την Α' Λυκείου (Βασίλειος Γ. Μοτσάκος)

6 ο Κεφάλαιο Βασικές έννοιες των Συναρτήσεων 1 

6.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 

Θέμα 1 ο :Τι λέγεται καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ; 

Είναι ένα ζεύγος δύο κάθετων αξόνων x΄x και y΄y 

με κοινή αρχή ένα σημείο Ο και το συμβολίζουμε με 

Oxy . 

Ο οριζόντιος άξονας x΄x λέγεται άξονας των 

τετμημένων ή άξονας των x και ο κάθετος y΄y 

λέγεται άξονας των τεταγμένων ή άξονας των y 

!Σχόλιο: Αν οι μονάδες των αξόνων έχουν το ίδιο μήκος 

, το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό ,αν όχι το λέμε 

ορθογώνιο 

!Παρατηρήσεις 

Το συμμετρικό του σημείου , 

ως προς 

α) τον άξονα x΄x ,είναι το σημείο A 

1 , 

β) τον άξονα y΄y ,είναι το σημείο A 

2 

, 

 

γ) την αρχή των αξόνων Ο ,είναι το σημείο A , 

 

3 

δ) τη διχοτόμο του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου είναι το σημείο 

΄ , 

 

 

ε) τη διχοτόμο του 2 ου και 4 ου τεταρτημορίου είναι το σημείο 

΄΄ , 

 

 

 

Θέμα 2 ο :Δίνονται δυο διαφορετικά σημεία του καρτεσιανού επιπέδου A και 

Να υπολογίσετε την απόσταση τους 

Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΚ έχουμε με το πυθαγόρειο 

θεώρημα ότι AB 2 AK 

2 

KB 2 

2 

x 

x y 

2 

. 

2 1 2 

y1 

= x 

2 

Άρα έχουμε 2 

AB 

 

x 

2 

x1 

y2 

y1 

2 

2 

2 

x1 

y2 

y1 

= 

x 1 

, y 1 

B x 2 

, y 2 

.


Θέμα 3 ο : Έστω C ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα . 

Να αποδείξετε ότι, ένα σημείο M x, 

y ανήκει στον κύκλο C , αν και μόνο 

αν ισχύει x 

Απόδειξη : 

2 

y 

2 

2 

 

Ένα τυχαίο σημείο , 

 

OM 

M x y ανήκει στο κύκλο C ,αν και μόνο αν ισχύει , 

2 2 2 2 2 

, δηλαδή x y x y 

Θέμα 4 ο :Τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το A R; 

Το σύνολο των σημείων M x, f x 

για κάθε x A λέγεται γραφική παράσταση και την 

συμβολίζουμε με (C , από την λέξη curve, δηλαδή καμπύλη ) 

!Παρατηρήσεις : 

Το σημείο M x , y ανήκει στη γραφική παράσταση C 

f 

, μιας 

0 0 

συνάρτησης f αν και μόνο αν ισχύει f x 0 

y0 

, δηλαδή 

επαληθεύει την εξίσωση της y f x 

. 

Τα σημεία τομής της C 

f 

με τον άξονα xx βρίσκονται αν 

λύσουμε την εξίσωση f x 0 (όλα τα σημεία του άξονα xx είναι 

της μορφής ,0 

,δηλαδή έχουν τεταγμένη 0) 

Τα σημεία τομής της C 

f 

με τον άξονα yy βρίσκονται αν θέσουμε 

όπου x 0 (εφόσον το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της f ) στην 

y f x (όλα τα σημεία του άξονα yy είναι της μορφής 

 

 

 

f ,0 

0, 0 

 

,δηλαδή έχουν τετμημένη 0) 

Οποιαδήποτε κάθετη ευθεία στον xx , τέμνει την γραφική 

παράσταση C το πολύ σε ένα σημείο. 

f 

C f 

Αν δύο συναρτήσεις f, 

gέχουν κοινό πεδίο ορισμού Df Dg 

τότε, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων τους 

f x g x 

βρίσκονται αν λύσουμε την εξίσωση 

 

 

 

Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f ,βρίσκεται πάνω από τον 

άξονα x΄x στα διαστήματα που αληθεύει η ανίσωση f x 0 (Από 

το σχήμα f x 0 ,αν 5, 1 2, 

 

x ) 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον 

άξονα x΄x στα διαστήματα που αληθεύει η ανίσωση f x 0 

(Από το σχήμα f x 0 αν , 5 1,2 

x )


Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 

προκύπτει από 

τη C f 

αφού πάρουμε την συμμετρική της C 

f 

ως προς τον 

άξονα xx 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x 

f προκύπτει από 

τη C αφού πάρουμε την συμμετρική της C ως προς τον 

άξονα yy 

f 

f 

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 

προκύπτει από την 

C 

f 

,αφού πάρουμε τα τμήματα της C 

f 

που είναι πάνω από 

τον άξονα xx και τα συμμετρικά ως προς τον άξονα xx των 

τμημάτων της που βρίσκονται κάτω από τον άξονα xx 

Ερωτήσεις Κατανόησης 

Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Σ , αν ο ισχυρισμός 

είναι αληθής διαφορετικά να κυκλώσετε το γράμμα Λ 

1. Το σημείο A 1 , 2 

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 1 2 

Σ 

Λ 

2. Αν ισχύει 3 1 

f ,τότε το σημείο A3,1 

 

ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης 

Σ 

Λ 

2 

3. Η γραφική παράσταση της f x x 2x 

3 διέρχεται από το σημείο A 0,1 

Σ 

Λ 

4. Η συνάρτηση f x x 

3 2x 

περνάει από το σημείο 0,0 

5. Το συμμετρικό του σημείου A( 2, 3) 

ως προς τον άξονα xx 

6. Το συμμετρικό του σημείου A(1,2 

) ως προς τον άξονα yy 

M Σ Λ 

είναι το 2,3 

είναι το 1 , 2 

A Σ Λ 

A Σ Λ


7. Αν 2, 1 

και 1,1 

,τότε η απόσταση 5 

8. Η απόσταση των σημείων (1,0) 

και 2,0 

Σ Λ 

είναι ίση με 3 Σ Λ 

9. Κάθε κάθετη ευθεία στον άξονα xx τέμνει την γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα 

ακριβώς σημείο Σ Λ 

10. Η απόσταση των σημείων ,2 

A x x και B3 x,2x 

είναι AB 4 

11. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x x 

3 2x 

2 5x 

4 

σημείο 0, 

4 

x Σ Λ 

f τέμνει τον άξονα yy στο 

A Σ Λ 

12. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης, δεν μπορεί να έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα 

yy Σ Λ 

13. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 

x 1 

x 2 

τέμνει τον άξονα xx στο σημείο A1,0 

 

Σ 

Λ 

14. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x x 2 9 

15. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης x 

τέμνει τον άξονα xx σε δύο σημεία 

Σ 

x 1 

f τέμνει τον άξονα yy Σ 

x 2 1 

Λ 

Λ 

16. Ποιες από τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις ορίζουν συνάρτηση 

2 

17. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f x 2x 

1και 

σημεία A1, 1 

και 2,5 

g x x x 1 τέμνονται στα 

B Σ Λ


2 

18. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f x x 

2011και gx x 

2 3 

έχουν δύο 

κοινά σημεία Σ Λ 

19. Δεν υπάρχει συνάρτηση που η γραφική της παράσταση να σχηματίζει λουκουμά με τρύπα στη 

μέση Σ Λ 

20. Να βρείτε το πεδίο ορισμού , το σύνολο τιμών , τα σημεία τομής με τους άξονες και τα 

διαστήματα στα οποία η συνάρτηση είναι θετική ή αρνητική 

21. Στο διπλανό σχήμα δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f 

α) Να λυθεί η εξίσωση f x 0 

β) Να λυθεί η εξίσωση f x 6 

γ) Να λυθεί η εξίσωση f x 2 

Να κυκλώσετε τη σωστή απάντηση σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις 

22. Αν σημεία Α x 1, 

2 

και 5 2x, 

y 1 

B είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο. 

Τότε Α. x 4και y 1 Β. x 2 και y 0 Γ. x 6 και y 2 

23. Η απόσταση AB 

των σημείων A2, 

3και B5, 

7 

είναι ίση με: 

Α. 3 Β. 7 Γ.5 Δ. 113 Ε τίποτα από τα παραπάνω 

A , 

B 

, είναι ίση με: 

24. Η απόσταση AB των σημείων και 

Α. 2 Β. 2 

Γ. 2 Δ. 2 2 Ε.0 

25. Να αντιστοιχίσετε κάθε στοιχείο της στήλης Α με το στοιχείο της στήλης Β 

Στήλη Α 

Στήλη Β 

2, 3 , 2,3 είναι 1. Συμμετρικά ως προς την αρχή Ο των αξόνων 

A. Τα σημεία 

B. Τα σημεία 1,4 , 4,1 

είναι 2. Συμμετρικά ως προς τον άξονα xx 

C. Τα σημεία 3,1 , 1,3 

είναι 3. Συμμετρικά ως προς τον άξονα yy 

D. Τα σημεία 6,5 , 6,5 

είναι 4. Συμμετρικά ως την διχοτόμο του 1 ου και 3 ου 

E. Τα σημεία 1,2 , 1, 2 

τεταρτημορίου το σημείο 

είναι 5. Συμμετρικά ως την διχοτόμο του 2 ου και 4 ου 

τεταρτημορίου


26. Δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f 

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά 

α) Το πεδίο ορισμού της f είναι A 

β) Το σύνολο τιμών της f είναι f A 

 

γ) f 2 

, f 2 

, f 4 

f 0 

f 8 

, 1 

f 

δ) Τα σημεία τομής της C 

f 

με τον άξονα xx είναι ……………… 

ε) Τα σημεία τομής της C 

f 

με τον άξονα yy είναι ……………… 

 

στ) Η f x 0 , αν x ζ) Η f x 0 ,αν x 

η) Η f x 0 ,αν x θ) Αν 2,5 

ι) Αν x4, 1 

τότε f x ια) 5 

f 

f x ,τότε x 

ιβ) f 1 

ιγ) Αν f x 1 ,τότε x 

27. Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά του πίνακα 

Στήλη Α 

Συνάρτηση 

y f x 3x 

6 

2 4 

2 

y f x 1 

x 

y f x 2x 

5 6 

3 

y f x 3x 

24 

y f x x 1 

1 

y f x x x 

x 3 

y f x 

4 

x 

Στήλη Β 

Σημεία Τομής με άξονα xx 

Στήλη Γ 

Σημεία τομής με άξονα yy


28. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και g . 

Να συμπληρώσετε τα παρακάτω κενά 

A.Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο A 

Β. Το πεδίο ορισμού της g είναι το σύνολο B 

Γ. Είναι f x g x 

όταν x 

Δ. Είναι f x g x 

όταν x 

Ε. Είναι f x g xόταν x 

ΣΤ. Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f A 

 

Ζ. Το σύνολο τιμών της g είναι το σύνολο gB 

 

Η. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα xx στα σημεία …………………… 

Θ. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα yy στο σημείο …………………… 

Ι. Η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα xx στα σημεία …………………… 

ΙΑ. Η γραφική παράσταση της 

g x 

τέμνει τον άξονα yy στο σημείο …………………… 

Λυμένες Ασκήσεις 

1. Να βρείτε τους πραγματικούς , ώστε για τα σημεία Α,Β,Γ να ισχύουν 

A 2 

1, 1 Ox 

B 3, 2 y 

(αρνητικό ημιάξονα ) 

α) (Θετικό ημιάξονα ) β) 

1 21 

γ) , 

2 3 να ανήκει στο 3ο τεταρτημόριο 

Λύση: 

α) πρέπει 1 0 και 2 1 

0 ή 1και 2 1ή 1 

και 

β) πρέπει 3 0 και 2 0 ή 3 και 2 

1 2 1 

γ)πρέπει 0και 0 ή 1 0και 2 1 

0 ή 1 

2 

3 

2. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου 1,3 

 

και 

1 

 

2 

1 

 

2 

ως προς 

α) τον άξονα xx β) τον άξονα yy γ)τη διχοτόμο του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου 

δ) τη διχοτόμο του 2 ου και 4 ου τεταρτημορίου ε) την αρχή των αξόνων 

Λύση: 

1, 

3 

1,3 

A 3, 

α) Είναι το σημείο A 

1 β) Είναι το σημείο A 

2 

γ) Είναι το σημείο 

3 1 

δ) Είναι το σημείο A 

4 

3,1 ε) Είναι το σημείο A 

51, 

3


3. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με A3,5 

, B 1,2 

και 6,3 

ισοσκελές 

Λύση: 

2 

2 

13 

είναι ορθογώνιο και 

1 

3 2 5 4 9 και 6 

3 3 

5 9 4 13 

2 

2 

6 

1 3 

2 25 1 

26 επειδή 

2 

2 

 

26 και 2 26 άρα 2 2 

2 

2 

είναι ισοσκελές και 

2 

δηλαδή ορθογώνιο 

και 

4. Να βρείτε τον αριθμό x R 

ισοσκελές 

Λύση : 

ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ με A 1,4 

, B 2,1 

και 4, 

x 

,να είναι 

2 

2 

2 

1 1 

4 1 

9 10 και 4 1 2 x 

4 2 

9 x 

4 2 

Για να είναι το ΑΒΓ ισοσκελές πρέπει AB A 

.Άρα 10 9 4 2 

10 9 x 4 2 

ή 1 x 4 2 

ή x 4 1 

ή x 5ή x 3 

5. Έστω το σημείο A 1,3 

 

x ή 

. Να βρείτε σημείο Β του άξονα xx τέτοιο ώστε : 

α) Η απόσταση των σημείων Α, Β να είναι 5 ,δηλαδή , AB 

5 

β) Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ να είναι 3 ,δηλαδή , ( OAB ) 3 

Λύση: 

α)Επειδή το σημείο Β ανήκει στον άξονα xx θα είναι της 

B ,0 άρα θα έχουμε 

μορφής 

 

 

 

2 2 2 

1 0 3 1 9 5 ή 

1 2 

9 25 ή 2 

5 άρα B3,0 

ή B 

5,0 

OB AK 

β) AOB 

3 ή 

x 2 

x 2 

α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της 

6. Δίνεται η συνάρτηση f x 

2 

1 16 

ή 1 4άρα 3ή 

3 3 ή 2 ή 2 

2 

β) Να αποδείξετε ότι διέρχεται από το σημείο M 1, 3 

γ) Να βρείτε τα σημεία που η C 

f 

τέμνει τους άξονες 

δ) Τα διαστήματα που η C 

f 

,είναι πάνω από τον άξονα xx 

ε) Τα διαστήματα που η C 

f 

,είναι κάτω από τον άξονα xx 

Λύση: 

α) Πρέπει x 2 0 ή x 2 άρα το πεδίο ορισμού της θα είναι A , 2 

2, 

 

1 

2 3 

β) Έχουμε f 1 3 

ή f 1 3 

άρα η 

f 

M 1, 

3 

1 

2 1 

0 2 

γ) Για x 0 έχουμε f 0 1 

άρα η C 

f 

τέμνει τον yy στο σημείο K 0, 

1 

. 

0 2 

x 2 

Για y 0 ή f x 0 έχουμε f x 0ή x 2 0 ή x 2 

x 2 

C διέρχεται από σημείο


άρα η 

C 

f 

τέμνει τον x 

x στο σημείο 2,0 

δ) Η C 

f 

είναι πάνω από τον άξονα xx 

x 2 

f ή 0 

x 2 

αν x 0 

ή x 

2x 2 0 

2 

ή x 4 0 ή x 2 4 ή x 2 4 ή x 2 . Άρα x 2 ή x 2 

οπότε στο 

A η C 

f 

είναι πάνω από τον άξονα xx 

x 2 

ε) Η C 

f 

είναι κάτω από τον άξονα xx αν f x 0 ή 0 x 2 x 2 

x 2 

διάστημα , 2 

2, 

 

ή 0 

2 

ή x 4 0 ή x 2 4 ή x 2 4 ή x 2 . Άρα 2 x 2 οπότε στο διάστημα 

2,2 

η C 

f 

είναι κάτω από τον άξονα xx 

7. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 

2 

f x x 3x 

1 

και g x 2x 

2 5x 

6 

Λύση : Τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων είναι τα D R, 

D R ά 

D D R 

f g f g 

2 

Έχουμε y x 3x 

1 

και 2 2 2 

y x 5x 

6 άρα x 3x 

1 

2x 

2 5x 

6 

2 

ή x 8x 7 0 ή x 1ή 7 

1 , f 1 g 1 

7, 

f 7 g 7 B 7,69 

x οπότε τα κοινά σημεία είναι A 

ή A1,3 

 

και B 

 

ή 

8. Να βρείτε τον αριθμό R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο 

2 

f x x 3 

x 

4 

,να διέρχεται από το σημείο M 2,4 

Λύση: 

Πρέπει να ισχύει f 2 4 ή 

2 2 3 

 

2 

4 

4 

ή 6 6 ή 1 

ή 4 6 2 

4 

4 

9. Να βρείτε τους αριθμούς , R ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο 

Λύση: 

f x 

1x 

2 x 

2 

,να διέρχεται από τα σημεία 1,2 

και 1,6 

 

Πρέπει να ισχύει f 1 2 και 1 6 

f 1 

2 ή 

1 

2 

2 

 

2 

f 1 6 ή 

1 1 1 

2 

f άρα έχουμε το σύστημα : 

 

1 

2 

2 

 

 

6 

1 

2 

6 

3 

3 

1 

1 

 

3 

2 

7 3 

2 

7 

2 

4 ή 2 

Λυμένες Ασκήσεις 

1. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 1, 3 

συμμετρικά ως προς τον άξονα xx . 

A και 1, 2 3 

B να είναι 

2. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε το σημείο M 2 4 , 2 7 

10 

στο τρίτο τεταρτημόριο 

να βρίσκεται 

3. Να βρείτε το πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία A 2 1, 4 , 3, 

2 

να είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα yy .


4. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 3,6 

 

συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου 

5. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 3,5 

 

συμμετρικά ως προς τη διχοτόμο του 1 ου και 3 ου τεταρτημορίου . 

6. Αν το σημείο 1 , 4 

3 2 

f x x x 

A και B 

1, 2 

να είναι 

A και B 1,2 

9 

A ανήκει στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f με τύπο 

2 3 5 να βρείτε τον R . 


2 

7. Να βρείτε τη συνάρτηση f x x x , , 

R η οποία διέρχεται από τα σημεία 1,2 

 

και 1,3 

. 

8. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 2,1 

συμμετρικά την αρχή των αξόνων Ο. 

9. Δίνεται η συνάρτηση f x x 2 9 

A και B2, 2 


α) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες xx και yy ΄ 

β) Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x ,ώστε η γραφική παράσταση της f ,να είναι πάνω 

από τον άξονα xx . 

10. Να βρεθούν οι αποστάσεις των σημείων 

1,3 1, 2 

2,5 

α) A και B β) A και B 2,7 

γ) A 0,0 

και B4, 3 

11. Να αποδείξετε ότι τα σημεία A 0,3 

, B3, 2 

και 3, 2 

τρίγωνου 

είναι κορυφές ισοσκελούς 

12. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές τα σημεία A 1,2 

, B3, 2 

και 3,0 

ορθογώνιο και ισοσκελές 

13. Δίνονται τα σημεία A 2,1 και 2,3 

τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ορθογώνιο στο M 

14. Δίνονται τα σημεία A 2,1 και B 2,3 

είναι 

B .Να βρείτε σημείο M του άξονα xx τέτοιο ώστε το 

.Να βρείτε σημείο M που έχει τεταγμένη διπλάσια από 

την τετμημένη και το τρίγωνο ΑΜΒ να είναι ισοσκελές με βάση ΑΒ. 

15. Δίνονται οι συναρτήσεις f x x 1 και g x 3x 

13 . 

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f, 

g 

f x x 

16. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων 

2 

g x 2 

x 3για τις διάφορες τιμές του . 

17. Να βρείτε τις τιμές του x R για τις οποίες η γραφική παράσταση της συνάρτησης 

2 

f x 2x x 3 να είναι κάτω από την γραφική παράσταση g x x x 5. 

 

2 

1 και


2 

x 3x 10, x 1 

 

18. Δίνεται η συνάρτηση f x 

x1, 2 x1 

.Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής 

 

 

x5 , x 2 

παράστασης της με τους άξονες xx και yy ΄. 

3 x 

x 2 1 

β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες xx , yy . 

19. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f x 

20. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ,ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

3 2 

2 

f x x 2x 

5 και g x x 1 ,να έχουν κοινό σημείο πάνω στον άξονα yy 

21. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς , ώστε οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων 

2 

 

f x x 3x 

1 και g( x) x 1 5x 

2 

22. Δίνεται η συνάρτηση f x x 4 3x 

1 

2 

παράστασης της f με τους άξονες και να εξετάσετε αν η 

να τέμνονται στο σημείο A 1,1 

 

. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής 

C διέρχεται από το σημείο M 5,7 

 

23. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες αν 

2 

α) f x x 2 2x 

1 

β) f x x 9 2 x 3 

γ) x 

x 

1, 

2 

x 

1, 

x 1 

f δ) f x x 

2 4x 

2 2004 

x 1 

3 2 

24. Δίνεται η συνάρτηση 

 

f x x 3 x 1 x 1 . 

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς ,ώστε , η γραφική παράσταση της f να διέρχεται 

από τα σημεία A 2, 

1 

, B 1,8 

.Στη συνέχεια να βρείτε τα κοινά σημεία στα οποία η γραφική 

παράσταση της f τέμνει τους άξονες 

3 3 2 2 

25. Δίνεται η συνάρτηση f x x 3 

x 3x 

1 

. 

α)Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το 

σημείο A 1,0 

. 

β)Στη συνέχεια να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες 

γ)Να επιλύσετε τη ανίσωση f x 1 3x 

2 

26. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) ( x1) x2 

2 Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η 

γραφική παράσταση της f ,να διέρχεται από το σημείο A3, 3 

f 

3 

27. α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f x 3 

x 

1 

β) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες 

γ) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε το σημείο A9, 1 

να ανήκει στη γραφική 

της παράσταση της .


Θέμα 1 ο : 

Α. Δίνονται τα σημεία A και 

x 1 

, y 1 

B x 2 

, y 2 

. Να υπολογίσετε η απόσταση τους . 

Β. Τι λέγεται γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το A R; 

Γ. Το σημείο A 1,3 

ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 2x 

1 

Δ. Αν 2, 3 

και B 3,0 

,τότε η απόσταση AB 

2 

E. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f x 


x 

2 1 

δεν τέμνει τον άξονα yy 

x 

Σ 

Α. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε τα σημεία 7,3 

Σ 

Σ 

A και 2 5 ,3 

Μονάδες 5 


Λ 


Λ 


Λ 


B να είναι 

συμμετρικά ως προς τον άξονα yy 

Μονάδες 12,5 

f x x R . Να βρείτε τον αριθμό ώστε η γραφική 

Β. Δίνεται η συνάρτηση 1, 

παράστασης της να διέρχεται από το σημείο M 2,1 


Α Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x ώστε η απόσταση των σημείων A 1,2 

και Bx, 

x 

να είναι 5 

Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f x 2x 

1 και g x 2x 

5 

Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των 


f x 2 x ( 1) x 3 1 x 4, R . 

3 2 

Δίνεται η συνάρτηση 




α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το 

σημείο A2, 12 

16 ο ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ στην παράγραφο 6.2 

(Γραφική παράσταση συνάρτησης ) 


β) Να βρείτε τα κοινά σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες 


γ) Να βρείτε τις τιμές του x ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f να είναι κάτω από την 

g x 2x x 1 

γραφική παράσταση 

3 2 

Μονάδες 13

η συνέχεια στο... 

http://www.easywriter.gr/ebooks/item/808

Άλγεβρα & στοιχεία πιθανοτήτων: για την Α' Λυκείου (Βασίλειος Γ. Μοτσάκος)

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?