Metoda Monte Carlo II

Základní pojmyPostulát ergodicityPravděpodobnost dosažení mikrostavu s j z mikrostavu s i je pro každou dvojici (i, j)nenulová v konečném počtu kroků. Přesnějik∀i, j ∈ {1,…, N} ∃k ∈ N : pro ρ′ = ρ ⋅ Π je ρ′> 0, je-li ρ = 1.jiRovnovážná distribuceρ = ρ ⋅Π0 0Platí ρ0 = lim ρ⋅Πk , kde ρ je libovolná distribuce.k→+∞ ( )KFY/PMFCHLekce 11 – Metoda Monte Carlo II

Konstrukce matice přechoduProblém při použití Markovových řetězců v MC výpočtech: Neznáme matici přechodu, jen jejírovnovážnou distribuci.Je možno matici přechodu pro danou rovnovážnou distribuci zkonstruovat?Ano, a to dokonce více způsoby. Matematicky to znamená řešit soustavu rovnicN∑i = 1ρ π = ρ ; j = 1, …, N .0i ij 0jObvykle se používá silnější verze - princip detailní rovnováhyρ0 iπij = ρ0 jπji.KFY/PMFCHLekce 10 – Metoda Monte Carlo I

Konstrukce matice přechoduMetropolisovo řešenía) π ij =τ ij α ij ,b) τ ij … matice pravděpodobnosti návrhu nového mikrostavu,c) α ij … matice pravděpodobnosti přijetí nového mikrostavu,d)αij⎡ ρ ⎤0 jτji= min ⎢1, ⎥ .⎢⎣ρ0iτij⎥⎦Obvykle volíme τ ij= τ ji, pak platí⎡ ρ0j ⎤αij= min ⎢1, ⎥ .⎣ ρ0i ⎦KFY/PMFCHLekce 10 – Metoda Monte Carlo I

Metropolisův algoritmus pro kanonický soubor( i + 1)( i + 1)( i + 1)Postup při generování konfigurace x ≡ ⎡ ⎣ 1r ,…,r N⎤ ⎦ z konfiguracepředcházející,( ix ) :( i )a) konfiguraci x změníme přičtením náhodných posunutí ∆x ≡[ ∆ 1, r …, ∆rN]( + )( i) ( i) ( i)x ≡ x +∆x ≡ ⎡⎣r1 +∆ r1, …, rN+∆1r ⎤⎦,kde ∆ r jvolíme náhodně z nějaké izotropní distribuce kolem počátku souřadnic(např. náhodné izotropní posunutí uvnitř koule o daném poloměru),( + )( + )( + ) ( i )b) určíme W = W( x ) a ∆W ≡W −W(W (i) známe z předcházejícíhokroku),( i + 1)( +c) je-li ∆W ≤ 0, položíme x = x) ,( je-li ∆W > 0, položíme i + 1)( + )−∆W/ kTB ( i + 1)( i)x = x s pravděpodobností e a x = xs pravděpodobnostíe−∆W/ kT B1 − .KFY/PMFCHLekce 10 – Metoda Monte Carlo I

Doporučená literaturaI. NEZBEDA, J. KOLAFA, M. KOTRLAÚvod do počítačových simulací, kap. 4Karolinum, Praha 2003D. P. LANDAU, K. BINDERA Guide to MC Simulations in Statistical PhysicsCambridge University Press, Cambridge 2005M. M. WOOLFSON, G. J. PERTAn Introduction to Computer Simulation, kap. 4Oxford University Press, New York 1999KFY/PMFCHLekce 11 – Metoda Monte Carlo II