Matematika a hudba

Zdeněk Halas
VYUŽITÍ MATEMATIKY
V PRAXI
•
Vzdělávací modul MATEMATIKA
Výukový a metodický text
Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze:
akvně, aktuálně a s aplikacemi – projekt OPPA
Evropský sociální fond
Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Praha 2012

Publikace byla vydána v rámci Operačního programu Praha – Adaptabilita (OPPA) a jeho projektu
Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze: akvně, aktuálně a s aplikacemi.
Řešiteli projektu jsou pracovníci Přírodovědecké fakulty Univerzity Karlovy v Praze
a Matemacko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy v Praze.
Autor textu:
Mgr. Zdeněk Halas, DiS., Ph.D., katedra didakky matemaky, MFF UK Praha
Zdenek.Halas@mff.cuni.cz
Recenzen:
RNDr. Antonín Slavík, Ph.D.
doc. RNDr. Jitka Laitochová, CSc.
Vydalo Nakladatelství P3K s. r. o. (www.p3k.cz) v Praze v roce 2012 v nákladu 120 ks. Vydání první.
Ze sazby dodané autorem vyskl xPrint s. r. o.
Publikace neprošla jazykovou korekturou.
© Zdeněk Halas, 2012
Illustraons @ Jana Marvánová, 2012
© Nakladatelství P3K, 2012
ISBN 978-80-87186-75-6

OBSAH
.................................................................................................................................................. 5
........................................................................................ 7
...............................................................................................................................
....................................................................
......................................................................................................................
P ...............................................................................................................................
............................................................................................
.............................................................................................
..................................................................................................................
.........................................................................................................
.................................................................................................................................
...............................................................................................................................
.............................................................................................................
.........................................................................................................................................................

P
- )
-
y

1 M
která se zabývá prostorovými a kvantitati
.
V
.
- technické . Z
–
.
chemií –
biologii
geograe –
geodézie kartograe
. Demograe
meteorologii
Využi matemaky v praxi 5

ekonomických
–
iky
V
y).
.
archeologie
theologii.
b
. T
í
6 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

1.1
d
9
itmetiky
.
.
.
.
5.
y bude
.
–
Využi matemaky v praxi 7

.
7.
V mechanice
z
V hice
V aerometriiZ
V h
ika
ikay
Diika
Peri
.
8 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

Z
Gnomonika
Chronologie
Geograa
Hydrograe
Taktika
.
Artilerie
Archi
Archi
8.
.
.
. ika
i
9.
.
Využi matemaky v praxi 9

10 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

2
…
pýthagorejském
Tónová soustava stupnice
.
– d – e – – g – – – -
Z -
peri T
frekvence-
Využi matemaky v praxi 11

=
=5
= 1 .
=5 Hz
Absolutní výšku tónu de –
u
- f f 2
.
relativní výška tónu f 2 f
- F
= 1
.
-F
=
.
12 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

= .
2.1
u
-
-
oktáva.
n
1
2
.
P-
–––––––– ).
Využi matemaky v praxi 13

–
–
–
–
-
kvinta
-
-
1 2 3 2 3 = 2 3 .
n
2 3
-
–
–
:
1:
1:
14 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

Z
2.2
a
V
hmotnosti
)
)
1
g
Využi matemaky v praxi 15

tritonickou stupnici– – g – ).
1
g
–
1: 2 3 1 2 = 3 4 .
Z 3
4 = 2 3
d pýthagorejský celý tón. V
-
.
1
a b
de
2
+ .
2 1 2 1
= 2 1
2 +1 3 .
–
16 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

1
2 +1
= 3 2 4 .
– – y
.
1
g d
1
d g
pentatonickou stupnici
p
– )
-
– – g – d – – e –
1
g d e
1
d e g
heptatonickou stupnici.
Využi matemaky v praxi 17

d e g d e g
-
d e g
1
– – – – –
– –
malý p limma.
0,901 … = 243
256 243
256 > 8 9 =0,8
3 2
=
2 3 .
-
1
2 2 ,
3
18 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

ovno
nebude
.
–
1
d e g
Využi matemaky v praxi 19

malý velký
3
2 = 0,949 218 75 a 2
= 0,936 442 6 …
3
2
3 3
2 = 8 9 .
)
2
= 0,7399 …
3
3
4 : 2
3
=
3
531 441
=
2 524 288 = 1,013 6 …
3
2 : 2
3 = 3
2 .
pýthagorejské komma.
5 .
5
2=
20 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

1
7 5 5
1
= 1,013 643 …
1
= 0,790 12 … u
= 0,800 903 …
u
2.3
–
= 0,800 903 …
=0,8 –
Využi matemaky v praxi 21

– e –
kanónikové
–
harmonikové
, ).
)
d e g
1
2
3 2 3 : 1 2 = 8 9 .
M
tercii1 =
22 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

=
= .
)
d e g
1
– e – g).
- -
– –
4
5
5
6 .
-
– – – – d
– e –
Z
–
–
8
9 < 5 6 < 4 5 ,
– d – – g –
Využi matemaky v praxi 23

I II III IV V VI VII VIII
1
mollový
–
-
2.4
-
.
-
24 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

=2 .
=
2
= 1,059 463 …
= 2 ,
= 0,1,…,12.
2.
d e g
1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
-
e
Tab. 1 –
RTL RTL –
0 c 1 1 1 0
1 1,059 463
2 9/8 1,125 1,122 462 -0,002538
3 6/5 1,2 1,189 207 -0,010793
4 5/4 1,25 1,259 921 0,009921
5 f 4/3 1,333 1,334 839 0,001839
6 1,414 213
7 g 3/2 1,5 1,498 307 -0,001693
8 8/5 1,6 1,587 401 -0,012599
9 5/3 1,666 1,681 792 0,015792
10 b 9/5 1,8 1,781 797 -0,018203
11 h 15/8 1,875 1,887 748 0,012748
12 c 1 2 2 2 0
Využi matemaky v praxi 25

V
–
– –
komorní a).
V
-
komorního a
2
c 1 261,6256
1 277,1826
1 293,6648
1 311,1270
1 329,6276
f 1 349,2282
1 369,9944
g 1 391,9954
1 415,3047
1 440
1 466,1638
h 1 493,8833
c 2 523,2511
= 2 = 1,148 698 …
svaragrama = 2 = 1,032 …
26 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

- = 2 = 1,029 3 …).
šestinotóny = 2 = 1,019 44 …
–
2.5
n
n
.
n
nebylo
1
2 2 ,
3
–
3 531 441
= = 1,013 643 264 770 507 812 5 .
2 524 288
.
n
k
1
2 = 2 .
3
=2
log
3
2 = .
3
log = 0,584 962 500 721 156 …,
2
2
= 1,059 …
Využi matemaky v praxi 27

. Z = n
n
)
k ne
n
„co nejlepším“
V . -
– .
. Zbude-
87
38 =2+11 38 =2+ 1 =2+ 1
38
11
3+ 5 =2+ 1
3+ 1 11
11
5
1
=2+
3+ 1
2+ 1 5
zlomek. V
87
= [2; 3, 2, 5].
38
2, 2 + 1 3 , 2+ 1
3+ 1 , 2 +
2
1
3+ 1 ,
2+ 1 5
2,
7
3 , 16
7 , 87
38 .
28 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

konvergenty.
racionální
jiného zlomku <
< .
u
< 1
2
.
–
. V
q.
–
-
1
<
,
.
Využi matemaky v praxi 29

1
2 =1+2 1 =1+ =1+ 1
1 2 +1 =1+ 1
2+2 1 =1+ 1
=
1
2+
2 1
1
2 1
1
=1+
2+ 1 = =1+
2+
2 +1
1
1
2+ 1
2+
= [1; 2]
2 1
3
log = 0,584 962 500 721 156 …
2
-
3
log = [0; 1,1,2,2,3,1,5,2,23,2,2,1,1,55,1,4,3,1,1,15,1,9,2,5,7,1,...].
2
–
7
8
7
8
30 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

. 9
V
N = 9
q = []
–
0 # x -
-
P = [ q[0], q[0]*q[1]+1 ]
Q = [ 1, q[1] ]
--
--
-
K = []
K
#
[0, 1, 1, 2, 2, 3, 1, 5, 2]
9
Využi matemaky v praxi 31

.
Tab. 2 –
K
P
K
1 / 2 2 1,125
3 / 5 5 0,949 219
7 / 12 12 1,013 643
24 / 41 41 0,988 603
31 / 53 53 1,002 090
179 / 306 306 0,998 978
389 / 665 665 1,000 044
9126 / 15601 15 601
2.6
.
kryté.
.
f
u v
= .
V
32 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

– .
Z-
.
–
y )
Využi matemaky v praxi 33

. V
n-n-
34 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

3
V
–
3.1
585
šestém roce ke
Mílétu a stanovil pro n
stvrzení p
úplné
prstencové
–
Využi matemaky v praxi 35

°
novu.
=
= 588
Obr. 1 –
,
= .
= 27 212 220 817
=
29 530 588 853 .
36 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

co nejmenší
z –
.
N = 9
q = []
–
-
# x -
P = [ q[0], q[0]*q[1]+1 ]
Q = [ 1, q[1] ]
-
--
--
–
–
-
\\\\
\\\\
Využi matemaky v praxi 37

[0; 1, 11, 1, 2, 1, 4, 3, 5]
0 / 1 -
1 / 1
11 / 12 -
12 / 13
35 / 38 -
47 / 51
223 / 242 -
716 / 777
3803 / 4127 -
-
223
242 a 716
777 .
·D 585 585
· 585 585
777·D 895 8
·
V 585
°.
°.
38 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

saros
saro -
-
z
3.2
–
V
místech takové
V
Využi matemaky v praxi 39

– z
. V
arctg =41° 38
arctg =36° 52
arctg =35° 32
arctg
=39° 17
arctg =30° 58
40 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

Využi matemaky v praxi 41

3.3
V
– T
)
M
.
–
.
V u
.
–
u
. y
P
II).
Tab. 3 –
–
– 9
–
–
I
42 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

.
. –
.
. V
.
. V
.
ý
dru .
z y
- P-
z
10
P-
P
Využi matemaky v praxi 43

= .
Z
z
44 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

-
[ , , ] =1,2,3- , ,
( ) +( ) +( ) = =
( ) +( ) +( ) = =
( ) +( ) +( ) = =
(2 2 ) + (2 2 ) + (2 2 ) =
(2 2 ) + (2 2 ) + (2 2 ) =
( ) +( ) +( ) =
,
= ( ) + + +
= ( ) + + +
.
() ()
( , , ) .
90°,90° a 180°, 180°).
( , , )
= + +
.
p = 6 378, 137
Využi matemaky v praxi 45

= .
-( , , )
h
z
u
= sin .
=arcsin
.
u
y
= cos
= cos cos
= cos sin
z .
V –
46 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze

–
–
. Zf
–
Využi matemaky v praxi 47

.
-
P. .
.
48 Projekt OPPA: Přírodní vědy a matemaka na středních školách v Praze