BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Dana Králová Vybrané problémy v ...

UniverzitaKarlovavPraze
Matematicko-fyzikálnífakulta
BAKALÁŘSKÁPRÁCE
DanaKrálová
Vybranéproblémyvperiodickýchčasových
řadách
Katedrapravděpodobnostiamatematickéstatistiky
Vedoucíbakalářsképráce:Mgr.PetrŠimeček,Ph.D.
Studijníprogram:Matematika
Studijníobor:Obecnámatematika
Studijníplán:Ekonometrie
2008

UpřímněděkujivedoucímusvébakalařsképráceMgr.PetruŠimečkovi,Ph.D.
zavýběrzajímavéhotémaapředevšímzavelkoupomocpřitvorbětohoto
textu.
Prohlašuji,žejsemsvoubakalářskouprácinapsalasamostatněavýhradně
spoužitímcitovanýchpramenů.Souhlasímsezapůjčovánímpráceajejímzveřejňováním.
VPrazedne DanaKrálová
2

Obsah
1 Základnípojmyametody 6
1.1 Základnípojmyametody ..................... 6
2 Odhadrozptylušumu 11
2.1 Známáperioda ........................... 11
2.2 Známýúzkýinterval,dokteréhoperiodaspadá . ........ 12
2.3 Neznámáperioda . ......................... 13
2.4 Měřenáveličinajezaokrouhlena . ................. 15
2.5 Trend ................................ 15
3 Výpočetodhadurozptylušumu 17
3.1 Výpočet . .............................. 17
3.2 Výsledky. .............................. 23
Literatura 27
3

Názevpráce:Vybranéproblémyvperiodickýchčasovýchřadách
Autor:DanaKrálová
Katedra:Katedrapravděpodobnostiamatematickéstatistiky
Vedoucíbakalářsképráce:Mgr.PetrŠimeček,Ph.D.
e-mailvedoucího:simecek@gmail.com
Abstrakt:Předloženáprácesezabýváperiodickýmičasovýmiřadami,které
obsahujíšum.Hlavnímcílemjeodhadnoutrozptyltohotošumu.Textobsahujemetodyprovýpočetodhadurozptylušumuvpětirůznýchsituacích:hodnotaperiodyčasovéřadyjeznámá;jeznámúzkýintevalobsahujícíperiodu;velikostperiodyjeneznámá;měřenéveličinyperiodickéčasovéřadyjsou
zaokrouhlenyaperiodickáčasovářadamáještěnavíctrendovousložku.Práce
zahrnujetakédemonstracinavrženýchmetodnadatechaprogramyprovýpočetníprostředíR.
Klíčováslova:odhadrozptylu,aproximacesplinem,časovéřady.
Title:Selectedproblemsinperiodicaltimeseries
Author:DanaKrálová
Department:DepartmentofProbabilityandMathematicalStatistics
Supervisor:Mgr.PetrŠimeček,Ph.D.
Supervisor’se-mailaddress:simecek@gmail.com
Abstract:Thethesisisdevotedtotimeserieswithrandomnoise.Themain
aimistoestimatethevarianceofthisnoise.Theworkcontainsmethodsforestimationofthevarianceofnoiseinfivedifferentsituations:alengthoftime
seriesperiodisknown;anarrowintervalcontainingperiodisknown;alength
ofperiodisunknown;valuesoftimeseriesareroundedandtimeserieshas
atrend.Theworkalsocomprisesademonstrationofproposedmethodsonreal
dataandprogramsforthestatisticalenvironmentR.
Keywords:estimationofvariance,approximationbyspline,timeseries.
4

Úvod
Tatoprácepojednáváometodáchproodhadrozptylušumuvperiodickýchčasovýchřadách.Původnímotivacepocházíztechnickýchřad(kalibracegyroskopu),předevšímsetedyzaměříme
na„dlouhéčasovéřady(řádovědesetiticíceměřeníavíce).
Vprvníkapitolenaleznetevysvětlenízákladníchpojmůametod,sekterýmibudemevnásledujícímtextupracovat.
Druhákapitolapopisujenavrženémetodyproodhadrozptylu
šumu.Nejprvesezabývámesituací,kdyjeznámávelikostperiody
časovéřady.Následujepřípad,kdyznámepouzeúzkýinterval,
kterýobsahujeperiodu.Vdalšíčástipočítámeodhadrozptylu
šumupřizcelaneznáméperiodě.Potépracujemesřadou,jejíž
měřeníjsouzaokrouhlena.Anazávěrsesituaceztížítím,žeperiodickáčasovářadaobsahujenavícještětrendovousložku.Třetíkapitolasezabývátestovánímnavrženýchmetodnadatech,zkoumá,jakjsoumetodyúčinnéprořadysrůznýmispecifickýmivlastnostmiapopisujepostupvýpočtuvprostředíR,[8].
Programyprovýpočetavzorovádatanaleznetenapřiloženém
CD.
5

Kapitola1
Základnípojmyametody
Vtétokapitolejsouvysvětlenyzákladnípojmyametody,kterése
vtétobakalářsképrácivyskytují.Jsouzdepopsányčasovéřady
ajejichspeciálnípřípady,jakojsoupravidelnéčasovéřadyaperiodickéčasovéřady.Dálesevtétočástibudemevěnovatdekompozicičasovýchřad,šumu,aproximacipomocísplinůaspektrální
analýze.Připopisupojmůvtétokapitolejsemčerpalapředevším
zknihyBrokwellaDavis[3].
1.1 Základnípojmyametody
Časovářadajeposloupnostpozorování,kterébylynaměřenyvurčitýchčasovýchokamžicích.Jakopříkladčasovéřadysiuvedemezisknějakéhopodnikuzakaždýrokčinaměřenouteplotunaurčitémmístězajednotlivédny.Správněbychommělirozlišovatmezičasovouřadoujakonáhodnouveličinouajejírealizací.Alevpřípadech,ženebudehrozit
nebezpečízáměny,budemevoboupřípadechpoužívatznačení
y1, y2,..., yn, (1.1)
kdenjepřirozenéčísloudávajícídélkuřady.Ačas,kdybylo
získánoměření yi,námbudeznačitvýraz tiproi=1,2,...,n.
Propřehlednostjepožadováno,abyplatilo
t1 < t2

Pravidelnáčasovářadajespeciálnípřípadčasovéřady,kdyjsou
pozorovánírozmístěnavčasepravidelně.Tedyplatíprovšechna
i=1,2,...,n-1:
ti+1= ti+δ,
kde δjekonstantníkladnéčíslo.
Dekompozicečasovýchřadjemetoda,kdysijednotlivápozorovánířadyrozepíšemedovícesložeksespecifickýmivlastnostmi.
Tentorozkladnámpakmůžepomocipřidalšímzkoumáníčasové
řady.
Vtétoprácisebudounejčastějivyskytovatčasovéřady,jejichž
hodnotylzevyjádřitvetvaru
yi= f(ti)+ei, i=1,2, ..., n. (1.2)
Zde f je neznámá spojitá hladká periodická funkce a řadu ei
(i=1,2,...,n),tvořínezávisléstejněrozdělenénáhodnéveličiny
(iid),kterémajínulovoustředníhodnotouakonstantnírozptyl.
Náhodnéveličiny eisenazývajíšumapředstavujíchybuměření.
Řadu,kteroumůžemevyjádřitvevýšezmíněnémtvaru(1.2),
budemenazývatperiodickáčasovářada.
Myvtomtotextubudemestudovatpřípad,kdyměřímeurčitou
hodnotuvpravidelnýchčasech,kdispozicimámepoměrněvelký
početpozorováníaměřenáhodnotamáperiodickéchování.Tedy
budemepracovatspravidelnouperiodickoučasovouřadou,jejíž
délka njevysoképřirozenéčíslo.
Trendmůžebýtdalšísložkavdekompozicičasovéřady.Vknize
Cipra[4]naleznemevýstižnýpopistétosložky:„Trendodrážídlouhodobézměnyvprůměrnémchováníčasovéřady(např.dlouhodobý
růst nebo dlouhodobý pokles). Je možné si představit, že
trendovásložkavznikávdůsledkupůsobenísil,kterésystematicky
působívestejnémsměru.
Utechnickýchměřenítomůžebýtnapříkladvychýlenígyroskopuzpůsobenévyššíteplotou.
7

Splinesmoothing(vyhlazenísplinem)jemetoda,kdynaměřené
hodnoty(y1, y2,..., yn)zatíženéchybouchcemeproložitaproximačnífunkcí
g,přičemžuvažujemefunkceznějakédanérodiny,
nejčastějikubickéspliny.
Obvyklámíra,kteráudávájakpřesněaproximujefunkce g
danéhodnoty,jereziduálnísoučetčtvercůchyb
n
(g(ti) − yi) 2 . (1.3)
i=1
Pokudnebudoupožadoványžádnédalšívlastnostiprofunkci g,
můžebýtvýraz(1.3)minimalizovánnanulu(atopomocífunkce,
kteráprocházívšemibody y1, y2,..., yn).Aletakovátofunkce
nebudevhodná,neboťvevětšiněpřípadůbudeobsahovatpříliš
mnohoprudkýchlokálníchzměn.Splinesmoothingmátedydva
hlavnícíle,zaprvéminimalizovatsoučetčtvercůchybazadruhé
setatometodasnaží,abyvýslednáaproximačnífunkcebyladostatečněhladká.Jeněkolikmožnostíjakzměřitlokálnízměny
funkce g,napříkladpomocídruhéderivace.Tedyjakopenalizaci
za„nehladkostlzevyužíthodnotuvýrazu
g ′′ (x) 2 dx.
Nynídefinujme
Sλ(g)=
n
(g(ti) − yi) 2
+ λ
i=1
g ′′ (x) 2 dx,
kde λoznačujesmoothingparametrreprezentujícípoměrmezi
reziduálníchybouanerovnostífunkce g.Problémminimalizace
Sλ(.)přesvšechnydvakrátdiferencovatelnéfunkcezintervalu
(t1, tn)májednoznačnéřešení.
Detailnějšípopismetodysplinesmoothingnaleznetevknihách
GreenaSilverman[5]aHastieaTibshirani[6].
Spektrálníanalýzačasovýchřad.Nechťmámečasovouřadu yt,
kde t ∈ Z(vdalšímtextubudemestručněpsát yt).Tatořadaje
rovnoměrněvyvážená(tzn.mákonstantnírozptyl)kolemjedné
8

hladiny(tzn.mákonstantnístředníhodnotu).Pokudzávislost
mezidvěmajednotlivýmipozorovánímijeinvariatnívůčiposunutí,tedyplatí
cov(yr, ys)=cov(yr+d, ys+d) (1.4)
prolibovolnépřirozenéčíslod,nazýváme ytstacionárníčasovou
řadou.
Autokovariančnífunkce γkstacionárníčasovéřady ytjedána
předpisem
γk=cov(yt, yt+k), k= . . .,−1,0,1, . . ..
Funkce γkjesudá(tzn. γk= γ−k),takževjejímstudiusemůžeme
omezitna k ≥0.
Vtomtotextualepracujemeskonečnýmičasovýmiřadami
tvaru(1.1).Pokudmámekonečnoučasovouřaduodhadautokovariančnífunkcevypočítámepodlevzorečku
ck=
n−k
t=1
(yt −¯y)(yt+k −¯y)
, k=1,2, ..., n −1, (1.5)
n
kde¯yjeodhadstředníhodnoty
¯y=
n
t=1
yt
. (1.6)
n
Nechťmáme ytstacionárníčasovouřadusnulovoustředníhodnotou,paksejejíautokovariančnífunkce
γkdávyjádřitvetvaru
γk=
π
−π
cos(ωk)dF(ω), k=0,1,..., (1.7)
kde F(ω)jeneklesající,zlevaspojitáfunkce,definovanánaintervalu(−π,
π)ataková,žeF(−π)=0,F(π)=var(yt).Přitom
F(ω)jejednoznačněurčenaanazývámejispektrálnídistribuční
funkcístacionárnířady yt.
Mybudemevnásledujícímetoděvyužívatpředevšímspektrálníhustotu
f(ω),kteráexistujepokudjefunkce F(ω)absolutně
spojitá.Spektrálníhustotuzískámezevztahu
9

dF(ω)=f(ω)dω.
Spektrálníhustotaurčujeintenzitu,sjakouseperiodickásložka
vyskytujevčasovéřadě.Kdyžspektrálníhustotudosadímedovzorečku(1.7),vyjdenámrovnost
γk=
π
−π
cos(ωk)f(ω)dω, k=0,1,2,....
Pokudtutorovnicivynásobímečíslem 1
π ,dostanemeFourierovu
transformacifunkce f(ω).MůžemepakpoužítinverzníFourierovu
transformacikvyjádřeníspektrálníhustotypomocíautokovariančnífunkce:
f(ω)= 1
2π
∞
k=−∞
γkcos(ωk). (1.8)
Tentočlánektýkajícísespektrálníanalýzyčasovýchřadbyl
opravdujenletménahlédnutídodanéproblematiky.Detailnější
popis,důkazytvrzeníčiosvětleníteoriepomocípříkladůnaleznetenapříkladvkniháchAnděl[1]aCipra[4].
10

Kapitola2
Odhadrozptylušumu
Tatokapitolapopisujemetody,kterésesnažíconejpřesnějiodhadnoutrozptylšumuuperiodickéčasovéřady.Budemepostupovatodnejjednoduššíchpřípadů,kterébudemepostudpnězobecňovat.
Začneme s případem, kdy známe velikost periody funkce f
zrovnice(1.2).Vdalšíčástinebudezadánadélkaperiody,alejen
úzkýintervaldokteréhoperiodaspadá.Potébudemeodhadovat
rozptylšumupřizcelaneznáméperiodě.Vnásledujícípodkapitolenámvýpočetztížízaokrouhlenáveličinaměření.Anakonec
budemepracovatsřadou,kteráještěnavícobsahujetrendovou
složku.
2.1 Známáperioda
Nyníjsmevsituaci,kdymámezadanouperiodickoučasovouřadu,
známejejídélkuperiodyanašímúkolemjeodhadnoutrozptyl
šumu.Víme,žejednotlivápozorováníčasovéřadyjsousložena
zperiodické(hladkéspojité)funkcefašumu.Našímcílemtedy
nyníbudenajítprvnísložku(tzn.periodickoufunkcif),protože
pokudznámetutofunkci,jižsnadnodopočítámezrovnice(1.2)
velikostšumuanásledněijehorozptyl.
Knalezeníperiodickéfunkcepoužijememetodusplinesmoothing.Neboťvíme,žefunkcefjeperiodická,můžemeseomezitjennainterval(0,p),kdepznačídélkudanéperiody.Propřesnějšíaproximacisitedyvšechnyměření„vložímedointervalu
11

(0,p),neboliprovedemeoperaci
Ti= timod p, i=1,2, ..., n.
Adálepracujemeshodnotami Tinamísto ti.
Potétoúpravědostanemebodovýgrafsesouřadnicemi(Ti, yi),
kdei=1,2,...,n.Natentobodovýgrafaplikujemevýššepopsanoumetodusplinesmoothing.Výslednáfunkce
gjepronás
dobrýmodhademprofunkcif,protožemávlastnosthladkosti
aspojitostiaaproximujejednotlivápozorování.Našlijsmetedy
odhadfunkcefazbýváužjenvypočítatodhadrozptylušumu.
Odhadrozptylušumuvypočítámepodlevzorečkuprostřední
čtvercovouchybuMSE(MeanSquaredError)tvaru
1
n
n
(g(Ti) − yi) 2 . (2.1)
i=1
2.2 Známýúzkýinterval,dokteréhoperioda
spadá
Jedánaperiodickáčasovářada,jejížperioduneznáme.Aleurčitýmzpůsobemzískámeinterval,dokteréhoperiodaspadá.Ujednoduššíchperiodickýchčasovýchřadmůžemetakovýintervalnajítsamy,pouzesivykreslímegrafaodhadnemevelikostperiody.Aletentopostupnelzepraktikovatuvšechperiodickýchčasovýchřad.Jinémetodypronalezeníúzkéhointervalusipopíšeme
vnásledujícípodkapitole.
Známetedyinterval,kterýobsahujeperiodu.Našímúkolem
budenajítskutečnouhodnotuperiodyatímproblémpřevedeme
napředchozípřípad,kterýmámejižvyřešený.
Budemetedyhledattakovouperiodu,kteráminimalizujerozptylčtvercůchyb.Tomůžemeudělatsvyužitímstandardního
numerickéhosoftwaru,napříkladfunkceoptimizezprosředíR,
[8].
12

Pokudjižznámevelikostperiody,použijemeprovýpočetodhadurozptylušumupostupzpodkapitoly2.1.
2.3 Neznámáperioda
Vtétočástibudenašímcílemodhadnoutrozptylšumuperiodické
časovéřady,ukterénemámezadanoudélkuperiody.Nejjednoduššímřešenímbudepřevéstúlohunapřípad,kdyznámeinterval
obsahujícíperiodu.
Křešeníúlohyvyužijemeteoriispektrálníanalýzyčasových
řad,kterápomáhánajítvýznamnéperiodickésložkyvdanéčasovéřadě.Vminulékapitolebylatatoteoriestručněpopsána.
Našímúkolemtedybudenajítúzkýinterval,kterýobsahuje
periodu,apakužjenstačípoužítřešenízpodkapitoly2.2.Knalezeníintervaluvyužijemespektrálníhustotu,neboťjejímaximum
senacházívboděnejvýznamnějšífrekvence(1/perioda)časové
řady.
Abychommohlivypočítatspektrálníhustotu,musímenejprve
ověřitpodmínkyjejíexistence.Zaprvésepožadujenulovástřední
hodnota.Tozajistímejednoduchýmpředefinovánímčasovéřadya
totak,žeodjednotlivýchměřeníodečtemeodhadstředníhodnoty
(vizvzorečk(1.6)):
yi= ˙ yi −¯y, i=0,1,2,...,n.
Tatonováperiodickáčasovářada,skteroubudemedálepracovat,
mástejnouhodnotuperiodyjakořadapůvodníazároveňnulovoustředníhodnotu.Dálepotřebujemeověřitstacionaritučasové
řady.Myvtomtotextupracujemesřadoutvaru(1.2),kdešum
tvořínezávislénáhodnéveličiny ei,i=1,2,...,n.Ztohoplyne,že
jednotlivápozorování yi,i=1,2,...,njsoutakénezávislá,tedy
kovariancemezilibovolnýmidvěmaměřenímijenulová.Platí
cov(yr, ys)=0, ∀r, s ∈ {1,2, ..., n}, r = s.
Tatorovnostnámdáváplatnostvztahu(1.4)atímpádemistacionaritučasovéřady.Nynívíme,žepodmínkyexistencespektrální
13

hustotyjsousplněny.Amůžemesebezobavpustitdojejíhovýpočtu,kekterémupoužijemevzorce(1.5)a(1.8).
V tuto chvíli známe odhad spektrální hustoty časové řady
prorůznéfrekvence,kteráneseinformacisjakouintenzitouje
danáfrekvencezastoupenavperiodickéčasovéřadě.Provedeme
intervalovýodhadospolehlivosti0,95,kterýmzjistímedolníhodnotuintenzity.Frekvence,kterémajíintenzituvětšínežjetento
dolníodhad,s95%pravděpodobnostípokryjískutečnouhodnotu
frekvence.VýpočetdolníhraniceintezityvprogramuR,[8]se
provedenásledně:
sp

kde δ=ti+1 − ti(tedyčasmezijednotlivýmiměřeními).Tímto
výpočtemdostávámeinterval(a, b),kterýpřekrývádélkuperiody,anacházímesetedyvestejnésituacijakovčásti2.2,jejíž
řešeníjižznáme.
2.4 Měřenáveličinajezaokrouhlena
Vtétočástisenámpodmínkypronalezeníodhadurozptylušumu
ztížíještětím,žeměřenáveličinabudezaokrouhlena.
Zaokrouhlovacíchybu vi-témměřenísioznačme ri.Násale
zajímápouzerozptylšumuanikoliirozptylzaokrouhlovacíchyby.
Budemesetedysnažitobjevitrozptylnáhodnéveličiny ri,ktomu
námpomůženásledujícíúvaha.
Zaokrouhlovánísimůžemepředstavittak,žepozorováníměřímenastupnici,kterájerozdělenanadílky.Přiurčováníhodnotyjednotlivéhoměřenízapíšemenejbližšícelýdílekstupnice.
Pokudjedílekměřítkadostatečněmalý,můžemepředpokládat,
ženáhodnéveličiny ri(i=1,2, ..., n)majírovnoměrnérozdělení
anezávisínafunkci f(t).Jednotlivápozorovánímajítedypak
tvar
yi=f(ti)+ei+ ri, i=1,2,...,n.
Stěmitopředpokladyužjenstačíspočítatrozptylpředchozími
metodamiaodečístodnějrozptylrovnoměrnéhorozdělení.Tento
rozptylvypočítámepomocívzorečku:
var ri= η2
, (2.2)
12
kde ηjevelikostjednohodílkustupnicevydělenádvěma.
2.5 Trend
Vtétopodkapitolebudemeřešitproblém,kdyjednotlivápozorováníčasovéperiodickéřadyobsahujíkroměperiodickéfunkcea
15

náhodnéchybyještětrendovousložku.Vtétoprácibudemepracovatsespeciálnímpřípademtrenduatostrendemvpodobě
lineárnífunkce,kteráprocházípočátkem,tedysfunkcítvaru
h(t)=K× t, K ∈ R.
Pozorovánísetedynynídajírozložitnatřisložky
yi= f(ti)+h(ti)+ei, i=1,2, ..., n. (2.3)
Nechťmámetedyzadanouperiodickoučasovouřadu,jejížpozorováníjsoutvaru(2.3),aneznámedélkuperiodyanisměrnici
trendu.Principřešenítétoúlohybudestejnýjakoupředešlých
podkapitol.Cílembudeproblémzjednodušitapřevéstnajižvyřešenouúlohu.Jinýmislovysnažímesenyníodstranittrendovou
složkuatímsedostatdosituace,jejížřešeníjižznáme.
Nechťpočetpozorováníperiodickéčasovéřadyje n.Vezmeme
siprvních ⌊n/50⌋měřeníastejnýpočetměřenízdruhéhokonce
časovéřadyavkaždépodmnožiněvypočítámeodhadstředníhodnotydlevzorce(1.6).Označmesivýsledky
¯ Y1a ¯ Y2.Anynínás
zajímávzdálenoststředůtěchtomnožin.Neboťnašeperiodická
časovářadajepravidelná,stačínajít tsindexem k=⌊n/100⌋
a l=⌊n − n/100⌋.Aodhadsměrnicetrenduvypočítámepodle
vzorečku
K= ¯ Y2 −¯ Y1
.
tl − tk
Kdyžznámesměrnicitrendu,odečtemeodvšechpozorovánítrendovousložku.Dostalijsmesetedykúloze,kdyneznámedélku
periody.Ařešenítohotoproblémupopisujepodkapitola2.3.
16

Kapitola3
Výpočetodhadurozptylušumu
Vtétokapitolesipopsanémetodyvyzkoušímenarůznýchdatech.
Budeme pracovat s pěti časovými periodickými řadami, které
jsou„našehotypu,nebolidajíserozepsatdotvaru(1.2).Tyto
řadyjednoduššeoznačímeřadač.1,řadač.2,řadač.3,řadač.4a
řadač.5.
Podrobnýpostupprovýpočetodhadurozptylušumusipopíšemeprořaduč.1(proostatnířadyjevýpočetanalogický).
Nazávěrsiuvedemevýsledkyprojednotlivéřadyaporovnámeje
seskutečnouvelikostírozptylušumu.Výpočtyjsourealizovány
vprostředíR,[8].Proprácistímtosoftwaremjsemvyužívala
předevšímknihuVenablesaRipley[7].
HodnotyčasovýchřadanavrženéprogramyprovýpočetníprostředíRjsoukdispozicinapřiloženémCD.
3.1 Výpočet
Budemepracovatspravidelnouperiodickoučasovouřadouč.1,
kterámá100000pozorování,jejíperiodickáfunkcejesinus(perioda2π)ašummánormálnírozdělenísrozptylem0,005.Propředstavusimůžeteprohlédnoutdvagrafy.Obrázek3.1ukazujeprvních500pozorovánířadyč.1vykreslenýchdobodovéhografu.
Nadalšímobrázku3.2jestejnářada„zhuštěnádointervalu
(0,2π)ačervenoubarvoujezdevyznačenaaproximačnífunkce.
Podlepopsanýchmetodvedruhékapitolebudemepočítatodhadrozptylušumuprořaduč.1.KprácivyužijemeprogramR,[8].
Abychomsdatymohlipracovat,jenejprvenutnésijenačíst.Po-
17

y
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0 5 10 15 20 25 30
Obrázek3.1:Bodovýgrafřadyč.1(prvních500pozorování)
y
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0 1 2 3 4 5 6
Obrázek3.2:Grafřadyč.1„zhuštěnýdointervalu(0,2π)aproloženýaproximačnífunkcí
18
t
T

kudmátesouborrada1.txtuloženýnapříkladvesložceD:\data,
použijemepronačtenídattytopříkazy
data

y
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0 2 4 6 8
Obrázek3.3:Prvních150hodnotřadyč.1vbodovémgrafu
zintervalu[6;6,7]ahodnotytaybudoupevné.Pomocífunkce
optimizezprostředíR,[8],naleznemejejíminimumazískáme
takhledanoudélkuperiody.Apokudperioduznáme,stačíužjen
zavolatfunkcirozptylzpředešléhořešení.
Úlohuřešítatofunkce,kde h.meza d.mezznačíhorníadolní
hraniciintervalu:
rozptyl.znam.int

tétopodposloupnostinavelikostperiodyazískámetakinterval,
kterýobsahujeskutečnouperiodu.Anyníužjenstačízavolat
funkcirozptyl.znam.intzpředešléčástitextu.
Provýpočetpoužijemefunkci:
nejdelsi.posloupnost

}
# přepočítání frekvencí na periody
if (a>b) rozptyl.znam.int(a,b,t,y)
else rozptyl.znam.int(b,a,t,y)
Dostanemevýsledek0,004977565
Měřenáveličinajezaokrouhlena
Nynínebudemepracovatsřadouč.1,protožejejíhodnotynejsou
zaokrouhleny.Alevytvořímesiřaduč.1-Ztím,žehodnotyřadyč.1
zaokrouhlímenatřidesetinnámísta.Ktomunámposloužípříkaz:
y

y2

y
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
0 2 4 6 8 10 12
Obrázek3.4:Periodickáfunkceřadyč.2
Řadač.5mádélkuperiody2π,periodickoufunkcisinusašum
márovnoměrnérozdělení.
Výsledkyprojednotlivéřadynaleznetevtabulce3.1,kdeprvní
sloupečekoznačujesituaci,vjakéodhadrozptylupočítáme.Tedy
vpřípadě2.1známeperiodu,2.2známejenúzkýinterval,2.3neznámeperiodu,u2.4jeměřenáveličinazaokrouhlenaavsituaci
2.5hodnotyobsahujítrendovousložku.
případ řadač.2 řadač.3 řadač.4 řadač.5
2.1 0,005267312 0,004983362 0,004985795 0,004944058
2.2 0,005268396 0,004978562 0,004985738 0,004939012
2.3 0,005268861 0,004978562 0,1404924 0,004937811
2.4 0,00527348 0,004978581 0,1404933 0,004937814
2.5 0,005259363 0,004978539 0,1404926 0,004937806
Tabulka3.1:Odhadrozptylušumučasovýchřad
Výsledkyprořaduč.3ač.5vcelkudobřeodpovídajískutečnémurozptylušumu.Tedynašemetodyproodhadrozptylušumu
lzevyužítprořady,jejichžperiodickáfunkcenemáprvníderivaci
vkonečnémpočtubodů.Pakjsmesitakéověřili,žepopsanépostupysprávněfungujíprořady,jejichžšummánormálnínebo
24
x

y
y
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0 2 4 6 8 10 12
Obrázek3.5:Periodickáfunkceřadyč.3
−1.0 −0.5 0.0 0.5
0 5 10 15 20
Obrázek3.6:Periodickáfunkceřadyč.4
25
x
x

ovnoměrnérozdělení(tedyprodvěčastopoužívanározdělení).
Alepokudsenavýsledkypodívámepozorněji,zjistíme,žeuřad,
jejichžšummánormálnírozdělení(řadač.1ařadač.3),jeodhad
otrochupřesnějšínežuřadyč.5,kdeješumrovnoměrněrozdělený.Tedymetodyvtétoprácisevícehodínačasovéperiodické
řadysnormálněrozdělenýmšumem.
Odhady rozptylu šumu pro řady č.2 a č.4 jsou nepřesné a
uřadyč.4sedokoncetřivýsledkylišíodvědesetinnámísta.
Uřadyč.2nefungujeaproximacesplinem(funkceneníspojitá)a
uřadyč.4selžealgortimusnahledánípřibližnéhointervalu.Metodyjsoutudížnevhodnéprořadysnespojitýmiperiodickýmifunkcemi.Adálenášpostupproodhadrozptylušumunevyhovujeřadám,jejichžperiodickáfunkceneníprostánaintervalu
perioda/2.Neboliabyjsmemohlipoužítpopsanémetody,musí
existovatúsekdlouhý perioda(označmesijej(a, b))tak,žeperiodickáfunkce
fjeprostánaintervalech
(a, a+ b−a
2
b−a ) a (a+ 2 , b).
Ještěsitakémůžemepovšimnout,žeuřad(č.1,č.3ač.5),
jejichžvýsledkypovažujemezapřijatelné,vyšelodhadrozptylu
šumuvždyotrochumenšínežskutečnýrozptyl.Tojezpůsobené
tím,žepřiprokládánísplinemminimalizujemestředníčtvercovou
chybu.Tedynáslednýmvýpočtemobdržímemenšíodhadrozptylušumu,nežjakájeskutečnáhodnota.Tatochybaaleklesásdélkouřadyamypředpokládáme,žepočetpozorováníjedostatečněvysoký(utechnickýchřadjsmeobvyklelimitovánipouze
velikostípamětipočítače).
26

Literatura
[1]JiříAnděl:Statistickáanalýzačasovýchřad,Praha,SNTL,
1976,str.38-51.
[2]PeterBloomfield:FourierAnalysisofTimeSeries:AnIntroduction,JohnWiley&Sons,2000,str.183-185.
[3]Brockwell,P.J.aDavis,R.A.:IntroductiontoTimeSeries
andForecasting,Springer-Verlag,2002,str.1-15.
[4]TomášCipra:Analýzačasovýchřadsaplikacemivekonomii,
Praha,SNTL,1986,str.15-19,205-230.
[5]Green,P.J.aSilverman,B.W.:NonparametricRegression
andGeneralizedLinearModels:ARoughnessPenaltyApproach,ChapmanandHall,1994,str.11-28.
[6]Hastie,T.J.aTibshirani,R.J.:GeneralizedAdditiveModels,ChapmanandHall,1990,str.27-29.
[7]Venables,W.N.aRipley,B.D.:ModernAppliedStatistics
withS,Springer-Verlag,2003.
[8]RDevelopmentCoreTeam:R:ALanguageandEnvironmentforStatisticalComputing,RFoundationforStatistical
Computing,Vienna-Austria,2007.
27