přednášky 1

Matematika III 

Řady 

Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská 

Ústav matematiky 

Přednášky ZS 2012-2013

Číselné řady. Funkční řady. Mocninná a Taylorova řada. Literatura 

Obsah 

1 Číselné řady. 

Součet nekonečné řady. 

Kritéria konvergence 

2 Funkční řady. 

Bodová konvergence. 

Stejnoměrná konvergence. 

3 Mocninná a Taylorova řada. 

Mocninná řada. Poloměr konvergence. 

Taylorova řada. 

4 Literatura



Nekonečnou posloupnost {a n} ∞ n=1 reálných ( případně komplexních) čísel 

zapsanou ve tvaru součtu 

∞∑ 

nazýváme číselnou řadou. 

n=1 

Definice 1. Součet prvních n členů řady, tj. součet 

s n = 

a n 

n∑ 

a i , 

nazýváme n-tým částečným součtem dané řady. Je-li limita lim 

n→∞ 

s n = s 

konečná, nazýváme číslo s součtem řady, píšeme 

s = 

a říkáme, že tato řada konverguje. Je-li lim 

n→∞ 

s n nevlastní nebo tato limita 

neexistuje, součet řady nedefinujeme a říkáme, že řada diverguje. 

Příklad: Řada ∑ ∞ 

n=1 

1 

n 

se nazývá řada harmonická. Ukážeme, že tato řada 

je divergentní. 

i=1 

∞∑ 

i=1 

a i



Zřejmě 

s 2 n = 1 + 1 2 + ( 1 3 + 1 4 ) + ( 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 ) + ( 1 9 + · · · + 1 

16 ) + . . . 

1 

· · · + ( 

2 n−1 + 1 + 1 

2 n−1 + 2 + · · · + 1 2 ) ≥ n. 1 n 2 , 

nebot’ každý výraz v závorce je větší než 1 2 . Odtud 

a harmonická řada tedy diverguje. 

Příklad: Uvažujme řadu 

Zřejmě 

lim s 2 

n→∞ n ≥ lim n · 1 

n→∞ 2 = +∞, 

∞∑ 

(−1) i = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . . 

i=0 

∑n−1 

s n = (−1) i = 

i=0 

{ 0 pro n sudé , 

1 pro n liché. 

Tedy lim 

n→∞ 

s n neexistuje a tato řada diverguje.



Věta 1. Je-li řada ∞ ∑ 

i=1 

Důkaz: Necht’ řada ∞ ∑ 

s = lim 

n→∞ 

s n−1 . Odtud 

a i konvergentní, pak lim 

i→∞ 

a i = 0. 

i=1 

a i konverguje a s = lim 

n→∞ 

s n. Pak ale též 

lim an = lim 

n→∞ n→∞ (sn − s n−1) = lim s n − lim s n−1 = s − s = 0. 

n→∞ n→∞ 

Věta 1 říká, že podmínka lim a n = 0 je nutnou podmínkou pro konvergenci 

n→∞ 

∑ 

řady ∞ a n. Větu nelze obrátit, tj. ze vztahu lim a n = 0 neplyne, že řada 

n→∞ 

n=1 

∞∑ 

∑ 

a n konverguje, jak ukazuje příklad harmonické řady ∞ 

n=1 

ale řada diverguje. 

n=1 

1 

1 

, kde lim = 0, 

n n→∞ n



Velmi důležitou řadou je tzv. geometrická řada. Je to každá řada tvaru 

∞∑ 

a + aq + aq 2 + · · · = aq i , kde a, q ∈ R, a ≠ 0. 

i=0 

Číslo q nazýváme kvocientem geometrické řady. 

∑ 

Věta 2. Geometrická řada ∞ aq i je konvergentní právě tehdy, když |q| < 1. 

i=0 

V tomto případě pro její součet platí vztah 

∞∑ 

aq i = 

a 

1 − q . 

i=0 

Důkaz: Podle vzorce pro rozdíl n-tých mocnin 

dostáváme 

1 − q n = (1 − q)(1 + q + q 2 + · · · + q n−1 ) 

s n = a + aq + · · · + aq n−1 = a 1 − qn 

1 − q . 

Je-li |q| < 1, je lim 

n→∞ 

q n = 0 a dostáváme 

lim sn = lim a 1 − qn 

n→∞ n→∞ 1 − q = a 

1 − q .



Naopak je-li |q| ≥ 1, pak lim 

i→∞ 

aq i není rovna nule a tedy podle věty 1 je daná 

řada divergentní. 

Definice 2. 

∑ 

řada ∞ |a i |. 

i=1 

∑ 

Říkáme, že řada ∞ a i konverguje absolutně, jestliže konverguje 

i=1 

∑ 

Věta 3. Jestliže řada ∞ a i konverguje absolutně, pak tato řada konverguje. 

i=1 

∑ 

Jinak řečeno: konverguje-li řada ∞ ∑ 

|a i |, konverguje i řada ∞ a i . 

Tvrzení věty 3 nelze obrátit. Později ukážeme, že řada ∞ ∑ 

i=1 

n=1 

i=1 

(−1) n 

n 

konverguje, 

∑ 

ale jak víme, řada ∞ ∑ 

| (−1)n | diverguje. Řada ∞ (−1) n 

je tedy příkladem 

n 

n 

n=1 

n=1 

konvergentní řady, která není absolutně konvergentní. Určit součet 

konvergentní řady je obvykle značně obtížná úloha, kterou umíme řešit pro 

geometrickou řadu a dále v některých jednoduchých případech. Jednodušší 

úlohou může být úloha zjistit, zda je daná řada konvergentní (aniž bychom 

určovali její součet). K tomu slouží tzv. kritéria konvergence. Těchto kritérií 

je celá řada, některá z nich si nyní ukážeme.



Věta 4 (Srovnávací kritérium). Necht’ pro každé n ≥ 1, příp. n ≥ n 0 , platí 

0 ≤ a n ≤ b n. Potom platí: 

(i) konverguje-li řada 

nebo totéž ve negované formě 

∞∑ 

b n, konverguje i řada 

n=1 

∞∑ 

a n, 

n=1 

(ii) diverguje-li řada 

∞∑ 

a n, diverguje i řada 

n=1 

∞∑ 

b n. 

n=1 

Důkaz: Označme s n = (a 1 + a 2 + · · · + a n) a S n = (b 1 + b 2 + · · · + b n). 

zřejmě s n ≤ S n a obě posloupnosti {s n} i {S n} jsou neklesající. Je-li tedy 

lim Sn konečná, je nutně konečná i lim sn a tím je tvrzení dokázáno. 

n→∞ n→∞ 

Ve větě 4 je možno platnost předpokladu 0 ≤ a n ≤ b n požadovat pro všechna 

n ≥ n 0 , kde n 0 ≥ 1 je nějaký pevný index. Konvergence nebo divergence 

řady totiž nezáleží na hodnotách konečného počtu sčítanců.



Příklad: Uvažujme řadu ∞ ∑ 

∞∑ 

n=1 

n=1 

1 

. Protože 0 ≤ 1 ≤ 1 pro n ≥ 1 a řada 

n.2 n n.2 n 2 n 

1 

2 n je konvergentní (je to geometrická řada s kvocientem q = 1/2), je 

podle věty 4 konvergentní i řada ∞ ∑ 

Příklad: Řada ∞ ∑ 

divergentní. 

n=2 

n=1 

1 

n.2 n . 

1 

1 

je divergentní, protože ≥ 1 pro n ≥ 2 a řada ∑ ∞ 1 

je 

ln n ln n n n 

n=2 

∑ 

Věta 5 (Podílové kritérium). Uvažujme řadu ∞ a n, a n ≠ 0. 

1 Je-li lim | a n+1 

| < 1, pak řada 

n→∞ 

a n 

2 Je-li lim | a n+1 

| > 1, pak řada 

n→∞ 

a n 

n=1 

∞∑ 

a n konverguje absolutně. 

n=1 

∞∑ 

a n diverguje. 

n=1 

Větu nebudeme dokazovat. Poznamenejme jen, že důkaz první části spočívá 

na porovnání dané řady s jistou geometrickou řadou. Pro druhou část lze 

ukázat, že řada nesplňuje nutnou podmínku pro konvergenci danou větou 1.



Je-li 

lim | a n+1 

| = 1, 

n→∞ a n 

podílové kritérium o konvergenci řady nerozhodne. Existují řady konvergentní 

∑ 

(např. ∞ 1 

) i řady divergentní (např. harmonická řada), pro které platí, že 

n 2 

n=1 

limita podílu je 1). 

Věta 6 (Odmocninové kritérium). Uvažujme řadu 

∞∑ 

a n, a necht’ existuje 

n=1 

(konečná i nekonečná) limita lim 

√ n 

|a 

n→∞ 

n| = L. Potom platí: 

∞∑ 

1 je-li L < 1, řada a n je absolutně konvergentní, 

2 je-li L > 1, řada 

n=1 

∞∑ 

a n je divergentní. 

n=1 

Důkaz: Je-li L < 1, zvolme ε > 0 tak, aby platilo L + ε < 1. Potom existuje 

n 0 ∈ N takové, že pro n ∈ N, n ≥ n 0 je n√ a n < L + ε < 1, odkud a n < (L + ε) n . 

∞∑ 

Řada (L + ε) n je konvergentní geometrická řada. 

n=1



Podle srovnávacího kritéria (Věta 4) řada 

∞∑ 

a n konverguje. 

Je-li L > 1, potom existuje n 0 ∈ N takové, že pro n ∈ N, n ≥ n 0 je n√ a n ≥ 1. 

Platí tedy a n ≥ 1 pro n ≥ n 0 , není tedy splněna nutná podmínka konvergence 

∞∑ 

(Věta 1). Řada a n diverguje. 

n=1 

Odmocninové kritérium selže v případě, že lim 

√ n 

a n neexistuje nebo je 

n→∞ 

rovna jedné. 

∞∑ 1 

Příklad: Vyšetřeme konvergenci řady 

(ln n) . n 

Použijeme odmocninové kritérium: 

√ 

Řada tedy konverguje. 

n 

lim 

n→∞ 

n=2 

1 

(ln n) n = lim 

n→∞ 

n=1 

1 

ln n = 0 < 1.



Zatím se uvedená kritéria týkala absolutní konvergence. Uved’me nyní jedno 

kritérium pro neabsolutní konvergenci, Leibnitzovo kritérium. Týká se tzv. 

alternujících řad, tj. řad, jejichž členy pravidelně mění znaménko. 

Věta 7 (Leibnitzovo kritérium). Necht’ pro posloupnost {a n} platí: 

a n ≥ a n+1 ≥ 0 pro každé n ≥ 1, a současně 

Potom řada 

∞∑ 

(−1) n a n 

konverguje. 

n=1 

lim a n = 0. 

n→∞ 

∑ 

Příklad: Řada ∞ (−1) (n+1) 1 splňuje podmínky věty 7 (posloupnost { 1 } je 

n n 

n=1 

1 

klesající a lim = 0 ) a tedy konverguje. (Později ukážeme, že její součet je 

n→∞ n 

ln 2.) Jak již bylo řečeno, tato řada nekonverguje absolutně, srovnej 

s harmonickou řadou.



Věta 8 (Integrální kritérium). Necht’ funkce f (x) definovaná pro x ≥ 1 je 

nerostoucí spojitá funkce splňující podmínku f (x) ≥ 0 pro x ≥ 1. 

∞∫ 

∑ 

Pak f (x) dx konverguje právě tehdy, když konverguje řada ∞ f (n). 

1 

Příklad: Řada ∞ ∑ 

n=1 

∫ ∞ 

1 

1 

konverguje, protože integrál 

n 2 

1 

x 2 dx = [− 1 x 

] ∞ 

1 

= lim 

x→∞ 

(− 1 x ) − (−1) = 1 

konverguje. 

Příklad: Pomocí integrálního kritéria můžeme také dokázat divergenci 

∑ 

harmonické řady ∞ 1 

. Protože integrál 

n 

n=1 

n=1 

∫ ∞ 

diverguje, diverguje i řada ∞ ∑ 

1 

1 

x dx = [ln x]∞ 1 

n=1 

1 

n . 

= lim 

x→∞ 

ln x = ∞


Bodová konvergence. 

Definice 3. Necht’ n ∈ N a f n je reálné funkce jedné reálné proměnné 

∞∑ 

definované na intervalu I. Potom řadu f n(x) nazýváme funkční řadou v 

I. Říkáme, že řada 

n=1 

∞∑ 

f n(x) konverguje bodově v množině D ⊂ I, jestliže pro 

n=1 

každou hodnotu x ∈ D konverguje řada 

∞∑ 

f n(x). Množinu D nazýváme 

n=1 

oborem konvergence řady. Označíme-li s m(x) = 

řady a platí-li lim sm(x) = s(x), pro x ∈ D, potom píšeme 

m→∞ 

m∑ 

f n(x) částečný součet 

n=1 

∞∑ 

f n(x) = s(x), pro x ∈ D. 

n=1 

Důležitou otázkou týkající se řad funkcí je to, zda se vlastnosti jednotlivých 

členů řady (spojitost, existence derivace, apod.) přenáší také na součet řady. 

Bodová konvergence nám k tomu nestačí, musíme proto zavést silnější typ 

konvergence.



Definice 4. 

Říkáme, že řada 

∞∑ 

f n(x) konverguje stejnoměrně k součtu 

n=1 

s(x) na intervalu I, jestliže posloupnost {s m(x)} ∞ n=1 jejich částečných součtů 

konverguje stejnoměrně k funkci s(x) na I (píšeme s m ⇒ s), tj. 

∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N takové, že ∀x ∈ I a ∀n ∈ N, n ≥ n 0 platí |s m(x) − s(x)| < ε. 

Je třeba si uvědomit, že slabší vlastnost bodové konvergence znamená 

∀x ∈ I ∀ε > 0 ∃n 0 ∈ N takové, že a ∀n ∈ N, n ≥ n 0 platí |s m(x) − s(x)| < ε. 

Věta 9 (Weierstrassovo kriterium). Necht’ a n ≥ 0 a 

∞∑ 

a n konverguje. 

Necht’ pro všechna x ∈ I a všechna n ∈ N platí |f n(x)| ≤ a n. Potom řada 

∞∑ 

f n(x) konverguje stejnoměrně na I. 

n=1 

n=1 

Příklad: Rozhodněme, kde řada konverguje stejnoměrně 

∞∑ 

n=1 

cos nx 

n 4 .



Použijeme Weierstrassovo kritérium 

∣ cos nx ∣∣ 1 

∣ ≤ 

n 4 n 4 pro x ∈ R . 

Řada 

∞∑ 

n=1 

1 

konverguje, tedy daná řada konverguje stejnoměrně v R . 

n4 Věta 10. Necht’ řada funkcí 

∞∑ 

f n(x) konverguje stejnoměrně na I a má na I 

n=1 

součet s(x). Jsou-li všechny funkce f n(x) na I spojité, pak je na I spojitá také 

funkce s(x). 

∞∑ 

Věta 11. Necht’ řada funkcí f n(x) konverguje stejnoměrně na I = [a, b] a 

n=1 

má na I součet s(x). Jsou-li všechny funkce f n(x) na I integrovatelné, pak je 

na I integrovatelná také funkce s(x) a plati 

∫ b 

∞∑ 

∫ b 

∫ ( 

b ∞ 

) 

∑ 

∞∑ 

∫ b 

s(x) dx = f n(x) dx, tj. f n(x) dx = f n(x) dx. 

a 

n=1 

a 

a 

n=1 

n=1 

a



Příklad: Vypočtěte 

Řada 

∞∑ 

n=1 

∫ 1 

2 

0 

( 

∑ ∞ 

) 

n x n−1 dx. 

n=1 

n x n−1 konverguje stejnoměrně na [0, 1 ] (podle Weierstrassova 

2 

kritéria). Platí proto 

∫ ( 

1 ∞ 

) 

2 ∑ 

n x n−1 dx = 

0 

n=1 

( 

∞∑ ∫ 12 

) 

n x n−1 dx = 

n=1 

Věta 12. Necht’ řada funkcí 

0 

∞∑ 

n=1 

[ 

x 

n ] 1 2 

0 

= 

∞∑ 

n=1 

∞∑ 

f n(x) konverguje na otevřeném intervalu 

n=1 

I = (a, b) a má na I součet s(x). Necht’ řada funkcí 

∞∑ 

f n(x) ′ konverguje 

n=1 

1 

2 n = 1. 

stejnoměrně na I. Mají-li všechny funkce f n(x) na otevřeném intervalu I 

derivaci pro všechna n ∈ N, potom má také funkce s(x) derivaci na I a plati 

( 

∞∑ 

∞ ′ 

∑ 

∞∑ 

s ′ (x) dx = f n(x) ′ dx, tj. f n(x)) 

= f n(x). 

′ 

n=1 

n=1 

n=1



Definice 5. 

Řadu tvaru 

∞∑ 

a n(x − x 0 ) n , 

n=0 

kde x 0 , a 0 , a 1 , . . . jsou reálná čísla, x je proměnná, nazýváme mocninnou 

řadou. Čísla a 0 , a 1 , . . . nazýváme koeficienty a číslo x 0 střed mocninné 

řady. 

Pro zvolenou hodnotu proměnné x je mocninná řada číselnou řadou. Součet 

mocninné řady představuje jistou funkci, definovanou právě pro ty hodnoty 

proměnné x, pro které odpovídající číselná řada konverguje. 

∑ 

Příklad: Mocninná řada ∞ x n (se středem x 0 = 0) je geometrickou řadou 

n=0 

s kvocientem x, a tedy konverguje právě pro x ∈ (−1, 1). Podle věty 2 pro její 

součet platí 

∞∑ 

x n = 1 pro x ∈ (−1, 1) . 

1 − x 

n=0



Věta 13. Necht’ 

∞∑ 

a n(x − x 0 ) n je mocninná řada. Pak existuje číslo 

n=0 

R ∈ 〈0, +∞〉 (tj. R ∈ 〈0, +∞) nebo R = +∞), takové, že: 

1 Je-li R = 0, pak daná mocninná řada konverguje pouze pro x = x 0 a pro 

ostatní x ≠ x 0 diverguje. 

2 Je-li R ∈ (0, +∞), pak daná mocninná řada konverguje absolutně pro 

každé 

x ∈ (x 0 − R, x 0 + R) a diverguje pro každé 

x ∈ (−∞, x 0 − R) ∪ (x 0 + R, +∞). 

3 Je-li R = +∞, pak daná mocninná řada konverguje absolutně pro každé 

x ∈ R. 

Číslo R nazýváme poloměrem konvergence mocninné řady. 

∑ 

Poloměr konvergence mocninné řady ∞ a n(x − x 0 ) n je možno určit pomocí 

podílového kritéria. Označme 

n=0 

R = lim 

n→∞ 

∣ ∣∣∣ a n 

a n+1 

∣ ∣∣∣ 

.



Ukážeme, že R je poloměr konvergence dané mocninné řady. Platí 

lim 

n→∞ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 

n+1(x − x 0 ) n+1 ∣∣∣ ∣∣∣ a n+1 (x − x 0 ) ∣∣∣ ∣∣∣ a n+1 ∣∣∣ 

= lim 

= |x − x 

a n(x − x 0 ) n 

0 | · lim . 

n→∞ a n 

n→∞ a n 

Odtud okamžitě plyne, že pro |x − x 0 | < R mocninná řada konverguje 

absolutně a naopak pro |x − x 0 | > R diverguje. Tedy R je poloměrem 

konvergence dané mocninné řady. V případě 2. věty 13, tj. v případě 

R ∈ (0, +∞), nelze říci obecně nic o konvergenci mocninné řady pro 

x = x 0 − R a x = x 0 + R. Existují příklady, kdy mocninná řada konverguje jak 

pro x = x 0 − R tak pro x = x 0 + R, příklady kdy konverguje pouze pro jednu 

z těchto hodnot, i příklady, kdy pro obě z těchto hodnot diverguje. 

∑ 

Příklad: Určete, pro které hodnoty proměnné x konverguje řada ∞ 

Protože 

lim 

n→∞ 

∣ 

x n+1 

n+1 

x n 

n 

∣ = lim 

n→∞ ∣ x · n 

n + 1 ∣ = |x| , 

je podle podílového kritéria daná řada absolutně konvergentní pro 

x ∈ (−1, 1) a divergentní pro x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, +∞). Poloměr konvergence 

dané mocninné řady je tedy roven 1. 

n=1 

x n 

n .



Pro x = 1 je daná řada harmonickou řadou, a tedy řadou divergentní, pro 

∞∑ 

x = −1 je daná řada řadou (−1) n 1 

, u které jsme již určili, že konverguje. 

n 

n−1



Definice 6. Necht’ funkce f má v bodě x 0 derivace všech řádů. Taylorovou 

řadou funkce f se středem v x 0 rozumíme řadu 

∞∑ 

n=0 

f (n) (x 0 ) 

(x − x 0 ) n . 

n! 

Příklad: Odvod’te Taylorovu řadu funkce f (x) = e x se středem v bodě x 0 = 0 

a určete, pro která x tato řada konverguje. Pro f (x) = e x je f (n) (x) = e x , a 

tedy f (n) (x 0 ) = 1. Taylorova řada je tedy řada 

∞∑ 

n=0 

x n 

n! . 

Vyšetřeme konvergenci této řady podílovým kritériem: 

x n+1 

lim 

n→∞ 

∣ ∣ = lim 

x 

n→∞ ∣ n + 1 ∣ = 0 pro každé x ∈ R . 

Řada ∞ ∑ 

n=0 

(n+1)! 

x n 

n! 

x n 

n! 

tedy konverguje pro každé x ∈ R. Součet Taylorovy řady, pokud 

existuje, budeme značit symbolem T (x).



Protože Taylorův polynom T n(x) n-tého stupně funkce f v bodě x 0 je právě 

n-tým částečným součtem Taylorovy řady této funkce, je podle definice 

T (x) = lim 

n→∞ 

T n(x) . 

V dalším se budeme zabývat otázkou, kdy f (x) = T (x). Z Taylorova vzorce 

f (x) = T n(x) + R n(x) dostaneme limitním přechodem pro n → ∞ 

f (x) = lim 

n→∞ 

T n(x) + lim 

n→∞ 

R n(x) = T (x) + lim 

n→∞ 

R n(x) . 

Z této rovnosti plyne, že f (x) = T (x) právě pro ta x, pro která je 

Rn(x) = 0. 

lim 

n→∞ 

Tím jsme dokázali následující větu: 

Věta 14. Pro součet T (x) Taylorovy řady funkce f se středem v x 0 platí 

T (x) = f (x) právě tehdy, když lim 

n→∞ 

R n(x) = 0 . 

Je důležité poznamenat, že existují funkce, které mají v bodě x 0 všechny 

derivace, a tedy mají Taylorovu řadu, jejíž součet se dané funkci v okolí x 0 

nerovná.



Pro tyto funkce zřejmě lim R 

n→∞ 

n(x) ≠ 0. Příkladem takové funkce je funkce 

{ 

f (x) = 

e − 1 

x 2 pro x ≠ 0 

0 pro x = 0 . 

Lze ukázat, že T (x) = 0 pro všechna x ∈ R. Ilustrujme si použití věty 14. 

Příklad: Ukážeme, že 

e x = 

∞∑ 

n=0 

x n 

n! 

Z předchozího příkladu víme, že řada ∞ ∑ 

pro každé x ∈ R . 

n=0 

x n 

n! 

je Taylorovou řadou funkce e x se 

středem v x 0 = 0 a že tato řada konverguje pro každé x ∈ R. Pro pevně 

zvolené x ∈ R platí prodle věty o zbytku v Taylorově formuli. 

Zřejmě 

R n(x) = 

e c 

(n + 1)! x n+1 , kde c leží mezi x a x 0 . 

∣ |R n(x)| = 

e c ∣∣∣ 

∣ (n + 1)! x n+1 ≤ 

x n+1 

∣ e|x| (n + 1)! ∣ .



x 

Ukážeme-li, že lim 

n+1 

= 0, pak nutně i lim 

n→∞ (n+1)! 

řadou konvergentní, a tedy podle věty 1 je 

lim 

n→∞ 

x n 

n! = lim 

n→∞ 

n→∞ Rn(x) = 0. Ale řada ∞ ∑ 

x n+1 

(n + 1)! = 0 . 

Na závěr tohoto odstavce uved’me Taylorovy řady některých funkcí, spolu 

s intervaly, kde se těmto funkcím rovnají: 

∞∑ 

e x x n 

= 

n! , x ∈ R 

sin x = 

cos x = 

ln(x + 1) = 

arctg x = 

n=0 

∞∑ 

(−1) n x 2n+1 

(2n + 1)! , x ∈ R 

n=0 

∞∑ 

(−1) n x 2n 

(2n)! , x ∈ R 

n=0 

∞∑ 

(−1) (n+1) x n 

, x ∈ (−1, 1〉 

n 

n=1 

∞∑ 

(−1) n x 2n+1 

, x ∈ 〈−1, 1〉 

2n + 1 

n=0 

n=0 

x n 

n! 

je

Číselné řady. Funkční řady. Mocninná a Taylorova řada. Literatura

přednášky 1

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?