P - Ð£Ñ Ñ‚Ð¸Ð½ÑÐºÐ¸Ð¹ государственный Ñ‚ÐµÑ Ð½Ð¸Ñ‡ÐµÑÐºÐ¸Ð¹ университет

Федеральное агентство по образованию
Ухтинский государственный технический университет
211
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ С p /C v
ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА
Методические указания к лабораторной работе
для студентов всех специальностей
дневной и заочной формы обучения
Ухта 2007

УДК 53 (075)
С 28
ББК 22.3. Я7
Северова, Н.А. Определение отношения теплоёмкостей С p /C v для воздуха
методом Клемана-Дезорма [Текст]: метод. указания/ Н.А.Северова. – Ухта: УГТУ,
2007. – 12 с.: ил.
Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по
физике по теме «Термодинамика» для студентов всех специальностей.
Содержание методических указаний соответствует рабочей учебной программе.
Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой физики от 19.02.07г.,
пр. № 5 и предложены для издания.
Рецензент:
Редактор:
Пономарев Н.С., к.ф-м.н., доцент кафедры физики Ухтинского
государственного технического университета.
Шамбулина В.Н., доцент кафедры физики Ухтинского
государственного технического университета.
В методических указаниях учтены предложения рецензента и редактора.
План 2007 г., позиция 35.
Подписано в печать 30.11.07 г.
Компьютерный набор: Северова Н.А.
Объем 12 с. Тираж 60 экз. Заказ № 215.
© Ухтинский государственный технический университет, 2007
169300, г. Ухта, ул. Первомайская,13.
Отдел оперативной полиграфии УГТУ.
169300, г. Ухта, ул. Октябрьская,13.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЁМКОСТЕЙ С p /C v ДЛЯ ВОЗДУХА
МЕТОДОМ КЛЕМАНА-ДЕЗОРМА
Цель работы: экспериментальное определение показателя адиабаты С p /C v для
воздуха.
Краткая теория
Согласно первому началу термодинамики: сообщенное системе количество
теплоты расходуется на увеличение внутренней энергии системы и совершение
системой работы:
Q = ∆U
+ A . (1)
Удельной теплоёмкостью с вещества называется величина, численно
равная количеству теплоты, необходимой для нагревания единицы массы этого
вещества на 1К:
с = Q /( m ⋅ ∆T ) . (2)
Молярной теплоёмкостью С вещества называется величина, численно
равная количеству теплоты, необходимой для нагревания одного моля вещества
на 1К: С = Q /( ν ⋅ ∆T
) . (3)
Следовательно, удельная и молярная теплоемкости связаны соотношением
С = с ⋅µ . (4)
Для газов величина теплоёмкости зависит от условий нагревания. Если
производить нагревание газа при V = const , то получаем, соответственно,
теплоёмкость газа при постоянном объёме (удельную – с V
или молярную –
C ). Если производить нагревание газа при P = const , то получим
V
теплоёмкость газа при постоянном давлении (удельную – или молярную –
C p
).
Для газов теплоемкость (как удельная, так и молярная) при постоянном
объеме всегда меньше теплоемкости при постоянном давлении C < C . Этот
факт объясняется тем, что при нагревании газа при постоянном давлении
(изобарический процесс) подводимое к газу тепло идет как на изменение
внутренней энергии, так и на совершение работы расширения. Например, если газ
заключен в сосуд с подвижным поршнем, обеспечивающим постоянное давление,
то, нагреваясь, он расширяется и поднимает поршень, совершая, таким образом,
работу против внешних сил. При нагревании газа при постоянном объёме
(изохорический процесс) все тепло, подведенное к газу, идёт только на
увеличение его внутренней энергии, т.к. работа газа при изохорическом процессе
равна нулю.
Из молекулярно-кинетической теории газов известно, что молярные
теплоёмкости выражаются следующим образом:
i
i + 2
С V
= R , C p
= R , (5)
2
2
с p
V
p
3

где i –
число степеней свободы молекулы газа; R – универсальная газовая
постоянная.
Используя выражения (5) для отношения теплоёмкостей газа получаем:
С
p i + 2
γ = = . (6)
C i
V
В соответствии с (6) для одноатомных молекул газа (i = 3) имеем:
5 γ = = 1,67 ,
3
для жёстких одноатомных молекул (i = 5):
7 γ = = 1,40 ,
5
для жёстких трёхатомных молекул (i = 6):
8 γ = = 1,33 .
6
Непосредственное определение и газов затруднительно в силу того,
что теплоёмкости газа малы по сравнению с теплоёмкостью сосуда, в котором
заключён газ. Проще определять отношение теплоёмкостей ,
пользуясь уравнением Пуассона для адиабатического процесса в газах:
C
V
С
p
γ
PV = const
γ = С /
p C V
. (7)
Отношение теплоёмкости при постоянном давлении С к теплоёмкости при
C V
постоянном объёме для газов играет большую роль при адиабатических или
близким к ним процессах. Так, например, это отношение используется для
определения скорости распространения звука в газах, при изучении течения газа
по трубам со звуковыми и сверхзвуковыми скоростями.
Описание установки
На передней панели (рис. 1, 2) расположены: водяной U-образный манометр
(1) с измерительной линейкой (2), кран K1
напуска воздуха (3), клапан K
2
сброса
давления (4), расположен пневмопровод (5) и тумблер включения
микропроцессора «КОМПРЕССОР» с индикацией включения (6). U-образный
манометр имеет переливной бачок (7).
Установка содержит стеклянный баллон (8), наполняемый воздухом. Баллон
соединен с водяным U-образным манометром (1) и компpессоpом с помощью
пневмопровода (рис. 2). На схеме обозначены также клапан K1
и клапан K
2, с
помощью которых баллон может быть соединен с компpессоpом и с атмосферой.
Поперечное сечение клапана K 2
достаточно велико. Процесс установления
атмосферного давления в сосуде происходит достаточно быстро.
P
4

Рис.1. Внешний вид экспериментальной установки
Рис.2. Схема установки
5

Быстрое изменение давления в сосуде происходит практически без
теплообмена с окружающей средой, поэтому процесс, происходящий при
открывании клапана K 2
, с достаточной точностью можно считать адиабатным.
Пусть с помощью компрессора в баллон накачали воздух, затем закрыли клапан
К1. Через несколько минут температура воздуха в баллоне станет равной
температуре в лаборатории. Обозначим эту температуру . Давление воздуха в
P 1
баллоне при этом равно:
P 1 = P0
+ P'
, (5)
здесь P
0
- атмосферное давление; P ' - избыточное давление воздуха, которое
можно определить по показаниям манометра. Выберем мысленно в сосуде объем
V вдали от клапана. Будем считать, что число молекул в этом "объеме"
неизменно. Начальное состояние воздуха в объеме характеризуется параметрами
P1 , T1
, V1.
. Если открыть на короткое время клапан K2, то часть воздуха выйдет из
сосуда, давление станет равным P
2
= P0
, выбранный нами «объем» увеличится
V 2
до значения . Температура воздуха понизится, так как при вытекании из
сосуда воздух совершает работу против давления окружающего баллон воздуха.
Итак, T
2
< T 1
.
В тот момент времени, когда клапан закрывают, состояние "объема"
характеризуется параметрами P2 , T2
, V2. Считая переход из состояния 1 в
состояние 2 адиабатным процессом, из (4) получим:
γ
γ
P1 ⋅ V1
= P2
⋅V2
. (6)
После того как клапан K 2 закрыли, происходит изохорный процесс
теплообмена с окружающей средой; температура воздуха приближается к
температуре в лаборатории T 1
, давление воздуха по окончании этого процесса:
P 3 = P0
+ P''
, (7)
где P ''
измеряется по манометру. Параметры воздуха после окончания
изохорного процесса P3 , T1
, V3, причем V 3 = V2.
Так как температуры воздуха в первом и третьем состояниях одинаковы, а
число молекул в выбранном нами «объёме» постоянно (объем V выбран вдали от
клапана), то для состояний 1 и 3 можно применить закон Бойля – Мариотта:
P1 ⋅ V1
= P3
⋅V3
= P2
⋅V2
. (8)
Решая систему уравнений (6), (8), получим:
⎛ P3
⎞
⎜ ⎟
⎝ P1
⎠
P2
=
P
Прологарифмировав это соотношение, найдем:
γ
1
T 1
. (9)
6

С
P
ln
P
1
2
γ =
p = . (10)
C P
V 1
ln
P3
Используя соотношения (5) и (7), получим:
1+
P '
ln
С
p P0
= . (11)
C 1+
P ''
V ln
P0
Так как избыточное давление P ' и P ''
весьма малы по сравнению с
атмосферным давлением P 0
, можно использовать разложение функции типа
ln(1 + x) в ряд, ограничившись первым членом разложения (при х

протекающий в баллоне при открытом клапане после завершения адиабатного
расширения, 4 - 5 – изохорный процесс, протекающий после закрытия клапана.
Точки 1, 3, 5 лежат на изотерме, соответствующей температуре T 1
.
Примечание: Процессы, происходящие в сосуде, не являются квазиравновесными,
поэтому графики, строго говоря, строить нельзя (в случае
неравновесного процесса нельзя говорить о давлении и температуре газа, так как
в разных частях баллона эти величины могут иметь различные значения).
Рис.3.
Очевидно, что с ростом t разность уровней жидкости в манометре h
пpопоpциональная P5
- P 4
будет уменьшаться. При t стремящемся к
бесконечности получим h ⇒ 0, при t ⇒ 0 (длительность адиабатного
расширения весьма мала) получим h ⇒ h 0 . Измеряя h при различных значениях
h
t и строя график зависимости ln = f ( t)
, можно найти значение
H
экстраполяцией экспериментальной прямой (рис. 4).
h 0
8

Рис. 4.
Порядок выполнения работы
1. Выписать данные спецификации измерительных приборов, данные
установки, условия опыта.
2. Включить электропитание компрессора. Открыть кран К 1 и накачать в
баллон воздух так, чтобы разность уровней жидкости в манометре стала около
250 мм. Закрыть кран К 1 , выждать 2-3 минуты до тех пор, пока температура
воздуха в баллоне не станет равной температуре окружающей среды. Произвести
дополнительную регулировку разностей уровней (в дальнейших опытах
начальную разность уровней нужно поддерживать постоянной). По нижнему
уровню мениска определить уровни жидкости и в коленах манометра;
записать значения ,
L L , H L − L
1 2 1 2
= в таблицу.
L1
L2
3. Резко нажать на клапан К 2 , соединив баллон с атмосферой. Одновременно
включить секундомер. Выдержать клапан К 2 открытым в течение
заданного
времени t ; после этого отпустить клапан. Через 3-4 минуты (после того, как
уровни жидкости в манометре стабилизируются), определить уровни L 1
′( t)
и
L 2
′ (), t записать значения L 1
′()
t , L 2
′ ( t)
, = L′
( t) − L ( t)
в таблицу.
h t 1 2
′
4. Повторить опыты (пункты 2 - 3) не менее пяти раз для разных значений t
времени нажатия на клапан К 2 - 10, 15, 20, 25, 30, 35 секунд. Следить за тем,
чтобы начальная разность уровней H была постоянной.
9

Примечание: накачивать воздух в баллон нужно медленно (чтобы избежать
значительного повышения температуры воздуха в баллоне) и осторожно
(чтобы нижний уровень жидкости не достиг колена манометра).
5. Вычислить границы доверительного интервала по методу Стьюдента,
причем, значение коэффициента α взять по указанию преподавателя, а из
таблицы, представленной на плакате в аудитории, определиться со значением
коэффициента Стьюдента
t , N
α для N = 6:
∆γ
= t
α , N
Σ
N
( γ − γ )
i
2
( N −1)
6. Записать результат с учетом погрешности измерения.
7. Сравнить экспериментальное значение γ с теоретическим значением (воздух
считать двухатомным идеальным газом).
.
Таблица измерений и вычислений
№ H=L 1 - L 2 t h=L' 1 - L' 2 h o
i
1 10
2 15
3 20
4 25
5 30
6 35
γ γ γ
i
γ − ( ) 2
γ −
γ i
γ ± ∆γ
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте первое начало термодинамики.
2. Что называется удельной и молярной теплоемкостью, как они связаны
между собой?
3. Какова связь между С р и С V для идеального газа?
4. Какой процесс называется адиабатическим?
5. Что происходит с внутренней энергией газа при адиабатическом
процессе?
6. Как изменяется температура газа при адиабатическом процессе?
10

7. Что называется степенью свободы? Какое число степеней свободы
имеет жесткая молекула (одноатомная, двухатомная, трехатомная)?
8. Вычислите теоретическое значение γ для воздуха на основе
молекулярно-кинетической теории?
9. Может ли γ быть меньше 1?
10. Какие процессы изменения состояний газа имеют место в данной
работе?
11. Выведите расчетную формулу.
12. Чему равна теплоемкость идеального газа при изотермическом
процессе?
Индивидуальные задания
1. На рис. 5. изображены пять процессов, протекающих
с идеальным газом. Как ведет себя внутренняя
энергия газа в ходе каждого из процессов?
2. Показать, что разность удельных теплоемкостей газа
удовлетворяет уравнению Майера c − c R .
P V =
Р
5
Рис. 5
2
1
3(изотерма)
4 (адиабата)
3. Изобразить для идеального газа примерные графики изохорического,
изобарического, изотермического и адиабатического процессов на диаграммах:
а) Р,V; б) T,V; в) P, T. Графики изобразить проходящими через одну точку.
V
4. Некоторое количество идеального одноатомного газа сжимают адиабатически
до тех пор, пока давление не превзойдет начальное давление в 10 раз. Затем газ
расширяется изотермически до первоначального объема. Во сколько раз
конечное давление газа превышает начальное его давление? Ответ: в 2,51 раза
5. Идеальный газ (γ = 1,4), находящийся первоначально при температуре таяния
льда, подвергается сжатию, в результате чего: а) объем уменьшается в 10 раз; б)
давление увеличивается в 10 раз. Считая процесс сжатия адиабатическим,
определить до какой температуры нагревается газ вследствие сжатия.
Ответ: а) 413 о С; б) 245 о С.
6. Показать, нагревается или охлаждается идеальный газ, если он расширяется по
закону
2
pV = const
? Какова молярная теплоемкость газа при этом процессе?
Ответ: охлаждается,
C = C R .
V −
11

7. Температура в комнате объема V поднялась от значения Т 1 до значения Т 2 . Как
изменилась при этом внутренняя энергия воздуха, содержащегося в комнате?
Ответ: не изменилась.
8. Некоторое количество кислорода (рис. 6) занимает объем
V 1 =3 л при температуре t =27 0 С и давлении P 1 =8,2·10 5 Па.
Во втором состоянии газ имеет давление P 2 = 6 ·10 5 Па.
Найти:
а) количество тепла, полученного газом;
б) работу, совершенную газом при изменении состояния;
в) изменение внутренней энергии газа.
Р
Р 1
Р 2
V 1
Рис. 6
1
2
V
9. Считая азот идеальным газом, определить его удельную теплоемкость: 1) для
изобарного процесса; 2) для изохорного процесса.
Ответ: 1) C v =742 Дж/(кг·К); 2) C p =1,04 кДж/(кг·К)
10. Азот массой 1 кг находится при температуре 280 К. Считая газ идеальным,
определить: 1) внутреннюю энергию молекул азота; 2) среднюю кинетическую
энергию вращательного движения молекул азота.
Ответ: 1) 0,2 МДж ; 2) 83,1 кДж.
11. Водород массой m = 20 г был нагрет на ∆T = 100 К при постоянном давлении.
Определить: 1) количество теплоты Q, переданное газу; 2) приращение ∆U
внутренней энергии газа; 3) работу А расширения.
Ответ: 1) 29,3 кДж ; 2) 20,9 кДж ; 3) 8,4 кДж.
12. Кислород объемом 2 л находится под давлением 1 МПа. Определить, какое
количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление
вдвое в результате изохорного процесса.
Ответ: 5кДж.
13. Некоторый газ массой 2 кг находится при температуре 300 К и под
давлением 0,5 МПа. В результате изотермического сжатия давление газа
увеличилось в три раза. Работа, затраченная на сжатие, А = -1,37 кДж.
Определить: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.
Ответ: 1) гелий; 2) 1,25 м 3 /кг.
Библиографический список
Трофимова Т.И. Основы термодинамики. /Т.И. Трофимова // Курс физики:
Учеб. – М.,2001. – Гл. 9; § 50-55. – С.100 - 110.
12