Množinové pojetí geometrie - Pf UJEP

1 3
poloroviny je konvexní útvar. Rovněž každý průnik dvou trojúhelníků (ať je tímto
průnikem prázdná množina bodů, jednobodová množina, úsečka, trojúhelník,
čtyřúhelník, pětiúhelník nebo šestiúhelník), je konvexní útvar.
Tedy platí : průnikem kterýchkoliv dvou konvexních útvarů je konvexní útvar.
Ú L O H A : Zjistěte, zda analogické tvrzení platí i o sjednocení dvou konvexních
útvarů.
Řešení : Na vhodném příkladu lze dokázat, že existují dva konvexní útvary, jejichž
sjednocením je útvar, který není konvexní. Narýsujte takové dva útvary.
Tvrzení obdobné větě o průniku konvexních útvarů tedy pro sjednocení dvou
konvexních útvarů neplatí.
Shodnost v geometrii
Shodnost úseček
Pojem shodnost úseček je zaveden pomocí axiomů shodnosti (v přehledu axiomů
jsou uvedeny jako S1 až S6 ) .
Shodnost úseček je relace typu ekvivalence.
Z axiomů S1 až S3 totiž vyplývá, že shodnost úseček je relace
reflexivní (každá úsečka je shodná sama se sebou),
symetrická (je-li jedna úsečka shodná s druhou, je i druhá z nich shodná s první) a
tranzitivní (je-li jedna úsečka shodná s druhou a tato druhá úsečka shodná s třetí,
pak je i první z nich shodná s třetí).
Protože tedy shodnost úseček je relace typu ekvivalence, indukuje rozklad
množiny všech úseček na třídy navzájem shodných úseček.
Pojmy definované pomocí shodnosti úseček:
Nanesení (přenesení) úsečky na polopřímku
Tento pojem nejprve popíšeme pomocí algoritmu:
1. Nechť je dána úsečka AB a polopřímka →CD.
2. Na polopřímce →CD najděte bod E tak, aby platilo, že CE ≅ AB .
(Podle axiomu S2 takový bod v každém případě existuje.)
(Technická poznámka: při rýsování uvedený bod najdete způsobem, který znáte
ze školy, např. pomocí proužku papíru nebo použitím kružítka, to však
z teoretického hlediska není podstatné .)
3. Úsečka CE se nazývá nanesení úsečky AB na polopřímku →CD .
6447448 6447448
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
A B C E D
Náš pojem jsme uvedli vyslovením algoritmu (je možno hovořit o „algoritmické
definici“ pojmu).